2021-2022学年湖北省武汉市部分重点中学高二上学期期中联考数学试题(解析版)
2021-2022学年湖北省武汉市部分重点中学高二上学期期中联考数学试题一、单选题1．椭圆22125x y +=上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】D【分析】由椭圆的定义可得点P 到两个焦点的距离之和为2a ＝10，再由点P 到一个焦点的距离为2，可得点P 到另一个焦点的距离．【详解】由椭圆22125x y +=，可得a ＝5、b ＝1，设它的两个焦点分别为F 、F ′，再由椭圆的定义可得|PF |+|PF '|＝2a ＝10，由于点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为8， 故选：D ．【点睛】本题主要考查椭圆的定义和标准方程的应用，属于中档题． 2．圆222410x x y y ++++=的圆心坐标为（ ） A ．（1，2） B ．（-1，2）C ．（1，-2）D ．（-1，-2）【答案】D【解析】对圆的一般方程配方可得答案. 【详解】由圆222410x x y y ++++=得，()()22124x y +++=，所以圆心为(1,2)--.故选：D.3．一个学习小组有5名同学，其中3名男生､2名女生，从这个小组中任意选出2名同学，则选出的同学中既有男生发言又有女生的概率为（ ） A ．25B ．12C ．35D ．45【答案】C【分析】写出5人取2人的所有事件，找出一男同学一女同学的取法，利用古典概型求解.【详解】5人小组中，设2女生分别为a ,b ，3名男生分别为A,B,C ， 则任意选出2名同学，共有:(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a A a B a C b A b B b C A B A C B C 10个基本事件， 其中选出的同学中既有男生又有女生共有(,),(,),(,),(,),(,),(,)a A a B a C b A b B b C 6个基本事件， 所以63105P ==, 故选：C4．已知两个向量(2,1,3)a =-，(4,,)b m n =，且//a b ，则m n +的值为（ ） A ．1 B ．2C ．4D ．8【答案】C【分析】由//a b ，可知R λ∃∈，使b a λ=，利用向量的数乘运算及向量相等即可得解.【详解】∵//a b ，∴R λ∃∈，使b a λ=，得423m n λλλ=⎧⎪=-⎨⎪=⎩，解得：226m n λ=⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以4m n +=故选：C【点睛】思路点睛：在解决有关平行的问题时，通常需要引入参数，如本题中已知//a b ，引入参数λ，使b a λ=，转化为方程组求解；本题也可以利用坐标成比例求解，即由//a b ，得4213m n==-，求出m ，n . 5．若圆C ：x 2＋y 2－2(m －1)x ＋2(m －1)y ＋2m 2－6m ＋4＝0过坐标原点，则实数m 的值为( ) A ．2或1 B ．－2或－1 C ．2 D ．1【答案】C【详解】若圆C ：x 2＋y 2－2(m －1)x ＋2(m －1)y ＋2m 2－6m ＋4＝0过坐标原点，则有22640m m +－＝且()()()222414142640m m m m +-+>－－－. 解得2m =.故选C.6．从装有2个红球、4个白球的袋子中任意摸出2个球，事件A =“至少有1个红球”，事件B =“至多有1个白球”，则（ ） A ．()()P A P B <B ．()()P A P B =C ．()()()P A B P A P B =+D ．()()1P A P B +=【答案】B【分析】由古典概型的概率公式求出()(),P A P B ，即可得到答案 【详解】记2个红球分别为a ，b ，4个白球分别为,,,A B C D ， 则从袋子中任意摸出2个球的所有情况为：ab ，aA ，aB ，aC ，aD ，bA ，bB ，bC ，bD ，AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，共15种，其中事件A =“至少有1个红球”包括：ab ，aA ，aB ，aC ，aD ，bA ，bB ，bC ，bD ，共9种，事件B =“至多有1个白球”包括：ab ，aA ，aB ，aC ，aD ，bA ，bB ，bC ，bD ，共9种，故()93155P A ==，()93155P B == ()()P A P B ∴=，故选：B7．若直线:20l kx y --=与曲线1C x =-有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．4,23⎛⎤⎥⎝⎦B ．4,43⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．442,,233⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ D ．4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】由于直线:20l kx y --=恒过定点(0,2)-，曲线1C x =-表示以点 (1,1)为圆心，半径为1，且位于直线1x =右侧的半圆（包括点(1,2)，(1,0)，然后由直线过(1,0)求出直线的斜率，由直线与半圆相切求出直线的斜率，从而可求得实数k 的取值范围【详解】直线:20l kx y --=恒过定点(0,2)-，曲线1C x =-表示以点(1,1)为圆心，半径为1，且位于直线1x =右侧的半圆（包括点(1,2)，(1,0)．当直线 l 经过点(1,0)时， l 与曲线C 有两个不同的交点，此时2k =，直线记为1l ； 当 l1=，得43k =，切线记为2l ．分析可知当423k <≤时，l 与曲线C 有两个不同的交点， 故选：A ．8．设F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点，P 是C 上的点，圆2229a x y +=与直线PF 交于A ，B 两点，若A ，B 是线段PF 的两个三等分点，则C 的离心率为（ ）A B C D 【答案】D【解析】取AB 中点H ，椭圆另一个焦点为E ，连结PE 根据平面几何的知识、勾股定理及中位线的性质得5a d =，即可求解.【详解】如图，取AB 中点H ，椭圆另一个焦点为E ，连结PE .A 、B 三等分线段PF ，H ∴也是AB 中点，即OH AB ⊥设OH d =，则2PE d =，22PF a d =-，3a dAH -=， 在Rt OHA 中，222OA OH AH =+，解得5a d =. 在Rt OHF 中，45FH a =，5a OH =，OF c =， 由222OF OH FH =+ 化简得221725a c =，17c a =即C 17. 故选：D【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆离心率的求解问题，关键是根据题设条件获得关于a ，b ，c 的关系式，最后化归为a ，c （或)e 的关系式，利用方程求解，属于中档题.二、多选题9．下列命题：①对立事件一定是互斥事件；②若A ，B 为两个随机事件，则()()()P A B P A P B =+；③若事件A ，B ，C 彼此互斥，则()()()1P A P B P C ++=；④若事件A ，B 满足()()1P A P B +=，则A 与B 是对立事件.其中错误的命题是（ ） A ．① B ．②C ．③D ．④【答案】BCD【分析】根据对立事件与互斥事件的关系可判断①；当A ，B 不互斥时可判断②；当A B C ⋃⋃≠Ω 时可判断③；举例子事件A 为抛一枚硬币正面朝上，事件B 为掷一枚骰子出现偶数点，可判断④，进而可得符合题意的选项. 【详解】对于①：对立事件一定是互斥事件，故①正确；对于②：若A ，B 为两个随机事件，则()()()()P A B P A P B P A B =+-，故②错误；对于③：若事件A ，B ，C 彼此互斥，则()()()1P A P B P C ++≤，故③错误； 对于④：记事件A 为抛一枚硬币正面朝上，事件B 为掷一枚骰子出现偶数点，则()0.5P A =，()0.5P B =，满足()()1P A P B +=，但A 与B 不是对立事件，故④错误，故选：BCD.10．已知直线l 1：ax -y +1=0，l 2：x +ay +1=0，a ∈R ，以下结论正确的是（ ） A ．无论a 为何值，l 1与l 2都互相垂直 B ．当a 变化时，l 1与l 2分别经过定点A（0，1）和B （-1，0）C ．无论a 为何值，l 1与l 2都关于直线x +y =0对称D ．若l 1与l 2交于点M ，则|MO |的最【答案】ABD【分析】结合两条直线垂直、直线过定点、直线与直线对称、直线与直线的交点等知识对选项进行分析，由此确定正确答案.【详解】对于A ，a ×1+（-1）×a =0，故l 1与l 2互相垂直恒成立，故A 正确； 对于B ，直线l 1：ax -y +1=0，当a 变化，x =0时，y =1恒成立，所以l 1恒过定点A （0，1）； l 2：x +ay +1=0，当a 变化，y =0时，x =-1恒成立，所以l 2恒过定点B （-1，0），故B 正确；对于C ，在l 1上任取一点（x ，ax +1），关于直线x +y =0对称的点的坐标为（-ax -1，-x ）， 代入l 2：x +ay +1=0，得2ax =0，不满足无论a 为何值，2ax =0成立，故C 不正确； 对于D ，联立1010ax y x ay -+=⎧⎨++=⎩，解得 221111a x a a y a --⎧=⎪⎪+⎨-+⎪=⎪+⎩，即2211,11a a M a a ---+⎛⎫ ⎪++⎝⎭，所以||MO ==≤ 所以|MO |D 正确. 故选：ABD11．已知O 为坐标原点，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为F 1､F 2，长轴长为2c ，点P 在椭圆C 上且满足|OP |=|OF 1|=|OF 2|=c ，直线PF 2与椭圆C交于另一个点Q ，若124cos 5FQF ∠=，点M 在圆228:9G x y +=上，则下列说法正确的是（ ） A ．椭圆C 的焦距为2B ．三角形MF 1F 2C ．2212||||4PF PF +=D ．圆G 在椭圆C 的内部【答案】ABCD【分析】先根据已知条件，解出椭圆C 的标准方程，再逐个验证各个选项即可. 【详解】△12F PF 中，原点O 为边12F F 中点，|OP |=|OF 1|=|OF 2|，则122F PF π∠=，设2PF m =，2QF n =，则122PF m =，12QF n = △1F PQ 中，12F PQ π∠=,14cos 5FQP ∠= 则有4522223522n m n =--=-，解之得22m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 故△12F PF 为等腰直角三角形：22PF 12PF =122F PF π∠=故222212(2)224F F c ==，则1c = 又222a =，故1b =. 椭圆C 的方程为2212x y +=选项A ：椭圆C 的焦距为是2，正确；选项B ：圆228:9G x y +=的半径为22r =△MF 1F 2面积的最大值为12122222F F ⨯=，正确； 选项C ：22212||||224PF PF +==，正确； 选项D ：圆G 圆心在原点，半径221r b =<=，故圆G 在椭圆C 的内部，正确. 故选：ABCD12．如图，在棱长为4的正四面体ABCD 中，E ，F 分别在棱DA ，DC 上，且EF ∥AC ，若,DE sDA EP tEF ==，()0,1s ∈，()0,1t ∈，则下列命题正确的是（ ）A ．46,43BP ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭B ．12s =时，BP 与面ABC 夹角为φ，则222sin ,35ϕ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦C ．若1s t +=，则P 的轨迹为不含端点的直线段D ．13t =时，平面ACD 与平面BDP 所夹的锐二面角为θ，22sin 3θ> 【答案】AD【分析】利用,s t 的范围，根据向量数乘的意义得P 点轨迹，判断AC ，作出直线与平面所成的角，计算正弦值，作出二面角的平面角，计算正弦值，然后判断BD ． 【详解】对于A ，当()0,1s ∈，()0,1t ∈，点P 的轨迹是ACD △内部（不含边界），BP 的的最小值是B 点到平面ACD 的距离，最大值是棱长BA （取不到），设O 是ACD △的中心，则BO ⊥平面ACD ，从而有BO 与平面ACD 内所有直线垂直， 23434323DO =⨯⨯=，22463BO BD DO =-=， 所以BP 的范围是46,43⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭，故A 正确．对于B ，12s =时，EF 是ACD △中位线，P 点轨迹是线段EF （不含端点）， 作PM ⊥平面ABC 于M ，连接BM ，则PBM ∠是BP 与平面ABC 所成的角ϕ．