二项式定理复习
二项式定理复习总结
二项式定理复习总结一、二项式定理的定义和公式推导1.定义：二项式定理是指对于任意实数a、b及非负整数n，有以下公式成立：(a+b)ⁿ=C(n,0)*aⁿ*b⁰+C(n,1)*aⁿ⁻¹*b¹+C(n,2)*aⁿ⁻²*b²+...+C(n,n-1)*a¹*bⁿ⁻¹+C(n,n)*a⁰*bⁿ其中，C(n,r)表示组合数，即从n个元素中选取r个元素的组合数。
2.公式推导：利用组合数的性质，可以对二项式定理进行推导。
首先，根据组合数的性质C(n,r)=C(n-1,r-1)+C(n-1,r)，可以得到以下关系式：C(n,0)=1C(n,n)=1C(n,r)=C(n-1,r-1)+C(n-1,r)(r=1,2,...,n-1)将上述关系式代入二项式定理的公式中，可以得到：(a+b)ⁿ=C(n,0)*aⁿ*b⁰+C(n,1)*aⁿ⁻¹*b¹+C(n,2)*aⁿ⁻²*b²+...+C(n,n-1)*a¹*bⁿ⁻¹+C(n,n)*a⁰*bⁿ二、二项式定理的应用1.求二项式展开式：利用二项式定理，可以将一个数的n次方展开成多个项的和。
这在计算复杂的多项式、计算高次方等问题时非常有用。
例如，将(x+y)⁶展开，可以直接利用二项式定理的公式进行计算：(x+y)⁶=C(6,0)*x⁶*y⁰+C(6,1)*x⁵*y¹+C(6,2)*x⁴*y²+C(6,3)*x³*y³+C(6 ,4)*x²*y⁴+C(6,5)*x¹*y⁵+C(6,6)*x⁰*y⁶将组合数代入并进行计算，最终可以得到(x+y)⁶的展开式。
2.计算排列组合问题：二项式定理中的组合数C(n,r)可以表示从n 个元素中选取r个元素的组合数，因此可以应用于计算排列组合问题。
例如，班有10个学生，要从中选择5个学生组成一个小组，求不同小组的个数。
第3节 二项式定理--2025湘教版高中数学一轮复习课件(新高考新教材)
考向3三项展开式中的特定项(或系数)
例3(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为( C )
A.10
B.20
C.30
D.60
解析 (方法一)(x2+x+y)5 的展开式的通项为 Tr+1=C5 (x2+x)5-ryrFra bibliotek令 r=2,则
T3=C52 (x2+x)3y2.
又(x2+x)3 的展开式的通项为 Tk+1=C3 (x2)3-kxk=C3 x6-k,令 6-k=5,则 k=1.所以
3
1
(2)(2024·福建福州模拟)若(3 + 2 ) 的展开式中存在常数项,则正整数n
可以是( C )
2
A.3
B.5
C.6
1
2
解析 (3 + 2) 的展开式的通项为
2n-4r=0,解得
r= ,又
2
D.7
2 -
Tr+1=C (3 )
1
n-r 2n-4r
=3
C x ,令
所以
C2 ×22
=
56
,得(n-2)(n-3)=56,解得
3
1
n=10 或 n=-5(舍去),
10-5
所以 Tr+1=C10
( 2 )10-r(2x-2)r=2rC10
2
10-5
.令
=0,解得 r=2,所以展开式中的常
2
数项为第三项,T3=180.
(2)由
2 C10
2 C10
x 的系数为(-1)225-2C52 =80.
二项式定理复习(附答案)
二项式定理复习（配答案）Ltt一、 知识梳理1．二项式定理及其特例：（1）01()()n n n r n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈ ， （2）1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++ . 2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+=3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性4 二项式系数表（杨辉三角）()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和5．二项式系数的性质：()n a b +展开式的二项式系数是0nC ，1n C ，2n C ，…，n n C ．rn C 可以看成以r 为自变量的函数()f r ，定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图）（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n mn nC C -=）． （2）增减性与最大值：当n 是偶数时，中间一项2nnC 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n nC-，12n nC+取得最大值．（3）各二项式系数和：∵1(1)1n r rn n n x C x C x x +=+++++ ，令1x =，则0122n r n n n n n nC C C C C =++++++ 二、 例题讲解1.展开(a+2b)5；并求第三项；第三项的二项式系数；第三项的系数。
解析：第三项的二项式系数，第三项系数40.2.数11100－1的末尾连续出现零的个数是（ ）A ．0B ．3C ．5D ．7【解析】11100－1＝（10＋1）100－1＝0100C ×10100＋1100C ×1099＋…＋99100C ×10＋1－1＝0100C ×10100＋1100C ×1099＋…＋99100C ×10，末尾连续出现3个零．【答案】B3. (1)求展开式中x 3的系数；(2)求展开式中第四项的二项式系数及系数；(3)求展开式中的有理项；(4)求展开式中x 3的系数。
二项式定理-高考数学复习
＝59.
