2020年上海市徐汇区高考数学二模试卷(有答案解析)
2020年上海市徐汇区高考数学二模试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.满足条件|z-i|=|3+4i|（i是虚数单位）的复数z在复平面上对应的点的轨迹是（）A. 直线B. 圆C. 椭圆D. 双曲线2.设n∈N*，则“数列{a n}为等比数列”是“数列{a n}满足a n•a n+3=a n+1•a n+2”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件3.已知直线l1：4x-3y+6=0和直线l2：x=-1，则抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A. B. C. 2 D.4.设f（x）是定义在R上的函数，若存在两个不等实数x1，x2∈R，使得f（）=，则称函数f（x）具有性质P，那么下列函数：①f（x）=；②f（x）=x3；③f（x）=|x2-1|；④f（x）=x2；不具有性质P的函数为（）A. ①B. ②C. ③D. ④二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.设全集U=R．若集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，则Α∩∁UΒ=______．6.已知点（2，5）在函数f（x）=1+a x（a＞0且a≠1）的图象上，则f（x）的反函数f-1（x）=______．7.不等式＞1的解为______．8.已知球的主视图所表示图形的面积为9π，则该球的体积是______．9.函数f（x）=在区间[0，]上的最小值为______．10.若2+i（i是虚数单位）是关于x的实系数方程x2+mx+n=0的一个根，则圆锥曲线=1的焦距是______．11.设无穷等比数列{a n}的公比为q，若{a n}的各项和等于q，则首项a1的取值范围是______．12.已知点O（0，0），A（2，0），B（1，-2），P是曲线y=上一个动点，则的取值范围是______．13.甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队在每局赢的概率都是0.5，则甲队获得冠军的概率为______（结果用数值表示）14.已知函数f（x）=x+-1，若存在x1，x2，…，x n∈[，4]使得f（x1）+f（x2）+…f（x n-1）=f（x n），则正整数n的最大值是______．15.在平面直角坐标系中，设点O（0，0），A（3，），点P（x，y）的坐标满足，则在上的投影的取值范围是______．16.函数f（x）=sinωx（ω＞0）的图象与其对称轴在y轴右侧的交点从左到右依次记为A1，A2，A3……A n…在点列{A n}中存在三个不同的点A k，A t，A p，使得△A k A t A p是等腰直角三角形将满足上述条件的ω值从小到大组成的数列记为{ωn}，则ω2019=______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2cos2A+4cos（B+C）+3=0．（1）求角A的大小；（2）若a=，b+c=3，求b和c的值．18.如图：正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长为2，BC1与底面ABCD所成角的大小为arctan2，M是DD1的中点，N是BD上的一动点，设=（0＜λ＜1）（1）当λ=时，证明：MN与平面ABC1D1平行；（2）若点N到平面BCM的距离为d，试用λ表示d，并求出d的取值范围．19.2018年世界人工智能大会已于2018年9月在上海徐汇西岸举行，某高校的志愿者服务小组受大会展示项目的启发，会后决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏，如图：A、B两个信号源相距10米，O是AB的中点，过O点的直线l与直线AB的夹角为45°，机器猫在直线l上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到A点的信号比接收到B点的信号晚秒（注：信号每秒传播v0米）．在时刻t0时，测得机器鼠距离O点为4米．（1）以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系（如图），求时刻t0时机器鼠所在位置的坐标；（2）游戏设定：机器鼠在距离直线l不超过1.5米的区域运动时，有“被抓”的风险．如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？20.对于项数为m（m≥3）的有穷数列{a n}，若存在项数为m+1，公差为d的等差数列{b n}，使得b k＜a k＜b k+1，其中k=1，2，…，m，则称数列{a n}为“等差分割数列”．（1）判断数列{a n}：1，4，8，13是否为“等差分割数列”，并说明理由；（2）若数列{a n}的通项公式为a n=2n（n=1，2…，m），求证：当m≥5时，数列{a n}不是“等差分割数列”；（3）已知数列{a n}的通项公式为a n=4n+3（n=1，2，…，m），且数列{a n}为“等差分割数列”．若数列{b n}的首项b1=3，求数列{b n}的公差d的取值范围（用m表示）．21.已知函数y=f1（x），y=f2（x），定义函数f（x）=．（1）设函数f1（x）=，f2（x）=（）x-1（x≥0），求函数y=f（x）的值域；（2）设函数f1（x）=lg（|p-x|+1）（0，p为实常数），f2（x）=lg（0），当0＜x时，恒有f（x）=f1（x），求实常数p的取值范围；（3）设函数f1（x）=2|x|，f2（x）=3•2|x-p|，p为正常数，若关于x的方程f（x）=m （m为实常数）恰有三个不同的解，求p的取值范围及这三个解的和（用p表示）．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：因为|3+4i|=5，满足条件|z-i|=|3+4i|=5的复数z在复平面上对应点的轨迹是：圆心为（0，1），半径为5的圆．故选：B．利用复数的几何意义可直接得出|z-i|=|3+4i|中复数z在复平面上对应点的轨迹是圆．考查复数的几何意义及复数求模的公式．题型很基本．较全面考查了复数的运算与几何意义．2.答案：A解析：解：“数列{a n}为等比数列”，则==q，⇒数列{a n}满足a n•a n+3=a n+1•a n+2．反之不能推出，例如a n=0，故选：A．“数列{a n}为等比数列”，则==q，⇒数列{a n}满足a n•a n+3=a n+1•a n+2．反之不能推出，可以举出反例．本题考查了等比数列的定义、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3.答案：C解析：【分析】本题考查抛物线性质的应用，是中档题，解题时要熟练掌握抛物线的性质，注意等价转化思想的合理运用．由x=-1是抛物线y2=4x的准线，推导出点P到直线l1：4x-3y+6=0的距离和到直线l2：x=-1的距离之和的最小值．【解答】解：∵x=-1是抛物线y2=4x的准线，∴P到x=-1的距离等于PF，∵抛物线y2=4x的焦点F（1，0）∴过P作4x-3y+6=0垂线，和抛物线的交点就是P，∴点P到直线l1：4x-3y+6=0的距离和到直线l2：x=-1的距离之和的最小值就是F（1，0）到直线4x-3y+6=0距离，∴最小值=．故选：C．4.答案：D解析：解：①选择的两点关于原点对称即可，如图：（1）中的A，B，②同①，选择的两点关于原点对称即可，如图（2）,③如图，y=1与f（x）的交点，满足题意，④没有满足的点对，假设存在x1，x2∈R，使得f（）=，即（）2=得，x1=x2与x1≠x2矛盾，故④不存在，故选：D．根据条件分别进行判断即可．本题主要考查函数与方程的应用，结合条件，利用数形结合分别进行判断是解决本题的关键．5.答案：{1，4}解析：解：∵全集U=R，集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，∴（∁U B）={x|x＞3或x＜2}，∴A∩（∁U B）={1，4}，故答案为：{1，4}．本题考查集合的运算，由于两个集合已经化简，故直接运算得出答案即可．本题考查集合的交、并、补的混合运算，熟练掌握集合的交并补的运算规则是解本题的关键．本题考查了推理判断的能力．6.答案：log2（x-1）（x＞1）解析：解：由点（2，5）在函数f（x）=1+a x（a＞0且a≠1）的图象上，得2=1+a2，∵a＞0，∴a=2．则y=1+2x，∴2x=y-1，得x=log2（y-1），∴f（x）的反函数f-1（x）=log2（x-1）（x＞1）．故答案为：log2（x-1）（x＞1）．把点的坐标代入函数解析式，求得a，然后求解x，把x与y互换可得f（x）的反函数f-1（x）．本题考查函数的反函数的求法，是基础题．7.答案：（0，+∞）解析：解：根据题意，＞1⇒-1＞0⇒＞0，解可得x＞0，即不等式的解集为（0，+∞）；故答案为：（0，+∞）．根据题意，原不等式变形可得＞0，进而分析可得答案．本题考查分式不等式的解法，关键是对分式不等式的变形，属于基础题．8.答案：36π解析：解：πR2=9π，R=3，V==36π．故答案为36π．由圆面积得到半径，再由体积公式得体积．本题考查球的体积公式，属于简单题．9.答案：解析：解：函数f（x）==cos2x+sin x cosx==sin（2x+），∵2x+∈[，]，∴f（x）在区间[0，]上的最小值为f（x）min=f（）=sin=-sin=-．故答案为：-．求出函数f（x）=cos2x+sin x cosx=sin（2x+），由2x+∈[，]，能求出f（x）在区间[0，]上的最小值．本题考查函数的最小值的求法，考查二阶行列式、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.答案：6解析：解：2+i（i是虚数单位）是关于x的实系数方程x2+mx+n=0的一个根，则2-i也是方程的根，由韦达定理可得-m=2+i+2-i=4，解得m=-4，n=（2+i）（2-i）=5，所以双曲线方程为：．所以双曲线的焦距为：2=6．故答案为：6．利用实系数方程虚根成对定理，结合韦达定理求出m，n，然后求解椭圆的焦距即可．本题考查实系数方程虚根成对定理的应用，双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．11.答案：-2＜a1≤且a1≠0解析：解：∵无穷等比数列{a n}的各项和等于公比q，∴|q|＜1，且=q，∴a1=q（1-q）=-q2+q=-（q-）2+，由二次函数可知a1=-（q-）2+≤，又等比数列的项和公比均不为0，∴由二次函数区间的值域可得：首项a1的取值范围为：-2＜a1≤且a1≠0故答案为：-2＜a1≤且a1≠0由题意易得=q，可得a1=-（q-）2+，由二次函数和等比数列的性质可得．本题考查等比数列的各项和，涉及二次函数的最值，属基础题．12.答案：[-2，4]解析：【分析】利用已知条件设出P的坐标，利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数转化求解即可，属于一般题．本题考查向量的数量积的应用，椭圆参数方程的应用，考查两角和与差的三角函数，准确设出P的坐标是解题的关键．【解答】解：点O（0，0），A（2，0），B（1，-2），P是曲线y=上一个动点，设P（2cosθ，sinθ），θ∈[0，π]，则==4∈[-2，4]．故答案为：[-2，4]．13.答案：0.75解析：解：甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队在每局赢的概率都是0.5，则甲队获得冠军的概率为p=1-0.5×0.5=0.75．故答案为：0.75．利用对立事件、相互独立事件概率乘法公式直接求解．