人教版高中数学选修2-1 练习：2-3-1 双曲线及其标准方程
04课后课时精练
一、选择题
1．在方程mx 2＋ny 2＝n 中，若mn <0，则方程表示的曲线是( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在x 轴上的双曲线 C ．焦点在y 轴上的椭圆 D ．焦点在y 轴上的双曲线 解析：方程可化为x 2n m ＋y 2
＝1，
∵mn <0，∴n
m <0.
∴方程表示焦点在y 轴上的双曲线． 答案：D
2．[2014·福建宁德一模]已知椭圆x 2a 2＋y 29＝1(a >0)与双曲线x 24－y 2
3＝1有相同的焦点，则a 的值为( )
A. 2
B. 10
C. 4
D. 34
解析：因为椭圆x 2a 2＋y 29＝1(a >0)与双曲线x 24－y 2
3＝1有相同的焦点(±7，0)，则有a 2－9＝7，∴a ＝4.选C.
答案：C
3．已知双曲线x 225－y 2
9＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，若双曲线的左支上有一点M 到右焦点F 2的距离为18，N 是MF 2的中点，O 为坐标原点，则|NO |等于( )
A.23 B ．1 C ．20
D ．4
解析：NO 为△MF 1F 2的中位线，所以|NO |＝1
2|MF 1|，又由双曲线的定义，知|MF 2|－|MF 1|＝10，因为|MF 2|＝18，所以|MF 1|＝8，所以|NO |＝4，故选D.
答案：D
4．若椭圆x 2a ＋y 2b ＝1(a >b >0)和双曲线x 2m －y 2
n ＝1(m >0，n >0)有相同的焦点F 1、F 2，P 是椭圆与双曲线的交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是( )
A ．a －m B.1
4(a －m ) C ．a 2－m 2
D.a －m
解析：由椭圆和双曲线的定义可得
⎩⎪⎨⎪⎧
|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，||PF 1|－|PF 2||＝2m ，
两式平方相减得4|PF 1|·|PF 2|＝4(a －m )， ∴|PF 1|·|PF 2|＝a －m . 答案：A
5．若ab ≠0，则ax －y ＋b ＝0和bx 2＋ay 2＝ab 所表示的曲线只可能是下图中的( )
解析：方程可化为y ＝ax ＋b 和x 2a ＋y 2
b ＝1.从选项B ，D 中的两个椭圆看，a 、b ∈(0，＋∞)，但由B 中直线可知a <0，b <0，矛盾，应排除B ；由D 中直线可知a <0，b >0，矛盾，应排除D ；再由A 中双曲线可知a <0，b >0，但直线中a >0，b >0，也矛盾，应排除A ；由C 中的双曲线可知a >0，b <0，和直线中a >0，b <0一致．应选C.
答案：C
6．[2014·江西高考]过双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )
A. x 24－y 2
12＝1 B. x 27－y 2
9＝1 C. x 28－y 2
8＝1
D. x 212－y 2
4＝1
解析：本题考查双曲线的标准方程与几何性质，意在考查考生灵活运用所学知识分析问题、解决问题的能力．设双曲线的右焦点为F ，则F (c,0)(其中c ＝a 2＋b 2)，且c ＝|OF |＝r ＝4，不妨将直线x ＝a 代入双曲线的一条渐近线方程y ＝b
a x ，得y ＝
b ，则A (a ，b )．由|F A |＝r ＝4，得
a －
2
＋b 2＝4，即a 2－8a ＋16＋b 2＝16，所以c 2－8a ＝
0，所以8a ＝c 2＝42，解得a ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝16－4＝12，所以所求双曲线的方程为x 24－y 2
12＝1.
答案：A 二、填空题
7. [2014·北京高考]设双曲线C 的两个焦点为(－2，0)，(2，0)，
一个顶点是(1,0)，则C 的方程为________．
解析：本题考查双曲线的基本性质以及标准方程．根据已知条件可判断双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，所以a ＝1，c ＝2，于是b 2＝c 2－a 2＝1，所以方程为x 2－y 2＝1.
答案：x 2－y 2＝1
8．与双曲线x 216－y 2
4＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线的标准方程是________．
解析：解法一：设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)，因为双曲线过点(32，2)，所以
2
2
a 2－22
b 2＝1， ①
通过计算可知c ＝25，所以a 2＋b 2＝(25)2. ②
由①②得⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2＝12，
b 2＝8.
故所求双曲线的标准方程为x 212－y 2
8＝1.
解法二：设双曲线方程为x 216－k －y 2
4＋k ＝1(－4<k <16)，将点(32，
2)代入，得2216－k －22
4＋k
＝1，
解得k ＝4或k ＝－14(舍去)，所以双曲线的标准方程为x 212－y 2
8＝1.
答案：x 212－y 2
8＝1
9．过双曲线x 2144－y 2
25＝1的一个焦点作x 轴的垂线，则垂线与双
曲线的交点到两焦点的距离分别为________．
解析：∵双曲线方程为x 2144－y 2
25＝1，∴c ＝144＋25＝13，F 1(－13,0)，F 2(13,0)．
设过F 1垂直于x 轴的直线l 交双曲线于A (－13，y )(y >0)，∴y 2
25＝132144－1＝25144.
∴y ＝2512，即|AF 1|＝2512. 又∵|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝24， ∴|AF 2|＝24＋2512＝313
12. 故所求距离分别为：2512、313
12. 答案：2512、31312 三、解答题
10．设双曲线与椭圆x 227＋y 2
36＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4，求此双曲线的方程．
解：解法一：设双曲线的方程为y 2a 2－x 2
b 2＝1(a >0，b >0)，由题意知
c 2＝36－27＝9，c ＝3.
又点A 的纵坐标为4，则横坐标为15，于是有
⎩⎨⎧
42a 2－152
b 2
＝1，
a 2
＋b 2
＝9.
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＝4，
b 2＝5.
所以双曲线方程为y 24－x 2
5＝1.
解法二：将点A 的纵坐标代入椭圆方程得A (15，4)，又两焦点分别为F 1(0,3)、F 2(0，－3)．
所以2a ＝
15－2
＋
＋
2
－
15－
2
＋
－
2
＝8－4＝4，a ＝2，
∴b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5， 所以双曲线方程为y 24－x 2
5＝1.
解法三：由题意设双曲线方程为x 227－λ＋y 2
36－λ＝1(27<λ<36)，将
A (15，4)代入得，λ＝32，λ＝0(舍去)．所以所求双曲线方程为y 24－x 2
5＝1.
11．已知椭圆x 2＋2y 2＝32的左、右两个焦点分别为F 1，F 2，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝4.求动点P 的轨迹E 的方程．
解：由椭圆的方程可化为x 232＋y 2
16＝1，
得|F 1F 2|＝2c ＝232－16＝8，|PF 1|－|PF 2|＝4<8. ∴动点P 的轨迹E 是以F 1(－4,0)，F 2(4,0)为焦点， 2a ＝4，a ＝2的双曲线的右支，
由a ＝2，c ＝4得b 2＝c 2－a 2＝16－4＝12， 故其方程x 24－y 2
12＝1(x ≥2)．
12．A 、B 、C 是我方三个炮兵阵地，A 在B 正东6千米，C 在B 北偏西30°，相距4千米，P 为敌炮阵地，某时刻A 处发现敌炮阵地的某种信号，由于B 、C 两地比A 距P 地远，因此4 s 后，B 、C 才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s ，A 若炮击P 地，求炮击的方向角．
解：如图，以直线BA 为x 轴，线段BA 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则
B (－3,0)，A (3,0)，
C (－5，23)．
因为|PB |＝|PC |，所以点P 在线段BC 的垂直平分线上． 设敌炮阵地的坐标为(x ，y )，
因为k BC ＝－3，BC 中点D (－4，3)，所以直线l PD ：y －3＝
1
3(x ＋4)．①
又|PB |－|P A |＝4，故P 在以A 、B 为焦点的双曲线右支上． 则双曲线方程为x 24－y 2
5＝1(x >0)．② 联立①②式，得x ＝8，y ＝53， 所以P 的坐标为(8,53)．
因此k P A ＝53
8－3
＝ 3.故炮击的方向角为北偏东30°.。
人教b版选修2-1 2-3-1双曲线的标准方程.docx
2.3.1双曲线的标准方程一、选择题1．已知点F 1(0，－13)，F 2(0,13)，动点P 到F 1与F 2的距离之差的绝对值为26，则动点P 的轨迹方程为( )A ．y ＝0B ．y ＝0(|x |≥13)C ．x ＝0(|y |≥13)D ．以上都不对[答案] C[解析] ||PF 1|－|PF 2||＝|F 1F 2|，∴x ＝0.2．双曲线x 216－y 29＝1的焦点坐标为( ) A ．(－7，0)，(7，0)B ．(0，－7)，(0，7)C ．(－5,0)，(5,0)D ．(0，－5)，(0,5)[答案] C[解析] 16＋9＝c 2＝25，∴c ＝5，∵焦点在x 轴上，∴(－5,0)，(5,0)为焦点坐标．3．已知定点A ，B ，且|AB |＝4，动点P 满足|P A |－|PB |＝3，则|P A |的最小值为( )A.12B.32C.72 D ．5[答案] C[解析] 点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线的右支，如右图所示，当P 与双曲线右支顶点M 重合时，|P A |最小，最小值为a ＋c ＝32＋2＝72.故选C.4．已知双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，点A ，B 在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB |＝m ，F 1为另一焦点，则△ABF 1的周长为( )A ．2a ＋2mB ．4a ＋2mC ．a ＋mD ．2a ＋4m[答案] B[解析] 由双曲线定义知|AF 1|－|AF 2|＝2a ，|BF 1|－|BF 2|＝2a ，∴|AF 1|＋|BF 1|－(|AF 2|＋|BF 2|)＝4a .又|AF 1|＋|BF 1|＝AB ＝m ，∴△ABF 1周长为|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝4a ＋2m .5．设P 为双曲线x 2－y 212＝1上的一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点．若|PF 1|：|PF 1|＝3：2，则△PF 1F 2的面积为( )A ．6 3B ．12C ．12 3D ．24 [答案] B[解析] 设|PF 1|＝x ，|PF 2|＝y ，则⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝2，x y ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6y ＝4又|F 1F 2|＝213 由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝16＋36－4×132×4×6＝0. ∴S △PF 1F 2＝12x ·y ·sin ∠F 1PF 2＝4×6×12×1＝12. 6．若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m >n >0)和双曲线x 2a －y 2b＝1(a >0.b >0)有相同的焦点，P 是两曲线上的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值为( )A ．m －aB ．m －bC ．m 2－a 2 D.m －b[答案] A[解析] 由题意|PF 1|＋|PF 2|＝2m ，|PF 1|－|PF 2|＝2a 整理得|PF 1|·|PF 2|＝m －a ，选A.7．方程x 24－t ＋y 2t －2＝1所表示的曲线为C ，有下列命题： ①若曲线C 为椭圆，则2<t <4；②若曲线C 为双曲线，则t >4或t <2；③曲线C 不可能是圆；④若曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，则3<t <4.