(完整版)高中数学二项式定理全章复习(题型完美版)
《二项式定理》知识点总结+典型例题+练习(含答案)
二项式定理考纲要求1.了解二项式定理的概念.2.二项展开式的特征及其通项公式.3.会区别二项式系数和系数.4.了解二项式定理及简单应用，并运用二项式定理进行有关的计算和证明. 知识点一：二项式定理设a , b 是任意实数，n 是任意给定的正整数，则0011222333110()n n n n n m n m m n n n nn n n n n n n a b C a b C a b C a b C a b C a b C ab C a b------+=++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++这个公式所表示的定理叫做二项式定理，其中右边的多项式叫的二项式展开式，每项的0n C ,1n C , 2n C ⋅⋅⋅ n n C 叫做该项的二项式系数.注意：二项式具有以下特征:1.展开式中共有1n +项，n 为正整数.2.各项中a 与b 的指数和为n ，并且第一个字母a 依次降幂排列，第二个字母b 依次升幂排列.3.各项的二项式系数依次为0n C , 1n C , 2n C ⋅⋅⋅ nn C . 知识点二：二项展开式通项公式二项展开式中的m n m mn C a b -叫做二项式的通项, 记作 1m T +. 即二项展开式的通项为 1m n m mm n T C a b -+=.注意：该项为二项展开式的第1m +项，而不是第m 项. 知识点三：二项式系数的性质二项式展开式的二项式系数是0n C , 1n C , 2n C ⋅⋅⋅ nn C .1.在二项展开式中，与首末两端距离相等的两项的二项式系数相等,即m n mn n C C -=.2.如果二项式()na b +的幂指数n 是偶数，那么它的展开式中间一项的二项式系数最大即12n+项的二项式系数最大. 3.如果二项式()na b +的幂指数n 是奇数，那么它的展开式中间两项的二项式系数最大，并且相等，即第12n +项和第32n +项的二项式系数最大且相等.4.二项式()na b +的展开式中，所有二项式系数的和为01232m nn n n n n n n C C C C C C ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=.5.二项式()na b +的展开式中奇数项和偶数项的二项式系数和相等即02413512n n n n n n n C C C C C C -+++⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅=.知识点四：二项式系数与系数的区别 1.二项展开式中各项的二项式系数: mn C .2.二项展开式中各项的系数:除了字母外所有的数字因数的积. 题型一 二项式定理 例1 求51(2)x x-的展开式. 分析：熟记二项式定理.解答：51(2)x x-=05014123232355551111(2)()(2)()(2)()(2)()C x C x C x C x x x x x -+-+-+-4145055511(2)()(2)()C x C x x x+-+-533540101328080x x x x x x=-+-+-题型二 二项展开式通项公式 例2 求91(3)9x x+的展开式中第3项. 分析：灵活运用通项公式. 解答：272532191(3)()9729T T C x x x+===, 所以第3项为5972x . 题型三 二项式系数的性质例3 求7(2)x +的展开式中二项式系数最大的项.分析：根据二项式()na b +的幂指数n 是奇数，那么它的展开式中间两项的二项式系数最大，并且相等，即第12n +项和第32n +项的二项式系数最大且相等.先求出二项式最大项的项数，再利用通项公式计算.解答：由于7为奇数，所以第4项和第5项的二项式系数最大.即3733343172560T T C x x -+=== 4744454172280T T C x x -+===题型四 二项式系数与系数的区别例4 二项式9(12)x -的二项式系数之和为 . 分析：二项式()na b +的展开式中，所有二项式系数的和为01232m n n n n n n n n C C C C C C ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=。
高中数学 2二项式定理(带答案)