本题考查概率的求法，考查对立事件、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．14.答案：6解析：解：函数函数f（x）=x+-1的导数为f′（x）=1-=，可得f（x）在[，2]递减，在（2，4]递增，即有f（2）为最小值，且为3；最大值为f（）=，∴≥f（x n）=f（x1）+f（x2）+…f（x n-1）≥3（n-1），故正整数n的最大值是6．故答案为：6求得f（x）的导数，可得f（x）在[，2]递减，在（2，4]递增，求得f（x）的最值，即可得到所求n的最大值．本题考查对勾函数的单调性和最值求法，考查运算能力和推理能力，属于中档题．15.答案：[-3，3]解析：解：在上的投影：z==||•cos∠AOP=2cos∠AOP，∵∠AOP∈[，]，∴当∠AOP=时，z max=2cos=3，当∠AOP=时，z min=2cos=-3，∴z的取值范围是[-3，3]．∴故答案为：[-3，3]．先根据约束条件画出可行域，设z为在上的投影，再利用z的几何意义求范围，只需求出向量和的夹角的余弦值的取值范围即可，从而得到z值即可．本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础，纵观目标函数包括线性的与非线性，非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得规划问题得以深化．16.答案：π解析：解：由ωx=kπ+，得x=，k∈Z，由题意得x=，，，…，，即A1（，1），A2（，-1），A3（，1），A4（，-1）…，由△A1A2A3是等腰直角三角形，得=-1，即=-1，得ω1=，同理△A1A4A7是等腰直角三角形得=-1，得ω2=．同理△A1A6A11是等腰直角三角形得•=-1，得ω3=．……ωn=，则ω2019==π，故答案为：π由三角函数的对称性求出对应的对称轴，得对称轴对应的交点坐标，结合△A k A t A p是等腰直角三角形，归纳出满足条件的数列{ωn}，进行求解即可．本题主要考查三角函数对称性的应用，结合条件求出三角函数的对称轴以及结合等腰直角三角形归纳出{ωn}是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．17.答案：解：（1）∵2cos2A+4cos（B+C）+3=0,∴2（2cos2A-1）+4cos（π-A）+3=0，∴可得：4cos2A-4cos A+1=0，可得：（2cos A-1）2=0，∴解得：cos A=，∵A∈（0，π），∴A=．（2）由题意可得：b+c=3，可得：b=3-c，又由a2=b2+c2-2bc cos A，可得：（）2=（3-c）2+c2-2×，可得：c2-3c+2=0，解得：，或．解析：（1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得可得（2cos A-1）2=0，解得cos A的值，结合范围A∈（0，π），可求A的值．（2）由题意可得：b=3-c，进而利用余弦定理可求c2-3c+2=0，解方程可求c的值，进而可求b的值．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和方程思想，属于基础题．18.答案：（1）证明：连接BD1，由可知N为BD的中点，又M是DD1的中点，∴MN∥D1B，又MN⊄平面ABC1D1，BD1⊂平面ABC1D1，∴MN∥平面ABC1D1．（2）解：∵CC1⊥平面ABCD，∴∠C1BC为直线BC1与底面ABCD所成的角，即tan∠C1BC==2，∴CC1=2BC=4，以D为原点，以DA，DC，DD1为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示，则B（2，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），M（0，0，2），∴=（2，2，0），=（-2，0，0），=（-2，-2，2）．∴=λ=（2λ，2λ，0），即N（2λ，2λ，0），∴=（2λ，2λ，-2），设平面BCM的法向量为=（x，y，z），则，即，令y=1可得=（0，1，1），设MN与平面BCM所成的角为α，则sinα=|cos＜＞|=||=，∴N到平面BCM的距离d=|MN|sinα==（1-λ）．∵0＜λ＜1，∴0＜d＜．解析：（1）连接BD1，则MN∥D1B，故MN∥平面ABC1D1；（2）根据tan∠C1BC=2得CC1=4，建立空间坐标系，求出平面BCM的法向量，计算与的夹角正弦值得出d关于λ的表达式．本题考查了线面平行的判定，空间向量与空间距离的计算，属于中档题．19.答案：解：（1）设机器鼠位置为点P，由题意可得-=，即|PA|-|PB|=8＜10，可得P的轨迹为双曲线的右支，且2c=10，2a=8，即有c=5，a=4，b=3，则P的轨迹方程为-=1（x≥4），时刻t0时，|OP|=4，即P（4，0），可得机器鼠所在位置的坐标为（4，0）；（2）设直线l的平行线l1的方程为y=x+m，联立双曲线方程-=1（x≥4），可得7x2+32mx+16m2+144=0，即有△=（32m）2-28（16m2+144）=0，且x1+x2=-＞0，可得m=-，即l1：y=x-与双曲线的右支相切，切点即为双曲线右支上距离l最近的点，此时l与l1的距离为d==，即机器鼠距离l最小的距离为＞1.5，则机器鼠保持目前运动轨迹不变，没有“被抓”的风险．解析：本题考查双曲线在实际问题中的应用，考查直线和双曲线的位置关系，注意联立直线方程和双曲线方程，考查化简运算能力，属于中档题．（1）设机器鼠位置为点P，由双曲线的定义和方程可得P的轨迹和方程，及时刻t0时P的坐标；（2）设直线l的平行线l1的方程为y=x+m，联立双曲线方程，由判别式为0，解得m，再求平行线的距离，结合题意即可判断．20.答案：（1）解：由题意，可知：数列{b n}若存在，则b1＜1＜b2＜4＜b3＜8＜b4＜13＜b5，可令b1=0，d=3.5，则b1=0＜1＜b2=3.5＜4＜b3=7＜8＜b4=10.5＜13＜b5=14，即数列{a n}：1，4，8，13为“等差分割数列”；（2）证明：当m≥5时，假设存在项数为m+1，公差为d的等差数列{b n}，使得：b k＜a k＜b k+1，其中k=1，2，…，m．即满足：b1＜2＜b2＜4＜b3＜8＜b4＜16＜b5＜32＜b6＜……，由b6＞32，b1＜2⇒b6-b1=5d＞30⇒d＞6，又由2＜b2＜4，4＜b3＜8⇒0＜b3-b2=d＜6，矛盾，故不存在这样的等差数列{b n}，即数列{a n}不是“等差分割数列”；（3）解：由题意，可设等差数列{b n}通项公式为：b n=3+（n-1）d，则：b1=3＜a1=7＜b2=3+d＜a2=11＜b3=3+2d＜……＜b m=3+（m-1）d＜a m=4m+3＜b m+1=3+md，由b1=3，b2＞7⇒b2-b1=d＞4，又由b1=3，b m＜4m+3⇒b m-b1=（m-1）d＜4m，即d＜，则4＜d＜，此时，b k=3+（k-1）d＜3+（k-1），a k=4k+3，b k+1=3+kd＞3+4m（=1，2，…，m）．a k-b k=4k-（k-1）=≥0，b k+1-a k＞0，即b k＜a k＜b k+1，k=1，2，…，m恒成立．则公差d的取值范围为（4，）．解析：第（1）题要根据题意找出一个符合条件的等差数列{b n}，使得b1＜1＜b2＜4＜b3＜8＜b4＜13＜b5成立．可假设b1=0，d=3.5即可得到一个符合条件的等差数列{b n}；第（2）题可采用反证法证明，即假设存在项数为m+1，公差为d的等差数列{b n}满足条件，然后找出公差d的取值范围正好相反从而产生矛盾，则假设不成立，原命题成立；第（3）题可根据题意设等差数列{b n}通项公式为：b n=3+（n-1）d，然后根据b1=3，b2＞7以及b1=3，b m＜4m+3得出公差d的取值范围．本题第（1）题主要考查根据新定义构造一个等差数列；第（2）题主要考查反证法的应用以及对新定义的理解；第（2）题主要考查根据新定义求出公差d的取值范围．本题属较难题．21.答案：解：（l）注意到f1（1）=f2（1）=1，∵f1（x）=在[0，+∞）上单调递增，f2（x）=（）x-1在[0，+∞）上单调递减，∴当0≤x≤1时，f1（x）≤f2（x），此时f（x）=f1（x）=∈[0，1]，当x＞1时，f1（x）＞f2（x），此时f（x）=f2（x）=（）x-1∈（0，1），综上所述，函数y=f（x）的值域是[0，1]（2）由题意f1（x）≤f2（x），即lg（|p-x|+l）≤lg在0≤x≤恒成立，⇔|p-x|≤-1⇔1-≤x-p≤-1⇔在0＜x≤时恒成立，令g（x）=x+-1，（0＜x≤），h（x）=x-+1，（0＜x≤），问题等价为p≤g（x）min且p≥h（x）max，∵g（x）min=g（）=，h（x）max=h（）=-，故-≤p≤，（3）由题意f1（x）=，f2（x）=，其中p＞0，∴f1（x）＞0，f2（x）＞0，2p＞1，当x≤0时，==＜1，∴f1（x）≤f2（x），∴f（x）=f1（x）=2-x，假设2p≤3，则当0＜x≤p时，==•22-p≤≤1，∴f1（x）≤f2（x），∴f（x）=f1（x）=2x，当x＞p时，==，∴f1（x）≤f2（x），∴f（x）=f1（x）=2x，综上可知，f（x）=f1（x）=2|x|，此时f（x）在（-∞，0]上单调递减，则[0，+∞）上单调递增，这与方程f（x）=m恰有三个不同的解矛盾，不符合题意，故2p＞3，当0＜x≤p时，==•22x-p，由•22x-p≤1得x≤，∴f（x）=，当x＞p时，==＞1，f1（x）＞f2（x），∴f（x）=f2（x）=3•2x-p，则由此可知，p＞log23，f（x）=，故f（x）在（-∞，0]上单调递减，此时f（x）∈[1，+∞）f（x）在[0，]上单调递增，此时f（x）∈[1，]，f（x）在[，p]上单调递减，此时f（x）∈[3，]，f（x）在[p，+∞）上单调递增，此时f（x）∈[3，+∞），∵关于x的方程f（x）=m（m为实常数）恰有三个不同的解，∴m=3或m=，当m=3时，由f（x）=3得x=-log23或x=log23或x=p，三个解的和为p，]，当m=时，由f（x）=，得x=-或x=或x=，三个解的和为．解析：（1）根据f（x）的定义分别比较两个函数的大小即可（2）若当0＜x时，恒有f（x）=f1（x），等价为f1（x）≤f2（x）恒成立，利用参数分离法进行求解即可（3）讨论p的范围，结合f（x）的定义比较f1（x）与f2（x）的大小，结合方程根的个数，确定判断判断取值范围即可本题主要考查函数方程的综合应用，结合条件比较f1（x），f2（x）的大小是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，难度较大．。
2020年上海徐汇区高三二模数学试卷-学生用卷
