高中数学必修2第二章复习
高中数学第二章解析几何初步优化总结北师大版必修2
[解] 原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以点(2，0)为圆心，
3为半径的圆．
(1)设xy＝k，即 y＝kx，当直线 y＝kx 与圆相切时，斜率 k 取得
最大值和最小值，
此时有 |2k－0| ＝ k2＋1
3，解得 k＝± 3，
故xy的最大值是 3，最小值是－ 3.
(2)设 y－x＝b，即 y＝x＋b，当直线 y＝x＋b 与圆相切时 b 取
得最大值和最小值，此时|2－0＋b|＝ 3， 2
解得 b＝－2± 6，
故 y－x 的最大值为－2＋ 6，最小值为－2－ 6.
(3)x2＋y2 表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何的知 识知，其在原点和圆心的连线与圆的两个交点处分别取得最 大值和最小值，又知圆心到原点的距离为 2，故 x2＋y2 的最大 值为(2＋ 3)2＝7＋4 3，最小值为(2－ 3)2＝7－4 3.
2．求过圆外一点的圆的切线过程 求过圆外一点的圆的切线方程，一般设为点斜式，运用待定
系数法或判别式法求出斜率k，但用点斜式表示直线方程的前
提是斜率必须存在．过圆外一点可以作圆的两条切线，如果 只有一解，那么一定有一条切线斜率不存在，这时可用数形 结合的方法把“丢掉”的切线方程找回来． 3．已知斜率求圆的切线
如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C1：(x ＋3)2＋(y－1)2＝4 和圆 C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4. (1)若直线 l 过点 A(4，0)， 且被圆 C1 截得的弦长为 2 3，求直线 l 的方程；
(2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂直
的直线 l1 和 l2,它们分别与圆 C1 和圆 C2 相交，且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等，试求所有满 足条件的点 P 的坐标．
最新人教B版高中数学必修二学案：2章末复习提升
1.直线的倾斜角与斜率(1)倾斜角与斜率从“形”和“数”两方面刻画了直线的倾斜程度，但倾斜角α是角度(α∈[0°，180°))，是倾斜度的直接体现；斜率k是实数(k∈(－∞，＋∞))，是倾斜程度的间接反映.在解题的过程中，用斜率往往比用倾斜角更方便.(2)倾斜角与斜率的对应关系：当α＝90°时，直线的斜率不存在；当α≠90°时，斜率k＝tanα，y－y且经过两点A(x，y)，B(x，y)(x≠x)的直线的斜率k＝21.x－x112212AB21(3)当α由0°→90°→180°(不含180°)变化时，k由0(含0)逐渐增大到＋∞(不存在)，然后由－∞(不存在)逐渐增大到0(不含0).2.直线方程的五种形式及比较名称方程常数的几何意义适用条件点斜式y－y＝k(x－x)(x，y)是直线上的一个直线不垂直于x轴0000y ＝kx ＋b 直线不垂直于 x 轴 (x ，y )， (x ，y )是直 直线不垂直于 x 轴和 yy －y x －x 1 1 2 21 ＝ 1 y －y x －x 线上的两个定点 轴a ，b 分别是直线在 x 直线不垂直于 x 轴和 y 2 1 2 1＋ ＝1轴，y 轴上的非零截距 轴，且不过原点 A ，B ，C 为系数任何情况x ＝a(y 轴：x ＝0)垂直于 x 轴且过点(a,0) 垂直于 y 轴且过点(0，b)特殊直线y ＝b(x 轴：y ＝0)解题时要根据题目条件灵活选择，注意其适用条件：点斜式和斜截式不能表示斜率不存在的 直线，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线， 一般式虽然可以表示任何直线，但要注意 A ＋B ≠0，必要时要对特殊情况进行讨论. 2 2 3.两直线平行与垂直的条件l ：A x ＋B y ＋C ＝0， 1 1 1 1 1 11 直线方程2222222l ∥l A B －A B ＝0， 1 2 1 2平行的等价条件 垂直的等价条件1212121 22 1l ⊥l k ·k ＝－1 l ⊥l A A ＋B B ＝0 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2由两直线的方程判断两条直线是否平行或垂直时，要注意条件的限制；同时已知平行或垂直 关系求直线的方程或确定方程的系数关系时，要根据题目条件设出合理的直线方程. 4.距离问题类型 已知条件两点间的距离d ＝ x －x ＋ y －y 2 2 11 222 1 2 10 022l ：Ax ＋By ＋C ＝0112d ＝2 A ＋B12 2 ＋C ＝0(A ，B 不同时为 0) 2学习时要注意特殊情况下的距离公式，并注意利用它的几何意义，解题时往往将代数运算与 几何图形直观分析相结合. 5.直线系方程直线系方程是解析几何中直线方程的基本内容之一，它把具有某一共同性质的直线族表示成一个含参数的方程，然后根据直线所满足的其他条件确定出参数的值，进而求出直线方程.直线系方程的常见类型有：(1)过定点P(x，y)的直线系方程是：y－y＝k(x－x)(k是参数，直线系中未包括直线x＝x)，00000也就是平常所提到的直线的点斜式方程；(2)平行于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Ax＋By＋λ＝0(λ是参数，λ≠C)；(3)垂直于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Bx－Ay＋λ＝0(λ是参数)；(4)过两条已知直线l：A x＋B y＋C＝0和l：A x＋B y＋C＝0的交点的直线系方程是：A x111122221＋B y＋C＋λ(A x＋B y＋C)＝0(λ是参数，当λ＝0时，方程变为A x＋B y＋C＝0，恰好表11222111示直线l；当λ≠0时，方程表示过直线l和l的交点，但不含直线l和l的任一条直线).112126.对称问题对称问题主要有两大类：一类是中心对称，一类是轴对称.(1)中心对称①两点关于点对称，设P(x，y)，P(a，b)，则P(x，y)关于P(a，b)对称的点为P(2a－1111112x2b－y)，即P为线段P P的中点.特别地，P(x，y)关于原点对称的点为P′(－x，－y).1,112②两直线关于点对称，设直线l，l关于点P对称，这时其中一条直线上任一点关于点P对12称的点在另一条直线上，并且l∥l，P到l，l的距离相等.1212(2)轴对称①两点关于直线对称，设P，P关于直线l对称，则直线P P与l垂直，且线段P P的中121212点在l上，这类问题的关键是由“垂直”和“平分”列方程.