因式分解复习课课件
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《因式分解》复习课件
《因式分解》复习 课件
目 录
• 因式分解的定义与性质 • 因式分解的方法与技巧 • 因式分解的应用 • 因式分解的注意事项与易错点 • 因式分解的练习题与解析
01
CATALOGUE
因式分解的定义与性质
因式分解的定义
总结词
因式分解是将一个多项式表示为 几个整式的积的形式。
详细描述
因式分解是将一个多项式通过数 学运算，将其表示为几个整式的 积的形式。例如，将多项式 $ax^2 + bx + c$ 分解为 $(x+1)(x+2)$。
注意事项
理解因式分解的定义
掌握基本方法
因式分解是将一个多项式表示为几个整式 的积的形式。必须明确理解这一基本概念 ，才能正确进行因式分解。
如提公因式法、公式法等，是进行因式分 解的基本手段，需要熟练掌握。
注意符号问题
考虑所有可能情况
在进行因式分解时，要注意各项的符号， 尤其是负号，以免出现错误。
因式分解可能存在多种形式，要全面考虑 所有可能性，选择最合适的形式。
或错误。
05
CATALOGUE
因式分解的练习题与解析
基础练习题
总结词
掌握基础概念
ห้องสมุดไป่ตู้分解因式
$x^2 - 4$
答案
$(x + 2)(x - 2)$
基础练习题
01
解析
这是一个基本的平方差公式应 用，$x^2 - 4$可以看作是 $(x + 2)(x - 2)$的展开。
02
分解因式
$4x^2 - y^2$
易错点分析
忽略公因式
在进行提公因式时，容 易忽略某些项的公因式 ，导致分解不彻底或错
目 录
• 因式分解的定义与性质 • 因式分解的方法与技巧 • 因式分解的应用 • 因式分解的注意事项与易错点 • 因式分解的练习题与解析
01
CATALOGUE
因式分解的定义与性质
因式分解的定义
总结词
因式分解是将一个多项式表示为 几个整式的积的形式。
详细描述
因式分解是将一个多项式通过数 学运算，将其表示为几个整式的 积的形式。例如，将多项式 $ax^2 + bx + c$ 分解为 $(x+1)(x+2)$。
注意事项
理解因式分解的定义
掌握基本方法
因式分解是将一个多项式表示为几个整式 的积的形式。必须明确理解这一基本概念 ，才能正确进行因式分解。
如提公因式法、公式法等，是进行因式分 解的基本手段，需要熟练掌握。
注意符号问题
考虑所有可能情况
在进行因式分解时，要注意各项的符号， 尤其是负号，以免出现错误。
因式分解可能存在多种形式，要全面考虑 所有可能性，选择最合适的形式。
或错误。
05
CATALOGUE
因式分解的练习题与解析
基础练习题
总结词
掌握基础概念
ห้องสมุดไป่ตู้分解因式
$x^2 - 4$
答案
$(x + 2)(x - 2)$
基础练习题
01
解析
这是一个基本的平方差公式应 用，$x^2 - 4$可以看作是 $(x + 2)(x - 2)$的展开。
02
分解因式
$4x^2 - y^2$
易错点分析
忽略公因式
在进行提公因式时，容 易忽略某些项的公因式 ，导致分解不彻底或错
整式的乘法因式分解复习课件
因式分解
1.运用前两节所学的知识填空
1).m(a+b+c)= ma+mb+你m能. c发现这 2).(a+b)(a-b)= a2-b2 两组.等式之 3).(a+b)2= a2+2ab.+b2间区的别联吗系? 和
2.试一试 填空:
1).ma+mb+mc= m•( a+b+c )
2).a2-b2=((a+b)(a-b))
A. 4X²+y² B. 4 x- (-y)²
C. -4 X²-y³ D. - X²+ y²
D. 4) -4a²+1分解因式的结果应是 （D ）
A. -(4a+1)(4a-1)
B. -( 2a –1)(2a –1)
B. -(2a +1)(2a+1) D. -(2a+1) (2a-1)
整式的乘法因式分解复习课件
被除式的系数 除式的系数
底数不变， 指数相减。 整式的乘法因式分解复习课件
保留在商里 作为因式。
解： (1).(2x²y)³·(–7xy²)÷(14x4y³)
=8x6y3 ·(–7xy²)÷(14x4y³)
=-56x7y5 ÷(14x4y³) = -4x3y2 解：(2).(2a+b)4÷(2a+b)²
整式的乘法因式分解复习课件
a a a 同底数幂的乘法
m · n = m+n
幂的乘方
a a ( m )n = mn
整 式
积的乘方
( ab )n= an b n
的 乘
单项式的乘法
4a2x5 ·(-3a3bx2)
第3讲 代数式与整式(含因式分解)复习课件
A.x（x2－4x）
B.x（x＋4）（x－4）
C.x（x＋2）（x－2）
D.x（x2－4）
11.[2023省卷11题]因式分解：ax2－2ax＋a＝ a（x－1）2 .
