具有反馈控制和遗传效应的单种群模型的概周期解

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具有时滞和反馈控制的离散Leslie系统的概周期解

第15卷第1期2013年3月应用泛函分析学报A C T A A N A L Y S I S FU N C T I O N A L I S A PPL I C A T AV01．15，N o．1M ar．，2013D O I：10．3724／S P．J．1160．2013．00088文章编号：1009-1327(2013)01—0088-09具有时滞和反馈控制的离散Les l i e系统的概周期解鲁红英，于刚东北财经大学数学与数量经济学院，大连116025摘要：讨论了具有时滞和反馈控制的离散Les l i e概周期捕食与被捕食系统．利用差分不等式和通过构造适当的Lya punov函数，得到了系统持久性和全局吸引的充分条件．利用泛函概周期的壳理论，得到了系统存在唯—全局吸引概周期解的充分条件。

关键词：反馈控制；时滞；离散；L ya punov函数；概周期解中图分类号：0175．141引言文献标志码：A近年来，捕食与被捕食系统作为一种重要的生物学模型，得到了广泛的关注和研究(如文11-5]及其参考文献)．Lesl i e[1—2】提出如下的Les l i e捕食与被捕食系统X l(t)=xl(O[r l一6121(￡)]一al xl(t)x2(t)姒归以曲M—h器)]其中X l(t)是食饵种群在时刻t的密度，X2(t)是捕食者种群在时刻t的密度；食饵种群z1(￡)遵循l ogi s t i c增长，r1是食饵种群的内禀增长率，导是食饵种群的容纳量，r2是捕食者种群的内禀增长率，}为捕食者种群的容纳量，与食饵种群的大小成比例，h为食饵转化成捕食者的度量．系统(1)为自治系统，描述环境因素是常定的情况，然而，恒定的环境是不存在的，在自然界中有许多现象呈现周期变化，如季节变化，昼夜更替，食物增减等．因此，生物种群的生存环境是随时间而改变的．近年来，有许多学者对非自治周期离散系统进行了广泛的研究，得到了系统正周期解的存在性和全局吸引性(如文【4’5]及其参考文献)．H uo等【5】的提出了离散的Les l i e捕食与被捕食系统；T1(素+1)=z1(匙)exp[rl(老)一b,(k)zl(惫)一81(殆)z2(竞)】X2(忌+1)：X2(k)e xp k七)一n2(尼)粼l洋J 但由于环境随着季节呈现出非严格意义上的周期性变化，概周期性变化对描述自然界的变化规律更准确，因此建立概周期生态系统来研究种群动力学行为是更具有现实意义．而关于离散系统概周期解的研究，现在所做的工作还不是很多[6-8,10-11】．基于人与自然的协调发展和生态资源的可持续发展，具有反馈控制的两种群捕食与被捕食系统具有深远的意义，反馈控制将被越来越多的学者所瞩目[7-s】．本文主要目的是通过发展文献【6，9—12】的分析技术，研究如下具有时滞和反馈控制的离散Les l i e捕食与被捕食系统的概周期解的存在唯—性和全局吸引性：X l(凳+1)=X l(惫)exp[r l(k)一bl(k)x,(k一丁)一al(k)x2(k)一c1(七)缸1(％)lz2(南+1)=X2(忌)e xp r2(七)一。

一类具投放或收获的单种群模型正周期解的存在性

ＷＡＮＧＨｕ－ａｉｌｎ
（ｏｅｅｏｈｓｓａｄＭａｅａｉ，ａｈａＵｉｒｔＨｎｙｎ，ｕａ２０１ＣｌｇｌｆＰｙｉｎｔｍｔｓＮｎｕｎｖｓｙｅｇａｇＨｎｎ４１０）ｃｈｃｅｉ，
ＡｂｔａｔＢｅｍｅｏｓｆｏｎｉｅｃｅｒｅｔｅｅｉｔｎｅｏｏｉｖｅｉｄｃｓｌｔｎｆｒｉｇｅｓｃｅｄｅｔｔｃ — ｓｒｃ：ｙｔｔｄｉｃｄｎｅｄｇｅ，ｘｓｅｃｆｓｉｅｐｒｉｏｕｉｓｎｌ— ｐｉｓｈｈｏｃｈｐｔｏｏｏａｅｍｏｌｈｓｏｋｗｉｉｇｏａｖｓｎｓｂｉｈｄｉｉｐｐｒｈｏｄｔｎ＇ｃｎｉｅａｄｅｓｙｖｒｅ．ｎｒｒｅｔｇｉｅｔｌｅｔｓａｅ．ｅｃｎｉｏｓｌｏｃｓｎａｉｅｆｄｈｉｓａｓｎｈＴｉａｅｌｉｉＫｅｗｏｄ：ｐｓｔｅｐｒｉｏｕｉｎｔｐｏｉｅｒｅｓｃｉｇｏａｖｓｎｙｒｓｏｉｖｅｏｃｓｌｔ；ｌｇｃｄｇｅ；ｔｋｎｒｒｅｔｇｉｉｄｏｏｏｈｉ
文章编号：６２７１（０７）３０１— ３１７ — ００２００ — ０４０
一
类具投放或收获的单种群模型正周期解的存在性
王会兰
（华大学数理学院，湖南衡阳４１０）南２０１
摘
要：本文运用拓扑度理论中的重合度方法，到了一类具投放或收获的单种群模型正周期解的存在性得

多种群非线性竞争反馈控制模型的概周期解

ｔ（＋。 ∈ ０，。）ｔ（＋。 ∈ ０，ｃ）
（）ｚ（）ｂ一ａ（ｆ）％］ ≤ Ｅ７ｔｚ（），
式中 ≥ ｔ，一１２ … ，（）（）同）由（）。ｉ，，（３～９式．２式
（）３
．
在系统（）１中假设
型有全局吸引的概周期正解的充分条件．关键词：争系统；馈控制；周期解；局吸引；线性；ｙｐｎｖ函数竞反概全非Ｌａｕｏ分类号：中图）７．４（００ＭＲ）４５３Ｃ５９Ｄ２（Ｏ１５１２０３Ｋ１；４２；２５文献标志码：Ａ
摘要：究多种群非线性竞争反馈控制模型．过技巧性地引入一个变换，所研究系统的概周期解存在性问题研通将转化为新系统的概周期解的存在性问题．后利用微分方程不等式，通过构造适当的Ｌａｕｏ然并ｙｐｎｖ函数，得该模获
性和收敛性的结果可参考文献［］近十几年来，２．学者
们大量研究了单种群反馈控制模型和多种群Ｌｔａｏｋ－
Ｖｌｅｒ竞争反馈控制系统的周期正解和概周期正ｏｅｒａｔ
得在Ｒ上长为ｌ的任意区间内总有ｒＪ（＋ｒｚ使ｔ，）ｆ
２０年６０８月Ｊｎ２０ｕ．０８
文章编号：２３２２（０８０ — １２００５ — ３８２０）２０１ — ４

【国家自然科学基金】_周期解的存在性_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140730

科研热词推荐指数周期解 39 正周期解 11 概周期解 10 存在性 9 重合度 7 时滞 7 无穷时滞 6 泛函微分方程 5 差分方程 5 脉冲 4 渐近概周期解 4 全局吸引性 4 逐段常变量 3 稳定性 3 渐近概周期序列 3 扩散 3 偏差变元 3 临界点 3 中立型微分方程 3 不动点定理 3 liapunov函数 3 高阶liénard型方程 2 非线性 2 锥不动点定理 2 重合度理论 2 脉冲效应 2 脉冲微分方程 2 神经网络 2 环绕定理 2 持续生存 2 抛物型方程 2 微分方程 2 延拓定理 2 叠合度 2 变时滞 2 反问题 2 反周期解 2 全局渐近稳定 2 中立型 2 不动点 2 rayleigh方程 2 lyapunov函数 2 lotka-volterra系统 2 leray-schauder不动点定理 2 高阶差分方程 1 高阶中立型泛函微分方程 1 食物-种群系统 1 非自治捕食-被捕食系统 1 重合度拓展理论 1 重合度. 1 遥远概周期函数 1 退化时滞微分方程 1
53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106
科研热词周期解重合度时滞正周期解稳定性存在性微分方程脉冲概周期解时滞微分方程拓扑度周期边值问题反馈控制不动点定理 hopf分支重合度理论时间周期解差分方程多解性临界点 lyapunov函数 duffing方程零航速阶段结构捕食系统逐段常变量神经网络特征方程特征值渐近概周期解正解无扭周期解收获率捕食者-食饵系统捕食与被捕食扩散平衡点局部渐近稳定吕卡提方程反周期解分歧分布时滞全局指数稳定性先验估计中立型微分方程中立型不动点理论不动点 lotka-volterra系统 logistic模型 kdv方程 hopf分岔 aubry-mather集

