历年高考数学真题(全国卷整理版)
历年(2020-2023)全国高考数学真题分类(数列)汇编(附答案)
历年(2020‐2023)全国高考数学真题分类(数列)汇编【2023年真题】1. （2023·新课标I 卷 第7题） 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列：乙：{}n sn为等差数列，则( )A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件2. （2023·新课标II 卷 第8题） 记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若45S =-，6221S S =，则8S = ( ) A. 120B. 85C. 85-D. 120-3. （2023·新课标I 卷 第20题）设等差数列{}n a 的公差为d ，且 1.d >令2n n n nb a +=，记n S ，n T 分别为数列{}{},n n a b 的前n 项和.(1)若21333a a a =+，3321S T +=，求{}n a 的通项公式; (2)若{}n b 为等差数列，且999999S T -=，求.d4. （2023·新课标II 卷 第18题）已知为等差数列，，记n S ，n T 分别为数列，的前n 项和，432S =，316.T =(1)求的通项公式；(2)证明：当5n >时，n S .n T >【2022年真题】5.（2022·新高考I 卷 第17题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11a =，n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为13的等差数列.(1)求{}n a 的通项公式;(2)证明：121112.na a a +++< 6.（2022·新高考II 卷 第17题）已知{}n a 为等差数列，{}nb 为公比为2的等比数列，且223344.a b a b b a -=-=-(1)证明：11;a b =(2)求集合1{|,1500}k m k b a a m =+剟中元素个数.【2021年真题】7.（2021·新高考II 卷 第12题）（多选）设正整数010112222k k k k n a a a a --=⋅+⋅++⋅+⋅ ，其中{}0,1i a ∈，记()01k n a a a ω=+++ ，则( ) A.()()2n n ωω=B. ()()231n n ωω+=+C. ()()8543n n ωω+=+D. ()21nn ω-=8.（2021·新高考I 卷 第16题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规格为20dm 12dm ⨯的长方形纸，对折1次共可以得到10dm 12dm ⨯，20dm 6dm ⨯两种规格的图形，它们的面积之和21240dm S =，对折2次共可以得到5dm 12dm ⨯，10dm 6dm ⨯，20dm 3dm ⨯三种规格的图形，它们的面积之和22180dm S =，以此类推．则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为____________________；如果对折*()n n N ∈次，那么12n S S S ++= __________2dm . 9.（2021·新高考I 卷 第17题）已知数列{}n a 满足11a =，，记2n n b a =，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 的通项公式； 求{}n a 的前20项和.(1)(2)10.（2021·新高考II 卷 第17题）记n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，若35a S =，244.a a S =(1)求数列{}n a 的通项公式n a ； (2)求使n n S a >成立的n 的最小值．【2020年真题】11.（2020·新高考I 卷 第14题、II 卷 第15题）将数列{21}n -与{32}n -的公共项从小到大排列得到数列{n a }，则{}n a 的前n 项和为__________.12.（2020·新高考I 卷 第18题）已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8.a a a +==(1)求{}n a 的通项公式；(2)记m b 为{}n a 在区间*(0,]()m m N ∈中的项的个数，求数列{}m b 的前100项和100.S13.（2020·新高考II 卷 第18题）已知公比大于1的等比数列{}n a 满足2420a a +=，38.a =(1)求{}n a 的通项公式；(2)求1223a a a a -+…11(1).n n n a a -++-参考答案1. （2023·新课标I 卷 第7题） 解：方法1:为等差数列，设其首项为1a ，公差为d ， 则1(1)2n n n S na d -=+，111222n S n d d a d n a n -=+=+-，112n n S S dn n +-=+， 故{}nS n为等差数列，则甲是乙的充分条件，， 反之，{}n Sn为等差数列，即111(1)1(1)(1)n n n n n n S S nS n S na S n n n n n n +++-+--==+++为常数，设为t 即1(1)n nna S t n n +-=+，故1(1)n n S na t n n +=-⋅+故1(1)(1)n n S n a t n n -=--⋅-，2n …两式相减有：11(1)22n n n n n a na n a tn a a t ++=---⇒-=，对1n =也成立，故{}n a 为等差数列， 则甲是乙的必要条件， 故甲是乙的充要条件，故选.C 方法2:因为甲：{}n a 为等差数列，设数列{}n a 的首项1a ，公差为.d 即1(1)2n n n S na d -=+， 则11(1)222n S n d d a d n a n -=+=+-，故{}n S n 为等差数列，即甲是乙的充分条件．反之，乙：{}n S n为等差数列.即11n n S S D n n +-=+，1(1).n SS n D n =+-即1(1).n S nS n n D =+-当2n …时，11(1)(1)(2).n S n S n n D -=-+-- 上两式相减得：112(1)n n n a S S S n D -=-=+-， 所以12(1).n a a n D =+-当1n =时，上式成立．又1112(2(1))2n n a a a nD a n D D +-=+-+-=为常数.所以{}n a 为等差数列． 则甲是乙的必要条件， 故甲是乙的充要条件，故选C . 2. （2023·新课标II 卷 第8题）解：2S ，42S S -，64S S -，86S S -成等比数列，242224264264262(1)55(21)521S S q S q S S S q S S q S S S⎧-=⎧+=-⎪-==+⇒⎨⎨-=⎩⎪=⎩从而计算可得24681,5,21,85S S S S =-=-=-=- 故选.C3. （2023·新课标I 卷 第20题）解：因为21333a a a =+，故3132d a a d ==+，即1a d =，故n a nd =，所以21n n n n b nd d++==，(1)2n n n d S +=，(3)2n n n T d +=，又3321S T +=，即34362122d d ⨯⨯+=，即22730d d -+=，故3d =或1(2d =舍)， 故{}n a 的通项公式为：3.n a n =(2)方法一：(基本量法)若{}n b 为等差数列，则2132b b b =+，即11123123422a d a a d⨯⨯⨯⨯=+++，即2211320a a d d -+=，所以1a d =或12;a d =当1a d =时，n a nd =，1n n b d +=，故(1)2n n n d S +=，(3)2n n n T d+=，又999999S T -=， 即99100991029922d d ⋅⋅-=，即250510d d --=，所以5150d =或1(d =-舍); 当12a d =时，(1)n a n d =+，n n b d=，故(3)2n n n d S +=，(1)2n n n T d +=，又999999S T -=，即99102991009922d d ⋅⋅-=，即251500d d --=，所以50(51d =-舍)或1(d =舍); 综上：51.50d = 方法二：因为{}n a 为等差数列且公差为d ，所以可得1n a dn a d =+-，则211(1)n n n n nb dn a d dn a d++⋅==+-+- 解法一：因为{}n b 为等差数列，根据等差数列通项公式可知n b 与n 的关系满足一次函数，所以上式中的分母“1dn a d +-”需满足10a d -=或者11da d=-，即1a d =或者12;a d = 解法二：由211(1)n n n n nb dn a d dn a d ++⋅==+-+-可得，112b a =，216b a d =+，31122b a d =+，因为{}n b 为等差数列，所以满足1322b b b +=，即111212622a a d a d+=⋅++，两边同乘111()(2)a a d a d ++化简得2211320a a d d -+=，解得1a d =或者12;a d =因为{}n a ，{}n b 均为等差数列，所以995099S a =，995099T b =，则999999S T -=等价于50501a b -=， ①当1a d =时，n a dn =，1(1)n b n d =+，则505051501a b d d-=-=，得 250510(5051)(1)0d d d d --=⇒-+=，解得5150d =或者1d =-，因为1d >，所以51;50d =②当12a d =时，(1)n a d n =+，1n b n d =，则505050511a b d d-=-=，化简得 251500(5150)(1)0d d d d --=⇒+-=，解得5051d =-或者1d =，因为1d >，所以均不取; 综上所述，51.50d =4. （2023·新课标II 卷 第18题） 解：(1)设数列的公差为d ，由题意知：，即，解得52(1)2 3.n a n n ∴=+-=+(2)由(1)知23n a n =+，，212121n n b b n -+=+，当n 为偶数时，当n 为奇数时，22113735(1)(1)4(1)652222n n n T T b n n n n n ++=-=+++-+-=+-， ∴当n 为偶数且5n >时，即6n …时，22371(4)(1)022222n n n nT S n n n n n n -=+-+=-=->， 当n 为奇数且5n >时，即7n …时， 22351315(4)5(2)(5)0.22222n n T S n n n n n n n n -=+--+=--=+-> ∴当5n >时，n S .n T >5.（2022·新高考I 卷 第17题）解：1112(1)(1)33n n S S n n a a +=+-=，则23n n n S a +=①，1133n n n S a +++∴=②; 由②-①得：111322;33n n n n n a n n n a a a a n ++++++=-⇒=∴当2n …且*n N ∈时，13211221n n n n n a a a a aa a a a a ---=⋅⋅ 1543(1)(1)1232122n n n n n n n a n n +++=⋅⋅⋅=⇒=-- ， 又11a =也符合上式，因此*(1)();2n n n a n N +=∈ 1211(2)2((1)1n a n n n n ==-++， 1211111111112(2(12122311n a a a n n n ∴+++=-+-++-=-<++ ， 即原不等式成立.6.（2022·新高考II 卷 第17题） 解：(1)设等差数列{}n a 公差为d由2233a b a b -=-，知1111224a d b a d b +-=+-，故12d b = 由2244a b b a -=-，知111128(3)a d b b a d +-=-+，故11124(3);a d b d a d +-=-+故1112a d b d a +-=-，整理得11a b =，得证.(2)由(1)知1122d b a ==，由1k m b a a =+知：11112(1)k b a m d a -⋅=+-⋅+即111112(1)2k b b m b b -⋅=+-⋅+，即122k m -=，因为1500m 剟，故1221000k -剟，解得210k 剟， 故集合1{|,1500}k m k b a a m =+剟中元素的个数为9个. 7.（2021·新高考II 卷 第12题）（多选）解：对于A 选项，010112222k k k k n a a a a --=⋅+⋅++⋅+⋅ ，， 则12101122222kk k k n a a a a +-=⋅+⋅++⋅+⋅ ，，A 选项正确；对于B 选项，取2n =，012237121212n +==⋅+⋅+⋅，，而0120212=⋅+⋅，则，即，B 选项错误；对于C 选项，34302340101852225121222k k n a a a a a ++=⋅+⋅++⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅+ 32k k a ++⋅，所以，，23201230101432223121222k k n a a a a a ++=⋅+⋅++⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅+ 22k k a ++⋅，所以，，因此，，C 选项正确；对于D 选项，01121222n n --=+++ ，故，D 选项正确.故选.ACD8.（2021·新高考I 卷 第16题）解：对折3次时，可以得到2.512dm dm ⨯，56dm dm ⨯，103dm dm ⨯，20 1.5dm dm ⨯四种规格的图形. 对折4次时，可以得到2.56dm dm ⨯，1.2512dm dm ⨯，53dm dm ⨯，10 1.5dm dm ⨯，200.75dm dm ⨯五种规格的图形.对折3次时面积之和23120S dm =，对折4次时面积之和2475S dm =，即12402120S ==⨯，2180360S ==⨯，3120430S ==⨯，475515S ==⨯，……得折叠次数每增加1，图形的规格数增加1，且()*12401,2nn S n n N ⎛⎫=+⨯∈ ⎪⎝⎭，121111240[234(1)]2482n n S S S n ∴++=⨯⨯+⨯+⨯++⋅+记231242n n n T +=+++ ，则112312482n n n T ++=+++ ， 11111111(224822n n n n n n T T T ++-==++++-113113322222n n n n n ++++=--=-， 得332n nn T +=-，123240(3)2n n n S S S +∴++=⨯-， 故答案为5；3240(3).2n n +⨯-9.（2021·新高考I 卷 第17题）解：⑴12b a =，且21+1=2a a =，则1=2b ， 24b a =，且4321215a a a =+=++=，则25b =；1222121213n n n n n b a a a b +++==+=++=+，可得13n n b b +-=，故{}n b 是以2为首项，3为公差的等差数列； 故()21331n b n n =+-⨯=-.数列{}n a 的前20项中偶数项的和为2418201210109=102+3=1552a a a ab b b ⨯++++=+++⨯⨯ ， 又由题中条件有211a a =+，431a a =+， ，20191a a =+， 故可得n a 的前20项的和10.（2021·新高考II 卷 第17题）解：(1)由等差数列的性质可得：535S a =，则3335,0a a a =∴=， 设等差数列的公差为d ，从而有22433()()a a a d a d d =-+=-，412343333(2)()()2S a a a a a d a d a a d d =+++=-+-+++=-，从而22d d -=-，由于公差不为零，故：2d =， 数列的通项公式为：*3(3)26().n a a n d n n N =+-=-∈(2)由数列的通项公式可得1264a =-=-，则2(1)(4)252n n n S n n n -=⨯-+⨯=-， 则不等式n n S a >即2526n n n ->-，整理可得(1)(6)0n n -->， 解得1n <或6n >，又n 为正整数，故n 的最小值为7.(2)11.（2020·新高考I 卷 第14题、II 卷 第15题）解：数列 的首项是1，公差为2的等差数列； 数列 的首项是1，公差为3的等差数列； 公共项构成首项为1 ，公差为6的等差数列; 故 的前n 项和S n 为： .故答案为232.n n -12.（2020·新高考I 卷 第18题）解：(1)设等比数列的公比为q ，且1q >，2420a a += ，38a =，，解得舍)或，∴数列{}n a 的通项公式为2;n n a =(2)由(1)知12a =，24a =，38a =，416a =，532a =，664a =，7128a =，则当1m =时，10b =，当2m =时，21b =， 以此类推，31b =，45672b b b b ====，815...3b b ===，1631...4b b ===， 3263...5b b ===，64100...6b b ===， 10012100...S b b b ∴=+++0122438416532637480.=+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=13.（2020·新高考II 卷 第18题）解：(1)设等比数列{}n a 的公比为(1)q q >，则32411231208a a a q a q a a q ⎧+=+=⎨==⎩， {21}n -{32}n -{}n a1q > ，122a q =⎧∴⎨=⎩， 1222.n n n a -∴=⋅=1223(2)a a a a -+…11(1)n n n a a -++- 35792222=-+-+…121(1)2n n -++-⋅，322322[1(2)]82(1).1(2)55n n n +--==----。
最新历年高考数学真题(全国卷整理版)62084
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 334V R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,)k kn k n n P k C p p k n -=-=…普通高等学校招生全国统一考试一、选择题1、 复数131ii-++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A ＝{1.3.m }，B ＝{1，m} ,AB ＝A, 则m=A 0或3B 0或3C 1或3D 1或3 3 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为A 216x +212y =1B 212x +28y =1C 28x +24y =1D 212x +24y =14 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1=22 E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 A 2 B3 C 2 D 1（5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项和为(A)100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101100（6）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则(A) （B ） (C) (D)（7）已知α为第二象限角，sinα＋sinβ=3，则cos2α=(A)5-（B）5-(C)5(D)5（8）已知F1、F2为双曲线C：x²-y²=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2PF2|，则cos ∠F1PF2=(A)14（B）35(C)34(D)45（9）已知x=lnπ，y=log52，12z=e，则(A)x＜y＜z （B）z＜x＜y (C)z＜y＜x (D)y＜z＜x(10) 已知函数y＝x²-3x+c的图像与x恰有两个公共点，则c＝（A）-2或2 （B）-9或3 （C）-1或1 （D）-3或1（11）将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A）12种（B）18种（C）24种（D）36种（12）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝73。
2024年新课标全国Ⅰ卷数学高考真题及参考答案