二项式定理一．二项式定理1.右边的多项式叫做()na b +的二项展开式2.各项的系数rn C 叫做二项式系数3.式中的r n rr n C ab -叫做二项展开式的通项，它是二项展开式的第1r +项，即1(0,1,2,,).r n r r r n T C a b r n -+==4.二项展开式特点：共1r +项；按字母a 的降幂排列，次数从n 到0递减；二项式系数r n C 中r 从0到n 递增，与b 的次数相同；每项的次数都是.n二．二项式系数的性质性质1 ()na b +的二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即m n m n n C C -= 性质2 二项式系数表中，除两端以外其余位置的数都等于它肩上两个数之和，即11m m mn n n C C C -++= 性质3 ()na b +的二项展开式中，所有二项式系数的和等于2n，即012.n n n n n C C C +++=（令1a b ==即得，或用集合的子集个数的两种计算方法结果相等来解释） 性质4 ()na b +的二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即022132112.r r n n n n n n n C C C C C C +-++++=++++=（令1,1a b ==-即得）性质5 ()na b +的二项展开式中，当n 为偶数时，中间一项的二项式系数2n nC 取得最大值；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数12,n nC -12n nC+相等，且同时取得最大值.（即中间项的二项式系数最大）【题型精讲】题型一、展开式中的特殊项1．21()n x x-的展开式中，常数项为15，则n =A ．3B ．4C ．5D ．6 2.在()()1nx n N *+∈的二项展开式中，若只有5x的系数最大，则n =A ．8B . 9 C. 10 D .113．如果2323nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为（ ）Ａ．3Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．10题型二、展开式的系数和1.已知()()()()100210001210012111.x a a x a x a x +=+-+-++-求：（1）0a ；（2）012100a a a a ++++（3）13599a a a a ++++；2.（江西理4）已知33nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于（ ） Ａ．4Ｂ．5Ｃ．6 Ｄ．73.（江西文5）设2921101211(1)(21)(2)(2)(2)x x a a x a x a x ++=+++++++，则01211a a a a ++++的值为（ ） Ａ．2- Ｂ．1- Ｃ．1Ｄ．24.(安徽文12)已知45235012345(1)x a a x a x a x a x a x -=+++++, ())(531420a a a a a a ++++ 的值等于 .题型三、一项展开:拆成两项1.233除以9的余数是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8题型四、多项展开：1.（|x |＋||1x －2）3展开式中的常数项是（ ） A ．12 B ．－12 C ．20 D ．－202.求()()()2111nx x x ++++++ 展开式中3x 项的系数.二项式定理1、展开式中的特殊项1．解．21()n x x-的展开式中，常数项为15，则223331()()15n n nn C x x -=，所以n 可以被3整除，当n=3时，13315C =≠，当n=6时，2615C =，选D 。
二项式定理-高考数学复习
＝59.
目录
解题技法
赋值法的应用
（1）对形如（ ax ＋ b ） n ，（ ax 2 ＋ bx ＋ c ） m （ a ， b ， c
∈R， m ， n ∈N * ）的式子求其展开式的各项系数之和，只
需令 x ＝1即可；
（2）对（ ax ＋ by ） n （ a ， b ∈R， n ∈N*）的式子求其展开式各项
n ）， g （ r ）≠0，则：
（1） h （ r ）＝0⇔ Tr ＋1是常数项；
（2） h （ r ）是非负整数⇔ Tr ＋1是整式项；
（3） h （ r ）是负整数⇔ Tr ＋1是分式项；
（4） h （ r ）是整数⇔ Tr ＋1是有理项.
目录
2. 两个常用公式
（1） C0 ＋ C1 ＋ C2 ＋…＋ C ＝2 n ；
PART
2
目录
二项式中的特定项及系数问题
【例1】
1
（1）（2 x － ）5的展开式中 x 的系数是（
A. －40
B. 40
C. －80
D. 80
）
1
解析：（1）（2 x － ）5展开式的通项公式为 Tr ＋1＝ 5 （2 x ）5
－ r （－ 1 ） r ＝（－1） r 25－ r x 5－2 r （ r ＝0，1，…，5），令5
理数的项的个数是
16 2
，系数为有
5 .
