黑龙江省哈尔滨市第三中学高一上学期期中考试数学试题(含答案).doc

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黑龙江省哈尔滨市第三中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题(解析)

黑龙江省哈尔滨市第三中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}222M y y x x ==--∣，N x y ⎧==⎨⎩，则M N = （）A [3,1)- B. [1,1)- C. (1,3)D. [1，4]【答案】A 【解析】【分析】先化简集合,M N ，再利用交集定义即可求得M N ⋂.【详解】{}(){}{}2222133M yy x x y y x y y ==--==--=≥-∣∣∣{}{}101N x y x x x x ⎧===->=<⎨⎩故{}{}[)313,1M N yy x x ⋂=≥-⋂<=-∣故选：A2. 已知向量a ，b 满足2a b a b -=+ ，其中b 是单位向量，则a 在b方向上的投影向量是（）A. bB. 34bC. 14bD. 12b- 【答案】D 【解析】【分析】由模的平方得数量积a b ⋅ 与b的关系，再代入投影向量公式可得.【详解】因为2a b a b -=+ 平方得，2222244a a b b a a b b -⋅+=+⋅+ ,又1b = ，则化简得21122a b b ⋅=-=- ，故a 在b 方向上的投影向量是12||||a b b b b b ⋅⨯=-.故选：D ．3. 已知函数()22()log 2,f x x ax a =-∈R ，则“1a ≤”是“函数()f x 在(1,)+∞上单调递增”的（）.A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，求出函数()f x 在(1,)+∞上单调递增等价条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】由函数()f x 在(1,)+∞上单调递增，得1120a a ≤⎧⎨-≥⎩，解得12a ≤，充分性，当“1a ≤”时，函数()f x 在(1,)+∞上不一定单调递增，故充分性不成立，必要性，函数()f x 在(1,)+∞上单调递增，则211a a ≤⇒≤，故必要性成立，则“1a ≤”是“函数()f x 在(1,)+∞上单调递增”的必要不充分条件.故选：B 4.若πcos 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭1tan sin αα-=（）A. 125-B.65C.125D.512【答案】C 【解析】【分析】由题给条件求得cos sin ,cos sin αααα-的值，进而求得1tan sin αα-的值.【详解】由πcos 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭αα=则cos si 23n αα-=，则()222cos sin 3αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则5cos sin 18αα=，故21tan cos sin 1235sin sin cos 518αααααα--===故选：C5. 已知圆221:(3)81C y x ++=和222:(3)1C y x -+=，若动圆P 与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M ，则M 的方程为（）A. 221167y x += B. 221259y x += C. 2212516y x += D. 221169x y +=【答案】C 【解析】【分析】先利用椭圆定义得到该动圆圆心的轨迹M 为椭圆，进而得到M 的方程.【详解】圆221:(3)81C y x ++=，圆心()10,3C -，半径19r =，圆222:(3)1C y x -+=，圆心()20,3C ，半径21r =，因为1212691C C r r =<-=-所以圆2C 在圆1C 内，所以动圆P 与圆1C 内切与圆2C 外切，设动圆P 半径为r ，圆心(),P x y ，则19PC r =-，21PC r =+，故2110PC PC +=，所以动点P 的轨迹M 是以12,C C 为焦点长轴长为10的椭圆.由12210,26a c C C ===，解得5,3a c ==，所以4c ===，又因为该椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，所以M 的方程为2212516y x +=.故选：C6. 如图，三棱柱111ABC A B C -中，E ，F 分别是AB 、AC 的中点，平面11EFC B 将三棱柱分成体积为12,V V （左为1V ，右为2V ）两部分，则21:V V =（）A. 5:6B. 3:4C. 1:2D. 5:7【答案】D 【解析】【分析】设AEF 面积为1s ，ABC 和111A B C 的面积为s ，三棱柱高位h ；1111AEF A B C V V -=；112BCFE B C V V -=；总体积为：V ，根据棱台体积公式求1V ；21V V V =-以及面积关系，求出体积之比．【详解】由题：设AEF 面积为1s ，ABC 和111A B C 的面积为s ，三棱柱高位h ；1111AEF A B C V V -=；112BCFE B C V V -=；总体积为：V计算体积：111(3V h s s =++①V sh =②21V V V =-③由题意可知，14s s =④根据①②③④解方程可得：1712V sh =，2512V sh =；则21:5:7V V =.故选：D ．7. 专家表示，海水倒灌原因是太阳、月亮等星体的共同作用下，海水的自然涨落，如果天气因素造成的涨水现象赶上潮汐高潮的时候，这个时候水位就会异常的高.某地发生海水倒灌，未来24h 需要排水减少损失，因此需要紧急抽调抽水机.经测算，需要调用20台某型号抽水机，每台抽水机需要平均工作24h.而目前只有一台抽水车可立即投入施工，其余抽水机需要从其他施工现场抽调.若抽调的抽水机每隔20min 才有一台到达施工现场投入工作，要在24h 内完成排水任务，指挥部至少共需要抽调这种型号的抽水机（）A 25台B. 24台C. 23台D. 22台【答案】B.【解析】【分析】设至少需要n 台抽水机，记一台抽水机20min 完成的任务为单位1， n 台抽水机完成的任务依次为12,,,n a a a ，172n ≤≤，{}n a 是公差为1-的等差数列，解不等式2072n S ≥⨯即可得．不等式数字较大，引入二次函数后，利用函数的性质确定结论．【详解】设至少需要n 台抽水机，记一台抽水机20min 完成的任务为单位1，这n 台抽水机完成的任务依次为12,,,n a a a ，172n ≤≤（24372⨯=）依题意160247220a =⨯=，271a =，{}n a 是公差为1-的等差数列，1(1)(1)7222n n n n n S na d n --=+=-，要完成所有任务，则(1)72202432n n n S n -=-≥⨯⨯，214528800n n -+≤，记2()1452880f n n n =-+，()f n 在[1,72]上是减函数，(23)740f =>，(24)24f =-，所以2472n ≤≤时，()0f n <，所以最小值需要24台抽水机，故选：B ．8. 已知函数2()(2)ln 1()f x ax a x x a =-+++∈R ，若12,(0,)x x ∀∈+∞，当12x x ≠时，()()12122f x f x x x ->--恒成立，则a 的取值范围是（）A. (,1)∞--B. (,1]-∞- C. (0,8]D. [0,8]【答案】D 【解析】【分析】将1212()()2f x f x x x ->--化为1122()(22)f x x f x x +<+，由此令()()2m x f x x =+，则2()1m x ax ax lnx =-++，则原问题转化为()m x 在(0,)+∞上单调递增，继而结合导数与函数单调性的关系，即可求解．【详解】不妨设120x x <<，因为1212()()2f x f x x x ->--对一切120x x <<都成立，所以1122()(22)f x x f x x +<+对一切120x x <<都成立，令()()2m x f x x =+，则2()ln 1m x ax ax x =-++．定义域为(0,)+∞，则原问题转化为()m x 在(0,)+∞上单调递增；()21212ax ax m x ax a x x-+=-+='又，当0a =时，1()0m x x'=>，()m x 在(0,)+∞单调递增；当0a ≠时，需()0m x '≥在(0,)+∞上恒成立，即2210ax ax -+≥在(0,)+∞上恒成立，对于221y ax ax =-+图象过定点(0,1)，对称轴为14x =，故要使得2210ax ax -+≥在(0,)+∞上恒成立，需满足a >0且21121044a a ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭，解得08a <≤，综合可得08a ≤≤，即a 的取值范围为[0,8]．故选：D.【点睛】方法点睛：遇到双变量12,x x 函数不等式1212()()2f x f x x x ->--，需要集中变量转化为函数值大小关系1122()(22)f x x f x x +<+，从而构造函数，转化为新函数单调性判断问题，再结合导数确定单调性即可得所求.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 设12,F F 是椭圆2211612x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一点，且122PF PF -=．则下列说法中正确的是（）A. 125,3PF PF ==B. 离心率为12C. 12PF F 的面积为6D. 12PF F 的面积为12【答案】ABC 【解析】【分析】根据椭圆的标准方程求出,,a b c ，再由题意及椭圆定义列出方程求解可判断A ，根据离心率定义判断B ，根据A 可知三角形为直角三角形，求面积可判断CD .【详解】由2211612x y +=，得2216,12a b ==，则4,2====a b c ，因为P 是椭圆上一点，所以1228PF PF a +==，因为122PF PF -=，所以15PF =，23PF =，故A 正确；对于B ，离心率为12c e a ==，故B 正确；对于CD ，因为2221212PF PF F F =+，所以12PF F 为直角三角形，212PF F F ⊥，所以1213462PF F S =⨯⨯=△，故C 正确，D 错误．故选：ABC10. 已知函数π()sin(2)2f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭满足ππ43f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若()f x 在区间π,2t ⎛⎤⎥⎝⎦上恰有3个零点，则（）A. ()f x 的最小正周期是π2B. ()7,π24x f x f ⎛⎫∀∈≤ ⎪⎝⎭R C. t 的最小值为37π24 D. t 的最大值为49π24【答案】BC 【解析】【分析】根据正弦型函数的周期与对称性可得ϕ的值，从而得函数解析式，利用正弦型函数的最小周期、最值、零点逐项判断即可得结论.。

精品解析：黑龙江省哈尔滨市第三中学2021-2022学年高一上学期10月月考数学试题(原卷版)

（3）若，求实数的取值范围.
21.若a、b、c都是正数，求证：．
22.随着“新冠”疫情得到有效控制，企业进入了复工复产阶段为了支持一家小微企业发展，某科创公司研发了一种玩具供其生产销售．根据测算，该企业每月生产每套玩具的成本由两部分费用（单位：元）构成：①固定成本（与生产玩具套数无关），总计2万元；②生产所需成本
三､解答题：本题共5小题，每小题12分，共60分.解答须写出文字说明､证明过程或演算步骤.
19.已知，命题：，不等式恒成立；命题：，使得成立.
（1）若为真命题，求的取值范围；
（2）当时，若和一真一假，求实数的取值范围.
20 已知集合 .
（1）当时，求；
（2）当时，判定与之间关系；
（1）问：该企业每月生产多少套玩具时，可使得平均每套所需的成本费用最少？此时每套玩具的成本费用是多少？
（2）因“疫情”防控需要，要求企业的复工复产逐步进行，假设复工后，企业每月生产套，售价定为（单位：元），且每月生产出的玩具能全部售出如果企业的月产量与复工率成正比，且该企业复工率达100%时的月产量为4000套，问：该企业的复工率至少达到多少时，才能确保月利润不少于10万元？
A. B. C. D.
10.已知集合，或，若，则实数的取值范围为（）
A. B. C. D.
11.已知､均为实数集的子集，且，则下列结论中正确的是（）
A. B. C. D.
12.解关于x的不等式：，则下列说法中正确的是（）
A.当时，不等式的解集为 B.当时，不等式的解集为或
C.当时，不等式的解集为 D.当时，不等式的解集为
23.已知二次函数 .

