逆矩阵定义及性质
线性代数
逆矩阵
定义 对于n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得 AB=BA=In
则称矩阵A是可逆的，并且方阵B称为A的逆矩阵或逆阵.
1) 如果方阵A是可逆的，那么A的逆矩阵是唯一的， A的逆用A-1来表示；
2） 可逆矩阵一定是方阵，并且其逆矩阵为同阶方阵； 3) A与B互为可逆矩阵，即A-1=B,同时B-1=A.
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线性代数
第二章 矩阵的代数运算
2.6.1 逆矩阵定义及性质
逆矩阵
定义 对于n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得 AB=BA=In
则称矩阵A是可逆的，并且方阵B称为A的逆矩阵或逆阵.
线性代数
逆矩阵
定义 对于n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得 AB=BA=In
则称矩阵A是可逆的，并且方阵B称为A的逆矩阵或逆阵.
线性代数
逆矩阵
例 A diag(a1, a2 ,L an )其中 ai 0 (i 1, 2,..., n) 求A的逆？
线性代数
逆矩阵性质
性质1
如果n阶方阵A可逆，则其转置矩阵AT也可逆，并且
AT
1
A1
T
.
线性代数
逆矩阵性质
性质2
（i）若A可逆，并且有AB =O(或者BA=O) 则B =O;
（ii）若A可逆，并且有AB =AC(或者BA=CA) 则B=C;
线性代数
逆矩阵性质
性质2
（i）若A可逆，并且有AB =O(或者BA=O) 则B =O;
（ii）若A可逆，并且有AB =AC(或者BA=CA) 则B=C;
线性代数
逆矩阵性质
性质3
若A和B均为n阶可逆方阵，则其乘积矩阵AB也可逆，
AB 1 B1 A1.
线性代数逆矩阵性质性3若A和B均为n阶可逆方阵，则其乘积矩阵AB也可逆，
AB 1 B1 A1.
推 广 若A1, A2 ,…, Ak均为n阶可逆方阵，则其乘积矩阵A1 A2 … Ak 也可逆，
A1 A2 L Ak 1 Ak1 L A21 A11.
线性代数
逆矩阵
定义 对于n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得 AB=BA=In
则称矩阵A是可逆的，并且方阵B称为A的逆矩阵或逆阵.
1) 如果方阵A是可逆的，那么A的逆矩阵是唯一的， A的逆用A-1来表示；
2） 可逆矩阵一定是方阵，并且其逆矩阵为同阶方阵； 3) A与B互为可逆矩阵，即A-1=B,同时B-1=A.
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第二章 矩阵的代数运算
2.6.1 逆矩阵定义及性质
逆矩阵
定义 对于n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得 AB=BA=In
则称矩阵A是可逆的，并且方阵B称为A的逆矩阵或逆阵.
线性代数
逆矩阵
定义 对于n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得 AB=BA=In
则称矩阵A是可逆的，并且方阵B称为A的逆矩阵或逆阵.
线性代数
逆矩阵
例 A diag(a1, a2 ,L an )其中 ai 0 (i 1, 2,..., n) 求A的逆？
线性代数
逆矩阵性质
性质1
如果n阶方阵A可逆，则其转置矩阵AT也可逆，并且
AT
1
A1
T
.
线性代数
逆矩阵性质
性质2
（i）若A可逆，并且有AB =O(或者BA=O) 则B =O;
（ii）若A可逆，并且有AB =AC(或者BA=CA) 则B=C;
线性代数
逆矩阵性质
性质2
（i）若A可逆，并且有AB =O(或者BA=O) 则B =O;
（ii）若A可逆，并且有AB =AC(或者BA=CA) 则B=C;
线性代数
逆矩阵性质
性质3
若A和B均为n阶可逆方阵，则其乘积矩阵AB也可逆，
AB 1 B1 A1.
线性代数逆矩阵性质性3若A和B均为n阶可逆方阵，则其乘积矩阵AB也可逆，
AB 1 B1 A1.
推 广 若A1, A2 ,…, Ak均为n阶可逆方阵，则其乘积矩阵A1 A2 … Ak 也可逆，
A1 A2 L Ak 1 Ak1 L A21 A11.
