高中数学 2二项式定理(带答案)

二项式定理

一．二项式定理

1.右边的多项式叫做()n

a b +的二项展开式

2.各项的系数r

n C 叫做二项式系数

3.式中的r n r

r n C a

b -叫做二项展开式的通项，它是二项展开式的第1r +项，即

1(0,1,2,

,).r n r r r n T C a b r n -+==

4.二项展开式特点：共1r +项；按字母a 的降幂排列，次数从n 到0递减；二项式系数r n C 中r 从0到

n 递增，与b 的次数相同；每项的次数都是.n

二．二项式系数的性质

性质1 ()n

a b +的二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即m n m n n C C -= 性质2 二项式系数表中，除两端以外其余位置的数都等于它肩上两个数之和，即11m m m

n n n C C C -++= 性质3 ()n

a b +的二项展开式中，所有二项式系数的和等于2n

，即012.n n n n n C C C ++

+=

（令1a b ==即得，或用集合的子集个数的两种计算方法结果相等来解释） 性质4 ()n

a b +的二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项

的二项式系数的和，即

02

213

21

12.r r n n n n n n n C C C C C C +-++

++

=++

++

=

（令1,1a b ==-即得）

性质5 ()n

a b +的二项展开式中，当n 为偶数时，中间一项的二项式系数2n n

C 取得最大值；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数1

2,n n

C -1

2n n

C

+相等，且同时取得最大值.（即中间项的二项式系数最大）

【题型精讲】

题型一、展开式中的特殊项

1．2

1()n x x

-的展开式中，常数项为15，则n =

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6 2.在()

()1n

x n N *

+∈的二项展开式中，若只有5

x

的系数最大，则n =

A ．8

B . 9 C. 10 D .11

3．如果2323n

x x ⎛

⎫- ⎪⎝

⎭的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为（ ）

Ａ．3

Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．10

题型二、展开式的系数和

1.已知()

()()()100

2

100

01210012111.x a a x a x a x +=+-+-+

+-

求：（1）0a ；（2）012100a a a a ++++（3）13599a a a a +++

+；

2.（江西理4）已知3

3n

x x ⎛

⎫+ ⎪⎝

⎭展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于（ ） Ａ．4

Ｂ．5

Ｃ．6 Ｄ．7

3.（江西文5）设292

1101211(1)(21)(2)(2)(2)x x a a x a x a x ++=+++++

++，则01211a a a a ++++的值为

（ ） Ａ．2- Ｂ．1- Ｃ．1

Ｄ．2

4.(安徽文12)已知45235

012345(1)x a a x a x a x a x a x -=+++++, ())(531420a a a a a a ++++ 的值等

于 .

题型三、一项展开:拆成两项

1.233

除以9的余数是（ ）

A ．1

B ．2

C ．4

D ．8

题型四、多项展开：

1.（|x |＋

|

|1x －2）3

展开式中的常数项是（ ） A ．12 B ．－12 C ．20 D ．－20

2.求()()()2

111n

x x x ++++++ 展开式中3x 项的系数.

二项式定理

1、展开式中的特殊项

1．解．2

1()n x x

-的展开式中，常数项为15，则22

3331()()15n n n

n C x x -=，所以n 可以被3整除，当n=3时，

13315C =≠，当n=6时，2

615C =，选D 。

2.答案】C 解析】只有5x 的系数最大，5

x 是展开式的第6项，第6项为中间项，展开式共有11项，故n=10

3．答案：选Ｂ

解析：由展开式通项有()

21323r

n r

r

r n T C x

x -+⎛⎫=- ⎪

⎝⎭

()2532r r n r

n r n C x --=⋅⋅-⋅ 由题意得()5

2500,1,2,,12

n r n r r n -=⇒==-，故当2r =时，正整数n 的最小值为5，故选Ｂ

2、展开式的系数和 1.100

3

、100

5

、2

15100-

2.解析：展开式中，各项系数的和为4n ，各项二项式系数的和为2n ，由已知得2n =64，所以n=6，选C

3.解析：令2x +=1，右边为01211a a a a +++

+；左边把1x =-代入

299(1)(21)2(1)2x x ++=-=-，01211 2.a a a a ∴+++

+=-选A.

4.解析：已知45235

012345(1)x a a x a x a x a x a x -=+++++,

∴024135()16a a a a a a ++=-++= 则 ())(531420a a a a a a ++++=－256 3、一项展开:拆成两项

1解析：1111101192111011111011111133C 9C 9C 9C 9C )19(82-+-+-=-== -=10

0119(C 9

)1C 9C 9C 9(C 91)C 9C 9C 10118211911110011101182119111-+-+-=-+-+ ,8+

故余数为8，选D ． 4、多项展开：1.解法一：∵6

3)|

|1||()2||1|(|x x x x -=-+

∴展开式的通项为 r r

r x T -+=661)||(C ·r r

r x )1(C )|

|1(6-=-

·r x 26)||(-

令6－2r ＝0，得r ＝3

∴T 4＝3

6C （－1）3

＝－20 ∴所求常数项为－20．

解法二：∵（|x |＋|

|1x －2）3

＝3

6|||)|1(x x -