解析：由二项展开式的通项公式可知 Tr ＋1＝ C9 ·
（ 2 ）9－ r ·xr ， r
∈N，0≤ r ≤9，当项为常数项时， r ＝0， T 1＝ C90 ·
（ 2 ）9·x 0＝
（ 2 ）9＝16 2 .当项的系数为有理数时，9－ r 为偶数，可得 r ＝
专题10-2 二项式定理-2023年高考数学一轮复习热点题型(全国通用)(解析版)
【详解】 x 2 10 的展开式中,通项公式： Tr1 C1r0 x10r 2 r ，
令 10−r=7，解得 r=3.
∴x7 的系数为 C130 2 3 = 8C170 ,
故选：C.
2.．
1 2
x
2
y
5
的展开式中
x2
y3
的系数为_____．
【答案】-20 分析：首先利用二项展开式的通项公式写出该二项展开式的通项，之后令相应的幂指数与题中所给的项的
k
1 项 Tk1
Ckn
x3 nk
x3 k Ckn x3n6k
令 3n 6k 0 则 n 2k （ k Z ）
所以 n 为偶数。故选：A
【题型四】给通项求参数
【典例分析】
已知
ax
b x
6
的展开式中
x
3 2
项的系数为
160，则当
a
0
，
b
0
时，
a
b
的最小值为（
）
A．4
B． 2 2
C．2
D． 2
当 r 3 时， T4 253C53x53 y 3 40x2 y3 ，此时只需乘以第一个因式 x 2 y 中的 x 即可，得到 40x3 y3 ；
当 r 2 时，T3 252 C52 x52 y 2 80x3 y2 ，此时只需乘以第一个因式 x 2 y 中的 2 y 即可，得到 160x3 y3 ；
故选：D．
3. x 2 y 2x y 5 的展开式中的 x3 y3 系数为（
）
A． 200
B． 120
C．120
D．200
【答案】A
【分析】由题意首先确定 (2x y)5 展开式的通项公式，再采用分类讨论法即可确定 x3 y3 的系数.
高中数学二项式定理高考复习
课题：二项式定理一、知识要点1.二项式定理 一般地,对于任意整数n ,都有n n n n n n n n b C b a C a C b a ++=+-110)(,这个公式叫做二项式定理.【注意】⑴等号右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式;⑵),2,1,0(n r C r n =叫做二项式系数,它与展开式中对应项的系数不一定相等,二项式系数r n C 一定为正,而项的系数与b a , 的系数有关,正负不能确定.⑶公式右边共有1+n 项,比二项式的次数n 大1.⑷各项的次数都等于二项式的幂指数n ;字母a 按降幂排列,次数由n 递减到0,字母b 按升幂排列,次数由0递增到n .⑸二项式定理表示一个恒等式,对于任意的b a ,,该等式都成立.通过对b a ,取不同的特殊值,可给某些问题的解决带来方便. 令x b a==,1,则得到一个比较常用的公式: n n n n n n x C x C x C x ++++=+ 2211)1(； （若令1,1==b a,则得到一个组合数恒等式: n n n n n n C C C C ++++= 2102； 2.二项展开式的通项二项展开式的第1+r 项),2,1,0(1n r b a C T r r n r n r ==-+叫做二项展开式的通项.【注意】⑴它表示二项式展开的第1+r 项,该项的二项式系数是r n C ,而不是1+r n C ;⑵字母b 的次数和组合数的上标相同;⑶a 与b 的次数之和为n ;⑷n 是常量,n r ,,2,1,0 =是变量;⑸公式中第一个量a 与第二个量b 的位置不能颠倒;⑹整理通项时,一般要将通项中的系数和字母分开整理;⑺它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律,是二项式定理的核心,它在求展开式的某些特定的项及其系数方面有着广泛的应用.# 3.二项式系数的性质 一般地, n b a )(+展开式的二项式系数nn n n n C C C C 210,,有以下性质⑴r n n r n C C -=;⑵r n r n r n C C C 11+-=+; ⑶当21-<n r 时, 1+<r n r n C C ;当21->n r ,r n r n C C <+1,即当n 为偶数时,二项式系数中, 2n n C 最大;当n 为奇数时, 二项式系数中, 21-n n C 和21+n nC （两者相等）最大. ⑷n n n n n n C C C C 2210=++++ ；⑸131202-=++=++n n n n n C C C C ,即二项式展开式奇数项系数的和等于偶数项系数的和,二、金典题型题型一:通项公式的应用求二项式展开式中的有理项,一般是根据通项公式所得到的项,其所有的未知数的指数恰好都是整数的项,解这种类型的问题必须合并通项公式中同一字母的指数,根据具体要求,令其属于整数,再根据整数的整除性求解.