步步高2015高考数学(人教A理)一轮讲义：9.4直线与圆、圆与圆的位

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新人教A版版高考数学一轮复习第九章平面解析几何直线与圆圆与圆的位置关系教案文

一、知识梳理１．直线与圆的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0（A２＋B２≠0），圆：（x—a）２＋（y—b）２＝r２（r>0），d为圆心（a，b）到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.方法位置关系几何法代数法相交d<rΔ>0相切d＝rΔ＝0相离d>rΔ<0设圆O１：（x—a１）２＋（y—b１）２＝r错误!（r１>0），圆O２：（x—a２）２＋（y—b２）２＝r错误!（r２>0）．方法位置关系几何法：圆心距d与r１，r２的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离d>r１＋r２无解外切d＝r１＋r２一组实数解相交|r１—r２|<d<r１＋r２两组不同的实数解内切d＝|r１—r２|（r１≠r２）一组实数解内含0≤d<|r１—r２|（r１≠r２）无解１．圆的切线方程常用结论（１）过圆x２＋y２＝r２上一点P（x0，y0）的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r２.（２）过圆（x—a）２＋（y—b）２＝r２上一点P（x0，y0）的圆的切线方程为（x0—a）（x—a）＋（y0—b）（y—b）＝r２.（３）过圆x２＋y２＝r２外一点M（x0，y0）作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r ２.２．两圆相交时公共弦所在直线的方程设圆C１：x２＋y２＋D１x＋E１y＋F１＝0，１圆C２：x２＋y２＋D２x＋E２y＋F２＝0，２若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由１—２所得，即：（D１—D２）x＋（E１—E）y＋（F１—F２）＝0．２３．直线与圆相交时，弦心距d，半径r，弦长的一半错误!l满足关系式r２＝d２＋错误!错误!.二、习题改编１．（必修２P１２7例１改编）直线y＝x＋１与圆x２＋y２＝１的位置关系为（）Ａ．相切Ｂ．相交但直线不过圆心C．直线过圆心Ｄ．相离答案：B２．（必修２P１３２A组T５改编）直线l：３x—y—6＝0与圆x２＋y２—２x—４y＝0相交于A，B 两点，则|AB|＝．答案：错误!３．（必修２P１２9例３改编）两圆x２＋y２—２y＝0与x２＋y２—４＝0的位置关系是．答案：内切一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）若直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．（）（２）若两个圆的方程组成的方程组无解，则这两个圆的位置关系为外切．（）（３）“k＝１”是“直线x—y＋k＝0与圆x２＋y２＝１相交”的必要不充分条件．（）（４）联立两相交圆的方程，并消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．（）答案：（１）√（２）×（３）×（４）√二、易错纠偏错误!（１）忽视分两圆内切与外切两种情形；（２）忽视切线斜率k不存在的情形．１．若圆x２＋y２＝１与圆（x＋４）２＋（y—a）２＝２５相切，则常数a＝．解析：两圆的圆心距d＝错误!，由两圆相切（外切或内切），得错误!＝５＋１或错误!＝５—１，解得a＝±２错误!或a＝0．答案：±２错误!或0２．已知圆C：x２＋y２＝9，过点P（３，１）作圆C的切线，则切线方程为．解析：由题意知P在圆外，当切线斜率不存在时，切线方程为x＝３，满足题意；当切线斜率存在时，设斜率为k，所以切线方程为y—１＝k（x—３），所以kx—y＋１—３k＝0，所以错误!＝３，所以k＝—错误!，所以切线方程为４x＋３y—１５＝0．综上，切线方程为x＝３或４x＋３y—１５＝0．答案：x＝３或４x＋３y—１５＝0直线与圆的位置关系（典例迁移）（１）已知点M（a，b）在圆O：x２＋y２＝１外，则直线ax＋by＝１与圆O的位置关系是（）Ａ．相切Ｂ．相交Ｃ．相离Ｄ．不确定（２）（一题多解）圆x２＋y２＝１与直线y＝kx＋２没有公共点的充要条件是．【解析】（１）因为M（a，b）在圆O：x２＋y２＝１外，所以a２＋b２＞１，从而圆心O到直线ax＋by＝１的距离d＝错误!＝错误!＜１，所以直线与圆相交．（２）法一：将直线方程代入圆方程，得（k２＋１）x２＋４kx＋３＝0，直线与圆没有公共点的充要条件是Δ＝１6k２—１２（k２＋１）<0，解得k∈（—错误!，错误!）．法二：圆心（0，0）到直线y＝kx＋２的距离d＝错误!，直线与圆没有公共点的充要条件是d>１，即错误!>１，解得k∈（—错误!，错误!）．【答案】（１）B （２）k∈（—错误!，错误!）【迁移探究】（变条件）若将本例（１）的条件改为“点M（a，b）在圆O：x２＋y２＝１上”，则直线ax＋by＝１与圆O的位置关系如何？解：由点M在圆上，得a２＋b２＝１，所以圆心O到直线ax＋by＝１的距离d＝错误!＝１，则直线与圆O相切．错误!判断直线与圆的位置关系的方法（１）几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断．（２）代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x（或y）的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数（也就是方程组解的个数）来判断．１如果Δ<0，那么直线与圆相离；２如果Δ＝0，那么直线与圆相切；３如果Δ>0，那么直线与圆相交．（２0２0·陕西四校联考）直线ax—by＝0与圆x２＋y２—ax＋by＝0的位置关系是（）Ａ．相交Ｂ．相切Ｃ．相离Ｄ．不能确定，与a，b取值有关解析：选Ｂ．将圆的方程化为标准方程得错误!错误!＋错误!错误!＝错误!，所以圆心坐标为错误!，半径r＝错误!.因为圆心到直线ax—by＝0的距离d＝错误!＝错误!＝r，所以直线与圆相切．故选Ｂ．切线与圆的综合问题（多维探究）角度一圆的切线问题（１）２0２0·宁夏银川一中一模）与３x＋４y＝0垂直，且与圆（x—１）２＋y２＝４相切的一条直线是（）Ａ．４x—３y＝6 Ｂ．４x—３y＝—6Ｃ．４x＋３y＝6 Ｄ．４x＋３y＝—6（２）（一题多解）（２0１9·高考浙江卷）已知圆C的圆心坐标是（0，m），半径长是r.若直线２x—y ＋３＝0与圆C相切于点A（—２，—１），则m＝，r＝．【解析】（１）设与直线３x＋４y＝0垂直的直线方程为l：４x—３y＋m＝0，直线l与圆（x—１）２＋y２＝４相切，则圆心（１，0）到直线l的距离为半径２，即错误!＝２，所以m＝6或m＝—１４，所以４x—３y＋6＝0，或４x—３y—１４＝0，结合选项可知B正确，故选Ｂ．（２）法一：设过点A（—２，—１）且与直线２x—y＋３＝0垂直的直线方程为l：x＋２y＋t＝0，所以—２—２＋t＝0，所以t＝４，所以l：x＋２y＋４＝0．令x＝0，得m＝—２，则r＝错误!＝错误!.法二：因为直线２x—y＋３＝0与以点（0，m）为圆心的圆相切，且切点为A（—２，—１），所以错误!×２＝—１，所以m＝—２，r＝错误!＝错误!.【答案】（１）B （２）—２错误!错误!圆的切线方程的求法（１）几何法：设切线方程为y—y0＝k（x—x0），利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k；（２）代数法：设切线方程为y—y0＝k（x—x0），与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.[注意] 求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，然后求切线方程．若点在圆上（即为切点），则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条（若通过上述方法只求出一个k，则说明另一条切线的斜率一定不存在，此时另一条切线的方程为x＝x0）．角度二圆的弦长问题（１）（一题多解）（２0２0·安徽合肥调研）已知直线l：x＋y—５＝0与圆C：（x—２）２＋（y—１）２＝r２（r>0）相交所得的弦长为２错误!，则圆C的半径r＝（）Ａ．错误!Ｂ．２Ｃ．２错误!Ｄ．４（２）（２0２0·豫西南五校３月联考）已知圆C：（x—２）２＋y２＝４，直线l１：y＝错误!x，l２：y ＝kx—１，若l１，l２被圆C所截得的弦的长度之比为１∶２，则k的值为（）Ａ．错误!Ｂ．１Ｃ．错误!Ｄ．错误!【解析】（１）法一：圆C的圆心为（２，１），圆心到直线l的距离d＝错误!＝错误!，又弦长为２错误!，所以２错误!＝２错误!，所以r＝２，故选Ｂ．法二：联立得错误!整理得２x２—１２x＋２0—r２＝0，设直线与圆的两交点分别为A（x１，y１），B （x２，y２），所以x１＋x２＝6，x１·x２＝错误!，所以|AB|＝错误!|x１—x２|＝错误!×错误!＝错误!×错误!＝２错误!，解得r＝２．（２）圆C：（x—２）２＋y２＝４的圆心为C（２，0），半径为２，圆心到直线l１：y＝错误!x的距离d１＝错误!＝错误!，所以l１被圆C所截得的弦长为２错误!＝２．圆心到直线l２的距离d２＝错误!，所以l２被圆C所截得的弦长为４＝２错误!，所以d２＝0．所以２k—１＝0，解得k＝错误!，故选Ｃ．【答案】（１）B （２）C错误!求直线被圆截得的弦长的常用方法（１）几何法：用圆的几何性质求解，运用弦心距、半径及弦的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝２错误!；（２）代数法：联立直线与圆的方程得方程组，消去一个未知数得一元二次方程，再利用根与系数的关系结合弦长公式求解，其公式为|AB|＝错误!|x１—x２|.１．平行于直线２x＋y＋１＝0且与圆x２＋y２＝５相切的直线的方程是（）Ａ．２x＋y＋５＝0或２x＋y—５＝0Ｂ．２x＋y＋错误!＝0或２x＋y—错误!＝0Ｃ．２x—y＋５＝0或２x—y—５＝0Ｄ．２x—y＋错误!＝0或２x—y—错误!＝0解析：选Ａ．设直线方程为２x＋y＋c＝0，由直线与圆相切，得d＝错误!＝错误!，c＝±５，所以所求方程为２x＋y＋５＝0或２x＋y—５＝0．２．（２0２0·河北石家庄质检）已知a∈R且为常数，圆C：x２＋２x＋y２—２ay＝0，过圆C内一点（１，２）的直线l与圆C相交于A，B两点．当∠ACB最小时，直线l的方程为２x—y＝0，则a的值为（）Ａ．２Ｂ．３Ｃ．４Ｄ．５解析：选Ｂ．圆的方程配方，得（x＋１）２＋（y—a）２＝１＋a２，圆心为C（—１，a），当弦AB 最短时，∠ACB最小，此时圆心C与定点（１，２）的连线和直线２x—y＝0垂直，所以错误!×２＝—１，解得a＝３．３．（２0２0·山东枣庄期末改编）若点P（１，１）为圆x２＋y２—6x＝0中弦AB的中点，则弦AB 所在直线的方程为，|AB|＝．解析：圆x２＋y２—6x＝0的标准方程为（x—３）２＋y２＝9．又因为点P（１，１）为圆中弦AB 的中点，所以圆心与点P所在直线的斜率为错误!＝—错误!，故弦AB所在直线的斜率为２，所以直线AB的方程为y—１＝２（x—１），即２x—y—１＝0．圆心（３，0）与点P（１，１）之间的距离d＝错误!，圆的半径r＝３，则|AB|＝２错误!＝４．答案：２x—y—１＝0 ４圆与圆的位置关系（师生共研）（１）已知圆M：x２＋y２—２ay＝0（a>0）截直线x＋y＝0所得线段的长度是２错误!，则圆M与圆N：（x—１）２＋（y—１）２＝１的位置关系是（）Ａ．内切Ｂ．相交C．外切Ｄ．相离（２）两圆C１：x２＋y２＋４x＋y＋１＝0，C２：x２＋y２＋２x＋２y＋１＝0相交于A，B两点，则|AB|＝．【解析】（１）由题意得圆M的标准方程为x２＋（y—a）２＝a２，圆心（0，a）到直线x＋y＝0的距离d＝错误!，所以２错误!＝２错误!，解得a＝２，圆M，圆N的圆心距|MN|＝错误!，小于两圆半径之和３，大于两圆半径之差１，故两圆相交．（２）由（x２＋y２＋４x＋y＋１）—（x２＋y２＋２x＋２y＋１）＝0得弦AB所在直线方程为２x—y ＝0．圆C２的方程为（x＋１）２＋（y＋１）２＝１，圆心C２（—１，—１），半径r２＝１．圆心C２到直线AB的距离d＝错误!＝错误! .所以|AB|＝２错误!＝２错误!＝错误!.【答案】（１）B （２）错误!错误!