2020年上海徐汇区高三二模数学试卷-学生用卷一、填空题（本大题共12小题，共54分）1、【来源】 2020年上海徐汇区高三二模第1题4分2019年上海徐汇区高三二模已知U ={1,2,3,4,5}，A ={1,3,5}，则∁U A = ．2、【来源】不等式1x ⩽3的解集是 ．3、【来源】 2020年上海徐汇区高三二模第3题4分2019年上海徐汇区高三二模函数f(x)=cosπx 3的最小正周期为 ．4、【来源】 2020年上海徐汇区高三二模第4题4分2019年上海徐汇区高三二模2020~2021学年上海浦东新区上海师范大学附属中学高一下学期期末第2题5分若1+i (i 是虚数单位)是关于x 的实系数方程x 2+px +q =0的根，则pq = ．5、【来源】 2020年上海徐汇区高三二模第5题4分2019年上海徐汇区高三二模方程sinx =13在[π2,π]上的解是 ．6、【来源】 2020年上海徐汇区高三二模第6题4分2019年上海徐汇区高三二模若f(x)=12x −1+1a 是奇函数，则实数a 的值为 ．7、【来源】 2020年上海徐汇区高三二模第7题5分2019年上海徐汇区高三二模二项式(x 2+√x )5的展开式中的常数项等于 ．(结果用数值表示)8、【来源】 2020年上海徐汇区高三二模第8题2020~2021学年10月天津河西区天津市第四中学高二上学期月考第13题4分2019年上海徐汇区高三二模已知直线(a +2)x +(1−a )y −3=0的方向向量是直线(a −1)x +(2a +3)y +2=0的法向量，则实数a 的值为 ．9、【来源】 2020年上海徐汇区高三二模第9题5分2019年上海徐汇区高三二模从数字1，2，3，4，5，6，7，8中任取2个数，则这2个数的和为偶数的概率为 ．(结果用数值表示)10、【来源】 2020年上海徐汇区高三二模第10题5分2019年上海徐汇区高三二模在△ABC 中，若|AB →+AC →|=|AB →−AC →|，AB =2，AC =1，E ，F 为BC 边的三等分点，则AE →⋅AF →= ．11、【来源】 2020年上海徐汇区高三二模第11题5分2019年上海徐汇区高三二模如图为某街区道路示意图，图中的实线为道路，每段道路旁的数字表示单向通过此段道路时会遇见的行人人数，在防控新冠肺炎疫情期间，某人需要从A 点由图中的道路到B 点，为避免人员聚集，此人选择了一条遇见的行人总人数最少的从A 到B 的行走线路，则此人从A 到B 遇见的行人总人数的最小值是 ．12、【来源】 2020年上海徐汇区高三二模第12题5分2019年上海徐汇区高三二模)在[2,3]上至少有一个零点，设二次函数f(x)=(2m+1)x2+nx−m−2(m，n∈R且m≠−12则m2+n2的最小值为．二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年上海徐汇区高三二模第13题5分某地区的绿化面积每年平均比上一年增长20%，经过x年，绿化面积与原绿化面积之比为y，则y= f(x)的图象大致为()A. AB. BC. CD. D14、【来源】 2020年上海徐汇区高三二模第14题5分2019年上海徐汇区高三二模一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. π2B. πC. 3π2D. 2π15、【来源】 2020年上海徐汇区高三二模第15题5分2019年上海徐汇区高三二模设点P (t 2+2t ,1)(t <0)是角α终边上一点，当|OP →|最小时，cosα的值是() A. −2√55B. 2√55C. √55D. −√5516、【来源】 2020年上海徐汇区高三二模第16题5分2019年上海徐汇区高三二模2019~2020学年高二上学期期中若数列{a n}，{b n}的通项公式分别为a n=(−1)n+2020a，b n=2+(−1)n+2019，且a n<b n对任意nn∈N∗恒成立，则实数a的取值范围为()A. [−2,1))B. [−2,32)C. [−1,12D. [−1,1)三、解答题（本大题共5小题，共76分）17、【来源】 2020年上海徐汇区高三二模第17题14分2019年上海徐汇区高三二模2020年上海高三一模2017~2018学年河北唐山滦州区滦州区第二中学高二上学期期中2017~2018学年广东惠州高二下学期期末如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．已知AB=2，AD=2√2，PA=2．求：(1) 三角形PCD的面积；(2) 异面直线BC与AE所成的角的大小．18、【来源】 2020年上海徐汇区高三二模第18题14分2019年上海徐汇区高三二模已知函数f(x)=|3x−1|，g(x)=1−|x|．(1) 解不等式f(x)⩽2．(2) 求F(x)=f(x)−g(x)的最小值．19、【来源】 2020年上海徐汇区高三二模第19题14分2019年上海徐汇区高三二模2020~2021学年广东广州天河区华南师范大学附属中学高一上学期周测[ 校本作业5专题（3）] 第4题某地为庆祝中华人民共和国成立七十周年，在一个半径为50√3米、圆心角为60°的扇形OAB草坪上，由数千人的表演团队手持光影屏组成红旗图案．已知红旗图案为矩形，其四个顶点中有两个顶点M、N在线段OB上，另两个顶点P，Q分别在弧AB、线段OA上．(1) 若∠PON=45°，求此红旗图案的面积S．(2) 求组成的红旗图案的最大面积．20、【来源】 2020年上海徐汇区高三二模第20题16分2019年上海徐汇区高三二模第20题已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的长轴长为2√2，右顶点到左焦点的距离为√2+1，F 1、F 2分别为椭圆Γ的左、右两个焦点．(1) 求椭圆Γ的方程．(2) 已知椭圆Γ的切线l (与椭圆Γ有唯一交点)的方程为y =kx +m ，切线l 与直线x =1和x =2分别交于点M 、N ．求证：|MF 2||NF 2|为定值，并求此定值． (3) 设矩形ABCD 的四条边所在直线都和椭圆Γ相切(即每条边所在直线与椭圆Γ有唯一交点)，求矩形ABCD 的面积S 的取值范围．21、【来源】 2020年上海徐汇区高三二模第21题18分2019年上海徐汇区高三二模2020~2021学年上海浦东新区上海师范大学附属中学高一下学期期末第21题15分设数列{a n }(n ∈N ∗)中前两项a 1，a 2给定，若对于每个正整数n ⩾3，均存在正整数k (1⩽k ⩽n −1)使得a n =a n−1+a n−2+⋯+a n−k k，则称数列{a n }为“Ω数列”． (1) 若数列{a n }(n ∈N ∗)为a 1=1，a 2=−12的等比数列，当n ⩾3时，试问：a n 与a n−1+a n−22是否相等，并说明数列{a n }(n ∈N ∗)是否为“Ω数列”．(2) 讨论首项为a 1、公差为d 的等差数列{a n }是否为“Ω数列”，并说明理由．(3) 已知数列{a n }为“Ω数列”，且a 1=0，a 2=1，记S (n,k )=a n−1+a n−2+⋯+a n−k (n ⩾2,n ∈N ∗)，其中正整数k ⩽n −1，对于每个正整数n ⩾3，当正整数k 分别取1，2，⋯，n −1时，S (n,k )k 的最大值记为M n ，最小值记为m n ．设b n =n ⋅(M n −m n )，当正整数n 满足3⩽n ⩽2020时，比较b n 与b n+1的大小，并求出b n 的最大值．1 、【答案】 {2,4};2 、【答案】 (−∞,0)∪[13,+∞);3 、【答案】 6;4 、【答案】 -4;5 、【答案】 π−arcsin13;6 、【答案】 2;7 、【答案】 5;8 、【答案】±1;9 、【答案】3;7;10 、【答案】10911 、【答案】 34;;12 、【答案】45313 、【答案】 D;14 、【答案】 B;15 、【答案】 A;16 、【答案】 B;17 、【答案】 (1) 见解析;(2) 见解析;,1]18 、【答案】 (1) [−13;(2) −23;19 、【答案】 (1) S=3750−1250√3（平方米）．;(2) 1250√3平方米;+y2=120 、【答案】 (1) x22;(2) 见解析;(3) [4√2,6];21 、【答案】 (1) a n=a n−1+a n−2，{a n}是“Ω数列”2;(2) 当d=0时，{a n}是“Ω数列”，d≠0时，{a n}不是“Ω数列”;(3) b n>b n+1(3⩽n⩽2020)；(b n)max=32;。
2020届上海市徐汇区高考二模数学模拟试题有答案(加精)
第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三数学一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．已知全集R U =，集合{}0322>--=x x x A ，则=A C U .2．在61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项是.3．函数()lg(32)x x f x =-的定义域为_____________．4．已知抛物线2x ay =的准线方程是14y =-，则a =.5．若一个球的体积为323π，则该球的表面积为_________．6．已知实数x y ，满足001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，，．则目标函数z x y =-的最小值为___________．7．函数()2sin cos 1()11x x f x +-=的最小正周期是___________．8．若一圆锥的底面半径为3，体积是12π，则该圆锥的侧面积等于.9．将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是m ，记第二颗骰子出现的点数是n ，向量()2,2a m n =--，向量()1,1b =，则向量a b ⊥的概率．．是. 10．已知直线12:0,:20l mx y l x my m -=+--=.当m 在实数范围内变化时，1l 与2l 的交点P 恒在一个定圆上，则定圆方程是.11．若函数222(1)sin ()1x xf x x ++=+的最大值和最小值分别为M 、m ，则函数()()()sin 1g x M m x M m x =+++-⎡⎤⎣⎦图像的一个对称中心是．12．已知向量,a b 的夹角为锐角，且满足||15a =、||b =，若对任意的{}(,)(,)||1,0x y x y xa yb xy ∈+=>，都有||1x y +≤成立，则a b ⋅的最小值为.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题５分）每题有且只有一个正确选项。
2024届上海市徐汇区高三二模数学试题及答案
第12题图上海市徐汇区2024届高三二模数学试卷（满分150分，时间120分钟）一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）1.已知集合22A y y x ，集合2430B x x x ，那么A B ．2.已知复数1iz i（i 为虚数单位），则z z ．3.在ABC 中，1AC ，2C ，A，则ABC 的外接圆半径为．4.5.6.7.8.9.10.11.不与O 点重合，轨道与直杆的宽度等因素均可忽略不计），直杆上的点P 满足OP AB ，则OAP 面积的取值范围是．12.如图所示，已知ABC 满足8BC ，3AC AB ，P 为ABC 所在平面内一点．定义点集13,3P AP AB AC R D．若存在点0P D ，使得对任意P D ，满足0AP AP恒成立，则0AP的最大值为．第11题图二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）13.在下列函数中，值域为R 的偶函数是（）.A 13y x ；.B lg y x ；.C x x y e e ；.D 3cos y x x ．14.为了研究y 关于x 的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表）：.A ˆa.B 当x .C .D 15.）.A 若 .B 若 .C .D 若16.三棱锥90 ，二面角P BC A 的大小为45 ，则对以下两个命题，判断正确的是（）①三棱锥O ABC 的体积为83；②点P 形成的轨迹长度为．.A ①②都是真命题；.B ①是真命题，②是假命题；.C ①是假命题，②是真命题；.D ①②都是假命题．第18题图三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【解答下列各题必须写出必要的步骤】17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数 y f x ，其中 122log 2xf x x ．（1）求证： y f x 是奇函数；（2）若关于x 的方程 12log f x x k 在区间 3,4上有解，求实数k 的取值范围．18.如图，4，ABC 是底面圆O （1）（2）19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）为了解中草药甲对某疾病的预防效果，研究人员随机调查了100名人员，调查数据如右表．