马尔可夫链模型简介
马尔可夫链模型简介
马尔可夫链模型简介设考察对象为一系统,若该系统在某一时刻可能出现的事件集合为,}{N N E E E E E E ⋅⋅⋅⋅⋅⋅,2,1,2,1,两两互斥,则陈i E 为状态。
N i ⋅⋅⋅=,2,1。
称该系统从一种状态i E 变化到另一状态j E 的过程称为状态转移，并把整个系统不断实现状态转移的过程称为马尔可夫过程。
定义1 具有下列两个性质的马尔可夫过程称为马尔可夫链： （1）无后效性，即系统的第n 次实验结果出现的状态，只与第1-n 次有关，而与它以前所处的状态无关；（2）具有稳定性，该过程逐渐趋于稳定状态，而与初始状态无关。
定义2 向量),,,(21n u u u u ⋅⋅⋅= 成为概率向量，如果u 满足：⎪⎩⎪⎨⎧=⋅⋅⋅=≥∑=nj jj u nj u 11,,2,10 定义3 如果方阵P 的每行都为概率向量，则称此方阵为概率矩阵。
如果矩阵A 和B 皆为概率矩阵，则AB ，k A ，k B 也都是概率矩阵（k 为正整数）。
定义4 系统由状态i E 经过一次转移到状态j E 的概率记为ij P ，称矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=3212222111211N N N N N P P P P P P P P P P 为一次（或一步）转移矩阵。
转移矩阵必为概率矩阵，且具有以下两个性质： 1、P P P k k )1()(-=； 2、k k P P =)(其中)(k P 为k 次转移矩阵。
定义5 对概率矩阵P ，若幂次方)(m P 的所有元素皆为正数，则矩阵P 称为正规概率矩阵。
（此处2≥m ）定理1 正规概率矩阵P 的幂次方序列P ，2P ，3P ，…趋近于某一方阵T ，T 的每一行均为同一概率向量t ，且满足t tP = 。
马尔可夫链模型如下：设系统在0=k 时所处的初始状态 ),,()0()0(2)0(1)0(N S S S S ⋅⋅⋅=为已知，经过k 次转移后的状态向量 ),,()()(2)(1)(k N k k k S S S S ⋅⋅⋅=),2,1(⋅⋅⋅=k ，则⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=NN N N N N k P P P P P P P P P S S 212222111211)0()( 此式即为马尔可夫链预测模型。
概率论中的马尔可夫链
马尔可夫链是概率论中的一个重要内容，它是一种统计模型，也是一种离散时间的随机过程。
马尔可夫链具有许多重要的特性和应用，包括在自然语言处理、金融市场、排队论和信号处理等方面。
马尔可夫链的最大特点是具有马尔可夫性质，即未来状态只依赖于当前状态，而与过去的状态无关。
这个性质使得马尔可夫链在实际应用中具有广泛的适用性。
我们可以把马尔可夫链看作是一个随机漫步过程，其中的每个状态都有一定的概率转移到其他状态。
这种随机漫步的特性，使得马尔可夫链可以用来描述许多随机现象，如天气预报、股票市场和电力系统等。
马尔可夫链由状态空间和状态转移矩阵所组成。
状态空间包括了所有可能的状态，每个状态之间存在一定的概率转移关系。
状态转移矩阵描述了在某一个状态下转移到其他状态的概率。
通常情况下，状态转移概率是固定的，但也可以是随机的，这取决于具体的问题。
马尔可夫链的状态转移概率具有马尔可夫性质，即与时间无关。
通过迭代状态转移矩阵，我们可以得到马尔可夫链的平稳分布。
平稳分布是指当时间趋于无穷大时，马尔可夫链在各个状态上停留的概率。
平稳分布在许多问题中都具有重要的意义，例如在排队论中可以用来计算系统的稳定性和响应时间等指标。
马尔可夫链的平稳分布可以通过状态转移矩阵的特征向量求解得到。
除了平稳分布，马尔可夫链还有其他重要的性质和应用。
例如，我们可以使用马尔可夫链来进行模拟和预测。
通过观察和记录马尔可夫链的状态转移过程，我们可以了解到系统的行为规律，从而对未来的状态进行预测。
这在金融市场和天气预报等领域具有重要的应用价值。