D 点到平面ABC 的距离等于46BO =EF 是ACD △中位线，P EF ∈， 由//EF AC ，EF ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，得//EF 平面ABC ，所以PM 等于E 到平面ABC 的距离，也等于D 点到平面ABC 的距离的一半，即263PM =， BEF 中，23BE EF ==，2EF =，EF 边上的高为22(23)111-=，所以1123BP ≤<，sin PM BP ϕ=，所以2266sin 333ϕ<≤，故B 错误；对于C ，当0,1s t ==时，P 与D 重合；当1,0s t ==时，P 与A 重合，,A D 是两个极限点（实际取不到），当11,22s t ==时，P 是中位线EF 的中点N ．,,D N A 三点不共线，故C 错误；对于D ，在AC 上取点Q ，使得13AQ AC =，连接DQ ，13t =时，P 点轨迹是线段DQ （不含端点），由A 选项讨论知BO ⊥平面ACD ， DQ ⊂平面ACD ，则BO DQ ⊥， 作OR DQ ⊥，垂足为R ，连接BR ，由OR OB O =，则DQ ⊥平面BOR ，又BR ⊂平面BOR ，所以DQ BR ⊥，所以BRO ∠是平面ACD 与平面BDP 所的锐二面角的平面角，即BRO θ∠=．在DQT （T 是AC 中点）中，43DO =，112()4233TQ =-⨯=，2222247(23)33DQ DT TQ ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭， 由DORDQT 得DO OR DQ QT =，所以4322213321473DO QT OR DQ ⨯⋅===，22224622121333217BR BO OR ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 46146223sin 321331337BO BR θ===>，故D 正确．故选：AD ．【点睛】关键点点睛：本题考查空间动点轨迹，考查向量的数乘运算的意义，直线与平面所成的角，二面角，解题关键是掌握空间角的定义，由定义作出空间角的平面角，然后计算出平面角得空间角，考查学生的分析解题能力与运算求解能力，属于难题. 三、填空题13．若方程22121x y m m +=-表示椭圆，则实数m 满足的条件是________.【答案】12m m ⎧⎨⎩，且1m ⎫≠⎬⎭【解析】方程22121x ym m +=-表示椭圆，则0,210,21,m m m m >⎧⎪->⎨⎪≠-⎩，解出即可答案. 【详解】由方程22121x ym m +=-表示椭圆，得0,210,21,m m m m >⎧⎪->⎨⎪≠-⎩解得12m >且1m ≠ 故答案为： 12m m ⎧⎨⎩，且1m ⎫≠⎬⎭14．调查某高中1000名学生的肥胖情况，得到的数据如表：193y ，194z ，则肥胖学生中男生不少于女生的概率为___________.【答案】47【分析】根据已知条件，结合列举法和古典概型的概率公式，即可求解． 【详解】解：由题意可知，100088175126211400y z +=----=，193y ，194z ，∴满足条件的(,)y z 有14组，分别为：(193,207)，(194,206)，(195,205)，(196,204)，(197,203)，(198,202)， (199,201)，200,(200)，(201,199)，(202,198)，(203,197)，(204,196)， (205,195)，(206,194)，设事件A 表示“肥胖学生中男生不少于女生”，即y z ， 则事件A 包含的基本事件有8组，分别为：(193,207)，(194,206)，(195,205)，(196,204)，(197,203)，(198,202)， (199,201)，200,(200)，故肥胖学生中男生不少于女生的概率()84147P A ==． 故答案为：47．15．a 、b 为空间中两条互相垂直的直线，直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a 、b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，30ABC ∠=，当直线AB 与a 成60角时，AB 与b 成的角为___________.【答案】45【分析】分析可得AC a ⊥，AC b ⊥，a b ⊥，以点C 为坐标原点，直线a 、b 的方向向量的方向分别为x 、y 轴的正方向，CA 的方向为z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设点(),,0B m n ，可得223m n +=，利用已知条件可求得m 、n 的值，再利用空间向量法可求得结果.【详解】因为AC a ⊥，AC b ⊥，a b ⊥，且在直角三角形ABC 中，AC BC ⊥，以点C 为坐标原点，直线a 、b 的方向向量的方向分别为x 、y 轴的正方向，CA 的方向为z 轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，不妨设2AB =，因为30ABC ∠=，则1AC =，3BC =()0,0,1A 、()0,0,0C ， 设点(),,0B m n ，则223m n +=，(),,1AB m n =-，直线a 的一个方向向量为()1,0,0u =，直线b 的一个方向向量为()0,1,0v =，由已知可得1cos ,22AB u m AB u AB u⋅<>===⋅，可得1m =±，故2n = 所以，2cos ,2AB v AB v AB v⋅==⋅，因此，AB 与b 成的角为45. 故答案为：45.16．已知实数1212x x y y 、、、满足22111x y +=，22221x y +=，121212x x y y +=，则112222+的最大值为___________. 【答案】223【分析】设()()1122 ,,,A x y B x y ，O 为坐标原点，则()()1122,,,OA x y OB x y ==，由题意,A B两点在圆221x y +=上，且三角形OAB 为等边三角形，1AB =，由11222222x y x y +-+-的几何意义为,A B 两点到直线20x y +-=的距离1AA 与1BB 之和，记线段11,AB A B 的中点分别是1,C C ，O 到直线20x y +-=的距离为1OO ，根据1112AA BB CC +=，且1CC 1||OC OO +即可得答案.【详解】解：设()()1122 ,,,A x y B x y ，O 为坐标原点，则()()1122,,,OA x y OB x y ==，由22221122121211,1,2x y x y x x y y +=+=+=，可得,A B 两点在圆221x y +=上，且111cos 2OA OB AOB ⋅=⨯⨯∠=，则60AOB ∠=︒， 所以三角形OAB 为等边三角形，1AB =，11222222x y x y +-+-+的几何意义为,A B 两点到直线20x y +-=的距离1AA 与1BB 之和，记线段11,AB A B 的中点分别是1,C C ，O 到直线20x y +-=的距离为1OO ， 则有1112AA BB CC +=，且1CC 13||2OC OO +=+ 所以11223AA BB +≤11222222x y x y +-+-+223故答案为：223四、解答题17．2021年8月某市发现省外新冠肺炎关联病例后，迅速展开全员核酸检测，某医院参与核酸检测工作的人员中有2名医生，1名护士和2名志愿者，采用抽签的方式，若从这五名援鄂人员中随机选取两人参与学校的检测工作. (1)求选中1名医生和1名护士的概率； (2)求至少选中1名护士的概率.【答案】(1)15(2)710【分析】（1）将护士、医生及志愿者编号，列出所有基本事件和满足要求的基本事件，利用古典概型的概率公式进行求解；（2）列出满足要求的基本事件，利用古典概型的概率公式进行求解. (1)解：将2名护士分别记为1A ，2A ；1名医生记为B ；2名志愿者记为1C ，2C ；从这五名工作人员中随机选取2人在学校 参与核酸检測的所有的基本事件共10种，分别为：()12,A A ，()1,A B ，()11,A C ，()12,A C ，()2,A B ，()21,A C ，()22,A C ，()1,B C ，()2,B C ，()12,C C ，设“选中1名医生和1名护士”为事件A ，事件A 包含的基本事件共2种， 分别为()1,A B ，()2,A B ； 由古典概型的概率公式，得21()105P A ==， 即选中1名医生和1名护士的概率为15；(2)解：设“至少选中1名护士”为事件B ， 事件B 包含的基本事件共7种，分别为：()()()()()()()121111222122,,,,,,,,,,,,,A A A B A C A C A B A C A C所以7()10P B =，即至少选中1名医生的概率为710. 18．如图，矩形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，AD CD ⊥，//AB CD ，2AB AD ==，4CD =，M 为CE 的中点．(1)求证：//BM 平面ADEF ； (2)求证：BC ⊥平面BDE ． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）取DE 中点N ，连结MN ，AN ，证明四边形ABMN 为平行四边形，从而可证//BM 平面ADEF ；（2）先证明ED ⊥平面ABCD ，可得ED BC ⊥，再利用勾股定理，证明BC BD ⊥，利用线面垂直的判定定理，证明BC ⊥平面BDE ． (1)证明：取DE 中点N ，连结MN ，AN ．在EDC △中，M ，N 分别为EC ，ED 的中点， 所以//MN CD ，且12MN CD =．由已知//AB CD ，12AB CD =，所以//MN AB ，且MN AB =． 所以四边形ABMN 为平行四边形． 所以//BM AN ．又因为AN ⊂平面ADEF ，且BM ⊂/平面ADEF ， 所以//BM 平面ADEF ． (2)证明：在矩形ADEF 中，ED AD ⊥． 又因为平面ADEF ⊥平面ABCD ， 且平面ADEF平面ABCD AD =，所以ED ⊥平面ABCD ． 因为BC ⊂平面ABCD ． 所以ED BC ⊥．在直角梯形ABCD 中，2AB AD ==，4CD =，可得22BC =． 在BCD △中，22,4BD BC CD ===， 因为222BD BC CD +=，所以BC BD ⊥． 因为BD DE D ⋂=，,BD DE ⊂平面BDE ， 所以BC ⊥平面BDE ．19．已知圆C 的圆心为()1,0，直线10x y ++=与圆C 相切. （1）求圆C 的方程；（2）若直线l 过点()2,2，被圆C 所截得的弦长为2，求直线l 的方程. 【答案】（1）()2212x y -+=；（2）2x =或3420x y+=-.【分析】（1）由题意，根据点到直线距离公式，求出半径，进而可得圆的方程； （2）先考虑斜率不存在的情况，由题中条件，直接得直线方程2x =；再考虑斜率存在的情况，设l 的方程为()22y k x -=-，根据圆的弦长的几何表示，得到圆心到直线的距离，再根据点到直线距离公式列出方程求解，即可得出斜率，求出对应直线方程. 【详解】（1）因为直线10x y ++=与圆C 相切，所以圆心到直线的距离等于半径， 即圆心()1,0到直线10x y ++=的距离为1122d r +===∴圆C 的方程为：()2212x y -+=； （2）当l 斜率不存在时，l 的方程为2x =，易知此时被圆C 截得的弦长为2，符合题意，所以2x =；当l 斜率存在时，设l 的方程为()22220y k x kx y k -=-⇒-+-=，则221k d k -=+.又直线l 被圆C 所截得的弦长为2，所以2222222r d d =-=-，则1d =， 所以2121k k -=+，解得34k =， 所以直线l 的方程为()32234204y x x y -=-⇒-+=. 综上：l 的方程为2x =或3420x y+=-.20．如图，三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥侧面11BB C C ，已知13BCC π∠=，1BC =，12AB C C ==，点E 是棱1C C 的中点．（1）求证：1C B ⊥平面ABC ；（2）在棱CA 上是否存在一点M ，使得EM 与平面11A B E 211，若存在，求出CMCA的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）存在，13CM CA =或523CM CA = 【解析】（1）利用余弦定理解得13BC =，结合勾股定理得到1BC BC ⊥，证得AB ⊥侧面11BB C C ，1AB BC ⊥，继而可证1C B ⊥平面ABC ；（2）以B 为原点，分别以BC ，1BC 和BA 的方向为x ，y 和z 轴的正方向建立空间直角坐标系，假设存在点M ，设(),,M x y z ，由EM 与平面11A B E 所成角的正弦值为21111，可求解.【详解】（1）由题意，因为1BC =，12CC =，13BCC π∠=，利用余弦定理2221112cos 60BC BC CC BC CC =+-⨯︒，解得13BC =，又22211BC BC CC ∴+=，1BC BC ∴⊥，AB ⊥侧面11BB C C ，1AB BC ∴⊥． 又AB BC B ⋂=，AB ，BC ⊂平面ABC ，∴直线1C B ⊥平面ABC ．