以上命题正确的是( )A ．②③B ．①④C ．②④D ．①②④ [答案] C[解析] 若C 为圆，则4－t ＝t －2>0，∴t ＝3.当t ＝3，C 表示圆，∴③不正确．若C 为椭圆，则⎩⎪⎨⎪⎧ 4－t >0，t －2>0，4－t ≠t －2.∴2<t <4，且t ≠3，故①不正确，故选C.8．设θ∈(34π，π)则关于x ，y 的方程x 2csc θ－y 2sec θ＝1 所表示的曲线是( ) A ．焦点在y 轴上的双曲线B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．长轴在y 轴上的椭圆D ．焦点在x 轴上的椭圆[答案] C[解析] 方程即是x 2sin θ＋y 2－cos θ＝1，因θ∈(3π4，π)，∴sin θ>0，cos θ<0，且－cos θ>sin θ，故方程表示长轴在y 轴上的椭圆，故答案为C.9．已知平面内有一定线段AB ，其长度为4，动点P 满足|P A |－|PB |＝3，O 为AB 的中点，则|PO |的最小值为( )A ．1B.32 C ．2D ．4 [答案] B[解析] 由已知，P 点轨迹为以A ，B 为焦点，2a ＝3的双曲线一支，顶点到原点距离最小，∴|PO |的最小值为32，故选B.10．设F 1，F 2是双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1|·|PF 2|的值等于( )A ．2B ．2 2C ．4D ．8[答案] A[解析] ∵PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1→⊥PF 2→.又||PF 1|－|PF 2||＝4，|PF 1|2＋|PF 2|2＝20，∴(|PF 1|－|PF 2|)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝20－2|PF 1|·|PF 2|＝16，∴|PF 1|·|PF 2|＝2.二、填空题11．双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点为(0,3) ，那么k 的值为________．[答案] k ＝－1[解析] 方程为x 21k －y 28k＝1，∵焦点为(0,3)，∴k <0且(－8k )＋(－1k)＝9，∴k ＝－1. 12．若双曲线x 2－y 2＝1右支上一点P (a ，b )到直线y ＝x 的距离是2，则a ＋b ＝________.[答案] 12[解析] p (a ，b )点到y ＝x 的距离d ＝|a －b |2， ∵P (a ，b )在y ＝x 下方，∴a >b ∴a －b ＝2，又a 2－b 2＝1，∴a ＋b ＝12. 13．设圆过双曲线x 29－y 216＝1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是________．[答案] 163 [解析] 如图所示，设圆心P (x 0，y 0)，则|x 0|＝c ＋a 2＝4，代入x 29－y 216＝1， 得y 20＝16×79，∴|OP |＝x 20＋y 20＝163. 14．双曲线x 216－y 29＝1的两个焦点为F 1，F 2，点P 在双曲线上，若PF 1⊥F 1F 2，则点P 到x 轴的距离为______．[答案] 94[解析] ∵F 1(－5,0)，PF 1⊥F 1F 2.设P (－5，y P )∴2516－y 2P 9＝1，即y 2P ＝8116，∴|y P |＝94， ∴点P 到x 轴的距离为94. 三、解答题15．已知方程kx 2＋y 2＝4，其中k 为实数，对于不同范围的k 值分别指出方程所表示的曲线类型．[解析] 当k ＝0时，y ＝±2，表示两条与x 轴平行的直线．当k ＝1时，方程为x 2＋y 2＝4，表示圆心在原点上，半径为2的圆．当k <0时，方程y 24＋x 24k＝1，表示焦点在y 轴上的双曲线． 当0<k <1时，方程x 24k＋y 24＝1，表示焦点在x 轴上的椭圆． 当k >1时，方程x 24k＋y 24＝1，表示焦点在y 轴上的椭圆． 16．在△ABC 中，BC 固定，A 点为动点，设|BC |＝8，且|sin C －sin B |＝12sin A ，求A 点的轨迹方程．[解析] 以BC 所在直线为x 轴，以线段BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则B (－4,0)，C (4,0)．设A (x ，y )，则由正弦定理知，sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R，代入|sin C －sin B |＝12sin A ，得|c －b |＝12a ＝4，且|BC |＝8>4，故由双曲线定义知，A 点在以B ，C 为焦点的双曲线上，2a 0＝4，∴a 0＝2,2c 0＝8，c 0＝4，∴b 20＝c 20－a 20＝16－4＝12，即点A 的轨迹方程为x 24－y 212＝1(y ≠0)． 17．设双曲线x 24－y 29＝1，F 1，F 2是其两个焦点，点M 在双曲线上． (1)若∠F 1MF 2＝90°，求△F 1MF 2的面积；(2)若∠F 1MF 2＝60°时，△F 1MF 2的面积是多少？若∠F 1MF 2＝120°时，△F 1MF 2的面积又是多少？[解析] (1)由双曲线方程知a ＝2，b ＝3，c ＝13，设|MF 1|＝r 1，|MF 2|＝r 2(r 1>r 2)如图所示．由双曲线定义，有r 1－r 2＝2a ＝4.两边平方得r 21＋r 22－2r 1·r 2＝16， 因为∠F 1MF 2＝90°，所以r 21＋r 22＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝52，所以r 1r 2＝18，所以S △F 1MF 2＝9.(2)若∠F 1MF 2＝60°，在△MF 1F 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos60°|F 1F 2|2＝(r 1－r 2)2＋r 1r 2，得r 1r 2＝36，所以S △F 1MF 2＝12r 1r 2sin60°＝9 3. 同理，当∠F 1MF 2＝120°，S △F 1MF 2＝3 3.18．如图所示，某村在P 处有一堆肥，今要把此堆肥料沿道路P A 或PB 送到成矩形的一块田ABCD 中去，已知P A ＝100m ，BP ＝150m ，BC ＝60m ，∠APB ＝60°，能否在田中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路P A 送肥较近而另一侧的点则沿PB 送肥较近？如果能，请说出这条界线是什么曲线，并求出它的方程．[解析] 田地ABCD 中的点可分为三类：第一类沿P A 送肥近，第二类沿PB 送肥较近，第三类沿P A 或PB 送肥一样近，由题意知，界线是第三类点的轨迹．设M 是界线上的任一点，则|P A |＋|MA |＝|PB |＋|MB |，即|MA |－|MB |＝|PB |－|P A |＝50(定值)故所求界线是以A 、B 为焦点的双曲线一支．若以直线AB 为x 轴，线段AB 的中点O 为坐标原点，建立直角坐标系，则所求双曲线为x 2a 2－y 2b 2＝1，其中a ＝25，2c ＝|AB |＝1002＋1502－2·100·150·cos60° ＝507.∴c ＝257，b 2＝c 2－a 2＝3750.因此，双曲线方程为x 2625－y 23750＝1(25≤x ≤35，y ≥0)， 即为所求界线的方程．。
高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习：2-3-1双曲线的标准方程
2.3.1双曲线的标准方程一、选择题1．已知点F 1(0，－13)，F 2(0,13)，动点P 到F 1与F 2的距离之差的绝对值为26，则动点P 的轨迹方程为( )A ．y ＝0B ．y ＝0(|x |≥13)C ．x ＝0(|y |≥13)D ．以上都不对 [答案] C[解析] ||PF 1|－|PF 2||＝|F 1F 2|，∴x ＝0. 2．双曲线x 216－y29＝1的焦点坐标为( )A ．(－7，0)，(7，0)B ．(0，－7)，(0，7)C ．(－5,0)，(5,0)D ．(0，－5)，(0,5) [答案] C[解析] 16＋9＝c 2＝25，∴c ＝5，∵焦点在x 轴上，∴(－5,0)，(5,0)为焦点坐标．3．已知定点A ，B ，且|AB |＝4，动点P 满足|P A |－|PB |＝3，则|PA |的最小值为( ) A.12 B.32 C.72D ．5[答案] C[解析] 点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线的右支，如右图所示，当P 与双曲线右支顶点M 重合时，|PA |最小，最小值为a ＋c ＝32＋2＝72.故选C.4．已知双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，点A ，B 在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB |＝m ，F 1为另一焦点，则△ABF 1的周长为( )A ．2a ＋2mB ．4a ＋2mC ．a ＋mD ．2a ＋4m[答案] B[解析] 由双曲线定义知|AF 1|－|AF 2|＝2a ， |BF 1|－|BF 2|＝2a ，∴|AF 1|＋|BF 1|－(|AF 2|＋|BF 2|)＝4a . 又|AF 1|＋|BF 1|＝AB ＝m ，∴△ABF 1周长为|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝4a ＋2m .5．设P 为双曲线x 2－y212＝1上的一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点．若|PF 1|：|PF 1|＝3：2，则△PF 1F 2的面积为( )A ．6 3B ．12C ．12 3D ．24[答案] B[解析] 设|PF 1|＝x ，|PF 2|＝y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝2，x y ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6y ＝4又|F 1F 2|＝213由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝16＋36－4×132×4×60.∴S △PF 1F 2＝12x ·y ·sin ∠F 1PF 2＝4×6×12×1＝12.6．若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m >n >0)和双曲线x 2a －y 2b ＝1(a >0.b >0)有相同的焦点，P 是两曲线上的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值为( )A ．m －aB ．m －bC ．m 2－a 2 D.m －b[答案] A[解析] 由题意|PF 1|＋|PF 2|＝2m ，|PF 1|－|PF 2|＝2a 整理得|PF 1|·|PF 2|＝m －a ，选A. 7．方程x 24－t ＋y2t －2＝1所表示的曲线为C ，有下列命题：①若曲线C 为椭圆，则2<t <4； ②若曲线C 为双曲线，则t >4或t <2； ③曲线C 不可能是圆；④若曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，则3<t <4. 以上命题正确的是( ) A ．②③ B ．①④ C ．②④D ．①②④[答案] C[解析] 若C 为圆，则4－t ＝t －2>0，∴t ＝3. 当t ＝3，C 表示圆，∴③不正确． 若C 为椭圆，则⎩⎪⎨⎪⎧4－t >0，t －2>0，4－t ≠t －2.∴2<t <4，且t ≠3， 故①不正确，故选C.8．设θ∈(34π，π)则关于x ，y 的方程x 2csc θ－y 2sec θ＝1 所表示的曲线是( )A ．焦点在y 轴上的双曲线B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．长轴在y 轴上的椭圆D ．焦点在x 轴上的椭圆 [答案] C[解析] 方程即是x 2sin θ＋y 2－cos θ＝1，因θ∈(3π4，π)，∴sin θ>0，cos θ<0，且－cos θ>sin θ，故方程表示长轴在y 轴上的椭圆，故答案为C.9．已知平面内有一定线段AB ，其长度为4，动点P 满足|PA |－|PB |＝3，O 为AB 的中点，则|PO |的最小值为( )A ．1 B.32 C ．2D ．4[答案] B[解析] 由已知，P 点轨迹为以A ，B 为焦点，2a ＝3的双曲线一支，顶点到原点距离最小，∴|PO |的最小值为32，故选B.10．设F 1，F 2是双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1|·|PF 2|的值等于( )A ．2B ．2 2C ．4D ．8[答案] A[解析] ∵PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1→⊥PF 2→. 