若求二项展开式中的整式项,则其通项公式中同一字母的指数应是非负整数,求解方式与求有理项一致.【☞例1】已知在n x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3321的展开式中,第6项为常数项. （⑴求n ;⑵求含2x 的项的系数;⑶求展开式中所有的有理项.点评:解此类问题可以分两步完成:第一,根据所给出的条件（待定项）和通项公式,建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件（n ,r 均为非负整数,r n ≥））;第二,根据所求的指数,再求所求解的项.【☞例2】若nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为（ ）.题型二:系数最大值问题在求展开式中系数最大项时,可设第1+r 项的系数为1+r t 最大,则利用⎩⎨⎧≥≥+++211r r r r t t t t ,解不等式组即可得出. 【☞例3】已知()nx x 2323+展开式各项系数和比它的二项式系数和大992. ⑴求展开式中二项式系数最大项; ⑵求展开式中系数最大项.点评:应注意区分项的系数和二项式系数两个概念.在求项的系数和时,常采用赋值法,求项的系数时,用1+r T 来求,而二项式系数能直接写出.】【变式训练】 1. ()n x 21+的展开式中第6项与第7项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.题型三:赋值法的应用对形如()nb ax +、()mc bx ax ++2),,(R c b a ∈的式子求其展开式的各项系数之和,常采用赋值法, 只需令1=x 即可;对()n by ax +),(R b a ∈的式子求其展开式各项系数之和,只需令1==y x 即可.【☞例4】已知()772210721x a x a x a a x ++++=- . '⑴求721a a a +++ ;⑵7531a a a a +++;⑶6420a a a a +++;⑷||||||||7210a a a a ++++ .【变式训练】2.对于12212⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式,求⑴求各项系数之和;⑵奇数项系数之和;⑶偶数项系数之和. 三、基础落实1.二项式521⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 展开式中,x 的系数为（ ） 2.如果n x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2323的展开式中含有非零常数项,则正整数n 可能是（ ） 3.已知n x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-1的展开式中只有第四项的二项式系数最大,则展开式中的常数项等于（ ） 、4.若nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-13展开式中各项系数之和为64,则展开式的常数项为（ ） 5.在n x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-312的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则展开式的常数项为（ ） 6.在n x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2的二项展开式中,若常数项为60,则n 等于（ ） D12 7. 61⎪⎭⎫ ⎝⎛-x mx 的展开式中3x 的系数为15.则m 的值为 . 8.若)(*6271327N n C C n n ∈=++,则n x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32的展开式中的常数项是 .（用数字作答） 9.已知92⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x a 的展开式中,3x 的系数为94,则常数a 的值为 . 10.6)21(x -展开式中,所有项的系数之和为 ;63)21)(1(x x -+展开式中5x 的系数为 . 四、课堂小结与作业1.“各项的二项式系数”是指),,2,1,0(n i C i n =,而“某项的系数”是指这一项的所有的系数;只有当字母的系数为1时,某项的二项式系数与某项的系数才是相等的.2.二项式系数之和为n n n n n n C C C C ++++= 2102;各项系数之和是每项的所有系数之和.3.因为二项式定理中的字母可取任意数或式,所以在解题时根据题意给字母赋值是求解的重要方法之一.4.注意r r n r n r b a C T -+=1表示的是二项式展开式中的第1+r 项,而非第r 项,此式为二次展开式的通项.【作业】见复印件。