一类n种群捕食竞争系统概周期解的全局稳定性

讨论一般的ｎ群捕食竞争系统扩散生态模型，中ｎ～种其ｍ类相互竞争的种群以另外ｍ类相互竞争的种群为食，且食饵种群可以在其ｍ个斑块之间扩散，ｎ— 而ｍ个捕食种群只限定在ｍ个斑块中的某一个内不能扩散；还考虑到捕食者的功能反应。许多文献考虑到同步扩散。ｊ基于上述情况，，下面考虑斑块间扩散不同步的情况，在文献［］４的基础上，到系统正概得
中图分类号：Ｐ８Ｔ１３文献标识码：Ａ文章编号：０６— ７７２１）２— １８— ３１０００（０１００４０
用数学模型的方法来研究种群生态学问题是常见的方法，由于具有扩散的种群模型周期解问题的结论较多，概周期现而象是一类比周期现象更普遍的现象，此研究概周期解问题的重要性不言而喻。因
引理２若系统（）足条件：ｃ１满
（ｚ６＞ ∑ ＋ ∑ ｃ，＝一；Ｈ）ＬＭＭｉ１，２ｍ（，６＋ｍ＞ ∑ 。，ｍ＋，，Ｈ） ∑。Ｌ。Ｌｌ… 。
其中：＝ｍｘｔＭ：；ａ｛，｝＝ｍｘａ｛，｝则系统（），１中各种群永久持续生存。定理１系统（）了满足条件（）一（），满足条件１除日还
１一，ｌ（，Ｙ ≤ｂＩ — ，中ａｒ和ｂｒ为连续、增的正定函数；）ａＩ，ｌ≤Ｖｔ）Ｉ，ＩＹＩ其ｌ（）（）递２ｌ（，ｌ）一Ｖｔ，２Ｊ｛一：ＪＩＹＪ｝＞０是 — 个常数；）Ｊｔ，Ｖ（，Ｙ）ｌ≤ ＪＪＩ一ｆ，Ｊ＋Ｙ —

复旦大学现代生物科学导论名词解释(再整理版)

现代生物科学导论名词解释糖酵解：细胞呼吸的第一阶段，是发生在细胞质基质中的可在无氧条件下将1分子葡萄糖降解为2分子丙酮酸并净产生2分子NADH(还原型辅酶I)和2分子ATP（三磷酸腺苷）的一系列反应。

柠檬酸循环（citric acid cycle，tricarboxylic acid cycle，TCA cycle）：也叫三羧酸循环，又叫做TCA循环，是由于该循环的第一个产物是柠檬酸，它含有三个羧基，故此得名。

乙酰辅酶A与草酰乙酸缩合成六碳三羧酸即柠檬酸，经过一系列代谢反应，乙酰基被彻底氧化，草酰乙酸得以再生的过程称为三羧酸循环。

即在有氧条件下，酵解产物丙酮酸被氧化分解成CO2和H2O,并以ATP形式贮备大量能量的代谢系统。

氧化磷酸化（呼吸链磷酸化）:代谢物在生物氧化电子传递过程中释放出的自由能用于合成ATP,这种氧化放能即NADH或FADH2将电子传递给O2的过程与ADP的磷酸化相偶联的过程称氧化磷酸化。

氧化磷酸化的过程需要氧气作为最终的电子受体，它是需氧生物合成ATP 的主要途径。

在线粒体内膜上进行。

电子传递链（electron transfer chain）：线粒体基质是呼吸底物氧化的场所，底物在这里氧化所产生的NADH和FADH2将质子和电子转移到内膜的载体上，经过一系列氢载体和电子载体的传递，最后传递给O2生成H2O。

这种由载体组成的电子传递系统称电子传递链, 因为其功能和呼吸作用直接相关，亦称为呼吸链。

由烟酰胺脱氢酶类、黄素蛋白类、铁硫蛋白、辅酶Q和细胞色素等五大载体组成底物水平磷酸化：代谢物脱氢后，分子内部能量重新分布，使无机磷酸酯化先形成一个高能中间代谢底物，直接将磷酸基团转移给ADP，促使ADP磷酸化生成ATP。

（柠檬酸循环中α-酮戊二酸→琥珀酸的过程伴性遗传：伴性遗传（sex－linked inheritance）是指在遗传过程中子代的部分性状由性染色体上的基因控制，这种由性染色体上的基因控制性状的遗传方式就称为伴性遗传，又称性连锁（遗传）或性环连.光合磷酸化:光照引起电子传递，并与磷酸化作用相偶联生成ATP的过程化学渗透学说：当线粒体内膜上的呼吸链进行电子传递时，线粒体基质中的H+被转移到线粒体内外膜之间，造成跨膜的质子梯度，质子顺梯度通过ATP合成酶返回到线粒体的基质中时ATP合成酶利用释放的能量将ADP磷酸化成ATP的过程。

生态学：种群及其基本特征

生态学：种群及其基本特征1、种群及其基本特征名词解释1、种群：是同一时期内一定空间中同种生物个体的集合，种群是物种存在的基本单位，是生物进化的基本单位，也是生物群落的基本组成单位。

2、种群生态学：研究种群的数量、分布以及种群与其栖息地环境中的非生物因素及其他生物群落之间的相互作用。

3、种群动态：研究种群数量在时间上和空间上的变动规律。

4、内分布型：组成种群的个体在其生活空间中的位置状态或布局，称为种群的内分布型，一般有均匀分布、随机分布和成群分布。

5、最大出生率：是指理想条件下中群内后代个体的出生率。

实际出生率：是一段时间内种群每个雌体实际的成功繁殖量。

特定年龄出生率：特定年龄组内每个雌体在单位时间内产生的后代数量。

6、最低死亡率：种群在最适环境下由于生理寿命而死亡造成的死亡率。

生态死亡率：种群在特定环境下的实际死亡率。

7、年龄锥体：是以不同宽度的横柱从上到下配置而成的图，横柱从上到下表示不同的年龄组，宽度表示各年龄组的个体数或各年龄组在种群中所占数量的百分比。

种群年龄结构是指不同年龄组的个体在种群内的比例和配置情况。

8、生命表：用来呈现和分析种群死亡过程的表，分为动态生命表和静态生命表。

静态生命表：根据某一特定时间对种群做一年龄结构的调查资料而编制的，称为静态生命表。

综合生命表：加入了mx栏，即同生群平均每存活个体在该年龄期内所产后代数，这样的生命表称为综合生命表。

9、同生群：动态生命表总结的是一组大约同时出生的个体从出生到死亡的命运，这样一组个体称为同生群，这样的研究叫做同生群分析。

10、生命期望：是种群中某一特定年龄的个体在未来所能存活的平均天数。

11、净增殖率（R0）：存活率lx与生殖率mx相乘，并累加起来，即得净增殖率。

12、K-因子分析：根据连续观察几年的生命表系列，我们就能看出在哪一时期，死亡率对种群大小的影响最大，从而可判断哪一个关键因子对死亡率ktotal的影响最大，这一技术称为K-因子分析。