（单位：个）（1）若规定显著性水平0.05 ，试分析中草药甲对预防此疾病是否有效；（2）已知中草药乙对该疾病的治疗有效率数据如下：对未服用过中草药甲的患者治疗有效率为12，对服用过中草药甲的患者治疗有效率为34．若用频率估计20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知椭圆224:13x y C ，1A 、2A 分别为椭圆C 的左、右顶点，1F 、2F 分别为左、右焦点，直线l 交椭圆C 于M 、N 两点（l 不过点2A ）．（1）若Q 为椭圆C 上（除1A 、2A 外）任意一点，求直线1QA 和2QA 的斜率之积；（2）若112NF F M，求直线l 的方程；（3）若直线2MA 与直线2NA 的斜率分别是1k 、2k ，且1294k k，求证：直线l 过定点．21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题（i ）满分6分，第2小题（ii ）满分8分）已知各项均不为0的数列 n a 满足2211n n n n n a a a a a（n 是正整数），121a a ，定义函数111!nkn k y f x x k（0x ），e 是自然对数的底数．（1）求证：数列1n n a a是等差数列，并求数列 n a 的通项公式；（2）记函数 n y g x ，其中 1xn n g x e f x ；（i ）证明：对任意0x ， 3430g x f x f x ；（ii ）数列 n b 满足12n n nb a ，设n T 为数列 n b 的前n 项和．数列 n T 的极限的严格定义为：若m 满足：当n m n T 的极限T ．上海市徐汇区2024届高三二模数学试卷-简答参考答案及评分标准2024.4一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1． 3, 2.2 3.14.35.816.17.2108.79.76410.7211.12.3二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.B 14.D 15.C 16.A三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）【解】（1）证明:函数122log 2xy x 的定义域为 22D x x x 或，在D 中任取一个实数x ，都有x D ，并且1111222222()log log log ()222x x x f x f x x x x.因此，122log 2xy x 是奇函数.（2） 12()log f x x k 等价于22x x k x即24122x k x x x x在 3,4上有解．记4()12g x x x，因为()g x 在 3,4上为严格减函数，所以，max ()(3)2g x g ，min ()(4)1g x g ，故()g x 的值域为 1,2 ，因此，实数k 的取值范围为 1,2 ．18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）【解】（1）在椭圆22:143x y C 中，左、右顶点分别为12(2,0)(2,0)A A 、，设点 000,(2)Q x y x ，则12202000220000312244344QA QA x y y y k k x x x x ．（2）设 1122,,,M x y N x y ，由已知可得1(1,0) F ，122111(1,)(+1,)NF x y F M x y，，由112 NF FM 得2211(1,)2(+1,) x y x y ，化简得2121=322 x x y y 代入2222431 x y 可得22114(32)(32)1 x y ，联立2211431 x y 解得117=4=8x y 由112 NF FM 得直线l 过点1(1,0) F ，7(,4 N ，所以，所求直线方程为=(1)2y x.（3）设 3344,,,M x y N x y ，易知直线l 的斜率不为0，设其方程为x my t （2 t ），联立22143x my tx y ，可得2223463120m y mty t ，由2222364(34)(312)0m t m t ，得2234t m ．由韦达定理，得234342263123434， mt t y y y y m m ．1294k k ，34349224y y x x ．可化为 343449220 y y my t my t ，整理即得 223434499(2)9(2)0 m y y m t y y t ，222223126499(2)9(2)03434t mt m m t t m m ，由20t ，进一步得2222(49)(2)183(2)03434m t m t t m m ，化简可得16160t ，解得1t ，直线MN 的方程为1x my ，恒过定点(1,0)．21.（本题满分18分，第（1）小题满分4分，第（2）（i ）满分6分，第（2）（ii ）满分8分）（方法二）而对于任意0u ，只需22e n u 且4n 时，可得22222222222!123n n e e e u e n n u个…….故存在22max ,5e m u，当n m 时，恒有n T T u ，因而n T 的极限2T e .。
2020年上海市高考数学仿真试卷(二) (含答案解析)
2020年上海市高考数学仿真试卷（二）一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1. 已知向量a ⃗ =(2,1)，a ⃗ +b ⃗ =(1,k)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则实数k =( )A. 12B. −2C. −7D. 32. 祖暅原理：“幂势既同，则积不容异．”它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积恒相等，那么这两个几何体的体积相等．设A ，B 为两个同高的几何体，命题P ：A ，B 的体积不相等，命题Q ：A ，B 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，P 是Q 的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 如果双曲线x 2m−y 2n=1(m >0,n >0)的渐近线方程渐近线为y =±12x ，则双曲线的离心率为( )A. 54 B. 32 C. √54D. √524. 已知点A(1,1)，B(2,1)，C(1,2)，若λ∈[−1,2]，μ∈[2,3]，则|λAB⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是( ) A. [2,10]B. [√5,√13]C. [1,5]D. [2,√13]二、填空题（本大题共12小题，共54.0分） 5. 集合{a,b}的子集个数为________个．6. 若线性方程组的增广矩阵为(12c 120c 2)的解为{x =1y =3，则c 1+c 2=______7. 若，则________．8. 若行列式∣∣∣∣x−1−2∣∣∣a 301∣∣∣∣∣∣∣的展开式的绝对值小于6的解集为(−1,2)，则实数a 等于______． 9. 已知椭圆x 2m−2+y 210−m =1的焦点在x 轴上，焦距为4，则m 等于____. 10. 已知(2+ax)(1+x)5的展开式中x 2的系数为15，则展开式中所有项的系数和为________． 11. 若圆锥的侧面积是底面积三倍，则其母线与底面角的大小为 (结果用反三角函数表示)。
2020上海高三数学二模汇编-解析几何含答案
解析几何一、直线1、【2020年闵行区二模第3题】若直线10ax by ++=的方向向量为(1,1)，则此直线的倾斜角为 【答案：4π】 2、【2020年黄浦区二模第4题】若直线1:350l ax y +-=与2:210l x y +-=互相垂直，则实数a 的值为 【答案： 6- 】3、【2020年金山区二模第13题】已知直角坐标平面上两条直线的方程分别为1111:0l a x b y c ++=，2222:0l a x b y c ++=，那么“11220a b a b =”是“两直线1l 、2l 平行”的( )． （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件 【答案：B 】4、【2020年徐汇区二模第8题】已知直线(2)(1)30a x a y ++--=的方向向量是直线(1)(23)20a x a y -+++= 的法向量，则实数a 的值为 .【答案：11或- 】5、【2020年松江区二模第13题】若为坐标原点，是直线上的动点，则的最小值为（ ） (A)(B)(C)(D)【答案：B 】6、【2020年金山区二模第12题】设*n ∈N ，n a 为()(2)1nn x x +-+的展开式的各项系数之和，162m t =-+，，1222...333n n n a a na b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（[x ]表示不超过实数x 的最大整数），则()22()n n t b m -+-的最小值为___________.O P 20-+=x y OP 2R t ∈【答案：95解析：赋值法，令1x =，∴32nnn a =-，∴(32)2[][][()]333n n nn n nna n n n -==-⋅， 可用计算器分析2()3n n ⋅单调性及范围，可知2()(0,1)3n n ⋅∈，∴[]13n n na n =-，∴(1)2n n n b -=，22()()n n t b m -+-的 几何意义为点(,)n n b 到点(,)t m 的距离的平方，如图所示， 当3n =时，点(3,3)到直线162y x =-+的距离最小， ∴min 22512d ==+，即2min95d =。
2019-2020学年上海市徐汇区高三年级二模考试数学试卷
徐汇区高三数学 本卷共4页 第页2019学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三数学 2020.5一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1． 已知{}{}1,2,3,4,5,1,3,5UA ==,则U C A =_______________．【答案】{}2,4 【解析】{}2,4U C A =2．不等式31≤x的解集是_________. 【答案】()1,0,3⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭【解析】化简分式不等式易得()1,0,3x ⎡⎫∈-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭3 ．函数()cos 3xf x π=的最小正周期为_____________．【答案】6 【解析】利用23T ππ=得6T =4．若i +1（i 是虚数单位）是关于x 的实系数方程02=++q px x 的根，则pq =___________．【答案】4-【解析】两根分别为1i +和1i -，所以()()112,112p i i q i i -=++-==+-=，因此2,2,4p q pq =-==-徐汇区高三数学 本卷共4页 第页5．方程1sin 3x =在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的解是__________________． 【答案】1arcsin 3π-【解析】根据三⻆⽅程易得1arcsin 3π-6. 若11()21xf x a=+-是奇函数，则实数a 的值为 ． 【答案】2 【解析】()()1111211,12,120,1,2f f a a a a a a=+-=-+∴+-+=∴==7．二项式25(x +的展开式中的常数项等于____________.