②两直线关于直线对称，设l，l关于直线l对称.12当三条直线l，l，l共点时，l上任意一点到l，l的距离相等，并且l，l中一条直线上121212任意一点关于l对称的点在另外一条直线上；当l∥l∥l时，l与l间的距离等于l与l间的距离.12127.圆的方程(1)圆的标准方程：(x－a)＋(y－b)＝r，其中圆心是C(a，b)，半径是r.特别地，圆心在原222点的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0).(2)由于圆的方程均含有三个参变量(a，b，r或D，E，F)，而确定这三个参数必须有三个独立的条件，因此，三个独立的条件可以确定一个圆.(3)求圆的方程常用待定系数法，此时要善于根据已知条件的特征来选择圆的方程.如果已知圆心或半径长，或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某些点，通常可用圆的一般方程.8.点与圆的位置关系(1)点在圆上①如果一个点的坐标满足圆的方程，那么该点在圆上.②如果点到圆心的距离等于半径，那么点在圆上.(2)点不在圆上①若点的坐标满足F(x，y)>0，则该点在圆外；若满足F(x，y)<0，则该点在圆内.②点到圆心的距离大于半径则点在圆外；点到圆心的距离小于半径则点在圆内.注意：若P点是圆C外一定点，则该点与圆上的点的最大距离：d＝|PC|＋r；最小距离：maxd＝|PC|－r.min9.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种：相交、相离、相切，其判断方法有两种：代数法(通过解直线方程与圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断).(1)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d＋r，最小距离为d－r，其中d为圆心到直线的距离.(2)当直线与圆相交时，圆的半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形.(3)当直线与圆相切时，经常涉及圆的切线.①若切线所过点(x，y)在圆x2＋y2＝r2上，则切线方程为x x＋y y＝r2；若点(x，y)在圆(x000000－a)2＋(y－b)2＝r2上，则切线方程为(x－a)(x－a)＋(y－b)(y－b)＝r2.00②若切线所过点(x，y)在圆外，则切线有两条.此时解题时若用到直线的斜率，则要注意斜00率不存在的情况也可能符合题意.(4)过直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)与圆C：x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0(D＋E－4F2222＞0)的交点的圆系方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0，λ 是待定的系数.10.圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含，其判断方法有两种：代数法(通过解两圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由两圆的圆心距d与半径r，R的大小关系来判断).(1)求相交两圆的弦长时，可先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用相交两圆的几何性质和勾股定理来求弦长.(2)过圆C：x＋y＋D x＋E y＋F＝0与圆C：x＋y＋D x＋E y＋F＝0的交点的直线方程222211112222为(D－D)x＋(E－E)y＋F－F＝0.12121211.空间直角坐标系(1)建立的空间直角坐标系要遵循右手法则，空间上的任意一点都与有序实数组(x，y，z)一一对应.(2)空间中P(x，y，z)，P(x，y，z)之间的距离|P P|＝x－x＋y－y＋z－z.222 1111222212121212 (3)可利用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的方法来求空间直角坐标系下的对称点.题型一.直线的方程(1)求直线方程的主要方法是待定系数法，要掌握直线方程五种形式的适用条件及相互转化， 能根据条件灵活选用方程，当不能确定某种方程条件具备时要另行讨论条件不满足的情况. (2)运用直线系方程的主要作用在于能使计算简单.例 1.过点 P(－1,0)，Q(0,2)分别作两条互相平行的直线，使它们在 x 轴上截距之差的绝对值 为 1，求这两条直线的方程.解.(1)当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x ＝－1，x ＝0，它们在 x 轴上截 距之差的绝对值为 1，满足题意；(2)当直线的斜率存在时，设其斜率为 k ，则两条直线的方程分别为 y ＝k(x ＋1)，y ＝kx ＋2. 2令 y ＝0，分别得 x ＝－1，x ＝－ .k 2 由题意 －1＋ ＝1，即 ＝1. k k 则直线的方程为 y ＝x ＋1，y ＝x ＋2， 即 x －y ＋1＝0，x －y ＋2＝0综上可知，所求的直线方程为 x ＝－1，x ＝0，或 x －y ＋1＝0，x －y ＋2＝0. 跟踪演练 1.将直线的方程 x －2y ＋6＝0：(1)化成斜截式，并指出它的斜率与在 y 轴上的截距； (2)化成截距式，并指出它在 x 轴、y 轴上的截距.11 2 解.(1)将原方程移项得 2y ＝x ＋6，两边同除以 2，得斜截式 y ＝ x ＋3，因此它的斜率 k ＝ ，2 在 y 轴上的截距为 3.x y(2)将原方程移项得 x －2y ＝－6，两边同除以－6，得截距式 ＋ ＝1.由方程可知，直线在－6 3 x 轴、y 轴上的截距分别为－6,3. 题型二.直线的位置关系两条直线的位置关系有相交(特例垂直)、平行、重合三种，主要考查两条直线的平行和垂直. 通常借助直线的斜截式方程来判断两条直线的位置关系.解题时要注意分析斜率是否存在， 用一般式方程来判断，可以避免讨论斜率不存在的情况.例 2.已知两条直线 l ：ax －by ＋4＝0，l ：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求分别满足下列条件的 a 、b 1 2 的值.(1)直线 l 过点(－3，－1)，并且直线 l 与直线 l 垂直.1 1 2(2)直线 l 与直线 l 平行，并且坐标原点到 l 、l 的距离相等. 1 2 1 2 解.(1)∵l ⊥l ，∴a(a －1)＋(－b )· 1＝0. 