高三数学总复习课件-二项式定理
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高中数学《二项式定理》课件
03
二项式定理的证明
数学归纳法的应用
数学归纳法是一种证明数学命题的重 要方法，尤其在证明二项式定理时， 它能够通过有限步骤来证明无限递推 关系。
然后，通过假设当$n=k$时二项式定 理成立，推导出当$n=k+1$时二项 式定理也成立。
在二项式定理的证明中，数学归纳法 首先证明基础步骤，即当$n=0$或 $n=1$时，二项式定理成立。
二项式定理的推导
二项式定理推导思路
通过组合数的性质，将二项式定理展开式中的每一项表示为组合数的形式，从而推导出二项式定理的 展开式。
二项式定理的推导过程
根据组合数的性质，将二项式定理展开式中的每一项表示为C(n, k)的形式，其中k表示二项式中某一 项的次数。通过计算，可以得到二项式定理的展开式为C(n, 0) + C(n, 1)x + C(n, 2)x^2 + ... + C(n, n)x^n。
C(n, m) = C(n, n-m)，即从n个不同元素中取出m个元素和取出n-m个元素的 组合数相等。
组合数的性质2
C(n+1, m) = C(n, m-1) + C(n, m)，即从n+1个不同元素中取出m个元素的组 合数等于从n个不同元素中取出m-1个元素的组合数加上从n个不同元素中取出 m个元素的组合数。
详细描述
二项式定理的应用场景非常广泛。在多项式的展开中，二项式定理可以用来求解形如$(x+y)^n$的多项式的展开 结果。在组合数学中，二项式定理可以用来计算组合数和排列数等。在概率论中，二项式定理可以用来计算事件 的概率和期望值等。此外，二项式定理在统计学、物理、工程等领域也有广泛的应用。
02
二项式定理的推导过程
2025届高中数学一轮复习课件《二项式定理》ppt
3．二项式系数 二项展开式中各项的系数___C_nk__(k∈{0，1，…，n})叫做二项式系数．
高考一轮总复习•数学
第6页
二 二项式系数的性质 1．对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数__相__等_____．
2．增减性与最大值：当 n 是偶数时，中间的一项_________取得最大值；当 n 是奇数时，
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第8页
1．判断下列结论是否正确． (1)Crnan－rbr 是(a＋b)n 的展开式中的第 r 项．( ) (2)通项公式 Tr＋1＝Crnan－rbr 中的 a 和 b 不能互换．( √ ) (3)(a＋b)n 的展开式中某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的 二项式系数不同．(√ ) (4)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则 a7＋a6＋…＋a1 的值为 128.( )
或者其他量.
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第19页
对点练 1(1)在2x－mx 6 的展开式中，若常数项为－20，则实数 m 的值为(
)
A．12
B．－12
C．－2
D．2
(2)(2024·湖北部分重点中学第二次联考)用 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中
个位小于百位且百位小于万位的五位数有 n 个，则(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5＋…＋(1＋x)n
(3)(3
3－2)7 的展开式的通项
Tk＋1＝Ck7·(3
7－k
3)7－k·(－2)k＝Ck7·3 3
·(－2)k(k＝0,1,2,3,4,5,6,7)，
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第17页
要使第 k＋1 项为有理数，则7－3 k∈Z，则 k 可取 有理项的求法．
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第6页
二 二项式系数的性质 1．对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数__相__等_____．
2．增减性与最大值：当 n 是偶数时，中间的一项_________取得最大值；当 n 是奇数时，
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第8页
1．判断下列结论是否正确． (1)Crnan－rbr 是(a＋b)n 的展开式中的第 r 项．( ) (2)通项公式 Tr＋1＝Crnan－rbr 中的 a 和 b 不能互换．( √ ) (3)(a＋b)n 的展开式中某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的 二项式系数不同．(√ ) (4)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则 a7＋a6＋…＋a1 的值为 128.( )
或者其他量.