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矩阵的逆
定理2.4.3 矩阵A可逆的充要条件是 0，且当A可逆时， A 1 1 A A, A 其中A为矩阵A的伴随矩阵.
推论2.4.4 若AB E 或BA E , 则B A1 .
推论2.4.5 设A可逆，则A
1
1 . A
注：逆矩阵的运算性质
1 若A可逆, 则A
1
亦可逆 且 A ,
A 1 .
1 1
A.
2 若A可 逆, 数 0, 则A可 逆, 且
A1
1
3 若A, B为 同 阶 方 阵 且 均 可 逆 AB亦 可 逆, 且 ,则
( AB)1 B1 A1
A1 A2 Am1 Am 1 A21 A1.1 推广
一、概念的引入
1 当数a 0时， a 1, a 1 其中， 为a的倒数. a
1 0 0 0 1 0 矩阵 AB BA E 0 0 1
二、逆矩阵的概念和性质
n 定义2.4.1 对于n阶方阵A，如果存在 阶方阵B， 使得 AB BA E , 则称矩阵A可逆，并称 为A的逆矩阵. B
1 1 l 1 1 1
Pl1 Pl1 P11 E A1 , 1
Pl 1 Pl 1 P11 A E 1
Pl 1 Pl 1 P11 A Pl 1 Pl 1 P11 E 1 1
E A1
即对 n 2n 矩阵( A E ) 施行初等行变换， 当把 A 变成 E 时，原来的 就变成A1 . E
6 4 2 由于 A 3 6 5 , 2 2 2 6 4 1 3 2 2 1 1 1 A A 3 6 5 3 2 3 5 2 . 2 A 2 2 2 1 1 1
逆矩阵及矩阵的分块
03 逆矩阵的应用
在线性方程组中的应用
线性方程组的求解
通过使用逆矩阵，可以方便地求解线性方程组。具体来说，如果一个线性方程组可以写成 Ax=b的形式，其中A是系数矩阵，x和b是向量，那么方程组的解可以通过计算A的逆矩 阵乘以b得到。
唯一解的条件
当系数矩阵A是可逆矩阵时，线性方程组有唯一解。此时，可以通过计算A的逆矩阵来求 解方程组。
提取重要信息
通过分块，可以突出矩阵 中的重要元素，便于观察 和分析。
应用广泛
矩阵分块在许多领域都有 应用，如线性代数、数值 分析、控制系统等。
矩阵分块的方法
按行分块
将矩阵按行划分成若干个子矩 阵。
按列分块
将矩阵按列划分成若干个子矩 阵。
按主对角线分块
将矩阵沿主对角线划分成若干 个子矩阵。
按次对角线分块
解的稳定性
使用逆矩阵求解线性方程组时，需要注意解的稳定性问题。如果A的逆矩阵计算不精确， 可能会导致解的误差较大。因此，在实际应用中，需要采用适当的算法和计算方法来提高 解的精度和稳定性。
在矩阵分解中的应用
矩阵分解
逆矩阵在矩阵分解中有重要的应用。例如，LU分解、QR分解和奇异值分解等都需要用 到逆矩阵的概念。通过这些分解，可以将一个复杂的矩阵分解为几个简单的组成部分，
02
逆矩阵要求原矩阵是可逆的，即行列式不为零，而分块矩阵则
没有这个限制。
逆矩阵是一种运算过程，而分块矩阵是一种矩阵的表示方式。
03
逆矩阵和分块矩阵的互补性
逆矩阵和分块矩阵在解决线性代数问题时可以相互补充。
在处理一些复杂的线性代数问题时，可以先通过分块矩阵将原问题分解为若干个子问题，再利用逆矩阵 解决子问题。
2.3 逆矩阵
故I是n阶单位矩阵En； 反之若n阶方阵A的标准形I En，则A可逆. 定理：n阶方阵A可逆的充要条件是A的标准形为En
即A ~ En
定理2 A为可逆矩阵的充要条件是存在有限个初等 矩阵 P1, P2 ,L , Pl , 使得A P1P2 L Pl . 证 必要性 A ~ E,
故 E 经有限次初等变换可变为 A,
A A A , A A .