（2）以B 为原点，分别以BC ，1BC 和BA 的方向为x ，y 和z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则有(0,0,2)A ，1(13,0)B -，132E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1(13,2)A -， 设平面11A B E 的一个法向量为(,,)m x y z =，11(0,0,2)A B =-，133,22A E ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 11100m A B m A E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，2033202z x y z -=⎧⎪∴⎨-=⎪⎩，令3y =1x =，(1,3,0)m ∴=， 假设存在点M ，设(),,M x y z ，CM CA λ=，[0,1]λ∈，(1,,)(1,0,2)x y z λ∴-=-，(1,0,2)M λλ∴-，13,22EM λλ⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭利用平面11A B E 的一个法向量为(1,3,0)m =，22132112211132424λλλ--∴=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，得2693850λλ-+=． 即(31)(235)0λλ--=，13λ∴=或523λ=，13CM CA ∴=或523CMCA =． 【点睛】本题考查了空间向量和立体几何综合问题，考查了学生逻辑推理，空间向量和数学运算能力，属于中档题.21．甲､乙､丙､丁4名棋手进行象棋比赛，赛程如下面的框图所示，其中编号为i 的方框表示第i 场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第i 场比赛的胜者称为“胜者i “，负者称为“负者i “，第6场为决赛，获胜的人是冠军.已知甲每场比赛获胜的概率均为23，而乙､丙､丁之间相互比赛，每人胜负的可能性相同.(1)求甲获得冠军的概率；(2)求乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率. 【答案】(1)4081(2)1754【分析】（1）列举出甲获得冠军的所有可能情况，结合相互独立事件概率计算公式，即可得解；（2）通过列举法对比赛的情况进行分析，结合相互独立事件概率计算公式，即可得解. (1)甲获得冠军，则甲参加的比赛结果有三种情况： 1胜3胜6胜；1负4胜5胜6胜；1胜3负5胜6胜.所以甲获得冠军的概率为：3322140233381⎛⎫⎛⎫+⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (2)若乙的决赛对手是甲，则两人参加的比赛结果有两种情况： 甲：1胜3胜，乙：1负4胜5胜；甲：1负4胜5胜，乙：1胜3胜．所以甲与乙在决赛相遇的概率为：2211122153322333227⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=若乙的决赛对手是丙，则两人只可能在第3场和第6场相遇，两人参加的比赛的结果有两种情况：乙：1胜3胜，丙：2胜3负5胜； 乙：1胜3负5胜，丙：2胜3胜．同时考虑甲在第4场和第5场的结果，乙与丙在第3场和第6场相遇的概率为11121111112111732233323223332108⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 丁与丙的情况相同，所以乙进入决赛，且乙与其决赛对于是第二次相遇的概率为577172710810854++=22．已知点P 与定点F 的距离和它到定直线x = (1)求点P 的轨迹方程C ；(2)点M ，N 在C 上，(2,1)A 且,AM AN AD MN ⊥⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得||DQ 为定值．【答案】(1)22163x y +=；(2)证明见解析.【分析】（1）设(,)P x y ，利用两点距离公式及点线距，结合已知条件可得2226x y +=，即可写出P 的轨迹方程C .（2）由（1）易知A 在椭圆C 上，设1122(,),(,)M x y N x y ，讨论MN 斜率：存在时令MN 为y kx m =+，联立椭圆方程结合韦达定理及0AM AN ⋅=可得2310k m ++=，可知MN 过定点；斜率不存在时由0AM AN ⋅=求M 、N 的横坐标，判断是否过同一定点，最后根据AD MN ⊥确定D 的轨迹为圆，进而确定圆心即可证结论.(1)设(,)P x y ，由题设2222[(](x y x +=-，整理得：2226x y +=，∴P 的轨迹方程C 为22163x y +=.(2)由（1）知：A 在椭圆C 上，设1122(,),(,)M x y N x y ，当直线MN 斜率存在时，令MN 为y kx m =+，联立椭圆C 并整理得：222(21)4260k x kmx m +++-=，∴222222168(3)(21)488240k m m k k m ∆=--+=-+>，则122421kmx x k +=-+，21222(3)21m x x k -=+，故121222()221m y y k x x m k +=++=+，222212121226()21m k y y k x x km x x m k -=+++=+， ∵AM AN ⊥，而11(2,1)AM x y =--，22(2,1)AN x y =--，∴121212121212(2)(2)(1)(1)2()()5AM AN x x y y x x x x y y y y ⋅=--+--=-++-++=0； ∴由上整理得：2234821(231)(21)0m k km m k m k m ++--=+++-=.由题设知：A 不在MN 上，即210k m +-≠，故2310k m ++=，则2133k m +=-，∴MN 过定点21(,)33E -，当直线MN 斜率不存在时，则11(,)N x y -，由2211(2)10AM AN x y ⋅=-+-=，又221126x y +=，可得2113840x x -+=，解得123x =或12x =(舍)，∴此时MN 也过定点21(,)33E -，又AD MN ⊥，即90ADE ∠=︒，故D 在以AE 为直径的圆上且圆心为41(,)33.∴定点Q 41(,)33，使得||DQ 为定值，得证.【点睛】关键点点睛：第二问，讨论MN 斜率，联立椭圆方程及线段的垂直关系，利用向量垂直的坐标表示判断MN 所过的定点坐标，再由AD MN ⊥判断D 的轨迹为圆，找到圆心坐标，即为所要证的定点Q .。
2021-2022年高二上学期期中考试 数学理试题 含答案
2021-2022年高二上学期期中考试 数学理试题 含答案说明：1.考试时间120分，满分150分。
2.将卷答案用2B 铅笔涂在答题卡上，卷用蓝黑钢笔或圆珠笔答在答题纸上。
一、选择题（共12小题，每小题5分，计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 抛物线的准线方程是，则的值为（ ）A ．B ．C ．8D ．-82．有一块多边形的菜地,它的水平放置的平面图形的斜二测直观图 是直角梯形(如图所示，2,1AB AD DC BC ,==,⊥,则这块菜地的面积为( ).A ．B ．C ．D ．3.已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，直线l ：x ＝2，点A ∈l ，线段AF 交C 于点B ，若＝3FB→，则|AF →|＝ ( )． A. 3 B ．2 C. 2 D ．34. 直线y ＝x ＋3与曲线y 29－x |x |4＝1( ) A ．没有交点 B ．只有一个交点 C ．有两个交点 D ．有三个交点 5. 过双曲线的左焦点，作圆的切线交双曲线右支于点P ，切点为T ，的中点在第一象限，则以下结论正确的是 （ ）A BC D 的大小不确定（第1页共6页）6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π7.直线y = x + b 与曲线x=有且仅有一个公共点，则b 的取值范围是（ ）（A ）|b|= （B ）或（C ） （D ）以上都错8. 设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P 满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且cos ∠PF 1F 2＝45，则双曲线的渐近线方程为( ) A ．3x ±4y ＝0 B ．4x ±3y ＝0 C.3x ±5y ＝0 D ．5x ±4y ＝09. 圆()()x y -+-=2331622与轴交于A 、B 两点，与轴的一个交点为P ， 则等于（ ）A. B. C. D.10.直线3x －4y ＋4＝0与抛物线x 2＝4y 和圆x 2＋(y －1)2＝1从左到右的交点依次为A 、B 、C 、D ，则|AB||CD|的值为( ) A ．16 B ．4 C.14 D.11611. 若圆0104422=---+y x y x 上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线的倾斜角的取值范围是( )(A) (B) (C) (D)(第2页，共6页)12. 已知是圆C ：上的任意一点，则的最大值与最小值各位多少（ ）A.100,65B. 65,20C.100,20D.100,45卷Ⅱ（非选择题 共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．13．已知P 是双曲线x 264－y 236＝1上一点，F 1，F 2是双曲线的两个焦点，若|PF 1|＝17，则|PF 2|的值为________．14. 设直线与圆相交于两点，且弦的长为，则 .15.设分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上任一点，点的坐标为，则的最大值为 ．16.已知一几何体的三视图如下，正视图和侧视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择5个顶点，它们可能是如下各种几何形体的5个顶点，这些几何形体是(写出所有正确结论的编号) .（其中）①每个侧面都是直角三角形的四棱锥；②正四棱锥；③三个侧面均为等腰三角形与三个侧面均为直角三角形的两个三棱锥的简单组合体④有三个侧面为直角三角形，另一个侧面为等腰三角形的四棱锥(第3页，共6页)三．解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）已知三角形的三个顶点是（1）求边上的高所在直线的方程；（2）求边上的中线所在直线的方程。
2021-2022学年湖北省部分重点高中高一上数学期中联合考试-含答案
2021-2022学年上学期湖北省部分重点高中高一期中联考数 学 试 题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}2,0,1M =-，{}1,0,1,2N =-，则M N =（ ）A ．{}2,1,0,1,2--B ．{}0,1C ．{}2,1,2--D ．{}2,2-2．对于实数a ，b ，c ，“a>b” 是“22ac bc >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件充要条件D ．既不充分又不必要条件3．下列函数中在其定义域内既是奇函数又是增函数的为（ ）A ．()f x x =-B ．()3xf x =C ．()2f x x =D ．()f x =4．函数(f x ）A ．[2，4]B ．[0，2]C ．[2,)+∞D ．(,2]-∞5．已知2225351(),3,32a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．b a c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >>6． 若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且在(),0-∞上是增函数，又()20f -=，则()0x f x ⋅<解集是（ ） A ．()()2,00,2-B ．()(),20,2-∞-C ．()(),22,-∞-⋃+∞D ．()()2,02,-+∞7．已知函数27,1(),1x ax x f x a x x ⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩是(,)-∞+∞上的增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．[4,0)-B ．[4,2]--C ．(,2]-∞-D ．(,0)-∞8． 设函数()y f x =和()y f x =-，若两函数在单调区间[],m n 上的单调性相同，则把区间[],m n 叫做()y f x =的“稳定区间”.已知区间[1,2021]为函数()12xf x a⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的“稳定区间”，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[2,1]--B ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．202120211[2,()]2--二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2021-2022学年高二下学期期中联考数学试题(解析版)
的极大值点为 ，选项B判断错误；
函数 在（a，b）上的极值点为 ， 共2个.选项D判断正确；故选：D.
