第5章 数字滤波器基本结构

第5章数字滤波器的基本结构5.1 数字滤波器的结构特点与表示方法5.2 IIR滤波器的结构5.3 FIR滤波器的结构5.2 IIR滤波器的结构5.2.1 直接型直接型（（Ⅰ型）一个N阶的IIR滤波器的输入输出关系可以用如式（5-1）所示的N阶的差分方程来描述。

把式（5-1）重写如下：∑∑= =−+−=Ni iMiiinyanxbny1) ()1()(从这个差分方程表达式直接可以看出，系统的输出y (n )由两部分构成：第一部分是一个对输入x (n )的M 阶延时链结构，每阶延时抽头后加权相加，构成一个横向结构网络。

第二部分是一个对输出y (n )的N 阶延时链的横向结构网络，是由输出到输入的反馈网络。

由这两部分相加构成输出，取M =N （当然M 可不等于N ）可得结构图如图5-2。

从图上可以看出，直接Ⅰ型结构需要2N 个延时器和2N +1个乘法器（M=N 情形下）。

)(0i n x b Mi i −∑=)(1i n y a Ni i −∑=图5-2 直接Ⅰ型结构z －1z －1z －1…b N －1bNb2b1b 0x (n )x (n －1)x (n －2)x (n －N )z －1z －1z －1…a N －1a N a 2a 1y (n )y (n －1)y (n －2)y (n －N )…………5.2.2 直接直接ⅡⅡ型直接Ⅱ型结构又称为典范型结构。

由图5-2，直接Ⅰ型结构的系统函数H(z)也可以看成是两个独立的系统函数的乘积。

输入信号x(n)先通过系统H1(z)，得到中间输出变量y 1(n)，然后再把y1(n)通过系统H2(z)得到输出信号y(n)。

即∑∑=−=−−==NiiiMiiizazbzHzHzH1211)()()(式中,∑=−=Mi ii zb z H 01)(对应的差分方程为:∑∑=−=−=−=Ni ii Mi i za z H i n xb n y 120111)()()(对应的差分方程为)()()(11n y i n y a n y Ni i +−=∑=假设所讨论的IIR 数字滤波器是线性非时变系统，显然交换H 1(z )和H 2(z )的级联次序不会影响系统的传输效果，即)()()()()(1221z H z H z H z H z H ==若系统函数H (z )的分子阶数和分母阶数相等，即M=N （当然二者同样可以不相等）时，其结构如图5-3所示。

输入信号x (n )先经过反馈网络H 2(z )，得到中间输出变量)()()(122n x i n y a n y Ni i +−=∑=然后，将y 2(n )通过系统H 1(z )，得到系统的输出y (n ))()(02i n y b n y Mi i −=∑=结构图5-3中有两条完全相同的对中间变量y(n)进行延2迟的延时链，我们可以合并这两条延时链，得到如图5-4所示的直接Ⅱ型结构（图中取M=N）。

比较图5-2和图5-4可知: 直接Ⅱ型比直接Ⅰ型结构延时单元少，用硬件实现可以节省寄存器，比直接Ⅰ型经济；若用软件实现则可节省存储单元。

但对于高阶系统直接型结构都存在调整零、极点困难，对系数量化效应敏感度高等缺点。

图5-3 直接Ⅰ型的变形结构z －1z －1z －1…a N －1a Na 2a 1z －1z －1z －1…b N －1bNb2b10y 2(n )y 2(n －1)y 2(n －2)y 2(n －N )…………图5-4 直接Ⅱ型结构z －1z －1z －1…a N －1a Na 2a 1…b N －1b Nb 2b 10………5.2.3 级联型若把式(5-2)描述的N 阶IIR 滤波器的系统函数H (z )的分子和分母分别进行因式分解，得到多个因式连乘积的形式∏∏∑∑=−=−=−=−−−=−=Ni iM i iN i ii Mi ii zd zc Aza zb z H 11111)1()1(1)((5-4)式中：A 为常数，c i 和d i 分别表示H (z )的零点和极点。

若H (z )的分子和分母都是实系数多项式，而实系数多项式的根只有实根和共轭复根两种情况。

将每一对共轭零点（极点）合并起来构成一个实系数的二阶因子，并把单个的实根因子看成是二次项系数等于零的二阶因子，或者将两个实系数的一阶因子组合成一个二阶因子，则可以把H (z )表示成多个实系数的二阶数字网络H j (z )的连乘积形式，如式(5-5)所示:∏==Kj j z H A z H 1)()((5-5)式中：2211221101)(−−−−−−++=zz zz z H j j j j j j ααβββ若每一个实系数的二阶数字网络的系统函数H j (z )的网络结构均采用前面介绍的直接Ⅱ型结构，则可以得到系统函数H (z )的级联型结构，如图5-5所示。