【高中数学题型归纳】12.4二项式定理
第四节二项式定理考纲解读1.能用计数原理证明二项式定理.2,会用二项式定理解决与二项式展开式有关的简单问题.命题趋势探究1.高考对本节内容的考查常以选择题或填空题的形式出现，并且高于中等偏易试题.2.主要考查内容是：①利用通项求解展开式中的某指定项；②利用二项式特别是（1 + x）”的展开式求解系数或求某些类似于二项展开式的式子的值；③二项式系数的有关问题.知识点精讲一、二项式定理（a + “ = *力。
+ +...+ Cyb"（〃£ N*）.展开式具有以下特点：（1）项数：共” + 1项.（2）二项式系数：依次为组合数…，C：.（3）每一项的次数是一样的，都为〃次，展开式依。
的降幕、b的升累排列展开.特别地，（1+x）" = 1++ ...+ C：x".二、二项式展开式的通项（第r+1项）二项式展开的通项为（+] = C r n a n-r b r（r = 0,1,23,其中C；的二项式系数.令变量（常用工）取1，可得的系数.注通项公式主要用于求二项式展开式的指数、满足条件的项数或系数、展开式的某一项或系数.在应用通项公式时要注意以下几点：①分清。
：屋2/是第1+1项，而不是第7■项；②在通项公式（乜=。
：优一2「中，含瓦r,〃这6个参数，只有风氏r,〃是独立的，在未知r,〃的情况下利用通项公式解题，一般都需要先将通项公式转化为方程组求〃和r.三、二项式展开式中的系数（1）二项式系数与项的系数二项式系数仅指C：而言，不包括字母。
力所表示的式子中的系数.例如：（2 + "的展开式中，含有炉的项应该是[+] = C：2"-"",其中C：叫做该项的二项式系数，而炉的系数应该是（即含/项的系数）.（2）二项式系数的性质①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即c： = c：,c： = cm，…,C： = c：7•②二项展开式中间项的二项式系数最大.如果二项式的累指数〃是偶数，中间项是第2+1项，其二项式系数c?最大；如果二项式的累指数〃 2〃 +1 〃 +1是奇数，中间项有两项，即为第 3 项和第上」+1项，它们的二项式系数和CJ相等并且最大.2 2（3）二项式系数和与系数和①二项式系数和优 + C"…+C：=（奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和，即。
(完整版)二项式定理知识点和各种题型归纳带答案
二项式定理1．二项式定理：(a b)n C n0a n C1n a n 1b L C n r a n r b r L C n n b n (n N )，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做(a b)n的二项展开式。
②二项式系数:展开式中各项的系数C n r (r 0,1,2, ,n) .③项数：共(r 1)项，是关于a与b的齐次多项式④通项：展开式中的第r 1项C n r a n r b r叫做二项式展开式的通项。
用T r 1 C n r a n r b r表示。
3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(n 1) 项。
②顺序：注意正确选择a, b ,其顺序不能更改。
(a b)n与(b a)n是不同的。
③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。
b的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。
各项的次数和等于n .④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是数是a与b 的系数(包括二项式系数) 。
4．常用的结论：令a 1,b x, (1 x)n C n0C n1x C n2x2L C n r x r L C n n x n(n N )5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离” 的两个二项式系数相等，即C n0 C n n，···C n k C n k 1②二项式系数和：令a b 1, 则二项式系数的和为C n0C n1C n2L C n r L C n n2n，变形式C1n C n2 L C n r L C n n2n 1 。
