高中数学二项式定理2ppt课件
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高中数学《二项式定理》课件
03
二项式定理的证明
数学归纳法的应用
数学归纳法是一种证明数学命题的重 要方法，尤其在证明二项式定理时， 它能够通过有限步骤来证明无限递推 关系。
然后，通过假设当$n=k$时二项式定 理成立，推导出当$n=k+1$时二项 式定理也成立。
在二项式定理的证明中，数学归纳法 首先证明基础步骤，即当$n=0$或 $n=1$时，二项式定理成立。
二项式定理的推导
二项式定理推导思路
通过组合数的性质，将二项式定理展开式中的每一项表示为组合数的形式，从而推导出二项式定理的 展开式。
二项式定理的推导过程
根据组合数的性质，将二项式定理展开式中的每一项表示为C(n, k)的形式，其中k表示二项式中某一 项的次数。通过计算，可以得到二项式定理的展开式为C(n, 0) + C(n, 1)x + C(n, 2)x^2 + ... + C(n, n)x^n。
C(n, m) = C(n, n-m)，即从n个不同元素中取出m个元素和取出n-m个元素的 组合数相等。
组合数的性质2
C(n+1, m) = C(n, m-1) + C(n, m)，即从n+1个不同元素中取出m个元素的组 合数等于从n个不同元素中取出m-1个元素的组合数加上从n个不同元素中取出 m个元素的组合数。
详细描述
二项式定理的应用场景非常广泛。在多项式的展开中，二项式定理可以用来求解形如$(x+y)^n$的多项式的展开 结果。在组合数学中，二项式定理可以用来计算组合数和排列数等。在概率论中，二项式定理可以用来计算事件 的概率和期望值等。此外，二项式定理在统计学、物理、工程等领域也有广泛的应用。
02
二项式定理的推导过程
二项式定理(第2课时) 优质课课件
-256
解：令x 1.得a0 a1 a2 a3 a4 a5 0
变式练习2：
已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋ a7x7.求
(4) )|a0|＋ |a1|＋|a2|＋…＋|a7|.
(4)法一：∵(1－2x)7展开式中，
a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零， ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7| ＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)， ∴(3)－(2)即可，其值为2 187.
(2).(2014.广州二模） 1 n 3 已知（2x ) 的展开式的常数项是第7项， x 8 则正整数n的值为_________
题型2：二项式定理的应用
2、例题讲解：例1
1 n
计算并求值或化简
(1) 1 2C 4C
2 n 1 5 2 5 3 5
2 C 3
n n n 4 5
n
法二：|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|，
即(1＋2x)7展开式中各项的系数和，
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝37＝2 187.
例题点评
例2． 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7. 求： (1) a0 ＋ a1＋a2＋…＋a7； (2) a1＋a2＋…＋a7 ； (3)a1＋a3＋a5＋a7 (4) )|a0|＋ |a1|＋|a2|＋…＋|a7|. 求二项展开式系数和，常常得用赋值法，设二项式中的 字母为0或1或-1，得到一个或几个等式，再根据结果求值。
r n r r 通项公式（第r+1项）Tr 1 Cn a b
(r 0,1, 2,
n)
注意：区分二项式系数与项的系数
解：令x 1.得a0 a1 a2 a3 a4 a5 0
变式练习2：
已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋ a7x7.求
(4) )|a0|＋ |a1|＋|a2|＋…＋|a7|.
(4)法一：∵(1－2x)7展开式中，
a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零， ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7| ＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)， ∴(3)－(2)即可，其值为2 187.
(2).(2014.广州二模） 1 n 3 已知（2x ) 的展开式的常数项是第7项， x 8 则正整数n的值为_________
题型2：二项式定理的应用
2、例题讲解：例1
1 n
计算并求值或化简
(1) 1 2C 4C
2 n 1 5 2 5 3 5
2 C 3
n n n 4 5
n
法二：|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|，
即(1＋2x)7展开式中各项的系数和，
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝37＝2 187.
