北京西城区2018高三一模文科数学试题含答案
第Ⅱ卷（非选择题
共 110 分）
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分． 9．函数 f ( x)
1 的定义域是____． ln x
x y ≤ 1, 10．已知 x ， y 满足条件 x y ≤ 1, 则 z x 2 y 的最小值为____． x 1≥ 0,
因为 H ， F 分别为 A1 B ， A1C 的中点， 所以 HF // BC ， HF 所以 HF // DE ， HF DE ， 所以 四边形 DEFH 为平行四边形，[3 分] 所以 EF // HD ．[ 4 分] 因为 EF 平面 A1 BD ， HD 平面 A1 BD ， 所以 EF // 平面 A1 BD ．[ 5 分] （Ⅱ）因为在△ ABC 中， D ， E 分别为 AB ， AC 的中点， 所以 AD AE ． 所以 A1 D A1 E ，又 O 为 DE 的中点， 所以 A1O DE ．[ 6 分] 因为平面 A1 DE 平面 BCED ，且 A1O 平面 A1 DE ， 所以 A1O 平面 BCED ，[ 7 分] 所以 CO A1O ．[ 8 分] 在△ OBC 中， BC 4 ，易知 OB OC 2 2 ， 所以 CO BO ， 所以 CO 平面 A1OB ，[ 9 分] 所以 平面 A1OB 平面 A1OC ．[10 分] （Ⅲ）线段 OC 上不存在点 G ，使得 OC 平面 EFG ．[11 分] 否则，假设线段 OC 上存在点 G ，使得 OC 平面 EFG ， 连接 GE ， GF ， 则必有 OC GF ，且 OC GE ． 在 Rt △ A1OC 中，由 F 为 A1C 的中点， OC GF ， 得 G 为 OC 的中点．[12 分] 在△ EOC 中，因为 OC GE ， 所以 EO EC ， 这显然与 EO 1 ， EC 5 矛盾！ 所以线段 OC 上不存在点 G ，使得 OC 平面 EFG ．[14 分]
60% 31% 32% 58% 67% 36%
（Ⅰ）从表中所有应聘人员中随机选择 1 人，试估计此人被录用的概率； （Ⅱ）从应聘 E 岗位的 6 人中随机选择 1 名男性和 1 名女性，求这 2 人均被录用的概率； （Ⅲ）表中 A、B、C、D、E 各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大 于 5%），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现，若只考虑其 中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．（只需写出 结论）
岗位 男性应聘人数 男性录用人数 男性录用比例 女性应聘人数 女性录用人数 女性录用比例
A B C D E 总计
269 40 177 44 3 533
167 12 57 26 2 264
62% 30% 32% 59% 67% 50%
40 202 184 38 3 467
24 62 59 22 2 169
图1
图2
19． （本小题满分 14 分） 已知椭圆 C :
x2 y 2 2 2 1 (a b 0) 的离心率为 ， 以椭圆 C 的任意三个顶点为顶点的三 2 2 a b
角形的面积是 2 2 ． （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）设 A 是椭圆 C 的右顶点，点 B 在 x 轴上．若椭圆 C 上存在点 P ，使得 APB 90 ，求 点 B 横坐标的取值范围．
即 (1 d )2 1 4d ，[ 4 分] 解得 d 2 ，或 d 0 （舍去） ．[ 6 分] 所以 {an } 的通项公式为 an a2 (n 2)d 2n 3 ．[ 8 分] （Ⅱ）因为 an 2n 3 ， 所以 Sn
n(a1 an ) n(a2 an 1 ) n2 2n ．[10 分] 2 2
4 ．[10 分] 9
（Ⅲ）这四种岗位是：B、C、D、E．[13 分]
18． （本小题满分 14 分） 解： （Ⅰ）取线段 A1 B 的中点 H ，连接 HD ， HF ．[1 分] 因为在△ ABC 中， D ， E 分别为 AB ， AC 的中点， 所以 DE // BC ， DE
1 BC ． 2
2 , x 0, 1 4．若函数 f ( x) 3x 是奇函数，则 f ( ) 2 g ( x), x 0
（A）
2 3 3
（B）
2 3 3
（C）
2 9
（D）
2 9
5．正三棱柱的三视图如图所示，该正三棱柱的表面积是 （A） 3 3 （B）
9 3 2
（C） 6 3 （D） 6 2 3
17． （本小题满分 13 分） 解：（Ⅰ）因为表中所有应聘人员总数为 533 467 1000 ， 被该企业录用的人数为 264 169 433 ． 所以从表中所有应聘人员中随机选择 1 人，此人被录用的概率约为 P
433 ． 1000
[3 分] （Ⅱ）记应聘 E 岗位的男性为 M 1 ， M 2 ， M 3 ，被录用者为 M 1 ， M 2 ；应聘 E 岗位的女 性为 F1 ， F2 ， F3 ，被录用者为 F1 ， F2 ．[4 分] 从应聘 E 岗位的 6 人中随机选择 1 名男性和 1 名女性，共 9 种情况，即：
6．已知二次函数 f ( x) ax 2 bx c ．则“ a 0 ”是“ f ( x) 0 恒成立”的 （A）充分而不必要条件 （C）充分必要条件
（B）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
7．已知 O 是正方形 ABCD 的中心．若 DO AB AC ，其中 ， R ，则
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数学（文科）2018.4
第Ⅰ卷（选择题
共 40 分）
一、 选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选 出符合题目要求的一项． 1．若集合 A { x R | 3x 2 0} ， B { x R | x 2 2 x 3 0} ，则 A （A） { x R | x 1}
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数学（文科）参考答案及评分标准
2018.4 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 1．D 5．D6．B 2．B 7．A8．D 3．C 4．A
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 9． (0,1)
(1, ) 10． 5 11． 3 ， x 3 y 0
1 3 1 2 cos x ( cos x sin x) [ 6 分] 2 2 2 1 3 sin x cos x cos 2 x 2
3 1 sin 2 x cos 2 x [ 9 分] 2 2 π sin(2 x ) ．[10 分] 6 2π 所以 f ( x) 的最小正周期 T π ．[11 分] 2 2π π 7π 所以 x0 ．[13 分] 3 2 6
20． （本小题满分 13 分） 已知函数 f ( x) e x (a ln x) ，其中 a R ． （Ⅰ）若曲线 y f ( x) 在 x 1 处的切线与直线 y
x 垂直，求 a 的值； e
（Ⅱ） 记 f ( x) 的导函数为 g ( x) ． 当 a (0,ln 2) 时， 证明：g ( x) 存在极小值点 x0 ， 且 f ( x0 ) 0 ．
3 12． 3 13． , 3 （答案不唯一）14．22 2
注：第 11 题第一空 3 分，第二空 2 分.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15． （本小题满分 13 分） 解： （Ⅰ）设等差数列 {an } 的公差为 d ， d 0 ．
2 因为 a2 ， a3 ， a6 成等比数列，所以 a3 a2 a6 ．[ 2 分]
1 2
（A） 2
（B）
（C） 2
（D） 2
8．如图，在长方体 ABCD A1 B1C1 D1 中， AA1 AB 2 ，
BC 1 ，点 P 在侧面 A1 ABB1 上．满足到直线 AA1 和 CD
的距离相等的点 P （A）不存在 （B）恰有 1 个 （C）恰有 2 个 （D）有无数个
18． （本小题满分 14 分）
O 为 DE 的中点，AB AC 2 5 ， 如图 1， 在△ ABC 中，D ，E 分别为 AB ，AC 的中点，
BC 4 ．将△ ADE 沿 DE 折起到△ A1 DE 的位置，使得平面 A1 DE 平面 BCED ， F 为 A1C
的中点，如图 2． （Ⅰ）求证： EF // 平面 A1 BD ； （Ⅱ）求证：平面 A1OB 平面 A1OC ； （Ⅲ）线段 OC 上是否存在点 G ，使得 OC 平面 EFG ？说明理由．
2 （C） { x R | x 3} 3
B
2 （B） { x R | 1 x } 3
（D） { x R | x 3}
2．若复数 (a i)(3 4i) 的实部与虚部相等，则实数 a （A） 7 （B） 7 （D） 1
（C） 1
3．执行如图所示的程序框图，输出的 k 值为 （A） 2 （B） 3 （C） 4 （D） 5
16． （本小题满分 13 分）
π 函数 f ( x) 2cos x cos( x ) m 的部分图象如图所示． 3
（Ⅰ）求 m 的值； （Ⅱ）求 x0 的值．
17． （本小题满分 13 分） 某企业 2017 年招聘员工，其中 A、B、C、D、E 五种岗位的应聘人数、录用人数和录用 比例（精确到 1%）如下：
பைடு நூலகம்
11．已知抛物线 y 2 8x 的焦点与双曲线 双曲线的渐近线方程是____．
2018年高三最新 北京市西城区2018年抽样测试高三数学
北京市西城区2018年抽样测试高三数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．设全集为R ，若集合}50|{},1|{<≤=≥=x x N x x M ，则N ( )等于A ．}5|{≥x xB ．}10|{<≤x xC ．}5|>x xD ．}51|{<≤x x2．函数1)62sin(3)(--=πx x f 的最小值和最小正周期分别是A ．π,13--B ．π,13+-C ．π,3-D ．π2,13--3． 函数)0(12>+=x x y 的反函数是 A ．)0(12>-=x x y B ．)0(12>--=x x yC ．)1(12>-=x x yD ．)1(12>--=x x y3．等差数列6427531,4,}{a a a a a a a a n ++=+++则中=A ．3B ．4C ．5D ．64．设命题p ：若001:;11,<⇔<<>ab bq b a b a 则. 给出下列四个复合命题：①p 或q ；②p 且q ；③ p ；④q 其中真命题的个数有A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．函数])5,2[)(1(log )(21∈-=x x x f 的最大值与最小值之和是A ．－2B ．－1C ．0D ．26．已知直线21,l l 与平面α. 则下列结论正确的是 A ．若A l l =⊂αα 21,，则21,l l 为异面直线. B ．若α//,//121l l l ，则α//2l . C ．若,,121α⊥⊥l l l 则.//2αlD ．若,,21αα⊥⊥l l ，则21//l l .7．直线02=-y x 与圆9)1()2(:22=++-y x C 交于A ，B 两点，则△ABC （C 为圆心）的面积等于A ．52B ．32C ．34D ．548．某人上午7:00乘汽车以匀速1υ千米/时（30≤1υ≤100）从A 地出发到距300公里的B地，在B 地不作停留，然后骑摩托车以匀速2υ千米/时（4≤2υ≤20）从B 地出发到距50公里的C 地，计划在当天16:00至21:00到达C 地。
高三试卷—北京2018西城区高三(上)期末数学(文)试题及答案
数学试题答案
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.