此外，马尔可夫链还可以用来解决一些优化问题，如最优路径求解和资源分配等。
在实际应用中，马尔可夫链的建模和求解是一个复杂而困难的问题。
因为马尔可夫链的状态空间可能非常庞大，状态转移矩阵的维度也会非常大。
此外，状态转移概率的估计也可能存在误差。
针对这些问题，研究者们提出了许多有效的方法和算法，如马尔可夫链的蒙特卡洛模拟和马尔可夫链的马尔科夫蒙特卡洛方法等。
马尔可夫链与转移概率矩阵
马尔可夫链与转移概率矩阵马尔可夫链是一种具有马尔可夫性质的数学模型，被广泛应用于各个领域，例如自然语言处理、金融市场分析等。
马尔可夫链的核心概念是转移概率矩阵，它描述了离散时间中状态之间的转移概率关系。
1. 马尔可夫链简介马尔可夫链是一个离散的随机过程，在任意时刻，状态只与其前一个状态相关，而与更早的状态及未来状态无关。
这种状态转移的过程可以用一个有限的状态空间和一个转移概率矩阵来描述。
2. 转移概率矩阵的定义转移概率矩阵是马尔可夫链的核心概念，它用于描述状态之间的转移概率关系。
对于一个具有n个状态的马尔可夫链，转移概率矩阵P 是一个n×n的矩阵，其中P(i,j)表示从状态i转移到状态j的概率。
3. 转移概率矩阵的性质转移概率矩阵具有一些重要的性质，包括：- 非负性：转移概率矩阵的所有元素都是非负数。
- 行和为1：转移概率矩阵的每一行元素之和为1，表示从一个状态出发总会转移到其他状态。
- 稳定性：如果转移概率矩阵满足P×P=P，则称其为稳定的，表示在长期的演化过程中各个状态的概率分布趋于稳定。
4. 马尔可夫链的应用马尔可夫链具有许多实际应用，以下是几个常见的应用领域：- 自然语言处理：马尔可夫链可以用于自然语言处理中的语言模型和文本生成。
- 金融市场分析：马尔可夫链可以用于预测金融市场的波动和价格走势。
- 生物信息学：马尔可夫链可以用于DNA序列分析和蛋白质结构预测。
- 机器学习：马尔可夫链可以用于机器学习中的隐马尔可夫模型和马尔可夫决策过程。
5. 马尔可夫链的应用实例为了更好地理解马尔可夫链的应用，下面来介绍一个实际的案例：天气预测。
假设有三个天气状态：晴天、多云和雨天，转移概率矩阵如下： | 晴天 | 多云 | 雨天------------ | -------------晴天 | 0.7 | 0.2 | 0.1多云 | 0.4 | 0.4 | 0.2雨天 | 0.2 | 0.3 | 0.5根据转移概率矩阵，可以进行天气状态的转移预测。
马尔可夫链的基本原理和使用方法(七)
马尔可夫链是一个随机过程模型，它具有“无记忆”的特性，即未来状态只依赖于当前状态，而与历史状态无关。
马尔可夫链在很多领域都有着重要的应用，比如自然语言处理、金融风险分析、生物信息学等。
本文将介绍马尔可夫链的基本原理和使用方法。
1. 马尔可夫链的基本原理马尔可夫链是由俄罗斯数学家安德烈·马尔可夫在20世纪初提出的。
它是一种描述随机状态转移的数学模型，通过定义状态空间和状态转移概率，可以描述状态之间的转移规律。
假设有一个具有有限个状态的随机过程，每个状态之间存在一定的转移概率。
如果这个随机过程满足马尔可夫性质，即未来状态只依赖于当前状态，那么我们就可以用马尔可夫链来描述这个过程。
马尔可夫链可以用状态转移矩阵来表示，矩阵的每个元素表示从一个状态转移到另一个状态的概率。
2. 马尔可夫链的使用方法马尔可夫链在实际应用中有着广泛的用途。
其中，最常见的应用就是在自然语言处理领域中，比如文本生成和语言模型。
以文本生成为例，我们可以利用马尔可夫链来建立一个文本模型，通过对已有文本的统计分析，得到不同状态之间的转移概率，然后利用这个模型来生成新的文本。
在金融风险分析领域，马尔可夫链也有着重要的应用。
比如在股票价格预测中，我们可以利用马尔可夫链来建立股票价格的模型，然后通过模型预测未来的股价走势。
在这个过程中，我们可以利用历史数据来估计状态转移概率，从而得到一个比较准确的预测结果。
另外，在生物信息学领域，马尔可夫链也被广泛应用于DNA序列分析和蛋白质结构预测等方面。
通过建立状态空间和状态转移概率，可以对生物数据进行建模和分析，从而帮助科学家们更好地理解生物信息。
