2019-2020年高中数学 第二章 推理与证明测评B 新人教A版选修2-2
2019-2020年高中数学第二章推理与证明测评B 新人教A版选修2-2 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(xx·山东高考)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是()A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根解析:因为至少有一个的反面为一个也没有,所以要做的假设是方程x3+ax+b=0没有实根.答案:A2.(xx·北京高考)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有()A.2人B.3人C.4人D.5人解析:用A,B,C分别表示优秀、及格和不及格.显然,语文成绩得A的学生最多只有一人,语文成绩得B的也最多只有1人,得C的也最多只有1人,所以这组学生的成绩为(AC),(BB),(CA)满足条件,故学生最多为3人.答案:B3.(xx·湖北高考)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式V≈L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么,近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为()A.B.C.D.解析:由题意可知:L=2πr,即r=,圆锥体积V=Sh=πr2h=π·h=L2h≈L2h,故,π≈,故选B.答案:B4.(xx·广东高考)设l为直线,α,β是两个不同的平面.下列命题中正确的是()A.若l∥α,l∥β,则α∥βB.若l⊥α,l⊥β,则α∥βC.若l⊥α,l∥β,则α∥βD.若α⊥β,l∥α,则l⊥β解析:如图,在正方体A1B1C1D1-ABCD中,对于A,设l为AA1,平面B1BCC1,平面DCC1D1为α,β.A1A∥平面B1BCC1,A1A∥平面DCC1D1,而平面B1BCC1∩平面DCC1D1=C1C;对于C,设l为A1A,平面ABCD为α,平面DCC1D1为β.A1A⊥平面ABCD,A1A∥平面DCC1D1,而平面ABCD∩平面DCC1D1=DC;对于D,设平面A1ABB1为α,平面ABCD为β,直线l为D1C1,平面A1ABB1⊥平面ABCD,D1C1∥平面A1ABB1,而D1C1∥平面ABCD.故A,C,D都是错误的.而对于B,根据垂直于同一直线的两平面平行,知B正确.答案:B5.(xx·辽宁高考)已知点O(0,0),A(0,b),B(a,a3).若△OAB为直角三角形,则必有()A.b=a3B.b=a3+C.(b-a3)=0D.|b-a3|+=0解析:若∠OBA为直角,则=0,即a2+(a3-b)·a3=0,又a≠0,故b=a3+;若∠OAB为直角时,则=0,即b(a3-b)=0,得b=a3;若∠AOB为直角,则不可能.所以b-a3-=0或b-a3=0,故选C.答案:C6.(xx·浙江高考)设a,b∈R,定义运算“∧”和“∨”如下:a∧b=a∨b=若正数a,b,c,d满足ab≥4,c+d≤4,则()A.a∧b≥2,c∧d≤2B.a∧b≥2,c∨d≥2C.a∨b≥2,c∧d≤2D.a∨b≥2,c∨d≥2解析:由题意知,运算“∧”为两数中取小,运算“∨”为两数中取大,由ab≥4知,正数a,b中至少有一个大于等于2.由c+d≤4知,c,d中至少有一个小于等于2,故选C.答案:C7.(xx·陕西高考)设[x]表示不大于x的最大整数,则对任意实数x,有()A.[-x]=-[x]B.=[x]C.[2x]=2[x]D.[x]+=[2x]解析:令x=1.1,[-1.1]=-2,而-[1.1]=-1,所以A错;令x=-=0,=-1,所以B错;令x=0.5,[2x]=1,2[x]=0,所以C错;故选D.答案:D8.(xx·四川高考)设函数f(x)=(a∈R,e为自然对数的底数),若存在b∈[0,1]使f(f(b))=b成立,则a的取值范围是()A.[1,e]B.[1,1+e]C.[e,1+e]D.[0,1]解析:当a=0时,f(x)=为增函数,∴b∈[0,1]时,f(b)∈[1,].∴f(f(b))≥>1.∴不存在b∈[0,1]使f(f(b))=b成立,故D错;当a=e+1时,f(x)=,当b∈[0,1]时,只有b=1时,f(x)才有意义,而f(1)=0,∴f(f(1))=f(0),显然无意义,故B,C错.故选A.答案:A9.(xx·浙江高考)设a>0,b>0,e是自然对数的底数,()A.若e a+2a=e b+3b,则a>bB.若e a+2a=e b+3b,则a<bC.若e a-2a=e b-3b,则a>bD.若e a-2a=e b-3b,则a<b解析:考查函数y=e x+2x为单调增函数,若e a+2a=e b+2b,则a=b;若e a+2a=e b+3b,∴a>b.故选A.答案:A10.(xx·江西高考)观察下列事实:|x|+|y|=1的不同整数解(x,y)的个数为4,|x|+|y|=2的不同整数解(x,y)的个数为8,|x|+|y|=3的不同整数解(x,y)的个数为12,…,则|x|+|y|=20的不同整数解(x,y)的个数为()A.76B.80C.86D.92解析:由已知条件得,|x|+|y|=n(n∈N*)的不同整数解(x,y)的个数为4n,所以|x|+|y|=20的不同整数解(x,y)的个数为80,故选B.答案:B第Ⅱ卷(非选择题共70分)二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填在题中的横线上)11.(xx·陕西高考)观察分析下表中的数据:多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱5 6 9五棱锥6 6 10立方体6 8 12猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是.解析:因为5+6-9=2,6+6-10=2,6+8-12=2,故可猜想F+V-E=2.答案:F+V-E=212.(xx·课标全国Ⅰ高考)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说:我没去过C城市;丙说:我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为.解析:根据甲、乙、丙说的可列表得A B C甲√×√乙√××丙√答案:A13.(xx·山东高考)观察下列各式:=40;=41;=42;=43;……照此规律,当n∈N*时,+…+=.解析:观察各式有如下规律:等号左侧第n个式子有n项,且上标分别为0,1,2,…,n-1,第n行每项的下标均为2n-1.等号右侧指数规律为0,1,2,…,n-1.所以第n个式子为+…+=4n-1.答案:4n-114.(xx·陕西高考)已知f(x)=,x≥0,若f1(x)=f(x),f n+1(x)=f(f n(x)),n∈N*,则f2 014(x)的表达式为.解析:依题意,f1(x)=f(x)=,f2(x)=f(f1(x))=f,f3(x)=f(f2(x))=f,…,由此可猜测f n(x)=,故f2 014(x)=.答案:15.(xx·福建高考)一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2…x n(n∈N*),其中x k(k=1,2,…,n)称为第k位码元.二元码是通信中常用的码,但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1,或者由1变为0).已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组:其中运算 义为:00=0,01=1,10=1,11=0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101,那么利用上述校验方程组可判定k等于.解析:若1≤k≤3,则x4=1,x5=1,x6=0,x7=1,不满足x4x5x6x7=0;若k=4,则二元码为1100101,不满足x1x3x5x7=0;若k=5,则二元码为1101001,满足方程组,故k=5.答案:5三、解答题(本大题共5小题,共50分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(本小题8分)(xx·安徽高考)设n∈N*,x n是曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标.(1)求数列{x n}的通项公式;(2)记T n=,证明:T n≥.(1)解:y'=(x2n+2+1)'=(2n+2)x2n+1,曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线斜率为2n+2,从而切线方程为y-2=(2n+2)(x-1).令y=0,解得切线与x轴交点的横坐标x n=1-.(2)证明:由题设和(1)中的计算结果知T n=.当n=1时,T1=.当n≥2时,因为,所以T n>×…×.综上可得对任意的n∈N*,均有T n≥.17.(本小题8分)(xx·山东高考)在等差数列{a n}中,已知公差d=2,a2是a1与a4的等比中项.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=,记T n=-b1+b2-b3+b4-…+(-1)n b n,求T n.解:(1)由题意知(a1+d)2=a1(a1+3d),即(a1+2)2=a1(a1+6),解得a1=2,所以数列{a n}的通项公式为a n=2n.(2)由题意知b n==n(n+1),所以T n=-1×2+2×3-3×4+…+(-1)n n·(n+1).因为b n+1-b n=2(n+1),可得当n为偶数时,T n=(-b1+b2)+(-b3+b4)+…+(-b n-1+b n)=4+8+12+…+2n=,当n为奇数时,T n=T n-1+(-b n)=-n(n+1)=-.所以T n=18.(本小题10分)(xx·北京高考)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E,F分别是A1C1,BC的中点.(1)求证:平面ABE⊥平面B1BCC1;(2)求证:C1F∥平面ABE;(3)求三棱锥E-ABC的体积.(1)证明:在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥底面ABC.所以BB1⊥AB.又因为AB⊥BC,所以AB⊥平面B1BCC1.所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)证明:取AB的中点G,连接EG,FG.