2024年新课标全国Ⅰ卷数学高考真题及参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.已知集合{}553<<-=x x A ，{}3,2,0,13--=，B ，则=B A （）A.{}0,1-B.{}32， C.{}0,13--， D.{}2,0,1-2.若i z z+=-11，则=z （）A.i --1B.i +-1C.i -1D.i +13.已知向量()1,0=a，()x b ,2= ，若()a b b 4-⊥，则=x （）A.2- B.1- C.1D.24.已知()m =+βαcos ，2tan tan =βα，则()=-βαcos （）A.m3- B.3m -C.3m D.m35.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为3，则圆锥的体积为（）A.π32 B.π33 C.π36 D.π396.已知函数()()⎪⎩⎪⎨⎧≥++<---=0,1ln 0,22x x e x a ax x x f x 在R 上单调递增，则a 的取值范围是（）A.(]0，∞-B.[]0,1-C.[]1,1-D.[)∞+，07.当[]π2,0∈x 时，曲线x y sin =与⎪⎭⎫⎝⎛-=63sin 2πx y 的交点个数为（）A.3B.4C.6D.88.已知函数()x f 定义域为R ，()()()21-+->x f x f x f ，且当3<x 时，()x x f =，则下列结论中一定正确的是（）A.()10010>fB.()100020>fC.()100010<f D.()1000020<f二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，由选错的得0分.9.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值1.2=x ，样本方差01.02=S ，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.08.1，N ，假设失去出口后的亩收入Y 服从发正态分布()2,S x N ，则（）（若随机变量Z 服从正态分布()2,σμN ，则()8413.0≈+<σμZ P ）A.()2.02>>X PB.()5.0<>Z X PC.()5.0>>Z Y P D.()8.0<>Z Y P 10.设函数()()()412--=x x x f ，则（）A.3=x 是()x f 的极小值点B.当10<<x 时，()()2xf x f <C.当21<<x 时，()0124<-<-x f D.当01<<-x 时，()()x f x f >-211.造型可以看作图中的曲线C 的一部分，已知C 过坐标原点O ，且C 上的点满足横坐标大于2-，到点()02，F 的距离与到定直线()0<=a a x 的距离之积为4，则（）A .2-=aB .点()022，在C 上C .C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D .当点()00,y x 在C 上时，2400+≤x y三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设双曲线()0,012222>>=-b a by a x C ：的左右焦点分别为21,F F ，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于B A ,两点，若131=A F ，10=AB ，则C 的离心率为.13.若曲线x e y x+=在点()1,0处的切线也是曲线()a x y ++=1ln 的切线，则=a .14.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片分别标有数字1,3,5,7，乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两个各自从自己特有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片的数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分小于2的概率为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）记ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,.已知B C cos 2sin =，ab c b a 2222=-+.（1）求B ；（2）若ABC ∆的面积为33+，求c .16.（15分）已知()30，A 和⎪⎭⎫⎝⎛233，P 为椭圆()012222>>=+b a b y a x C ：上两点.（1）求C 的离心率；（2）若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP ∆的面积为9，求l 的方程.17.（15分）如图，四棱锥ABCD P -中，⊥P A 底面ABCD ，2==PC P A ，1=BC ，3=AB .（1）若PB AD ⊥，证明：∥AD 平面PBC ；（2）若DC AD ⊥，且二面角D CP A --的正弦值为742，求AD .18.（17分）已知函数()()312ln-++-=x b ax xx x f .（1）若0=b ，且()0≥'x f ，求a 的最小值；（2）证明：曲线()x f y =是中心对称图形；（3）若()2->x f ，当且仅当21<<x ，求b 的取值范围.19.（17分）设m 为正整数，数列242.1,,,+m a a a 是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j i <后剩余的m 4项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列242.1,,,+m a a a 是()j i ,一一可分数列.（1）写出所有的()j i ,，61≤<≤j i ，使数列62.1,,,a a a 是()j i ,一一可分数列；（2）当3≥m 时，证明：数列242.1,,,+m a a a 是()13,2一一可分数列；（3）从242,1+m ，， 中一次任取两个数i 和j ()j i <，记数列242.1,,,+m a a a 是()j i ,一一可分数列的概率的概率为m P ，证明：81>m P .参考答案一、单项选择题1.A解析：∵553<<-x ，∴3355<<-x .∵2513<<，∴1523-<-<-.∴{}0,1-=B A .2.C解析：∵i z z +=-11，∴()()i i i z i iz z i z -=+=⇒+=⇒-+=11111.3.D 解析：()4,24-=-x a b ，∵()a b b4-⊥，∴()044=-+x x ，∴2=x .4.A解析：∵()m =+βαcos ，2tan tan =βα，∴()()32121tan tan 1tan tan 1sin sin cos cos sin sin cos cos cos cos -=-+=-+=-+=+-βαβαβαβαβαβαβαβα.∴()m 3cos -=-βα.5.B解析：由32⋅==r rl S ππ侧可得32=l ，∴3=r .∴ππ33393131=⋅⋅==Sh V .6.B由()()0,1ln ≥++=x x e x f x为增函数，故此分段函数在R 上递增，只需满足：⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-=--1022a a a，解得01≤≤-a .7.C解析：∴32π=T .8.B解析：()()()123f f f +>，()22=f ，()11=f .()()()()()122234f f f f f +>+>，()()()()()1223345f f f f f +>+>，……()()()8912123410>+>f f f ，……，()()()9871233237715>+>f f f ，()()()15971377261016>+>f f f .∴()100020>f .二、多项选择题9.BC 解析：已知()21.08.1~，N X ，由题目所给条件：若随机变量Z 服从正态分布，()8413.0≈+<σμZ P ，则()8413.09.1≈<X P ，易得()1587.08413.012≈-<>X P .故A 错误，B 正确；对于C：()21.01.2~，N Y ，∴()5.01.2=>Y P ，即()()5.01.22=>>>Y P Y P ，故C正确；对于D：同上易得()8413.02.2≈<Y P .由正态密度曲线的对称性可知()()8.08412.02.22>≈<=>Y P Y P .故D 错误.10.ACD解析：对于A：()()()()()()31314122--=-+--='x x x x x x f .令()0='x f ，解得11=x ，32=x .x 变化时，()x f '与()x f 变化如下表：故A 正确；对于B：当10<<x 时，102<<<x x ，又()x f 在()1,0上单调递增，所以()()x f xf <2，故B 错误；对于C ：令()2112<<-=x x t ，则31<<x .()x f 在()3,1上单调递减，()()()13f t f f <<，()43-=f ，()11=f ，即()0121<-<-x f .故C 正确；对于D：()()()412--=x x x f ，()()()()()21421222---=---=-x x x x x f .∴()()()()()32122212-=--=--x x x x f x f .当01<<-x 时，()013<-x ，∴()()x f x f -<2成立.故D 正确.11.ABD解析：对于A：O 点在曲线C 上，O 到F 的距离和到a x =的距离之积为4，即42=⨯a ，解得2±=a .又∵0<a ，∴2-=a ，故A 正确；对于B：由图象可知曲线C 与x 轴正半轴相交于一点，不妨设B 点.设()0,m B ，其中2>m ，由定义可得()()422=+-m m ，解得22±=m .又∵2>m ，∴22=m ，故B 正确；对于C：设C 上一点()y x P ,，()()42222=++-x y x ，其中2->x .化简得曲线C 的轨迹方程为()()2222216--+=x x y ，其中2->x .已知2=x 时，12=y ，对x 求导()()2223232--+-=x x y .2122-==x y ，则在2=x 是下降趋势，即存在2<x 时，1>y 成立，故C 错误；对于D：()()2222216--+=x x y ，∵()022≥-x ，∴()22216+≤x y .∴240+≤x y .又∵20->x ，2400+≤x y ，则24000+≤≤x y y ，故D 正确.三、填空题12.23解析：作图易得131=A F ，52=AF ，且212F F AF ⊥，12222121=-=AF A F F F .由双曲线定义可得：8221=-=AF A F a ，6221==F F c ，则23==a c e .13.2ln 解析：1+='xe y ，20='==x y k ，切线l 的方程：12+=x y .设l 与曲线()a x y ++=1ln 的切点横坐标为0x ，110+='x y ，则2110=+=x k ，解得210-=x .代入12+=x y 可得切点为⎪⎭⎫⎝⎛-021，，再代入()a x y ++=1ln ，a +=21ln 0，即2ln =a .14.21解析：不妨确定甲的出牌顺序为7,5,3,1.乙随机出牌有2444=A 种基本事件.甲的数字1最小，乙的数字8最大.若数字1和数字8轮次不一致，乙最少得2分，甲最多2分.站在甲的视角下，分四种情况：①8对1，则7必得分（1）若得3分：3,5都得分，3对2,5对4（1种情况）（2）若得2分：3,5只有一个得分（ⅰ）：5得分，3不得分：5对2,3对4或6（2种情况）；5对4,3对6（1种情况）；（ⅱ）：3得分，5不得分：3对2,5对6（1种情况）；②8对3,7必得分5得分：5对2,4,7对应2种情况，共有422=⨯种情况；③8对5,7必得分3得分：3对2,7对应2中情况，共有221=⨯种情况；④8对7，最多得2分3得分，5得分：3对2,5对4（1种情况）.共有12种情况，甲总得分不小于2的概率为212412=.四、解答题15.解：（1）∵ab c b a 2222=-+，∴22222cos 222==-+=ab ab ab c b a C .∴22cos 1sin 2=-=C C .又∵B C cos 2sin =，∴22cos 2=B ，∴21cos =B ，∴3π=B .（2）∵33sin 21+==∆Bac S ABC ，∴333sin 21+=ac π.即434+=ac ……①由（1）易知4π=C ，3π=B .由正弦定理C c A a sin sin =，()CcC B a sin sin =+.∴4sin43sin πππc a =⎪⎭⎫ ⎝⎛+，∴224269c =+，∴c a 213+=.代入①式解得22=c .16.解：（1）将()30，A ，⎪⎭⎫⎝⎛233，P 代入椭圆12222=+b y a x 得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=149919222b a b ，可得⎪⎩⎪⎨⎧==91222b a ，∴3222=-=b a c ，∴32=a ，3=c .∴离心率21323===a c e .（2）①当l 斜率不存在时，29332121=⨯⨯=-⋅=∆A P ABP x x PB S ，不符，舍去.②当l 斜率存在时，设l 方程：()323-=-x k y .联立()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-191232322y x x k y 可得：()()()02736212342222=--++-++k k x k k x k.由韦达定理：()34273622+--=⋅k k k x x B P ，又3=P x ，∴()3491222+--=k k k x B .∵BP 与y 轴交点⎪⎭⎫ ⎝⎛+-233,0k ，∴()9349123323213232122=+---⋅+=-+⋅=∆k k k k x x k S B P ABP 解得21=k 或23，∴l 方程x y 21=或0623=--y x .17.解：（1）证明：∵⊥P A 底面ABCD ，∴AD P A ⊥.又∵PB AD ⊥，∴⊥AD 平面P AB ，则AB AD ⊥.又∵1,32===BC AB AC ，，∴222BC AB AC +=，则BC AB ⊥，∴BC AD ∥.∵⊄AD 平面PBC ，⊂BC 平面PBC ，∴∥AD 平面PBC .（2）以D 为原点，DA 为x 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系.设0,0,,>>==q p q DC p DA ，满足4222==+AC q p ，则()()()()0,0,0,0,,0,20,0,0,D q C p P p A ，，.设平面APC 法向量为()111,,z y x m =，∴()()0,,200q p AC AP -==，，，.∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅==⋅002111qy px m AC z m AP ，取()0,,p q m = .设平面DPC 法向量为()()()0,,0,2,0,,,,222q DC p DP z y x n ===.∴⎪⎩⎪⎨⎧==⋅=+=⋅002222qy n DC z px n AP ，取()p n -=,0,2 .∴2222742142,cos ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=+⋅+=p q p qn m .∴7142=+p q .又∵422=+q p ，∴3=p ，即3=AD .18.解：（1）0=b 时，()ax x x x f +-=2ln，∴()()022≥+-⋅='a x x x f .∴()22-≥x x a .又∵()2,0∈x ，设()()22-=x x x h ，当()2,0∈x 时，()2max -=x h ，∴2-≥a .∴a 的最小值为2-.（2）由题意可知()x f 的定义域为()20，.()()()()()a x b x a xx bx x a x x x f x f 2111ln 111ln1133=-+-++-++++-+=-++.∴()x f 关于()a ,1中心对称.（3）()212ln 3->-++-x b ax xx ，即()0212ln3>+-++-x b ax x x 即()()02112ln 3>++-+-+-a x b x a xx.令1-=x t ，则()1,0∈t ，()0211ln 3>++++-+=a bt at tt t g .()t g 关于()a +2,0中心对称，则当且仅当()1,0∈t 时，()0>t g 恒成立.需02=+a ，即2-=a ，()0≥'t g 在()1,0恒成立.()()()()22222212231223032112t t t b t bt bt t t t g --≥⇒--≥⇒≥+--+='.令2t m =，则()1,0∈m ，()()12122-=--=m m m m m h .()2max -=m h ，∴23-≥b ，即32-≥b .∴⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-∈,32b .19.解：（1）从1,2,3,4,5,6中删去()j i ,剩下的四个数从小到大构成等差数列，记为{}k b ，41≤≤k .设{}k b 公差为d ，已知1=d ，否则，若2≥d ，则6314≥=-d b b ，又51614=-≤-b b ，故矛盾，∴1=d ，则{}k b 可以为{}4,3,2,1，{}5,4,3,2，{}6,5,4,3，则对应()j i ,分别为()()()2,16,16,5，，.（2）证明：只需考虑前14项在去掉()13,2后如何构成3组4项的等差数列，后面剩下的()34124-=-m m 可自然依序划分为3-m 组等差数列.则只需构造{}14,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,1的一组划分，使划分出的3组数均成等差数列，取{}{}{}14,11,8,512,9,6,310,7,4,1，，，这单租数均为公差为3的等差数列，对于剩下的()34-m 个数，按每四个相邻数一组，划分为3-m 组即可.由此可见去掉()13,2后，剩余的m 4个数可以分为m 组，每组均为等差数列，故3≥m 时，24,2,1+m 是()13,2可分数列，即2421,,,+m a a a 是()13,2可分数列.（3）证明：用数学归纳法证明：共有不少于12++m m 中()j i ,的取法使24,2,1+m 是()j i ,可分数列，①当1=m 时，由（1）知，有11132++=种()j i ,的取法，②假设当n m =时，有至少12++n n 种()j i ,的取法，则当1+=n m 时，考虑数列{}64,,2,1+n 下对于()j i ,分三种情况讨论：1°当1=i 时，取()1,,,2,1,0,24+=+=n n k k j 则j i ,之间（不含j i ,）有k k 41124=--+个连续的自然数，可按形如{}{}{}14,4,14,249,8,7,65,4,3,2+--k k k k ，，， 划分，剩下的64,,44,34+++n k k ，也可按每四个连续自然数划分得到相应的等差数列，∵1,,,2,1,0+=n n k ，∴这种情况有2+n 种()j i ,的取法.2°当2=i 时，取()1,,,2,14+=+=n n k k j ，现以k 为公差构造划分为：{}13,12,11+++k k k ，，{}33,32,3,3+++k k k ，……{}14,13,12,1----k k k k ，{}k k k k 4,3,22,，{}24,23,22,2++++k k k k （注意当2=k 时，只有{}{}10,8,6,47,5,3,1，这两组）剩下的64,,44,34+++n k k ，也可按每四个连续自然数划分得到相应的等差数列，∵1,,,2+=n n k ，∴这种情况有n 种()j i ,的取法.3°当2>i 时，考虑{}64,,7,6,5+n 共24+n 个数，由归纳假设里n m =时，有至少12++n n 种()j i ,的取法.综合1°2°3°，当1+=n m 时，至少有()()()()1111222++++=+++++n n n n n n 中取法，由①②及数学归纳法原理，值共有不少于12++m m 种()j i ,的取法使24,2,1+m 为()j i ,可分数列，那么()()8188811681121411222222242=++++>++++=++++=++≥+m m m m m m m m m m m m C m m P m m ，∴81>m P .。
近五年高考数学试卷
近五年高考数学试卷一、选择题（每题5分，共60分）1. 已知集合A = {xx^2-3x + 2 = 0}，B={xx^2-ax + a - 1 = 0}，若A∪ B = A，则实数a的值为（）A. 2B. 3C. 2或3D. 1或2或32. 复数z=(1 + i)/(1 - i)（i为虚数单位）的共轭复数是（）A. iB. -iC. 1 - iD. 1 + i3. 已知向量→a=(1,2)，→b=(x,1)，若→a⊥→b，则x的值为（）A. -2B. -1C. 1D. 24. 在等差数列{a_n}中，a_3=5，a_7=13，则a_11的值为（）A. 19B. 21C. 23D. 255. 函数y = sin(2x+(π)/(3))的图象向右平移(π)/(6)个单位长度后得到的函数图象的解析式为（）A. y=sin2xB. y = sin(2x-(π)/(6))C. y=cos2xD. y = sin(2x+(π)/(6))6. 若log_a2<1（a>0且a≠1），则a的取值范围是（）A. (0,1)B. (0,1)∪(2,+∞)C. (2,+∞)D. (1,2)7. 一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是（）A. 20 + 2√(5) cm^2B. 24 + 2√(5) cm^2C. 20 + 4√(5) cm^2D. 24 + 4√(5) cm^28. 从1，2，3，4，5这5个数中任取2个数，则这2个数之和为偶数的概率为（）A. (1)/(5)B. (2)/(5)C. (3)/(5)D. (4)/(5)9. 若双曲线frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2} = 1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=√(3)x，则双曲线的离心率为（）A. √(2)B. √(3)C. 2D. 410. 已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx + c，x∈[-2,2]表示的曲线过原点，且在x = ±1处的切线斜率均为-1，则f(x)的解析式为（）A. f(x)=x^3-4x，x∈[-2,2]B. f(x)=x^3-3x，x∈[-2,2]C. f(x)=x^3-2x，x∈[-2,2]D. f(x)=x^3-x，x∈[-2,2]11. 若x,y满足约束条件x - y+1≥0 x + y - 3≥0 x≤2，则z = 2x - y的最大值为（）A. -1B. 1C. 3D. 512. 已知函数f(x)=(1)/(2)x^2-9ln x在区间[a - 1,a + 1]上单调递减，则实数a的取值范围是（）A. (1,2]B. [4,+∞)C. (-∞,2]D. (0,3]二、填空题（每题5分，共20分）13. 若(1 + 2x)^n展开式中x^3的系数为80，则n=______。
以来历年全国高考数学试卷全试题标准答案解析
