2.4一些常见曲线的参数方程
曲线的参数方程
曲线的参数方程曲线是数学中的一种图形，通常可以由一个或多个方程表示。
在某些情况下，使用参数方程可以更加方便地描述曲线的特征和性质。
参数方程通过引入一个或多个参数，将曲线上的点表示为参数的函数。
本文将介绍曲线的参数方程的概念、应用和一些常见的参数方程示例。
参数方程的概念参数方程通常表示为以下形式：x = f(t) y = g(t)其中，x和y是曲线上的点的坐标，t是参数。
通过给定不同的t值，可以得到曲线上不同的点。
参数方程提供了一种曲线上每个点的坐标的参数化表示方法。
与直角坐标系方程不同，参数方程可以描述一些非常复杂的曲线，如椭圆、双曲线、螺线等。
通过选择合适的参数函数和参数范围，可以细致地刻画曲线的形状和特性。
参数方程的应用参数方程在许多领域具有广泛的应用，尤其是在计算机图形学、物理学和工程学中。
以下是几个参数方程的应用示例：1. 计算机图形学在计算机图形学中，参数方程常用于描述二维和三维图形的轨迹。
例如，在绘制动画和游戏中，可以使用参数方程来表示粒子、动画角色的路径等。
参数方程提供了一种简洁的方式来生成复杂的图形效果。
2. 物理学在物理学中，参数方程用于描述质点在空间中运动的路径。
例如，当质点沿着曲线运动时，可以使用参数方程来确定质点在每个时刻的位置。
参数方程还可以应用于描述粒子在电磁场中的运动、弹道轨迹等。
3. 工程学在工程学中，参数方程常用于描述各种曲线和曲面。
例如，工程师可以使用参数方程来描述曲线的轮廓、曲线的弯曲性质以及曲线上不同点的坐标。
参数方程还可以用于描述曲线的焦点、渐近线等重要属性。
常见的参数方程示例以下是几个常见的参数方程示例：1. 二维直线方程对于二维直线，可以使用如下的参数方程：x = at + b y = ct + d其中a、b、c和d为常数，代表直线的斜率和截距。
2. 圆的参数方程对于圆，可以使用如下的参数方程：x = r * cos(t) y = r * sin(t)其中r为半径，t为参数，可以取0到2π之间的值。
常见曲线的参数方程
2.2 常见曲线的参数方程 第一节 圆锥曲线的参数方程一椭圆的参数方程1、中心在坐标原点，焦点在x 轴上，标准方程是22221(0)x y a b a b+=>>的椭圆的参数方程为cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）同样，中心在坐标原点，焦点在y 轴上，标准方程是22221(0)y x a b a b+=>>的椭圆的参数方程为cos (sin x b y a ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）2、椭圆参数方程的推导如图，以原点O 为圆心，,()a b a b o >>为半径分别作两个同心圆，设A 为大圆上的任一点，连接OA ，与小圆交于点B ，过点,A B 分别作x 轴，y 轴的垂线，两垂线交于点M 。
设以Ox 为始边，OA 为终边的角为ϕ，点M 的坐标是(,)x y 。
那么点A 的横坐标为x ，点B 的纵坐标为y 。
由于点,A B 都在角ϕ的终边上，由三角函数的定义有cos cos ,sin sin x OA a y OB b ϕϕϕϕ==== 3当半径OA 绕点O 旋转一周时，就得到了点M 的轨迹，它的参数方程是cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）这是中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。
3、椭圆的参数方程中参数ϕ的意义 圆的参数方程cos (sin x r y r θθθ=⎧⎨=⎩为参数）中的参数θ是动点(,)M x y 的旋转角，但在椭圆的参数方程cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）中的参数ϕ不是动点(,)M x y 的旋转角，它是动点(,)M x y 所对应的圆的半径OA （或OB ）的旋转角，称为点M 的离心角，不是OM 的旋转角，通常规定[)0,2ϕπ∈ 4、椭圆参数方程与普通方程的互化可以借助同角三角函数的平方关系将普通方程和参数方程互化。