总的来说，马尔可夫链是一个非常强大的数学工具，它能够帮助我们对复杂系统进行建模和分析，从而得到一些有意义的结论。
当然，马尔可夫链也有一些局限性，比如它只能描述一阶马尔可夫过程，无法描述高阶转移关系。
但是在实际应用中，我们可以通过一些技巧和方法来解决这些问题，从而更好地利用马尔可夫链来解决实际问题。
马尔可夫链模型与天气
马尔可夫链模型与天气马尔可夫链是一种数学模型，用于描述在随机过程中状态之间的转移规律。
而天气是我们日常生活中广泛关注的话题之一。
本文将探讨马尔可夫链模型在天气预测中的应用。
一、马尔可夫链模型简介马尔可夫链模型是以数学家安德烈·马尔可夫的名字命名的概率模型。
该模型基于马尔可夫性质，即未来的状态仅与当前状态有关，与之前的状态无关。
马尔可夫链模型可以用一个状态转移矩阵表示，其中矩阵的每个元素表示从一个状态转移到另一个状态的概率。
二、天气预测与马尔可夫链模型天气预测一直是人们关注的热门话题。
准确地预测未来的天气对农业、旅游和交通等行业有着重要的意义。
而马尔可夫链模型可以用来预测天气的变化。
为了简化问题，我们将天气分为三种状态：晴天、多云和雨天。
假设我们已经根据历史数据建立了一个马尔可夫链模型。
现在我们想要预测未来五天的天气情况。
根据马尔可夫链模型，我们可以根据当前天气状态转移到下一个天气状态的概率来进行预测。
例如，如果当前是晴天，我们可以查找状态转移矩阵中对应的行，然后根据概率分布来确定下一个天气状态。
通过迭代这个过程，我们可以预测出未来五天的天气情况。
三、马尔可夫链模型的应用案例为了更好地理解马尔可夫链模型在天气预测中的应用，下面将介绍一个实际案例。
假设某地区的天气仅有晴天、多云和雨天三种状态。
我们根据历史天气数据得到了如下的状态转移矩阵：晴天多云雨天晴天 0.7 0.2 0.1多云 0.3 0.4 0.3雨天 0.2 0.3 0.5现在我们要通过这个马尔可夫链模型来预测未来五天的天气。
假设当前天气是晴天，根据状态转移矩阵可知，下一个天气为晴天的概率为0.7，多云的概率为0.2，雨天的概率为0.1。
根据这些概率，我们可以随机选择一个状态作为下一个天气。
假设我们选择到了多云。
接下来，我们根据多云状态对应的行来确定下一个天气。
根据状态转移矩阵可知，下一个天气为晴天的概率为0.3，多云的概率为0.4，雨天的概率为0.3。
马尔可夫链的基本概念
马尔可夫链的基本概念马尔可夫链是一种数学模型，用于描述具有马尔可夫性质的随机过程。
马尔可夫性质指的是在给定当前状态的情况下，未来状态的概率只与当前状态有关，与过去状态无关。
马尔可夫链由一组状态和状态之间的转移概率组成，可以用于模拟和预测各种随机过程，如天气变化、股票价格波动等。
一、马尔可夫链的定义马尔可夫链由状态空间和转移概率矩阵组成。
状态空间是指所有可能的状态的集合，用S表示。
转移概率矩阵是一个n×n的矩阵，其中n 是状态空间的大小。
转移概率矩阵的元素表示从一个状态转移到另一个状态的概率。
二、马尔可夫链的性质1. 马尔可夫性质：在给定当前状态的情况下，未来状态的概率只与当前状态有关，与过去状态无关。
2. 遍历性：从任意一个状态出发，经过有限步骤后可以到达任意一个状态。
3. 周期性：一个状态可以返回到自身的步数称为周期。
如果一个状态的周期为1，则称其为非周期状态；如果周期大于1，则称其为周期状态。
4. 不可约性：如果一个马尔可夫链中的任意两个状态都是可达的，则称该马尔可夫链是不可约的。
5. 遍历性与周期性的关系：对于不可约的马尔可夫链，要么所有状态都是非周期状态，要么所有状态都是周期状态。
三、马尔可夫链的应用马尔可夫链在许多领域都有广泛的应用，包括自然语言处理、机器学习、金融市场分析等。
以下是一些具体的应用案例：1. 自然语言处理：马尔可夫链可以用于生成文本，如自动写作、机器翻译等。
通过学习文本的转移概率，可以生成具有相似语言风格的新文本。
2. 机器学习：马尔可夫链可以用于序列建模，如语音识别、手写识别等。
