方差分析

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(6· 6)
(6· 7)
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[例6.1]以A、B、C、D 4种药剂处理水稻 种子，其中A为对照，每处理各得4个苗高 观察值(cm)，试分解其自由度和平方和。
药剂 A B 苗高观察值 18 20 21 24 20 26
yi
总和Ti 72 92
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表6-1 饲喂不同饲料的鱼的增重
（单位：10g） 合计
饲料 号
鱼的增重（xij）
x i.
平均
x i.
A1
31.9
27.9
31.8
28.4 35.9
155.9
31.18
A2
A3 A4
合计
24.8
22.1 27.0
25.7
23.6 8
药剂B内： SSe 20 2 24 2 26 2 22 2 92 2 4 20 2 药剂C内： 药剂D内：
SSe3 10 2 15 2 17 2 14 2 56 2 4 26
SSe4 28 2 27 2 29 2 32 2 116 2 4 14
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6.1.2 F分布与F测验
在一个平均数为 、方差为 2的正态总体中，随机抽 取两个独立样本，分别求得其均方 s12 和 s22，将 s12 和 s22 的比值定义为F：
2 F( 1， 2 ) s12 s2
（6· 8）
此F值具有s12 的自由度 v1 和 s22 的自由度 v2。 所谓F分布，就是在给定的 v1 和 v2 下按上述方法从正 态总体中进行一系列抽样，就可得到一系列的F 值而作成 一个分布。
1、检验过程烦琐 2、推断的可靠性低，检验的错误率大 由于上述原因，多个平均数的差异显著性检验不宜用 前面所学检验方法，须采用方差分析法。
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方差分析(analysis of variance)k(k≥3)个
样本平均数的假设测验方法，这种方法的基本特点
应部分，从而发现各变异原因在总变异中相对 重要程度的一种统计分析方法。 扣除了各种试验原因所引起的变异后的剩余变 异（组内变异）提供了试验误差的无偏估计， 作为假设测验的依据。
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6.1 方差分析的基本原理
6.1.1 自由度和平方和的分解
6.1.2 F分布与F测验
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从而总变异(6· 1)可以剖分为:
SST ( y ij y ) ( y ij y i ) n ( y i y ) 2
2 2 i 1 j 1 i 1 j 1 i 1 k n k n k
（6· 3）
即
总平方和=组内(误差)平方和+处理平方和
组间变异由k个 y i的变异引起，故其自由度 df =k－1 , 组 间平方和 SSt 为：
所以
SSe ( yij yi ) 2 38 20 26 14 98
1 1
k
n
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本例中
自由度：
平方和： 602=504+98
15=3+12
进而可得均方：
SS t 504 MS t s 168.00 df t 3
n
n
( yij yi ) 2( yij yi )( yi y ) ( yi y ) 2
2 j 1 n j 1 j 1
n
n
( yij yi ) 2 n( yi y ) 2
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j 1
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求得各变异来源的自由度和平方和后，进而可得: ( yij y )2 2 总的均方 MST sT nk 1 2 n( yi y ) 2 组间的均方 MSt st k 1 2 ( yij yi ) 2 组内均方 MSe se k(n 1)
1
n
SSe [ ( yij yi ) 2 ] SST SSt
1 1
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k
n
(6· 5)
12
因此，得到表6.2类型资料的自由度分解式为：
(nk 1)(k 1) k(n 1)
总自由度DFT =组间自由度DFt +组内自由度DFe
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生物试验常用术语
•处理(treatment)：处理是指试验过程中设置的所有试
验因素的所有水平，是试验的具体条件或状态。在
一项试验中，同一个试验条件下的试验称为一个处
理，不同条件下的试验称为不同处理。
•试验中只考虑一个因素（A）其他因素保持或控制 不变或变化一致．选择A（即试验因素）的k个不 同水平，研究A对试验考察指标的影响，这类试验 称为单因素试验。
SSt n ( y i y ) Ti 2 n C
2 1 1
k
k
（6· 4）
组内变异为各组内观察值与组平均数的变异，故每组具有
自由度 df =n－1和平方和 ( y ij y i ) 2 ；而资料共有k 组，故
组内自由度 df = k (n－1) ,组内平方和 SSe 为：
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表6-2设有k组数据，每组有n个观察值
组别 １ ２ „ i „ k 观察值(yij, i=1,2,„,k; j=1,2,„,n) 总和 平均 方差
y11
y12
„
y1j
„
y1n
T1
y1
y2
s1 2
y21
„
y22
„
„
„
y2j
„
„
y2n
„
T2
平均数 18 23
13 22
C
D
10
28
15
27
17
29
14
32
56
116 T=336
14
29
y
=21
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根据(6· 6)进行总自由度的剖分： 总变异自由度
DFT=(nk－1)=(44)－1=15
药剂间自由度 DFt=(k－1)=4－1=3
2 SST ( y ij y ) y ij C 2 1 1 nk nk
（6· 1）
其中的C称为矫正数： 对于第 i 组的变异，有
( y)2 T 2 C nk nk
(6· 2)
( yij y ) ( yij yi yi y ) 2
2 j 1 j 1 n
第六章
方 差 分 析
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6.1 方差分析的基本原理
差异显著性检验适用于样本平均数与总体平均数及两
样本平均数间的差异显著性检验，但在生产和科学研究 中经常会遇到比较多个处理优劣的问题，即需进行多个 平均数间的差异显著性检验。这时，若仍采用前面所学 的检验法就不适宜了。因为：
处理间 (组间) 误差 (组内) 总变异
DF
k-1
n ( yi y )
2 1 k
SS
MS
2
T
n
i
C
MSt
k(n-1)
( y
1 1
k
n
ij
y i ) 2 SST SS t
( y ) 2 nk T2 nk
MSe
kn-1
( y
i
y) y C
2 2
C
药剂内自由度 DFe=k(n－1)=4(4－1)=12
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根据(6· 3)进行总平方和的剖分：
T 2 336 2 C 7056 nk 4 4
2 SST yij C 18 2 212 32 2 C 602
F分布下一定区间的概率可从已制成的统计表查出 (附表7） 。
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f(F)
1.0
F分布曲线特征： （1）具有平均数 F =1
0.8 0.6
1 5, 2 4
1 2, 2 5
（2）取值区间为[0，∞]；
0.4
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F测验需具备条件：
(1)变数y遵循正态分布N( ， 2)，
(2) s12 和 s22 彼此独立 。 另外，在F 测验中，如果作分子的均方小于作分母的 均方，则F<1；此时不必查F表即可确定P>0.05，应接受 H0。 二、F 测验 在方差分析的体系中，F测验可用于检测某项变异因素的效应 或方差是否存在。所以在计算F值时，总是将要测验的那一项变 异因素的均方作分子，而以另一项变异(如误差项)作分母。
2 t
SS e 98 MS e s 8.17 df e 12
2 e
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将上述例子推广到一般，设有k组数据，每组皆具 n个观察值，则资料共有nk个观察值，其数据分组 如表6.2。 表6.3 平方和与自由度的分解归纳为下表