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对点练 1(1)在2x－mx 6 的展开式中，若常数项为－20，则实数 m 的值为(
)
A．12
B．－12
C．－2
D．2
(2)(2024·湖北部分重点中学第二次联考)用 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中
个位小于百位且百位小于万位的五位数有 n 个，则(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5＋…＋(1＋x)n
(3)(3
3－2)7 的展开式的通项
Tk＋1＝Ck7·(3
7－k
3)7－k·(－2)k＝Ck7·3 3
·(－2)k(k＝0,1,2,3,4,5,6,7)，
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要使第 k＋1 项为有理数，则7－3 k∈Z，则 k 可取 有理项的求法．
高三数学《二项式定理》复习课件
(2)设Tr 1
7r 21 1 3 7 r r 7 r r 2 Cr ( 2x ) ( ) 2 C x . 7 7 x
7r 令21 0, 得r 6. 2 常数项为2C6 7 14.
题型二 二项式系数与项的系数 2 10 (3 x ) . 例2已知二项式 3x (1)求展开式中第四项的二项式系数; (2)求展开式中第四项的系数; (3)求展开式中的第四项.
C.297 A.14 C.42
B.-252
)
D.207 1 (2)(2x3+ x )7的展开式中常数项是( B.-14 D.-42
答案:(1)D (2)A
2 3 3 4 4 解析 : 1 (1 x 3 )(1 C1 x C x C x C 10 10 2 10 10 x 5 5 6 6 C10 x C10 x x10 ) 5 2 x5项的系数为C10 C10 252 45 207.
1.二项式定理
0 n n 1 2 n 2 2 公式(a b)n Cn a C1 a b C b n na n r r n n Cr a b C n n b 的二项展开式,
r (a b)n 的展开式中共有n 1项, 其中各项的系数Cn (r 0, 1, 2, , n) r n r r 称为二项式系数, Tr 1 Cn a b 称为二项式的通项.
3.(2009·重庆卷)( x2+ 2 )8的展开式中x4的系数是( A.16 B.70
x
)
C.560
答案:D
D.1120
解析 : Tr 1 C (x )
r 8
2 8 r
2 r 16 3r ( ) 2r Cr x . 8 x
高考数学一轮专项复习ppt课件-二项式定理(北师大版)
x2－
1
n
x
的展开式中第3项与第5项的系数之比
为3∶14，则下列结论成立的是
√A.n＝10 √B.展开式中的常数项为45 √C.含x5的项的系数为210
D.展开式中的有理项有5项
二项展开式的通项为
Tk＋1＝Cknx2n－2k
(1)k
k
x2
＝ ( 1)k
C xk
2n5k 2
n
，
由于第3项与第5项的系数之比为3∶14，
令x＝1，可得(1－2)2 024＝a0＋a1＋a2＋…＋a2 023＋a2 024＝1，即展开式
中所有项的系数和为1，故B正确；
令 x＝0，可得 a0＝1，令 x＝12，可得1－2×122 024＝a0＋a21＋a222＋…＋
a2 22
002233＋a222
002244＝0，
所以a21＋a222＋a233＋…＋2a22 002233＋a222 002244＝－1，故 C 正确； 将等式(1－2x)2 024＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023＋a2 024x2 024两边同 时求导可得， 2 024×(－2)(1－2x)2 023＝a1＋2a2x1＋…＋2 023a2 023x2 022＋2 024a2 024x2 023， 再令x＝1，可得a1＋2a2＋3a3＋…＋2 023a2 023＋2 024a2 024＝4 048， 故D正确.
则由1＋10a2＝11，解得a＝±1.
命题点2 形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N+)的展开式 例 2 (1)(2022·新高考全国Ⅰ)1－yx(x＋y)8 的展开式中 x2y6 的系数为 __－__2_8__(用数字作答).
