2015河南六市联考一模数学(理)word版含答案
2015年河南省濮阳市高考数学一模试卷(理科)
2015年河南省濮阳市高考数学一模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知集合A={x|0＜x＜2}，B={x|（x-1）（x+1）＞0}，则A∩B=（）A.（0，1）B.（1，2）C.（-∞，-1）∪（0，+∞）D.（-∞，-1）∪（1，+∞）【答案】B【解析】解：由B中的不等式解得：x＞1或x＜-1，∴B=（-∞，-1）∪（1，+∞），∵A={x|0＜x＜2}=（0，2），∴A∩B=（1，2）．故选：B．求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.在复平面内，复数的对应点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】解：复数=，∴复数在复平面内对应的点为（1，-2），故复数的对应点位于第四象限．故选：D．利用复数的除法运算，将复数表示出来，根据复数的几何意义，即可得到答案．本题考查了复数的代数表示法以及几何意义，考查了复数的代数形式的乘法运算，解题时要认真审题．复数的几何意义是复数和复平面内的点是一一对应关系．属于基础题．3.如图，一个封闭的长方体，它的六个表面各标出A、B、C、D、E、F这六个字母，现放成下面三种不同的位置，所看见的表面上的字母已表明，则字母A、B、C对面的字母依次分别为（）A.D、E、FB.F、D、EC.E、F、DD.E、D、F【答案】【解析】解：第一个正方体已知A，B，C，第二个正方体已知A，C，D，第三个正方体已知B，C，E，且不同的面上写的字母各不相同，则可知A对面标的是E，B对面标的是D，C对面标的是F．故选D．本题可从图形进行分析，结合正方体的基本性质，得到各个面上的字母，即可求得结果．本题考查了正方体相对两个面上的字母问题，此类问题可以制作一个正方体，根据题意在各个面上标上字母，再确定对面上的字母，本题是一个基础题．4.已知⊙M经过双曲线S：=1的一个顶点和一个焦点，圆心M在双曲线上S上，则圆心M到双曲线S的中心的距离为（）A.或B.或C.D.【答案】D【解析】解：∵⊙M经过双曲线S：=1的一个顶点和一个焦点，∴圆心M到双曲线的右焦点与右顶点间的距离相等，∴圆心的横坐标为4，代入双曲线方程可得点M的纵坐标为y M=±=±，∴点M到原点的距离|MO|==．故选：D．根据，⊙M经过双曲线S：=1的一个顶点和一个焦点，可得圆心M到双曲线的右焦点与右顶点间的距离相等，从而可得圆心的横坐标为4，代入双曲线方程可得点M 的纵坐标，即可求出圆心M到双曲线S的中心的距离．本题考查了双曲线的标准方程，双曲线与圆的交汇问题，考查学生的计算能力，属于中档题．5.将函数y=sin2x（x∈R）的图象分别向左平移m（m＞0）个单位，向右平移n（n＞0）个单位，所得到的两个图象都与函数的图象重合，则m+n的最小值为（）A. B. C.π D.【答案】C【解析】解：将函数y=sin2x（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个单位，得函数y=sin2（x+m）=sin（2x+2m），∵其图象与的图象重合，故m=（k∈Z），当k=0时，m取得最小值为；将函数y=sin2x（x∈R）的图象向右平移n（n＞0）个单位，得到函数y=sin2（x-n）=sin （2x-2n），∵其图象与的图象重合，∴sin（2x-2n）=sin（2x+），∴-2n=，故n=-，当k=-1时，n取得最小值为，∴m+n的最小值为π，故选C．求出函数y=sin2x（x∈R）的图象分别向左平移m（m＞0）个单位，向右平移n（n＞0）个单位后的函数解析式，再根据其图象与函数的图象重合，可分别得关于m，n的方程，解之即可．本题考查函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换，准确把握图象的平移变换规律是解决问题的关键所在．6.已知等比数列{a n}的前n项和S n，且a1+a3=，a2+a4=，则=（）A.4n-1B.4n-1C.2n-1D.2n-1【答案】D【解析】解：∵等比数列{a n}的前n项和S n，且a1+a3=，a2+a4=，∴两式相除可得公比q=，∴a1=2，∴a n==，S n==4（1-），∴=2n-1，故选：D．利用等比数列{a n}的前n项和S n，且a1+a3=，a2+a4=，求出q=，a1=2，可得a n、S n，即可得出结论．本题考查等比数列的通项与求和，考查学生的计算能力，确定数列的首项与公比是关键．7.执行如图所示的程序框图，任意输入一次x（0≤x≤1）与A. B. C. D.【答案】B【解析】解：依题意，不等式组表示的平面区域的面积等于1，不等式组表示的平面区域的面积等于，因此所求的概率等于．故选：B．依题意，满足不等式组的x，y可以输出数对，读懂框图的功能即可计算概率．本题主要考察程序框图和算法，属于基础题．8.曲线C1：y2=2px（p＞0）的焦点F恰好是曲线C2：（a＞0，b＞0）的右焦点，且曲线C1与曲线C2交点连线过点F，则曲线C2的离心率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：曲线C1：y2=2px（p＞0）的焦点F（，0），则双曲线的c=，曲线C1与曲线C2交点连线MN过点F，由对称性可得，交线垂直于x轴，令x=c，代入双曲线方程得，y2=b2（-1）=，解得，y=，则|MN|=，令x=，代入抛物线方程可得，y2=p2，即y=±p，则|MN|=2p，则2p=，即有b2=2ac=c2-a2，即有e2-2e-1=0，解得，e=1+．故选：D．求出抛物线的焦点，曲线C1与曲线C2交点连线MN过点F，由对称性可得，交线垂直于x轴，分别令x=c，x=，求得弦长，得到a，b，c的方程，再由离心率公式解方程即可得到．本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．9.如图所示为某旅游区各景点的分布图，图中一支箭头表示一段有方向的路，试计算顺着箭头方向，从A到H有几条不同的旅游路线可走（）A.15B.16C.17D.18C【解析】解：要到H点，需从F、E、G走过来，F、E、G各点又可由哪些点走过来…这样一步步倒推，最后归结到A，然后再反推过去得到如下的计算法：A至B、C、D的路数记在B、C、D圆圈内，B、C、D分别到F、E、G的路数亦记在F、E、G圆圈内，最后F、E、G各个路数之和，即得至H的总路数如下图所示，易得有17条不同的线路；故选C．根据分布图，要到H点，需从F、E、G走过来，F、E、G各点又可由哪些点走过来…这样一步步倒推，最后归结到A，然后再反推过去；则可以这样作图，A至B、C、D的路数记在B、C、D圆圈内，B、C、D分别到F、E、G的路数亦记在F、E、G圆圈内，最后F、E、G各个路数之和，即得至H的总路数，即可得答案．本题考查分步计数原理的运用，解题时注意分析的方法，最好不要一一列举，如必须列举时，注意按一定的次序，做到不重不漏．10.若函数f（x）的导函数在区间（a，b）上的图象关于直线x=对称，则函数y=f （x）在区间[a，b]上的图象可能是（）A．B．C．D．A.①B.②C.③D.③④【答案】D【解析】解：因为函数y=f（x）的导函数在区间（a，b）上的图象关于直线x=对称，即导函数要么图象无增减性，要么是在直线x=两侧单调性相反；对于①，由图得，在a处切线斜率最小，在b处切线斜率最大，故导函数图象不关于直线x=对称，故①不成立；对于②，由图得，在a处切线斜率最大，在b处切线斜率最小，故导函数图象不关于直线x=对称，故②不成立；对于③，由图得，原函数为一次函数，其导函数为常数函数，故导函数图象关于直线x=对称，故③成立；对于④，由图得，原函数有一对称中心，在直线x=与原函数图象的交点处，故导函所以，满足要求的有③④．故选：D．对于①②，直接由图象得出在a处与b处切线斜率不相等，即可排除答案；对于③，原函数为一次函数，其导函数为常数函数即可知道其满足要求；对于④，先由图象找到对称中心即可判断其成立本题主要考查函数的单调性与其导函数之间的关系．做这一类型题目，要注意运用课本定义，是对课本知识的考查，属于基础题，但也是易错题．11.在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，，则λ+μ的值为（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】解：设则====（）∴，∴故选A．设，将向量用向量、表示出来，即可找到λ和μ的关系，最终得到答案．本题主要考查平面向量的基本定理，即平面内任一向量都可由两不共线的向量唯一表示出来．属中档题．12.定义在R上的函数y=f（x）在（-∞，a）上是增函数，且函数y=f（x+a）是偶函数，当x1＜a，x2＞a，且丨x1-a丨＜丨x2-a丨时，有（）A.f（x1）＞f（x2）B.f（x1）≥f（x2）C.f（x1）＜f（x2）D.f（x1）≤f（x2）【答案】A【解析】解：∵y=f（x+a）是偶函数，∴有f（-x+a）=f（x+a）∴f（x）关于x=a对称∵偶函数在（-∞，a）上是增函数，∴在（a，+∞）上是减函数∵x1＜a，x2＞a，丨x1-a丨＜丨x2-a丨，∴去掉绝对值得a-x1＜x2-a，即2a-x1＜x2，且2a-x1＞a，x2＞a由（a，+∞）上是减函数知f（2a-x1）＞f（x2）∵f（x）关于x=a对称，∴f（2a-x1）=f（x1）故选A．根据y=f（x+a）是偶函数，可得f（-x+a）=f（x+a），根据x1＜a，x2＞a，丨x1-a丨＜丨x2-a丨，可得2a-x1＜x2，且2a-x1＞a，x2＞a，结合函数的单调性，即可得到结论．本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.若点P（cosα，sinα）在直线y=-2x上，则= ______ ．【答案】【解析】解：∵点P（cosα，sinα）在直线y=-2x上，∴sinα=-2cosα，tanα=-2．∴==，故答案为：．由题意可得sinα=-2cosα，tanα=-2，再利用两角和的正切公式求得的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和的正切公式，同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．14.直线y=1与曲线y=x2-|x|+a有四个交点，则a的取值范围是______ ．【答案】（1，）【解析】解：如图，在同一直角坐标系内画出直线y=1与曲线y=x2-|x|+a，观图可知，a的取值必须满足，解得＜＜．故答案为：（1，）在同一直角坐标系内画出直线y=1与曲线y=x2-|x|+a的图象，观察求解．本小题主要考查函数的图象与性质、不等式的解法，着重考查了数形结合的数学思想．15.在三棱锥C-ABD中（如图），△ABD与△CBD是全等的等腰直角三角形，O为斜边BD的中点，AB=4，二面角A-BD-C的大小为60°，并给出下面结论：①AC⊥BD；②AD⊥CO；③△AOC为正三角形；④cos∠ADC=；⑤四面体ABCD的外接球表面积为32π，其中真命题是______ ．【答案】①③⑤【解析】解：对于①，∵△ABD与△CBD是全等的等腰直角三角形，O为斜边BD的中点，∴CO⊥BD，AO⊥BD，AO∩OC=O，∴BD⊥平面AOC，∴AC⊥BD，因此①正确；对于②，假设CO⊥AD，又CO⊥BD，可得CO⊥平面ABD，由①可得：∠AOC是二面角A-BD-C的平面角且为60°矛盾，因此不正确；对于③，由△ABD与△CBD是全等的等腰直角三角形，O为斜边BD的中点，∴OC=OA，由①可得：∠AOC是二面角A-BD-C的平面角且为60°，∴△AOC为正三角形，因此③正确；对于④，AB=4，由①可得：AC=OA=2，AD=CD=4，∴cos∠ADC==≠，因此不正确；对于⑤，由①可得：四面体ABCD的外接球的球心为O，半径为2，表面积S==32π，因此正确．综上可得：只有①③⑤正确．故答案为：①③⑤．①由△ABD与△CBD是全等的等腰直角三角形，O为斜边BD的中点，可得CO⊥BD，AO⊥BD，BD⊥平面AOC，即可判断出正误；②假设CO⊥AD，可得CO⊥平面ABD，由①可得：∠AOC是二面角A-BD-C的平面角且为60°矛盾，即可判断出正误；③由已知可得：OC=OA，而∠AOC是二面角A-BD-C的平面角且为60°，即可判断出△AOC为正三角形；④AB=4，由①可得：AC=OA=2，AD=CD=4，利用余弦定理可得cos∠ADC，即可判断出正误；⑤由①可得：四面体ABCD的外接球的球心为O，半径为2，利用表面积公式即可判断出正误．本题考查了空间线面位置关系、二面角、等边三角形、余弦定理、球的表面积，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.设数列{a n}的前n项和为S n，满足2S n=a n+1-2n+1+1，n∈N*，且a1、a2+5、a3成等差数列．则a n= ______ ．【答案】3n-2n【解析】解：由，解得a1=1．由2S n=a n+1-2n+1+1，n∈N*，当n≥2时，可得，两式相减，可得，即，变形为，∴数列{}（n≥2）是一个以a2+4为首项，3为公比的等比数列．由2a1=a2-3可得，a2=5，∴数列{a n}的通项公式是．故答案为：．由于2S n=a n+1-2n+1+1，n∈N*，且a1、a2+5、a3成等差数列，可得，解得a1．由2S n=a n+1-2n+1+1，n∈N*，当n≥2时，可得，可得，变形为，l利用等比数列的通项公式即可得出．本题考查了利用“当n≥2时，a n=S n-S n-1”求通项公式a n、变形转化为等比数列求通项公式的方法，考查了灵活的变形能力和推理能力，属于难题．三、解答题(本大题共8小题，共94.0分)17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．（Ⅰ）求证：a、b、c成等差数列；（Ⅱ）若∠B=60°，b=4，求△ABC的面积．【答案】解：（Ⅰ），即a（1+cos C）+c（1+cos A）=3b，由正弦定理得：sin A+sin A cos C+sin C+cos A sin C=3sin B，即sin A+sin C+sin（A+C）=3sin B，可得sin A+sin C=2sin B，由正弦定理可得，整理得：a+c=2b，故a，b，c为等差数列；（Ⅱ）由∠B=60°，b=4及余弦定理得：42=a2+c2-2accos60°，∴（a+c）2-3ac=16，又由（Ⅰ）知a+c=2b，代入上式得4b2-3ac=16，解得ac=16，∴△ABC的面积S=acsin B=acsin60°=4；【解析】（Ⅰ）对其角A，B，C的对边分别为a，b，c，可得，利用倍角公式进行化简，再利用正弦定理进行证明；（Ⅱ）因为∠B=60°，b=4，利用余弦定理得42=a2+c2-2accos60°，求出ac的值，利用三角形的面积的公式进行求解；此题主要考查正弦定理和余弦定理的应用以及等差数列的性质，是一道综合题，也是一道基础题；18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．（Ⅰ）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，点M在线段PC上，试确定点M的位置，使二面角M-BQ-C大小为60°，并求出的值．【答案】（I）证明：∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD，又∵底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，∴BQ⊥AD，又∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PQB，又∵AD⊂平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．（II）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD，∴PQ⊥平面ABCD．以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图．则由题意知：Q（0，0，0），P（0，0，），B（0，，0），C（-2，，0），设（0＜λ＜1），则，，，平面CBQ的一个法向量是=（0，0，1），设平面MQB的一个法向量为=（x，y，z），则，取=，，，（9分）∵二面角M-BQ-C大小为60°，∴=，解得，此时．（12分）【解析】（I）由已知条件推导出PQ⊥AD，BQ⊥AD，从而得到AD⊥平面PQB，由此能够证明平面PQB⊥平面PAD．（II）以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．本题考查平面与平面垂直的证明，考查满足条件的点的位置的确定，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．19.某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API的监测数据，结果统计如表：为ω）的关系式为：S=，，＜，＞，试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率；（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？附：k2=【答案】22；8；30；63；7；70；85；15【解析】解：（1）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元”为事件A…（1分）由200＜S≤600，得150＜ω≤250，频数为39，…（3分）∴P（A）=…．（4分）（2）根据以上数据得到如表：…．（8分）K2的观测值K2=≈4.575＞3.841…．（10分）所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关．…．（12分）（1）由200＜S≤600，得150＜ω≤250，频数为39，即可求出概率；（2）根据所给的数据，列出列联表，根据所给的观测值的公式，代入数据做出观测值，同临界值进行比较，即可得出结论．本题考查概率知识，考查列联表，观测值的求法，是一个独立性检验，我们可以利用临界值的大小来决定是否拒绝原来的统计假设，若值较大就拒绝假设，即拒绝两个事件无关．20.如图，已知椭圆C：，A、B是四条直线x=±2，y=±1所围成的两个顶点．（1）设P是椭圆C上任意一点，若，求证：动点Q（m，n）在定圆上运动，并求出定圆的方程；（2）若M、N是椭圆C上两个动点，且直线OM、ON的斜率之积等于直线OA、OB的斜率之积，试探求△OMN的面积是否为定值，说明理由．【答案】解：（1）易求A（2，1），B（-2，1）．…（2分）设P（x0，y0），则．由，得，所以，即．故点Q（m，n）在定圆上．…（8分）（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），则．平方得，即．…（10分）因为直线MN的方程为（x2-x1）y-（y2-y1）x+x1y2-x2y1=0，所以O到直线MN的距离为，…（12分）所以△OMN的面积S=MN•l=|x1y2-x2y1|===．故△OMN的面积为定值1．…（16分）【解析】（1）设P的坐标，通过，推出m，n与P的坐标的关系，推出定圆的方程．（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），利用直线OM、ON的斜率之积等于直线OA、OB的斜率之积，得到x1，x2的关系．求出MN的距离以及O到直线MN的距离，然后证明△OMN的面积是否为定值．本题考查圆的方程的求法，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，考查转化思想计算能力．21.已知函数f（x）=x2，g（x）=elnx．（Ⅰ）设函数F（x）=f（x）-g（x），求F（x）的单调区间；（Ⅱ）若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m，对x∈R恒成立，且g（x）≤kx+m，对x∈（0，+∞）恒成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”，试问：f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程，若不存在，请说明理由．【答案】解：（I）由于函数f（x）=，g（x）=elnx，因此，F（x）=f（x）-g（x）=x2-elnx，则F′（x）=x-==，x∈（0，+∞），当0＜x＜时，F′（x）＜0，∴F（x）在（0，）上是减函数；当x＞时，F′（x）＞0，∴F（x）在（，+∞）上是增函数；因此，函数F（x）的单调减区间是（0，），单调增区间是（，+∞）．（II）由（I）可知，当x=时，F（x）取得最小值F（）=0，则f（x）与g（x）的图象在x=处有公共点（，）．假设f（x）与g（x）存在“分界线”，则其必过点（，）．故设其方程为：y-=k（x-），即y=kx+-k，由f（x）≥kx+-k对x∈R恒成立，则对x∈R恒成立，∴=4k2-8k+4e=e（k-）2≤0成立，因此k=，“分界线“的方程为：y=．下面证明g（x）≤对x∈（0，+∞）恒成立，设G（x）=elnx-x+，则G′（x）==，∴当0＜x＜时，G′（x）＞0，当x＞时，G′（x）＜0，当x=时，G（x）取得最大值0，则g（x）≤x对x∈（0，+∞）恒成立，故所求“分界线“的方程为：y=．【解析】（Ⅰ）在定义域内解不等式F′（x）＞0，F′（x）＜0可得函数的单调区间；（Ⅱ）由（I）可知，当x=时，F（x）取得最小值F（）=0，则f（x）与g（x）的图象在x=处有公共点（，）．假设f（x）与g（x）存在“分界线”，则其必过点（，）．故设其方程为：y-=k（x-），由f（x）≥kx+-k对x∈R恒成立，可求得k=，则“分界线“的方程为：y=．只需在证明g（x）≤对x∈（0，+∞）恒成立即可；本题考查利用导数研究函数的单调区间、最值及恒成立问题，考查转化思想，探究性题目往往先假设成立，再做一般性证明．22.如图，AB是的⊙O直径，CB与⊙O相切于B，E为线段CB上一点，连接AC、AE分别交⊙O于D、G两点，连接DG交CB于点F．（Ⅰ）求证：C、D、G、E四点共圆．（Ⅱ）若F为EB的三等分点且靠近E，EG=1，GA=3，求线段CE的长．【答案】（Ⅰ）证明：连接BD，则∠AGD=∠ABD，∵∠ABD+∠DAB=90°，∠C+∠CAB=90°∴∠C=∠AGD，∴∠C+∠DGE=180°，∴C，E，G，D四点共圆．…..（5分）（Ⅱ）解：∵EG•EA=EB2，EG=1，GA=3，∴EB=2，又∵F为EB的三等分点且靠近E，∴，，又∵FG•FD=FE•FC=FB2，∴，CE=2．…．（10分）【解析】（Ⅰ）连接BD，由题设条件结合圆的性质能求出∠C=∠AGD，从而得到∠C+∠DGE=180°，由此能证明C，E，G，D四点共圆．（Ⅱ）由切割线定理推导出EB=2，由此能求出CE的长．本题考查四点共圆的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要注意圆的性质的灵活运用．23.已知在直角坐标系x O y中，直线l的参数方程为，（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2-4ρcosθ+3=0．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离d的取值范围．【答案】解：（I）根据直线l的参数方程为，（t为参数），消去t，得，故直线l的普通方程为：；依据曲线C的极坐标方程为ρ2-4ρcosθ+3=0．结合互化公式，得到：曲线的直角坐标方程为（x-2）2+y2=1，---------------------------（4分）（II）设点P（2+cosθ，sinθ）（θ∈R），则所以d的取值范围是，．--------------------------（10分）【解析】（Ⅰ）直接根据直线的参数方程中，消去参数，即可得到其普通方程；再利用极坐标方程和直角坐标方程互化公式求解即可；（Ⅱ）首先设点P（2+cosθ，sinθ）（θ∈R），然后，构造距离关系式，然后，求解其范围即可．本题重点考查了参数方程和普通方程的互化、极坐标方程和直角坐标方程的互化等知识，属于中档题．24.已知函数f（x）=|x-1|．（Ⅰ）解不等式f（x-1）+f（x+3）≥6；（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，证明f（ab）＞|a|f（）．【答案】解：（Ⅰ）解不等式f（x-1）+f（x+3）≥6，可得|x-2|+|x+2|≥6．根据绝对值的意义可得|x-2|+|x+2|表示数轴上的x对应点到2、-2对应点的距离之和，而-3和3对应点到2、-2对应点的距离之和正好等于6，故不等式f（x-1）+f（x+3）≥6的解集为{（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，要证f（ab）＞|a|f（），只要证|ab-1|＞|b-a|，只要证（ab-1）2＞（b-a）2．而（ab-1）2-（b-a）2=a2•b2-a2-b2+1=（a2-1）（b2-1）＞0，故（ab-1）2＞（b-a）2成立．故要证的不等式f（ab）＞|a|f（）成立．【解析】（Ⅰ）解不等式可得|x-2|+|x+2|≥6，根据绝对值的意义，而-3和3对应点到2、-2对应点的距离之和正好等于6，从而求得不等式f（x-1）+f（x+3）≥6的解集．（Ⅱ）用分析法证明f（ab）＞|a|f（）成立．本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，用分析法证明不等式，属于基础题．。
