第二课时反比例函数的意义-待定系数法
中考数学：反比例函数复习
y P(m,n) o A x
SOAP
1 1 1 OA AP | m | | n | | k | 2 2 2
（2）过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足 分别为A、B，则有：
y
B
P(m,n)
o
A
x
S矩形OAPB =OA AP= mn k
（3）设P（m,n)关于原点的对称点是P’(-m,-n), 过P作x轴的垂线与过P作y轴的垂线交于点A，则 有：
（12安徽12分）甲、乙两家商场进行促销活动，甲商 场采用“满200减100”的促销方式，即购买商品的总 金额满200元但不足400元，少付100元；…，乙商 场按顾客购买商品的总金额打6折促销。 （2）若顾客在甲商场购买商品的总金额为x（400≤x <600）元，优惠后得到商家的优惠率为p（p=优惠 金额/购买商品的总金额），写出p与x之间的函数关 系式，并说明p随x的变化情况；
x x x
A B C D
k1>k2>k3 k3>k2>k1 k2>k1>k3 k3>k1>k2
k 如图，A、B是双曲线 y x (k 0) ，A、B两点
的横坐标分别为1、2，线段AB的延长线交x 轴于点C，若△AOC的面积为6，求k的值。
y A
B o
c
x
（12攀枝花，8分）某校根据《学校卫生工作条例》， 为预防“手足口病”，对教室进行“薰药消毒”。已 知药 物在燃烧机释放过程中，室内空气中每立方米含药量 （毫克）与燃烧时间（分钟）之间的关系如图所示 （即图中线段OA和双曲线在A点及其右侧的部分）， 根据图象所示信息，解答下列问题： （1）写出从药物释放开始，与之间的函数关系式及 自变量的取值范围；
反比例函数-待定系数法
frac{k}{x}$（其中k为待定系数）。
代入已知条件
将题目中给出的已知条件，如函 数经过的点（x，y）代入到函数
中，得到关于k的方程。
解方程求k
解方程求出k的值，得到反比例 函数的解析式。
实例二：验证反比例函数中的解的正确性
01
02
03
代入检验
随着科学技术的不断发展和实 际问题的不断涌现，反比例函 数-待定系数法的应用前景将更
加广阔。
在未来的研究中，可以进一步 探索反比例函数-待定系数法在 其他领域的应用，例如生物学
、环境科学等。
随着数学理论和计算技术的发 展，反比例函数-待定系数法的 求解效率和精度有望得到进一 步提高。
对于一些复杂的问题，可能需 要结合其他数学方法或技术手 段来更好地解决，这也为未来 的研究提供了新的思路和方向 。
反比例函数的性质
当 $x > 0$ 时，$f(x) > 0$；当 $x < 0$ 时，$f(x) < 0$。
反比例函数是奇函数，满足 $f(-x) = -f(x)$。
当 $x rightarrow infty$ 时，$f(x) rightarrow 0$；当 $x rightarrow infty$ 时，$f(x) rightarrow 0$。
01
反比例函数是形如 $f(x) = frac{k}{x}$（其中 $k neq 0$）的 函数。
02
当 $k > 0$ 时，函数图像在第一 象限和第三象限；当 $k < 0$ 时 ，函数图像在第二象限和第四象 限。
反比例函数的图像
反比例函数的图像是双曲线，分别位 于第一、二、三、四象限。
反比例函数的意义(第2课时)
徐闻县和安中学数学教研组◆八年级数学导学案◆◆我们的约定：我的课堂我作主！执笔：林朝清第周星期第节本学期学案累计: 21 课时姓名：________课题：17.1.1反比例函数的意义（第2课时）学习目标我的目标我实现1.会利用待定系数法求反比例函数的解析式.2.培养学生综合运用知识解决问题的能力.学习过程我的学习我作主导学活动1：知识回顾1.填空：(1)形如y= 的函数叫做正比例函数，其中k为常数，k≠0；(2)形如y= 的函数叫做一次函数，其中k、b为常数，k≠0；(3)形如y= 的函数叫做反比例函数，其中k为常数，k≠0.2.填空：(1)反比例函数6yx=的k= ； (2)反比例函数6yx=-的k= ；(3)反比例函数3y4x=的k= ； (4)反比例函数3y4x=-的k= .导学活动2：知识引入1.什么是反比例函数？2.例已知y是x的反比例函数，当x=2时，y＝6.(1)写出y与x之间的函数解析式；(2)求当x=4时y的值.3.针对性训练填空：已知y是x的反比例函数，当x=-3时，y＝2,则这个反比例函数的解析式是y=导学活动3：知识转化1.例2 已知y=y1+y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，并且x=1时y=4，x=2时y=5.求y与x 之间的函数关系.2.针对性训练：填空3.完成下面的解题过程：已知y=y 1+y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x 2成反比例，且x=2与x=3时，y 的值都等于19.求y 与x 之间的函数关系.解：因为y 1与x 成正比例，所以可设y 1＝ . 又因为y 2与x 2成反比例，所以可设y 2= .所以y= .因为x=2时y=19，所以有 .因为x=3时y=19，所以有 .解方程组________________,________________.⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 得12k ________,k ________.⎧=⎪⎨=⎪⎩因此y 与x 之间的函数关系式是y= .学习评价 我的评价 我自信当堂检测（限时：5分钟 ）我自信 我进取1.已知y 是x 的正比例函数，当x=-3时，y ＝2,则这个正比例函数的解析式是y= .2.已知y 与x-1成反比例，并且当x=2时y=3.(1)写出y 与x 之间的函数解析式；(2)求当x=1.5时y 的值.自我小结：1.什么是反比例函数？2.求反比例函数解析式的方法：。
反比例函数（基础）知识讲解
