2019版高中人版B版数学必修4练习：1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算
高中数学新人教B版必修4 弧度制和弧度制与角度制的换算
1．1.2弧度制和弧度制与角度制的换算(1)1弧度的角是如何定义的？(2)如何求角α的弧度数？(3)如何进行弧度与角度的换算？(4)以弧度为单位的扇形弧长、面积公式是什么？[新知初探]1．度量角的两种制度(1)角度制：①定义：用度作单位来度量角的制度．②1度的角：把圆周360等分，则其中1份所对的圆心角是1度．(2)弧度制：①定义：以弧度为单位来度量角的制度．②1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角．③弧度数的计算公式：在半径为r的圆中，若弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，则α＝lr.[点睛]用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两个字可以省略不写，如2 rad的单位“rad”可省略不写，只写2.2．角度与弧度的互化(1)180°＝π rad.(2)常用的角度数与弧度数的互化：[点睛](1)在应用扇形面积公式S＝12αr2时，要注意α的单位是“弧度”．(2)在运用公式时，根据已知条件，选择合适的公式代入．(3)在弧度制下的扇形面积公式S ＝12lr ，与三角形面积公式S ＝12ah (其中h 是三角形底边a 上的高)的形式较相似，可类比记忆．(4)由α，r ，l ，S 中任意的两个量可以求出另外的两个量．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)1弧度＝1°.( )(2)每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应．( ) (3)用弧度制度量角，与圆的半径长短有关．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)×2．5弧度的角的终边所在的象限为( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案：D3．半径为1，圆心角为2π3的扇形的弧长是( )A.4π3 B ．π C.2π3 D.π3答案：C4．(1)2π3＝________；(2)－210°＝________.答案：(1)120° (2)－7π6[典例] 把下列角度化成弧度或弧度化成角度： (1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－2π9. [解] (1)72°＝72×π180＝2π5. (2)－300°＝－300×π180＝－5π3. (3)2＝2×⎝⎛⎭⎫180π°＝⎝⎛⎭⎫360π°.(4)－2π9＝－⎝⎛⎭⎫2π9×180π°＝－40°.角度与弧度的互化技巧在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad ＝180°是关键，由它可以得到：度数×π180＝弧度数，弧度数×180°π＝度数．[活学活用]将下列角度与弧度进行互化： (1)5116π；(2)－7π12；(3)10°；(4)－855°.解：(1)5116π＝5116×180°＝15 330°.(2)－7π12＝－712×180°＝－105°. (3)10°＝10×π180＝π18. (4)－855°＝－855×π180＝－19π4.用弧度制表示终边相同的角[典例] 已知角α＝－2 018°.(1)将α改写成φ＋2k π(k ∈Z,0≤φ＜2π)的形式，并指出α是第几象限角； (2)在区间[－2π，4π)上找出与α终边相同的角．[解] (1)因为α＝－2 018°＝－6×360°＋142°，且142°＝142×π180＝71π90， 所以α＝－12π＋71π90，故α是第二象限角． (2)与α终边相同的角可表示为θ＝2k π＋71π90，k ∈Z ， 又－2π≤θ＜4π，所以k ＝－1,0,1， 将k 的值分别代入θ＝2k π＋71π90，k ∈Z ， 得θ＝－109π90，71π90，251π90.用弧度制表示终边相同的角2k π＋α(k ∈Z)时，其中2k π是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．[活学活用]1．将－1 125°表示成2k π＋α，0≤α<2π，k ∈Z 的形式为________． 解析：因为－1 125°＝－4×360°＋315°， 315°＝315×π180＝7π4， 所以－1 125°＝－8π＋7π4. 答案：－8π＋7π42．用弧度表示终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合．解：如题图，330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度，即－π6，而75°＝75×π180＝5π12， ∴终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为⎩⎨⎧θ⎪⎪⎭⎬⎫2k π－π6<θ<2k π＋5π12，k ∈Z .1．已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为2π3.求：(1)这个圆心角所对的弧长； (2)这个扇形的面积．解：(1)因为扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为2π3，所以半径r ＝1sin π3＝233， 所以这个圆心角所对的弧长l ＝233×2π3＝43π9. (2)由(1)得扇形的面积S ＝12×233×43π9＝4π9.题点二：利用公式求半径和弧度数2．扇形OAB 的面积是4 cm 2，它的周长是8 cm ，求扇形的半径和圆心角． 解：设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l cm ，半径为r cm ， 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝8， ①12l ·r ＝4， ②由①②，得r ＝2，∴l ＝8－2r ＝4，θ＝lr ＝2.故所求扇形的半径为2、圆心角为2 rad. 题点三：利用公式求扇形面积的最值3．已知扇形的周长是30 cm ，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解：设扇形的圆心角为α(0<α<2π)，半径为r ，面积为S ，弧长为l ，则l ＋2r ＝30，故l ＝30－2r ，从而S ＝12lr ＝12(30－2r )r ＝－r 2＋15r ＝－⎝⎛⎭⎫r －1522＋2254⎝⎛⎭⎫15π＋1<r <15， 所以，当r ＝152 cm 时，α＝2，扇形面积最大，最大面积为2254cm 2.弧度制下涉及扇形问题的攻略(1)明确弧度制下扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，r 是扇形的半径，α是扇形的圆心角)．(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．[提醒] 运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是α为弧度．层级一 学业水平达标1．下列说法中，错误的是( )A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12πC ．1 rad 的角比1°的角要大D ．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关解析：选D 由角度制和弧度制的定义，知A 、B 、C 说法正确．用弧度制度量角时，角的大小与所对圆弧长与半径的比有关，而与圆的半径无关，故D 说法错误．2．扇形的周长是16，圆心角是2弧度，则扇形的面积是( ) A ．16π B ．32π C ．16D ．32解析：选C 弧长l ＝2r,4r ＝16，r ＝4，得l ＝8， 即S ＝12lr ＝16.3．