2015年河南省六市联考高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2015年河南省六市联考高考数学一模试卷（理科）一．选择题：1．（5分）已知集合A＝{x|x2＞1}，B＝{x|log2x＞0}，则A∩B＝（）A．{x|x＜﹣1}B．{x|＞0}C．{x|x＞1}D．{x|x＜﹣1或x ＞1}2．（5分）如果复数（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于（）A．﹣6B．C．D．23．（5分）在等差数列{a n}中，首项a1＝0，公差d≠0，若a k＝a1+a2+a3+…+a7，则k＝（）A．22B．23C．24D．254．（5分）函数y＝的图象可能是（）A．B．C．D．5．（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的x值是（）A．3B．4C．6D．86．（5分）函数y＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，该函数的部分图象如图所表示，A、B分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为，则该函数的一条对称轴为（）A．B．C．x＝1D．x＝27．（5分）已知正数x，y满足，则z＝4﹣x•（）y的最小值为（）A．1B．C．D．8．（5分）若α∈（，π），3cos2α＝sin（﹣α），则sin2α的值为（）A．B．﹣C．D．﹣9．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（）A．1B．2C．3D．410．（5分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a＝2，，则b的值为（）A．B．C．D．11．（5分）设双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作与x 轴垂直的直线l交两渐近线于A，B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若＝λ+μ（λ，μ∈R），λ•μ＝，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）若直角坐标平面内A、B两点满足：①点A、B都在函数f（x）的图象上；②点A、B关于原点对称，则点对（A，B）是函数f（x）的一个“姊妹点对”．点对（A，B）与（B，A）可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数f（x）＝，则f（x）的“姊妹点对”有（）A．0个B．1个C．2个D．3个二．填空题：13．（5分）已知a＝（sin t+cos t）dt，则的展开式中的常数项为．14．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的所有棱长都等于1，则三棱锥P﹣ABC的内切球的表面积．15．（5分）已知点A（0，2），抛物线C1：y2＝ax（a＞0）的焦点为F，射线F A 与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若|FM|：|MN|＝1：，则a 的值等于．16．（5分）已知f（x）＝，g（x）＝（k∈N*），对任意的c＞1，存在实数a，b满足0＜a＜b＜c，使得f（c）＝f（a）＝g（b），则k的最大值为．三、解答题：17．（12分）已知{a n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a5＝45，a2+a6＝14．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：+1（n∈N*），求数列{b n}的前n项和．18．（12分）在某校运动会中，甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛（即每两队比赛一场）共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局．在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为；（1）求甲队获第一名且丙队获第二名的概率；（2）设在该次比赛中，甲队得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望．19．（12分）如图，已知长方形ABCD中，AB＝2，AD＝1，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．（1）求证：AD⊥BM；（2）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E﹣AM﹣D的余弦值为．20．（12分）已知椭圆C的焦点在x轴上，左右焦点分别为F1、F2，离心率e＝，P为椭圆上任意一点，△PF1F2的周长为6．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过点S（4，0）且斜率不为0的直线l与椭圆C交于Q，R两点，点Q关于x轴的对称点为Q1，过点Q1与R的直线交x轴于T点，试问△TRQ的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．21．（12分）设函数f（x）＝x2﹣（a﹣2）x﹣alnx．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数a的值；（3）若方程f（x）＝c有两个不相等的实数根x1，x2，求证：．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲如图所示，已知P A与⊙O相切，A为切点，过点P的割线交圆于B、C两点，弦CD∥AP，AD、BC相交于点E，F为CE上一点，且DE2＝EF•EC．（1）求证：CE•EB＝EF•EP；（2）若CE：BE＝3：2，DE＝3，EF＝2，求P A的长．选修4-4：坐标系与参数方程23．平面直角坐标系中，直线l的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+ρ2sin2θ﹣2ρsinθ﹣3＝0．（1）求直线l的极坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，求|AB|．选修4-5：不等式选讲24．设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a、b∈M，（1）证明：|a+b|＜；（2）比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小，并说明理由．2015年河南省六市联考高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：1．（5分）已知集合A＝{x|x2＞1}，B＝{x|log2x＞0}，则A∩B＝（）A．{x|x＜﹣1}B．{x|＞0}C．{x|x＞1}D．{x|x＜﹣1或x ＞1}【解答】解：集合A＝{x|x2＞1}＝{x|x＞1或x＜﹣1}，B＝{x|log2x＞0＝log21}＝{x|x＞1}，A∩B＝{x|x＞1}，故选：C．2．（5分）如果复数（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于（）A．﹣6B．C．D．2【解答】解：由题意，＝＝∵复数（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数∴∴b＝，故选：C．3．（5分）在等差数列{a n}中，首项a1＝0，公差d≠0，若a k＝a1+a2+a3+…+a7，则k＝（）A．22B．23C．24D．25【解答】解：∵数列{a n}为等差数列且首项a1＝0，公差d≠0，又∵a k＝（k﹣1）d＝a1+a2+a3+…+a7＝7a4＝21d故k＝22故选：A．4．（5分）函数y＝的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：函数y＝的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称．当x＞0时，，当x＜0时，，此时函数图象与当x＞0时函数的图象关于原点对称．故选：B．5．（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的x值是（）A．3B．4C．6D．8【解答】解：执行程序框图，可得k＝1，s＝1满足条件s＜100，s＝4，k＝2；满足条件s＜100，s＝22，k＝3；满足条件s＜100，s＝103，k＝4；不满足条件s＜100，退出循环，x＝8，输出x的值为8．故选：D．6．（5分）函数y＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，该函数的部分图象如图所表示，A、B分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为，则该函数的一条对称轴为（）A．B．C．x＝1D．x＝2【解答】解：函数y＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，所以φ＝，该函数的部分图象如图所表示，A、B分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为，所以，所以T＝4，ω＝，所以函数的表达式为：y＝﹣sin，显然x＝1是它的一条对称轴方程．故选：C．7．（5分）已知正数x，y满足，则z＝4﹣x•（）y的最小值为（）A．1B．C．D．【解答】解：＝2﹣2x•2﹣y＝2﹣2x﹣y，设m＝﹣2x﹣y，要使z最小，则只需求m的最小值即可．作出不等式组对应的平面区域如图：由m＝﹣2x﹣y得y＝﹣2x﹣m，平移直线y＝﹣2x﹣m，由平移可知当直线y＝﹣2x﹣m，经过点B时，直线y＝﹣2x﹣m的截距最大，此时m最小．由，解得，即B（1，2），此时m＝﹣2﹣2＝﹣4，∴的最小值为，故选：C．8．（5分）若α∈（，π），3cos2α＝sin（﹣α），则sin2α的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：3cos2α＝sin（﹣α），可得3cos2α＝（cosα﹣sinα），3（cos2α﹣sin2α）＝（cosα﹣sinα），∵α∈（，π），∴sinα﹣cosα≠0，上式化为：sinα+cosα＝，两边平方可得1+sin2α＝．∴sin2α＝．故选：D．9．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是如图所示的四棱锥P﹣ABCD，且底面为直角梯形ABCD，高为2；∴该四棱锥的体积为V四棱锥＝××（2+4）×2×2＝4．故选：D．10．（5分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a＝2，，则b的值为（）A．B．C．D．＝，【解答】解：∵在锐角△ABC中，sin A＝，S△ABC∴bc sin A＝bc＝，∴bc＝3，①又a＝2，A是锐角，∴cos A＝＝，∴由余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，即（b+c）2＝a2+2bc（1+cos A）＝4+6（1+）＝12，∴b+c＝2②由①②得：，解得b＝c＝．故选：A．11．（5分）设双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作与x 轴垂直的直线l交两渐近线于A，B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若＝λ+μ（λ，μ∈R），λ•μ＝，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线的渐近线为：y＝±x，设焦点F（c，0），则A（c，），B（c，﹣），P（c，），∵，∴（c，）＝（（λ+μ）c，（λ﹣μ）），∴λ+μ＝1，λ﹣μ＝，解得λ＝，μ＝，又由λμ＝得＝，解得＝，∴e＝＝故选：A．12．（5分）若直角坐标平面内A、B两点满足：①点A、B都在函数f（x）的图象上；②点A、B关于原点对称，则点对（A，B）是函数f（x）的一个“姊妹点对”．点对（A，B）与（B，A）可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数f（x）＝，则f（x）的“姊妹点对”有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：设点A（x，y）（x＜0）在f（x）的图象上，则点B（﹣x，﹣y）也在f（x）的图象上；故；故x2+2x+＝0，令g（x）＝x2+2x+＝x2+2x+（1﹣x）e x，g′（x）＝2x+2﹣xe x，故可知g（x）在（﹣∞，0）上先减后增，且g（﹣2）＝＞0，g（﹣1）＝﹣1＜0，g（0）＝1；且g（x）在（﹣∞，0）上连续，故x2+2x+＝0在（﹣∞，0）上有两个解，故f（x）的“姊妹点对”有2个；故选：C．二．填空题：13．（5分）已知a＝（sin t+cos t）dt，则的展开式中的常数项为﹣．【解答】解：∵a＝∫π0（sin t+cos t）dt＝2∴＝∵的二项展开式的通项为＝令6﹣2r＝0解得r＝3∴展开式中的常数项为故答案为14．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的所有棱长都等于1，则三棱锥P﹣ABC的内切球的表面积．【解答】解：∵三棱锥P﹣ABC的所有棱长都等于1，∴底面外接圆的半径为，∴三棱锥P﹣ABC的高为＝，∵三棱锥P﹣ABC的外接球与内切球的半径的比为3：1，∴三棱锥P﹣ABC的内切球的半径为，∴三棱锥P﹣ABC的内切球的表面积为4π×＝．故答案为：．15．（5分）已知点A（0，2），抛物线C1：y2＝ax（a＞0）的焦点为F，射线F A 与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若|FM|：|MN|＝1：，则a 的值等于4．【解答】解：依题意F点的坐标为（，0），设M在准线上的射影为K，由抛物线的定义知|MF|＝|MK|，∴|KM|：|MN|＝1：，则|KN|：|KM|＝2：1，k FN＝＝﹣，k FN＝﹣＝﹣2∴＝2，求得a＝4，故答案为：4．16．（5分）已知f（x）＝，g（x）＝（k∈N*），对任意的c＞1，存在实数a，b满足0＜a＜b＜c，使得f（c）＝f（a）＝g（b），则k的最大值为3．【解答】解：当k＝1时，作函数f（x）＝，与g（x）＝（k∈N+）的图象如下，k＝1，对∀c＞1，存在实数a，b满足0＜a＜b＜c，使得f（c）＝f（a）＝g（b）成立，正确；当k＝2时，作函数f（x）＝，与g（x）＝（k∈N+）的图象如下，k＝2，对∀c＞1，存在实数a，b满足0＜a＜b＜c，使得f（c）＝f（a）＝g（b）成立，正确；当k＝3时，作函数f（x）＝，与g（x）＝（k∈N+）的图象如下，k＝3时，对∀c＞1，存在实数a，b满足0＜a＜b＜c，使得f（c）＝f（a）＝g（b）成立，正确，k＝4时，作函数f（x）＝，与g（x）＝（k∈N+）的图象如下，k＝4，不正确，故答案为：3．三、解答题：17．（12分）已知{a n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a5＝45，a2+a6＝14．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：+1（n∈N*），求数列{b n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，则依题设d＞0．由a2+a6＝14，可得a4＝7．由a3a5＝45，得（7﹣d）（7+d）＝45，可得d＝2．∴a1＝7﹣3d＝1．可得a n＝2n﹣1．（Ⅱ）设c n＝，则c1+c2+…+c n＝a n+1，即c1+c2+…+c n＝2n，可得c1＝2，且c1+c2+…+c n+c n+1＝2（n+1）．∴c n+1＝2，可知c n＝2（n∈N*）．∴b n＝2n+1，∴数列{b n}是首项为4，公比为2的等比数列．∴前n项和S n＝＝2n+2﹣4．18．（12分）在某校运动会中，甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛（即每两队比赛一场）共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局．在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为；（1）求甲队获第一名且丙队获第二名的概率；（2）设在该次比赛中，甲队得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（1）设甲队获第一且丙队获第二为事件A，则P（A）＝＝（2）ξ可能的取值为0，3，6；则甲两场皆输：P（ξ＝0）＝（1﹣）（1﹣）＝甲两场只胜一场：P（ξ＝3）＝×（1﹣）+×（1﹣）＝甲两场皆胜：P（ξ＝6）＝＝∴ξ的分布列为Eξ＝0×+3×+6×＝19．（12分）如图，已知长方形ABCD中，AB＝2，AD＝1，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．（1）求证：AD⊥BM；（2）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E﹣AM﹣D的余弦值为．【解答】（1）证明：∵长方形ABCD中，AB＝2，AD＝1，M为DC的中点，∴AM＝BM＝，∴BM⊥AM，∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM＝AM，BM⊂平面ABCM∴BM⊥平面ADM∵AD⊂平面ADM∴AD⊥BM；（2）建立如图所示的直角坐标系，设，则平面AMD的一个法向量，＝（，，），设平面AME的一个法向量为，取y＝1，得x＝0，y＝1，z＝，所以＝（0，1，），因为求得，所以E为BD的中点．20．（12分）已知椭圆C的焦点在x轴上，左右焦点分别为F1、F2，离心率e＝，P为椭圆上任意一点，△PF1F2的周长为6．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过点S（4，0）且斜率不为0的直线l与椭圆C交于Q，R两点，点Q关于x轴的对称点为Q1，过点Q1与R的直线交x轴于T点，试问△TRQ的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的方程为+＝1，a＞b＞0；∵e＝＝①，|PF1|+|PF2|+|F1F2|＝2a+2c＝6②，a2﹣b2＝c2③；解得a＝2，b＝，∴椭圆C的方程为；…4分（Ⅱ）设直线l的方程为x＝my+4，与椭圆的方程联立，得，消去x，得（3m2+4）y2+24my+36＝0，∴△＝（24m）2﹣4×36（3m2+4）＝144（m2﹣4）＞0，即m2＞4；…6分设Q（x1，y1），R（x2，y2），则Q1（x1，﹣y1），由根与系数的关系，得；直线RQ1的斜率为k＝＝，且Q1（x1，y1），∴直线RQ1的方程为y+y1＝（x﹣x1）；令y＝0，得x＝＝＝，将①②代人上式得x＝1；…9分又S＝|ST|•|y1﹣y2|＝△TRQ＝18×＝18×＝18×≤，当3＝，即m2＝时取得“＝”；∴△TRQ的面积存在最大值，最大值是．…12分．21．（12分）设函数f（x）＝x2﹣（a﹣2）x﹣alnx．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数a的值；（3）若方程f（x）＝c有两个不相等的实数根x1，x2，求证：．【解答】解：（1）x∈（0，+∞）．＝＝．当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞0上单调递增，即f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．当a＞0时，由f′（x）＞0得；由f′（x）＜0，解得．所以函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）由（1）可得，若函数f（x）有两个零点，则a＞0，且f（x）的最小值，即．∵a＞0，∴．令h（a）＝a+﹣4，可知h（a）在（0，+∞）上为增函数，且h（2）＝﹣2，h（3）＝＝，所以存在零点h（a0）＝0，a0∈（2，3），当a＞a0时，h（a）＞0；当0＜a＜a0时，h（a）＜0．所以满足条件的最小正整数a＝3．又当a＝3时，f（3）＝3（2﹣ln3）＞0，f（1）＝0，∴a＝3时，f（x）由两个零点．综上所述，满足条件的最小正整数a的值为3．（3）∵x1，x2是方程f（x）＝c得两个不等实数根，由（1）可知：a＞0．不妨设0＜x1＜x2．则，．两式相减得+alnx2＝0，化为a＝．∵，当时，f′（x）＜0，当时，f′（x）＞0．故只要证明即可，即证明x1+x2＞，即证明，设，令g（t）＝lnt﹣，则＝．∵1＞t＞0，∴g′（t）＞0．∴g（t）在（0，1）上是增函数，又在t＝1处连续且g（1）＝0，∴当t∈（0，1）时，g（t）＜0总成立．故命题得证．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲如图所示，已知P A与⊙O相切，A为切点，过点P的割线交圆于B、C两点，弦CD∥AP，AD、BC相交于点E，F为CE上一点，且DE2＝EF•EC．（1）求证：CE•EB＝EF•EP；（2）若CE：BE＝3：2，DE＝3，EF＝2，求P A的长．【解答】（I）证明：∵DE2＝EF•EC，∠DEF公用，∴△DEF∽△CED，∴∠EDF＝∠C．又∵弦CD∥AP，∴∠P＝∠C，∴∠EDF＝∠P，∠DEF＝∠PEA∴△EDF∽△EP A．∴，∴EA•ED＝EF•EP．又∵EA•ED＝CE•EB，∴CE•EB＝EF•EP；（II）∵DE2＝EF•EC，DE＝3，EF＝2．∴32＝2EC，∴．∵CE：BE＝3：2，∴BE＝3．由（I）可知：CE•EB＝EF•EP，∴，解得EP＝，∴BP＝EP﹣EB＝．∵P A是⊙O的切线，∴P A2＝PB•PC，∴，解得．选修4-4：坐标系与参数方程23．平面直角坐标系中，直线l的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+ρ2sin2θ﹣2ρsinθ﹣3＝0．（1）求直线l的极坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，求|AB|．【解答】解：（1）直线l的参数方程是（t为参数），化为普通方程得：y ＝x∴在平面直角坐标系中，直线l经过坐标原点，倾斜角是，因此，直线l的极坐标方程是θ＝，（ρ∈R）；…（5分）（2）把θ＝代入曲线C的极坐标方程ρ2cos2θ+ρ2sin2θ﹣2ρsinθ﹣3＝0，得ρ2﹣ρ﹣3＝0∴由一元二次方程根与系数的关系，得ρ1+ρ2＝，ρ1ρ2＝﹣3，∴|AB|＝|ρ1﹣ρ2|＝＝．…（10分）选修4-5：不等式选讲24．设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a、b∈M，（1）证明：|a+b|＜；（2）比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小，并说明理由．【解答】解：（1）记f（x）＝|x﹣1|﹣|x+2|＝，由﹣2＜﹣2x﹣1＜0解得﹣＜x＜，则M＝（﹣，）．…（3分）∵a、b∈M，∴，所以|a+b|≤|a|+|b|＜×+×＝．…（6分）（2）由（1）得a2＜，b2＜．因为|1﹣4ab|2﹣4|a﹣b|2＝（1﹣8ab+16a2b2）﹣4（a2﹣2ab+b2）＝（4a2﹣1）（4b2﹣1）＞0，…（9分）所以|1﹣4ab|2＞4|a﹣b|2，故|1﹣4ab|＞2|a﹣b|．…（10分）。
2015年河南理科数学试题及答案word版-新课标1