因为E,F分别是A1C1,BC的中点,所以FG∥AC,且FG=AC.因为AC∥A1C1,且AC=A1C1,所以FG∥EC1,且FG=EC1.所以四边形FGEC1为平行四边形.所以C1F∥EG.又因为EG⊂平面ABE,C1F⊄平面ABE,所以C1F∥平面ABE.(3)解:因为AA1=AC=2,BC=1,AB⊥BC,所以AB=.所以三棱锥E-ABC的体积V=S△ABC·AA1=×1×2=.19.(本小题12分)(xx·江苏高考)已知集合X={1,2,3},Y n={1,2,3,…,n}(n∈N*),设S n={(a,b)|a整除b或b整除a,a∈X,b∈Y n}.令f(n)表示集合S n所含元素的个数.(1)写出f(6)的值;(2)当n≥6时,写出f(n)的表达式,并用数学归纳法证明.解:(1)f(6)=13.(2)当n≥6时,f(n)=(t∈N*).下面用数学归纳法证明:①当n=6时,f(6)=6+2+=13,结论成立;②假设n=k(k≥6)时结论成立,那么n=k+1时,S k+1在S k的基础上新增加的元素在(1,k+1),(2,k+1),(3,k+1)中产生,分以下情形讨论:1)若k+1=6t,则k=6(t-1)+5,此时有f(k+1)=f(k)+3=k+2++3=(k+1)+2+,结论成立;2)若k+1=6t+1,则k=6t,此时有f(k+1)=f(k)+1=k+2++1=(k+1)+2+,结论成立;3)若k+1=6t+2,则k=6t+1,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2++2=(k+1)+2+,结论成立;4)若k+1=6t+3,则k=6t+2,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2++2=(k+1)+2+,结论成立;5)若k+1=6t+4,则k=6t+3,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2++2=(k+1)+2+,结论成立;6)若k+1=6t+5,则k=6t+4,此时有f(k+1)=f(k)+1=k+2++1=(k+1)+2+,结论成立.综上所述,结论对满足n≥6的自然数n均成立.20.(本小题12分)(xx·陕西高考)设f n(x)是等比数列1,x,x2,…,x n的各项和,其中x>0,n∈N,n≥2.(1)证明:函数F n(x)=f n(x)-2在内有且仅有一个零点(记为x n),且x n=;(2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列,其各项和为g n(x),比较f n(x)和g n(x)的大小,并加以证明.(1)证明:F n(x)=f n(x)-2=1+x+x2+…+x n-2,则F n(1)=n-1>0,F n=1++…+-2=-2=-<0,所以F n(x)在内至少存在一个零点.又F n'(x)=1+2x+…+nx n-1>0,故F n(x)在内单调递增,所以F n(x)在内有且仅有一个零点x n.因为x n是F n(x)的零点,所以F n(x n)=0,即-2=0,故x n=.(2)解法一:由假设,g n(x)=.设h(x)=f n(x)-g n(x)=1+x+x2+…+x n-,x>0.当x=1时,f n(x)=g n(x).当x≠1时,h'(x)=1+2x+…+nx n-1-.若0<x<1,h'(x)>x n-1+2x n-1+…+nx n-1-x n-1=x n-1-x n-1=0.若x>1,h'(x)<x n-1+2x n-1+…+nx n-1-x n-1=x n-1-x n-1=0.所以h(x)在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减,所以h(x)<h(1)=0,即f n(x)<g n(x).综上所述,当x=1时,f n(x)=g n(x);当x≠1时,f n(x)<g n(x).解法二:由题设,f n(x)=1+x+x2+…+x n,g n(x)=,x>0.当x=1时,f n(x)=g n(x).当x≠1时,用数学归纳法可以证明f n(x)<g n(x).①当n=2时,f2(x)-g2(x)=-(1-x)2<0,所以f2(x)<g2(x)成立.②假设n=k(k≥2)时,不等式成立,即f k(x)<g k(x).那么,当n=k+1时,f k+1(x)=f k(x)+x k+1<g k(x)+x k+1=+x k+1=.又g k+1(x)-=,令h k(x)=kx k+1-(k+1)x k+1(x>0),则h k'(x)=k(k+1)x k-k(k+1)x k-1=k(k+1)x k-1(x-1).所以,当0<x<1时,h k'(x)<0,h k(x)在(0,1)上递减;当x>1时,h k'(x)>0,h k(x)在(1,+∞)上递增.所以h k(x)>h k(1)=0,从而g k+1(x)>.故f k+1(x)<g k+1(x),即n=k+1时不等式也成立.由①和②知,对一切n≥2的整数,都有f n(x)<g n(x).解法三:由已知,记等差数列为{a k},等比数列为{b k},k=1,2,…,n+1.则a1=b1=1,a n+1=b n+1=x n,所以a k=1+(k-1)·(2≤k≤n),b k=x k-1(2≤k≤n),令m k(x)=a k-b k=1+-x k-1,x>0(2≤k≤n),当x=1时,a k=b k,所以f n(x)=g n(x).当x≠1时,m k'(x)=·nx n-1-(k-1)x k-2=(k-1)x k-2(x n-k+1-1).而2≤k≤n,所以k-1>0,n-k+1≥1.若0<x<1,x n-k+1<1,m k'(x)<0;若x>1,x n-k+1>1,m k'(x)>0,从而m k(x)在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增, 所以m k(x)>m k(1)=0.所以当m>0且m≠1时,a k>b k(2≤k≤n),又a1=b1,a n+1=b n+1,故f n(x)<g n(x).综上所述,当x=1时,f n(x)=g n(x);当x≠1时,f n(x)<g n(x).2019-2020年高中数学第二章 推理与证明章末小结 新人教A 版选修1-2合情推理与演绎推理运用合情推理时，要认识到观察、归纳、类比、猜想、证明是相互联系的．在解决问题时，可以先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路；然后用归纳、类比的方法进行探索，提出猜想；最后用演绎推理的方法进行验证．观察下图中各正方形图案，每条边上有n (n ≥2)个点，第n 个图案中圆点的总数是S n .••••， • • •• •• • •， • • • •• •• •• • • •，… n ＝2，S 2＝4；n ＝3，S 3＝8；n ＝4，S 4＝12；…，按此规律，推出S n 与n 的关系式为________．解析：依图的构造规律可以看出：S 2＝2×4－4， S 3＝3×4－4，S 4＝4×4－4(正方形四个顶点重复计算一次，应减去)．…猜想：S n ＝4n －4(n ≥2，n ∈N *)．答案：S n ＝4n －4(n ≥2，n ∈N *)若数列{a n }是等比数列，且a n >0，则有数列b n ＝na 1·a 2·…·a n (n ∈N *)也为等比数列，类比上述性质，相应地，数列{c n }是等差数列，则有d n ＝________也是等差数列．解析：类比猜想可得d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nn也成等差数列，若设等差数列{c n }的公差为x ，则d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nn＝nc 1＋n （n －1）2xn＝c 1＋(n －1)·x2.可见{d n }是一个以c 1为首项，x2为公差的等差数列，故猜想是正确的．答案：c 1＋c 2＋…＋c nn已知函数f (x )＝x 13－x －135，g (x )＝x 13＋x －135.(1)证明f (x )是奇函数，并求f (x )的单调区间；(2)分别计算f (4)－5f (2)·g (2)和f (9)－5f (3)·g (3)的值，由此概括出涉及函数f (x )和g (x )的对所有不等于零的实数x 都成立的一个等式，并加以证明．(1)证明：函数f (x )的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，又f (－x )＝（－x ）13－（－x ）－135＝－x 13－x －135＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，设x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝x 131－x －1315－x 132－x －1325＝15(x 131－x 132)⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋1x 131·x 132. ∵x 131－x 132<0，1＋1x 131·x 132>0，∴f (x 1)－f (x 2)<0.∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增．∴f (x )的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．(2)解析：计算得f (4)－5f (2)·g (2)＝0，f (9)－5f (3)·g (3)＝0. 由此概括出对所有不等于零的实数x 有f (x 2)－5f (x )·g (x )＝0.∵f (x 2)－5f (x )·g (x )＝x 23－x －235－5·x 13－x －135·x 13＋x －135＝15(x 23－x －23)－15(x 23－x －23)＝0， ∴该等式成立．点评：问题(1)的大前提为函数奇偶性和单调性的定义．问题(2)实际上是合情推理在高考中的体现，有一定的创新性．►变式训练1．已知数列{a n }的相邻两项a 2k －1，a 2k 是关于x 的方程x 2－(3k ＋2k )x ＋3k ·2k＝0的两个根且a 2k －1≤a 2k (k ＝1，2，3，…)．(1)求a 1，a 3，a 5，a 7及a 2n (n ≥4)，不必证明； (2)求数列{a n }的前2n 项和S 2n .解析：(1)方程x 2－(3k ＋2k )x ＋3k ·2k ＝0的两根为x 1＝3k ，x 2＝2k.当k ＝1时，x 1＝3，x 2＝2，∴a 1＝2； 当k ＝2时，x 1＝6，x 2＝4，∴a 3＝4； 当k ＝3时，x 1＝9，x 2＝8，∴a 5＝8； 当k ＝4时，x 1＝12，x 2＝16，∴a 7＝12. ∵当n ≥4时，2n＞3n ，∴a 2n ＝2n(n ≥4)．