单种群模型的研究方法

单种群模型的研究方法
单种群模型是数学模型中的一种，它用来描述一个种群在一定条件下的演化过程。

研究单种群模型的方法可以分为定性和定量两种。

定性方法主要是通过对模型方程的分析，了解其动力学特性和稳定性质。

其中，平衡分析法和线性稳定性分析法是常用的两种方法。

平衡分析法基于方程的平衡解求解，研究方程的平衡点的数量和稳定性。

线性稳定性分析法则是通过对方程进行线性化，研究线性化方程的本征值的符号和大小，来判断系统的稳定性。

定量方法则是通过计算机模拟和实验，使用数值方法求解模型方程，获得具体的数量预测结果。

其中，欧拉法、龙格-库塔法和四阶龙格-库塔法是经典的数值求解方法。

此外，还可以使用参数拟合方法，通过拟合模型的参数，来优化模型的预测效果。

总之，单种群模型的研究方法是多样的，需要根据具体的研究目的和问题选择适合的方法进行分析和求解。

- 1 -。

几类种群生态学模型动力学分析

摘要摘要本文利用常微分方程和泛函微分方程的相关理论，讨论了几类种群生态学模型的动力学性质.本文共由五章组成：第一章,介绍了本文的研究目的、意义以及本文的主要工作.第二章，研究了一类具有阶段结构的非自治捕食者—食饵系统和一类具Holling IV类功能反应的非自治捕食者—食饵系统，通过利用微分方程定性理论证明该系统在适当条件下是一致持久的；并且当系统是周期系统时，利用泛函分析的Brouwer 不动点定理和构造Lyapunov函数的方法，得到该系统周期正解唯一存在且全局渐近稳定的充分条件；对更具普遍意义的概周期现象，也得到了概周期正解存在且全局渐近稳定的充分条件.第三章，基于综合害虫管理策略，提出并研究了一类具有脉冲效应和Holling IV 类功能反应的捕食者—食饵系统，利用脉冲比较定理、Floquent乘子理论及微小扰动法，得到害虫灭绝周期解的局部渐近稳定性与系统持续生存的充分条件，所得结论为现实的害虫治理提供了可靠的策略依据.第四章，运用时滞微分方程的基本理论和脉冲微分方程的比较定理、周期解存在定理，研究了两类具有功能反应和一个固定脉冲时刻的时滞捕食者—食饵系统，得到了食饵灭绝周期解的全局吸引和系统持久的充分条件，也证明了系统所有解的一致完全有界，所得结论为现实的生物资源管理提供了可靠的策略依据，也丰富了脉冲时滞微分方程的理论.第五章，就全文进行了总结，指出了研究中还没有解决的问题，并对以后要研究的工作进行了展望.关键词:捕食者—食饵系统；一致持续生存；脉冲效应；灭绝性；全局吸引AbstractAbstractIn this thesis, dynamical behaviors of serveral types of population models in ecology are studied by using the theory of ordinary differential equation and functional differential equation. It is composed of five chapters.In Chapter 1, the goal, significance and the main works of this thesis are introduced.In Chapter 2, a predator-prey system with nonautonomous stage-structure and a nonautonomous predator-prey system with Holling IV functional response are studied. It is proved by differential equation qualitative theory that the system is persistent under proper conditions. Also, when the system is periodic, by using Brouwer fixed point theory and the way of constructing Lyapunov function, the sufficient conditions are obtained for the unique existence and global asymptotic stability of the periodic positive solution of the system. With respect to the general almost periodic system, we also obtain the sufficient conditions for the existence of general periodic positive solution as well as globally asymptotic stability．In Chapter 3，based on the strategy of integrated pest management, a predator-prey system with impulsive effect and Holling IV functional response is proposed and studied. By using impulsive comparison theorem, Floquent theory and small amplitude perturbation skill, the sufficient conditions for local asymptotic stability of pest-eradication periodic solution and permanence of the system are obtained.The results provide reliable tactical basis for the practical pest management.In Chapter 4，by using delay differential equation basic theory , comparison theorem and periodic solution existing theorem of impulsive differential equation, sufficient conditions which guarantee the global attractivity of prey-extinction periodic solution and permanence of the system are obtained. It is also proved that all solutions of the system are uniformly ultimately bounded.The obtained results provide reliable tactical basis for the practical biological resource management and enrich the theory of impulsive differential equation.In Chapter 5，we summarize the whole paper and point out the problems that are still unsolved in the research .Moreover, the future study is prospected.Key words: predator-prey system；uniform persistence；impulsive effect；extinction;global attractivity目录摘要 (I)Abstract (II)目录 (III)第一章绪论 (1)§1. 1引言 (1)§1. 2研究目的及意义 (2)§1. 3本文的主要工作 (3)第二章非自治捕食者-食饵系统 (4)§2. 1 引言 (4)§2. 2一类具有阶段结构的非自治捕食者-食饵系统的研究 (4)2. 2. 1预备知识 (5)2. 2. 2一致持久生存性 (5)2. 2. 3周期正解的存在唯一性和全局渐近稳定性 (6)2. 2. 4概周期正解的存在唯一性和全局渐近稳定性 (7)2. 2. 5小结 (9)§2. 3具Holling IV类功能反应的捕食者-食饵系统的研究 (9)2. 3. 1预备知识 (10)2. 3. 2一致持久性 (11)2. 3. 3周期正解的存在唯一性和全局渐近稳定性 (12)2. 3. 3结论 (13)第三章一类基于IPM策略的具有脉冲效应的捕食者-食饵系统 (14)§3. 1引言 (14)§3. 2具有脉冲效应和Holling IV类功能反应的捕食者-食饵系统分析 (14)3. 2. 1预备知识 (15)3. 2. 2灭绝性与持久生存性 (17)§3. 3本章小结 (22)第四章两类具时滞和脉冲作用的捕食者-食饵系统的动力学分析 (23)§4. 1引言 (23)§4. 2一类时滞脉冲捕食食饵-系统的全局吸引性和一致持久 (23)4. 2. 1预备知识 (24)4. 2. 2主要结果 (25)4. 2. 3小结 (29)§4. 3食饵具脉冲扰动与捕食者具连续收获的时滞捕食者-食饵系统的动力学行为 (30)4. 3. 1预备知识 (30)4. 3. 2主要结果 (31)4. 3. 3小结 (36)第五章总结与展望 (37)§5. 1 本文研究工作的总结 (37)§5. 2 对今后研究工作的展望 (37)参考文献 (38)致谢 (43)作者在攻读硕士期间主要研究成果 (44)第一章绪论§1. 1引言种群生态学是生物数学中的主要分支，在现实生活中发挥着越来越重要的作用. 种群生态学的研究主要通过建立符合生物发展规律的数学模型，然后利用相应的数学理论和方法对模型进行推理和求解，进而发现其演化规律.微分方程是研究种群生态学的重要理论和方法.人们利用微分方程建立生态数学模型来研究和解决生态学实际问题，并取得了巨大的成功[1-2].从单种群系统到多种群系统,从自治微分动力系统到非自治微分动力系统，从连续动力系统再到脉冲微分系统，生物动力系统经历了一个百年迅速发展的过程,所建立的数学模型越来越能真实确切地反映生命现象的本质及其发展过程.由于整个自然环境常随时间而改变，自治的生物模型无法刻画这一因素,而时变环境下非自治的生物系统能够更加准确的反映现实.因此非自治系统吸引了学者和专家的重视与兴趣并取得了大量的成果[3-7]，主要是研究系统的全局渐近稳定性、持久性、周期解的存在性等.脉冲微分方程作为20世纪末发展特别迅速的一个数学分支，是描述某些运动状态在固定或不固定时刻的快速变化或跳跃，它能更真实地反映自然界中一些瞬时突变的现象.在种群动力学中，很多自然现象或因素都需要用脉冲微分方程来描述才能更加真实的反映自然界事物变化规律，因此它比普通微分方程有更丰富的内容和性质.目前，脉冲微分方程在生物种群中的研究应用主要集中在脉冲发生在固定时刻的情况，对食饵-捕食者系统的研究结果较多.§1. 2研究目的及意义§1.2.1 非自治捕食者—食饵系统在自然界中，捕食现象是普遍存在的，所以对捕食模型的研究显得尤为重要.通过研究捕食模型的稳定性、持久性来解释和预测种群的发展趋势，这对于保持良好的生态平衡，保护生物种群的多样性，维持生态系统的可持续发展有着重要的指导意义.因此，捕食者与食饵之间的相互作用关系一直以来都是生物数学界与生态学界的一个重要的研究课题.在经典的微分系统中，总是假设系统的参数是不随时间的变化而变化的，即通常考虑的是自治系统的情形，这时我们通常研究系统平衡点的性态或极限环周围解的性质.一般来说，在环境不发生巨大的变化，不进行人为的破坏，生态系统的发展过程分布比较均匀，把系统的参数看做是常数有一定的合理性，并且有利于人们建立、分析与研究生态模型.然而，在现实世界中，很多生物种群的增长经常会受到很多自然因素的影响，如季节的影响、生存空间、食物供给的丰富性、种群的交配与生殖等，从而产生波动.