(x＋y)8 展开式的通项为 Tk＋1＝Ck8x8－kyk，k＝0,1，…，7,8. 令 k＝6，得 T6＋1＝C68x2y6； 令 k＝5，得 T5＋1＝C58x3y5， 所以1－yx(x＋y)8 的展开式中 x2y6 的系数为 C68－C58＝－28.
高三一轮复习课件：二项式定理
x－1{1－[－x－1]5} (2)解法一：原式＝ 1－[－x－1] x－1＋x－16 ＝ x ∴展开式中 x2 的系数为 C63(－1)3＝－20.
高考总复习 数学
第十四章
计数原理（选修· 理科）
解法二：展开式中 x2 的系数为－C20＋C31(－1)1－C42(－ 1)2＋C53(－1)3＝－20. (3)由 Cnm＝Cnn－m 知 C211＋C212＋C213＋…＋C2110＝C2120 ＋C2119＋C2118＋…＋C2112＋C2111，而 C210＋C211＋C212＋…＋ C2110＋C2111＋…＋C2121＝221 221－2 20 ∴C211＋C212＋C213＋…＋C2110＝ ＝2 －1. 2
A．－1
[解析]
展开式的通项公式 Tr＋1＝C8r·8－r· x)r，则含 2 (－
x4 项的系数为 1， x＝1， 令 得展开式所有项系数和为(2－ 1)8 ＝1，因此展开式中不含 x4 项的系数的和为 1－1＝0，故选 B.
[答案] B
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计数原理（选修· 理科）
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计数原理（选修· 理科）
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计数原理（选修· 理科）
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第十四章
计数原理（选修· 理科）
1．二项式定理 (a＋b)n ＝Cn0an ＋Cn1an－1b＋Cn2an－2b2 ＋…＋Cnran－rbr ＋… ＋Cnnbn.(n∈N＋) 通项公式：Tr＋1＝Cnran－rbr，(r＝0,1,2，…，n)．
＋…＋a2n＝________，a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝________；
(4)(1－x)4＋(1－x)5＋(1－x)6＋…＋(1－x)37的展开式中x3的
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第十四章
计数原理（选修· 理科）
解法二：展开式中 x2 的系数为－C20＋C31(－1)1－C42(－ 1)2＋C53(－1)3＝－20. (3)由 Cnm＝Cnn－m 知 C211＋C212＋C213＋…＋C2110＝C2120 ＋C2119＋C2118＋…＋C2112＋C2111，而 C210＋C211＋C212＋…＋ C2110＋C2111＋…＋C2121＝221 221－2 20 ∴C211＋C212＋C213＋…＋C2110＝ ＝2 －1. 2
A．－1
[解析]
展开式的通项公式 Tr＋1＝C8r·8－r· x)r，则含 2 (－
x4 项的系数为 1， x＝1， 令 得展开式所有项系数和为(2－ 1)8 ＝1，因此展开式中不含 x4 项的系数的和为 1－1＝0，故选 B.
[答案] B
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第十四章
计数原理（选修· 理科）
1．二项式定理 (a＋b)n ＝Cn0an ＋Cn1an－1b＋Cn2an－2b2 ＋…＋Cnran－rbr ＋… ＋Cnnbn.(n∈N＋) 通项公式：Tr＋1＝Cnran－rbr，(r＝0,1,2，…，n)．
＋…＋a2n＝________，a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝________；
(4)(1－x)4＋(1－x)5＋(1－x)6＋…＋(1－x)37的展开式中x3的
《二项式定理》(共17张)-完整版PPT课件全文
展开式的第3项是240x
例1.(2)求(2 x 1 )6的展开式 x
对于例1（2）中，请思考： ①展开式中的第3项的系数为多少？ ②展开式中的第3项的二项式系数为多少？ ③你能直接求展开式的第3项吗？
④你能直接求展开式中 x 2的系数吗？
解：④ Tk1 C6k (2
x)6k ( 1 )k x
(1)k 26k C6k x3k
N*)
①项数： 展开式共有n＋1项.