12.[2023兰州13题]因式分解：x2－25y2＝ （x＋5y）（x－5y）
13.[2021省卷11题]分解因式：4m－2m2＝ 2m（2－m） .
A.－2
B.－1
C.2
D.3
答题模板
示范题：计算：（a－3b）（a＋3b）＋（a－3b）2.
第一步：展开完全平方式与平方差公式
解：原式＝_____________________________
a2－（3b）2＋（a2－6ab＋9b2
）
第二步：乘方计算与去括号
＝_______________________
1
例：若x＝ 2 ，则代数
5
式－x2－1＝－ 4
例：若6y2－3y＋5＝14
，则代数式2y2－y＋1
＝4
考点 2
整式的相关概念
由数与字母的① 乘积 组成的代数式叫做单项式（单独的一个数
单 概念
或一个字母也是单项式）
项
系数 单项式中的② 数字 因数
式
次数 单项式中所有字母的指数的③_____
和
概念 几个单项式的④ 和 叫做多项式
第3讲
代数式与整式
（含因式分解）
考点 1
概念
代数式
用基本运算符号连接数和字母组成的式子叫做代数式，单独的一个数
或字母也是代数式.
直接
代数
式求
值
代入法
把已知字母的值直接代入
利用提公因式法、平方差公式、完全
B.x（x＋4）（x－4）
C.x（x＋2）（x－2）
D.x（x2－4）
11.[2023省卷11题]因式分解：ax2－2ax＋a＝ a（x－1）2 .
12.[2023兰州13题]因式分解：x2－25y2＝ （x＋5y）（x－5y）
13.[2021省卷11题]分解因式：4m－2m2＝ 2m（2－m） .
A.－2
B.－1
C.2
D.3
答题模板
示范题：计算：（a－3b）（a＋3b）＋（a－3b）2.
第一步：展开完全平方式与平方差公式
解：原式＝_____________________________
a2－（3b）2＋（a2－6ab＋9b2
）
第二步：乘方计算与去括号
＝_______________________
1
例：若x＝ 2 ，则代数
5
式－x2－1＝－ 4
例：若6y2－3y＋5＝14
，则代数式2y2－y＋1
＝4
考点 2
整式的相关概念
由数与字母的① 乘积 组成的代数式叫做单项式（单独的一个数
单 概念
或一个字母也是单项式）
项
系数 单项式中的② 数字 因数
式
次数 单项式中所有字母的指数的③_____
和
概念 几个单项式的④ 和 叫做多项式
第3讲
代数式与整式
（含因式分解）
考点 1
概念
代数式
用基本运算符号连接数和字母组成的式子叫做代数式，单独的一个数
或字母也是代数式.