（结果用数值表示） 【答案】5【解析】()51021052221555rr r r rrr r r T C xC x C x ----+===，令5100,42r r -==，所以常数项为455C =8．已知直线()()2130a x a y ++--=的方向向量是直线()(1)2320a x a y -+++=的法向量,则实数a 的值为 . 【答案】1±【解析】由题意得两直线垂直()()()()2112+3=0a a a a ∴+-+-，()()1223=0a a a ∴-+--，所以()()110a a ---=，所以1a =±9．从数字 1,2,3,4,5,6，7,8中任取2个数,则这2个数的和为偶数的概率为____________. （结果用数值表示） 【答案】37徐汇区高三数学 本卷共4页 第页【解析】224428123287C C p C +===10．在ABC ∆中，若,2,1,AB AC AB AC AB AC +=-==,E F 为BC 边的三等分点，则AE AF •=_____________．【答案】109【解析】AB AC ABAC AB AC +=-⇒⊥，BC∴=BC 中点G，则122AG BC ==，133EF BC ∴==，221551044369AE AF AG EF •=-=-=11．如图为某街区道路示意图，图中的实线为道路，每段道路旁的数字表示单向通过此段道路时会遇见的行人人数，在防控新冠肺炎疫情期间，某人需要从A 点由图中的道路到B 点，为避免人员聚集，此人选择了一条遇见的行人总人数最小的从A 到B 的行走线路，则此人从A 到B 遇见的行人总人数最小值是 . 【答案】34【解析】从A B →，为使相遇人数最少，要保证此人到一点只能向上或者向右，不能回头，那么我们现在考察在交点处的人数，绿笔表示来⾃左边会遇到⾃数，红笔表示来⾃向下⾃会遇到⾃数，则每⾃节点通往下⾃节点时，要保证⾃⾃数最少的路径，则将相遇⾃数标记如图. 故如图所示，最少相遇⾃数为34。
2020-2021学年上海市徐汇区第二次高考模拟高三数学试卷及答案解析
第二学期 学习能力诊断卷高三年级数学学科一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1. 设全集{}1,2,3,4U =，集合{}2|540,A x x x x Z =-+<∈，则U C A =____________．2. 参数方程为22x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数）的曲线的焦点坐标为____________．3. 已知复数z 满足1z =，则2z -的取值范围是____________．4. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若*21()3n n S a n N =-∈，则lim n n S →∞=____________．5. 若*1()(4,)2nx n n N x+≥∈的二项展开式中前三项的系数依次成等差数列，则n =_____． 6. 把12345678910、、、、、、、、、分别写在10张形状大小一样的卡片上，随机抽取一张卡片，则抽到写着偶数或大于6的数的卡片的概率为____________．（结果用最简分数表示）7. 若行列式124cossin 022sin cos822x xx x 中元素4的代数余子式的值为12，则实数x 的取值集合为____________．8. 满足约束条件22x y +≤的目标函数z y x =-的最小值是____________．9. 已知函数2log 02()25()239x x x f x x <<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩，，．若函数()()g x f x k =-有两个不同的零点，则实数k的取值范围是____________．10. 某部门有8位员工，其中6位员工的月工资分别为8200，8300，8500，9100，9500，9600（单位：元），另两位员工的月工资数据不清楚，但两人的月工资和为17000元，则这8位员工月工资的中位数可能的最大值为____________元．11. 如图：在ABC ∆中，M 为BC 上不同于,B C 的任意一点，点N 满足2AN NM =u u u r u u u u r ．若AN x AB y AC =+u u u r u u u r u u u r，则229x y +的最小值为____________．12. 设单调函数()y p x =的定义域为D ，值域为A ，如果单调函数()y q x =使得函数(())y p q x =的值域也是A ，则称函数()y q x =是函数()y p x =的一个“保值域函数”． 已知定义域为[],a b 的函数2()3h x x =-，函数()f x 与()g x 互为反函数，且()h x 是()f x 的一个“保值域函数”，()g x 是()h x 的一个“保值域函数”，则b a -=___________．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13. “1x >”是“11x<”的（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件 14. 《九章算术》是我国古代数学著作，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积及堆放的米各为多少？”已知一斛米的体积约为1.62立方尺，由此估算出堆放的米约有（ ） （A ）21斛 （B ）34斛 （C ）55斛 （D ）63斛15. 将函数1y x=-的图像按向量(1,0)a =r 平移，得到的函数图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像的所有交点的横坐标之和等于（ ）（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8N A16. 过椭圆221(4)4x y m m m +=>-右焦点F 的圆与圆22:1O x y +=外切，则该圆直径FQ 的端点Q 的轨迹是（ ）（A ）一条射线 （B ）两条射线 （C ）双曲线的一支 （D ）抛物线三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图：在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，2PA AD ==． （1）求异面直线PC 与AB 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （2）若点E 、F 分别是棱AD 和PC 的中点，求证：EF ⊥平面PBC ．18. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数41()2x xm f x ⋅+=是偶函数．（1）求实数m 的值；（2）若关于x 的不等式22()31k f x k ⋅>+在(,0)-∞上恒成立，求实数k 的取值范围．19. （本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）如图所示：湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直线航行，某一时刻，甲船在最前面的A 点处，乙船在中间的B 点处，丙船在最后面的C 点处，且FEA P:3:1BC AB =．一架无人机在空中的P 点处对它们进行数据测量，在同一时刻测得030APB ∠=，090BPC ∠=．（船只与无人机的大小及其它因素忽略不计） （1）求此时无人机到甲、丙两船的距离之比；（2）若此时甲、乙两船相距100米，求无人机到丙船的距离．（精确到1米）20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分5分）如图：椭圆2212x y +=与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有相同的焦点12F F 、，它们在y 轴右侧有两个交点A 、B ，满足220F A F B +=u u u u r u u u u r r．将直线AB 左侧的椭圆部分（含A ,B 两点）记为曲线1W ，直线AB 右侧的双曲线部分（不含A ,B 两点）记为曲线2W ．以1F 为端点作一条射线，分别交1W 于点(,)p p P x y ，交2W 于点(,)M M M x y (点M 在第一象限),设此时M F 1=1m F P ⋅u u u r.（1）求2W 的方程; （2）证明:1p x m=，并探索直线2MF 与2PF 斜率之间的关系; （3）设直线2MF 交1W 于点N ，求1MF N ∆的面积S 的取值范围.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）现有正整数构成的数表如下： 第一行： 1 第二行： 1 2 第三行： 1 1 2 3第四行： 1 1 2 1 1 2 3 4第五行： 1 1 2 1 1 2 3 1 1 2 1 1 2 3 4 5…… …… ……第k 行：先抄写第1行,接着按原序抄写第2行,然后按原序抄写第3行,⋯,直至按原序抄写第1k -行,最后添上数k .（如第四行，先抄写第一行的数1，接着按原序抄写第二行的数1，2，接着按原序抄写第三行的数1，1，2，3，最后添上数4）.将按照上述方式写下的第n 个数记作n a (如11a =,21a =,32a =,41a =,⋯,73a =,⋯,14153,4,a a ==L )．（1）用k t 表示数表第k 行的数的个数，求数列{}k t 的前k 项和k T ；（2）第8行中的数是否超过73个？若是，用0n a 表示第8行中的第73个数，试求0n 和0n a 的值；若不是，请说明理由；（3）令123n n S a a a a =++++L ，求2017S 的值．参考答案一、填空题：(共54分，第1~6题每题4分；第7~12题每题5分)1. {}1,42. (1,0)3. []1,34. 15. 86. 7107. |2,3x x k k Z ππ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭8. 2- 9. 5(,1)9 10. 8800 11. 25 12. 1二、选择题：(共20分，每题5分)13. A 14. A 15. D 16. C 三、解答题 17、解：（1）以点A 为原点，以AB 方向为x 轴正方向，AD 方向为y 轴正方向，建立空间直角坐标系，则(0,0,2),(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0)P A B C D ,--------2分所以，(2,2,2),(2,0,0)PC AB =-=u u u r u u u r,--------4分 设,PC AB u u u r u u u r的夹角为α，则cos 3PC AB PC AB α⋅===⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ,--------5分 所以，,PC AB u u u r u u u r的夹角为，即异面直线PC 与AB所成角的大小为.--------6分 （2）因为点E 、F 分别是棱AD 和PC 的中点，可得(0,1,0)E ，(1,1,1)F ，所以(1,0,1)EF =u u u r，--------8分 又(0,2,0)BC =u u u r ，(2,2,2)PC =-u u u r，--------10分计算可得0,0EF PC EF BC ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r，--------12分所以，,EF PC EF BC ⊥⊥，又PC BC C =I ，所以EF ⊥平面PBC.