①由椭圆的参数方程cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数，0)a b >>，易得cos ,sin x ya b ϕϕ==，可以利用平方关系将参数方程中的参数ϕ化去得到普通方程22221(0)x y a b a b+=>>②在椭圆的普通方程22221(0)x y a b a b +=>>中，令cos ,sin x ya bϕϕ==，从而将普通方程化为参数方程cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数，0)a b >>注：①椭圆中参数的取值范围：由普通方程可知椭圆的范围是：,a x a b y b -≤≤-≤≤，结合三角函数的有界性可知参数[)0,2ϕπ∈②对于不同的参数，椭圆的参数方程也有不同的呈现形式。
参数方程公式大全
参数方程是描述曲线上任意一点的坐标(x, y)作为某个变量t的函数的方程组。
在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x, y)都是某个变数t的函数x=f(t), y=φ(t)，且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点(x, y)都在这条曲线上，那么这个方程组称为这条曲线的参数方程。
常见参数方程公式
圆：
参数方程：x = a + r cosθ, y = b + r sinθ (θ∈ [0, 2π))，其中(a, b)为圆心坐标，r为圆半径。
椭圆：
参数方程：x = a cosθ, y = b sinθ (θ∈ [0, 2π))，其中a 为长半轴长，b为短半轴长。
双曲线：
参数方程：x = a secθ, y = b tanθ (θ为参数)，其中a为实半轴长，b为虚半轴长。
抛物线：
参数方程：x = 2pt, y = 2pt (p为焦点到准线的距离，t为参数)，或者x = 2pt^2, y = pt (t为参数)。
直线：
参数方程：x = x' + tcosα, y = y' + tsinα (t为参数)，其中(x', y')为直线上的一个点，α为直线的倾斜角。
参数方程与普通方程的互化公式
cos²θ + sin²θ = 1。
ρ = x² + y²。
ρcosθ = x。
ρsinθ = y。
其他公式：曲线的极坐标参数方程ρ=f(t), θ=g(t)。
常见曲线的参数方程
双曲线参数方程
04
双曲线标准形式及性质
标准形式
$frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1$ （$a, b > 0$）
性质
双曲线有两个焦点，位于x轴上，距离原点的距离为$c$，其中$c^2 = a^2 + b^2$。双曲线上的任意一点到两 焦点的距离之差为定值$2a$。
椭圆性质
椭圆有两个焦点，任意一点到两焦点 的距离之和等于长轴的长度；椭圆关 于中心对称，也关于两焦点所在的直 线对称。
椭圆参数方程推导
参数方程形式
$x = acostheta, y = bsintheta$，其中$theta$为参数，表 示与$x$轴的夹角。
推导过程
由椭圆的标准形式，设$x = acostheta$，代入椭圆方程可得 $y = pm bsqrt{1 - frac{x^2}{a^2}} = pm bsqrt{1 cos^2theta} = pm bsintheta$。由于椭圆关于$x$轴对称， 故取正号，得到椭圆的参数方程。
常见曲线的参数方程
汇报人：XX
contents
目录
• 曲线基本概念与分类 • 直线与圆参数方程 • 椭圆参数方程 • 双曲线参数方程 • 抛物线参数方程 • 空间曲线参数方程简介
曲线基本概念与分
01
类
曲线定义及性质
曲线定义
曲线是动点运动时，其位置随时 间连续变化所形成的轨迹。
曲线性质
曲线具有连续性、光滑性、可微 性等性质，这些性质决定了曲线 的形态和特性。
参数方程定义
参数方程是一种通过引入参数来表示 变量间关系的方程形式。在参数方程 中，曲线的坐标被表示为参数的函数 。
常见曲线的参数方程PPT课件
2a
x
.
6
y
o
Mt a
A
C
x
x AC OMsint y OCOMcost
a(t sint)
a(1cost)
这就是旋轮线的参数方程。
7
2. 旋轮线也叫摆线（单摆）
将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板
8
.