②次数： 各项的次数均为n
字母a的次数按降幂排列，由n递减到0 , 字母b的次数按升幂排列，由0递增到n .
③二项式系数: Cnk (k 0,1,2,, n)
④二项展开式的通项: Tk1 Cnk ankbk
典例剖析
例1.(1)求(1 1 )4的展开式； x
(2)求(2 x 1 )6的展开式. x
N
*
)
(1)二项式系数： Cnk (k 0,1,2,, n)
(2)二项展开式的通项：Tk1 Cnk ankbk
思想方法：
(1) 从特殊到一般的数学思维方式.
(2) 类比、等价转换的思想.
巩固型作业： 课本36页习题1.3A组第2，4题
思维拓展型作业
二项式系数Cn0 , Cn1,, Cnk ,, Cnn有何性质?
1) x
C62 (2
x )4 (
1 x
)2
C63
(2
x )3 (
1 x
)3
C64
(2
x )2 (
1 )4 x
C65 (2
x )(
1 x
)5
C66
(
1 )6 x
64x3
192x2
240x
高三一轮复习二项式定理.pptx
＝15.
(2)含 x4 的项为 C38x5( a )3＝C38a3x4， 3 x
∴C38a3＝7，∴a＝12.
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(3)a＝∫π20(sin2x2－12)dx＝∫π20(1－c2os x－12)dx
＝∫π20(－co2s x)dx＝－12.此时二项式的展开式的通项为 Tr＋1＝
Cr9(－12x)9－r(－
第33页/共43页
考点二
二项式系数或各项系数和
【例2】 (1)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋ y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b。若13a＝7b，则m＝( )
A．5 B．6 C．7 D．8
(2)在二项式 x2－1x n的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项 系数的和为( )
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3．求证：3n>(n＋2)·2n－1(n∈N*，n>2)．
【证明】因为 n∈N*，且 n>2，
所以 3n＝(2＋1)n 展开后至少有 4 项．
(2
＋
1)n
＝
2n
＋
C
1 n
·2n
－
1
＋
…＋
Cnn－1
·2 ＋
1≥2n
＋
n·2n
－
1
＋
2n
＋
1>2n＋n·2n－1＝(n＋2)·2n－1，
所以 T4＝C36x3(－2)3＝－160x3，所以 x3 项的系数为－160.
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2．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为( )
二项式定理课件-2025届高三数学一轮复习
A.−
B.−
)
C.−
√
D.−
解析：因为只有第5项的二项式系数最大，
所以 = , −
的展开式的通项为+
= −
− ，
= ,1,2,
⋯ ，8，所以展开式中奇数项的二项式系数与相应奇数项的系数相等，偶
数项的二项式系数与相应偶数项的系数互为相反数，而展开式中第5项的
D.50
] 求解.
思路二：利用因式分解把 + − 转化为二项式
思路三：
+
)
−
求解.
− 表示5个因式 + − 的乘积，利用组合知识求解.
解析：方法一： + −
=[ − +
] ,
通项为+ = − −
逐项减1直到零；字母 按升幂排列，从第一项开始，次数由零逐项加1直
到 .
2.二项式系数的性质
若二项展开式的通项为+ = ⋅
( = , , , ⋯ , ), ≠ ,则
有以下常见结论：
（1） = ⇔ + 是常数项；
（2） 是非负整数 ⇔ + 是整式项；
的展开式中第2项和第6项的二项式系数相等，所
以 = ，解得 = .
−
展开式的通项为
−
+ =
−
=
⋅ −
⋅ − ⋅ − ，
B.−
)
C.−
√
D.−
解析：因为只有第5项的二项式系数最大，
所以 = , −
的展开式的通项为+
= −
− ，
= ,1,2,
⋯ ，8，所以展开式中奇数项的二项式系数与相应奇数项的系数相等，偶
数项的二项式系数与相应偶数项的系数互为相反数，而展开式中第5项的
D.50
] 求解.