③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令a1,b 1 ，则C n0 C n1 C n2C n3 L ( 1)n C n n (1 1)n 0 ，从而得到：C n0 C n2C n4C n2r C n1 C n3 L 2r 1Cn12n2n 1 2④奇数项的系数和与偶数项的系数和：C n,C n,C n , ,C n, ,C n .项的系令a 1,b x, (1 x)n C n0 C1n x C n2x2 L C n r x r L ( 1)n C n n x n (n N )n 2 2解：由条件知 C n n 2 45 ，即 C n 2 45 ， 2n 2 n 90 0 ，解得 n9(舍去 )或n 10 ，由(a x)nC n 0a n0xC n 1a n 1xC n 2a n 22 x L n 0 n 1 C n a x a 0 a 1x 2na 2x La n x(x a)nC n 0a0nx 1C n axn1C n 2a 2 n2xLn n 0 nC n a x a n x L21 a 2x a 1x a令x 1, 则 a 0 a 1 a 2a 3Lan(a 1)n①令x 1,则a 0a1a2a3L a n (a 1)n②① ②得,a 0 a2a 4L an(a1)n (a 2 1)(奇数项的系数和 )①②得,a 1a3a 5La n(a 1)n (a21)(偶数项的系数和)n⑤二项式系数的最大项： 如果二项式的幂指数 n 是偶数时，则中间一项的二项式系数 C n 2 取得最大值。
专题58二项式定理-高考数学复习资料(解析版)
A．5 B．－10 C．－32 D．－42
【答案】 D
1
1
1
－2
－2
【解析】 由于 x 5 的通项为 Cr5· x 5－r·(－2)r＝Cr5(－2)r·x，故(x2＋1)· x 5 的展开式的常
数项是 C15·(－2)＋C55(－2)5＝－42.故选 D. 8.(2019·潍坊模拟)设 a∈Z，且 0≤a<13，若 512018＋a 能被 13 整除，则 a＝( )
方程或不等式的知识求解.
2.求几个多项式积的特定项：可先分别化简或展开为多项式和的形式，再分类考虑特定项产生的每一种情
形，求出相应的特定项，最后进行合并即可.
3.三项展开式特定项：(1)通常将三项式转化为二项式积的形式，然后利用多项式积的展开式中的特定项(系
数)问题的处理方法求解；(2)将其中某两项看成一个整体，直接利用二项式展开，然后再分类考虑特定项
A.5
B.－10
C.－32
D.－42
31
x－ 3 10
(2)
2 x 的展开式中所有的有理项为________.
【答案】 (1)D (2)45x2，－63， 45 x－2
4
8 256
1
5
1 5－r
1
5
－2
r－5
－2
【解析】 (1)由于 x
的通项为 Cr5· x ·(－2)r＝Cr5·(－2)r·x 2 ，故(x2＋1)· x
所以 a6＝C510，则 k 的最大值为 6. x3＋2 n
2.(2019·烟台模拟)已知 x 的展开式的各项系数和为 243，则展开式中 x7 的系数为( )
A.5
B.40
C.20
D.10
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第十一讲二项式定理课程类型：□复习□预习□习题针对学员基础：□基础□中等□优秀本章主要内容：1•二项式定理的定义；2•二项式定理的通项公式；3•二项式定理的应用•本章教学目标：1•能用计数原理证明二项式定理（重点）；2•能记住二项式定理和二项展开式的通项公式（重点）；3•能解决与二项式定理有关的简单问题（重点、难点）•课外拓展 __________________________________________________________________________________________杨辉三角历史北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算。
13世纪中国宋代数学家杨辉在《详解九章算术》里讨论这种形式的数表，并说明此表引自11世纪前半贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”。
故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”。
元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》（1303年）扩充了“贾宪三角”成“古法七乘方图”。
意大利人称之为“塔塔利亚三角形”以纪念在16世纪发现一元三次方程解的塔塔利亚。
在欧洲直到1623年以后，法国数学家帕斯卡在13岁时发现了“帕斯卡三角”。
布莱士•帕斯卡的著作Trait e du triangle arithm e tique （1655年）介绍了这个三角形。
帕斯卡搜集了几个关于它的结果，并以此解决一些概率论上的问题，影响面广泛，Pierre Raymond de Montmort （1708年）和亚伯拉罕•棣•美弗（1730年）都用帕斯卡来称呼这个三角形。