绝密★启封并使用完毕前试题类型：A 2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设复数z满足1+z1z-=i，则|z|=（A）1 （B2（C3（D）2 （2）sin20°cos10°-con160°sin10°=（A）32-（B）32（C）12-（D）12（3）设命题P：∃n∈N，2n>2n，则⌝P为（A）∀n∈N, 2n>2n（B）∃ n∈N, 2n≤2n（C）∀n∈N, 2n≤2n（D）∃ n∈N, 2n=2n（4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。
已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（A）0.648 （B）0.432 （C）0.36 （D）0.312（5）已知00(,)M x y 是双曲线22:12x C y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF <，则0y 的取值范围是（A ）（-33，33） （B ）（-36，36） （C ）（223-，223） （D ）（233-，233） （6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。
问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛（7）设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =，则 （A ）1433AD AB AC =-+ (B) 1433AD AB AC =- （C ）4133AD AB AC =+ (D) 4133AD AB AC =- (8)函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为(A)13(,),44k k k Z ππ-+∈ (B) 13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ (C) 13(,),44k k k Z -+∈ (D) 13(2,2),44k k k Z -+∈（9）执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8（10）25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为（A ）10 （B ）20 （C ）30 （D ）60 （11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。
2015届普通高等学校招生全国统一考试(新课标全国卷Ⅰ)模拟数学(理)试题(河南卷)word版版 含答案
2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷Ⅰ）模拟卷 理 科 数 学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
请把答案填在答题卷的相应位置。
1.已知集合},01|{R x x xx A ∈≥-=，},12|{R x y y B x ∈+==，则=)(B A C R A.]1,(-∞ B. )1,(-∞ C. ]1,0( D. ]1,0[ 2．复数),(111为虚数单位i R a ia i z ∈++-=在复平面上对应的点不可能位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3、将一个长方体截掉一个小长方体，所得几何体的俯视图与侧视图如右图所示，则该几何体的正视图为A.B.C.D.4.已知各项均为正数的等比数列}{n a 中，13213a ,a ,2a 2成等差数列，则=++1081311a a a a A. 27B.3C.1-或3D.1或275. 如图所示的程序框图的运行结果为35S =，那么判断框中应填入的关于k 的条件是A ．6>kB ．6≥kC ．7≥kD ．7>k 6．给出下列四个结论：①若a ，b ∈[0，1]，则不等式22a b ＋≤1成立的概率为4π；②由曲线y ＝3x 与y 0．5；③已知随机变量ξ服从正态分布N （3，2σ），若P （ξ≤5）＝m ，则P （ξ≤1）＝1－m ；④8的展开式中常数项为358．其中正确结论的个数为A ．1B ．2C ．3D ．47. 已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥-≥02200y x y x y ，则1x y z x +=+的取值范围是（ ）A ． 4[0,]3 B. 1[,2)2 C. 14[,]23 D. 1[,)2+∞ 8．定义在区间)](,[a b b a >上的函数x x x f cos 23sin 21)(-=的值域是]1,21[-，则a b -的最大值M 和最小值m 分别是A ．,63m M ππ==B ．2,33m M ππ==C ．4,23m M ππ==D ．24,33m M ππ==9. 对于任意实数x ，规定[]x 表示不大于x 的最大整数，则不等式[][]2436450x x -+<的充分不必要条件是 A. 315,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭B. 3,82x ⎛⎫∈⎪⎝⎭C. [)2,8x ∈D. [)2,7x ∈10.有5 盆不同菊花, 其中黄菊花2 盆、 白菊花2 盆、 红菊花1 盆,现把它们摆放成一排, 要求2 盆黄菊花必须相邻,2 盆白菊花不能相邻, 则这5 盆花不同的摆放种数是A ．12B ．24C ．36D ．4811、已知圆22:2C x y +=，直线:240l x y +-=，点00(,)P x y 在直线l 上．若存在圆C 上的点Q ，使45OPQ ∠=（O 为坐标原点），则0x 的取值范围是A 、[0,1]B 、8[0,]5C 、1[,1]2-D 、18[,]25-12.已知函数2|lg |0()10x x f x xx >⎧=⎨-≤⎩，则方程2(2)(0)f x x a a +=>的根的个数不可能为A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。
2015年河南省许昌、平顶山、新乡三市高考数学一模试卷(理科)
2015年河南省许昌、平顶山、新乡三市高考数学一模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知全集U=R，A={x|x≤1}，B={x|x≥2}，则集合∁U（A∪B）=（）A.{x|1＜x＜2}B.{x|1≤x≤2}C.{x|x≤2}D.{x|x≥1}【答案】A【解析】解：∵全集U=R，A={x|x≤1}，B={x|x≥2}，∴A∪B={x|x≤1或x≥2}，则∁U（A∪B）={x|1＜x＜2}．故选：A．由A与B，求出两集合的并集，根据全集U=R，求出并集的补集即可．此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2.已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A.-1B.1C.2D.3【答案】B【解析】解：由得a+2i=bi-1，所以由复数相等的意义知a=-1，b=2，所以a+b=1另解：由得-ai+2=b+i（a，b∈R），则-a=1，b=2，a+b=1．故选B．先化简复数，再利用复数相等，解出a、b，可得结果．本题考查复数相等的意义、复数的基本运算，是基础题．3.若A：a∈R，|a|＜1，B：x的二次方程x2+（a+1）x+a-2=0的一个根大于零，另一根小于零，则A是B的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：A：a∈R，|a|＜1，可得-1＜a＜1；B：x的二次方程x2+（a+1）x+a-2=0的一个根大于零，另一根小于零，所以f（0）=a-2＜0，所以a＜2；当-1＜a＜1时，a-2＜0，∴A是B的充分条件，当a＜2时，不能得出-1＜a＜1，比如a=1.5，∴A不是B的必要条件；所以A是B的充分不必要条件故选：A．先求得命题A，B为真时，参数的范围，再利用四种条件的定义，即可得结论．本题以命题为载体，考查四种条件，考查方程根的研究，利用四种条件的定义进行判断是关键．4.如图是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】解：执行程序框图，有i=1，m=0，n=0i＜3成立，i=2，m=1，n=i＜3成立，i=3，m=2，n=i＜3不成立，输出n的值为．故选：C．执行程序框图，写出当i＜3成立时，i，m，n的值，即可求出i＜3不成立时输出n的值．本题主要考察程序框图和算法，属于基础题．5.若x∈（e-1，1），a=lnx，b=（）lnx，c=e lnx，则a，b，c的大小关系为（）A.c＞b＞aB.b＞c＞aC.a＞b＞cD.b＞a＞c【答案】B【解析】解：∵x∈（e-1，1），a=lnx∴a∈（-1，0），即a＜0；又y=为减函数，∴b=＞==1，即b＞1；又c=e lnx=x∈（e-1，1），∴b＞c＞a．故选B．依题意，由对数函数与指数函数的性质可求得a＜0，b＞1，＜c＜1，从而可得答案．本题考查有理数指数幂的化简求值，考查对数值大小的比较，掌握对数函数与指数函数的性质是关键，属于中档题．6.从正六边形六个顶点及其中心这7个点中，任取两个点，则这两个点的距离大于该正六边形边长的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：从正六边形六个顶点及其中心这7个点中任取两个点共有=21种情况；距离等于该正六边形边长有6+6=12种，故这两个点的距离大于该正六边形边长的概率为=．故选C．由列举法求出所有可能的情况与不符合条件的情况，从而得到其概率．本题考查了列举法计算事件数的方法及概率的求法，属于基础题．7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B.10 C.30 D.24+2【答案】B【解析】解：由俯视图可知该几何体的底面为直角梯形，侧棱垂直于底面的直四棱柱，则正视图和俯视图可知该几何体的高为2，侧棱长为2，所以该几何体的体积为=10故选：B．正视图和侧视图的高是几何体的高，由俯视图可以确定几何体底面的形状，即可得出结论．本题考查有三视图还原几何体，本题是一个基础题，解题的过程中看清各个部分的数据，代入求体积公式得到结果．8.已知双曲线C1：-=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，若抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点到双曲线C1的涟近线的距离是2，则抛物线C2的方程是（）A. B.x2=y C.x2=8y D.x2=16y【答案】D【解析】解：双曲线C1：＞，＞的离心率为2．所以，即：=4，所以；双曲线的渐近线方程为：抛物线：＞的焦点（0，）到双曲线C1的渐近线的距离为2，所以2=，因为，所以p=8．抛物线C2的方程为x2=16y．故选D．利用双曲线的离心率推出a，b的关系，求出抛物线的焦点坐标，通过点到直线的距离求出p，即可得到抛物线的方程．本题考查抛物线的简单性质，点到直线的距离公式，双曲线的简单性质，考查计算能力．9.已知函数f（x）=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），其导函数f′（x）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（）A.f（x）=2sin（x+）B.f（x）=4sin（x+）C.f（x）=2sin（x+） D.f（x）=4sin（x+）【答案】B【解析】解：根据题意，对函数f（x）=A sin（ωx+φ）求导，可得f′（x）=ωA cos（ωx+φ），由导函数的图象可知：导函数的周期为2[-（-）]=4π，则有T==4π，解得ω=，由导函数图象可得导函数的最大值为2，则有Aω=2，即A=4，∴导函数f′（x）=2cos（x+φ），把（-，2）代入得：4cos（-+φ）=2，且|φ|＜，解得φ=，则f（x）=4sin（x+）．故选B．根据题意，先求出f（x）的导函数，再根据导函数的图象找出导函数的周期，利用周期公式求出ω的值，进而根据导函数的最大值为2，求出A的值，把求出的ω与A的值代入导函数中，再从导函数图象上找出一个已知点的坐标代入即可求出ψ的值，将A，ω及φ的值代入即可确定出f（x）的解析式，即可得答案．此题考查了由y=A sin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，涉及复合函数的导数的运算；借助导函数图象中的周期、最值，来确定A，ω及ψ的值是解本题的关键．10.已知正项数列{a n}的前n项的乘积等于T n=（n∈N*），b n=log2a n，则数列{b n}的前n项和S n中最大值是（）A.S6B.S5C.S4D.S3【答案】D【解析】解：由已知当n=1时，a1=T1=，当n≥2时，a n==，n=1时也适合上式，数列{a n}的通项公式为a n=∴b n=log2a n=14-4n，数列{b n}是以10为首项，以-4为公差的等差数列．=-2n2+12n=-2[（n-3）2-9]，当n=3时取得最大值．故选D由已知，探求{a n}的性质，再去研究数列{b n}的性质，继而解决S n中最大值．本题主要考查了等差数列的判定，前n项公式，考查了学生对基础知识的综合运用．体现了函数思想的应用．11.设x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（其中a＞0，b＞0）的最大值为3，则的最小值为（）A.4B.3C.2D.1【答案】B【解析】解：满足约束条件的区域是一个三角形，如图3个顶点是A（-3，0），B（-2，0），C（1，2），由图易得目标函数在（1，2）取最大值3，即a+2b=3．∴=（a+2b）•（）=（1+4++）≥×9=3（当且仅当a=b=1时取“=”）．故选B．本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，再根据目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为3，求出a，b的关系式，再利用基本不等式求出的最小值．本题考查的知识点是线性规划，作出线性规划的图形是关键，明确目标函数过点C（1，2）其最优解为3是难点，属于中档题．12.已知函数f（x）=x2+ln（x+m）与函数g（x）=x2+e x-（x＜0）的图象上存在关于y 轴对称的点（e为自然对数的底数），则m的取值范围是（）A.（-∞，）B.（-∞，）C.（-，）D.（-，）【答案】A【解析】解：题目可转化为：假设对称点为（x0，y0）和（-x0，y0），其中：x0＞0此时有：x02+e （-x）-=x02+ln（x0+m）即x2+e（-x）-=x2+ln（x+m）在x＞0时有解可化为：e（-x）-=ln（x+m）通过数形结合：显然有：m＜．故选：A．题目可转化为：假设对称点为（x0，y0）和（-x0，y0），其中：x0＞0，此时有：x02+e（-x0）-=x02+ln（x0+m），通过数形结合即可求解．本题主要考察函数奇偶性的性质，属于中档题．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.dx= ______ ．【答案】π【解析】解：令y=，画出图象：由微积分基本定理的几何意义可得：=π．故答案为π．利用微积分基本定理的几何意义即可得出．熟练掌握微积分基本定理的几何意义是解题的关键．14.（x-）6展开式的常数项为______ ．【答案】-20【解析】解：由于（x-）6展开式的通项公式为T r+1=•（-1）r•x6-2r，令6-2r=0，求得r=3，可得（x-）6展开式的常数项为-=-20，故答案为：-20．先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．15.在直角三角形ABC中，AB=4，AC=2，M是斜边BC的中点，则向量在向量方向上的投影是______ ．【答案】-【解析】解：如图所示，B（4，0），C（0，2），M（2，1）．∴=（2，1），=（-4，2）．∴向量在向量方向上的投影===-．故答案为：．利用向量在向量方向上的投影=即可得出．本题考查了向量投影的计算公式，属于基础题．16.设函数f（x）=1+sin2x，g（x）=2cos2x+m，若存在x0∈[0，]，f（x0）≥g（x0），则实数m的取值范围是______ ．【答案】m≤【解析】解：由题意可得存在x0∈[0，]，使1+sin2x0-2cos2x0-m≥0即可满足题意，故只需存在x0∈[0，]，m≤1+sin2x0-2cos2x0，故只需m≤（1+sin2x-2cos2x）max，x∈[0，]，化简可得y=1+sin2x-2cos2x=sin2x-cos2x=sin（2x-），∵x∈[0，]，∴2x-∈[，]，∴sin（2x-）∈[，1]，∴sin（2x-）∈[-1，]，即y=1+sin2x-2cos2x的最大值为，∴m≤故答案为：m≤把问题转化为y=1+sin2x-2cos2x在已知区间的最大值，由三角函数的知识求解即可．本题考查三角函数的性质，转化为求y=1+sin2x-2cos2x在已知区间的最大值是解决问题的关键，属中档题．三、解答题(本大题共8小题，共94.0分)17.在斜三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b，c，且=-．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若＞，求角C的取值范围．【答案】解：（I）由已知=-，可得2cos B=．而△ABC为斜三角形，∴cos B≠0，∴sin2A=1．∵A∈（0，π），∴2A=，A=．（II）∵B+C=，且===+tan C＞，即tan C＞1，∴＜C＜．【解析】（I）由已知可得2cos B=，求得sin2A=1，可得A的值．（II）由B+C=，且==+tan C＞，求得tan C＞1，从而得到C的范围．本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，两角和差的正弦公式、诱导公式，属于基础题．18.经调查发现，人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒，其中罗非鱼体内汞含量比其它鱼偏高．现从一批数量很大的罗非鱼中随机地抽出15条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前的数字为茎，小数点后一位数字为叶）如图．《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过1.0ppm．（Ⅰ）检查人员从这15条鱼中，随机抽出3条，求3条中恰有1条汞含量超标的概率；（Ⅱ）若从这批数量很大的鱼中任选3条鱼，记ξ表示抽到的汞含量超标的鱼的条数．以此15条鱼的样本数据来估计这批数量很大的鱼的总体数据，求ξ的分布列及数学期望Eξ．【答案】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）记“15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标”为事件A，则，∴15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标的概率为．…（4分）（Ⅱ）依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率，…（5分）ξ可能取0，1，2，3．…（6分）则，，，．…（10分）∴ξ的分布列如下：…（12分）∴．…（13分）【解析】（Ⅰ）根据古典概型概率计算公式利用排列组合知识能求出15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标的概率．（Ⅱ）依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率，ξ可能取0，1，2，3．分别求出相对应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要注意排列组合知识的合理运用．19.四棱锥S-ABCD，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD．已知∠DAB=135°，BC=2，SB=SC=AB=2，F为线段SB的中点．（1）求证：SD∥平面CFA；（2）求面SCD与面SAB所成二面角的平面角的余弦值大小．【答案】（1）证明：连结BD交AC于点E，连结EF，∵底面ABCD为平行四边形，∴E为BD的中点．在△BSD中，F为SB的中点，∴EF∥SD，又∵EF⊂面CFA，SD⊄面CFA，∴SD∥平面CFA．（2）解：以BC的中点O为坐标原点，分别以OA，OC，OS为x，y，z轴，建立如图所示的坐标系．则有，，，，，，，，，，，，∴，，，，，，，，，，，，（7分）设平面SAB的一个法向量为，，由得，令z=1得：x=1，y=-1∴，，同理设平面SCD的一个法向量为，，由，得，令b=1得：a=-1，c=1，∴，，设面SCD与面SAB所成二面角为θ，则＜，＞=，∴面SCD与面SAB所成二面角的平面角的余弦值为．【解析】（1）连结BD交AC于点E，连结EF，由已知条件推导出EF∥SD，由此能够证明SD∥平面CFA．（2）以BC的中点O为坐标原点，分别以OA，OC，OS为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．利用向量法能求出面SCD与面SAB所成二面角的平面角的余弦值．本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20.已知两点F1（-1，0）及F2（1，0），点P在以F1、F2为焦点的椭圆C上，且|PF1|、|F1F2|、|PF2|构成等差数列．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，动直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点，点M，N是直线l上的两点，且F1M⊥l，F2N⊥l．求四边形F1MNF2面积S的最大值．【答案】解：（1）依题意，设椭圆C的方程为．∵|PF1|、|F1F2|、|PF2|构成等差数列，∴2a=|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4，a=2．又∵c=1，∴b2=3．∴椭圆C的方程为．（2）将直线l的方程y=kx+m代入椭圆C的方程3x2+4y2=12中，得（4k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0．由直线l与椭圆C仅有一个公共点知，△=64k2m2-4（4k2+3）（4m2-12）=0，化简得：m2=4k2+3．设，，法一：当k≠0时，设直线l的倾斜角为θ，则|d1-d2|=|MN|×|tanθ|，∴，=，∵m2=4k2+3，∴当k≠0时，＞，＞，＜．当k=0时，四边形F1MNF2是矩形，．所以四边形F1MNF2面积S的最大值为．法二：∵，．∴=．四边形F1MNF2的面积=，=．当且仅当k=0时，，，故．所以四边形F1MNF2的面积S的最大值为．【解析】（1）依题意，设椭圆C的方程为，c=1．再利用|PF1|、|F1F2|、|PF2|构成等差数列，即可得到a，利用b2=a2-c2得到a即可得到椭圆的方程；（2）将直线l的方程y=kx+m代入椭圆C的方程3x2+4y2=12中，得到关于x的一元二次方程，由直线l与椭圆C仅有一个公共点知，△=0，即可得到m，k的关系式，利用点到直线的距离公式即可得到d1=|F1M|，d2=|F2N|．法一：当k≠0时，设直线l的倾斜角为θ，则|d1-d2|=|MN|×|tanθ|，即可得到四边形F1MNF2面积S的表达式，利用基本不等式的性质即可得出S的最大值；法二：利用d1及d2表示出及d1d2，进而得到，再利用二次函数的单调性即可得出其最大值．本题主要考查椭圆的方程与性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系、等差数列、二次函数的单调性、基本不等式的性质等基础知识，考查运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想．21.设函数f（x）=lnx+x2-（m+2）x，在x=a和x=b处有两个极值点，其中a＜b，m∈R．（Ⅰ）求实数m的取值范围；（Ⅱ）若≥e（e为自然对数的底数），求f（b）-f（a）的最大值．【答案】解：（Ⅰ）′，则由题意得方程x2-（m+2）x+1=0有两个正根，故＞＞，解得m＞0．故实数m的取值范围是m＞0．（Ⅱ），又m+2=a+b，ab=1∴==，设，故，构造函数′＜，所以g（t）在[e，+∞）上是减函数，，f（b）-f（a）的最大值为．【解析】（Ⅰ）函数有两个极值点，结合定义域，知其导数有两个正实数根，得到不等式组，求出m的范围；（Ⅱ）由题知a，b是两个极值点，结合韦达定理，得到f（b）-f（a）关于a，b的关系式，再用换元t=，构造关于t的函数，求出g（t）的最大值．本题考查了，极值，韦达定理，换元法，以及构造思想．属于中档题．22.