1951年普通高等学校招生全国统一考试数学第一部分：1．设有方程组x+y=8，2x-y=7，求x ，y.解略：⎩⎨⎧==35y x2．若一三角形的重心与外接圆圆心重合，则此三角形为何种三角形？ 证：设△ABC 的重心与外接圆的圆心均为O （图1）∵OA=OC ，E 为AC 的中点，∴BE ⊥AC ；同理，CD ⊥AB ，AF ⊥BC 在Rt △ABE 与Rt △ACD 中，∠A 为公共角，BE=CD=R+21R=23R （R 为外接圆半径），所以△ABE ≌△ACD ，AB=AC ，同理可得AB=BC 由此可知△ABC 为等边三角形3．当太阳的仰角是600时，若旗杆影长为1丈，则旗杆长为若干丈？ 解略：3丈0)()()(:)()(,)(,,:?,,,,.4=-+-+-=++-=-=-==-=-=-=++-=-=-t a c t c b t b a z y x t a c tz c b y t b a x t ac zc b y b a x z y x c b a a c zc b y b a x 由此可得则有设解则各不相等而若5．试题10道，选答8道，则选法有几种？解略：45810=c 6．若一点P 的极坐标是（r,θ），则它的直角坐标如何？ 解：x=r θcos ,y=r θsin7．若方程x 2+2x+k=0的两根相等，则k=？ 解：由Δ=b 2-4ac=0,得k=18．列举两种证明两个三角形相似的方法OABCEFD答：略9．当（x+1)(x-2)＜0时，x 的值的范围如何？ 解略：-1＜x ＜210．若一直线通过原点且垂直于直线ax+by+c=0，求直线的方程解略：bx-ay=011．（x +x1)6展开式中的常数项如何？ 解：由通项公式可求得是T 4=2012．02cos =θ的通解是什么？ 解：).(4为整数k k π±π=θ13．系数是实数的一元三次方程，最少有几个根是实数，最多有几个根是实数？答：最少是一个，最多是三个14．解：原式=1003)5(4)2(4550554)5(55430)2(=⋅-⋅--⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅-+⋅⋅+⋅⋅- 15．x 2-4y 2=1的渐近线的方程如何？ 解略：02=±y x?345505542=--16．三平行平面与一直线交于A ，B ，C 三点，又与另一直线交于A ＇，B ＇，C ＇三点，已知AB=3，BC=7及A ＇B ＇=9求A ＇C ＇解：如图易证:3011=''∴''''==C A C A B A AC AB AC AB 17．有同底同高的圆柱及圆锥，已知圆柱的体积为18立方尺，求圆锥的体积略：6立方尺18．已知lg2=0.3010,求lg5. 略：lg5=1-lg2=0.699019．二抛物线y 2=12x 与2x 2=3y 的公共弦的长度是多少？解略：解方程组得两公共点为（0，0）及（3，6）故其公共弦长为：5320．国旗上的正五角星的每一个顶角是多少度？ 解：由图可知：∠AFG=∠C+∠E=2∠C, ∠AGF=∠B+∠D=2∠B,∴∠A+∠AFG+∠AGF=∠A+2∠C+2∠B=5∠A ∴5∠A=1800，∴∠A=360 第二部分：A A ＇ αB B ＇ βB 1γ C C ＇C 1FGAC EBD1．P ，Q ，R 顺次为△ABC 中BC ，CA ，AB 三边的中点，求证圆ABC 在A 点的切线与圆PQR 在P 点的切线平行证：如图：由AD 是大圆的切线， 可得： ∠1=∠2由RQ ∥BC ，可得：∠2=∠3， 由QP ∥AB ，可得：∠3=∠4由PE 是小圆的切线， 可得： ∠4=∠5由RP ∥AC ，可得：∠5=∠6综上可得：∠1=∠6，故AD ∥PE2．设△ABC 的三边BC=4pq,CA=3p 2+q 2,AB=3p 2+2pq-q 2,求∠B ，并证∠B 为∠A 及∠C 的等差中项解：由余弦定理可得：.C A B A,-B 60)180(60B 214)23(2)3()4()23(2cos 222222222222的等差中项与是∠∠∠∴∠∠=∠-︒=∠-∠-∠-︒=∠-∠︒=∠∴=⋅-+--+-+=⋅-+=A B B A B C pqq pq p q p pq q pq p BC AB CA BC AB B 3．（1）求证，若方程x 3+ax 2+bx+c=0的三根可排成等比数列， 则a 3c=b 3.证：设α，β，γ是方程x 3+ax 2+bx+c=0的三根，由根与系数关系可知：α+β+γ=-aαβ+βγ+γα=b αβγ=-c564321E QPRA BC又因α，β，γ排成等比数列，于是β2=αγ33333233a )()()(bc c a b ==αβγ-=β-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡γ+β+αβγ+β+α-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡γ+β+αβ+βγ+α-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡γ+β+α-γα+βγ+αβ=⎪⎭⎫⎝⎛此即 （2）已知方程x 3+7x 2-21x-27=0的三根可以排成等比数列，求三根解：由⑴可知β3=-c ，∴β3=27，∴β=3代入α+β+γ=-7可得α+γ=-10，又由α，β，γ成等比数列，∴β2=αγ， 即αγ=9，故可得方程组：⎩⎨⎧--=γ--=α=αγ-=γ+α.91,19,910或或可得解之 于是，所求之三根为-9，3，-1或-1，3，-94．过抛物线顶点任做互相垂直的两弦，交此抛物线于两点，求证此两点联线的中点的轨迹仍为一抛物线证：设抛物线方程为y 2=2px ……………①过抛物线顶点O 任作互相垂直的二弦OA 和 OB ，设OA 的斜率为k ，则直线OB 的斜率为 -k 1，于是直线OA 的方程为： y =kx ………………………②直线OB 的方程为：x k y 1-=③ 设点A （x 1 ,y 1),点B(x 2 ,y 2)由①，②可得： .2,2121k p y k p x ==由①，③可得：YA·P （x,y)O XBx 2=2pk 2, y 2=-2pk设P （x ，y ）为AB 的中点，由上可得： ④ ⑤ 由⑤可得： ⑥ 由④可知：px 2222k p kp +=,代入⑥,2p -px y 22222222222=-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=即p px p k p k p y 所以，点P 的轨迹为一抛物线1952年普通高等学校招生全国统一考试数学第一部分：1.因式分解x 4 – y 4 =？解：x 4 – y 4 =(x 2+y 2)(x+y)(x-y)2.若lg2x=21lgx ，问x=？ 解：2x=x 21，x ≠0，∴202=X3.若方程x 3+bx 2+cx+d=0的三根为1,-1,21,则c=？解：由根与系数的关系可知：c=1·（-1）+（-1）·21+21·1=1pk kpy y y pk kp x x x -=+=+=+=222122212222222k p p kp y +-=4.若x x 求,0472=-+解：两边平方，得：x 2 +7=16，∴3±=x5.解:原式=-246.两个圆的半径都是4寸,并且一个圆过另一个圆的圆心，则此两圆的公共弦长是多少寸？解：设两圆O 1及O 2之公共弦为AB 连结O 1O 2交AB 于点C ，则AB垂直平分O 1O 2∴O 1C=21O 1O 2=2（寸）).(342),(3224222121寸寸==∴=-=-=AC AB C O AO AC连结AO 1，则△ACO 1为直角三角形， 7.三角形ABC 的面积是60平方寸，M 是AB 的中点，N 是AC 的中点，△AMN 的面积是多少？ 解：∵MN ∥BC ，∴41ABC AMN 22==∆∆ANAM 的面积的面积， △AMN 的面积=41△ABC 的面积=15（平方寸）8.正十边形的一个内角是多少度？ 解：由公式,)2(180nn -︒此处n=10于是一个内角为：︒144AO 1 O 2CB?123054321=9.祖冲之的圆周率π=？ 答：22/7，355/13310.球的面积等于大圆面积的多少倍？ 解：球的面积4πR 2为大圆面积πR 2的4倍11.直圆锥之底半径为3尺，斜高为5尺，则其体积为多少立方尺？ 解：圆锥高h=4（尺），故此直圆锥的体积：V 锥 =31πR 2h=12π（立方尺） 12.正多面体有几种？其名称是什么？答：共有五种，其名称为：正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体和正二十面体13.已知 sin θ=31,求cos2θ=？ 解：cos2θ=1-2sin 2θ=97 14.方程tg2x=1的通解x=？ 解：).(82为整数k k x π+π=15.太阳的仰角为300时，塔影长为5丈，求塔高是多少？ 解：塔高=5×tg300=335（寸） 16．△ABC 的b 边为3寸，c 边为4寸，A 角为300，问△ABC 的面积为多少平方寸？解：).(330sin 4321sin 21平方寸的面积=︒⋅⋅⋅==∆A bc ABC17.已知一直线经过（2，3），其斜率为-1，则此直线方程如何？ 解：即x+y –5=018.若原点在一圆上，而此圆的圆心为（3，4）则此圆的方程如何？解：圆的半径.54322=+=R所以，圆的方程为：(x-3)2+(y-4)2=25，也即：x 2+y 2-6x-8y=019.原点至3x+4y+1=0的距离是什么？ 解：.51431040322=++⋅+⋅=d 20.抛物线y 2-8x+6y+17=0的顶点坐标是什么？ 解：原方程可变形为：(y+3)2=8(x-1), 故顶点坐标为（1，-3）第二部分：1.解方程x 4+5x 3-7x 2-8x-12=0解：左式=(x 4+5x 3-6x 2）-（x 2+8x+12）=(x+6)[x 2(x-1)-(x+2)] =(x+6)(x 3-x 2-x-2) =(x+6)[(x 3-2x 2)+(x 2-x-2)] =(x+6)(x-2)(x 2+x+1)=0 可得原方程的四根为：.231,231,2,64321ix i x x x --=+-==-= 2.△ABC 中，∠A 外角的平分线与此三角形外接圆相交于P ，求证：BP=CP证：如图，∠CBP=∠CAP=∠PAD 又∠1=∠2由∠CAD=∠ACB+∠CBA=∠ACB+∠CBP+∠2=∠ACB+∠1+∠CBP =∠BCP+∠CBP∴∠BCP=∠CBP ，∴BP=CP 3.设三角形的边长为a =4，b=5，c=6，其对角依次为A ，B ，C 求A B C C sin ,sin ,sin ,cos .问A ，B ，C 三角为锐角或钝角？ 解：应用余弦定理，可得： .812cos 222=-+=ab c b a C由此可知C 为锐角；另外，由已知条件，三边边长适合关系式a ＜b ＜c ，从而可知∠A ＜∠B ＜∠C 由于C 为锐角，故A ，B 亦为锐角.741c asinC sinA .7165sin sin ,.783)81(-1sinC cos -1sinC 22=======c C b B C 可得应用正弦定理可得由 4.一椭圆通过（2，3）及（-1，4）两点，中心为原点，长短轴重合于坐标轴，试求其长轴，短轴及焦点解：由于椭圆过（2，3）及（-1，4）两点，所以将此两点代入标准方程可得：C1P2D A B.75522,35522,355,755,1161194222222==∴==⎪⎩⎪⎨⎧=+=+a b b a b ab a 短轴长轴解之 .2155221220,22222==-=∴-=a b c a b c 又 ).21552,0(),21552,0(21F F -故焦点坐标为1954年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、化简.])()()[(317212131223b ab b a --- 解：原式=.)()(32310231272321223a b a b b a b a ==--乙、解c b a x lg lg 2lg 31lg 61++= 解略：x=a 2b 12c 6.丙、用二项式定理计算（3.02）4，使误差小于千分之一.,,,001.0)1002()1002(34)1002(36100234310023)02.3(:43223444千分之一其误差必小于计算可到第三项为止所以可知第四项之值已小于解+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=.182.830216.016.281)02.3(4=++=丁、试证直角三角形弦上的半圆的面积，等于勾上半圆的面积与股上半圆的面积的总和证：由c 2 =a 2+b 2∴弦上半圆的面积= 22222221221421221⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛b a b a c ππππ=勾上半圆的面积+股上半圆的面积戊、已知球的半径等于r ，试求内接正方形的体积解：内接正方体的中心即该球的球心正方体过中心的对角线为该球的直径，故其长为2r 若设内接正方体的边长为a ，则有3a 2=4r 2，.398332.332333r r a r a =⎪⎭⎫⎝⎛==∴=内接正方体的体积己、已知a 是三角形的一边，β及γ是这边的两邻角，试求另一边b 的计算公式解：由正弦定理可知.)sin(sin )](180sin[sin ,sin )](180sin[γββγβββγβ+=--︒=∴=--︒a a b b a2.描绘y=3x 2-7x-1的图象，并按下列条件分别求x 的值所在的范围： 1）y ＞0， 2）y ＜0).1261(31)67(:2+=-y x 将原方程变形可得解 ).1261,67(,-抛物线顶点为于是)0,6617(,)0,6617(:+-N M x 轴的交点为与).,6617(),6617,(,0+∞+--∞>的值所在范围为时当x y ).6617,6617(,0+-<的值所在范围为时当x y YM O N X)1261,67(-3.假设两圆互相外切，求证用连心线做直径的圆，必与前两圆的外公切线相切证：设⊙O 1及⊙O 2为互相外切之二圆，其一外公切线为A 1A 2，切点为A 1及A 2令点O 为连心线O 1O 2的中点，过O 作OA ⊥A 1A 2∵OA=21（O 1A 1+O 2A 2）=21O 1O 2，∴以O 1O 2为直径，即以O 为圆心，OA 为半径的圆必与直线A 1A 2相切同理可证，此圆必切于⊙O 1及⊙O 2的另一条外公切线4．试由.,2sin 111通值求的x x tgxtgx+=-+ )(0sin 4,1,0sin cos ,0sin )sin (cos 20)sin cos 1)(sin (cos )sin (cos sin cos sin cos :22222为整数或者即或者所以解k k x x k x tgx x x x x x x x x x x x x x x x π=∴=π-π=∴-==+=⋅+=+-++=-+由检验可知，均为其通解5．有一直圆锥，另外有一与它同底同高的直圆柱，假设a 是圆锥的全面积，a ＇是圆柱的全面积，试求圆锥的高与母线的比值解：设直圆锥的高为h ，底面半径为R ，母线长为L ，则,)(2)(2)(h R L R h R R L R R a a ++=++='ππ .2)2(),()(2,).()(222222222ah L a h L a a L h L a h h L a h L R L R a h R a -'=-'-+-'=+--=+'=+∴代入可得由A 2AA 1O 1 O O 2,.21)2(,2等式两边平方可得两边同除以L h a a L h a a L -'=⎪⎭⎫⎝⎛-'-.)2(4)2()2(22])2(4[2)2()2(44)48(2)2(164:,,0)2(16)4)(48(4)4(.0)4(4)48(,441)44(2222223322222222222222a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a L h a a a a a a a a a a a a Lha a a L h a a L h a a a a L h a L h a a a L h a a a a '-+'-'-±'='-+'-'-±'='+'-'-±'=∴>'-='+''+'--'-=∆='+'+'-⎪⎭⎫⎝⎛'+'-⎪⎭⎫⎝⎛+⋅'-'=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-'+'-母线的比此二实根即圆锥的高与实根该一元二次方程有二个式的一元二次方程的判别这个关于1958年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、求二项式5)21(x +展开式中3x 的系数解：设求的项为.802,32)2(333354551x x C T r x C x C T r r r r r r ==∴===+今乙、求证.sin 88sin 4cos 2cos cos xxx x x =⋅⋅ 证：x x x 4cos 4sin 28sin =xx x x xx x 4cos 2cos cos sin 84cos 2cos 2sin 4=⌒ ⌒⌒ ⌒ ⌒ ⌒ .sin 88sin 4cos 2cos cos xxx x x =⋅⋅∴ 丙、设AB ，AC 为一个圆的两弦，D 为AB 的中点，E 为AC 的中点，作直线DE 交AB 于M ，交AC 于N ，求证：AM=AN证：联结AD 与AE （如图） ∵∠AMN=∠DAM+∠MDA ， ∠ANM=∠EAN+∠NEA ， 又∵AD=DB ，∠DAB=∠AED ，AE=EC ，∠ADE=∠EAC ， ∴∠AMN=∠ANM ， AM=AN.丁、求证正四面体ABCD 中相对的两棱（即异面的两棱）互相垂直证：因ABCD 是正四面体， 各个面都是等边三角形， 过A 作AE ⊥BC ，联结DE ， 则DE ⊥BC ， ∴BC 垂直平面AED ， 而AD 在此平面内， ∴BC ⊥AD同理可证AB ⊥DC ，AC ⊥DB戊、求解.cos 3sin x x = 解：,cos 3sin x x =AD EM NBCDCA EB).(3,3为整数k k x tgx π+π==∴ 2．解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=-+++)2(9122)1(4121 y y x y x y x v y x u yx y x y x =-+=+=-+++12,1,8)12()1()2(:设式变形为由解则原方程变形为⎩⎨⎧=+=+)4(8)3(422 v u v u 解方程组，可得.2,2==v u 将v u ,的值代回所设，可得⎪⎩⎪⎨⎧-==⎩⎨⎧====-==∴=--=--⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+.21,6;1,3.6,3),5(.21,1,01,112)5()6()6(412)5(41,21221221121212y x y x x x y y y y y y y x y x y x y x 由检验可知代入即得得两边平方都是原方程组的解3．设有二同心圆，半径为R ，r(R>r ），今由圆心O 作半径交大圆于A ，交小圆于A ＇，由A 作直线AD 垂直大圆的直径BC ，并交BC 于D;由A ＇作直线A ＇E 垂直AD ，并交AD 于E ，已知∠OAD= α，求OE 的长解：在直角△OAD 中， OD=Rsin α，AD=Rcos α 在直角△A ＇AE 中， AE=（R-r ）cos α ∴DE=AD-AE=Rcos α-（R-r ）cos α=rcos α. OE=.cos sin 222222α+α=+r R DE OD4．已知三角形ABC ，求作圆经过A 及AB 中点M ，并与BC 直线相切已知：M 为△ABC 的AB 的中点.求作：一个经过A 、M 两点且与BC 直线相切的圆.AA ＇ EB O D C分析：设⊙O 即为合于要求的圆（如图）因⊙O 经过A 、M 两点且与直线BC 相切于点P ，这样，BP 为⊙O 的切线，BA 为⊙O 的割线，所以，应有 BP 2=BM ·BA而BM ，BA 均为已知，因此，BP 的长度可以作出，由此可得点P ，于是过A 、M 、P 三点就可确定所求之圆作法：1）作线段A ＇B ＇M ＇， 使A ＇B ＇=AB ，B ＇M ＇=BM2）以A ＇M ＇为直径作半圆3）过B ＇作A ＇M ＇的垂线B ＇P ＇交半圆于点P ＇ 4）在△ABC 的边BC 上截取BP=B ＇P ＇ 5）经过A 、M 、P 三点作⊙O 即为所求证明：由作图可知B ＇P ＇2= A ＇B ＇·B ＇M ＇，A ＇B ＇=AB ，B ＇M ＇=BM ，所以BP 2=BM ·BA ，即BP 为⊙O 的切线，BMA 为其割线，且⊙O 经过A 、M 、P 三点，故⊙O 适合所要求的条件5．已知直角三角形的斜边为2，斜边上的高为23，求证此直角三角形的两个锐角是下列三角方程的根CPOA BMP ＇A ＇B ＇ M ＇043sin 231sin 2=++-x x 证：设AD=k （如图） ∵AB=2，∴DB=2-k. 由CD 2=AD ·DB ，.2123,0432),2()23(22或==+--=∴k k k k k在直角△ACD 中， 当23==k AD 时，,332323===AD CD tgA ∴A=300，B=600.当21==k AD 时，,32123===AD CD tgA ∴A=600，B=300. 总之，两锐角一为300，一为600. 当x=300时，代入原方程中得;04321231)21(4330sin 23130sin 22=+⋅+-=+︒+-︒ 当x=600时，代入原方程中得.04323231)23(4360sin 23160sin 22=+⋅+-=+︒+-︒ 故这个直角三角形的两个锐角是原三角方程的根CA D B1959年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、已知lg2=0.3010,lg7=0.8451,求lg35解：原式=2lg 10lg 7lg 2107lg 270lg-+=⨯= =0.8451+1-0.3010=1.5441.乙、求ii +-1)1(3的值.解：.21)1(21221331133132-=++-=+--=++--=+-+-=ii i i i i i i i i i 原式 丙、解不等式.3522<-x x 解：原式移项得,03522<--x x ∴原不等式的解为.321<<-x 丁、求︒165cos 的值解：)3045cos(15cos )15180cos(165cos ︒-︒-=︒-=︒-︒=︒.426)21222322()30sin 45sin 30cos 45(cos +-=⋅+⋅-=︒︒+︒︒-=戊、不在同一平面的三条直线c b a ,,互相平行，A 、B 为b 上两定点，求证另两顶点分别在c a 及上的四面体体积为定值证：因为A 、B 为直线b 上两定点，而直线b ∥直线c ，所以，不论点C 在直线c 的什么位置上，△ABC 的面积均为一定值（同底等高的三角形等积）又因直线a 平行于直线 c b ,，所以，直线a ∥平面α（已知c b a ,,不在同一平面内），因此，不论点D 在直线a 的什么位置上，从点D 到平面α的距离h 为一定值，故四面体ABCD 的体积=定值高底面积=⋅⋅=⨯⨯∆h S ABC 3131己、圆台上底面积为225cm π，下底直径为cm 20，母线为cm 10，求圆台的侧面积解：设此圆台上底半径为r ，下底半径为R ，由已知条件,252π=πr 所以r=5(cm).又下底半径R=10cm ，母线,10cm l =圆台侧面积=πl （R+r)=π·10·（10+5）=150π（cm 2). 2．已知△ABC 中，∠B=600，AC=4，面积为3，求AB 和BC. 解：设AB=c ，BC=a ，则有⎪⎩⎪⎨⎧︒-+==︒),(60cos 24)(360sin 21222余弦定理两边夹角求面积公式ac c a ac D ahA B bOα cC.37,37.32,12)(,72,28)(,,1642222=±=∴±=-∴=-=+∴=+⎩⎨⎧=-+=c a c a c a c a c a ac c a ac 由由解之即故所求AB ，BC 之长为⎩⎨⎧+=-=⎩⎨⎧-=+=.37,37;37,37BC AB BC AB 3．已知三个数成等差数列，第一第二两数的和的3倍等于第三个数的2倍，如果第二个数减去2，则成等比数列，求这三个数解：设所求之三数为d a a d a +-,,则根据题意有⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧==⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧+-=-+=+-.45;1,45:4454).)(()2(),(2])[(3221122d a d a d a d a d a d a a d a a d a 解得化简后得 故所求三数为.9,5,149,45,41或4．已知圆O 的两弦AB 和CD 延长相交于E ，过E 点引EF ∥CB 交AD 的延长线于F ，过F 点作圆O 的切线FG ，求证：EF=FG. 证：∵FG 为⊙O 的切线，而FDA 为⊙O 的割线，∴FG 2=FD ·FA …………① 又∵EF ∥CB ，∴∠1=∠2.