目录
解题技法
赋值法的应用
（1）对形如（ ax ＋ b ） n ，（ ax 2 ＋ bx ＋ c ） m （ a ， b ， c
∈R， m ， n ∈N * ）的式子求其展开式的各项系数之和，只
需令 x ＝1即可；
（2）对（ ax ＋ by ） n （ a ， b ∈R， n ∈N*）的式子求其展开式各项
n ）， g （ r ）≠0，则：
（1） h （ r ）＝0⇔ Tr ＋1是常数项；
（2） h （ r ）是非负整数⇔ Tr ＋1是整式项；
（3） h （ r ）是负整数⇔ Tr ＋1是分式项；
（4） h （ r ）是整数⇔ Tr ＋1是有理项.
目录
2. 两个常用公式
（1） C0 ＋ C1 ＋ C2 ＋…＋ C ＝2 n ；
PART
2
目录
二项式中的特定项及系数问题
【例1】
1
（1）（2 x － ）5的展开式中 x 的系数是（
A. －40
B. 40
C. －80
D. 80
）
1
解析：（1）（2 x － ）5展开式的通项公式为 Tr ＋1＝ 5 （2 x ）5
－ r （－ 1 ） r ＝（－1） r 25－ r x 5－2 r （ r ＝0，1，…，5），令5
理数的项的个数是
16 2
，系数为有
5 .
解析：由二项展开式的通项公式可知 Tr ＋1＝ C9 ·
（ 2 ）9－ r ·xr ， r
∈N，0≤ r ≤9，当项为常数项时， r ＝0， T 1＝ C90 ·
（ 2 ）9·x 0＝
（ 2 ）9＝16 2 .当项的系数为有理数时，9－ r 为偶数，可得 r ＝
高考数学复习：二项式定理
思维升华
(1)赋值法的应用 一般地，对于多项式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令 g(x)＝(a＋bx)n， 则(a＋bx)n 的展开式中各项的系数和为 g(1)，(a＋bx)n 的展开式中奇数项 的系数和为12[g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n 的展开式中偶数项的系数和为12[g(1) －g(－1)].
自主诊断
2.(选择性必修第三册P31T4改编) 1x－
x10
的展开式中x2的系数等于
√A.45
B.20
C.－30
D.－90
k
因为展开式的通项为Tk＋1＝(1)k C1k0x 2
·x－(10－k)＝(
1)k
C1k0
x
10
3 2
k
，
令－10＋32k＝2，得 k＝8，
所以展开式中 x2 的系数为(－1)8×C810＝45.
(x＋y)8 展开式的通项为 Tk＋1＝Ck8x8－kyk，k＝0,1，…，7,8. 令 k＝6，得 T6＋1＝C68x2y6； 令 k＝5，得 T5＋1＝C58x3y5， 所以1－yx(x＋y)8 的展开式中 x2y6 的系数为 C68－C58＝－28.
(2)若(x2＋a)x＋1x8 的展开式中 x8 的系数为 9，则 a 的值为__1___.
因为(x－2y)8 的展开式中含 x6y2 的项为 C28x6(－2y)2＝112x6y2， 所以(x－2y)8的展开式中x6y2的系数为112.
(2)已知x－
a
5
x
的展开式中
x5
的系数为
A，x2
的系数为
B，若
A＋B＝11，
则 a＝__±_1___.
x－
2025届高中数学一轮复习课件《二项式定理》ppt
高考一轮总复习•数学
第6页
二 二项式系数的性质 1．对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数__相__等_____．
2．增减性与最大值：当 n 是偶数时，中间的一项_________取得最大值；当 n 是奇数时，
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第8页
1．判断下列结论是否正确． (1)Crnan－rbr 是(a＋b)n 的展开式中的第 r 项．( ) (2)通项公式 Tr＋1＝Crnan－rbr 中的 a 和 b 不能互换．( √ ) (3)(a＋b)n 的展开式中某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的 二项式系数不同．(√ ) (4)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则 a7＋a6＋…＋a1 的值为 128.( )
或者其他量.
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第19页
对点练 1(1)在2x－mx 6 的展开式中，若常数项为－20，则实数 m 的值为(
)
A．12
B．－12
C．－2
D．2
(2)(2024·湖北部分重点中学第二次联考)用 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中
个位小于百位且百位小于万位的五位数有 n 个，则(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5＋…＋(1＋x)n
(3)(3
3－2)7 的展开式的通项
Tk＋1＝Ck7·(3
7－k
3)7－k·(－2)k＝Ck7·3 3
·(－2)k(k＝0,1,2,3,4,5,6,7)，
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第17页
要使第 k＋1 项为有理数，则7－3 k∈Z，则 k 可取 有理项的求法．
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＝15.