(2)S 2n ＝a 1＋a 2＋…＋a 2n＝(3＋6＋9＋…＋3n )＋(2＋22＋ (2))＝3n 2＋3n 2＋2n ＋1－2.直接证明综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题常用的思维方式．如果从解题的切入点的角度细分，直接证明方法可具体分为：比较法、代换法、放缩法、判别式法、构造函数法等．应用综合法证明问题时，必须首先想到从哪里开始起步，分析法就可以帮助我们克服这种困难，在实际证明问题时，应当把分析法和综合法综合起来使用．设a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab≥8.证明：证法一(综合法) ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12，ab ≤14，∴1ab≥4. 又1a ＋1b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥4， ∴1a ＋1b ＋1ab≥8. 证法二(分析法)∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴要证1a ＋1b ＋1ab≥8， 只需证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋a ＋b ab≥8， 即证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋1a ≥8， 即证1a ＋1b≥4，即证a ＋b a ＋a ＋b b≥4， 即证b a ＋a b ≥2. 由基本不等式可知，当a >0，b >0时，b a ＋a b≥2成立，∴原不等式成立．如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，EF ∥AC ，AB ＝2，CE ＝EF ＝1.(1)求证：AF ∥平面BDE ；(2)求证：CF ⊥平面BDE .证明：(1)设AC 与BD 交于点G .∵EF ∥AG ，且EF ＝1，AG ＝12AC ＝1， ∴四边形AGEF 为平行四边形．∴AF ∥EG .∵EG ⊂平面BDE ，AF ⊄平面BDE ，∴AF ∥平面BDE .(2)连接FG ，∵EF ∥CG ，EF ＝CG ＝1，且CE ＝1，∴四边形CEFG 为菱形，∴CF ⊥EG .∵四边形ABCD 为正方形，∴BD ⊥AC .又∵平面ACEF ⊥平面ABCD ，且平面ACEF ∩平面ABCD ＝AC ，∴BD ⊥平面ACEF ，∴CF ⊥BD .又BD ∩EG ＝G .∴CF ⊥平面BDE .►变式训练2．在等差数列{a n }中，首项a 1＝1，数列{b n }满足b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ，且b 1·b 2·b 3＝164. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＜2.(1)解析：设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 1＝1，b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12an ， 所以b 1＝12，b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋d ，b 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋2d . 由b 1b 2b 3＝164，解得d ＝1， 所以a n ＝1＋(n －1)·1＝n . (2)证明：由(1)得b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . 设T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝1×12＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，① 则12T n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫124＋…＋n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1.② ①－②得12T n ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1. 所以T n ＝2×12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12－2n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1 ＝2－12n －1－n 2n ， 又因为2－12n －1－n2n ＜2，所以a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＜2.点评：本题考查了等差数列的性质以及利用综合法证题的过程．反证法反证法的理论基础是互为逆否命题的等价性，从逻辑的角度看，命题：“若p 则q ”的否定是“若p 则¬q ”由此进行推理，如果发生矛盾，那么就说明“若p 则¬q ”为假，从而可以导出“若p 则q ”为真，从而达到证明的目的，反证法是高中数学的一种重要的证明方法，在不等式和立体几何的证明中经常用到，在高考题中也经常出现，它所反映出的“正难则反”的解决问题的思想方法更为重要。
2019-2020学年高中数学选修2-2第二章推理科与证明章末复习讲义
第二章推理与证明知识系统整合规律方法收藏1.图形中的归纳推理问题主要涉及某些固定图形的个数，所以常常需要转化成数列问题来求解，常用的思路有两种：(1)直接查个数，找到变化规律后再猜想；(2)观察图形的变化规律.2.探索性问题是数学中的一类重要问题，如探讨数列的通项、前n 项和、立体几何、解析几何中的性质等，在处理时，先采用合情推理猜想、再采用演绎推理的论证方法.3.对于较为复杂的数学命题，不论是从“已知”推向“结论”，还是由“结论”靠向“已知”，都有一个比较长的过程，单靠分析或综合显得较为困难．为保证探索方向准确且过程快捷，人们又常常把分析与综合两者并列起来使用，即常采取同时从已知和结论出发，寻找问题的一个中间目标．从已知到中间目标运用综合法思索，而由结论到中间目标运用分析法思索，以中间目标为桥梁沟通已知与结论，构建出证明的有效路径．把分析法与综合法两者结合起来进行思考，寻求问题的解答途径的方式就是人们通常所说的分析综合法，也就是常说的“两路夹攻，一攻就通”的证明思路.4.解决数学中的证明问题，既要掌握常用的证明方法的思维过程、特点，又要有牢固的数学基础知识．另外，还应掌握证明的一些常用方法与技巧，证明常用的方法与技巧有以下几种：(1)换元法．换元法是结构较为复杂且量与量之间的关系不甚明了的命题，通过恰当地引入新变量，代换原命题中的部分式子，简化原有结果，使其转化为便于研究的形式．常见的有代数换元与三角换元．在应用换元法时，要注意新变量的取值范围，即代换的等价性.换元法步骤：①设元(或构造元)――→ 转化②求解――→ 等量③回代――→ 等价原则④检验(2)放缩法．放缩法常用于证明不等式．欲证A ≥B ，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量使得B ≤B 1，B 1≤B 2，…，B i ≤A 或A ≥A 1，A 1≥A 2，…，A i ≥B ，再利用传递性，以达到证明的目的，这种方法叫放缩法．应用放缩法时，放缩目标必须确定，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察，常用的放缩方法有增项、减项或利用分式的性质、不等式性质、已知不等式、函数的性质等.其放缩技巧主要有以下几种：①添加或舍去一些项，如： a 2＋1>|a |；n n ＋1>n ；②将分子或分母放大(或缩小) 当a ，b ，c >0时，a b ＋c ＋b a ＋c ＋ca ＋b >a a ＋b ＋c ＋b a ＋b ＋c ＋ca ＋b ＋c；③利用基本不等式，如：lg 3·lg 5<⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 3＋lg 522＝lg 15<lg 16＝lg 4；④利用常用结论 ⅰ.1k的放缩：2k ＋k ＋1<22k <2k ＋k －1；ⅱ.1k 2的放缩(a)：1kk ＋1<1k 2<1k k －1(程度大)； ⅲ.1k 2的放缩(b)：1k 2<1k 2－1＝1k ＋1k －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－1k ＋1(程度小)；ⅳ.1k2的放缩(c)：1k 2<44k 2－1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12k －1－12k ＋1(程度更小)；ⅴ.分式放缩还可利用真(假)分数的性质：b a >b ＋m a ＋m (b >a >0，m >0)和b a <b ＋ma ＋m(a >b >0，m >0). (3)判别式法．判别式法是根据已知或构造出来的一元二次方程、一元二次不等式、二次函数的根、解集、函数的性质等特征确定出其判别式所应满足的不等式，从而推出结论的方法．利用判别式法证明时，应先将问题转化为与二次三项式相关的问题，再利用判别式法求解，要注意二次项系数是否为零.此外还有导数法、添项法、几何法、构造函数法等. 5.用数学归纳法证题的步骤(1)证明当n 取第一个值n 0(例如n 0＝1或n 0＝2)时结论正确.(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥n 0)时结论正确，证明当n ＝k ＋1时结论也正确. 在完成了这两个步骤以后，就可以断定结论对于从n 0开始的所有正整数n 都正确. 应用数学归纳法证明时要注意以下几点：(1)步骤要完整、规范，即“两步一结论”缺一不可，且第二步证明一定要用到归纳假设. (2)n 的第一个值n 0应根据具体问题来确定.(3)假设当n ＝k (k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确，并不一定都是证明n ＝k ＋1时结论也正确．如用数学归纳法证明“当n 为正偶数时x n－y n能被x ＋y 整除”，第一步应验证n ＝2时，命题成立；第二步归纳假设成立应写成假设当n ＝k 时命题成立，则当n ＝k ＋2时，命题也成立.(4)用数学归纳法可证明有关正整数的问题，但并不是所有的正整数问题都可以用数学归纳法证明的．