直接
代数
式求
值
代入法
把已知字母的值直接代入
利用提公因式法、平方差公式、完全
青岛版七年级数学下册第12章乘法公式与因式分解复习课件
1.-m2n2+4p2
2.(x+z)2-(y+z)2
(a b)2 a2 2ab b2 完全平方公式：
(a b)2 a2 2ab b2
现在我们把完全平方公式反过来，可得：
a2 2ab b2 (a b)2 a2 2ab b2 (a b)2
两个数的平方和，加上（或减去）这两个数的 积的两倍，等于这两数和（或者差）的平方．
2．学习难点： (1)在具体问题中，正确地运用乘法公式； (2)在具体问题中，正确地运用提公因式法和
公式法分解因式。
乘法公式： (a b)(a b) a2 b2
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数 的平方差。
a2 b2 (a b)(a b)
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数 的差的积。
n _9__ 3.先化简，再求值：
2a bb 2a b2 4a2 ,其中a 1,b 2
原式=16a4-b4 当a=-1 ，b=-2时，原式=0
首2 2 首 尾 尾2
请补上一项，使下列多项式成为完全平方式．
1 x2 _____ y2； 2 4a2 9b2 （_±__1_2_a_b；) 3 x2 _____ 4 y2；
4 a2 _____ 1 b2；
4
5 x4 2x2 y __y__2 _．
因式分解的基本方法是什么？
1.a b5 3a b3的公因式是(_a_-b_)_3_ 2.2mn 2mx _2_m___n x 3.8m2n 2mn 2mn_4_m_-_1_
基础自测（学生独立完成）
1.5a 1_5_a_-1_ 25a2 1 2. 3a _2_b_ 3a _2_b_ 9a2 4b2 3.x 1-_1_-x_ 1 x2;a b_b_-a_ b2 a2
2.(x+z)2-(y+z)2
(a b)2 a2 2ab b2 完全平方公式：
(a b)2 a2 2ab b2
现在我们把完全平方公式反过来，可得：
a2 2ab b2 (a b)2 a2 2ab b2 (a b)2
两个数的平方和，加上（或减去）这两个数的 积的两倍，等于这两数和（或者差）的平方．
2．学习难点： (1)在具体问题中，正确地运用乘法公式； (2)在具体问题中，正确地运用提公因式法和
公式法分解因式。
乘法公式： (a b)(a b) a2 b2
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数 的平方差。
a2 b2 (a b)(a b)
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数 的差的积。
n _9__ 3.先化简，再求值：
2a bb 2a b2 4a2 ,其中a 1,b 2
原式=16a4-b4 当a=-1 ，b=-2时，原式=0
首2 2 首 尾 尾2
请补上一项，使下列多项式成为完全平方式．
1 x2 _____ y2； 2 4a2 9b2 （_±__1_2_a_b；) 3 x2 _____ 4 y2；
4 a2 _____ 1 b2；
4
5 x4 2x2 y __y__2 _．
因式分解的基本方法是什么？
1.a b5 3a b3的公因式是(_a_-b_)_3_ 2.2mn 2mx _2_m___n x 3.8m2n 2mn 2mn_4_m_-_1_
基础自测（学生独立完成）
1.5a 1_5_a_-1_ 25a2 1 2. 3a _2_b_ 3a _2_b_ 9a2 4b2 3.x 1-_1_-x_ 1 x2;a b_b_-a_ b2 a2
人教版八年级数学上册14.整式的乘除与因式分解--复习课件
不是完全平方式，不能进行分解
例2 把下列各式分解因式. (1)(a+b)2-4a2 ； (2)1-10x+25x2； (3)(m+n)2-6(m+n)+9
解:(1)(a+b)2-4a2=(a+b)2-(2a)2 =(a+b+2a)(a+b-2a) =(3a+b)(b-a)
(2)1-10x+25x2 =1-10x+(5x)2 =(1-5x)2 (3)(m+n)2-6(m+n)+9=(m+n-3)2.
5, 求(a
1 )2的值. a
(2)若x y2 2, x2 y2 1, 求xy的值.
(3)如果(m n)2 z m2 2mn n2 ,
则z应为多少?
(4)(x 3y 2z)(x 3y 2z)
(5)19992, (6)20012 19992
练习：计算下列各题。
(1)( 1 a6b4c) ((2a3c) 4
1、 205×195 2、 (3x+2) (3x-2) 3、(-x+2y) (-x-2y) 4 、 (x+y+z)(x+y-z)
（2）、完全平方公式
一般的，我们有：
(a b)2 a2 2ab b2;
(a b)2 a2 2ab b2 其中a, b既可以是数, 也可以是代数式.