1．A
2．B
3．D
5．C
6．B
7．C
4．C 8．B
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.
9． 0
10． x2 y2 1 3
12．1； 13
x y 1≥ 0.
x2 x, 2 ≤ x ≤ c,
14．已知函数
f
(x)
1 x
,
若 c 0 ，则 f (x) 的值域是____；若 f (x) 的值域是[ 1 , 2] ，则实数 c 的
c x ≤ 3.
4
取值范围是____． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
（A）{x | 1 x 3} （C）{x | 0 x 2}
（B）{x | 1 x 0} （D）{x | 2 x 3}
2．在复平面内，复数 2i 对应的点的坐标为 1i
（A） (1,1)
（B） ( 1,1)
（C） ( 1, 1)
（D） (1, 1)
3．下列函数中，在区间 (0,) 上单调递增的是
[ 6 分]
依
次
为
：
(ab, cde), (ac, bde), (ad , bce), (ae, bcd ), (bc, ade), (bd , ace), (be, acd ), (cd , abe),
(ce, abd),(de,abc) ．
[ 8 分]
所以“甲、乙两组各有一名 B 类学生”的概率为 6 3 ． 10 5
2018年高三一模数学试卷及答案(文科)
2018年高三数学一模试卷（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}320A x N x =∈->，{}24B x x =≤，则AB =（ ）A ．{}21x x -≤< B ．{}2x x ≤ C ．{}22x x -≤≤ D ．{}0,1 2.设i 是虚数单位，若复数()21ia a R i+∈-是纯虚数，则a =（ ） A ．1- B ．1 C ．2- D ．23.已知[],0,2x y ∈，则事件“1x y +≤”发生的概率为（ ） A ．116 B ．18 C ．1516 D ．784.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．122π+ B ．12π+ C. 1π+ D ．2π+ 5.已知变量x 与y 负相关，且由观测数据算得样本平均数2x =， 1.5y =，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）A ．0.6 1.1y x =+B ．3 4.5y x =- C.2 5.5y x =-+D ．0.4 3.3y x =-+6.已知2AB =，1CD =，且223AB CD -=AB 和CD 的夹角为（ ） A ．30 B ．60 C.120 D ．1507.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点(0A ，.若线段FA 与抛物线C 相交于点M ，则MF =（ ）A ．43 B 23D 8.设x ，y 满足约束条件10,10,3,x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩则目标函数23z x y =-的最小值是（ ）A ．7-B ．6- C.5- D ．3- 9.已知函数()2sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则函数()f x 的单调递减区间为（ ） A ．()372,288k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ B ．()32,288k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C.()37,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ D ．()3,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦10.已知双曲线C 的中心在原点O ，焦点()F -，点A 为左支上一点，满足OA OF =，且4AF =，则双曲线C 的方程为（ ）A ．221164x y -= B ．2213616x y -= C.221416x y -= D ．2211636x y -= 11.在锐角ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足()()()sin sin sin a b A B c b C -+=-，若a =22b c +的取值范围是（ ）A ．(]3,6B ．()3,5 C.(]5,6 D ．[]5,612.已知函数()x e f x x=，若关于x 的方程()()2223f x a a f x +=有且仅有4个不等实根，则实数a 的取值范围为（ ）A ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,2e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()0,e D ．()0,+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.sin 47sin17cos30cos17-的值等于．14.执行如图所示的程序框图，若输入1S =，1k =，则输出的S 为．15.若一圆锥的体积与一球的体积相等，且圆锥底面半径与球的半径相等，则圆锥侧面积与球的表面积之比为．16.若1b a >>且3log 6log 11a b b a +=，则321a b +-的最小值为． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()13122n n S a a n N *=-∈，且11a -，22a ，37a +成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令()92log n n b a n N *=∈，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .18. 如图，在梯形ABCD 中，90BAD ADC ∠=∠=，2CD =，1AD AB ==，四边形BDEF 为正方形，且平面BDEF ⊥平面ABCD .（1）求证：DF CE ⊥；（2）若AC 与BD 相交于点O ，那么在棱AE 上是否存在点G ，使得平面//OBG 平面EFC ？并说明理由.19. 某学校的特长班有50名学生，其中有体育生20名，艺术生30名，在学校组织的一次体检中，该班所有学生进行了心率测试，心率全部介于50次/分到75次/分之间.现将数据分成五组，第一组[)50,55，第二组[)55,60，…，第五章[]70,75，按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前三组的频率之比为:4:10a.（1）求a 的值，并求这50名同学心率的平均值；（2）因为学习专业的原因，体育生常年进行系统的身体锻炼，艺术生则很少进行系统的身体锻炼，若从第一组和第二组的学生中随机抽取一名，该学生是体育生的概率为0.8，请将下面的列联表补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为心率小于60次/分与常年进行系统的身体锻炼有关？说明你的理由.参考数据：参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.20. 已知直线:l y kx m =+与椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>相交于A ，P 两点，与x 轴，y轴分别相交于点N ，M ，且，PM MN =，点Q 是点P 关于x 轴的对称点，QM 的延长线交椭圆于点B ，过点A ，B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为1A ，1B .（1）若椭圆C 的左、右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点312D ⎛⎫⎪⎝⎭，在椭圆C 上，求椭圆C 的方程；（2）当12k =时，若点N 平方线段11A B ，求椭圆C 的离心率. 21. 已知函数()xf x xe =.（1）讨论函数()()xg x af x e =+的单调性；（2）若直线2y x =+与曲线()y f x =的交点的横坐标为t ，且[],1t m m ∈+，求整数m 所有可能的值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为,sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）.在极坐标系（与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，直线lsin 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；（2）设P 是曲线C 上的任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()21f x x =-.（1）求不等式()1f x ≤的解集A ；（2）当,m n A ∈时，证明：1m n mn +≤+.试卷答案一、选择题1-5:CBBDC 6-10:CABDC 11、12：CB 二、填空题 13.1214.57416.1 三、解答题 17.解：（1）由13122n n S a a =-，得123n n S a a =-. 由()11112=3,232,n n n n S a a S a a n ---⎧⎪⎨=-≥⎪⎩作差得()132n n a a n -=≥.又11a -，22a ，37a +成等差数列，所以213417a a a =-++，即11112197a a a =-++，解得13a =.所以数列{}n a 是以3为首项、公比为3的等比数列，即3n n a =. （2）由992log 2log 3n n n b a n ===，得11111n n b b n n +=-+， 于是11111122311n n T n n n =-+-++-=++. 