弱简并理想Bose气体和Fermi气体热力学.

热力学·统计物8理.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体
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Chap.7 玻尔兹曼统计 Chap.8 玻色统计和费米统计 §8.1 热力学量的统计表达式 §8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体 §8.3 Bose –Einstein 凝聚
新课 §8.4 光子气体
知识回顾 8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体
4. Bose-Einstein 凝聚
T<Tc时，就有宏观量级的粒子在能级ε=0凝聚， 这一现象称为Bose-Einstein凝聚，简称Bose凝聚。
Bose凝聚体的E=0; P动量=0; S=0; P压强=0
5. Bose-Einstein 凝聚的条件： n3 2.612
§8.4 光子气体 8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体
al

l
el 1
体积V内，动量大小在p到p＋dp之间，动量方向在θ － θ＋d θ， φ－φ＋dφ范围内，自由粒子可能的微观 态数为：
Vp2 sindpdd
h3
单位体积内，动量大小在p到p＋dp之间，动量方向在θ－ θ＋d θ， φ－φ＋dφ范围内，平衡辐射的光子数为：
2 p2 sindpdd
2 ddAdt h3
p2
s in dpdd
ecp 1

c
cosdtdA
单位时间（dt=1）内碰到单位器壁面积（dA=1）上，动 量大小在p到p＋dp之间，动量方向在θ－ θ＋d θ， φ－φ ＋dφ范围内，平衡辐射的光子数为：
d
2 h3
p2
s in dpdd
ecp 1
e / kT 1
x / kT
U

V
2c3

kT
4



0
x3dx ex 1

0
x3dx ex 1

6

4
90
(C.14)
U

2k4
15c33
VT 4
u aT 4 P66(2.6.3)
斯特藩-玻耳兹曼定律( Ju T 4 )
§8.4 光子气体 8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体
弱简并条件下的系统 内能的差异
U

3 2
Nk T 1

4
1 2g
n3


（1）第一项是根据Boltzmann分布得到的内能 （2）第二项是量子统计关联所导致的附加内能，
弱简并的情况下附加内能很小； Fermi气体附加内能为正 —等效的排斥作用 Bose 气体附加内能为负 ---等效的吸引作用
2.平均光子数
D()d

V
2c3

2d
al
l

1 el 1
V 2d 2c3 e / kT 1

3.辐射场的内能
不同温度下的内能
U (,T )d

V
2c3
3d
e / kT 1
随频率的分布 普朗克公式
§8.4 光子气体 8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体
I. 引入：我们讨论了弱简并的Bose (Fermi)气体，和 n3 2.612 的理想玻色气体的凝聚现象。 具有确定的粒子数 作为玻色统计的重要应用，下面根据Bose分布讨
论平衡辐射问题。在平衡辐射中，光子数不守恒。
II. 知识回顾： 热力学的结论：平衡辐射的内能密度和内能密度的 频率分布只与温度有关；u=aT 4 。

c
cos
§8.4 光子气体 8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体
0

x3

3
ln(1

e
x
)

0

1 3
0
x3dx ex 1
§8.4 光子气体 8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体

0
x2
ln(1
ex
)dx


x3 3
ln(1
ex

) 0

1 3
0
x3dx ex 1
0
ln



V
辐射场的内能－普朗克公式
U (,T )d

V
2c3
3d
e / kT 1
低频极限：
e /kT 1
kT
U
(,T
)d

V
2c3
2k Td
瑞利(1900)-金斯(1905)公式
高频极限： e /kT 1
U
(,T
)d

V
2c3
3e / kTd
知识回顾：§8.38B.2ose弱–简Ein并stei理n 凝想聚Bose气体和Fermi气体
1.理想Bose气体的化学势 0
2.临界温度（凝聚温度）：
Tc

2
(2.612 )2/3
2 mk
n2/3
3. T<Tc时：
n0
(T
)

2
h3
(2m)3/ 2
1/ 2d
0
n
ekT 1
U ln

Y 1 ln P 1 ln
y
V
J U TS N
kT ln
知识回顾： §8.82弱.2简弱并简理想并玻理色想和费B米os气e体气体和Fermi气体
Chap.8 玻色统计和费米统计
Chap.7中的经典极限条件（非简并条件）：
Bose 系统
Fermi系统
l [1 e l ]l
l
l
l [1 el ]l
l
l
N ln

S k(ln ln ln )


k(ln N U )
S k ln
维恩(1896)公式
高频极限 e / kT 1 需要量子理论
能级间距 kT 的高频自由度被 冻结在基态
§8.4 光子气体 8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体
空窖辐射的内能
U

V
2c3
0
3d
e / kT 1
U (,T )d

V
2c3
3d
光子气体的统计分布：
al

l
e l
1
al

l
el 1
al
l

1 el 1
‫٭‬附加结论：

kT
0
------光子气体的化学势为零.
§8.4 光子气体 8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体
1.光子气体的量子态数
2

Vdpx
dp h3
y
dpz
p

l


V
2c3

2
0
ln(1
e
)d
x / kT
0
ln


V
2c3
1
3
0
x2
ln(1 ex )dx
采用分部积分
xy xdy ydx, x x3 , y ln(1 ex )
3
x2 ln(1 ex )dx
2k3
c3
V 3
T4
T 0; S 0
光子气体的熵随温度的趋于零而趋于零，符合 热力学第三定律要求（P128，4.8.1式）
§8.4 光子气体 8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体
平衡辐射的通量密度与内能密度的关系：
Ju

c 4
U V
（P66，2.6.7式）
U




ln

2k4
15c3
V 3
T4
（8.4.14式）
光子气体的辐射通量密度：
Ju

2k4
60 c 2 3
T4
也可通过计算平衡辐射中单位时间碰到单位面积器壁 上的光子所携带的能量，直截求得Ju（参作业8.11题）。
§8.4 光子气体 8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体
证明（8.11题）： 光子气体的统计分布为：
Chap.8 玻色统计和费米统计
§8.1 热力学量的统计表达式
抛弃粒子轨道的概念
（1）微观粒子的能量和动量是不连续的 （2）微观全同粒子不可分辨 （3）微观粒子的行为要满足不确定关系 （4）费米子受泡利不相容原理的限制
知识回顾：玻色8和.2费米弱系简统并的巨理配想分B函o数s和e气热力体学和公F式ermi气体
l
p

N

V
ln
Z1
S

Nk (ln
Z1




ln
Z1)
S k ln
S

Nk (ln
Z1




ln
Z1)

k
ln
N!
F NkT ln Z1
满足经典极限条件 的玻色和费米系统
F NkT ln Z1 kT ln N!
知识回顾 8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体
平衡辐射可以分解为无穷多个单色平面波的叠加。
ck
对于电磁波，有
λν c
ω 2πν
k 2π/λ p k
cp
§8.4 光子气体 8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体