例题点评
例2． 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7. 求： (1) a0 ＋ a1＋a2＋…＋a7； (2) a1＋a2＋…＋a7 ； (3)a1＋a3＋a5＋a7 (4) )|a0|＋ |a1|＋|a2|＋…＋|a7|. 求二项展开式系数和，常常得用赋值法，设二项式中的 字母为0或1或-1，得到一个或几个等式，再根据结果求值。
r n r r 通项公式（第r+1项）Tr 1 Cn a b
(r 0,1, 2,
n)
注意：区分二项式系数与项的系数
高中数学课件6.3.1 二项式定理
例2.(1)( 2
5
A.−
4
1 6
− ) 的展开式中，常数项是(
2
5
B.
4
15
C.−
16
).
15
D.
16
答案：D.
解：(1)(
2
1 4
− ) 展开式的通项+1
2
令12 − 3 = 0，解得 = 4.
1 4 4
所以常数项为(− ) 6
2
=
15
.
16
=
1
2 6−
6 ( ) (− )
= 60 6 + 61 5 −1 + 62 4 −2 + 63 3 −3 + 64 2 −4 + 65 1 −5 + 66 −6
= 6 + 6 4 + 15 2 + 20 + 15 −2 + 6 −4 + −6 .
例析
l 7
令9 − 2 = 3，得 = 3，即展开式中第四项含 3 ，其系数为(−1)3 ∙ 93 = −84.
，
练习
方法技巧：
要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异，前者只与二项式的指数及
项数有关，与二项式无关，它是一个组合数 ，后者与二项式、二项式的指数及项
的字母和系数均有关.
练习
1
2
所以 = 0，4，8，故共有3个有理项，分别是1 = (− )0 80 4 = 4 ，
5 =
Байду номын сангаас
1 4 4
(− ) 8
2
1
2
=
35
人教版高中数学选修2-3二项式定理 (共16张PPT)教育课件
人
的
一
生
说
白
了
，
也
就
是
三
万
余
天
，
贫
穷
与
富
贵
，
都
是
一
种
生
活
境
遇
。
懂
得
爱
自
己
的
人
，
对
生
活
从
来
就
没
有
过
高
的
奢
望
，
只
是
对
生
存
的
现
状
欣
然
接
受
。
漠
漠
红
尘
，
芸
芸
众
生
皆
是
客
，
时
光
深
处
，
流
年
似
水
，
转
瞬
间
，
光
阴
就
会
老
去
，
留
在
心
头
的
，
只
是
弥
留
在
时
光
深
处
的
无
边
落
寞
。
轻
拥
沧
桑
，
淡
看
流
年
，
掬
一
捧
岁
月
，
握
一
份
懂
得
，
红
尘
口
罗
不
–■
① 项： a 3
a 2b ab 2 b 3
a3kbk
2025届高中数学一轮复习课件《二项式定理》ppt
3．二项式系数 二项展开式中各项的系数___C_nk__(k∈{0，1，…，n})叫做二项式系数．
高考一轮总复习•数学
第6页
二 二项式系数的性质 1．对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数__相__等_____．
2．增减性与最大值：当 n 是偶数时，中间的一项_________取得最大值；当 n 是奇数时，
高考一轮总复习•数学
第8页
1．判断下列结论是否正确． (1)Crnan－rbr 是(a＋b)n 的展开式中的第 r 项．( ) (2)通项公式 Tr＋1＝Crnan－rbr 中的 a 和 b 不能互换．( √ ) (3)(a＋b)n 的展开式中某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的 二项式系数不同．(√ ) (4)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则 a7＋a6＋…＋a1 的值为 128.( )
或者其他量.
