概率论问题
概率论发展史上的经典名题
这个问题的解答也说明了在信息不完全的情况下做出决策的困难性。在现实生活中，很多决策都需 要我们在不完全的信息下做出判断。因此，如何根据所获得的信息做出最佳决策是一个非常重要的 能力
概率论发展史上的经典名题
-
1
赌徒谬误
2
生日悖论
3
蒙提霍尔问题
4
辛普森悖论
5
高斯分布的应用
概率论发展史上的经典名题
01
概率论作为数学 的一个重要分支， 在其发展历程中 涌现出了许多经 典的名题
02
这些名题不仅推 动了概率论本身 的发展，还为其 他学科领域提供 了重要的启示
03
本文将介绍几个 概率论发展史上 的经典名题
5 高斯分布的应用
高斯分布的应用
高斯分布是概率论中的一个重要分布，它在很多领域都有广泛的应用。例 如，在自然现象中，很多随机变量都服从高斯分布，如温度、身高、体重 等。在金融领域中，很多资产价格的波动也服从高斯分布
高斯分布在数学和物理中也很有用。例如，在求解很多初值问题时，如果初值是随机变量 并且服从高斯分布，那么这些初值问题的解也会呈现出高斯分布的特征。此外，高斯分布 在统计推断中也很有用，例如在最小二乘法、最大似然估计等统计方法中都会涉及到高斯 分布的应用
生日悖论是一个有趣的概率问题，它指的是在一个随机选取的群体中，至 少有两个人在同一天出生的概率会非常高。这个问题的核心在于，一年有 365天，而要使得至少有两个人在同一天出生，只需要选取足够多的人即 可。当选取足够多的人时，这个概率会非常接近1
概率统计习题带答案
概率论与数理统计习题及题解沈志军 盛子宁第一章 概率论的基本概念1．设事件B A ,及B A 的概率分别为q p ,及r ，试求)(),(),(B A P B A P AB P 及)(AB P2．若C B A ,,相互独立，试证明：C B A ,,亦必相互独立。
3．试验E 为掷2颗骰子观察出现的点数。
每种结果以),(21x x 记之，其中21,x x 分别表示第一颗、第二颗骰子的点数。
设事件}10|),{(2121=+=x x x x A ， 事件}|),{(2121x x x x B >=。
试求)|(A B P 和)|(B A P4．某人有5把钥匙，但忘了开房门的是哪一把，只得逐把试开。
问：（1）恰好第三次打开房门锁的概率？（2）三次内打开的概率？（3）如果5把里有2把房门钥匙，则在三次内打开的概率又是多少？5．设有甲、乙两袋，甲袋中装有n 个白球、m 个红球，乙袋中装有N 个白球、M 个红球。
今从甲袋中任意取一个放入乙袋中，再从乙袋中任意取一个，问取到白球的概率是多少？6．在时间间隔5分钟内的任何时刻，两信号等可能地进入同一收音机，如果两信号进入收音机的间隔小于30秒，则收音机受到干扰。
试求收音机不受干扰的概率？7．甲、乙两船欲停靠同一码头，它们在一昼夜内独立地到达码头的时间是等可能的，各自在码头上停留的时间依次是1小时和2小时。
试求一船要等待空出码头的概率？8．某仓库同时装有甲、乙两种警报系统，每个系统单独使用的有效率分别为0.92,0.93,在甲系统失灵的条件下乙系统也失灵的概率为0.15。
试求下列事件的概率：（1）仓库发生意外时能及时发出警报；（2）乙系统失灵的条件下甲系统亦失灵？9．设B A ,为两随机变量，试求解下列问题：（1） 已知6/1)|(,3/1)()(===B A P B P A P 。
求：)|(B A P ； （2） 已知2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 。
九类常见概率问题求解方法
九类常见概率问题求解方法在概率论中，有许多常见的问题可以通过一些常用的方法来解决。
以下是九类常见的概率问题及其求解方法：1. 排列组合问题当问题涉及到选择或安排元素的顺序时，我们可以使用排列组合的方法来解决。
排列是指从给定的元素集合中选取一些元素并按照一定的顺序排列，组合是指从给定的元素集合中选取一些元素，不考虑顺序。
排列组合问题可以通过计算阶乘、直接应用排列组合公式或使用递推关系式来求解。
2. 条件概率问题当问题给出了一些额外的条件时，我们可以使用条件概率来解决。
条件概率是指在已知某些条件下，事件发生的概率。
通过应用条件概率公式，我们可以求解出事件在给定条件下的概率。
3. 独立事件问题若多个事件之间的发生不会互相影响，则这些事件是独立事件。
对于独立事件问题，我们可以通过计算每个事件的概率，然后将这些概率相乘来求解整个事件链的概率。
4. 联合概率问题当问题涉及到多个事件同时发生的概率时，我们可以使用联合概率来解决。
联合概率是指多个事件同时发生的概率。
通过计算每个事件的概率，然后将这些概率相乘来求解联合概率。
5. 互斥事件问题互斥事件是指两个事件之间不能同时发生的情况。