--------14分18、(1) 因为函数41()2x xm f x ⋅+=是定义域为R 的偶函数，所以有()()f x f x -=，-2分即414122x x x xm m --⋅+⋅+=，即44122x x x xm m +⋅+=， ------------------------------4分 故m=1. -----------------------------------------6分(2)241()0,3102x xf x k +=>+>，且22()31k f x k ⋅>+在(,0)-∞上恒成立，故原不等式等价于22131()k k f x >+在(,0)-∞上恒成立，--------------------8分又x ∈(,0)-∞，所以()()2,f x ∈+∞， -------------------------------------10分 所以110,()2f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，----------------------------11分 从而221312k k ≥+，----------------------------12分因此，1,13k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.-------------------------------------------------------------------14分 19、(1)在APB ∆中，由正弦定理，得1sin sin 2AP AB ABABP APB==∠∠，-----------2分 在BPC ∆中，由正弦定理，得 sin sin 1CP BC BCCBP CPB ==∠∠，-----------4分 又31BC AB =，sin sin ABP CBP∠=∠，--------------------------------------------6分 故23AP CP =.即无人机到甲、丙两船的距离之比为23.-----------------------7分 (2)由:3:1BC AB =得AC=400，且0120APC ∠=， ------------------------------9分由(1)，可设AP=2x ，则CP=3x ， ---------------------------------------------10分在APC ∆中，由余弦定理，得160000=(2x)2+(3x)2-2(2x)(3x)cos1200，------12分解得19=， 即无人机到丙船的距离为275≈米. ----14分 20、解：（1）由条件，得2(1,0)F ，根据220F A F B +=u u u u r u u u u r r知，F 2、A 、B 三点共线，且由椭圆与双曲线的对称性知，A 、B 关于x 轴对称， 故AB 所在直线为x=1，从而得(1,2A，(1,2B -.--------------2分 所以，221112a b-=,又因为2F 为双曲线的焦点，所以221a b +=， 解得2212a b ==.CB AP---------------------------------------------------------------3分因此，2W 的方程为2211122x y -=(1x >). ------------4分 (2) 由P(x p ,y p )、M(x M ,y M )，得1F P u u u r =(x p +1,y p )，1F M u u u u r=(x M +1,y M )，由条件，得1(1)M p M p x m x y my +=+⎧⎪⎨=⎪⎩，即1M p M px mx m y my =+-⎧⎪⎨=⎪⎩， ---------------5分由P(x p ,y p )、M(x M ,y M )分别在曲线1W 和2W 上，有2222122(1)2()1p p p p x y mx m my ⎧+=⎪⎨⎪+--=⎩，消去y p ，得2234(1)140p p m x m m x m +-+-= (*) ---------------7分将1m 代入方程(*)，成立，因此(*)有一根1p x m=,结合韦达定理得另一根为143p m x m -=，因为1m >,所以143p mx m-=<-1，舍去. 所以，1p x m=. -----------------------------------------------------8分 从而P 点坐标为(1m)，所以，直线2PF的斜率2PF k =，-------------------------------------9分由1M p x mx m m =+-=,得M(m所以，直线2MF的斜率2MF k =.--------------------10分因此，2MF 与2PF 斜率之和为零. ---------------------------------11分（3）由(2)知直线2PF 与2NF 关于x 轴对称，结合椭圆的对称性知点P 与点N 关于x 轴对称，故N (m 1,1m-212-m ), -----------------------------12分 因此，S=21⨯|F 1F 2|(|y M |+|y N |)=21⨯2(212-m +m 1212-m ) =212-m +2211m -，-----------14分 因为S 在()1,+∞上单调递增, ----------------------------------15分 所以,S的取值范围是)+∞.----------------------------------------------------16分21、解：（1）当2k ≥时，1211k k t t t t -=+++L ，----------------------------------------------------------------2分 1121k k t t t t +=+++L ，于是1k k k t t t +-=，即12k k t t +=，又2112,1t t t ==， ---------------------3分所以12k k t -=，故21122221k kk T -=++++=-L . ---------------4分（2）由12k k t -=得第8行中共有27=128个数，所以，第8行中的数超过73个，-------6分70773*******n T =+=-+=，-----7分从而，020073n a a a ==， 由26-1=63<73，27-1=127>73，所以，按上述顺序依次写下的第73个数应是第7行的第73-63=10个数，同上过程知7310a a ==2，--------------------------------------------------------9分 所以，02n a =.--------------------------------------------------------------10分（3）由于数表的前n 行共有21n -个数，于是，先计算21n S -.方法一：在前21n -个数中，共有1个n ，2个1n -，22个2n -，……，2n-k个k ，……，2n-1个1， ---------------------------------------------------12分因此21n S -=n ×1+(n-1)×2+…+ k ×2n-k+…+2×2n-2+1×2n-1则2×21n S -=n ×2+(n-1)×22+…+ k ×2n-k+1+…+2×2n-1+1×2n两式相减，得21n S -=n -+2+22+…+2n-1+2n＝2n+1-n-2. ------------15分方法二：由此数表构成的过程知，121212n n S S n ---=+，---------------12分 则21n S -+n+2=2(121n S --+n+1)，即数列{21n S -+n+2}是以S 1+1+2=4为首项，2为公比的等比数列,所以21n S -+n+2＝4×2n-1，即21n S -=2n+1-n-2. ------------------------------15分S 2017=1021S -+S 994-----------------------------------------------------------------16分=1021S -+921S -+S 483=1021S -+921S -+821S -+S 228＝1021S -+921S -+821S -+721S -+S 101=1021S -+921S -+821S -+721S -+621S -+S 38 =1021S -+921S -+821S -+721S -+621S -+521S -+S 7=(211-12)+(210-11)+(29-10)+(28-9)+(27-8)+(26-7)+(24-5) =3986.------------------------------------------------------------------------18分。
上海市徐汇区2020届高三二模数学卷(含答案)
1 俯视图
A. 2 5 5
B. 2 5 5
C. 5 5
D. 5 5
16．若数列
an
, bn
的通项公式分别为 an
1 n2020 a ， bn 2
1 n2019 n
，且 an
bn 对任意 n N 恒成立，
则实数 a 的取值范围为（ ）
A. 2,1
B.
2,
3 2
C.
记为 mn . 设 bn ni M n mn ，当正整数 n 满足 3 n 2020 时，比较 bn 与 bn1 的大小，并求出 bn 的最大值．
参考答案及评分标准
一． 填空题：（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分
2020.本大题共有 5 题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17．（本题满分 14 分，第（1）小题 6 分，第（2）小题 8 分）
如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PA 底面 ABCD ， E 是 PC 的中点，已知 AB 2 ，
（2）[解法一]如图所示，以 A 点为原点， AB、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴
建立空间直角坐标系，
则 B(2, 0, 0)，C(2, 2 2 ,0)，E(1, 2 , 1)，-------8
z
分
AE (1, 2, 1) ， BC (0, 2 2, 0) .-----------10
P
分
设 AE 与 BC 的夹角为，则
11．如图为某街区道路示意图，图中的实线为道路，每段道路旁的数字表示单向通
过此段道路时会遇见的行人人数，在防控新冠肺炎疫情期间，某人需要从 A 点由图
2020年上海市徐汇区高考数学二模试卷(有答案解析)