3.某铁球在 时，半径为 ．当温度在很小的范围内变化时，由于热胀冷缩，铁球的半径会发生变化，且当温度为 时铁球的半径为 ，其中a为常数，则在 时，铁球体积对温度的瞬时变化率为（）
此时曲线 表示圆心在原点，半径为 的圆，故B不正确；
对于C，若 ，则 可化为 ，此时曲线 表示双曲线，
由 可得 ，故C正确；
对于D，若 ，则 可化为 ，
，此时曲线 表示平行于 轴的两条直线，故D正确；
故选：ACD.
10.已知数列 中， ， ， ，则下列说法正确的是（）．
A. B. 是等比数列
C. D.
12.已知函数 （ ， 且 ），则（）
A.当 时， 恒成立
B.若 有且仅有一个零点，则
C.当 时， 有两个零点
D.存 ，使得 有三个极值点
〖答案〗AC
〖解析〗对于A， 即 ，两边取对数， ，
令 ， ，
单调递增； 单调递减；
的最大值为 ， ，A正确；
对于B，若 有且仅有一个零点，则 ，两边取对数，有： ，
湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2021-2022学年
高二下学期期中联考数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. “ ”是“直线 与直线 互相垂直”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
当 时，直线 ，圆心 到直线 的距离 ,所以直线m与圆C相离，不合题意.
2021-2022学年湖北省新高考联考高二上学期期末考试数学试题带讲解
解：以点 作坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，0， ， ，2， ， ，0， ， ，0， ，
设平面 的一个法向量为 ，又 ，
则 ，则可取 ，
又 ，设直线 与平面 的夹角为 ，则 ，
直线 与平面 的正弦值为 ；
【小问2详解】
解：因为
所以点 到平面 的距离为 ，
点 到平面 的距离为 ．
17.已知数列 是递增的等差数列， ，若 成等比数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，数列 的前 项和 ，求 .
（1） ；（2） .
【分析】
（1）设等差数列 的公差为 ，根据题意列出方程组，求得 的值，即可求解；
（2）由（1）求得 ，结合“裂项法”即可求解.
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，
【详解】抛物线 ： ( )的焦点 ，
∵P为 上一点， 与 轴垂直，所以P的横坐标为 ，代入抛物线方程求得P的纵坐标为 ，不妨设 ，
因为Q为 轴上一点，且 ，所以Q在F的右侧，
又 ， ， ，
因为 ，所以 ，
，所以 3
故答案为：3.
16.螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如下图（1）所示.如图（2）所示阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形ABCD的边长为4，取正方形ABCD各边的四等分点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的四等分点M，N，P，Q，作第3个正方形MNPQ，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案.如图（2）阴影部分，设直角三角形AEH面积为 ，直角三角形EMQ面积为 ，后续各直角三角形面积依次为 ，…， ，若数列 的前n项和 恒成立，则实数 的取值范围为______.
2021-2022学年湖北省高二上学期期末调考数学试题解析
2021-2022学年湖北省高二上学期期末调考数学试题一、单选题1．与空间向量()1,2,3a =-共线的一个向量的坐标是（ ） A ．()2,1,0- B ．()1,2,3 C ．13,1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．()1,3,2--答案：C根据空间向量共线的坐标表示即可得出结果. 解：131,1,222a ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭.故选：C.2．抛物线212x y =的焦点坐标是（ ） A ．1,08⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,0C ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭答案：D由解析式可判断焦点的位置，再求p ，继而可求出焦点坐标.解：∵ 212x y =， ∴ 焦点在y 轴正半轴上，且122p =， ∴128p = ∴ 抛物线212x y =的焦点为10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故选：D.3．在单调递减的等比数列{}n a 中，若31a =，24103a a +=，则1a =（ ） A ．9 B ．3C ．13D ．19答案：A利用等比数列的通项公式可得1103q q +=，结合条件即求. 解：设等比数列{}n a 的公比为q ，则 由31a =，24103a a +=，得 1103q q +=，解得13q =或3q =，又{}n a 单调递减， 故13q =，3129a a q ==.故选：A.4．若OA 、OB 、OC 为空间三个单位向量，OA OB ⊥，且OC 与OA 、OB 所成的角均为60，则OA OB OC ++=（ ）A ．5 BC D答案：C先求OA OB OC ++的平方后再求解即可.解：()22222OA OB OC OA OB OC OA OB OB OC OA OC ++=+++⋅+⋅+⋅ 11320522⎛⎫=+++= ⎪⎝⎭，故5OA OB OC =++， 故选：C5．雅言传承文明，经典浸润人生．某市举办“中华经典诵写讲大赛”，大赛分为四类：“诵读中国”经典诵读大赛、“诗教中国”诗词讲解大赛、“笔墨中国”汉字书写大赛、“印记中国”学生篆刻大赛．某人决定从这四类比赛中任选两类参赛，则“诵读中国”被选中的概率为（ ）A ．34B ．12C ．14D ．16答案：B由已知条件得基本事件总数为24C 6=种，符合条件的事件数为3中，由古典概型公式直接计算即可.解：从四类比赛中选两类参赛，共有24C 6=种选择，其中“诵读中国”被选中的情况有3种，即“诵读中国”和 “诗教中国” ，“诵读中国”和“笔墨中国”， “诵读中国”和“印记中国” ，由古典概型公式可得3162P ==， 故选：B .6．由直线25y x =+上的点向圆221x y +=引切线，则切线长的最小值为（ ）A ．5B ．6C ．4D ．2答案：D切点与圆心的连线垂直于切线，切线长转化为直线上点与圆心连线和半径的关系， 利用点到直线的距离公式求出圆心与直线上点距离的最小值，结合勾股定理即可得出结果.解：设(),P x y 为直线25y x =+上任意一点，min 225512OP ==+，切线长的最小值为：212l OP =-=，故选：D.7．围棋起源于中国，据先秦典籍世本记载：“尧造围棋，丹朱善之”，至今已有四千多年历史．围棋不仅能抒发意境、陶冶情操、修身养性、生慧增智，而且还与天象易理、兵法策略、治国安邦等相关联，蕴含着中华文化的丰富内涵．在某次国际围棋比赛中，规定甲与乙对阵，丙与丁对阵，两场比赛的胜者争夺冠军，根据以往战绩，他们之间相互获胜的概率如下：甲乙丙丁甲获胜概率 / 0.4 0.4 0.8乙获胜概率 0.6 / 0.6 0.3丙获胜概率 0.6 0.4 /0.5丁获胜概率 0.2 0.7 0.5 /则甲最终获得冠军的概率是（ ）A ．0.165B ．0.24C ．0.275D ．0.36答案：B先求出甲第一轮胜出的概率，再求出甲第二轮胜出的概率，即可得出结果. 解：甲最终获得冠军的概率()0.40.50.40.50.80.24p =⨯+⨯=， 故选：B.8．在xOy 平面上有一系列点()()()111222,,,,,,,n n n P x y P x y P x y ，对每个正整数n ，点n P 位于函数()20y x x =≥的图象上，以点n P 为圆心的n P 与x 轴都相切，且n P 与1n P +彼此外切．若11x =，且()*1n n x x n +<∈N ,1n n n T x x +=,{}n T 的前n 项之和为n S ，则10S =（ ）A ．919B ．2021C ．1021D ．1123答案：C根据两圆的几何关系及其圆心在函数()20y x x =≥的图象上，即可得到递推关系式112n n n n x x x x ++-=，通过构造等差数列求得n x 的通项公式，得出112121n T n n =⋅-+，最后利用裂项相消，求出数列{}n T 前n 项和n S ，即可求出10S . 解：由n P 与1n P +彼此外切， ()()22111n n n n n n x x y y y y +++-+-=+，()()()222111n n n n n n x x y y y y +++-+-=+，()()()222221111144n n n n n n n n n n x x y y y y y y x x +++++-=+--==，又∵1n n x x +<， ∴1111122n n n n n n x x x x x x +++-=⇒-=，故1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列且111x =，2d =， 则()112121n n n x =+-=-121n x n ⇒=-， 111111=212122121n n n T x x n n n n +⎛⎫==⋅- ⎪-+-+⎝⎭， 则1111111+23352121n S n n ⎛⎫=--+⋅⋅⋅+- ⎪-+⎝⎭11122121nn n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭， 即101021S =，故答案选：C . 二、多选题9．过点()2,1-且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为（ ） A ．20x y += B ．10x y ++= C ．30x y -+= D ．20x y -=答案：AC将点代入直线方程，并求出横纵截距即可判断答案.解：对A ，点()2,1-满足直线方程，且横纵截距均为0，则A 正确； 对B ，点()2,1-满足直线方程，且横纵截距均为-1，则B 错误； 对C ，点()2,1-满足直线方程，且横截距为-3，纵截距为3，则C 正确； 对D ，点()2,1-不满足直线方程，则D 错误. 故选：AC.10．关于双曲线22:1916x y C -=，下列结论正确的是（ ）A ．离心率为53B ．实轴长为6C ．渐近线方程为430x y ±=D ．焦点F 到一条渐近线的距离为3 答案：ABC由双曲线方程求a b c ，，，由此判断A ，B ，再求渐近线方程及焦点F 到渐近线的距离，由此判断C ，D.解：∵双曲线22:1916x y C -=∴ 3a =，4b =，5c =，故离心率为53e =，实轴长为26a =，A 对，B 对，又双曲线C 的渐近线方程为：430x y ±=，焦点F 的坐标为(5,0)± 焦点F 到一条渐近线的距离为4d ==，C 对，D 错，故选：ABC.11．先后抛掷两颗质地均匀的骰子，第一次和第二次出现的点数分别记为,a b ，则下列结论正确的是（ ） A ．7a b +=时的概率为536B ．2a b≥时的概率为16C ．6ab =时的概率为19D ．a b +是6的倍数的概率是16答案：CD先求出所有的基本事件的个数为6636⨯=个，再求出四个选项中每一个事件发生包含的基本事件的个数，利用古典概率公式计算概率即可判断是否正确，进而得出正确答案. 解：先后抛掷两颗质地均匀的骰子，共有36种不同的情形.A.7a b +=时满足的情形有()1,6，()2,5，()3,4，()4,3，()5,2，()6,1，故61366P ==，故A 错误； B.2ab≥时满足的情形有()2,1，()3,1，()4,1，()4,2，()5,1，()5,2，()6,1，()6,2，()6,3，故91364P ==，故B 错； C.6ab =时满足的情形有()1,6，()2,3，()3,2，()6,1，故41369P ==，故C 正确； D. a b +是6的倍数的情形有()()()()()1,5,2,4,3,3,4,2,5,1,()6,6，故a b +是6的倍数的概率是16，故D 正确.故选：CD.12．如图，P 是椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与双曲线22222:1(0,0)x y C m n m n -=>>在第一象限的交点，且12,C C 共焦点121212,,,,F F F PF C C ∠θ=的离心率分别为12,e e ，则下列结论正确的是（ ）A ．12,PF a m PF a m B ．若60θ=︒，则2221314e e += C ．若90θ=︒，则2212e e +的最小值为2D ．tan2n bθ=答案：ABD根据给定条件结合椭圆、双曲线定义计算判断A ；借助余弦定理、离心率公式、均值不等式计算判断B ，C ，D 作答.