5 若A可逆,则有 A1 1
A
证明
AA1 E
A A1 1
因此 A1
1 A
A1
6设 A
A2
, As
若 Ai 0i 1, 2,L , s ,则 A A1 A2 L As 0,并有
A1
0
L
0L A2 L LL
0 B1
0
0
L L
0L B2 L LL
A11
A
A12
A1n
A21 A22 A2n
An1 An2
称为矩阵 A
的伴随矩阵
Ann
其中Aij表示矩阵 A (aij )中元素aij的代数余子式 .
证明 若 A 可逆， 即有A1使AA1 E .
故 A A1 E 1, 所以 A 0.
当 A 0时,
a11 a12 a1n A11 A21 An1
2a c 2b d 1 0 a b 0 1
2a c 1, a 0,
2b
d a
0,
0,
b 1,
c
1,
b 1, d 2.
A1
0 1
1
2
.
例2
求方阵
1 A 2
2 2
3 1
的逆矩阵.
3 4 3
即A ~ En
定理2 A为可逆矩阵的充要条件是存在有限个初等 矩阵 P1, P2 ,L , Pl , 使得A P1P2 L Pl . 证 必要性 A ~ E,
故 E 经有限次初等变换可变为 A,
A A A , A A .
5 若A可逆,则有 A1 1
A
证明
AA1 E
A A1 1
因此 A1
1 A
A1
6设 A
A2
, As
若 Ai 0i 1, 2,L , s ,则 A A1 A2 L As 0,并有
A1
0
L
0L A2 L LL
0 B1
0
0
L L
0L B2 L LL
A11
A
A12
A1n
A21 A22 A2n
An1 An2
称为矩阵 A
的伴随矩阵
Ann
其中Aij表示矩阵 A (aij )中元素aij的代数余子式 .
证明 若 A 可逆， 即有A1使AA1 E .
故 A A1 E 1, 所以 A 0.
当 A 0时,
a11 a12 a1n A11 A21 An1
2a c 2b d 1 0 a b 0 1
2a c 1, a 0,
2b
d a
0,
0,
b 1,
c
1,
b 1, d 2.
A1
0 1
1
2
.
例2
求方阵
1 A 2
2 2
3 1
的逆矩阵.
3 4 3
第三节 逆矩阵
A21 A22 A2 n
An 1 An 2 * , 称 A 为 A 的伴随矩阵。 Ann
2012-6-16
定理2.3
A 0 A 可逆，且 A
1
A
*
A
其中
A 为 A 的伴随矩阵。
*
2012-6-16
证明
AA
1
A 显然 A 0， 有意义。 A
0 A 0 0 0 I A
AA
1
A 1 1 0 * AA A A 0
2012-6-16
定理2.4 定理2.5 定义2.13
若 若
2012-6-16
A可逆
A 0.
A不可逆 A 0 .
3 0 1 1 2 2 5 3
1
3 A 5
1 2
3 B 0 1
1 2 3
2 5 A A
*
1 ，从而 3
X BA
1
1 1 10 3 13
A 21 A A 22 A A 23 A
A 31 A A 32 A A 33 A
2012-6-16
8 5 1
29 18 3
A11 A 11 A 7 12 A 1 A13 A
* 1
2012-6-16
四、小结与思考
逆矩阵的概念及运算性质.