又||PF 1|－|PF 2||＝4，|PF 1|2＋|PF 2|2＝20，∴(|PF 1|－|PF 2|)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝20－2|PF 1|·|PF 2|＝16， ∴|PF 1|·|PF 2|＝2.11．双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点为(0,3) ，那么k 的值为________． [答案] k ＝－1[解析] 方程为x 21k －y 28k ＝1，∵焦点为(0,3)，∴k <0且(－8k )＋(－1k )＝9，∴k ＝－1.12．若双曲线x 2－y 2＝1右支上一点P (a ，b )到直线y ＝x 的距离是2，则a ＋b ＝________. [答案] 12[解析] p (a ，b )点到y ＝x 的距离d ＝|a －b |2，∵P (a ，b )在y ＝x 下方，∴a >b ∴a －b ＝2，又a 2－b 2＝1，∴a ＋b ＝12.13．设圆过双曲线x 29－y216＝1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是________．[答案]163[解析] 如图所示，设圆心P (x 0，y 0)，则|x 0|＝c ＋a 2＝4，代入x 29－y 216＝1，得y 20＝16×79，∴|OP |＝x 20＋y 20＝163. 14．双曲线x 216－y 291的两个焦点为F 1，F 2，点P 在双曲线上，若PF 1⊥F 1F 2，则点P到x 轴的距离为______．[答案] 94[解析] ∵F 1(－5,0)，PF 1⊥F 1F 2.设P (－5，y P ) ∴2516－y 2P 91，即y 2P ＝8116，∴|y P |＝94， ∴点P 到x 轴的距离为94.15．已知方程kx 2＋y 2＝4，其中k 为实数，对于不同范围的k 值分别指出方程所表示的曲线类型．[解析] 当k ＝0时，y ＝±2，表示两条与x 轴平行的直线．当k ＝1时，方程为x 2＋y 2＝4，表示圆心在原点上，半径为2的圆． 当k <0时，方程y 24＋x24k ＝1，表示焦点在y 轴上的双曲线．当0<k <1时，方程x 24k ＋y 241，表示焦点在x 轴上的椭圆．当k >1时，方程x 24k＋y 24＝1，表示焦点在y 轴上的椭圆．16．在△ABC 中，BC 固定，A 点为动点，设|BC |＝8，且|sin C －sin B |＝12sin A ，求A 点的轨迹方程．[解析] 以BC 所在直线为x 轴，以线段BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则B (－4,0)，C (4,0)．设A (x ，y )，则由正弦定理知，sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ，代入|sin C－sin B |＝12sin A ，得|c －b |＝12a ＝4，且|BC |＝8>4，故由双曲线定义知，A 点在以B ，C 为焦点的双曲线上，2a 0＝4，∴a 0＝2,2c 0＝8，c 0＝4，∴b 20＝c 20－a 20＝16－4＝12，即点A 的轨迹方程为x 24－y 212＝1(y ≠0)．17．设双曲线x 24－y 29＝1，F 1，F 2是其两个焦点，点M 在双曲线上．(1)若∠F 1MF 2＝90°，求△F 1MF 2的面积；(2)若∠F 1MF 2＝60°时，△F 1MF 2的面积是多少？若∠F 1MF 2＝120°时，△F 1MF 2的面积又是多少？[解析] (1)由双曲线方程知a ＝2，b ＝3，c ＝13， 设|MF 1|＝r 1，|MF 2|＝r 2(r 1>r 2)如图所示．由双曲线定义，有r 1－r 2＝2a ＝4.两边平方得r 21＋r 22－2r 1·r 2＝16，因为∠F 1MF 2＝90°，所以r 21＋r 22＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝52，所以r 1r 2＝18，所以S △F 1MF 2＝9. (2)若∠F 1MF 2＝60°，在△MF 1F 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos60°|F 1F 2|2＝(r 1－r 2)2＋r 1r 2，得r 1r 2＝36， 所以S △F 1MF 2＝12r 1r 2sin60°＝9 3.同理，当∠F 1MF 2＝120°，S △F 1MF 2＝3 3.18．如图所示，某村在P 处有一堆肥，今要把此堆肥料沿道路P A 或PB 送到成矩形的一块田ABCD 中去，已知PA ＝100m ，BP ＝150m ，BC ＝60m ，∠APB ＝60°，能否在田中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA 送肥较近而另一侧的点则沿PB 送肥较近？如果能，请说出这条界线是什么曲线，并求出它的方程．[解析] 田地ABCD 中的点可分为三类：第一类沿P A 送肥近，第二类沿PB 送肥较近，第三类沿P A 或PB 送肥一样近，由题意知，界线是第三类点的轨迹．设M 是界线上的任一点，则 |PA |＋|MA |＝|PB |＋|MB |，即|MA |－|MB |＝|PB |－|PA |＝50(定值)故所求界线是以A 、B 为焦点的双曲线一支．若以直线AB 为x 轴，线段AB 的中点O 为坐标原点，建立直角坐标系，则所求双曲线为x 2a 2－y2b2＝1，其中a ＝25，2c ＝|AB |＝1002＋1502－2·100·150·cos60° ＝507.∴c ＝257，b 2＝c 2－a 2＝3750. 因此，双曲线方程为x2 625－y23750＝1(25≤x≤35，y≥0)，即为所求界线的方程．。
人教版高中数学选修2-1练习：2-3-1双曲线及其标准方程
4 课后课时精练一、选择题1．在方程 mx 2＋ny 2＝ n 中，若 mn<0，则方程表示的曲线是A ．焦点在 x 轴上的椭圆B ．焦点在 x 轴上的双曲线C ．焦点在 y 轴上的椭圆D ．焦点在 y 轴上的双曲线2x分析： 方程可化为 n ＋y 2＝1，n∵ mn<0，∴ m <0.∴方程表示焦点在 y 轴上的双曲线．答案： Dx2y22． [2014 ·福建宁德一模 ] 已知椭圆 a 2＋ 9 ＝1(a>0)与双曲线()x2y 24 －3＝1 有同样的焦点，则 a 的值为 ()A. 2B. 10C. 4D.342222分析： 因为椭圆 x 2＋y＝1(a>0)与双曲线 x －y＝1 有同样的焦点a9 43(± ，，则有a 2－9＝7，∴ a ＝4.选 C.7 0)答案： C2 23．已知双曲线 x －y＝1 的左、右焦点分别为 F 1，F 2，若双曲线25 9的左支上有一点 M 到右焦点 F 2 的距离为 18，N 是 MF 2 的中点，O 为坐标原点，则 |NO|等于 ( )A. 2 B ．13C ．20D ．41分析： NO 为△ MF 1F 2 的中位线，所以 |NO|＝2|MF 1|，又由双曲线的定义，知|MF 2|－|MF 1|＝10，因为 |MF 2|＝ 18，所以 |MF 1|＝8，所以 |NO|＝ 4，应选 D.答案： D4．若椭圆 x2y2＝1(a>b>0)和双曲线 x2－ y2a ＋b m n ＝1(m>0，n>0)有同样的焦点 F 、F ，P 是椭圆与双曲线的交点，则 |PF · 的值是()1 21| |PF 2| 1A ．a －mB.4(a － m)C ．a 2－m2D. a － m分析： 由椭圆和双曲线的定义可得|PF 1|＋|PF 2|＝2 a ，||PF 1|－|PF 2||＝2 m ，两式平方相减得 4|PF 1| ·|PF 2|＝4(a －m)，∴ |PF 1| ·|PF 2|＝a －m.答案： A5．若 ab ≠0，则 ax －y ＋b ＝0 和 bx 2＋ay 2＝ab 所表示的曲线只可能是下列图中的 ( )x 2y 2分析： 方程可化为 y ＝ax ＋b 和 a ＋ b ＝1.从选项 B ，D 中的两个椭圆看， a 、b ∈(0，＋ ∞)，但由 B 中直线可知 a<0，b<0，矛盾，应清除 B ；由 D 中直线可知 a<0，b>0，矛盾，应清除 D ；再由 A 中双曲线可知 a<0，b>0，但直线中 a>0，b>0，也矛盾，应清除 A ；由 C 中的双曲线可知 a>0，b<0，和直线中 a>0，b<0 一致．应选 C.答案： Cx2y26．[2014 ·江西高考 ]过双曲线 C ：a 2－b 2＝1 的右极点作 x 轴的垂线，与 C 的一条渐近线订交于点A.若以 C 的右焦点为圆心、半径为4 的圆经过 A ，O 两点 (O 为坐标原点 )，则双曲线 C 的方程为 ()x 2 y 2x 2 y 2A. 4－12＝1B. 7 －9 ＝1x 2 y 2x 2 y 2C. 8－ 8 ＝1D. 12－ 4＝1分析：此题考察双曲线的标准方程与几何性质， 意在考察考生灵巧运用所学知识剖析问题、 解决问题的能力．设双曲线的右焦点为 F ，则 F(c,0)(此中 c ＝ a 2＋b 2)，且 c ＝|OF|＝r ＝4，不如将直线 x ＝a 代b＝4，得 a －2＋b 2＝4，即 a 2－8a ＋16＋b 2＝16，所以 c 2－8a ＝ ，所以 8a ＝ 2＝42，解得 a ＝2，所以 b 2＝c 2－a 2＝16－4＝12，所以 0 c2 2 所求双曲线的方程为 x － y＝1.412答案： A 二、填空题7. [2014 北·京高考 ]设双曲线 C 的两个焦点为 (－ 2，0)，( 2，0)，一个极点是 (1,0)，则 C 的方程为 ________．分析：此题考察双曲线的基天性质以及标准方程． 依据已知条件可判断双曲线的中心在座标原点， 焦点在 x 轴上，所以 a ＝1，c ＝ 2，于是 b 2＝c 2－a 2＝1，所以方程为 x 2－y 2＝ 1.答案： x 2－y 2＝1x 2y 28．与双曲线 16－ 4 ＝1 有公共焦点，且过点 (3 2，2)的双曲线的标准方程是 ________．x 2 y 2分析：解法一：设双曲线的标准方程为a 2－b 2＝1(a>0，b>0)，因为双曲线过点 (3 2，2)，所以2222a 2－b 2＝1，①经过计算可知 c ＝2 5，所以 a 2＋b 2＝(2 5)2. ②a 2＝12，由①②得b 2＝8.故所求双曲线的标准方程为 x 2－y 2＝1.12 8解法二：设双曲线方程为x 2－ y 2＝ 1(－4<k<16)，将点 (3 2，16－k 4＋k2)代入，得2 2 － 22＝1，16－k 4＋kx2y 2解得 k ＝4 或 k ＝－ 14(舍去 )，所以双曲线的标准方程为12－ 8 ＝1.x 2 y 2答案： 12－ 8 ＝1x2y 29．过双曲线 144－25＝1 的一个焦点作 x 轴的垂线，则垂线与双曲线的交点到两焦点的距离分别为 ________．分析： ∵双曲线方程为 x 2 － y 2＝1，∴c ＝ 144＋25＝13，F 1(－144 2513,0)， F 2(13,0)．设过 F 1 垂直于 x 轴的直线 l 交双曲线于 A(－13，y)(y>0)，∴y 2＝25132 25144－1＝144.∴ y ＝25，即 |AF 1|＝25.12 12又∵ |AF 2|－ |AF 1|＝2a ＝24，25 313∴ |AF 2|＝24＋12＝ 12 .25 313故所求距离分别为： 12、 12 .25 313答案： 12、 12三、解答题10．设双曲线与椭圆 x 2＋ y2 ＝1 有同样的焦点，且与椭圆订交，27 36一个交点 A 的纵坐标为 4，求此双曲线的方程．y2x2解：解法一：设双曲线的方程为 a 2－b 2＝1(a>0，b>0)，由题意知c 2＝36－27＝9，c ＝3.又点 A 的纵坐标为 4，则横坐标为 15，于是有42 152a 2＝4，a 2 －b 2＝1，解得22b 2＝5.a ＋b ＝9.y 2x 2所以双曲线方程为 4 － 5 ＝1.解法二：将点 A 的纵坐标代入椭圆方程得A(15，4)，又两焦点分别为 F1(0,3)、F2(0，－ 3)．所以 2a＝15－2＋＋2－15－2＋－2＝8－4＝4，a＝2，∴b2＝c2－a2＝9－4＝5，y2x2所以双曲线方程为4－5＝1.解法三：由题意设双曲线方程为x2＋y2＝1(27<λ<36)，将27－λ 36－λA( 15，4)代入得，λ＝32，λ＝0(舍去 )．所以所求双曲线方程为y2x2 4－5＝1.11．已知椭圆 x2＋2y2＝32 的左、右两个焦点分别为F1，F2，动点 P 知足 |PF1|－|PF2|＝4.求动点 P 的轨迹 E 的方程．x2y2解：由椭圆的方程可化为32＋16＝1，得 |F1F2|＝2c＝2 32－16＝8，|PF1|－|PF2|＝4<8.∴动点 P 的轨迹 E 是以 F1(－4,0)，F2(4,0)为焦点，2a＝4，a＝2 的双曲线的右支，由 a＝2，c＝4 得 b2＝c2－a2＝16－4＝12，x2y2故其方程4－12＝1(x≥2)．12．A、B、C 是我方三个炮兵阵地， A 在 B 正东 6 千米， C 在 B 北偏西 30°，相距 4 千米， P 为敌炮阵地，某时辰 A 处发现敌炮阵地的某种信号，因为 B、C 两地比 A 距 P 地远，所以 4 s 后， B、C 才同时发现这一信号，此信号的流传速度为 1 km/s，A 若炮击 P 地，求炮击的方向角．解：如图，以直线BA 为 x 轴，线段 BA 的中垂线为 y 轴成立平面直角坐标系，则B(－3,0)，A(3,0)，C(－5，2 3)．因为 |PB|＝|PC|，所以点 P 在线段 BC 的垂直均分线上．设敌炮阵地的坐标为 (x，y)，因为 k ＝－ 3，BC 中点 D(－4， 3)，所以直线 lPD ：y－3＝1BC3 (x＋4)．①又 |PB|－|PA|＝4，故 P 在以 A、B 为焦点的双曲线右支上．x2y2则双曲线方程为4－5＝1(x>0)．②联立①②式，得x＝8， y＝5 3，所以 P 的坐标为 (8,5 3)．5 3所以 k PA＝8－3＝ 3.故炮击的方向角为北偏东30°.。