2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市第三中学高一上学期入学考试数学试题(解析版)

2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市第三中学校高一上学期入学考试数学试题一、单选题1．下列运算正确的是（） A ．1644x x x ÷＝ B ．()5210a a ＝C ．224235a a a +＝D ．3332b b b ⋅＝【答案】B【分析】根据指数幂的运算法则即可逐一求解. 【详解】对于A,21641614x x x x -÷=＝，故A 错，对于B,()5210a a ＝,故B 对，对于C,222235a a a +＝,故C 错，对于D,63333b b b b +⋅=＝，故D 错，故选：B2．由五个正方体组成的几何体如图所示，则该几何体的俯视图为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据俯视图是从上往下看即可求解俯视图.【详解】从正上方往下看，底层由3+1个正方体，顶层由一个正方体构成，顶层的正方体在俯视图中与底层右侧的重合，故选：C3．如图，两个全等的正方形的四种不同摆放中，中心对称图形有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】根据中心对称图形的概念判断即可得答案.【详解】把一个图形绕某一点旋转180，如果旋转后能与原来的图形重合，那么这个图形就叫中心对称图形，由此可知图中第2个和第3个图形为中心对称图形，故选：B4．网上一家电子产品店，今年1﹣4月的电子产品销售总额如图1，其中某一款平板电脑的销售额占当月电子产品销售总额的百分比如图2．根据图中信息，有以下四个结论，推断不合理的是（）A．从1月到4月，电子产品销售总额为290万元B．该款平板电脑4月份的销售额比3月份有所下降C．今年1﹣4月中，该款平板电脑售额最低的是3月D．该款平板电脑2至4月的销售额占当月电子产品销售总额的百分比与1月份相比都下降了【答案】B【分析】结合图1、图2即可计算出该款平板电脑1﹣4月份的销售额，即可出答案.+++=万元，A 【详解】由图1可知从1月到4月，电子产品销售总额为85806065290正确；⨯=万元，该款平板电脑3月份的销售额为6018%10.8⨯=万元，4月份的销售额为6517%11.05则该款平板电脑4月份的销售额比3月份多了11.0510.80.25-=万元，B 错误；该款平板电脑1月份的销售额为8523%19.55⨯=万元， 2月份的销售额为8015%12⨯=万元，所以今年1﹣4月中，该款平板电脑售额最低的是3月10.8万元，C 正确；由图2可知该款平板电脑2至4月的销售额占当月电子产品销售总额的百分比与1月份相比都下降了，D 正确. 故选：B.5．已知关于x 的分式方程322x k x x-=--的解为正数，则k 的取值范围是（） A ．6k >- B ．2k >- C ．6k >-且2k ≠- D ．6k ≥-且2k ≠-【答案】C【分析】求解分数方程的解，利用解为正数即可确定k 的范围. 【详解】由322x k x x -=--得6222x k x x -=--，故6622kx k x +-=-⇒=，根据题意可知：602k x +=>且622k x +=≠，解得6k >-且2k ≠-，故选：C6．如图，直线l 1与反比例函数3y x=()0x >的图象相交于A 、B 两点，线段AB 的中点为点C ，点C 作x 轴的垂线，垂足为点D ．直线l 2过原点O 和点C ．若直线l 2上存在点P （m ，n ），满足∠APB ＝∠ADB ，则m +n 的值可为（）A ．35B ．3或32C ．3535D ．3【答案】A【分析】根据同弧所对的圆周角相等可作ABD △的外接圆，根据点的坐标，可计算长度，得ABD △是直角三角形，进而德//OC BD ,进而根据几何图形的关系可求圆心坐标以及OP 的长度，进而可求点P 坐标，即可求解.【详解】如图，作ABD △的外接圆，记为J ,J 交直线2l 于点P ,连接,AP PB ,则APB ADB ∠∠＝，建立如图所示的平面直角坐标系，则1,3,()()3,1A B ,由AC BC =,故(2,2)C , 又CD x ⊥轴，()2,0D ∴,故221310AD =+=,222222AB =+=,22112BD =+=, 由于222AD AB BD =+,因此ABD △为直角三角形，故BD AB ⊥,因为,//,JC AB JC BD ⊥∴又,AC CB AJ JD J =⇒=∴是AD 的中点，故33,22J ⎛⎫⎪⎝⎭,OC 直线方程为：y x =，设(,)P m n ，因为10323210235,,,22222PJ JA OJ OP OJ PJ m OP --===∴=-=∴==， 35,352n m m n -==∴+=-, 根据对称性可知，点P 关于点C 的对称点555522P ⎛⎫++' ⎪ ⎪⎝⎭，也满足APB ADB ∠∠＝，故此时55m n +=+，故选：A7．如图，在ABC 中，延长CA 至点F ，使得AF CA ＝，延长AB 至点D ，使得2BD AB ＝，延长BC 至点E ，使得3CE CB ＝，连接EF FD DE 、、，若36DEFS＝，则ABCS为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A【分析】如图，连接,AE CD ，设ABC 的面积为m .，利用等高模型的性质，用m 表示出各个三角形的面积，可得DEF 的面积为18m ，构造方程可得结论. 【详解】如图，连接,AE CD ，设ABC 的面积为m .2BD AB =22BCDABCS S m ∴==3ACD BCDABCSSS m ∴=+=AC AF =3ADFACDSSm ∴==3EC BC =33ECAABCS S m ∴== 36EDC BCDSSm ∴==AC AF =3AEFEACS S m ∴== DEF ABCBCDEDCECAAEFADFSSSSSSS∴=+++++26333m m m m m m =+++++ 1836m == 2m ∴=ABC ∴的面积为2，故选：A8．一只小虫子欲从A 点不重复经过图中的点或者线段，而最终到达目的地E ，这只小虫子的不同走法共有（）A ．12种B ．13种C ．14种D ．15种【答案】C【分析】根据题意按照一定顺序，将所有的路线列举出来即可.【详解】由题意这只小虫子的不同走法共有：ABCDE,ABCDPE, ABCDPFE,ABPDE ,,,,,,,,,,ABPE ABPFE APBCDE APDE APE APFE AGFBCDE AGFPDE AGFPE AGFE 共14种，故选：C9．为了开展好“招远市城市卫生专项”行动，某单位需要购买分类垃圾桶8个，市场上有A 型和B 型两种分类垃圾桶，A 型分类垃圾桶50元/个，B 型分类垃圾桶55元/个，总费用不超过415元，则不同的购买方式有（） A ．2种 B ．3种 C ．4种 D ．5种【答案】C【分析】根据题意列不等式，求得未知数的范围，可得答案.【详解】设购买A 型分类垃圾桶x 个，则B 型分类垃圾桶买(8)x -个，故5055(8)415x x +-≤，解得5x ≥，又x ，8-x 均为负整数，故x 可以为：5,6,7,8，则不同的购买方式有4种，故选：C10．如图，在矩形ABCD 中，AB 32，AD 3AD 沿AE 折叠，使点D 恰好落在AB 边上的D 处，再将AED '△绕点E 顺时针旋转α，得到A ED '''△，使得EA '恰好经过BD '的中点F ，D A '''交AB 于点G ，连接AA '．有如下结论：①A F '62；②弧D D '''53；③7.5A AF '∠︒＝；④AA F EGF '．上述结论中，所有正确的序号是（）A ．①②④B ．①③C ．②③④D ．①②③④【答案】D【分析】由折叠的性质可证四边形ADED '是正方形，可得AD AD D E DE ''====3，AE =2AD =6，45EAD AED ''∠=∠=︒，由勾股定理可求EF 的长，由旋转的性质可得AE A E '==6，45D ED EA D EAD α'''''''∠=∠=∠=︒，，可求A F '=62-，可判断①；由锐角三角函数可求30FED '∠=︒，由弧长公式可求弧D D '''的长度，可判断②；由等腰三角形的性质可求52.57.5EAA EA A A AF '''∠=∠=︒∠=︒，，可判断③；由D E D E '''=，EG =EG 可证Rt Rt ED G ED G '''≅，可得52.5D GE D GE '''∠=∠=︒，可证AA F EGF '，可判断④，即可求解．【详解】解：∵把AD 沿AE 折叠，使点D 恰好落在AB 边上的D 处， ∴90D AD E DAD AD AD '''∠=∠=︒=∠=，， ∴四边形ADED '是矩形，又∵AD AD '==3， ∴四边形ADED '是正方形，∴AD AD D E DE ''====3，AE =2AD =6，45EAD AED ''∠=∠=︒， ∴2D B AB AD ''=-=， ∵点F 是D B '中点， ∴1D F '=，∴22312EF D E D F ''=+=+=， ∵将AED '△绕点E 顺时针旋转α，∴AE A E '==6，45D ED EA D EAD α'''''''∠=∠=∠=︒，， ∴A F '=62-，故①正确；∵13tan 33D F FED DE ''∠==='， ∴30FED '∠=︒，Rt Rt ED G ED G '''≅， D GE D GE '''=∠，AGD A AG AA G ''''=∠+∠=52.5D GE AA F ''=︒=∠， AFA EFG '∠=∠， ∴AA FEGF '，故④正确，所以所有正确的序号为：故选：D ．二、填空题11．据美国媒体报道，截止2021年6月11日，美国累计新冠肺炎确诊病例达到3427万，将数字3427万用科学记数法表示应为 ____________．【答案】73.42710⨯【分析】根据科学计数法的概念直接得解. 【详解】3427万734270000 3.42710==⨯，故答案为：73.42710⨯ 12．在函数y =中，自变量x 的取值范围是 _______．13．如图，点D 在ABC 内部，△DAB ≌△EAC ，若添加一个条件：___________，则△ADE 等边三角形．【答案】AD ＝DE （或∠DAE ＝60°或∠BAC ＝60°或AB ＝BC 等）（答案不唯一）【分析】根据条件可得AD =AE ，故添加一个条件能保证△ADE 等边三角形即可【详解】由△DAB ≌△EAC ，可得AD =AE,故要使△ADE 等边三角形，添加条件：AD ＝DE 即可；故答案为：AD ＝DE （答案不唯一）14．