1 2 即 a 2－a －b ＝0① 又点(－3，－1)在 l 上， 1 ∴－3a ＋b ＋4＝0.② 由①②解得 a ＝2，b ＝2. (2)∵l ∥l 且 l 的斜率为 1－a ，1 2 2 a a∴l 的斜率也存在， ＝1－a ，即 b ＝1－a .1 b 故 l 和 l 的方程可分别表示为 12 4a －1 l ∶(a －1)x ＋y ＋ ＝0， 1 a a l ：(a －1)x ＋y ＋ ＝0. 1－a 2 ∵原点到 l 与 l 的距离相等，1 2 －1 a2 3 a ∴4＝ ，解得 a ＝2 或 a ＝ . 1－aa 2 3＝2， ＝－2 ＝ ， a a 因此 或 bb ＝2. 跟踪演练 2.已知直线 l ：ax ＋2y ＋6＝0 和直线 l ：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0. 1 2 (1)试判断 l 与 l 是否平行； 1 2 (2)l ⊥l 时，求 a 的值. 1 2 解.(1)若 l ∥l ， 1 2 a －1－2×1＝0，a 则 a a 2－1－6×1≠0.∴a ＝－1.∴a ＝－1 时，l ∥l . 1 2 (2)当 l 的斜率不存在时，a ＝1. 2 则 l ：x ＝0，l ：x ＋2y ＋6＝0. 2 1 显然 l 与 l 不垂直. 1 2 当 l 斜率存在时，a ≠1. 2 1 a 2 则 k ＝ ，k ＝－ .1－a 2 11 a ∵l ⊥l ，∴k ·k ＝ · － ＝－1.2 1－a 1 2 1 2 2∴a ＝ .3题型三.直线与圆、圆与圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系是重点，切线问题更是重中之重，判断直线与圆的位置关系以几何法为主，解题时应充分利用圆的几何性质以简化解题过程.(2)解决圆与圆的位置关系的关键是抓住它的几何特征，利用两圆圆心距与两圆半径的和、差的绝对值的大小来确定两圆的位置关系，以及充分利用它的几何图形的形象直观性来分析问题.例3.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圆C：(x－4)212＋(y－5)2＝4.(1)若直线l过点A(4,0)，且被圆C截得的弦长为23，求直线l的方程；1(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l和l，它们分别与12圆C和圆C相交，且直线l被圆C截得的弦长与直线l被圆C截得的弦长相等，试求所121122有满足条件的点P的坐标.解.(1)由于直线x＝4与圆C不相交，所以直线l的斜率存在.设直线l的方程为y＝k(x－4)，1圆C的圆心到直线l的距离为d，因为直线l被圆C截得的弦长为23，所以d＝22－32 11|1－k－3－4|1＋k2＝1.由点到直线的距离公式得d＝＝1，从而k(24k＋7)＝0.724即k＝0或k＝－，所以直线l的方程为y＝0或7x＋24y－28＝0.(2)设点P(a，b)满足条件，不妨设直线l的方程为y－b＝k(x－a)，k≠0，则直线l的方程为12 1y－b＝－(x－a).因为圆C和圆C的半径相等，且直线l被圆C截得的弦长与直线l被圆k12112C截得的弦长相等，所以圆C的圆心到直线l的距离和圆C的圆心到直线l的距离相等，21122即15＋4－a－b|1－k－3－a－b|1＋k2k＝，1＋1k2整理得|1＋3k＋ak－b|＝|5k＋4－a－bk|，从而1＋3k＋ak－b＝5k＋4－a－bk或1＋3k＋ak－b＝－5k－4＋a＋bk，即(a＋b－2)k＝b－a＋3或(a－b＋8)k＝a＋b－5，因为k的取值范围有无穷多个，＋b－2＝0，－a＋3＝0a－b＋8＝0，a＋b－5＝0，a所以或b532a＝，a＝－，2解得或113b＝－b＝.22521313221这样点P只可能是点P，－或点P－，.22经检验点P和P满足题目条件.12跟踪演练3.已知圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l过点P(2,3)且与圆M交于A，B两点，且|AB|＝23，求直线l的方程.解.(1)当直线l存在斜率时，设直线l的方程为y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0.作示意图如图，作M C⊥AB于C.在Rt△M B C中，|BC|＝3，|MB|＝2，故|M C|＝|MB|2－|BC|2＝1，|k－1＋3－2k|由点到直线的距离公式得＝1，k2＋13解得k＝.4所以直线l的方程为3x－4y＋6＝0.(2)当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝2，且|AB|＝23，所以适合题意.综上所述，直线l的方程为3x－4y＋6＝0或x＝2.题型四.与圆有关的最值问题在解决有关直线与圆的最值和范围问题时，最常用的方法是函数法，把要求的最值或范围表示为某个变量的关系式，用函数或方程的知识，尤其是配方的方法求出最值或范围；除此之外，数形结合的思想方法也是一种重要方法，直接根据图形和题设条件，应用图形的直观位置关系得出要求的范围.例4.已知圆C：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)为圆C上任一点.y－2(1)求的最大值与最小值；x－1(2)求x－2y的最大值与最小值.解.(1)y－2x－1显然可以看作是点P(x，y)与点Q(1,2)连线的斜率.令x－1y－2＝k，如图所示，则其最大值、最小值分别是过点Q(1,2)的圆C的两条切线的斜率.对上式整理得kx－y－k＋2＝0，|－2k－k＋2|∴＝1，1＋k23±3∴k＝.4y－2x－3＋3，最小值是3－3.故1的最大值是44(2)令u＝x－2y，则u可视为一组平行线，当直线和圆C有公共点时，u的范围即可确定，且最值在直线与圆相切时取得.|－2－u|依题意，得＝1，解得u＝－2±5，5故x－2y的最大值是－2＋5，最小值是－2－5.跟踪演练4.当曲线y＝1＋4－x2与直线y＝k(x－2)＋4有两个相异交点时，实数k的取值范围是(..)5121334A.0，B.，53124512C.，D.，＋∞答案.C解析.曲线y＝1＋4－x2是以(0,1)为圆心，2为半径的半圆(如图)，直线y＝k(x－2)＋4是过定点(2,4)的直线.设切线PC的斜率为k，则切线PC的方程为y＝k(x－2)＋4，圆心(0,1)到直线PC的距离等00|－1＋4－2k|512于半径2，即0＝2，k＝.1＋k023直线PA的斜率为k＝.4151234所以，实数k的范围是<k≤.题型五.分类讨论思想分类讨论思想是中学数学的基本思想之一，其实质就是整体问题化为部分问题来解决，化成部分问题后，从而增加了题设的条件.在用二元二次方程表示圆时要分类讨论，在求直线的斜率问题时，用斜率表示直线方程时都要分类讨论.