当问题涉及到互斥事件的概率时，我们可以通过计算每个事件的概率，然后将这些概率相加来求解整体概率。
6. 逆概率问题当问题给出了事件发生的概率，我们可以使用逆概率来解决。
逆概率是指已知事件发生的概率，求解事件不发生的概率。
通过使用补集的概念，即1减去事件发生的概率，我们可以求解逆概率。
7. 条件逆概率问题当问题给出了事件发生的条件概率，我们可以使用条件逆概率来解决。
条件逆概率是指已知事件发生的条件下，求解事件不发生的概率。
通过使用补集公式和条件概率公式，我们可以求解条件逆概率。
8. 边际概率问题当问题给出了多个事件的联合概率和条件概率时，我们可以使用边际概率来解决。
边际概率是指在多个事件联合发生的情况下，某个单独事件发生的概率。
通过应用边际概率公式和条件概率公式，我们可以求解边际概率。
概率论期末考试和答案
概率论期末考试和答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 随机变量X服从二项分布B(3,0.5)，则P(X=2)为（）。
A. 0.375B. 0.5C. 0.25D. 0.125答案：A2. 已知随机变量X服从标准正态分布，P(X<0)=0.5，则P(X>1)为（）。
A. 0.1587B. 0.8413C. 0.1587D. 0.8413答案：A3. 若随机变量X服从泊松分布，其参数λ=2，则E(X)为（）。
A. 2B. 4C. 0D. 1答案：A4. 已知随机变量X和Y相互独立，且P(X=1)=0.5，P(Y=1)=0.3，则P(X=1且Y=1)为（）。
A. 0.15B. 0.5C. 0.3D. 0.75答案：A5. 已知随机变量X服从正态分布N(2,4)，则P(X<0)为（）。
A. 0.0228B. 0.9772C. 0.5D. 0.1587答案：A6. 若随机变量X和Y相互独立，且P(X>1)=0.7，P(Y<2)=0.4，则P(X>1且Y<2)为（）。
A. 0.28B. 0.56C. 0.7D. 0.4答案：A7. 已知随机变量X服从均匀分布U(0,4)，则E(X)为（）。
A. 2C. 0D. 1答案：A8. 若随机变量X服从指数分布，其参数λ=0.5，则P(X>3)为（）。
A. 0.125B. 0.25C. 0.5D. 0.75答案：A9. 已知随机变量X服从正态分布N(0,1)，则P(-1<X<1)为（）。
A. 0.6827B. 0.8413C. 0.9772答案：A10. 若随机变量X和Y相互独立，且P(X=0)=0.4，P(Y=1)=0.6，则P(X=0且Y=1)为（）。
A. 0.24B. 0.4C. 0.6D. 0.16答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 已知随机变量X服从二项分布B(5,0.4)，则P(X=3)=_________。
概率论习题全部
概率论习题全部概率论习题全部1习题⼀习题⼀1. ⽤集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A：（1）掷两枚均匀骰⼦，观察朝上⾯的点数，事件A表⽰“点数之和为7”；（2）记录某电话总机⼀分钟内接到的呼唤次数，事件A表⽰“⼀分钟内呼唤次数不超过3次”；（3）从⼀批灯泡中随机抽取⼀只，测试它的寿命，事件A表⽰“寿命在2 000到2 500⼩时之间”.2. 投掷三枚⼤⼩相同的均匀硬币，观察它们出现的⾯.（1）试写出该试验的样本空间；（2）试写出下列事件所包含的样本点：A={⾄少出现⼀个正⾯}，B={出现⼀正、⼆反}，C={出现不多于⼀个正⾯}；（3）如记A={第i枚硬币出现正⾯}（i=1，2，i3），试⽤123A A A表⽰事件A，B，C.,,3. 袋中有10个球，分别编有号码1～10，从中任取1球，设A＝{取得球的号码是偶数}，B＝{取得球的号码是奇数}，C={取得球的号码⼩习题⼀ 2 于5}，问下列运算表⽰什么事件：（1）A B ；（2）AB ；（3）AC ；（4）AC ；（5）C A ；（6）B C ；（7）A C -. 4. 在区间上任取⼀数，记112A x x ??=<≤，1342B x x ??=≤≤，求下列事件的表达式：（1）A B ；（2）AB ；（3）AB ，（4）A B .5. ⽤事件A ，B ，C 的运算关系式表⽰下列事件：（1）A 出现，B ，C 都不出现；（2）A ，B 都出现，C 不出现；（3）所有三个事件都出现；（4）三个事件中⾄少有⼀个出现；（5）三个事件都不出现；（6）不多于⼀个事件出现；（7）不多于⼆个事件出现；（8）三个事件中⾄少有⼆个出现.6. ⼀批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三个产品，设表⽰事件“第次抽到废品”，试⽤的运算表⽰下列各个事件：（1）第⼀次、第⼆次中⾄少有⼀次抽到废品；（2）只有第⼀次抽到废品；（3）三次都抽到废品；]2,0[i A i iA习题⼀3 （4）⾄少有⼀次抽到合格品；（5）只有两次抽到废品.7. 