若关于x ，y 的二元一次方程组221x y x y k +=⎧⎨+=+⎩的解为正数，则k 的取值范围为________．【答案】13k <<【分析】求出方程组的解，用k 来表示，根据题意列出不等式组，求得答案.【详解】由221x y x y k +=⎧⎨+=+⎩，解得13x k y k =-⎧⎨=-⎩，因为关于x ，y 的二元一次方程组221x y x y k +=⎧⎨+=+⎩的解为正数，故1030k k ->⎧⎨->⎩，解得13k <<，故答案为：13k <<15．在一个不透明的袋中装有材质、大小完全相同的红球和黑球共100个，小明每次摇匀后随机从袋中摸出一个球，记录颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.85左右，估计袋中红球有_____个．【答案】85【分析】利用频率的计算公式代入即可得出答案. 【详解】因为摸到红球的频率稳定在0.85左右，估计袋中红球有0.85100=85⨯个. 故答案为：85个.16．如图所示，在扇形OAB 中，∠AOB ＝90°，半径OA ＝4，点F 位于弧AB 的13处且靠近点A的位置．点C、D分别在线段OA、OB上，CD＝4，E为CD的中点，连接EF、BE．在CD滑动过程中（CD长度始终保持不变），当EF取最小值时，阴影部分的周长为______．【答案】4 2233π++【分析】连接OF，OE，BF，取OF的中点T，连接BT．证明△OBF是等边三角形，利用直角三角形斜边中线的性质求出OE，EF≥OF-OE=2，推出当O，E，F共线时，EF 的值最小，此时点E与点T重合，求出BT，FT，BF的长即可【详解】解：如图，连接OF，OE，BF，取OF的中点T，连接BT．∵∠AOB=90°，13AF AB=，∴∠BOF=60°，∴BF的长=6044 1803ππ︒⨯⋅=︒，∵CE=DE，∴OE=12CD=2，∵OF=4，∴EF≥OF-OE=2，∴当O ，E ，F 共线时，EF 的值最小，此时点E 与点T 重合， ∴此时EF =2，∵OF =OB ，∠BOF =60°， ∴△BOF 是等边三角形， ∵OT =TF ， ∴BT ⊥OF ，∴BE =BT =22224223OB OT -=-=， ∴此时阴影部分的周长为42233π++．故答案为：42233π++17．如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝45°，AB ＝72cm ，点O 以2cm/s 的速度在△ABC 边上沿A →B →C →A 的方向运动．以O 为圆心作半径为2cm 的圆，运动过程中⊙O 与△ABC 三边所在直线首次相切和第三次相切的时间间隔为_______秒．【答案】5222+ 【分析】求出从首次相切到第三次相切时，圆心O 移动的距离即可，画出两次相切时的图形，利用直角三角形的边角关系和切线的性质求出答案.【详解】如图，圆O 与△ABC 的边首次相切，切点为D ，第三次相切时，切点为E ，因为，∠A ＝30°，2cm OD =，所以222cm OA OD ==，因为∠B ＝45°，12cm O E =，所以1122cm O B O E ==，所以从首次相切到第三次相切时，圆心O 移动的距离为： ()172222522cm OB BO +=-+=+，所以从首次相切到第三次相切时的时间间隔为：522s 2+. 故答案为：5222+18．如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，2AB BC ==，点M 在CB 的延长线上（不含点B ），连接AM 并以AM 为直角边作等腰直角AMN ，其中90AMN∠=︒，AM MN =，连接AN 交BC 于点D ，当CDN △为等腰三角形时，BM =________．【答案】222-或2【分析】先根据ABC 与AMN 均为等腰直角三角形可证ABMACN △△，从而又45DCN ACN ACB ∠=∠-∠=︒，再分CD CN =或CD DN =或CN DN =三种情况分别讨论，由等腰对等角、勾股定理计算、三角形外角性质计算即可. 【详解】ABC 、AMN 均为等腰直角三角形，45MAN BAC ∴∠=∠=︒，2AC AB =，2AN AM =， 2AC ANAB AM∴==， ABM ACN ∴，90ACN ABM ∴∠=∠=︒，AMB ANC ∠∠=，45DCN ACN ACB ∴∠=∠-∠=︒， ①当CD CN =时，()1804567.52CDN CND ︒-︒∠=∠==︒，67.5AMB ∴∠=︒，9022.5MAB AMB ∠=︒-∠=︒，如图，在AB 上截取BE MB =，连接ME ，45MEB EMB ∴∠=∠=︒， 22.5AME MAB ∴∠=︒=∠，ME AE ∴=，设MB x =，BE x =，2ME AE x ==，22AB AE BE x x ∴=+=+=，解得：222x =-， 222BM ∴=-，②当CD DN =时，45DCN DNC ∠=∠=︒，90ABM ∠=︒，45AMB ANC ∠=∠=︒，2BM AB ∴==，③当CN DN =时，45DCN CDN ∠=∠=︒，45ADB ∴∠=︒，这与4545ADB ACB DAC DAC ∠=∠+∠=︒+∠>︒矛盾，综上所述，222=-BM 或2，故答案为：222-或2.19．如图，对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ；把纸片展平后再次折叠，使点A 落在EF 上的点A ′处，得到折痕BM ，BM 与FF 相交于点N ．若直线BA ′交直线CD 于点O ，BC ＝5，EN ＝1，则OD 的长为 __________．【答案】33【分析】根据对称性质可推得EBN NBA A BC ''∠=∠=∠，即可求得30EBN NBA A BC ''∠=∠=∠=，从而求得AB,OC 的长，即可求得答案. 【详解】由题意知N 为BM 的中点，连接AN ,则AN A N BN '== ,故NBA NA B ''∠=∠ ,又因为EF BC ∥,NA B A BC ''∴∠=∠, 而EBN NBA '∠=∠,故EBN NBA A BC ''∠=∠=∠，而90ABC ∠=,故30EBN NBA A BC ''∠=∠=∠=，由EN =1，则2AM =,则223tan 30AB DC === ，在Rt OCB △中，BC =5，故535tan 303OC ==，故5332333DO DC OC =-=-=，故答案为：3320．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，1BC =，1CD 为斜边AB 上的中线，过点1D 作11D E AC ⊥于点1E ，连接1BE 交1CD 于点2D ；过点2D 作22D E AC ⊥于点2E ，连接2BE 交1CD 于点3D ；次作下去，可以得到点4D ，点5D ，，点n D ，分别记11BD E ，22BD E △，33BD E △，，n n BD E △的面积为1S ，2S ，3S ，，n S ，则第n 个三角形n nBD E △的面积n S =_______．【答案】()2321n +【分析】首先由Rt ABC 中，1BC =，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，求得ABC 的面积，然后由1D 是斜边AB 的中点，根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质，再利用ACB △中，2D 为其重心可得21113D E BE =，然后从中找出规律即可解答. 【详解】Rt ABC 中，1BC =，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，ABCS=11D E AC ⊥11BD E ∴与11CD E 同底同高，面积相等，以此类推，11114D E AABCS SS ∴==，根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质可知：1212ABCS S =，ACB 中，为三角形的中位线，2112D D E CD B ∴，且相似比为21113D E BE ∴=，2213D E BC ∴=，2CE ABCS，3314D E BC ∴=，3CE ABCS ，，ABCS，)231n +三、解答题21．先化简再求值：2222221a b ab b aba ab b a b b ⎛⎫-+-⋅ ⎪-+--⎝⎭，其中2a =，2b =．()()()()21b a b a b ab a b a b b a b ⎡⎤+-=-⋅⎢⎥+---⎢⎥⎣⎦11b ab a b a b b ⎛⎫=-⋅ ⎪---⎝⎭ 11b ab a b b-=⋅-- aba b=-；又32a =+，32b =-，所以原式()()()()3232143232+-==-+--. 22．在正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，△ABC 的三个顶点都在格点上，点A 的坐标为(4,4)，请解答下列问题：(1)画出△ABC 关于y 轴对称的111A B C △ ；(2)将△ABC 绕点C 逆时针旋转90 ，画出旋转后的22A B C ； (3)在（2）的条件下，求AC 扫过的面积．【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)5π2【分析】（1）找出△ABC 的各顶点关于y 轴的对称点，连接可得答案；（2）将△ABC 绕点C 逆时针旋转90，即可画出旋转后的图形；（3）根据扇形的面积公式即可求得答案. 【详解】(1)如图，△A 1B 1C 1即为所求．(2)如图，22A B C 即为所求．(3)由图可知AC ＝221310+=，故AC 扫过的面积为()290π105π3602⋅⋅=. 23．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 过点A （﹣1，0）、B （3，0），与y 轴交于点C ，抛物线的顶点D .（1）若点C 的坐标为（0，3），求该抛物线的解析式；（2）E 是线段AB 上一动点（点E 不与A 、B 重合），过点E 作x 轴的垂线交抛物线于点F ，若EF ＝AE ，在（1）的条件下，试求点F 的坐标；（3）当a ＜0时，设ACD △的面积为S 1，ABD △的面积为S 2，求12S S 值. 【答案】（1）y ＝﹣x 2+2x +3；（2）F （2，3）；（3）18.