例5.已知直线l经过点P(－4，－3)，且被圆(x＋1)2＋(y＋2)＝25截得的弦长为8，求直线l的方程.2解.圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝25的圆心为(－1，－2)，半径r＝5.①当直线l的斜率不存在时，则l的方程为x＝－4，由题意可知直线x＝－4符合题意.②当直线l的斜率存在时，设其方程为y＋3＝k(x＋4)，即kx－y＋4k－3＝0.|－＋2＋4－3|k k 822＋由题意可知2＝52，1＋k243解得k＝－，即所求直线方程为4x＋3y＋25＝0.综上所述，满足题设的l的方程为x＝－4或4x＋3y＋25＝0.跟踪演练5.如图，已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l：x＋2y＋7＝0相切.过点B(－2,0)1的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是M N的中点，直线l与l相交于点P.1(1)求圆A的方程；(2)当|MN|＝219时，求直线l的方程.解.(1)设圆A的半径为R.由于圆A与直线l：x＋2y＋7＝0相切，1|－1＋4＋7|∴R＝＝25.5∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.(2)①当直线l与x轴垂直时，易知x＝－2符合题意；②当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为 y ＝k(x ＋2)，即 kx －y ＋2k ＝0.连接 A Q ，则 A Q ⊥M N.∵|M N|＝2 19，∴|AQ|＝ 20－19＝1，|k －2|3 4 则由|AQ|＝ ＝1，得 k ＝ . 2 k ＋1直线方程为 3x －4y ＋6＝0.综上，直线 l 的方程为 x ＝－2 或 3x －4y ＋6＝0.1.在平面解析几何中，用代数知识解决几何问题时应首先挖掘出几何图形的几何条件，把它 们进一步转化为代数方程之间的关系求解.2.关于对称问题，要充分利用“垂直平分”这个基本条件，“垂直”是指两个对称点的连线 与已知直线垂直，“平分”是指：两对称点连成线段的中点在已知直线上，可通过这两个条 件列方程组求解.3.涉及直线斜率问题时，应从斜率存在与不存在两方面考虑，防止漏掉情况.4.初中我们从平面几何的角度研究过圆的问题，本章则主要是利用圆的方程从代数角度研究 了圆的性质，如果我们能够将两者有机地结合起来解决圆的问题，将在处理圆的有关问题时 收到意想不到的效果.圆是非常特殊的几何图形，它既是中心对称图形又是轴对称图形，它的许多几何性质在解决 圆的问题时往往起到事半功倍的作用，所以在实际解题中常用几何法，充分结合圆的平面几 何性质.那么，我们来看经常使用圆的哪些几何性质：(1)圆的切线的性质：圆心到切线的距离等于半径；切点与圆心的连线垂直于切线；切线在 切点处的垂线一定经过圆心；圆心、圆外一点及该点所引切线的切点构成直角三角形的三个 顶点等等.(2)直线与圆相交的弦的有关性质：相交弦的中点与圆心的连线垂直于弦所在直线；弦的垂 直平分线(中垂线)一定经过圆心；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形的三边，满足 勾股定理.(3)与直径有关的几何性质：直径是圆的最长的弦；圆的对称轴一定经过圆心；直径所对的 圆周角是直角.。
高中数学 必修二 第二章 2.1 2.1.1课后练习题
第二章 2.1 2.1.1基础巩固一、选择题1．空间中，可以确定一个平面的条件是()A．两条直线B．一点和一条直线C．一个三角形D．三个点[答案] C2.如图所示，下列符号表示错误的是()A．l∈αB．P∉lC．l⊂αD．P∈α[答案] A[解析]观察图知：P∉l，P∈α，l⊂α，则l∈α是错误的．3．下面四个说法(其中A，B表示点，a表示直线，α表示平面)：①∵A⊂α，B⊂α，∴AB⊂α；②∵A∈α，B∉α，∴AB∉α；③∵A∉a，a⊂α，∴A∉α；④∵A∈a，a⊂α，∴A∈α.其中表述方式和推理都正确的命题的序号是()A．①④B．②③C．④D．③[答案] C[解析]①错，应写为A∈α，B∈α；②错，应写为AB⊄α；③错，推理错误，有可能A∈α；④推理与表述都正确．4.如图所示，平面α∩β＝l，A，B∈α，C∈β且C∉l，AB∩l＝R，设过A，B，C三点的平面为γ，则β∩γ等于()A．直线AC B．直线BCC．直线CR D．以上都不对[答案] C[解析]由C，R是平面β和γ的两个公共点，可知β∩γ＝CR.5．若一直线a在平面α内，则正确的图形是()[答案] A6．下图中正确表示两个相交平面的是()[答案] D[解析]A中无交线；B中不可见线没有画成虚线；C中虚、实线没按画图规则画，也不正确．D的画法正确．画两平面相交时，一定要画出交线，还要注意画图规则，不可见线一般应画成虚线，有时也可以不画．二、填空题7．已知如图，试用适当的符号表示下列点、直线和平面的关系：(1)点C与平面β：________.(2)点A与平面α：________.(3)直线AB与平面α：________.(4)直线CD与平面α：________.(5)平面α与平面β：________.[答案](1)C∉β(2)A∉α(3)AB∩α＝B(4)CD⊂α(5)α∩β＝BD8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列说法正确的是________(填序号)．(1)直线AC1在平面CC1B1B内．(2)设正方体ABCD与A1B1C1D1的中心分别为O，O1，则平面AA1C1C与平面BB1D1D 的交线为OO1.(3)由A，C1，B1确定的平面是ADC1B1.(4)由A，C1，B1确定的平面与由A，C1，D确定的平面是同一个平面．[答案](2)(3)(4)[解析](1)错误．如图所示，点A∉平面CC1B1B，所以直线AC1⊄平面CC1B1B．(2)正确．如图所示．因为O∈直线AC⊂平面AA1C1C，O∈直线BD⊂平面BB1D1D，O1∈直线A1C1⊂平面AA1C1C，O1∈直线B1D1⊂平面BB1D1D，所以平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1.(3)(4)都正确，因为AD∥B1C1且AD＝B1C1，所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以A，B1，C1，D共面．三、解答题9．求证：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内．[分析][解析]已知：AB∩AC＝A，AB∩BC＝B，AC∩BC＝C．求证：直线AB，BC，AC共面．