18.（1）证明：连接EB .∵在梯形ABCD 中，90BAD ADC ∠=∠=，2CD =，1AD AB ==， ∴BD =BC =.∴222BD BC CD +=，∴BC BD ⊥. 又∵平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF 平面ABCD BD =，BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥平面BDEF ，∴BC DF ⊥.又∵正方形BDEF 中，DF EB ⊥且EB ，BC ⊂平面BCE ，EB BC B =，∴DF ⊥平面BCE .又∵CE ⊂平面BCE ，∴DF CE ⊥.（2）解：如图所示，在棱AE 上存在点G ，使得平面//OBG 平面EFC ，且12AG GE =. 证明如下：∵在梯形ABCD 中，90BAD ADC ∠=∠=，2CD =，1AB =，∴//AB DC ，∴12AO AB OC DC ==. 又∵12AG GE =，∴AO AGOC GE=，∴//OG CE .又∵正方形BDEF 中，//EF OB ，且OB ，OG ⊄平面EFC ，EF ，CE ⊂平面EFC ， ∴//OB 平面EFC ，//OG 平面EFC ， 又∵OBOG O =，且OB ，OG ⊂平面OBG ，∴平面//OBG 平面EFC.19.解（1）因为第二组数据的频率为0.03250.16⨯=，故第二组的频数为0.16508⨯=，由已知得，前三组频数之比为:4:10a ，所以第一组的频数为2a ，第三组的频数为20，第四组的频数为16，第五组的数为4.所以2502016842a =----=，解得1a =. 这50名同学心率的平均值为282016452.557.562.567.572.5=63.75050505050⨯+⨯+⨯+⨯+⨯. （2）由（1）知，第一组和第二组的学生（即心率小于60次/分的学生）共10名，从而体育生有100.8=8⨯名，故列联表补充如下.所以()22508282128.3337.87910402030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，故有99.5%的把握认为心率小于60次/分与常年进行系统的身体锻炼有关.20.解：（1）由题意得22222,191,4,b ab a bc ⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎩∴223,4,b a ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ∴椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）当12k =时，由12y x m =+，得()0,M m ，()2,0N m -. ∵PM MN =，∴()2,2P m m ，()2,2Q m m -， ∴直线QM 的方程为32y x m =-+. 设()11,A x y ，由22221,21,y x m x y a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得()2222222104a b x a mx a m b ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭， ∴2122424a mx m a b -+=+，∴()221222344m a b x a b +=-+；设()22,B x y ，由22223,21,y x m x y a b ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得()22222229304a b x a mx a m b ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭， ∴222212294a mx m a b +=+，∴()2222223494m a b x a b +=-+.∵点N 平方线段11A B ，∴124x x m +=-，∴()()222222222342344494m a b m a b m a ba b++--=-++，∴2234a b =，∴13x m =-，112y m =-，代入椭圆方程得22217m b b =<，符合题意. ∵222a b c =+，∴2a c =，∴12c e a ==.21.解：（1）由题意，知()()xxxg x af x e axe e =+=+，∴()()'1xg x ax a e =++.①若0a =时，()'x g x e =，()'0g x >在R 上恒成立，所以函数()g x 在R 上单调递增；②若0a >时，当1a x a+>-时，()'0g x >，函数()g x 单调递增， 当1a x a+<-时，()'0g x <，函数()g x 单调递减； ③若0a <时，当1a x a+>-时，()'0g x <，函数()g x 单调递减；当1a x a+<-时，()'0g x >，函数()g x 单调递增.综上，若0a =时，()g x 在R 上单调递增； 若0a >时，函数()g x 在1,a a +⎛⎫-∞-⎪⎝⎭内单调递减，在区间1,a a +⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭内单调递增； 当0a <时，函数()g x 在区间1,a a +⎛⎫-∞-⎪⎝⎭内单调递增，在区间1,a a +⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭内单调递减. （2）由题可知，原命题等价于方程2xxe x =+在[],1x m m ∈+上有解，由于0x e >，所以0x =不是方程的解，所以原方程等价于210xe x --=，令()21x r x e x=--， 因为()'220xr x e x=+>对于()(),00,x ∈-∞+∞恒成立，所以()r x 在(),0-∞和()0,+∞内单调递增. 又()130r e =-<，()2220r e =->，()311303r e -=-<，()2120r e -=>， 所以直线2y x =+与曲线()y f x =的交点仅有两个， 且两交点的横坐标分别在区间[]1,2和[]3,2--内， 所以整数m 的所有值为3-，1.22.解：（1）因为2222cos sin 1y θθ+=+=，所以曲线C 的普通方程为2213x y +=；sin 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，展开得sin cos 3ρθρθ-=，即3y x -=， 因此直线l 的直角坐标方程为30x y -+=.（2）设),sin P θθ， 则点P 到直线l的距离为2d ==≤ 当且仅当sin 13πθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即()1126k k Z πθπ=+∈时等号成立，即31,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 因此点P 到直线l23.（1）解：由211x -≤，得1211x -≤-≤，即1x ≤，解得11x -≤≤，所以[]11A =-，.（2）证明：（解法一）()()()222222221111m n mn m n m n m n +-+=+--=---. 因为,m n A ∈，所以11m -≤≤，11n -≤≤，210m -≤，210n -≤，所以()()22110m n ---≤，()221m n mn +≤+. 又10mn +≥，故1m n mn +≤+.（解法二）因为,m n A ∈，故11m -≤≤，11n -≤≤，而()()()1110m n mn m n +-+=--≤()()()1110m n mn m n +--+=++≥⎡⎤⎣⎦，即()11mn m n mn -+≤+≤+，故1m n mn +≤+.。
2018届北京市西城区高三一模文科数学试题及答案
北京市西城区高三一模试卷数 学（文科） 4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设全集{|02}U x x =<<，集合1{|0}A x x =<≤，则集合U A =ð（ ） （A ）(0,1) （B ）(0,1] （C ）(1,2) （D ）[1,2)2．已知平面向量(2,1)=-a ，(1,3)=b ，那么|a +b |等于（ ） （A ）5 （B（C（D ）133．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的虚轴长是实轴长的2倍，则此双曲线的离心 率为（ ） （A（B ）2 （C（D4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） （A ）2正(主)视图俯视图侧(左)视图（B ）43（C ）4 （D ）56． 设0a >，且1a ≠，则“函数log a y x =在(0,)+∞上是减函数”是“函数3(2)y a x =-在R 上是增函数”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件7．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产. 第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元. 设该设备使用了()n n *∈N 年后，5．下列函数中，对于任意x ∈R ，同时满足条件()()f x f x =-和(π)()f x f x -=的函数是（ ） （A）()sin =f x x （B ）()sin 2=f x x （C）()cos =f x x（D ）()cos 2=f x x盈利总额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n 等于（ ）（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）78. 如图，设P 为正四面体A BCD -表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P 到四个顶点的距离组成的集合记为M ，如果集合M 中有且只有2个元素，那么符合条件的点P 有（ ）（A ） 4个 （B ）6个 （C ）10个 （D ）14个第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．