即: (a b)2 a2 2ab b2
探索与创新题 例4 若9x2+kxy+36y2是完全平方式，则k= —
分析:完全平方式是形如：a2±2ab+b2即两数 的平方和与这两个数乘积的2倍的和(或差).
∵9x2+kxy+36y2=(3x)2+kxy+(6y)2 ∴±kxy=2·3x·6y=36xy ∴k=±36
例2 把下列各式分解因式. (1)(a+b)2-4a2 ； (2)1-10x+25x2； (3)(m+n)2-6(m+n)+9
解:(1)(a+b)2-4a2=(a+b)2-(2a)2 =(a+b+2a)(a+b-2a) =(3a+b)(b-a)
(2)1-10x+25x2 =1-10x+(5x)2 =(1-5x)2 (3)(m+n)2-6(m+n)+9=(m+n-3)2.
5, 求(a
1 )2的值. a
(2)若x y2 2, x2 y2 1, 求xy的值.
(3)如果(m n)2 z m2 2mn n2 ,
则z应为多少?
(4)(x 3y 2z)(x 3y 2z)
(5)19992, (6)20012 19992
练习：计算下列各题。
(1)( 1 a6b4c) ((2a3c) 4
1、 205×195 2、 (3x+2) (3x-2) 3、(-x+2y) (-x-2y) 4 、 (x+y+z)(x+y-z)
（2）、完全平方公式
一般的，我们有：
(a b)2 a2 2ab b2;
(a b)2 a2 2ab b2 其中a, b既可以是数, 也可以是代数式.
即: (a b)2 a2 2ab b2
探索与创新题 例4 若9x2+kxy+36y2是完全平方式，则k= —
分析:完全平方式是形如：a2±2ab+b2即两数 的平方和与这两个数乘积的2倍的和(或差).
∵9x2+kxy+36y2=(3x)2+kxy+(6y)2 ∴±kxy=2·3x·6y=36xy ∴k=±36
北师大版八年级数学下册第四章因式分解章末复习课件(共42张)
答案 C
章末复习
母题2 (教材P104复习题第1题) 把下列各式因式分解： (1)7x2-63； (2)a3-a； (3)3a2-3b2； (4)y2-9(x+y)2； (5)a(x-y)-b(y-x)+c(x-y)； (6)x(m+n)-y(n+m)+(m+n)； (7)(x+y)2-16(x-y)2； (8)a2(a-b)2-b2(a-b)2； (9)(x+y+z)2-(x-y-z)2； (10)(x+y)2-14(x+y)+49.
章末复习
相关题1 把下列各式分解因式： (1)5x2-15xy+10xy2； (2)a(x-2)+(2-x)2； (3)2x2y-8xy+8y； (4)(m2+n2)2-4m2n2.
章末复习
解：(1)原式＝5x(x－3y＋2y2)． (2)原式＝(x－2)(a＋x－2)． (3)原式＝2y(x2－4x＋4)＝2y(x－2)2. (4)原式＝(m2＋n2＋2mn)(m2＋n2－2mn)＝(m＋n)2·(m－n)2.
相关题3 求证：不论x取何实数, 多项式-2x4-12x3-18x2的值都不会是 正数.
证明：原式＝－2x2(x2＋6x＋9)＝－2x2(x＋3)2. ∵－2x2≤0，(x＋3)2≥0， ∴－2x2(x＋3)2≤0， ∴不论 x 取何实数，原式的值都不会是正数．
章末复习
专题四 因式分解的应用
【要点指点】 因式分解不仅在数值计算、代数式的化简求值等方 面有广泛的应用, 在解决实际问题时也同样重要.通过学习和应用 因式分解, 能使我们的视察能力、运算能力、逻辑思维能力、探究 能力得到提高．
章末复习
母题2 (教材P104复习题第1题) 把下列各式因式分解： (1)7x2-63； (2)a3-a； (3)3a2-3b2； (4)y2-9(x+y)2； (5)a(x-y)-b(y-x)+c(x-y)； (6)x(m+n)-y(n+m)+(m+n)； (7)(x+y)2-16(x-y)2； (8)a2(a-b)2-b2(a-b)2； (9)(x+y+z)2-(x-y-z)2； (10)(x+y)2-14(x+y)+49.