而∠2=∠3， ∴∠1=∠3，∠EFD=∠AFE 为公共角 ∴△EFD ∽△AFE ，,FAEF EF FD =即EF 2=FD ·FA …………②由①，②可得EF 2=FG 2 ∴EF=FG.5．已知A 、B 、C 为直线l 上三点，且AB=BC=a ;P 为l 外一点，且∠APB=900，∠BPC=450，求（1）∠PBA 的正弦、余弦、正切; （2）PB 的长; （3）P 点到l 的距离.解：过P 点作PD ⊥AB 交AB 于点D （如图） （1）过点B 作BE ∥AP 交PC 于点E 则∠PBE=900，∠PEB=450，PB=BE. ∵△CPA ∽△CEB ∴,22==a aBE PA 因PB=BE ， ∴.2,2=∠=PBA tg PBPA C G2 FO D1A 3 EBP450 EA a DB a C又∵,sec 122PBA PBA tg ∠=∠+∠PBA 为锐角， ∴,51sec 2=∠+=∠PBA tg PBA.552cos sin ,5551cos =∠⋅∠=∠==∠PBA PBA tg PBA PBA（2）.55cos a PBA AB PB =∠⋅= （3）,552sin ,55=∠=PBA a PB ∴.52sin a PBA PB PD =∠⋅= 综上，所求为（1）∠PBA 的正弦、余弦、正切分别是2,551,552 （2）PB 的长为;551a （3）P 点到l 的距离为.52a1957年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、化简32221)27102(1.0)972(--++解：原式=.481110216910035)2764()101()925(32221=++=++--乙、求适合不等式22<+x x 的实数x 的范围解：原式为022<-+x x 解为：-2<x<1. 故x 的范围为-2<x<1. 丙、求证.210322+='︒ctg 证：.2145sin 45cos 12450322+=︒︒+=︒='︒ctgctg丁、在四面体ABCD 中，AC=BD ，P 、Q 、R 、S 依次为棱AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：PQRS 为一个菱形证：由于点P 、Q 、R 、S 依次为棱AB 、BC 、CD 、DA 的中点，根据三角形两边中点连线的性质可得.////,21////BD SP RQ AC RS PQ ====而由题设，AC=BD ， ∴PQ=QR=RS=SP ， 故 PQRS 为一个菱形 戊、设b a ,为异面直线，EF 为ba ,的公垂线，α为过EF 的中点且与b a ,平行的平面，M 为a 上任一点，N 为b 上任一点求证线段MN 被平面α二等分 证：过直线b 作平面β//α（如图）过直线a 及公垂线EF 作一平面，在此平面内作MC ∥EF ，且与平面α，β分别交于B 、C 两点设EF 、MN 分别与平面α交于点A 、D∵点A 是EF 的中点，ASPDRC BQM E aB Aα DC bN F β又ME ∥BA ∥CF ， ∴点B 是MC 的中点又∵DB ∥NC ， ∴D 是MN 的中点另法：如图，连接EN ，AB,BD 由AB b BD a b a //,////,//⇒αα由A 是EF 的中点得,D 为MN 的中点此即线段MN 被平面α二等分 2．解方程组⎩⎨⎧⋅==-++)2(101010)1(1)2lg()12lg( yx xy y x 解：由（1）可得,10)2)(12(=-+y x)3(01242 =-+-y x xy由（2）可得)4( y x xy +=将（4）代入（3）可得,012422=-+-+y x y x,01232=-+-y x)5(3212 xy +=再将（5）代入（4）可得,32123212xx x x ++=+⋅ 化简，得,012722=-+x x.41457±-=∴x 将x 值代入（5）.6145173212±=+=x y abαEFAMNBD此即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.614517,41457;614517,414572211y x y x 因为,0122<+x 所以（1）式无意义（负数无对数），故原方程组的解仅为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.614517,41457y x 3．设△ABC 的内切圆半径为r ，求证BC 边上的高.2sin2cos 2cos 2A CB r AD ⋅⋅=证：在直角△ABC 中，2cos2sin 2sin B B c Bc AD ⋅⋅=⋅=另外，EB AE c +=)22(Bctg A ctgr += 2sin2sin )22sin()2sin 2cos 2sin 2cos (B A B A r B B A A r ⋅+⋅=+=AEc r bOB Ca D.2sin2cos2cos 22cos 2sin2sin 2sin2cos22sin 2sin2cosA CB r B B BA Cr AD B A C r ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=∴⋅⋅= 4．设△ABC 为锐角三角形，以BC 为直径作圆，并从A 作此圆的切线AD 与圆切于D 点，由在AB 边上取AE=AD ，并过E 作AB 的垂线与AC 边的延长线交于F ，求证： （1）AE:AB=AC:AF.（2）△ABC 的面积=△AEF 的面积.证（1）：设AB 与⊙O 相交于点G ，联结EC ，CG ，BF.∵EF ⊥AB ，CG ⊥AB ，∴GC ∥EF ，AC:AF=AG:AE ………………① 又∵AD 是⊙O 的切线，∴AD 2=AG ·AB ，也即AG:AD=AD:AB但∵AD=AE ，∴AG:AE=AE:AB ……………② 由①、②可得AE:AB=AC:AF证（2）：由（1）AE:AB=AC:AF ，则EC ∥BF ，△EBC 的面积=△EFC 的面积 ∴△ABC 的面积=△AEC 的面积+△EBC 的面积=△AEC 的面积+△EFC 的面积 =△AEF 的面积5．求证方程0)2()12(23=+-++-Q x Q x x 的一个根是1设这个方程的三个根是△ABC 的三个内角的正弦,sin ,sin ,sin C B A 求A 、B 、C 的度数以及Q 的值解：将x=1代入这个方程式， 则01)2(1)12(123=+⋅-+⋅+-Q Q ， 故知1是原方程的一个根由于1是原方程的一个根，所以方程左边能被x-1整除AGE DB GOF用x-1除方程左边后得商式.022=--Q x x根据题设条件（即有一个根为1，不妨设1sin =C ）及根与系数的关系可得⎪⎩⎪⎨⎧-=⋅=+=)3(sin sin )2(2sin sin )1(1sin Q B A B A C 由（1）可知C=900，于是A+B=900，B=900-A ，代入（2）得.212222sin sin )3(45459045,045,1)45cos(,1cos 45cos sin 45sin ,1cos 22sin 22,2cos sin ,2)90sin(sin -=⋅-=⋅-=︒=︒-︒=︒=∴=︒-∴=︒-=⋅︒+⋅︒=+∴=+=-︒+B A Q B A A A A A A A A A A A 式可得从即1957年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、化简32221)27102(1.0)972(--++解：原式=.481110216910035)2764()101()925(32221=++=++--乙、求适合不等式22<+x x 的实数x 的范围解：原式为022<-+x x 解为：-2<x<1. 故x 的范围为-2<x<1. 丙、求证.210322+='︒ctg证：.2145sin 45cos 12450322+=︒︒+=︒='︒ctgctg 丁、在四面体ABCD 中，AC=BD ，P 、Q 、R 、S 依次为棱AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：PQRS 为一个菱形证：由于点P 、Q 、R 、S 依次为棱AB 、BC 、CD 、DA 的中点，根据三角形两边中点连线的性质可得.////,21////BD SP RQ AC RS PQ ====而由题设，AC=BD ， ∴PQ=QR=RS=SP ， 故 PQRS 为一个菱形 戊、设b a ,为异面直线，EF 为ba ,的公垂线，α为过EF 的中点且与b a ,平行的平面，M 为a 上任一点，N 为b 上任一点求证线段MN 被平面α二等分 证：过直线b 作平面β//α（如图）过直线a 及公垂线EF 作一平面，在此平面内作MC ∥EF ，且与平面α，β分别交于B 、C 两点设EF 、MN 分别与平面α交于点ASPDRC BQM E aB Aα DC bN FβA 、D∵点A 是EF 的中点， 又ME ∥BA ∥CF ， ∴点B 是MC 的中点又∵DB ∥NC ， ∴D 是MN 的中点另法：如图，连接EN ，AB,BD 由AB b BD a b a //,////,//⇒αα由A 是EF 的中点得,D 为MN 的中点此即线段MN 被平面α二等分 2．解方程组⎩⎨⎧⋅==-++)2(101010)1(1)2lg()12lg( yx xy y x 解：由（1）可得,10)2)(12(=-+y x)3(01242 =-+-y x xy由（2）可得)4( y x xy +=将（4）代入（3）可得,012422=-+-+y x y x,01232=-+-y x)5(3212 xy +=再将（5）代入（4）可得,32123212xx x x ++=+⋅ 化简，得,012722=-+x x.41457±-=∴x abαEFAMNBD将x 值代入（5）.6145173212±=+=x y 此即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.614517,41457;614517,414572211y x y x 因为,0122<+x 所以（1）式无意义（负数无对数），故原方程组的解仅为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.614517,41457y x 3．设△ABC 的内切圆半径为r ，求证BC 边上的高.2sin2cos 2cos 2A CB r AD ⋅⋅=证：在直角△ABC 中，2cos2sin 2sin B B c Bc AD ⋅⋅=⋅=另外，EB AE c +=)22(Bctg A ctgr += 2sin2sin )22sin()2sin 2cos 2sin 2cos (B A B A r B B A A r ⋅+⋅=+=AEc r bOB Ca D.2sin2cos2cos 22cos 2sin2sin 2sin2cos22sin 2sin2cosA CB r B B BA Cr AD B A C r ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=∴⋅⋅= 4．设△ABC 为锐角三角形，以BC 为直径作圆，并从A 作此圆的切线AD 与圆切于D 点，由在AB 边上取AE=AD ，并过E 作AB 的垂线与AC 边的延长线交于F ，求证： （1）AE:AB=AC:AF.（2）△ABC 的面积=△AEF 的面积.证（1）：设AB 与⊙O 相交于点G ，联结EC ，CG ，BF.∵EF ⊥AB ，CG ⊥AB ，∴GC ∥EF ，AC:AF=AG:AE ………………① 又∵AD 是⊙O 的切线，∴AD 2=AG ·AB ，也即AG:AD=AD:AB但∵AD=AE ，∴AG:AE=AE:AB ……………② 由①、②可得AE:AB=AC:AF证（2）：由（1）AE:AB=AC:AF ，则EC ∥BF ，△EBC 的面积=△EFC 的面积 ∴△ABC 的面积=△AEC 的面积+△EBC 的面积=△AEC 的面积+△EFC 的面积 =△AEF 的面积5．求证方程0)2()12(23=+-++-Q x Q x x 的一个根是1设这个方程的三个根是△ABC 的三个内角的正弦,sin ,sin ,sin C B A 求A 、B 、C 的度数以及Q 的值解：将x=1代入这个方程式， 则01)2(1)12(123=+⋅-+⋅+-Q Q ， 故知1是原方程的一个根由于1是原方程的一个根，所以方程左边能被x-1整除AGE DB GOF用x-1除方程左边后得商式.022=--Q x x根据题设条件（即有一个根为1，不妨设1sin =C ）及根与系数的关系可得⎪⎩⎪⎨⎧-=⋅=+=)3(sin sin )2(2sin sin )1(1sin Q B A B A C 由（1）可知C=900，于是A+B=900，B=900-A ，代入（2）得.212222sin sin )3(45459045,045,1)45cos(,1cos 45cos sin 45sin ,1cos 22sin 22,2cos sin ,2)90sin(sin -=⋅-=⋅-=︒=︒-︒=︒=∴=︒-∴=︒-=⋅︒+⋅︒=+∴=+=-︒+B A Q B A A A A A A A A A A A 式可得从即1957年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、化简32221)27102(1.0)972(--++解：原式=.481110216910035)2764()101()925(32221=++=++--乙、求适合不等式22<+x x 的实数x 的范围解：原式为022<-+x x 解为：-2<x<1. 故x 的范围为-2<x<1. 丙、求证.210322+='︒ctg证：.2145sin 45cos 12450322+=︒︒+=︒='︒ctgctg 丁、在四面体ABCD 中，AC=BD ，P 、Q 、R 、S 依次为棱AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：PQRS 为一个菱形证：由于点P 、Q 、R 、S 依次为棱AB 、BC 、CD 、DA 的中点，根据三角形两边中点连线的性质可得.////,21////BD SP RQ AC RS PQ ====而由题设，AC=BD ， ∴PQ=QR=RS=SP ， 故 PQRS 为一个菱形 戊、设b a ,为异面直线，EF 为ba ,的公垂线，α为过EF 的中点且与b a ,平行的平面，M 为a 上任一点，N 为b 上任一点求证线段MN 被平面α二等分 证：过直线b 作平面β//α（如图）过直线a 及公垂线EF 作一平面，在此平面内作MC ∥EF ，且与平面α，β分别交于B 、C 两点设EF 、MN 分别与平面α交于点ASPDRC BQM E aB Aα DC bN FβA 、D∵点A 是EF 的中点， 又ME ∥BA ∥CF ， ∴点B 是MC 的中点又∵DB ∥NC ， ∴D 是MN 的中点另法：如图，连接EN ，AB,BD 由AB b BD a b a //,////,//⇒αα由A 是EF 的中点得,D 为MN 的中点此即线段MN 被平面α二等分 2．解方程组⎩⎨⎧⋅==-++)2(101010)1(1)2lg()12lg( yx xy y x 解：由（1）可得,10)2)(12(=-+y x)3(01242 =-+-y x xy由（2）可得)4( y x xy +=将（4）代入（3）可得,012422=-+-+y x y x,01232=-+-y x)5(3212 xy +=再将（5）代入（4）可得,32123212xx x x ++=+⋅ 化简，得,012722=-+x x.41457±-=∴x abαEFAMNBD将x 值代入（5）.6145173212±=+=x y 此即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.614517,41457;614517,414572211y x y x 因为,0122<+x 所以（1）式无意义（负数无对数），故原方程组的解仅为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.614517,41457y x 3．设△ABC 的内切圆半径为r ，求证BC 边上的高.2sin2cos 2cos 2A CB r AD ⋅⋅=证：在直角△ABC 中，2cos2sin 2sin B B c Bc AD ⋅⋅=⋅=另外，EB AE c +=)22(Bctg A ctgr += 2sin2sin )22sin()2sin 2cos 2sin 2cos (B A B A r B B A A r ⋅+⋅=+=AEc r bOB Ca D.2sin2cos2cos 22cos 2sin2sin 2sin2cos22sin 2sin2cosA CB r B B BA Cr AD B A C r ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=∴⋅⋅= 4．设△ABC 为锐角三角形，以BC 为直径作圆，并从A 作此圆的切线AD 与圆切于D 点，由在AB 边上取AE=AD ，并过E 作AB 的垂线与AC 边的延长线交于F ，求证： （1）AE:AB=AC:AF.（2）△ABC 的面积=△AEF 的面积.证（1）：设AB 与⊙O 相交于点G ，联结EC ，CG ，BF.∵EF ⊥AB ，CG ⊥AB ，∴GC ∥EF ，AC:AF=AG:AE ………………① 又∵AD 是⊙O 的切线，∴AD 2=AG ·AB ，也即AG:AD=AD:AB但∵AD=AE ，∴AG:AE=AE:AB ……………② 由①、②可得AE:AB=AC:AF证（2）：由（1）AE:AB=AC:AF ，则EC ∥BF ，△EBC 的面积=△EFC 的面积 ∴△ABC 的面积=△AEC 的面积+△EBC 的面积=△AEC 的面积+△EFC 的面积 =△AEF 的面积5．求证方程0)2()12(23=+-++-Q x Q x x 的一个根是1设这个方程的三个根是△ABC 的三个内角的正弦,sin ,sin ,sin C B A 求A 、B 、C 的度数以及Q 的值解：将x=1代入这个方程式， 则01)2(1)12(123=+⋅-+⋅+-Q Q ， 故知1是原方程的一个根由于1是原方程的一个根，所以方程左边能被x-1整除AGE DB GOF用x-1除方程左边后得商式.022=--Q x x根据题设条件（即有一个根为1，不妨设1sin =C ）及根与系数的关系可得⎪⎩⎪⎨⎧-=⋅=+=)3(sin sin )2(2sin sin )1(1sin Q B A B A C 由（1）可知C=900，于是A+B=900，B=900-A ，代入（2）得.212222sin sin )3(45459045,045,1)45cos(,1cos 45cos sin 45sin ,1cos 22sin 22,2cos sin ,2)90sin(sin -=⋅-=⋅-=︒=︒-︒=︒=∴=︒-∴=︒-=⋅︒+⋅︒=+∴=+=-︒+B A Q B A A A A A A A A A A A 式可得从即1957年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、化简32221)27102(1.0)972(--++解：原式=.481110216910035)2764()101()925(32221=++=++--乙、求适合不等式22<+x x 的实数x 的范围解：原式为022<-+x x 解为：-2<x<1. 故x 的范围为-2<x<1. 丙、求证.210322+='︒ctg 证：.2145sin 45cos 12450322+=︒︒+=︒='︒ctgctg丁、在四面体ABCD 中，AC=BD ，P 、Q 、R 、S 依次为棱AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：PQRS 为一个菱形证：由于点P 、Q 、R 、S 依次为棱AB 、BC 、CD 、DA 的中点，根据三角形两边中点连线的性质可得.////,21////BD SP RQ AC RS PQ ====而由题设，AC=BD ， ∴PQ=QR=RS=SP ， 故 PQRS 为一个菱形 戊、设b a ,为异面直线，EF 为ba ,的公垂线，α为过EF 的中点且与b a ,平行的平面，M 为a 上任一点，N 为b 上任一点求证线段MN 被平面α二等分 证：过直线b 作平面β//α（如图）过直线a 及公垂线EF 作一平面，在此平面内作MC ∥EF ，且与平面α，β分别交于B 、C 两点设EF 、MN 分别与平面α交于点A 、D∵点A 是EF 的中点，ASPDRC BQM E aB Aα DC bN F β又ME ∥BA ∥CF ， ∴点B 是MC 的中点又∵DB ∥NC ， ∴D 是MN 的中点另法：如图，连接EN ，AB,BD 由AB b BD a b a //,////,//⇒αα由A 是EF 的中点得,D 为MN 的中点此即线段MN 被平面α二等分 2．解方程组⎩⎨⎧⋅==-++)2(101010)1(1)2lg()12lg( yx xy y x 解：由（1）可得,10)2)(12(=-+y x)3(01242 =-+-y x xy由（2）可得)4( y x xy +=将（4）代入（3）可得,012422=-+-+y x y x,01232=-+-y x)5(3212 xy +=再将（5）代入（4）可得,32123212xx x x ++=+⋅ 化简，得,012722=-+x x.41457±-=∴x 将x 值代入（5）.6145173212±=+=x y abαEFAMNBD此即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.614517,41457;614517,414572211y x y x 因为,0122<+x 所以（1）式无意义（负数无对数），故原方程组的解仅为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.614517,41457y x 3．设△ABC 的内切圆半径为r ，求证BC 边上的高.2sin2cos 2cos 2A CB r AD ⋅⋅=证：在直角△ABC 中，2cos2sin 2sin B B c Bc AD ⋅⋅=⋅=另外，EB AE c +=)22(Bctg A ctgr += 2sin2sin )22sin()2sin 2cos 2sin 2cos (B A B A r B B A A r ⋅+⋅=+=AEc r bOB Ca D.2sin2cos2cos 22cos 2sin2sin 2sin2cos22sin 2sin2cosA CB r B B BA Cr AD B A C r ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=∴⋅⋅= 4．设△ABC 为锐角三角形，以BC 为直径作圆，并从A 作此圆的切线AD 与圆切于D 点，由在AB 边上取AE=AD ，并过E 作AB 的垂线与AC 边的延长线交于F ，求证： （1）AE:AB=AC:AF.（2）△ABC 的面积=△AEF 的面积.证（1）：设AB 与⊙O 相交于点G ，联结EC ，CG ，BF.∵EF ⊥AB ，CG ⊥AB ，∴GC ∥EF ，AC:AF=AG:AE ………………① 又∵AD 是⊙O 的切线，∴AD 2=AG ·AB ，也即AG:AD=AD:AB但∵AD=AE ，∴AG:AE=AE:AB ……………② 由①、②可得AE:AB=AC:AF证（2）：由（1）AE:AB=AC:AF ，则EC ∥BF ，△EBC 的面积=△EFC 的面积 ∴△ABC 的面积=△AEC 的面积+△EBC 的面积=△AEC 的面积+△EFC 的面积 =△AEF 的面积5．