【分析】（1）将点代入即可求解；（2）设点F （x ，﹣x 2+2x +3），则点E （x ，0），由EF ＝AE ，得﹣x 2+2x +3＝x +1，解出x 即可求解；（3）设出抛物线方程，表示出C ， D 的坐标，表示出12,S S ，即可求解【详解】（1）将点A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，3），代入y ＝ax 2+bx +c ，得00933a b c a b c c =-+⎧⎪=++⎨⎪=⎩，解得123a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴该抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+2x +3.（2）设点F （x ，﹣x 2+2x +3），则点E （x ，0），∵EF ＝AE ，∴﹣x 2+2x +3＝x +1，解得x ＝2或x ＝﹣1，∵点E 不与A 、B 重合，∴x ＝2，∴yF ＝﹣x 2+2x +3＝﹣22+2×2+3＝3， ∴点F （2，3）；（3）∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 过点A （﹣1，0）、B （3，0）， ∴y ＝a （x +1）（x ﹣3）＝a （x 2﹣2x ﹣3）＝a （x ﹣1）2﹣4a ， ∴点C 坐标为（0，﹣3a ），D 坐标为（1，﹣4a ），如图连接CD ，AD ，且AD 与y 轴交于点M ，过点D 作DN ⊥x 轴于N ，∴AO MO AN DN =，即124MOa=-，解得MO ＝﹣2a ， ∴CM ＝CO ﹣OM ＝﹣3a ﹣（﹣2a ）＝﹣a ， ()()()1111122D S CM AO x a a =⨯⨯+=⨯-⨯+=-，S 2＝12×AB ×DN ＝12×4×（﹣4a ）＝﹣8a ， ∴12S S ＝188a a -=-. 24．兴趣小组设计了一份“你最喜欢的支付方式”的调查问卷（每人必选且只能选一种支付方式），在某商场随机调查了部分顾客，并将统计结果绘制成如下所示的两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：(1)将条形统计图补充完整；在扇形统计图中，表示“现金”支付的扇形圆心角的度数为；(2)若之前统计遗漏了15份问卷，已知这15份问卷都是采用“支付宝”进行支付，问重新统计后的众数所在的分类与之前统计的情况是否相同，并简要说明理由；(3)在一次购物中，嘉嘉和琪琪随机从“微信，支付宝，银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．【答案】(1)作图见解析，90°(2)不同，理由见解析(3)作图见解析，1 3【分析】（1）先根据题意补全条形统计图，再由360︒乘以使用现金人数所占比例即可得其对应的圆心角度数.（2）根据众数的定义求解即可.（3）画出树状图，共有9种可能的结果，其中嘉嘉和琪琪两人恰好选择同一种支付方式有3种，再有古典概率公式代入即可得出答案.【详解】(1)补全统计图如图所示：因为使用银行卡的人数由30人，占15%，所以使用现金人数有50人，应占25%，所以“现金”支付的扇形圆心角的度数为：36025%=90 100%︒⨯︒.(2)重新统计后的众数所在的分类与之前统计的情况不同，理由如下：原数据的众数所在的分类为微信，而加上遗漏的15份问卷后，数据的众数所在的分类为微信、支付宝．(3)将微信记为A、支付宝记为B、银行卡记为C，画树状图如下：∵共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为31 93 =．25．从甲地到乙地，先是一段上坡路，然后是一段平路，小冲骑车从甲地出发，到达乙地后休息一段时间，然后原路返回甲地．假设小冲骑车在上坡、平路、下坡时分别保持匀速前进，已知小冲骑车上坡的速度比平路上的速度每小时少5km，下坡的速度比在平路上的速度每小时多5km ，设小冲出发x h 后，到达离乙地y km 的地方，图中的折线ABCDEF 表示y 与x 之间的函数关系．(1)求小冲在平路上骑车的平均速度以及他在乙地的休息时间； (2)分别求线段AB 、EF 所对应的函数关系式；(3)从甲地到乙地经过丙地，如果小冲两次经过丙地的时间间隔为0.85h ，求丙地与甲地之间的路程．【答案】(1)()()15km /h 0.1h ，； (2)10 6.5(00.2)AB y x x =-+≤≤，()2013.50.91EF y x x ≤≤＝-； (3)1千米【分析】（1）先计算出小明骑车上坡的速度，再根据骑车上坡的速度比平路上的速度每小时少5km 求出小明平路上的速度，求出小明下坡的速度，平路上所用的时间,下坡所用的时间，那么就可以求出小明在乙地休息的时间；（2）根据上坡的速度为10km/ h ，下坡的速度为20km/h,再结合图像，即可求出答案; （3）设小明出发a 小时第一次经过丙地，根据题意得到()6.510200.8513.5a a +-＝-，求出a 的值,即可解答.【详解】(1)小冲骑车上坡的速度为：()()6.5 4.50.210km /h -÷＝，平路上的速度为：()10515km /h +＝，下坡的速度为： ()15520km /h +＝，平路上所用的时间为：()()2 4.5150.6h ⨯÷＝，下坡所用的时间为：()()6.5 4.5200.1h -÷＝，所以小冲在乙地休息了：()10.10.60.20.1h ---＝；(2)由题意可知：上坡的速度为10km/h ，下坡的速度为20km/h ，所以线段AB 所对应的函数关系式为： 6.510y x ＝-，即()10 6.500.2AB y x x +≤≤＝-，线段EF 所对应的函数关系式为()4.5200.20.10.6EF y x +--＝-，即()2013.50.91EF y x x ≤≤＝-；(3)由题意可知：小冲第一次经过丙地在AB 段，第二次经过丙地在EF 段，设小冲出发a 小时第一次经过丙地，则小冲出发后()0.85a +小时第二次经过丙地，()6.510200.8513.5a a +-＝-，得：110a ＝，所以110110⨯＝（千米），答：丙地与甲地之间的距离为1千米．26．如图，在四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=︒，ADE ∠与EBF ∠互余，在线段BF 上取点M ，N （点M 在BN 之间），使2BM FN =．当点P 从点D 匀速运动到点E 时，点Q恰好从点M 匀速运动到点N ．记QN x =，PD y =，已知6125y x =-+，当Q 为BF 中点时，245y =．(1)判断DE 与BF 的位置关系，并说明理由．(2)求DE ，MN 的长．(3)若DE ，BF 分别平分ADC ∠，ABC ∠，并交线段AB ，CD 于点E ，F （点E ，B 不重合）．连接EM 并延长交BC 于点H ，如图2所示，若30AED ∠=︒，当DP DF =时，通过计算比较BE 与BQ 的大小关系．【答案】(1)//DE BF ，理由见解析(2)12DE =，10MN =(3)BQ BE >【分析】（1）根据同角的余角相等证AED ABF ∠=∠，即可得出//DE BF ；A C ∠=∠∴∠与ADE∠与ADEAED∴∠= DE BF ∴//x= (2)令0y=，得令0Q是BF FQ QB ∴==2 BM FN ∴+=6 FN解得：FN∴=BM4=FM FN ∴四边形∴=DF EM ∠=AED∴∠=FBE∠=︒90A∴∠=ADEDE平分四边形BF 平面ABC ∴∠=∴在EHB △4BM =，EM BM ∴=∴在MHB 中，12MH BM ∴=EH EM MN ∴=+由勾股定理得：Rt EHB 中，2BE EH =+DP DF =时，BQ BN NQ =-22433>， BQ BE ∴>27．我市在创建全国文明城市过程中，决定购买A ，B 两种树苗对某路段道路进行绿化改造，已知购买A 种树苗8棵，B 种树苗3棵，需要950元；若购买A 种树苗5棵，B 种树苗6棵，则需要800元．(1)求购买A ，B 两种树苗每棵各需多少元？(2)考虑到绿化效果和资金周转，购进A 种树苗不能少于52棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过7650元，若购进这两种树苗共100棵，则有哪几种购买方案？(3)某包工队承包种植任务，若种好一棵A 种树苗可获工钱30元，种好一棵B 种树苗可获工钱20元，在第（2）问的各种购买方案中，种好这100棵树苗，哪一种购买方案所付的种植工钱最少？最少工钱是多少元？【答案】(1)A 种树苗每棵100元，B 种树苗每棵50元(2)答案见解析(3)购进A 种树苗52棵，B 种树苗48棵所付工钱最少，最少工钱为2520元【分析】（1）设A 种树苗每棵x 元，B 种树苗每棵y 元，列方程组，即可求得答案；（2）设购进A 种树苗m 棵，由题意列出不等式组，求得答案；（3）计算在第（2）问的各种购买方案中每种方案的所付工钱，比较可得结论.【详解】(1)设A 种树苗每棵x 元，B 种树苗每棵y 元，根据题意，得：8395056800x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：10050x y =⎧⎨=⎩，答：A 种树苗每棵100元，B 种树苗每棵50元；.(2)设购进A 种树苗m 棵，则购进B 种树苗（100﹣m ）棵，根据题意，得：()521000100501007650m m m m ⎧≥⎪-≥⎨⎪+-≤⎩解得：52≤m ≤53，所以购买的方案有：1、购进A 种树苗52棵，B 种树苗48棵；2、购进A 种树苗53棵，B 种树苗47棵；(3)方案一的费用为52×30+48×20＝2520元，方案二的费用为53×30+47×20＝2530元，所以购进A 种树苗52棵，B 种树苗48棵所付工钱最少，最少工钱为2520元．28．如图1，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线=1y kx﹣交x 轴正半轴于点A ，交y 轴负半轴于点B ，10AB ．(1)求k 的值；(2)如图2，P为y轴正半轴上一点，过点P作PD⊥AB于点D，交线段OA于点E，设点P的纵坐标为t，线段AD的长d，求d与t的函数解析式；(3)如图3，在（2）的条件下，d=H在线段OP上，连接AH，AH HP＝，点G为第一象限内直线AP上方一点，连接PG、AG，30APG∠︒＝，点F为第二象限内一点，连接OF、FH、FG，若FG AG＝，2180AHO OHF∠+∠︒＝，2APG AGF FOH∠+∠∠＝，15AGF FOH∠-∠︒＝，求点F的坐标．。

黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题

黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题一、单选题1．下列关系中，正确的是（）A ．*2-∈NB ．πQ ∉C ．0∈∅D ．12∈Z2．集合{}{0,A x x B x y =≥=，则A B =I （）A ．∅B ．RC ． 0,2D ．(],2-∞ 3．已知命题1:0,2p x x x ∀>+>，则p ⌝为（） A ．0x ∀>，12x x +≤ B ．0x ∀≤， 12x x +≤ C ．0x ∃≤， 12x x+≤ D ．0x ∃>， 12x x +≤ 4．下列各组函数是同一个函数的是（）A ．32()1x x f x x +=+与()g x x =B ．()f x =()g x =C ．()f x =2()g x =D ．()f x =与()10g x x =+ 5．若0ab >，则a b <是11a b >的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．已知2x >，则124y x x =+-的最小值为（）A ．22+B ．2C ．4D ．2+7．已知集合1,48k M x x k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭N ，3,28k N y y k ⎧⎫==±∈⎨⎬⎩⎭N ，则（） A ．M N = B ．M N ⊇ C ．M N ⊆ D ．M N ⋂=∅ 8．已知,a b 为正实数，(41)(2)18ab a b ab ++=，则2a b +的取值范围是（）A ．1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．90,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．[]1,2D ．[)2,∞+二、多选题9．已知0a b >>，0c d >>，则（）A ．a d b c ->-B ．ac bd >C ．c d b a >D ．a c b d > 10．已知,a b 为正实数，ab a b =+，则下列选项正确的是（）A ．ab 的最小值为2B ．2a b +的最小值为3+C ．22a b +的最小值为8D ．1111a b +--的最小值为2 11．已知有限集{}()12,,2,N n A a a a n n =⋯≥∈，如果A 中的元素()1,2,,i a i n =⋯满足1212n n a a a a a a ++⋯+=⨯⨯⋯⨯，就称A 为“W 集”则下列选项正确的是（）A ．集合{4+-是“W 集”B ．若{}12,a a 是“W 集”，则12,a a 至少有一个大于2C ．二元“W 集”有有限个D ．若i a 为正整数，则“W 集”A 有且只有一个，且3n =三、填空题12．函数20()(21)f x x =-的定义域为. 13．已知11,13x y x y -≤+≤≤-≤，则32x y -的取值范围是.14．关于x 的不等式210x ax -+<在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上有解，则实数a 的取值范围是.四、解答题15．比较下列各组M ，N 的大小.(1)3322,0,,a b M a b N a b ab >=+=+；(2)3,M N ==16．已知集合{}{}233100,121,24x A x x x B x m x m M x x +⎧⎫=--≤=+≤≤-=≥⎨⎬-⎩⎭. (1)求()R A M U ð；(2)若满足A B B =I ，求实数m 的取值范围.17．哈尔滨市第三中学校计划在符保卢田径场建造一间地面为矩形、背面靠墙的器材室，占地面积为248m ，器材室正面每平方米的造价为1200元，侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元.墙高为3m ，且不计器材室背面和地面的费用.(1)列出总造价y 与器材室正面长度x 的关系式；(2)器材室正面长度x 为多少时能使总造价最低？并求出最低总造价.18．已知函数()()()212R f x ax a x a a =--+-∈.(1)若不等式()0f x <的解集为R ，求a 的取值范围；(2)解关于x 的不等式()1f x a ≥-.19．设x ∈R ，记不大于x 的最大整数为[]x ，如：[]1.11=，[]21.1-=-.(1)若[]1,2a ∈，求1a a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦； (2)已知532a a a -+=，试求6a ⎡⎤⎣⎦；(3)已知0a b c >,,且1ab bc ca ++=，记S =[]4S =.。

黑龙江省哈尔滨市第三中学校2023-2024学年高三上学期期中考试数学含答案

哈三中2023—2024学年度上学期高三学年期中考试数学试卷考试说明：（1）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟；（2）第I卷，第II卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．第I卷（选择题,共60分）一、选择题（共60分）(一)单项选择题（共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）A．2B．22A ．1B ．2已知ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是()()2a b c b c a ab +-++=，那么ABC A ．直角三角形C ．等边三角形如图，在边长为4的正三角形ABC 中，,DE AF 的中点，将ABC 沿,,DE EF DF 异面直线PG 与DH 所成的角的余弦值为A ．13B ．23在《九章算术商功》中将正四面形棱台体（棱台的上、下底面均为正方形）称为方亭．在方亭1111ABCD A B C D -中，AB =侧面积为33，则该方亭的体积为A ．72B ．768．已知函数21,1,1()122,1,2xx xf x x x a x -⎧≤⎪⎪+=⎨⎪-++->⎪⎩若总存在实数t ，使得函数()()g x f x t =-有三个零点，则实数a 的取值范围为A ．0a >B ．0a >或12a ≤-C ．0a >或12a <-D ．102a -<<(二)多项选择题（共4小题，每小题5分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）12．定义在R 上的函数,()()f x g x 满足)1(+=x g y 为偶函数，且,3)1()(=-+x g x f 1)1(1)3()(==--g x f x g ，，则下列说法正确的是A ．)(x f 为偶函数B ．)(x g 图象关于点(10)-，对称C ．)(x g 是以4为周期的周期函数D ．331()33i f i ==∑第Ⅱ卷（非选择题,共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．如图，在ABC 中，2BD DC = ，E 是AD 的中点，设AB=a ，AC = b .（1）试用,a b 表示,AD BE；（2）若1==a b ，a 与b 的夹角为60︒，求AD BE ⋅．（1）当6πθ=时，求四边形（2）若要在景区内铺设一条由线段值时，观光道路的总长22．已知函数()2sin 2x f x e x =-．（1）当0x ≥时，求函数()f x 的最小值；（2）若对于(,)12x π∀∈-+∞，不等式24cos 250x xe x x ax x +--≥恒成立，求实数a 的取值范围．（参考数据ln 20.7,ln 3 1.1≈≈）哈三中2023—2024学年度上学期高三学年期中考试数学答案1-8． D A D C D B D C 9-12． BCD ACACDACD13 14． [)(]2,02,4-⋃ 15．2 16． 4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭17．（1） 1251,3363AD a b BE a b =+=-+（2）518- 18．（1）56-（2）7919．（1）6π（2）3x π=时，3max 2=20．（1）3π（2）421．（1）224km + （2）3πθ=时，min 5km =22．（1）()()min 02f x f == （2）4a ≤。

2024-2025学年黑龙江省高一(上)月考数学试卷(10月份)(含答案)

2024-2025学年黑龙江省哈尔滨三中高一（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列关系中，正确的是( )A. −2∈N ∗B. π∉QC. 0∈⌀D. 12∈Z2.集合A ={x|x ≥0},B ={x|y =2−x }，则A ∩B =( )A. ⌀B. RC. [0,2]D. [−∞,2]3.已知命题p ：∀x >0，x +1x >2，则￢p 为( )A. ∀x >0，x +1x ≤2 B. ∀x ≤0，x +1x ≤2C. ∃x ≤0，x +1x ≤2D. ∃x >0，x +1x ≤24.下列各组函数是同一个函数的是( )A. f(x)=x 3+xx 2+1与g(x)=xB. f(x)= x +1⋅x−1与g(x)= x 2−1C. f(x)= x 2与g(x)=(x )2D. f(x)=(x +10)2与g(x)=x +105.若ab >0，则a <b 是1a >1b 的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.已知x >2，则函数f(x)=x +12x−4的最小值为( )A. 2+2B. 2+22 C. 2D. 227.已知集合M ={x|x =k4+18,k ∈N}，N ={y|y =k2±38,k ∈N}，则( )A. M =NB. M ⊇NC. M ⊆ND. M ∩N =⌀8.已知a ，b 为正实数，(4ab +1)(2a +b)=18ab ，则2a +b 的取值范围是( )A. [12,4]B. (0,92)C. [1,2]D. [2,+∞]二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知a>b>0，c>d>0，则( )A. a−d>b−cB. ac>bdC. cb >daD. ab>cd10.已知a，b为正实数，ab=a+b，则下列选项正确的是( )A. ab的最小值为2B. 2a+b的最小值为3+22C. a2+b2的最小值为8D. 1a−1+1b−1的最小值为211.已知有限集A={a1,a2,…,a n}(n≥2，n∈N)，如果A中的元素a i(i=1,2,…,n)满足a1+a2+…+a n= a1×a2×…×a n，就称A为“W集”，则下列选项正确的是( )A. 集合{4+22,4−22}是“W集”B. 若{a1,a2}是“W集”，则a1，a2至少有一个大于2C. 二元“W集”有有限个D. 若a i为正整数，则“W集”A有且只有一个，且n=3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