解：由椭圆和双曲线的定义得：121222PF PF aPF PF m ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得1PF a m =+，2PF a m =-，A正确；在12F PF △中，由余弦定理得：()()()()()2222cos 2a m a m a m a m c θ-++--+=， 整理得()()2221cos 1cos 2a m cθθ-++=，()()22221cos 1cos 2a m c c θθ-++=，即22121cos 1cos 2e e θθ-++=， 当60θ=︒时，222132122e e +=，即2221314e e +=，B 正确；当90θ=︒时，2212112e e +=，2222222112122222121211)11()()1(22e e e e e e e e e e ++++==+12≥=，当且仅当121e e ==时取“=”，而1201,1e e <<>，C 不正确；在椭圆中，22222121212122||||cos ||||||442||||PF PF PF PF F F a c PF PF θ=+-=--，即2122||||1cos b PF PF θ=+， 在双曲线中，22222121212122||||cos ||||||442||||PF PF PF PF F F m c PF PF θ=+-=-+，即2122||||1cos n PF PF θ=-，于是得22222222sin 221cos 2tan 1cos 1cos 1cos 22cos 2n b n b θθθθθθθ-=⇔===-++，而022θπ<<，则tan2nbθ=，D 正确. 故选：ABD点评：方法点睛：双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、双曲线定义，得到a ，c 的关系. 三、填空题13．直线10x -=的倾斜角为_______________. 答案：150由直线10x -=的斜率为k =，得到00tan [0,180)αα=∈，即可求解.解：由题意，可知直线10x +-=的斜率为k =，设直线的倾斜角为α，则003tan ,[0,180)3αα=-∈，解得0150α=， 即换线的倾斜角为0150.点评：本题主要考查直线的倾斜角的求解问题，其中解答中熟记直线的倾斜角与斜率的关系，合理准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 14．等差数列{}n a 的前n 项之和为n S ，若66a =，则11S =________． 答案：66直接利用等差数列前n 项和公式和等差数列的性质求解即可. 解：由已知条件得()11161111226622a a a S +===, 故答案为：66.15．由曲线()222x y x y +=-围成的图形的面积为________．答案：2π4-曲线()222x y x y +=-围成的图形关于x 轴，y 轴对称，故只需要求出第一象限的面积即可.解：将x -或y -代入方程，方程不发生改变，故曲线()222x y x y +=-关于关于x 轴，y 轴对称，因此只需求出第一象限的面积即可.当0x >，0y >时，曲线()222x y x y +=-可化为：22(1)(1)2x y -++=，在第一象限为弓形，其面积为()2111ππ2211422S =-⨯⨯=-， 故π412π42S ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.故答案为：24π-.16．已知平行四边形ABCD 内接于椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，且,AB AD 的斜率之积为34-，则椭圆的离心率为________．答案：120.5根据对称性设()11,A x y ，()00,B x y ，()00,D x y --，根据34AB ADk k ⋅=-得到2234b a -=-，再求离心率即可.解：由对称性，B ，D 关于原点对称，设()11,A x y ，()00,B x y ，()00,D x y --，2222012222210101022222101010101134AB ADx x b b a a y y y y y y b k k x x x x x x x x a ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪+--⎝⎭⎝⎭⋅=⋅===-=-+---， 故22211142b e e a =-=⇒=.故答案为：12 四、解答题17．甲、乙两人独立地对某一目标射击，已知甲、乙能击中的概率分别为23,34，求：(1)甲、乙恰好有一人击中的概率； (2)目标被击中的概率． 答案：(1)512； (2)1112. （1）分为甲击中且乙没有击中，和乙击中且甲没有击中两种情况，进而根据独立事件概率公式求得答案；（2）先考虑甲乙都没有击中，进而根据对立事件概率公式和独立事件概率公式求得答案. (1)设甲、乙分别击中目标为事件A ，B ，易知A ，B 相互独立且()23P A =，()34P B =，甲、乙恰好有一人击中的概率为()233511343412P AB AB 2⎛⎫⎛⎫+=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(2)目标被击中的概率为()()321111114312P A B P AB ⎛⎫⎛⎫+=-=---= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.18．设等差数列{}n a 的前n 项和为46,16,12n S S S =-=-． (1)求{}n a 的通项公式n a ； (2)求数列{}n a 的前n 项和n T ． 答案：(1)29n a n =-；(2)2*2*8,14832,5n n n n n T n n n n ⎧-≤≤∈=⎨-+≥∈⎩N N且且.（1）根据等差数列前n 项和求和公式求出首项和公差，进而求出通项公式； （2）结合（1）求出n S ，再令0n a ≥得出数列的正数项和负数项，进而结合等差数列求和公式求得答案. (1)设等差数列的首项和公差分别为1a 和d ，∴1111434162382254656122a d a d a d a d ⨯⎧+=-⎪+=-⎧⎪⇒⎨⎨+=-⨯⎩⎪+=-⎪⎩，解得：172a d =-⎧⎨=⎩ 所以()71229n a n n =-+-⨯=-. (2)29n a n =-，所以()()2171282n S n n n n n =-+-⨯=-.当02905n a n n ≥⇒-≥⇒≥；当02904n a n n <⇒-<⇒≤，当04n <≤，*n ∈N 时，()212128n n n T a a a a a a n n =++⋅⋅⋅+=-++⋅⋅⋅+=-，当5n ≥时，()()()21245428216n n n T a a a a a S S n n =-++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=-=--⨯-2832n n =-+.综上：2*2*8,14832,5n n n n n T n n n n ⎧-≤≤∈=⎨-+≥∈⎩N N 且且. 19．已知抛物线2:2(0)C x py p =>，直线:2l y kx =+与C 交于,A B 两点且OA OB ⊥（O 为坐标原点）． (1)求抛物线C 的方程；(2)设()2,2P ，若直线,PA PB 的倾斜角互补，求k 的值．答案：(1)22x y =；(2)2-.（1）利用韦达定理法即求； （2）由题可求122PA x k +=，222PB x k +=，再结合条件即得. (1)设()11,A x y ，()22,B x y ，由222x py y kx ⎧=⎨=+⎩，得2240x pkx p --=， 故124x x p =-，由OA OB ⊥，可得12120x x y y +=，即221212022x x x x p p+⋅=， ∴1p =，故抛物线C 的方程为：22x y =；(2)设PA 的倾斜角为θ，则PB 的倾斜角为πθ-，∴()tan tan π0PA PB k k θθ+=+-=,由222x y y kx ⎧=⎨=+⎩，得2240x kx --=，∴122x x k +=，∴21111112222222PA x yx k x x --+===--，同理222PB x k +=，由0PA PB k k +=，得1222022x x +++=，∴1240x x ++=，即240k +=，故2k =-.20．如图，在棱长为3的正方体OABC O A B C ''''-中，,E F 分别是,AB BC 上的点且2AE BF ==．(1)求证：A F C E ''⊥；(2)求平面B EF '与平面BEF 的夹角的余弦值．答案：(1)证明见解析(2)27（1）建立空间直角坐标系后得到相关向量，再运用数量积证明；（2）求出相关平面的法向量，再运用夹角公式计算即可.(1) 建立如下图所示的空间直角坐标系：()3,0,3A '，()1,3,0F ，()0,3,3C '，()3,2,0E()2,3,3A F '=--，()3,1,3C E '=--，∴6390A F C E ''⋅=--+=，故A F C E ''⊥.(2)()3,3,3B '，()0,1,3B E '=--，()2,0,3B F '=--，设平面B EF '的一个法向量为(),,m x y z =， 由0302300B E m y z x z B F m ⎧⋅=+=⎧⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎪⎩'⎩'，令2z =-，则()3,6,2m =-， 取平面BEF 的一个法向量为()0,0,1n =，设平面B EF '与平面BEF 夹角为θ，易知：θ为锐角， 故2cos 793641m nm n θ⋅===++⨯， 即平面B EF '与平面BEF 夹角的余弦值为27.21．某情报站有A B C D E 、、、、．五种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周末使用的四种密码中等可能地随机选用一种．设第一周使用A 密码，k P 表示第k 周使用A 密码的概率．(1)求1234,,,P P P P ；(2)求证：15k P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列，并求k P 的表达式． 答案：(1)11P =，20P =，314P =，4316P =(2)证明见解析，1141554k k P -⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ (1)根据题意可得第一周使用A 密码，第二周使用A 密码的概率为0，第三周使用A 密码的概率为14，以此类推； (2)根据题意可知第1k +周从剩下的四种密码中随机选用一种，恰好选到A 密码的概率为14，进而可得1111545k k P P +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，结合等比数列的定义可知15k P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列，利用等比数列的通项公式即可求出结果.(1)11P =，20P =，314P =，()43131416P P =-⨯= (2)第1k +周使用A 密码，则第k 周必不使用A 密码（概率为1k P -），然后第1k +周从剩下的四种密码中随机选用一种，恰好选到A 密码的概率为14故()1114k k P P +=-，即1111545k k P P +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭ 故15k P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列且11455P -=，公比14q =- 故1141554k k P -⎛⎫⎛⎫-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故1141554k k P -⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22．已知22:4200A x y x ++-=，直线l 过()2,0B 且与A 交于,C D 两点，过点B 作直线AC 的平行线交AD 于点E ．(1)求证：EA EB +为定值，并求点E 的轨迹T 的方程；(2)设动直线:n y kx m =+与T 相切于点P ，且与直线3x =交于点Q ，在x 轴上是否存在定点(),0M t ，使得以PQ 为直径的圆恒过定点M ？若存在，求出M 的坐标；若不存在，说明理由．答案：(1)证明见解析，22162x y +=（0y ≠）(2)存在，()2,0M(1)根据题意和椭圆的定义可知E 点的轨迹是以A ，B为焦点的椭圆，且2a =24c =，进而得出椭圆标准方程；(2)设()00,P x y ，联立动直线方程和椭圆方程并消元得出关于x 的一元二次方程，根据根的判别式可得点P 和Q 的坐标，结合0PM QM ⋅=，利用平面向量的坐标表示列出方程组，即可解出点M 的坐标.(1)圆A ：()22224x y ++=，r =∵AC AD =，∴ACD ADC ∠=∠，又BE AC ∥，∴EBD ACD ∠=∠∴EBD EDB ∠=∠，∴EB ED =，故4EB EA ED EA AB +=+=>= ∴E 点的轨迹是以A ，B为焦点的椭圆，且2a =24c =∴2222b a c =-=，故T ：22162x y +=（0y ≠）； (2) 由22162y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222136360k x mkx m +++-= ∴()()()2226436130mk m k ∆=--+=，故()22213m k =+， 设()00,P x y ，则023631mk k x k m =-=-+，002y kx m m=+=， 故62k P m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，()33Q k m +，， 由0PM QM ⋅=可得：()()62330k t t k m m m ⎛⎫-+++= ⎪⎝⎭ 由()232620k t t t m-++-=对∀k ，m 恒成立 ∴2320220t t t t ⎧-+=⇒=⎨-=⎩ 故存在()20M ，使得以PQ 为直径的圆恒过定点M。