高中数学人教A版选修2-1练习课件：2-3-1 双曲线及其标准方程
y2 x2 当m<0，n>0时，方程为 － ＝1表示焦点在y轴上的双曲 1 1 － n m 线，此时a＝ 1 n，b＝ 1 －m. 在求双曲线的标准方程时，若
焦点的位置不确定，则常考虑上述设法.
No.1 例1
双曲线的定义 x2 y2 P 是双曲线 － ＝1 上一点，F1、F2 是双曲线的两 64 36
这种关系吗？ 提示：不存在这种关系．椭圆中规定b2＝a2－c2，故a>b， 而双曲线中规定b2＝c2－a2，因而a，b大小就无法确定了．
3. 双曲线x2－4y2＝1的焦距________．
2 y 1 5 2 2 2 2 提示：由x － 1 ＝1和a ＝1，b ＝4，则c ＝4，所以2c＝ 5. 4
x2 y2 (4)当 0<k<1 时， 方程为 ＋ ＝1， 表示焦点在 x 轴上的椭圆； 4 4 k x2 y2 (5)当 k>1 时，方程为 4 ＋ 4 ＝1，表示焦点在 y 轴上的椭圆. k
No.2
双曲线的标准方程
例2 求满足下列条件的双曲线的标准方程． 3 4 7 (1)焦点在坐标轴上，且过M(－2，2 5)，N( 3 ，4)两点； 3 5 (2)两焦点F1(－5,0)，F2(5,0)，且过P( ，2)． 2
[针对训练1]
已知方程 kx2＋y2＝4，其中 k 为实数，对于不
同范围的 k 值分别指出方程所表示的曲线类型．
[解]
(1)当 k＝0 时，y＝± 2，表示两条与 x 轴平行的直线；
(2)当 k＝1 时，方程为 x2＋y2＝4，表示圆心在原点，半径为 2 的圆； y2 x2 (3)当 k<0 时，方程为 － ＝1，表示焦点在 y 轴上的双曲 4 4 － k 线；
【专业资料】新版高中数学人教A版选修2-1习题：第二章圆锥曲线与方程 2.3.1 含解析
2.3 双曲线2.3.1 双曲线及其标准方程课时过关·能力提升基础巩固1已知双曲线方程为x 2-2y 2=1,则它的右焦点坐标为 () A.(√22,0) B.(√52,0) C.(√62,0) D.(√3,0)双曲线方程化为标准方程为x 2-y 212=1,∴a 2=1,b 2=12.∴c 2=a 2+b 2=32.∴c=√62,故右焦点坐标为(√62,0).2若双曲线x 2a 2−y 25=1与椭圆x 225+y 216=1有共同的焦点,且a>0,则a 的值为( )A.2B.√14C.√46D.6椭圆x 2+y 2=1的焦点坐标为(±3,0),∴a 2+5=9,∴a 2=4.∵a>0,∴a=2.3若方程y 24−x 2m+1=1表示双曲线,则实数m 的取值范围是( )A.-1<m<3B.m>-1C.m>3D.m<-1方程y 24−x 2m+1=1是双曲线,∴m+1>0,∴m>-1.4已知双曲线的一个焦点坐标为(√6,0),且经过点(-5,2),则双曲线的标准方程为( )A.x 2-y 2=1 B.y 2-x 2=1C.x 225-y 2=1D.x 24−y 22=15平面内有两个定点F 1(-5,0)和F 2(5,0),动点P 满足|PF 1|-|PF 2|=6,则动点P 的轨迹方程是( ) A.x 216−y 29=1(x ≤-4) B.x 29−y 216=1(x ≤-3) C.x 216−y 29=1(x ≥4)D.x 29−y 216=1(x ≥3)6已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F 1(-√5,0),点P 位于该双曲线上,线段PF 1的中点坐标为(0,2),则该双曲线的标准方程是 .2-y 24=17已知双曲线x 29−y 216=1上一点M 的横坐标为5,则点M 到左焦点的距离是 .8已知双曲线的两个焦点F 1(-√5,0),F 2(√5,0),P 是双曲线上一点,且PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,|PF 1|·|PF 2|=2,则双曲线的标准方程为 .2=1 9已知双曲线的实半轴长a=4,且经过点A (1,4√103),求双曲线的标准方程. 若设所求双曲线方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0),则将a=4代入,得x 216−y 2b 2=1. 又点A (1,4√103)在双曲线上,∴116−1609b2=1. 由此得b 2<0,∴不合题意,舍去.若设所求双曲线方程为y 2a 2−x 2b 2=1(a>0,b>0), 则将a=4代入,得y 216−x 2b2=1, 代入点A (1,4√103),得b 2=9,故双曲线的标准方程为y 2−x 2=1.10已知F 1,F 2是双曲线x 29−y 216=1的两个焦点,若P 是双曲线左支上的点,且|PF 1|·|PF 2|=32.试求△F 1PF 2的面积.P 是双曲线左支上的点,所以|PF 2|-|PF 1|=6,两边平方得|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1|·|PF 2|=36.所以|PF 1|2+|PF 2|2=36+2|PF 1|·|PF 2|=36+2×32=100.在△F 1PF 2中,由余弦定理,得cos ∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2| =100-1002|PF 1|·|PF 2|=0,所以∠F 1PF 2=90°. 所以S △F 1PF 2=12|PF 1|·|PF 2|=12×32=16.能力提升1已知F 1(-5,0),F 2(5,0)为定点,动点P 满足|PF 1|-|PF 2|=2a ,当a=3和a=5时,点P 的轨迹分别为( )A.双曲线和一条直线B.双曲线的一支和一条直线C.双曲线和一条射线D.双曲线的一支和一条射线|F 1F 2|=10,|PF 1|-|PF 2|=2a ,∴当a=3时,2a=6<|F 1F 2|,此时轨迹为双曲线的一支;当a=5时,2a=10=|F 1F 2|,此时轨迹为一条射线.2若点M 在双曲线x 216−y 24=1上,双曲线的焦点为F 1,F 2,且|MF 1|=3|MF 2|,则|MF 2|=( ) A.2B.4C.8D.12|MF 1|=3|MF 2|,且由双曲线的定义知|MF 1|-|MF 2|=2a=8,∴2|MF 2|=8,∴|MF 2|=4.3“k>3”是“方程x 23-k +y 2k -1=1表示双曲线”的( )A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件k>3时,3-k<0,k-1>0,此时方程x 2+y 2=1表示双曲线.反之,若方程x 23-k +y 2k -1=1表示双曲线,则有(3-k )(k-1)<0,即k>3或k<1.故“k>3”是“方程x 23-k +y 2k -1=1表示双曲线”的充分不必要条件.4已知F 1,F 2为双曲线C :x 2-y 2=2的左、右焦点,点P 在双曲线C 上,|PF 1|=2|PF 2|,则cos ∠F 1PF 2=( )A.14B.35C.34D.45,a=√2=b ,则c=2.设|PF 1|=2x ,|PF 2|=x ,则|PF 1|-|PF 2|=x=2a=2√2,故|PF 1|=4√2,|PF 2|=2√2,|F 1F 2|=4.利用余弦定理,得cos ∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|=√2)2√2)222×2√2×4√2=34.5已知点F 1,F 2分别是双曲线x 2a 2−y 29=1(a>0)的左、右焦点,P 是该双曲线上的一点,且|PF 1|=2|PF 2|=16,则△PF 1F 2的周长是 .|PF 1|=2|PF 2|=16,∴|PF 1|-|PF 2|=16-8=8=2a ,∴a=4.又∵b 2=9,∴c 2=25,∴2c=10.∴△PF 1F 2的周长为|PF 1|+|PF 2|+|F 1F 2|=16+8+10=34.★6已知F 是双曲线x 24−y 212=1的左焦点,A (1,4),P 是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为 .,已知F (-4,0),设F'为双曲线的右焦点,则F'(4,0),点A (1,4)在双曲线两支之间.由双曲线的定义,得|PF|-|PF'|=2a=4,所以|PF|+|PA|=4+|PF'|+|PA|≥4+|AF'|=4+5=9.当且仅当A ,P ,F'三点共线时,取等号.7动圆C与定圆C1:(x+3)2+y2=9,C2:(x-3)2+y2=1都外切,求动圆圆心C的轨迹方程.,由题意,得定圆圆心C1(-3,0),C2(3,0),半径r1=3,r2=1,设动圆圆心为C(x,y),半径为r,则|CC1|=r+3,|CC2|=r+1.两式相减,得|CC1|-|CC2|=2,则点C的轨迹为以C1,C2为焦点,实轴长为2的双曲线的右支.∵a=1,c=3,∴b2=c2-a2=8.∴方程为x2-y 28=1(x≥1).8已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在双曲线C上,∠F1PF2=60°,求点P到x轴的距离.||PF1|-|PF2||=2,所以|PF1|2-2|PF1|·|PF2|+|PF2|2=4,所以|PF1|2+|PF2|2=4+2|PF1|·|PF2|,由余弦定理知|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2=2|PF1|·|PF2|cos 60°,得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2+|PF1|·|PF2|,又a=1,b=1,所以c=√a2+b2=√2,所以|F1F2|=2c=2√2,所以4+2|PF1||PF2|=|PF1|·|PF2|+8,所以|PF1|·|PF2|=4.设点P到x轴的距离为|y0|,S△PF1F2=12|PF1||PF2|sin 60°=12|F1F2|·|y0|,所以1×4×√3=1×2√2|y0|.所以|y0|=√3√2=√62,即点P到x轴的距离为√62.★9某部队进行军事演习,一方指挥中心接到其正西、正东、正北方向三个观测点A,B,C的报告:正西、正北两个观测点同时听到了炮弹的爆炸声,正东观测点听到爆炸声的时间比其他两个观测点晚4 s,已知各观测点到该中心的距离都是1 020 m,试确定该枚炮弹的袭击位置.(声音的传播速度为340 m/s,相关各点均在同一平面内),以指挥中心为原点,正东、正北方向分别为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系,则A(-1 020,0),B(1 020,0),C(0,1 020).设P(x,y)为炮弹的袭击位置,则|PB|-|PA|=340×4<|AB|.由双曲线的定义,知点P在以A,B为焦点的双曲线的左支上,且a=680,c=1 020, 故b2=1 0202-6802=5×3402.因此,双曲线方程为x2 6802−y25×3402=1(x≤-680).①又|PA|=|PC|,因此点P在直线y=-x上,把y=-x代入①式,得x=-680√5.所以P(-680√5,680√5),|OP|=680√10(m).故该枚炮弹的袭击位置在北偏西45°,距指挥中心680√10 m处.。
高二数学人教A版选修2-1(第2.3.1 双曲线及其标准方程) Word版含答案