求证方程0)2()12(23=+-++-Q x Q x x 的一个根是1设这个方程的三个根是△ABC 的三个内角的正弦,sin ,sin ,sin C B A 求A 、B 、C 的度数以及Q 的值解：将x=1代入这个方程式， 则01)2(1)12(123=+⋅-+⋅+-Q Q ， 故知1是原方程的一个根由于1是原方程的一个根，所以方程左边能被x-1整除AGE DB GOF用x-1除方程左边后得商式.022=--Q x x根据题设条件（即有一个根为1，不妨设1sin =C ）及根与系数的关系可得⎪⎩⎪⎨⎧-=⋅=+=)3(sin sin )2(2sin sin )1(1sin Q B A B A C 由（1）可知C=900，于是A+B=900，B=900-A ，代入（2）得.212222sin sin )3(45459045,045,1)45cos(,1cos 45cos sin 45sin ,1cos 22sin 22,2cos sin ,2)90sin(sin -=⋅-=⋅-=︒=︒-︒=︒=∴=︒-∴=︒-=⋅︒+⋅︒=+∴=+=-︒+B A Q B A A A A A A A A A A A 式可得从即1957年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、化简32221)27102(1.0)972(--++解：原式=.481110216910035)2764()101()925(32221=++=++--乙、求适合不等式22<+x x 的实数x 的范围解：原式为022<-+x x 解为：-2<x<1. 故x 的范围为-2<x<1. 丙、求证.210322+='︒ctg证：.2145sin 45cos 12450322+=︒︒+=︒='︒ctgctg 丁、在四面体ABCD 中，AC=BD ，P 、Q 、R 、S 依次为棱AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：PQRS 为一个菱形证：由于点P 、Q 、R 、S 依次为棱AB 、BC 、CD 、DA 的中点，根据三角形两边中点连线的性质可得.////,21////BD SP RQ AC RS PQ ====而由题设，AC=BD ， ∴PQ=QR=RS=SP ， 故 PQRS 为一个菱形 戊、设b a ,为异面直线，EF 为ba ,的公垂线，α为过EF 的中点且与b a ,平行的平面，M 为a 上任一点，N 为b 上任一点求证线段MN 被平面α二等分 证：过直线b 作平面β//α（如图）过直线a 及公垂线EF 作一平面，在此平面内作MC ∥EF ，且与平面α，β分别交于B 、C 两点设EF 、MN 分别与平面α交于点ASPDRC BQM E aB Aα DC bN FβA 、D∵点A 是EF 的中点， 又ME ∥BA ∥CF ， ∴点B 是MC 的中点又∵DB ∥NC ， ∴D 是MN 的中点另法：如图，连接EN ，AB,BD 由AB b BD a b a //,////,//⇒αα由A 是EF 的中点得,D 为MN 的中点此即线段MN 被平面α二等分 2．解方程组⎩⎨⎧⋅==-++)2(101010)1(1)2lg()12lg( yx xy y x 解：由（1）可得,10)2)(12(=-+y x)3(01242 =-+-y x xy由（2）可得)4( y x xy +=将（4）代入（3）可得,012422=-+-+y x y x,01232=-+-y x)5(3212 xy +=再将（5）代入（4）可得,32123212xx x x ++=+⋅ 化简，得,012722=-+x x.41457±-=∴x abαEFAMNBD。
2024年新课标全国Ⅰ卷数学高考真题及参考答案
2024年新课标全国Ⅰ卷数学高考真题及参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.已知集合{}553<<-=x x A ，{}3,2,0,13--=，B ，则=B A （）A.{}0,1-B.{}32， C.{}0,13--， D.{}2,0,1-2.若i z z+=-11，则=z （）A.i --1B.i +-1C.i -1D.i +13.已知向量()1,0=a，()x b ,2= ，若()a b b 4-⊥，则=x （）A.2- B.1- C.1D.24.已知()m =+βαcos ，2tan tan =βα，则()=-βαcos （）A.m3- B.3m -C.3m D.m35.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为3，则圆锥的体积为（）A.π32 B.π33 C.π36 D.π396.已知函数()()⎪⎩⎪⎨⎧≥++<---=0,1ln 0,22x x e x a ax x x f x 在R 上单调递增，则a 的取值范围是（）A.(]0，∞-B.[]0,1-C.[]1,1-D.[)∞+，07.当[]π2,0∈x 时，曲线x y sin =与⎪⎭⎫⎝⎛-=63sin 2πx y 的交点个数为（）A.3B.4C.6D.88.已知函数()x f 定义域为R ，()()()21-+->x f x f x f ，且当3<x 时，()x x f =，则下列结论中一定正确的是（）A.()10010>fB.()100020>fC.()100010<f D.()1000020<f二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，由选错的得0分.9.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值1.2=x ，样本方差01.02=S ，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.08.1，N ，假设失去出口后的亩收入Y 服从发正态分布()2,S x N ，则（）（若随机变量Z 服从正态分布()2,σμN ，则()8413.0≈+<σμZ P ）A.()2.02>>X PB.()5.0<>Z X PC.()5.0>>Z Y P D.()8.0<>Z Y P 10.设函数()()()412--=x x x f ，则（）A.3=x 是()x f 的极小值点B.当10<<x 时，()()2xf x f <C.当21<<x 时，()0124<-<-x f D.当01<<-x 时，()()x f x f >-211.造型可以看作图中的曲线C 的一部分，已知C 过坐标原点O ，且C 上的点满足横坐标大于2-，到点()02，F 的距离与到定直线()0<=a a x 的距离之积为4，则（）A .2-=aB .点()022，在C 上C .C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D .当点()00,y x 在C 上时，2400+≤x y三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设双曲线()0,012222>>=-b a by a x C ：的左右焦点分别为21,F F ，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于B A ,两点，若131=A F ，10=AB ，则C 的离心率为.13.若曲线x e y x+=在点()1,0处的切线也是曲线()a x y ++=1ln 的切线，则=a .14.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片分别标有数字1,3,5,7，乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两个各自从自己特有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片的数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分小于2的概率为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）记ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,.已知B C cos 2sin =，ab c b a 2222=-+.（1）求B ；（2）若ABC ∆的面积为33+，求c .16.（15分）已知()30，A 和⎪⎭⎫⎝⎛233，P 为椭圆()012222>>=+b a b y a x C ：上两点.（1）求C 的离心率；（2）若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP ∆的面积为9，求l 的方程.17.（15分）如图，四棱锥ABCD P -中，⊥P A 底面ABCD ，2==PC P A ，1=BC ，3=AB .（1）若PB AD ⊥，证明：∥AD 平面PBC ；（2）若DC AD ⊥，且二面角D CP A --的正弦值为742，求AD .18.（17分）已知函数()()312ln-++-=x b ax xx x f .（1）若0=b ，且()0≥'x f ，求a 的最小值；（2）证明：曲线()x f y =是中心对称图形；（3）若()2->x f ，当且仅当21<<x ，求b 的取值范围.19.（17分）设m 为正整数，数列242.1,,,+m a a a 是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j i <后剩余的m 4项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列242.1,,,+m a a a 是()j i ,一一可分数列.（1）写出所有的()j i ,，61≤<≤j i ，使数列62.1,,,a a a 是()j i ,一一可分数列；（2）当3≥m 时，证明：数列242.1,,,+m a a a 是()13,2一一可分数列；（3）从242,1+m ，， 中一次任取两个数i 和j ()j i <，记数列242.1,,,+m a a a 是()j i ,一一可分数列的概率的概率为m P ，证明：81>m P .参考答案一、单项选择题1.A解析：∵553<<-x ，∴3355<<-x .∵2513<<，∴1523-<-<-.∴{}0,1-=B A .2.C解析：∵i z z +=-11，∴()()i i i z i iz z i z -=+=⇒+=⇒-+=11111.3.D 解析：()4,24-=-x a b ，∵()a b b4-⊥，∴()044=-+x x ，∴2=x .4.A解析：∵()m =+βαcos ，2tan tan =βα，∴()()32121tan tan 1tan tan 1sin sin cos cos sin sin cos cos cos cos -=-+=-+=-+=+-βαβαβαβαβαβαβαβα.∴()m 3cos -=-βα.5.B解析：由32⋅==r rl S ππ侧可得32=l ，∴3=r .∴ππ33393131=⋅⋅==Sh V .6.B由()()0,1ln ≥++=x x e x f x为增函数，故此分段函数在R 上递增，只需满足：⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-=--1022a a a，解得01≤≤-a .7.C解析：∴32π=T .8.B解析：()()()123f f f +>，()22=f ，()11=f .()()()()()122234f f f f f +>+>，()()()()()1223345f f f f f +>+>，……()()()8912123410>+>f f f ，……，()()()9871233237715>+>f f f ，()()()15971377261016>+>f f f .∴()100020>f .二、多项选择题9.BC 解析：已知()21.08.1~，N X ，由题目所给条件：若随机变量Z 服从正态分布，()8413.0≈+<σμZ P ，则()8413.09.1≈<X P ，易得()1587.08413.012≈-<>X P .故A 错误，B 正确；对于C：()21.01.2~，N Y ，∴()5.01.2=>Y P ，即()()5.01.22=>>>Y P Y P ，故C正确；对于D：同上易得()8413.02.2≈<Y P .由正态密度曲线的对称性可知()()8.08412.02.22>≈<=>Y P Y P .故D 错误.10.ACD解析：对于A：()()()()()()31314122--=-+--='x x x x x x f .令()0='x f ，解得11=x ，32=x .x 变化时，()x f '与()x f 变化如下表：故A 正确；对于B：当10<<x 时，102<<<x x ，又()x f 在()1,0上单调递增，所以()()x f xf <2，故B 错误；对于C ：令()2112<<-=x x t ，则31<<x .()x f 在()3,1上单调递减，()()()13f t f f <<，()43-=f ，()11=f ，即()0121<-<-x f .故C 正确；对于D：()()()412--=x x x f ，()()()()()21421222---=---=-x x x x x f .∴()()()()()32122212-=--=--x x x x f x f .当01<<-x 时，()013<-x ，∴()()x f x f -<2成立.故D 正确.11.ABD解析：对于A：O 点在曲线C 上，O 到F 的距离和到a x =的距离之积为4，即42=⨯a ，解得2±=a .又∵0<a ，∴2-=a ，故A 正确；对于B：由图象可知曲线C 与x 轴正半轴相交于一点，不妨设B 点.设()0,m B ，其中2>m ，由定义可得()()422=+-m m ，解得22±=m .又∵2>m ，∴22=m ，故B 正确；对于C：设C 上一点()y x P ,，()()42222=++-x y x ，其中2->x .化简得曲线C 的轨迹方程为()()2222216--+=x x y ，其中2->x .已知2=x 时，12=y ，对x 求导()()2223232--+-=x x y .2122-==x y ，则在2=x 是下降趋势，即存在2<x 时，1>y 成立，故C 错误；对于D：()()2222216--+=x x y ，∵()022≥-x ，∴()22216+≤x y .∴240+≤x y .又∵20->x ，2400+≤x y ，则24000+≤≤x y y ，故D 正确.三、填空题12.23解析：作图易得131=A F ，52=AF ，且212F F AF ⊥，12222121=-=AF A F F F .由双曲线定义可得：8221=-=AF A F a ，6221==F F c ，则23==a c e .13.2ln 解析：1+='xe y ，20='==x y k ，切线l 的方程：12+=x y .设l 与曲线()a x y ++=1ln 的切点横坐标为0x ，110+='x y ，则2110=+=x k ，解得210-=x .代入12+=x y 可得切点为⎪⎭⎫⎝⎛-021，，再代入()a x y ++=1ln ，a +=21ln 0，即2ln =a .14.21解析：不妨确定甲的出牌顺序为7,5,3,1.乙随机出牌有2444=A 种基本事件.甲的数字1最小，乙的数字8最大.若数字1和数字8轮次不一致，乙最少得2分，甲最多2分.站在甲的视角下，分四种情况：①8对1，则7必得分（1）若得3分：3,5都得分，3对2,5对4（1种情况）（2）若得2分：3,5只有一个得分（ⅰ）：5得分，3不得分：5对2,3对4或6（2种情况）；5对4,3对6（1种情况）；（ⅱ）：3得分，5不得分：3对2,5对6（1种情况）；②8对3,7必得分5得分：5对2,4,7对应2种情况，共有422=⨯种情况；③8对5,7必得分3得分：3对2,7对应2中情况，共有221=⨯种情况；④8对7，最多得2分3得分，5得分：3对2,5对4（1种情况）.共有12种情况，甲总得分不小于2的概率为212412=.四、解答题15.解：（1）∵ab c b a 2222=-+，∴22222cos 222==-+=ab ab ab c b a C .∴22cos 1sin 2=-=C C .又∵B C cos 2sin =，∴22cos 2=B ，∴21cos =B ，∴3π=B .（2）∵33sin 21+==∆Bac S ABC ，∴333sin 21+=ac π.即434+=ac ……①由（1）易知4π=C ，3π=B .由正弦定理C c A a sin sin =，()CcC B a sin sin =+.∴4sin43sin πππc a =⎪⎭⎫ ⎝⎛+，∴224269c =+，∴c a 213+=.代入①式解得22=c .16.解：（1）将()30，A ，⎪⎭⎫⎝⎛233，P 代入椭圆12222=+b y a x 得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=149919222b a b ，可得⎪⎩⎪⎨⎧==91222b a ，∴3222=-=b a c ，∴32=a ，3=c .∴离心率21323===a c e .（2）①当l 斜率不存在时，29332121=⨯⨯=-⋅=∆A P ABP x x PB S ，不符，舍去.②当l 斜率存在时，设l 方程：()323-=-x k y .联立()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-191232322y x x k y 可得：()()()02736212342222=--++-++k k x k k x k.由韦达定理：()34273622+--=⋅k k k x x B P ，又3=P x ，∴()3491222+--=k k k x B .∵BP 与y 轴交点⎪⎭⎫ ⎝⎛+-233,0k ，∴()9349123323213232122=+---⋅+=-+⋅=∆k k k k x x k S B P ABP 解得21=k 或23，∴l 方程x y 21=或0623=--y x .17.解：（1）证明：∵⊥P A 底面ABCD ，∴AD P A ⊥.又∵PB AD ⊥，∴⊥AD 平面P AB ，则AB AD ⊥.又∵1,32===BC AB AC ，，∴222BC AB AC +=，则BC AB ⊥，∴BC AD ∥.∵⊄AD 平面PBC ，⊂BC 平面PBC ，∴∥AD 平面PBC .（2）以D 为原点，DA 为x 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系.设0,0,,>>==q p q DC p DA ，满足4222==+AC q p ，则()()()()0,0,0,0,,0,20,0,0,D q C p P p A ，，.设平面APC 法向量为()111,,z y x m =，∴()()0,,200q p AC AP -==，，，.∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅==⋅002111qy px m AC z m AP ，取()0,,p q m = .设平面DPC 法向量为()()()0,,0,2,0,,,,222q DC p DP z y x n ===.∴⎪⎩⎪⎨⎧==⋅=+=⋅002222qy n DC z px n AP ，取()p n -=,0,2 .∴2222742142,cos ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=+⋅+=p q p qn m .∴7142=+p q .又∵422=+q p ，∴3=p ，即3=AD .18.解：（1）0=b 时，()ax x x x f +-=2ln，∴()()022≥+-⋅='a x x x f .∴()22-≥x x a .又∵()2,0∈x ，设()()22-=x x x h ，当()2,0∈x 时，()2max -=x h ，∴2-≥a .∴a 的最小值为2-.（2）由题意可知()x f 的定义域为()20，.()()()()()a x b x a xx bx x a x x x f x f 2111ln 111ln1133=-+-++-++++-+=-++.∴()x f 关于()a ,1中心对称.（3）()212ln 3->-++-x b ax xx ，即()0212ln3>+-++-x b ax x x 即()()02112ln 3>++-+-+-a x b x a xx.令1-=x t ，则()1,0∈t ，()0211ln 3>++++-+=a bt at tt t g .()t g 关于()a +2,0中心对称，则当且仅当()1,0∈t 时，()0>t g 恒成立.需02=+a ，即2-=a ，()0≥'t g 在()1,0恒成立.()()()()22222212231223032112t t t b t bt bt t t t g --≥⇒--≥⇒≥+--+='.令2t m =，则()1,0∈m ，()()12122-=--=m m m m m h .()2max -=m h ，∴23-≥b ，即32-≥b .∴⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-∈,32b .19.解：（1）从1,2,3,4,5,6中删去()j i ,剩下的四个数从小到大构成等差数列，记为{}k b ，41≤≤k .设{}k b 公差为d ，已知1=d ，否则，若2≥d ，则6314≥=-d b b ，又51614=-≤-b b ，故矛盾，∴1=d ，则{}k b 可以为{}4,3,2,1，{}5,4,3,2，{}6,5,4,3，则对应()j i ,分别为()()()2,16,16,5，，.（2）证明：只需考虑前14项在去掉()13,2后如何构成3组4项的等差数列，后面剩下的()34124-=-m m 可自然依序划分为3-m 组等差数列.则只需构造{}14,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,1的一组划分，使划分出的3组数均成等差数列，取{}{}{}14,11,8,512,9,6,310,7,4,1，，，这单租数均为公差为3的等差数列，对于剩下的()34-m 个数，按每四个相邻数一组，划分为3-m 组即可.由此可见去掉()13,2后，剩余的m 4个数可以分为m 组，每组均为等差数列，故3≥m 时，24,2,1+m 是()13,2可分数列，即2421,,,+m a a a 是()13,2可分数列.（3）证明：用数学归纳法证明：共有不少于12++m m 中()j i ,的取法使24,2,1+m 是()j i ,可分数列，①当1=m 时，由（1）知，有11132++=种()j i ,的取法，②假设当n m =时，有至少12++n n 种()j i ,的取法，则当1+=n m 时，考虑数列{}64,,2,1+n 下对于()j i ,分三种情况讨论：1°当1=i 时，取()1,,,2,1,0,24+=+=n n k k j 则j i ,之间（不含j i ,）有k k 41124=--+个连续的自然数，可按形如{}{}{}14,4,14,249,8,7,65,4,3,2+--k k k k ，，， 划分，剩下的64,,44,34+++n k k ，也可按每四个连续自然数划分得到相应的等差数列，∵1,,,2,1,0+=n n k ，∴这种情况有2+n 种()j i ,的取法.2°当2=i 时，取()1,,,2,14+=+=n n k k j ，现以k 为公差构造划分为：{}13,12,11+++k k k ，，{}33,32,3,3+++k k k ，……{}14,13,12,1----k k k k ，{}k k k k 4,3,22,，{}24,23,22,2++++k k k k （注意当2=k 时，只有{}{}10,8,6,47,5,3,1，这两组）剩下的64,,44,34+++n k k ，也可按每四个连续自然数划分得到相应的等差数列，∵1,,,2+=n n k ，∴这种情况有n 种()j i ,的取法.3°当2>i 时，考虑{}64,,7,6,5+n 共24+n 个数，由归纳假设里n m =时，有至少12++n n 种()j i ,的取法.综合1°2°3°，当1+=n m 时，至少有()()()()1111222++++=+++++n n n n n n 中取法，由①②及数学归纳法原理，值共有不少于12++m m 种()j i ,的取法使24,2,1+m 为()j i ,可分数列，那么()()8188811681121411222222242=++++>++++=++++=++≥+m m m m m m m m m m m m C m m P m m ，∴81>m P .。