角α的终边落在区间⎝⎛⎭⎫－3π，－5π2内，则角α所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C －3π的终边在x 轴的非正半轴上，－5π2的终边在y 轴的非正半轴上，故角α为第三象限角．4．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为( ) A.143π B ．－143π C.718π D ．－718π 解析：选B 显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了73周，转过的弧度为－73×2π＝－143π.5．下列表示中不正确的是( )A ．终边在x 轴上的角的集合是{α|α＝k π，k ∈Z}B ．终边在y 轴上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝π2＋k π，k ∈ZC ．终边在坐标轴上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k ·π2，k ∈Z D ．终边在直线y ＝x 上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝π4＋2k π，k ∈Z解析：选D 终边在直线y ＝x 上的角的集合应是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝π4＋k π，k ∈Z .6．－135°化为弧度为________，11π3化为角度为________． 解析：－135°＝－135×π180＝－34π，113π＝113×180°＝660°. 答案：－34π 660°7．扇形的半径是6，圆心角是60°，则该扇形的面积为________． 解析：60°＝π3，扇形的面积公式为S 扇形＝12αr 2＝12×π3×(6)2＝π.答案：π8．设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π2－π3，k ∈Z ，N ＝{α|－π<α<π}，则M ∩N ＝________.解析：由－π<k π2－π3<π，得－43<k <83.∵k ∈Z ，∴k ＝－1,0,1,2， ∴M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－56π，－π3，π6，23π.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－56π，－π3，π6，23π9．一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数． 解：设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4. 根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12l ·R .联立⎩⎪⎨⎪⎧2R ＋l ＝4，12l ·R ＝1，解得R ＝1，l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2.10．把下列各角化成2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z)的形式，并指出是第几象限角． (1)－1 500°；(2)236π；(3)－4.解：(1)∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－10π＋5π3， ∴－1 500°与5π3终边相同，是第四象限角．(2)∵236π＝2π＋116π，∴236π与116π终边相同，是第四象限角．(3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角．层级二 应试能力达标1．下列转化结果错误的是( ) A ．60°化成弧度是π3B ．－103π化成度是－600° C ．－150°化成弧度是－76πD.π12化成度是15° 解析：选C 对于A,60°＝60×π180＝π3；对于B ，－103π＝－103×180°＝－600°；对于C ，－150°＝－150×π180＝－56π；对于D ，π12＝112×180°＝15°.故C 错误．2．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中角的终边所在的范围(阴影部分)是( )解析：选C 当k ＝2m ，m ∈Z 时，2m π＋π4≤α≤2m π＋π2，m ∈Z ；当k ＝2m ＋1，m ∈Z 时，2m π＋5π4≤α≤2m π＋3π2，m ∈Z ，所以选C.3．若角α与角x ＋π4有相同的终边，角β与角x －π4有相同的终边，那么α与β间的关系为( )A ．α＋β＝0B ．α－β＝0C ．α＋β＝2k π(k ∈Z)D ．α－β＝π2＋2k π(k ∈Z)解析：选D ∵α＝x ＋π4＋2k 1π(k 1∈Z)，β＝x －π4＋2k 2π(k 2∈Z)，∴α－β＝π2＋2(k 1－k 2)·π(k 1∈Z ，k 2∈Z)．∵k 1∈Z ，k 2∈Z ，∴k 1－k 2∈Z. ∴α－β＝π2＋2k π(k ∈Z)．4.已知某机械采用齿轮传动，由主动轮M 带着从动轮N 转动(如图所示)，设主动轮M 的直径为150 mm ，从动轮N 的直径为300 mm ，若主动轮M 顺时针旋转π2，则从动轮N 逆时针旋转( )A.π8B.π4C.π2D ．π解析：选B 设从动轮N 逆时针旋转θ rad ，由题意，知主动轮M 与从动轮N 转动的弧长相等，所以1502×π2＝3002×θ，解得θ＝π4，选B.5．若角α的终边与85π角的终边相同，则在[0,2π]上，终边与α4角的终边相同的角是____________．解析：由题意，得α＝8π5＋2k π(k ∈Z)，∴α4＝2π5＋k π2(k ∈Z)．令k ＝0,1,2,3，得α4＝2π5，9π10，7π5，19π10.答案：2π5，9π10，7π5，19π106．圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的________．解析：设原来圆的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，则l ＝αr .设将圆的半径变为原来的3倍后圆心角为α1，则α1＝l 3r ＝αr 3r ＝α3，故α1α＝13.答案：137．已知α＝1 690°.(1)把α写成2k π＋β(k ∈Z ，β∈[0,2π))的形式； (2)求θ，使θ与α终边相同，且θ∈(－4π，4π)． 解：(1)1 690°＝4×360°＋250°＝4×2π＋2518π. (2)∵θ与α终边相同，∴θ＝2k π＋2518π(k ∈Z)． 又θ∈(－4π，4π)，∴－4π<2k π＋2518π<4π(k ∈Z)．解得－9736<k <4736(k ∈Z)，∴k ＝－2，－1,0,1.∴θ的值是－4718π，－1118π，2518π，6118π.8.如图，已知在半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10. (1)求弦AB 所对的圆心角α的大小； (2)求α所对的弧的长度l 及阴影部分的面积S . 解：(1)由于圆O 的半径为10，弦AB 的长为10， 所以△AOB 为等边三角形，∠AOB ＝π3，所以α＝π3.(2)因为α＝π3，所以l ＝α·r ＝10π3.S 扇＝12lr ＝12×10π3×10＝50π3，又S △AOB ＝12×10×53＝253，所以S ＝S 扇－S △AOB ＝50π3－253＝50⎝⎛⎭⎫π3－32.。
高一数学人教b版必修4精练：1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算 含解析