通过学习序列的转移概率，可以对序列进行分类和预测。
3. 金融市场分析：马尔可夫链可以用于预测股票价格的波动。
通过学习历史股票价格的转移概率，可以预测未来股票价格的走势。
4. 生物信息学：马尔可夫链可以用于基因序列分析。
通过学习基因序列的转移概率，可以识别基因的功能和结构。
四、马尔可夫链的应用案例以下是一个简单的马尔可夫链应用案例，用于模拟天气变化：假设有三种天气状态：晴天、多云和雨天。
马尔可夫链模型及其应用领域
马尔可夫链模型及其应用领域马尔可夫链模型是一种描述随机过程的数学工具，它以马尔可夫性质为基础，描述了一个系统在不同状态之间转移的概率。
马尔可夫链模型在各个领域都有广泛的应用，包括自然科学、金融、计算机科学等。
本文将介绍马尔可夫链模型的基本原理，并探讨其在不同应用领域中的具体应用。
马尔可夫链模型的基本原理是基于马尔可夫性质。
马尔可夫性质指的是一个系统在给定当前状态下，其下一个状态只依赖于当前状态，而与过去的状态无关。
这种性质使得马尔可夫链模型成为处理许多问题的理想模型。
首先，我们来了解一下马尔可夫链模型的基本概念。
一个马尔可夫链由一组状态和状态转移矩阵组成。
状态表示系统可能处于的情况，状态转移矩阵描述了状态之间的转移概率。
状态转移矩阵是一个方阵，其元素表示从一个状态到另一个状态的转移概率。
在实际应用中，马尔可夫链模型可以用于解决许多问题。
其中一个常见的应用是预测未来状态。
根据当前的状态和状态转移矩阵，我们可以计算下一步系统处于不同状态的概率。
通过不断迭代计算，我们可以预测未来系统状态的分布。
另一个常见的应用是基于马尔可夫链模型的推荐系统。
推荐系统通过分析用户的历史行为，预测用户未来的喜好，并向其推荐相关的内容。
马尔可夫链模型可以用于建模用户的行为转移过程，推断用户下一步的行为。
在金融领域，马尔可夫链模型被广泛应用于股票市场的预测和风险评估。
通过分析历史股票价格的变化，我们可以建立一个马尔可夫链模型，来预测股票未来的涨跌趋势。
此外，马尔可夫链模型还被用于计算资产组合的风险价值，帮助投资者制定合理的投资策略。
在自然科学领域，马尔可夫链模型可以用于模拟复杂系统的行为。
例如，生态学家可以使用马尔可夫链模型来模拟生物群落的动态变化，预测不同物种的数量和分布。
此外，马尔可夫链模型还可以用于研究气象系统、生物化学反应等的动态特性。
另一个马尔可夫链模型的应用领域是自然语言处理。
马尔可夫链模型可以用于根据已有的语料库生成新的文本。
马尔可夫链模型及其在预测模型中的应用
马尔可夫链模型及其在预测模型中的应用马尔可夫链模型是一个重要的数学模型，在各种预测问题中都有广泛应用。
该模型描述的是一个随机过程，在每一个时间步骤上，其状态可以从当前状态转移到另一个状态，并且转移的概率只与当前状态有关，而与历史状态无关。
这种性质被称为“马尔可夫性”。
本文将介绍马尔可夫链模型的基本原理和应用，以及相关的统计方法和算法。
马尔可夫链模型的构造方法通常是通过定义状态空间和状态之间的转移概率来完成的。
状态空间是指可能的状态集合，而状态之间的转移概率则是指在一个时间步骤上从一个状态转移到另一个状态的概率。
这些转移概率通常被表示为一个矩阵，称为转移矩阵。
转移矩阵的元素表示从一个状态转移到另一个状态的概率。
马尔可夫链模型的重要性在于它对于许多实际问题的数学描述，因为很多现象都符合马尔可夫过程的特点，即时间上的无后效性，即系统的当前状态仅仅依赖于它的上一个状态。
比如，一个天气预测问题，天气系统的状态可以描述为“晴、雨、阴”，在每一个时间步骤上，系统可能会转移到另一个状态，转移概率可以根据历史天气数据进行估计。
马尔可夫链模型可以用于各种预测问题，如下一个状态的预测、状态序列的预测以及时间序列的预测。
对于下一个状态的预测问题，我们可以使用当前状态的转移矩阵来计算目标状态的概率分布。
对于状态序列的预测，我们可以利用当前状态的转移概率估计下一个状态的状态分布，并重复该过程，直到预测的序列达到一定的长度为止。
对于时间序列的预测，我们可以将时间序列转化为状态序列，并将时间作为状态的一个特征进行建模，在此基础上进行预测。