接连进⾏三次射击，设={第i 次射击命中}（i ＝1，2，3），试⽤表⽰下述事件：（1）A ={前两次⾄少有⼀次击中⽬标}；（2）B ={三次射击恰好命中两次}；（3）C ={三次射击⾄少命中两次}；（4）D ={三次射击都未命中}.8. 盒中放有a 个⽩球b 个⿊球，从中有放回地抽取r 次（每次抽⼀个，记录其颜⾊，然后放回盒中，再进⾏下⼀次抽取）.记={第i 次抽到⽩球}（i ＝1，2，…，r ），试⽤{}表⽰下述事件：（1）A ={⾸个⽩球出现在第k 次}；（2）B ={抽到的r 个球同⾊}，其中1k r ≤≤.*9. 试说明什么情况下，下列事件的关系式成⽴：（1）ABC =A ；（2）A B C A =.iA 321,,A A A iA iA习题⼆ 3习题⼆1. 从⼀批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品，求其中恰有1件次品的概率.2. ⼀⼝袋中有5个红球及2个⽩球.从这袋中任取⼀球，看过它的颜⾊后放回袋中，然后，再从这袋中任取⼀球.设每次取球时⼝袋中各个球被取到的可能性相同.求：（1）第⼀次、第⼆次都取到红球的概率；（2）第⼀次取到红球、第⼆次取到⽩球的概率；（3）两次取得的球为红、⽩各⼀的概率；（4）第⼆次取到红球的概率.3. ⼀个⼝袋中装有6只球，分别编上号码1～6，随机地从这个⼝袋中取2只球，试求：（1）最⼩号码是3的概率；（2）最⼤号码是3的概率.4. ⼀个盒⼦中装有6只晶体管，其中有2只是不合格品，现在作不放回抽样.接连取2次，每次随机地取1只，试求下列事件的概率：（1）2只都是合格品；（2）1只是合格品，⼀只是不合格品；（3）⾄少有1只是合格品.4习题⼆5. 从某⼀装配线上⽣产的产品中选择10件产品来检查.假定选到有缺陷的和⽆缺陷的产品是等可能发⽣的，求⾄少观测到⼀件有缺陷的产品的概率，结合“实际推断原理”解释得到的上述概率结果.6. 某⼈去银⾏取钱，可是他忘记密码的最后⼀位是哪个数字，他尝试从0～9这10个数字中随机地选⼀个，求他能在3次尝试之中解开密码的概率.7. 掷两颗骰⼦，求下列事件的概率：（1）点数之和为7；（2）点数之和不超过5；（3）点数之和为偶数.8. 把甲、⼄、丙三名学⽣随机地分配到5间空置的宿舍中去，假设每间宿舍最多可住8⼈，试求这三名学⽣住在不同宿舍的概率.9. 总经理的五位秘书中有两位精通英语，今偶遇其中的三位秘书，求下列事件的概率：（1）事件A={其中恰有⼀位精通英语}；（2）事件B={其中恰有两位精通英语}；（3）事件C={其中有⼈精通英语}.10. 甲袋中有3只⽩球，7只红球，15只⿊球，⼄袋中有10只⽩球，6只红球，9只⿊球，习题⼆ 5 现从两个袋中各取⼀球，求两球颜⾊相同的概率.11. 有⼀轮盘游戏，是在⼀个划分为10等份弧长的圆轮上旋转⼀个球，这些弧上依次标着0～9⼗个数字.球停⽌在那段弧对应的数字就是⼀轮游戏的结果.数字按下⾯的⽅式涂⾊：0看作⾮奇⾮偶涂为绿⾊，奇数涂为红⾊，偶数涂为⿊⾊.事件A ={结果为奇数}，事件B ={结果为涂⿊⾊的数}.求以下事件的概率：（1）)(A P ；（2）)(B P ；（3）()P A B ；（4）)(AB P .12. 设⼀质点⼀定落在xOy 平⾯内由x 轴，y 轴及直线x +y =1所围成的三⾓形内，⽽落在这三⾓形内各点处的可能性相等，即落在这三⾓形内任何区域上的可能性与这区域的⾯积成正⽐，计算这质点落在直线x =的左边的概率. 13. 甲、⼄两艘轮船都要在某个泊位停靠6h ，假定它们在⼀昼夜的时间段中随机地到达，试求这两艘船中⾄少有⼀艘在停靠泊位时必须等待的概率.14. 已知B A ?，4.0)(=A P ，6.0)(=B P ，求：（1）)(),(B P A P ；（2）()P A B ；（3）)(AB P ；（4）)(),(B A P A B P ；（5）)(B A P .316习题⼆15. 设A，B是两个事件，已知P（A）=0.5，P（B）=0.7，()P A B=0.8，试求：P（A-B）与P （B-A）.*16. 盒中装有标号为1~r的r个球，今随机地抽取n个，记录其标号后放回盒中；然后再进⾏第⼆次抽取，但此时抽取m个，同样记录其标号，这样得到球的标号记录的两个样本，求这两个样本中恰有k个标号相同的概率.习题三 5习题三1. 