第一章 1.1 1.1.2一、选择题1．已知α＝－2，则角α的终边所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限[答案] C[解析] ∵1 rad ＝(180π)°，∴α＝－2 rad ＝－(360π)°≈－114.6°，故角α的终边所在的象限是第三象限角．2．与－13π3终边相同的角的集合是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－π3B ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫5π3 C ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|α＝2k π＋π3，k ∈Z D ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|α＝2k π＋5π3，k ∈Z[答案] D [解析] 与－13π3终边相同的角α＝2k π－13π3，k ∈Z ， ∴α＝(2k －6)π＋6π－13π3＝(2k －6)π＋5π3，(k ∈Z)． 3．扇形周长为6 cm ，面积为2 cm 2，则其圆心角的弧度数是( ) A ．1或4 B ．1或2 C ．2或4 D ．1或5[答案] A[解析] 设扇形的半径为r ，圆心角为α，根据题意得⎩⎨⎧2r ＋r α＝612αr 2＝2，解得α＝1或4.4．已知集合A ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z}，B ＝{α|－4≤α≤4}，则A ∩B＝( )A ．∅B ．{α|0≤α≤π|C ．{α|－4≤α≤4|D ．{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π} [答案] D[解析] k ≤－2或k ≥1时A ∩B ＝∅；k ＝－1时A ∩B ＝[－4，－π]；k ＝0时，A ∩B ＝[0，π]；故A ∩B ＝[－4，－π]∪[0，π]．故选D ．5．一条弧所对的圆心角是2 rad ，它所对的弦长为2，则这条弧的长是( ) A ．1sin1 B ．1sin2 C ．2sin1D ．2sin2[答案] C[解析] 所在圆的半径为r ＝1sin1，弧长为2×1sin1＝2sin1.6．如图中，圆的半径为5，圆内阴影部分的面积是( )A ．175π36B ．125π18C ．75π18D ．34π9[答案] A [解析] 40°＝40×π180＝2π9，30°＝30×π180＝π6， ∴S ＝12r 2·2π9＋12r 2·π6＝175π36.二、填空题7．已知一扇形的周长为π3＋4，半径r ＝2，则扇形的圆心角为________．[答案] π6[解析] 设扇形的圆心角为α，则π3＋4＝2r＋2α，又∵r＝2，∴α＝π6.8．正n边形的一个内角的弧度数等于__________．[答案] (n－2)nπ[解析] ∵正n边形的内角和为(n－2)π，∴一个内角的弧度数是(n－2)πn.三、解答题9．如果角α与x＋π4终边相同，角β与x－π4终边相同，试求α－β的表达式．[解析] 由题意知α＝2nπ＋x＋π4(n∈Z)，β＝2mπ＋x－π4(m∈Z)，∴α－β＝2(n－m)π＋π2，即α－β＝2kπ＋π2(k∈Z)．10．设集合A＝{α|α＝32kπ，k∈Z}，B＝{β|β＝53kπ，|k|≤10，k∈Z}，求与A∩B的角终边相同的角的集合．[解析] 设α0∈A∩B，则α∈A且α∈B，所以α0＝32k1π，α＝53k2π，所以32k1π＝53k2π，即k1＝109k2.因为|k2|≤10，k2∈Z，且k1∈Z，所以k1＝0，±10.因此A∩B＝{0，－15π，15π}，故与A∩B的角的终边相同的角的集合为{γ|γ＝2kπ或γ＝(2k＋1)π，k∈Z}＝{γ|γ＝nπ，n∈Z}．。
高中数学人教B版必修4 1.1 同步练习 《弧度制和弧度制与角度制的换算》(人教)
《弧度制和弧度制与角度制的换算》同步练习1、若α是第四象限角，则απ-是（ ）。
A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角2、若α＝－3，则角α的终边在（ ）。
A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3、求值：1333-tansin cos πππ·· 等于（ ）。
A ．14 B ．34 C ．12 D ．324、下列各组角中，终边相同的角是（ ）。
A ．π2k 与)(2Z k k ∈+ππ B ．)(3k 3Z k k ∈±πππ与 C ．ππ)14()12(±+k k 与 )(Z k ∈ D ．)(66Z k k k ∈±+ππππ与5、若角α与角β的终边关于y 轴对称，则（ ）。
A ．B ．C ．D ． 6、集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==Z k k A ,6παα与⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z n n B ,63ππββ的关系是（ ）。
A 、B A ⊂ B 、B A ⊃ C 、B A = D 、B A ⊆7、已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（ ）。
A ．2B ．1sin 2C ．1sin 2D ．2sin8、某扇形的面积为12cm ，它的周长为4cm ，那么该扇形圆心角的度数为（ ）。
A ．2°B ．2C ．4°D ．49、一个半径为R 的扇形，它的周长是4R ，则这个扇形所含弓形的面积是（ ）。
2222)1cos 1sin D.(1 21.1cos 1sin 21B. )1cos 1sin 2(21A R R C R R -- 10、下列命题中，正确的命题是（ ）。
A ．若两扇形面积的比是1∶4，则两扇形弧长的比是1∶2。
B ．若扇形的弧长一定，则面积存在最大值。
C ．若扇形的面积一定，则弧长存在最小值。
D ．任意角的集合可以与实数集R 之间建立一种一一对应关系。
2018-2019版高中数学人教B版必修四课件：1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
28
α＋β＝1， 则 π α－β＝180， 1 π 1 π 解得 α＝2＋360，β＝2－360.
25
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
1 2 3 4
3 11 －4π 4.把－ 4 π 表示成 θ＋2kπ(k∈Z)的形式， 使|θ|最小的 θ 值是________.
3 11 解析 － 4 π＝－2π＋－4π 3 ＝2×(－1)π＋－4π.
扇形的弧长及面积公式的应用
例3 一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数. 解 设扇形的半径为R，弧长为l，则2R＋l＝4，
1 ∴l＝4－2R，根据扇形面积公式 S＝2lR， 1 得 1＝2(4－2R)· R， l 2 ∴R＝1，∴l＝2，∴α＝R＝1＝2，
即扇形的圆心角为2 rad.
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
20
规律方法
1 (1)联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：一是 S＝2
1 2 lr＝2|α|r ，二是 l＝|α|r，如果已知其中两个，就可以求出另一个. (2)当扇形周长一定时，其面积有最大值，最大值的求法是把面积 S 转化为半径 r 的函数.
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
21
跟踪演练3 A.40π cm2
l 的弧度数的绝对值是|α|＝ r .
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
7
2.角度制与弧度制的换算
(1) 角度化弧度 360°＝ 2π rad 弧度化角度 2π rad＝ 360°
180°＝ π rad
π rad＝ 180°
1 rad＝
180 ° π ≈57.30°
π 1°＝ 180 rad≈0.017 45 rad
人教B版高一数学(必修4)导学案：1.1.2弧度制和弧度制和角度制的换算(无答案)
2.集合 等于（）
A.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱB. C. D.