例如：用数学归纳法证明⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n (n ∈N *)的单调性就难以实现.一般来说，从n ＝k 时的情形过渡到n ＝k ＋1的情形时，如果问题中存在可利用的递推关系，则数学归纳法有用武之地，否则使用数学归纳法就有困难．做题时要注意具体问题具体分析.学科思想培优一、归纳推理和类比推理的应用例1 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，图(2)中的1,4,9,16，…，这样的数称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A.289 B ．1024 C ．1225 D ．1378[解析] 由图形可得三角形数构成的数列通项a n ＝n2(n ＋1)，正方形数构成的数列通项b n ＝n 2，则由b n ＝n 2(n ∈N *)可排除D.又由a n ＝n 2(n ＋1)，当a n ＝289时，即验证是否存在n ∈N *，使得n (n ＋1)＝578，经计算n 不存在；同理，依次验证，有1225×2＝49×50，且352＝1225，故选C.[答案] C 拓展提升解决此类题目时，需要细心观察图形，寻找每一项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，注意抽象出的是数列的哪类公式.例2 在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图所示的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O －LMN ，如果用S 1，S 2，S 3表示三个侧面面积，S 4表示截面面积，那么你类比得到的结论是________.[解析] 在进行类比推理时，应该注意平面图形中的点、线分别与空间图形中的线、面类比；平面图形的长度、面积分别与空间图形中的面积、体积类比，结论易得.[答案] S 21＋S 22＋S 23＝S 24 拓展提升类比推理应从具体问题出发，通过观察、分析、类比、归纳而得出结论．通常情况下，平面图形的边长、面积往往类比空间几何体的面积、体积.二、演绎推理的应用例3 将下列演绎推理写成三段论的形式.(1)所有偶数都能被2整除，0 是偶数，所以0能被2整除；(2)循环小数是有理数，0.332·是循环小数，所以0.332·是有理数； (3)通项公式a n ＝2n ＋3的数列{a n }为等差数列； (4)函数f (x )＝x 3是奇函数.[解] (1)所有偶数都能被2整除，(大前提) 0是偶数，(小前提) 0能被2整除．(结论)(2)循环小数是有理数，(大前提)0.332·是循环小数，(小前提)0.332·是有理数．(结论)(3)数列{a n }中，如果当n ≥2时，a n －a n －1为常数，则{a n }为等差数列，(大前提) 通项公式a n ＝2n ＋3时，若n ≥2，则a n －a n －1＝2n ＋3－[2(n －1)＋3]＝2(常数)，(小前提)通项公式a n ＝2n ＋3表示的数列{a n }为等差数列．(结论)(4)对于定义域关于原点对称的函数f (x )，若f (－x )＝－f (x )，则函数f (x )是奇函数，(大前提)函数f (x )＝x 3的定义域关于原点对称，f (－x )＝(－x )3＝－x 3＝－f (x )，即f (－x )＝－f (x )，(小前提)所以函数f (x )＝x 3是奇函数．(结论) 拓展提升用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提；有时可省略小前提，有时甚至也可大前提与小前提同时省略，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.三、直接证明例4 设a ，b ，c 为三角形三边，面积S ＝12(a ＋b ＋c )，且S 2＝2ab ，试证：S <2a .[证明] (分析法)要证S <2a ，由于S 2＝2ab ，即2a ＝S 2b ，所以只需证S <S 2b，即证b <S ，因为S ＝12(a ＋b ＋c )，所以只需证b <12(a ＋b ＋c )，即证b <a ＋c ，由于a ，b ，c 为三角形三边，所以上式显然成立，于是原命题成立.(综合法)因为a ，b ，c 为三角形三边，所以a ＋c >b ，所以a ＋b ＋c >2b ， 又因为S ＝12(a ＋b ＋c )，即a ＋b ＋c ＝2S ，所以2S >2b ，所以S ·S >b ·S ，由于S 2＝2ab ，所以2ab >bS ，即2a >S ，所以原命题得证. 拓展提升知识链之间的等价联系是产生一题多解的本质所在，掌握了这个“法宝”，必然会促进解题能力的逐步提高.四、反证法例5 设{a n }是公比为q 的等比数列. (1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明：数列{a n ＋1}不是等比数列. [解] (1)设{a n }的前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1； 当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1qn －1，①qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，②①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n，∴S n ＝a 11－q n1－q，∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 11－q n1－q，q ≠1.(2)证明：假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N *， (a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1qk －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1， ∵a 1≠0，∴2q k ＝qk －1＋qk ＋1.∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0，∴q ＝1，这与已知矛盾， ∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列. 拓展提升当命题结论中出现“至多”“至少”“不可能”“都不”“不是”等否定性词语时，常用反证法．对于“否定”型命题，从正面证明需要证明的情况太多，直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆.五、数学归纳法例6 用数学归纳法证明：对一切n∈N *,1＋122＋132＋…＋1n 2≥3n 2n ＋1.[证明] (1)当n ＝1时，左边＝1， 右边＝3×12×1＋1＝1，不等式成立.(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立， 即1＋122＋132＋…＋1k 2≥3k 2k ＋1，则当n ＝k ＋1时，要证1＋122＋132＋…＋1k 2＋1k ＋12≥3k ＋12k ＋1＋1，只需证3k 2k ＋1＋1k ＋12≥3k ＋12k ＋3.因为3k ＋12k ＋3－⎣⎢⎡⎦⎥⎤3k 2k ＋1＋1k ＋12＝34k ＋12－1－1k ＋12＝1－k ＋12k ＋12[4k ＋12－1]＝－k k ＋2k ＋124k 2＋8k ＋3≤0，所以3k 2k ＋1＋1k ＋12≥3k ＋12k ＋3，即1＋122＋132＋…＋1k 2＋1k ＋12≥3k ＋12k ＋1＋1，所以当n ＝k ＋1时不等式成立.由(1)(2)知，不等式对一切n ∈N *都成立. 拓展提升本题在知道结果以后，执果索因，用分析法进行证明．在解题过程中数学归纳法通常与其他方法综合运用，如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法.例7 已知点的序列A n (x n,0)，n ∈N *，其中x 1＝0，x 2＝a (a >0)，A 3是线段A 1A 2的中点，A 4是线段A 2A 3的中点，…，A n 是线段A n －2A n －1的中点，….(1)写出x n 与x n －1，x n －2之间的关系式(n ≥3)；(2)设a n ＝x n ＋1－x n ，计算a 1，a 2，a 3，由此猜想数列{a n }的通项公式，并加以证明. [解] (1)当n ≥3时，x n ＝x n －1＋x n －22；(2)a 1＝x 2－x 1＝a ，a 2＝x 3－x 2＝x 2＋x 12－x 2＝－12(x 2－x 1)＝－a 2，a 3＝x 4－x 3＝x 3＋x 22－x 3＝－12(x 3－x 2)＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＝14a ，由此猜想a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1a (n ∈N *)，用数学归纳法证明如下：①当n ＝1时，a 1＝x 2－x 1＝a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－120a ，猜想成立；②假设当n ＝k (n ∈N *)时，猜想成立，即a k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k －1a 成立，那么，a k ＋1＝x k ＋2－x k ＋1＝x k ＋1＋x k2－x k ＋1＝－12(x k ＋1－x k )＝－12a k ＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k －1a＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12(k ＋1)－1a ，即当n ＝k ＋1时猜想也成立. 根据①和②，可知{a n }的通项公式为a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1a (n ∈N *).拓展提升由已知求出数列的前n项，提出猜想，然后再用数学归纳法证明，是不完全归纳法与数学归纳法相结合的一种重要的解决数列通项公式的方法，证明的关键是根据已知条件和假设寻找a k与a k＋1或S k与S k＋1之间的关系，从而为数学归纳法的实施做了必要的准备．。
2019-2020数学人教A版选修2-2课件：第二章推理与证明单元质量测评
解析 “至少有一个”的反面为“一个也没有”，即“x，y 均不大于 1”，亦即“x≤1 且 y≤1”.