绝密★启用前2.3.1双曲线及其标准方程一、选择题1．【题文】双曲线x y 222-=8的焦点坐标是（ ）A.()23,0± B.()0,23± C.()2,0± D.()0,2±2．【题文】若双曲线22:1916x y E -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于 （ ）A ．11B ．9C ．5D ．33．【题文】下列曲线中焦点坐标为()1,0-的是（ ）A ．223312x y -=B ．2214x y +=C ．22143x y -= D ．22123x y +=4．【题文】若双曲线22149x y -=上一点P 到左焦点的距离是3，则点P 到右焦点的距离为 （ ）A ．4B ．5C ．6D ．75．【题文】过双曲线228x y -=的左焦点1F 有一条弦PQ 交左支于P 、Q 点，若7PQ =，2F 是双曲线的右焦点，则△2PF Q 的周长是（ ）A ．28B ．1482-C ．1482+D ．826．【题文】椭圆2214x y +=与双曲线2212x y -=有相同的焦点1F 、2F ，P 是这两条曲线的一个交点，则△12F PF 的面积是（ ）A ．4B ．2C ．1D ．127．【题文】过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点1F ，作圆222x y a +=的切线交双曲线右支于点P ，切点为T ，若1PF 的中点M 在第一象限，则以下结论正确的是（ ）A ．b a MO MT -=-B ．b a MO MT ->-C ．b a MO MT -<-D ．b a MO MT -=+8．【题文】已知点P 为双曲线()222210,0x y a b a b -=>>右支上一点，12,F F 分别为双曲线的左，右焦点，且212b F F a=，I 为三角形12PF F 的内心，若1212IPF IPF IF F S SSλ=+成立，则λ的值为（ ）A ．1222+ B ．231- C ．21- D ．21+二、填空题9．【题文】设m 为常数，若点()5,0F 是双曲线2219x y m-=的一个焦点，则m = ．10．【题文】已知双曲线221x y -=，点1F ，2F 为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若12PF PF ⊥，则12PF PF +=_______．11．【题文】若动圆M 与圆1C ：()224+2x+y =外切，且与圆2C ：()224+2x y -=内切，则动圆圆心M 的轨迹方程________．三、解答题12．【题文】求以椭圆22185x y +=的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程．13．【题文】已知命题p ：方程22122x y m m -=-表示焦点在x 轴上的双曲线.命题q ：曲线()2231y x m x =+-+与x 轴交于不同的两点，若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，求实数m 的取值范围.14．【题文】已知()12,0F -，()22,0F ，点P 满足122PF PF -=，记点P 的轨迹为E . （1）求轨迹E 的方程；（2）若直线l 过点2F 且与轨迹E 交于P 、Q 两点，无论直线l 绕点2F 怎样转动，在x 轴上总存在定点(),0M m ，使MP MQ ⊥恒成立，求实数m 的值.2.3.1双曲线及其标准方程参考答案及解析1.【答案】A【解析】双曲线方程整理为222221,4,8,12,2348x ya b c c-=∴==∴=∴=，焦点为()23,0±，故选A.考点：双曲线方程及性质.【题型】选择题 【难度】较易 2. 【答案】B【解析】由双曲线定义得1226PF PF a -==，即236PF -=，解得29PF =， 故选B ．考点：双曲线的标准方程和定义． 【题型】选择题 【难度】较易 3. 【答案】A【解析】双曲线223312x y -=中，223a =，213b =，故2221c a b =+=，焦点为()1,0±，符合题意；椭圆2214x y +=中，焦点为()3,0±，不符合题意；双曲线22143x y -=中，焦点为()7,0±，不符合题意；椭圆22123x y +=中，焦点为()0,1±，不符合题意.故选A.考点：椭圆与双曲线的焦点坐标. 【题型】选择题 【难度】较易 4. 【答案】D【解析】由双曲线方程可知2224,9,13,2,3,13a b c a b c ==∴=∴===，P 到左焦点的距离是3，所以P 在左支上且11223,4,34,PF PF PF PF =∴-=∴-=27PF ∴=.考点：双曲线定义及方程. 【题型】选择题 【难度】较易 5. 【答案】C【解析】由双曲线方程可知22a b ==，884c =+=，根据双曲线的定义， 得2142PF PF -=，2142QF QF -=，∴2142PF PF =+，2142QF QF =+，相加可得221182PF QF PF QF +=++， ∵117PF QF PQ +==，∴22782PF QF +=+，因此△2PF Q 的 周长2278271482PF QF PQ =++=++=+，故选C ．考点：双曲线的定义． 【题型】选择题 【难度】一般 6. 【答案】C【解析】联立两方程得22221,41,2x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 解得33y =，由题意可知1223F F =，所以121323123F PF S =⨯⨯=△.考点：焦点三角形的面积. 【题型】选择题 【难度】一般 7. 【答案】A【解析】连接OT ，则1OT PF ⊥，在1FTO △中，1TF b =．连接2PF ， 在12PF F △中，O 、M 分别是12F F 、1PF 的中点，所以212OM PF =， ()()21121111122222MO MT PF PF TF PF PF b a b b a ⎛⎫∴-=--=-+=-+=- ⎪⎝⎭，故 选A ．考点：双曲线的定义，直线与圆相切． 【题型】选择题 【难度】较难 8. 【答案】C【解析】设△12PF F 的内切圆半径为r ，由双曲线的定义得12122,2PF PF a F F c -==，1112IPF SPF r =⋅，2212IPF S PF r =⋅，12122IF F S c r cr =⋅⋅=.由题意得：121122PF r PF r cr λ⋅=⋅+，∴122PF PF a c c λ-==，又2122b F F c a==， ∴222c a ac -=，∴21acλ==-，故选C ． 考点：双曲线定义的应用. 【题型】选择题 【难度】较难 9. 【答案】16【解析】由点()5,0F 是双曲线2219x y m -=的一个焦点及222c a b =+可得，259m =+，解得16m =．考点：双曲线的标准方程． 【题型】填空题 【难度】较易 10. 【答案】23【解析】设点P 在双曲线的右支上，因为12PF PF ⊥，所以()2221222PF PF =+，又因为122PF PF -=，所以()2124PF PF -=，可得1224PF PF ⋅=， 则()222121212212PF PF PF PF PF PF +=++⋅=，所以1223PF PF +=. 考点：双曲线定义的应用. 【题型】填空题 【难度】一般11. 【答案】()2212214x y x -=≥ 【解析】设动圆M 的半径为r ，则由已知1+2MC r =，22MC r =-， ∴1222MC MC -=．又()14,0C -，()24,0C ，∴128C C =．∴1222C C <．根据双曲线的定义知，点M 的轨迹是以()14,0C -、()24,0C 为焦点的双曲线的右支．∵2a =，4c =，∴22214b c a =-=，∴点M 的轨迹方程是()2212214x y x -=≥．考点：求轨迹方程. 【题型】填空题 【难度】一般12. 【答案】22135x y -= 【解析】由椭圆的方程为22185x y +=可知8,5a b ==，则3c =，又因为双曲线 以椭圆22185x y +=的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点，所以双曲线中 3,8,5a c b ===，则双曲线的方程为221.35x y -= 考点：双曲线的标准方程. 【题型】解答题 【难度】较易 13. 【答案】522m <≤或12m < 【解析】若命题p 为真，则2m >；若命题q 为真，则52m >或12m <，∵p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，∴,p q 一真一假，若p 真q 假，则522m <≤；若p 假q 真，则12m <.∴实数m 的取值范围为522m <≤或12m <.考点：双曲线的标准方程，二次函数的图像，简易逻辑关系. 【题型】解答题 【难度】一般14. 【答案】（1）()22113y x x -=≥ （2）1- 【解析】（1）由12122PF PF FF -=<知，点P 的轨迹E 是以1F 、2F 为焦点的双曲线右支，22,22,3c a b ==∴=，故轨迹E 的方程为()22113y x x -=≥. （2）当直线l 的斜率存在时，设直线方程为()()()11222,,,,y k x P x y Q x y =-，与双曲线方程联立消去y 得()222234430k x k x k --++=，22122212230,0,40,3430,3k k x x k k x x k ⎧-≠⎪∆>⎪⎪∴⎨+=>-⎪⎪+⎪⋅=>-⎩解得23k >， ()()()()()()21212121222MP MQ x m x m y y x m x m k x x ⋅=--+=--+--()()()22221212124k x x k m x x m k =+-++++ ()()()()22222222222143423454.333k k k k m m k m k m k k k +++-+=-++=+--- ,0MP MQ MP MQ ⊥∴⋅=，()()22231450m k m m ∴-+--=对任意的23k >恒成立，2210,450,m m m ⎧-=⎪∴⎨--=⎪⎩解得 1.m =- ∴当1m =-时，MP MQ ⊥.当直线l 的斜率不存在时，由()()2,3,2,3P Q -及()1,0M -知结论也成立， 综上，当1m =-时，MP MQ ⊥.考点：圆锥曲线的轨迹问题及双曲线的标准方程. 【题型】解答题 【难度】较难。
数学人教B版选修2-1课后导练：2.3.1双曲线及其标准方
课后导练基础达标1.已知方程ky k x --+1122=1表示双曲线,则k 的取值范围是( ) A.-1<k<1 B.k>0 C.k≥0 D.k>1或k<-1 答案：A2.已知双曲线8kx 2-ky 2=2的一个焦点为(0,23-),则k 的值等于( ) A.-2 B.1 C.-1 D. 23-答案：C3.已知双曲线16922y x -=1上的一点P 到双曲线的一个焦点的距离为3，则点P 到另一个焦点的距离为（ ）A.3B.6C.9D.12答案：C4.在方程mx 2-my 2=n 中，若mn ＜0，则方程的曲线是（ ）A.焦点在x 轴上的椭圆B.焦点在x 轴上的双曲线C.焦点在y 轴上的椭圆D.焦点在y 轴上的双曲线答案：D5.已知双曲线的方程为2222by a x -=1,点A 、B 在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB|=m,F 1为另一焦点，则△ABF 1的周长为（ ）A.2a+2mB.4a+2mC.a+mD.2a+4m答案：B6.F 1、F 2是双曲线16922y x -=1的两个焦点，P 在双曲线上且满足|PF 1|·|PF 2|=32,则∠F 1PF 2=___________.答案：90°7.过点（3，4）及双曲线3622y x -=1的两个焦点的圆的标准方程是___________. 答案：x 2+（y-2）2=138.已知θ是三角形的一个内角,且sinθ-cosθ=21,则方程x 2sinθ-y 2cosθ=1可能表示下列曲线中的.(填上所有可能情况)①焦点在x 轴上的椭圆 ②焦点在y 轴上的椭圆③焦点在x 轴上的双曲线 ④焦点在y 轴上的双曲线.答案：③9.根据下列条件，求双曲线方程：（1）与双曲线16922y x -=1有共同的渐近线，且过点（-3，32）； （2）与双曲线41622y x -=1有公共焦点，且过点（23，2）. 解：（1）设双曲线的方程为22a x -22by =1， 由题意，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=.1)32()3(,342222b a a b ， 解得a 2=49，b 2=4. 所以双曲线的方程为44922y x -=1. （2）设双曲线方程为22a x -22by =1. 由题意易求c=25.又双曲线过点（32，2）， ∴2224)23(ba -=1. 又∵a 2+b 2=（25）2，∴a 2=12，b 2=8. 故所求双曲线的方程为81222y x -=1. 10.已知定点A （3，0）和定圆C ：（x+3)2+y 2=16,动圆和圆C 相外切，并且过点A ，求动圆圆心P 的轨迹方程.解:设P 的坐标为（x,y).∵圆C 与圆P 外切且过点A,∴|PC|-|PA|=4.∵|AC|=6＞4,∴点P 的轨迹是以C 、A 为焦点，2a=4的双曲线的右支.∵a=2,c=3，∴b 2=c 2-a 2=5.∴5422y x -=1(x ＞0)为动圆圆心P 的轨迹方程. 综合运用11.过双曲线2514422y x -=1的一个焦点作x 轴的垂线，求垂线与双曲线的交点到两焦点的距离分别为多少?解:∵双曲线方程为2511422y x -=1, ∴c=25114+=13,于是焦点坐标为F 1（-13，0）、F 2（13，0）.设过点F 1垂直于x 轴的直线l 交双曲线于A(-13,y)(y ＞0). ∴144251144132522=-=y . ∴y=1225,即|AF 1|=1225. 又∵|AF 2|-|AF 1|=2a=24, ∴|AF 2|=24+|AF 1|=24+1225=12313. 故垂线与双曲线的交点到两焦点的距离分别为1225，12313. 12.经过双曲线x 2-32y =1的左焦点F 1作倾斜角为π[]6的直线，与双曲线交于A 、B 两点，求(1)｜ＡＢ｜；(2)△F 2AB 的周长l(其中F 2是双曲线的右焦点).解：（1）F 1（-2，0），F 2（2，0）.直线AB 的方程为y=33（x+2）. 将其代入双曲线方程，得8x 2-4x-13=0.设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）.