设复数1ii 2ix y -=++，其中,x y ∈R ，则x y +=______．10．若抛物线2:2C y px =的焦点在直线20x y +-=上，则p =_____；C的准线方程为_____．BADC. P11．已知函数3, 0,()1, 0,1≤+⎧⎪=⎨>⎪+⎩x x f x x x 若0()2=f x ，则实数0=x ______；函数()f x 的最大值为_____．12．执行如图所示的程序框图，如果输入2,2a b ==，那么输出的a 值为______．13．若不等式组1,0,26,ax y x y x y ⎧⎪⎪⎨+⎪⎪+⎩≥≥≤≤表示的平面区域是一个四边形，则实数a 的取值范围是__________.14．如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，2AB =，1CD =，2BC =，P 为线段AD （含端点）上一个动点. 设AP xAD = ，PB PC y ⋅=，记()=y f x ，则(1)=f ____； 函数()f x 的值域为_________.A BD CP三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 已知222+=+.b c a bc（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）如果cos=B2b=，求a的值.16．（本小题满分13分）某批次的某种灯泡共200个，对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下. 根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品.（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，写出a，b，c的值；（Ⅱ）某人从这200个灯泡中随机地购买了1个，求此灯泡恰好不．是次品的概率；（Ⅲ）某人从这批灯泡中随机地购买了()*∈n n N 个，如果这n 个灯泡的等级情况恰好与按三个等级分层抽样．．．．．．．．．所得的结果相同，求n 的最小值.17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 是矩形，2AD AB =，SA SD =，SA AB ⊥， N 是棱AD 的中点.（Ⅰ）求证：//AB 平面SCD ； （Ⅱ）求证：SN ⊥平面ABCD ； （Ⅲ）在棱SC 上是否存在一点P ，使得平面⊥PBD 平面ABCD ?若存在，求出SP PC的值；若不存在，说明理由.18．（本小题满分13分）已知函数()ln a f x x x=-，其中a ∈R ．（Ⅰ）当2a =时，求函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）如果对于任意(1,)x ∈+∞，都有()2f x x >-+，求a 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆22221(0)x y W a b a b+=>>：的焦距为2，过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为1-，O 为坐标原点. （Ⅰ）求椭圆W 的方程.（Ⅱ）设斜率为k 的直线l 与W 相交于,A B 两点，记AOB ∆面积的最大值为k S ，证明：12S S =.20．（本小题满分13分）在数列{}n a 中，1()n a n n*=∈N . 从数列{}n a 中选出(3)k k ≥项并按原顺序组成的新数列记为{}n b ，并称{}n b 为数列{}n a 的k 项子列. 例如数列1111,,,2358为{}n a 的一个4项子列.（Ⅰ）试写出数列{}n a 的一个3项子列，并使其为等比数列； （Ⅱ）如果{}n b 为数列{}n a 的一个5项子列，且{}n b 为等差数列，证明：{}n b 的公差d 满足104d -<<；（Ⅲ）如果{}n c 为数列{}n a 的一个6项子列，且{}n c 为等比数列，证明：1234566332c c c c c c +++++≤.北京市西城区高三一模试卷参考答案及评分标准高三数学（文科） 4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．C 2．B 3．D 4．C5．D 6．A 7．B 8．C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．25- 10．4 2=-x 11．1- 3 12．256 13． (3,5) 14．1 4[,4]5注：第10、11、14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：因为 222b c a bc +=+， 所以2221cos 22b c a A bc +-==， ………………4分又因为 (0,π)∈A ，所以π3A =. ……………… 6分（Ⅱ）解：因为 cos 3=B ，(0,π)∈B ， 所以sin 3B ==， ………………8分由正弦定理sin sin =a bA B， ………………11分得sin 3sin ==b Aa B. ………………13分16．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：0.15a =，30b =，0.3=c . ……………… 3分（Ⅱ）解：设“此人购买的灯泡恰好不是次品”为事件A . ……………… 4分由表可知：这批灯泡中优等品有60个，正品有100个，次品有40个，所以此人购买的灯泡恰好不是次品的概率为100604()2005+==P A . …………… 8分 （Ⅲ）解：由（Ⅱ）得这批灯泡中优等品、正品和次品的比例为60:100:403:5:2=.……………… 10分所以按分层抽样法，购买灯泡数 35210()*=++=∈n k k k k k N ， 所以n 的最小值为10． (13)分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为底面ABCD 是矩形， 所以//AB CD ， ……………… 1分又因为 AB ⊄平面SCD ，CD ⊂平面SCD ， 所以//AB 平面SCD . (3)分（Ⅱ）证明：因为 , , AB SA AB AD SA AD A ⊥⊥= ，所以⊥AB 平面SAD ， ……………… 5分又因为 SN ⊂平面SAD ， 所以AB SN⊥. ……………… 6分因为 SA SD =，且N 为AD 中点， 所以 SN AD ⊥. 又因为 AB AD A = ， 所以SN ⊥平面ABCD . ……………… 8分（Ⅲ）解：如图，连接BD 交NC 于点F ，在平面SNC 中过F 作//FP SN交SC 于点P ，连接PB ，PD . 因为 SN ⊥平面ABCD ，所以 FP ⊥平面ABCD .又因为 FP ⊂平面PBD ，所以平面PBD ⊥平面ABCD . 在矩形ABCD 中，因为//ND BC ， 所以12NF ND FC BC ==. 在SNC ∆中，因为//FP SN ，所以12NF SP FC PC ==. 则在棱SC 上存在点P ，使得平面⊥PBD 平面ABCD ，此时12SP PC =. ……… 14分 18.（本小题满分13分） （Ⅰ）解：由2()ln f x x x=-，得212()f x x x '=+， ……………… 2分 所以 (1)3f '=，又因为 (1)2f =-， 所以函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为350x y --=. (4)分（Ⅱ）解：由 ()2f x x >-+，得ln 2a x x x->-+， 即2ln 2a x x x x <+-. ……………… 6分设函数2()ln 2g x x x x x =+-， 则()ln 21g x x x '=+-， ……………… 8分因为(1,)x ∈+∞， 所以ln 0x >，210x ->， 所以当(1,)x ∈+∞时，()ln 210g x x x '=+->， (10)分故函数()g x 在(1,)x ∈+∞上单调递增， 所以当(1,)x ∈+∞时，()(1)1g x g >=-. ……………… 11分因为对于任意(1,)x ∈+∞，都有()2f x x >-+成立， 所以对于任意(1,)x ∈+∞，都有()a g x <成立. 所以1a -≤. ……………… 13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由题意，得椭圆W 的半焦距1c =，右焦点(1,0)F ，上顶点(0,)M b ，…… 1分所以直线MF 的斜率为0101-==--MF b k ， 解得1b =， ……………… 3分由 222a b c =+，得22a =， 所以椭圆W 的方程为2212x y +=. ……………… 5分 （Ⅱ）证明：设直线l 的方程为y kx m =+，其中1k =或2，11(,)A x y ，22(,)B x y .… 6分由方程组2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(12)4220k x kmx m +++-=， ……………… 7分所以 2216880k m ∆=-+>， （*）由韦达定理，得122412km x x k -+=+,21222212m x x k-=+. ……………… 8分 所以||AB ==…… 9分因为原点O到直线y kx m=+的距离d =， ……………… 10分所以1||2AOB S AB d ∆=⋅= ……………… 11分当1k =时，因为AOB S ∆=所以当232m =时，AOB S ∆的最大值12S =， 验证知（*）成立； ……………… 12分当2k =时，因为AOB S ∆=所以当292m =时，AOB S ∆的最大值22S =； 验证知（*）成立. 所以12S S =. ……………… 14分注：本题中对于任意给定的k ，AOB ∆.20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：答案不唯一. 