3.已知扇形AOB的面积为4，圆心角的弧度数为2，则该扇形的弧长为（）
A. 4 B. 2 C. 1 D. 8
4. 弧度化为角度是，是第象限的角。
B组：
1. 1弧度的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对的弧长及圆心角所夹的扇形的面积。
教学反思
落实是成功的保证！
2. 转化为弧度数为（）
A. B. C. D.
3.圆的半径是 ，则 的圆心角与圆弧围成的扇形的面积是（）
A. B. C. D.
4. 7弧度的角是第象限的角，与7弧度的角的终边相同的最小正角为。
积极思考勤于动手天才来自勤奋！
课后巩固作业
A组：
1.在面积不等的圆内，1弧度的圆心角所对的（）
A.弧长相等B.弦长相等
引申（1）把 化成弧度，（2）把 化成度。
探究二把下列各角化成0到 的角加上 的形式，并指出它们是哪个现象的角： 。
引申把下列各角的度数化成弧度数，并写成0到 的角加上 的形式
（1） ；（2） ；（3） 。
认真听讲是学习高效的捷径！
探究三 （1）已知扇形的周长为 ，面积为 ，求扇形圆心角的弧度数；
（2）已知一扇形的圆心角是 ，半径等于 ，求扇形的面积；
2.长度等于的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作。
3.弧度制与角度制的换算
，
4.特殊角的度数与弧度制的对应关系
度
弧度
5. 分别是弧长、半径、弧所对圆心角的弧度数。
（1）弧度数公式： ，
（2）弧长公式： ，
（3）扇形面积公式：
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高一数学人教b版必修4同步训练：1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算 含解析
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算 一、基础过关 1． －300°化为弧度是( )A ．－43πB ．－53πC ．－54πD ．－76π2．集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|α＝k π＋π2，k ∈Z 与集合B ＝ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|α＝2k π±π2，k ∈Z 的关系是( ) A ．A ＝B B ．A ⊆B C ．B ⊆AD ．以上都不对3．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．sin 2 C.2sin 1D ．2sin 14． 已知集合A ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z}，B ＝{α|－4≤α≤4}，则A ∩B 等于 ( )A ．∅B ．{α|－4≤α≤π}C ．{α|0≤α≤π}D ．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π} 5． 若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为________． 6．若2π<α<4π，且α与－7π6角的终边垂直，则α＝______. 7． 用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(包括边界，如图所示)．8．用30 cm长的铁丝围成一个扇形，应怎样设计才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？二、能力提升9．扇形圆心角为π3，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( )A．1∶3 B．2∶3 C．4∶3 D．4∶910．已知α为第二象限的角，则π－α2所在的象限是( )A．第一或第二象限B．第二或第三象限C．第一或第三象限D．第二或第四象限11．若角α的终边与角π6的终边关于直线y＝x对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝____________.12．如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P从点A(1,0)出发，依逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知P点在1 s内转过的角度为θ (0<θ<π)，经过2 s达到第三象限，经过14 s后又回到了出发点A处，求θ.三、探究与拓展13．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R.(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值c (c>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？答案1．B 2.A 3.C 4.D 5.25 6.7π3或10π37．解(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|2k π－π6≤α≤2k π＋5π12，k ∈Z .(2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|k π＋π6≤α≤k π＋π2，k ∈Z . 8． 解 设扇形的圆心角为α，半径为r ，面积为S ，弧长为l ，则有l＋2r ＝30，∴l ＝30－2r ，从而S ＝12·l ·r ＝12(30－2r)·r＝－r 2＋15r ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫r －1522＋2254.∴当半径r ＝152 cm 时，l ＝30－2×152＝15 cm ， 扇形面积的最大值是2254cm 2， 这时α＝lr＝2 rad.∴当扇形的圆心角为2 rad ，半径为152 cm 时，面积最大，为2254cm 2. 9．B 10.D 11.－11π3，－5π3，π3，7π312．解 因为0<θ<π，且2k π＋π<2θ<2k π＋3π2(k ∈Z)， 则必有k ＝0，于是π2<θ<3π4，又14θ＝2n π(n ∈Z)，所以θ＝n π7，从而π2<n π7<3π4，即72<n<214，所以n ＝4或5，故θ＝4π7或5π7.13．解 (1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓，。
人教版数学高一B版必修4弧度制和弧度制与角度制的换算
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算知识点一：弧度制 1．下列说法正确的是A ．一弧度就是一度的圆心角所对的弧B ．一弧度是长度为半径的弧C ．一弧度是一度的弧与一度的角之和D ．一弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位2．在半径为2的圆内，弧长为4的弧所对的圆心角的弧度数为__________. 知识点二：角度与弧度的换算关系3．把－8π3化成角度是A ．－960°B ．－480°C ．－120°D ．－60° 4．把－1 485°化为2kπ＋α(k ∈Z,0≤α<2π)的形式为A ．－8π＋π4B ．－8π－7π4C ．－10π＋π4D ．－10π＋7π45．下列各角中与7π12终边相同的角为A ．435°B ．465°C ．225°D ．－435° 6．填空： (1)－300°＝________ rad ，67°30′＝________ rad ； (2)8π5＝__________°. 7．用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如下图所示)．知识点三：弧长公式和扇形面积公式8．