高三数学-二项式定理

10.3二项式定理强化训练

【基础精练】

1．在二项式(x 2－1

x

)5的展开式中，含x 4的项的系数是 ( )

A ．－10

B ．10

C ．－5

D ．5

2．(2009·北京高考)若(1＋2)5＝a ＋b 2(a ，b 为有理数)，则a ＋b ＝ ( )

A ．45

B ．55

C ．70

D ．80 3．在( 1x ＋

51

x

3

)n 的展开式中，所有奇数项的系数之和为1 024，则中间项系数

是

( )

A ．330

B ．462

C ．682

D ．792

4．如果⎝

⎛⎭

⎪⎫

3x 2－2x 3n 的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为 ( )

A ．10

B ．6

C ．5

D ．3

5．在⎝ ⎛

⎭⎪⎫

2x －y 25的展开式中，系数大于－1的项共有 ( )

A ．3项

B ．4项

C ．5项

D ．6项 6．二项式41(1)n x +-的展开式中，系数最大的项是 ( )

A ．第2n ＋1项

B ．第2n ＋2项

C ．第2n 项

D ．第2n ＋1项和第2n ＋2项

7．若(x 2＋1

x

3)n 展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项是________．

8．（ x ＋2

x

2)5的展开式中x 2的系数是________；其展开式中各项系数之和为________．(用

数字作答) 9．若⎝ ⎛

⎭

⎪⎫2x －

229

的展开式的第7项为214，则x ＝________.

10．已知(x －

124

x

)n 的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列．

(1)证明：展开式中没有常数项；

(2)求展开式中所有有理项．

11．设(2x－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，求：

(1)a0＋a1＋a2＋a3＋a4；

(2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|；

(3)a1＋a3＋a5；

(4)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3＋a5)2.

【拓展提高】

1．在(3x－2y)20的展开式中，求：

(1)二项式系数最大的项；

(2)系数绝对值最大的项；

(3)系数最大的项．

【基础精练参考答案】

1.B 【解析】：T k ＋1＝C k 5x 2(5－k )(－x －1)k ＝(－1)k C k 5x 10－3k

(k ＝0,1，…，5)，由10－3k ＝4得k ＝2.含x 4的项为T 3，其系数为C 25＝10.

2.C 【解析】：由二项式定理得：

(1＋2)5

＝1＋C 1

52＋C 2

5(2)2

＋C 3

5(2)3

＋C 4

5(2)4

＋C 5

5·(2)5

＝1＋52＋20＋202＋20 ＋42＝41＋292，

∴a ＝41，b ＝29，a ＋b ＝70.

3.B 【解析】：∵二项式的展开式的所有项的二项式系数和为2n ，而所有偶数项的二项式系数和与所有奇数项的二项式系数和相等．由题意得，2n －1＝1 024，∴n ＝

11，∴展开式共有12项，中间项为第六项、第七项，系数为C 511＝C 611＝462.

4.C 【解析】：∵T k ＋1＝C k n (3x 2)

n －k ·⎝ ⎛⎭

⎪⎫－2x 3k ＝(－1)k ·C k n 3

n －k ·2k ·x 2n －5k ， ∴由题意知2n －5k ＝0，即n ＝5k

2，∵n ∈N *， k ∈N，

∴n 的最小值为5.

5.B 【解析】：⎝

⎛

⎭⎪⎫2x －y 25

的展开式共有6项，其中3项(奇数项)的系数为正，大于

－1；第六项的系数为C 55

20

⎝ ⎛⎭

⎪⎫－125

＞－1，故系数大于－1的项共有4项．

6.A 【解析】：由二项展开式的通项公式T k ＋1＝41k n C + (－x )k ＝(－1)k 41k

n C +x k ，可

知系数为(－1)k 41k n C +，与二项式系数只有符号之差，故先找中间项为第2n ＋1项和第2n ＋2项，又由第2n ＋1项系数为(－1)2n 41k n C +＝41k n C +，

第2n ＋2项系数为(－1)2n

＋1

2141n n C ++＝－21

41

n n C ++＜0，故系数最大项为第2n ＋1项．

7.10【解析】：展开式中各项系数之和为

S ＝C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n

＝32，∴n ＝5.

T k ＋1＝5k C ()

52

k

x － (1x

3)k ＝5k C 1023k k x －－＝5k

C 105k x －，

∴展开式中的常数项为T 3＝C 25＝10. 8. 10 253【解析】：∵T k ＋1＝C k 5x

5－k

·(2x

2)k ＝C k 5x 5－3k ·2k

，

由5－3k ＝2，∴k ＝1，∴x 2的系数为10.