解析
14.四棱锥 P－ABCD 中，O 为 CD 上的动点，四边形 ABCD 满足条件 ________时，VP－AOB 恒为定值(写出一个你认为正确的一个条件即可).
答案 四边形 ABCD 为平行四边形或矩形或正方形或 AB∥CD
解 在四面体 V－BCD 中，任取一点 O，连接 VO，DO，BO，CO 并延 长分别交四个面于 E，F，G，H 点，
则OVEE＋ODFF＋OBGG＋OCHH＝1.
答案
证明：在四面体 O－BCD 与 V－BCD 中，设底面 BCD 上的高分别 为 h1，h，则
1 OVEE＝hh1＝313SS△△BBCCDD··hh1＝VVOV－－BBCCDD. 同理有：ODFF＝VVDO－－VVBBCC；OBGG＝VVOB－－VVCCDD；OCHH＝VVOC－－VVBBDD. 所以OVEE＋ODFF＋OBGG＋OCHH
第二章 单元质量测评
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本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分 150 分，考试 时间 120 分钟.
第Ⅰ卷 (选择题，共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分) 1.下列几种推理是演绎推理的是( ) A.在数列{an}中，a1＝1，an＝12an－1＋an1－1(n≥2)，由此归纳出{an}的通 项公式
答案
解析
2.下面四个推理不是合情推理的是( ) A.由圆的性质类比推出球的有关性质 B.由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是 180°，归纳 出所有三角形的内角和都是 180° C.某次考试张军的成绩是 100 分，由此推出全班同学的成绩都是 100 分 D.蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所 有的爬行动物都是用肺呼吸的
2020_2021学年高中数学第二章推理与证明章末综合测评含解析新人教A版选修2_2
新人教A 版高中数学选修1_2：章末综合测评(二) 推理与证明(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．根据偶函数定义可推得“函数f (x )＝x 2在R 上是偶函数”的推理过程是( ) A ．归纳推理 B ．类比推理 C ．演绎推理D ．非以上答案C [根据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理，故选C.]2．在△ABC 中，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，则有EF ∥BC ，这个问题的大前提为( ) A ．三角形的中位线平行于第三边 B ．三角形的中位线等于第三边的一半 C ．EF 为中位线 D ．EF ∥BCA [这个三段论推理的形式为：大前提：三角形的中位线平行于第三边；小前提：EF 为△ABC 的中位线；结论：EF ∥BC .]3．用数学归纳法证明：“(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)”．从“k 到k ＋1”左端需增乘的代数式为( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1)C ．2k ＋1k ＋1D ．2k ＋3k ＋1B [当n ＝k 时左端的第一项为(k ＋1)，最后一项为(k ＋k )．当n ＝k ＋1时，左端的第一项为(k ＋2)，最后一项为(2k ＋2)．∴左边乘以(2k ＋1)(2k ＋2)，同时还要除以(k ＋1)．]4．下列推理正确的是( )A ．把a (b ＋c )与log a (x ＋y )类比，则有log a (x ＋y )＝log a x ＋log a yB ．把a (b ＋c )与sin(x ＋y )类比，则有sin(x ＋y )＝sin x ＋sin yC ．把a (b ＋c )与a x ＋y 类比，则有a x ＋y ＝a x ＋a y D ．把(a ＋b )＋c 与(xy )z 类比，则有(xy )z ＝x (yz ) D [(xy )z ＝x (yz )是乘法的结合律，正确．] 5．已知a ＋b ＋c ＝0，则ab ＋bc ＋ca 的值( ) A ．大于0B ．小于0C ．不小于0D ．不大于0D [法一：因为a ＋b ＋c ＝0， 所以a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0， 所以ab ＋bc ＋ca ＝－a 2＋b 2＋c 22≤0.法二：令c ＝0，若b ＝0，则ab ＋bc ＋ca ＝0，否则a ，b 异号，所以ab ＋bc ＋ca ＝ab ＜0，排除A ，B ，C ，故选D.]6．对“a ，b ，c 是不全相等的正数”，给出下列判断： ①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0；②a ＝b 与b ＝c 及a ＝c 中至少有一个成立； ③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立． 其中判断正确的个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个B [若(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2＝0，则a ＝b ＝c ，与“a ，b ，c 是不全相等的正数”矛盾，故①正确．a ＝b 与b ＝c 及a ＝c 中最多只能有一个成立，故②不正确．由于“a ，b ，c 是不全相等的正数”，有两种情形：至多有两个数相等或三个数都互不相等，故③不正确．]7．我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．下列几何体中，一定属于相似体的有( )①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱锥． A ．4个 B ．3个 C ．2个D ．1个C [类比相似形中的对应边成比例知，①③属于相似体．]8．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )A ．28B ．76C ．123D ．199C [利用归纳法，a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4＝3＋1，a 4＋b 4＝4＋3＝7，a 5＋b 5＝7＋4＝11，a 6＋b 6＝11＋7＝18，a 7＋b 7＝18＋11＝29，a 8＋b 8＝29＋18＝47，a 9＋b 9＝47＋29＝76，a 10＋b 10＝76＋47＝123，规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和．]9．对任意的锐角α，β，下列不等式中正确的是( ) A ．sin(α＋β)＞sin α＋sin β B ．sin(α＋β)＞cos α＋cos β C ．cos(α＋β)＞sin α＋sin β D ．cos(α＋β)＜cos α＋cos βD [因为α，β为锐角，所以0＜α＜α＋β＜π，所以cos α＞cos(α＋β)．又cos β＞0，所以cos α＋cos β＞cos(α＋β)．]10．在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19且n ∈N *)成立，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b 11＝1，则有( )A ．b 1·b 2·…·b n ＝b 1·b 2·…·b 19－nB ．b 1·b 2·…·b n ＝b 1·b 2·…·b 21－nC ．b 1＋b 2＋…＋b n ＝b 1＋b 2＋…＋b 19－nD ．b 1＋b 2＋…＋b n ＝b 1＋b 2＋…＋b 21－n B [令n ＝10时，验证即知选B.]11．将石子摆成如图所示的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2 014项与5的差，即a 2 014－5＝( )A ．2 018×2 014B ．2 018×2 013C ．1 010×2 012D ．1 010×2 013D [由已知的图形可以得出图形的编号与图中石子的个数之间的关系为： n ＝1时，a 1＝2＋3＝12×(2＋3)×2；n ＝2时，a 2＝2＋3＋4＝12×(2＋4)×3；……由此可以推断：a n ＝2＋3＋…＋(n ＋2)＝12×[2＋(n ＋2)]×(n ＋1)，∴a 2 014－5＝12×[2＋(2 014＋2)]×(2 014＋1)－5＝1 009×2 015－5＝1 010×2 013.]12．如图(1)，在△ABC 中，AB ⊥AC 于点A ，AD ⊥BC 于点D ，则有AB 2＝BD ·BC ，类似地有命题：如图(2)，在三棱锥A -BCD 中，AD ⊥平面ABC ，若A 在△BCD 内的射影为O ，则S 2△ABC ＝S △BCO ·S △BCD ，那么上述命题( )(1)(2)A．是真命题B．增加条件“AB⊥AC”后才是真命题C．是假命题D．增加条件“三棱锥A-BCD是正三棱锥”后才是真命题A[由已知垂直关系，不妨进行如下类比：将题图(2)中的△ABC，△BCO，△BDC分别与题图(1)中的AB，BD，BC进行类比即可．严格推理如下：连结DO并延长交BC于点E，连结AE(图略)，则DE⊥BC，AE⊥BC.因为AD⊥平面ABC，所以AD⊥AE.又因为AO⊥DE，所以AE2＝EO·ED，所以S2△ABC＝(12＝(12BC·EO)·(12BC·ED)＝S△BCO·S△BCD.故选A.]2BC·EA)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知x，y∈R，且x＋y>2，则x，y中至少有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________．x，y均不大于1(或者x≤1且y≤1)[“至少有一个”的反面为“一个也没有”，即“x，y均不大于1”，亦即“x≤1且y≤1”．]14．当n＝1时，有(a－b)(a＋b)＝a2－b2，当n＝2时，有(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3，当n＝3时，有(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4，当n∈N*时，你能得到的结论是________．