一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆周角的弧度数为A ．1 B.12C.π6或5π6D.π3或5π39．已知弧度数为2的圆心角所对弧长也是2，则这个圆心角所对的弦长是A ．2 B.2sin1 C ．2sin1 D ．sin210．圆的半径为1，所对圆心角为3弧度的弧长为__________．11．已知扇形的圆心角为2π5，半径等于20 cm ，求扇形面积．能力点一：角度与弧度的相互转化 12．下列各式正确的是A ．π＝180B ．π＝3.14C ．90°＝π2rad D ．1 rad ＝π13．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为 A.14π3 B ．－14π3 C.7π18 D ．－7π18 14．(1)把202°30′化成弧度；(2)把－5π12化成角度；(3)已知α＝15°，β＝π10，γ＝1，θ＝105°，φ＝7π12，试比较α、β、γ、θ、φ的大小．能力点二：用弧度制解决与终边相同角有关的问题 15．终边在第二象限和第三象限的角的集合是A ．(－π2，π2)B ．(π2，3π2)C ．(π2＋2kπ，3π2＋2kπ)(k ∈Z )D ．(π2＋2kπ，π＋2kπ)∪(π＋2kπ，3π2＋2kπ)(k ∈Z )16．设两个集合M ＝{x|x ＝kπ2＋π4，k ∈Z }，N ＝{x|x ＝kπ－π4，k ∈Z }，则 A ．M ＝N B ．M NC ．M ND ．M ∩N ＝17．若角θ的终边与8π5的终边相同，则在[0,2π]内终边与θ4角的终边相同的角是__________．18.已知角θ的终边与－π6的终边共线，且θ∈(0°，360°)，求θ的弧度数．能力点三：弧长公式及扇形面积公式的应用19．下列命题正确的是A．若两扇形面积的比为1∶9，则两扇形弧长的比是1∶3B．若扇形的弧长一定，则面积存在最大值C．若扇形的面积一定，则弧长存在最小值D．角的集合与实数集之间可以建立起一一对应20．已知扇形AOB中，所对的圆心角为1 rad，弦AB＝2，则该扇形的面积为__________．21．美观的纸扇是一种艺术品，它在设计上符合黄金比例(0.618)，即从一圆形(半径为R)的纸片中分割出来的扇形的面积与剩余面积比值为0.618.那么符合黄金比例的纸扇的中心角α大约是__________度(精确到0.1)．22．已知一扇形周长为C(C>0)，当扇形的圆心角为何值时，它的面积最大？求出面积最大值．23．已知一扇形的中心角为α，所在圆半径为R.(1)若α＝60°，R＝10，求该扇形的弧长和面积；(2)若该扇形的周长为4R，则扇形中所含弓形的面积是多少？答案与解析基础巩固1．C2．B 由三角函数定义知，x ＝3，y ＝4，r ＝x 2＋y 2＝5，∴sinα＝y r ＝45，cosα＝x r ＝35，tanα＝y x ＝43，故sinα＋cosα＋tanα＝45＋35＋43＝4115.3．D 由cosα＝35，y<0，得y ＝－4，故tanα＝y x ＝－43.4.2524∵x ＝7，y ＝24， ∴r ＝25，1sinα＝1y r ＝r y ＝2524.5．B6．A ∵2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三角限角， ∴sin2>0，cos3<0，tan4>0，故sin2·cos3·tan4<0. 7．③④8．二、三 由tanα·cscα<0知，tanα与cscα的值异号． ∴α终边位于二、三象限．9．[2kπ＋π2，2kπ＋π](k ∈Z ) 依题意，得⎩⎨⎧sinx ≥0－cosx ≥0⎩⎪⎨⎪⎧sinx ≥0cosx ≤0⎩⎪⎨⎪⎧2kπ≤x ≤2kπ＋π，2kπ＋π2≤x ≤2kπ＋3π2(k ∈Z )． 故x 的范围是2kπ＋π2≤x ≤2kπ＋π(k ∈Z )．10．解：由题意得⎩⎨⎧2＋log 12x ≥0，x ≠kπ＋π2(k ∈Z )，即⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤4，x ≠kπ＋π2(k ∈Z ).解得0<x<π2或π2<x ≤4.∴函数的定义域为(0，π2)∪(π2，4]．能力提升11．B 由定义知，tan420°＝a－4， 又∵tan420°＝tan(360°＋60°)＝tan60°＝3， ∴a－4＝ 3.∴a ＝－4 3. 12．2 01013．解：在直线y ＝x 上任取一点P(a ，a)(a ≠0)， 则r ＝a 2＋a 2＝2|a|.当a>0时，r ＝2a.sinα＝y r ＝a 2a ＝22，cosα＝x r ＝a 2a ＝22，∴sinα＋cosα＝ 2.当a<0时，r ＝－2a ，sinα＝y r ＝a －2a ＝－22，cosα＝x r ＝a －2a ＝－22.∴sinα＋cosα＝－ 2. 综上，sinα＋cosα＝±2.14．解：由题意得r ＝(－4a )2＋(3a )2＝5|a|.当a>0时，r ＝5a ，α角在第二象限，sinα＝y r ＝3a 5a ＝35，cosα＝x r ＝－4a 5a ＝－45，tanα＝yx＝3a －4a＝－34；当a<0时，r ＝－5a ，α角在第四象限，sinα＝－35，cosα＝45，tanα＝－34.15．解：由r 2＝x 2＋y 2＝3＋y 2，得r ＝3＋y 2，由三角函数的定义可得sinα＝yr＝y 3＋y 2＝24y ， ∴y ＝±5，r ＝2 2.∴cosα＝x r ＝－64，tanα＝y x ＝±153.16．C cosα≤0，且sinα>0，则α在第二象限或终边在y 轴的非负半轴上，∴⎩⎪⎨⎪⎧3m －9≤0，m ＋2>0，即－2<m ≤3. 17．{－1} 由sinαcosα<0，知α在第二象限或第四象限． 当α在第二象限时，sinα>0，cosα<0，tanα<0，则y ＝－1； 当α在第四象限时，sinα<0，cosα>0，tanα<0，则y ＝－1. 综上可得，值域为{－1}． 18．(1)> (2)>19．一或三 由(12)sin2θ<1，得sin2θ>0.∴2θ∈(2kπ，2kπ＋π)，k ∈Z . ∴θ∈(kπ，kπ＋π2)，k ∈Z .当k ＝2m 时，m ∈Z ，θ∈(2mπ，2mπ＋π2)，θ为第一象限角；当k ＝2m ＋1时，m ∈Z ，θ∈(2mπ＋π，2mπ＋3π2)，θ为第三象限角． 20．解：所求定义域应满足⎩⎪⎨⎪⎧sinx·tanx ≥0，x ≠kπ＋π2(k ∈Z )，即⎩⎪⎨⎪⎧ sinx ≥0，tanx ≥0，x ≠kπ＋π2(k ∈Z )或⎩⎪⎨⎪⎧sinx ≤0，tanx ≤0，x ≠kπ＋π2(k ∈Z ).根据x 所在象限情况可判断原函数定义域为{x|2kπ－π2<x<2kπ或2kπ<x<2kπ＋π2或x ＝kπ，k ∈Z }．21．解：(1)当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P(1,2)， 则r ＝12＋22＝ 5.∴sinα＝y r ＝25＝255.当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q(－1，－2)， 则r ＝(－1)2＋(－2)2＝5，∴sinα＝y r ＝－25＝－255.(2)依题意，P 到原点O 的距离r ＝OP ＝(－3)2＋y 2＝3＋y 2.∴sinα＝yr＝y 3＋y 2＝34y. ∵y ≠0，∴9＋3y 2＝16. ∴y 2＝73，y ＝±213.∴点P 在第二或第三象限，且cosα＝－33＋y 2＝－33＋73＝－34.拓展探究22．解：(1)由1|sinα|＝－1sinα可知sinα<0，∴α是第三或第四象限角或y 轴的负半轴上角． 由lg(cosα)有意义可知cosα>0，∴α是第一或第四象限角或x 轴的正半轴上角． 综上可知角α是第四象限的角． (2)∵点M(35，m)在单位圆上，∴(35)2＋m 2＝1，解得m ＝±45. 又α是第四象限角，故m<0， 从而m ＝－45.由正弦函数的定义可知sinα＝－45.23．解：由题意可知P 点坐标为P(a ，－b)，Q 点的坐标为Q(b ，a)． 根据三角函数定义得：sinα＝－ba 2＋b2，tanα＝－ba ，secα＝a 2＋b 2a，secβ＝a 2＋b 2b ，cotβ＝ba，cscβ＝a 2＋b 2a. ∴原式＝－b a 2＋b2·a 2＋b 2b －b a ·b a ＋a 2＋b 2a ·a 2＋b 2a＝－1－b 2a 2＋a 2＋b2a2＝0.。