高考一轮总复习•数学
第19页
对点练 1(1)在2x－mx 6 的展开式中，若常数项为－20，则实数 m 的值为(
)
A．12
B．－12
C．－2
D．2
(2)(2024·湖北部分重点中学第二次联考)用 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中
个位小于百位且百位小于万位的五位数有 n 个，则(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5＋…＋(1＋x)n
(3)(3
3－2)7 的展开式的通项
Tk＋1＝Ck7·(3
7－k
3)7－k·(－2)k＝Ck7·3 3
·(－2)k(k＝0,1,2,3,4,5,6,7)，
高考一轮总复习•数学
第17页
要使第 k＋1 项为有理数，则7－3 k∈Z，则 k 可取 有理项的求法．
高考一轮总复习•数学
第6页
二 二项式系数的性质 1．对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数__相__等_____．
2．增减性与最大值：当 n 是偶数时，中间的一项_________取得最大值；当 n 是奇数时，
高考一轮总复习•数学
第8页
1．判断下列结论是否正确． (1)Crnan－rbr 是(a＋b)n 的展开式中的第 r 项．( ) (2)通项公式 Tr＋1＝Crnan－rbr 中的 a 和 b 不能互换．( √ ) (3)(a＋b)n 的展开式中某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的 二项式系数不同．(√ ) (4)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则 a7＋a6＋…＋a1 的值为 128.( )
或者其他量.
高考一轮总复习•数学
第19页
对点练 1(1)在2x－mx 6 的展开式中，若常数项为－20，则实数 m 的值为(
)
A．12
B．－12
C．－2
D．2
(2)(2024·湖北部分重点中学第二次联考)用 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中
个位小于百位且百位小于万位的五位数有 n 个，则(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5＋…＋(1＋x)n
(3)(3
3－2)7 的展开式的通项
Tk＋1＝Ck7·(3
7－k
3)7－k·(－2)k＝Ck7·3 3
·(－2)k(k＝0,1,2,3,4,5,6,7)，
高考一轮总复习•数学
第17页
要使第 k＋1 项为有理数，则7－3 k∈Z，则 k 可取 有理项的求法．
高二数学二项式定理2
二 项 式 定 理(2)
（ a b ) ?
n
复习提问
1.二项式定理的内容
(a+b)n=
Cna
0 n
r n-r r n n 1 n-1 +Cna b+…+Cna b +…+Cnb
右边多项式叫(a+b)n的二项展开式； 二项展开式结构特征；
2.二项式系数:
C , C , C ,C ,C
0 n
1 n
100
C 9
0 100 100
C
1 99 、 100
9 C 9
100 0 100
r 1 0 0 r 100
（ 1）
r
C 9 C 9
99 1 100
所以余数是1，
思 考 ： 若将 8 除以9，则得
到的余数还是1吗？ 注 意:余数为正整数！
101
练习1：证明： 99 1能被100整除
10
练习2：(2a-2b)的展开式的第4项 是多少?? 变式1：(2a-2b)的展开式的第4项 的二项式系数是多少? 变式2：(2a-2b)的展开式的第4项 的系数是多少?
8 8
8
练习3：求(3 x 的常数项? 变式：求(3 x 中的x 的系数?
3
1 3 x 1
) 的展开式
10
3 x
) 的展开式
100
C 7 C 7
1 99 100
99 1 100 100 100 99 100
r 1 0 0 r 100
C 7 C
0 99 100
（ 7 C 7 C ） 1
余数是1， 所以是星期二
探究：
若将 8100 除以9，则得到的余数是多少？
（ a b ) ?
n
复习提问
1.二项式定理的内容
(a+b)n=
Cna
0 n
r n-r r n n 1 n-1 +Cna b+…+Cna b +…+Cnb
右边多项式叫(a+b)n的二项展开式； 二项展开式结构特征；
2.二项式系数:
C , C , C ,C ,C
0 n
1 n
100
C 9
0 100 100
C
1 99 、 100
9 C 9
100 0 100
r 1 0 0 r 100
（ 1）
r
C 9 C 9
99 1 100
所以余数是1，
思 考 ： 若将 8 除以9，则得
到的余数还是1吗？ 注 意:余数为正整数！
101
练习1：证明： 99 1能被100整除
10
练习2：(2a-2b)的展开式的第4项 是多少?? 变式1：(2a-2b)的展开式的第4项 的二项式系数是多少? 变式2：(2a-2b)的展开式的第4项 的系数是多少?