反比例函数（基础）【学习目标】1. 1. 理解反比例函数的概念和意义，能根据问题的反比例关系确定函数解析式．理解反比例函数的概念和意义，能根据问题的反比例关系确定函数解析式．理解反比例函数的概念和意义，能根据问题的反比例关系确定函数解析式．2. 2. 能根据解析式画出反比例函数的图象，初步掌握反比例函数的图象和性质．能根据解析式画出反比例函数的图象，初步掌握反比例函数的图象和性质．能根据解析式画出反比例函数的图象，初步掌握反比例函数的图象和性质．3. 3. 会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质．会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质．会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质． 【要点梳理】要点一、反比例函数的定义如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例即xy k =，或表示为kyx =，其中k 是不等于零的常数是不等于零的常数.. 一般地，一般地，形如形如ky x=(k 为常数，0k ¹)的函数称为反比例函数，的函数称为反比例函数，其中其中x 是自变量，y 是函数，定义域是不等于零的一切实数是函数，定义域是不等于零的一切实数. .要点诠释：（1）在k y x =中，自变量x 是分式k x 的分母，当0x =时，分式k x无意义，所以自变量x 的取值范围是，函数y 的取值范围是0y ¹.故函数图象与x 轴、y 轴无交点；轴无交点；（2）k y x =()可以写成()的形式，自变量x 的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件这一条件. .（3）k y x=()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数k ，从而得到反比例函数的解析式，从而得到反比例函数的解析式. .要点二、确定反比例函数的关系式 确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数ky x=中，只有一个待定系数k ，因此只需要知道一对x y 、的对应值或图象上的一个点的坐标，的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出即可求出k 的值，从而确定其解析式从而确定其解析式. .用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： （1）设所求的反比例函数为：k y x=(0k ¹)；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程；）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程； （3）解方程求出待定系数k 的值；的值； （4）把求得的k 值代回所设的函数关系式ky x= 中. 要点三、反比例函数的图象和性质1、 反比例函数的图象特征：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与x 轴、y 轴相交，只是无限靠近两坐标轴标轴. .要点诠释：（1）若点）若点((a b ，)在反比例函数ky x=的图象上，则点的图象上，则点((a b --，)也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称；上，所以反比例函数的图象关于原点对称； （2）在反比例函数(k 为常数，0k ¹) ) 中，由于中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到x 轴和y 轴．轴．2、反比例函数的性质（1）如图1，当0k >时，双曲线的两个分支分别位于第一、双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，三象限，在每个象限内，y 值随x 值的增大而减小；值的增大而减小；（2）如图2，当0k <时，时，双曲线的两个分支分别位于第二、双曲线的两个分支分别位于第二、双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，四象限，四象限，在每个象限内，在每个象限内，y 值随x 值的增大而增大；值的增大而增大；要点诠释：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数k 的符号决定的；的符号决定的；反过来，反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出k 的符号的符号. . 要点四、反比例函数()中的比例系数k 的几何意义过双曲线x ky =(0k ¹) ) 上任意一点作上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得矩形的面积为k . 过双曲线xk y =(0k ¹) ) 上任意一点作一坐标轴的垂线，上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为2k .要点诠释：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的. . 【典型例题】类型一、反比例函数的定义1、在下列函数关系式中，哪些函数表示y 是x 的反比例函数？的反比例函数？（1）5xy =； （（2）3y x =； （（3）23y x =； （（4）12xy =； （（5）21y x =-； （6）2y x=-； （（7）12y x -=； （（8）5a y x -=（5a ¹，a 是常数）是常数）【答案与解析】 解：根据反比例函数(0)k y k x=¹的形式及其关系式xy k =，1y kx -=，可知反比例函数有：有：(2)(3)(4)(6)(7)(8)(2)(3)(4)(6)(7)(8)(2)(3)(4)(6)(7)(8)．．【总结升华】根据反比例函数的概念，必须是形如k y x=(k 为常数，0k ¹)的函数，才是反比例函数．如(2)(3)(6)(8)(2)(3)(6)(8)均符合这一概念的要求，均符合这一概念的要求，所以它们都是反比例函数．但还要注意ky x=(k 为常数，0k ¹)常见的变化形式，如xy k =，1y kx -=等，所以(4)(7)(4)(7)也是反比例函数．在也是反比例函数．在也是反比例函数．在(5)(5)(5)中，中，y 是()1x -的反比例函数，而不是x 的反比例函数．