证明：方法一：因为AC∩AB＝A，所以直线AB，AC可确定一个平面α.因为B∈AB，C ∈AC，所以B∈α，C∈α，故BC⊂α.因此直线AB，BC，AC都在平面α内，所以直线AB，BC，AC共面．方法二：因为A不在直线BC上，所以点A和直线BC可确定一个平面α.因为B∈BC，所以B∈α.又A∈α，同理AC⊂α，故直线AB，BC，AC共面．方法三：因为A，B，C三点不在同一条直线上，所以A，B，C三点可以确定一个平面α.因为A∈α，B∈α，所以AB⊂α，同理BC⊂α，AC⊂α，故直线AB，BC，AC共面．规律总结：1.利用公理2及三个推论，可以确定平面及平面的个数，公理中要求“不共线的三点”，推论1要求“平面外一点”，推论2要求“两条相交直线”，推论3要求“两条平行线”，因此对公理、推论的条件和结论必须理解清楚．2．对于证明几个点(或几条直线)共面的问题，在由其中几个点(或几条直线)确定一个平面后，只要再证明其他点(或直线)也在该平面内即可．10.如图所示，AB∥CD，AB∩α＝B，CD∩α＝D，AC∩α＝E.求证：B，E，D三点共线．[解析]∵AB∥CD，∴AB，CD共面，设为平面β，∴AC在平面β内，即E在平面β内．而AB∩α＝B，CD∩α＝D，AC∩α＝E，可知B，D，E为平面α与平面β的公共点，根据公理3可得，B，D，E三点共线．能力提升一、选择题1．(2015·天津武清月考)下列说法正确的是()A．两两相交的三条直线确定一个平面B．四边形确定一个平面C．梯形可以确定一个平面D．圆心和圆上两点确定一个平面[答案] C[解析]因为梯形的两腰是相交直线，所以根据确定平面的条件，梯形应确定一个平面．2．下列命题正确的是()A．两个平面如果有公共点，那么一定相交B．两个平面的公共点一定共线C．两个平面有3个公共点一定重合D．过空间任意三点，一定有一个平面[答案] D[解析]如果两个平面重合，则排除A、B；两个平面相交，则有一条交线，交线上任取3个点都是两个平面的公共点，故排除C；而D中的三点不论共线还是不共线，则一定能找到一个平面过这3个点．3．设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是()①P∈a，P∈α⇒a⊂α②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈bA．①②B．②③C．①④D．③④[答案] D[解析]当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，∴①错；a∩β＝P时，②错；如图∵a∥b，P∈b，∴P∉a，∴由直线a与点P确定唯一平面α，又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，∴β与α重合，∴b⊂α，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确，选D．4．如图，α∩β＝l，A∈α，C∈β，C∉l，直线AD∩l＝D，过A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ、β的交线必过()A．点A B．点BC．点C，但不过点D D．点C和点D[答案] D[解析]A、B、C确定的平面γ与直线BD和点C确定的平面重合，故C、D∈γ，且C、D∈β，故C，D在γ和β的交线上．二、填空题5．过同一点的4条直线中，任意3条都不在同一平面内，则这4条直线确定的平面的个数是________.[答案] 6[解析]如图．6.如图所示，A，B，C，D为不共面的四点，E，F，G，H分别在线段AB，BC，CD，DA上．(1)如果EH∩FG＝P，那么点P在直线________上．(2)如果EF∩GH＝Q，那么点Q在直线________上．[答案](1)BD(2)AC[解析](1)若EH∩FG＝P，那么点P∈平面ABD，P∈平面BCD，而平面ABD∩平面BCD ＝BD，所以P∈BD．(2)若EF∩GH＝Q，则点Q∈平面ABC，Q∈平面ACD，而平面ABC∩平面ACD＝AC，所以Q∈AC．三、解答题7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点，求证：(1)E 、C 、D 1、F 、四点共面； (2)CE 、D 1F 、DA 三线共点． [证明] (1)分别连结EF 、A1B 、D 1C ， ∵E 、F 分别是AB 和AA 1的中点， ∴EF ∥A 1B 且EF ＝12A 1B ．又∵A 1D 1綊B 1C 1綊BC ， ∴四边形A 1D 1CB 是平行四边形， ∴A 1B ∥CD 1，从而EF ∥CD 1. EF 与CD 1确定一个平面． ∴E 、F 、D 1、C 四点共面． (2)∵EF 綊12CD 1，∴直线D 1F 和CE 必相交．设D 1F ∩CE ＝P ， ∵D 1F ⊂平面AA 1D 1D ，P ∈D 1F ，∴P ∈平面AA 1D 1D ． 又CE ⊂平面ABCD ，P ∈EC ，∴P ∈平面ABCD ， 即P 是平面ABCD 与平面AA 1D 1D 的公共点． 而平面ABCD ∩平面AA 1D 1D ＝直线AD ，∴P ∈直线AD (公理3)，∴直线CE 、D 1F 、DA 三线共点．8．(2015·江苏淮安模拟)如图所示，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是AA 1，D 1C 1的中点，过D ，M ，N 三点的平面与正方体的下底面相交于直线l .(1)画出直线l 的位置；(2)设l ∩A 1B 1＝P ，求线段PB 1的长．[解析] (1)延长DM 交D 1A 1的延长线于E ，连接NE ，则NE 即为直线l 的位置．(2)∵M 为AA 1的中点，AD ∥ED 1， ∴AD ＝A 1E ＝A 1D 1＝a . ∵A 1P ∥D 1N ，且D 1N ＝12a ，∴A 1P ＝12D 1N ＝14a ，于是PB 1＝A 1B 1－A 1P ＝a －14a ＝34a .。
《新课程标准高中数学必修②复习讲义》第一、二章-立体几何
一、立体几何知识点归纳 第一章 空间几何体（一)空间几何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做顶点.旋转体--把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。
其中,这条定直线称为旋转体的轴。
（2）柱，锥,台，球的结构特征 1。
棱柱1。
1棱柱—-有两个面互相平行，其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
1。