数学人教B版必修4课后导练：1.1.2弧度制和弧度制与角
课后导练基础达标1.下列命题中的假命题是（ ）A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B.一度的角是圆周的3601，一弧度的角是圆周的π21 C.根据弧度的定义,180°一定等于π弧度D.不论是用角度制还是弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关解析：根据角度与弧度的定义,可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长和半径的比值有关，应选D. 答案：D2.下列各对角中，终边相同的是（ ）A.23π和2kπ-23π(k ∈Z )B.5π-和522πC.97π-和911πD.320π和9122π解析：911π=2π97π-.答案：C3.已知两弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是（ ） A.2 B. sin2 C.1sin 2D.2sin1 解析：∵sin1=R1,∴R=1sin 1.又∵l=|α|·R ，∈R ∴l=2·1sin 1=1sin 2. 答案：C 4.扇形圆心角为3π，半径长为a ，则扇形内切圆的面积与扇形面积之比是（ ） A.1∶3 B.2∶3 C.4∶3 D.4∶9 解析：S 扇形=21lR=6πa 2. 设内切圆的半径为r,则r=3a. ∴S 圆形=92a π.∴32=扇形圆S S .故选B. 答案：B5.集合A={α|α=kπ+2π,k ∈Z },B={α|α=2kπ±2π,k ∈Z }的关系是（ ） A.A=B B.A B C.B A D.以上都不对解析：集合A 中k ∈Z ，分为奇数和偶数表示，即A={α|α=2nπ+2π,n ∈Z }∪{α|α=(2n -1)π+2π,n ∈Z }=B.故选A. 答案：A6.扇形周长为6，面积为2 ,则其圆心角的弧度数是（ ）A.1或4B.1或2C.2或4D.1或5解析：设此扇形的半径为r ，圆心角的弧度数是α(0<α<2π),则有⎪⎩⎪⎨⎧=∙+=∙)2.(62)1(,2212r r r αα解之,得α=1或α=4.答案：A7.设0≤α<2π,将-1 485°表示成2kπ+α,k ∈Z 的形式是________. 解析：-1 485°=-5×360°+315°=-10π+47π. 答案：-10π+47π 8.如图，阴影部分用弧度制可表示为_______.解析：330°可看成-30°,即6π-,而75°=75×180π=125π,∴{θ|2kπ6π-<θ<2kπ+125π,k ∈Z }.答案：{θ|2kπ6π-<θ<2kπ+125π,k ∈Z }综合运用9.点P 从(1,0)出发,沿单位圆x 2+y 2=1按逆时针方向运动32π弧长到达Q 点,则Q 的坐标为( ) A.(-21,23) B.(23-,-21) C.(-21,23-) D.(23-,21)解析:由弧长公式l=|α|r,l=32π,r=1,得P 点按逆时针方向转过的角度为α=32π,可确定直线OP 的方程为y=3-x(x<0),与圆的方程x 2+y 2=1联立可得P(-21,23). 答案:A10.若一段圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数为( ) A.3π B.32π C.3 D.2 解析:设正三角形ABC 是半径为r 的圆O 的内接三角形. ∵AB=3r, ∴弧长l=3r.∴α=33==rrr l .故选C. 答案:C11.在扇形AOB 中,∠AOB=90°,=l,求此扇形的内切圆的面积.解:如图,∠AOB=90°=2π.设扇形AOB 的半径为R,其内切圆半径为r,由弧长公式有l=2πR, 所以R=πl 2.① 又因为OD=R,HD=r,OH=2r, 所以OD=OH+HD=(1+2)r. 所以r=21+R =(2-1)R.②把①代入②,得r=(2-1)·ππll)12(22-=.所以内切圆的面积S=πr 2=π［πl)12(2-］2=π2)2812(l -.12.设半径为12 cm,长为8π cm 的弧所对圆心角为α，α∈(0,2π),求出与角α终边相同的角的集合A ，并判断A 是否为B={θ|θ=6π+2πk ,k ∈Z }的真子集. 解：由|α|=r l 得α=32π∈(0，2π), ∴与α终边相同的角的集合A={α|α=32π+2kπ，k ∈Z }.在B={θ|θ=6π+2πk ,k ∈Z }中，令k=4m+1,m ∈Z ,则θ=6π+2π+2mπ=32π+2mπ,m ∈Z ,∴A ⊆B. 又∵6π∈B ，而6π∉A, ∴A B,即A 为B 的真子集. 拓展探究13.如图,已知一长为3 cm,宽为1 cm 的长方形木块在桌面上作无滑动的翻滚，翻滚到第三面时，被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30°的角.求点A 走过的路程及走过的弧所在的三个扇形的面积的和.解：所对的圆半径是2，圆心角为2π，所对的半径是1，圆心角是2π,所对的圆半径为3，圆心角为3π.所以A 点走过的路程是3段圆弧之和，即2×2π+1×2π+3×3π=6329+π cm.3段弧所在的扇形总面积是21×2×π+21×2π+3214733ππ=⨯ cm 2.。
数学人教B版必修4：1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算 作业 Word版含解析(数理化网)
双基达标(限时20分钟)1．若α＝－3，则角α的终边在()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析∵－π<－3<－π2，∴α是第三象限角．答案 C2．将1 920°转化为弧度数为()．A.163 B.323C.16π3 D.32π3解析 1 920°＝1 920×π180＝32π3.答案 D3．把－114π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是()．A．－3π4B．－π4C.π4 D.3π4解析－11π4＝－2π－3π4.∴－11π4与－3π4是终边相同的角，且此时|－3π4|＝3π4是最小的．答案 A4．已知扇形的半径是16，圆心角是2弧度，则扇形的弧长是________．解析∵R＝16，α＝2 rad，∴l＝α·R＝16×2＝32.答案325．已知集合A＝{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}，集合B＝{x|－4≤x≤4}，则A∩B＝________. 解析如图所示，∴A∩B＝[－4，－π]∪[0，π]．答案[－4，－π]∪[0，π]6．判断下列各角所在的象限：(1)9；(2)－4；(3)－1 999π5.解(1)因为9＝2π＋(9－2π)，而π2<9－2π<π，所以9为第二象限角．(2)因为－4＝－2π＋(2π－4)，而π2<2π－4<π，所以－4为第二象限角．(3)－1 999π5＝－200×2π＋π5，所以－1 999π5为第一象限角．综合提高(限时25分钟)7．若α是第四象限角，则π－α是()．A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析∵α是第四象限角．∴2kπ－π2<α<2kπ(k∈Z)，∴－2kπ<－α<－2kπ＋π2.∴－2kπ＋π<π－α<－2kπ＋3π2. ∴π－α是第三象限角．答案 C8．已知半径为1的扇形面积为38π，则扇形的圆心角为()．A.316π B.38πC.34π D.32π解析∵S＝12rl，∴3π8＝12l，∴l＝3π4，故选C.答案 C9．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长为2，则这扇形圆心角所对的弧长为________．