已知随机事件A 的概率5.0)(=A P ，随机事件B 的概率6.0)(=B P 及条件概率8.0)(=A B P ，试求)(AB P 及)(B A P .2. ⼀批零件共100个，次品率为10％，每次从中任取⼀个零件，取出的零件不再放回去，求第三次才取得正品的概率.3. 某⼈有⼀笔资⾦，他投⼊基⾦的概率为0.58，购买股票的概率为0.28，两项投资都做的概率为0.19.（1）已知他已投⼊基⾦，再购买股票的概率是多少？（2）已知他已购买股票，再投⼊基⾦的概率是多少？4. 罐中有m 个⽩球，n 个⿊球，从中随机抽取⼀个，若不是⽩球则放回盒中，再随机抽取下⼀个；若是⽩球，则不放回，直接进⾏第⼆次抽取，求第⼆次取得⿊球的概率.5. ⼀个⾷品处理机制造商分析了很多消费者的投诉，发现他们属于以下列出的6种类型:习题三6如果收到⼀个消费者的投诉，已知投诉发⽣在保质期内，求投诉的原因是产品外观的概率.6. 给定5.0)(=A P ，3.0)(=B P ，15.0)(=AB P ，验证下⾯四个等式：)()(A P B A P =；)()(A P B A P =；)()(B P A B P =；)()(B P A B P =.7. 已知甲袋中装有6只红球，4只⽩球，⼄袋中装有8只红球，6只⽩球.求下列事件的概率：（1）随机地取⼀只袋，再从该袋中随机地取⼀只球，该球是红球；（2）合并两只⼝袋，从中随机地取1只球，该球是红球.8. 设某⼀⼯⼚有A ，B ，C 三间车间，它们⽣产同⼀种螺钉，每个车间的产量，分别占该⼚⽣产螺钉总产量的25％、35％、40％，每个车间成品中次货的螺钉占该车间出产量的百分⽐分别为5％、4％、2％.如果从全⼚总产品中抽取⼀件产品，（1）求抽取的产品是次品的概率；（2）已知得到的是次品，求它依次是车间A ，B ，C ⽣产的概率.9. 某次⼤型体育运动会有1 000名运动员参加，其中有100⼈服⽤了违禁药品.在使⽤者中，假定有90⼈的药物检查呈阳性，⽽在未使⽤者中也有5⼈检验结果显⽰阳性.如果⼀个运习题三 7 动员的药物检查结果是阳性，求这名运动员确实使⽤违禁药品的概率.10. 发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“*”和“—”.由于通信系统受到⼲扰，当发出信号“*”时，收报台未必收到信号“*”，⽽是分别以概率0.8和0.2收到信号“*”和“—”.同样，当发出信号“—”时，收报台分别以概率0.9和0.1收到信号“—”和“*”.求：（1）收报台收到信号“*”的概率；（2）当收报台收到信号“*”时，发报台确是发出信号“*”的概率.*11. 甲袋中有4个⽩球6个⿊球，⼄袋中有4个⽩球2个⿊球.先从甲袋中任取2球投⼊⼄袋，然后再从⼄袋中任取2球，求从⼄袋中取到的2个都是⿊球的概率.12. 设事件B A ,相互独⽴.证明：B A ,相互独⽴，B A ,相互独⽴. 13. 设事件A 与B 相互独⽴，且p A P =)(，q B P =)(.求下列事件的概率：(),(),().P A B P A B P A B14. 已知事件A 与B 相互独⽴，且91)(=B A P ，)()(B A P B A P =.求：)(),(B P A P .15. 三个⼈独⽴破译⼀密码，他们能独⽴译出的概率分别为0.25，0.35，0.4，求此密码被译习题三8 出的概率.16. 设六个相同的元件，如下图所⽰那样安置在线路中.设每个元件不通达的概率为p ，求这个装置通达的概率.假定各个元件通达、不通达是相互独⽴的.*17. （配对问题）房间中有n 个编号为1~n的座位.今有n 个⼈（每⼈持有编号为1~n 的票）随机⼊座，求⾄少有⼀⼈持有的票的编号与座位号⼀致的概率.（提⽰：使⽤概率的性质5的推⼴，即对任意n 个事件12,,,n A A A ，有1121111111()()(1)()(1)().)k k n n k k i j k i j n k k n i i n i i i n P A P A P A A P A A P A A =≤<≤=--≤<<<≤??=-+ +-++-∑∑∑ *18. （波利亚（Pólya ）罐⼦模型）罐中有a 个⽩球，b 个⿊球，每次从罐中随机抽取⼀球，观察其颜⾊后，连同附加的c 个同⾊球⼀起放回罐中，再进⾏下⼀次抽取.试⽤数学归纳法证明：第k 次取得⽩球的概率为a a b+（1k ≥为整数）.（提习题三 9 ⽰：记{}k A k 第次取得⽩球，使⽤全概率公式1111()=()()+()()k k k P A P A P A A P A P A A 及归纳假设.）19. 甲⼄两⼈各⾃独⽴地投掷⼀枚均匀硬币n 次，试求：两⼈掷出的正⾯次数相等的概率.20. 假设⼀部机器在⼀天内发⽣故障的概率为0.2，机器发⽣故障时全天停⽌⼯作.