如图，AB是⊙O的直径，C，F为⊙O上的点，CA是∠BAF的角平分线，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于D点，CM⊥AB，垂足为点M．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）求证：AM•MB=DF•DA．【答案】证明：（1）连接OC，∵OA=OC∴∠OAC=∠OCA，∵CA是∠BAF的角平分线，∴∠OAC=∠FAC∴∠FAC=∠OCA，∴OC∥AD．…（3分）∵CD⊥AF，∴CD⊥OC，即DC是⊙O的切线．…（5分）（2）连接BC，在R t△ACB中，CM⊥AB，∴CM2=AM•MB．又∵DC是⊙O的切线，∴DC2=DF•DA．∵∠MAC=∠DAC，∠D=∠AMC，AC=AC∴△AMC≌△ADC，∴DC=CM，∴AM•MB=DF•DA…（10分）【解析】（1）证明DC是⊙O的切线，就是要证明CD⊥OC，根据CD⊥AF，我们只要证明OC∥AD；（2）首先，我们可以利用射影定理得到CM2=AM•MB，再利用切割线定理得到DC2=DF•DA，根据证明的结论，只要证明DC=CM．几何证明选讲重点考查相似形，圆的比例线段问题，一般来说都比较简单，只要掌握常规的证法就可以了．23.选修4-4：坐标系与参数方程已知：直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（θ为参数）．（1）若在极坐标系（与直角坐标系x O y取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，），判断点P与直线l的位置关系；（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求点Q到直线l的距离的最大值与最小值的差．【答案】解：（1）把点P的极坐标为（4，）化为直角坐标为（2，2），把直线l的参数方程（t为参数），化为直角坐标方程为y=x+1，由于点P的坐标不满足直线l的方程，故点P不在直线l上．（2）∵点Q是曲线C上的一个动点，曲线C的参数方程为（θ为参数）．把曲线C的方程化为直角坐标方程为（x-2）2+y2=1，表示以C（2，0）为圆心、半径等于1的圆．圆心到直线的距离d==+，故点Q到直线l的距离的最小值为d-r=-，最大值为d+r=+，∴点Q到直线l的距离的最大值与最小值的差为2．【解析】（1）把点P的极坐标化为直角坐标，把直线l的参数方程化为直角坐标方程，根据点P 的坐标不满足直线l的方程，可得点P不在直线l上．（2）把曲线C的方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离d的值，根据点Q到直线l的距离的最小值为d-r，最大值为d+r，从而求得点Q到直线l的距离的最大值与最小值的差．本题主要考查把点的极坐标化为直角坐标，把参数方程化为直角坐标方程，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．24.已知函数f（x）=|x-a|．（1）若不等式f（x）≤3的解集为{x|-1≤x≤5}，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．【答案】解：（1）由f（x）≤3得|x-a|≤3，解得a-3≤x≤a+3．又已知不等式f（x）≤3的解集为{x|-1≤x≤5}，所以解得a=2．（6分）（2）当a=2时，f（x）=|x-2|．设g（x）=f（x）+f（x+5），，＜于是＞所以当x＜-3时，g（x）＞5；当-3≤x≤2时，g（x）=5；当x＞2时，g（x）＞5．综上可得，g（x）的最小值为5．从而，若f（x）+f（x+5）≥m即g（x）≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为（-∞，5]．（12分）【解析】（1）不等式f（x）≤3就是|x-a|≤3，求出它的解集，与{x|-1≤x≤5}相同，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，根据f（x）+f（x+5）的最小值≥m，可求实数m的取值范围．本题考查函数恒成立问题，绝对值不等式的解法，考查转化思想，是中档题，。
河南省八市重点高中联考2015届高考数学模拟试卷理含解析
河南省八市重点高中联考2015届高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共60分1．已知集合A={x|4≤2x≤16}，B={a，b}，若A⊆B，则实数a﹣b的取值范围是( ) A．（﹣∞，﹣2] B．[﹣2，+∞）C．（﹣∞，2] D．[2，+∞）2．设a∈R，若（a﹣i）2i（i为虚数单位）为正实数，则a=( )A．2 B．1 C．0 D．﹣13．设S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4＜0，a5＞|a4|，则使S n＞0成立的最小正整数n 为( )A．6 B．7 C．8 D．94．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则( )A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l5．如果的值为( )A．B．C．﹣D．﹣6．已知点A、O、B为平面内不共线的三点，若A i（i=1，2，3，…，n）是该平面内的任一点，且有•=•，则点A i（i=1，2，3，…，n）在( )A．过A点的抛物线上B．过A点的直线上C．过A点的圆心的圆上D．过A点的椭圆上7．已知函数f（x）=x2﹣2ax+2a2﹣2（a≠0），g（x）=﹣e x﹣，则下列命题为真命题的是( )A．∀x∈R，都有f（x）＜g（x）B．∀x∈R，都有f（x）＞g（x）C．∃x0∈R，使得f（x0）＜g（x0）D．∃x0∈R，使得f（x0）=g（x0）8．非零向量，满足2•=，||+||=2，则，的夹角θ的最小值为( ) A．B．C．D．9．如图，平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，，将其沿对角线BD折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′﹣BCD顶点在同一个球面上，则该球的体积为( )A．B．3πC．D．2π10．已知直线（m+2）x+（m+1）y+1=0上存在点（x，y）满足，则m的取值范围为( )A．[﹣，+∞）B．（﹣∞，﹣] C．[﹣1，] D．[﹣，]11．已知椭圆+=1（a＞b＞0，c为椭圆的半焦距）的左焦点为F，右顶点为A，抛物线y2=（a+c）x与椭圆交于B，C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率是( ) A．B．C．D．12．设集合A n={x|（x﹣1）（x﹣n2﹣4+lnn）＜0}，当n取遍区间（1，3）内的一切实数，所有的集合A n的并集是( )A．（1，13﹣ln3）B．（1，6）C．（1，+∞）D．（1，2）二、填空题：本大题共四个题，每小题5分，请将答案写在答案卡相应的位置上．13．观察下列等式，24=7+934=25+27+2944=61+63+65+67…照此规律，第4个等式可为__________．14．已知圆C：x2+y2﹣2ax+2ay+2a2+2a﹣1=0与直线l：x﹣y﹣1=0有公共点，则a的取值范围为__________．15．将函数f（x）=sin（2x+）向右平移个单位，再将所得的函数图象上的各点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）与x=﹣，x=，x轴围成的图形面积为__________．16．已知数列{a n}的通项为a n=sin（+）+（n∈N*），则数列{a n}中最小项的值为__________．三、解答题．本题共6小题，共70分17．已知函数f（x）=x2+（lga+2）x+lgb满足f（﹣1）=﹣2且对于任意x∈R，恒有f（x）≥2x成立．（1）求实数a，b的值；（2）解不等式f（x）＜x+5．18．如图，在△ABC中，D为边AB上一点，DA=DC．已知B=，BC=1．（Ⅰ）若DC=，求角A的大小；（Ⅱ）若△BCD面积为，求边AB的长．19．已知函数f（x）=（x﹣2）2，f′（x）是函数f（x）的导函数，设由a1=3，a n+1=a n﹣，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=na n，求数列{b n}的前n项和S n．20．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AA1=8，AC=AB=5，BC=6，点A1在底面ABC的射影是线段BC的中点O，在侧棱AA1上存在一点E，且OE⊥B1C．（1）求证：OE⊥面BB1C1C；（2）求平面A1B1C与平面B1C1C所成锐二面角的余弦值的大小．21．如图，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），设圆T与椭圆C交于点M与点N．（1）求椭圆C的方程；（2）求的最小值，并求此时圆T的方程；（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O 为坐标原点，求证：|OR|•|OS|为定值．22．已知函数f（x）=（x2﹣3x+3）•e x定义域为[﹣2，t]（t＞﹣2）．（1）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数；（2）证明：对于任意的t＞﹣2，总存在x0∈（﹣2，t），满足=（t﹣1）2，并确定这样的x0的个数．河南省八市重点高中联考2015届高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共60分1．已知集合A={x|4≤2x≤16}，B={a，b}，若A⊆B，则实数a﹣b的取值范围是( ) A．（﹣∞，﹣2] B．[﹣2，+∞）C．（﹣∞，2] D．[2，+∞）考点：集合的包含关系判断及应用．专题：计算题；集合．分析：先化简A，注意运用指数函数的单调性解不等式，再根据集合的包含关系，求出a，b 的范围，运用不等式的性质，求出a﹣b的取值范围．解答：解：集合A={x|4≤2x≤16}={x|22≤2x≤24}={x|2≤x≤4}=[2，4]，∵A⊆B，B=[a，b]，∴a≤2，b≥4，∴a﹣b≤2﹣4=﹣2，即a﹣b的取值范围是（﹣∞，﹣2]．故选：A．点评：本题考查集合的包含关系及应用，考查指数不等式的解法，注意运用指数函数的单调性，同时必须掌握不等式的性质是解题的关键．2．设a∈R，若（a﹣i）2i（i为虚数单位）为正实数，则a=( )A．2 B．1 C．0 D．﹣1考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：化简复数到最简形式，由题意知，此复数的实部大于0，虚部等于0，解出a的值．解答：解：∵（a﹣i）2i=（a2﹣1﹣2ai）i=2a+（a2﹣1）i 为正实数，∴2a＞0，且（a2﹣1）=0，∴a=1，故选B．点评：本题考查两个复数代数形式的乘法，复数为正实数的条件．3．设S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4＜0，a5＞|a4|，则使S n＞0成立的最小正整数n 为( )A．6 B．7 C．8 D．9考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：根据给出的已知条件，得到a5+a4＞0，然后由等差数列的前n项和公式，结合等差数列的性质得答案．解答：解：在等差数列{a n}中，∵a4＜0，a5＞|a4|，得a5＞0，a5+a4＞0，，．∴使S n＞0成立的最小正整数n为8．故选：C．点评：本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，是基础题．4．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则( )A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l考点：平面与平面之间的位置关系；平面的基本性质及推论．专题：空间位置关系与距离．分析：由题目给出的已知条件，结合线面平行，线面垂直的判定与性质，可以直接得到正确的结论．解答：解：由m⊥平面α，直线l满足l⊥m，且l⊄α，所以l∥α，又n⊥平面β，l⊥n，l⊄β，所以l∥β．由直线m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，则α与β相交，否则，若α∥β则推出m∥n，与m，n异面矛盾．故α与β相交，且交线平行于l．故选D．点评：本题考查了平面与平面之间的位置关系，考查了平面的基本性质及推论，考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题．5．如果的值为( )A．B．C．﹣D．﹣考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题．分析：由题意求出的范围，确定的符号，求出cosθ，利用二倍角公式求出的值．解答：解：因为，所以cosθ=﹣，，，所以=﹣=﹣；故选D．点评：本题是基础题，考查三角函数的化简求值，注意角的范围的确定，三角函数的值的符号的确定，考查计算能力．6．已知点A、O、B为平面内不共线的三点，若A i（i=1，2，3，…，n）是该平面内的任一点，且有•=•，则点A i（i=1，2，3，…，n）在( )A．过A点的抛物线上 B．过A点的直线上C．过A点的圆心的圆上 D．过A点的椭圆上考点：向量的物理背景与概念．专题：平面向量及应用．分析：根据题意，得出⊥，即得出点A i（i=1，2，3，…，n）在过A点的直线上．解答：解：根据题意，得有•=•，∴（﹣）•=0；•=0，∴⊥；∴点A i（i=1，2，3，…，n）在过A点的直线上．故选：B．点评：本题考查了平面向量的应用问题，解题时应根据向量的运算法则，寻求解答问题的途径，从而解答问题，是基础题．7．已知函数f（x）=x2﹣2ax+2a2﹣2（a≠0），g（x）=﹣e x﹣，则下列命题为真命题的是( )A．∀x∈R，都有f（x）＜g（x）B．∀x∈R，都有f（x）＞g（x）C．∃x0∈R，使得f（x0）＜g（x0）D．∃x0∈R，使得f（x0）=g（x0）考点：全称命题；特称命题．专题：简易逻辑．分析：求出两个函数的值域，然后判断选项即可．解答：解：函数f（x）=x2﹣2ax+2a2﹣2=（x﹣a）2+a2﹣2≥a2﹣2＞﹣2，g（x）=﹣e x﹣=﹣（e x+）≤﹣2，显然∀x∈R，都有f（x）＞g（x），故选：B．点评：本题考查函数的值域命题的真假的判断，基本知识的考查．8．非零向量，满足2•=，||+||=2，则，的夹角θ的最小值为( ) A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：运用向量的数量积的定义和向量的平方即为模的平方，可得2cosθ=||•||，再由基本不等式，可得cosθ≤，结合余弦函数的性质，即可得到所求最小值．解答：解：非零向量，满足2•=，|即有2||•||•cosθ=||2•||2，即2cosθ=||•||，由||+||=2，则||•||≤（）2=1，即有cosθ≤，由于0≤θ≤π，则≤θ≤π，则当||=||=1时，，的夹角θ取得最小值为．故选C．点评：本题考查向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，以及基本不等式的运用，属于基础题．9．如图，平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，，将其沿对角线BD折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′﹣BCD顶点在同一个球面上，则该球的体积为( )A．B．3πC．D．2π考点：球内接多面体；球的体积和表面积．专题：计算题；压轴题．分析：说明折叠后几何体的特征，求出三棱锥的外接球的半径，然后求出球的体积．解答：解：由题意平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，，将其沿对角线BD折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′﹣BCD顶点在同一个球面上，可知A′B⊥A′C，所以BC 是外接球的直径，所以BC=，球的半径为：；所以球的体积为：=．故选A点评：本题是基础题，考查折叠问题，三棱锥的外接球的体积的求法，考查计算能力，正确球的外接球的半径是解题的关键．10．已知直线（m+2）x+（m+1）y+1=0上存在点（x，y）满足，则m的取值范围为( )A．[﹣，+∞）B．（﹣∞，﹣] C．[﹣1，] D．[﹣，]考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：将直线进行整理，得到直线过定点（﹣1，1），作出不等式组对应的平面区域，根据条件得到A．B应该在直线l的两侧或在直线l上，即可得到结论．解答：解：∵直线l：（m+2）x+（m+1）y+1=0等价为m（x+y）+（2x+y+1）=0，即，解得，∴直线过定点P（﹣1，1），作出不等式组对应的平面区域（阴影部分ABC），要使直线（m+2）x+（m+1）y+1=0上存在点（x，y）满足，则必有点A（1，2），B（1，﹣1）在l的两侧或在l上．得[（m+2）×1+（m+1）×2+1]•[（m+2）×1+（m+1）×（﹣1）+1]≤0，即2（3m+5）≤0，解得．故m的取值范围为（﹣∞，﹣]，故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，根据条件求出直线过定点，以及利用不等式组作出平面区域是解决本题的关键．11．已知椭圆+=1（a＞b＞0，c为椭圆的半焦距）的左焦点为F，右顶点为A，抛物线y2=（a+c）x与椭圆交于B，C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率是( ) A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由椭圆方程求出F和A的坐标，由对称性设出B、C的坐标，根据平行四边形的性质求出横坐标，代入抛物线方程求出B的纵坐标，将点B的坐标代入椭圆方程，化简整理得到关于椭圆离心率e的方程，即可得到该椭圆的离心率．解答：解：由题意得，椭圆+=1（a＞b＞0，c为半焦距）的左焦点为F，右顶点为A，则A（a，0），F（﹣c，0），∵抛物线y2=（a+c）x与椭圆交于B，C两点，∴B、C两点关于x轴对称，可设B（m，n），C（m，﹣n）∵四边形ABFC是平行四边形，∴2m=a﹣c，则，将B（m，n）代入抛物线方程得，n2=（a+c）m=（a+c）（a﹣c）=（a2﹣c2），∴，则不妨设B（，），再代入椭圆方程得，+=1，化简得，即4e2﹣8e+3=0，解得e=或1（舍去），故选：D．点评：本题考查椭圆、抛物线的标准方程，以及它们的简单几何性质，平行四边形的性质，主要考查了椭圆的离心率e，属于中档题．12．设集合A n={x|（x﹣1）（x﹣n2﹣4+lnn）＜0}，当n取遍区间（1，3）内的一切实数，所有的集合A n的并集是( )A．（1，13﹣ln3） B．（1，6）C．（1，+∞）D．（1，2）考点：函数的值域；并集及其运算．专题：函数思想；函数的性质及应用．分析：先求不等式的解集，再构造函数求出所有函数的值域再求值域的并集就可以了．解答：解：（x﹣1）（x﹣n2﹣4+lnn）=0的两根为x1=1，，又n2+4﹣lnn＞1，∴，设f（n）=n2+4﹣lnn，n∈（1，3），则，在n∈（1，3）时f′（n）＞0，∴f（n）在区间（1，3）上单调递增，即f（n）＜f（3）=13﹣ln3，所以集合A n的并集为（1，13﹣ln3）．故选：A．点评：本题利用构造函数，求函数的值域，注意先要求出不等式的解集，再求解集的并集．本题对初学者来讲有一定的难度，属于中档题．二、填空题：本大题共四个题，每小题5分，请将答案写在答案卡相应的位置上．13．观察下列等式，24=7+934=25+27+2944=61+63+65+67…照此规律，第4个等式可为54=121+123+125+127+129．考点：归纳推理．专题：推理和证明．分析：观察可知每一行的数字都是连续的奇数，且奇数的个数等于所在的行数，每行的第一数字为行数+1的3次方减去所在行数，解答：解：观察可知每一行的数字都是连续的奇数，且奇数的个数等于所在的行数，每行的第一数字为行数+1的3次方减去所在行数，设行数为n，用a n1表示每行的第一个数，则a n1=（n+1）3﹣n，因此第4行的第一个数为：（4+1）3﹣4=121，则第4个等式为54=121+123+125+127+129，故答案为：54=121+123+125+127+129．点评：本题解答的关键是发现规律，利用规律找出一般的解决问题的方法，进一步解决问题即可．14．已知圆C：x2+y2﹣2ax+2ay+2a2+2a﹣1=0与直线l：x﹣y﹣1=0有公共点，则a的取值范围为[﹣，）．考点：圆的一般方程．专题：直线与圆．分析：若圆C：x2+y2﹣2ax+2ay+2a2+2a﹣1=0与直线l：x﹣y﹣1=0有公共点，则，解得a的取值范围．解答：解：圆C：x2+y2﹣2ax+2ay+2a2+2a﹣1=0的圆心坐标为（a，﹣a），半径r=，若圆C：x2+y2﹣2ax+2ay+2a2+2a﹣1=0与直线l：x﹣y﹣1=0有公共点，则，解得：a∈[﹣，），故答案为：[﹣，）点评：本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，圆的一般式方程，解答时易忽略1﹣2a＞0，而造成错解．15．将函数f（x）=sin（2x+）向右平移个单位，再将所得的函数图象上的各点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）与x=﹣，x=，x轴围成的图形面积为．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：导数的综合应用；三角函数的图像与性质．分析：数f（x）=sin（2x+）向右平移个单位，推出函数解析式，再将所得的函数图象上的各点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数y=g（x）的图象，利用积分求函数y=g（x）与x=﹣，x=，x轴围成的图形面积．解答：解：将函数f（x）=sin（2x+）向右平移个单位，得到函数=sin（2x﹣π）=﹣sin2x，再将所得的函数图象上的各点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数y=g（x）=﹣sinx的图象，则函数y=﹣sinx与x=﹣，x=，x轴围成的图形面积：﹣+=﹣cosx+cosx=+1=．故答案为：．点评：本题是中档题，考查三角函数图象的平移伸缩变换，利用积分求面积，正确的变换是基础，合理利用积分求面积是近年2015届高考必考内容．16．已知数列{a n}的通项为a n=sin（+）+（n∈N*），则数列{a n}中最小项的值为．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知得n=4k，k∈N*时，a n=sin+；n=4k+1，k∈N*时，a n=sin（）+；n=4k+2，k∈N*时，a n=sin（）+；n=4k+3，k∈N*时，a n=sin（）+．由此能求出数列{a n}中最小项的值．解答：解：∵a n=sin（+）+（n∈N*），∴n=4k，k∈N*时，a n=sin+=，n=4k+1，k∈N*时，a n=sin（）+=，n=4k+2，k∈N*时，a n=sin（）+=，n=4k+3，k∈N*时，a n=sin（）+=．∴数列{a n}中最小项的值为．故答案为：．点评：本题考查数列中最小项的值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦函数的周期性质的合理运用．三、解答题．本题共6小题，共70分17．已知函数f（x）=x2+（lga+2）x+lgb满足f（﹣1）=﹣2且对于任意x∈R，恒有f（x）≥2x成立．（1）求实数a，b的值；（2）解不等式f（x）＜x+5．考点：一元二次不等式的解法；二次函数的性质；函数最值的应用．专题：综合题．分析：（1）由f（﹣1）=﹣2，代入函数解析式得到关于lga与lgb的等式记作①，化简后得到关于a与b的等式记作②，又因为f（x）≥2x恒成立，把f（x）的解析式代入后，令△≤0得到关于lga与lgb的不等式，把①代入后得到关于lgb的不等式，根据平方大于等于0，即可求出b的值，把b的值代入②即可求出a的值；（2）由（1）求出的a与b的值代入f（x）的解析式中即可确定出f（x）的解析式，然后把f（x）的解析式代入到f（x）＜x+5中，得到关于x的一元二次不等式，求出一元二次不等式的解集即可．解答：解（1）由f（﹣1）=﹣2知，lgb﹣lga+1=0①，所以②．