章末复习
相关题1 把下列各式分解因式： (1)5x2-15xy+10xy2； (2)a(x-2)+(2-x)2； (3)2x2y-8xy+8y； (4)(m2+n2)2-4m2n2.
章末复习
解：(1)原式＝5x(x－3y＋2y2)． (2)原式＝(x－2)(a＋x－2)． (3)原式＝2y(x2－4x＋4)＝2y(x－2)2. (4)原式＝(m2＋n2＋2mn)(m2＋n2－2mn)＝(m＋n)2·(m－n)2.
相关题3 求证：不论x取何实数, 多项式-2x4-12x3-18x2的值都不会是 正数.
证明：原式＝－2x2(x2＋6x＋9)＝－2x2(x＋3)2. ∵－2x2≤0，(x＋3)2≥0， ∴－2x2(x＋3)2≤0， ∴不论 x 取何实数，原式的值都不会是正数．
章末复习
专题四 因式分解的应用
【要点指点】 因式分解不仅在数值计算、代数式的化简求值等方 面有广泛的应用, 在解决实际问题时也同样重要.通过学习和应用 因式分解, 能使我们的视察能力、运算能力、逻辑思维能力、探究 能力得到提高．
12.5.6因式分解(复习课)
（）
⑺x2-3x-4=(x-4)(x-1)
（）
例1：分解因式
a2 ab ac bc 练习：a2 ab ac bc
分组分 解法
m2 5m mn 5n
x2 y2 ax ay a2 b2 1 2ab
x2 6x y2 9
灵活选择因式分解的方法进行因式分解
例2、 把下列各式分解因式
（1） a2b－5ab （2） a（x－3）＋2b（3-x） （3） 3x2-5x-2 （4）（a2＋ 4）2－16a2 （5）（m＋n）2 －6（m＋n）＋8
x3 2x2 8x
(a2 4)2 16a2
x2 4y2 x 2y
a3 2a2b ab2 x2 x 9y2 3y
（彻底性）
说出下列各式由左到右=（a－3）（a＋3）
（）
⑵x＋y=x（1＋y ）
x
⑶x（m＋n）=mx＋nx
（）
（）
⑷x2－9＋4x=（x－3）（x＋3）＋4x （ ）
⑸a2_3a-ab+3b =(a-3)(a-b) （ ）
⑹4a2-b2+2b-1 =(a+b)(a-b-1)
(m2 n2 )2 4m2n(2a b)2 (a b)2 x 2 y 2 z 2 2 yz
(a c)(a c) b(b 2a)
练习
x3 2x2 8x x2 4y2 x 2y (a b)2 (a b)2 x2 x 9y2 3y
(a2 4)2 16a2 (m2 n2 )2 4m2n2 (a c)(a c) b(b 2a) x 2 y 2 z 2 2 yz
课堂小结
你
专题03 因式分解(课件)2023年中考数学一轮复习(全国通用)
知识点2 ：因式分解的方法与步骤
知识点梳理
1. 一般方法： （1）提公因式法： 如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式 与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 用字母表示：ma＋mb＋mc＝ m(a＋b＋c) ． 公因式的确定：取各项系数的最大公约数，取各项相同的因式及其最低次幂． ①定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数. ②定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母. ③定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数.