8 8
8
练习3：求(3 x 的常数项? 变式：求(3 x 中的x 的系数?
3
1 3 x 1
) 的展开式
10
3 x
) 的展开式
100
C 7 C 7
1 99 100
99 1 100 100 100 99 100
r 1 0 0 r 100
C 7 C
0 99 100
（ 7 C 7 C ） 1
余数是1， 所以是星期二
探究：
若将 8100 除以9，则得到的余数是多少？
高中数学同步教学课件 二项式定理 (2)
知识梳理
注意点： (1)每一项中a与b的指数和为n. (2)各项中a的指数从n起依次减小1，到0为止，各项中b的指数从0起依 次增加1，到n为止. (3)a与b的位置不能交换.
例1
(1)求3
x＋
1
4
x
的展开式.
方法一
3
x＋
1
4
x
＝C04(3
x)4＋C14(3
x)3 1x＋C24(3
x)2
1234
五
课时对点练
基础巩固
1.(x＋2)n的展开式共有16项，则n等于
A.17
B.16
√C.15
D.14
∵(a＋b)n的展开式共有n＋1项，而(x＋2)n的展开式共有16项，∴n＝15.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2.若(1－2x)n的展开式中x3的系数为－160，则正整数n的值为
√A.32
B.－32
C.1 024
D.512
a10－2C110a9＋22C210a8－…＋210＝(a－2)10， 当 a＝2－ 2时，(a－2)10＝32.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
6.在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x3的项的系数是
A.－5
第六章 §6.3 二项式定理
6.3.1 二项式定理
学习目标
1.能用计数原理证明二项式定理. 2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式. 3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
导语
英国科学家艾萨克·牛顿(Isaac Newton,1643－1727)被誉为人类历史上最 伟大的科学家之一.他不仅是一位物理学家、天文学家， 还是一位伟大的数学家.1664年冬，由于瘟疫流行迫使 牛顿从剑桥回到乡下，研读沃利斯博士的《无穷算术》， 牛顿开始了对二项式定理的研究，并最终建立了二项式 定理.那么，牛顿是如何思考的呢？
高中数学选修二项式定理人教版ppt课件可修改文字
项，展r+开1 式共有_____个项.
n+1
Tr 1
C
r n
a
n
r
b
r
(r 0,1, 2,
n)
二项展开式定理:
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnr anrbr
1.项数规律：
(n N )
展开式共有n+1个项
2.二项式系数规律：
Cn0、Cn1、Cn2、 、Cnn
3.指数规律：
恰有2个取b的情况有C22 种，则b2前的系数为C22
(a+b)2 = a2 +2ab+b2
＝C20 a2 + C21 ab+ C22 b2
(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3
= C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3
(a+b)4＝ (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)＝？
C61 (2x)5
C62 (2x)4
C63 (2x)3
C64 (2 x)2 C65 (2 x) C66 ]
=64 x3
192 x 2
240x 160
60 x
12 x2
1 x3
第三项的二项式系数为
C62 15
第六项的系数为
C65 • 2(1)5 12
例3:(1)求（1+2x )7的展开式的第4项的系数
4 x
6 x2
4 x3
1 x4
.