历年高考数学真题全国卷版精编WORD版
历年高考数学真题全国卷版精编W O R D版 IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(大纲全国卷)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013大纲全国，理1)设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中元素的个数为( )．A ．3B ．4C ．5D ．62．(2013大纲全国，理2)3＝( )．A ．－8B ．8C ．－8iD ．8i3．(2013大纲全国，理3)已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( )．A ．－4B ．－3C ．－2D ．－14．(2013大纲全国，理4)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( )．A ．(－1,1)B ．11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．(－1,0) D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ 5．(2013大纲全国，理5)函数f (x )＝21log 1x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(x ＞0)的反函数f －1(x )＝( )．A．121x-(x＞0) B．121x-(x≠0) C．2x－1(x∈R) D．2x－1(x＞0)6．(2013大纲全国，理6)已知数列{a n}满足3a n＋1＋a n＝0，a2＝43-，则{a n}的前10项和等于( )．A．－6(1－3－10) B．19(1－310) C．3(1－3－10) D．3(1＋3－10)7．(2013大纲全国，理7)(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是( )．A．56 B．84 C．112 D．1688．(2013大纲全国，理8)椭圆C：22=143x y+的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是( )．A．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B．33,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D．3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．(2013大纲全国，理9)若函数f(x)＝x2＋ax＋1x 在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭是增函数，则a的取值范围是( )．A．[－1,0] B．[－1，＋∞) C．[0,3] D．[3，＋∞)10．(2013大纲全国，理10)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( )．A ．23 B． C． D ．1311．(2013大纲全国，理11)已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若0MA MB ⋅=，则k ＝( )．A ．12 B． C．212．(2013大纲全国，理12)已知函数f (x )＝cos x sin 2x ，下列结论中错误的是( )．A ．y ＝f(x)的图像关于点(π，0)中心对称B ．y ＝f(x)的图像关于直线π=2x 对称C ．f(x)的最大值为 D ．f(x)既是奇函数，又是周期函数二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2013大纲全国，理13)已知α是第三象限角，sin α＝13-，则cot α＝__________.14．(2013大纲全国，理14)6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有__________种．(用数字作答)15．(2013大纲全国，理15)记不等式组0,34,34x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域为D .若直线y ＝a (x ＋1)与D 有公共点，则a 的取值范围是__________．16．(2013大纲全国，理16)已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于，且圆O与圆K所在的平面所成的一个二面角为60°，则球O的球O的半径，OK＝32表面积等于__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2013大纲全国，理17)(本小题满分10分)等差数列{a n}的前n项和为S n.已知S3＝2a，2且S1，S2，S4成等比数列，求{a n}的通项公式．18．(2013大纲全国，理18)(本小题满分12分)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac.(1)求B；(2)若sin A sin C，求C19．(2013大纲全国，理19)(本小题满分12分)如图，四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD都是等边三角形．(1)证明：PB⊥CD；(2)求二面角A－PD－C的大小．20．(2013大纲全国，理20)(本小题满分12分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．(1)求第4局甲当裁判的概率；(2)X 表示前4局中乙当裁判的次数，求X 的数学期望．21．(2013大纲全国，理21)(本小题满分12分)已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为3，直线y ＝2与C . (1)求a ，b ；(2)设过F 2的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，且|AF 1|＝|BF 1|，证明：|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等比数列．22．(2013大纲全国，理22)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝1ln(1+)1x x x xλ(+)-+. (1)若x ≥0时，f (x )≤0，求λ的最小值；(2)设数列{a n }的通项111=1+23n a n+++，证明：a 2n －a n ＋14n ＞ln 2.2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(大纲全国卷)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．答案：B解析：由题意知x＝a＋b，a∈A，b∈B，则x的可能取值为5,6,7,8.因此集合M共有4个元素．故选B.2．答案：A解析：323-.故选A.=13=83．答案：B解析：由(m＋n)⊥(m－n)?|m|2－|n|2＝0?(λ＋1)2＋1－[(λ＋2)2＋4]＝0?λ＝－3.故选B.4．答案：B解析：由题意知－1＜2x ＋1＜0，则－1＜x ＜12-.故选B.5．答案：A解析：由题意知11+x ＝2y ?x ＝121y -(y ＞0)，因此f －1(x )＝121x-(x ＞0)．故选A. 6．答案：C解析：∵3a n ＋1＋a n ＝0，∴a n ＋1＝13n a -.∴数列{a n }是以13-为公比的等比数列．∵a 2＝43-，∴a 1＝4.∴S 10＝101413113⎡⎤⎛⎫--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+＝3(1－3－10)．故选C. 7．答案：D解析：因为(1＋x )8的展开式中x 2的系数为28C ，(1＋y )4的展开式中y 2的系数为24C ，所以x 2y 2的系数为2284C C 168=.故选D.8．答案：B解析：设P 点坐标为(x 0，y 0)，则2200=143x y +， 2002PA y k x =-，1002PA y k x =+，于是12220222003334244PA PA x y k k x x -⋅===---. 故12314PA PA k k ＝－. ∵2PA k ∈[－2，－1]，∴133,84PA k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故选B.9．答案：D解析：由条件知f ′(x )＝2x ＋a －21x ≥0在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，即212a x x ≥-在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立．∵函数212y x x =-在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为减函数，∴max 211<23212y -⨯=⎛⎫⎪⎝⎭.∴a ≥3.故选D. 10．答案：A解析：如下图，连结AC 交BD 于点O ，连结C 1O ，过C 作CH ⊥C 1O 于点H .∵11BD ACBD AA AC AA A ⊥⎫⎪⊥⎬⎪=⎭1111BD ACC A CH ACC A ⊥⎫⎬⊂⎭平面平面11=CH BD CH C OBD C O O ⊥⎫⎪⊥⎬⎪⎭CH ⊥平面C 1BD ，∴∠HDC 为CD 与平面BDC 1所成的角．设AA 1＝2AB ＝2，则2==22AC OC ，222211293=22222C O OC CC ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭由等面积法，得C 1O ·CH ＝OC ·CC 1，即322222CH ⋅⋅， ∴2=3CH .∴sin ∠HDC ＝223==13HC DC .故选A.11．答案：D解析：由题意知抛物线C 的焦点坐标为(2,0)，则直线AB 的方程为y ＝k (x －2)，将其代入y 2＝8x ，得k 2x 2－4(k 2＋2)x ＋4k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2242k k (+)，x 1x 2＝4.①由112222y k x y k x =(-)⎧⎨=(-)⎩∵0MA MB ⋅=，∴(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝0. ∴(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0， 即x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝0.④ 由①②③④解得k ＝2.故选D.12．答案：C解析：由题意知f (x )＝2cos 2x ·sin x ＝2(1－sin 2x )sin x .令t ＝sin x ，t ∈[－1,1]，则g (t )＝2(1－t 2)t ＝2t －2t 3.令g ′(t )＝2－6t 2＝0，得=3t ±. 当t ＝±1时，函数值为0；当t =；当t =.∴g (t )max ，即f (x )的最大值为9.故选C. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．答案：解析：由题意知cos α＝==.故cot α＝cos sin αα14．答案：480解析：先排除甲、乙外的4人，方法有44A 种，再将甲、乙插入这4人形成的5个间隔中，有25A 种排法，因此甲、乙不相邻的不同排法有4245A A 480⋅=(种)．15．答案：1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦解析：作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．∵直线y ＝a (x ＋1)过定点C (－1,0)，由图并结合题意可知12BC k =，k AC ＝4， ∴要使直线y ＝a (x ＋1)与平面区域D 有公共点，则12≤a ≤4. 16．答案：16π解析：如下图，设MN 为两圆的公共弦，E 为MN 的中点，则OE ⊥MN ，KE ⊥MN ，结合题意可知∠OEK ＝60°.又MN ＝R ，∴△OMN 为正三角形．∴OE R .又OK ⊥EK ，∴32＝OE ∴R ＝2.∴S ＝4πR 2＝16π.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：设{a n }的公差为d .由S 3＝22a 得3a 2＝22a ，故a 2＝0或a 2＝3.由S 1，S 2，S 4成等比数列得22S ＝S 1S 4. 又S 1＝a 2－d ，S 2＝2a 2－d ，S 4＝4a 2＋2d ， 故(2a 2－d )2＝(a 2－d )(4a 2＋2d )．若a 2＝0，则d 2＝－2d 2，所以d ＝0，此时S n ＝0，不合题意； 若a 2＝3，则(6－d )2＝(3－d )(12＋2d )，解得d ＝0或d ＝2. 因此{a n }的通项公式为a n ＝3或a n ＝2n －1. 18．解：(1)因为(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ，所以a 2＋c 2－b 2＝－ac .由余弦定理得cos B ＝222122a cb ac +-=-， 因此B ＝120°.(2)由(1)知A ＋C ＝60°，所以cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝cos A cos C －sin A sin C ＋2sin A sin C ＝cos(A ＋C )＋2sin A sin C ＝1+22=，故A －C ＝30°或A －C ＝－30°，因此C ＝15°或C ＝45°.19．(1)证明：取BC的中点E，连结DE，则ABED为正方形．过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O.连结OA，OB，OD，OE.由△PAB和△PAD都是等边三角形知PA＝PB＝PD，所以OA＝OB＝OD，即点O为正方形ABED对角线的交点，故OE⊥BD，从而PB⊥OE.因为O是BD的中点，E是BC的中点，所以OE∥CD.因此PB⊥CD.(2)解法一：由(1)知CD⊥PB，CD⊥PO，PB∩PO＝P，故CD⊥平面PBD.又PD 平面PBD，所以CD⊥PD.取PD的中点F，PC的中点G，连结FG，则FG∥CD，FG⊥PD.连结AF，由△APD为等边三角形可得AF⊥PD.所以∠AFG 为二面角A －PD －C 的平面角．连结AG ，EG ，则EG ∥PB .又PB ⊥AE ，所以EG ⊥AE .设AB ＝2，则AE ＝EG ＝12PB ＝1，故AG 3.在△AFG 中，FG ＝12CD =AF =AG ＝3，所以cos ∠AFG ＝22223FG AF AG FG AF +-=-⨯⨯.因此二面角A －PD －C 的大小为π- 解法二：由(1)知，OE ，OB ，OP 两两垂直．以O 为坐标原点，OE 的方向为x 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .设|AB |＝2，则A (，0,0)，D (0，，0)，C (，0)，P (0,0．PC ＝(，，)，PD ＝(0，，)．AP ＝(0，AD ＝，0)．设平面PCD 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则n 1·PC ＝(x ，y ，z)·(，)＝0，n 1·PD ＝(x ，y ，z)·(0，，)＝0， 可得2x －y －z ＝0，y ＋z ＝0.取y ＝－1，得x ＝0，z ＝1，故n 1＝(0，－1,1)．设平面PAD 的法向量为n 2＝(m ，p ，q )，则n 2·AP ＝(m ，p ，q)＝0，n 2·AD ＝(m ，p ，q，0)＝0，可得m ＋q ＝0，m －p ＝0. 取m ＝1，得p ＝1，q ＝－1，故n 2＝(1,1，－1)．于是cos 〈n 1，n 2〉＝1212||||=·n n n n . 由于〈n 1，n 2〉等于二面角A －PD －C 的平面角，所以二面角A －PD －C的大小为π- 20．解：(1)记A 1表示事件“第2局结果为甲胜”，A 2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A 表示事件“第4局甲当裁判”． 则A ＝A 1·A 2.P (A )＝P (A 1·A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝14.(2)X 的可能取值为0,1,2.记A 3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，B 1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B 2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，B 3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”．则P (X ＝0)＝P (B 1·B 2·A 3)＝P (B 1)P (B 2)·P (A 3)＝18，P (X ＝2)＝P (1B ·B 3)＝P (1B )P (B 3)＝14，P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝2)＝1151848--=，EX ＝0·P (X ＝0)＋1·P (X ＝1)＋2·P (X ＝2)＝98.21．(1)解：由题设知ca＝3，即222a b a +＝9，故b 2＝8a 2. 所以C 的方程为8x 2－y 2＝8a 2.将y ＝2代入上式，求得x =由题设知，=a 2＝1.所以a ＝1，b ＝(2)证明：由(1)知，F 1(－3,0)，F 2(3,0)，C 的方程为8x 2－y 2＝8.①由题意可设l 的方程为y ＝k (x －3)，k (k 2－8)x 2－6k 2x ＋9k 2＋8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≤－1，x 2≥1，x 1＋x 2＝2268k k -，x 1·x 2＝22988k k +-.于是|AF 1|(3x 1＋1)，|BF 1|3x 2＋1.由|AF 1|＝|BF 1|得－(3x 1＋1)＝3x 2＋1，即x 1＋x 2＝23-.故226283k k =--，解得k 2＝45，从而x 1·x 2＝199-.由于|AF 2|1－3x 1，|BF 2|3x 2－1，故|AB |＝|AF 2|－|BF 2|＝2－3(x 1＋x 2)＝4，|AF 2|·|BF 2|＝3(x 1＋x 2)－9x 1x 2－1＝16. 因而|AF 2|·|BF 2|＝|AB |2，所以|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等比数列． 22．(1)解：由已知f (0)＝0，f ′(x )＝22121x x x λλ(-)-(+)，f ′(0)＝0.若12λ<，则当0＜x ＜2(1－2λ)时，f ′(x )＞0，所以f (x )＞0. 若12λ≥，则当x ＞0时，f ′(x )＜0，所以当x ＞0时，f (x )＜0. 综上，λ的最小值是12. (2)证明：令12λ=.由(1)知，当x ＞0时，f (x )＜0， 即2ln(1)22x x x x(+)>++． 取1x k=，则211>ln 21k k k k k ++(+).于是212111 422(1)n n n k n a a n k k -=⎡⎤-+=+⎢⎥+⎣⎦∑ ＝2121211ln 21n n k n k nk k k k k --==++>(+)∑∑＝ln 2n－ln n＝ln 2.所以21ln24n na an-+>.2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷I)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013课标全国Ⅰ，理1)已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－5＜x＜5}，则( )．A．A∩B＝ B．A∪B＝R C．B⊆A D．A⊆B2．(2013课标全国Ⅰ，理2)若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为( )．A．－4 B．45-C．4 D．453．(2013课标全国Ⅰ，理3)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )．A ．简单随机抽样B ．按性别分层抽样C ．按学段分层抽样D ．系统抽样4．(2013课标全国Ⅰ，理4)已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，则C 的渐近线方程为( )． A ．y ＝14x ±B ．y ＝13x ±C ．y ＝12x± D ．y ＝±x5．(2013课标全国Ⅰ，理5)执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )．A ．[－3,4]B ．[－5,2]C ．[－4,3]D ．[－2,5]6．(2013课标全国Ⅰ，理6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )．A ．500π3cm3B ．866π3cm3C ．1372π3cm3D ．2048π3cm37．(2013课标全国Ⅰ，理7)设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m－1＝－2，S m＝0，S m＋1＝3，则m＝( )．A．3 B．4 C．5 D．68．(2013课标全国Ⅰ，理8)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A．