湖北省部分重点中学2021-2022学年高二下学期4月联考数学试题含答案
湖北省部分重点中学高二年级四月联考数学学科试题考试时间：2022年4月20日下午试卷满分：150分注意事项：1.答题前,考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并粘贴好条形码。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将答题卡交回。
4.本试卷主要考试内容:人教A 版选修第一册、第二册全部以及第三册第六章、第七章7.1、7.2节。
一、选择题:本题共8小题，每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.若小明通过某次考试的概率是未通过的5倍，令随机变量=1,考试通过0,考试未通过，则o =0)=( )A.31 B.65 C.61 D.322.甲、乙两个箱子里各装有5个大小形状都相同的球，其中甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和3个白球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则取出的球是红球的概率为()A.15 B.1330 C.1730 D.13253.为了支援新冠疫情发生的地区，某医院安排6名医生和5名护士前往疫区．其中2名医生和1名护士负责疫情监控，另外4名医生和4名护士分两组(每组医生和护士各2人)，分别负责内科和外科，则所有不同的安排方案有()A.10800种B.1350种C.5400种D.2700种4.抛物线具有如下光学性质：从焦点发出的光线经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴．生活中的探照灯就是利用这个原理设计的．已知F 是抛物线2:4C y x =的焦点，从F 发出的光线经C 上的点M 反射后经过点(4,，则||()FM = A.2B.3C.4D.55.已知数列的前项和为，+r2=2r1，且1=13，2=11，则当取得最大值时，=( )A.5B.6C.7D.86.空间直角坐标系O xyz -中，经过点000(,,)P x y z ，且法向量为(,,)m A B C = 的平面方程为000()()()0A x x B y y C z z -+-+-=，经过点000(,,)P x y z 且一个方向向量为(,,)(0)n v v μωμω=≠ 的直线l 的方程为000x x y y z z v μω---==，根据上面的材料解决下面的问题：现给出平面α的方程为270x y z -+-=，经过点(0,0,0)的直线l 的方程为352x y ==-，则直线l 与平面α所成角为()A.60︒ B.120︒ C.30︒ D.01507.已知函数()y f x =的图象如图所示，则此函数可能是()A.2()||2x x e e f x x x --=+- B.2()||2x x e e f x x x --=+-C.2||2()x x x x f x e e-+-=- D.2||2()x x x x f x e e-+-=-8.在棱长为1的正四面体ABCD 中，点M 满足(1)AM x AB y AC x y AD =++-- ，点N 满足(1)DN DA DB λλ=-- ，当AM 、DN 最短时，()AM MN ⋅= A.13- B.13 C.23- D.23二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知数列是公比为的等比数列，且1，3，2成等差数列，则的值可能为()A.12 B.1C.−12D.−210.下列说法正确的是()A.25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为30．B.将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有36种．C.已知3=4，则=27．D.记()7722107)1()1()1(2x a x a x a a x +++++++=+ ，则126621=+++a a a 11.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，左、右顶点分别为1A ，2A ，P 为双曲线的左支上一点，且直线1PA 与2PA 的斜率之积等于3，则下列说法正确的是()A.双曲线C 的离心率为2B.若12PF PF ⊥，且123PF F S = ，则2a =C.以线段1PF ，12A A 为直径的两个圆外切D.若点P 在第二象限，则12212PF A PA F ∠=∠12.函数op =B +1，op =−1，则下列说法正确的是()(参考数据：2≈7.39，3≈20.09，B2≈0.69，B3≈1.10)A.存在实数，使得直线=+与=op 相切也与=op 相切B.不存在实数k ，使得直线=B −1与=op 相切也与=op 相切C.函数op −op 在区间），（∞+32上不单调D.当∈(0,1)时，op −op >16恒成立三、填空题:本题共4小题，每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中对应位置的横线上.13.数列{}n a 中，已知11S =，22S =且且)n N +∈，则此数列{}n a 的通项公式为__________.14.已知直三棱柱111ABC A B C -的各棱长都是2，则点1A 到直线1BC 的距离为__________.15.已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数为()f x '，且满足，(3)0f =，则()0f x x>的解集为__________.16.如图，在杨辉三角形中，斜线l 的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列：1,3,3,4,6,5,10,...，记此数列的前n 项之和为n S ，则23S 的值为__________.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应在答题卡中对应位置写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（本小题满分10分）已知二项式3nx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中各二项式系数之和比各项系数之和小240．求：（1）展开式中x 的系数；（2）展开式中所有的有理项．18.（本小题满分12分）已知一圆C 的圆心为()2,1C -，且该圆被直线l ：10x y --=截得的弦长为22，求：(1)求该圆的标准方程，并求圆C 关于直线2y x =-+对称的曲线方程C '；(2)若(,)P x y 为曲线C '上一点，若m 22≥+y x 恒成立，求m 的取值范围.19.（本小题满分12分）已知等差数列{}的前项和是，若1=1，并且1，2，3+1成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n =3n ⋅a n 的前n 项和是T n ，求T n ．20.（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ACDE 是正方形，//DF BC ，AB AC ⊥，AE ⊥平面ABC ，2AB AC ==，(1)求证：平面平面BEF ；(2)求平面ABF 与平面BEF 的夹角的余弦值．．21.（本小题满分12分）点P 与定点(1,0)F 的距离和它到定直线4x =的距离之比为21.(1)求点P 的轨迹方程；(2)记点P 的轨迹为曲线C ，若过点P 的动直线l 与C 的另一个交点为Q ，原点O 到l 的距离为32，求||PQ 的取值范围．22.（本小题满分12分）已知函数(1)求函数()y f x =的单调区间；(2)若函数()y f x =在其定义域内有两个不同的零点，求实数a 的取值范围；(3)若120x x <<，且1212ln ln x x a x x ==，证明：12112.ln x x x x <-又EF c平面BEF,，所以平面BCDF1-平面BEF.---4 (2）因为AB l_AC, AE i平面ABC ，所以以A 为原点，以AB,AC, AE所在直线分别为X,y, Z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则A(0,0,0), B(2,0,0), E(0,0,2), F(l,1,2），则AB =(2,0,0),BF= (-1, 1, 2) , BE= (-2, o, 2). _6设叫＝(x i , Yi , z 1）为平面AB F 的法向量，l 司·A A = 0, ( 2x 1 = 0, 则i 而言＝o: �p l-x i + Y1 + 2z1 = 0, IfX Y , = 2，则两二（旧，一刊平面AB F 的一个法向量－－8设n 2二（x 2，元，Zz）为平面B EF 的法向量，l 两·BR = 0 ( -2x 2 + 2z 2 = 0，→ 则i 司主1= �： �p l -x 2 ＋的＋2z 2 = 0，如2二1，则可＝(1，一1，阳平面町的一个法向量，10一→司·码－3,/1 !'i 所以cos ＜矶，而＞＝＝＝一二二I I 司－码I v'5×v'3 由图可知，二面角A-BF-E 夹角为锐二面角，-,./1气所以二面角A-BF-E 的夹角余弦值为二二二．5 一一－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－1221.解：（1）设P(x,y ），点P到定直线X 二4的距离为d.由题意可得：应扫＝！，即／（x -1)2 + (y -0)2 _ ！，整理化简得：三：＋I：二l d 2 Ix -41 -2 4 3 即点P的轨迹方程为三十丘二1.4 3 ----------------------------------------------------------------4(2）设P(X i ,Y i )'Q （码，Y 2).3 当直线l的斜率不存在时，由原点。
2021-2022学年湖北省武汉市部分重点中学高一下学期期中联考数学试卷