逆矩阵 A 1 存在 A 0 . 逆矩阵的计算方法
1 待定系数法 ;
2 利用公式 A 1
逆矩阵的定义及性质
求矩阵 X ，使满足 AXB C . 1 1 1 A A B 存在，则用 左乘上式， 解 若 ， B 1 右乘上式，
有
A1 AXBB1 A1 ( AXB) B1 A1CB1
即 X A CB ． 由例1知，A 可逆，且
5 0 8 1 A 3 1 6 2 0 3
3 6 3 8 A12 3, A22 1, 2 5 2 5
A13 3 2 1 0 2, A23 3 0 2 0
3 8 A32 6 3 6
3 0 3 1 3
0, A33
• 有
5 0 8 * A 3 1 6 2 0 3
• 逆矩阵的定义及性质 • 定义9 设 A为 n 阶方阵，若存在 n 阶方阵 B ， 使 AB BA E ，则称方阵 A 可逆，B 为 A 的 逆矩阵． • 若 A 可逆，则 A 的逆矩阵是惟一的． • 可逆矩阵的性质： • (1) 若 A 可逆，则其逆阵 A 1也可逆，且
T A A • （2）若 可逆，则 也可逆，且
• 所以
A
1
5 0 8 5 0 8 1 * 1 A 3 1 6 3 1 6 1 A 2 2 0 3 0 3
• 例2 设
0 8 3 1 3 2 1 A 3 1 6 , B 5 3 , C 2 0 2 0 5 3 1
1 1
又因 B 1 0， B 也可逆，且
B
1
3 1 5 2
• 所以
X A CB
1 1
5 0 8 1 3 3 1 3 1 6 2 0 5 2 2 0 3 3 1
高等代数3-3矩阵的逆
... 0 A En ... A
A A
*
A11 A12 A 1n
A21 A22 A2 n
... An1 a11 ... An 2 a 21 ... Ann a n1
a12 a 22 an2
即矩阵A的逆矩阵是唯一的 .
B1 B1 E B1 ( AB2 ) ( B1 A )B2 EB2 B2
由于A的逆矩阵是唯一的，将A的唯一的逆矩阵记为 A1
则有
AA1 A1 A E
3. 单位矩阵E是可逆矩阵,且E 1 E .
4. 零矩阵O不是可逆矩阵.
a1 0 ... 0 0 a2 ... 0 例A 0 0 ... a n 其中 a1a2 ...an 0 a1 0 0 a2 0 0
可逆
1 0 3 0 1 A 1 2 3 1 2 3 3
1
1 3 A 2 6
A 0
不可逆
用公式法求二阶矩阵的 逆矩阵非常方便 .
a b 1 d d 1 若A , 且 A 0, 则 A . A c a c d
已知方阵A满足A3 A2 4 A 5 E O ,则( A 2 E )1 ________.
A2 A 2 E
1 2 0 已知AB B A , 其中B 2 1 0 ,则( A E )1 __________. 0 0 2
( A E )( B E ) E ( A E )1 B E
1 ( A 2E ) 2 1 例5 已知方阵A满足A A 4 E O ,则( A E ) __________. 2
逆矩阵的定义及性质
ro luo r 1 0 OJ11 OJ <0 ]
[3 0、[1/3 0、 11 0、 Lo Lo L J<0
1/3 0]0 0]
<0 1JLo
定理2初等矩阵都可逆，而且初等矩阵的逆矩阵仍是初等
矩阵.
分析先看二阶的情形：
r IVO 1) _ri o〕
lo
oJll oj O]0/3 0
IJLO i
<0 、 11J 0、
并且(M…"1 F…邳色•
定理
3
证明 （
其中Pl9 P29…,氏为初等矩阵,
由于初等矩阵都可逆， 而且可 逆矩阵的乘积仍然可逆, 所以』 可逆.
定理3矩阵幺可逆。4可以写成一些初等矩阵的乘积. 证明(=>)因为4可经初等行变换化为行最简形矩阵玖
故存在初等矩阵R,「2,…，己使得 U=Ps...P2PrA.
定理4设A^jmxn矩阵，则存在所阶可逆矩阵尸和
«阶可逆矩阵Q使得A =PE^nQ^A的标准分解 其中
ERn= %
为幺的等价标准形.
证明 因为A可经初等变换化为等价标准形E鶴, 反过来,E編可经初等变换化为A,
即存在如阶初等矩阵Pi，P”..,Ps和"阶初等矩阵
0, 0,…,0使得氏..强E厲00...0 =4 于是令P = Ps...P2Pl,
I)T=ET=E
性质(1)若4可逆，则也可逆并且JT)T =4
(2) 若A可逆，则-T也可逆并且以T)-1 = (Q)T.
(3) 若4可逆,4为非零的数，
则kA也可逆，并且(kA) 】=LAT. (4) 若A,B为同阶可逆矩阵，
则也可逆，并且(4B)T = \、反序律
证明=A(BBl)Al = AEA1 = AA1 = E (B^A-^iAB) = = Br^EB = BrlB =E
[3 0、[1/3 0、 11 0、 Lo Lo L J<0
1/3 0]0 0]
<0 1JLo
定理2初等矩阵都可逆，而且初等矩阵的逆矩阵仍是初等
矩阵.