黑龙江省哈尔滨市第三中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

黑龙江省哈尔滨市第三中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知集合{}222M y y x x ==--∣，N x y ⎧==⎨⎩，则M N = （）A ．[3,1)-B ．[1,1)-C ．(1,3)D ．[1，4]2．已知向量a ，b 满足2a b a b -=+ ，其中b 是单位向量，则a 在b方向上的投影向量是（）A ．bB ．34bC ．14bD ．12b- 3．已知函数()22()log 2,f x x ax a =-∈R ，则“1a ≤”是“函数()f x 在(1,)+∞上单调递增”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若πcos 43α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则1tan sin αα-=（）A ．125-B ．65C ．125D ．5125．已知圆221:(3)81C y x ++=和222:(3)1C y x -+=，若动圆P 与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M ，则M 的方程为（）A ．221167y x +=B ．221259y x +=C ．2212516y x +=D ．221169x y +=6．如图，三棱柱111ABC A B C -中，E ，F 分别是AB 、AC 的中点，平面11EFC B 将三棱柱分成体积为12,V V （左为1V ，右为2V ）两部分，则21:V V =（）A ．5:6B ．3:4C ．1:2D ．5:77．专家表示，海水倒灌原因是太阳、月亮等星体的共同作用下，海水的自然涨落，如果天气因素造成的涨水现象赶上潮汐高潮的时候，这个时候水位就会异常的高.某地发生海水倒灌，未来24h 需要排水减少损失，因此需要紧急抽调抽水机.经测算，需要调用20台某型号抽水机，每台抽水机需要平均工作24h.而目前只有一台抽水车可立即投入施工，其余抽水机需要从其他施工现场抽调.若抽调的抽水机每隔20min 才有一台到达施工现场投入工作，要在24h 内完成排水任务，指挥部至少共需要抽调这种型号的抽水机（）A ．25台B ．24台C ．23台D ．22台8．已知函数2()(2)ln 1()f x ax a x x a =-+++∈R ，若12,(0,)x x ∀∈+∞，当12x x ≠时，()()12122f x f x x x ->--恒成立，则a 的取值范围是（）A ．(,1)∞--B ．(,1]-∞-C ．(0,8]D ．[0,8]二、多选题9．设12,F F 是椭圆2211612x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一点，且122PF PF -=．则下列说法中正确的是（）A ．125,3PF PF ==B ．离心率为12C ．12PF F 的面积为6D ．12PF F 的面积为1210．已知函数π()sin(2)2f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭满足ππ43f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若()f x 在区间π,2t ⎛⎤ ⎥⎝⎦上恰有3个零点，则（）A ．()f x 的最小正周期是π2B ．()7,π24x f x f ⎛⎫∀∈≤ ⎪⎝⎭R C ．t 的最小值为37π24D ．t 的最大值为49π2411．在ABC V 中，5,6,AB AC BC P ===为ABC V 内的一点，AP xAB yAC =+，则下列说法正确的是（）A ．若P 为ABC V 的重心，则12x y +=B ．若P 为ABC V 的外心，则18PB BC ⋅=-C ．若P 为ABC V 的垂心，则716x y +=D ．若P 为ABC V 的内心，则58x y +=三、填空题12．已知i 为虚数单位，若复数z 满足|4i |2z -=，则|1i |z +-的最大值是.13．边长为1的正三角形ABC 的内心为O ，过O 的直线与边AB ，AC 交于P 、Q ，则2211||||OP OQ +的最大值为.14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足231(,1)n n S a n N n =-∈≥，函数()f x 定义域为R ，对任意R x ∈都有1()(1)1()f x f x f x ++=-，若(2)3f =，则()21013f a 的值为.四、解答题15．记锐角ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin a C C b c =+.(1)求A ；(2)求b ca+的取值范围.16．为了了解高中学生课后自主学习数学时间（x 分钟/每天）和他们的数学成绩（y 分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）.表一：编号12345学习时间x 3040506070数学成绩y65788599108(1)请用相关系数说明该组数据中变量y 与变量x 之间的关系可以用线性回归模型拟合（结果精确到0.001）；(2)求y 关于x 的经验回归方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩；(3)基于上述调查，某校提倡学生周六在校自主学习.经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生.按照是否参与周六在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到22⨯列联表（表二）．依据表中数据及小概率值0.001α=的独立性检验，分析“周六在校自主学习与成绩进步”是否有关.表二：没有进步有进步合计参与周六在校自主学习35130165未参与周六不在校自主学习253055合计60160220（参考数据：551122820,435,i ii i i i x y y x ====∑∑的方差为200,i y 的方差为230.81074≈）附：()()()()()121ˆˆˆ,nniiiii nii x x y y x x y y r b a y bx x x ==----===--∑∑∑，22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++.α0.100.050.0100.0050.001αχ 2.7063.8416.6357.87910.82817．已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b ，满足1122331,4,7a b a b a b ==+=+=.(1)求数列{}{},n n a b 的通项公式；(2)求数列{}n n a b ⋅的前n 项和为n S ；(3)在（2）的条件下，设数列11n n n S a a +⎧⎫-⎨⋅⎩⎭的前n 项和为n T ，若对于任意的*N n ∈时，141n T n λ>++恒成立，求实数λ的取值范围．18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知1AA ⊥底面1111,3,A B C AA AB AC ==，2,BC D =为BC 的中点，点F 在棱1BB 上，且2,BF E =为线段A 上的动点.(1)证明：1C F EF ⊥；(2)若直线1C D 与EF 所成角的余弦值为156，求二面角1E FC D --的正弦值.19．设()y f x =是定义在区间D 上的连续函数，若存在区间0[,],(,)a b D x a b ⊆∈，使得()y f x =在[)0,a x 上单调递增，在(]0,x b 上单调递减，则称()y f x =为“含峰函数”，0x 为“峰点”，[,]a b 称为()y f x =的一个“含峰区间”.(1)判断下列函数是否为“含峰函数”？若是，请指出“峰点”；若不是，请说明理由：（i ）1y x x=+；（ii ）sin y x x =-.(2)已知*2,()ln(1)2t f x t x x x ∈=--+N 是“含峰函数”，且[]2,3是它的一个“含峰区间”，求t 的最大值；(3)设()()432,,324m n g x x mx nx m n x ∈=--++-R 是“含峰函数”，[],a b 是它的一个“含峰区间”，并记b a -的最大值为(),M m n .若()()12g g ≥，且()10g ≥，求的(),M m n 最小值.。

黑龙江省哈尔滨市第三中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)