注：1）注意对二项式定理的灵活应用
2）注意区别二项式系数与项的系数的概念
二项式系数为
；C
r n
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答案：
z 2i
3
1 7 4.求二项式 ( 3 ) 的展开式中的有理项. 2
分析：方法一用通项公式（适用于任意次幂） 方法二用定理展开（次数较小时使用） 105 答案： 4
练 习 与 小 结
Tr 1 C a
r nr n
b
r
练习：见学习卷
小结：
二项式定理（二）
复 习
N
0 n 1 n 1 r nr r n n (a+b) n= Cn a Cna b Cna b Cnb （n ）,这个公式表示的定理叫做二项式定 理，公式右边的多项式叫做 (a+b) n的展开式 ， r 其中 Cn（r=0,1,2,……,n）叫做 二项式系数 ， r n r r Cna b 叫做二项展开式的通项， 通项是指展开式的第 r+1 项，展开式共有 n+1 个项.
பைடு நூலகம்n n
Tr 1 C a
r nr n
b
r
例 题
a 6 ( 2 ) 1. a x 的展开式中，第五项是……（B ） 20 15 6x 2 15 A. B. C. x D. 3 x a x 1 15 3 2. ( a ) 的展开式中，不含a的项是第（A ） a
x
A.7 项
B.8 项
定理
0 n n 1 r n r r n n (a b)n Cn a C1 a b C a b C n n nb
特 征
1.系数规律：
C 、C 、C 、 、C
0 n 1 n 2 n
2.指数规律： （1）各项的次数均为n； （2）二项和的第一项a的次数由n降到0， 第二项b的次数由0升到n. 3.项数规律： 二项和的n次幂的展开式共有n+1个项 4.展开式中的每一项都来自于n个括号的各个 括号.
C.9 项
D.6项
分析：求指定项通常用通项公式，这是一 类常见问题，必须熟练掌握.
思考：1中如何求第五项的系数和二项式系 数？ 2中的第五项是什么？
Tr 1 C a
r nr n
b
r
例 题
3.二项式(z-2)6的展开式中第5项是-480，求复 数z. 分析：由通项公式写出第五项，并令其等于 -480，得到z的方程解之.
z 2i
3
1 7 4.求二项式 ( 3 ) 的展开式中的有理项. 2
分析：方法一用通项公式（适用于任意次幂） 方法二用定理展开（次数较小时使用） 105 答案： 4
练 习 与 小 结
Tr 1 C a
r nr n
b
r
练习：见学习卷
小结：
二项式定理（二）
复 习
N
0 n 1 n 1 r nr r n n (a+b) n= Cn a Cna b Cna b Cnb （n ）,这个公式表示的定理叫做二项式定 理，公式右边的多项式叫做 (a+b) n的展开式 ， r 其中 Cn（r=0,1,2,……,n）叫做 二项式系数 ， r n r r Cna b 叫做二项展开式的通项， 通项是指展开式的第 r+1 项，展开式共有 n+1 个项.
பைடு நூலகம்n n
Tr 1 C a
r nr n
b
r
例 题
a 6 ( 2 ) 1. a x 的展开式中，第五项是……（B ） 20 15 6x 2 15 A. B. C. x D. 3 x a x 1 15 3 2. ( a ) 的展开式中，不含a的项是第（A ） a
x
A.7 项
B.8 项
定理
0 n n 1 r n r r n n (a b)n Cn a C1 a b C a b C n n nb
特 征
1.系数规律：
C 、C 、C 、 、C
0 n 1 n 2 n
2.指数规律： （1）各项的次数均为n； （2）二项和的第一项a的次数由n降到0， 第二项b的次数由0升到n. 3.项数规律： 二项和的n次幂的展开式共有n+1个项 4.展开式中的每一项都来自于n个括号的各个 括号.
C.9 项
D.6项
分析：求指定项通常用通项公式，这是一 类常见问题，必须熟练掌握.
思考：1中如何求第五项的系数和二项式系 数？ 2中的第五项是什么？
Tr 1 C a
r nr n
b
r
例 题
3.二项式(z-2)6的展开式中第5项是-480，求复 数z. 分析：由通项公式写出第五项，并令其等于 -480，得到z的方程解之.