如3项子列：12，14，18. ……………… 2分 （Ⅱ）证明：由题意，知1234510b b b b b >>>>>≥，所以210d b b =-<. ……………… 4分因为 514b b d =+，151,0b b >≤， 所以 514011d b b =->-=-，解得 14d >-. 所以104d -<<. ……………… 7分（Ⅲ）证明：由题意，设{}n c 的公比为q ，则 23451234561(1)c c c c c c c q q q q q +++++=+++++. 因为{}n c 为{}n a 的一个6项子列， 所以q为正有理数，且1q <，111()c a a*=∈N ≤. ……………… 8分设 (,Kq K L L*=∈N ，且,K L 互质，2L ≥）.当1K =时，因为 112q L =≤， 所以 23451234561(1)c c c c c c c q q q q q +++++=+++++2345111111()()()()22222+++++≤， 所以1234566332c c c c c c +++++≤. ……………… 10分 当1K ≠时，因为 556151==⨯K c c q a L是{}n a 中的项，且,K L 互质，所以 5*()a K M M =⨯∈N ，所以 23451234561(1)c c c c c c c q q q q q +++++=+++++543223*********()M K K L K L K L KL L=+++++.因为 2L ≥，*,K M ∈N ，所以 234512345611111631()()()()2222232c c c c c c ++++++++++=≤. 综上，1234566332c c c c c c +++++≤. ……………… 13分。
北京市西城区2018届高三上学期期末考试数学(文)试题+扫描版含答案
北京市西城区2017 —2018学年度第一学期期末高三数学（文科）参考答案及评分标准 2018.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．A 2．B 3．D 4．C5．C 6．B 7．C 8．B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．0 10．2213y x -= 11．412．1 13 14．1[,)4-+∞；1[,1]2 注：第12，14题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2π()2sin cos(2)3f x x x =-+ ππ1cos2(cos2cossin 2sin )33x x x =--⋅-⋅ [ 4分]32cos 212x x =-+[ 5分]π)13x -+， [ 7分]所以()f x 的最小正周期 2ππ2T ==． [ 8分] （Ⅱ）因为 π2x ≤≤0，所以 ππ2π2333x --≤≤． [10分]所以 ππsin(2)sin()33x --=≥ [12分]所以 1()2f x -≥． [13分]16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为 26a +是1a 和3a 的等差中项，所以 2132(6)a a a +=+．[ 2分]因为数列{}n a 是公比为13的等比数列，所以 1112(6)39a aa +=+，[ 4分]解得 127a =．[ 6分]所以 1411()3n n n a a q --=⋅=．[ 8分]（Ⅱ）令1n a ≥，即41()13n -≥，得4n ≤，[10分]故正项数列{}n a 的前3项大于1，第4项等于1，以后各项均小于1．[11分] 所以 当3n =，或4n =时，n T 取得最大值， [12分] n T 的最大值为 34123729T T a a a ==⋅⋅=．[13分]17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）依题意得，样本中B 类学生所占比例为(0.020.04)1060%+⨯=， [ 2分]所以A 类学生所占比例为40%． [ 3分]因为全市高中学生共20万人，所以在该项测评中被评为A 类学生的人数约为8万人． [ 4分]（Ⅱ）由表1得，在5人（记为,,,,a b c d e ）中，B 类学生有2人（不妨设为,b d ）． 将他们按要求分成两组，分组的方法数为10种． [ 6分]依次为：(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)ab cde ac bde ad bce ae bcd bc ade bd ace be acd cd abe (,),(,)ce abd de abc ． [ 8分]所以“甲、乙两组各有一名B 类学生”的概率为63105=． [10分]（Ⅲ）12k k <． [13分]18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ） 因为 AB ⊥平面11AA C C ，所以 1A C AB ⊥． [ 2分]在三棱柱111ABC A B C -中，因为 1AA AC =，所以 四边形11AA C C 为菱形，所以 11A C AC ⊥． [ 3分] 所以 1AC ⊥平面1ABC ． [ 5分]（Ⅱ）在 三棱柱111ABC A B C -中，因为 11//A A B B ，1A A ⊄平面11BB C C ， [ 6所以 1//A A 平面11BB C C ． [ 8分]因为 平面1AA EF 平面11BB C C EF =，所以 1//A A EF ． [10分]（Ⅲ）记三棱锥1B ABF -的体积为2V ，三棱柱11ABF A B E -的体积为3V .因为三棱锥1B ABF -与三棱柱11ABF A B E -同底等高，所以 2313V V =， [11分]所以 1233213V V V V =-=.因为 116V V =， 所以 3131624V V =⨯=. [12分]因为 三棱柱11ABF A B E -与三棱柱111ABC A B C -等高，所以 △ABF 与△ABC 的面积之比为14，[13分] 所以 14BFBC =．[14分]19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意得，2a =，1b =．[ 2分] 所以椭圆C 的方程为2214x y +=．[ 3分]设椭圆C 的半焦距为c ，则 c = [ 4分]所以椭圆C 的离心率ce a ==．[ 5分]（Ⅱ）由已知，设(,4)P t t -，00(,)Q x y ． [ 6若PAQB 是平行四边形，则 PA PB PQ += ， [ 8分]所以 00(2,4)(,3)(,4)t t t t x t y t --+--=--+，整理得 002, 3x t y t =-=-． [10分]将上式代入 220044x y +=，得 22(2)4(3)4t t -+-=， [11分]整理得 2528360t t -+=，解得 185t =，或2t =．[13分]此时 182(,)55P ，或(2,2)P ．经检验，符合四边形PAQB 是平行四边形，所以存在 182(,)55P ，或(2,2)P 满足题意．[14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数2()ln 2f x x x x =-的定义域是(0,)+∞，导函数为()2ln 2f x x x x '=+-． [ 1分]所以(1)1f '=-， 又(1)2f =-，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =--． [ 3分] （Ⅱ）由已知(2)(1)4ln 22f f -=-． [ 4分]所以只需证明方程 2ln 24ln 22x x x +-=-在区间(1,2)有唯一解．即方程 2ln 4ln 20x x x +-=在区间(1,2)有唯一解． [ 5分]设函数 ()2ln 4ln 2g x x x x =+-， [ 6分]则 ()2ln 3g x x '=+．当 (1,2)x ∈时，()0g x '>，故()g x 在区间(1,2)单调递增． [ 7分] 又 (1)14ln 20g =-<，(2)20g =>，所以 存在唯一的0(1,2)x ∈，使得0()0g x =． [ 8分]综上，存在唯一的0(1,2)x ∈，使得曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率为(2)(1)f f -．[ 9分] （Ⅲ）(1.01) 2.01f >-．证明如下： [10分]首先证明：当1x >时，()1f x x >--．设 2()()(1)ln 1h x f x x x x x =---=-+， [11分]则 ()2ln 1h x x x x '=+-．当 1x >时，10x ->，2ln 0x x >，所以 ()0h x '>，故()h x 在(1,)+∞单调递增， [12分]所以 1x >时，有()(1)0h x h >=，即当 1x >时，有()1f x x >--．所以 (1.01) 1.011 2.01f >--=-． [13分]。
北京市西城区2017—2018学年度高三第一学期期末试卷数学文
11．向量 a , b 在正方形网格中的位置如图所示．如果小正方形网格 的边长为 1，那么 a b ____．
12．在△ ABC 中， a 3 ， C
，△ ABC 的面积为 3 3 ，则 b ____ ； c ____．
3
4
13．已知点 M ( x, y) 的坐标满足条件
x 1≤ 0, x y 1≥ 0, 设 O 为原点，则 x y 1≥ 0.
北京市西城区 2017 — 2018学年度第一学期期末试卷
高三数学（文科）
2018.1
第Ⅰ卷 （选择题 共 40 分）
一、 选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 ．在每小题列出的 四个选项中，选出符合题目要求的 一项 ．
1．若集合 A { x | 0 x 3} ， B { x | 1 x 2} ，则 A B
OM 的最小值是 ____．
14．已知函数 f ( x)
x 2 x, 2 ≤ x ≤ c,
1
若c
0 ，则 f ( x) 的值域是 ____ ；若 f ( x) 的值域是 [
1 ,2] ，则实数
,
c x ≤ 3.