若⼀周五个⼯作⽇⾥每天是否发⽣故障相互独⽴，试求⼀周五个⼯作⽇⾥发⽣3次故障的概率.21. 灯泡耐⽤时间在1 000 h 以上的概率为0.2，求：三个灯泡在使⽤1 000 h 以后最多只有⼀个坏了的概率.22. 某宾馆⼤楼有4部电梯，通过调查，知道在某时刻T ，各电梯正在运⾏的概率均为0.75，求：（1）在此时刻所有电梯都在运⾏的概率；（2）在此时刻恰好有⼀半电梯在运⾏的概率；（3）在此时刻⾄少有1台电梯在运⾏的概率.23. 设在三次独⽴试验中，事件A 在每次试验中出现的概率相同.若已知A ⾄少出现⼀次的概率等于2719，求事件A 在每次试验中出现的概率)(A P .10习题三*24. 设双胞胎中为两个男孩或两个⼥孩的概率分别为a及b.今已知双胞胎中⼀个是男孩，求另⼀个也是男孩的概率.25. 两射⼿轮流打靶，谁先进⾏第⼀次射击是等可能的.假设他们第⼀次的命中率分别为0.4及0.5，⽽以后每次射击的命中率相应递增0.05，如在第3次射击⾸次中靶，求是第⼀名射⼿⾸先进⾏第⼀次射击的概率.26. 袋中有2n-1个⽩球和2n个⿊球，今随机（不放回）抽取n个，发现它们是同⾊的，求同为⿊⾊的概率.*27. 3个外形相同但可辨别的球随机落⼊编号1~4的四个盒⼦，（1）求恰有两空盒的概率；（2）已知恰有两空盒，求有球的盒⼦的最⼩编号为2的概率.习题四 8习题四1. 下列给出的数列，哪些可作为随机变量的分布律，并说明理由.（1）15ii p =(0,1,2,3,4,5)i =；（2）6)5(2i p i -=(0,1,2,3)i =；（3）251+=i p i (1,2,3,4,5)i =.2. 试确定常数C ，使i C i X P 2)(== (0,1,2,3,4)i =成为某个随机变量X 的分布律，并求：（1）(2)P X >；（2）1522P X ??<<；（3）(3)F （其中F （·）为X 的分布函数）.3. ⼀⼝袋中有6个球，在这6个球上分别标有-3，-3，1，1，1，2这样的数字.从这⼝袋中任取⼀球，设各个球被取到的可能性相同，求取得的球上标明的数字X 的分布律与分布函数.4. ⼀袋中有5个乒乓球，编号分别为1，2，3，4，5.从中随机地取3个，以X 表⽰取出的3个球中最⼤号码，写出X 的分布律和分布函数.5. 在相同条件下独⽴地进⾏5次射击，每次射击时击中⽬标的概率为0.6，求击中⽬标的9习题四次数X的分布律.6. 从⼀批含有10件正品及3件次品的产品中⼀件⼀件地抽取产品.设每次抽取时，所⾯对的各件产品被抽到的可能性相等.在下列三种情形下，分别求出直到取得正品为⽌所需次数X的分布律：（1）每次取出的产品⽴即放回这批产品中再取下⼀件产品；（2）每次取出的产品都不放回这批产品中；（3）每次取出⼀件产品后总以⼀件正品放回这批产品中.7. 设随机变量X),6(==XP，XP(=)1B，已知)5~p(求p与)2P的值.(=X8. ⼀张试卷印有⼗道题⽬，每个题⽬都为四个选项的选择题，四个选项中只有⼀项是正确的.假设某位学⽣在做每道题时都是随机地选择，求该位学⽣未能答对⼀道题的概率以及答对9道以上（包括9道）题的概率.9．市120接听中⼼在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为0.5t的泊松分布，⽽与时间间隔的起点⽆关（时间以⼩时计算）：习题四10 求：（1）某天中午12点⾄下午3点没有收到紧急呼救的概率；（2）某天中午12点⾄下午5点⾄少收到1次紧急呼救的概率.10．某商店出售某种物品，根据以往的经验，每⽉销售量X服从参数4=λ的泊松分布.问在⽉初进货时，要进多少才能以99％的概率充分满⾜顾客的需要？11. 有⼀汽车站有⼤量汽车通过，每辆汽车在⼀天某段时间出事故的概率为0.000 1.在某天该段时间内有1 000辆汽车通过，求事故次数不少于2的概率.12. 设鸡下蛋数X服从参数为λ的泊松分布，但由于鸡舍是封闭的，我们只能观察到从鸡舍输出的鸡蛋.记Y为观察到的鸡蛋数，即Y的分布与给定>0X的条件下X的分布相同，今求Y 的分布律.（提⽰：()(0),1,2,.对于）P Y k P X k X k===>=13. 袋中有n把钥匙，其中只有⼀把能把门打开，每次抽取⼀把钥匙去试着开门.试在：（1）有放回抽取；（2）不放回抽取两种情况下，求⾸次打开门时试⽤钥匙次数的分布律.习题四11 14. 袋中有a 个⽩球、b 个⿊球，有放回地随机抽取，每次取1个，直到取到⽩球停⽌抽取，X 为抽取次数，求()P X n ≥.15. 据统计，某⾼校在2010年上海世博会上的学⽣志愿者有6 000名，其中⼥⽣3 500名.现从中随机抽取100名学⽣前往各世博地铁站作引导员，求这些学⽣中⼥⽣数X 的分布律.16. 设随机变量X 的密度函数为2,()0,x f x ?