9
10
两个旋轮线形状的挡板, 使摆动周期与摆幅完全无关。 在17世纪，旋轮线即以此性质出名，所以旋轮线又称摆线。
a
o
a
xHale Waihona Puke 16y.a
o
来看动点的慢动作
a
x
17
y
a
o 来看动点的慢动作
a
x
2a
.
18
参数方程
y
r = a (1+cosθ) r
o
P
x
2a
.
19
y
5.星形线(圆内旋轮线)
一圆沿另一圆
内缘无滑动地
滚动，动圆圆
周上任一点
所画出的曲线。
–a
o
a 4
ax
20
y
.
–a
o
来看动点的慢动作
ax
21
y
–a
o
问答
问题提问与解答
HERE COMES THE QUESTION AND ANSWER SESSION 45
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标题
标题
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标题
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46
参数方程的简单应用
5 .参数方程与普通方程的互化。
6 .参数方程的应用。
1.曲线的参数方程的概念
在取定的坐标系中，如果曲线上任意一 点的坐标 x, y 都是某个变数 t 的函数
x f (t ), y (t ),
(1)
并且对于t 的每一个允许值，由方程组 (1) 确定的点M( x, y )，都在这条曲线上， 那么方程组 (1) 就叫做这条曲线的参数 方程。
B
O
y
A
O D
x
C
x 2 例4： 已知点P(x,y)是椭圆 y 1 4 上一点，求 2x+y 的最值
解：设P(2cosθ,sinθ), 则 2x+y= 4cosθ+sinθ
4 1 17 ( cos sin ) 17 17值为： 17，最小值为： 17
课堂小结
利用椭圆的参数方程来表示椭圆 上点的坐标，使其只含有一个变量， 在求最值的问题中比较简便. 对于一些求轨迹方程的问题，借 助参数联系曲线上点的横纵坐标的关 系，建立曲线的参数方程，消去参数， 得到普通方程.
5.参数方程与普通方程的互化
(1)参数方程 普通方程
消去参数
普通方程; 参数方程.
设适当的参数
(2)参数方程化为普通方程的方法: ①代入法:从x=f(t)中解出t用x表示,代人到 y=g(x)中,就得到普通方程。 ②公式法:利用三角公式或代数公式消去参数, 就得到普通方程.
常用的三角公式有:sin2x+cos2x=1; Sec2x-tg2x=1; csc2x-ctg2x=1;
2
2
2
b （1）当 0 b c 时，有 0 2 1 c 2 b 当 sin 2 时， |PB|2取得最大值 c 2 2 a 2 a 为 ( ) ，即|PB|取得最大值为 . c c 2 b （2）当 0 c b 时，有 2 1 c 当sinθ=-1 时， |PB|取得最大值为2b.
数学的参数方程公式有哪些
数学的参数方程公式有哪些直线参数方程是高中数学在解析几何这一模块中非常重要的知识点,也是整个高中数学的一大难题,接下来店铺为你整理了数学参数方程公式，一起来看看吧。
数学参数方程公式数学参数方程概念一般在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数：x=f(t),y=g(t)，并且对于t的每一个允许的取值，由方程组确定的点(x,y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数。
圆的参数方程x=a+r cosθ y=b+r sinθ (a,b)为圆心坐标 r为圆半径θ为参数椭圆的参数方程x=a cosθ y=b sinθ a为长半轴长 b为短半轴长θ为参数双曲线的参数方程x=a secθ (正割) y=b tanθ a为实半轴长 b为虚半轴长θ为参数抛物线的参数方程x=2pt^2 y=2pt p表示焦点到准线的距离 t为参数直线的参数方程x=x'+tcosa y=y'+tsina , x', y'和a表示直线经过(x',y'),且倾斜角为a,t为参数.数学学习技巧一、课内重视听讲，课后及时复习。
新知识的接受，数学能力的培养主要在课堂上进行，所以要特别重视课内的学习效率，寻求正确的学习方法。
上课时要紧跟老师的思路，积极展开思维预测下面的步骤，比较自己的解题思路与教师所讲有哪些不同。
特别要抓住基础知识和基本技能的学习，课后要及时复习不留疑点。
首先要在做各种习题之前将老师所讲的知识点回忆一遍，正确掌握各类公式的推理过程，尽量回忆而不采用“不清楚立即翻书”之举。