哈三中2024—2025学年度上学期高二学年期中考试数学试卷考试说明：（1）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟；（2）第Ⅰ卷，第Ⅱ卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、选择题（共58分）（一）单项选择题（共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 圆的圆心和半径分别是（）A ，2 B. ，2C.D.2. 下列命题是真命题的是（）A. 经验回归方程至少经过其样本数据点，，…，中的一个B. 可以用相关系数r 来刻画两个变量x 和y 线性相关程度的强弱，r 的绝对值越小，说明两个变量线性相关程度越强C. 线性回归分析中决定系数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好D. 残差点分布在以横轴为对称轴的水平带状区域内，该区域越窄，拟合效果越好3. 某市高中数学统考中，甲、乙、丙三所学校的数学成绩分别服从正态分布，，，其正态分布的密度曲线如图所示，则（）A.B.()()22342x y +++=()3,4-()3,4-()3,4--()3,4- y bxa =+ ()11,x y ()22,x y (),n nx y 2R 2R ()11,N μσ()22,N μσ()33,N μσ123μμμ=>123μμμ=<C.D.4. 将1，2，3，4，5，6这6个数填入如图所示的3行2列表格中，则表格内每一行数字之和均相等的概率为（）A.B.C.D.5. 设a 为实数，已知直线：，：，若，则（）A. 6B. C. 6或 D. 或36. 已知直线l ：，其中t 为展开式中的常数项，则点到直线l 的距离为（）A. 1B. 2C. 5D. 107. 某学校为了解校庆期间不同时段的校门人流量，从上午8点开始第一次反馈校门人流量，以后每过2小时反馈一次，共统计了前3次的数据，其中，2，3，为第i 次人流量数据（单位：千人），由此得到y 关于i 的回归方程.已知，根据回归方程，可预测下午2点时校门人流量为（）千人.参考数据：A. 9.6B. 10.8C. 12D. 13.28. 已知函数，则的取值范围为（）A. B. C D. （二）多项选择题（共3小题，每小题6分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 关于函数，下列命题中正确的是（）123μμμ>=123μμμ<=161121151301l 310ax y a +++=2l ()6340x a y +-+=12l l ∥a =3-3-6-410x ty +-=321x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()2,1P (),i i y 1i =i y 26log y i a=+4y =2log 3 1.6≈()11,0231,01x x f x x x x ⎧-+<≤⎪⎪=⎨+⎪≤⎪-+⎩()9723f x x --404,,2121⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭220,,33⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ [)40,0,21⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦ ()20,0,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭()ππsin 2cos 266f x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A. 是以为最小正周期的周期函数B.C. 将函数的图象向左平移个单位后，与已知函数的图象重合D. 的图象关于直线对称10. 在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，又设点及直线上任意一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作，则下列命题中正确的是（）A. ，，则B. 为坐标原点，动点满足，则的轨迹为圆C. 对任意三点、、，都有D. 已知点和直线：，则11. 高考数学试题第二部分为多选题，共个小题，每小题有个选项，其中有个或个是正确选项，全部选对得分，部分选对得部分分，有选错的得分.若正确答案是个选项，只选对个得分，有选错的得分；若正确答案是个选项，只选对个得分，只选对个得分，有选错的得分.小明对其中的一道题完全不会，该题有两个正确选项的概率是，记为小明随机选择个选项的得分，记为小明随机选择个选项的得分，则（）A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分）二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上）12. 下列说法中正确的有__________（填正确说法的序号）的倾斜角为②直线()y f x =π()y f x =2y x =7π24()y f x =π24x =(){}1212,max ,d A B x x y y =--P l Q (),d P Q P l (),d P l 12,6M ⎛⎫- ⎪⎝⎭4,13N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭()7,6d M N =O R (),1d O R =R A B C ()()(),,,d C A d C B d A B +≥()1,3P l 210x y -+=()4,3d P l =342360213031224023X 1Y 2()()()346P X P Y P Y ===+=()()E Y E X <()74D X =()()294E XD X -=10y ++=2π31x =③直线（）过定点④点到直线的距离为113. 对于随机事件，若，，，则__________.14. 已知正方体的棱长为2，E 、F 为空间内两点且，，.当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为______.三、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c（1）求锐角大小；（2）在（1）的条件下，若，且的周长为，求的面积.16. 已知的三个顶点分别是，，（1）求边AC 的高BH 所在直线方程；（2）已知M 为AB中点，试在直线CM 上求一点P，在x 轴上求一点Q ，使的周长最小，并求最小值.17. 随着冬天的临近，哈尔滨这座冰雪之城，将再次成为旅游的热门目的地.为更好地提升旅游品质，我市文旅局随机选择名青年游客对哈尔滨出行体验进行满意度评分（满分分），分及以上为良好等级，根据评分，制成如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，求x 的值并估计该评分的上四分位数；（2）若采用按比例分层抽样方法从评分在，的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取3人进行单独交流，求选取的4人中评分等级为良好的人数X 的分布列和数学期望；（3）为进一步了解不同年龄段游客对哈尔滨出行体验反馈，我市文旅局再次随机选择100名中老年游客进行满意度评分，发现两次调查中评分为良好等级的人数为120名.请根据小概率值的独立性检验，分析游客的评分等级是否良好与年龄段（青年或中老年）是否有关.的的的()23y a x a =-+a ∈R ()3,6-()0,120y +=,M N ()12P M =()34P M N =()38P M N =()P N =1111ABCD A B C D -12AE AD = BF BA BC λμ=+[],0,1λμ∈11A FC E -ABC V )cos cos 2sin b C c B a A +=A sin cos C C =ABC V +ABC V ABC V ()2,1A ()1,0B -()3,3C APQ △10010080[)70,800.001α=附：，0.050.010.0013.841 6.63510.82818. 棱长为2的正方体，M 为正方体中心，将四棱锥绕逆时针旋转（）后得到四棱锥，如图1.（1）求四棱锥的表面积和体积；（2）若（如图2），求证：平面平面；（3）求为多少时，直线与直线DC 所成角最小，并求出最小角的余弦值.19. 某志愿者社团计划在周一和周二两天各举行一次活动，分别由甲、乙两人负责活动通知，已知该社团共有n 位同学，每次活动均需k 位同学参加.假设甲和乙分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该社团k 位同学，且所发信息都能收到.（1）当，时，求该社团只有小明同学同时收到甲、乙两人所发活动通知信息的概率；（2）记至少收到一个活动通知信息的同学人数为X ①设，，求随机变量X 的分布列和数学期望；②求使取得最大值的整数m .()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++n a b c d=+++αx α1111ABCD A B C D -11M BCC B -1CC α0πα<<11M B CC B '''-11M BCC B -π2α=1MBB ⊥1M B B '''α1M B ''8n =3k =5n =2k =()P X m =哈三中2024—2025学年度上学期高二学年期中考试数学试卷（一）单项选择题（共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.【答案】C2.【答案】D3.【答案】D4.【答案】C5.【答案】A6.【答案】B7.【答案】B8.【答案】D（二）多项选择题（共3小题，每小题6分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.【答案】ABD10.【答案】ACD11.【答案】BCD第Ⅱ卷（非选择题，共92分）二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上）12.【答案】①③13.【答案】14.【答案】三、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. 【解析】【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再结合两角和的正弦公式即可得解；（2）先求出，再根据正弦定理，令，求出，再根据三角形的周长求出，再根据三角形的面积公式即可得解.【小问1详解】，，，又，所以，又，所以；【小问2详解】因为，所以，又，所以，则，由正弦定理，令，则，1311πC sin sin sin a b ckA B C===,,a b ck)cos cos 2sin b C c B a A +=)sin cos sin cos 2sin sin B C C B A A +=()2sin sin B C A A A +==sin 0A >sin A =π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π3A =sin cos C C =tan 1C =()0,πC ∈π4C =()1sin sin 2B A C =+==sin sin sin a b c k A B C===sin ,sin ,sin a k A b k B c k C ======所以的周长为，解得，所以，所以16. 【解析】【分析】（1）求出边AC 的高BH 的斜率，再由点斜式方程即可得出答案.（2）先求出直线CM 的方程，如图，作出关于直线CM 的对称点，作出关于轴的对称点，则连结，交直线CM 于，交轴于，则的周长的最小值等于，最后求出直线的方程，即可求出点Q .【小问1详解】因为，，所以，所以边AC 的高BH 的斜率为，又因为直线BH 过点，所以BH 所在直线方程为：，化简可得：.所以BH 所在直线方程为.【小问2详解】因为M 为AB 中点，所以，，直线CM 的方程为：，化简可得：，如图，作出关于直线的对称点，则，解得：，所以，作出关于轴的对称点，ABC V a b c k ++==+4k =a b ==1sin 32ABC S ab C ==+V ()2,1A (1,2)N ()2,1A x (2,1)E -EN P x Q MPQ V NE NE ()2,1A ()3,3C 31232AC k -==-12k =-()1,0B -()112y x =-+210x y ++=210x y ++=11,22M ⎛⎫⎪⎝⎭()3,3C 33113322y x --=--y x =()2,1A :0CM l x y -=(),N a b 1122122b a a b -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪=⎪⎩1,2a b ==()1,2N ()2,1A x (2,1)E -连结，交直线CM 于，交轴于，，，三角形的周长为线段的长，由两点间线段最短得此时的周长最小，的周长最小时，最小值为：，此时直线的斜率为，直线的方程为：，化简可得：，令，所以，所以，令，所以,所以,所以当时，.17.【解析】【分析】（1）根据频率和为计算出的值；先判断出上四分位数所在区间，然后结合区间端点值以及该组的频率完成计算；（2）先根据分层抽样计算出每组抽取的人数，然后确定出的可取值并计算对应概率，由此可求分布列和数学期望；（3）根据已知条件得到对应列联表，然后计算出的值并与对应比较大小，由此得到结论.【小问1详解】由频率分布直方图可知，，解得；EN P x Q AP PN = AQ QE =APQ △NE APQ △APQ △||NE ==NE ()21312--=--NE ()231y x -=--350x y +-=0y =53x =5,03Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭350x y y x+-=⎧⎨=⎩54x y ==55,44P ⎛⎫ ⎪⎝⎭555,,,0443P Q ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭APQ △1x X 22⨯2χx α0.005100.010100.01510100.040101x ⨯+⨯+⨯++⨯=0.03x =因为的频率为，且为最后一组，所以评分的上四分位数位于区间中，所以上四分位数为：；【小问2详解】评分在与两组的频率分别为，所以内抽取人数为，内抽取人数为，故人中评分等级为良好的有人，由题意可知，的可取值为，，，，所以的分布列为：数学期望；【小问3详解】青年游客评分等级良好的有人，所以老年游客评分等级良好的有人，由上可得如下列联表，青年游客老年游客总计评分等级良好评分等级非良好总计零假设：游客的评分等级是否良好与年龄段无关，由表中数据可得，100.0400.40.25⨯=>0.40.25901093.750.4-+⨯=[)70,800.15,0.3[)70,800.15620.150.3⨯=+0.3640.150.3⨯=+64X 1,2,3()212436C C 11C 5P X ===()122436C C 32C 5P X ===()3436C 13C 5P X ===X X123P153515()1311232555E X =⨯+⨯+⨯=()0.30.410070+⨯=1207050-=22⨯70501203050801001002000H ()220.001200350015008.33310.82810010080120x χ-=≈<=⨯⨯⨯根据小概率值的独立性检验，可知零假设成立，即无法认为游客的评分等级是否良好与年龄段有关.18.【解析】【分析】（1）根据棱锥的表面积公式和体积公式计算即可；（2）易得平面､平面为同一个平面，补全正方体，证明为二面角的平面角，再证明即可；（3）以为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【小问1详解】由题意，则，所以四棱锥的表面积为，四棱锥的高为，则；【小问2详解】若，则平面､平面为同一个平面，如图，补全正方体，连接、，则是中点，是中点，所以平面与平面重合，平面与平面重合，由正方体性质可知平面，因为平面，所以，，0.001α=0H 11DCC D 11CB B C ''111BNB C B PB C ''-111D B B ∠'111D BB B '--111π2D B B '∠=C MB ==1122MBBS =⨯=V 11M BCC B -224+⨯=11M BCC B -1111422133M BCC B V -=⨯⨯⨯=π2α=11DCC D 11CB B C ''111BNB C B PB C ''-BD 1BB 'M BD M '1BB '1MBB 11BDD B 1M B B '''11BB B B ''1BB ⊥1111A B B D '1111,B D B B '⊂1111A B B D '111BB B D ⊥111BB B B '⊥为二面角的平面角，因为，则，同理可得，所以，所以平面平面；【小问3详解】如图，以为原点，建立空间直角坐标系，则，，即，故，则因为，所以，所以，所以，所以，此时，即，所以时，直线与直线DC.19. 【解析】111D B B ∠'111D BB B '--1111111,2πD C B C D C B =∠=111π4D B C ∠=111π4B BC '∠=111π2D B B '∠=1MBB ⊥1M B B '''C ()()()10,0,0,0,2,0,2cos ,2sin ,2C D B αα'-ππ,144M αα⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭'()cos sin ,sin cos ,1M αααα'+-()()10,2,0,cos sin ,sin cos ,1DC M B αααα''==-+cos ,DC M B ' 0πα<<ππ5π444α<+<πsin 4α⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦cos ,DC M B ' 1maxcos ,DC M B ''=ππ42α+=π4α=π4α=1M B ''【分析】（1）根据给定条件，利用古典概率，结合事件的独立性及组合计数问题列式求解.（2）①求出的可能取值及对应的概率，列出分布列并求出期望；②按和分类求出的表达式，再建立不等式求出对应的整数.【小问1详解】设事件“该社团只有小明同学同时收到甲、乙两人所发活动通知信息”，所以.【小问2详解】①的可能取值为2，3，4，，所以的分布列为：234数学期望.②当时，只能取，此时有；当时，整数满足，其中是和中的较小者，由甲和乙各自独立、随机地发送活动信息给k 位同学，得所包含的基本事件总数为，当时，同时收到甲乙两人所发信息的学生人数为，仅收到李老师或张老师转发信息的学生人数为，由分步乘法原理知，事件所包含基本事件数为，，当时，，，因此取得最大值时，满足，的X k n =k n <()P X m =m A =22753388C C 15()C C 224P A ==X 211122554353222222555555C C C C C C 133(2),(3),(4)C C 10C C 5C C 10P X P X P X =========X XP1103531013316()234105105E X =⨯+⨯+⨯=k n =m n ()()1P X m P X n ====k n <m k m t ≤≤t 2k n 2(C )k n X m =2k m -m k -{}X m =2C C C C C C k k m m k k m k m kn k n k n k n k ------=22C C C C C ()(C )C k k m m k m k m k n k n k kn k k kn nP X m ------===k m t ≤<22(1)()(1)(1)()(2)22k P X m P X m m k n m k m m k n +=≥=+⇔-+≤--⇔≥-+22(1)()(1)(1)(1)(21)212k P X m P X m m k n m k m m k n +=≥=-⇔-+≤-+-+⇔≤+-+()P X m =m 22(1)(1)22122k k k m k n n ++-≤≤+-++假如成立，则当能被整除时，在和处达到最大；当不能被整除时，在处达到最大值（表示不超过的最大整数），下面证明：由，得，，则，显然，因此.2(1)22k k k t n +≤-≤+2(1)k +2n +()P X m =2(1)22k m k n +=-+2(1)212k m k n +=+-+2(1)k +2n +()P X m =2(1)2[2k m k n +=-+[]x x 2(1)22k k k t n +≤-≤+1k n ≤<222(1)1(1)11202222k kn k k k k k k k n n n n +--+-----=≥=≥++++22(1)(1)2022k n k k n n n +-+--=-<++2(1)22k k n n +-<+2(1)222k k k n +-<+2(1)22k k k t n +≤-≤+。