2相关棱柱几何体系列(棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系： ①⎧⎪⎧−−−−−→⎨⎪−−−−−→⎨⎪⎪⎩底面是正多形棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱 底面为矩形侧棱与底面边长相等1.3①侧棱都相等,侧面是平行四边形;②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。
1。
4长方体的性质：①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和；【如图】222211AC AB AD AA =++②（了解)长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的三条棱所成的角分别是αβγ，，，那么222cos cos cos 1αβγ++=，222sin sin sin 2αβγ++=；③（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是αβγ，，,则，222sin sin sin 1αβγ++=222cos cos cos 2αβγ++=.1.5侧面展开图:正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形. 1.6面积、体积公式：2S c hS c h S S h=⋅=⋅+=⋅直棱柱侧直棱柱全底棱柱底，V （其中c 为底面周长,h 为棱柱的高)2.圆柱2。
1圆柱—-以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.2.2圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆;过轴的母线截面（轴截面）是全等的矩形.2。
高中数学必修2第二章点、线、面的位置关系知识点+习题+答案
D B A α 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； ] ]； a 来表 a a 线线平行 A ·α C ·B · A · α P· αLβ 共面直线p线面平行 面面平行 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行叫做垂足。
叫做垂足。
的垂线，则这两个ba第 3 页 共 3 页aa b a b //,a a a ÞþýüË^^1、性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
符号表示：符号表示：b a b a //,Þ^^a a 2、性质定理：一条直线与一个平行垂直，那么过这条直线的平面也与此平面垂直 符号表示：b a b a ^ÞÌ^a a ,2.3.4平面与平面垂直的性质1、性质定理：、性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
符号表示：b b a a b a ^Þïþïýü=^Ì^a l l a a ,2、性质定理：垂直于同一平面的直线和平面平行。
符号表示：符号表示：符号表示：一、异面直线所成的角一、异面直线所成的角1.已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ¢¢， 我们把a ¢与b ¢所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角。
所成的角。
2.角的取值范围：090q <£°；垂直时，异面直线当b a ,900=q二、直线与平面所成的角二、直线与平面所成的角1. 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条斜线和这个平面所成的角2.角的取值范围：°°££900q 。
三、两个半平面所成的角即二面角：三、两个半平面所成的角即二面角： 1、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
【人教A版】高中数学必修二第2章：2.3.1直线与平面垂直的判定(盐池高中)
垂足
平面 的垂线
l
直线 l 的垂面
P
对定义的认识
①“任何”表示所有.
②直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况，在 垂直时，直线与平面的交点叫做垂足.
③
等价于对任意的直线
，都有
利用定义，我们得到了判定线面垂直的最基本方法，同时 也得到了线面垂直的最基本的性质.
直线与平面垂直 除定义外，如何判断一条直线与平面垂直呢？
解析：(1)如图 23，∵PO⊥平面 ABC， ∴PA 、PB、PC 在平面 ABC 上的射影分别是 OA、OB、OC. 又∵PA ＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC. ∴O 是△ ABC 的外心．
图 23
图 24
(2)如图 24，∵PO⊥平面 ABC，
∴PA 在平面 ABC 上的射影是 OA.
∵BC⊥PA ，∴BC⊥OA. 同理可证 AC⊥OB， ∴O是△ ABC 的垂心．故填垂心．
4－1.P 为△ABC 所在平面外一点，O 为 P 在平面 ABC 上的 射影．
(1)若 PA ＝PB＝PC，则 O 是△ABC 的_外__心__； (2)若 PA ⊥BC，PB⊥AC，则 O 是△ABC 的_垂__心__； (3)若 P 到△ABC 三边的距离相等，且 O 在△ABC 内部，则 O 是△ABC 的_内__心___； (4)若 PA 、PB、PC 两两互相垂直，则 O 是△ABC 的垂__心___．
斜线与平面所成的角θ的取值范围 是：______________
线面所成的角 关键：过斜线上一点作平面的垂线
斜线
斜足
A α
射影
P
线面所成角 （锐角∠PAO）
O
1.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求: （1）A1C1与面ABCD所成的角 （2） A1C1与面BB1D1D所成的角
2020年高中数学第二章解析几何初步11.1直线的倾斜角和斜率课件北师大版必修2
【解析】 当 0°≤α＜135°时，l1 的倾斜角为 α＋45°；当 135°≤α＜180°时，如图．此时 l1 的倾斜角为 β，则
β＝α＋45°－180°＝α－135°. 【答案】 当 0°≤α＜135°时，倾斜角为 α＋45°，当 135°≤α ＜180°时，为 α－135°
【规律总结】 求倾斜角时，主要根据定义，画出图形，找 准倾斜角．有时需分类讨论，把角分为四类：①0°角；②锐角； ③直角；④90°＜α＜180°.
【错因分析】 (2)中求斜率 k 的取值范围时，未结合图形分 析 k 的变化趋势．
【正解】 (1)kPM＝－23－－11＝－4，kPN＝－ －23－ －11＝34.