分析先看二阶的情形：
r IVO 1) _ri o〕
lo
oJll oj O]0/3 0
IJLO i
<0 、 11J 0、
并且(M…"1 F…邳色•
定理
3
证明 （
其中Pl9 P29…,氏为初等矩阵,
由于初等矩阵都可逆， 而且可 逆矩阵的乘积仍然可逆, 所以』 可逆.
定理3矩阵幺可逆。4可以写成一些初等矩阵的乘积. 证明(=>)因为4可经初等行变换化为行最简形矩阵玖
故存在初等矩阵R,「2,…，己使得 U=Ps...P2PrA.
定理4设A^jmxn矩阵，则存在所阶可逆矩阵尸和
«阶可逆矩阵Q使得A =PE^nQ^A的标准分解 其中
ERn= %
为幺的等价标准形.
证明 因为A可经初等变换化为等价标准形E鶴, 反过来,E編可经初等变换化为A,
即存在如阶初等矩阵Pi，P”..,Ps和"阶初等矩阵
0, 0,…,0使得氏..强E厲00...0 =4 于是令P = Ps...P2Pl,
I)T=ET=E
性质(1)若4可逆，则也可逆并且JT)T =4
(2) 若A可逆，则-T也可逆并且以T)-1 = (Q)T.
(3) 若4可逆,4为非零的数，
则kA也可逆，并且(kA) 】=LAT. (4) 若A,B为同阶可逆矩阵，
则也可逆，并且(4B)T = \、反序律
证明=A(BBl)Al = AEA1 = AA1 = E (B^A-^iAB) = = Br^EB = BrlB =E
2-2逆矩阵
A −1
2 6 −4 1 3 −2 1 ∗ 1 = A = −3 −6 5 = − 3 2 −3 5 2 . A 2 2 2 −2 1 1 −1
14
三、逆矩阵的求法及应用
用可逆矩阵求解矩阵方程 矩阵方程AX=B的矩阵 其中 的矩阵X,其中 例3：求满足矩阵方程 ：求满足矩阵方程 的矩阵
左乘方程AX=B两边得： 两边得： 用A-1左乘方程 两边得
15
三、逆矩阵的求法及应用
1 1 X = A −1 B = 2 9 2 2 1 −2 2 8 − 2 − 5 1 2
2 3 9 = 7 9 9 28 15 9
第二章 矩阵及其运算
第二节 逆矩阵 (Inverse matrix) 一、逆矩阵的定义及性质
二、方阵可逆的充要条件 三、逆矩阵的求法及应用 四、小结 思考题
1
一、逆矩阵的定义及性质
1、数 、
−1
在数的运算中，当数α≠０时， 在数的运算中，当数 ０
有
aa −1 = a −1a = 1,
1 的倒数， 则 a = 称为 a 的倒数， a
17 3 − 5 3 1 3
注: 1)上例中X≠BA-1; 1)上例中 2)若矩阵方程为XB=C 或 AXB=C,其中矩阵A与B是可逆 2)若矩阵方程为XB=C 若矩阵方程为 方阵, 方阵,则 X=CB-1或 X=A-1CB-1; 注：若Ａ不是可逆阵，或者不是方阵，矩阵方程不能 不是可逆阵，或者不是方阵， 用可逆矩阵求解
A11 = ( −1)
2
2 1 4 3
= 2,
A12 = ( −1)
3
2 1 3 3
线性代数2.3- 逆矩阵
解
(1)
1 − 5 3 2 X = −1 4 1 4
−1
1 − 5 给方程两端左乘矩阵 , −1 4 E 1 − 5 1 − 5 1 − 5 3 2 X = 得 −1 4 −1 4 −1 4 1 4 1 − 5 3 2 − 4 − 5 3 2 − 17 − 28 ⇒X = = = . −1 4 1 4 − 1 − 1 1 4 − 4 − 6
A A21 A31 11 A 1 −1 ∴ A = = A A22 A32 12 A A A A23 A33 13
∗
1 − 3 3 1 4 . = −4 0 4 5 − 1 − 3 2 3 −1 5 = 0, 由于 B = − 1 3 1 5 − 11
−k
−1 T
).