4
x
c 的取值范围是 ____ ．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
（ A）充分而不必要条件
（ B）必要而不充分条件
（ C）充分必要条件
（ D）既不充分也不必要条件
8．已知 A ， B是函数 y 2 x 的图象上的相异两点．若点
1 A ， B 到直线 y 的距离相等，
2
则点 A ， B的横坐标之和的取值范围是
（ A） ( , 1)
（B） ( , 2)
2018.1西城区高三文科数学期末试卷及答案
北京市西城区2017 — 2018学年度第一学期期末试卷高三数学（文科） 2018.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的 四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{|03}A x x =<<，{|12}B x x =-<<，则A B =（A ）{|13}x x -<< （B ）{|10}x x -<< （C ）{|02}x x << （D ）{|23}x x <<2．在复平面内，复数2i1i-对应的点的坐标为 （A ）(1,1)（B ）(1,1)-（C ）(1,1)--（D ）(1,1)-3．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是 （A ）1y x =-+（B ）2(1)y x =-（C ）sin y x =（D ）12y x =4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 （A ）2 （B ）6 （C ）30 （D ）2705．若122log log 2a b +=，则有（A ）2a b = （B ）2b a = （C ）4a b = （D ）4b a =6．一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的 三视图如图所示，则截去．．的几何体是（A ）三棱锥（B ）三棱柱（C ）四棱锥（D ）四棱柱7．函数()sin()f x x ϕ=+的图象记为曲线C ．则“(0)(π)f f =”是“曲线C 关于直线π2x =对称”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件8．已知A ，B 是函数2xy =的图象上的相异两点．若点A ，B 到直线12y =的距离相等， 则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是 （A ）(,1)-∞- （B ）(,2)-∞-（C ）(,3)-∞-（D ）(,4)-∞-第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．若函数()()f x x x b =+是偶函数，则实数b =____．10．已知双曲线22221x y a b-=的一个焦点是(2,0)F，其渐近线方程为y =，该双曲线的方程是____．11．向量,a b 在正方形网格中的位置如图所示．如果小正方形网格的边长为1，那么⋅=a b ____．12．在△ABC 中，3a =，3C 2π∠=，△ABC，则b =____；c =____．13．已知点(,)M x y 的坐标满足条件10,10,10.x x y x y -⎧⎪+-⎨⎪-+⎩≤≥≥设O 为原点，则OM 的最小值是____．14．已知函数2,2,()1,3.x x x c f x c x x ⎧+-⎪=⎨<⎪⎩≤≤≤若0c =，则()f x 的值域是____；若()f x 的值域是1[,2]4-，则实数c 的取值范围是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数2π()2sin cos(2)3f x x x =-+．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求证：当π[0,]2x ∈时，1()2f x -≥．16．（本小题满分13分）已知数列{}n a 是公比为13的等比数列，且26a +是1a 和3a 的等差中项．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n a 的前n 项之积为n T ，求n T 的最大值．17．（本小题满分13分）某市高中全体学生参加某项测评，按得分评为A ，B 两类（评定标准见表1）．根据男女学生比例，使用分层抽样的方法随机抽取了10000名学生的得分数据，其中等级为1A 的学生中有40%是男生，等级为2A 的学生中有一半是女生．等级为1A 和2A 的学生统称为A 类学生，等级为1B 和2B 的学生统称为B 类学生．整理这10000名学生的得分数据，得到如图2所示的频率分布直方图．表1 图2（Ⅰ）已知该市高中学生共20万人，试估计在该项测评中被评为A 类学生的人数； （Ⅱ）某5人得分分别为45,50,55,75,85．从这5人中随机选取2人组成甲组，另外3人组成乙组，求“甲、乙两组各有1名B 类学生”的概率；（Ⅲ）在这10000名学生中，男生占总数的比例为51%，B 类女生占女生总数的比例为1k ， B 类男生占男生总数的比例为2k ．判断1k 与2k 的大小．（只需写出结论）18．（本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥平面11AA C C ，1AA AC =.过1AA 的平面交11B C 于点E ，交BC 于点F .（Ⅰ）求证：1A C ⊥平面1ABC ； （Ⅱ）求证：1//A A EF ；（Ⅲ）记四棱锥11B AA EF -的体积为1V ，三棱柱111ABC A B C -的体积为V .若116V V =，求BFBC的值.19．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过(2,0)A ，(0,1)B 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程及离心率；（Ⅱ）设点Q 在椭圆C 上．试问直线40x y +-=上是否存在点P ，使得四边形PAQB 是平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．20．（本小题满分13分）已知函数2()ln 2f x x x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）求证：存在唯一的0(1,2)x ∈，使得曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率为(2)(1)f f -；（Ⅲ）比较(1.01)f 与 2.01-的大小，并加以证明．北京市西城区2017 — 2018学年度第一学期期末高三数学（文科）参考答案及评分标准2018.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．A 2．B 3．D 4．C 5．C 6．B 7．C 8．B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．0 10．2213y x -= 11．412．1 13 14．1[,)4-+∞；1[,1]2注：第12，14题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2π()2sin cos(2)3f x x x =-+ππ1cos2(cos2cos sin 2sin )33x x x =--⋅-⋅ [ 4分]32cos212x x =-+[ 5分]π)13x =-+， [ 7分]所以()f x 的最小正周期 2ππ2T ==． [ 8分] （Ⅱ）因为 π2x ≤≤0，所以 ππ2π2333x --≤≤． [10分]所以 ππsin(2)sin()33x --=≥， [12分]所以 1()2f x -≥． [13分]16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为 26a +是1a 和3a 的等差中项，所以 2132(6)a a a +=+． [ 2分]因为数列{}n a 是公比为13的等比数列，所以 1112(6)39a aa +=+， [ 4分]解得 127a =． [ 6分]所以 1411()3n n n a a q --=⋅=． [ 8分]（Ⅱ）令1n a ≥，即41()13n -≥，得4n ≤， [10分]故正项数列{}n a 的前3项大于1，第4项等于1，以后各项均小于1． [11分] 所以 当3n =，或4n =时，n T 取得最大值， [12分]n T 的最大值为 34123729T T a a a ==⋅⋅=． [13分]17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）依题意得，样本中B 类学生所占比例为(0.020.04)1060%+⨯=， [ 2分]所以A 类学生所占比例为40%． [ 3分] 因为全市高中学生共20万人，所以在该项测评中被评为A 类学生的人数约为8万人． [ 4分] （Ⅱ）由表1得，在5人（记为,,,,a b c d e ）中，B 类学生有2人（不妨设为,b d ）． 将他们按要求分成两组，分组的方法数为10种． [ 6分]依次为：(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),ab cde ac bde ad bce ae bcd bc ade bd ace be acd cd abe(,),(,)ce abd de abc ． [ 8分]所以“甲、乙两组各有一名B 类学生”的概率为63105=． [10分] （Ⅲ）12k k <． [13分]18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ） 因为 AB ⊥平面11AA C C ，所以 1A C AB ⊥． [ 2分]在三棱柱111ABC A B C -中，因为 1AA AC =，所以 四边形11AA C C 为菱形， 所以 11A C AC ⊥． [ 3分]所以 1A C ⊥平面1ABC ． [ 5分] （Ⅱ）在 三棱柱111ABC A B C -中，因为 11//A A B B ，1A A ⊄平面11BB C C ， [ 6分] 所以 1//A A 平面11BB C C ． [ 8分] 因为 平面1AA EF平面11BB C C EF =，所以 1//A A EF ． [10分] （Ⅲ）记三棱锥1B ABF -的体积为2V ，三棱柱11ABF A B E -的体积为3V .因为三棱锥1B ABF -与三棱柱11ABF A B E -同底等高， 所以 2313V V =， [11分] 所以 1233213V V V V =-=. 因为116V V =， 所以 3131624V V =⨯=. [12分] 因为 三棱柱11ABF A B E -与三棱柱111ABC A B C -等高， 所以 △ABF 与△ABC 的面积之比为14， [13分] 所以14BF BC =． [14分]19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意得，2a =，1b =． [ 2分]所以椭圆C 的方程为2214x y +=． [ 3分]设椭圆C 的半焦距为c ，则c == [ 4分] 所以椭圆C的离心率c e a ==． [ 5分]（Ⅱ）由已知，设(,4)P t t -，00(,)Q x y ． [ 6分]若PAQB 是平行四边形，则 PA PB PQ +=， [ 8分]所以 00(2,4)(,3)(,4)t t t t x t y t --+--=--+，整理得 002, 3x t y t =-=-． [10分] 将上式代入 220044x y +=，得 22(2)4(3)4t t -+-=， [11分] 整理得 2528360t t -+=，解得 185t =，或2t =． [13分] 此时 182(,)55P ，或(2,2)P ．