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黑龙江省哈尔滨市第三中学高一上学期期中考试数学试题（含答案）高一学年第一模块考试数学试卷考试说明：（ 1）本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分 , 满分 150 分．考试时间为 120 分钟；

（ 2）第 I 卷，第 II 卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．第 I 卷（选择题 ,共60分）

一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 给出下列关系： ① 0 ；② { 0,1} ；③ { 0} ；④ {1} {1,2}

，其中正确的个数是

A ． 1 B ． 2 C． 3 D ． 4 2. 下列函数中，值域为 [1, ) 的是

A ． y 1 B． y x 2 1 2 x 1 D ． y

x 2 1 C． y x x 1

3 x 3 x2

2x 3

的单调减区间为．函数 f

A. , B . ,1 C. 1, D. ,2

4. 函数 f (x) (3x 1)0 的定义域是

x 2

A ． ( 2,0) B ． ( 2, ) C． [ 2,0) (0, ) D． ( 2,0) ( 0, )

5. 若函数 f (x) 1 的值域为（0，） mx2 2(m 2) x 1 ，则实数 m 的取值范围是

A ． (1,4) B． (- ,1) ( 4, ) C． (0,1] [ 4, ) D． [0,1] [ 4, )

6. 3x 8 2(x Z ) 解集中元素的个数为

不等式 ( x 1)2

A．1 B．2 C．3 D．4 2x 1, x 1

7. 函数 f (x) 2 ,0 x 1

的值域为

A ． (1,4) B． [1, ) C． (3, ) D． [4, ) 3 8．已知2 a b , 则 2 2

5 10

a b

2 2 A. 2

9．函数 y 2 B. 2 2 C. D.

2 2

a x （ a 0

且 a 1 ）与函数

y (a 1)x

2x 1 在同一个坐标系内的

图象可能是

A. B. C. D. 10．已知函数 f ( x) 4 x2 ,若 0 x1 x2 x

3 2

,则 f ( x1 ) , f (x2 ) , f ( x3 ) 由大到小的

x1 x2 x3

顺序为

A. f ( x1 ) , f ( x2 ) , f ( x3 ) B. f ( x3 ) , f (x2 ) , f ( x1 )

x1 x2 x3 x3 x2 x1

C. f ( x1 ) f ( x3 ) f ( x2 ) D. f ( x2 ) f ( x1 ) f (x3 ) , x3 , x2 , x1 , x3 x1 x2

11．已知 f x 是定义在 , 上的偶函数，且在

,0 上是增函数， 1 1 1

设 a f (2 2 ), b f (33 ),c f (5 5 )

，则 a,b,c 的大小关系是

A. c a b B. c b a C. b a c D. a b c

12. 已知函数 f x

ex a

，对于任意的 x1 , x2 1,2

，且

1 x2

，

2 ex

[| f (x1) | | f (x2 ) |]( x1 x2 ) 0

恒成立，则实数 a

的取值范围是 A. e2 , e2 B. e2 , e2 C. e2 , e2 D. e2 ,e2

4 4 2 2 3 3

第Ⅱ卷（非选择题 , 共 90 分）

二、填空题 ( 本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．将答案填在答题卡相应的位置上 )

13. 设集合 A { x 2x2 5x 3 0}，B { x 2x 5

0}，则

A B

14. 已知 log 2 3 a,log 3 7 b ,则 log 2 7 __________(结果用 a, b 表示

)

15. 已知函数 f ( x) x （，为常数，且 a 0 ）满足 f (2) 1 ，方程 f ( x) x 有唯 a b ax b

一解，则 f ( f (1)) 16. 已知 f (x) , 0 时 , f ( x) 2x x 2 .

f ( x) 在 [ a, b]

上的是定义在 R 上的奇函数当 x

值域为 [ 1 , 1

] ，则 a b

b a 三、解答题 ( 本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 )

17. （本小题满分 10 分）化简求值：

1 1 3 2 1 （Ⅰ） (4 2 3) 2 818 32 5 2 ( 1) 3 3 2 43 ；

（Ⅱ） (log6 3) 2 3log6 2 log6 3 18

9log 3 2

18. （本小题满分 12 分）设全集 U R ， A x 1 x 4 ， B x 2 x 5 ， C x a2 x a 2

（Ⅰ）求 A (CU B) ；

（Ⅱ）若 B U C B ，求实数 a

的取值范围．

19. （本小题满分 12 分）解关于 x 的不等式：

2 a .

x 1 20. （本小题满分 12 分）

已知偶函数 f ( x) 的定义域是

x 0

的一切实数，对定义域内的任意 a,b

都有

f (ab) f ( a) f (b) ，且当 x 1

时, f ( x) 0, f (3) 1 . ( Ⅰ ) 求证： f ( x) 在 ,0 上是减函数；（Ⅱ）解不等式 f (x2 1) 2 .

21．（本小题满分 12 分）

已知函数 f ( x) x, g( x) 1

2 a 0且 a 1 .

ax 1

( Ⅰ ) 判断 f ( x) g(x) 的奇偶性，并说明理由；

（Ⅱ）当 a 2 时， g( x) b 恒成立，求 b 的取值范围． 22.（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x) bx

N ）的最大值为

1 ，且 f ( 2) 1

. ax

（ a, b 4 5

( Ⅰ ) 求函数 f ( x) 的解析式；

（Ⅱ）若 x, y, z, w 0 ，且 x y z w 2

2x2 2y2 2z2 2w 2 x y z w

求证： a x2 a y2 a z2 a w2 a x2 a y 2 a z2 a

. 高一数学期中答案一、选择题 1-5ABBDD 6-10CBBCA 11-12CB

二、填空题

13. ( , 3) 1 5 14. ab； 1 ； 16 3 5 ( , ) ； 15. 2 2 2 2

三、解答题 17. （ 1） 21 ；（ 2）

18. （ 1） 1,2 ；（ 2 ）

( , 1) ( 2, )

19.① a 0 时，解集为

( , 1)

② a 0 时，解集为

( , 1)

( 2 , )

③ 2 a 0时，解集为 (2 ,

④ a 2 时，解集为

⑤ a 2 时，解集为 (

1， ) a

20.（ 1）略；（ 2） ( 10, 1) ( 1,1) (1, 10)

21.（ 1）偶函数；（ 2） [1,

)

22.（ 1） f (x) x ；（ 2）略 4 x 2