也就是说，模型的有关参数往往是与时间有关的，所以研究非自治的捕食者—食饵系统具有重要的实际生物意义.但其不足之处有：(1)考虑环境及种群干扰因素过于简单；(2)对于多种群生物系统,没有较完善的数值模拟的方式从图形上来说明；(3)对于非自治生物系统考虑具有Holling IV功能、避难所和干扰常数的研究很少.对于非自治系统的研究完全可以考虑多种外界因素的干扰[8],以便使模型更贴近现实，达到更合理保护或控制生物.自然界中有很多现象呈现周期性的变化，如气候、昼夜更替、季节变化等，因此生物的生存环境是随时间而周期改变的.近些年来，很多学者对非自治周期系统进行了大量的研究，得到了周期正解和概周期解的存在唯一性和全局渐近稳定性.§1.2.2脉冲微分方程近年来，人们发现自然界中许多实际现象的发展过程并不是连续的，即系统受到一个短时间的外部作用，尽管这个短暂的干扰时间同整个发展过程相比较可以忽略不计，但是它可以改变系统的状态，导致物种的数量突变，若用连续动力系统去描述这些行为，则必定会与实际相差很大，因此不能单纯地用差分方程或微分方程来处理.而脉冲微分方程为研究这种在一个阶段是连续发展，而在一些时间点上是脉冲式的瞬间干扰行为提供了有力的工具，它能恰当的描述连续与脉冲相结合的自然现象.生物种群系统的许多自然现象和人为干预因素都需要用脉冲微分方程来描述.如：生育脉冲[9-10]，物种的迁徙，接种疫苗，生态环境的剧变对种群的影响.在渔业生产中，鱼苗的放养和成鱼的收获是周期性地发生而且是短时间完成的[11]. 在农业生产中，人们经常利用定期投放天敌和喷洒杀虫剂结合起来去控制害虫，即害虫的综合管理策略[12]. 投放天敌和喷洒杀虫剂是瞬时的、不连续的脉冲行为.在微生物培养中，培养基的脉冲输入[13-14].脉冲微分方程是在常微分方程的基础上发展起来的，其突出的特点是能充分考虑到瞬间变化对状态的影响，能够更合理、更精确地反映事物的变化规律.因此，许多学者对脉冲微分方程理论做了广泛而深入的研究.如文献[15]研究了时滞脉冲微分方程解的存在性、可微性与延拓性，文献[16]研究了脉冲微分方程系统的稳定性, 文献[17]研究了解的振动性, 等等.脉冲微分方程是非线性微分系统的一个分支.脉冲微分方程的研究始于20世纪60年代，近三十年来，脉冲微分方程的理论和方法得到了迅速发展[18-19]，已形成一个比较完整的学术体系，被广泛地应用于生物控制、传染病动力学、种群动力学、药物动力学、分子学、遗传学及生物控制论等方面.其代表成果有：癌细胞的化疗[20],脉冲收获[21], 种群生态学[22], 脉冲控制[23-24], 等等.尽管很多学者为脉冲微分方程在各领域的应用做了广泛的研究，但脉冲微分方程在种群动力学和传染病动力学的应用研究中，尚存在某些研究的空白.脉冲微分方程的定性理论尤其是状态依赖的脉冲微分方程的定性理论还处在起步阶段，脉冲自治系统的几何理论几乎是空白的.此外，脉冲从理论转入应用还有一定的困难，在应用方面，特别是在生命科学中的应用，还相对较少.而在最近十年，又不断地向时滞脉冲微分方程推进[25-26].脉冲种群系统与不含脉冲的种群动力系统相比，有着更加复杂的动力学性质.若同时考虑具有时滞和脉冲的种群系统，二者交织会影响解的性态，因此具有更加复杂的性质，其研究就更加困难，而且可供参考的文献不是很多，但这类种群模型是大量存在的，所以研究这类种群模型具有很重要的实际意义和很好的发展前景.§1.3 本文的主要工作本文运用微分方程定性理论、脉冲比较定理、Floquent乘子理论等方法，研究了非自治动力系统和脉冲微分系统的动力学性质，具体如下：第二章，分为两个部分，利用微分方程定性理论、泛函分析的Brouwer不动点定理和构造Lyapunov泛函的方法，讨论了一类食饵具有阶段结构的非自治捕食者—食饵系统和一类具Holling IV类功能反应的非自治捕食者—食饵系统，证明该系统在适当条件下是一致持久的，并且当系数分别为周期函数、概周期函数时，得到了该系统周期正解与概周期正解唯一存在且全局渐近稳定的充分条件.第三章，以农业生产中的害虫治理为背景，利用脉冲比较定理、Floquent乘子理论及分析的方法，建立并讨论了一类在固定时刻具有脉冲效应和Holling IV类功能反应的捕食者—食饵系统，得到了系统的一致最终有界性，并给出食饵灭绝周期解的局部渐近稳定性与系统持续生存的充分条件，所得结论为现实的害虫治理提供了可靠的策略依据.第四章，分为两个部分，分别对两类时滞脉冲微分系统作了讨论.运用时滞泛函微分方程的基本理论和脉冲微分方程的比较定理、周期解存在定理，得到了系统食饵、捕食者灭绝周期解的全局吸引和系统持久的充分条件，也证明了系统所有解的一致完全有界，所得的结论为现实的生物资源管理提供了可靠的策略依据，也丰富了脉冲时滞微分方程的理论.第二章非自治捕食者—食饵系统§2. 1 引言捕食者—食饵系统是生态学中一类非常重要的种群系统,许多学者对它进行广泛而深入的研究，并取得了大量的成果[27-33].在自然界中，种群在其成长发育的不同阶段，会表现各种不同的特征，而且其各项生理机能差别较大，如捕食能力，竞争能力，扩散率等等.因此，研究具有阶段结构的捕食模型具有很重要的现实意义，文[27-28]究了具有阶段结构的自治捕食系统.相比自治的微分方程而言，时变的微分系统[29-31]真实地描绘现实世界，比如：如果考虑气候改变，食物来源结构改变等环境因素的变化，自治的生物模型无法刻画这一因素，而时变微分系统能发挥着重要的作用，能够更加准确地描述现实的生命科学体系.由于季节的周期变化,生物的生存环境的周期变化,从而生物的一些习性,如体温、交配等也表现为周期性.这种周期性往往会影响种群的数量,并且可能导致一些周期性结果.因此,考虑时变环境下系统的参数,如内禀增长率、种群间的竞争系数、种群内的竞争系数等，为周期变化的是符合实际的.此外,在研究自然现象和社会现象中,我们考虑种群和环境、种群和种群之间等等的因素（如功能反应函数、种群干扰现象和阶段结构等等）是各异的.因此对时变环境下的非自治系统进行详细的研究不仅仅理论上的必要性而且还有重要的现实性.本章讨论了一类具有阶段结构的非自治捕食者—食饵系统和一类具Holling IV 类功能反应的非自治捕食者—食饵系统，通过利用微分方程定性理论、泛函分析的Brouwer 不动点定理和构造Lyapunov 函数的方法，对系统的一致持续生存性、周期正解的存在唯一性和渐近稳定性、概周期正解的存在唯一和全局渐近稳定性进行研究，得到出现各种动力学性质的充分条件.§2. 2 一类具有阶段结构的非自治捕食者—食饵系统的研究文[29]中考虑了如下的系统：1112222333()()()x x a b x c y yy a b x c y d z z z a b y c z =--⎧⎪=+--⎨⎪=-+-⎩ ，，，通过利用代数方程、Hurwitz 判别法则，得到了该系统平衡点的存在性、稳定性等相关的结论.本节在文[29]基础上假设环境随时间是周期或概周期变化下,针对食饵的年龄结构，把被捕食群体区分为成年群体和幼年群体，考虑到它们在系统中的不同作用，建立一类非自治具有阶段结构的捕食-被捕食模型.具体模型如下：1112222333()()(()()()()())()()(()()()()()()())()()(()()()()()).x t x t a t b t x t c t y t yt y t a t b t x t c t y t d t z t z t z t a t b t y t c t z t =--⎧⎪=+--⎨⎪=-+-⎩ ，， (2-2-1) 其中()x t ，()y t 1()a t 12(),(c 分别为幼年食饵和成年食饵在t 时刻的密度，为捕食者种群在t 时刻的密度.，分别为食饵幼体和成体的内禀增长率，为捕食者种群的死亡率.为种内密度制约因素，()z t 3(a t ()()t y t 2()a t 3),()c t )b t t 1()c t x -，，，表示种群间的相互作用. 2()()b t x t y =1,2,3),2d ()t ()t 2-()()d t y ()z t t 3()b t y ()()t z t (),a t b (),i i i t c ()t (i 是[0上连续的严格正函数，并且满足,)+∞2min{,,,}0L L L L i i i a b c d >，2max{,,,}M M M M i i i a b c d <+∞，()1,2,3i =，对于一个连续有界函数，记()h t inf{():}L h h t t R +=∈，.sup{():}M h h t t +=∈R §2.2.1 预备知识引理2.2.1[30]设是非负可微函数，若()g t (),g t M M '<为一正常数，且0(),g t dt +∞<+∞⎰则.lim ()0t g t →+∞=引理2.2.2（Brouwer 不动点定理）设n R 是维欧几里德空间，是n A n R 的一个有界凸集，f 是A A →的一个连续映射，那么必有x A ∈，使得()f x x =.定义 2.2.1[34] 系统(2-2-1)是一致持续生存的是指：如果存在正常数和m M ，使得对于系统(2-2-1)的任何正解()((),(),())X t x t y t z t =都存在T ，当t 时有，即. 0>T ≥()m X t M ≤≤lim inf m X →∞()lim sup ()t t t X t →∞≤≤M ≤§2.2.2 一致持续生存性由于一致持久性对于生物系统而言可以解释为种群最终不会消亡，因此对生物系统一致持久性的研究具有特别重要的意义，下面我们给出系统(2-2-1)的一致持久性结果.定理2.2.1 3R +=(){}(),(),()()0,()0,()0x t y t z t x t y t z t >>>是系统(2-2-1)的正向不变集. 证明对于任意和([0,)t ∈+∞(0),(0),(0))x y z 3R +∈，1110()(0)exp{[()()()()()]}0,t x t x a s b s x s c s y s ds =--⎰>>> 22220()(0)exp{[()()()()()()()]}0,ty t y a s b s x s c s y s d s z s ds =+--⎰ . 3330()(0)exp{[()()()()()]}0tz t z a s b s y s c s z s ds =-+-⎰故3R +是系统(2-2-1)的正向不变集..定理2.2.2 若系统(2-2-1)的系数满足条件110L M a c H ->，，22120L L M a b m d H +->3320M L a b m -+>, (2-2-2)则123{((),(),())|(),(),()}x t y t z t m x t H m y t H m z t H Ω=≤≤≤≤≤≤是系统(2-2-1)的最终有界区域，其中：第二章非自治捕食者—食饵系统1111L M M a c H m b -=1ε-，2212222L L M M a b m d H m c ε+-=-，332333M L M a b m m c ε-+=-，(1,2,3i i )ε= 是任意小的正数.证明考虑函数，则有123()()()()s t w x t w y t w z t =++()()st s t λ+= 1111122222(()()())()(()()())(w a t w w b t x t x t w a t w c t y t w y )t λλ+-+-+ 333331122(()()())()(()())()()w a t w w c t z t z t w c t w b t x t y t λ+-+-+-+2233(()())()()w d t w b t y t z t +-+. (2-2-3)令111()()k t w a t w 1λ=+，222()()k t w a t w 2λ=+，333()()k t w a t w 3λ=-+．