=??0,x A <<其他,试求：（1）常数A ;（2）)5.00(<17．设随机变量X 的密度函数为()e x f x A -=()x -∞<<+∞，求：（1）系数A ；（2）)10(<（3）X 的分布函数. 18．证明：函数22e ,0,()0,0,xc x x f x c x -??≥=??可作为⼀个密度函数.19. 经常往来于某两地的⽕车晚点的时间X（单位：min ）是⼀个连续型随机变量，其密度函数为23(25),55,()5000,x x f x ?--<X 为负值表⽰⽕车早到了.求⽕车⾄少晚点2min 的概率.习题四 1220. 设随机变量X 的分布函数为0()1(1)e x F x x -?=?-+?,0,,0,x x ≤>求X 的密度函数，并计算)1(≤X P 和)2(>X P .21. 设随机变量X 在(1,6)上服从均匀分布，求⽅程012=++Xt t 有实根的概率.22. 设随机变量X 在)1,0(上服从均匀分布，证明：对于0,0,1a b a b ≥≥+≤，()P a X b b a ≤≤=-，并解释这个结果.23. 设顾客在某银⾏的窗⼝等待服务的时间X （单位：min ）是⼀随机变量，它服从51=λ的指数分布，其密度函数为51e ()50x f x -??=,0,,x >其它.某顾客在窗⼝等待服务，若超过10 min ，他就离开.（1）设某顾客某天去银⾏，求他未等到服务就离开的概率；（2）设某顾客⼀个⽉要去银⾏五次，求他五次中⾄多有⼀次未等到服务⽽离开的概率.24. 以X 表⽰某商店从早晨开始营业起直到第⼀个顾客到达的等待时间（单位：min ），X 的分布函数是0.21e ,0,()0,x x F x -?->=??其他.求：（1）X 的密度函数；（2）P （⾄多等待。
运用概率论解决实际问题
运用概率论解决实际问题概率论是数学中的一个重要分支，它研究的是随机事件的发生概率以及随机变量的性质。
在现实生活中，我们经常会遇到各种各样的问题，而概率论可以帮助我们解决这些问题。
本文将通过几个实际问题的例子，来说明如何运用概率论解决实际问题。
一、抛硬币问题假设我们有一枚均匀的硬币，正面和反面的概率都是50%。
现在我们进行一次抛硬币的实验，问这枚硬币正面朝上的概率是多少？根据概率论的基本原理，我们知道正面朝上和反面朝上是互斥事件，且它们的概率之和为1。
因此，正面朝上的概率为0.5，即50%。
二、生日悖论问题生日悖论是概率论中的一个经典问题。
假设有一个房间里有n个人，问至少有两个人生日相同的概率是多少？为了解决这个问题，我们可以先考虑只有两个人的情况。
第一个人的生日可以是任意一天，而第二个人的生日要与第一个人的生日相同的概率是1/365。
因此，至少有两个人生日相同的概率为1/365。
当房间里的人数增加到3个时，我们可以先考虑前两个人的生日不相同的情况。
第三个人的生日要与前两个人的生日都不相同的概率是364/365。
因此，至少有两个人生日相同的概率为1 - 364/365。
以此类推，当房间里的人数增加到n个时，至少有两个人生日相同的概率为1 - 365/365 * 364/365 * ... * (365-n+1)/365。
三、赌博问题假设我们去赌场玩一个游戏，游戏规则如下：我们每次下注1元，如果赢了，我们可以得到2元，如果输了，我们就损失1元。
现在我们想知道，如果我们连续玩n次这个游戏，最终能够赢得的钱数的期望是多少？为了解决这个问题，我们可以先考虑只玩一次这个游戏的情况。
赢得的钱数为2元的概率是1/2，损失的钱数为1元的概率也是1/2。
因此，赢得的钱数的期望为(2 * 1/2) + (-1 * 1/2) = 1/2元。
当连续玩n次这个游戏时，赢得的钱数的期望为n * (1/2) = n/2元。
通过以上几个实际问题的例子，我们可以看到概率论在解决实际问题中的重要性。
一些经典的概率问题
一些经典的概率问题1.布丰针问题问题：给定间距为2a的平行线，将长度为2c(c<a)的棒随机投向地板〔随机的含义是独立随机的x,y坐标和角度〕，问相交概率。
解答：限定棒的中心和线的间隔不超过a的情况下，考虑棒的一端和某一条特定的直线相交的概率：显见在特定的角度下，相交的概率是心、线间隔的概率，也就是，计算得。
注意到和x的分布是独立的、均匀的，它们的分布函数互相不影响，所以我们在计算概率的时候将这两个变量别离，进展累次积分〔假如互相影响，要先解方程找出至少一个独立的，再积分〕：最后的P就是答案。
2.多边形布丰针问题〔HDU4978〕问题：给定间距为2a的直线和直径不超过2a的凸多边形，随机投掷凸多边形，问相交概率。
解：我们假定不知道上一问的答案〔实际上这道题有现成的结论〕，完好地再推一遍。