武汉市部分重点中学2021-2022学年高一下学期期末联考数学试卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.己知,αβ为两个不同平面，m .n 为两条不同的直线，下列命题不正确的是（ ） A.若,m n m α⊥∥，则n α⊥ B.若,m m αβ⊥⊥，则αβ∥ C.若,m a n αβ⊥⋂=，则m n ∥ D.若,m m αβ⊥⊂.则αβ⊥2.在三棱锥S ABC -中.作SO ⊥平面ABC ，垂足为O .①若三条侧棱SA SB SC ､､与底面ABC 所成的角枂等，则O 是ABC 的（ ）心； ②若三条侧面SAB SBC SCA ､､与底面ABC 所成的二面角相等，则O 是ABC 的（ ）心：③若三组对掕SA 与,BC SB 与,CA SC 与AB 中有两组互相垂直，则O 是ABC 的（ ）心以上三个空依次填（ ）A.外，垂，内B.内，外，垂C.重，内，外D.外，内，垂3.某品牌家电公司从其全部200名销件员工中随机抽出50名调查销售情况，销售额都在区间[5,25]（单位：百万元）内，将其分成5组：[5,9),[9,13),[13,17).[17,21),[21,25]，并整理得到如下的频率分布直方图，下列说法正确的是（ ）A.频率分布直方图中a 的值为0.06B.估计全部销售员工销售额的中位数为15C.估计全部销售员工中销售额在区间[9,13)内有6人D.估计全部销售员工销售额的第76百分位数为174.四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰了出现的点数，根据四名同学的统计结果､可以判断出一定没有出现点数6的是（ ） A.平均数为3，中位数为2 B.平均数为3，方差为2.6 C.中位数为3，众数为2 D.中位数为3，方差为1.65.如图，某系统由A ，B ，C ，D 四个零件组成，若每个零件是否正常工作互不影响，且零件A ，B ，C ，D 正常工作的概率都为(01)p p <<，则该系统正常工作的概率为（ ）A.()()2111p p p ⎡⎤---⎣⎦ B.()211p p p ⎡⎤--⎣⎦C.()211p p p ⎡⎤--⎣⎦D.21(1)p p p ⎡⎤--⎣⎦6.在直角三角形ABC 中，已知2,23,90AC BC C ∠===，以AC 为旋转轴将△ABC 旋转一周，AB ､BC 边形成的面所围成的旋转体是一个圆锥，则经过该圆锥任意两条母线的截面三角形的面积的最大值为（ ） A.43 B.4 C.8 D.837.有六条线段，其长度分别为2，3，4，5，6，7.现任取三条，则这三条线段在可以构成三角形的前提下，能构成钝角三角形的概率是（ ） A.913 B.1013 C.715 D.11158.在ABC 中，2,3,AB AC N ==是边BC 上的点，且,BN NC O =为ABC 的外心，则AN AO ⋅=（ ）A.3B.134 C.92 D.94二､多选题：本题共1小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.设复数z 在复平面内对应的点为Z ，原点为O ，i 为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） Λ.若1z =，则1z =±或i z =±B.若点Z 的坐标为()3,2-，且z 是关于x 的方程20x px q ++=的一个根，则19p q +=C.若2i z =，则z 的虚部为2i -D.若12i z ≤-≤Z 的集合所构成的图形的面积为π10.在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A 为“两次记录的数字之和为偶数”，事件B 为“第一次记录的数字为偶数”；事件C 为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（ ） A.事件B 与事件C 是互斥事件 B.事件A 与事件B 是相互独立事件 C.()()()18P A P B P C - D.()18P ABC =11.某高中有学生500人，其中男生300人，女生200人，希望获得全体学生的身高信息，按照分层抽样的原则抽取了容量为50的样本，经计算得到男生身高样本均值为170cm ，方差为172cm ；女生身高样本均值为160cm ，方差为302cm .下列说法中正确的是（ ） A.男生样本容量为30B.每个女生被抽入到样本的概率均为25C.所有样本的均值为166cmD.所有样本的方差为46.22cm12.在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2()a b b c =+，则下列结论正确的有（ ） A.2A B =B.B 的取值范围为0,4π⎛⎫⎪⎝⎭C.ab的取值范围为D.112sin tan tan A B A -+的取值范围为3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.甲､乙两套设备生产的同类型产品共48000件，采用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测，若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为__________件.14.若复数z 满足i1i 12iz +=+-其中i 是虚数单位，则z 的共轭复数z =__________. 15.已知矩形ABCD 的边长满足3BC AB =，点P 满足()12AP AB AC =+，则cos DPA∠的值为__________.16.四面体ABCD 中，22,2,AB AC BC BD CD E =====是BC 中点，A 在面BCD 的射影为DE 中点，则该四面体外接球的表面积为__________.四､解答题（本大题共6小题，共70分）17.（本小题满分10分）袋中装有除颜色外完全相同的的4个球，其中有3个黑球和1个白球.现由甲､乙两人从袋中轮流取球，取后不放回，规定甲先取，乙后取，然后甲可再取，接下来再由乙取，若有人取到白球，则马上终止取球，每次取球时，袋中的每个球被取出的概率相等，记事件i A =“第i 次取到的球是白球”，i =1､2､3､4.试将下列事件用1234,,,A A A A 表示，并求出相应事件的概率. （1）取球3次即终止； （2）最后一次取球的是乙.18.（本题满分12分）如图，已知AD ⊥平面ABC ，平面DAB ⊥平面DBC ，（1）求证：BC AB ⊥； （2）若2AB BC AD ==，求异面直线DB 与AC 所成角的余弦值.19.（本题满分12分）若图，三棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是平行四边形，1111,BC C C BC AC ⊥⊥，且,E F 分别是11,BC A B 的中点.（1）求证：EF ∥平面11A C CA ；（2）在线段AB 上是否存在点P ，使得1BC ⊥平面EFP ？若存在，求出APAB的值；若不存在，请说明理由. 20.（本题满分12分）某学校高一100名学生参加数学竞赛，成绩均在40分到100分之间，学生成绩的频率分布直方图如图：（1）估计这100名学生分数的中位数与平均数；（精确到0.1） （2）某老师抽取了10名学生的分数：12310,,,x x x x ，已知这10个分数的平均数90x =，标准差6s =，若剔除其中的100和80两个分数，求剩余8个分数的平均数与标准差.参考公式：标准差()222111()nnii i x x xn x s nn==--⨯==∑∑21.（本题满分12分）若图，在ABC 中，45B ∠=，点D 在边AB 上，,1AD CD BD ==.（1）若BCD 的面积为22，求22AD BC -的值；（2）若2AC =，求A ∠的大小.22.（本题满分12分）已知矩形,2,4ABCD AB BC ==，设E 是边AD 上的点，且AE DE =，现将ABE 沿者直线BE 翻折至1A BE ，（1）当1A C 为何值吋，使平面1A BE ⊥平面BED ；并求此时直线1A C 与平面BCD 所成角的正切值；（2）设二面角1A CD B --的大小为θ，求sin θ的最大值.武汉市部分重点中学2021-2022学年高一下学期期末联考数学试卷参考答案与评分细则题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CDDBACABBDBCACDAC13.18000 14.32i + 15.513-16.12011π 17.（1）取球3次终止情况为第一次取黑球，第二次取黑球，第三次取白球该事件为3A ， 所求概率为332114324P =⨯⨯=； （2）最后一次取球的是乙，则意味着取到白球的次数为偶数，则包括24A A ､两种情况，即事件“最后一次取球的是乙”为事件24A A ⋃，2A 事件对应的概率24311,434P A ⨯==⨯事件对应的概率43211143214P ⨯⨯⨯==⨯⨯⨯， 因此，最后一次取球的是乙的概率24111442P P P =+=+=18.（1）证明：过A 作AE DB ⊥，垂足为E .平面DAB ⊥平面DBC ，平面DAB ⋂平面DBC DB =，AE ∴⊥平面.DBC BC ⊂平面,DBC AE BC ∴⊥ DA ⊥平面,ABC BC ⊂平面ABC ，DA BC ∴⊥.又,DA AE A BC ⋂=∴⊥平面DAB ，故BC AB ⊥（2）解：将原四面体补成直三棱柱ABC DFG -，∴异面直线DB 与AC 所成角为BDG ∠或其补角，不妨设1,2,2DA AB BC ===BDG 中，3,3,2BD BG DG ===.22243cos 2343DG DB BG BDG DG DB ∠+-===⋅ 19.（1）取11A C 中点G ，连FG ，连GC . 在111A B C 中，因为,F G 分别是1111,A B AC 中点，所以11FG B C ∥，且1112FG B C =.在平行四边形11BCC B 中，因为E 是BC 的中点， 所以11EC B C ∥，且1112EC B C =.所以EC FG ∥，且EC FG =.所以四边形FECG 是平行四边形.所以FE GC ∥.又因为FE ⊄平面11,AC CA GC ⊂平面11A C CA ，所以EF ∥平面11A C CA （2）在线段AB 上存在点P ，使得1BC ⊥平面EFP . 取AB 的中点P ，连PE ，连PF .因为1BC ⊥平面11,ACC A AC ⊂平面11,ACC A CG ⊂平面11ACC A ， 所以11,BC AC BC CG ⊥⊥在ABC 中，因为,P E 分别是,AB BC 中点，所以PE AC ∥. 又由（II ）知FE CG ∥，所以11,BC PE BC EF ⊥⊥. 由PE EFE ⋂=得1BC ⊥平面EFP .故当点P 是线段AB 的中点时，1BC ⊥平面EFP .此时，12AP AB =20.（1）因为0.050.150.250.450.5++=<0.050.150.250.350.80.5+++=>所以中位数为x 满足7080x <<由800.350.10.10.510x -⎛⎫⨯++=⎪⎝⎭，解得608071.47x =-≈ 设平均分为y ，则0.05450.15550.25650.35750.1850.19571y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= （2）由题意，剩余8个分数的平均值为01010080908x x --==因为10个分数的标准差6s ==所以222211010(6)10(90)81360x x ++=⨯+⨯=所以剩余8个分数的标准差为0s ===21.解：（1）在BCD 中，45,1B BD ==，若BCD ，则1sin 2BCDS BD BC B =⋅⋅=，所以42BC =，所以2BC =，则CD ===所以221AD BC -=-（2）在ACD 中，AD CD =，可设A ACD ∠θ==，则2ADC ∠πθ=-，又AC =sin2sin AC CD θθ=，所以2cos CD θ=， 在BCD 中，32,24BDC BCD π∠θ∠θ==-， 由正弦定理，得sin sin CD BDB BCD∠=，即12cos 3sin sin 244θππθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，化简得3cos sin 24πθθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 于是3sin sin 224ππθθ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为02πθ<<，所以330,222444πππππθθ<-<-<-<，所以3224ππθθ-=-或3224ππθθπ-+-=， 解得4πθ=或12πθ=，即角A 的大小为4π或12π22.解：（1）当1A C为1A BE ⊥面BED .证明如下： 取BE 中点F ，则1,AF BE A F BE ⊥⊥.在BCF中，2222cos452162410CF BF BC BF BC =+-⋅=+-= 22211110212A F CF A C A F CF ∴+=+==∴⊥又11A F BE A F ⊥∴⊥平面1,BCD A F ⊂平面1A BE∴面1A BE ⊥面BCD此时1A F ⊥面BCD CF ∴为1A C 在面BCD 上的射影1A CF ∠∴是1A C 与面BCD 所成角 在1A CF中，1tan ACF ∠==， 即直线1A C 与平面BCD（2）作1A G AF ⊥，垂足为G ，且BE ⊥面1A FG ，则11AG BE AG ⊥∴⊥面BCD ， 作GH CD ⊥，垂足为H ，则11,A H CD A HG ∠θ⊥∴=，设()1,0,A FA ∠ααπ=∈则1,33cos 2AG GH ααα==+=+，122222sin cos 2sin cos 2sin 2222tan cos 322cos sin 2cos 222AG GH αααααθαααα====+++ 22tan221222222tan tan 22tan 2αααα==≤=++，当且仅当tan 22α=时，取到等号，50sin 5θ∴<≤ 故sin θ的最大值为55.。
湖北省孝感市普通高中2021-2022学年高二年级上学期期中联合考试数学答案
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绝密★启用前
湖北省孝感市普通高中
2021-2022学年高二年级上学期期中联合考试
数学试题参考答案
说明：
1、如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．
2、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 0.3 14．59 15. 1 16. 244 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算。
湖北省武汉市部分重点中学2021-2022学年高一下学期期中联考数学试题含答案