又f（x）≥2x恒成立，f（x）﹣2x≥0恒成立，则有x2+x•lga+lgb≥0恒成立，故△=（lga）2﹣4lgb≤0，将①式代入上式得：（lgb）2﹣2lgb+1≤0，即（lgb﹣1）2≤0，故lgb=1即b=10，代入②得，a=100；（2）由（1）知f（x）=x2+4x+1，f（x）＜x+5，即x2+4x+1＜x+5，所以x2+3x﹣4＜0，解得﹣4＜x＜1，因此不等式的解集为{x|﹣4＜x＜1}．点评：此题考查学生掌握不等式恒成立时所满足的条件，以及会求一元二次不等式的解集，是一道中档题．18．如图，在△ABC中，D为边AB上一点，DA=DC．已知B=，BC=1．（Ⅰ）若DC=，求角A的大小；（Ⅱ）若△BCD面积为，求边AB的长．考点：正弦定理；解三角形．专题：解三角形．分析：（1）在△BCD中，由正弦定理得到：，计算得到∠BDC，又由DA=DC，即可得到∠A；（2）由于△BCD面积为，得到，得到BD，再由余弦定理得到，再由DA=DC，即可得到边AB的长．解答：解：（1）在△BCD中，B=，BC=1，DC=，由正弦定理得到：，解得，则∠BDC=60°或120°．又由DA=DC，则∠A=30°或60°．（2）由于B=，BC=1，△BCD面积为，则，解得．再由余弦定理得到=，故，又由AB=AD+BD=CD+BD=，故边AB的长为：．点评：考查了正弦定理和余弦定理结合去解三角形，属于基础题．19．已知函数f（x）=（x﹣2）2，f′（x）是函数f（x）的导函数，设由a1=3，a n+1=a n﹣，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=na n，求数列{b n}的前n项和S n．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）f′（x）=2（x﹣2），由a n+1=a n﹣，可得a n+1=a n﹣，变形，利用等比数列的通项公式即可得出．（Ⅱ）由题意b n=na n=，再利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．解答：解：（I）f′（x）=2（x﹣2），由a n+1=a n﹣，可得a n+1=a n﹣，化为，变形，∴{a n﹣2}是以a1﹣2=1为首项，公比为的等比数列，∴，∴a n=2+．（Ⅱ）由题意b n=na n=，设数列的前n项和为T n，则T n=1++…+，=+…，=1++…+﹣=﹣=2﹣，即T n=，∴S n=T n+n2+n=+n2+n．点评：本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AA1=8，AC=AB=5，BC=6，点A1在底面ABC的射影是线段BC的中点O，在侧棱AA1上存在一点E，且OE⊥B1C．（1）求证：OE⊥面BB1C1C；（2）求平面A1B1C与平面B1C1C所成锐二面角的余弦值的大小．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）由已知得A1O⊥面ABC，从而A1O⊥BC，由等腰三角形性质得BC⊥AO，从而EO⊥BC，又OE⊥B1C，由此能证明OE⊥面BB1C1C．（2）由勾股定理得AO=4，，分别以OC、OA、OA1为x、y、z轴建立空间坐标系，求出面A1B1C的法向量和面C1B1C的法向量，由此能求出平面A1B1C与平面B1C1C所成锐二面角的余弦值．解答：解：（1）证明：∵点A1在底面ABC的射影是线段BC的中点O，∴A1O⊥面ABC，而BC⊂面ABC，∴A1O⊥BC，…又∵AC=AB=5，线段BC的中点O，∴BC⊥AO，∵A1O∩AO=O，…∴BC⊥面A1OA，EO⊂面A1OA，EO⊥BC，又∵OE⊥B1C，B1C∩BC=C，B1C⊂面BB1C1C，BC⊂面BB1C1C，∴OE⊥面BB1C1C．…（2）解：由（1）知，在△AOB中，AO2+BO2=AB2，则AO=4，在△A1AO中，，则分别以OC、OA、OA1为x、y、z轴建立空间坐标系，C（3，0，0），A1（0，0，4），A（0，4，0），B（﹣3，0，0），∵，∴B1（﹣3，﹣4，4），∵，∴C1（3，﹣4，4），=（﹣3，0，4），=（﹣6，﹣4，4），=（0，﹣4，4），设面A1B1C的法向量=（x，y，z），，取=（1，﹣，），…设面C1B1C的法向量=（x，y，z），，取=（0，，1），…cos＜，＞==﹣，…所以平面A1B1C与平面B1C1C所成锐二面角的余弦值为．…点评：本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养和向量法的合理运用．21．如图，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），设圆T与椭圆C交于点M与点N．（1）求椭圆C的方程；（2）求的最小值，并求此时圆T的方程；（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O 为坐标原点，求证：|OR|•|OS|为定值．考点：直线与圆锥曲线的关系；圆的标准方程；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）依题意，得a=2，，由此能求出椭圆C的方程．（2）法一：点M与点N关于x轴对称，设M（x1，y1），N（x1，﹣y1），设y1＞0．由于点M 在椭圆C上，故．由T（﹣2，0），知=，由此能求出圆T的方程．法二：点M与点N关于x轴对称，故设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，﹣sinθ），设sinθ＞0，由T（﹣2，0），得=，由此能求出圆T的方程．（3）法一：设P（x0，y0），则直线MP的方程为：，令y=0，得，同理：，…故，由此能够证明|OR|•|OS|=|x R|•|x S|=|x R•x S|=4为定值．法二：设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，﹣sinθ），设sinθ＞0，P（2cosα，sinα），其中sinα≠±sinθ．则直线MP的方程为：，由此能够证明|OR|•|OS|=|x R|•|x S|=|x R•x S|=4为定值．解答：解：（1）依题意，得a=2，，∴c=，b==1，故椭圆C的方程为．…（2）方法一：点M与点N关于x轴对称，设M（x1，y1），N（x1，﹣y1），不妨设y1＞0．由于点M在椭圆C上，所以．（*）…由已知T（﹣2，0），则，，∴=（x1+2）2﹣==．…由于﹣2＜x1＜2，故当时，取得最小值为．由（*）式，，故，又点M在圆T上，代入圆的方程得到．故圆T的方程为：．…方法二：点M与点N关于x轴对称，故设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，﹣sinθ），不妨设sinθ＞0，由已知T（﹣2，0），则=（2cosθ+2）2﹣sin2θ=5cos2θ+8cosθ+3=．…故当时，取得最小值为，此时，又点M在圆T上，代入圆的方程得到．故圆T的方程为：．…（3）方法一：设P（x0，y0），则直线MP的方程为：，令y=0，得，同理：，…故（**）…又点M与点P在椭圆上，故，，…代入（**）式，得：．所以|OR|•|OS|=|x R|•|x S|=|x R•x S|=4为定值．…方法二：设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，﹣sinθ），不妨设sinθ＞0，P（2cosα，sinα），其中sinα≠±sinθ．则直线MP的方程为：，令y=0，得，同理：，…故．所以|OR|•|OS|=|x R|•|x S|=|x R•x S|=4为定值．…点评：本题考查椭圆的方程和几何性质、圆的方程等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想．22．已知函数f（x）=（x2﹣3x+3）•e x定义域为[﹣2，t]（t＞﹣2）．（1）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数；（2）证明：对于任意的t＞﹣2，总存在x0∈（﹣2，t），满足=（t﹣1）2，并确定这样的x0的个数．考点：根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；证明题；导数的综合应用．分析：（1）求导f′（x）=（2x﹣3）e x+（x2﹣3x+3）e x=（x2﹣x）e x，从而由导数的正负确定函数的单调性，从而求出t的取值范围；（2）化简=为x02﹣x0=，再令g（x）=x2﹣x﹣，从而问题转化为证明方程g（x）=x2﹣x﹣=0在（﹣2，t）上有解并讨论解的个数，再求得g（﹣2）=6﹣（t﹣1）2=﹣，g（t）=t（t﹣1）﹣（t﹣1）2=，从而分t＞4或﹣2＜t＜1，1＜t＜4，t=1，t=4讨论，从而证明并解得．解答：解：（1）因为f′（x）=（2x﹣3）e x+（x2﹣3x+3）e x=（x2﹣x）e x，由f′（x）＞0解得，x＞1或x＜0，由f′（x）＜0解得，0＜x＜1，∴函数f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，∵函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数，∴﹣2＜t≤0，（2）证明：∵，又∵=，即为x02﹣x0=，令g（x）=x2﹣x﹣，从而问题转化为证明方程g（x）=x2﹣x﹣=0在（﹣2，t）上有解并讨论解的个数，因为g（﹣2）=6﹣（t﹣1）2=﹣，g（t）=t（t﹣1）﹣（t﹣1）2=，①当t＞4或﹣2＜t＜1时，g（﹣2）•g（t）＜0，此时g（x）=0在（﹣2，t）上有解，且只有一解，②当1＜t＜4时，g（﹣2）＞0且g（t）＞0，但由于g（0）=＜0，此时g（x）=0在（﹣2，t）上有解，且有两解，③当t=1时，g（x）=x2﹣x=0，解得x=0或1（舍），此时g（x）=0在（﹣2，t）上有且只有一解，④当t=4时，g（x）=x2﹣x﹣6=0，解得x=3或﹣2（舍），此时g（x）=0在（﹣2，t）上也有且只有一解，综上所述，对于任意的t＞﹣2，总存在x0∈（﹣2，t），满足=，且当t≥4或﹣2＜t≤1时，有唯一的x0适合题意，当1＜t＜4时，有两个x0适合题意．点评：本题考查了导数的综合应用及分类讨论的数学思想的应用，属于难题．。
河南2015届高三第一次模拟考试数学(理)试题含答案
2014—2015学年度高三第一次模拟考试及答案数学（理科）试题第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A ＝{x ｜0＜x ＜2}，B ＝{x ｜｜x ｜＞1}，则A ∩B ＝ A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（－∞，－1）∪（0，＋∞） D ．（－∞，－1）∪（1，＋∞） 2．若复数z 满足（1＋i ）z ＝2－z ，则｜z ＋i ｜＝A ．12 B ．2C ．2D 3．已知命题p ：x ∃∈R ，x －2＞lgx ，命题q ：x ∀∈R ， 2x ＞0，则 A ．命题p ∨q 是假命题 B ．命题p ∧q 是真命题C ．命题p ∨（⌝p ）是假命题D ．命题p ∧（⌝p ）是真命题 4．已知向量a ，b 满足｜a ｜＝1，a ⊥b ，则a －2b 在a 方向上的投影为A ．1BC ．－1D 5．已知锐角α的终边上一点P （sin40°，1＋cos40°），则α等于A ．10°B ．20°C ．70°D ．80°6．若某程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的B 等于A ．63B ．31C ．127D ．157．已知抛物线2y ＝4x 与双曲线22221x y a b－＝（a ＞0，b ＞0）有 相同的焦点F ，点A ，B 是两曲线的交点，若（OA uu r ＋OB uu u r）·AF u u u r ＝0，则双曲线的离心率为A 2B 1C 1D 18．已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为 A ．4π B ．8π C ．12π D ．16π9．设变量x ，y 满足约束条件：,4,2,y x x x ⎧⎪⎨⎪⎩≥＋3y ≤≥－则z ＝｜x －3y ｜的最大值为A ．10B ．8C ．6D ．410．等比数列{n a }的前n 项和为n S ，2n S ＝4（a 1＋a 3＋…＋21n a －），a 1a 2a 3＝27，则a 6＝ A ．27 B ．8l C ．243 D ．729 11．给出下列四个结论：①若a ，b ∈[0，1]，则不等式22a b ＋≤1成立的概率为4π； ②由曲线y ＝3x 与y0．5；③已知随机变量ξ服从正态分布N （3，2σ），若P （ξ≤5）＝m ，则P （ξ≤1）＝ 1－m ；④8的展开式中常数项为358． 其中正确结论的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4 12．已知函数f （x ）满足f （x ）＝f （1x ），当x ∈[1，3]时，f （x ）＝lnx ，若在区间[13，3]内，曲线g （x ）＝f （x ）－ax 与x 轴有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是 A ．（0，1e ） B ．（0，12e ） C ．[ln 33，1e ） D ．[ln 33，12e） 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。
2015届河南省濮阳市高三第一次质检数学(理)试题 (解析版)
2015届河南省濮阳市高三第一次质检数学（理）试题（解析版）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．1．（5分）已知集合A={x|0＜x＜2}，B={x|（x﹣1）（x+1）＞0}，则A∩B=（）A．（0，1）B．（1，2）C．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【考点】：交集及其运算．【专题】：集合．【分析】：求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解析】：解：由B中的不等式解得：x＞1或x＜﹣1，∴B=（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），∵A={x|0＜x＜2}=（0，2），∴A∩B=（1，2）．故选：B．【点评】：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）在复平面内，复数的对应点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】：复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【专题】：计算题．【分析】：利用复数的除法运算，将复数表示出来，根据复数的几何意义，即可得到答案．【解析】：解：复数=，∴复数在复平面内对应的点为（1，﹣2），故复数的对应点位于第四象限．故选：D．【点评】：本题考查了复数的代数表示法以及几何意义，考查了复数的代数形式的乘法运算，解题时要认真审题．复数的几何意义是复数和复平面内的点是一一对应关系．属于基础题．3．（5分）如图，一个封闭的长方体，它的六个表面各标出A、B、C、D、E、F这六个字母，现放成下面三种不同的位置，所看见的表面上的字母已表明，则字母A、B、C对面的字母依次分别为（）A．D、E、F B．F、D、E C．E、F、D D．E、D、F【考点】：棱柱的结构特征．【专题】：计算题；空间位置关系与距离．【分析】：本题可从图形进行分析，结合正方体的基本性质，得到各个面上的字母，即可求得结果．【解析】：解：第一个正方体已知A，B，C，第二个正方体已知A，C，D，第三个正方体已知B，C，E，且不同的面上写的字母各不相同，则可知A对面标的是E，B对面标的是D，C对面标的是F．故选D．【点评】：本题考查了正方体相对两个面上的字母问题，此类问题可以制作一个正方体，根据题意在各个面上标上字母，再确定对面上的字母，本题是一个基础题．4．（5分）已知⊙M经过双曲线S：=1的一个顶点和一个焦点，圆心M在双曲线上S上，则圆心M到双曲线S的中心的距离为（）A．或B．或C．D．【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：根据，⊙M经过双曲线S：=1的一个顶点和一个焦点，可得圆心M到双曲线的右焦点与右顶点间的距离相等，从而可得圆心的横坐标为4，代入双曲线方程可得点M的纵坐标，即可求出圆心M到双曲线S的中心的距离．【解析】：解：∵⊙M经过双曲线S：=1的一个顶点和一个焦点，∴圆心M到双曲线的右焦点与右顶点间的距离相等，∴圆心的横坐标为4，代入双曲线方程可得点M的纵坐标为y M=±=±，∴点M到原点的距离|MO|==．故选：D．【点评】：本题考查了双曲线的标准方程，双曲线与圆的交汇问题，考查学生的计算能力，属于中档题．5．（5分）将函数y=sin2x（x∈R）的图象分别向左平移m（m＞0）个单位，向右平移n（n ＞0）个单位，所得到的两个图象都与函数的图象重合，则m+n的最小值为（）A．B．C．π D．【考点】：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：求出函数y=sin2x（x∈R）的图象分别向左平移m（m＞0）个单位，向右平移n （n＞0）个单位后的函数解析式，再根据其图象与函数的图象重合，可分别得关于m，n的方程，解之即可．【解析】：解：将函数y=sin2x（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个单位，得函数y=sin2（x+m）=sin（2x+2m），∵其图象与的图象重合，∴sin（2x+2m）=sin（2x+），∴2m=，故m=（k∈Z），当k=0时，m取得最小值为；将函数y=sin2x（x∈R）的图象向右平移n（n＞0）个单位，得到函数y=sin2（x﹣n）=sin（2x ﹣2n），∵其图象与的图象重合，∴sin（2x﹣2n）=sin（2x+），∴﹣2n=，故n=﹣，当k=﹣1时，n取得最小值为，∴m+n的最小值为π，故选C．【点评】：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，准确把握图象的平移变换规律是解决问题的关键所在．6．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和S n，且a1+a3=，a2+a4=，则=（）A．4n﹣1 B．4n﹣1 C．2n﹣1 D．2n﹣1【考点】：等比数列的性质；等比数列的前n项和．【专题】：计算题；等差数列与等比数列．【分析】：利用等比数列{a n}的前n项和S n，且a1+a3=，a2+a4=，求出q=，a1=2，可得a n、S n，即可得出结论．【解析】：解：∵等比数列{a n}的前n项和S n，且a1+a3=，a2+a4=，∴两式相除可得公比q=，∴a1=2，∴a n==，S n==4（1﹣），∴=2n﹣1，故选：D．【点评】：本题考查等比数列的通项与求和，考查学生的计算能力，确定数列的首项与公比是关键．7．（5分）执行如图所示的程序框图，任意输入一次x（0≤x≤1）与y（0≤y≤1），则能输出数对（x，y）的概率为（）A．B．C．D．【考点】：选择结构．【专题】：算法和程序框图．【分析】：依题意，满足不等式组的x，y可以输出数对，读懂框图的功能即可计算概率．【解析】：解：依题意，不等式组表示的平面区域的面积等于1，不等式组表示的平面区域的面积等于，因此所求的概率等于．故选：B．【点评】：本题主要考察程序框图和算法，属于基础题．8．（5分）曲线C1：y2=2px（p＞0）的焦点F恰好是曲线C2：（a＞0，b＞0）的右焦点，且曲线C1与曲线C2交点连线过点F，则曲线C2的离心率是（）A．B．C．D．【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：求出抛物线的焦点，曲线C1与曲线C2交点连线MN过点F，由对称性可得，交线垂直于x轴，分别令x=c，x=，求得弦长，得到a，b，c的方程，再由离心率公式解方程即可得到．【解析】：解：曲线C1：y2=2px（p＞0）的焦点F（，0），则双曲线的c=，曲线C1与曲线C2交点连线MN过点F，由对称性可得，交线垂直于x轴，令x=c，代入双曲线方程得，y2=b2（﹣1）=，解得，y=，则|MN|=，令x=，代入抛物线方程可得，y2=p2，即y=±p，则|MN|=2p，则2p=，即有b2=2ac=c2﹣a2，即有e2﹣2e﹣1=0，解得，e=1+．故选：D．【点评】：本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．9．（5分）如图所示为某旅游区各景点的分布图，图中一支箭头表示一段有方向的路，试计算顺着箭头方向，从A到H有几条不同的旅游路线可走（）A．15 B．16 C．17 D．18【考点】：计数原理的应用．【专题】：计算题；转化思想．【分析】：根据分布图，要到H点，需从F、E、G走过来，F、E、G各点又可由哪些点走过来…这样一步步倒推，最后归结到A，然后再反推过去；则可以这样作图，A至B、C、D的路数记在B、C、D圆圈内，B、C、D分别到F、E、G的路数亦记在F、E、G圆圈内，最后F、E、G各个路数之和，即得至H的总路数，即可得答案．【解析】：解：要到H点，需从F、E、G走过来，F、E、G各点又可由哪些点走过来…这样一步步倒推，最后归结到A，然后再反推过去得到如下的计算法：A至B、C、D的路数记在B、C、D圆圈内，B、C、D分别到F、E、G的路数亦记在F、E、G圆圈内，最后F、E、G各个路数之和，即得至H的总路数如下图所示，易得有17条不同的线路；故选C．【点评】：本题考查分步计数原理的运用，解题时注意分析的方法，最好不要一一列举，如必须列举时，注意按一定的次序，做到不重不漏．10．（5分）若函数f（x）的导函数在区间（a，b）上的图象关于直线x=对称，则函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象可能是（）A．B．C．D．A．① B．② C．③ D．③④【考点】：函数的图象．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：对于①②，直接由图象得出在a处与b处切线斜率不相等，即可排除答案；对于③，原函数为一次函数，其导函数为常数函数即可知道其满足要求；对于④，先由图象找到对称中心即可判断其成立【解析】：解：因为函数y=f（x）的导函数在区间（a，b）上的图象关于直线x=对称，即导函数要么图象无增减性，要么是在直线x=两侧单调性相反；对于①，由图得，在a处切线斜率最小，在b处切线斜率最大，故导函数图象不关于直线x=对称，故①不成立；对于②，由图得，在a处切线斜率最大，在b处切线斜率最小，故导函数图象不关于直线x=对称，故②不成立；对于③，由图得，原函数为一次函数，其导函数为常数函数，故导函数图象关于直线x=对称，故③成立；对于④，由图得，原函数有一对称中心，在直线x=与原函数图象的交点处，故导函数图象关于直线x=对称，故④成立；所以，满足要求的有③④．故选：D．【点评】：本题主要考查函数的单调性与其导函数之间的关系．做这一类型题目，要注意运用课本定义，是对课本知识的考查，属于基础题，但也是易错题．11．（5分）在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，，则λ+μ的值为（）A．B．C．D．1【考点】：向量的共线定理．【分析】：设，将向量用向量、表示出来，即可找到λ和μ的关系，最终得到答案．【解析】：解：设则====（）∴∴故选A．【点评】：本题主要考查平面向量的基本定理，即平面内任一向量都可由两不共线的向量唯一表示出来．属中档题．12．（5分）定义在R上的函数y=f（x）在（﹣∞，a）上是增函数，且函数y=f（x+a）是偶函数，当x1＜a，x2＞a，且丨x1﹣a丨＜丨x2﹣a丨时，有（）A．f（x1）＞f（x2）B．f（x1）≥f（x2）C．f（x1）＜f（x2）D．f（x1）≤f（x2）【考点】：奇偶性与单调性的综合．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：根据y=f（x+a）是偶函数，可得f（﹣x+a）=f（x+a），根据x1＜a，x2＞a，丨x1﹣a丨＜丨x2﹣a丨，可得2a﹣x1＜x2，且2a﹣x1＞a，x2＞a，结合函数的单调性，即可得到结论．【解析】：解：∵y=f（x+a）是偶函数，∴有f（﹣x+a）=f（x+a）∴f（x）关于x=a对称∵偶函数在（﹣∞，a）上是增函数，∴在（a，+∞）上是减函数∵x1＜a，x2＞a，丨x1﹣a丨＜丨x2﹣a丨，∴去掉绝对值得a﹣x1＜x2﹣a，即2a﹣x1＜x2，且2a﹣x1＞a，x2＞a由（a，+∞）上是减函数知f（2a﹣x1）＞f（x2）∵f（x）关于x=a对称，∴f（2a﹣x1）=f（x1）∴f（x1）＞f（x2）故选A．【点评】：本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）若点P（cosα，sinα）在直线y=﹣2x上，则=．