−1 k
另外, 当 A ≠ 0时, 定义 A = E,
0
A
= (A
).
(k为正整数 )
当 A ≠ 0, λ , µ为整数时 , 有 A A =A
λ µ λ +µ
,
−1
(A )
λ µ
= Aλµ .
(5 ) 若A可逆 ,则有 A = A .
−1
证明
Q AA −1 = E
∴ A A −1 = 1
1 − 1 1 给方程两端左乘矩阵 1 1 0 , 3 2 1
一、概念的引入
在数的运算中， 在数的运算中，当数a ≠ 0 时， 有
aa −1 = a −1a = 1,
的倒数， 的逆）； 其中 a−1 = 1 为 a 的倒数， 或称 a 的逆）； （ a 在矩阵的运算中， 单位阵 E相当于数的乘法运算中 在矩阵的运算中， 的1， 那么，对于矩阵 A ， ， 那么， 如果存在一个矩阵A−1, 使得
高等数学逆矩阵
2 3 −1 不可逆. 由于 | B | = − 1 − 3 不可逆 5 = 0, 故B不可逆 1 5 − 11 a b 例4: 求 的逆矩阵( 的逆矩阵 ad – bc ≠ 0 ). c d 用伴随矩阵的方法求A逆阵 逆阵. 解: 用伴随矩阵的方法求 逆阵 a b , | A | = ad – bc 0. 则A可逆且 可逆且 ≠ 设 A= c d A11 = d, A21 = –b, A∗ = A11 A21 = d − b . A A − c a A12 = –c, A22 = a . 12 22 1 ∗ 1 d − b −1 A = 则 A = − c . a | A| ad − bc
§2.3 逆 矩 阵
一、逆矩阵的概念和性质
在数的运算中, 在数的运算中 当数 a ≠ 0 时, 有 aa-1 = a-1a = 1. 1 −1 = 的倒数, 或称a的逆 的逆(元 为a 的倒数 或称 的逆 元). 其中 a a 在矩阵的运算中, 单位阵E相当于数的乘法运算中 在矩阵的运算中 单位阵 相当于数的乘法运算中 那么, 对于矩阵A, 如果存在一个矩阵A 的1, 那么 对于矩阵 如果存在一个矩阵 -1, 使得 AA-1 = A-1A = E, 则矩阵A称为可逆矩阵 称为可逆矩阵, 逆阵. 则矩阵 称为可逆矩阵 称A-1为A逆阵 逆阵 定义: 对于n 阶方阵A, 如果存在一个n 阶方阵B, 定义 对于 阶方阵 如果存在一个 阶方阵 AB = BA = E 使得 则称矩阵A是可逆的 并称矩阵B为 的逆矩阵 的逆 是可逆的, 的逆矩阵. 则称矩阵 是可逆的 并称矩阵 为A的逆矩阵 A的逆 矩阵记作A 矩阵记作 -1.
下列矩阵A,B是否可逆 若可逆 求其逆矩阵 是否可逆? 例3: 下列矩阵 是否可逆 若可逆, 求其逆矩阵. 3 − 1 1 2 3 2 A = 2 1 2 , B = − 1 − 3 5 . 1 3 3 1 5 − 11 解: 1 2 3 1 2 3 −3 −4 | A |= 2 1 2 = 0 − 3 − 4 = 1 0 = 4 ≠ 0 1 3 3 0 1 0 所以, 可逆 可逆. 所以 A可逆 由于 A11 = 1 2 = −3, A12 = − 2 2 = −4, A13 = 2 1 = 5, 1 3 1 3 3 3 同理可得 A21 = 3, A22 = 0, A23 = −1, A31 = 1, A32 = 4, A33 = −3. 所以, 所以 A21 A31 A 1 1− 3 3 1 ∗ 1 11 A −1 = A = A12 A22 A32 = − 4 0 4 . 4 5 − 1 − 3 | A| | A|A 13 A23 A33