(2)如图所示，l′是经过点 P 且与 x 轴垂直 的直线，当直线 l 由 PN 位置绕点 P 向 l′位置 旋转时，直线的倾斜角在锐角范围内逐渐增 大，斜率也逐渐增大，此时 k≥kPN＝34；当直 线 l 由 l′位置绕点 P 向直线 PM 位置旋转时，直线的倾斜角在钝角 范围内逐渐变大，斜率也逐渐增大，此时，k≤kPM＝－4.
5．已知 a>0，若平面上三点 A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3) 共线，求 a 的值．
解：∵kAB＝a2－2－－1 a＝a2＋a 存在， 又 A，B，C 三点共线，∴kAC＝a3－3－－1 a＝a3＋2 a也存在，且 kAB＝kAC，即 a2＋a＝a3＋2 a，整理得 a(a2－2a－1)＝0. 解得 a＝0 或 a＝1± 2.又∵a>0，∴a＝1＋ 2.
已知三点 A(a,2)，B(5,1)，C(－4,2a)在同一
直线上，求 a 的值． 解：∵kBC＝－2a4－－15＝－2a－ 9 1存在， 又 A，B，C 三点共线， ∴kAB 也存在，且 kAB＝kBC. 即－2a－ 9 1＝15－ －2a(a≠5)， ∴2a2－11a＋14＝0， 解得 a＝72或 a＝2.
人教A高中数学必修二2.2直线与平面平行的判定
典型例题
例1 求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于 经过另外两边所在的平面．
已知：空间四边形ABCD中， E，F分别AB，AD的中点．
求证：EF//平面BCD．
证明：连接BD.
AA EF
D
B
C
因为, E，F分别AB，AD的中点 所以 EF//BD（三角形中位线的性质）
因为 EF 平面BCD,BD 平面BCD
由直线与平面平行的判断定理得: EF//平面BCD.
随堂练习
1．如图，长方体 ABCD ABCD中，
（1）与AB平行的平面是 平面
平面
；
（2）与 AA平行的平面是平面
（3）与AD平行的平面是 平面
平面
；
平面
；
D A
D A
C B
C B
作业 P56 2
a
b
直线与平面平行判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该 直线与此平面平行．
a
图形语言
b
a
b
a //
a
// b
符号语言
证明直线与平面平行，三个条件必须具备，才能得 到线面平行的结论．
怎样判定直线与平面平行？
（1）定义法：证明直线与平面无公共点； （2）判定定理：证明平面外直线与平面内直线平 行．
直线与平面平行的判定
人教版高二数学必修2
复习引入
直线与平面有几种位置关系？ 有三种位置关系：在平面内，交、平行．
a
a A
a //
其中平行是一种非常重要的关系，不仅应用较多， 而且是学习平面和平面平行的基础．
怎样判定直线与平面平行呢？
根据定义，判定直线与平面是否平行，只需判定 直线与平面有没有公共点．但是，直线无限延长， 平面无限延展，如何保证直线与平面没有公共点呢？
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（1）l , m l m
对
（2） n, m , l m, l n, 错 l （3）l , m l//m （4）l //m , l m
对 对
3种问题
垂直问题
两个平面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线， 则这两个平面互相垂直
成角问题
正方体棱长为2，求二面角A-B’C-B的正切
解：取B’C的中点O，连AO，BO,
∵AB’=AC,所以AO⊥B’C,
AB tanAOB= = 2 BO 又因为是正方体，所以BO⊥B’C；
故∠AOB为所求二面角的平面角
3种问题
成角问题
二面角的计算：
1、找到或作出二面角的平面角 2、证明 1中的角就是所求的角
3种问题
平行问题
6、点A是平面外的一点，过A和 平面平行的直线有无数 条。
3种问题
线 线 垂 直
垂直问题
判定1 性质1
线 面 垂 直
判定2
性质2
面 面 垂 直
判定1：如果一条直线与平面内的2条相交直线垂直， 则这条直线和这个平面垂直 判定2：如果一个平面内经过另一个平面的垂线，则 这2个平面垂直
斜线与平面所成角 00 ,900
0 0
3种问题
判断
成角问题
①两平行线和同一平面所成的角相等 ②两条直线和同一平面所成的角相等，则这两条直线是平 行直线 ③一条直线和两个平行平面所成的角相等√×√ Nhomakorabea 3种问题
成角问题 （1）A1B与平面ABCD所成的角 ∠A1BA=45°
在正方体中，求
E
（2）A1B与平面BDD1B1所成的角 ∠A1EB=30°
3种问题
练习
平行问题
1.平行于同一平面的二直线的位置关系是( （A） 一定平行 （B） 平行或相交 （C） 相交 2 判断： （D） 平行，相交，异面
）
D
直线a∥平面α，则直线a平行于α内的任意直线
错
3种问题
平行问题
3、直线a//平面，那么直线a与平面内直线b的位 置关系是： （A） 平行
（B） 相交
共面直线
异面直线
没有公共 点 异面直线 不同在任何
一个平面内
3种关系 2个平面的位置关系
位置关系 两个平面平行 两个平面相交 定义 没有公共点 有一条公共直线 公共点个数 0个 无数
3种关系
直 线 和 平 面 的 位 置 关 系
练习 1、直线在平面α外，则二者的公共点个数是（ C ）
A.一个
B.至少一个
3种问题
线 线 垂 直
垂直问题
判定1 性质1
线 面 垂 直
判定2
性质2
面 面 垂 直
性质1：如果两条直线都与一个平面垂直，则这两条 直线平行 性质2：如果两个平面垂直，则在一个平面内与交线 垂直的直线垂直于另一个平面
3种问题
垂直问题
直线与平面垂直的判定定理
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直， 则直线与平面垂直。 L n, m , m与n相交， l l m, l n,
C.至多一个
D.无数个
2、两条直线没有公共点，则它们的关系是（ ） 平行或异面
3种问题
线 线 平 行
平行问题 判定1
线 面 平 行
判定2
性质1
面 面 平 行
性质2
判定1： 如果平面外一条直线与平面内的一条直线平 行，则这条直线和这个平面平行。 判定2：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平 面平行，则这2个平面平行
性质定理 1、如果直线和平面垂直，则直线垂直面内的任意直线 2、如果两条直线都和某平面垂直，则这两直线平行
3种问题
垂直问题 1、勾股定理 2、等腰（边）三角形底边 上的中线与底边垂直 3、正（长）方形的特点 4、直径对的圆周角为90度 两条平行线中的一条与 某直线，则另一条也垂 直于该直线 直线a与平面α垂直，则a 垂直于α内的任意直线）
成角问题
二面角的平面角 以二面角的棱上任意一点为O端点, 在两个面内 分别作垂直于棱的两条射线OA,OB, 这两条射线所成 的∠AOB叫做二面角的平面角,求二面角即求其平面角
B
C
α
二面角的范围是[0,π]
平面角的特征 （1）顶点在棱上； （2）两条边分别在2个平 面内，且均垂直于棱；
O
D
A
β
3种问题
3种问题
成角问题 正三棱柱，AC=1,A’A=2,求A’C与平 面ABB’A’成的角的正弦 解：取A’B’的中点为D,则C’D垂直 于平面ABB’A’,角C’AD为所求的角
F
3 C'D 15 2 sinC'AD= AC' 10 5
G
E
3种问题
3、二面角
成角问题
3种问题
成角问题
3种问题
A
O
B
3种问题
垂直问题 四边形ABCD是平行四边形，直线SC⊥平面ABCD，E是 SA的中点， 求证：平面EBD⊥平面ABCD.