【考点】：任意角的三角函数的定义．【专题】：三角函数的求值．【分析】：由题意可得sinα=﹣2cosα，tanα=﹣2，再利用两角和的正切公式求得的值．【解析】：解：∵点P（cosα，sinα）在直线y=﹣2x上，∴sinα=﹣2cosα，tanα=﹣2．∴==，故答案为：．【点评】：本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和的正切公式，同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．14．（5分）直线y=1与曲线y=x2﹣|x|+a有四个交点，则a的取值范围是（1，）．【考点】：二次函数的性质．【专题】：作图题；压轴题；数形结合．【分析】：在同一直角坐标系内画出直线y=1与曲线y=x2﹣|x|+a的图象，观察求解．【解析】：解：如图，在同一直角坐标系内画出直线y=1与曲线y=x2﹣|x|+a，观图可知，a的取值必须满足，解得．故答案为：（1，）【点评】：本小题主要考查函数的图象与性质、不等式的解法，着重考查了数形结合的数学思想．15．（5分）在三棱锥C﹣ABD中（如图），△ABD与△CBD是全等的等腰直角三角形，O为斜边BD的中点，AB=4，二面角A﹣BD﹣C的大小为60°，并给出下面结论：①AC⊥BD；②AD⊥CO；③△AOC为正三角形；④cos∠ADC=；⑤四面体ABCD的外接球表面积为32π，其中真命题是①③⑤．【考点】：命题的真假判断与应用．【专题】：空间位置关系与距离；简易逻辑．【分析】：①由△ABD与△CBD是全等的等腰直角三角形，O为斜边BD的中点，可得CO ⊥BD，AO⊥BD，BD⊥平面AOC，即可判断出正误；②假设CO⊥AD，可得CO⊥平面ABD，由①可得：∠AOC是二面角A﹣BD﹣C的平面角且为60°矛盾，即可判断出正误；③由已知可得：OC=OA，而∠AOC是二面角A﹣BD﹣C的平面角且为60°，即可判断出△AOC 为正三角形；④AB=4，由①可得：AC=OA=2，AD=CD=4，利用余弦定理可得cos∠ADC，即可判断出正误；⑤由①可得：四面体ABCD的外接球的球心为O，半径为2，利用表面积公式即可判断出正误．【解析】：解：对于①，∵△ABD与△CBD是全等的等腰直角三角形，O为斜边BD的中点，∴CO⊥BD，AO⊥BD，AO∩OC=O，∴BD⊥平面AOC，∴AC⊥BD，因此①正确；对于②，假设CO⊥AD，又CO⊥BD，可得CO⊥平面ABD，由①可得：∠AOC是二面角A ﹣BD﹣C的平面角且为60°矛盾，因此不正确；对于③，由△ABD与△CBD是全等的等腰直角三角形，O为斜边BD的中点，∴OC=OA，由①可得：∠AOC是二面角A﹣BD﹣C的平面角且为60°，∴△AOC为正三角形，因此③正确；对于④，AB=4，由①可得：AC=OA=2，AD=CD=4，∴cos∠ADC==≠，因此不正确；对于⑤，由①可得：四面体ABCD的外接球的球心为O，半径为2，表面积S==32π，因此正确．综上可得：只有①③⑤正确．故答案为：①③⑤．【点评】：本题考查了空间线面位置关系、二面角、等边三角形、余弦定理、球的表面积，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，满足2S n=a n+1﹣2n+1+1，n∈N*，且a1、a2+5、a3成等差数列．则a n=3n﹣2n．【考点】：数列递推式；等比数列的通项公式．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：由于2S n=a n+1﹣2n+1+1，n∈N*，且a1、a2+5、a3成等差数列，可得，解得a1．由2S n=a n+1﹣2n+1+1，n∈N*，当n≥2时，可得，可得，变形为，l利用等比数列的通项公式即可得出．【解析】：解：由，解得a1=1．由2S n=a n+1﹣2n+1+1，n∈N*，当n≥2时，可得，两式相减，可得，即，变形为，∴数列{}（n≥2）是一个以a2+4为首项，3为公比的等比数列．由2a1=a2﹣3可得，a2=5，∴，即（n≥2），当n=1时，a1=1，也满足该式子，∴数列{a n}的通项公式是．故答案为：．【点评】：本题考查了利用“当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1”求通项公式a n、变形转化为等比数列求通项公式的方法，考查了灵活的变形能力和推理能力，属于难题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．（Ⅰ）求证：a、b、c成等差数列；（Ⅱ）若∠B=60°，b=4，求△ABC的面积．【考点】：等差数列的性质；解三角形．【专题】：等差数列与等比数列；解三角形．【分析】：（Ⅰ）对其角A，B，C的对边分别为a，b，c，可得，利用倍角公式进行化简，再利用正弦定理进行证明；（Ⅱ）因为∠B=60°，b=4，利用余弦定理得42=a2+c2﹣2accos60°，求出ac的值，利用三角形的面积的公式进行求解；【解析】：解：（Ⅰ），即a（1+cosC）+c（1+cosA）=3b，由正弦定理得：sinA+sinAcosC+sinC+cosAsinC=3sinB，即sinA+sinC+sin（A+C）=3sinB，可得sinA+sinC=2sinB，由正弦定理可得，整理得：a+c=2b，故a，b，c为等差数列；（Ⅱ）由∠B=60°，b=4及余弦定理得：42=a2+c2﹣2accos60°，∴（a+c）2﹣3ac=16，又由（Ⅰ）知a+c=2b，代入上式得4b2﹣3ac=16，解得ac=16，∴△ABC的面积S=acsinB=acsin60°=4；【点评】：此题主要考查正弦定理和余弦定理的应用以及等差数列的性质，是一道综合题，也是一道基础题；18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．（Ⅰ）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，点M在线段PC上，试确定点M的位置，使二面角M﹣BQ﹣C大小为60°，并求出的值．【考点】：与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：（I）由已知条件推导出PQ⊥AD，BQ⊥AD，从而得到AD⊥平面PQB，由此能够证明平面PQB⊥平面PAD．（II）以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．【解析】：（I）证明：∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD，又∵底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，∴BQ⊥AD，又∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PQB，又∵AD⊂平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．（6分）（II）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD，∴PQ⊥平面ABCD．以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图．则由题意知：Q（0，0，0），P（0，0，），B（0，，0），C（﹣2，，0），设（0＜λ＜1），则，平面CBQ的一个法向量是=（0，0，1），设平面MQB的一个法向量为=（x，y，z），则，取=，（9分）∵二面角M﹣BQ﹣C大小为60°，∴=，解得，此时．（12分）【点评】：本题考查平面与平面垂直的证明，考查满足条件的点的位置的确定，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．19．（12分）某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API的监测数据，结果统计如下：（1）若某企业每天由空气污染造成的经济损失S（单位：元）与空气质量指数API（记为ω）的关系式为：S=，试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率；（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？附：k2=【考点】：独立性检验的应用．【专题】：计算题；概率与统计．【分析】：（1）由200＜S≤600，得150＜ω≤250，频数为39，即可求出概率；（2）根据所给的数据，列出列联表，根据所给的观测值的公式，代入数据做出观测值，同临界值进行比较，即可得出结论．【解析】：解：（1）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元”为事件A…（1分）由200＜S≤600，得150＜ω≤250，频数为39，…（3分）∴P（A）=…．（4分）（2）根据以上数据得到如表：非重度污染重度污染合计供暖季22 8 30非供暖季63 7 70合计85 15 100…．（8分）K2的观测值K2=≈4.575＞3.841…．（10分）所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关．…．（12分）【点评】：本题考查概率知识，考查列联表，观测值的求法，是一个独立性检验，我们可以利用临界值的大小来决定是否拒绝原来的统计假设，若值较大就拒绝假设，即拒绝两个事件无关．20．（12分）如图，已知椭圆C：，A、B是四条直线x=±2，y=±1所围成的两个顶点．（1）设P是椭圆C上任意一点，若，求证：动点Q（m，n）在定圆上运动，并求出定圆的方程；（2）若M、N是椭圆C上两个动点，且直线OM、ON的斜率之积等于直线OA、OB的斜率之积，试探求△OMN的面积是否为定值，说明理由．【考点】：轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系．【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（1）设P的坐标，通过，推出m，n与P的坐标的关系，推出定圆的方程．（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），利用直线OM、ON的斜率之积等于直线OA、OB的斜率之积，得到x1，x2的关系．求出MN的距离以及O到直线MN的距离，然后证明△OMN 的面积是否为定值．【解析】：解：（1）易求A（2，1），B（﹣2，1）．…（2分）设P（x0，y0），则．由，得，所以，即．故点Q（m，n）在定圆上．…（8分）（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），则．平方得，即．…（10分）因为直线MN的方程为（x2﹣x1）y﹣（y2﹣y1）x+x1y2﹣x2y1=0，所以O到直线MN的距离为，…（12分）所以△OMN的面积S=MN•l=|x1y2﹣x2y1|===．故△OMN的面积为定值1．…（16分）【点评】：本题考查圆的方程的求法，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，考查转化思想计算能力．21．（12分）已知函数f（x）=x2，g（x）=elnx．（Ⅰ）设函数F（x）=f（x）﹣g（x），求F（x）的单调区间；（Ⅱ）若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m，对x∈R恒成立，且g（x）≤kx+m，对x∈（0，+∞）恒成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”，试问：f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程，若不存在，请说明理由．【考点】：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】：综合题；导数的综合应用．【分析】：（Ⅰ）在定义域内解不等式F′（x）＞0，F′（x）＜0可得函数的单调区间；（Ⅱ）由（I）可知，当x=时，F（x）取得最小值F（）=0，则f（x）与g（x）的图象在x=处有公共点（，）．假设f（x）与g（x）存在“分界线”，则其必过点（，）．故设其方程为：y﹣=k（x﹣），由f（x）≥kx+﹣k对x∈R恒成立，可求得k=，则“分界线“的方程为：y=．只需在证明g（x）≤对x∈（0，+∞）恒成立即可；【解析】：解：（I）由于函数f（x）=，g（x）=elnx，因此，F（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣elnx，则F′（x）=x﹣==，x∈（0，+∞），当0＜x＜时，F′（x）＜0，∴F（x）在（0，）上是减函数；当x＞时，F′（x）＞0，∴F（x）在（，+∞）上是增函数；因此，函数F（x）的单调减区间是（0，），单调增区间是（，+∞）．（II）由（I）可知，当x=时，F（x）取得最小值F（）=0，则f（x）与g（x）的图象在x=处有公共点（，）．假设f（x）与g（x）存在“分界线”，则其必过点（，）．故设其方程为：y﹣=k（x﹣），即y=kx+﹣k，由f（x）≥kx+﹣k对x∈R恒成立，则对x∈R恒成立，∴=4k2﹣8k+4e=e（k﹣）2≤0成立，因此k=，“分界线“的方程为：y=．下面证明g（x）≤对x∈（0，+∞）恒成立，设G（x）=elnx﹣x+，则G′（x）==，∴当0＜x＜时，G′（x）＞0，当x＞时，G′（x）＜0，当x=时，G（x）取得最大值0，则g（x）≤x对x∈（0，+∞）恒成立，故所求“分界线“的方程为：y=．【点评】：本题考查利用导数研究函数的单调区间、最值及恒成立问题，考查转化思想，探究性题目往往先假设成立，再做一般性证明．二.请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，AB是的⊙O直径，CB与⊙O相切于B，E为线段CB上一点，连接AC、AE分别交⊙O于D、G两点，连接DG交CB于点F．（Ⅰ）求证：C、D、G、E四点共圆．（Ⅱ）若F为EB的三等分点且靠近E，EG=1，GA=3，求线段CE的长．【考点】：与圆有关的比例线段．【专题】：直线与圆．【分析】：（Ⅰ）连接BD，由题设条件结合圆的性质能求出∠C=∠AGD，从而得到∠C+∠DGE=180°，由此能证明C，E，G，D四点共圆．（Ⅱ）由切割线定理推导出EB=2，由此能求出CE的长．【解析】：（Ⅰ）证明：连接BD，则∠AGD=∠ABD，∵∠ABD+∠DAB=90°，∠C+∠CAB=90°∴∠C=∠AGD，∴∠C+∠DGE=180°，∴C，E，G，D四点共圆．…..（5分）（Ⅱ）解：∵EG•EA=EB2，EG=1，GA=3，∴EB=2，又∵F为EB的三等分点且靠近E，∴，，又∵FG•FD=FE•FC=FB2，∴，CE=2．…．（10分）【点评】：本题考查四点共圆的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要注意圆的性质的灵活运用．[选修4-4，坐标系与参数方程]23．已知在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+3=0．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离d的取值范围．【考点】：简单曲线的极坐标方程；点到直线的距离公式；参数方程化成普通方程．【专题】：坐标系和参数方程．【分析】：（Ⅰ）直接根据直线的参数方程中，消去参数，即可得到其普通方程；再利用极坐标方程和直角坐标方程互化公式求解即可；（Ⅱ）首先设点P（2+cosθ，sinθ）（θ∈R），然后，构造距离关系式，然后，求解其范围即可．【解析】：解：（I）根据直线l的参数方程为，（t为参数），消去t，得，故直线l的普通方程为：；依据曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+3=0．结合互化公式，得到：曲线的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2=1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（II）设点P（2+cosθ，sinθ）（θ∈R），则所以d的取值范围是．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）【点评】：本题重点考查了参数方程和普通方程的互化、极坐标方程和直角坐标方程的互化等知识，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|．（Ⅰ）解不等式f（x﹣1）+f（x+3）≥6；（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求f（ab）＞|a|f（）．【考点】：绝对值不等式的解法．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：（Ⅰ）解不等式可得|x﹣2|+|x+2|≥6，根据绝对值的意义，而﹣3和3对应点到2、﹣2对应点的距离之和正好等于6，从而求得不等式f（x﹣1）+f（x+3）≥6的解集．（Ⅱ）用分析法证明f（ab）＞|a|f（）成立．【解析】：解：（Ⅰ）解不等式f（x﹣1）+f（x+3）≥6，可得|x﹣2|+|x+2|≥6．根据绝对值的意义可得|x﹣2|+|x+2|表示数轴上的x对应点到2、﹣2对应点的距离之和，而﹣3和3对应点到2、﹣2对应点的距离之和正好等于6，故不等式f（x﹣1）+f（x+3）≥6的解集为{（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，要证f（ab）＞|a|f（），只要证|ab﹣1|＞|b﹣a|，只要证（ab﹣1）2＞（b﹣a）2．而（ab﹣1）2﹣（b﹣a）2=a2•b2﹣a2﹣b2+1=（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，故（ab﹣1）2＞（b﹣a）2成立．故要证的不等式f（ab）＞|a|f（）成立．【点评】：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，用分析法证明不等式，属于基础题．。
郑州市2015年高三一测数学试卷及答案(理)
河南省郑州市2015年高中毕业年级第一次质量预测理科数学试卷一、选择题：1.已知集合{}|12M x x =-<<，{}|N x x a =<，若M N ⊆，则实数a 的取值范围是( ) A. ()2,+∞ B. [2,)+∞ C. (),1-∞- D. (,1]-∞-2.在复平面内与复数512iz i=+所对应的点关于虚轴对称的点为A ，则A 对应的复数为（ ） A. 12i + B. 12i - C. 2i -+ D. 2i +3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且336,0S a ==，则公差d 等于（ ） A. 1- B. 1 C. 2 D. 2-4.命题:p “2a =-”是命题:q “直线310ax y +-=与直线6430x y +-=垂直”成立的（ ）A. 充要条件B. 充分非必要条件C.必要非充分条件D.既不充分也不必要条件 5.已知点(),P a b 是抛物线220x y =上一点，焦点为F ，25PF =，则ab =（ ） A. 100 B.200 C.360 D.4006.已知点(),P x y 的坐标满足条件11350x y x x y ≥⎧⎪≥-⎨⎪+-≤⎩，那么点P 到直线34130x y --=的最小值为（ ）A.115 B. 2 C. 95D. 1 7.某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则xy 的最大值为（ ）A. 32B. C.64D.8.如图，函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0,0,2A πωϕ>>≤）与坐标轴的三个交点,,P Q R 满足()1,0P ，(),2,24PQR M π∠=-为线段QR 的中点，则A 的值为（ ）A.B.3C. 3D.9.如图所示的程序框图中，若()()21,4f x x x g x x =-+=+，且()h x m ≥恒成立，则m 的最大值是（ ）A. 4B.3C. 1D. 010.设函数()()224,ln 25xf x e xg x x x =+-=+-，若实数,a b 分别是()(),f x g x 的零点，则（ ）A. ()()0g a f b <<B. ()()0f b g a <<C. ()()0g a f b <<D. ()()0f b g a <<11.在Rt ABC ∆中，3CA CB ==，,M N 是斜边AB 上的两个动点，且MN =，则CM CN ⋅的取值范围为（ ）A. 52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. []2,4C. []3,6D. []4,612.设函数()()()122015,log ,1,2,,20152015i if x x f x x a i ====…，记 ()()()()2132k k k k k I f a f a f a f a =-+-+…()()20152014k k f a f a +-，1,2k =，则（ ）A. 12I I <B. 12I I =C. 12I I >D. 无法确定 二、填空题：13.已知等比数列{}n a ，前n 项和为n S ，12453,64a a a a +=+=，则6S = 14.已知20cos a xdx π=⎰，在二项式52a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，x 的一次项系数的值为15.设函数()y f x =的定义域为D ，若对于任意的12,x x D ∈，当122x x a +=时，恒有()()122f x f x b +=，则称点(),a b 为函数()y f x =图象的对称中心.研究函数()3sin 2f x x x =++的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到()19120f f ⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭…()19120ff ⎛⎫++= ⎪⎝⎭16.给定方程：1sin 102xx ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，下列命题中：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在(),0-∞内有且只有一个实数根；④若0x 是方程的实数根，则01x >-. 正确命题是 三、解答题：17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，,,a b c 分别为角A 、B 、C 的对边，D 为边AC 的中点，a ABC =∠=（1）若3c =，求sin ACB ∠的值； （2）若3BD =，求ABC ∆的面积.18.（本小题满分12分）某学校为了丰富学生的业余生活，以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取题目，背诵正确加10分，背诵错误减10分，只有“正确”和“错误”两种结果，其中某班级的正确率为23p =，背诵错误的的概率为13q =，现记“该班级完成n 首背诵后总得分为n S ”.（1）求620S =且()01,2,3i S i ≥=的概率；（2）记5S ξ=，求ξ的分布列及数学期望.19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，PD ⊥底面ABCD ，190,1,22ADC BC AD PD CD ∠=︒====，Q 为AD 的中点，M 为棱PC 上一点.（1）试确定点M 的位置，使得//PA 平面BMQ ，并证明你的结论； （2）若2PM MC =，求二面角P BQ M --的余弦值.20.（本小题满分12分）已知动点P 到定点()1,0F 和直线:2l x =，设动点P 的轨迹为曲线E ，过点F 作垂直于x 轴的直线与曲线E 相交于,A B 两点，直线:l y mx n =+与曲线E 交于,C D 两点，与线段AB 相交于一点（与,A B 不重合）（1）求曲线E 的方程；（2）当直线l 与圆221x y +=相切时，四边形ABCD 的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线l 的方程；若没有，请说明理由.21.（本小题满分12分）已知函数()()222ln 2f x x x x ax =-++.