选取3M a λ>，使 ()0i k t >(1,2,3i =)代入(2-2-3)有111222()()(()()())()(()()())()st s t k t w b t x t x t k t w c t y t y t λ+=-+- +3331122(()()())()(()())()()k t w c t z t z t w c t w b t x t y t -+-+2233(()())()()w d t w b t y t z t +-+，在上式中令2112()()()b t w t c t =，，21w =233()()2()d t w t b t =，选取t 使，，则有 11w ≥21w ≥111222333()()(()()())()(()()())()(()()())()st s t k t w b t x t x t k t w c t y t y t k t w c t z t z t λ+≤-+-+- =2112212()()()())()(()()())()()b t b t k t x t x t k t c t y t y t c t -+-(2333()()(()())()2()d t c t k t z t z t b t +-. 由于上面不等式的右端所有的二次项系数均为负的，所以存在常数，使得0k > ()()st s t k λ+≤ ，即 ()(())k s t s t λλ≤- ，从而有lim sup ()t k s t λ→∞≤　. 因此，对任给小的0ε>，存在T ，当时，有1t T >()k s t ελ≤+. 令,kH ελ=+当时，有 1t T >()x t H ≤，()y t H ≤，()z t H ≤.另外，由系统(2-2-1)中第一个方程，有111111()()(()()()()())()(())L M M xt x t a t b t x t c t y t x t a b x t c H =--≥-- ，所以 111lim inf ()L M M t a c H x t b α→∞-≥=. 因此，对任给10εα<<，存在，当时，有2T T >12t T >1()x t αε≥-.令11m αε=-，当时，有 2t T >1()x t m ≥. (2-2-4)同理可证：存在和，当，有 20m >3T T >23t T >2()y t m ≥ . (2-2-5)存在和，当，有 . (2-2-6)30m >4T T >34t T >3()z t m ≥综合式(2-2-4)、(2-2-5)和(2-2-6)可得，当时，有4t T ≥()(),(),()x t y t z t ∈Ω.因此，Ω是系统(2-2-1)的最终有界区域.定理2.2.3 若条件(2-2-2)成立，则系统(2-2-1)是一致持续生存.证明由定理2.2.2易得结论.§2.2.3 周期正解的存在唯一性和全局渐近稳定性设是[02(),(),(),()(1,2,3)i i i a t b t c t d t i =,)+∞上连续和严格正的ω周期函数，且有上下界，则系统(2-2-1)是一个ω周期系统.定理2.2.4 若条件(2-2-2)成立，且系统(2-2-1)还满足111122233332()2()()()0,()0,()()2()()0a t m b t c t m b t c t a t b t H c t m d t -++->>-++>，(2-2-7) 则系统(2-2-1)有唯一的全局渐近稳定的ω周期正解.证明 {}123((),(),())|(),(),()x t y t z t m x t H m y t H m z t H Ω=≤≤≤≤≤≤为有界闭凸集，且为系统(2-2-1)的正不变集，定义Poincare 映射3:A R R 3++→，使得 00()(,)A x x x ω=， 03x R +∈，则A 映射到自身，即. 由解对初值的连续依赖性可得Ω()A Ω⊂ΩA 连续.由Brouwer 不动点定理，在Ω中映射A 至少存在一个不动点，相应地系统(2-2-1)至少存在一个严格正的ω周期解.设1111()((),(),())p t x t y t z t =是系统(2-2-1)的ω周期正解，()((),(),())p t x t y t z t =是系统(2-2-1)任意一具有正初值的解，构造Lyapunov 函数：111()()()ln ()ln ()()()v t x t x t y t y t z t z t =-+-+-，则 11()(()()ln ()ln ()()())D v t D x t x t y t y t z t z t ++=-+-+-111(()())(ln ()ln ())(()())D x t x t D y t y t D z t z t +++≤-+-+-1=11(()())sgn(()())x t x t x t x t -- +111()()(()())()()yt y t y t y t y t y t -- +. 11(()())sgn(()())zt z t z t z t -- 由11(()())sgn(()())xt x t x t x t -- 1sgn(()())x t x t =-11[()(()())a t x t x t -2211()(()())b t x t x t --11()(()()()())]c t x t y t x t y t --111= 11()(()())sgn(()())a t x t x t x t x t --12211()(()())sgn(()())b t x t x t x t x t ---111()(()()()())sgn(()())c t x t y t x t y t x t x t ---11111()()()()(()())(()())sgn(()())a t x t x t b t x t x t x t x t x t x t ≤---+-11111()(()()()())sgn(()())c t x t y t x t y t x t x t ---1111112()()()2()()()()()()a t x t x t m b t x t x t c t m x t x t ≤-----1，同理可证: 111()()(()())()()y t y t y t y t y t y t -- 21212()()()()()()()()()b t x t x t c t y t y t d t z t z t ≤---+-1， 11(()())sgn(()())zt z t z t z t -- 313133()()()()()()2()()()a t z t z t b t H z t z t c t m z t z t ≤--+---1 所以 1111221()(()2()()())()()D v t a t m b t c t m b t x t x t +≤--+-+2133332(())()()(()()2()())()()c t y t y t a t b t H c t m d t z t z t --+-+-+-1t .令， 111122233332min{()2()()(),(),()()2()()}a a t m b t c t m b t c t a t b t H c t m d =-++--+-由11()(()()()()()())D v t a x t x t y t y t z t z t +≤--+-+-1，得111()()(()()()()()()s 0tT v t v T a x s x s y s y s z s z s d -+-+-+-≤⎰），111()(()()()()()())tTv T x s x s y s y s z s z s ds a-+-+-≤<⎰∞. 则有1lim ()()0t x t x t →∞-=，1lim (t)()0t y y t →∞-=，1lim ()()0t z t z t →∞-=.这说明系统(2-2-1)的ω周期正解是全局渐近稳定的，从而也说明了周期解的唯一性.§2.2.4 概周期正解的存在唯一性和全局渐近稳定性概周期现象以周期现象作为它的特例，在生态学中更具有实际意义，设，是(),(),()i i i a t b t c t (123i =，，)2()d t [)0+∞，上连续的严格正概周期函数，于是得到如下的概周期系统：1112222333()()(()()()()())()()(()()()()()()())()()(()()()()())(0)0,(0)0,(0)0.x t x t a t b t x t c t y t yt y t a t b t x t c t y t d t z t z t z t a t b t y t c t z t x y z =--⎧⎪=+--⎪⎨=+-⎪⎪>>>⎩ ,,-, (2-2-8) 考虑系统 (,)xf t x = ，(,)(,)n f t x C R D R ∈⨯， (2-2-9) 其中是D n R 的一个开集，(,)f t x 是关于t 对n x R ∈上是一致概周期的，对式(2-2-9)的伴随系统(,),(,)x f t x y f t y == . (2-2-10) 引理设存在定义在[上的Lyapunov 函数，满足[35]2.2.3)0,D D +∞⨯⨯(,,)V t x y ()()(,,)(),i a x y V t x y b x y -≤≤-其中和是连续、递增的正定函数； ()a r ()b r 11221212()(,,)(,,){},0ii V t x y V t x y k x x y y k -≤-+->是一个常数；()(,,)iii D V cV t x y +≤-00t t ≥≥S ⊂，这里是一个常数，并且设系统(2-2-9)有一个解，对一切落在紧集内，则系统(2-2-9)在中有唯一概周期解，且此解在上一致渐近稳定.0c >D S D 定理2.2.5 若系统(2-2-8)满足条件(2-2-2)和(2-2-7)，则概周期系统(2-2-8)存在唯一且全局渐近稳定的概周期正解.证明由定理2.2.2和定理2.2.3知，系统(2-2-8)是一致持续生存的，为这个一致持续生存域，显然Ω是紧集，考虑系统(2-2-8)的伴随系统： Ω11111111122121211133131111()()(()()()()()),()()(()()()()()()()),()()(()()()()()),(0)0,(0)0,(0)0.x t x t a t b t x t c t y t yt y t a t b t x t c t y t d t z t z t z t a t b t y t c t z t x y z =--⎧⎪=+--⎪⎨=-+-⎪⎪>>>⎩ ，1111()((),(),())P t x t y t z t =11111111122121211133131111()()(()()()()()),()()(()()()()()()()),()()(()()()()()),(0)0,(0)0,(0)0.ut u t a t b t u t c t v t vt v t a t b t u t c t v t d t w t w t w t a t b t v t c t w t u v w =--⎧⎪=+--⎪⎨=-+-⎪⎪>>>⎩ .1111()((),(),())Q t u t v t w t =在上定义Lyapunov 函数：[0,)+∞⨯Ω⨯Ω 11111111(,,)()()()()()()V P Q x t u t y t v t z t w t τ=-+-+-.取111111()()()()()()()()a r b r x t u t y t v t z t w t ==-+-+-，则为连续递增的正定函数，所以满足引理的条件.(),()a r b r ()V t 2.2.3()i 设是系统(2-2-8)在[0上任意两个解，则有 22222222((),(),()),((),(),())P x t y t z t Q u t v t w t ,)+∞⨯Ω⨯Ω1122(,,)(,,)V t P Q V t P Q -=111111222222()()()()()()()()()()()()x t u t y t v t z t w t x t u t y t v t z t w t -+-+------- 121212121212()()()()()()()()()()()()x t x t y t y t z t z t u t u t v t v t w t w t ≤-+-+-+-+-+-1212P P Q Q =-+-.