例函数．(1)(1)(1)中中y 是x 的正比例函数．的正比例函数．类型二、确定反比例函数的解析式2、已知正比例函数y kx =和反比例函数3y x=的图象都过点A(m ，1) 1) ．求此正比．求此正比例函数的关系式及另一个交点的坐标．例函数的关系式及另一个交点的坐标． 【答案与解析】解：解： 因为3y x=的图象经过点A(m ，1)1)，则，则31m =，所以m ＝3．把A(3A(3，，1)1)代入代入y kx =中，得13k =，所以13k =． 所以正比例函数关系式为13y x =． 由1,33,y x y x ì=ïíï=ïî得得3x =±． 当3x =时，1y =；当3x =-时，1y =-．所以另一个交点的坐标为．所以另一个交点的坐标为((－3，－，－1)1)1)．． 【总结升华】确定解析式的方法是特定系数法，由于正比例函数y kx =中有一个待定系数，因此只需一对对应值即可．因此只需一对对应值即可．举一反三：【变式】已知y 与x 成反比，且当6x =-时，4y =，则当2x =时，y 值为多少？值为多少？ 【答案】 解：设ky x =，当6x =-时，4y =， 所以46k=-，则k ＝－＝－242424，，所以有24y x-=．当2x =时，24122y -==-． 类型三、反比例函数的图象和性质3、在函数21a y x--=（a 为常数）的图象上有三点为常数）的图象上有三点((11x y ，)，(22x y ，)，(33x y ，)，且1230x x x <<<，则123y y ，y ，的大小关系是（的大小关系是（ ））． A ．231y y y << B B．．321y y y << C C．．123y y y << D D．．312y y y << 【答案】D ； 【解析】解：当0k <时，反比例函数的图象在第二、四象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而增大．此题中需要注意的是大．此题中需要注意的是((11x y ，)，(22x y ，)，(33x y ，)不在同一象限内．因为221(1)0k a a =--=-+<，所以函数图象在第二、四象限内，且在第二、四象限内，y 随x 的增大而增大．因为12x x <，所以12y y <．因为33(,)x y 在第四象限，而11(,)x y ，22(,)x y 在第二象限，所以31y y <．所以312y y y <<．【总结升华】已知反比例函数ky x=，当k ＞0，x ＞0时，y 随x 的增大而减小，需要强调的是x ＞0；当k ＞0，x ＜0时，y 随x 的增大而减小，需要强调的是x ＜0．这里不能说成当k ＞0，y 随x 的增大而减小．例如函数2y x =，当x ＝－＝－11时，y ＝－＝－22，当x ＝1时，y ＝2，自变量由－，自变量由－11到1，函数值y 由－由－22到2，增大了．所以，只能说：当k ＞0时，在第一象限内，y 随x 的增大而减小．的增大而减小．举一反三：【变式】已知2(3)m y m x-=-的图象在第二、四象限，的图象在第二、四象限，(1)(1)求求m 的值．的值．(2)(2)若点若点若点((－2，1y )、(－1，2y )、(1(1，，3y )都在双曲线上，试比较1y 、2y 、3y 的大小．【答案】解：解：(1)(1)(1)由已知条件可知：此函数为反比例函数，且由已知条件可知：此函数为反比例函数，且2130m m -=-ìí-¹î，∴，∴ 1m =.(2)(2)由由(1)(1)得此函数解析式为：得此函数解析式为：2y x=-． ∵ ( (－－2，1y )、(－1，2y )在第二象限，－在第二象限，－22＜－＜－11，∴，∴ 120y y <<． 而(1(1，，3y )在第四象限，30y <． ∴ 312y y y << 类型四、反比例函数综合4、已知点A(0A(0，，2)2)和点和点B(0B(0，－，－，－2)2)2)，点，点P 在函数1y x=-的图象上，如果△的图象上，如果△PAB PAB 的面积是6，求P 点的坐标．点的坐标． 【答案与解析】解：如图所示，不妨设点P 的坐标为00(,)x y ，过P 作PC PC⊥⊥y 轴于点C．∵ A(0 A(0，，2)2)、、B(0B(0，－，－，－2)2)2)，， ∴ AB AB＝＝4． 又∵又∵ 0||PC x =且6PABS=△，∴01||462x =，∴，∴ 0||3x =，∴，∴ 03x =±． 又∵又∵ 00(,)P x y 在曲线1y x =-上，∴ 当当03x =时，013y =-；当03x =-时，013y =．∴ P 的坐标为113,3P æö-ç÷èø或13,3æö-ç÷èø．【总结升华】通过三角形面积建立关于0x 的方程求解，同时在直角坐标系中，点到坐标轴的距离等于相应坐标的绝对值．的距离等于相应坐标的绝对值．举一反三：作AC AC⊥⊥y 轴于C ，连BC BC，则△】解：由双曲线与正比例函数y 1322AOCABCSS ==△△．A 点坐标为点坐标为((A x ，A y )，而于是1113||||2222AOCA A AASAC OC x y xy ===-=△，3A y =-，kx =得A A x y k =，所以所以反比例函数解析式为3y -=．。
反比例函数的定义ppt课件
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
【待定系数法求反比例函数的表达式】
1
x -3 -2 -1 2
-4 1
…
2…
y2 3
1
1
2 -4 2 -2 -1
(1)写出这个反比例函数的表达式； y 2
(2)根据函数表达式完成上表．
x
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
6、一水池内有污水20 米3，设放完 全池污水的时间为t（分钟），每分 钟的放水量为w（米3），规定放水 时间在4分钟至8分钟之间，请把t表 示为w的函数，并给出w的取值范围。
学习目标：
1、理解并掌握反比例函数的定义； 2、会用待定系数法求反比例函数的解析式。 学习重点：目标 1 学习难点：目标 2
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
自主学习(1) 1分钟
欧姆定律 我们知道,电流I,电阻R,电压U之间满足 关系式U=IR.当U=220V时.