16＋8πB．8＋8πC．16＋16πD．8＋16π9．(2013课标全国Ⅰ，理9)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x ＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝( )．A．5 B．6 C．7 D．810．(2013课标全国Ⅰ，理10)已知椭圆E：2222=1x ya b+(a＞b＞0)的右焦点为F(3,0)，过点F 的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )．A．22=14536x y+B．22=13627x y+C．22=12718x y+D．22=1189x y+11．(2013课标全国Ⅰ，理11)已知函数f(x)＝220ln(1)0.x x xx x⎧-+≤⎨+>⎩，，，若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是( )．A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．[－2,1] D．[－2,0]12．(2013课标全国Ⅰ，理12)设△A n B n C n的三边长分别为a n，b n，c n，△A n B n C n的面积为S n，n＝1,2,3，….若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，a n＋1＝a n，b n＋1＝2n nc a+，cn＋1＝2n nb a+，则( )．A．{Sn}为递减数列 B．{Sn}为递增数列C．{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列 D．{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2013课标全国Ⅰ，理13)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝__________.14．(2013课标全国Ⅰ，理14)若数列{an}的前n项和2133n nS a=+，则{an}的通项公式是an＝_______.15．(2013课标全国Ⅰ，理15)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝__________.16．(2013课标全国Ⅰ，理16)若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x＝－2对称，则f(x)的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2013课标全国Ⅰ，理17)(本小题满分12分)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.(1)若PB＝1，求PA；2(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.18．(2013课标全国Ⅰ，理18)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA，∠BAA1＝60°.1(1)证明：AB⊥A1C；(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．19．(2013课标全国Ⅰ，理19)(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．，且各件产品假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为12是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．20．(2013课标全国Ⅰ，理20)(本小题满分12分)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.21．(2013课标全国Ⅰ，理21)(本小题满分12分)设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝e x(cx＋d)．若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(2013课标全国Ⅰ，理22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D . (1)证明：DB ＝DC ；(2)设圆的半径为1，BC ，延长CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆的半径．23．(2013课标全国Ⅰ，理23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程为45cos ,55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．24．(2013课标全国Ⅰ，理24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲：已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3.(1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集；(2)设a ＞－1，且当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国卷I 新课标)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．答案：B解析：∵x (x －2)＞0，∴x ＜0或x ＞2.∴集合A 与B 可用图象表示为：由图象可以看出A ∪B ＝R ，故选B.2．答案：D解析：∵(3－4i)z ＝|4＋3i|，∴55(34i)34i 34i (34i)(34i)55z +===+--+. 故z 的虚部为45，选D.3．答案：C解析：因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样．4．答案：C解析：∵2c e a ==，∴22222254c a b e a a +===. ∴a 2＝4b 2，1=2b a ±.∴渐近线方程为12b y x x a =±±.5．答案：A解析：若t ∈[－1,1)，则执行s ＝3t ，故s ∈[－3,3)．若t ∈[1,3]，则执行s ＝4t －t 2，其对称轴为t ＝2.故当t ＝2时，s 取得最大值4.当t ＝1或3时，s 取得最小值3，则s ∈[3,4]．综上可知，输出的s ∈[－3,4]．故选A.答案：A解析：设球半径为R ，由题可知R ，R －2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即△OBA 为直角三角形，如图．BC ＝2，BA ＝4，OB ＝R －2，OA ＝R ， 由R 2＝(R －2)2＋42，得R ＝5，所以球的体积为34500π5π33=(cm 3)，故选A.7．答案：C解析：∵S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，∴a m ＝S m －S m －1＝0－(－2)＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3－0＝3. ∴d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1.∵S m ＝ma 1＋12m m (-)×1＝0，∴112m a -=-. 又∵a m ＋1＝a 1＋m ×1＝3，∴132m m --+=. ∴m ＝5.故选C.答案：A解析：由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径r ＝2，长为4，在长方体中，长为4，宽为2，高为2，所以几何体的体积为πr 2×4×12＋4×2×2＝8π＋16.故选A.9．答案：B解析：由题意可知，a ＝2C m m ，b ＝21C mm +，又∵13a ＝7b ，∴2!21!13=7!!!1!m m m m m m ()(+)⋅⋅(+)， 即132171m m +=+.解得m ＝6.故选B. 10．答案：D解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵A ，B 在椭圆上，∴2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②①－②，得1212121222=0x x x x y y y y a b (+)(-)(+)(-)+，即2121221212=y y y y b a x x x x (+)(-)-(+)(-)， ∵AB 的中点为(1，－1)，∴y 1＋y 2＝－2，x 1＋x 2＝2，而1212y y x x --＝k AB ＝011=312-(-)-，∴221=2b a . 又∵a 2－b 2＝9，∴a 2＝18，b 2＝9.∴椭圆E 的方程为22=1189x y +.故选D.11．答案：D解析：由y ＝|f (x )|的图象知：①当x ＞0时，y ＝ax 只有a ≤0时，才能满足|f (x )|≥ax ，可排除B ，C.②当x ≤0时，y ＝|f (x )|＝|－x 2＋2x |＝x 2－2x .故由|f (x )|≥ax 得x 2－2x ≥ax .当x＝0时，不等式为0≥0成立．当x＜0时，不等式等价于x－2≤a.∵x－2＜－2，∴a≥－2.综上可知：a∈[－2,0]．12．答案：B第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．答案：2解析：∵c＝t a＋(1－t)b，∴b·c＝t a·b＋(1－t)|b|2.又∵|a|＝|b|＝1，且a与b夹角为60°，b⊥c，∴0＝t|a||b|cos 60°＋(1－t)，0＝12t ＋1－t .∴t ＝2.14．答案：(－2)n －1解析：∵2133n n S a =+，①∴当n ≥2时，112133n n S a --=+.②①－②，得12233n n n a a a -=-， 即1nn a a -＝－2. ∵a 1＝S 1＝12133a +，∴a 1＝1.∴{a n }是以1为首项，－2为公比的等比数列，a n ＝(－2)n －1.15．答案：-解析：f (x )＝sin x －2cos xx x ⎫⎪⎭，令cos αsin α＝则f (x )α＋x )，当x ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )时，sin(α＋x )有最大值1，f (x )即θ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )，所以cos θ＝πcos 2π+2k α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝πcos 2α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝sin α＝=. 16．答案：16解析：∵函数f (x )的图像关于直线x ＝－2对称，∴f (x )满足f (0)＝f (－4)，f (－1)＝f (－3)，即15164,0893,b a b a b =-(-+)⎧⎨=-(-+)⎩解得8,15.a b =⎧⎨=⎩∴f (x )＝－x 4－8x 3－14x 2＋8x ＋15.由f ′(x )＝－4x 3－24x 2－28x ＋8＝0，得x 1＝－2x 2＝－2，x 3＝－2易知，f(x)在(－∞，－2上为增函数，在(－22)上为减函数，在(－2，－2＋上为增函数，在(－2∴f(－2)＝[1－(－22][(－2－)2＋8(－2＋15]＝(－8－－＝80－64＝16.f(－2)＝[1－(－2)2][(－2)2＋8×(－2)＋15]＝－3(4－16＋15)＝－9.f(－2)＝[1－(－22][(－2)2＋8(－2＋15]＝(－8＋＋＝80－64＝16.故f(x)的最大值为16.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：(1)由已知得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.在△PBA 中，由余弦定理得PA 2＝11732cos 30424+-︒=.故PA ＝2. (2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α.在△PBA 中，由正弦定理得sin sin150sin(30)αα=︒︒-，α＝4sin α.所以tan α＝4，即tan ∠PBA ＝4. 18．(1)证明：取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B . 因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB .由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°， 故△AA 1B 为等边三角形， 所以OA 1⊥AB .因为OC ∩OA 1＝O ，所以AB ⊥平面OA 1C . 又A 1C ⊂平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C .(2)解：由(1)知OC ⊥AB ，OA 1⊥AB . 又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，交线为AB ， 所以OC ⊥平面AA 1B 1B ， 故OA ，OA 1，OC 两两相互垂直．以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴的正方向，|OA |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .由题设知A (1,0,0)，A 1(00)，C (0,0)，B (－1,0,0)．则BC ＝(1,0，1BB ＝1AA ＝(－10)，1AC ＝(0，)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面BB 1C 1C 的法向量，则10,0,BC BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,0.x x ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩可取n ＝1，－1)． 故cos 〈n ，1AC 〉＝11A C A C⋅n n ＝. 所以A 1C 与平面BB 1C1C 19．解：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A 1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A 2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B 1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B 2，这批产品通过检验为事件A ，依题意有A ＝(A 1B 1)∪(A 2B 2)，且A 1B 1与A 2B 2互斥，所以 P (A )＝P (A 1B 1)＋P (A 2B 2) ＝P (A 1)P (B 1|A 1)＋P (A 2)P (B 2|A 2)＝41113161616264⨯+⨯=. (2)X 可能的取值为400,500,800，并且P (X ＝400)＝41111161616--=，P (X ＝500)＝116，P (X ＝800)＝14.所以X 的分布列为EX ＝1111400+500+80016164⨯⨯⨯＝506.25. 20．解：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3. 设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2椭圆(左顶点除外)，其方程为22=143x y +(x ≠－2)．(2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4.若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1||||QP RQM r =，可求得Q (－4,0)，所以可设l ：y ＝k (x ＋4)． 由l 与圆M，解得k＝4±. 当k时，将y x =代入22=143x y +， 并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2所以|AB |2118|7x x -=.当4k =-时，由图形的对称性可知|AB |＝187.综上，|AB |＝|AB |＝187. 21．解：(1)由已知得f (0)＝2，g (0)＝2，f ′(0)＝4，g ′(0)＝4.而f ′(x )＝2x ＋a ，g ′(x )＝e x (cx ＋d ＋c )，故b ＝2，d ＝2，a ＝4，d ＋c ＝4.从而a ＝4，b ＝2，c ＝2，d ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝x 2＋4x ＋2，g (x )＝2e x (x ＋1)．设函数F (x )＝kg (x )－f (x )＝2k e x (x ＋1)－x 2－4x －2，则F ′(x )＝2k e x (x ＋2)－2x －4＝2(x ＋2)(k e x －1)．由题设可得F (0)≥0，即k ≥1.令F ′(x )＝0得x 1＝－ln k ，x 2＝－2.①若1≤k＜e2，则－2＜x1≤0.从而当x∈(－2，x1)时，F′(x)＜0；当x∈(x1，＋∞)时，F′(x)＞0.即F(x)在(－2，x)单调递减，在(x1，＋∞)单调递增．故F(x)在[－2，＋∞)的最小1值为F(x1)．而F(x1)＝2x1＋2－2x－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0.1故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．②若k＝e2，则F′(x)＝2e2(x＋2)(e x－e－2)．从而当x＞－2时，F′(x)＞0，即F(x)在(－2，＋∞)单调递增．而F(－2)＝0，故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．③若k＞e2，则F(－2)＝－2k e－2＋2＝－2e－2(k－e2)＜0.从而当x≥－2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．综上，k的取值范围是[1，e2]．请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(1)证明：连结DE，交BC于点G.由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.又因为DB⊥BE，所以DE为直径，∠DCE＝90°，由勾股定理可得DB＝DC.(2)解：由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，故DG是BC的中垂线，所以BG＝2.设DE的中点为O，连结BO，则∠BOG＝60°.从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圆的半径等于2. 23．解：(1)将45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.将cos,sinxyρθρθ=⎧⎨=⎩代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.由2222810160,20x y x yx y y⎧+--+=⎨+-=⎩解得1,1xy=⎧⎨=⎩或0,2.xy=⎧⎨=⎩所以C1与C2交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫⎪⎝⎭.24．解：(1)当a＝－2时，不等式f(x)＜g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0.设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，则y＝1 5,,212,1,236, 1.x xx xx x⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x∈(0,2)时，y＜0.所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(2)当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )＝1＋a .不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3.所以x ≥a －2对x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭都成立．故2a-≥a －2，即43a ≤.从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦.2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷II)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013课标全国Ⅱ，理1)已知集合M ＝{x |(x －1)2＜4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N ＝( )．A ．{0,1,2}B ．{－1,0,1,2}C ．{－1,0,2,3}D ．{0,1,2,3}2．(2013课标全国Ⅱ，理2)设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( )．A．－1＋i B．－1－I C．1＋i D．1－i3．(2013课标全国Ⅱ，理3)等比数列{a n}的前n项和为S n.已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝( )．A．13 B．13-C．19 D．19-4．(2013课标全国Ⅱ，理4)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，lα，lβ，则( )．A．α∥β且l∥α B．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l5．(2013课标全国Ⅱ，理5)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝( )．A．－4 B．－3 C．－2 D．－16．(2013课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N＝10，那么输出的S＝( )．A．111 1+2310+++B．111 1+2!3!10!+++C．111 1+2311+++D．111 1+2!3!11!+++7．(2013课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为( )．8．(2013课标全国Ⅱ，理8)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( )．A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c9．(2013课标全国Ⅱ，理9)已知a＞0，x，y满足约束条件1,3,3.xx yy a x≥⎧⎪+≤⎨⎪≥(-)⎩若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝( )．A．14 B．12 C．1 D．210．(2013课标全国Ⅱ，理10)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( )．A．∃x0∈R，f(x0)＝0B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝011．(2013课标全国Ⅱ，理11)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )．A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x12．(2013课标全国Ⅱ，理12)已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a＞0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是( )．A．(0,1) B．112⎛⎫-⎪⎪⎝⎭ C．113⎛⎤⎥⎝⎦ D．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。