2020年上海市徐汇区高考数学二模试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.满足条件|z-i|=|3+4i|（i是虚数单位）的复数z在复平面上对应的点的轨迹是（）A. 直线B. 圆C. 椭圆D. 双曲线2.设n∈N*，则“数列{a n}为等比数列”是“数列{a n}满足a n•a n+3=a n+1•a n+2”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件3.已知直线l1：4x-3y+6=0和直线l2：x=-1，则抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A. B. C. 2 D.4.设f（x）是定义在R上的函数，若存在两个不等实数x1，x2∈R，使得f（）=，则称函数f（x）具有性质P，那么下列函数：①f（x）=；②f（x）=x3；③f（x）=|x2-1|；④f（x）=x2；不具有性质P的函数为（）A. ①B. ②C. ③D. ④二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.设全集U=R．若集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，则Α∩∁UΒ=______．6.已知点（2，5）在函数f（x）=1+a x（a＞0且a≠1）的图象上，则f（x）的反函数f-1（x）=______．7.不等式＞1的解为______．8.已知球的主视图所表示图形的面积为9π，则该球的体积是______．9.函数f（x）=在区间[0，]上的最小值为______．10.若2+i（i是虚数单位）是关于x的实系数方程x2+mx+n=0的一个根，则圆锥曲线=1的焦距是______．11.设无穷等比数列{a n}的公比为q，若{a n}的各项和等于q，则首项a1的取值范围是______．12.已知点O（0，0），A（2，0），B（1，-2），P是曲线y=上一个动点，则的取值范围是______．13.甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队在每局赢的概率都是0.5，则甲队获得冠军的概率为______（结果用数值表示）14.已知函数f（x）=x+-1，若存在x1，x2，…，x n∈[，4]使得f（x1）+f（x2）+…f（x n-1）=f（x n），则正整数n的最大值是______．15.在平面直角坐标系中，设点O（0，0），A（3，），点P（x，y）的坐标满足，则在上的投影的取值范围是______．16.函数f（x）=sinωx（ω＞0）的图象与其对称轴在y轴右侧的交点从左到右依次记为A1，A2，A3……A n…在点列{A n}中存在三个不同的点A k，A t，A p，使得△A k A t A p是等腰直角三角形将满足上述条件的ω值从小到大组成的数列记为{ωn}，则ω2019=______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2cos2A+4cos（B+C）+3=0．（1）求角A的大小；（2）若a=，b+c=3，求b和c的值．18.如图：正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长为2，BC1与底面ABCD所成角的大小为arctan2，M是DD1的中点，N是BD上的一动点，设=（0＜λ＜1）（1）当λ=时，证明：MN与平面ABC1D1平行；（2）若点N到平面BCM的距离为d，试用λ表示d，并求出d的取值范围．19.2018年世界人工智能大会已于2018年9月在上海徐汇西岸举行，某高校的志愿者服务小组受大会展示项目的启发，会后决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏，如图：A、B两个信号源相距10米，O是AB的中点，过O点的直线l与直线AB的夹角为45°，机器猫在直线l上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到A点的信号比接收到B点的信号晚秒（注：信号每秒传播v0米）．在时刻t0时，测得机器鼠距离O点为4米．（1）以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系（如图），求时刻t0时机器鼠所在位置的坐标；（2）游戏设定：机器鼠在距离直线l不超过1.5米的区域运动时，有“被抓”的风险．如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？20.对于项数为m（m≥3）的有穷数列{a n}，若存在项数为m+1，公差为d的等差数列{b n}，使得b k＜a k＜b k+1，其中k=1，2，…，m，则称数列{a n}为“等差分割数列”．（1）判断数列{a n}：1，4，8，13是否为“等差分割数列”，并说明理由；（2）若数列{a n}的通项公式为a n=2n（n=1，2…，m），求证：当m≥5时，数列{a n}不是“等差分割数列”；（3）已知数列{a n}的通项公式为a n=4n+3（n=1，2，…，m），且数列{a n}为“等差分割数列”．若数列{b n}的首项b1=3，求数列{b n}的公差d的取值范围（用m表示）．21.已知函数y=f1（x），y=f2（x），定义函数f（x）=．（1）设函数f1（x）=，f2（x）=（）x-1（x≥0），求函数y=f（x）的值域；（2）设函数f1（x）=lg（|p-x|+1）（0，p为实常数），f2（x）=lg（0），当0＜x时，恒有f（x）=f1（x），求实常数p的取值范围；（3）设函数f1（x）=2|x|，f2（x）=3•2|x-p|，p为正常数，若关于x的方程f（x）=m （m为实常数）恰有三个不同的解，求p的取值范围及这三个解的和（用p表示）．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：因为|3+4i|=5，满足条件|z-i|=|3+4i|=5的复数z在复平面上对应点的轨迹是：圆心为（0，1），半径为5的圆．故选：B．利用复数的几何意义可直接得出|z-i|=|3+4i|中复数z在复平面上对应点的轨迹是圆．考查复数的几何意义及复数求模的公式．题型很基本．较全面考查了复数的运算与几何意义．2.答案：A解析：解：“数列{a n}为等比数列”，则==q，⇒数列{a n}满足a n•a n+3=a n+1•a n+2．反之不能推出，例如a n=0，故选：A．“数列{a n}为等比数列”，则==q，⇒数列{a n}满足a n•a n+3=a n+1•a n+2．反之不能推出，可以举出反例．本题考查了等比数列的定义、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3.答案：C解析：【分析】本题考查抛物线性质的应用，是中档题，解题时要熟练掌握抛物线的性质，注意等价转化思想的合理运用．由x=-1是抛物线y2=4x的准线，推导出点P到直线l1：4x-3y+6=0的距离和到直线l2：x=-1的距离之和的最小值．【解答】解：∵x=-1是抛物线y2=4x的准线，∴P到x=-1的距离等于PF，∵抛物线y2=4x的焦点F（1，0）∴过P作4x-3y+6=0垂线，和抛物线的交点就是P，∴点P到直线l1：4x-3y+6=0的距离和到直线l2：x=-1的距离之和的最小值就是F（1，0）到直线4x-3y+6=0距离，∴最小值=．故选：C．4.答案：D解析：解：①选择的两点关于原点对称即可，如图：（1）中的A，B，②同①，选择的两点关于原点对称即可，如图（2）,③如图，y=1与f（x）的交点，满足题意，④没有满足的点对，假设存在x1，x2∈R，使得f（）=，即（）2=得，x1=x2与x1≠x2矛盾，故④不存在，故选：D．根据条件分别进行判断即可．本题主要考查函数与方程的应用，结合条件，利用数形结合分别进行判断是解决本题的关键．5.答案：{1，4}解析：解：∵全集U=R，集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，∴（∁U B）={x|x＞3或x＜2}，∴A∩（∁U B）={1，4}，故答案为：{1，4}．本题考查集合的运算，由于两个集合已经化简，故直接运算得出答案即可．本题考查集合的交、并、补的混合运算，熟练掌握集合的交并补的运算规则是解本题的关键．本题考查了推理判断的能力．6.答案：log2（x-1）（x＞1）解析：解：由点（2，5）在函数f（x）=1+a x（a＞0且a≠1）的图象上，得2=1+a2，∵a＞0，∴a=2．则y=1+2x，∴2x=y-1，得x=log2（y-1），∴f（x）的反函数f-1（x）=log2（x-1）（x＞1）．故答案为：log2（x-1）（x＞1）．把点的坐标代入函数解析式，求得a，然后求解x，把x与y互换可得f（x）的反函数f-1（x）．本题考查函数的反函数的求法，是基础题．7.答案：（0，+∞）解析：解：根据题意，＞1⇒-1＞0⇒＞0，解可得x＞0，即不等式的解集为（0，+∞）；故答案为：（0，+∞）．根据题意，原不等式变形可得＞0，进而分析可得答案．本题考查分式不等式的解法，关键是对分式不等式的变形，属于基础题．8.答案：36π解析：解：πR2=9π，R=3，V==36π．故答案为36π．由圆面积得到半径，再由体积公式得体积．本题考查球的体积公式，属于简单题．9.答案：解析：解：函数f（x）==cos2x+sin x cosx==sin（2x+），∵2x+∈[，]，∴f（x）在区间[0，]上的最小值为f（x）min=f（）=sin=-sin=-．故答案为：-．求出函数f（x）=cos2x+sin x cosx=sin（2x+），由2x+∈[，]，能求出f（x）在区间[0，]上的最小值．本题考查函数的最小值的求法，考查二阶行列式、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.答案：6解析：解：2+i（i是虚数单位）是关于x的实系数方程x2+mx+n=0的一个根，则2-i也是方程的根，由韦达定理可得-m=2+i+2-i=4，解得m=-4，n=（2+i）（2-i）=5，所以双曲线方程为：．所以双曲线的焦距为：2=6．故答案为：6．利用实系数方程虚根成对定理，结合韦达定理求出m，n，然后求解椭圆的焦距即可．本题考查实系数方程虚根成对定理的应用，双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．11.答案：-2＜a1≤且a1≠0解析：解：∵无穷等比数列{a n}的各项和等于公比q，∴|q|＜1，且=q，∴a1=q（1-q）=-q2+q=-（q-）2+，由二次函数可知a1=-（q-）2+≤，又等比数列的项和公比均不为0，∴由二次函数区间的值域可得：首项a1的取值范围为：-2＜a1≤且a1≠0故答案为：-2＜a1≤且a1≠0由题意易得=q，可得a1=-（q-）2+，由二次函数和等比数列的性质可得．本题考查等比数列的各项和，涉及二次函数的最值，属基础题．12.答案：[-2，4]解析：【分析】利用已知条件设出P的坐标，利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数转化求解即可，属于一般题．本题考查向量的数量积的应用，椭圆参数方程的应用，考查两角和与差的三角函数，准确设出P的坐标是解题的关键．【解答】解：点O（0，0），A（2，0），B（1，-2），P是曲线y=上一个动点，设P（2cosθ，sinθ），θ∈[0，π]，则==4∈[-2，4]．故答案为：[-2，4]．13.答案：0.75解析：解：甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队在每局赢的概率都是0.5，则甲队获得冠军的概率为p=1-0.5×0.5=0.75．故答案为：0.75．利用对立事件、相互独立事件概率乘法公式直接求解．本题考查概率的求法，考查对立事件、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．14.答案：6解析：解：函数函数f（x）=x+-1的导数为f′（x）=1-=，可得f（x）在[，2]递减，在（2，4]递增，即有f（2）为最小值，且为3；最大值为f（）=，∴≥f（x n）=f（x1）+f（x2）+…f（x n-1）≥3（n-1），故正整数n的最大值是6．故答案为：6求得f（x）的导数，可得f（x）在[，2]递减，在（2，4]递增，求得f（x）的最值，即可得到所求n的最大值．本题考查对勾函数的单调性和最值求法，考查运算能力和推理能力，属于中档题．15.答案：[-3，3]解析：解：在上的投影：z==||•cos∠AOP=2cos∠AOP，∵∠AOP∈[，]，∴当∠AOP=时，z max=2cos=3，当∠AOP=时，z min=2cos=-3，∴z的取值范围是[-3，3]．∴故答案为：[-3，3]．先根据约束条件画出可行域，设z为在上的投影，再利用z的几何意义求范围，只需求出向量和的夹角的余弦值的取值范围即可，从而得到z值即可．本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础，纵观目标函数包括线性的与非线性，非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得规划问题得以深化．