（１）几何法判断圆与圆的位置关系的步骤１确定两圆的圆心坐标和半径；２利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，并求r１＋r２，|r１—r２|；３比较d，r１＋r２，|r１—r２|的大小，然后写出结论．（２）两圆公共弦长的求法两圆公共弦长，先求出公共弦所在直线的方程，在其中一个圆中，由弦心距d，半弦长错误!，半径r 所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解．１．圆C１：（x—m）２＋（y＋２）２＝9与圆C２：（x＋１）２＋（y—m）２＝４外切，则m的值为（）Ａ．２Ｂ．—５C．２或—５Ｄ．不确定解析：选Ｃ．由圆心C１（m，—２），r１＝３；圆心C２（—１，m），r２＝２；则两圆心之间的距离为|C１C２|＝错误!＝２＋３＝５，解得m＝２或—５．故选Ｃ．２．（２0２0·江苏南师大附中期中改编）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C过点A（0，—8），且与圆x２＋y２—6x—6y＝0相切于原点，则圆C的方程为，圆C被x轴截得的弦长为．解析：将已知圆化为标准式得（x—３）２＋（y—３）２＝１8，圆心为（３，３），半径为３错误!.由于两个圆相切于原点，连心线过切点，故圆C的圆心在直线y＝x上．由于圆C过点（0，0），（0，—8），所以圆心又在直线y＝—４上．联立y＝x和y＝—４，得圆心C的坐标（—４，—４）．又因为点（—４，—４）到原点的距离为４错误!，所以圆C的方程为（x＋４）２＋（y＋４）２＝３２，即x２＋y２＋8x＋8y＝0．圆心C到x轴距离为４，则圆C被x轴截得的弦长为２×错误!＝8．答案：x２＋y２＋8x＋8y＝0 8核心素养系列１7 直观想象——解决直线与圆的综合问题直观想象是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行逻辑推理、构建抽象结构的思维基础．已知AC，BD为圆O：x２＋y２＝４的两条相互垂直的弦，垂足为M（１，错误!），则四边形ABCD的面积的最大值为（）Ａ．５Ｂ．１0Ｃ．１５Ｄ．２0【解析】由已知，圆心为O（0，0），半径为２．设圆心O到AC，BD的距离分别为d１，d２，作OE⊥AC，OF⊥BD，垂足分别为E，F，则四边形OEMF为矩形，连接OM，则d错误!＋d错误!＝OM２＝３．又|AC|＝２错误!，|BD|＝２错误!，所以S四边形ABCD＝错误!|AC|·|BD|＝２错误!·错误!≤（４—d错误!）＋（４—d错误!）＝8—（d错误!＋d错误!）＝５，当且仅当d１＝d２时取等号，即四边形ABCD的面积的最大值为５．【答案】A错误!直线与圆综合问题的求法（１）圆与直线l相切的情形圆心到l的距离等于半径，圆心与切点的连线垂直于l.（２）圆与直线l相交的情形１圆心到l的距离小于半径，过圆心且垂直于l的直线平分l被圆截得的弦．２连接圆心与弦的中点的直线垂直于弦．３过圆内一点的所有弦中，最短的是垂直于过这点的直径的那条弦，最长的是过这点的直径．１．（２0２0·聊城模拟）圆（x—３）２＋（y—３）２＝9上到直线３x＋４y—１１＝0的距离等于１的点的个数为（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４解析：选Ｃ．因为圆心到直线的距离为错误!＝２，又因为圆的半径为３，所以直线与圆相交，由数形结合知，圆上到直线的距离为１的点有３个．２．P在直线l：x＋y＝２上，过P作圆x２＋y２＝１的切线，切点分别为A，B，O为坐标原点，则四边形OAPB面积的最小值为．解析：连接OP，OA，OB，则S四边形OAPB＝|OA|·|PA|＝|OA|·错误!＝错误!.而|OP|的最小值为|OP|min＝错误!＝错误!，所以（S四边形OAPB）min＝１．答案：１[基础题组练]１．圆O１：x２＋y２—２x＝0和圆O２：x２＋y２—４y＝0的位置关系是（）Ａ．相离Ｂ．相交C．外切Ｄ．内切解析：选Ｂ．圆O１的圆心坐标为（１，0），半径长r１＝１，圆O２的圆心坐标为（0，２），半径长r２＝２，所以两圆的圆心距d＝错误!，而r２—r１＝１，r１＋r２＝３，则有r２—r１<d<r１＋r２，所以两圆相交．２．（２0２0·陕西榆林二校联考）圆x２＋y２＋４x—２y＋a＝0截直线x＋y—３＝0所得弦长为２，则实数a等于（）Ａ．２Ｂ．—２Ｃ．４Ｄ．—４解析：选Ｄ．由题知，圆的标准方程为（x＋２）２＋（y—１）２＝５—a，所以圆心为（—２，１），半径为错误!，又圆心到直线的距离为错误!＝２错误!，所以２错误!＝２，解得a＝—４．３．（２0２0·河南豫西五校联考）在平面直角坐标系xOy中，以点（0，１）为圆心且与直线x—by ＋２b＋１＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为（）Ａ．x２＋（y—１）２＝４Ｂ．x２＋（y—１）２＝２Ｃ．x２＋（y—１）２＝8 Ｄ．x２＋（y—１）２＝１6解析：选Ｂ．直线x—by＋２b＋１＝0过定点P（—１，２），如图．所以圆与直线x—by＋２b＋１＝0相切于点P时，以点（0，１）为圆心的圆的半径最大，此时半径r为错误!，此时圆的标准方程为x２＋（y—１）２＝２．故选Ｂ．４．已知圆O１的方程为x２＋y２＝４，圆O２的方程为（x—a）２＋y２＝１，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a的所有取值构成的集合是（）Ａ．{１，—１} Ｂ．{３，—３}Ｃ．{１，—１，３，—３} Ｄ．{５，—５，３，—３}解析：选Ｃ．因为两圆有且只有一个公共点，所以两个圆内切或外切，内切时，|a|＝１，外切时，|a|＝３，所以实数a的取值集合是{１，—１，３，—３}．５．圆x２＋２x＋y２＋４y—３＝0上到直线x＋y＋１＝0的距离为错误!的点共有（）Ａ．１个Ｂ．２个Ｃ．３个Ｄ．４个解析：选Ｃ．圆的方程化为（x＋１）２＋（y＋２）２＝8，圆心（—１，—２）到直线的距离d＝错误!＝错误!，半径是２错误!，结合图形可知有３个符合条件的点．6．圆x２＋y２—４x＝0在点P（１，错误!）处的切线方程为．解析：圆的方程为（x—２）２＋y２＝４，圆心坐标为（２，0），半径为２，点P在圆上，设切线方程为y—错误!＝k（x—１），即kx—y—k＋错误!＝0，所以错误!＝２，解得k＝错误!.所以切线方程为y—错误!＝错误!（x—１），即x—错误!y＋２＝0．答案：x—错误!y＋２＝07．已知直线l：x＋ay—１＝0（a∈R）是圆C：x２＋y２—４x—２y＋１＝0的对称轴．过点A（—４，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝．解析：由于直线x＋ay—１＝0是圆C：x２＋y２—４x—２y＋１＝0的对称轴，所以圆心C（２，１）在直线x＋ay—１＝0上，所以２＋a—１＝0，所以a＝—１，所以A（—４，—１）．所以|AC|２＝３6＋４＝４0．又r＝２，所以|AB|２＝４0—４＝３6．所以|AB|＝6．答案：68．在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线２x＋y—４＝0相切，则圆C面积的最小值为．解析：因为∠AOB＝90°，所以点O在圆C上．设直线２x＋y—４＝0与圆C相切于点D，则点C与点O间的距离等于它到直线２x＋y—４＝0的距离，所以点C在以O为焦点，以直线２x＋y—４＝0为准线的抛物线上，所以当且仅当O，C，D共线时，圆的直径最小为|OD|.又|OD|＝错误!＝错误!，所以圆C的最小半径为错误!，所以圆C面积的最小值为π错误!错误!＝错误!π.答案：错误!π9．已知圆C：（x—１）２＋（y＋２）２＝１0，求满足下列条件的圆的切线方程．（１）过切点A（４，—１）；（２）与直线l２：x—２y＋４＝0垂直．解：（１）因为k AC＝错误!＝错误!，所以过切点A（４，—１）的切线斜率为—３，所以过切点A （４，—１）的切线方程为y＋１＝—３（x—４），即３x＋y—１１＝0．（２）设切线方程为２x＋y＋m＝0，则错误!＝错误!，所以m＝±５错误!，所以切线方程为２x＋y±５错误!＝0．１0．已知圆C经过点A（２，—１），和直线x＋y＝１相切，且圆心在直线y＝—２x上．（１）求圆C的方程；（２）已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为２，求直线l的方程．解：（１）设圆心的坐标为C（a，—２a），则错误!＝错误!，化简，得a２—２a＋１＝0，解得a＝１．所以C（１，—２），半径|AC|＝错误!＝错误!.所以圆C的方程为（x—１）２＋（y＋２）２＝２．（２）１当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，此时直线l被圆C截得的弦长为２，满足条件．２当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx，由题意得错误!＝１，解得k＝—错误!，所以直线l的方程为y＝—错误!x.综上所述，直线l的方程为x＝0或３x＋４y＝0．[综合题组练]１．（２0２0·湖北四地七校联考）若圆O１：x２＋y２＝５与圆O２：（x＋m）２＋y２＝２0相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是（）Ａ．３Ｂ．４Ｃ．２错误!Ｄ．8解析：选Ｂ．连接O１A，O２A，由于⊙O１与⊙O２在点A处的切线互相垂直，因此O１A⊥O２A，所以|O１O２|２＝|O１A|２＋|O２A|２，即m２＝５＋２0＝２５，设AB交x轴于点C.在Rt△O１AO２中，sin ∠AO２O１＝错误!，所以在Rt△ACO２中，|AC|＝|AO２|·sin∠AO２O１＝２错误!×错误!＝２，所以|AB|＝２|AC|＝４．２．（２0２0·江西南昌NCS项目第一次模拟）已知r>0，x，y∈R，p：“|x|＋错误!≤１”，q：“x ２＋y２≤r２”，若p是q的必要不充分条件，则实数r的取值范围是（）Ａ．错误!Ｂ．（0，１]Ｃ．错误!Ｄ．[２，＋∞）解析：选Ａ．如图，“|x|＋错误!≤１”表示的平面区域为平行四边形ABCD及其内部，“x２＋y２≤r２”表示圆及其内部，易知圆心O（0，0）到直线AD：２x＋y—２＝0的距离d＝错误!＝错误!，由p是q 的必要不充分条件，得0<r≤错误!，故选Ａ．３．已知点P（２，２），圆C：x２＋y２—8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．（１）求M的轨迹方程；（２）当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．解：（１）圆C的方程可化为x２＋（y—４）２＝１6，所以圆心为C（0，４），半径为４．设M（x，y），则错误!＝（x，y—４），错误!＝（２—x，２—y）．由题设知错误!·错误!＝0，故x（２—x）＋（y—４）（２—y）＝0，即（x—１）２＋（y—３）２＝２．由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是（x—１）２＋（y—３）２＝２．（２）由（１）可知M的轨迹是以点N（１，３）为圆心，错误!为半径的圆．由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM.因为ON的斜率为３，所以l的斜率为—错误!，故l的方程为x＋３y—8＝0．又|OM|＝|OP|＝２错误!，O到l的距离为错误!，所以|PM|＝错误!，S△POM＝错误!×错误!×错误!＝错误!，故△POM的面积为错误!.４．已知圆C：x２＋y２—２x—４y＋３＝0．（１）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；（２）从圆C外一点P（x１，y１）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求|PM|的最小值．解：（１）将圆C的方程配方得（x—１）２＋（y—２）２＝２，当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y＝kx（k≠0），由直线与圆相切得错误!＝错误!，解得k＝—２±错误!，所以切线方程为y＝（—２＋错误!）x或y＝（—２—错误!）x.当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x＋y—a＝0，由直线与圆相切得错误!＝错误!，解得a＝１或a＝５，所以切线方程为x＋y—１＝0或x＋y—５＝0．综上，所求的切线方程为y＝（—２＋错误!）x或y＝（—２—错误!）x或x＋y—１＝0或x＋y—５＝0．（２）由|PM|＝|PO|得（x１—１）２＋（y１—２）２—２＝x错误!＋y错误!，即２x１＋４y１—３＝0，即点P在直线l：２x＋４y—３＝0上，所以|PM|min＝错误!＝错误!.。