归纳：
反比例函数的定义
一般地,形如 y=(Xkk是常数,k≠0)的函数称为反比例函数, 其中x是自变量,y是函数．
注意：有时反比例函数也写成y=kx-1
或xy=k的形式.
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
21.5.2反比例函数解析式的确定
3、一定质量的氧气，它的密度ρ与 它的体积V成反比例关系。当V=10m³时， ρ=1.43kg/m³。 （1）求ρ与V之间的函数表达式； （2）当V=2m³时，求氧气的密度ρ的值.
已知y与x2成反比例，并且当x=3时y=4. ⑴ 写出y和x之间的函数关系式； ⑵ 求x=1.5时y的值。
4、写出y与x之间的函数关系式. 1)已知y-2与x成反比例，且当x=3时，y=4. 2)已知y与x²-1成反比例，且当x=3时，y=4. 3)已知y-1与-3x成反比例，且当x=3时，y=4.
1、如果y是x的反比例函数，那么x是y 的反比例函数吗？
y k (k 0) x
x k (k 0) 是
y
2、已知y是z的反比例函数，z是x的反
比例函数，那么y与x具有怎样的函数
关系？
∵ y k1 、z k2 y k1 x
z
x
k2
故：Y是x的正比例函数
3、将下列各题中y与x的函数关系写出来． (1)y与z成正比例， z与x成反比例； (2)y与z成反比例，z与3x成反比例； (3)y与2z成反比例，z与X成正比例；
x -2 -1 y -3 -6
1 6
2 3
3 2
(C)
y6 x
x -3 y -9
-2 -4
-1 -1
0 0
1 -1
2 -4
3 -9 (D)
y x2
在压力不变的情况下，某物体承受的 压强p Pa是它的受力面积S m²的反比例函 数，如图所示。
(1)求p与s之间的函数关系式； (2)当S=0.5时，求物体承受的 压强P的值。
x
（2）根据函数表达式完成上表.
2、下列的数表中分别给出了变量y与x之间 的对应关系，其中有一个表示的是反比例函 数,你能把它找出来吗?
17.1.1反比例函数的意义课件
反比例函数
5 y = x
x y= 2
2
xy = 2
1 y= x 5
一次函数
+3xy= −7y
0 .4 y = −6x + 3xy y = x
在下列函数中， 是 的反比例函数的是（ ⑵ 在下列函数中，y是x的反比例函数的是（ C ） （A） = ） y 8
X+5
（B）y = 3 + 7 ） x 2 （D）y = x2 ）
？思考
下列问题中，变量间的关系可用怎样的函数解析式表示？ 下列问题中，变量间的关系可用怎样的函数解析式表示？ 这些函数有什么共同特点？ 这些函数有什么共同特点？ 某次列车的平均速度v （1）京沪线铁路全程为 ）京沪线铁路全程为1463km,某次列车的平均速度 某次列车的平均速度 随此次列车的全程运行时间t(h)的变化而变化； 的变化而变化； （km/h)随此次列车的全程运行时间 随此次列车的全程运行时间 的变化而变化 （2）某住宅小区要种植一个面积为 ）某住宅小区要种植一个面积为1000m2的矩形草坪 矩形的长y(m)随宽 （m）的变化而变化； 随宽x（ ）的变化而变化； 矩形的长 随宽
人教版 九年义务教育 数学八年级（下）
第十七章
反比例函数
17.1.1
反比例函数的意义
• 学习目标 理解并掌握反比例函数的概念 学习目标1. • 2. 能判断一个给定的函数是否为反比例函 数，并会用待定系数法求函数解析式 • 学习重点：理解反比例函数的概念，能根 学习重点： 据已知条件写出函数解析式 • 学习难点：理解反比例函数的概念 学习难点：
k y是 解:∵ y是x的反比例函数,∴ y = . x
得k =
(2).根据函数表达式完成上表. (2).根据函数表达式完成上表. 根据函数表达式完成上表
《反比例函数(第2课时)》教案精品 2022年华师大版八下数学
反比例函数第2课时(一)本课目标1.了解反比例函数图象的形状特征.2.会画反比例函数的图象.3.经历探究反比例函数性质的过程,掌握反比例函数的性质.4.学会利用反比例函数的性质解决简单的实际问题.(二)教学流程1.复习导入(1)反比例函数是怎样定义的(2)确定反比例函数的解析式需要什么条件2.课前热身请同学们展示各自在上节课实践活动中所画出的问题2的函数图象,比一比谁画-得最好(学生互评在上节课的实践活动中所画出的问题2的函数图象, 形成对反比例函-数图象的初步感形认识.)3.合作探究(1)整体感知我们知道一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是直线,其性质随着k的正负发生变化,那么反比例函数y=kx(k≠0)的图象又具有什么特征其性质是否随着k 的正负发生变化呢本课我们着重探讨这两个问题.(2)四边互动互动1师:利用多媒体演示幻灯片.【例1】画出函数y=6x的图象.师:在未知函数图象的形状特征时,我们画函数的图象通常用什么方法这个函数自变量的取值范围是什么由此猜想这个函数的图象是连在一起的吗用描点法画该函数的图象,在列表应注意哪些生:逐个举手答复以下问题,达成共识.