所以满足引理的条件.()V t 2.2.3()ii 与定理2.2.4的证明相类似，有下式成立：111111111()()()()()()()()()()D V t A t x t u t B t y t v t C t z t w t +≤------，其中111112212313332()()2()()(),()()(),()()2()()A t a t m b t c t m b t B t c t b t H C t a t c t m d t =-++-=-=++111min{(),(),()}0,r A t B t C t =>()()D v t rv t +≤-()V t ()iii .取则，所以满足引理2.2.3的条件，从而由引理2.2.3可知系统(2-2-8)在Ω中有唯一正概周期解，它在中是一致渐近稳定的.当满足条件(2-2-2)和(2-2-7)时，可知其具有唯一全局渐近稳定的概周期正解.Ω§2.2.5 小结本节研究了一类食饵具有阶段结构而捕食者不分阶段的捕食者-食饵系统，由定理 2.2.2与定理 2.2.3可知,当系统参数满足110L M a c H ->，，时,系统是一致持久生存的,也就是这时各物种能够长期共存下去,这对于保护物种的多样性有重要意义.而通过定理2.2.4与定理2.2.5的证明，我们得出了该系统周期正解与概周期正解的唯一存在性和全局渐近稳定性的充分条件.22120LL M a b m d H +->3320ML a b m -+>§2. 3 具Holling IV 类功能反应的非自治捕食者—食饵系统的研究研究捕食系统，特别是具有功能反应的捕食系统有着十分重要的现实生态意义，已被许多学者广泛研究[36-42].而对于形式较为复杂的Holling IV 类功能性的捕食系统的研究较少.文[43]中研究了一类具有Holling IV 类功能反应的自治系统：22012()1()1xy x x a bx cx wx x rxy y y h h y wx x ββ⎧=---⎪++⎪⎨⎪=--+⎪++⎩ ,. 讨论了该系统平衡点的全局稳定性、极限环的唯一存在性.但是由于自然界中各种因素如：食物、环境等会随时间发生改变，因此考虑模型的有关参数与时间有关更符合客观实际，本节在文[43]的基础上分析了一类具有Holling IV 类功能性的非自治系统，讨论了其动力学性质.本文具体模型如下：22012()()()()(()()()()()),1()()()()()()()()()(()()()).1()()()()x t y t x t x t a t b t x t c t x t w t x t t x t r t x t y t y t y t h t h t y t w t x t t x t ββ⎧=---⎪++⎪⎨⎪=--+⎪++⎩ (2-3-11) 其中()x t 表示食饵种群在时刻的密度，表示捕食者种群在t 时刻的密度，是食t ()y t ()a t 饵的内禀增长率，2()/(1()()()())x t w t x t t x β++()t t 为Holling IV 类功能反应函数，表示捕食率.为食饵种群转化为捕食者的转化率.表示食饵的密度制约项，h t 表示捕食者种群的死亡率.()r t ()2()()()()b t x t c t x t --(),(),(),(),a t b t c t r t 01()h t y +0(),(),(),w t t h t β1()h t 是[0上连续和严格正的有界函数，并且满足；,)+∞{}01min ,,,,,,,0,L L L L L L L L a b c r w h h β>{}01max ,,,,,,,M M M M M M M M a b c r w h h β<+∞对于一个连续有界函数()f t ，记{}sup ():M f f t t R +=∈，{}inf ():L f f t t R +=∈.§2.3.1 预备知识设{}2((),())()0,()0R x t y t x t y t +=>>，由生物学意义，只在区域2int R +内考虑系统(2-3-11)，对解((),())x t y t 只考虑其具有正初值的情况，即000()0,()0,0x t y t t >>≥. (2-3-12)引理2.3.1 2R +是系统(2-3-11)的正向不变集.证明由系统(2-3-11)得到：202()()()exp{[()()()()()]}01()()()()tt y s x t x t a s b s x s c s x s ds w s x s s x s β=---++⎰>， 00012()()()()exp{[()()()]}01()()()()t t r s x s y t y t h s h s y s ds w s x s s x s β=--+++⎰>>>. 当时，必有.因此系统(2-3-11)满足正初值的解可以保持恒正，故00()0,()0x t y t >2()0,()0x t y t >R +是系统(2-3-11)的正向不变集. 引理2.3.2 对系统(2-3-11)满足正初值条件(2-3-12)的解((),())x t y t ，若满足条件0(M L L r h w >+ ， (2-3-13)则集合2{((),())0(),0()}T x t y t R x t N y t M +=∈<≤<≤是系统(2-3-11)的最终有界集，其中*M L a N N b >=，*M M >=N *N 与、*M 与M 充分接近.证明设((),())x t y t 是系统(2-3-11)满足正初值条件(2-3-12)的解，从而2((),())x t y t R +∈，由系统(2-3-11)的第一个方程知()()(())M L xt x t a b x t ≤- ，于是有lim sup ()ML t a x t b→+∞≤*N N =<. (1)若0()x t N ≤，则对有0t t ≥()x t N ≤；(2)若0()x t >N ，则存在0ε>，当00[,]t t t ε∈+时有()x t N >.由已知条件知()(N N a >())0M L x t xt b N ≤- <，故存在，当时，有100T t ≥≥1t T ≥()x t N ≤. 再由系统(2-3-11)的第二个方程知：012()()()(()1()(M L LL L r x t y t y t h h y t w x t x t β≤--+++ )1()(()1()()ML L L L r y t h h y t x t w x t β≤--+++01()(()M L L y t h h y t ≤--+.则*lim sup ()t y t M →+∞≤=M <.与前面讨论相同，若0()y t M ≤，则对有0t t ≥()y t M ≤；否则，存在，当时，有200T t ≥≥2t T ≥()y t M ≤.令{}01max ,T T =2T ，当时，有0(0t T ≥),0()x t N y t M <≤<≤，故集合是系统(2-3-11)的最终有界集. T§2.3.2 一致持久性定理2.3.1 设条件(2-3-13)成立，若满足：0L a M ->， 0()L M M r h G w 0-+>， (2-3-14) 则212{((),())(),()}x t y t R m x t N m y t M +Ω=∈≤≤≤≤是系统(2-3-11)的正不变集和最终有界集，则系统(2-3-11)是一致持久的. 其中*11L M Ma M m mbc N -<=+，*0221()()L M M M M r h G w m m G w h -+<=+，并且和足够接近(1. i m *i m ,2)i =证明由引理2.3.2知，存在，对所有的，是系统(2-3-11)的最终有界集.于是，由系统(2-3-11)的第一个方程知00T >0t T ≥()[T ()()()]L M M xt x b c N x t -+ t a ≥-M ，则 *11lim inf ()0L M M t a M x t m m b c N→+∞-≥=>+>1. (1) 若0()x t m ≥，则对有0t t ≥1()x t m ≥；(2) 若0()1x t m <，则存在0ε>，当00[,]t t t ε∈+时有1()x t m <，由已知条件知 11()()[()]0L M M x t m xt m a M b c N m <≥--+> 10，故存在，当时，有 3T T ≥3t T ≥1()x t m ≥. 再根据系统(2-3-11)第二个方程知12()()()(()1()(L M M M M r x t y t y t h h y t w x t x t β≥--+++ )1()(()1()()LM M M M r y t h h y t x t w x t β≥--+++令1()()()M f t x t 1(()m x t N ≤≤x t β=+)，则1111()max ,M M f t m m N ββ⎧⎫N G ≤++⎨⎬⎩⎭=，所以 01()()(())LMM Mr y t y t h h y t G w≥--++ ，则 *021()lim inf ()()L M M M M t r h G w 2y t m G w h →+∞-+≥=+m >. 与前面讨论相仿，若0()2y t m ≥，则对有0t t ≥2()y t m ≥；否则，存在，当 4T T ≥34t T ≥时，有 2()y t m ≥.由上述证明可知，当满足条件(2-3-13)、(2-3-14)时，存在，当时，恒有((.因此Ω是系统(2-3-11)的正向不变集和最终有界集，故系统(2-3-11)是一致持久的.40T >4t T ≥),())x t y t ∈Ω§2.3.3周期正解的存在唯一性和全局渐近稳定性下面假设(),(),(),(),a t b t c t r t 01(),(),(),()w t t h t h t β是[0,)+∞上连续的严格正函数，且有上下界，并且是周期为ω的光滑函数，则系统(2-3-11)是一个ω周期系统. 定理2.3.2 如果ω周期系统(2-3-11)满足条件(2-3-13)、(2-3-14)，则系统(2-3-11)至少有一个严格正的ω周期解.证明 {}12(),()((),())m x t N m y t M x t y t ≤≤≤≤Ω=为有界闭凸集，且为系统(2-3-11)的正向不变集，定义Pioncare 映射2:A R R 2++→，使得,00()(,)A x x x ω=02x R +∈,则映射A Ω到自身，即.由解对初值的连续依赖性可得映射是连续的.由Brouwer 不动点定理，在Ω中，A 至少存在一个不动点，相应地系统(2-3-11)至少存在一个严格正的()A Ω⊂ΩA ω周期解.定理2.3.3 若条件(2-3-13)、(2-3-14)成立，且系统(2-3-11)还满足21221122(1)M M M M M L LL L w M NM r r N b c m w m m βββ++++>++， (2-3-15) 2122111(1)M M LL L w N N h w m m ββ++>++ ， (2-3-16) 则系统(2-3-11)有唯一的、全局渐近稳定的ω周期正解. 证明设((),)()()x t z t y t =是系统(2-3-11)的ω周期正解，()((),())z t x t y t =是系统任一正解,构造Lyapunov 函数：()ln ()ln ()ln ()x t x t y t y t =-+-ln ()v t . 直接计算沿系统(2-3-11)的解的右上导数有()v t ()ln ()ln ()ln ()ln ()D v t D x t x t D y t y t +++≤-+- =(ln ()ln ())sgn(()())(ln ()ln ())sgn(()())d dx t x t x t x t y t y t y t y t dt dt--+--。