21直线与圆圆与圆的位置关系专题复习讲义-高考数学一轮复习专题讲义(学生版)

目录直线与圆、圆与圆的位置关系 (2)【课前诊断】 (2)【知识点一：直线与圆位置关系】 (3)【典型例题】 (5)考点一：直线与圆位置关系的判定 (5)考点二：圆的切线方程 (6)考点三：直线与圆相交弦 (7)【知识点二：圆与圆的位置关系】 (8)【典型例题】 (9)考点一：圆与圆的位置关系 (9)考点二：圆与圆的公共弦 (9)考点三：圆与圆的公切线问题 (10)【小试牛刀】 (10)【巩固练习——基础篇】 (11)【巩固练习——提高篇】 (12)直线与圆、圆与圆的位置关系【课前诊断】成绩（满分10）：完成情况：优/中/差1．已知点A (－4，－5)，B (6，－1)，则以线段AB 为直径的圆的方程为( ) A ．(x ＋1)2＋(y －3)2＝29 B ．(x －1)2＋(y ＋3)2＝29 C ．(x ＋1)2＋(y －3)2＝116 D ．(x －1)2＋(y ＋3)2＝1162．圆心在y 轴上，且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＋10y ＝0 B ．x 2＋y 2－10y ＝0 C ．x 2＋y 2＋10x ＝0 D ．x 2＋y 2－10x ＝03．若圆C 经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是__________________．4．已知圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＝－k 2，当圆C 的面积取最大值时，圆心C 的坐标为__________．5. 圆的方程是，则圆心的坐标是（）A. B. C.D.6. 圆上的点到原点的最大距离是( ) A. B.D.107. 过点与且圆心在直线上的圆的方程为（）A.B.C.D.8. 两圆和的连心线方程为（）A. B. C. D.1)(2)(2)(4)0x x y y -++-+=（11)-（，11)2-（，1,2)-（1,1)2--（223)(1)25x y ++-=（5-11)A -（，1,1)B -（20x y +-=223)(1)4x y -++=（221)(1)4x y -+-=（22+3)(1)4x y +-=（22+1)(1)4x y ++=（22460x y x y +-+=2260x y x +-=30x y ++=250x y --=390x y --=4370x y -+=【知识点一：直线与圆位置关系】1：直线与圆的位置关系由平面几何知，直线与圆有三种位置关系：（1）直线与圆相交，有两个公共点；（2）直线与圆相切，只有一个公共点；（3）直线与圆相离，没有公共点.直线Ax ＋By ＋C ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系及判断一览表位置关系相交相切相离公共点个数 2个1个0个判定方法几何法：设圆心到直线的距离22||++=+Aa Bb C d A Bd r < d r = d r >代数法：由()()2220++=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩Ax By C x a y b r消元得到一元二次方程的判别式∆0∆> 0∆= 0∆<图形2.圆的切线方程的问题（1）过圆上一点的切线方程：与圆相切于点的切线方程是；与圆相切于点的切线方程是：；与圆相切于点的切线方程是；222x y r +=()11x y ，211x x y y r +=222x y r +=()cos sin r r θθ，cos sin 0x y r θθ+-=()()222x a y b r -+-=()11x y ，()()()()211x a x a y b y b r --+--=（2）过圆外一点的切线方程：设是圆外一点，求过点的圆的切线方程. 当两条切线斜率都存在时，设切线方程是，即，求出待定系数k ，就可写出切线方程.当有一条切线斜率不存在时，斜率不存在的切线方程为，切线斜率存在的切线方程的求法同上.3. 直线与圆相交的弦长的求法（1）几何法如图所示，直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，线段AB 的长即为l 与圆相交的弦长. 设弦心距为d ，半径为r ，弦为AB ，则有（2）代数法直线l 与圆交于，直线l 的斜率存在，设为k ，则联立直线方程和圆的方程得方程组.方法一：解方程组得点A 、B 的坐标，再由两点间的距离公式求弦长. 方法二：消去一个未知数得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系可得弦长，其中k 为直线的斜率且k≠0.特别地，当k=0时，可直接利用计算；当k 不存在时，可直接利用计算. 温馨提示①几何法构造了直角三角形，计算量小，非常适合求直线与圓相交的弦长.②代数法是方程思想在解析几何中的重要体现，也是解析几何的实质，即用代数法研究几何问题.()000P x y ，()()222x a y b r -+-=0P ()00y y k x x -=-000kx y kx y --+=r =0x x =AB =()()1122A x y B x y ，，，AB 1212AB x y =-=-12AB x x =-12AB y y =-【典型例题】考点一：直线与圆位置关系的判定例1.直线与圆的位置关系为A.相切B.相交但直线不过圆心C.直线过圆心D.相离例2. 已知直线方程，圆的方程当为何值时，圆与直线(1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点．例3.已知(,)M a b 在圆外，则直线1ax by +=与圆O 的位置关系是A.相切B.相交C.相离D.不确定练习1. 当为何值时，直线与圆相交、相切、相离？1y x =+221x y +=10mx y m ---=224210.x y x y -+=+-m 22:1O x y +=k 2y kx =-222x y +=考点二：圆的切线方程例1. 求经过点（1，7）且与圆相切的直线方程.例2.圆，在点处的切线方程为A. B. C.D.练习1.过点作圆的切线，求此切线的方程．练习2. 已知圆的方程为x 2 + y 2 = 25，则过点(－3，4)的圆的切线方程为.练习3. 已知圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程．(1)与直线l 1：x ＋y －4＝0平行； (2)与直线l 2：x －2y ＋4＝0垂直； (3)过切点A (4，－1)．2225x y +=2240x y x +-=P 20x +-=40x +-=+40x -=+20x -=3(4)-A ，22()(31)1x y --+=________考点三：直线与圆相交弦例1.直线l 经过点P （5，5）并且与圆相交截得的弦长为l 的方程.例2.求直线被圆截得的弦长．例3.圆截得的劣弧所对的圆心角的大小为.例4.过点的直线中，被圆截得的弦为最短的直线的方程为 A.B. C.D.练习1过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为B.2D.练习2.直线得的劣弧所对的圆心角为. 练习3. 过圆内的点作一条直线l ，使它被该圆截得的线段最短，则直线l 的方程 A. B. C.D.22:25O x y +=l ：3+60x y -=C ：22240x y y --=+224x y +=0y +-=________3π()21，222420x y x y +-+=350x y --=350x y +-=31=0x y --310x y +-=0602240x y y +-=y =224x y +=________222440x y x y +-+-=(3,0)M 30x y +-=30x y --=430x y +-=430x y --=【知识点二：圆与圆的位置关系】由平面几何知，圆与圆有五种位置关系（由远及近）：外离，外切，相交，内切，内含.设两圆222111()()x a y b r -+-=与222222()()x a y b r -+-=的圆心距为d ，我们可以得到：221212()()d a a b b =-+-12r r >）：位置关系关系式图示外离12d r r >+外切12d r r =+相交1212r r d r r -<<+内切12d r r =-内含120d r r ≤<-【典型例题】考点一：圆与圆的位置关系例1 圆与的位置关系是A.相离B.外切C.内切D.相交例2 若圆与圆相交，则的取值范围是A. B. C.D. 或练习1. 圆与圆的位置关系是A.外离B.相交C.内切D.外切练习2. 如果圆C ：x 2＋y 2－2ax －2ay ＋2a 2－4＝0与圆O ：x 2＋y 2＝4总相交，那么实数a 的取值范围是______________________．考点二：圆与圆的公共弦例1 两圆和的公共弦所在直线的方程是____________．例2. 若圆与圆的公共弦长为，.练习1. 求经过两圆22640x y x和226280x y y的交点且圆心在直线40xy 上的圆的方程．222x y +=22430x y y +++=2221:240C x y mx m +-+-=2222:24480C x y x my m ++-+-=m 12255m -<<-1205m -<<1225m -<<12255m -<<-02m <<()222(2)1x y ++-=22(2)(5)16x y -+-=2260x y x +-=224x y +=23x =224x y +=22260(0)x y ay a ++-=>a =________1考点三：圆与圆的公切线问题例1.两相交圆的公切线有且仅有A.1条B.2条C.3条D.4条练习1. 到点A (－1,2)，B (3，－1)的距离分别为3和1的直线有________条．【小试牛刀】1．两圆和的位置关系是( )（A ）内切（B ）相交（C ）外切（D ）外离2．圆截直线所得弦长是( )（A（B（C ）（D3. 圆与直线相切，正实数b 的值为( )（A ）（B ）1（C ）（D ）34.过圆内的点作一条直线l ，使它被该圆截得的线段最短，则直线l 的方程是( ) （A ）（B ）（C ）（D ）5.★★已知圆，直线，则直线与的位置关系是（）（A ）一定相离（B ）一定相切（C ）相交且一定不过圆心（D ）相交且可能过圆心6.★过点的直线l 被圆，则直线l 的斜率为________．7.★上的点到直线的距离的最大值为________．2210x y +-=221:4240C x y x y +-+-=221:4460C x y x y +-++=50x y --=122430x y y +-+=+b=0y +121-222440x y x y +-+-=(3,0)M 30x y +-=30x y --=430x y +-=430x y --=22:21C x y x +-=(1)1y k x =-+l C (1,2)--222210x y x y +--+=2216x y +=3x y -=1.若直线与圆相切，则的值为（A ）（B ）（C ）（D ）2.圆：和：的位置关系是（A ）外切（B ）内切（C ）相交（D ）相离3.直线和圆的关系是（A ）相离（B ）相切或相交（C ）相交（D ）相切 4．过点(2,1)的直线中，被圆截得的弦为最短的直线的方程为（A ）（B ）（C ）（D ）5．两圆和的公切线有且仅有（A ）1条（B ）2条（C ）3条（D ）4条6.过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为.7.设是圆上的点，则M 点到直线的最短距离是.8.过点与圆相切的切线方程为.9.圆与圆的公共弦所在的直线方程为.10．★★当m 为何值时，直线与圆相交、相切、相离？y x b =+222x y +=b 4±2±±1C 224x y +=2C 2268240x y x y +-+-=:1(1)l y k x -=-2220x y y +-=22240x y x y +-+=350x y --=350x y +-=310x y --=310x y --=221:2220C x y x y +++-=222:4210C x y x y +--+=0602240x y x +-=________M 22(5)(3)9x y -+-=3420x y +-=________(3,2)P -22(2)(1)25x y ++-=________2240x y y +-=2268240x y x y +-+-=________10mx y m ---=224210x y x y +--+=1．台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区内的时间为()A．0.5 h B．1 hC．1.5 h D．2 h2．若圆22221x y by b外离，则,a b满足的条件是22x y ax a和222________．3．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为a＝________. 4．已知点(1,)A a，圆O：x 2＋y 2＝4.(1)若过点A的圆O的切线只有一条，求实数a的值及切线方程；(2)若过点A且在两坐标轴上截距相等的直线被圆O截得的弦长为a的值．。

步步高苏教版新高考数学理科一轮复习配套练习9.4直线与圆的位置关系(含答案详析)