师:利用多媒体展现画图过程.(1)列表:这个函数中自变量x的取值范围是不等于零的一切实数,列出x与y 的对应值表:──┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬──x │…│-6│-3│-2│-1│…│1 │2│3 │6 │…──┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼──y │…│-1│-2│-3│-6│…│6 │3 │2 │1 │…──┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴──(2)描点:由这些有序实数对,可以在直角坐标系中描出相应的点(-6,-1),(-3,--2),(-2,-3)等.(3)连线:用光滑曲线将各点依次连起来,就得到反比例函数的图象,如下列图:师:请同学们用透明纸放在课本的该函数图象上复制这个图象,并用大头钉固定上下坐标系原点,再把上面的图象绕着原点旋转180°,结果你发现什么现象生:动手操作,并提出发现的问题.师:利用多媒体演示.试一试:在课本图所在坐标系中画出函数y=-6x的图象.生:动手画图,交流画图的结果. 师:请同学们讨论以下问题.讨论:(1)这个函数的图象在哪两个象限和函数y=6x的图象有什么不同(2)反比例函数y=kx图象在哪两个象限由什么确定生:在小组内展开交流,然后各组推选代表答复提出的问题,在全班交流,让全体同学达成共识.明确概括:通过上述操作、讨论与交流,我们发现反比例函数的图象是两条曲线,且这两条曲线关于原点对称,这种图象通常称为双曲线(hyperbola).反比例函数y=kx图象的两个分支位居的象限与k的正负有关,当k>0时, 函数的图象分布在第一、三象限;当k<0时,函数的图象分布在第二、四象限.互动2师:利用多媒体演示课件:反比例函数图象上的点与两条坐标轴上对应点做同步运动.请同学们观察反比例函数y=6x和y=-6x图象上点的运动情况,然后答复以下问题.(1)对于反比例函数y=6x,其图象在每个象限内从左到右是上升的还是下降的y的值随着x的变化将怎样变化(2)对于反比例函数y=-6x,其图象在每个象限内从左到右是上升的还是下降的y的值随着x的变化将怎样变化生:在观察的根底上,在小组内展开讨论,并概括归纳发现的现象,对提出的问题进行解答.明确通过观察可知,反比例函数y=k x有以下性质:(1)当k>0时,函数的图象( 如图17-4-2所示)在每个象限内,曲线从左向右下降,也就是在每个象限内y 随x 的增加而减小;(2)当k<0时,函数的图象(如图17-4-2所示)在每个象限内, 曲线从左向右上升,也就是在每个象限内y 随x 的增加而增大.互动3师:利用多媒体演示幻灯片.y 是x 的反比例函数，当x=2时，y=23,求这个反比例函数的表达式. 师:我们在学习一次函数时，已经学会了应用待定系数法求一次函数的表达式.同样，我们是不是也可以用待定系数法求反比例函数的表达式呢生:可以.设其表达式为y=k x，因为当x=2时，y=23,所以23=2k ，所以k=43. 所以这个反比例函数的表达式为y=43x互动4师:利用多媒体演示幻灯片.反比例函数y=3x在第一象限内的图象如下列图,点M 、N 是图象上的两个不同点,分别过点M 、N 作x 轴的垂线,垂足分别为A 、B,试探究△MOA 的面积S △MOA 与△NOB 的面积S △NOB 之间的大小关系.师:(点拨)如果设点M 、N 的坐标分别位(x 1,y 1)和(x 2,y 2),那么S △MOA 与x 1、y 1之间存在怎样的关系x 1·y 1的值是多少S △NOB 与x 2,y 2呢y xM OBAN生:在讨论交流的根底上,答复以下问题,并着手尝试解决问题,最后交流解答的过程与结果.明确因为点(x 1,y 1)在该反比例函数图象上,所以y 1=13x ,得x 1·y 1=3, S △MOA=12OA·MA=111322x y ⋅⋅=,同理S △NOB=32,所以S △MOA=S △NOB.归纳可知:过反比例函数图象上任意一点作x 轴的垂线,那么这点与垂足、坐标系原点构成的三角形的面积是一个定值.互动5师:利用多媒体演示.点A(-3,a)、B(-2,b)、C(4,c)在双曲线y=-2x上,请把a 、b 、c 按从小到大的顺序进行排列.生:动手操作,操作完毕把个人所得结果在小组内展开交流.师:请同学们画出该双曲线的草图,验证你的结论,从中你发现什么问题 生:动手画图,验证各自解答的结果.明确许多同学直接利用反比例函数的性质,得出错误的结论:c<b<a.原因是没有理解反比例函数的性质“当k<0时,在每个象限内y 随x 的增加而增大〞.在同一个象限内y 随x 的增加而增大,并不是说在整个坐标平面内y 随x 的增加而增大.因此,在比较反比例函数值的大小时,要分清对应的自变量的值是否在x 轴的同一个方向上(或几个点是否在同一个象限),如果不在同一个方向上,不能直接应用反比例函数的性质.4.