∴x 1+x 2=21，x 1·x 2=813-. ∴|AB|=)813(4)21(3112-⨯-+=3. (2)a=1,由双曲线的定义得|AF 2|-|AF 1|=2a=2.①|BF 2|-|BF 1|=2a=2.②①+②，得:|AF 2|+|BF 2|-（|AF 1|+|BF 1|）=4，|AF 2|+|BF 2|-3=4，|AF 2|+|BF 2|=7，∴△F 2AB 的周长l=|AF 2|+|BF 2|+|AB|=10.13.A 、B 、C 是我方三个炮兵阵地，A 在B 的正东，相距6 km ，C 在B 的北偏西30°方向上，相距4 km ，P 为敌炮阵地.某时刻A 发现敌炮阵地的某种信号，由于B 、C 两地比A 距P 地远，因此4秒后，B 、C 才同时发现这一信号（该信号的传播速度为每秒1 km ）.A 若炮击P 地，求炮击的方位角.解：以AB 的中点为原点，BA 所在的直线为x 轴建立直角坐标系，则A （3，0）、B （-3，0）、C （-5，23）.∵|PB|-|PA|=4，∴点P 在以A 、B 为焦点的双曲线的右支上，该双曲线右支的方程是5422y x -=1(x≥2).① 又∵|PB|=|PC|，∴点P 在线段BC 的垂直平分线上，该直线的方程为 x-3y+7=0.②将②代入①得11x 2-56x-256=0,得x=8或x=1132-（舍）. 于是可得P （8，53）.又k PA =tanα=3,∴α=60°.故点P 在点A 的北偏东30°方向上，即A 炮击P 地的方位角是北偏东30°.拓展探究14.(2006江苏高考，17) 已知三点P （5，2）、F(-6,0)、F 2(6,0).（1）求以F 1、F 2为焦点且过点P 的椭圆的标准方程；（2）设点P 、F 1、F 2关于直线y ＝x 对称点分别为P′、F 1′、F 2′,求以F 1′、F 2′为焦点且过点P′的双曲线的标准方程. 解：(1)由题意，可设所求椭圆的标准方程为2222by a x +=1（a ＞b ＞0）,其半焦距c=6. 2a=||PF 1|+|PF 2||=56212112222=+++∴a=35,b 2=a 2-c 2=45-36=9. ∴所求椭圆的标准方程为94522y x +=1. (2)点P （5,2）、F 1(-6,0)、F 2（6，0）关于直线y=x 的对称点分别为P′(2,5)、F1′(0,-6)、F 2′(0,6). 设所求双曲线的标准方程为212212b x a y -=1(a 1＞0,b 1＞0)由题意知，半焦距c 1=6,2a 1=||P′F 1′|-|P′F 2′|| =5421|211|2222=+-+.∴a 1=25,b 12=c 12-a 12=36-20=16. ∴所求双曲线的标准方程为162022x y -=1.。
高中数学人教B版选修2-1学案：2.3.1 双曲线的标准方程
2.3.1双曲线的标准方程学习目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．知识点一双曲线的定义思考如图，若取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，拉开或闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，那么曲线上的点应满足怎样的几何条件？梳理(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的差的__________等于常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的________，两焦点的距离叫做双曲线的________；(2)关于“小于|F1F2|”：①若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹是以F1，F2为端点的______________(包括端点)；②若将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹不存在．(3)若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的________．(4)若常数为零，其余条件不变，则点的轨迹是________________________．知识点二 双曲线的标准方程思考1 双曲线的标准方程的推导过程是什么？思考2 双曲线中a ，b ，c 的关系如何？与椭圆中a ，b ，c 的关系有何不同？梳理 (1)两种形式的标准方程(2)焦点F 1，F 2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x 2项的系数为正，则焦点在________上；若y 2项的系数为正，那么焦点在________上．(3)当双曲线的焦点位置不确定时，可设其标准方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)．(4)标准方程中的两个参数a 和b ，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里的b 2＝________与椭圆中的b 2＝________相区别．类型一 双曲线的定义及应用命题角度1 双曲线中焦点三角形面积问题例1 已知双曲线x 29－y 216＝1的左，右焦点分别是F 1，F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．引申探究本例中若∠F 1PF 2＝90°，其他条件不变，求△F 1PF 2的面积．反思与感悟 求双曲线中焦点三角形面积的方法 (1)方法一：①根据双曲线的定义求出||PF 1|－|PF 2||＝2a ；②利用余弦定理表示出|PF 1|，|PF 2|，|F 1F 2|之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体思想求出|PF 1|·|PF 2|的值； ④利用公式121212·sin PF F S PF PF F PF ∆⨯∠＝求得面积． (2)方法二：利用公式1212PF F P S F F y ∆⨯⨯＝ (y P 为P 点的纵坐标)求得面积．特别提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的变形使用，特别是与|PF 1|2＋|PF 2|2，|PF 1|·|PF 2|间的关系．跟踪训练1 如图所示，已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左，右焦点，点M 为双曲线上一点，并且∠F 1MF 2＝θ，求△MF 1F 2的面积．命题角度2 利用双曲线定义求其标准方程例2 (1)已知定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，在平面内满足下列条件的动点P 的轨迹中为双曲线的是( ) A ．|PF 1|－|PF 2|＝±3 B ．|PF 1|－|PF 2|＝±4 C ．|PF 1|－|PF 2|＝±5D ．|PF 1|2－|PF 2|2＝±4(2)在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为(－5，0)，(5，0)，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是49，则点M 的轨迹方程为________________．反思与感悟 双曲线定义的两种应用(1)根据双曲线的定义判断动点轨迹时，一定要注意双曲线定义中的各个条件，不要一看到动点到两个定点的距离之差的绝对值是常数，就认为其轨迹是双曲线，还要看该常数是否小于两个已知定点之间的距离且大于零，否则就不是双曲线．(2)巧妙利用双曲线的定义求曲线的轨迹方程，可以使运算量大大减小，同时提高解题速度和质量. 其基本步骤为①寻求动点M 与定点F 1，F 2 之间的关系；②根据题目的条件计算是否满足||MF 1|－|MF 2||＝2a (常数，a >0)．③判断：若2a <2c ＝|F 1F 2|，满足定义，则动点M 的轨迹就是双曲线，且2c ＝|F 1F 2|，b 2＝c 2－a 2，进而求出相应a ，b ，c .④根据F 1，F 2所在的坐标轴写出双曲线的标准方程．跟踪训练2 下列命题是真命题的是________．(将所有真命题的序号都填上) ①已知定点F 1(－1，0)，F 2(1，0)，则满足|PF 1|－|PF 2|＝2的点P 的轨迹为双曲线； ②已知定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，则满足||PF 1|－|PF 2||＝4的点P 的轨迹为两条射线； ③到定点F 1(－3，0)，F 2(3，0)距离之差的绝对值等于7的点P 的轨迹为双曲线； ④若点P 到定点F 1(－4，0)，F 2(4，0)的距离的差的绝对值等于点M (1，2)到点N (－3，－1)的距离，则点P 的轨迹为双曲线． 类型二 待定系数法求双曲线的标准方程例3 (1)已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线过点(3，－42)和⎝⎛⎭⎫94，5，求双曲线的标准方程；(2)求与椭圆y 216＋x 212＝1共焦点且过点(1，3)的双曲线的标准方程．反思与感悟 待定系数法求方程的步骤(1)定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴． (2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，①若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)． ②与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)共焦点的双曲线的标准方程可设为x 2a 2－k －y 2b 2＋k ＝1(－b 2<k <a 2)．(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值． (4)结论：写出双曲线的标准方程．跟踪训练3 根据条件求双曲线的标准方程． (1)c ＝6，经过点A (－5，2)，焦点在x 轴上； (2)经过点P (3，154)，Q (－163，5)；(3)与椭圆x 225＋y 25＝1共焦点且过点(32，2)．类型三 双曲线定义的综合运用例4 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1与双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1有交点P ，且有公共的焦点，且∠F 1PF 2＝2α，求证：tan α＝nb .反思与感悟 (1)结合双曲线的定义，解决综合问题，诸如：实际应用题，焦点三角形问题等，要充分利用双曲线的定义、正弦定理、余弦定理等，利用化归思想，重点考查综合运用能力与求解能力．(2)双曲线与椭圆的比较如下表：利用双曲线与椭圆的关系，可类比椭圆得到双曲线的有关结论，或用类似方法解决双曲线的有关问题，以及双曲线与椭圆的综合问题．跟踪训练4 (1)已知双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且过点(15，4)，求双曲线的方程．(2)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)具有性质：若M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两点，点P 是椭圆C 上任意一点，设直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN ，那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值．试对双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1写出具有类似特殊的性质，并加以证明．1．若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( ) A ．11 B ．9 C ．5D ．32．设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 224＝1的左，右焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( ) A ．4 2 B ．8 3 C ．24D ．483．已知圆C ：x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0，以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则所得双曲线的标准方程为________．4．已知双曲线2x 2－y 2＝k (k ≠0)的焦距为6，则k 的值为________．5．已知双曲线x 29－y 216＝1上一点M 的横坐标为5，则点M 到左焦点的距离是________．1．双曲线定义的理解(1)定义中距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．设F 1，F 2表示双曲线的左，右焦点，若|MF1|－|MF2|＝2a，则点M在右支上；若|MF2|－|MF1|＝2a，则点M在左支上．