(a－b)(a n＋a n－1b＋…＋ab n－1＋b n)＝a n＋1－b n＋1[根据题意，由于当n＝1时，有(a－b)(a ＋b)＝a2－b2，当n＝2时，有(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3，当n＝3时，有(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4，当n∈N*时，左边第二个因式为a n＋a n－1b＋…＋ab n－1＋b n，那么对应的表达式为(a－b)(a n＋a n－1b＋…＋ab n－1＋b n)＝a n＋1－b n＋1.]15．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．1和3[法一：由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.若丙的卡片上的数字是1和2，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；若丙的卡片上的数字是1和3，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和2，不满足甲的说法．故甲的卡片上的数字是1和3.法二：因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1，所以乙的卡片上的数字是2和3，所以甲的卡片上的数字是1和3.]16．现有一个关于平面图形的命题：同一平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a 24.类比到空间，有两个棱长为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．a 38 [解法的类比(特殊化)，易得两个正方体重叠部分的体积为a 38.] 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)用综合法或分析法证明： (1)如果a ，b >0，则lg a ＋b 2≥lg a ＋lg b2； (2)6＋10>23＋2.[证明] (1)当a ，b >0时，有a ＋b 2≥ab ，∴lg a ＋b 2≥lg ab ，∴lg a ＋b 2≥12lg ab ＝lg a ＋lg b 2.(2)要证6＋10>23＋2， 只要证(6＋10)2>(23＋2)2， 即260>248，这是显然成立的， 所以，原不等式成立． 18．(本小题满分12分)观察：①tan 10°·tan 20°＋tan 20°·tan 60°＋tan 60°·tan 10°＝1， ②tan 5°·tan 10°＋tan 10°·tan 75°＋tan 75°·tan 5°＝1.由以上两式成立能得到一个从特殊到一般的推广，此推广是什么？并证明你的推广． [解] 从已知观察到10°＋20°＋60°＝90°，10°＋75°＋5°＝90°，因此猜测推广式为若α＋β＋γ＝π2，且α，β，γ都不为k π＋π2(k ∈Z )，则tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝1.证明如下：由α＋β＋γ＝π2，得α＋β＝π2－γ.因为tan(α＋β)＝tan ⎝⎛⎭⎫π2－γ＝1tan γ.又因为tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，所以tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)＝1tan γ(1－tan αtan β)，所以tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝tan γ(tanα＋tan β)＋tan αtan β＝tan γ(1－tan αtan β)·1tan γ＋tan αtan β＝1－tan αtan β＋tan αtan β＝1.19．(本小题满分12分)设a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab ≥8.试用综合法和分析法分别证明．[解] 法一(综合法) ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12，ab ≤14，∴1ab ≥4.又∵1a ＋1b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab ≥4， ∴1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)． 法二(分析法)∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，要证1a ＋1b ＋1ab ≥8，只要证⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋a ＋b ab ≥8，只要证⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋⎝⎛⎭⎫1b ＋1a ≥8， 即证1a ＋1b≥4，也就是证a ＋b a ＋a ＋bb ≥4，即证b a ＋ab≥2.由基本不等式可知，当a >0，b >0时， b a ＋ab≥2成立，所以原不等式成立． 20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)．(1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数； (2)用反证法证明方程f (x )＝0没有负数根． [解] (1)法一：任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)， 不妨设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，a x 2－x 1>1且ax 1>0， ∴a x 2－a x 1＝a x 1 (a x 2－x 1－1)>0， 又∵x 1＋1>0，x 2＋1>0， ∴x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝(x 2－2)(x 1＋1)－(x 1－2)(x 2＋1)(x 1＋1)(x 2＋1) ＝3(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1)>0， 于是f (x 2)－f (x 1)＝a x 2－a x 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0，故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数． 法二：f ′(x )＝a x ln a ＋x ＋1－(x －2)(x ＋1)2＝a x ln a ＋3(x ＋1)2∵a >1，∴ln a >0，∴a x ln a ＋3(x ＋1)2>0， f ′(x )>0在(－1，＋∞)上恒成立， 即f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)法一：设存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0， 则a x 0＝－x 0－2x 0＋1，且0<ax 0<1.∴0<－x 0－2x 0＋1<1，即12<x 0<2，与假设x 0<0矛盾．故方程f (x )＝0没有负数根． 法二：设x 0<0(x 0≠－1)，①若－1<x 0<0，则x 0－2x 0＋1<－2，a x 0<1，∴f (x 0)<－1.②若x 0<－1，则x 0－2x 0＋1>0，a x 0>0，∴f (x 0)>0.综上，x <0(x ≠－1)时，f (x )<－1或f (x )>0，即方程f (x )＝0无负数根．21．(本小题满分12分) (1)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与x 轴交于A ，B 两点，点P 是椭圆C 上异于A ，B 的任意一点，直线P A ，PB 分别与y 轴交于点M ，N ，求证：AN →·BM →为定值b 2－a 2.(2)类比(1)可得如下真命题：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 轴交于A ，B 两点，点P 是双曲线C 上异于A ，B 的任意一点，直线P A ，PB 分别与y 轴交于点M ，N ，求证：AN →·BM →为定值，请写出这个定值(不要求写出解题过程)．[解] (1)证明如下：设点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )． 依题意，得A (－a,0)，B (a,0)， 所以直线P A 的方程为y ＝y 0x 0＋a (x ＋a )，令x ＝0，得y M ＝ay 0x 0＋a .同理得y N ＝－ay 0x 0－a .所以y M y N ＝a 2y 20a 2－x 20.又点P (x 0，y 0)在椭圆上，所以x 20a 2＋y 20b2 ＝1，因此y 20＝b 2a2(a 2－x 20)．所以y M y N ＝a 2y 20a 2－x 20＝b 2.因为AN →＝(a ，y N )，BM →＝(－a ，y M )， 所以AN →·BM →＝－a 2＋y M y N ＝b 2－a 2. (2)－(a 2＋b 2)．22．(本小题满分12分)各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n ＋1－a 2n ＝2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：1a 1＋1a 2＋…＋1a n≤2n －1对一切n ∈N *恒成立．[解] (1)∵a 2n ＋1－a 2n ＝2，∴数列{a 2n }为首项为1，公差为2的等差数列， ∴a 2n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1， 又a n >0，则a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)证明：由(1)知，即证1＋13＋…＋12n －1≤2n －1.①当n ＝1时，左边＝1，右边＝1，所以不等式成立． 当n ＝2时，左边<右边，所以不等式成立． ②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时不等式成立， 即1＋13＋…＋12k －1≤2k －1，当n ＝k ＋1时， 左边＝1＋13＋…＋12k －1＋12k ＋1≤2k －1＋12k ＋1<2k －1＋22k ＋1＋2k －1＝2k －1＋2(2k ＋1－2k －1)2＝2k ＋1＝2(k ＋1)－1所以当n ＝k ＋1时不等式成立．由①②知对一切n∈N*不等式恒成立．。
2019-2020学年高中数学 第二章 推理与证明测评B 新人教A版选修2-2.doc