思路二：利用因式分解把 + − 转化为二项式
思路三：
+
)
−
求解.
− 表示5个因式 + − 的乘积，利用组合知识求解.
解析：方法一： + −
=[ − +
] ,
通项为+ = − −
逐项减1直到零；字母 按升幂排列，从第一项开始，次数由零逐项加1直
到 .
2.二项式系数的性质
若二项展开式的通项为+ = ⋅
( = , , , ⋯ , ), ≠ ,则
有以下常见结论：
（1） = ⇔ + 是常数项；
（2） 是非负整数 ⇔ + 是整式项；
的展开式中第2项和第6项的二项式系数相等，所
以 = ，解得 = .
−
展开式的通项为
−
+ =
−
=
⋅ −
⋅ − ⋅ − ，
2023版高考数学一轮总复习10-2二项式定理课件
解析 (1)n=6时,(1+2x)6的展开式中有7项,中间一项的二项式系数最大,此
项为C36 (2x)3=160x3.又Tr+1=C6r (2x)r=2rC6r xr,设第k+1项的系数最大,则
CC66kk
2k 2k
Ck 1 6
Ck 1 6
2k 2k
1, 1 ,
解得
11 3
≤k≤
14 3
,∴k=4,即第5项系数最大,第5项为
C64
(2x)4
=240x4.
所以二项式系数最大的项是第4项,为160x3,系数最大的项是第5项,为240x
4.
(2)令x=0,得a0=1,记f(x)=(1+2x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n≥6,n为偶数), 则f(1)=3n=a0+a1+a2+…+an, f(-1)=(-1)n=a0-a1+a2-a3+…-an-1+an,
所以a0+a2+a4+…+an= f (1) f (1) = 3n (1)n = 3n 1 ,
2
2
2
所以a2+a4+…+an=
3n
2
1
-1=
3n
2
1
.
专题十 计数原理
10.2 二项式定理
1.二项式定理
考点 二项式定理
1)公式(a+b)n=
C0n
an+
C1n
an-1b1+…+
Ckn
an-kbk+…+
C
n n
二项式定理课件-2025届高三数学一轮专题复习
1 6 15 20 15 6 1 C60 C61 C62 C63 C64 C65 C66
系数杨辉三角找，对称特性立其中。
2.二项式系数的性质
一 一一 一 二一
一 三三 一
性质
一四六四一 一五 十 十 五一
性质描述
一 六 十五二十十五 六 一
对称性
与首末等距离的两个二项式系数相等，即_C_nm_＝__C__nn－_m_
1 x6
感悟提升
求展开式中某指定项（如有理项、常数项、第r+1项，含xr的项） 以及指定项的系数、二项式系数等问题是高考的一大热点，通常 要用二项式的通项求解，有时要先变形再应用。
注意区分三个概念：项、项的系数、项的二项式系数。
二项乘方知多少，万里源头通项找!
变式探究2: （1）求(1+x)6(1-x)4的展开式中含x3项的系数；
变式探究2:
（2）求(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中x2
（2）解法一：分别求出各个二项展开式中x2的系数；
0，C20 , C31, C42 , C53, ，取和，可知所求x2的系数等于-20.
解法二：∵(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5
（4）求展开式中第四项的系数及二项式系数.
变式探究1:
Tk+1 = Cnk (
x
)
8-k
(
2 x2
)k
8-5k
= Ck8 2k x 2
求该展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.
设Tr 1 的系数为 A r 1 ，那么A r 1 为最大应有:
Ar1 Ar且Ar 1 Ar 2 .
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明·角度
命题角度1:与整除有关的问题
【典例3】(2015·潍坊模拟)设a∈Z,且0≤a<13,若512012+a能被13整
除,则a=( )
A.0
B.1
C.11
D.12
【解题提示】将512012分解成适合二项式定理的形式.