解析设半径为R，则R sin 1＝1，∴R＝1sin 1，∴弧长l＝2sin 1.答案2 sin 110．若α＝kπ＋π4，k∈Z，则α是第________象限角．解析当k为偶数时，α是第一象限角，当k为奇数时，α是第三象限角．答案一或三11．用弧度表示终边落在图中所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合．解以OB为终边的330°角可看成为－30°角，化为弧度为－π6，而75°＝75×π180＝5π12，∴终边落在阴影部分内的角的集合为{θ|2kπ－π6<θ<2kπ＋5π12，k∈Z}．12．(创新拓展)如图，已知一长为 3 dm，宽1 dm 的长方形木块在桌面上作无滑动的翻滚，翻滚到第三面时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30°的角．问点A走过的路程的长及走过的弧度所对扇形的总面积．解 AA 1所对的圆半径是2 dm ，圆心角为π2，A 1A 2所对圆半径是1dm ，圆心角是π2，A 2A 3所对的圆半径是 3 dm ，圆心角是π3，所以走过的路程是3段圆弧之和，即2×π2＋1×π2＋3×π3＝9＋236π(dm)；3段圆弧所对的扇形的总面积是12×2×π＋12×π2＋12×3×3π3＝7π4(dm 2)．。
2019-2020人教B版数学必修4课时分层作业2 弧度制和弧度制与角度制的换算
课时分层作业(二) 弧度制和弧度制与角度制的换算(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．－25π6的角是( ) A ．第一象限的角 B ．第二象限的角 C ．第三象限的角D ．第四象限的角D [因为－25π6＝－π6－4π，所以－25π6与－π6的终边相同，为第四象限的角．]2．若2 rad 的圆心角所对的弧长为4 cm ，则这个圆心角所对的扇形面积是( )A ．4 cm 2B ．2 cm 2C ．4π cm 2D ．2π cm 2 A [r ＝l |α|＝42＝2(cm)，S ＝12lr ＝12×4×2＝4(cm 2)．] 3．与30°角终边相同的角的集合是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝k ·360°＋π6，k ∈ZB ．{α|α＝2k π＋30°，k ∈Z }C ．{α|α＝2k ·360°＋30°，k ∈Z }D ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋π6，k ∈ZD [∵30°＝30×π180 rad ＝π6 rad ， ∴与30°终边相同的所有角可表示为 α＝2k π＋π6，k ∈Z ，故选D.]4．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为() A．2 B．4C．6 D．8C[设扇形的半径为r，弧长为l，则由扇形面积公式可得2＝12lr＝12|α|r2＝12×4×r2，解得r＝1，l＝αr＝4，所以所求扇形的周长为2r＋l＝6.] 5．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为()A．π3B．2π3C． 3 D．2C[设圆的半径为r，则圆内接正三角形边长为3r，所以圆心角的弧度数为3rr＝ 3.]二、填空题6．把－570°写成2kπ＋α(k∈Z，α∈(0,2π))的形式是________．－4π＋56π[－570°＝－⎝⎛⎭⎪⎫570×π180rad＝－196π rad，∴－196π＝－4π＋56π.]7．已知一扇形的周长为π3＋4，半径r＝2，则扇形的圆心角为________．π6[设扇形的圆心角为α，则π3＋4＝2r＋2α.又∵r＝2，∴α＝π6.]8．经过点P(a，a)(a≠0)的角α的集合是________．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝kπ＋π4，k∈Z[当a>0，点P(a，a)在第一象限，此时α＝2kπ＋π4，k∈Z；a<0，点P(a，a)在第三象限，此时α＝2k π＋54π，k ∈Z ， 故满足条件的角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝k π＋π4，k ∈Z.] 三、解答题9．已知角α的终边与－253π的终边关于x 轴对称，求角α3在(－π，π)内的值． [解] ∵253π与－253π的终边关于x 轴对称，且253π＝8π＋π3， ∴α与π3的终边相同．∴α＝2k π＋π3(k ∈Z )，α3＝2k π3＋π9(k ∈Z )． ∵－π<α3<π，∴－π<2k π3＋π9<π. 当k ＝－1时，α3＝－5π9∈(－π，π)； 当k ＝0时，α3＝π9∈(－π，π)； 当k ＝1时，α3＝7π9∈(－π，π)．∴在(－π，π)内α3的值有三个，它们分别是－5π9，π9和7π9. 10．已知一个扇形的周长是40，(1)若扇形的面积为100，求扇形的圆心角； (2)求扇形面积S 的最大值．[解] (1)设扇形的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α， 则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝40，12lr ＝100，解得⎩⎨⎧l ＝20，r ＝10，则α＝lr ＝2(rad)． 故扇形的圆心角为2 rad.(2)由l＋2r＝40得l＝40－2r，故S＝12lr＝12(40－2r)·r＝20r－r2＝－(r－10)2＋100，故r＝10时，扇形面积S取最大值100.[等级过关练]1．如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的32倍，则该弧所对的圆心角是原来的()A.12倍B．2倍C.13倍D．3倍D[设圆的半径为r，弧长为l，圆心角的弧度数为lr，将半径变为原来的一半，弧长变为原来的32倍，则弧度数变为32l12r＝3·lr，即弧度数变为原来的3倍．]2．若α是第三象限的角，则π－α2是()A．第一或第二象限的角B．第一或第三象限的角C．第二或第三象限的角D．第二或第四象限的角B[因为α为第三象限的角，所以有2kπ＋π<α<2kπ＋32π，k∈Z，kπ＋π2<α2<kπ＋34π，k∈Z，－kπ－34π<－α2<－kπ－π2，k∈Z，故－kπ＋π4<π－α2<－kπ＋π2，k∈Z.当k为偶数时，π－α2在第一象限；当k为奇数时，π－α2在第三象限，故选B.]3．(1)把67°30′化成弧度＝________.(2)把35π 化成度＝________.(1)38π(2)108°[(1)67°30′＝67.5°＝67.5×π180＝38π.(2)35π＝⎝⎛⎭⎪⎫3π5×180π°＝108°.]4．一个半径为2的扇形，如果它的周长等于所在的半圆的弧长，那么扇形的圆心角是________弧度，扇形面积是________．π－22(π－2)[由题意知r＝2，l＋2r＝πr，∴l＝(π－2)r，∴圆心角α＝lr＝(π－2)rr＝π－2(rad)，扇形面积S＝12lr＝12×(π－2)·r·r＝2(π－2)．]5．已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S. [解](1)由⊙O的半径r＝10＝AB，知△AOB是等边三角形，∴α＝∠AOB＝60°＝π3.(2)由(1)可知α＝π3，r＝10，∴弧长l＝α·r＝π3×10＝10π3，∴S扇形＝12lr＝12×10π3×10＝50π3，而S△AOB ＝12·AB·53＝12×10×53＝5032，∴S＝S扇形－S△AOB＝50⎝⎛⎭⎪⎫π3－32.。
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D
.203π和
122 9
π
答案 :C
3.已知 2 弧度的圆心角所对的弦长为 2,则这个圆心角所对的弧长是 ( )
2
A.2
B .sin 2
C.