经检验，符合四边形PAQB 是平行四边形，所以存在 182(,)55P ，或(2,2)P 满足题意． [14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数2()ln 2f x x x x =-的定义域是(0,)+∞，导函数为()2ln 2f x x x x '=+-． [ 1分] 所以(1)1f '=-， 又(1)2f =-，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =--． [ 3分] （Ⅱ）由已知(2)(1)4ln 22f f -=-． [ 4分]所以只需证明方程 2ln 24ln22x x x +-=-在区间(1,2)有唯一解．即方程 2ln 4ln20x x x +-=在区间(1,2)有唯一解． [ 5分] 设函数 ()2ln 4ln 2g x x x x =+-， [ 6分]则 ()2ln 3g x x '=+．当 (1,2)x ∈时，()0g x '>，故()g x 在区间(1,2)单调递增． [ 7分] 又 (1)14ln 20g =-<，(2)20g =>，所以 存在唯一的0(1,2)x ∈，使得0()0g x =． [ 8分] 综上，存在唯一的0(1,2)x ∈，使得曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率为(2)(1)f f -． [ 9分]（Ⅲ）(1.01) 2.01f >-．证明如下： [10分]首先证明：当1x >时，()1f x x >--．设 2()()(1)ln 1h x f x x x x x =---=-+， [11分] 则 ()2ln 1h x x x x '=+-．第 11 页 共 11 页 当 1x >时，10x ->，2ln 0x x >，所以 ()0h x '>，故()h x 在(1,)+∞单调递增， [12分] 所以 1x >时，有()(1)0h x h >=，即当 1x >时，有()1f x x >--．所以 (1.01) 1.011 2.01f >--=-． [13分]。
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北京市西城区2018年高三一模试卷 数 学（文科）2018. 4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{2,5}A =，{4,5}B =，则()U A B ð等于 （A ）{1,2,3,4}（B ）{1,3}（C ）{2,4,5}（D ）{5}2. 函数2lg y x x =-+的定义域是 （A ）(]0,2（B ）(0,2)（C ）[]0,2（D ）[]1,23.为了得到函数x x y cos sin +=的图像，只需把x x y cos sin -=的图象上所有的点（A ）向左平移4π个单位长度 （B ）向右平移4π个单位长度 （C ）向左平移2π个单位长度（D ）向右平移2π个单位长度4. 设2log 3a =，4log 3b =，12c =，则 （A ）a c b <<（B ）c a b <<（C ）b c a <<（D ）c b a <<5．一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积是 （A ）6（B ）12（C ）24（D ）366．对于平面α和异面直线,m n ，下列命题中真命题是 （A ）存在平面α，使m α⊥，α⊥n （B ）存在平面α，使α⊂m ，α⊂n （C ）存在平面α，满足m α⊥，//n α （D ）存在平面α，满足//m α，//n α7. 右面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的 成绩，其中一个数字被污损.则甲的平均成绩超过 乙的平均成绩的概率为 （A ）52 （B ）107 （C ）54 （D ）109 正(主)视图俯视图侧(左)视图344333甲 8 9 9 8 01 2 3 3 79乙8．某次测试成绩满分为180分，设n 名学生的得分分别为12,,,n a a a （i a ∈N ，1i n ≤≤），k b （1150k ≤≤）为n 名学生中得分至少为k 分的人数.记M 为n 名学生的平均成绩.则（A ）12150b b b M n +++= （B ）12150150b b b M +++=（C ）12150b b b M n +++> （D ）12150150b b b M +++>二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 若复数(1i)(1i)a ++是纯虚数，则实数a 等于______. 18.设向量(1,sin )θ=a ，b (1,cos )θ=，若35⋅=a b ，则θ2sin =______. 18.双曲线22:12x C y -=的离心率为______；若椭圆2221(0)x y a a+=>与双曲线C 有相同的焦点，则a =______. 18. 设不等式组22,22x y -≤≤⎧⎨-≤≤⎩表示的区域为W ,圆:C 22(2)4x y -+=及其内部区域记为D .若向区域W 内投入一点，则该点落在区域D 内的概率为_____.18. 阅读右侧程序框图，则输出的数据S 为_____.18. 已知数列{}n a 的各项均为正整数，n S 为其前n 项和，对于1,2,3,n = ，有1135,2n n n nn n kk a a a a a a +++⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数.其中为使为奇数的正整数，,， 当53=a 时，1a 的最小值为______；当11=a 时，1220S S S +++= ______. 三、解答题：本大题共6小题，共80分。
2018年北京西城区高三上学期期末考试数学试题(文)
北京市西城区2018年第一学期期末试卷高三数学（文科）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|01}A x x =∈<<R ，{|(21)(1)0}B x x x =∈-+>R ，则A B =（ ） （A ）1(0,)2（B ）1(,1)2 （C ）1(,1)(0,)2-∞- （D ）1(,1)(,1)2-∞-2．复数5i 2i=+（ ） （A ）12i +（B ）12i -+ （C ）12i -- （D ）12i -3．执行如图所示的程序框图，则输出S=（ ）（A ）2（B ）6（C ）15（D ）314．函数1()ln f x x x=-的零点个数为（ ） （A ）0（B ）1 （C ）2 （D ）35．已知双曲线22221x y a b -=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为（ ）A ．53B ．3C ．54D ．2 6．考察下列函数：①()sin f x x x =-；②2()32f x x =--；③2()2x f x x =-；④()ln 2cos f x x x =- 其中有三个零点的函数是A ． ①②B ． ②③C ． ③④D ． ①④7．已知α∈(2π,π)，sin α=35,则tan(4πα+)等于 A. －17 B. 17C. 7D.－7 8．如图是某几何体的三视图，其中正视图是边长为2的等边三角形，俯视图是半径为1的半圆，侧视图是直角三角形，则该几何体的体积是A ．3π BC ．D第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知向量(1,3)=a，(,21)m m =-b ．若向量a 与b 共线，则实数m =______．10．平行四边形ABCD 中，E 为CD 的中点．若在平行四边形ABCD 内部随机取一点M ，则点M 取自△ABE 内部的概率为______．11．双曲线2213645x y -=的渐近线方程为______；离心率为______．12．若函数2log ,0,()(),0x x f x g x x >⎧=⎨<⎩是奇函数，则(8)g -=______．13．已知函数π()sin()6f x x =+，其中π[,]3x a ∈-．当2a π=时，()f x 的值域是______；若()f x 的值域是1[,1]2-，则a 的取值范围是______． 14．设函数2()65f x x x =-+，集合{(,)|()()0A a b f a f b =+≤，且()()0}f a f b -≥．在直角坐标系aOb 中，集合A 所表示的区域的面积为______．正视图 俯视图 侧视图三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）在△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos2cos 0B B +=．（Ⅰ）求角B 的值；（Ⅱ）若b=5a c +=，求△ABC 的面积．16．（本小题满分13分）为了解学生的身体状况，某校随机抽取了一批学生测量体重．经统计，这批学生的体重数据（单位：千克）全部介于45至70之间．将数据分成以下5组：第1组[4550)，，第2组[5055)，，第3组[5560)，，第4组[6065)，，第5组[6570]，，得到如图所示的频率分布直方图．现采用分层抽样的方法，从第3，4，5组中随机抽取6名学生做初检．（Ⅰ）求每组抽取的学生人数；（Ⅱ）若从6名学生中再次随机抽取2名学生进行复检，求这2名学生不在同一组的概率．17．（本小题满分14分）如图，直三棱柱111C B A ABC -中，BC AC ⊥，21===CC BC AC ，M ，N 分别为AC ，11C B 的中点．（Ⅰ）求线段MN 的长；（Ⅱ）求证：MN // 平面11A ABB ；（Ⅲ）线段1CC 上是否存在点Q ，使⊥B A 1平面MNQ ？说明理由．18．（本小题满分13分） 已知函数2()x f x x b=+，其中b ∈R ． （Ⅰ）若1x =-是)(x f 的一个极值点，求b 的值； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间．19．（本小题满分14分）如图，A ，B 是椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的两个顶点．||AB =直线AB 的斜率为12-． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l 平行于AB ，与,x y 轴分别交于点,M N ，与椭圆相交于,C D ．证明：△OCM 的面积等于△ODN 的面积．20．（本小题满分13分）如图，设A 是由n n ⨯个实数组成的n 行n 列的数表，其中ija (,1,2,3,,)i j n =表示位于第i 行第j 列的实数，且{1,1}ij a ∈-．记(,)S n n 为所有这样的数表构成的集合．对于(,)A S n n ∈，记()i r A 为A 的第i 行各数之积，()j c A 为A 的第j 列各数之积．令11()()()n ni j i j l A r A c A ===+∑∑．（Ⅰ）对如下数表(4,4)A S ∈，求()l A 的值；（Ⅱ）证明：存在(,)A S n n ∈，使得()24l A n k =-，其中0,1,2,,k n =； （Ⅲ）给定n 为奇数，对于所有的(,)A S n n ∈，证明：()0l A ≠．。