当然我们可以认为是对连续多条边的积分，不过这里我们改成对点的积分，考虑一条直线从a间隔处不断向着中心靠拢，最先碰到的是哪个顶点呢？以A顶点为例，显然是。
这里我们把它拆分开，对于凸多边形的每一条边，计算它的两个端点：3.拉普拉斯针问题问题：给定正交的间距为2a和2b的平行线，将长度为2c(c<a<b)的棒随机投向地板，问相交概率。
答案：4.圆上的布丰针问题〔原作者〕问题：给定一个半径为R的圆，将长度为2d的棒随机投向圆中，分d<R和d>R讨论交点个数z=0、1、2的概率。
解答：这里“随机〞是有两种理解的。
一种是点随机〔先x坐标再y坐标〕，一种是矢径角随机〔先取中心到针的间隔 u再取角度〕。
就像我们在一个棒上取两个点，是同时取还是先后取概率会不一样。
当然，交度在这一题中没有意义。
为了计算方便，我们采取第一种理解方法，这样圆内每一块区域取到的概率和它的面积成正比，而u的概率分布函数为：分类讨论如下：A.d>2R显然P(z=2)=1,P(z=1)=P(z=0)=0B.2R>=d>R此时一定有P(z=0)=0B1.0<u<=d-R此时一定有两个交点p1(u)=0,p2(u)=1B2.d-R<u<=R此时如图：有，由余弦定理：因此令，积分得：P(z=1)的结果是1减去上述值。
概率论经典难题汇编
概率论经典难题汇编概率论是一门重要的数学分支，其理论和应用广泛应用于各个领域。
在研究概率论的过程中，解决一些经典的难题可以帮助加深对概率论知识的理解。
本文将汇编一些概率论中的经典难题，供大家参考。
1. 蒙特霍尔问题问题描述：有三扇关闭的门，其中一扇门后面有一辆汽车，另外两扇门后面是两只山羊。
参赛者选择一扇门。
主持人打开剩下两扇门中的一扇，露出一只山羊。
现在参赛者是否应该更换选择？解答：参赛者应该更换选择。
初始时，参赛者选择正确门的概率为1/3，选择错误门的概率为2/3。
当主持人打开一扇门后，参赛者更换选择后，选择正确门的概率为2/3，而选择错误门的概率为1/3。
因此，更换选择是有利于参赛者的。
2. 生日悖论问题描述：在一个房间中，至少需要多少人才能使得至少两个人生日相同的概率大于50%？解答：当人数为23时，至少有一对人生日相同的概率已经超过50%。
这个悖论的解答涉及到概率计算和组合数学的知识。
3. 孟哥问题问题描述：有两个孩子，其中一个是男孩。
已知男孩顺序无关，即男孩在前女孩在后和女孩在前男孩在后被视为同一情况。
那么，两个孩子都是男孩的概率是多少？解答：设事件A为两个孩子都是男孩，事件B为至少一个孩子是男孩。
则事件A发生的前提是事件B发生，因此概率P(A|B)是事件A发生在事件B发生的条件下的概率。
由于事件A和B是相互独立的，有P(A|B) = P(A) = 1/2。
以上是概率论中的一些经典难题，通过研究和解答这些问题，可以提高对概率论的理解和应用能力。
*注意：以上解答仅供参考，具体问题的解答需要根据具体条件和情况进行分析。
*。
概率论与数理统计常见问题解答
概率论与数理统计常见问题解答1.概率论研究的对象是什么？现实生活中有两类现象。
必然现象：一定条件下，结果是肯定的。
如：一定大气压下，水加温到100℃：沸腾随机现象：一定条件下，结果不肯定的。
如：实弹射击，打一发子弹：可能中或不中概率论是研究随机现象规律性的一门学科。
2.随机现象有规律性吗？有。
例如：两人打枪。
甲是神枪手，乙是普通射手。
如果打一发子弹，甲可能打中也可能打不中，乙也可能打中也可能打不中，看不出什么规律。
如果两人比赛，各打10组，每组100发子弹，结果是：我们可以看出规律性：甲可说几乎每发必中，乙只有大约一半的可能性打中。
这种规律性称为统计规律性。
在大量试验中才显示出来，不是个别试验显示的特性。
3.随机现象的规律性如何指导实践？例如：农业生产上选择品种，如果当地发生旱灾的可能性大，水灾的可能性小，就应选择耐旱的品种，反之则应选择耐涝的品种。
在统计学中，以“小概率事件”判断原理来进行假设检验，例如：厂方声称，产品的废品率为5%，随机检查，发现“5个产品有2个次品”。
这时，应当拒绝“废品率为5%” 。
为什么？因为“5个产品有2个次品”是小概率事件（用概率的方法可计算），在一次试验中一般不可能发生，现在居然发生了，应怀疑原假设。
可能性小的事并不等于不发生例如：地震。
某地某日发生大地震的可能性是非常小的，但就整个地球来说，一年总要发生几次大地震。
例1：甲、乙两位棋手棋艺相当。
他们在一项奖金为1000元的比赛相遇。
比赛为五局三胜制。
已经进行了三局的比赛，结果为甲二胜一负。
