广东省2020中考数学第一部分考点研究第四章三角形第六节解直角三角形及其应用试题

第四章 三角形
第六节 解直角三角形及其应用
玩转广东省卷6年中考真题（2011~2016）
命题点1 锐角三角函数(省卷6年2考)
1. (2016省卷8，3分)如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(4，3)，那么cos α的值是( ) A. 34 B. 43 C. 35 D. 45
2. (2013省卷14，4分)在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB
＝3，BC ＝4，则sinA ＝________．
命题点2 解直角三角形(省卷6年2考)
3. (2016省卷21，7分)如图，Rt △ACB 中，∠B ＝30°，
∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 交AB 于D .以CD 为较短的直角边向△CDB 的同侧作Rt △DEC ，满足∠E ＝30°，∠DCE ＝90°，再用同样的方法作Rt △FGC ，∠FCG ＝90°，继续用同样的方法作Rt △HIC ，∠HCI ＝90°.若AC ＝a ，求CI 的长．
第3题图
命题点3 解直角三角形的实际应用(省卷6年3考)
4. (2014省卷20，7分)如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD 的高度，他们先在点A 处测得树顶C 的仰角为30°，然后沿AD 方向前行10 m ，到达B 点，点B 处测得树顶C 的仰角为60°(A 、B 、D 三点在同一直线上)．请你根据他们的测量数据计算这棵树CD 的高度(结果精确到0.1 m)．(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)
第4题图
5. (2012省卷18，7分)如图，小山岗的斜坡AC 的坡度是tan α＝34
，在与山脚C 距离200米的D 处，测得山顶A 的仰角为26.6°，求小山岗的高AB (结果取整数；参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50)．
第5题图
【拓展猜押】如图，小明所在教学楼的每层高度为3.5 m ，为了测量旗杆MN 的高度，他在教学楼一楼的窗台A 处测得旗杆顶部M 的仰角为45°，他在二楼窗台B 处测得M 的仰角为30°，已知每层楼的窗台离该层的地面高度均为1 m ，求旗杆MN 的高度(结果精确到0.1 m)．(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)
拓展猜押题图
新考法展示
1. (2014深圳10题3分)小明去爬山，如图，在山脚看山顶的角度为30°，小明在坡比为5∶12的山坡上走了1300米，此时小明看山顶的角度为60°，则山高为( )
A. (600－2505)米
B. (6003－250)米
C. (350＋3503)米
D. 500 3 米
新考法展示1题图
2. (2016深圳20题8分)某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A 处水平飞行至B 处需8秒，在地面C 处同一方向上分别测得A 处的仰角为75°，B 处的仰角为
30°.已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度．(结果保留根号)
新考法展示2题图
3. (2013湛江21题8分)如图，我国渔政船在钓鱼岛海域C 处测得钓鱼岛A 在渔政船的北偏西30°的方向上，随后渔政船以80海里/小时的速度向北偏东30°的方向航行，半小时后到达B 处，此时又测得钓鱼岛A 在渔政船的北偏西60°的方向上，求此时渔政船距钓鱼岛A 的距离AB .(结果保留小数点后一位，其中3≈1.732)
新考法展示3题图
【答案】
1．D 【解析】如解图，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，∵A (4，3)，∴OB ＝4，AB ＝3，∴OA ＝32＋42＝5，∴cos α＝OB OA ＝45
. 第1题解图
2.45