16.答案：π解析：解：由ωx=kπ+，得x=，k∈Z，由题意得x=，，，…，，即A1（，1），A2（，-1），A3（，1），A4（，-1）…，由△A1A2A3是等腰直角三角形，得=-1，即=-1，得ω1=，同理△A1A4A7是等腰直角三角形得=-1，得ω2=．同理△A1A6A11是等腰直角三角形得•=-1，得ω3=．……ωn=，则ω2019==π，故答案为：π由三角函数的对称性求出对应的对称轴，得对称轴对应的交点坐标，结合△A k A t A p是等腰直角三角形，归纳出满足条件的数列{ωn}，进行求解即可．本题主要考查三角函数对称性的应用，结合条件求出三角函数的对称轴以及结合等腰直角三角形归纳出{ωn}是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．17.答案：解：（1）∵2cos2A+4cos（B+C）+3=0,∴2（2cos2A-1）+4cos（π-A）+3=0，∴可得：4cos2A-4cos A+1=0，可得：（2cos A-1）2=0，∴解得：cos A=，∵A∈（0，π），∴A=．（2）由题意可得：b+c=3，可得：b=3-c，又由a2=b2+c2-2bc cos A，可得：（）2=（3-c）2+c2-2×，可得：c2-3c+2=0，解得：，或．解析：（1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得可得（2cos A-1）2=0，解得cos A的值，结合范围A∈（0，π），可求A的值．（2）由题意可得：b=3-c，进而利用余弦定理可求c2-3c+2=0，解方程可求c的值，进而可求b的值．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和方程思想，属于基础题．18.答案：（1）证明：连接BD1，由可知N为BD的中点，又M是DD1的中点，∴MN∥D1B，又MN⊄平面ABC1D1，BD1⊂平面ABC1D1，∴MN∥平面ABC1D1．（2）解：∵CC1⊥平面ABCD，∴∠C1BC为直线BC1与底面ABCD所成的角，即tan∠C1BC==2，∴CC1=2BC=4，以D为原点，以DA，DC，DD1为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示，则B（2，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），M（0，0，2），∴=（2，2，0），=（-2，0，0），=（-2，-2，2）．∴=λ=（2λ，2λ，0），即N（2λ，2λ，0），∴=（2λ，2λ，-2），设平面BCM的法向量为=（x，y，z），则，即，令y=1可得=（0，1，1），设MN与平面BCM所成的角为α，则sinα=|cos＜＞|=||=，∴N到平面BCM的距离d=|MN|sinα==（1-λ）．∵0＜λ＜1，∴0＜d＜．解析：（1）连接BD1，则MN∥D1B，故MN∥平面ABC1D1；（2）根据tan∠C1BC=2得CC1=4，建立空间坐标系，求出平面BCM的法向量，计算与的夹角正弦值得出d关于λ的表达式．本题考查了线面平行的判定，空间向量与空间距离的计算，属于中档题．19.答案：解：（1）设机器鼠位置为点P，由题意可得-=，即|PA|-|PB|=8＜10，可得P的轨迹为双曲线的右支，且2c=10，2a=8，即有c=5，a=4，b=3，则P的轨迹方程为-=1（x≥4），时刻t0时，|OP|=4，即P（4，0），可得机器鼠所在位置的坐标为（4，0）；（2）设直线l的平行线l1的方程为y=x+m，联立双曲线方程-=1（x≥4），可得7x2+32mx+16m2+144=0，即有△=（32m）2-28（16m2+144）=0，且x1+x2=-＞0，可得m=-，即l1：y=x-与双曲线的右支相切，切点即为双曲线右支上距离l最近的点，此时l与l1的距离为d==，即机器鼠距离l最小的距离为＞1.5，则机器鼠保持目前运动轨迹不变，没有“被抓”的风险．解析：本题考查双曲线在实际问题中的应用，考查直线和双曲线的位置关系，注意联立直线方程和双曲线方程，考查化简运算能力，属于中档题．（1）设机器鼠位置为点P，由双曲线的定义和方程可得P的轨迹和方程，及时刻t0时P的坐标；（2）设直线l的平行线l1的方程为y=x+m，联立双曲线方程，由判别式为0，解得m，再求平行线的距离，结合题意即可判断．20.答案：（1）解：由题意，可知：数列{b n}若存在，则b1＜1＜b2＜4＜b3＜8＜b4＜13＜b5，可令b1=0，d=3.5，则b1=0＜1＜b2=3.5＜4＜b3=7＜8＜b4=10.5＜13＜b5=14，即数列{a n}：1，4，8，13为“等差分割数列”；（2）证明：当m≥5时，假设存在项数为m+1，公差为d的等差数列{b n}，使得：b k＜a k＜b k+1，其中k=1，2，…，m．即满足：b1＜2＜b2＜4＜b3＜8＜b4＜16＜b5＜32＜b6＜……，由b6＞32，b1＜2⇒b6-b1=5d＞30⇒d＞6，又由2＜b2＜4，4＜b3＜8⇒0＜b3-b2=d＜6，矛盾，故不存在这样的等差数列{b n}，即数列{a n}不是“等差分割数列”；（3）解：由题意，可设等差数列{b n}通项公式为：b n=3+（n-1）d，则：b1=3＜a1=7＜b2=3+d＜a2=11＜b3=3+2d＜……＜b m=3+（m-1）d＜a m=4m+3＜b m+1=3+md，由b1=3，b2＞7⇒b2-b1=d＞4，又由b1=3，b m＜4m+3⇒b m-b1=（m-1）d＜4m，即d＜，则4＜d＜，此时，b k=3+（k-1）d＜3+（k-1），a k=4k+3，b k+1=3+kd＞3+4m（=1，2，…，m）．a k-b k=4k-（k-1）=≥0，b k+1-a k＞0，即b k＜a k＜b k+1，k=1，2，…，m恒成立．则公差d的取值范围为（4，）．解析：第（1）题要根据题意找出一个符合条件的等差数列{b n}，使得b1＜1＜b2＜4＜b3＜8＜b4＜13＜b5成立．可假设b1=0，d=3.5即可得到一个符合条件的等差数列{b n}；第（2）题可采用反证法证明，即假设存在项数为m+1，公差为d的等差数列{b n}满足条件，然后找出公差d的取值范围正好相反从而产生矛盾，则假设不成立，原命题成立；第（3）题可根据题意设等差数列{b n}通项公式为：b n=3+（n-1）d，然后根据b1=3，b2＞7以及b1=3，b m＜4m+3得出公差d的取值范围．本题第（1）题主要考查根据新定义构造一个等差数列；第（2）题主要考查反证法的应用以及对新定义的理解；第（2）题主要考查根据新定义求出公差d的取值范围．本题属较难题．21.答案：解：（l）注意到f1（1）=f2（1）=1，∵f1（x）=在[0，+∞）上单调递增，f2（x）=（）x-1在[0，+∞）上单调递减，∴当0≤x≤1时，f1（x）≤f2（x），此时f（x）=f1（x）=∈[0，1]，当x＞1时，f1（x）＞f2（x），此时f（x）=f2（x）=（）x-1∈（0，1），综上所述，函数y=f（x）的值域是[0，1]（2）由题意f1（x）≤f2（x），即lg（|p-x|+l）≤lg在0≤x≤恒成立，⇔|p-x|≤-1⇔1-≤x-p≤-1⇔在0＜x≤时恒成立，令g（x）=x+-1，（0＜x≤），h（x）=x-+1，（0＜x≤），问题等价为p≤g（x）min且p≥h（x）max，∵g（x）min=g（）=，h（x）max=h（）=-，故-≤p≤，（3）由题意f1（x）=，f2（x）=，其中p＞0，∴f1（x）＞0，f2（x）＞0，2p＞1，当x≤0时，==＜1，∴f1（x）≤f2（x），∴f（x）=f1（x）=2-x，假设2p≤3，则当0＜x≤p时，==•22-p≤≤1，∴f1（x）≤f2（x），∴f（x）=f1（x）=2x，当x＞p时，==，∴f1（x）≤f2（x），∴f（x）=f1（x）=2x，综上可知，f（x）=f1（x）=2|x|，此时f（x）在（-∞，0]上单调递减，则[0，+∞）上单调递增，这与方程f（x）=m恰有三个不同的解矛盾，不符合题意，故2p＞3，当0＜x≤p时，==•22x-p，由•22x-p≤1得x≤，∴f（x）=，当x＞p时，==＞1，f1（x）＞f2（x），∴f（x）=f2（x）=3•2x-p，则由此可知，p＞log23，f（x）=，故f（x）在（-∞，0]上单调递减，此时f（x）∈[1，+∞）f（x）在[0，]上单调递增，此时f（x）∈[1，]，f（x）在[，p]上单调递减，此时f（x）∈[3，]，f（x）在[p，+∞）上单调递增，此时f（x）∈[3，+∞），∵关于x的方程f（x）=m（m为实常数）恰有三个不同的解，∴m=3或m=，当m=3时，由f（x）=3得x=-log23或x=log23或x=p，三个解的和为p，]，当m=时，由f（x）=，得x=-或x=或x=，三个解的和为．解析：（1）根据f（x）的定义分别比较两个函数的大小即可（2）若当0＜x时，恒有f（x）=f1（x），等价为f1（x）≤f2（x）恒成立，利用参数分离法进行求解即可（3）讨论p的范围，结合f（x）的定义比较f1（x）与f2（x）的大小，结合方程根的个数，确定判断判断取值范围即可本题主要考查函数方程的综合应用，结合条件比较f1（x），f2（x）的大小是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，难度较大．。
2020上海高三数学二模汇编-排列组合与概率统计含答案
排列组合与概率统计一、排列组合1、【2020年徐汇区二模第11题】如图为某街区道路示意图，图中的实线为道路，每段道路旁的数字表示单向通过此段道路时会遇见的行人人数，在防控新冠肺炎疫情期间，某人需要从A 点由图中的道路到B 点，为避免人员聚集，此人选择了一条遇见的行人总人数最小的从A 到B 的行走线路，则此人从A 到B 遇见的行人总人数最小值是【答案：34解析：枚举比较，可知按如图方式行走，遇见行人最少。
】二、二项式定理、组合数运算2、【2020年长宁区二模第3题】()51x +的二项展开式的第三项的系数是 _______________． 【答案：10】3、【2020年嘉定区二模第4题】4. 在5(2)x -的二项展开式中，项的系数为【答案： 40 】4、【2020年青浦区二模第4题】若5(1)ax +的展开式中3x 的系数是80，则实数a 的值是__________．【答案：2】 5、【2020年徐汇区二模第7题】二项式52x x ⎛+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项等于 . 【答案：5 】6、【2020年松江区二模第5题】若的展开式中项的系数为，则实数= ． 8()x a +5x 56a【答案：1 】7、【2020年宝山区二模第8题】已知1()2n x x-的展开式的常数项为第6项，则常数项为 【答案：638- 】 8、【2020年崇明区二模第6题】241(2)x x +的展开式中含5x 项的系数是 （用数字作答）【答案：32】9、【2020年虹口区二模第7题】若25(ax的展开式中的常数项为52-，则实数a 的值为 【答案： 12-】10、【2020年闵行区二模第6题】在 81x ⎫⎪⎭的二项展开式中，常数项的值为 ． 【答案：28】11、【2020年浦东新区二模第7题】若二项式4(12)x +展开式的第4项的值为，则23lim()n n x x x x →∞+++⋅⋅⋅+= . 【答案：15】12、【2020年杨浦区二模第10题】设*n N ∈，若(2n +的二项展开式中，有理项的系数之和为29525，则n =【答案：10解析：(2n +的二项展开式中，有理项系数之和为02222n n nn C C -++⋅⋅⋅，无理项系数之和为113322n n n n C C --++⋅⋅⋅，作差即01122332222(21)1n n n n n n n n n C C C C ----+-+⋅⋅⋅=-=，∴当有理项的系数之和为29525，则无理项的系数之和为29524，即所有项系数之和为59049，令1x =，∴35904910n n =⇒=。