具有反馈控制单种群模型周期解的存在性与唯一性

统，构造适当的Ｌａｕｏ并ｉｐｎｖ函数，一步证明系统进
（）２的周期解的全局渐近稳定性．因为系统（）（）１是２
意义．本文考虑具有反馈控制单种群模型：
一㈤卜一㈤，㈩的特殊形式，以由系统（２）的周期解的全局渐近稳［］所
Ｉ一ｎ（＋ｎ）一ｂ（．）
性．
的特殊形式，相应地，统（）系１的平衡点是（）２周期解
定性，立即得到系统（）可１的平衡点的全局渐近稳定文中使用符号简介如下：
：
其中：（）为在时刻ｔｎ的种群密度；（）为非直接
解．如文献［Ｊ出，５指全局稳定性是生态系统的重要
［收稿日期］２０ —０ —３０７６０［者简介］田德生（９６）男，湖北谷城人，北工业大学副教授，学博士，究方向：微分方程定性，物数学．作１６－，湖理研常生
ａ
＋—ｂｋｃ’
一ａｋｃ —＋— ‘ ｂ
ｇＭ
ｍ
ｔ０．ＪＥ㈨ Ⅲ ｌ
由于环境的变化对很多生态系统有着重要的作用，
其中ｇ为连续的６一周期函数．０
特别是周期变化的环境影响着生物种群数量的周期
波动．这启发考虑系统中参数都是周期函数的情况．
标为零Ｆｅｈｌ如果Ｌ为指标为零Ｆｅｈｌ算ｒｄｏｍ．ｒｄｏｍ子，又存在连续投影Ｐ：Ｘ— Ｘ和Ｑ：Ｚ满足ＩＺ— ｍＰ