【全国市级联考】北京市西城区2018年1月高三期末考试文科数学试题(解析版)
北京市西城区2017 —2018学年度第一学期期末试卷高三数学（文科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1. 若集合，，则( )A. B.C. D.【答案】A【解析】集合，，，故选A.2. 在复平面内，复数对应的点的坐标为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由，则复数对应的点的坐标是，故选B.3. 下列函数中，在区间上单调递增的是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】，在区间上单调递减，不满足条件；在区间上单调递减，，不满足条件；在区间上不是单调函数，不满足条件；根据幂函数的性质可知在区间上单调递增满足条件，故选D.4. 执行如图所示的程序框图，输出的值为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】执行程序框图，输入，第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，，结束循环，输出，故选C.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.5. 若，则有( )A. B. C. D.【答案】D【解析】因为=,所以，，故选D.6. 一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则截去的几何体是（）A. 三棱锥B. 三棱柱C. 四棱锥D. 四棱柱【答案】B【解析】由三视图可知，剩余几何体是如图所示的四棱柱，则截去的部分是三棱柱，故选B.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.7. 函数的图象记为曲线．则“”是“曲线关于直线对称”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若“”，则可得，,或，曲线关于直线对称，充分性成立；若曲线关于直线对称，根据轴对称图形的性质可得一定有“”，必要性成立，所以“”是“曲线关于直线对称”的充分必要条件，故选C.8. 已知，是函数的图象上的相异两点．若点，到直线的距离相等则点，的横坐标之和的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】因为点，到直线的距离相等，所以可设，则在上，可得，，，，即的横坐标之和的取值范围是，故选B.【方法点睛】本题主要考查指数函数的性质、对数的运算以及利用基本不等式求范围，属于难题.求范围问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图像法、函数单调性法求解，利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值；三相等是，最后一定要验证等号能否成立.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 若函数是偶函数，则实数____．【答案】【解析】函数,根据二次函数的性质可得函数对称轴方程为，函数f(x)=x(x+b)是偶函数，所以函数对称轴为轴，所以，故答案为 .10. 已知双曲线的一个焦点是．其渐近线方程为，该双曲线的方程是_____.【答案】【解析】因为双曲线的一个焦点是，所以，双曲线的渐近线方程为，即①，又，② 联立②，解得，所以双曲线方程为，故答案为.11. 向量在正方形网格中的位置如图所示．如果小正方形网格的边长为1，那么____．【答案】【解析】由图可知，，所以，故答案为 .12. 在△中，，，△的面积为，则____；____．【答案】(1). (2).【解析】因为△的面积为，所以，由余弦定理可得，故答案为 .【思路点睛】本题主要考查余弦定理、特殊角的三角函数以及三角形面积公式的应用，属于中档题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用................13. 已知点的坐标满足条件设为原点，则的最小值是____．【答案】【解析】画出所表示的可行域，如图，由图可知，当的最小值是到直线的距离，由点到直线距离公式可得，即的最小值是，故答案为.14. 已知函数若，则的值域是____；若的值域是，则实数的取值范围是____．【答案】(1). (2).【解析】若，由二次函数的性质，可得，的值域为，若值域为，时，且时，，要使的值域为，则，得，实数的取值范围是，故答案为.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知函数．（1）求的最小正周期；（2）求证：当时，．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）根据二倍角的余弦公式、两角和的余弦公式以及两角差的正弦公式化简函数，利用周期公式可得；（2）由，得，所以，从而可得.试题解析：（1）因为，所以的最小正周期．（2）因为，所以．所以，所以．16. 已知数列是公比为的等比数列，且是和的等差中项．（1）求的通项公式；（2）设数列的前项之积为，求的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由数列是公比为的等比数列，利用等比数列的通项公式及是和的等差中项列方程求出，从而可得的通项公式；（2）令，即，可得正项数列的前项大于，第项等于，以后各项均小于，所以的最大值为．试题解析：（1）因为是和的等差中项，所以．因为数列是公比为的等比数列，所以，解得．所以．（2）令，即，得，故正项数列的前项大于1，第项等于1，以后各项均小于1．所以当，或时，取得最大值，的最大值为．17. 某市高中全体学生参加某项测评，按得分评为两类（评定标准见表1）．根据男女学生比例，使用分层抽样的方法随机抽取了10000名学生的得分数据，其中等级为的学生中有40%是男生，等级为的学生中有一半是女生．等级为和的学生统称为类学生，等级为和的学生统称为类学生．整理这10000名学生的得分数据，得到如图2所示的频率分布直方图，得分（表1(I)已知该市高中学生共20万人，试估计在该项测评中被评为类学生的人数；(Ⅱ)某5人得分分别为45，50，55，75，85．从这5人中随机选取2人组成甲组，另外3人组成乙组，求“甲、乙两组各有1名类学生”的概率；(Ⅲ)在这10000名学生中，男生占总数的比例为51%，类女生占女生总数的比例为，类男生占男生总数的比例为，判断与的大小．（只需写出结论）【答案】(Ⅰ)8万人；(Ⅱ)；(Ⅲ)．【解析】试题分析：(I)根据直方图可得样本中类学生所占比例为，所以类学生所占比例为，再根据总人数可估计在该项测评中被评为类学生的人数；(Ⅱ)利用列举法列举出按要求分成两组，分组的方法数为种，其中“甲、乙两组各有名类学生”的方法共有种，由古典概型概率公式可得结果；(Ⅲ)根据直方图，结合表格数据可得结论.试题解析：（1）依题意得，样本中类学生所占比例为，所以类学生所占比例为．因为全市高中学生共万人，所以在该项测评中被评为类学生的人数约为8万人．（2）由表1得，在5人（记为）中，类学生有2人（不妨设为）．将他们按要求分成两组，分组的方法数为种．依次为：．所以“甲、乙两组各有一名类学生”的概率为．（3）．18. 如图，三棱柱中，平面，.过的平面交于点，交于点.(l)求证：平面；(Ⅱ)求证：；(Ⅲ)记四棱锥的体积为，三棱柱的体积为.若，求的值．【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ).【解析】试题分析：(l)因为平面，由线面垂直的性质可得，根据菱形的性质可得，利用线面垂直的判定定理可得平面；(Ⅱ)由，平面，所以平面，利用线面平行的性质定理可得；(Ⅲ)记三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，先证明，所以，结合，可得，而三棱柱与三棱柱等高，由此得．试题解析：（1）因为平面，所以．在三棱柱中，因为，所以四边形为菱形，所以．所以平面．（2）在三棱柱中，因为，平面，所以平面．因为平面平面，所以．（3）记三棱锥的体积为，三棱柱的体积为.因为三棱锥与三棱柱同底等高，所以，所以.因为，所以. 因为三棱柱与三棱柱等高，所以△与△的面积之比为，所以．19. 已知椭圆过，两点．（1）求椭圆的方程及离心率；（2）设点在椭圆上．试问直线上是否存在点，使得四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1），；（2）存在，或.【解析】试题分析：（1）由椭圆过，两点可得，，，从而，进而可得椭圆的方程及离心率；（2）设，，若是平行四边形，则，可得．将上式代入，可解得，或，从而可得出点的坐标.试题解析：（1）由题意得，，，所以椭圆的方程为．设椭圆的半焦距为，则，所以椭圆的离心率．（2）由已知，设，．若是平行四边形，则，所以，整理得．将上式代入，得，整理得，解得，或．此时，或．经检验，符合四边形是平行四边形，所以存在，或满足题意．【方法点睛】本题主要考查待定待定系数法求椭圆标准方程、圆锥曲线的存在性问题以及椭圆的离心率，属于难题. (3)存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在.①当条件和结论不唯一时要分类讨论.②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件.③当条件和结论都不知，按常规方法很难时，采取另外的途径.20. 已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求证：存在唯一的，使得曲线在点处的切线的斜率为；（3）比较与的大小，并加以证明．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.【解析】试题分析：（1）求出的值可得切点坐标，求出,可得的值，从而得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；（2）由已知，只需证明方程在区间有唯一解，先利用导数证明在区间单调递增，再利用零点存在定理可得结论；（3）当时，利用导数研究函数的单调性，可得，即，令即可的结果.试题解析：（1）函数的定义域是，导函数为．所以，又，所以曲线在点处的切线方程为，（2）由已知．所以只需证明方程在区间有唯一解．即方程在区间有唯一解．设函数，则．当时，，故在区间单调递增．又，，所以存在唯一的，使得．综上，存在唯一的，使得曲线在点处的切线的斜率为．（3）．证明如下：首先证明：当时，．设，则．当时，，所以，故在单调递增，所以时，有，即当时，有．所以．【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性与零点，属于难题. 求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.。