第4讲直线与圆的位置关系一、填空题1．若直线l：ax＋by＝1与圆C：x2＋y2＝1有两个不同交点，则点P(a，b)与圆C的位置关系是________．解析由题意得圆心(0,0)到直线ax＋by＝1的距离小于1，即d＝1a2＋b2＜1，所以有a2＋b2＞1，∴点P在圆外．答案在圆外2．设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为________．解析设圆心C(x，y)，由题意得(x－0)2＋(y－3)2＝y＋1(y＞0)，化简得x2＝8y－8.答案x2＝8y－83．若圆C：(x－h)2＋(y－1)2＝1在不等式x＋y＋1≥0所表示的平面区域内，则h的最小值为________．解析h取最小值时，直线x＋y＋1＝0与圆O：(x－h)2＋(y－1)2＝1相切且在直线x＋y＋1＝0向右上方，所以|h＋2|2＝1，h＝－2±2，所以h min＝2－2.答案2－24．过点(－1，－2)的直线l被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为2，则直线l的斜率为________．解析将圆的方程化成标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，其圆心为(1,1)，半径r＝1.由弦长为2得，弦心距为22.设直线方程为y＋2＝k(x＋1)，即kx－y＋k－2＝0，∴|2k－3|k2＋1＝22，化简得7k2－24k＋17＝0，∴k＝1或k＝177.答案 1或1775．将直线2x －y ＋λ＝0沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则实数λ的值为________．解析由题意，得直线2(x ＋1)－y ＋λ＝0，即2x －y ＋2＋λ＝0与圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝5相切，所以|λ－2|5＝5，λ－2＝±5，所以λ＝－3或λ＝7.答案－3或76．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．解析画图可知，圆上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，该圆半径为2即圆心O (0,0)到直线12x －5y ＋c ＝0的距离d ＜1，即0＜|c |13＜1，∴－13＜c ＜13.答案 (－13,13)7．从圆x 2－2x ＋y 2－2y ＋1＝0外一点P (3,2)向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为________．解析圆的方程整理为(x －1)2＋(y －1)2＝1，C (1,1)，∴s in ∠APC ＝15，则cos ∠APB ＝cos2∠APC ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝35. 答案 358．直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0(a <3)相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点C 为(－2,3)，则直线l 的方程为________．解析圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a .由圆的几何性质可知圆心(－1,2)与点C (－2,3)的连线必垂直于l ，∴k AB ＝－2－3＝1，∴l 的方程为x －y ＋5＝0.答案 x －y ＋5＝09．已知圆C ：x 2＋y 2＝12，直线l ：4x ＋3y ＝25.(1)圆C 的圆心到直线l 的距离为________；(2)圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率为________．解析 (1)圆C 圆心坐标为(0,0)、半径r ＝23，l ：4x ＋3y －25＝0，由点到直线的距离公式得d ＝|4×0＋3×0－25|42＋32＝5.(2) 如图所示，当OM ＝3时，AB ︵上的点满足到直线l的距离小于2.由平面几何知识可求得∠AOB ＝60°，故所求概率为AB ︵的长度与圆周长之比，所以所求概率为16.答案 (1)5 (2)1610．由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为________．解析如图所示，设直线上一点P ，切点为Q ，圆心为M ，则|PQ |即为切线长，MQ 为圆M 的半径，长度为1， |PQ |＝|PM |2－|MQ |2＝|PM |2－1，要使|PQ |最小，即求|PM |的最小值，此题转化为求直线y ＝x ＋1上的点到圆心M 的最小距离，设圆心到直线y ＝x ＋1的距离为d ，则d ＝|3－0＋1|12＋(－1)2＝∴|PM |的最小值为22，∴|PQ |＝|PM |2－1≥(22)2－1＝7. 答案 7二、解答题11．已知：圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0.(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且AB ＝22时，求直线l 的方程．解将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2.解得a ＝－34. (2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧ CD ＝|4＋2a |a 2＋1，CD 2＋DA 2＝AC 2＝22，DA ＝12AB ＝ 2.解得a ＝－7或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.12. 如图，已知位于y 轴左侧的圆C 与y 轴相切于点(0,1)且被x 轴分成的两段圆弧长之比为1∶2，过点H (0，t )的直线l 与圆C 相交于M 、N 两点，且以MN 为直径的圆恰好经过坐标原点O .(1)求圆C 的方程；(2)当t ＝1时，求出直线l 的方程；(3)求直线OM 的斜率k 的取值范围．解 (1)因为位于y 轴左侧的圆C 与y 轴相切于点(0,1)，所以圆心C 在直线y＝1上．设圆C 与x 轴的交点分别为A 、B .由圆C 被x 轴分成的两段弧长之比为2∶1，得∠ACB ＝2π3.所以CA ＝CB ＝2.圆心C 的坐标为(－2,1)，所以圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝4.(2)当t ＝1时，由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝mx ＋1. 由⎩⎨⎧ y ＝mx ＋1，(x ＋2)2＋(y －1)2＝4，得⎩⎨⎧ x ＝0，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4m 2＋1，y ＝m 2－4m ＋1m 2＋1.不妨令M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4m 2＋1，m 2－4m ＋1m 2＋1，N (0,1)．因为以MN 为直径的圆恰好经过O (0,0)，所以OM →·ON →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4m 2＋1，m 2－4m ＋1m 2＋1·(0,1) ＝m 2－4m ＋1m 2＋1＝0，解得m ＝2±3. 所以所求直线l 方程为y ＝(2＋3)x ＋1或y ＝(2－3)x ＋1.(3)设直线MO 的方程为y ＝kx . 由题意，知|－2k －1|1＋k 2≤2，解得k ≤34. 同理，得－1k ≤34，解得k ≤－43或k ＞0. 由(2)知，k ＝0也满足题意．所以k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－43∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34. 13．已知圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l ：x －y －6＝0，A 为直线l 上一点．(1)若AM ⊥直线l ，过A 作圆M 的两条切线，切点分别为P ，Q ，求∠P AQ 的大小；(2)若圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC ＝60°，求点A 横坐标的取值范围．解 (1)圆M 的圆心M (1,1)，半径r ＝2，直线l 的斜率为－1，而AM ⊥l ， ∴k AM ＝1.′∴直线AM 的方程为y ＝x .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，x ＋y －6＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，即A (3,3)．如图，连结MP ，∵∠P AM ＝12∠P AQ ，sin ∠P AM ＝PM AM ＝2(3－1)2＋(3－1)2＝22， ∴∠P AM ＝45°，∴∠P AQ ＝90°.(2)过A (a ，b )作AD ，AE ，分别与圆M 相切于D ，E 两点，因为∠DAE ≥∠BAC ，所以要使圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC ＝60°，只要做∠DAE ≥60°. ∵AM 平分∠DAE ，∴只要30°≤DAM <90°.类似于第(1)题，只要12≤sin ∠DAM <1，即2(a －1)2＋(b －1)2≥12且(a －1)2＋(b －1)2≥12<1.又a ＋b －6＝0，解得1≤a ≤5，即a 的取值范围是[1,5]．14．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝4，直线l 1过定点A (1,0)．(1)若l 1与圆相切，求l 1的方程；(2)若l 1与圆相交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点为M ，又l 1与l 2：x ＋2y ＋2＝0的交点为N ，判断AM ·AN 是否为定值，若是，则求出定值；若不是，请说明理由．解 (1)①若直线l 1的斜率不存在，即直线是x ＝1，符合题意．②若直线l 1斜率存在，设直线l 1为y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0.由题意知，圆心(3,4)到已知直线l 1的距离等于半径2，即|3k －4－k |k 2＋1＝2，解得k ＝34.所求直线方程是x ＝1或3x －4y －3＝0.(2)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx －y －k ＝0.由⎩⎨⎧ x ＋2y ＋2＝0，kx －y －k ＝0，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －22k ＋1，－3k 2k ＋1. 又直线CM 与l 1垂直，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx －k ，y －4＝－1k (x －3) 得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋4k ＋31＋k2，4k 2＋2k 1＋k 2. 所以AM ·AN ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋4k ＋31＋k 2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋2k 1＋k 22· ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －22k ＋1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k 2k ＋12＝2|2k ＋1|1＋k 21＋k 2·31＋k 2|2k ＋1|＝6为定值，故AM ·AN 是定值，且为6.。

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§9.4　直线与圆、圆与圆的位置关系2014高考会这样考　1.考查直线与圆的相交、相切问题，判断直线与圆、圆与圆的位置关系；2.计算弦长、面积，考查与圆有关的最值；根据条件求圆的方程．复习备考要这样做　1.会用代数法或几何法判定点、直线与圆的位置关系；2.掌握圆的几何性质，通过数形结合法解决圆的切线、直线被圆截得的弦长等直线与圆的综合问题，体会用代数法处理几何问题的思想．1．直线与圆的位置关系设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0 (A 2＋B 2≠0)，圆：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2 (r >0)，d 为圆心(a ，b )到直线l 的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.方法位置关系几何法代数法相交d <r Δ>0相切d ＝r Δ＝0相离d >r Δ<02. 圆与圆的位置关系设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r (r 1>0)，21圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r (r 2>0).2 方法位置关系几何法：圆心距d 与r 1，r 2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况相离d >r 1＋r 2无解外切d ＝r 1＋r 2一组实数解相交|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2两组不同的实数解内切d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2)一组实数解内含0≤d <|r 1－r 2|(r 1≠r 2)无解[难点正本　疑点清源]1．直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，“代数法”与“几何法”是从不同的方面和思路来判断的．、管路敷设技术路习题到位。