(2)双曲线定义的双向运用：①若||MF1|－|MF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)，则动点M的轨迹为双曲线．②若动点M在双曲线上，则||MF1|－|MF2||＝2a.2．求双曲线标准方程的步骤(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式．(2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解．特别提醒：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，为简单起见，常标明条件mn<0.提醒：完成作业第二章 2.3.1答案精析问题导学 知识点一思考 曲线上的点满足条件：|MF 1|－|MF 2|＝常数；如果改变一下笔尖位置，使|MF 2|－|MF 1|＝常数，可得到另一条曲线．梳理 (1)绝对值 焦点 焦距 (2)两条射线 (3)一支 (4)线段F 1F 2的中垂线 知识点二思考1 (1)建系：以直线F 1F 2为x 轴，F 1F 2的中点为原点建立平面直角坐标系． (2)设点：设M (x ，y )是双曲线上任意一点，且双曲线的焦点坐标为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)． (3)列式：由|MF 1|－|MF 2|＝±2a ， 可得(x ＋c )2＋y 2－(x －c )2＋y 2＝±2a .①(4)化简：移项，平方后可得 (c 2－a 2)x 2－a 2y 2＝a 2(c 2－a 2)．令c 2－a 2＝b 2，得双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．②(5)检验：从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都满足方程②；以方程②的解(x ，y )为坐标的点到双曲线两个焦点(－c ，0)，(c ，0)的距离之差的绝对值为2a ，即以方程②的解为坐标的点都在双曲线上，这样，就把方程②叫做双曲线的标准方程．(此步骤可省略) 思考2 双曲线标准方程中的两个参数a 和b ，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b 2＝c 2－a 2，即c 2＝a 2＋b 2，其中c >a ，c >b ，a 与b 的大小关系不确定；而在椭圆中b 2＝a 2－c 2，即a 2＝b 2＋c 2，其中a >b >0，a >c ，c 与b 的大小关系不确定． 梳理 (1)x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0) F 1(－c ，0)，F 2(c ，0) F 1(0，－c )，F 2(0，c ) a 2＋b 2＝c 2 (2)x 轴 y 轴 (4)c 2－a 2 a 2－c 2 题型探究例1 解 由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5.由定义和余弦定理得|PF 1|－|PF 2|＝±6， |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°， 所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|，所以|PF 1|·|PF 2|＝64， 所以12F PF S ∆＝12|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2 ＝12×64×32＝16 3. 引申探究解 由双曲线方程知a ＝3，b ＝4，c ＝5， 由双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝6， 所以|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36，①在Rt △F 1PF 2中，由勾股定理得 |PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝100，②将②代入①得|PF 1|·|PF 2|＝32， 所以12121·16.2F PF SPF PF ∆＝＝ 跟踪训练1 解 在△MF 1F 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|MF 1|2＋|MF 2|2－2|MF 1|·|MF 2|·cos θ.①∵|F 1F 2|2＝4c 2，|MF 1|2＋|MF 2|2＝(|MF 1|－|MF 2|)2＋2|MF 1|·|MF 2| ＝4a 2＋2|MF 1|·|MF 2|， ∴①式化为4c 2＝4a 2＋2|MF 1|·|MF 2|(1－cos θ)， ∴|MF 1|·|MF 2|＝2b 21－cos θ，∴12MF F S ∆＝12|MF 1|·|MF 2|·sin θ＝b 2sin θ1－cos θ＝b 2·2sin θ2·cosθ21－(1－2sin 2θ2)＝b 2tanθ2.例2 (1)A (2)x 225－y 21009＝1(x ≠±5)跟踪训练2 ②④例3 解 (1)设所求双曲线方程为y 2a 2－x2b 2＝1(a >0，b >0)，则⎩⎨⎧32a 2－9b 2＝1，25a 2－8116b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16，b 2＝9，∴双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.(2)∵椭圆y 216＋x 212＝1的焦点坐标为(0，－2)，(0，2)．∴设双曲线的方程为y 2m －x 2n ＝1(m >0，n >0)．则⎩⎪⎨⎪⎧3m －1n ＝1，m ＋n ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝2.故所求双曲线的标准方程为y 22－x 22＝1.跟踪训练3 解 (1)设双曲线标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，∵c ＝6，∴b 2＝c 2－a 2＝6－a 2. 由题意知25a 2－4b 2＝1，∴25a 2－46－a 2＝1，解得a 2＝5或a 2＝30(舍)．∴b 2＝1. ∴双曲线的标准方程为x 25－y 2＝1.(2)设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)， ∵P (3，154)，Q (－163，5)均在双曲线上，∴⎩⎨⎧9m ＋22516n ＝1，2569m ＋25n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－116，n ＝19.∴双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1. (3)椭圆x 225＋y 25＝1的焦点坐标为(25，0)，(－25，0)．依题意，则所求双曲线焦点在x 轴上，可以设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则a 2＋b 2＝20. 又∵双曲线过点(32，2)，∴18a 2－2b 2＝1. ∴a 2＝20－210，b 2＝210.∴所求双曲线的标准方程为x 220－210－y 2210＝1. 例4 证明 如图所示，设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，|F 1F 2|＝2c ，则在△PF 1F 2中，对于双曲线有|r 2－r 1|＝2m ，∴cos 2α＝r 21＋r 22－(2c )22r 1r 2＝(r 1－r 2)2－4c 2＋2r 1r 22r 1r 2＝4m 2－4c 2＋2r 1r 22r 1r 2＝－2n 2r 1r 2＋1， ∴1－cos 2α＝2n 2r 1r 2.∴sin α＝n r 1r 2. 则在△PF 1F 2中，对于椭圆有r 1＋r 2＝2a ，cos 2α＝r 21＋r 22－4c 22r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－4c 2－2r 1r 22r 1r 2＝4b 2－2r 1r 22r 1r 2＝2b 2r 1r 2－1， ∴1＋cos 2α＝2b 2r 1r 2，∴cos α＝b r 1r 2， ∴tan α＝n b. 跟踪训练4 (1)解 椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标为F 1(0，－3)，F 2(0，3)， 故可设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1. 由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝9，42a 2－(15)2b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5. 故双曲线的方程为y 24－x 25＝1. (2)解 类似的性质如下： 若M ，N 为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上关于原点对称的两点，点P 是双曲线上任意一点，设直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN ，那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值． 其证明过程如下：设P (x ，y )，M (m ，n )，则N (－m ，－n )，其中m 2a 2－n 2b 2＝1，即n 2＝b 2a2(m 2－a 2)． ∴k PM ＝y －nx －m ，k PN ＝y ＋n x ＋m . 又x 2a 2－y 2b 2＝1，即y 2＝b 2a2(x 2－a 2)， ∴y 2－n 2＝b 2a 2(x 2－m 2)． ∴k PM ·k PN ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a2. 故k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值．当堂训练1．B 2.C3.x24－y212＝1 4.－6或6 5.343。
人教A版数学选修2-1《2.3.1双曲线及其标准方程》练习及答案
双曲线(1)1．平面内有两个定点F 1(－5，0)和F 2(5，0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝6，则动点P 的轨迹方程是( )．A.x 216－y 29＝1(x ≤－4)B.x 29－y 216＝1(x ≤－3) C.x 216－y 29＝1(x ≥4) D.x 29－y 216＝1(x ≥3) 2．双曲线x 210－y 22＝1的焦距为( )． A ．3 2 B ．4 2 C ．3 3 D ．4 33．已知双曲线的a ＝5，c ＝7，则该双曲线的标准方程为( )．A.x 225－y 224＝1B.y 225－x 224＝1C.x 225－y 224＝1或y 225－x 224＝1D.x 225－y 224＝0或y 225－x 224＝0 4．若双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点坐标是(0，3)，则实数k 的值为________．5．已知P 是双曲线x 264－y 236＝1上一点，F 1，F 2是双曲线的两个焦点，若|PF 1|＝17，则|PF 2|的值为________． 6．已知方程(1＋k )x 2－(1－k )y 2＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围为( )．A ．－1<k <1B ．k >1C ．k <－1D ．k >1或k <－17．已知双曲线C ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为C 右支上的一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )． A ．24 B ．36 C ．48 D ．968．双曲线 x 2m －y 2m －5＝1的一个焦点到中心的距离为3，那么m ＝________. 9．已知椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则实数a ＝________. 10．(创新拓展)已知双曲线的方程为x 2－y 24＝1，如图，点A 的坐标为(－5，0)，B 是圆x 2＋(y －5)2＝1上的点，点M 在双曲线的右支上，求|MA |＋|MB |的最小值为 ．双曲线(1)答案1．平面内有两个定点F 1(－5，0)和F 2(5，0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝6，则动点P 的轨迹方程是 ( D )．A.x 216－y 29＝1(x ≤－4)B.x 29－y 216＝1(x ≤－3) C.x 216－y 29＝1(x ≥4) D.x 29－y 216＝1(x ≥3) 2．双曲线x 210－y 22＝1的焦距为( D )． A ．3 2 B ．4 2 C ．3 3 D ．4 33．已知双曲线的a ＝5，c ＝7，则该双曲线的标准方程为( C )．A.x 225－y 224＝1B.y 225－x 224＝1C.x 225－y 224＝1或y 225－x 224＝1D.x 225－y 224＝0或y 225－x 224＝0 4．若双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点坐标是(0，3)，则实数k 的值为________． －15．已知P 是双曲线x 264－y 236＝1上一点，F 1，F 2是双曲线的两个焦点，若|PF 1|＝17，则|PF 2|的值为________．336．已知方程(1＋k )x 2－(1－k )y 2＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围为( A )．A ．－1<k <1B ．k >1C ．k <－1D ．k >1或k <－17．已知双曲线C ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为C 右支上的一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则△PF 1F 2的面积等于( C )．A ．24B ．36C ．48D ．968．双曲线 x 2m －y 2m －5＝1的一个焦点到中心的距离为3，那么m ＝________.7或－2 9．已知椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则实数a ＝________.1 10．(创新拓展)已知双曲线的方程为x 2－y 24＝1，如图，点A 的坐标为(－5，0)，B 是圆x 2＋(y －5)2＝1上的点，点M 在双曲线的右支上，求|MA |＋|MB |的最小值为 ．10＋1.。