马尔可夫链模型也可以用于分析时间序列数据的特性。
例如，可以使用马尔可夫过程来检测时间序列数据中的周期性、趋势和季节性等特征。
这些特征可以反映时间序列数据的长期和短期变化情况，为精确的预测提供了基础。
对于马尔可夫链模型的参数估计问题，通常使用统计学习方法来完成。
常见的方法包括极大似然估计、贝叶斯估计以及最大后验估计等。
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修保养厂。初步确定在汽车比较多的一处设置维修保养场。根据统计
资料。顾客在上述三处还车的概率如下表所示，试确定在何处设汽车
维修保养场。
表 还车的概率
还车处 甲
租车处
乙
丙
甲
0.8
0.2
0
乙
0.2
0
0.8
丙
0.2
0.2
0.6
解:由题意可知,该问题的转移概率矩阵 P 为:
所以
0.8 0.2 0 P 0.2 0 0.8
况如下表所示：
到
甲
乙
从
甲
230
10
乙
20
250
丙
20
10
（11 月）
280
270
丙
（10 月）
10
250
30
300
410
450
450
1000
假定该产品用户的流动按上述方向继续变化下去（转移矩阵不
变），预测 12 月份三家企业市场用户各自的拥有量，并计算经过一
段时间后，三家企业在稳定状态下该种产品的市场夫链：
（1）无后效性，即系统的第 n 次实验结果出现的状态，只与第 n 1次
有关，而与它以前所处的状态无关；
（2）具有稳定性，该过程逐渐趋于稳定状态，而与初始状态无关。
定义 2 向量 u (u1,u2 ,,un ) 成为概率向量，如果 u 满足：
0.2 0.2 0.6
成立，上式展开，得：
0.8x 0.2y 0.2(1 x y) x
0.2x 0.2y 0.2(1 x y) y
0.2x 0.8y 0.6(1 x y) 1 x y
解上述联立方程式，得 x 0.5， y 0.167 故 (x , y ,1 x y) ( 0.5 , 0.167 , 0.333 )
马尔可夫链模型简介
设考察对象为一系统,若该系统在某一时刻可能出现的事件集合
为, E1, E2, EN , E1, E2, EN 两两互斥,则陈 Ei 为状态。 i 1,2, N 。称
该系统从一种状态 Ei 变化到另一状态 E j 的过程称为状态转移，并把整 个系统不断实现状态转移的过程称为马尔可夫过程。
丙
甲 230 / 250
P
乙
20
/
300
丙 30 / 450
10 / 250 250 / 300 10 / 450
10 / 250
30
/
300
410 / 450
0.92 0.04 0.04
0.067 0.833
0.1
0.067 0.022 0.911
矩阵中每一行的元素，代表着各企业保持和失去用户的概率，如第一
状态发展下去，那么经过一段时间后，三企业的市场占有率将分别为
45.98%、15.98%、38.44%。显然，对于乙、丙两企业而言，必须迅速
找出市场占有率下降的原因。
例二：最佳服务地点选择
市汽车出租公司在甲、乙、丙三处开设租车还车处，顾客可在甲、
乙、丙三处任意租车和还车。今公司准备在上述三处之一设立汽车维
行甲企业保持用户的概率是 0.92,转移到乙,丙两次企业的概率都是
0.04,甲企业失去用户的概率是
0.04 0.04 0.08
第三步：利用马尔可夫链进行预测.显然,12 月份三家企业市场占有
率为
S (2)
(S1(2) ,
S（22）,
S
( 3
2)
)
S (0) P2
0.92 0.04 (0.25, 0.3 0.45)0.067 0.833
P
P21
PN
1
P12 P1N
P22
P2
N
PN 2
PN 3
为一次（或一步）转移矩阵。
转移矩阵必为概率矩阵，且具有以下两个性质：
1、 P(k) ； P(k1) P
2、 P(k) Pk
其中 P(k) 为 k 次转移矩阵。
定义 5 对概率矩阵 P ，若幂次方 P(m) 的所有元素皆为正数，则矩阵
来求三个企业的该种产品市场占有的稳定状态概率.