在管路敷设过程中，要加强看护关于管路高中资料试卷连接管口处理高中资料试卷弯扁度固定盒位置保护层防腐跨接地线弯曲半径标高等，要求技术交底。

管线敷设技术中包含线槽、管架等多项方式、电气课件中调试对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查对设备进行调整使其在正常工况下与过度工作下都可以正常工作；对于继电保护进行整核对定值，审核与校对图纸，编写复杂设备与装置高中资料试卷调试方案，编写重要设备高中资料试卷试验方案以及系统启动方、电气设备调试高中资料试卷技术限度内来确保机组高中资料试卷安全，并且尽可能地缩小故障高中资料试卷破坏范围，或者对某些异常高中资料试卷工况进行自动处理，尤其要避免错误高中资料试卷保护装置动作，并且拒绝动作，来避免不必要高2．计算直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．(2)代数方法运用根与系数关系及弦长公式|AB |＝|x A －x B |1＋k 2＝. 1＋k 2 [xA ＋xB 2－4xAxB ]1． (2011·重庆)过原点的直线与圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为________．答案　2x －y ＝0解析　圆的方程化为标准形式为(x －1)2＋(y －2)2＝1，又相交所得弦长为2，故相交弦为圆的直径，由此得直线过圆心(1,2)，故所求直线方程为2x －y ＝0.2．若圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx ＋2没有公共点，则实数k 的取值范围为__________．答案　(－，)33解析　由圆与直线没有公共点，可知圆的圆心到直线的距离大于半径，也就是>2k 2＋11，解得－<k <，即k ∈(－，)．33333．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．答案　(－13,13)解析　由题设得，若圆上有四个点到直线的距离为1，则需圆心(0,0)到直线的距离d 满足0≤d <1.∵d ＝＝，∴0≤|c |<13，即c ∈(－13,13)．|c |122＋52|c |134．从圆x 2－2x ＋y 2－2y ＋1＝0外一点P (3,2)向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为( )A. B. C. D ．0123532答案　B解析　圆的方程整理为(x －1)2＋(y －1)2＝1，C (1,1)，∴sin∠APC ＝，15则cos∠APB ＝cos 2∠APC ＝1－2×2＝.(15)355．圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0与圆C 2：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的公切线有且仅有( )A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条答案　B 解析　⊙C 1：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4，圆心C 1(－1，－1)，半径r 1＝2.⊙C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心C 2(2,1)，半径r 2＝2.∴|C 1C 2|＝，∴|r1－r 2|＝0<|C 1C 2|<r 1＋r 2＝4，13∴两圆相交，有两条公切线.题型一　直线与圆的位置关系例1　已知直线l ：y ＝kx ＋1，圆C ：(x －1)2＋(y ＋1)2＝12.(1)试证明：不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点；(2)求直线l 被圆C 截得的最短弦长．思维启迪：直线与圆的交点个数即为直线方程与圆方程联立而成的方程组解的个数；最短弦长可用代数法或几何法判定．方法一　(1)证明　由Error!消去y 得(k 2＋1)x 2－(2－4k )x －7＝0，因为Δ＝(2－4k )2＋28(k 2＋1)>0，所以不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点．(2)解　设直线与圆交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，则直线l 被圆C 截得的弦长|AB |＝|x 1－x 2|1＋k 2＝2＝2 ，8－4k ＋11k 21＋k 211－4k ＋31＋k 2令t ＝，则tk 2－4k ＋(t －3)＝0，4k ＋31＋k 2当t ＝0时，k ＝－，当t ≠0时，因为k ∈R ，34所以Δ＝16－4t (t －3)≥0，解得－1≤t ≤4，且t ≠0，故t ＝的最大值为4，此时|AB |最小为2.4k ＋31＋k 27方法二　(1)证明　圆心C (1，－1)到直线l 的距离d ＝，圆C 的半径|k ＋2|1＋k 2R ＝2，R 2－d 2＝12－＝，而在S ＝11k 2－4k ＋8中，3k 2＋4k ＋41＋k 211k 2－4k ＋81＋k 2Δ＝(－4)2－4×11×8<0，故11k 2－4k ＋8>0对k ∈R 恒成立，所以R 2－d 2>0，即d <R ，所以不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点．(2)解　由平面几何知识，知|AB |＝2＝2 ，下同方法一．R 2－d 28－4k ＋11k 21＋k 2方法三　(1)证明　因为不论k 为何实数，直线l 总过点P (0，1)，而|PC |＝<2＝R ，所以点P (0,1)在圆C 的内部，即不论k 为何实数，直线l 总经过圆53C 内部的定点P .所以不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点．(2)解　由平面几何知识知过圆内定点P (0,1)的弦，只有和AC (C 为圆心)垂直时才最短，而此时点P (0,1)为弦AB 的中点，由勾股定理，知|AB |＝2＝2，12－57即直线l 被圆C 截得的最短弦长为2.7探究提高　(1)利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系；(2)勾股定理是解决有关弦问题的常用方法． (2012·安徽)若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a的取值范围是 ( )A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案　C 解析　由题意知，圆心为(a,0)，半径r ＝.2若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离小于或等于半径，即≤，∴|a ＋1|≤2.∴－3≤a ≤1.|a －0＋1|22题型二　圆与圆的位置关系例2　a 为何值时，圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋4y ＋a 2－5＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2ay ＋a 2－3＝0.(1)外切；(2)相交；(3)外离；(4)内切．思维启迪：(1)分别表示出两圆的圆心坐标和半径；(2)利用圆心距与两圆半径的关系求解．解　将两圆方程写成标准方程．C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝9，C 2：(x ＋1)2＋(y －a )2＝4.∴两圆的圆心和半径分别为C 1(a ，－2)，r 1＝3，C 2(－1，a )，r 2＝2，设两圆的圆心距为d ，则d 2＝(a ＋1)2＋(－2－a )2＝2a 2＋6a ＋5.(1)当d ＝5，即2a 2＋6a ＋5＝25时，两圆外切，此时a ＝－5或a ＝2.(2)当1<d <5，即1<2a 2＋6a ＋5<25时，两圆相交，此时－5<a <－2或－1<a <2.(3)当d >5，即2a 2＋6a ＋5>25时，两圆外离，此时a >2或a <－5.(4)当d ＝1，即2a 2＋6a ＋5＝1时，两圆内切，此时a ＝－1或a ＝－2.探究提高　判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法．已知圆C 与圆C 1：x 2＋y 2－2x ＝0相外切，并且与直线l ：x ＋y ＝0相切3于点P (3，－)，求圆C 的方程．3解　设所求圆的圆心为C (a ，b )，半径长为r ，则圆C 的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，∵C (a ，b )在过点P 且与l 垂直的直线上，∴＝.①b ＋3a －33又∵圆C 与l 相切于点P ，∴r ＝.②|a ＋3b |2∵圆C 与圆C 1相外切，∴＝r ＋1.③ a －1 2＋b 2由①得a －b －4＝0，33从而由②③④可得＝|2a －6|＋1，④4a 2－26a ＋49解得Error!，或Error!，此时，r ＝2或r ＝6.即所求的圆C 的方程为(x －4)2＋y 2＝4或x 2＋(y ＋4)2＝36.3题型三　直线与圆的综合问题例3　已知⊙M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点．(1)若|AB |＝，求|MQ |、Q 点的坐标以及直线MQ 的方程；423(2)求证：直线AB 恒过定点．思维启迪：第(1)问利用平面几何的知识解决；第(2)问设点Q 的坐标，从而确定点A 、B 的坐标与AB 的直线方程．(1)解　设直线MQ 交AB 于点P ，则|AP |＝，232又|AM |＝1，AP ⊥MQ ，AM ⊥AQ ，得|MP |＝＝，12－8913又∵|MQ |＝，∴|MQ |＝3.|MA |2|MP |设Q (x,0)，而点M (0,2)，由＝3，x 2＋22得x ＝±，则Q 点的坐标为(，0)或(－，0)．555从而直线MQ 的方程为2x ＋y －2＝0或2x －y ＋2＝0.5555(2)证明　设点Q (q,0)，由几何性质，可知A 、B 两点在以QM 为直径的圆上，此圆的方程为x (x －q )＋y (y －2)＝0，而线段AB 是此圆与已知圆的公共弦，即为qx －2y ＋3＝0，所以直线AB 恒过定点.(0，32)探究提高　在解决直线与圆的位置关系时要充分考虑平面几何知识的运用，如在直线与圆相交的有关线段长度计算中，要把圆的半径、圆心到直线的距离、直线被圆截得的线段长度放在一起综合考虑，不要单纯依靠代数计算，这样既简单又不容易出错．已知点P (0,5)及圆C ：x 2＋y 2＋4x －12y ＋24＝0.(1)若直线l 过点P 且被圆C 截得的线段长为4，求l 的方程；3(2)求过P 点的圆C 的弦的中点的轨迹方程．解　(1)如图所示，|AB |＝4，将圆C 方程化为标准方程为(x ＋2)32＋(y －6)2＝16，∴圆C 的圆心坐标为(－2,6)，半径r ＝4，设D 是线段AB 的中点，则CD ⊥AB ，∴|AD |＝2，|AC |＝4.C 点坐标为(－2,6)．3在Rt△ACD 中，可得|CD |＝2.设所求直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为：y －5＝kx ，即kx －y ＋5＝0.由点C 到直线AB 的距离公式：＝2，|－2k －6＋5|k 2＋－1 2得k ＝.34故直线l 的方程为3x －4y ＋20＝0.又直线l 的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x ＝0.∴所求直线l 的方程为x ＝0或3x －4y ＋20＝0.(2)设过P 点的圆C 的弦的中点为D (x ，y )，则CD ⊥PD ，即·＝0，CD → PD → ∴(x ＋2，y －6)·(x ，y －5)＝0，化简得所求轨迹方程为x 2＋y 2＋2x －11y ＋30＝0.与圆有关的探索问题典例：(12分)已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0.问在圆C 上是否存在两点A 、B 关于直线y ＝kx －1对称，且以AB 为直径的圆经过原点？若存在，写出直线AB 的方程；若不存在，说明理由．审题视角　(1)假设存在两点A 、B 关于直线对称，则直线过圆心．(2)若以AB 为直径的圆过原点，则OA ⊥OB ，转化为·＝0.OA → OB → 规范解答解　圆C 的方程可化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9，圆心为C (1，－2)．假设在圆C 上存在两点A、B 满足条件，则圆心C (1，－2)在直线y ＝kx －1上，即k ＝－1.[3分]于是可知，k AB ＝1.设l AB ：y ＝x ＋b ，代入圆C 的方程，整理得2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0，则Δ＝4(b ＋1)2－8(b 2＋4b －4)>0，即b 2＋6b －9<0.解得－3－3<b <－3＋3.[7分]22设点A 、B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－b －1，x 1x 2＝b 2＋2b －2.12由题意知OA ⊥OB ，则有x 1x 2＋y 1y 2＝0，也就是x 1x 2＋(x 1＋b )(x 2＋b )＝0.∴2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝0.[10分]∴b 2＋4b －4－b 2－b ＋b 2＝0，化简得b 2＋3b －4＝0.解得b ＝－4或b ＝1，均满足Δ>0，即直线AB 的方程为x －y －4＝0，或x －y ＋1＝0.[12分]答题模板第一步：假设符合要求的结论存在．第二步：从条件出发(即假设)利用直线与圆的关系求解．第三步：确定符合要求的结论存在或不存在．第四步：给出明确结果．第五步：反思回顾，查看关键点，易错点及答题规范．温馨提醒　(1)本题是与圆有关的探索类问题，要注意充分利用圆的几何性质答题．(2)要注意解答这类题目的答题格式．使答题过程完整规范．(3)本题的易错点是转化方向不明确，思路不清晰．方法与技巧1．过圆上一点(x 0，y 0)的圆的切线方程的求法先求切点与圆心连线的斜率k ，由垂直关系知切线斜率为－，由点斜式方程可求切线1k 方程．若切线斜率不存在，则由图形写出切线方程x ＝x 0.2．过圆外一点(x 0，y 0)的圆的切线方程的求法(1)几何方法当斜率存在时，设为k ，切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即kx －y ＋y 0－kx 0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程．(2)代数方法设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即y ＝kx －kx 0＋y 0，代入圆方程，得一个关于x 的一元二次方程，由Δ＝0，求得k ，切线方程即可求出．3．两圆公共弦所在直线方程求法若两圆相交时，把两圆的方程作差消去x 2和y 2就得到两圆的公共弦所在的直线方程．4．圆的弦长的求法(1)几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则2＝r 2－d 2.(l 2)(2)代数法：设直线与圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，解方程组Error!消y 后得关于x 的一元二次方程，从而求得x 1＋x 2，x 1x 2，则弦长为|AB |＝(k 为直线斜率)． 1＋k 2 [ x 1＋x 2 2－4x 1x 2]失误与防范1．求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为－1列方程来简化运算．2．过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解．A 组　专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． “a ＝3”是“直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切”的( )A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案　A 解析　若直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切，则有＝2，即|a －3＋4|22|a ＋1|＝4，所以a ＝3或－5.但当a ＝3时，直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8一定相切，故“a ＝3”是“直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切”的充分不必要条件．2． (2012·重庆)对任意的实数k ，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝2的位置关系一定是( )A ．相离 B ．相切C ．相交但直线不过圆心 D ．相交且直线过圆心答案　C 解析　∵x 2＋y 2＝2的圆心(0,0)到直线y ＝kx ＋1的距离d ＝＝≤1，|0－0＋1|1＋k 211＋k 2又∵r ＝，∴0<d <r .2∴直线与圆相交但直线不过圆心．3．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x 2＋y 2－4y ＝0所截得的弦长为( )A. B ．2 C. D ．2363答案　D 解析　过原点且倾斜角为60°的直线方程为x －y ＝0，圆x 2＋(y －2)2＝4的圆心3(0,2)到直线的距离为d ＝＝1，因此弦长为2＝2＝2.|3×0－2|3＋1R 2－d 24－134．直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥2，则k 的取值3范围是( )A. B.[－34，0][－33，33]C. D.[－3，3][－23，0]答案　B 解析　如图，若|MN |＝2，则由圆与直线的位置关系可知圆心到3直线的距离满足d 2＝22－()2＝1.3∵直线方程为y ＝kx ＋3，∴d ＝＝1，|k ·2－3＋3|1＋k 2解得k ＝±.33若|MN |≥2，则－≤k ≤.33333二、填空题(每小题5分，共15分)5．设直线ax －y ＋3＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为2，则a ＝________.3答案　0解析　d ＝，由已知条件d 2＋3＝4，|a ＋1|a 2＋1即d ＝1，＝1，解得a ＝0.|a ＋1|a 2＋16．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0 (a >0)的公共弦长为2，则a ＝________.3答案　1解析　方程x 2＋y 2＋2ay －6＝0与x 2＋y 2＝4.相减得2ay ＝2，则y ＝.由已知条件＝，1a 22－ 3 21a 即a ＝1.7． (2012·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．答案　43解析　圆C 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1，圆心为(4,0)．由题意知(4,0)到kx －y －2＝0的距离应不大于2，即≤2.整理，得3k 2－4k ≤0.解得0≤k ≤.|4k －2|k 2＋143故k 的最大值是.43三、解答题(共22分)8． (10分)求过点P (4，－1)且与圆C ：x 2＋y 2＋2x －6y ＋5＝0切于点M (1,2)的圆的方程．解　设所求圆的圆心为A (m ，n )，半径为r ，则A ，M ，C 三点共线，且有|MA |＝|AP |＝r ，因为圆C ：x 2＋y 2＋2x －6y ＋5＝0的圆心为C (－1,3)，则Error!，解得m ＝3，n ＝1，r ＝，5所以所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝5.9． (12分)已知点A (1，a )，圆x 2＋y 2＝4.(1)若过点A 的圆的切线只有一条，求a 的值及切线方程；(2)若过点A 且在两坐标轴上截距相等的直线与圆相切，求a 的值及切线方程．解　(1)由于过点A 的圆的切线只有一条，则点A 在圆上，故12＋a 2＝4，∴a ＝±.3当a ＝时，A (1，)，切线方程为x ＋y －4＝0；333当a ＝－时，A (1，－)，切线方程为x －y －4＝0，333∴a ＝时，切线方程为x ＋y －4＝0，33a ＝－时，切线方程为x －y －4＝0.33(2)设直线方程为x ＋y ＝b ，由于直线过点A ，∴1＋a ＝b ，∴直线方程为x ＋y ＝1＋a ，即x ＋y －a －1＝0.又直线与圆相切，∴d ＝＝2，∴a ＝±2－1.|a ＋1|22∴切线方程为x ＋y ＋2＝0或x ＋y －2＝0.22B 组　专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)问题，而且可保障各类管路习高中资料试卷调控试验；对设卷总体配置时，需要在最大限度1． (2012·天津)设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( )A ．[1－，1＋]33B ．(－∞，1－]∪[1＋，＋∞)33C ．[2－2，2＋2]22D ．(－∞，2－2]∪[2＋2，＋∞)22答案　D解析　圆心(1,1)到直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0的距离为＝1，|m ＋n | m ＋1 2＋ n ＋1 2所以m ＋n ＋1＝mn ≤(m ＋n )2，14所以m ＋n ≥2＋2或m ＋n ≤2－2.222． (2011·江西)若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是 ( )A ．(－，)B ．(－，0)∪(0，)33333333C ．[－，] D ．(－∞，－)∪(，＋∞)33333333答案　B 解析　C 1：(x －1)2＋y 2＝1，C 2：y ＝0或y ＝mx ＋m ＝m (x ＋1)．当m ＝0时，C 2：y ＝0，此时C 1与C 2显然只有两个交点；当m ≠0时，要满足题意，需圆(x －1)2＋y 2＝1与直线y ＝m (x ＋1)有两交点，当圆与直线相切时，m ＝±，即直线处于两切线之间时满足题意，则33－<m <0或0<m <.3333综上知－<m <0或0<m <.33333． (2011·大纲全国)设两圆C 1、C 2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C 1C 2|等于 ( )A．4 B ．4 C ．8 D ．822答案　C解析　∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等．设两圆的圆心分别为(a ，a )，(b ，b )，则有(4－a )2＋(1－a )2＝a 2，(4－b )2＋(1－b )2＝b 2，即a ，b 为方程(4－x )2＋(1－x )2＝x 2的两个根，整理得x 2－10x ＋17＝0，∴a ＋b ＝10，ab ＝17.∴(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＝100－4×17＝32，∴|C 1C 2|＝＝＝8. a －b 2＋ a －b 232×2二、填空题(每小题5分，共15分)4．若过点A (a ，a )可作圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2＋2a －3＝0的两条切线，则实数a 的取值范围为______________．答案　(－∞，－3)∪(1，32)解析　圆方程可化为(x －a )2＋y 2＝3－2a ，由已知可得Error!，解得a <－3或1<a <.325．若过定点M (－1,0)且斜率为k 的直线与圆C ：x 2＋4x ＋y 2－5＝0在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是__________．答案　(0，)5解析　圆的标准方程为(x ＋2)2＋y 2＝9，令x ＝0得圆与y 轴的两个交点为(0，±)，如图，直线k AM ＝.若过定点M (－1,0)且斜55率为k 的直线与圆x 2＋4x ＋y 2－5＝0在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是0<k <.56．过点M 的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A 、B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最(12，1)小时，直线l 的方程为______________．答案　2x －4y ＋3＝0解析　由题意得，当CM ⊥AB 时，∠ACB 最小，从而直线方程y －1＝－，即1－120－1(x －12)2x －4y ＋3＝0.度固定盒位置保护层防腐跨接与校对图纸，编写复杂设备与常高中资料试卷工况进行自动三、解答题7．(13分)已知以点A (－1,2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切．过点B (－2，0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点．(1)求圆A 的方程；(2)当|MN |＝2时，求直线l 的方程．19解　(1)设圆A 的半径为R ，由于圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，∴R ＝＝2.|－1＋4＋7|55∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.(2)①当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－2符合题意；②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0.连接AQ ，则AQ ⊥MN .∵|MN |＝2，19∴|AQ |＝＝1，20－19则由|AQ |＝＝1，得k ＝，|k －2|k 2＋134∴直线l ：3x －4y ＋6＝0.故直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0.。