认真独立完成作业，勤于思考，对于有些题目，由于自己的思路不清，一时难以解出，应让自己冷静下来认真分析题目，尽量自己解决。
在每个阶段的学习中要进行整理和归纳总结，把知识的点、线、面结合起来交织成知识网络，纳入自己的知识体系。
二、适当多做题，养成良好的解题习惯。
2.4一些常见曲线的参数方程
t1
,1
1 2
t1
),
B(1
3 2
t
2
,1
1 2
t
2
)
将直线的参数方程代入圆的方程 x2 y2 4
并整理得 t 2 ( 3 1)t 2 0
因为t1,t2是方程的解,从而t1t2=-2, 所以
| PA| | PB|
(
3 2
t1)2
(
1 2
t1
)2
(
3 2
t 2 )2
如下图轮子在滚动过程中会形成如下图形设b为圆心圆周上的定点为m开始时位于o处圆在直线上滚动时点m绕圆心滚动作圆周运动转过角后圆与直线相切于点a线段oa的长等于弧ma的长即oar这就是圆周上定点m在圆b沿直线滚动过程中满足的几何条件我们把该曲线的叫平摆线简称摆线又称旋轮线根据题意建立如图直角坐标系设圆的半径为r设开始时定点m在原点圆滚动了从点m分别作abx轴的垂线垂足为cd设点m的坐标为xy取为参数依题意得cbabacdmmcoadaoaodcossin10一
1.曲线 x 1 t 2, y 4t 3 与X轴交点的直角坐标为（）
Α(1,4) Β( 25 ,0) C(1,3) D( 25 ,0)
16
16
2.直线 x 2 3t上对应两点间的距离为（）
y -1 t
Α.1 Β. 10 C10 D2 2
x 3 t sin200
使用齿轮传递动力，由于渐开线齿形的齿 轮磨损少，传动平稳，制造安装较为方 便，因此大多数齿轮采用这种齿形.设计 这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程.
1.当
时，θ 求π2出, 32渐π 开线
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3.将参数方程 y si nθ
转化为
直角坐标方程是___，该曲线上的点与
定点A(-1,-1)距离的最小值是____
θ 4.O是坐标原点，P是椭圆 y 2 sinθ （ 是参数）
上离心角为
π 6
x 3 cosθ
所对应的点，那么直线OP
的倾斜角的正切值是______
三.解答题（本大题共2小题，每小题17 分）
（2）因为点A,B都在直线上，可设对应的 参数分别t1,t2，则点A,B的坐标分别为
3 1 A(1 t1 ,1 t1 ), 2 2
3 1 B(1 t 2 ,1 t 2 ) 2 2
2 2 将直线的参数方程代入圆的方程 x y 4
并整理得 t 2 ( 3 1)t 2 0
笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切 而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲 线，这条曲线的形状怎样？
我们来解决新课导入中的问题：
y
M B
θ
先分析动点（笔尖）所满
足的几何条件，如图所示，
设开始时绳子外端为 于点A，
o
A x
当外端展开到点M时，因为绳子对圆心角是一
C10
D2 2
3.直线
x 3 t sin 20 0 y t cos 20
（t为参数）的倾斜角是（） 0
A.200
B. 700
C.1100
0 D.160
x 3 3 cos 4.椭圆 （ 是参数的 两个交点的坐标是（） y 1 5 sin
A.(3,5), (-3,-3)
教学重难点
重点
1.认识摆线。
难点
1.体会数形结合的意义。
我们来解决新课导入中的问题： 如下图，轮子在滚动过程中会形成如下图形， 设B为圆心，圆周上的定点为M,开始时位于O 处，圆在直线上滚动时，点M绕圆心滚动作圆 周运动，转过 θ 角后，圆与直线相切于点A， 线段OA的长等于弧MA的长， 即OA=r ,
坐标为（x,y）取 θ 为参数,依题意得
x OD OA DA OA MC rθ r sinθ y DM AC AB CB r r cosθ
因此摆线的参数方程为
x r (θ sinθ ) y r (1 cosθ )
y
（θ 为参数）
M
导入新课
如果在自行车的轮子上喷一
个白色印记，那么当自行车在笔
直的道路上行驶时，白色印记会
画出什么样的曲线呢？
教学目标
知识与能力
1.直观的认识摆线的形状， 体会它在生活中的应用 2.培养同学们分析曲线的能力
过程与方法
1.通过参数方程的感性认识，初步了解摆线.