【规范解答】选D.由于51=52-1,
(52-1)2012=
(3)若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为
f(1),
奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=
f 1 f 1
, 2
偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=
f 1 f 1
.
2
【变式训练】1.若 (x 1 )n 展开式的二项式系数之和为64,则展开式
x
的常数项为( )
A.10
B.20
C.30
D.120
【解析】选B.二项式系数之和2n=64,所以n=6,
Tr+1=
C6r
x6r
(
1 x
)r＝C6r
x
， 62r
当6-2r=0,即r=3时为常数项.T4= C36 =20.
2.已知 (x a )8 展开式中常数项为1120,其中实数a是常数,则展开式
再令x＝-1得
C02n
C12n＋C22n
…＋
1
r
C2r n＋…
C2n 2n
1＋C22nn＝0.
两式相加得 2(C02n＋C22n＋…＋C22nn )＝22n，又 C02n ＝1，
得
C22n＋C42n＋…＋C22kn＋…＋C22nn＝
22n 2
1＝22n1
1.
答案：22n-1-1
考点1 求二项展开式的特定项或系数
【典例1】(1)(2014·四川高考)在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数
为( )
A.30
B.20
C.15
D.10
(2)(2014·湖南高考)( 1 x-2y)5的展开式中x2y3的系数是( )
2
A.-20
B.-5
C.5
D.20
【解题提示】(1)展开式中的x3项就是(1+x)6中的x2项.
【易错警示】解答本题(1)有两点易出错: (1)求展开式中系数最大的项,易求为展开式中二项式系数最大的项. (2)本题也易求成展开式中系数的最大值,而不是系数最大的项.
【规律方法】赋值法的应用 (1)形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R)的式子求其展开式的各项系 数之和,常用赋值法,只需令x=1即可. (2)对形如(ax+by)n(a,b∈R)的式子求其展开式各项系数之和,只需令 x=y=1即可.
x
则 A ＝_______.
B
【解析】 Tr＋1＝C6r x6r (
2 x
)r＝C6r
2r
x
6
3r
2，
令6-
3r ＝3，得r＝2，所
2
以T3＝ C62 (-2)2x3＝60x3，所以x3的系数为A＝60，二项式系数为B＝
C62＝15，所以
A＝60＝4. B 15
答案：4
考点2 二项式系数或各项系数和的问题
间一项或中间两项.
(4)正确.因为二项式(a+b)n的展开式中第k+1项的二项式系数为 Ckn , 显然它与a,b无关. (5)正确.因为二项展开式中项的系数是由该项中非字母因数部分, 包括符号构成的,一般情况下,不等于二项式系数. 答案:(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√
2.教材改编 链接教材 练一练
【解析】(1)错误.在二项展开式中第k+1项为 Ckn an-kbk,而第k项应为
Ck1 n
an-k+1bk-1.
(2)正确.通项 Ckn an-kbk中的a与b如果互换,则它将成为(b+a)n的第
k+1项.
(3)错误.由二项展开式中某项的系数的定义知:二项展开式中系数最
大的项不一定是中间一项或中间两项,而二项式系数最大的项则为中
,所以
C130 a 3
＝15,解得a＝
1 2
.
答案： 1
2
(3)(2015·烟台模拟)化简 C22n＋C42n＋…＋C22kn＋…＋C22nn 的值为______.
【解析】 (1＋x)2n＝C02n＋C12nx＋C22nx2＋C32nx3＋…＋C22nnx2n. 令x＝1得 C02n＋C12n＋C22n＋…＋C22nn1＋C22nn＝22n；
即 nn 1n 2n 3n 4 = 3 n n 1n 52! n 3n 4n 5(n≥6)，解得n=7.
6!
考点3 二项式定理的应用 知·考情
二项式定理是高考考查的重点内容,二项式定理与其他知识交汇 是一个重要的考向,常与不等式、函数、整除问题等知识综合,以选择 题、填空题的形式出现.