武汉市部分重点中学2021—2022学年度下学期期中联考高一数学试卷考试时间：2022年4月20日上午9:00—11:00试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．平面α与平面β平行的充分条件可以是（）A ．α内有无穷多条直线都与β平行B ．直线a α∥，a β∥，且直线a 不在α内，也不在β内C ．直线a α⊂，直线b β⊂，且a β∥，b α∥D ．α内的任何一条直线都与β平行2．设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若4(1i)34iz +=-，则z 的虚部为（）A ．1625B ．16i 25C ．1625-D ．16i 25-3．紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶，石瓢壶，潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm ），那么该壶的容积约为（）A ．3100cmB ．3200cmC ．3300cmD ．3400cm4．已知ABC 外心是O ，且2,||||AO AB AC OA AB =+= ，则BA 在BC上的投影向量为（）A ．14BCB ．4BC C ．14BC-D ．4BC - 5．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（）A ．22RπB ．294R πC ．283R πD ．2Rπ6．点O 是ABC 内一点，且满足3450OA OB OC ++= ．则AOB ABCSS 的值为（）A ．35B ．47C ．512D ．137．ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，,3,46B b a π===，则ABC 为（）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形或钝角三角形D ．直角三角形8．在直角ABC 中，斜边BC 长为a ，若ABC 所在平面内关于点A 对称的两点P ，Q 满足||2PQ a =，则BP CQ ⋅的最大值为（）A ．0B ．2aC ．22a D ．2a-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．设i 为虚数单位，复数()(12)z a i i =++，则下列命题正确的是（）A ．若z 为纯虚数，则实数a 的值为2B ．若z 在复平面内对应的点在第三象限，则实数a 的取值范围是1,22⎛⎫-⎪⎝⎭C ．实数12a =-是z z =（z 为z 的共钜复数）的充要条件D ．若||5i()z z x x +=+∈R ，则实数a 的值为210．如图是一个正方体的侧面展开图，在原立方体中，以下关系判断正确的是（）A ．AB CD ∥B ．GH 与CD 相交C ．EF CD ∥D ．AB 与GH 异面11．已知12,e e 是两个单位向量，R λ∈时，12e e λ+ 的最小值为32，则下列结论正确的是（）A ．12,e e 的夹角是3πB ．12,e e 的夹角是3π或23πC ．121e e +=D ．121e e += 或212．在正方体1111ABCD A B C D -中，如图M ，N 分别是正方形ABCD ，11BCC B 的中心．则下列结论正确的是（）A ．平面1D MN 与棱11BC 的交点是11B C 的三等分点B ．平面1D MN 与棱BC 的交点是BC 的中点C ．平面1D MN 与棱AD 的交点是AD 的三等分点D ．平面1D MN 将正方体分成前后两部分的体积比为2:1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知1tan ,R 42παα⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭．若向量(2tan ,1),(1,tan ),a b a b αα==-⋅= ___________．14．一般地，,a b 的夹角可记为,a b，已知OA OB ⊥ ，,30OB OC =︒ ，,120OA OC ︒= ，||2OA = ，||OB =||1OC = ，OC OA OB λμ=+，则λμ+=_________．15．在ABC 中，53sin ,cos 135A B ==，则cos C =______．16．圆锥PO 底面半径与高均为3，过PO 中点O '作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，剩下几何体的体积为________，表面积为_________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，17．（10分）已知复数121,,z i z m i m =-=-∈R ，i 为虚数单位．（1）若1z 在复平面内对应向量1OZ ，将1OZ绕点O 顺时针旋转60︒得到向量对应的复数为3z ，求33z z ⋅；（2）若2z 是关于x 的方程2100()x nx n -+=∈R 的一个根，求实数m 与n 的值．18．（12分）ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知cos23cos()1A B C -+=．（1）求A ∠的大小；（2）若ABC 的面积4S b ==，求sin sin B C 的值．19．（12分）已知OAB 中，点D 在线段OB 上，且3OD DB =，延长BA 到C ，使BA AC =．设OA a = ，OB b = ．（1）用,a b表示向量,OC DC ；（2）若向量OC 与OA k DC +共线，求k 的值．20．（12分）在①cos cos 2B b C a c =-+，②sin sin sin A b cB C a c+=-+，③2S BC =⋅ 三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且选条件：_____________．（1）求B ∠；（2）作AB AD ⊥，使得四边形ABCD 满足,4ACD AD π∠==，求BC 的取值范围．21．（12分）如图，在五棱锥P ABCDE -中，21,,,32AB ED CD AE AB ED CD AE ==∥∥，F 为棱PE 上一点，且满足13PF PE =，平面ABF 与棱,PD PC 分别交于G ，H ．（1）求证：AB FG ∥；（2）求PHPC的值．22．（12分）正六棱台玻璃容器的两底面棱长分别为7cm,31cm ，高为32cm ，如图水平放置，盛有水深为12cm ．（1）求玻璃容器的体积；（2）将一根长度为40cm 的搅棒l 置入玻璃容器中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度．（容器厚度，搅棒粗细均忽略不计）武汉市部分重点中学2021—2022学年度下学期期中联考高一数学试卷参考答案与评分细则题号123456789101112答案DA BAB CBAACDBCDBCACD13．13-14．1415．1665-16．4527,82π+17．解：（1）依题意可知()()311cos 105sin 10522z i +=-+-=︒-⎡⎤⎣⎦︒∴33112222z z i i ⎫-++⋅=+=+⎪⎭（2）由条件可知：2()()100m i n m i ---+=，整理得：()29(2)0m nm m n i -+--=∵,m n ∈R ，∴29020m nm m n ⎧-+=⎨-=⎩解得3,6m n ==或3,6m n =-=-．18．解：（1）原式可化为：22cos 3cos 20A A +-=，解之得：1cos 2A =或2-（舍去）∵0A π<<，∴3A π=（2）1sin 2S bc A ==，∴3c =由余弦定理得：a ==正弦定理得：sin sin sin 3b c a B C A ===，代入4,3b c ==得9sin sin 13B C ⋅=19．解：（1）∵A 为BC 的中点，∴1()2OA OB OC =+，可得22OC OA OB a b =-=-，而37244DC OC OD OC OB a b=-=-=- （2）由（1）得7(21)4OA k DC k a kb +=+-，∵OC 与OA k DC +共线，设()OC OA k DC λ=+ 即72(21)4a b k a kb λλ-=+- ，根据平面向量基本定理，得2(21)714k k λλ=+⎧⎪⎨-=-⎪⎩解之得23k =．20．解：若选①：由cos cos 2B b C a c =-+，根据正弦定理可得cos sin cos 2sin sin B BC A C=-+，即2sin cos sin cos sin cos A B C B B C +=-，即2sin cos sin cos sin cos sin()sin A B B C C B B C A =--=-+=-，可得1cos 2B =-，因为(0,)B π∈，所以23B π=，选②：由sin sin sin A b c B C a c +=-+，根据正弦定理可得a b cb c a c+=-+，可得222a acbc +=-，即222a cb ac +-=-，又由余弦定理，可得2221cos 222a cb ac B ac ac +--===-，因为(0,)B π∈，所以23B π=，若选③：由2S BC =⋅12sin cos 2ac B B ⨯=，即sin B B =，可得tan B =(0,)B π∈，所以23B π=，以下同：（2）设BAC θ∠=，则,24CAD CDA ππθθ∠=-∠=+，在ACD 中，由正弦定理得sin sin AC AD ADC ACD=∠∠，可得sin sin 42sin sin 4sin 4AD ADCAC ACDπθπθπ⎛⎫+ ⎪∠⎛⎫⎝⎭===+ ⎪∠⎝⎭．在ABC 中，由正弦定理得sin sin AC BCB θ=，可得2sin sin sin 44sin sin 2sin 43sin 3AC BC B πθθθπθθπ⎛⎫+⋅ ⎪⋅⎛⎫⎝⎭===+⋅ ⎪⎝⎭2422422sin cos sin sin sin cos 222233θθθθθθ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2222sin 2sin cos (1cos2sin 2)33θθθθθ=+=-+23226236sin 2cos2sin 23223343πθθθ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为03πθ<<，可得524412πππθ-<-<，当52412ππθ-=时，即3πθ=，可得235662sin 31232π++=，当244ππθ-=-时，即0θ=，可得236sin 0343π⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以BC C 的取值范围是620,2⎛⎫+ ⎪⎝⎭．21．解：∵,ED AB ED ⊄∥平面,ABF AB ⊂平面ABF∴ED ∥平面ABF∵ED ⊂平面PED ，平面PED 平面ABF FG =∴ED FG ∥，又ED AB ∥∴AB FG∥（2）设AB 与CD 交点M ，则MD 的中点为C ，由（1）知13PG PD =．易知M ∈平面ABF ，M ∈平面PCD∴MG =平面ABF 平面ACD 又H 为PC 与平面ABF 的交点∴H MG PC = 在MPD 中，如图13PG PD =，C 为MD 中点，由平面几何知识易知H 为PC 中点，故12PH PC =另解：M ，H ，G 共线1(1)3PH k PM k PD=+-⋅又C 为MD 中点，1122PC PM PD=+设PH PC λ=，故PH PC λ= ，∴1211(1)32k k λλ⎧=⎪⎪⎨⎪-⋅=⎪⎩解得12λ=22．解：（1）由题意可知，下底面面积为2213147376cm 42S =⋅⋅=，上底面的面积2233164S =⋅⋅=228833cm 2，又台体的高为32cm ，所以正六棱台的体积()31212113314732883332196323cm 332222V h S S S S ⎛⎫⎪=++⋅=⨯⨯⋅= ⎪⎝⎭（2）设搅棒在1GG 上的点为M ，则40cm EM =，搅棒与水面的交点为N ，在平面11E EGG 中，过点N 作NP EG ⊥，交EG 于点P ，过点E 作11EQ E G ⊥，交11E G 于点Q ，∵111111EABGCD E A B G C D-为正六棱台，∴111111,,EE GG EG E G EG E G =≠∥，∴11EE G G 为等腰梯形，画出平面11EE G G 的平面图，∵1162cm,14cm,32cm,12cm E G EG EQ NP ====，∴124cm E Q =，由勾股定理得：140cm E E ==，∴114sin 5EE G ∠=，114sin sin 5EGM EE G ∠=∠=，3cos 5EGM ∠=-，根据正弦定理得：sin sin EM EG EGM EMG=∠∠，∴40144sin 5EMG =∠，∴724sin ,cos 2525EMG EMG ∠=∠=，∴sin sin()GEM EGM EMG ∠=∠+∠3sin cos cos sin 5EGM EMG EGM EMG =∠∠+∠∠=，∴1220cm 3sin 5NP EN GEM ===∠．∴搅棒l 没入水中部分的长度为20cm ．。