【解析】∵在Rt △ABC 中，由勾股定理得AC ＝32＋42＝5，∴sin A ＝BC AC ＝45
. 3．解：在Rt △ABC 中，∠B ＝30°，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，
∴∠A ＝60°，∵AC ＝a ，
∴CD ＝AC ·sin60°＝
32a ，…………………………………………(2分) 依此类推CH ＝(32)3a ＝338
a ，……………………………………(5分) 在Rt △CHI 中，
∵∠CHI ＝60°，
∴CI ＝CH ·tan60°＝338a ×3＝98
a . ……………………………(7分) 4．解：如解图，由题意可知∠CAB ＝30°，∠CBD ＝60°，AB ＝10 m ，∵∠CBD ＝∠CAB ＋∠BCA ，
∴∠BCA ＝∠CBD －∠CAB ＝60°－30°＝30°＝∠CAB ，
∴BC ＝AB ＝10 m ．…………………………………………(3分)
在Rt △BCD 中，
∵sin ∠CBD ＝CD BC
， ∴CD ＝BC ·sin ∠CBD ＝10×sin60°＝10×32＝53≈5×1.732≈8.7 m ．…………………………………………………………(6分)
答：这棵树CD 的高度大约是8.7 m ．……………………(7分)
第4题解图
5．解：设AB ＝x 米，
在Rt △ABD 中，∠D ＝26.6°，
∴BD ＝tan 26.6x
≈2x ， ……………………………………(2分)
在Rt △ABC 中，tan α＝AB BC ＝34
， ∴BC ＝43
x ，……………………………………………………(4分) ∵BD －BC ＝CD ，CD ＝200，
∴2x －43
x ＝200，解得x ＝300.…………………………………(6分) 答：小山岗的高AB 约为300米．……………………………(7分)
【拓展猜押】
解：如解图，过点M 的水平线交直线AB 于点H ，
由题意，得∠AMH ＝∠MAH ＝45°，∠BMH ＝30°，AB ＝3.5 m ，
设MH ＝x m ，则AH ＝x m ，
BH ＝x ·tan30°＝33
x ≈0.58x m ， ∴AB ＝AH －BH ＝x －0.58x ＝0.42x ＝3.5 m ，
解得x ≈8.3，
则MN ＝x ＋1＝9.3 m.
答：旗杆MN 的高度约为9.3 m .
拓展猜押题解图
【新考法展示1】B 【解析】如解图，∵BE ∶AE ＝5∶12，∴设BE ＝5k ，AE ＝12k ，∴AB
(12k )2＝13k ，∴BE ∶AE ∶AB ＝5∶12∶13，∵AB ＝1300米，∴AE ＝1200米，BE ＝500米，设EC ＝FB ＝x 米，∵∠DBF ＝60°，∴DF ＝3x 米，则DC ＝(3x ＋500)米，又∵∠DAC ＝30°，∴AC ＝3CD ，即1200＋x ＝3(3x ＋500)，解得x ＝600－2503，∴DF ＝3x ＝(6003－750)米，∴CD ＝DF ＋CF ＝(6003－250)米，即山高CD 为(6003－250)米．
新考法展示1题解图
【新考法展示2】解：如解图，过点A 作AD ⊥BC 交BC 于点D ，过点B 作BH ⊥水平线交水平线于点H ，
由题意∠ACH ＝75°，∠BCH ＝30°，AB ∥CH ，
∴∠ABC ＝30°，∠ACB ＝45°，
∵AB ＝4×8＝32米，
∴CD ＝AD ＝AB ·sin30°＝16米，
BD ＝AB ·cos30°＝32×32＝163米， ∴BC ＝CD ＋BD ＝(16＋163)米，……………………………(6分)
∴BH ＝BC ·sin30°＝(16＋163)×12
＝(8＋83)米．………(7分) 答：这架无人飞机的飞行高度为(8＋83)米．………………(8分)
新考法展示2题解图
【新考法展示3】解：∵CD ∥BE ，∴∠EBC ＋∠DCB ＝180°.
∵∠ABE ＝60°，∠DCB ＝30°，∴∠ABC ＝90°.…………(4分)
由题知，BC ＝80×12
＝40(海里)，∠ACB ＝60°. 在Rt △ABC 中，
AB ＝BC ·tan60°＝403≈40×1.732≈69.3(海里)．………(7分)
答：此时渔政船距钓鱼岛A 的距离AB 的长约为69.3海
里．…………………………………………………………………(8分)。