情感态度与价值观
1.培养学生探究现实生活中大量存在的规律. 2.让学生意识到同一问题可有多种求解方法.
因为|AC|=|BD|=4，所以
C,D的坐标为: C ( 1,0), D(1,0)
因为点P在圆上,可设点P的坐标为
P (5 cosθ ,5 si nθ )
所以： | PC | | PD | (5 cosθ 1)2 (5 sinθ )2 (5 cosθ 1)2 (5 sinθ )2
π 1.已知直线L经过点P（1，1），倾斜角为 α 6 （1）写出直线的参数方程；
x 2 y 2 4相交于两点A,B， （2）设直线与圆
求点P 到A,B两点的距离之积。 2.圆的直径AB上有两点C,D，且 |AB|=10,|AC|=|BD|=4,P为圆上一点，
求|PC|+|PD|的最大值.
因为t1,t2是方程的解,从而t1t2=-2, 所以
3 2 1 2 3 2 1 2 | PA | | PB | ( t1 ) ( t1 ) ( t 2 ) ( t 2 ) | t1t 2 | 2 2 2 2 2
2.解：因为|AB|=10,所以圆的参数方程为
x 5 cosθ y 5 s i nθ
M
O
.B
θ
A
这就是圆周上定点M在圆B沿直线滚动
过程中满足的几何条件，我们把该曲线
的叫平摆线，简称摆线，又称旋轮线
M
O
.B A
y 根据题意建立如图
M 直角坐标系，设圆的半径为r，
设开始时定点M 在原点，
O
.B A x
圆滚动了θ 后与x轴相切于点A，圆心在点B,
从点M分别作AB,x轴的垂线，垂足为C,D,设点M的
26 10cosθ 26 10cosθ 52 2 262 100cos2 θ
当 cos θ 0 时
(| PC | | PD |)max 52 52 2 26
所以 | PC | | PD | 最大值为
2 26
导入新课
把一条没有弹性的细绳绕在
一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅
曲线上的点是（）
A.(2,7)
1 2 B.( , ) 3 3
1 1 C.( , ) 2 2
D.(1,0)
二.填空题（每小题6分，共24分）
1.直线x+y=1的一个参数方程是____ 2.椭圆 y 2 4 sinθ θ 为参数）的离心率为___ （
x 5 3 cosθ
x 1 cosθ
一.选择题：
1.B 2.B 3.C 4.B 5.B 6.C
二.填空题：
1.
2 x 1 t 2 2 y t 2
7 2. 4
3.( x 1)2 y 2 1; 5 1
2 3 4. 9
三.解答题：
1.解：（1）直线的参数方程为
3 x 1 t （ t 是参数） 2 1 y 1 t 2
O
.B
A x
一.选择题（本题每小题7分，共42分）
1.曲线 x 1 t 2 , y 4t 3 与X轴交点的直角坐标为（）
Α(1,4)
2.直线
x 2 3t y -1 t
25 Β( ,0) 16
C(1,3)
25 D( ,0) 16
Β. 10
5.直线
x 1 2t y 2 t
B.(3,3), (3,-5) D.(7,-1), (-1,-1)
C.(1,1), (-7,1)
12 B. 5 5
是参数被圆 x 2 y 2 9截得的弦长是（）
12 A. 5
9 C. 2 5
9 D. 10 5
x s i nθ
6.在方程 y cos 2θ（ θ 为参数）所表示的