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ｔ∈ Ｒ
ｆ－＝ｉｎｆｆ ( ｔ ) ．
ｔ∈Ｒ
ａ－＞０，ｂ－＞０，ｈ－＞０，τ ＋＞０，ｃ ( ｔ ) ＞ｂ ( ｔ ) ，ａ ( ｔ ) ＞ｄ ( ｔ ) ｕ ( ｔ ) ， ì ï ï ＋ｔ í ｔ [ ａ ( ｓ ) －２ｃ ( ｓ ) Ｍ１－ｄ ( ｓ ) Ｍ２ ] ｄｓ＜＋ ∞， ï ï ｔ－τ ( ｔ ) ａ ( ｓ ) ｄｓｔ－τ ( ｔ ) î
记
(∫
)
(∫
)
－
＞－ ∞．
（３）
收稿日期：２０１５－０１－０６
作者简介：张玉英，女，福建闽清人，福州大学数学与计算机科学学院２０１３级硕士生，主要研究方向：生物数学．基金项目：福建省自然科学基金资助项目（２０１３Ｊ０１０１１）．
１２
具有反馈控制和遗传效应的单种群模型的概周期解
＋＋ｔｇＭ１ ì １ｇ κ１ æａ (ｔ ) ö ï ω ＝ç ( ｓ ) ｄｓ，Ｍ２ ÷ Ｍｅｘｐａ＞Ｍ２，Ｍ２＝，κ ２＝，１－ ï ( ) ２ｈ＋ｔ－τ ( ｔ ) ｈ èｃｔ ø ï í －－ｔ ï １ æ ａ ( ｔ ) －ｄ ( ｔ ) Ｍ２ ö ＝ [ ａ ( ｓ ) －２ｃ ( ｓ ) Ｍ１－ｄ ( ｓ ) Ｍ２ ] ｄｓ， κ ｅｘｐ ç ÷ ï ï １２ è ｔ－τ ( ｔ ) ２ｃ ( ｔ ) î ø
ｘ＇ ( ｔ ) ＝ｘ ( ｔ ) [ ａ ( ｔ ) －ｂ ( ｔ ) ｘ ( ｔ ) －ｃ ( ｔ ) ｘ ( ｔ－ τ ( ｔ ) ) ] ，
（１）
{Байду номын сангаас
ｘ＇ ( ｔ ) ＝ｘ ( ｔ ) [ ａ ( ｔ ) －ｂ ( ｔ ) ｘ ( ｔ ) －ｃ ( ｔ ) ｘ ( ｔ－ τ ( ｔ ) ) －ｄ ( ｔ ) ｕ ( ｔ ) ] ，ｕ＇ ( ｔ ) ＝－ｈ ( ｔ ) ｕ ( ｔ ) ＋ｇ ( ｔ ) ｘ ( ｔ－ τ ( ｔ ) ) ，
文章编号：１６７３－４６２９（２０１５）０５－００１２－０６
文献［１］考虑如下具有遗传效应的单种群模型的概周期解的存在性：
其中ａ，ｂ，ｃ，τ：Ｒ → ( ０，＋ ∞ ) 是概周期函数，ｘ ( ｔ ) 是ｔ时刻种群密度，该模型已被许多学者进行了深入研究并取得相应的成果［２－４］．基于人与自然的协调发展和生态资源的可持续发展，反馈控制将被越来越多的学者所瞩目［５－７］．据作者所知，至今还没有针对系统（１）进一步考虑反馈控制变量的影响．因此，本文主要目的是通过发展文献［８］的分析技术，研究如下具有反馈控制和遗传效应的单种群模型的概周期解的存在性：
（２）
其中ａ，ｂ，ｃ，τ，ｄ，ｈ，ｇ：Ｒ → ( ０，＋ ∞ ) 是概周期函数，ｘ ( ｔ ) 是ｔ时刻种群密度，ｕ ( ｔ ) 表示反馈控制变量．为了方便论述，对任意定义在Ｒ上的连续有界的函数ｆ ( ｔ ) ，做如下定义：系统（２）满足如下基本假设：ｆ＋＝ｓｕｐｆ ( ｔ ) ，
数学·物理
＋－
(∫
)
其中ｔ ∈ Ｒ． ‖φ ‖ ＝
(∫
)
（４）
令Ｒ＋表示非负实数空间，Ｃ＝Ｃ ( [ － τ ＋，０ ] ，Ｒ ) 表示连续函数组成的Ｂａｎａｃｈ空间，其范数定义为
＋ｓ∈ [ －τ ，０ ]
ｘｔ ∈ Ｃ，有ｘｔ ( θ ) ＝ｘ ( ｔ＋ θ ) ，其中 θ ∈ [ － τ ＋，０ ] ．考虑到生物学意义，系统（２）初始条件如下
第３３卷第５期２０１５年１０月
ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＬＯＮＧＹＡＮＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ
龙岩学院学报
Ｖｏｌ．３３Ｎｏ．５Ｏｃｔｏｂｅｒ２０１５
数学·物理
具有反馈控制和遗传效应的单种群模型的概周期解
（福州大学福建福州３５０１１６）摘要：讨论一类具有反馈控制和遗传效应的单种群模型．借助概周期函数的定义和微分方程
ｕｔ＝ ψ， ψ ∈ Ｃ＋， ψ ( ０ ) ＞０，
（５）
１预备知识
定义１［９］令ｕ ( ｔ ) ：Ｒ → Ｒ连续函数，称ｕ ( ｔ ) 是概周期函数，如果对任给 ε ＞０，集合是相对稠密的，即对任给 ε ＞０，存在ｌ＝ｌ ( ε ) ＞０，使得在每个长度为ｌ的区间内至少有一个 δ ＝ δ ( ε ) ∈ Ｔ ( ｕ，ε ) ，使得ｕ ( ｔ＋ τ ) －ｕ ( ｔ ) 内，存在一个 δ ＝ δ ( ε ) ，使得ａ(ｔ＋ δ) －ａ(ｔ) ｄ(ｔ＋ δ) －ｄ(ｔ) 由于系统（２）的系数都是概周期函数，对任给 ε ＞０，存在ｌ＝ｌ ( ε ) ＞０，使得在每个长度为ｌ的区间＜ ε ，ｂ(ｔ＋ δ) －ｂ(ｔ) ＜ ε，ｈ ( ｔ＋ δ ) －ｈ ( ｔ ) ＜ ε ，ｃ(ｔ＋ δ) －ｃ(ｔ) ＜ ε ， τ(ｔ＋ δ) － τ(ｔ) ＜ ε，＜ ε 对一切的ｔ ∈ Ｒ成立．Ｔ ( ｕ，ε ) ＝ { δ ：ｕ ( ｔ＋ δ ) －ｕ ( ｔ ) ＜ ε，∀ｔ ∈ Ｒ} ，
张玉英，张春花
比较原理，探讨具有反馈控制和遗传效应的单种群模型概周期解的存在性．在适当的条件下，运用新的证明方法，得到保证该模型的持久的判据．再结合概周期函数的定义，得到了该模型概周期解存在的充分性条件，获得了一些新的结果．中图分类号：Ｏ１７５�� １４关键词：概周期解；反馈控制；单种群模型；遗传效应；时变时滞文献标识码：Ａ
ｓｕｐ
φ(ｓ)
．令Ｃ＋＝Ｃ ( [ － τ ＋，０ ] ，Ｒ＋ ) ．如果ｘ ( ｔ ) 在 [ ｔ０－ τ ＋，σ ) 有定义，其中ｔ０＜ σ ，定义
{
ｘｔ＝ φ， φ ∈ Ｃ＋， φ ( ０ ) ＞０，
００
则满足初始条件（５）的系统（２）的解均为正解．设（ｘｔ（ｔ０，φ），ｕｔ（ｔ０，ψ））是系统（２）满足初始条件（５）的解且 [ ｔ０，η ( φ，ψ ) ) 是解 ( ｘｔ ( ｔ０，φ ) ，ｕｔ ( ｔ０，ψ ) ) 存在的最大的右区间．易证明，满足初始条件（５）的系统（２）在 [ ｔ０，η ( φ，ψ ) ) 和 η ( φ，ψ ) ＝＋ ∞ 上的解恒为正和有界．