D .2sin 1
sin1
详细分析 :设圆的半径为 R,圆心角为 α,圆心角所对的弧长为 l.
因为
sin1=
1
??,所以
1
R= .
sin1
又因为 l=| α|·R,所以 l= 2× 1 = 2 .
rad,
30
所以秒针端点
A 转过的路程为
d=|
α|·r=
π 6
??
(cm),
2
4
4
π 92 π
28 π
(2)-1104° =- 1104 ×180 =- 15 =- 8π+ 15 .
因为 28 π是第四象限的角 ,所以 -1104 ° 是第四象限的角 .
15
二、 B 组 能力提升
1.已知 θ∈ ?? ??= ??π+ (-1 )??·π4 ,??∈ Z ,则角 θ的终边所在的象限是 (
解得
??= 4, 或 ??= 2 ,
??= ??=
81,(不合题意
,舍去 ).
所以
α=
??
??=
2
4=
1
2.
9.把下列各角化为 2kπ+ α,k∈ Z ,0≤ α< 2π的形式 ,并判断该角是第几象限的角 :
27
(1) 4 π;(2) -1 104° .
解
:(1)274π=
6π+
3π
4.
因为 3π是第二象限的角 ,所以 27 π是第二象限的角 .
=A ,∴A=B. 故选
A.
答案 :A
4.若圆中的一段圆弧长度等于其内接正三角形的边长
,则该圆弧所对圆心角的弧度数为 ( )
A .π
3
B .2π
3
C. 3
D .2
详细分析 :设圆的半径为 R,则圆的内接正三角形的边长为 3R,所以长度为 3 R 的圆弧所对圆心角的
弧度数 α= 3??= 3 .
??
答案 :C
B.扇形的圆心角不变
C.扇形的面积增加到原来的 2 倍
D.扇形的圆心角增加到原来的 2 倍
详细分析 :扇形的圆心角
α=
??
??,l,R
均变为原来的
答案 :B
2 倍 ,故 α不变 .
6.在半径为 2 的圆内 ,长度为 4 的弧所对的圆心角的度数为
.
详细分析 :圆心角
α=4 = 2=
2
180
π ×2
°=
5.若一扇形的弧长变为原来的
的
.
3倍 ,半径变为原来的一半 ,则扇形的面积为原来扇形面积
2
详细分析
:
S=
1
2lr
,l'=
31
2l,r'= 2r,则
1
S'= 2 l'r'=
1 2
× 32l
1
·2 r=
3
4S.
答案 :3
4
6.
73764004 某时钟的秒针端点 A 到中心 O 的距离为 5 cm,秒针均匀地绕点 O 旋转 ,当
3π
10 ,7x=
7π 9π
10 ,9x= 10 .
答案
:π
10
3π 7π 9π
, 10 , 10 , 10
8.
如图 ,扇形 AOB 的面积是 4 cm2,周长是 10 cm,求扇形的圆心角 α的弧度数 . 解 :设弧 AB 长为 lcm,扇形半径为 rcm,
1
则
??+ 2 ??= 10 ,
1
2 ???=? 4,
)
A. 第一象限
B. 第二象限
C.第一或第二象限
D. 第三或第四象限
详细分析 :因为 θ∈ ?? ??= ??π+ (-1 )??·π4 ,??∈ Z , 所以当 k= 2m(m∈ Z )时 ,θ=2mπ+ π4 ,终边在第一象限
象限 .所以 θ终边在第一或第二象限 .
;当 k= 2m+ 1(m∈ Z )时 ,θ= 2mπ+ 34π,终边在第二
答案 :C
2.某扇形的周长为 6,面积为 2,则其圆心角的弧度数是
()
A.1 或 4
B .1 或 2
详细分析 :设此扇形的半径为
答案 :A
C.2 或 4 D .1 或 5
r ,圆心角的弧度数是
α(0<α< 2π),则有
1 2
??·??2
=
2,
解得 α= 1 或 α= 4.
2 ??+ ??·??= 6 .
360 π
°.
答案 :
360 π
°
7.已知四边形四个角的度数的比为 1∶3∶7∶9,用弧度制写出这四个角从小到大的顺序
为
.
详细分析 :因为四边形四个角的度数的比为 1∶3∶7∶9,
所以设这四个角的弧度数分别为 x,3x,7x,9x.
根据题意得 ,x+ 3x+ 7x+ 9x= 2π,
则
x=πΒιβλιοθήκη 10 ,3x=??
3.集合 A= ?? ??= ??π+ 2 ,??∈Z 与集合 B=
α α= 2kπ± π2,k∈ Z
的关系是 (
)
A .A=B
B .A? B
C.B? A
D .以上都不对
详细分析
:∵ B=
?? ??=
2 ??π+
π或 ??=
2
2??π+
3π
2 ,?∈? Z
=
?? ??=
??
π+
π
2 ,?∈? Z
时间 t= 0 时 ,点 A 与钟面上标 12 的点 B 重合 .设秒针端点 A 转过的路程为 d cm,所形成的扇形面积为 S cm2,则当 t∈[0,60] 时 d 与 S 关于时间 t(s)的函数关系式为 .
详细分析 :因为秒针的旋转方向为顺时针 ,
所以 ts后秒针端点
A 转过的角
α=-
π
??
sin1 sin1
答案 :C
29
4.- 12 π的终边所在的象限是 ( )
A .第一象限
B .第二象限 C.第三象限 D .第四象限
详细分析
:
-
29 12
π=-
5
2 π- 12
π,故在第四象限
.
答案 :D
5.若圆的半径变成原来的 2 倍 ,扇形的弧长也变成原来的 2 倍 ,则( )
A .扇形的面积不变
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
课后篇 巩固探究
1.将
7 π化为角度是
5
(
)
A.225 °
B.250 °
答案 :C
一、 A 组 基础巩固
C.252° D.288 °
2.下列各对角中 ,终边相同的是 ( )
A.
3 π和
2
2kπ-32π(k∈ Z )
B
.-
π和
5
22 π 5
C.-79π和
11 π 9