易验证 P 为正规矩阵.
设 t (x, y, 1 x y)
令 tP t
0.92 0.04 0.04
(x, y , 1 x y)0.067 0.833
0.1
(x
,
y,1
x
y)
0.067 0.022 0.911
将上式展开，得
0.92x 0.067y 0.067(1 x y) x
0.2 0.2 0.6
0.68 0.16 0.16 P2 0.32 0.2 0.48
0.32 0.16 0.52
因为 P2 都大于 0，所以 P 为正规矩阵,当甲、乙、丙三处租车还车业
务开展一定时期后,就会达到平衡条件,这样就可以得到一固定概率
向量 t ,使 tP t ,即
0.8 0.2 0 (x, y , 1 x y)0.2 0 0.8 (x, y,1 x y)
0.04x 0.833y 0.022(1 x y) y
0.04x 0.1y 0.911(1 x y) 1 x y
解上述联立方程式，得 x 0.4558， y 0.1598 故 (x , y ,1 x y) ( 0.4558 , 0.1598 , 0.3844 )
上述结果表明:如果甲、乙、丙三企业的市场占有率照目前转移概率
由上述计算可知,在稳定状态汽车还到甲处的概率为 0.5.即向甲 处还车的概率占出租车的一半,因此汽车维修保养场设在甲处是最佳 的选择.
经过 k 次转移后的状态向量
S (k)
(S1(k
)
,
S
(k 2
)
,
S
(k N
)
)
(k
1,
2
, )
，则
P11
S (k)
S
(
0)
P21
PN1
P12 P1N
P22
P2
N
PN 2 PNN
此式即为马尔可夫链预测模型。
由上式可以看出，系统在经过 k 次转后所处的状态 S (k) 取决与它的初
0.067 0.022
(0.306 , 0.246, 0.448)
0.04 2
0.1
0.911
12 月份三个企业用户拥有量分别为:
甲：1000 0.306 306 户 乙：1000 0.246 246 户 丙：1000 0.448 448 户 现在,假定该产品用户的流动情况按上述方向继续变化下去,我们
始状态 S (0) 和转移矩阵 P 。 马尔可夫引例
例 1：市场占有率预测
设有甲、乙、丙三家企业，生产同一种产品，共同供应 1000 家用
户，各用户在各企业间自由选购，但不超出这三家企业，也无新的用
户，假定在 10 月末经过市场调查得知，甲，乙，丙三家企业拥有的
客户分别是：250 户，300 户，450 户，而 11 月份用户可能的流动情
u
j
0 j 1, 2, , n
n
uj 1
j 1
定义 3 如果方阵 P 的每行都为概率向量，则称此方阵为概率矩阵。
如果矩阵 A 和 B 皆为概率矩阵，则 AB ，Ak ，Bk 也都是概率矩阵（ k 为
正整数）。
定义 4 系统由状态 Ei 经过一次转移到状态 E j 的概率记为 Pij ，称矩阵
P11
解：第一步：根据调查资料，确定初始状态概率向量，这里
S (0)
(S1(0) ,
S
(0) 2
,
S3(0) )
(250 /1000, 300 /1000, 450 /1000)
(0.25, 0.3 0.45)
第二步：确定一次转移概率矩阵，此例有用户可能流动情况调查表可
知，其一次转移概率矩阵为：
甲
乙
P 称为正规概率矩阵。（此处 m 2 ）
定理 1 正规概率矩阵 P 的幂次方序列 P ， P2 ， P3 ，…趋近于某一
方阵T ，T 的每一行均为同一概率向量 t ，且满足tP t 。
马尔可夫链模型如下：
设系统在 k 0 时所处的初始状态
S (0)
(S1(0)
,
S
(0) 2
,
S
(0) N
)
为已知，