证明：连接AC，BD，交点为F， 连接EF，EF是△SAC的中位线， ∴ EF//SC. 直线EF⊥平面ABCD 直线EF在平面EBD内 E D 故平面EBD⊥平面ABCD
β
A D
B
AB β AB
αβ
线⊥面得到面⊥面
C
α
3种问题
典型例题
垂直问题 在正方体ABCD－A1B1C1D1中， 求证： 平面ACC1 A1 平面A1BD
C1 B1
D1 A1 D
证明：因为是正方体，所以 AC⊥BD，
C
又AA1⊥平面ABCD，故AA1⊥BD，
因为AC∩BD=O, 所以BD⊥平面ACC1A1 故命题得证
（C） 平行或相交 （D） 平行或异面
4种问题
平行问题 A
4、空间四边形ABCD中E，F，G， H分别是各边中点。则图中与面 EFGH平行的边有 （ B ）条。 （A）1 （B）2 （C）0 （D）4 B
E
H D
F C G
4种问题
平行问题
5、平行于同一平面的二直线的位置关系是 （ D ）
（A） 一定平行 （B） 平行或相交 （C） 相交 （D） 平行，相交，异面
3种问题
线 线 平 行
平行问题 判定1
线 面 平 行
判定2
性质1
面 面 平 行
性质2
性质1： 如果直线a与平面α平行，若经过a的平面β与α 的交线为b，则a∥b 性质2：如果2个平面平行，则它们被第三个平面所截 得的两条交线平行
3种问题
平行问题
直线与平面平行的判定定理
如果平面外一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线和 这个平面平行。
a α b
a
a // b b a // a
注意3个条件要写全
线∥线的证明是关键！
3种问题
平行问题
如何证明两条直线平行？
(1)利用三角形的中位线; (3)平行的传递性 (2)利用平行四边形；
平行的传递性：
a∥ b， a∥ c，则b∥ c
3种问题
平行问题
如何证明一个四边形是平行四边形？
3种问题
成角问题
2、四棱柱
ABCD A1 B1C1 D1中
AA1 2, AB BC 1
求异面直线A1B与AD1所成的角的余弦
4 5
3种问题
成角问题
正方体中，E,M为所在棱中点，求AE与BM所成角的余弦
A1F=A1E= 5a，EF= 2a， ( 5a) 2 +( 5a) 2 -( 2a) 2 4 由余弦定理cosEAF= = 5 2 5a 5a
平面几何的方法 线 线 垂 直 立体几何的方法
3种问题
典型例题
垂直问题
在正方体AC1中，O为下底面的中心，
求证：AC⊥面D1B1BD 证明：
∵ABCD为正方形，所以ACBD,
又因为在正方体中，BB1⊥平面 ABCD，所以AC BB1, 又BD∩BB1=B,
故AC⊥面D1B1BD
3种问题
判断
垂直问题
3种问题
成角问题
（2）线面角---直线和平面所成的角
l 直线L是的斜线时, 作AB⊥α于B，
直线L与平面α的交点是O
∠AOB（锐角）即为 l 与所成的角
A
l
O
B
3种问题
成角问题
0
l 或l // 时, l与a 所成角为0 0 l 时, l与a 所成角为90
注意:
直线与平面所成角 0 ,90
3、计算出此角的大小(往往要用锐角的
三角函数或余弦定理）
一“作”二“证”三“计算”
A F B C S
3种问题
成角问题
（1）两条异面直线成的角 将两条异面直线平移为相交直线，所成的不大于 90°的角即为二者所成的角 a b
（1）作，作出所求的角；
（2）证明该角是所求；
（3）在三角形中计算该角 的大小或用余弦定理计算余 弦；
若异面直线a，b成的角为直角，则称a垂直b，记 为 a⊥ b
3种问题
成角问题
例 正方形ABCD－A1B1C1D1．求： （1）A1B与CC1所成的角是多少度？ BB1∥CC1,所以∠A1BB1为所求， 大小为45° （2）A1B1与CC1所成的角是多少度？ BB1∥CC1,所以∠A1B1B为所求， 大小为90° （3）A1B与B1C所成的角是多少度？ A1B∥D1C,所以∠D1CB1为所求，易 知△D1B1C为正三角形，故所求角大 小为60°
在求解异面直线所成的角时有时需要用到 余弦定理 △ABC中，