历年高考数学真题(全国卷整理版)完整版完整版
参考公式：如果事件 A、B互斥，那么球的表面积公式P( A B) P( A) P(B)S 4R2如果事件 A、B相互独立，那么其中 R表示球的半径P(A B) P( A) P(B)球的体积公式如果事件 A 在一次试验中发生的概率是p ，那么V3R3n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生k次的概率4其中 R 表示球的半径P n (k ) C n k p k (1 p)n k (k 0,1,2, n)普通高等学校招生全国统一考试一、选择题13i 1、复数i =1A 2+I B2-I C 1+2i D 1- 2i2、已知集合 A ＝{1.3.m }，B＝{1，m} ,A B ＝ A, 则 m=A0或3 B 0或3C1或3 D 1或33椭圆的中心在原点，焦距为 4 一条准线为 x=-4 ，则该椭圆的方程为A x2y2=1Bx2y2=1 16++12128C x2y2=1Dx2y28+12+=1 444已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C1D1中，AB=2 ，CC1= 2 2 E 为 CC1的中点，则直线 AC 1与平面 BED 的距离为A2B3C2D1（5）已知等差数列{a n} 的前 n 项和为 S n， a5=5， S5=15，则数列的前100项和为10099(C)99101(A)(B)(D)100101101100（6）△ ABC 中， AB 边的高为 CD ，若a· b=0， |a|=1， |b|=2，则(A)（B）(C)(D)3（7）已知α为第二象限角，sinα＋ sinβ =3，则 cos2α = 5555--(C) 9(D)3(A)3（B）9（8）已知 F1、 F2 为双曲线 C： x2-y2=2的左、右焦点，点P 在 C 上， |PF1|=|2PF2|，则 cos ∠F1PF2=1334(A) 4（B）5(C)4(D)51（9）已知 x=ln π， y=log52 ，z=e2，则(A)x ＜ y＜ z（B）z＜x＜y(C)z ＜ y＜ x(D)y ＜ z＜ x(10) 已知函数y＝ x2-3x+c 的图像与 x 恰有两个公共点，则c＝（A ）-2 或 2 （B）-9 或 3 （C）-1 或 1 （D）-3 或 1（11）将字母 a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A）12 种（ B）18 种（ C）24 种（ D）36 种7（12）正方形 ABCD 的边长为1，点 E 在边 AB 上，点 F 在边 BC 上， AE ＝ BF ＝3。
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历年高考数学真题(全国卷整理版)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 334V R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,)k kn k n n P k C p p k n -=-=…普通高等学校招生全国统一考试一、 选择题1、 复数131ii-++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i2、已知集合A ＝{1.3. m }，B ＝{1，m} ,A B ＝A, 则m=A 0或3B 0或3C 1或3D 1或33 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为A 216x +212y =1B 212x +28y =1C 28x +24y =1D 212x +24y =1 4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1=22 E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 A 2 B 3 C 2 D 1（5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项和为 (A)100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101100（6）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则(A)（B） (C) (D)（7）已知α为第二象限角，sinα＋sinβ=3，则cos2α=(A) 5（B）5(C)5(D)5（8）已知F1、F2为双曲线C：x2-y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2PF2|，则cos∠F1PF2=(A)14（B）35 (C)34 (D)45（9）已知x=lnπ，y=log52，12z=e，则(A)x＜y＜z （B）z＜x＜y (C)z＜y＜x (D)y＜z＜x(10) 已知函数y＝x2-3x+c的图像与x恰有两个公共点，则c＝（A）-2或2 （B）-9或3 （C）-1或1 （D）-3或1（11）将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A）12种（B）18种（C）24种（D）36种（12）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝73。
动点P从E出发沿直线喜爱那个F运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为（A）16（B）14（C）12(D)10二。
填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上。
（注意：在试题卷上作答无效）（13）若x，y满足约束条件则z=3x-y的最小值为_________。
（14）当函数取得最大值时，x=___________。
（15）若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为_________。
（16）三菱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，BAA1=CAA1=50°则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为____________。
三.解答题：（17）（本小题满分10分）（注意：在试卷上作答无效）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos（A-C）＋cosB=1，a=2c，求c。
（18）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，2，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC.（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；（Ⅱ）设二面角A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小。
19. （本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换。
每次发球，胜方得1分，负方得0分。
设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立。
甲、乙的一局比赛中，甲先发球。
（Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；（Ⅱ）表示开始第4次发球时乙的得分，求的期望。
（20）设函数f（x）=ax+cosx，x∈[0，π]。
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围。
21.（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效）已知抛物线C：y=(x+1)2与圆M：（x-1）2+(12y)2=r2(r＞0)有一个公共点，且在A处两曲线的切线为同一直线l.（Ⅰ）求r；（Ⅱ）设m、n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m、n的交点为D，求D到l的距离。
22（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效．．．．．．．．） 函数f(x)=x 2-2x-3，定义数列{x n }如下：x 1=2，x n+1是过两点P （4,5）、Q n (x n ,f(x n ))的直线PQ n 与x 轴交点的横坐标。
（Ⅰ）证明：2≤ x n ＜x n+1＜3； （Ⅱ）求数列{x n }的通项公式。
高考数学(全国卷)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。
1.复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --= (A) -2i (B) -i (C) i (D) 2i2. 函数)0y x =≥的反函数为(A)()24x y x R =∈ (B) ()204x y x =≥(C)()24y x x R =∈ (D) ()240y x x =≥3.下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是 (A) 1a b >+ (B) 1a b >- (C)22a b > (D) 33a b >4.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差22,24k k d S S +=-=，则k= (A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 55.设函数()()cos 0f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于(A) 13(B) 3 (C) 6 (D) 96.已知直二面角l αβ--，点,,A AC l C α∈⊥为垂足，,,B BD l D β∈⊥为垂足，若2,1AB AC BD ===，则D 到平面ABC 的距离等于(A)2(B) 3 (C) 37.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有 (A) 4种 (B) 10种 (C) 18种 (D) 20种8.曲线21x y e =+在点()0,2处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为(A) 13 (B) 12 (C) 23(D) 19.设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()()21f x x x =-，则52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭(A) 12- (B) 14- (C) 14 (D) 1210.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A 、B 两点，则cos AFB ∠=(A) 45 (B) 35(C) 35- (D) 45-11.已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成60二面角的平面β截该球面得圆N ，脱该球面的半径为4.圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为(A) 7π (B) 9π (C) 11π (D) 13π12. 设向量,,a b c 满足11,,,602a b a b a c b c ===---=，则c 的最大值对于(A) 2 (B) (D) 1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写.13. (201-的二项展开式中，x 的系数与9x 的系数之差为 .14. 已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin 5α=，则tan 2α= .15. 已知12F F 、分别为双曲线22:1927x y C -=的左、右焦点，点A C ∈，点M 的坐标为()2,0，AM 为12F AF ∠的角平分线，则 2AF = .16. 已知点E 、F 分别在正方体1111ABCD A B C D - 的棱11BB CC 、上，且12B E EB =, 12CF FC =,则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于 .三、解答题：本大题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分10分）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c 。
已知90,2A C a c b -=+=，求C18.（本小题满分12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立。
（Ⅰ）求该地1为车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；（Ⅱ）X 表示该地的100为车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X 的期望。
19.（本小题满分12分）如图，四棱锥S-ABCD 中，//,AB CD BC CD ⊥,侧面SAB 为等边三角形， AB=BC=2，CD=SD=1. （Ⅰ）证明：SD SAB ⊥平面;（Ⅱ）求AB 与平面SBC 所成的角的大小。
20.（本小题满分12分）设数列{}n a 满足11110,111n na a a +=-=-- （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设11n n a b n+-=，记1nn k k S b ==∑，证明：1n S <。
21.（本小题满分12分）已知O 为坐标原点，F 为椭圆22:12y C x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为2-的直线l 与C 交于A 、B 两点，点P 满足0.OA OB OP ++= （Ⅰ）证明：点P 在C 上；（Ⅱ）设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一个圆上。
22.（本小题满分12分） （Ⅰ）设函数()()2ln 12xf x x x =+-+，证明：当0x >时，()0f x > （Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽到的20个号码互不相同的概率为p ，证明：1929110p e ⎛⎫<< ⎪⎝⎭普通高等学校招生全国统一考试一．选择题 (1)复数3223ii+=- (A)i (B)i - (C)12-13i (D) 12+13i(2)记cos(80)k -︒=,那么tan100︒=A.21k k -B. -21k k - C. 21k k - D. -21k k-(3)若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为(A)4 (B)3 (C)2 (D)1（4）已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a =(A) 52 (B) 7 (C) 6 (D) 42 (5)353(12)(1)x x +-的展开式中x 的系数是 (A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4(6)某校开设A 类选修课3门，B 类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 (A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种(7)正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为 A23 B 33 C 23D 63（8）设a=3log 2,b=In2,c=125-,则 A a<b<c Bb<c<a C c<a<b D c<b<a(9)已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点p 在C 上，∠1F p 2F =060，则P 到x 轴的距离为(A)32 (B)62(C) 3 (D) 6 （10）已知函数F(x)=|lgx|,若0<a<b,且f(a)=f(b),则a+2b 的取值范围是 (A)(22,)+∞ (B)[22,)+∞ (C)(3,)+∞ (D)[3,)+∞（11）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为俩切点，那么PA PB •的最小值为(A) 42-+ (B)32-+ (C) 422-+ (D)322-+（12）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为 (A)233 (B)433 (C) 23 (D) 833二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．(注意：在试题卷上作答无效)(13)2211x x +≤的解集是 .(14)已知α为第三象限的角，3cos 25α=-,则tan(2)4πα+= .(15)直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是 .(16)已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且BF 2FD =，则C 的离心率为 .三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(17)已知ABC 的内角A ，B 及其对边a ，b 满足cot cot a b a A b B +=+，求内角C ．(18) 投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0．5，复审的稿件能通过评审的概率为0．3．各专家独立评审．(I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；(II)记X 表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X 的分布列及期望．（19）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 如图，四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB//DC ，AD ⊥DC ，AB=AD=1，DC=SD=2，E 为棱SB 上的一点，平面EDC ⊥平面SBC .（Ⅰ）证明：SE=2EB ； （Ⅱ）求二面角A-DE-C 的大小 .(20)(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答．．．．．．．无效．．） 已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+.（Ⅰ）若2'()1xf x x ax ≤++，求a 的取值范围； （Ⅱ）证明：(1)()0x f x -≥ .（21）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(1,0)K -的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D .（Ⅰ）证明：点F 在直线BD 上；（Ⅱ）设89FA FB =，求BDK ∆的内切圆M 的方程 .（22）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知数列{}n a 中，1111,n na a c a +==-. （Ⅰ）设51,22n n c b a ==-，求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求使不等式13n n a a +<<成立的c 的取值范围 .普通高等学校招生全国统一考试一、选择题(1)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A B ，则集合[u（AB ）中的元素共有（A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个 （2）已知1iZ＋=2+I,则复数z= （A ）-1+3i (B)1-3i (C)3+I (D)3-i (3) 不等式11X X +-＜1的解集为 （A ）｛x }{}011x x x 〈〈〉 (B){}01x x 〈〈（C ）{}10x x -〈〈 (D){}0x x 〈(4)设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切，则该双曲线的离心率等于（A （B ）2 （C （D(5) 甲组有5名同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。