高考高中数学二项式定理

n 3.写出（a b） 的展开式
(a b)
n
1 C
r
Cna Cna
n
r n
0
1
n1
b
n 2 2 a C n b 2
a
n r r
b
n n n 1 C n b
4.求（ 2 x 3 y） 的展开式的第三项
6
5.求（ 3 y 2 x） 的展开式的第三项
①项数：共n+1项,是关于a与b的齐次多项式 ②指数:a的指数从n逐项递减到0,是降幂排列； b的指数从0逐项递增到n，是升幂排列。
6
6.求（ 2a 3b） 的展开式的第三项
6
的二项式系数
7.求
1 (x ) x
9
的展开式中
x
3
的系数
小结：
( a b) C a C a b C a b
n
0 n n 1 n1 n 2 n2 2 n
n n k nk k n n

C a b C b n nk k k (a b) 的展开式通项T k 1 C n a b 的特点
1
1 10 10 5 15 20 15 6 1
本节课的课题《二项式定理》就是 杨辉简介 研究 （a+b）的平方，（a+b）的三次 南宋末年钱塘人，是当时有名的数学家 方…… （a+b）的n次方的乘法展开式的规 和教育家，杨辉一生编写的数学书很多， 律， 法国数学 但散佚严重。 家帕斯卡在17世纪发现了它，国外把这一规 杨辉生活在浙江杭州一带，曾当过地方官， 律称为帕斯卡三角。其实，我国数学家杨辉早 到过苏州、台州等地，他每到一处都会有人 在1261年在他的《详解九章算法》中就有了相 慕名前来 请教数学问题。 应的图表。
Cn a
1
n 1
b C n a
2
n2
b 2
n
该公式所表示的定理叫做二项式定理，
右边的多项式叫做的 (a b)n 展开式，其中
的系数 C
kห้องสมุดไป่ตู้n
k n
k 0,1,2,, n 叫做二项式系数。
k
式中 C a b 的叫做二项式通项，用 Tk 1 表示，即通项为展开式的第 k 1项。
(a+b)n次方展开式的系数的规律
a b 0 a b 1 a b 2 a b 3 a b 4 a b 5 a b 6

1 1 1 1 1 1 1 6 5 4 10 15 20 3 6 10 15 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1
二项式定理
(a+b)n展开式的系数的规律
a b 0 a b 1 a b 2 a b 3 a b 4 a b 5 a b 6

1
1
1 1 3 2
1
1 3 1
1
1 1 6 5
4
6
4
如何用两个计数原理得到
( a b) ,
2
( a b) ,
3
( a b)
n
4
的展开式？
猜想：
(a b) ____?_____
没有大胆的猜想，就不能有伟大的发现和发明。 ------牛顿
(a b) C n a
n
0
n
C a b C b
k nk k n n n
nk
1.写出（ 1 q） 的展开式
7
(1 q) 1 7q 21q 35q
7
2
3
35q 4 21q 5 7q 6 q 7
2.写出（ 1 x） 的展开式
n
(1 x)
n
n x x C n Cn r r n
1 Cn x
1
2 x C n 2