(完整版)高中数学二项式定理全章复习(题型完美版)

第十一讲二项式定理

课程类型：□复习□预习□习题

针对学员基础：□基础□中等□优秀

本章主要内容：

1•二项式定理的定义；

2•二项式定理的通项公式；

3•二项式定理的应用•

本章教学目标：

1•能用计数原理证明二项式定理（重点）；

2•能记住二项式定理和二项展开式的通项公式（重点）；

3•能解决与二项式定理有关的简单问题（重点、难点）•

课外拓展 __________________________________________________________________________________________

杨辉三角历史

北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算。

13世纪中国宋代数学家杨辉在《详解九章算术》里讨论这种形式的数表，并说明此表引自11世纪

前半贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”。故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”。

元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》（1303年）扩充了“贾宪三角”成“古法七乘方图”。

意大利人称之为“塔塔利亚三角形”以纪念在16世纪发现一元三次方程解的塔塔利亚。

在欧洲直到1623年以后，法国数学家帕斯卡在13岁时发现了“帕斯卡三角”。

布莱士•帕斯卡的著作Trait e du triangle arithm e tique （1655年）介绍了这个三角形。帕斯卡搜集

了几个关于它的结果，并以此解决一些概率论上的问题，影响面广泛，Pierre Raymond de Montmort （1708

年）和亚伯拉罕•棣•美弗（1730年）都用帕斯卡来称呼这个三角形。

近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”（Chinese triangle）。

同与例題牆讲

【知识与方法】

一•二项式定理的定义

在（a b）^（a ]b）（a「b）；：（a「b）中，每个括号都能拿出a或b，所以每个括号有2种选择，n个括号

n个

就是2n种情况.a2b n J这一项，表达的意思是________________________________ ；所以，a2b n"共有____________ 个.

例如：(x y)7中x3y4表示的就是，有3个括号拿x，剩下的4个括号拿y，所以x3y4共有C C：项, 即C；项.

(a+ b)n的二项展开式本来共有_________ 项，合并之后共有_______ 项，其中各项的系数_________________ 叫做二项式系数.

二•二项展开式的通项

(a+ b)n的二项展开式的通项公式为_____________ ..

注意：1.T r 1与C；的关系，例如第5项，应该是C4 ；

2•二项式的展开式是按照前项降幕排列，例如(x 1)10与(1 X)10中的第4项是不同的；

3. a的指数从n逐项减到0，是降幕排列。b的指数从0逐项减到n，是升幕排列。各项的次数和等

于n ;

4•注意正确区分二项式系数与项的系数.

三.二项式系数的基本性质

四•展开式的二项式系数和

i.(a+ b)n展开式的各二项式系数和：c n+ c n+ C2+…+ c n= ___________ .

2•偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即c n+c n+ c4+…=c1+ c3+c n+…=

五•展开式的系数和

若f(x) = a o + a i x+ a2X2+…+ a n x n，则f(x)展开式中各项系数之和为 __________ ，奇数项系数之和为a°+ a2

f (1) +f (T)，偶数项系数之和为a i+ a3 + a5+…= .

+ a4 +…=

2

【例题与变式】

题型一通项公式及其应用

类型一二项式定理的原理应用

【例1】(2015全国卷I )(x2+ x+ y)5的展开式中，x5y2的系数为( )

A . 10 B. 20 c. 30 D . 60

【例2】（2018?滨州二模）（x2—2x—3）5的展开式中，x的系数为_________ .

1

【变式1】（2018?濮阳一模）（x+r^+l）8的展开式中，x3的系数为______________ .

x

【变式2】（2018?龙岩模拟）已知二项式（1」_2x）4，则展开式的常数项为（）

x

A . -1 B. 1 C. -47 D . 49

类型二单括号型

2

【例4】（2018?内江三模）（x_勺4展开式中的常数项为（）

x

A . 6

B . -6

C . 24

D . -24

【例5】设（x—J2）n展开式中，第二项与第四项的系数之比为*则含x2的项是____________ .

3

【例6】（2018?成都模拟）若（x—a）6的展开式中含x空项的系数为160,则实数a的值为（）

J x

D. -2, 2

n的最小值等于（

D. 6

【变式3】（2018?河北区二模）二项式（X-?）6的展开式的第二项为（）

x

4 4 4 4

A. 6x B . —6x C . 12x D. —12x

【变式4】(2018?四川模拟)(x- 1 )6展开式中的常数项为( )

、x

A . -20

B . -15

C . 15 D. 20

【变式5】（2016全国卷I ）（2x+jx）5的展开式中，x3的系数是 _________ .（用数字填写答案）

_ _ 1

【变式6】（2018?上海二模）（x+b n的展开式中的第3项为常数项，则正整数n= ______ .

x

【变式7】（2018?普陀区二模）若（x3 - !）n的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为

x

类型三双括号型

【例

8】

（2018?肇庆三模）已知（1 -ax）（1 x）5的展开式中x2的系数为5, 则a=( )

A . 1B.2 C . -1D. -2

【例9】（2018?信阳二模）(x21)( 1 -2)5

x

的展开式的常数项是（

）

A . 5B.-10 C . -32D. -42

C . 2.2

【例B . -2

7】（2017东北四校联考A . 3 n

的展开式中含有常数项，则正整数