直线与圆、圆与圆的位置关系课件-2025届高三数学一轮复习

, 到直线： − − = 的距离 =

≤ + ，解得−

≤≤

.

−−
+
=

+
≤ ，即
考点二直线与圆位置关系的应用
角度1 圆的切线问题（链接高考）
例2 (2023·新课标Ⅰ卷)过点 , − 与圆 + − − = 相切的两条直
（2）过圆 + = 外一点 , 作圆的两条切线，则两切点所在
直线方程为 + = .
2.圆与圆的位置关系的常用结论
（1）两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到.
（2）两个圆系方程
①过直线 + + = 与圆 + + + + = 交点的圆系方
（其中不含圆，所以注意检验是否满足题意，以防丢解）.
1.若经过点 −, − 的直线与圆 + = 相切，则该直线在轴上的截
距为(

A.

)
√

C.−

B.5
解析：选C.因为 −

+ −

D.−
= ，所以点在圆上，
所以切线方程为− − = ,令 = 得 =
+ − − = 相交.
方法三：圆的方程可化为 −

+ = ,
所以圆的圆心为 , ，半径为3.
圆心到直线 − + − = 的距离为
+−
+
=

+
≤ < ,所以直线与圆相交.故选C.

高考数学一轮复习规划8.4直线与圆、圆与圆的位置关系课件

围为
()
A. (－1，1]∪{－ 2}
B. {－ 2， 2}
C. [－1，1)∪{ 2}
D. (1， 2]
考试要求
必备知识
自主评价
核心考点
解：y＝ 1－x2表示半圆，如图所示，
第八章平面解析几何
因为直线 y＝x＋m 与曲线 y＝ 1－x2有且只有一个公共点， ①d＝ 12＋（|m|－1）2＝1，解得 m＝ 2，m＝－ 2(舍去)； ②代入(－1，0)可得 0＝－1＋m，m＝1，代入(1，0)可得 0＝1＋m，m＝－1. 综上，结合图象可得－1≤m<1 或 m＝ 2. 故选 C.
考试要求
必备知识
自主评价
核心考点
第八章平面解析几何
②若点 M(x0，y0)在圆外，过点 M 引圆的两条切线，切点为 M1，M2，则切点弦(两切点的连线段)所在直线的方程分别为 x0x＋y0y＝r2； (x－a)(x0－a)＋(y－b)(y0－b)＝r2； x0x＋y0y＋D·x0＋2 x＋E·y0＋2 y＋F＝0. (2)圆 x2＋y2＝r2 的斜率为 k 的两条切线方程分别为 y＝kx±r 1＋k2. (3)过圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 外一点 M(x0，y0)引圆的切线，T 为切点，切线长公式
5 (2)可知点 A(4，－1)在圆上，故其为切点. 因为 kAC＝－1－2＋41＝13，所以过切点 A(4，－1)的切线斜率为－3，所以切线方程为 y＋1＝－3(x－4)，即 3x＋y－11＝0. 【点拨】求过定点的圆的切线方程时，首先要判断定点在圆上还是在圆外，若在圆上，则该点为切点，切线仅有一条；若在圆外，切线应该有两条.
()
(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.

2023新高考数学一轮复习创新课件第9章第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系

方法
|Aa＋Bb＋C| A2＋B2
d 04 _<__r
d 05 _＝__r
d 06 _>__r
位置关系代数法：由
判定方法消元得到一元二次
方程根的判别式Δ
相交 Δ 07 _>__0
相切 Δ 08 _＝__0
相离 Δ 09 _<__0
2．圆与圆的位置关系(⊙O1，⊙O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|)
解析
多角度探究突破
考向二直线与圆的综合问题
角度
圆的切线问题
例2 已知点P( 2＋1,2－ 2)，点M(3,1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1)求过点P的圆C的切线方程；
(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．
解由题意，得圆心C(1,2)，半径r＝2. (1)∵( 2＋1－1)2＋(2－ 2－2)2＝4， ∴点P在圆C上．
1．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0截得的弦长为
() A. 3
B．2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C． 6
D．2 3
解析直线方程为y＝ 3 x，圆的标准方程为x2＋(y－2)2＝4，则圆心
| (0,2)到直线的距离d＝
3×20－2|＝1，所以所求弦长为2×
22－12＝2
3.
解析答案
2．圆Q：x2＋y2－4x＝0在点P(1， 3)处的切线方程为( )
外离
外切
相交
内切
内含
图
形
量
的 10 _d_>_r_1＋__r_2_ 关系
11 _d_＝____ __r_1＋__r_2__
12 _|r_1－__r_2_|<_ __d_<_r_1＋__r_2__

高三数学高考一本通解析几何第一轮复习第五课时直线与圆圆与圆的位置关系教案人教版

直线与圆、圆与圆的位置关系【考点诠释】：掌握点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，并会选用代数或几何方法判定点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系。

能够解决圆的切线，直线被圆截得的弦长等直线与圆的综合问题。

这节是高考命题的热点之一，每年必考，主要考查圆与点、直线、圆的位置关系及判定方法；圆的弦长、切线方程的求法及应用。

多为难度中等的选择题、填空题，也有难度较大的综合题。

【知识整合】：1．直线与圆的位置关系有三种情况，一般通过与相比较来判定，也可以通过来判定。

2．圆与圆的位置关系有等情况，一般通过比较来判定。

3．圆的切线方程问题（1）圆的方程为x2+y2=r2(r>0)，点M(x0,y0)，若点M在⊙O上，则过M的切线方程为；若点M在⊙O外，则直线x0x+y0y=r2与⊙O的位置关系是；若点M在⊙O内，则直线x0x+y0y=r2与⊙O的位置关系是；（2）过圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外一点M(x0,y0)引切线，其方法是，切线长公式|MT|＝。

4．直线被圆所截得的弦长为。

5．两圆的公共弦所在直线方程：⊙O1: x2+y2+D1x+E1y+F1=0,⊙O2: x2+y2+D2x+E2y+F2=0.若⊙O1与⊙O2相交时，两圆的公共弦所在直线方程为；若⊙O1与⊙O2相外切时，(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0表示；若⊙O1与⊙O2是半径相等的，则两圆的对称直线方程为。

6.常见的圆系方程：（1）过定直线L：Ax＋By＋C＝0和定圆x2+y2+Dx+Ey+F=0两交点的圆系：x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax＋By＋C)=0.(2)过两定圆：⊙O1: x2+y2+D1x+E1y+F1=0,⊙O2: x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆系：x2+y2+D1x+E1y+F1＋λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)＝0（不包括⊙O2），当λ=-1，方程表示两圆公共弦所在直线方程.【基础再现】：1．若圆x2+y2=r2(r>0)上恰有相异两点到直线4x-3y+25=0的距离等于1，则r的取值范围是（）A.[4,6]B.[4,6C.(4,6D.(4,6)2.过点M(1,2)的直线将圆(x-2)2+y2=9分成两段弧，当其中劣弧最短时，L的方程为（）A.x=1B.y=1C.x-2y+3=0D.x-y+1=03.点M(x0,y0)是圆x2+y2=a2(a>0)内不为圆心的一点，则直线x0x+y0y=a2与该圆的位置关系是（）A．相切 B.相交 C.相离 D.相切或相交4.直线x+y-1=0被圆(x-1)2+(y-1)2=8所截得的弦AB中点坐标为；弦AB的长为 .【例题精析】：例1．已知圆的方程为x2+y2+ax+2y+a2=0，一定点为A(1,2)，要使过定点A作圆的切线有两条，求实数a 的取值范围。