达标反响 (多媒体演示)(1)写出一个反比例函数,使它的图象在第二、四象限,这个函数解析式为y=1x- (2)如下列图,直线y=kx 与双曲线y=-6x相交于点A 、B,过点A 作AC ⊥y 轴于点C,那么△ABC 的面积为 6.(3)反比例函数y=3mx-的两点(x 1,y 1),(x 2,y 2),当x 1<0<x 2时,y 1<y 2,那么m 的取值范围是(D)A.m<0B.m>0C.m>3D.m<3(4)以下四个函数中,当x>0时,y 随x 的增大而减小的是(D)A.y=2xB.y=x+3C.y=-2xD.y=2x5.学习小结 (1)内容总结反比例函数图象特征、画法 性质(2)方法归纳画反比例函数的图象,只能用描点法,利用反比例函数的性质比较大小时, 要注意对应的点是否在同一个象限内.(三)延伸拓展 1.链接生活某课外小组在做气体实验时,获得压强p(帕)与体积v(cm 3)之间的以下对应数据:⎧⎨⎩yxOC BA┌───┬─┬─┬─┬─┬──┬──┬─┐│p(帕) │…│1 │2 │3 │4 │5 │…│├───┼─┼─┼─┼─┼──┼──┼─┤│v(cm3)│…│6 │3 │2 │1.5 │1.2 │…│└───┴─┴─┴─┴─┴──┴──┴─┘根据表中提供的信息,答复以下问题:(1)在坐标系中描出表中各点,猜想p与v之间的关系,并求出函数解析式;(2)当气体的体积是12cm3时,压强是多少2.实践探索(1)实践活动收集反比例函数在社会生活中应用的实例2个.(2)稳固练习课本第58页练习第1题和第2题和习题第3题.(四)板书设计第二课时用坐标表示平移1．掌握用坐标表示点的平移的规律；(重点)2．了解并掌握用坐标表示图形平移的规律与方法．(难点)一、情境导入如图是小丽利用平移设计的一幅作品，说一说平移的特点．你能在坐标系中快速画出这一组图案吗？二、合作探究探究点一：点在坐标系中的平移平面直角坐标系中，将点A(－3，－5)向上平移4个单位，再向左平移3个单位到点B，那么点B的坐标为()A．(1，－8) B．(1，－2)C．(－6，－1) D．(0，－1)解析：利用平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减求解．点A的坐标为(－3，－5)，将点A向上平移4个单位，再向左平移3个单位到点B，点B的横坐标是－3－3＝－6，纵坐标为－5＋4＝－1，即(－6，－1)．应选C.方法总结：此题考查图形的平移变换，关键是要懂得左右移动改变点的横坐标，左减右加；上下移动改变点的纵坐标，下减上加．探究点二：图形在坐标系中的平移【类型一】根据平移求对应点的坐标如图，把△ABC经过一定的平移变换得到△A′B′C′，如果△ABC边上点P的坐标为(a，b)，那么这个点在△A′B′C′中的对应点P′的坐标为()A．(a＋6，b－2) B．(a＋6，b＋2)C．(－a＋6，－b) D．(－a＋6，b＋2)解析：根据三对对应点的坐标，得出变换规律，再让点P的坐标也做相应变化．∵A(－3，－2)，B(－2，0)，C(－1，－3)，A′(3，0)，B′(4，2)，C′(5，－1)，∴△ABC向右平移6个单位，向上平移2个单位得到△A′B′C′.∵△ABC边上点P的坐标为(a，b)，∴点P变换后的对应点P′的坐标为(a＋6，b＋2)．应选B.方法总结：坐标系中图形上所有点的平移变化规律是一致的，解决此类问题的关键是根据对应点找到各对应点之间的平移变化规律．【类型二】平移作图如图，在平面直角坐标系中，P(a，b)是△ABC的边AC上一点，△ABC经平移后点P的对应点为P1(a＋6，b＋2)．(1)请画出上述平移后的△A 1B 1C 1，并写出点A 、C 、A 1、C 1的坐标； (2)求出以A 、C 、A 1、C 1为顶点的四边形的面积．解析：(1)横坐标加6，纵坐标加2，说明向右移动了6个单位，向上平移了2个单位；(2)以A 、C 、A 1、C 1为顶点的四边形的面积可分割为以AC 1为底的2个三角形的面积．解：(1)△A 1B 1C 1如下列图，各点的坐标分别为A (－3，2)、C (－2，0)、A 1(3，4)、C 1(4，2)；(2)如图，连接AA 1、CC 1.S △AC 1A 1＝12×7×2＝7，S △AC 1C ＝12×7×2＝7，故S 四边形ACC 1A 1＝S △AC 1A 1＋S △AC 1C ＝7＋7＝14.方法总结：坐标系中图形平移的坐标变化规律为：左右移动改变点的横坐标，左减右加；上下移动改变点的纵坐标，下减上加．求四边形的面积通常转化为求几个三角形的面积的和．探究点三：平面坐标系中点及图形平移的规律探究如图，一个动点在第一象限及x 轴、y 轴上运动，在第1秒钟，它从原点运动到(1，0)，然后接着按图中箭头所示方向运动，即(0，0)→(1，0)→(1，1)→(0，1)→…，且每秒移动一个单位，那么第2021秒时动点所在位置的坐标是________．