2019-2020学年高中数学第二章推理与证明测评B 新人教A版选修2-2 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2014·山东高考)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是()A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根解析:因为至少有一个的反面为一个也没有,所以要做的假设是方程x3+ax+b=0没有实根.答案:A2.(2014·北京高考)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有()A.2人B.3人C.4人D.5人解析:用A,B,C分别表示优秀、及格和不及格.显然,语文成绩得A的学生最多只有一人,语文成绩得B的也最多只有1人,得C的也最多只有1人,所以这组学生的成绩为(AC),(BB),(CA)满足条件,故学生最多为3人.答案:B3.(2014·湖北高考)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式V≈L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么,近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为()A.B.C.D.解析:由题意可知:L=2πr,即r=,圆锥体积V=Sh=πr2h=π·h=L2h≈L2h,故,π≈,故选B.答案:B4.(2013·广东高考)设l为直线,α,β是两个不同的平面.下列命题中正确的是()A.若l∥α,l∥β,则α∥βB.若l⊥α,l⊥β,则α∥βC.若l⊥α,l∥β,则α∥βD.若α⊥β,l∥α,则l⊥β解析:如图,在正方体A1B1C1D1-ABCD中,对于A,设l为AA1,平面B1BCC1,平面DCC1D1为α,β.A1A∥平面B1BCC1,A1A∥平面DCC1D1,而平面B1BCC1∩平面DCC1D1=C1C;对于C,设l为A1A,平面ABCD为α,平面DCC1D1为β.A1A⊥平面ABCD,A1A∥平面DCC1D1,而平面ABCD∩平面DCC1D1=DC;对于D,设平面A1ABB1为α,平面ABCD为β,直线l为D1C1,平面A1ABB1⊥平面ABCD,D1C1∥平面A1ABB1,而D1C1∥平面ABCD.故A,C,D都是错误的.而对于B,根据垂直于同一直线的两平面平行,知B正确.答案:B5.(2013·辽宁高考)已知点O(0,0),A(0,b),B(a,a3).若△OAB为直角三角形,则必有()A.b=a3B.b=a3+C.(b-a3)=0D.|b-a3|+=0解析:若∠OBA为直角,则=0,即a2+(a3-b)·a3=0,又a≠0,故b=a3+;若∠OAB为直角时,则=0,即b(a3-b)=0,得b=a3;若∠AOB为直角,则不可能.所以b-a3-=0或b-a3=0,故选C.答案:C6.(2013·浙江高考)设a,b∈R,定义运算“∧”和“∨”如下:a∧b=a∨b=若正数a,b,c,d满足ab≥4,c+d≤4,则()A.a∧b≥2,c∧d≤2B.a∧b≥2,c∨d≥2C.a∨b≥2,c∧d≤2D.a∨b≥2,c∨d≥2解析:由题意知,运算“∧”为两数中取小,运算“∨”为两数中取大,由ab≥4知,正数a,b中至少有一个大于等于2.由c+d≤4知,c,d中至少有一个小于等于2,故选C.答案:C7.(2013·陕西高考)设[x]表示不大于x的最大整数,则对任意实数x,有()A.[-x]=-[x]B.=[x]C.[2x]=2[x]D.[x]+=[2x]解析:令x=1.1,[-1.1]=-2,而-[1.1]=-1,所以A错;令x=-=0,=-1,所以B错;令x=0.5,[2x]=1,2[x]=0,所以C错;故选D.答案:D8.(2013·四川高考)设函数f(x)=(a∈R,e为自然对数的底数),若存在b∈[0,1]使f(f(b))=b成立,则a的取值范围是()A.[1,e]B.[1,1+e]C.[e,1+e]D.[0,1]解析:当a=0时,f(x)=为增函数,∴b∈[0,1]时,f(b)∈[1,].∴f(f(b))≥>1.∴不存在b∈[0,1]使f(f(b))=b成立,故D错;当a=e+1时,f(x)=,当b∈[0,1]时,只有b=1时,f(x)才有意义,而f(1)=0,∴f(f(1))=f(0),显然无意义,故B,C错.故选A.答案:A9.(2012·浙江高考)设a>0,b>0,e是自然对数的底数,()A.若e a+2a=e b+3b,则a>bB.若e a+2a=e b+3b,则a<bC.若e a-2a=e b-3b,则a>bD.若e a-2a=e b-3b,则a<b解析:考查函数y=e x+2x为单调增函数,若e a+2a=e b+2b,则a=b;若e a+2a=e b+3b,∴a>b.故选A.答案:A10.(2012·江西高考)观察下列事实:|x|+|y|=1的不同整数解(x,y)的个数为4,|x|+|y|=2的不同整数解(x,y)的个数为8,|x|+|y|=3的不同整数解(x,y)的个数为12,…,则|x|+|y|=20的不同整数解(x,y)的个数为()A.76B.80C.86D.92解析:由已知条件得,|x|+|y|=n(n∈N*)的不同整数解(x,y)的个数为4n,所以|x|+|y|=20的不同整数解(x,y)的个数为80,故选B.答案:B第Ⅱ卷(非选择题共70分)二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填在题中的横线上)11.(2014·陕西高考)观察分析下表中的数据:多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱5 6 9五棱锥6 6 10立方体6 8 12猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是.解析:因为5+6-9=2,6+6-10=2,6+8-12=2,故可猜想F+V-E=2.答案:F+V-E=212.(2014·课标全国Ⅰ高考)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说:我没去过C城市;丙说:我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为.解析:根据甲、乙、丙说的可列表得A B C甲√×√乙√××丙√答案:A13.(2015·山东高考)观察下列各式:=40;=41;=42;=43;……照此规律,当n∈N*时,+…+=.解析:观察各式有如下规律:等号左侧第n个式子有n项,且上标分别为0,1,2,…,n-1,第n行每项的下标均为2n-1.等号右侧指数规律为0,1,2,…,n-1.所以第n个式子为+…+=4n-1.答案:4n-114.(2014·陕西高考)已知f(x)=,x≥0,若f1(x)=f(x),f n+1(x)=f(f n(x)),n∈N*,则f2 014(x)的表达式为.解析:依题意,f1(x)=f(x)=,f2(x)=f(f1(x))=f,f3(x)=f(f2(x))=f,…,由此可猜测f n(x)=,故f2 014(x)=.答案:15.(2015·福建高考)一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2…x n(n∈N*),其中x k(k=1,2,…,n)称为第k位码元.二元码是通信中常用的码,但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1,或者由1变为0).已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组:其中运算 义为:00=0,01=1,10=1,11=0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101,那么利用上述校验方程组可判定k等于.解析:若1≤k≤3,则x4=1,x5=1,x6=0,x7=1,不满足x4x5x6x7=0;若k=4,则二元码为1100101,不满足x1x3x5x7=0;若k=5,则二元码为1101001,满足方程组,故k=5.答案:5三、解答题(本大题共5小题,共50分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(本小题8分)(2015·安徽高考)设n∈N*,x n是曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标.(1)求数列{x n}的通项公式;(2)记T n=,证明:T n≥.(1)解:y'=(x2n+2+1)'=(2n+2)x2n+1,曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线斜率为2n+2,从而切线方程为y-2=(2n+2)(x-1).令y=0,解得切线与x轴交点的横坐标x n=1-.(2)证明:由题设和(1)中的计算结果知T n=.当n=1时,T1=.当n≥2时,因为,所以T n>×…×.综上可得对任意的n∈N*,均有T n≥.17.(本小题8分)(2014·山东高考)在等差数列{a n}中,已知公差d=2,a2是a1与a4的等比中项.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=,记T n=-b1+b2-b3+b4-…+(-1)n b n,求T n.解:(1)由题意知(a1+d)2=a1(a1+3d),即(a1+2)2=a1(a1+6),解得a1=2,所以数列{a n}的通项公式为a n=2n.(2)由题意知b n==n(n+1),所以T n=-1×2+2×3-3×4+…+(-1)n n·(n+1).因为b n+1-b n=2(n+1),可得当n为偶数时,T n=(-b1+b2)+(-b3+b4)+…+(-b n-1+b n)=4+8+12+…+2n=,当n为奇数时,T n=T n-1+(-b n)=-n(n+1)=-.所以T n=18.(本小题10分)(2014·北京高考)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E,F分别是A1C1,BC的中点.(1)求证:平面ABE⊥平面B1BCC1;(2)求证:C1F∥平面ABE;(3)求三棱锥E-ABC的体积.(1)证明:在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥底面ABC.所以BB1⊥AB.又因为AB⊥BC,所以AB⊥平面B1BCC1.所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)证明:取AB的中点G,连接EG,FG.因为E,F分别是A1C1,BC的中点,所以FG∥AC,且FG=AC.因为AC∥A1C1,且AC=A1C1,所以FG∥EC1,且FG=EC1.所以四边形FGEC1为平行四边形.所以C1F∥EG.又因为EG⊂平面ABE,C1F⊄平面ABE,所以C1F∥平面ABE.