图5-5 级联型结构x (n )y (n )z －1z －1α11α21β11β21β01……z －1z －1α1Kα2Kβ1K β2Kβ0KA在级联型结构中，每一个一阶网络只关系到滤波器的一个零点、一个极点；每个二阶网络只关系到滤波器的一对共轭零点和一对共轭极点。

调整系数β0j 、β1j和β2j只会影响滤波器的第j对零点，对其他零点并无影响；同样, 调整分母多项式的系数α1j 和α2j也只单独调整了第j对极点。

因此，与直接型结构相比，级联型结构便于准确地实现滤波器零、极点的调整。

此外，因为在级联结构中，后面的网络的输出不会流到前面，所以其运算误差也比直接型小。

5.2.4 并联型把传递函数H (z )展开成部分分式之和的形式，就可以得到滤波器的并联型结构。

∑∑∑∑∑−=−=−−−=−=−=−+−−−+−=−=N M k kkN k k k k k N k k k N k kk Mk kkzGz d z d z g B z c A za zbz H 011*11111021)1)(1()1(11)(这一公式是最一般的表达式。

公式中N=N 1+2N 2。

当M 〈N 时，上述公式中不包含最后一个求和项；如果M=N ，则上述公式中的最后一个求和项变为G 0一项。

一般IIR 滤波器都满足M 小于或等于N 的条件，则在该条件下，系统是由N 1个一阶子系统、N 2个二阶子系统等并联组成的，而这些子系统都可以采用典范性结构来实现。

当M=N 时，其表达式可进一步写成公式（5-6），其中A 0=G 0,p i =c i ,E=N 1,F=N 2。

∑∑=−−−=−−−++−+=Fi i i i i Ei i izz z z p A A z H 1221111011011)(ααγγ(5-6)由式（5-6）知，滤波器可由N1个一阶网络、N2个二阶网络和一个常数支路并联构成，其结构如图5-6所示。

并联型结构也可以单独调整极点位置，但对于零点的调整却不如级联型方便，而且当滤波器的阶数较高时，部分分式展开比较麻烦。

在运算误差方面，由于各基本网络间的误差互不影响，没有误差积累，因此比直接型和级联型误差稍小一点。

图5-6 并联型结构…x (n )α11z －1α21z－1γ01γ11α1F z －1α2Fz －1γ0F γ1F…z －1A 1p 1y (n除了以上一些基本结构外，还有一些其他结构，这取决于线性信号流图理论中的多种运算处理方法。

当然各种流图都保持输入到输出的传输关系不变，即H（Z）不变。

其中有一种方法称为流图的转置，这种方法是利用了流图的如下转置定理：转置定理：若将线性移不变网络中的所有支路方向倒转，转置定理并将输入x(n)和输出y(n)相互交换，则其系统函数H（Z）不改变。

5.3 FIR 滤波器的结构5.3.1 直接型直接型 设FIR 数字滤波器的单位脉冲响应h (n )的长度为N ，其传递函数和差分方程分别为:∑−=−=10)()(N n nzn h z H (5-7)∑−=−=1)()()(N m m n x m h n y (5-8)根据式（5-7）或式（5-8）可直接画出如图5-7所示的 FIR 滤波器的直接型结构。

由于该结构利用输入信号x (n )和滤波器单位脉冲响应h (n )的线性卷积来描述输出信号y (n )，所以FIR 滤波器的直接型结构又称为卷积型结构，有时也称为横截型结构。

当然也可以利用转置定理来获得转置型直接结构。

图5-7 FIR 的直接型结构z －1x (n )h (0)h (1)z －1h (2)……h (N －3)z －1h (N －2)z －1h (N －1)y (n )5.3.2 级联型当需要控制系统传输零点时，将传递函数H (z )分解成二阶实系数因子的形式：∑∏−==−−−++==10122110)()()(N n Mi i i i nz a z a a z n h z H 图5-8 FIR 的级联型结构x (n )y (n )z －1z －1a 11a 21a 01……z －1z －1a 12a 22a 02z －1z －1a 1Ma 2Ma 0M。