解析：方法一：动点运动的规律：(0，0)，动点运动了0秒；(1，1)，动点运动了1×2＝2(秒)，接着向左运动；(2，2)，动点运动了2×3＝6(秒)，接着向下运动；(3，3)，动点运动了3×4＝12(秒)，接着向左运动；(4，4)，动点运动了4×5＝20(秒)，接着向下运动；…于是会出现：(44，44)，动点运动了44×45＝1980(秒)，接着动点向下运动，而2021－1980＝31，故动点的位置为(44，44－31)，即(44，13)．方法二：由题目可以知道，动点运动的速度是每秒钟运动一个单位长度，(0，0)→(1，0)→(1，1)→(0，1)用的秒数分别是1秒钟，2秒钟，3秒钟，到(0，2)用4秒，到(2，2)用6秒，到(2，0)用8秒，到(3，0)用9秒，到(3，3)用12秒，到(0，4)用16秒，依次类推，到(5，5)用30秒．由上面的结论，我们可以得到的第一象限角平分线上的点从(0，0)到(1，1)用2秒，到(2，2)用6秒，到(3，3)用12秒，那么由(n，n)到(n＋1，n＋1)所用时间增加(2n ＋2)秒，这样可以先确定第2021秒时动点所在的正方形，然后就可以进一步推得点的坐标是(44，13)．方法三：该动点每一次从一个轴走到另一个轴所走的步数要比上一次多走一横步，多走一竖步，共多走两步．从(0，0)点走到(0，1)点共要3步，从(0，1)点走到(2，0)点共5步……当n为偶数时，从(0，n－1)点到(n，0)点共走(2n＋1)步；当n为奇数时，从(n－1，0)点到(0，n)点共走(2n ＋1)步，这里n＝1，2，3，4，….∵3＋5＋7＋…＋(2n＋1)＝n(n＋2)＝(n＋1)2－1，∴当n＝44时，n(n＋2)＝(n＋1)2－1＝452－1＝2024，离2021最近，此时n为偶数，即该过程是从(0，43)到(44，0－2021＝13，即从(44，0)向上“退〞13步即可．当到2021秒时动点所在的位置为(44，13)．故答案为(44，13)．方法总结：此类归纳探索猜想型问题的解题关键是总结规律，由特殊到一般的归纳思想来确定点所在的大致位置，进而确定该点的坐标．三、板书设计用坐标表示平移：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．通过本课时的学习，学生经历图形坐标变化与图形平移之间的关系的探索过程，掌握空间与图形的根底知识和根本作图技巧，丰富对现实空间及图形的认识，建立初步的空间观念，培养形象思维能力，激发数学学习的好奇心与求知欲．教学过程中让学生能积极参与数学学习活动，积极交流合作，体验数学活动的乐趣。
反比例函数的意义
§26.1.1反比例函数的意义课型：新授 主备：张新年 审核：李军林 时间：2015.3 班级：九年级（ ）班 姓名：【学习目标】1．知识与技能：使学生理解并掌握反比例函数的概念；2．过程与方法：能判断一个函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式；3．情感、态度与价值观：能根据实际问题的条件确定反比例函数解析式，体会函数的模型思想 【学习重点与难点】重点：理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式 难点：理解反比例函数的概念 【教学过程】一、课堂引入：回忆一下什么是正比例函数、一次函数？它们的一般形式是怎样的？二、新课探究：1、阅读教材第2页的思考中的题目，表示出其函数关系式，分别为 、 、 .●一般的，形如xky =（k 为常数，k ≠0）的函数叫 比例函数，其中x 是自变量，y 是函数。
自变量x 的取值范围是不等于 的一切实数。
(反比例函数的不同形式：①xky = ② xy=k ③y=k 〃x -1)2、例题解析：例1、判断下列等式中哪些是反比例函数,并确定其自变量的取值范围。
（1）3x y =（2）x y 2-= （3）xy ＝21 （4）25+=x y（5）x y 23-= （6）31+=xy （7）y ＝x －4例2、当m 取什么值时，函数23)2(m x m y --=是反比例函数？ （提示：反比例函数xky =（k ≠0）的另一种表达式是1-=kx y （k ≠0））例3、已知y 时x 的反比例函数，当x=2时，y=6 。
（1）写出y 与x 的函数关系式；（2）求当x=4时的y 的值。
分析：因为y 是x 的反比例函数，所以先设xky =，再把x ＝2和y ＝6代入上式求出常数k ，即利用了待定系数法确定函数解析式。
例4、已知函数y ＝y 1＋y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝4；当x ＝2时，y ＝5（1） 求y 与x 的函数关系式（2） 当x ＝－2时，求函数y 的值分析：此题函数y 是由y 1和y 2两个函数组成的，要用待定系数法来解答，先根据题意分别设出y 1、 y 2与x 的函数关系式，再代入数值，通过解方程或方程组求出比例系数的值。
反比例函数图像与性质
例1函数y= (x>0)的图象大致是( )
解析:函数y= 的图象是双曲线,当k<0时双曲线两分支分别在第二、四象限内,而已知中(x>0)表明横坐标为正,故双曲线位于第四象限.