(2)含 x4 的项为 C38x5( a )3＝C38a3x4， 3 x
∴C38a3＝7，∴a＝12.
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(3)a＝∫π20(sin2x2－12)dx＝∫π20(1－c2os x－12)dx
＝∫π20(－co2s x)dx＝－12.此时二项式的展开式的通项为 Tr＋1＝
Cr9(－12x)9－r(－
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考点二
二项式系数或各项系数和
【例2】 (1)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋ y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b。若13a＝7b，则m＝( )
A．5 B．6 C．7 D．8
(2)在二项式 x2－1x n的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项 系数的和为( )
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3．求证：3n>(n＋2)·2n－1(n∈N*，n>2)．
【证明】因为 n∈N*，且 n>2，
所以 3n＝(2＋1)n 展开后至少有 4 项．
(2
＋
1)n
＝
2n
＋
C
1 n
·2n
－
1
＋
…＋
Cnn－1
·2 ＋
1≥2n
＋
n·2n
－
1
＋
2n
＋
1>2n＋n·2n－1＝(n＋2)·2n－1，
所以 T4＝C36x3(－2)3＝－160x3，所以 x3 项的系数为－160.
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2．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为( )
二项式定理课件-2025届高三数学一轮复习
B.−
)
C.−
√
D.−
解析：因为只有第5项的二项式系数最大，
所以 = , −
的展开式的通项为+
= −
− ，
= ,1,2,
⋯ ，8，所以展开式中奇数项的二项式系数与相应奇数项的系数相等，偶
数项的二项式系数与相应偶数项的系数互为相反数，而展开式中第5项的
D.50
] 求解.
思路二：利用因式分解把 + − 转化为二项式
思路三：
+
)
−
求解.
− 表示5个因式 + − 的乘积，利用组合知识求解.
解析：方法一： + −
=[ − +
] ,
通项为+ = − −
逐项减1直到零；字母 按升幂排列，从第一项开始，次数由零逐项加1直
到 .
2.二项式系数的性质
若二项展开式的通项为+ = ⋅
( = , , , ⋯ , ), ≠ ,则
有以下常见结论：
（1） = ⇔ + 是常数项；
（2） 是非负整数 ⇔ + 是整式项；
的展开式中第2项和第6项的二项式系数相等，所
以 = ，解得 = .
−
展开式的通项为
−
+ =
−
=
⋅ −
⋅ − ⋅ − ，
二项式定理课件高三数学一轮复习
角度2 两个二项式之积、三项展开式问题
典例2（1） 在
x2
− 3x +
A.−30
[解析] −
+
−
⋅
⋅ −
−
⋅
C )
C.−25
的展开式的通项+
令 = ， =
=
1−
1 5
的展开式中，常数项为(
x
B.30
−
4
x
=
−
= −
知识拓展
若二项展开式的通项为Tr+1 = g r ⋅ xh r (r = 0,1,2, ⋯ , n)，g r ≠ 0，则有以下常见结论：
（1） h r = 0 ⇔ Tr+1 是常数项.
（2）h r 是非负整数 ⇔ Tr+1 是整式项.
（3）h r 是负整数 ⇔ Tr+1 是分式项.
（4）h r 是整数 ⇔ Tr+1 是有理项.
令 = −，则 = − + − + ⋯ − .
又 + + ⋯ +
− + + ⋯ +
= + + + ⋯ + − + − + ⋯ + − = ，
∴ +
⋅ = ，∴ + = ，∴ = −或 = .故答案为−或1.
D.−1
= − ，可知 ， ，
都小于0，则 − + − + − = + + + + + .