C12n
C32n
…
C2n1 2n
的值为
________.
【解析】因为
C02n
C12n
…
C2n 2n
22n，
所以
C12n
C32n
…
C2n1 2n
22n 2
22n1.
答案：22n-1
3.真题小试 感悟考题 试一试
(1)(2015·沈阳模拟)已知(x- 1 )7的展开式的第4项等于5.则x等于
x
()
A. 1
B.- 1
C.7
D.-7
7
7
【解析】选B.(x-
1 x
)7的展开式中
T4
C37x4 (
1 )3 x
5
，所以x=-
1 7
.
(2)(2014·新课标全国卷Ⅱ) (x＋a)10的展开式中,x7的系数为15,
则a=________.(用数字填写答案)
【解析】因为
C130x7a3＝15x7
【加固训练】(2015·西安模拟)(1+3x)n(其中n∈N,且n≥6)的展开式
中,若x5与x6的系数相等,则n=( )
A.6
B.7
C.8
D.9
【解析】选B.二项式(1+3x)n的展开式的通项是 Tr1 Crn1nr 3x r
= Crn ·3r·xr.依题意得：C5n 35 C6n 36,
2.(2015·新乡模拟)若(1+2x)6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，
则x的取值范围是________.
【解析】依题意
T2＞T1, T2＞T3 ,
解得 1 ＜x＜1 .
12 5
即
C16 2x ＞1,
C16Biblioteka 2x＞C62
2x
2
,
答案：1 ＜x＜1
12 5
【加固训练】设 (x 2 )6 的展开式中x3的系数为A，二项式系数为B，
(4)二项式系数的性质:
性质 对称性 增减性
最大值
性质描述
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,
即
Cmn
Cnm n
二项式
当k< n 1(n∈N*)时,是递增的
2
系数 Ckn
当k> n 1(n∈N*)时,是递减的
2
n
当n为偶数时,中间的一项 Cn2 取得最大值
n 1
n 1
当n为奇数时,中间的两项 Cn2 和 Cn2 取得最大值
=_2_n_-1_.
3.必用技法 核心总结 看一看 (1)常用方法:公式代入法、赋值法、放缩法等. (2)数学思想:函数与方程思想、转化与化归思想. (3)记忆口诀:
a加b的n次方,展开比n多一项, 全组合作系数,指数之和都一样.
【小题快练】 1.思考辨析 静心思考 判一判 (1)在二项展开式中第k项为 Ckn an-kbk.( ) (2)通项 Ckn an-kbk中的a和b不能互换.( ) (3)二项展开式中,系数最大的项为中间一项或中间两项.( ) (4)(a+b)n的展开式中某一项的二项式系数与a,b无关.( ) (5)(a+b)n某项的系数是由该项中非字母因数部分,包括符号等构成, 与该项的二项式系数不同.( )
(2)令x=-2得a0=-1. 令x=0得27=a0+2a1+4a2+8a3. 因此a1+2a2+4a3=14. 因为 C30 (2x)3·30=a3·x3. 所以a3=8. 所以a1+2a2+3a3=14-a3=6. 所以a0+a1+2a2+3a3=-1+6=5. 答案:5
【一题多解】本题还可以用如下方法解决: 由于2x+3=2(x+2)-1,故(2x+3)3=[2(x+2)-1]3= 8(x+2)3-4 C13(x+2)2+2 C32(x+2)-1, 故a3=8,a2=-12,a1=6,a0=-1. 故a0+a1+2a2+3a3=-1+6-24+24=5. 答案:5
(1)(选修2-3P37T5(2)改编)
(x
2
2 x3
)5
展开式中的常数项为
.
【解析】
Tr＋1＝C5r
(x2 )5r
(
2 x3
)r＝C5r
2 r x105r，
令10-5r＝0，得r＝2，故常数项为 C52×(-2)2＝40.