答案:D.
例2函数y=kx+1与函数y= 在同一坐标系中的大致图象是( )
解:可用排除法,假设y= 中k>0,双曲线过第一、三象限,则直线y=kx+1也应过第一、第三象限且与y轴交于正半轴,故排除B、D.同理可排除C,故答案为A.
A.y1<0<y3B.y3<0<y1;C.y2<y1<y3D.y3<y1<y2
5.已知一次函数y=x+m与反比例函数y= (m≠-1)的图象在第一象限内的交点为P(x0,3).
(1)求x0的值;
(2)求一次函数和反比例函数的解析式.
6.如图所示,已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点,且与反比例函数y= (m≠0)的图象在第一象限交于C点, CD垂直于x轴,垂足为D.若OA=OB=OD=1,
7.已知反比例函数 图象与直线 和 的图象过同一点.
（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）当 ＞0时，这个反比例函数值 随 的增大如何变化？
8.如图，已知A(-4，2)、B(n，-4)是一次函数 的图象与反比例函数 的图象的两个交点.
(1)求此反比例函数和一次函数的解析式；
(2)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围.
（1）自变量的取值范围是除0以外的一切实数
（2）当k>0时，它的两个分支分别在第一象限和第三象限内无限伸展;在每一象限内，y随x值的增大而减小。当k<0时，它的两个分支分别在第二象限和第四象限内无限伸展;在每一象限内，y随x值的增大而增大。
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现有一张一百元的人民币，如果把它换成50元的人民币，可得几张？换 成10元的人民币可得几张？依次换成5元，2元，1元的人民币,各可得几张？ 现在我们把换得的张数y与面值x列成一张表格
列 表 法
换成的每张面值为 x（元） 换成的张数 y（张）
50
10
2．根据给出的数据求出k的值．
3．根据求出的k的值，写出一般表达式．
1、已知y是x的反比例函数，当x=2，y=6 ． (1)写出y与x的函数关系式; (2)求当x=4时y的值. 分析：因为y是x的反比例函数，
k 所以设 y .，再把x=2和y=6 x
代入上式就可求出常数k的值.
k 解： （1）设 y ，因为当x=2时y=6，则有： x
分析:已知y与x2成反比例，∴y=
解:∵y与x2成反比例，∴y=
k 当x=-2时，y=2，∴2= 2 (2) 8 ∴k=8 ∴y= 2
x 8 把x=4代入y= 2 x
k 2 (k≠0). x
1 得y= 2
故答案为C.
k 9.反比例函数 y x
中，当x的值由4增加
到6时，y的值减小3，求这个反比例函数的
(1)y与x成反比例； (2)y与z成反比例，z与3x成反比例； (3)y与2z成反比例，z与X成正比例；
k 5、反比例函数 y 的图象经过 x （2，-1），则k的值为 -2 ；
k 6、反比例函数 y 的图象经过点（2， x 5），若点（1，n）在反比例函数
图象上，则n等于（ A ）
A、10 B、5 C、2 D、-6
解得 k=12 12 y x 12 （2）把x=4代入 y ，得 x 12 y 3 4
k 6 2
1
2
-4
(1).写出这个反比例函数的表达式;
k 解:∵ y是x的反比例函数, y . x
得k
2 2. y x .
(2).根据函数表达式完成上表.
4、将下列各题中y与x的函数关系 写出来．
1： 已知，关于x的一次函数 y mx 3n 和 反比例函数 y 2m 5n 的图象都经过 点（1，-2），求这两个函数的解析式。
x
已知：y与x2成反比例，并且当x = - 2时， y= 2，那么当x= 4 时，y 等于( )。 A.-2 B.2
1 C. 2
D.-4
k 2 x k (k≠0)。将x=-2，y=2代入y= 2可求得k， x 从而确定该函数表达式.
解析式．
36 y x
挑战高地
已知函数y＝y1＋y2，y1与x＋1成正比例， y2与x成反比例，且当x＝1时，y＝0；当x ＝4时,y＝9，求当x＝－1时y的值是多少?
注意：设y1与y2的函数解析式时比例系数 要用不同的字母表示。
作业:
课本第47页 习题5
k1 解：由题意得：设 y z
5、如果y是z的反比例函数，z是x的 反比例函数，那么y与x具有怎样的函数 关系？
5
2
12ຫໍສະໝຸດ 102050100
请大家仔细观察这张表格，我们可以发现当面值由大变小的时候，张数会怎 样变化？ 然而你知道什么没有变吗？
解析法
xy 100
100 即： y x
待定系数法：先设出函数解析式， 再根据条件确定解析式中未知的系 数，从而具体写出这个式子的方法， 叫待定系数法．
步 骤：
k 1．根据题意，设出一般表达式： y . x
k2 z x
x k1 k1 k2 k1 x y k1 k2 k2 z x
∴y是x的正比例函数。