高考数学一轮复习---直线与圆、圆与圆的位置关系知识点与题型复习

直线与圆、圆与圆的位置关系知识点与题型复习一、基础知识1．直线与圆的位置关系(半径为r ，圆心到直线的距离为d )Δ＜0 Δ＝0 Δ＞02．圆与圆的位置关系(两圆半径为r 1，r 2，d ＝|O 1O 2|)|r －r |＜d ＜二、常用结论(1)圆的切线方程常用结论①过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.②过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2. ③过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2. (2)直线被圆截得的弦长弦心距d 、弦长l 的一半12l 及圆的半径r 构成一直角三角形，且有r 2＝d 2＋221⎪⎭⎫⎝⎛l .三、考点解析考点一直线与圆的位置关系考法(一) 直线与圆的位置关系的判断例、直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定[解题技法]判断直线与圆的位置关系的常见方法： (1)几何法：利用d 与r 的关系．(2)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．考法(二) 直线与圆相切的问题例、(1)过点P (2,4)作圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为( )A ．3x ＋4y －4＝0B ．4x －3y ＋4＝0C ．x ＝2或4x －3y ＋4＝0D ．y ＝4或3x ＋4y －4＝0 (2)已知圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0上存在两点关于直线l ：x ＋my ＋1＝0对称，经过点M (m ，m )作圆C 的切线，切点为P ，则|MP |＝________.考法(三) 弦长问题例、(1)若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( ) A.12 B ．1 C.22D.2 (2)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为( ) A ．4π B ．2π C ．9π D ．22π跟踪练习：1．已知圆的方程是x 2＋y 2＝1，则经过圆上一点M ⎪⎪⎭⎫⎝⎛2222，的切线方程是________． 2．若直线kx －y ＋2＝0与圆x 2＋y 2－2x －3＝0没有公共点，则实数k 的取值范围是________．3．设直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋2x －my ＝0相交于A ，B 两点，若点A ，B 关于直线l ：x ＋y ＝0对称，则|AB |＝________.考点二圆与圆的位置关系例、已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离变式练习：1．若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( )A ．21B ．19C ．9D ．－112.(变结论)若本例两圆的方程不变，则两圆的公共弦长为________．[解题技法]几何法判断圆与圆的位置关系的3步骤： (1)确定两圆的圆心坐标和半径长；(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d ，求r 1＋r 2，|r 1－r 2|； (3)比较d ，r 1＋r 2，|r 1－r 2|的大小，写出结论．课后作业1．若直线2x ＋y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则a 的值为( ) A ．±5 B ．±5 C ．3 D ．±32．与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋4y ＋12＝0，C 2：x 2＋y 2－14x －2y ＋14＝0都相切的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条3．直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2＋(y －3)2＝4截得的弦长为23，则直线的倾斜角为( ) A.π6或5π6 B ．－π3或π3 C ．－π6或π6 D.π64．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( ) A ．2x ＋y －5＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y －5＝0 D ．x －2y －7＝05．若圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋6＝0上有且仅有三个点到直线x ＋ay ＋1＝0的距离为1，则实数a 的值为( ) A ．±1 B ．±24 C ．± 2 D ．±326．过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( ) A ．y ＝－34 B ．y ＝－12 C ．y ＝－32 D ．y ＝－147．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________． 8．若P (2,1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为________． 9．过点P (－3,1)，Q (a,0)的光线经x 轴反射后与圆x 2＋y 2＝1相切，则a 的值为________．10．点P 在圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|P Q |的最小值是________．11．已知圆C 1：x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和圆C 2：x 2＋y 2－10x －12y ＋45＝0. (1)求证：圆C 1和圆C 2相交；(2)求圆C 1和圆C 2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．12．已知圆C 经过点A (2，－1)，和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上． (1)求圆C 的方程；(2)已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程．提高练习1．过圆x 2＋y 2＝1上一点作圆的切线，与x 轴、y 轴的正半轴相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( ) A. 2 B.3 C ．2 D ．32．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5,0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB ―→·CD ―→＝0，则点A 的横坐标为________． 3．已知圆C ：x 2＋(y －a )2＝4，点A (1,0)．(1)当过点A 的圆C 的切线存在时，求实数a 的取值范围； (2)设AM ，AN 为圆C 的两条切线，M ，N 为切点，当|MN |＝455时，求MN 所在直线的方程．。

2015高考数学一轮配套课件：9-4直线与圆、圆与圆的位置关系

诊断·基础知识
突破·高频考第点二十页，编辑于培星养期五·：解十题四点能十分力。
将②式代入，解得 k＝34，此时直线的方程为 3x－4y＋20＝0. 当 k 不存在时也满足题意，此时直线方程为 x＝0， ∴所求直线的方程为 x＝0 或 3x－4y＋20＝0.
诊断·基础知识
突破·高频考第点二十一页，编辑培于养星期·五解：题十四能点十力分。
|OP|＝sin|∠OAO|PA＝2，易得 P 为 CD 中点，故 P( 2， 2)．
诊断·基础知识
突破·高频考第点九页，编辑于星培期养五：·十解四题点十能分。力
法二
设 P(x，y)，由法一可得x＋x2y＋－y22＝22＝，0
⇒xy＝＝
2， 2，
故 P( 2， 2)．
答案 (1)相交 (2)( 2， 2)
• (2)设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过解心点析坐标(4为(,11)(圆)0，,2O)则，1 的半两圆径圆心r2坐心＝标2的，为故距(1两,离0圆)，|C的半1圆C径心2为|＝距r|_1O＝_1O_12，_|＝_圆__5O，_2.的而圆r2
－r1＝1，r1＋r2＝3，则有 r2－r1＜|O1O2|＜r1＋r2，故两圆相交．
诊断·基础知识
突破·高频考第点五页，编辑于星培期养五：·十解四题点十能分。力
• [感悟·提升]
• 1．两个防范一是应用圆的性质求圆的弦长，注意弦长的一半、弦心距和圆的半径构成一个直角三角形，有的同学往往漏掉了2倍，如(3) ；
• 二是在判断两圆位置关系时，考虑要全面，
防止漏解，如(4)、(5)，(4)应为两圆外切与内切
l 与 x 轴交点 Am1 ，0，与 y 轴交点 B0，1n， ∴S△AOB＝12·m1 1n＝12·|m1n|≥12×6＝3.