典型例题
知识点1 ：因式分解的概念
【例2】（2020•河北3/26）对于①x-3xy = x(1-3y)，②(x+3)(x-1) = x2+2x-3，从左
到右的变形，表述正确的是（ ）
A．都是因式分解
B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算
D．①是乘法运算，②是因式分解
知识点1 ：因式分解的概念
典型例题
知识点2 ：因式分解的方法与步骤
几种方法的综合运用
【例14】（2分）（2021•北京10/28）分解因式：5x2﹣5y2＝
．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用． 【分析】提公因式后再利用平方差公式即可． 【解答】解：原式＝5（x2﹣y2）＝5（x+y）（x﹣y）， 故答案为：5（x+y）（x﹣y）． 【点评】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是 正确应用的前提．
【答案】C．
典型例题
知识点2 ：因式分解的方法与步骤
利用十字相乘法分解因式
【例10】（2022•内江）分解因式：a4－3a2－4＝
．
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练习 练习
（三）因式分解的一般步骤：
? ① 对任意多项式分解因式，都必须首先考虑提 取公因式。
? ② 对于二次二项式，考虑应用平方差公式分解。 ? ③ 对于二次三项式，考虑应用完全平方公式分 解。
练习题
练习题：
? 把下列各式分解因式： ? （ x －y）3 － （ x －y） ? a2 － x2y2
如果把乘法公式反过来应用，就可以把多 项式写成积的形式，达到分解因式目的。这种 方法叫做运用公式法。
运用公式法中主要使用的公式有如下几个：
① a2－b2＝（a＋b）（a－b） ② a2 ＋2ab＋ b2 ＝（a＋b）2
a2 －2ab－ b2 ＝（a－b）2
[ 平方差公式 ] [ 完全平方和公式 ] [ 完全平方差公式 ]
2、把下列各式分解因式： (1)-15ax-20a ； (2)-25x 8+125x 16； (3)-a 3b2+a2b3； (4)-x 3y3-x2y2-xy； (5)-3ma 3+6ma 2-12ma ；
a2－b2＝（a＋b）（a－b） [ 平方差公式 ]
练习题： 分解因式 x2－（2y）2
解： x2－（2y）2 =（x＋2y）（x－2y）
《因式分解》复习课
一、知识要点
（一）、 因式分解的定义 （二）、因式分解的方法 （三）、因式分解的一般步骤
（一）因式分解的定义：
把一个多项式化成几个整式的积的形式，
叫做多项式的 因式分解。
即：一个多项式 →几个整式的积
（二）因式分解的方法：
? （1）、提取公因式法 ? （2）、运用公式法
（1）、提取公因式法：
解： （ x －y）3 － （ x －y） = （ x －y） （ x －y ＋ 1） （ x －y － 1）
a2 － x2y2 =（a ＋xy）（ a － xy ）
1、对下列多项式进行因式分解： （1）-5a2+25a;(2)3a 2-9ab; (3)25x2-16y2; (4)x2+4xy+x3+5x2+10x； (3)(a+b)(c-d)-2(a+b)·(c+d)； (4)(a-b)(a-c)+(b-a)·(b-c)； (5)8x2-2y2； (6)x5-x3； (7)9(x+y)2-(x-y)2； (8)4b2c2-(b2+c2-a2)2； (9)(x2+4)2-16x2； (10)m2(m+n)2-n2(m-n)2； (11)2a2(a+b)2-3(a+b)3．
1．把下列各式因式分解： (1)(m +n)2-n2； (2)169(a-b)2-196(a+ b)2； (3)(2x+y)2-(x+2y)2； (4)(a+ b+c)2-(a+b-c)2； (5)4(2p+3q)2 -(3p-q)2； (6)(x2+y2)2-x2y2． 2．分解因式： (1)81a4-b4； (2)8y4-2y2；
如果多项式的各项有公因式，可以 把这个公因式提到括号外面，将多项式 写成乘积的形式。这种分解因式的方法 叫做提公因式法。
即： ma + mb + mc = m（a+b+c）
练习题： 分解因式 p（y－x）－q（y－x）
解： p（y－x）－q（y－x） = （y－x）（ p －q）
（2）运用公式法：
2．将下列各式分解因式： (1)x2-12xy+36y 2； (2)a2-14ab+49b 2； (3)16a 4+24a 2b2+9b 4； (4)49a 2-112ab+64b 2．
三、小结
? 1、因式分解的定义： 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫
做多项式的因式分解。
? 2、因式分解的方法： （1）、提取公因式法 （2）、运用公式法
(3)3ax2-3ay4； (4)m4-1．
② a2 ＋2ab＋ b2 ＝（a＋b）2 a2 －2ab－ b2 ＝（a－b）2
练习题：
下列各式能用完全平方公式分解因式的是（ D ）
A、x2＋x＋2y2
B、 x2 ＋4x－4
C、x2＋4xy＋y2
D、 y2 －4xy＋4 x2
1．将下列各式因式分解： (1)x2+2x+1； (2)4a2+4a+1；