第02讲二项式定理讲义-2024届高三数学一轮复习
第02讲 二项式定理【必备知识】1．二项式定理二项式定理：(a ＋b )n ＝C 0n a n b 0＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *) 二项展开式的通项公式：T r ＋1＝C r n a n －r b r ，它表示第r ＋1项 2．二项式系数的性质（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C m n ＝C n －m n （2）增减性：二项式系数C k n ，当k <n ＋12(n ∈N *)时，是递增的，当k >n ＋12(n ∈N *)时，是递减的 （3）最大值：当n 为偶数时，中间的一项2n n C 取得最大值当n 为奇数时，中间的两项21-n n C 和21+n nC 取得最大值；（4）各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n特别提醒：1．二项式定理中，通项公式T k ＋1＝C k n an －k b k 是展开式的第k ＋1项，不是第k 项． 2．(1)二项式系数与展开式中项的系数是两个不同的概念，在T k ＋1＝C k n a n －k b k 中，C k n 是该项的二项式系数，该项的系数还与a ，b 有关．(2)二项式系数的最值和增减性与指数n 的奇偶性有关．当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值．考点05二项展开式中的项【常用方法】求二项展开式中的特定项或其系数，一般是写出通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出r ，代回通项公式即可．【典例分析05】角度01 求二项展开式中的特定项或特定项的系数1、62)2(x x +的展开式中常数项是____(用数字作答)．2、(1＋2x 2)(1＋x )4的展开式中x 3的系数为( )A ．12B ．16C ．20D ．243、(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( )A ．10B ．20C ．30D ．60角度02 二项展开式中的含参问题4、若52)1(xax +的展开式中的常数项为－52，则实数a 的值为__ __.5、5)12(x x -的展开式中x 3的系数为－80，则a ＝__ __.6、已知二项式n xx )12(-的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2∶5，则x 3的系数为__ __. 考点06 二项展开式中的系数和问题【常用方法】赋值法的应用(1)形如(ax ＋b )n 、(ax 2＋bx ＋c )m (a 、b 、c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可．(2)对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．(3)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2， 偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2. *又f ′(x )＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋…＋na n x n －1， 所以a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝f ′(1)．【典例分析06】1、在n xx )3(+的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64，则x 3的系数为( ) A ．15 B ．45 C ．135 D ．4052、若(1－2x )2 021＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a 2 021x 2 021(x ∈R )，则下列结论中正确的个数为( )①a 0＝1 ②a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 021＝32 021＋12③a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2 020＝32 021－12 ④a 12＋a 222＋a 323＋…＋a 2 02122 021＝－1 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4考点07 二项展开式中的系数最值问题【常用方法】 二项式系数最大项的确定方法：当n 为偶数时，展开式中第n 2＋1项的二项式系数最大，最大值为2n n C ；当n 为奇数时，展开式中第n ＋12 项和第n ＋32 项的二项式系数最大，最大值为21-n n C 或21+n n C ．【典例分析07】1、在(1－2x )n 的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式二项式系数最大的项为________．2、已知n x x )21( 的展开式中前三项的系数成等差数列．①求n 的值；②求展开式中系数最大的项．。
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二项式定理
一、知识梳理
1．二项式定理的内容：【把握系数的形成过程】
2．二项展开式的通项公式：
3．二项式系数与系数的关系
4．二项展开式的性质：
（1）在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数 ．
（2）若n 是偶数，则 的二项式系数最大；若n 是奇数，则 的二项式系数最大．
（3）所有二项式系数的和等于 ． （4）奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和 ．
二、典型例题
例1．特定项的求法
（1）求62
)12(x x +的展开式中的常数项；（2）求62)12(x
x +的展开式的中间项； （3）求62)12(x x +的展开式中的3x 项； （4）求62)12(x
x +的展开式中二项式系数最大的项； （5）求62)12(x x +的展开式中系数最大的项。
例2．【与系数有关的运算】已知7722107)21(x a x a x a a x ++++=- 。
（1）求7321a a a a ++++ ； （2）求7531a a a a +++； （3）求6420a a a a +++
（4）求7210a a a a ++++ （5）求二项式系数和
例3.【综合应用】《综合与整除问题》
（1）6432)1()1()1()1(x x x x ++++++++ 的展开式中2x 的系数为 。
（2）)1()2(210-+x x 的展开式中，10x 的系数为
（3）已知5)1)(1(x ax ++的展开式中2x 的系数为5,则=a
（4）已知3322103)2()2()2(-+-+-+=x a x a x a a x ，则2a 的值为 。
（5）111999除以8的余数为 ．
（6）设m 为正整数,2()m x y +展开式的二项式系数的最大值为a ,21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b ,若137a b =,则m = 。
三、高考题再现
（1）9)2(x x a -的展开式中，3x 的系数为4
9，常数a 的值为 ． （2）在7)1(+ax （1>a ）的展开式中，3x 的系数是2x 的系数与4x 的系数的等差中项，则=a 。
（3）在9)23(x -展开式中系数绝对值最大的项为
（7）若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+，则2312420)()(a a a a a +-++的值为 。
（8）已知9922109)31(x a x a x a a x ++++=- ，则9210a a a a ++++ 等于 。
（9）43(1)(1x -的展开式2x 的系数是 。
（10）9)1(x
x +的展开式中，3x 的系数是_________ （11）()()8411+x y +的展开式中22x y 的系数是
（12）使得()3n x n N n
+⎛∈ ⎝
的展开式中含有常数项的最小的为 （13）已知n x x )3
(3+的展开式中，
各项系数的和与其各项二项式系数的和比为64，则n 值为 。
（14）已知1)12(5)12(10)12(10)12(5)12()(2345-+++-+++-+=x x x x x x f ，则=)2(f 。
（15）已知n m x x x f )21()1()(+++=（*,N n m ∈）的展开式中x 的系数为11，求2x 系数的最小值
及取得最小值时相应的n 值。