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步步高2015高考数学(人教A理)一轮讲义：9.4直线与圆、圆与圆的位高§9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 (r0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.2.圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r10)，圆O2：(x－a2)2＋(y －b2)2＝r22 (r20).1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件. (2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切. (3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.( × ) ( × ) ( × )(4)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.( × )(5)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x ＋y0y＝r2.( √ )(6)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.( √ )高2.(2013安徽)直线x＋2y－5＋＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为A.1 B.2 C.4 6 答案C( )解析圆的方程可化为(x－1)2＋(y－2)2＝5，圆心(1,2)到直线x＋2y－5＋＝0的距离d＝1，截得弦长l＝2r－d＝4.3.圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有( ) A.1条答案B解析⊙C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，圆心C1(－1，－1)，半径r1＝2.⊙C2：(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心C2(2,1)，半径r2＝2. ∴|C1C2|13，∴|r1－r2|＝0|C1C2|r1＋r2＝4，∴两圆相交，有两条公切线.c4.两圆交于点A(1,3)和B(m,1)，两圆的圆心都在直线x－y＋＝0上，则m＋c的值等于________.2答案3c解析由题意，知线段AB的中点在直线x－y＋0上，2∴1＋mc20，∴m＋c＝3. 22B.2条C.3条D.4条5.若圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点，则实数k的取值范围为__________. 答案(33)解析由圆与直线没有公共点，可知圆的圆心到直线的距离大于半径，也就是k3，即k∈(33).21，解得－3k＋1直线与圆的位置关系例1 已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12. (1)试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；(2)求直线l被圆C截得的最短弦长.思维启迪直线与圆的交点个数即为直线方程与圆方程联立而成的方程组解的个数；最短弦长可用代数法或几何法判定.y＝kx＋1，方法一(1)证明由22x－1 ＋y＋1 ＝12，消去y得(k2＋1)x2－(2－4k)x－7＝0，因为Δ＝(2－4k)2＋28(k2＋1)0，所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点. (2)解设直线与圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则直线l被圆C截得的弦长|AB|1＋k|x1－x2| ＝28－4k＋11k＝21＋k4k＋311－，1＋k4k＋32令t＝，则tk－4k＋(t－3)＝0，1＋k3当t＝0时，k＝－，当t≠0时，因为k∈R，4所以Δ＝16－4t(t－3)≥0，解得－1≤t≤4，且t≠0，4k＋3故t＝的最大值为4，此时|AB|最小为27.1＋kk2＋4k＋4方法二(1)证明圆心C(1，－1)到直线l的距离d＝圆C的半径R＝23，R－d＝12－1＋k1＋k|k＋2|2211k2－4k＋8＝S＝11k2－4k＋8中，Δ＝(－4)2－4×11×80，1＋k故11k2－4k＋80对k∈R恒成立，所以R2－d20，即dR，所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点. (2)解由平面几何知识，知|AB|＝2R－d＝28－4k＋11k，下同方法一.1＋k方法三(1)证明因为不论k为何实数，直线l总过点P(0，1)，而|PC|＝523＝R，所以点P(0,1)在圆C的内部，即不论k为何实数，直线l总经过圆C内部的定点P. 所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点.高(2)解由平面几何知识知过圆内定点P(0,1)的弦，只有和AC (C为圆心)垂直时才最短，而此时点P(0,1)为弦AB的中点，由勾股定理，知|AB|＝212－5＝27，即直线l被圆C截得的最短弦长为7.思维升华(1)利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系；(2)勾股定理是解决有关弦问题的常用方法.(1)若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则P(a，b)A.在圆上C.在圆内B.在圆外D.以上都有可能( )( )(2)直线l：y－1＝k(x－1)和圆x2＋y2－2y＝0的位置关系是A.相离C.相交B.相切或相交D.相切(3)在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且仅有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________. 答案(1)B (2)C (3)(－13,13) 解析(1)由1a＋b1，∴点P在圆外. a＋b|k|1.故直线与圆相交. 1＋k(2)圆x2＋y2－2y＝0的圆心是(0,1)，半径r＝1，则圆心到直线l的距离d(3)根据题意知，圆心O到直线12x －5y＋c＝0的距离小于1，∴|c|1，∴|c|13，12＋5∴c∈(－13,13).题型二圆的切线与弦长问题例2 已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4. (1)求过M点的圆的切线方程；(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值；(3)若直线ax－y＋4＝0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为23，求a的值.思维启迪在求过某点的圆的切线方程时，应首先确定点与圆的位置关系，再求直线方程.若点在圆上，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意斜率不存在的切线.在处理直线和圆相交所得的弦的弦长问题时，常考虑几何法. 解(1)圆心C(1,2)，半径r＝2，当直线的斜率不存在时，方程为x＝3.由圆心C(1,2)到直线x＝3的距离d＝3－1＝2＝r知，此时，直线与圆相切.当直线的斜率存在时，设方程为y－1＝k(x－3)，高即kx－y＋1－3k＝0.|k－2＋1－3k|3由题意知2，解得k＝.4k＋13∴圆的切线方程为y－1＝(x－3)，4即3x－4y－5＝0.故过M点的圆的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0. |a－2＋4|4(2)由题意得2，解得a＝0或a. 3a＋1(3)∵圆心到直线ax－y＋4＝0的距离为∴(|a＋2|*****)＋(＝4，解得a＝－24a＋1|a＋2|a＋1思维升华(1)求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求直线方程.若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意斜率不存在的切线.(2)求直线被圆所截得的弦长时，通常考虑由弦心距垂线段作为直角边的直角三角形，利用勾股定理来解决问题.已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为43，求l的方程；(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程.解(1)如图所示，|AB|＝43，将圆C方程化为标准方程为(x＋2)2＋(y－6)2＝16，∴圆C的圆心坐标为(－2,6)，半径r＝4，设D是线段AB的中点，则CD⊥AB，∴|AD|＝23，|AC|＝4.C点坐标为(－2,6). 在Rt△ACD中，可得|CD|＝2.设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0. |－2k－6＋5|3由点C到直线AB的距离公式：＝2，得k＝.4k＋－1 故直线l的方程为3x－4y＋20＝0.又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x＝0. ∴所求直线l的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0. (2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x，y)，→→则CD⊥PD，即CDPD＝0，∴(x＋2，y－6)(x，y－5)＝0，高化简得所求轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋30＝0. 题型三圆与圆的位置关系例3 (1)已知两圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0，C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，则两圆公共弦所在的直线方程是________.(2)两圆x2＋y2－6x＋6y－48＝0与x2＋y2＋4x－8y－44＝0公切线的条数是________.(3)已知⊙O的方程是x2＋y2－2＝0，⊙O′的方程是x2＋y2－8x ＋10＝0，由动点P向⊙O和⊙O′所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是________.思维启迪求动点的轨迹方程关键是寻找与动点有关的等量关系，然后将等量关系用坐标表示出来. 3答案(1)x－2y＋4＝0 (2)2 (3)x＝2解析(1)两圆的方程相减得：x－2y＋4＝0. (2)两圆圆心距d＝74＋，∴两圆相交，故有2条切线.(3)⊙O的圆心为(0,0)2，⊙O′的圆心为(4,0)6，设点P为(x，y)，由已知条件和圆3切线性质得x2＋y2－2＝(x－4)2＋y2－6，化简得x＝2思维升华判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法.若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到.已知两圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0，C2：x2＋y2＋2x＋2y －8＝0，则以两圆公共弦为直径的圆的方程是________________. 答案(x＋2)2＋(y－1)2＝5解析圆C1的圆心为(1，－5)50，圆C2的圆心为(－1，－1)10，则两圆心连线的直线方程为2x＋y＋3＝0，由两圆方程作差得公共弦方程为x－2y＋4＝0，两直线的交点(－2,1)即为所求圆的圆心，由垂径定理可以求得半径为5，即所求圆的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝5.一、圆与集合的交汇问题高考中与圆交汇问题的求解典例：(5分)设M＝{(x，y)|y＝2a－x，a0}，N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－3)2＝a2，a0}，则M∩N≠ 时，a的最大值与最小值分别为________、________.思维启迪本题条件M∩N≠ 反映了两个集合所表示的曲线之间的关系，即半圆与圆之间的关系，因此可以直接利用数形结合的思想求解.解析因为集合M＝{(x，y)|y＝2a－x，a0}，所以集合M表示以O(0,0)为圆心，半径为r12a的上半圆. 同理，集合N表示以O′(13)为圆心，半径为r2＝a的圆上的点. 这两个圆的半径随着a的变化而变化，但|OO′|＝2.如图所示，高2a＋a＝2，得a＝2－2；2a－a＝2，得a＝2＋2. 所以a的最大值为22＋2，最小值为2－2. 答案2＋2 22－2温馨提醒本题主要考查集合的运算及圆与圆相切的相关知识，考查考生综合运用知识解决问题的能力.借助数形结合的思想方法求解本题较为简捷，在求解时要注意对M∩N≠ 的意义的理解，若题中未指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，例如A B，则A＝或A≠ 两种可能，应分类讨论.本题的设计亮点就是将集合的关系与圆的位置关系较好地结合起来. 二、圆与线性规划的交汇问题2x－y＋2≥0，典例：(5分)如果点P在平面区域x－2y＋1≤0，x＋y－2≤0为________.思维启迪求解本题应先画出点P所在的平面区域，再画出点Q所在的圆，最后利用几何意义将问题转化为圆上的点到定直线的距离的最值问题，即可求出|PQ|的最小值.上，点Q在曲线x2＋(y＋2)2＝1上，那么|PQ|的最小值高2x－y＋2≥0，解析由点P在平面区域x－2y＋1≤0，x＋y－2≤0上，画出点P所在的平面区域.由点Q在圆x2＋(y＋2)2＝1上，画出点Q所在的圆，如图所示.由题意，得|PQ|的最小值为圆心(0，－2)到直线x－2y＋1＝0的距离减去半径1.|0－2× －2 ＋1|又圆心(0，－2)到直线x－2y＋1＝05，此时垂足(－1,0)在满足条件的平面1＋2区域内，故|PQ|的最小值为5－1. 答案5－1温馨提醒本题考查线性规划及圆、点到直线的距离等知识，并考查考生综合应用知识解决问题的能力.本题的突出特点就是将圆与线性规划问题有机地结合起来，为我们展现了数学知识相互交汇的新天地，求解时既要注意使用线性规划的基本思想，又要利用圆上各点的特殊性.实际上是对数形结合思想的提升，即利用线性或非线性函数的几何意义，通过作图来解决最值问题. 三、圆与不等式的交汇问题典例：(5分)(2012天津)设m，n∈R，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，则m＋n的取值范围是A.[13，1＋3]B.(－∞，1－3]∪[1＋3，＋∞)C.[2－2，2＋22]D.(－∞，2－2]∪[2＋22，＋∞)思维启迪圆与不等式的交汇实质上反映了圆的独特性质，即圆内点、圆外点的性质，直线与圆相交、相离的性质，圆与圆的相交、相离的性质等，这些问题反映在代数上就是不等式的形式. 解析圆心(1,1)到直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0(m＋n)2，所以m＋n≥2＋22或m＋n≤2－2. 答案D温馨提醒直线与圆位置关系的考查，一般是已知位置关系求参数值，基本不等式的考查一般是给出参数关系，利用基本不等式求最值或范围.而本题却以直线与圆的位置关系给出参数之间的数量关系，利用基本不等式转化，结合换元法把关系转化为一元二次不等式，从而求得m＋n的取值范围，这一交汇命题新颖独特，考查知识全面，难度中等，需要注意各知识应熟练掌握才能逐一化解.1＝1，所以m＋n＋1＝mn≤4 m＋1 ＋n＋1 |m＋n|( )高方法与技巧1.过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法1先求切点与圆心连线的斜率k，由垂直关系知切线斜率为－，由点斜式方程可求切线方程.若切线斜率k不存在，则由图形写出切线方程x＝x0. 2.过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法(1)几何方法当斜率存在时，设为k，切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y ＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程. (2)代数方法设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆方程，得一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出. 3.两圆公共弦所在直线方程的求法若两圆相交时，把两圆的方程作差消去x2和y2就得到两圆的公共弦所在的直线方程. 4.圆的弦长的求法l 222(1)几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则2 ＝r－d.y＝kx＋b，(2)代数法：设直线与圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，解方程组消y后得关222x－x ＋y－y ＝r，00于x的一元二次方程，从而求得x1＋x2，x1x2，则弦长为|AB| 1＋k [ x1＋x2 －4x1x2](k为直线斜率). 失误与防范1.求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为－1列方程来简化运算.2.过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解.高A组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1.圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋(y－3)2＝1的内公切线有且仅有A.1条答案B解析圆心距为3，半径之和为2，故两圆外离，内公切线条数为2.2.(2012重庆)对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是( ) A.相离B.相切D.相交且直线过圆心B.2条C.3条D.4条( )C.相交但直线不过圆心答案C解析∵x2＋y2＝2的圆心(0,0)到直线y＝kx＋1的距离|0－0＋1|1d＝≤1，1＋k1＋k又∵r＝2，∴0dr.∴直线与圆相交但直线不过圆心.3.直线l过点A(2,4)且与圆x2＋y2＝4相切，则l的方程为A.3x －4y＋10＝0 C.x－y＋2＝0 答案D解析显然x＝2为所求切线之一；另设y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，而|4－2k|3＝2，k＝，即切线为3x－4y＋10＝0，4k＋1B.x＝2D.x＝2或3x－4y＋10＝0( )∴x＝2或3x－4y＋10＝0为所求.4.(2013山东)过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为( )A.2x＋y－3＝0 C.4x－y－3＝0 答案AB.2x－y－3＝0 D.4x＋y－3＝0高1解析如图所示：由题意知：AB⊥PC，kPC＝∴kAB＝－2，∴直线2AB的方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0.5.已知直线y＝kx＋b与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，当b1＋k →→时，OAOB等于A.1B.2D.4( )C.3答案A解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将y＝kx＋b代入x2＋y2＝1得(1＋k2)x2＋2kbx＋b2－1＝0，b2－12kb故x1＋x2＝－，xx＝1＋k121＋k→→从而OAOB＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2 2k2b22b22＝b－1－b＝－1＝1.1＋k1＋k2二、填空题6.若直线y＝x＋b与曲线y＝34x－x有公共点，则b的取值范围是________. 答案1－22≤b≤3解析由y＝34x－x，得(x－2)2＋(y－3)2＝4(1≤y≤3). ∴曲线y ＝3－4x－x是半圆，如图中实线所示. 当直线y＝x＋b与圆相切时，|2－3＋b|2.∴b＝1±22. 由图可知b＝1－2.∴b的取值范围是[1－2，3].7.若过点A(a，a)可作圆x2＋y2－2ax＋a2＋2a－3＝0的两条切线，则实数a的取值范围为______________. 31，答案(－∞，－3)∪ 2解析圆方程可化为(x－a)2＋y2＝3－2a，3－2a0 3由已知可得2，解得a－3或1a.2 a3－2a8.若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0 (a0)的公共弦长为3，则a＝________. 答案1解析方程x2＋y2＋2ay－6＝0与x2＋y2＝4. 1相减得2ay＝2，则y＝由已知条件a即a＝1. 三、解答题122－3 2＝，a高29.已知以点C(t，t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为原点.t(1)求证：△OAB的面积为定值；(2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若OM＝ON，求圆C的方程. 4(1)证明∵圆C过原点O，∴OC2＝t2＋.t24设圆C的方程是(x－t)2＋(y－)2＝t2，tt4令x＝0，得y1＝0，y2＝；t令y＝0，得x1＝0，x2＝2t，114∴S△OAB＝OB＝×||×|2t|＝4，22t即△OAB的面积为定值.(2)解∵OM＝ON，CM＝CN，∴OC垂直平分线段MN. 1∵kMN＝－2，∴kOC＝.221∴t，解得t＝2或t＝－2. t2当t＝2时，圆心C的坐标为(2,1)，OC＝5，此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝圆C与直线y＝－2x＋4相交于两点.当t＝－2时，圆心C的坐标为(－2，－1)，OC＝5，此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝圆C与直线y＝－2x＋4不相交，∴t＝－2不符合题意，舍去. ∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.10.已知矩形ABCD的对角线交于点P(2,0)，边AB所在直线的方程为x－3y－6＝0，点(－1,1)在边AD所在的直线上.(1)求矩形ABCD的外接圆的方程；(2)已知直线l：(1－2k)x＋(1＋k)y－5＋4k＝0(k∈R)，求证：直线l与矩形ABCD的外接圆恒相交，并求出相交的弦长最短时的直线l的方程. 解(1)∵lAB：x－3y－6＝0且AD⊥AB，点(－1,1)在边AD所在的直线上，∴AD所在直线的方程是y－1＝－3(x＋1)，即3x＋y ＋2＝0.95. 15，高x－3y－6＝0，由得A(0，－2). 3x＋y＋2＝0，∴|AP|＝4＋4＝22，∴矩形ABCD的外接圆的方程是(x－2)2＋y2＝8. (2)直线l的方程可化为k(－2x＋y＋4)＋x＋y－5＝0，l可看作是过直线－2x＋y＋4＝0和x＋y－5＝0的交点(3,2)的直线系，即l恒过定点Q(3,2)，由(3－2)2＋22＝58知点Q在圆P内，所以l与圆P恒相交. 设l与圆P的交点为M，N，则|MN|＝8－d(d为P到l的距离)，设PQ与l的夹角为θ，则d＝|PQ|sin θ5sin θ，当θ＝90°时，d 最大，|MN|最短.1此时l的斜率为PQ，21故l的方程为y－2x－3)，x＋2y－7＝0.2B组专项能力提升(时间：30分钟)1.已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为A.x2＋y2－2x－3＝0 C.x2＋y2＋2x－3＝0 答案DB.x2＋y2＋4x＝0 D.x2＋y2－4x＝0解析设圆心为(a,0)，且a0，则(a,0)到直线3x＋4y＋4＝0的距离为2，即|3×a＋4×0＋4|14＝2 3a＋4＝±10 a＝2或a＝－(舍去)，33＋4则圆C的方程为(x－2)2＋(y－0)2＝22，即x2＋y2－4x＝0.高2.圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点有A.1个答案C|9＋12－11|解析因为圆心到直线的距离为2，5又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，由数形结合知，圆上到直线的距离为1的点有3个.3.(2013江西)过点2，0)引直线l与曲线y＝1－x相交于A、B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l 的斜率等于A.33B.－3 3( )B.2个C.3个D.4个( )3D.－3答案B1解析∵S△AOB＝|OA||OB|sin∠AOB211＝sin∠AOB22π当∠AOB＝2S△AOB面积最大.此时O到AB的距离d＝2. 2设AB方程为y＝k(x－2)(k0)，即kx－y2k＝0.由d＝|2k|23得k＝－.3k＋123). 3(也可k＝－tan∠OPH＝－4.(2012江苏)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是______. 4答案3解析圆C的标准方程为(x－4)2＋y2＝1，圆心为(4,0). 由题意知(4,0)到kx－y－2＝0的距离应不大于2，即|4k－2|42≤2.整理，得3k－4k≤0.解得0≤k≤.3k＋14故k的最大值是.3高5.已知集合A＝{(x，y)|x－y＋m≥0}，集合B＝{(x，y)|x2＋y2≤1}.若A∩B＝，则实数m的取值范围是________. 答案m2解析如图，A＝{(x，y)|x－y＋m≥0}表示直线x－y＋m＝0及其右下方区域，B＝{(x，y)|x2＋y2≤1}表示圆x2＋y2＝1及其内部，要使A∩B＝，|0－0＋m|则直线x－y＋m＝0在圆x2＋y2＝1的下方，，故m－6.已知圆O：x2＋y2＝4和点M(1，a).(1)若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程. (2)若a＝2，过点M的圆的两条弦AC，BD互相垂直，求|AC|＋|BD|的最大值. 解(1)由条件知点M在圆O上，所以1＋a2＝4，则a＝3.当a3时，点M为(1，3)，kOM＝3，k切＝－此时切线方程为y －＝－即x＋3y－4＝0，3x－1). 33，3当a3时，点M为(1，－3)，kOM3，k切＝此时切线方程为y＋3＝3(x－1).即x－3y－4＝0. 33. 3所以所求的切线方程为x3y－4＝0或x3y－4＝0. (2)设O到直线AC，BD的距离分别为d1，d2(d1，d2≥0)，22则d21＋d2＝OM＝3.又有|AC|＝24－d1，|BD|＝24－d2，所以|AC|＋|BD|＝24－d1＋24－d2.2则(|AC|＋|BD|)2＝4×(4－d1＋4－d22＋24－d14－d2) ＝4×[5＋16－4 d1＋d2 ＋d1d2] ＝4×(5＋4＋d1d2).9222因为2d1d2≤d21＋d2＝3，所以d1d2≤ 4当且仅当d1＝d2＝654＋dd≤，12225所以(|AC|＋|BD|)2≤4×(5＋2×)＝40.2所以|AC|＋|BD|≤210，即|AC|＋|BD|的最大值为10.。