高中数学人教B版选修2-1同步练习：2.3.1双曲线的标准方程(含答案)
2.3.1双曲线的标准方程一、选择题1．(2013·安阳高二检测)若k ∈R ，则k >3是方程x 2k －3－y 2k ＋3＝1表示双曲线的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 若k >3，则方程x 2k －3－y 2k ＋3＝1，表示双曲线；若方程x 2k －3－y 2k ＋3＝1表示双曲线，则⎩⎪⎨⎪⎧ k －3>0k ＋3>0或⎩⎪⎨⎪⎧k －3<0k ＋3<0解得k >3或k <－3.故选A. 2．已知点F 1(0，－13)，F 2(0,13)，动点P 到F 1与F 2的距离之差的绝对值为26，则动点P 的轨迹方程为( )A ．y ＝0B ．y ＝0(|x |≥13)C ．x ＝0(|y |≥13)D ．以上都不对[答案] C[解析] ||PF 1|－|PF 2||＝|F 1F 2|，∴x ＝0.3．已知定点A ，B ，且|AB |＝4，动点P 满足|P A |－|PB |＝3，则|P A |的最小值为( ) A.12 B.32 C.72 D ．5 [答案] C[解析] 点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线的右支，如右图所示，当P 与双曲线右支顶点M 重合时，|P A |最小，最小值为a ＋c ＝32＋2＝72.故选C. 4．若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m >n >0)和双曲线x 2a －y 2b ＝1(a >0.b >0)有相同的焦点，P 是两曲线上的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值为( )A ．m －aB ．m －bC ．m 2－a 2 D.m －b[答案] A[解析] 由题意|PF 1|＋|PF 2|＝2m ，|PF 1|－|PF 2|＝2a 整理得|PF 1|·|PF 2|＝m －a ，选A. 5．(2014·广东理，4)若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．焦距相等B ．实半轴长相等C ．虚半轴长相等D ．离心率相等[答案] A[解析] 本题考查双曲线的性质． ∵0<k <9，∴0<9－k,25－k >0， ∴曲线表示双曲线， 又∵25＋9－k ＝c 2， ∴焦距相等．选A.6．设P 为双曲线x 2－y 212＝1上的一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点．若|PF 1| |PF 1|＝3 2，则△PF 1F 2的面积为( )A ．6 3B ．12C ．12 3D ．24[答案] B[解析] 设|PF 1|＝x ，|PF 2|＝y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝2，x y ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6y ＝4又|F 1F 2|＝213由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝16＋36－4×132×4×6＝0.∴S △PF 1F 2＝12x ·y ·sin ∠F 1PF 2＝4×6×12×1＝12.二、填空题7．(2013·大连高二检测)方程x 24－k ＋y 2k －1＝1表示的曲线为C ，给出下列四个命题：①曲线C 不可能为圆；②若1<k <4，则曲线C 为椭圆；③若曲线C 为双曲线，则k <1或k >4；④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1<k <52，其中正确的命题是________．[答案] ③④[解析] 若曲线C 为圆，则4－k ＝k －1，解得k ＝52.故①错．若曲线C 为椭圆，则1<k <4且k ≠52，②错．曲线C 为双曲线，则k <1或k >4.③④对．8．已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为________．[答案] 9[解析] 设双曲线的右焦点为F 1，则由双曲线的定义可知|PF |＝2a ＋|PF 1|＝4＋|PF 1|，所以当满足|PF 1|＋|P A |最小时就满足|PF |＋|P A |取最小值．由双曲线的图形可知当点A ，P ，F 1共线时，满足|PF 1|＋|P A |最小．而|AF 1|即为|PF 1|＋|P A |的最小值，|AF 1|＝5，故所求最小值为9.三、解答题9．如图所示，已知定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆F 2：x 2＋y 2－10x ＋9＝0，动圆M 与定圆F 1，F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．[解析] 圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1， ∴圆心F 1(－5,0)，半径r 1＝1. 圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42， ∴圆心F 2(5,0)，半径r 2＝4.设动圆M 的半径为R ，则有|MF 1|＝R ＋1，|MF 2|＝R ＋4， ∴|MF 2|－|MF 1|＝3<10＝|F 1F 2|.∴点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线(左支)，且a ＝32，c ＝5.∴双曲线方程为49x 2－491y 2＝1(x ≤－32).一、选择题1．已知方程ax 2－ay 2＝b ，且ab <0，则它表示的曲线是( ) A ．焦点在x 轴上的双曲线 B ．圆C ．焦点在y 轴上的双曲线D ．椭圆[答案] C[解析] 原方程可变形为x 2b a －y 2b a ＝1，即y 2－b a －x 2－ba ＝1.可知它表示焦点在y 轴上的双曲线．2．已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( ) A.14 B.35 C.34 D.45[答案] C[解析] 本题考查双曲线定义．由|PF 1|＝2|PF 2|及|PF 1|－|PF 2|＝22知|PF 2|＝2 2 ∴|PF 1|＝42，而|F 1F 2|＝4，∴由余弦定理知cos ∠F 1PF 2＝(42)2＋(22)2－422×42×22＝34.当点在圆锥曲线上时，很容易考虑到定义解决问题．3．已知平面内有一定线段AB ，其长度为4，动点P 满足|P A |－|PB |＝3，O 为AB 的中点，则|PO |的最小值为( )A ．1 B.32 C ．2 D ．4 [答案] B[解析] 由已知，P 点轨迹为以A ，B 为焦点，2a ＝3的双曲线一支，顶点到原点距离最小，∴|PO |的最小值为32，故选B.4．设F 1，F 2是双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1|·|PF 2|的值等于( )A ．2B ．2 2C ．4D ．8 [答案] A[解析] ∵PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1→⊥PF 2→. 又||PF 1|－|PF 2||＝4，|PF 1|2＋|PF 2|2＝20，∴(|PF 1|－|PF 2|)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝20－2|PF 1|·|PF 2|＝16， ∴|PF 1|·|PF 2|＝2. 二、填空题5．已知F 1、F 2分别为双曲线C ：x 29－y 227＝1的左、右焦点，点A ∈C ，点M 的坐标为(2,0)，AM 为∠F 1AF 2的平分线，则|AF 2|＝________.[答案] 6[解析] 本小题考查的内容是双曲线的定义与角平分线定理的应用． 如图，F 1(－6,0)，F 2(6,0)，由角平分线定理知， |AF 1||AF 2|＝|F 1M ||MF 2|＝2 又|AF 1|－|AF 2|＝2a ＝6，∴|AF 2|＝6.6．设圆过双曲线x 29－y 216＝1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是________．[答案]163[解析] 如图所示，设圆心P (x 0，y 0)，则|x 0|＝c ＋a 2＝4，代入x 29－y 216＝1，得y 20＝16×79， ∴|OP |＝x 20＋y 20＝163. 7．已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为________．[答案] 2 3[解析] 本题考查了双曲线的概念．设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，根据双曲线的定义及已知条件可得|m －n |＝2a ＝2，m 2＋n 2＝4c 2＝8∴2mn ＝4∴(|PF 1|＋|PF 2|)2＝(m ＋n )2＝(m －n )2＋4mn ＝12 ∵|PF 1|＋|PF 2|＝2 3充分利用PF 1⊥PF 2, 将||PF 1|－|PF 2||＝2a ，转化到|PF 1|＋|PF 2|是解决本题的关键． 三、解答题8．一炮弹在某处爆炸，在F 1(－5 000,0)处听到爆炸声的时间比在F 2(5 000,0)处晚30017s ，已知坐标轴的单位长度为1 m ，声速为340 m/s ，爆炸点应在什么样的曲线上？并求爆炸点所在的曲线方程．[解析] 由声速为340 m/s 可知F 1、F 2两处与爆炸点的距离差为340×30017＝6 000 (m)，因此爆炸点在以F 1、F 2为焦点的双曲线上，因为爆炸点离F 1处比F 2处更远，所以爆炸点应在靠近F 2处的一支上，设爆炸点P 坐标为(x ，y )，则|PF 1|－|PF 2|＝6 000，即2a ＝6 000，a ＝3 000. 而c ＝5 000，∴b 2＝5 0002－3 0002＝4 0002. ∵|PF 1|－|PF 2|＝6 000>0，∴x >0.∴所求双曲线方程为x 23 0002－y 24 0002＝1(x >0)．9.如图，在△ABC 中，已知|AB |＝42，且三内角A 、B 、C 满足2sin A ＋sin C ＝2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．[解析] 如图，以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系， 则A (－22，0)、B (22，0)．由正弦定理得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R .∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ，∴2a ＋c ＝2b ，即b －a ＝c2，从而有|CA |－|CB |＝12|AB |＝22<AB .由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支，扣除(2，0)点的部分． ∵a ′＝2，c ′＝22， ∴b ′2＝c ′2－a ′2＝6.所以顶点C 的轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >2)．。