现因故要停止比赛，问应该如何分配这1000元比赛奖金才算公平？奖金分配方法：平均分，对甲欠公平，按一定的比例分配，甲拿大头，乙拿小头，甲拿2/3，乙拿1/3，合理吗？例2：在第43届世界乒乓球锦标赛中，中国队与瑞典队争夺冠亚军，当时瑞典队上场队员只有瓦尔德内尔、佩尔松和卡尔松，其中卡尔松怕削球手，于是中国队排出了以下阵容：王涛马文革丁松马文革王涛决策时已经估计到瑞典队有两种可能的选择：或以卡尔松打第三单打去碰削球手丁松或以佩尔森打第三单打，以便卡尔松避开丁松最后，中国队战胜瑞典队（3：2），夺回了阔别六年之久的斯韦思林杯。
概率论问题压轴题精选(含详细答案)
概率论问题压轴题精选(含详细答案)问题1有两个袋子，袋子A中有3个红球和1个蓝球，袋子B中有2个红球和4个蓝球。
从这两个袋子中任选一个袋子，并从袋子中随机抽取一个球。
已知抽到的球是红色，请问这个球来自袋子A的概率是多少？解答1我们使用贝叶斯定理求解这个问题。
设事件A为从袋子A中抽到一个红球，事件B为从这两个袋子中任选袋子A。
根据题意，我们可以列出以下已知条件：- 袋子A中有3个红球和1个蓝球，袋子B中有2个红球和4个蓝球。
- 抽到的球是红色。
我们需要求解的是事件B发生的条件下事件A发生的概率，即P(A|B)。
根据贝叶斯定理，我们有：P(A|B) = (P(A) * P(B|A)) / P(B)求解P(A)：袋子A中的红球总数为3，蓝球总数为4，所以总共有7个球。
P(A) = 红球总数 / 总球数 = 3 / 7求解P(B|A)：因为我们已知抽到的球是红色，所以选择袋子A的概率为1。
P(B|A) = 1求解P(B)：P(B) = P(B|A) * P(A) + P(B|非A) * P(非A)我们需要求解P(B|非A)和P(非A)：袋子B中的红球总数为2，蓝球总数为4，所以总共有6个球。
P(非A) = 红球总数 / 总球数 = 2 / 6P(B|非A) = 1 - P(B|A) = 1 - 1 = 0代入计算P(B)：P(B) = P(B|A) * P(A) + P(B|非A) * P(非A)= 1 * (3 / 7) + 0 * (2 / 6)= 3 / 7代入计算P(A|B)：P(A|B) = (P(A) * P(B|A)) / P(B)= (3 / 7) * 1 / (3 / 7)= 1所以，这个球来自袋子A的概率是1。
问题2一袋中有10个球，其中5个球标有"A"，另外5个球标有"B"。
从中任意取出球，每次取一个球，并将取出的球放回。
求第6次取出的球是"B"的概率。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
概率论问题
1、将3个球随机放入三只杯子，记杯子中放入的球的个数的最大值为ξ，求随机变量ξ的概率分布．
【解析】随机变量ξ的所有可能取值为1，2，3．下面首先计算对应事件的概率，这是古典概率问题．
由于把3个球放入三个杯子，每个球都有3种放法，故基本事件总数为3×3×3=27．
ξ=1对应事件包含的基本事件总数为3！=3×2×1=6种.
即取第1个球放入杯子，由于有三个杯子可放，即有3种放法； 取第2个球放入杯子，只剩两个杯子可放，即有2种放法；
取第3个球放入杯子，只剩一个杯子可放，即有1种放法．
故放法总数为N=3×2×1=6种．故P(ξ=1)=6/27=2/9．
ξ=2对应事件包含的基本事件总数为种181
21323=C C C ．
即3个球中选2个，有23C 种；将这2个球放入同一个杯子中，
有13C 种；剩下的那个球放入杯子中，有12C 种；故放法总数为N=种181
21323=C C C ．故P(ξ=2)=18/27=2/3．
ξ=3对应事件包含的基本事件总数为13C =3种． 即3个球同时放入一个杯子，由于有三个杯子可供选择，故放法
总数为13C =3种．故P(ξ=3)=3/27=1/9．
所以，随机变量ξ的概率分布为
2、类似问题：将3只球随机放入四个杯子，求杯子中球的最大个数是2的概率．
【解析】把3个球放到四个杯子，由于每个球都有4种放法，故基本事件总数为4×4×4=64.
具体放法分三种情况：
其一、111放法：即每个杯子放入1个球，由于只有3个球，所以，总会有一个空杯；
其二、12放法：即取1个球放入其中的某个杯子，另外2个球同时放入剩下的3个杯子中的某个杯子里，所以，必会有两个空杯；
其三、3放法：即把3个球同时放入一个杯子里，有三个空杯． 各种放法总数情况：
111放法为，取1球放入杯子，有4个杯子可放，第二球只剩3
个杯子可放，第三球只剩2个杯子可放，故放法N=24121314=C C C 种.
12放法为，取2球（即3球中选2球，有3种取法）放入杯子
有4种放法，另1球放入杯子，有3种放法，故放法N=36131423=C C C 种．
3放法为，取3球同时放入1个杯子，由于有4个杯子可选，故
放法N=414=C 种.
此题为12放法，故概率p=36/64=9/16．。