（1）当1a =-时，求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）当0a >时，设函数()()2g x f x x =--，且函数()g x 有且仅有一个零点，若2e x e -<<，()g x m ≤，求m 的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲：如图所示，EP 交圆于,E C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F . （1）求证：AB 为圆的直径；（2）若,5AC BD AB ==，求弦DE 的长.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程：在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C 的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，直线的参数方程为1x t y =⎧⎪⎨=-+⎪⎩，直线和圆C交于,A B 两点，P 是圆C 上不同于,A B 的任意一点. （1）求圆心的极坐标；（2）求PAB ∆面积的最大值.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲： 已知函数()121f x m x x =---+.（1）当5m =时，求不等式()2f x >的解集；（2）若二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围.参考答案一、选择题1-12：BCDA DBCC BADA 二、填空题 13.63414.10- 15.82 16.②③④ 三、解答题17.解：(Ⅰ) 42cos 23=∠=ABC a ，，3=c ， 由余弦定理：ABC a c a c b ∠⋅⋅-+=cos 2222=18423232)23(322=⨯⨯⨯-+，………………………………2分∴ 23=b ． ……………………………………………………………………4分又(0,)π∠∈ABC ，所以414cos 1sin 2=∠-=∠ABC ABC ，由正弦定理：ABC bACB c ∠=∠sin sin ，得47sin sin =∠⨯=∠b ABC c ACB ．………………………………………6分 (Ⅱ) 以BC BA ，为邻边作如图所示的平行四边形ABCE ，如图，则42cos cos -=∠-=∠ABC BCE ，…………………8分 ,62==BD BE 在△BCE 中，由余弦定理：BCE CE CB CE CB BE ∠⋅⋅-+=cos 2222．即)42(23218362-⨯⨯⨯-+=CE CE ， 解得：，3=CE 即，3=AB …………………10分 所以479sin 21=∠=∆ABC ac S ABC .…………………………………………12分 18.解：(Ⅰ)当206=S 时，即背诵6首后，正确个数为4首，错误2首，………………2分 若第一首和第二首背诵正确，则其余4首可任意背诵对2首；…………………3分若第一首正确，第二首背诵错误，第三首背诵正确，则其余3首可任意背诵对1首， 此时的概率为：811631)32(323132)31()32()32(21322242=⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=C C p ………… …………5分（2）∵5S =ξ的取值为10，30，50，又21,,32p q ==…………………6分∴8140)31()32()31()32()10(32252335=+==C C P ξ,8130)31()32()31()32()30(41151445=+==C C P ξCDE5505552111(50)()().3381P C C ξ==+=…………………9分∴ξ的分布列为：∴81815081308110=⨯+⨯+⨯=ξE .…………………………………………12分 19.解：（1）当M 为PC 中点时，//PA 平面BMQ ，…………………2分 理由如下： 连结AC 交BQ 于N ，连结MN ，因为090ADC ∠=，Q 为AD 的中点，所以N 为AC 的中点．当M 为PC 的中点，即PM MC =时，MN 为PAC ∆的中位线，故//MN PA ，又MN ⊂平面BMQ ，所以//PA 平面BMQ .…………………………………………5分（2）由题意，以点D 为原点DP DC DA ,,所在直线分别为z y x ,,轴， 建立空间直角坐标系，…………………6分 则),0,2,1(),0,0,1(),2,0,0(B Q P …………………7分 由MC PM 2=可得点)32,34,0(M , 所以)32,34,1(),0,2,0(),20,1(-==-=QM , 设平面PQB 的法向量为),,(1z y x n =，则1120,2,0.20,PQ n x z x z y QB n y ⎧⋅=-==⎧⎪∴⎨⎨=⋅==⎩⎪⎩ 令)1,0,2(,11=∴=n z ，…………………9分同理平面MBQ 的法向量为)1,0,32(2=n ,…………………10分 设二面角大小为θ，.65657cos ==θ…………………………………………12分 y20.解：(1).设点),(y x P ，由题意可得，22|2|)1(22=-+-x y x ，…………………2分 整理可得：1222=+y x .曲线E 的方程是1222=+y x .………………………5分 (2).设),(11y x C ，),(22y x D，由已知可得：||AB =当0=m 时，不合题意. …………………6分 当0≠m 时，由直线l 与圆122=+y x 相切，可得：11||2=+m n ，即221.m n +=联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=1222y x nmx y 消去y 得2221()210.2m x mnx n +++-=…………………8分02)1)(21(4422222>=-+-=∆m n m n m ，122,1222221+∆--=+∆+-=m mn x m mn x 所以，1222,1242221221+-=+-=+m n x x m mn x x ||||2112x x AB S ACBD-=四边形=12||2121222222+=++-m m m n m=22||||m m ≤+10分 当且仅当||1||2m m =，即22±=m 时等号成立，此时26±=n ，经检验可知， 直线2622-=x y 和直线2622+-=x y 符合题意. ………………………………12分 21.解：（1）当1a =-时，22()(2)ln 2f x x x x x =--+,定义域为()0,+∞，()()()22ln 22.f x x x x x '=-+-- …………………2分(1)3f '∴=-，又(1)1,f =()f x 在()()1,1f 处的切线方程340.x y +-= ……………4分（2）令()()20,g x f x x =--=则()222ln 22,x x x ax x -++=+即1(2)ln ,x xa x--⋅=令1(2)ln ()x xh x x--⋅=， …………………5分则2221122ln 12ln ().x x x h x x x x x ---'=--+= …………………6分 令()12ln t x x x =--,22()1x t x x x--'=--=，()0t x '< ，()t x 在(0,)+∞上是减函数，又()()110t h '== ，所以当01x <<时，()0h x '>，当1x <时，()0h x '<，所以()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，()max (1)1h x h ∴==.………8分 因为0>a ， 所以当函数()g x 有且仅有一个零点时，1a =.当1a =，()()222ln g x x x x x x =-+-，若2,(),e x e g x m -<<≤只需证明max (),g x m ≤…………………9分()()()132ln g x x x '=-+，令()0g x '=得1x =或32x e -=，又2e x e -<< ，∴函数()g x 在322(,)e e --上单调递增，在32(,1)e -上单调递减，在(1,)e 上单调递增，10分又333221()22g e e e ---=-+ ， 2()23,g e e e =-333322213()2222()().22g e e e e e e e g e ----=-+<<<-=即32()()g eg e -< ，2max ()()23,g x g e e e ==- 223.m e e ∴≥- ………12分22．证明：(1)因为PD PG =，所以PGD PDG ∠=∠.由于PD 为切线，故DBA PDA ∠=∠，…………………2分 又因为PGD EGA ∠=∠，所以DBA EGA ∠=∠， 所以DBA BAD EGA BAD ∠+∠=∠+∠， 从而BDA PFA ∠=∠.…………………4分又,EP AF ⊥所以 90=∠PFA ，所以90=∠BDA ，故AB 为圆的直径．…………………5分 (2)连接BC ，DC .由于AB 是直径，故∠BDA ＝∠ACB ＝90°.在Rt △BDA 与Rt △ACB 中，AB ＝BA ，AC ＝BD ，从而得Rt △BDA ≌Rt △ACB ，于是∠DAB ＝∠CBA . …………………7分又因为∠DCB ＝∠DAB ，所以∠DCB ＝∠CBA ，故DC ∥AB . ………………8分 因为AB ⊥EP ，所以DC ⊥EP ，∠DCE 为直角，…………………9分所以ED 为直径，又由(1)知AB 为圆的直径，所以5==AB DE .…………………10分 23.解：(Ⅰ)圆C 的普通方程为02222=+-+y x y x ，即22(1)(1) 2.x y -++=………2分所以圆心坐标为（1，-1），圆心极坐标为7)4π；…………………5分11 (Ⅱ)直线l 的普通方程：0122=--y x ，圆心到直线l 的距离32231122=-+=d ，…………………7分 所以,31029822=-=AB 点P 直线AB 距离的最大值为,3253222=+=+d r …………………9分 9510325310221max =⨯⨯=S .…………………10分 24.解：（Ⅰ）当5=m 时，,1,3411,21,63)(⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-+--<+=x x x x x x x f ………………………3分由2)(>x f 易得不等式解集为)0,34(-∈x ；………………………5分（2）由二次函数2)1(3222++=++=x x x y ，该函数在1-=x 取得最小值2， 因为31,1()3,1131,1x m x f x x m x x m x ++<-⎧⎪=--+-≤≤⎨⎪-+->⎩在1-=x 处取得最大值2-m ，…………………7分所以要使二次函数322++=x x y 与函数)(x f y =的图象恒有公共点，只需22≥-m ， 即 4.m ≥.……………………………10分。
2015年河南省中考一模数学试卷(解析版)
2015年河南省中考数学一模试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1．（3分）a3•a4的结果是（）A．a4B．a7C．a6D．a122．（3分）数字，，π，，cos45°，中是无理数的个数有（）个．A．1B．2C．3D．43．（3分）2014年1月1日零点，北京、上海、重庆、宁夏的气温分别是﹣4℃、5℃、6℃、﹣8℃，当时这四个城市中，气温最低的是（）A．北京B．上海C．重庆D．宁夏4．（3分）如图a∥b，M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3＝（）A．180°B．270°C．360°D．540°5．（3分）a4b﹣6a3b+9a2b分解因式得正确结果为（）A．a2b（a2﹣6a+9）B．a2b（a﹣3）（a+3）C．b（a2﹣3）2D．a2b（a﹣3）26．（3分）一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图所示，则下列结论：①k＜0；②a＜0，b＜0；③当x＝3时，y1＝y2；④不等式kx+b＞x+a的解集是x＜3，其中正确的结论个数是（）A．0B．1C．2D．37．（3分）如图所示，用大小相等的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形…，按照这样的方法拼下去，第n个大正方形比第（n﹣1）个大正方形多（）几个小正方形？A．2n+1B．2n﹣1C．2n﹣3D．2n+38．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC＝6，NC＝，则四边形MABN的面积是（）A．B．C．D．二、填空题（每小题3分，共21分）9．（3分）计算：（+1）0﹣2﹣1+﹣6sin60°＝．10．（3分）如图，一块等腰直角的三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到A′B′C的位置，使A，C，B′三点共线，那么旋转角度的大小为．11．（3分）某一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒．当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率是．12．（3分）在义乌市中小学生“人人会乐器”演奏比赛中，某班10名学生成绩统计如图所示，则这10名学生成绩的中位数是分，众数是分．13．（3分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的坐标为（1，0）．将线段OA绕点O逆时针旋转∠α，当60°≤∠α≤90°，点A的纵坐标y的取值范围是．14．（3分）如图，菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在直线上的C′处，得到经过点D的折痕DE．则＝．15．（3分）在直角坐标系中，有如图所示的Rt△ABO，AB⊥x轴于点B，斜边AO＝10，sin∠AOB＝，反比例函数的图象经过AO的中点C，且与AB交于点D，则点D的坐标为．三、解答题（共75分）16．（8分）先化简，再求值：÷，其中x＝2cos45°+1．17．（9分）如图，O为平行四边形ABCD的对角线AC的中点，过点O作一条直线分别与AB，CD交于点M，N，点E，F在直线MN上，且OE＝OF．（1）图中共有几对全等三角形，请把它们都写出来；（2）求证：∠MAE＝∠NCF．18．（9分）学习成为商城人的时尚，义乌市新图书馆的启用，吸引了大批读者．有关部门统计了2011年10月至2012年3月期间到市图书馆的读者的职业分布情况，统计图如下：（1）在统计的这段时间内，共有万人到市图书馆阅读，其中商人所占百分比是，并将条形统计图补充完整（温馨提示：作图时别忘了用0.5毫米及以上的黑色签字笔涂黑）；（2）若今年4月到市图书馆的读者共28000名，估计其中约有多少名职工？19．（9分）如图某天上午9时，向阳号轮船位于A处，观测到某港口城市P位于轮船的北偏西67.5°，轮船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时该船到达B处，这时观测到城市P位于该船的南偏西36.9°方向，求此时轮船所处位置B与城市P的距离？（参考数据：sin36.9°≈，tan36.9°≈，sin67.5°≈，tan67.5°≈）20．（9分）如图，已知反比例函数y＝（x＞0，k是常数）的图象经过点A（1，4），点B（m，n），其中m＞1，AM⊥x轴，垂足为M，BN⊥y轴，垂足为N，AM与BN的交点为C．（1）写出反比例函数解析式；（2）求证：△ACB∽△NOM；（3）若△ACB与△NOM的相似比为2，求出B点的坐标及AB所在直线的解析式．21．（10分）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本＝每件的成本×每天的销售量）22．（10分）如图1，边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上（不与点A，B重合），点F在BC边上（不与点B、C重合）．第一次操作：将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G；第二次操作：将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点H；依此操作下去…（1）图2中的△EFD是经过两次操作后得到的，其形状为，求此时线段EF的长；（2）若经过三次操作可得到四边形EFGH．①请判断四边形EFGH的形状为，此时AE与BF的数量关系是；②以①中的结论为前提，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x的函数关系式及面积y的取值范围．23．（11分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，3），顶点D的坐标为（﹣1，4）．（1）求抛物线的解析式；（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N．若点P在点Q左边，当矩形PQMN的周长最大时，求△AEM的面积；（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ．过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若FG＝2DQ，请直接写出点F的坐标．2015年河南省中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共24分）1．（3分）a3•a4的结果是（）A．a4B．a7C．a6D．a12【解答】解：a3•a4＝a3+4＝a7．故选：B．2．（3分）数字，，π，，cos45°，中是无理数的个数有（）个．A．1B．2C．3D．4【解答】解：＝2，cos45°＝，所以数字，，π，，cos45°，中无理数的有：，π，cos45°，共3个．故选：C．3．（3分）2014年1月1日零点，北京、上海、重庆、宁夏的气温分别是﹣4℃、5℃、6℃、﹣8℃，当时这四个城市中，气温最低的是（）A．北京B．上海C．重庆D．宁夏【解答】解：﹣8＜﹣4＜5＜6，故选：D．4．（3分）如图a∥b，M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3＝（）A．180°B．270°C．360°D．540°【解答】解：过点P作P A∥a，则a∥b∥P A，∴∠1+∠MP A＝180°，∠3+∠NP A＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°．故选：C．5．（3分）a4b﹣6a3b+9a2b分解因式得正确结果为（）A．a2b（a2﹣6a+9）B．a2b（a﹣3）（a+3）C．b（a2﹣3）2D．a2b（a﹣3）2【解答】解：a4b﹣6a3b+9a2b＝a2b（a2﹣6a+9）＝a2b（a﹣3）2．故选：D．6．（3分）一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图所示，则下列结论：①k＜0；②a＜0，b＜0；③当x＝3时，y1＝y2；④不等式kx+b＞x+a的解集是x＜3，其中正确的结论个数是（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：①∵y1＝kx+b的图象从左向右呈下降趋势，∴k＜0正确；②∵y2＝x+a，与y轴的交点在负半轴上，∴a＜0，故②错误；③两函数图象的交点横坐标为3，∴当x＝3时，y1＝y2正确；④当x＞3时，y1＜y2正确；故正确的判断是①，③，④．故选：D．7．（3分）如图所示，用大小相等的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形…，按照这样的方法拼下去，第n个大正方形比第（n﹣1）个大正方形多（）几个小正方形？A．2n+1B．2n﹣1C．2n﹣3D．2n+3【解答】解：∵第一个图形有22＝4个正方形组成，第二个图形有32＝9个正方形组成，第三个图形有42＝16个正方形组成，∴第n个图形有（n+1）2个正方形组成，第（n﹣1）个图形有n2个正方形组成，∴第n个大正方形比第（n﹣1）个大正方形多（n+1）2﹣n2＝（2n+1）个小正方形．故选：A．8．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC＝6，NC＝，则四边形MABN的面积是（）A．B．C．D．【解答】解：连接CD，交MN于E，∵将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，∴MN⊥CD，且CE＝DE，∴CD＝2CE，∵MN∥AB，∴CD⊥AB，∴△CMN∽△CAB，∴，∵在△CMN中，∠C＝90°，MC＝6，NC＝，∴S△CMN＝CM•CN＝×6×2＝6，∴S△CAB ＝4S△CMN＝4×6＝24，∴S四边形MABN ＝S△CAB﹣S△CMN＝24﹣6＝18．故选：C．二、填空题（每小题3分，共21分）9．（3分）计算：（+1）0﹣2﹣1+﹣6sin60°＝．【解答】解：原式＝1﹣+3﹣6×＝1﹣+3﹣3＝．故答案为．10．（3分）如图，一块等腰直角的三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到A′B′C的位置，使A，C，B′三点共线，那么旋转角度的大小为135°．【解答】解：根据旋转的性质可知，∠ACB＝∠A′CB′＝45°，那么旋转角度的大小为∠ACA′＝180°﹣45°＝135°；故答案为：135．11．（3分）某一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒．当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率是．【解答】解：P（黄灯亮）＝＝．故答案为：．12．（3分）在义乌市中小学生“人人会乐器”演奏比赛中，某班10名学生成绩统计如图所示，则这10名学生成绩的中位数是90分，众数是90分．【解答】解：观察折线图可知：成绩为90的最多，所以众数为90；这组学生共10人，中位数是第5、6名的平均分，读图可知：第5、6名的成绩都为90，故中位数90．故答案为：90，90．13．（3分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的坐标为（1，0）．将线段OA绕点O逆时针旋转∠α，当60°≤∠α≤90°，点A的纵坐标y的取值范围是．【解答】解：如图，将线段OA绕点O逆时针旋转∠α，当∠α＝60°时，线段OA旋转到OA′的位置，过点A′作A′B⊥x轴于点B，∠BOA′＝60°，OA＝OA′＝1，BA′＝OA′•sin60°＝，∴此时点A′的纵坐标为，将线段OA绕点O逆时针旋转∠α，当∠α＝90°时，线段OA旋转到y轴上，∴此时点A的纵坐标为1，∴将线段OA绕点O逆时针旋转∠α，当60°≤∠α≤90°，点A的纵坐标y的取值范围是．故答案为：．14．（3分）如图，菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在直线上的C′处，得到经过点D的折痕DE．则＝．【解答】解：如图，连接BD，交C′E于点F；∵四边形ABCD为菱形，∴DC∥AB，AB＝AD；而∠A＝60°，∴△ABD为等边三角形，∠ADC＝120°；∴AD＝BD，而AP＝BP，∴DP⊥AB，∠ADP＝30°，∴∠PDC＝120°﹣30°＝90°；由题意得：∠C′DE＝∠CDE＝45°，∠ADB＝∠C′DB＝60°，∠C′＝∠C；∴∠C′DF＝90°﹣60°＝30°；∵四边形ABCD为菱形，∴∠A＝∠C，AD＝DC＝BC（设为λ）；∵∠C′＝∠C，DC′＝DC，∴∠C′＝60°，DC′＝λ，∴∠DFC′＝90°，cos30°＝，∴DF＝λ，BF＝λ（1﹣）；在△DCE中，∵∠DEC＝180°﹣45°﹣60°＝75°，∴∠DEC′＝∠DEC＝75°，∴∠BEF＝180°﹣2×75°＝30°，∴BE＝2BF＝2λ﹣λ，∴CE＝λ﹣＝（）λ，∴＝，故答案为+1．15．（3分）在直角坐标系中，有如图所示的Rt△ABO，AB⊥x轴于点B，斜边AO＝10，sin∠AOB＝，反比例函数的图象经过AO的中点C，且与AB交于点D，则点D的坐标为（8，）．【解答】解：∵斜边AO＝10，sin∠AOB＝，∴sin∠AOB＝＝＝，∴AB＝6，∴OB＝＝8，∴A点坐标为（8，6），而C点为OA的中点，∴C点坐标为（4，3），又∵反比例函数的图象经过点C，∴k＝4×3＝12，即反比例函数的解析式为y＝，∵D点在反比例函数的图象上，且它的横坐标为8，∴当x＝8，y＝＝，所以D点坐标为（8，）．故答案为（8，）．三、解答题（共75分）16．（8分）先化简，再求值：÷，其中x＝2cos45°+1．【解答】解：原式＝•＝x﹣1，当x＝2cos45°+1＝2×+1＝1+时，原式＝1+﹣1＝．17．