近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”（Chinese triangle）。
同与例題牆讲【知识与方法】一•二项式定理的定义在（a b）^（a ]b）（a「b）；：（a「b）中，每个括号都能拿出a或b，所以每个括号有2种选择，n个括号n个就是2n种情况.a2b n J这一项，表达的意思是________________________________ ；所以，a2b n"共有____________ 个.例如：(x y)7中x3y4表示的就是，有3个括号拿x，剩下的4个括号拿y，所以x3y4共有C C：项, 即C；项.(a+ b)n的二项展开式本来共有_________ 项，合并之后共有_______ 项，其中各项的系数_________________ 叫做二项式系数.二•二项展开式的通项(a+ b)n的二项展开式的通项公式为_____________ ..注意：1.T r 1与C；的关系，例如第5项，应该是C4 ；2•二项式的展开式是按照前项降幕排列，例如(x 1)10与(1 X)10中的第4项是不同的；3. a的指数从n逐项减到0，是降幕排列。
b的指数从0逐项减到n，是升幕排列。
各项的次数和等于n ;4•注意正确区分二项式系数与项的系数.三.二项式系数的基本性质四•展开式的二项式系数和i.(a+ b)n展开式的各二项式系数和：c n+ c n+ C2+…+ c n= ___________ .2•偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即c n+c n+ c4+…=c1+ c3+c n+…=五•展开式的系数和若f(x) = a o + a i x+ a2X2+…+ a n x n，则f(x)展开式中各项系数之和为 __________ ，奇数项系数之和为a°+ a2f (1) +f (T)，偶数项系数之和为a i+ a3 + a5+…= .+ a4 +…=2【例题与变式】题型一通项公式及其应用类型一二项式定理的原理应用【例1】(2015全国卷I )(x2+ x+ y)5的展开式中，x5y2的系数为( )A . 10 B. 20 c. 30 D . 60【例2】（2018?滨州二模）（x2—2x—3）5的展开式中，x的系数为_________ .1【变式1】（2018?濮阳一模）（x+r^+l）8的展开式中，x3的系数为______________ .x【变式2】（2018?龙岩模拟）已知二项式（1」_2x）4，则展开式的常数项为（）xA . -1 B. 1 C. -47 D . 49类型二单括号型2【例4】（2018?内江三模）（x_勺4展开式中的常数项为（）xA . 6B . -6C . 24D . -24【例5】设（x—J2）n展开式中，第二项与第四项的系数之比为*则含x2的项是____________ .3【例6】（2018?成都模拟）若（x—a）6的展开式中含x空项的系数为160,则实数a的值为（）J xD. -2, 2n的最小值等于（D. 6【变式3】（2018?河北区二模）二项式（X-?）6的展开式的第二项为（）x4 4 4 4A. 6x B . —6x C . 12x D. —12x【变式4】(2018?四川模拟)(x- 1 )6展开式中的常数项为( )、xA . -20B . -15C . 15 D. 20【变式5】（2016全国卷I ）（2x+jx）5的展开式中，x3的系数是 _________ .（用数字填写答案）_ _ 1【变式6】（2018?上海二模）（x+b n的展开式中的第3项为常数项，则正整数n= ______ .x【变式7】（2018?普陀区二模）若（x3 - !）n的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为x类型三双括号型【例8】（2018?肇庆三模）已知（1 -ax）（1 x）5的展开式中x2的系数为5, 则a=( )A . 1B.2 C . -1D. -2【例9】（2018?信阳二模）(x21)( 1 -2)5x的展开式的常数项是（）A . 5B.-10 C . -32D. -42C . 2.2【例B . -27】（2017东北四校联考A . 3 n的展开式中含有常数项，则正整数【例10】（2018?泉州模拟）（X—1）4（1+丄）4的展开式中，常数项是____________ .X【例11】（X—1）3（1+丄）4的展开式中，常数项是_______ .X【变式8】（2018 ?枣庄二模）若（x2 _a）（x+丄）10的展开式x6的系数为30 ,则a等于（）x1 1A . - B. - C. 1 D . 23 2【变式9】（2018 ?咸阳二模）（x +y）（x _y）8的展开式中，x2y7的系数为 _________________ .