（9分）如图，O为平行四边形ABCD的对角线AC的中点，过点O作一条直线分别与AB，CD交于点M，N，点E，F在直线MN上，且OE＝OF．（1）图中共有几对全等三角形，请把它们都写出来；（2）求证：∠MAE＝∠NCF．【解答】（1）解：有4对全等三角形．分别为△AMO≌△CNO，△OCF≌△OAE，△AME≌△CNF，△ABC≌△CDA；（2）证明：∵OA＝OC，∠1＝∠2，OE＝OF，∴△OCF≌△OAE．∴∠EAO＝∠FCO．在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∴∠BAO＝∠DCO．∴∠EAM＝∠NCF．18．（9分）学习成为商城人的时尚，义乌市新图书馆的启用，吸引了大批读者．有关部门统计了2011年10月至2012年3月期间到市图书馆的读者的职业分布情况，统计图如下：（1）在统计的这段时间内，共有16万人到市图书馆阅读，其中商人所占百分比是12.5%，并将条形统计图补充完整（温馨提示：作图时别忘了用0.5毫米及以上的黑色签字笔涂黑）；（2）若今年4月到市图书馆的读者共28000名，估计其中约有多少名职工？【解答】解：（1）4÷25%＝16 2÷16×100%＝12.5%（2）职工人数约为：28000×＝10500人答：估计其中约有10500名职工．19．（9分）如图某天上午9时，向阳号轮船位于A处，观测到某港口城市P位于轮船的北偏西67.5°，轮船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时该船到达B处，这时观测到城市P位于该船的南偏西36.9°方向，求此时轮船所处位置B与城市P的距离？（参考数据：sin36.9°≈，tan36.9°≈，sin67.5°≈，tan67.5°≈）【解答】解：根据题意得：PC⊥AB，设PC＝x海里．在Rt△APC中，∵tan∠A＝，∴AC＝．…（3分）在Rt△PCB中，∵tan∠B＝，∴BC＝．…（5分）∵AC+BC＝AB＝21×5，∴＝21×5，解得x＝60．∵sin∠B＝，∴PB＝＝60×＝100（海里）．∴向阳号轮船所处位置B与城市P的距离为100海里．…（9分）20．（9分）如图，已知反比例函数y＝（x＞0，k是常数）的图象经过点A（1，4），点B（m，n），其中m＞1，AM⊥x轴，垂足为M，BN⊥y轴，垂足为N，AM与BN的交点为C．（1）写出反比例函数解析式；（2）求证：△ACB∽△NOM；（3）若△ACB与△NOM的相似比为2，求出B点的坐标及AB所在直线的解析式．【解答】解：（1）∵y＝（x＞0，k是常数）的图象经过点A（1，4），∴k＝4，∴反比例函数解析式为y＝；（2）∵点A（1，4），点B（m，n），∴AC＝4﹣n，BC＝m﹣1，ON＝n，OM＝1，∴＝＝﹣1，∵B（m，n）在y＝上，∴＝n，∴＝m﹣1，而＝，∴＝，∵∠ACB＝∠NOM＝90°，∴△ACB∽△NOM；（3）∵△ACB与△NOM的相似比为2，∴m﹣1＝2，m＝3，∴B（3，），设AB所在直线解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴解析式为y＝﹣x+．21．（10分）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本＝每件的成本×每天的销售量）【解答】解：（1）y＝（x﹣50）[50+5（100﹣x）]＝（x﹣50）（﹣5x+550）＝﹣5x2+800x﹣27500∴y＝﹣5x2+800x﹣27500（50≤x≤100）；（2）y＝﹣5x2+800x﹣27500＝﹣5（x﹣80）2+4500∵a＝﹣5＜0，∴抛物线开口向下．∵50≤x≤100，对称轴是直线x＝80，∴当x＝80时，y＝4500；最大值（3）当y＝4000时，﹣5（x﹣80）2+4500＝4000，解得x1＝70，x2＝90．∴当70≤x≤90时，每天的销售利润不低于4000元．由每天的总成本不超过7000元，得50（﹣5x+550）≤7000，解得x≥82．∴82≤x≤90，∵50≤x≤100，∴销售单价应该控制在82元至90元之间．22．（10分）如图1，边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上（不与点A，B重合），点F在BC边上（不与点B、C重合）．第一次操作：将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G；第二次操作：将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点H；依此操作下去…（1）图2中的△EFD是经过两次操作后得到的，其形状为等边三角形，求此时线段EF的长；（2）若经过三次操作可得到四边形EFGH．①请判断四边形EFGH的形状为正方形，此时AE与BF的数量关系是AE＝BF；②以①中的结论为前提，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x的函数关系式及面积y的取值范围．【解答】解：（1）如题图2，由旋转性质可知EF＝DF＝DE，则△DEF为等边三角形．在Rt△ADE与Rt△CDF中，∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）∴AE＝CF．设AE＝CF＝x，则BE＝BF＝4﹣x∴△BEF为等腰直角三角形．∴EF＝BF＝（4﹣x）．∴DE＝DF＝EF＝（4﹣x）．在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE2+AD2＝DE2，即：x2+42＝[（4﹣x）]2，解得：x1＝8﹣4，x2＝8+4（舍去）∴EF＝（4﹣x）＝4﹣4．DEF的形状为等边三角形，EF的长为4﹣4．（2）①四边形EFGH的形状为正方形，此时AE＝BF．理由如下：依题意画出图形，如答图1所示：连接EG、FH，作HN⊥BC于N，GM⊥AB于M．由旋转性质可知，EF＝FG＝GH＝HE，∴四边形EFGH是菱形，由△EGM≌△FHN，可知EG＝FH，∴四边形EFGH的形状为正方形．∴∠HEF＝90°∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠3．∵∠3+∠4＝90°，∠2+∠3＝90°，∴∠2＝∠4．在△AEH与△BFE中，∴△AEH ≌△BFE （ASA ）∴AE ＝BF ．②利用①中结论，易证△AEH 、△BFE 、△CGF 、△DHG 均为全等三角形， ∴BF ＝CG ＝DH ＝AE ＝x ，AH ＝BE ＝CF ＝DG ＝4﹣x ．∴y ＝S 正方形ABCD ﹣4S △AEH ＝4×4﹣4×x （4﹣x ）＝2x 2﹣8x +16．∴y ＝2x 2﹣8x +16（0＜x ＜4）∵y ＝2x 2﹣8x +16＝2（x ﹣2）2+8，∴当x ＝2时，y 取得最小值8；当x ＝0时，y ＝16，∴y 的取值范围为：8≤y ＜16．23．（11分）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C （0，3），顶点D 的坐标为（﹣1，4）．（1）求抛物线的解析式；（2）点M 为线段AB 上一点（点M 不与点A 、B 重合），过点M 作x 轴的垂线，与直线AC 交于点E ，与抛物线交于点P ，过点P 作PQ ∥AB 交抛物线于点Q ，过点Q 作QN ⊥x 轴于点N ．若点P 在点Q 左边，当矩形PQMN 的周长最大时，求△AEM 的面积；（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ 的周长最大时，连接DQ ．过抛物线上一点F 作y 轴的平行线，与直线AC 交于点G （点G 在点F 的上方）．若FG ＝2DQ ，请直接写出点F 的坐标．【解答】解：（1）设函数解析式为y ＝a （x +1）2+4，将C （0，3）代入解析式得，a （0+1）2+4＝3，a ＝﹣1，可得，抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；（2）由抛物线y＝﹣x2﹣2x+3可知，对称轴为x＝﹣1，设M点的横坐标为m，则PM＝﹣m2﹣2m+3，MN＝（﹣m﹣1）×2＝﹣2m﹣2，∴矩形PMNQ的周长＝2（PM+MN）＝（﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣2）×2＝﹣2m2﹣8m+2＝﹣2（m+2）2+10，∴当m＝﹣2时矩形的周长最大．∵A（﹣3，0），C（0，3），设直线AC解析式为y＝kx+b，解得k＝1，b＝3，∴解析式y＝x+3，当x＝﹣2时，则E（﹣2，1），∴EM＝1，AM＝1，∴S＝•AM•EM＝×1×1＝．（3）∵M点的横坐标为﹣2，抛物线的对称轴为x＝﹣1，∴N应与原点重合，Q点与C点重合，∴DQ＝DC，把x＝﹣1代入y＝﹣x2﹣2x+3，解得y＝4，∴D（﹣1，4）∴DQ＝DC＝，∵FG＝2DQ，∴FG＝4，设F（n，﹣n2﹣2n+3），则G（n，n+3），∵点G在点F的上方，∴（n+3）﹣（﹣n2﹣2n+3）＝4，解得：n＝﹣4或n＝1．∴F（﹣4，﹣5）或（1，0）．。
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2015年六市一模数学试题（理）第Ⅰ卷（满分60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项. 1．已知集合},0log |{},1|{22>=>=x x B x x A 则=⋂B A ( )A ．}1|{-<x xB ．}0|{>x xC ．}1|{>x xD ．}11|{>-<x x x 或 2．如果复数ibi212+-(其中i 为虚数单位，b 为实数)的实部和虚部互为相反数，那么b 等于( ) A ．6- B ．32C ．32-D ．23．在等差数列{}n a 中，首项10,a =公差0d ≠，若1237k a a a a a =++++，则k =（ ）A ．22B ．23C ．24D ．254．函数ln x xy x =的图象大致是（ ）5.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的x 值是 ( ).A ．3B ．4C ．6D ．86.函数)0,0)(cos(πϕωϕω<<>+=x y 为奇函数，该函数的部分图像如右图所示，A 、B 分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为22，则该函数图像的一条对称轴为（ ）A ．2π=x B ．2π=xC.1=x D ．2=x7. 已知正数x ，y 满足⎩⎨⎧≥+-≤-05302y x y x ，则y xz )21(4⋅=-的最小值为( )A ．1B ．3241C ．161D ．3218.若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3cos 2sin 4παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为（ ） A ．118 B ．118- C ．1718 D ．1718- 9．一个几何体的三视图如右图所示，则这个 几何体的体积是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410.在锐角ABC △中，角C B A ,,所对的边分别为a b c ，，，若22sin 3A =，2a =，2ABC S =△，则b 的值为（ ） A ．3 B.322C ．22D ．23 11．设双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于,A B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若163),,(=⋅∈+=μλμλμλR OB OA OP ，则双曲线的离心率为（ ）A ．233 B ．355 C ．322D ．9812.若直角坐标平面内A 、B 两点满足：①点A 、B 都在函数()f x 的图象上；②点A 、B 关于原点对称，则点对（A ，B ）是函数()f x 的一个“姊妹点对”．点对（A ，B ）与（B ，A ）可看作是同一个“姊妹正视图侧视图俯视图2 222 2点对”，已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+=)0( 1)0( 2)(2x ex x x x x f x，则()f x 的“姊妹点对”有 （ ）A ． 0个B ． 1个C ．2个D ．3个第Ⅱ卷（满分90分）本卷包括必考题和选考题两个部分,第13 - 21题为必考题，每个考生都必须作答.第22 - 24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.己知⎰+=π)cos (sin dt t t a ，则6)1(axx -的展开式中的常数项为_____________． 14.已知三棱锥P ABC -的所有棱长都等于1，则三棱锥P ABC -的内切球的表面积 ．15.已知点A （0，2），抛物线C ：ax y =2（0>a ）的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，若|FM|：|MN|=5:1，则a 的值等于 ．16.已知1ln 1)(-+=x x x f ，*)()(N k xkx g ∈=，对任意的c ＞1,存在实数b a ,满足c b a <<<0，使得)()()(b g a f c f ==，则k 的最大值为 ． 三、解答题：本大题共70分. 17.（本小题满分12分）已知{}n a 是一个公差大于0的等差数列，且满足3545a a =, 2614a a +=. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足：1221222nn nb b b a +++=+(*)n ∈N ，求数列{}n b 的前n 项和. 18. （本小题满分12分）在某校运动会中，甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛（即每两队比赛一场）共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局.在每一场比赛中，甲胜乙的概率为31，甲胜丙的概率为41，乙胜丙的概率为31. （I ）求甲队获第一名且丙队获第二名的概率；（II ）设在该次比赛中，甲队得分为ξξ求,的分布列和数学期望. 19. （本小题满分12分）如图，已知长方形ABCD 中，1,2==AD AB ,M 为DC 的中点.将ADM ∆沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM .（Ⅰ）求证：BM AD ⊥；（Ⅱ）若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角D AM E --的余弦值为55．20. （本小题满分12分）已知椭圆C 的焦点在x 轴上，左右焦点分别为21F F 、，离心率21=e ，P 为椭圆上任意一点，21F PF ∆的周长为6．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点S （4,0）且斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于Q ，R 两点，点Q 关于x 轴的对称点为1Q ，过点1Q 与R 的直线交x 轴于T 点，试问△TRQ 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．21.（本小题满分12分）设函数x a x a x x f ln )2()(2---=． (I)求函数)(x f 的单调区间；(II)若函数)(x f 有两个零点，求满足条件的最小正整a 的值；(III)若方程c x f =)( )(R c ∈,有两个不相等的实数根1x 、2x ，求证：0)2('21>+x x f . 请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲A如图所示，已知PA 与⊙O 相切，A 为切点，过点P 的割线交圆于C B ,两点，弦AP CD //，BC AD ,相交于点E ，F 为CE 上一点，且EC EF DE ⋅=2． （Ⅰ）求证：EP EF EB CE ⋅=⋅；（Ⅱ）若2,3,2:3:===EF DE BE CE ，求PA 的长．23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程平面直角坐标系中，直线l 的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧==t y tx 3（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为-+θρθρ2222sin cos 03sin 2=-θρ．（Ⅰ）求直线l 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，求||AB .24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设不等式0212<+--<-x x 的解集为M ,M b a ∈,.（Ⅰ）证明：41|6131|<+b a ； （Ⅱ）比较|41|ab -与||2b a -的大小.2015年六市联考一模数学试题（理）第Ⅰ卷一．选择题：1．已知集合},0log |{},1|{22>=>=x x B x x A 则=⋂B A ( C) A ．}1|{-<x x B ．}0|{>x x C ．}1|{>x x D ．}11|{>-<x x x 或 2．如果复数ibi212+-(其中i 为虚数单位，b 为实数)的实部和虚部互为相反数，那么b 等于( C ) A ．6- B ．32C ．32-D ．23．在等差数列{}n a 中，首项10,a =公差0d ≠，若1237k a a a a a =++++，则k =（A ）A ．22B ．23C ．24D ．254．.函数ln x xy x=的图象大致是（ B ）5.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的x 值是 (D ).A ．3B ．4C ．6D ．86.函数cos(),(0,0)ωϕωϕπ=+><<y x 为奇函数，该函数的部分图像如右图所示，A 、B 分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为22，则该函数图像的一条对称轴为（C ） A ．2π=x B ．2π=xC.1=x D ．2=x7. 已知正数x ，y 满足⎩⎨⎧≥+-≤-05302y x y x ，则y xz )21(4⋅=-的最小值为( C )A ．1B ．3241C ．161D ．3218.若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3cos 2sin 4παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为（D ）A ．118 B ．118- C ．1718 D ．1718- 9．一个几何体的三视图如右图所示，则这个 几何体的体积是（D ）A ．1B ．2C ．3D ．410.在锐角ABC △中，角C B A ,,所对的边分别为a b c ，，，若22sin 3A =，2a =，2ABC S =△，则b 的值为（A ） A ．3 B.322C ．22D ．23 11．设双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于,A B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若163),,(=⋅∈+=μλμλμλR OB OA OP ，则双曲线的离心率为（ A ）A ．233 B ．355 C ．322D ．9812.若直角坐标平面内A 、B 两点满足：①点A 、B 都在函数()f x 的图象上；②点A 、B 关于原点对称，则点对（A ，B ）是函数()f x 的一个“姊妹点对”．点对（A ，B ）与（B ，A ）可看作是同一个“姊妹正视图侧视图俯视图2222 2点对”，已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+=)0( 1)0( 2)(2x ex x x x x f x，则()f x 的“姊妹点对”有 （C ）A ． 0个B ． 1个C ．2个D ．3个第Ⅱ卷二．填空题： 13.己知⎰+=π)cos (sin dt t t a ，则6)1(ax x -的展开式中的常数项为_____________．25- 14.已知三棱锥P ABC -的所有棱长都相等1，则三棱锥P ABC -的内切球的表面积 ．6π15.已知点A （0，2），抛物线C 1：y 2=ax （a ＞0）的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，若|FM|：|MN|=1：，则a 的值等于 ．416. 已知1ln 1)(-+=x x x f ，*)()(N k xkx g ∈=，对任意的c ＞1,存在实数b a ,满足c b a <<<0，使得)()()(b g a f c f ==，则k 的最大值为 ．3三、解答题：17.（本小题满分12分）已知{}n a 是一个公差大于0的等差数列，且满足3545a a =, 2614a a +=. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足：1221222nn n b b b a +++=+(*)n ∈N ，求数列{}n b 的前n 项和. 解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则依题设0d >． 由2614a a +=,可得47a =．由3545a a =，得(7)(7)45d d -+=，可得2d =． 所以1731a d =-=．可得21n a n =-．……………………………4分 （Ⅱ）设2nn n b c =，则121n n c c c a +++=+.即122n c c c n +++=，可得12c =，且1212(1)n n c c c c n +++++=+．所以12n c +=，可知2n c =(*)n ∈N ．………………8分所以12n n b +=，所以数列{}n b 是首项为4，公比为2的等比数列．所以前n 项和24(12)2412n n n S +-==--． …………………………12分 18. （本小题满分12分）在某校运动会中，甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛（即每两队比赛一场）共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局.在每一场比赛中，甲胜乙的概率为31，甲胜丙的概率为41，乙胜丙的概率为31. （I ）求甲队获第一名且丙队获第二名的概率；（II ）设在该次比赛中，甲队得分为ξξ求,的分布列和数学期望. 【解析】（I ）设“甲队获第一且丙队获第二”为事件A ，则 1111()(1);34318P A =⨯⨯-= ………………………………………6分 （II ）ξ可能的取值为0，3，6；则甲两场皆输：111(0)(1)(1),342P ξ==-⨯-=甲两场只胜一场：11115(3)(1)(1)344312P ξ==⨯-+⨯-=甲两场皆胜：111(6)3412P ξ==⨯=，ξ∴的分布列为：1517036212124E ξ=⨯+⨯+⨯= …………………………12分19. （本小题满分12分）如图，已知长方形ABCD 中，1,2==AD AB ,M 为DC 的中点.将ADM ∆沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM .ξ0 3 6P 12 512 112（Ⅰ）求证：BM AD ⊥；（Ⅱ）若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角D AM E --的余弦值为55．解：（Ⅰ）证明：连接BM ，则AM=BM=2，所以AM BM ⊥ 又因为面ADM ⊥平面ABCM ，面ADM面ABCM=AM所以，BM ADM BM AD ⊥⇒⊥面 …………………………………………4分 （Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系M xyz - 由（I ）可知，平面ADM 的法向量(0,1,0)m = 设平面ABCM 的法向量(,,)n x y z =，所以，22(2,0,0),(0,2,0),(,0,),(0,0,0)22A B D M 2222(,2,),((1),2,(1))2222DB DE DB E λλλλ=--=⇒-- 22(2,0,0),((1),2,(1))22MA ME λλλ==-- 0(0,1,2)0n MA n n ME λλ⎫⋅=⎪⇒=--⎬⋅=⎪⎭…………………………………………10分二面角D AM E --的余弦值为55A得，12λ=，即：E 为DB 的中点。