【变式10】（1 + 2x）3（1 - x）4展开式中x项的系数为_____ .题型二展开式中的二项式系数【例1】（2018?广州一模）已知二项式（2x2 -丄）“的所有二项式系数之和等于128，那么其展开式中含-项x x 的系数是（）A . -84 B. -14 C . 14 D . 84【例2】（2018?綦江区模拟）二项式（2、、x - a）n的展开式中所有二项式系数和为64,则展开式中的常数项为-160，贝U a= ______ .【变式1】（2018?宝山区一模）在（寿「x）n的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为1024 ,x则常数项的值等于____________ .【例3】（2018?唐山一模）（2x-1）6的展开式中，二项式系数最大的项的系数是____________________ .【例4】（2018 ?马鞍山二模）二项式（3x 31）n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x的指数为整数的项的个数为（）A . 3B . 5C . 6 D. 7【变式2】（2018?湖北模拟）在（3、x -勻“的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则二项展开式x常数项等于________ ._ _ 1【变式3】（2018?芜湖模拟）已知（1 2x）n展开式中只有第4项的二项式系数最大，则（V -^）（1 2x）n展x开式中常数项为_________ .【变式4】（a+b）n二项展开式中，二项式系数最大项为第7项和第8项，则n= ________ .题型三展开式中的系数【例1】（2018?石家庄二模）已知（1 x）n的展开式各项系数之和为256，则展开式中含x2项的系数为________ .【变式3】(2018?河西区三模)设(x—2)5 =a0+a"x 十1)+a2(x+1)2+…+a5(x+1)5，则【例2】（2018?朝阳三模）在二项式（、&+^）n的展开式中，各项系数之和为A,各项二项式系数之和为 B ,x且A+B=72，则展开式中常数项的值为（）A.6 B . 9C.12D. 18【例3】（x a）（2x 一1）5的展开式中各项系数的和为x x2, 则该展开式中的常数项为（) A.-40 B . -20C.20D. 40【例4】（2015?新课标n）（a x）（1 x）4的展开式中x的奇数次幕项的系数之和为32,则a=【例5】已知(1 —2x)7= a o+ a i x+ a2x2+ …+ a7x7.求：(1)a i + a2+ …+ a7；(2) a i + a3 + a5+ a7；(3) a o + a2 + a4+ a6；⑷a0 1a^ |a^ a7 .【例6】(2018?湖南三模)若(1 - x)(1 -2x)8 = a0 - 亠亠a9x9, x€ R,则a1 2 - a2吩亠亠a9 29的值为( )9B . 2 -1C . 39D. 39-1【变式1】（2018?赣州一模）若（x2 +2+2）n展开式中各项系数之和为x64,则展开式中的常数项是（A. 10B. 20 D . 40【变式2】（2018 ?烟台模拟）已知（x3+2）n的展开式的各项系数和为x243,则展开式中x7的系数为（B . 40 C. 20 D. 10A . 422. (2015?大连模拟)（2 —.x）8的展开式中不含C . 28x4项的系数的和为（A . -1D. 21)D. 2a1 +a2+ …+a5 = ________B . 353. （2015?南昌质检）在（|_3L）n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是（）A . -7B . 7C . -28D . 284. （2014?石家庄二模）设（x2+ 1）（x+ 1）9= a o+ a i（x+ 2）+ a2（x + 2）2+…+ a ii（x+ 2）11，则a i + a2+…+ a ii = （）A . 5B . 4C . 3D . 25. （2015?安徽）（x3+’）7的展开式中x5的系数是________ .（用数字填写答案）x6. （2015?温州十校联考）已知（1 +x+x2）（x+」y）n（n€ N*）的展开式中没有常数项，且2令＜8则n = .x本讲总结1•实际完成情况：□按计划完成；□超额完成，原因分析 ________________________________________________________________________________ □未完成计划内容，原因分析 __________________________________________________________________________ 2•授课及学员问题总结：。