(3)解:因为AA1=AC=2,BC=1,AB⊥BC,所以AB=.所以三棱锥E-ABC的体积V=S△ABC·AA1=×1×2=.19.(本小题12分)(2015·江苏高考)已知集合X={1,2,3},Y n={1,2,3,…,n}(n∈N*),设S n={(a,b)|a 整除b或b整除a,a∈X,b∈Y n}.令f(n)表示集合S n所含元素的个数.(1)写出f(6)的值;(2)当n≥6时,写出f(n)的表达式,并用数学归纳法证明.解:(1)f(6)=13.(2)当n≥6时,f(n)=(t∈N*).下面用数学归纳法证明:①当n=6时,f(6)=6+2+=13,结论成立;②假设n=k(k≥6)时结论成立,那么n=k+1时,S k+1在S k的基础上新增加的元素在(1,k+1),(2,k+1),(3,k+1)中产生,分以下情形讨论:1)若k+1=6t,则k=6(t-1)+5,此时有f(k+1)=f(k)+3=k+2++3=(k+1)+2+,结论成立;2)若k+1=6t+1,则k=6t,此时有f(k+1)=f(k)+1=k+2++1=(k+1)+2+,结论成立;3)若k+1=6t+2,则k=6t+1,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2++2=(k+1)+2+,结论成立;4)若k+1=6t+3,则k=6t+2,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2++2=(k+1)+2+,结论成立;5)若k+1=6t+4,则k=6t+3,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2++2=(k+1)+2+,结论成立;6)若k+1=6t+5,则k=6t+4,此时有f(k+1)=f(k)+1=k+2++1=(k+1)+2+,结论成立.综上所述,结论对满足n≥6的自然数n均成立.20.(本小题12分)(2015·陕西高考)设f n(x)是等比数列1,x,x2,…,x n的各项和,其中x>0,n∈N,n≥2.(1)证明:函数F n(x)=f n(x)-2在内有且仅有一个零点(记为x n),且x n=;(2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列,其各项和为g n(x),比较f n(x)和g n(x)的大小,并加以证明.(1)证明:F n(x)=f n(x)-2=1+x+x2+…+x n-2,则F n(1)=n-1>0,F n=1++…+-2=-2=-<0,所以F n(x)在内至少存在一个零点.又F n'(x)=1+2x+…+nx n-1>0,故F n(x)在内单调递增,所以F n(x)在内有且仅有一个零点x n.因为x n是F n(x)的零点,所以F n(x n)=0,即-2=0,故x n=.(2)解法一:由假设,g n(x)=.设h(x)=f n(x)-g n(x)=1+x+x2+…+x n-,x>0.当x=1时,f n(x)=g n(x).当x≠1时,h'(x)=1+2x+…+nx n-1-.若0<x<1,h'(x)>x n-1+2x n-1+…+nx n-1-x n-1=x n-1-x n-1=0.若x>1,h'(x)<x n-1+2x n-1+…+nx n-1-x n-1=x n-1-x n-1=0.所以h(x)在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减,所以h(x)<h(1)=0,即f n(x)<g n(x).综上所述,当x=1时,f n(x)=g n(x);当x≠1时,f n(x)<g n(x).解法二:由题设,f n(x)=1+x+x2+…+x n,g n(x)=,x>0.当x=1时,f n(x)=g n(x).当x≠1时,用数学归纳法可以证明f n(x)<g n(x).①当n=2时,f2(x)-g2(x)=-(1-x)2<0,所以f2(x)<g2(x)成立.②假设n=k(k≥2)时,不等式成立,即f k(x)<g k(x).那么,当n=k+1时,f k+1(x)=f k(x)+x k+1<g k(x)+x k+1=+x k+1=.又g k+1(x)-=,令h k(x)=kx k+1-(k+1)x k+1(x>0),则h k'(x)=k(k+1)x k-k(k+1)x k-1=k(k+1)x k-1(x-1).所以,当0<x<1时,h k'(x)<0,h k(x)在(0,1)上递减;当x>1时,h k'(x)>0,h k(x)在(1,+∞)上递增.所以h k(x)>h k(1)=0,从而g k+1(x)>.故f k+1(x)<g k+1(x),即n=k+1时不等式也成立.由①和②知,对一切n≥2的整数,都有f n(x)<g n(x).解法三:由已知,记等差数列为{a k},等比数列为{b k},k=1,2,…,n+1.则a1=b1=1,a n+1=b n+1=x n,所以a k=1+(k-1)·(2≤k≤n),b k=x k-1(2≤k≤n),令m k(x)=a k-b k=1+-x k-1,x>0(2≤k≤n),当x=1时,a k=b k,所以f n(x)=g n(x).当x≠1时,m k'(x)=·nx n-1-(k-1)x k-2=(k-1)x k-2(x n-k+1-1).而2≤k≤n,所以k-1>0,n-k+1≥1.若0<x<1,x n-k+1<1,m k'(x)<0;若x>1,x n-k+1>1,m k'(x)>0,从而m k(x)在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增,所以m k(x)>m k(1)=0.所以当m>0且m≠1时,a k>b k(2≤k≤n),又a1=b1,a n+1=b n+1,故f n(x)<g n(x).综上所述,当x=1时,f n(x)=g n(x);当x≠1时,f n(x)<g n(x).。
2019版高中数学人教B版选修2-2：第二章 推理与证明 检测 含解析
1n)共有(n+1)项,当n=2时,S(2)=12+13+14n)共有(n2-n)项,当n=2时,S(2)=12+13+14n)共有(n2-n+1)项,当n=2时,S(2)=12+13+14解析：从n到n2共有(n2-n+1)个自然数,即S(n)共有(n2-n+1)项.答案：D2某人在上楼梯时,一步上一个台阶或两个台阶,设他从平地上到第一级台阶时有f(1)种走法,从平地上到第二级台阶时有f(2)种走法……则他从平地上到第n级(n≥3)台阶时的走法f(n)等于( )3A.104①“mn=nm”类比得到“a·b=b·a”;m+n)t=mt+nt”类比得到“(a+b)·c=a·c+b·c”;m·n)t=m(n·t)”类比得到“(a·b)·c=a·(b·c)”;≠0,mt=xt⇒m=x”类比得到“p≠0,a·p=x·p⇒a=x”;|m·n|=|m|·|n|”类比得到“|a·b|=|a|·|b|”;ac bc =ab”类比得到“a·cb·c=ab”.以上式子中,类比得到的结论正确的个数是( )B.2D.45A.不存在6+1综合法 B.分析法反证法 D.以上都不是解析：从已知条件出发进行推证,为综合法.答案：A7“因为指数函数y=a x是增函数(大前提),而y=()x是指数函数(小前提),所以y=(13)x是增函数(结论)”,上面推理的错误是( )大前提错误导致结论错误小前提错误导致结论错误推理形式错误导致结论错误8A.p≥9给出下列三个命题△ABC中,||AC||+||CB||>||AB||.其中真命题的个数为( )B.1C.2D.3解析：①当点C在线段AB上时,可知||AC||+||CB||=||AB||,故①是正确的.②取A(0,0),B(1,1),C(1,0),则||AC||2=1,||BC||2=1,||AB||2=(1+1)2=4,故②是不正确的.③取A(0,0),B(1,1),C(1,0),可证明||AC||+||CB||=||AB||,故③不正确.故选B.答案：B10已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,若f(x)在区间[1,a](a>2)上单调递增且f(x)>0,则以下不等式不一定成立的是( ))>f(0)∴选项C 即(1+a )<f (a )⇔1+a <a⇔1+a‒a =1+a <0,∴选项C 成立,对于选项D,a>2时,a-3的符号不确定有f (3a -11+a )<f (2)⇔3a -11+a ‒2=a -31+a <0,由于.∴a -31+a <0未必成立答案：D二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11若符号“*”表示求实数a 与b 的算术平均数的运算,即a*b=a +b 2,则两边均含有运算符号“∗”和“+”,且对于任意3个实数a ,b ,c 都能成立的一个等式可以. 解析：答案不唯一.因为a+(b*c )=a(a+b )*(a+c )+b +c 2=2a +b +c 2,又121+213设N=2n(n∈N+,n≥2),将N个数x1,x2,…,x N依次放入编号为1,2,…,N的N个位置,得到排列P0=x1x2…x N.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出,并按原顺序依次放入对应的和后N2个位置,得到排列P1=x1x3…xN‒1x2x4…xN,将此操作称为C变换.将P1分成两段,每段N2个数,并对每段作C 变换,得到P2;当22时,将P i分成2i段,每段N2i个数,并对每段作C变换,得到Pi+1.例如,当N=8时,P2=x1x5x3x7x2x6x4x8,此时x7位于P2中的第4个位置当N=16时,x7位于P2中的第 个位置;当N=2n(n≥8)时,x173位于P4中的第 个位置.解析：由题意知,当N=16时,P0=x1x2x3x4x5…x16,P1=x1x3x5…x15x2x4…x16,则P2=x1x5x9x13x3x7x11x15x2x6x10x14x4x8x12x16,此时x7位于P2中的第6个位置.第(2)小问可由推理得出答案：(1)6 (2)3×2n-4+1114①∠15式16(8分)用分析法和综合法证明1log 519+1log 319+1log 219<2.证法一(分析法)要log 1930<log 19192,即证30<192,证1log 519+1log 319+1log 219<2,只需证∵30<192恒成立,∴原不等式成立.证法二(综合法)1log 519+1log 319+1log 219=log 195+log 193+log 192=log 1930<log 19192=2.17(8分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a 1=1,3S n =(n+2)a n ,则是否存在实数a ,b ,c ,使得a n =an 2+bn+c 对一切n ∈N +都成立?若存在,求出a ,b ,c ;若不存在,说明理由.n=k+1时,结论也成立.综合(1)和(2),知存在实数a a n =an 2+bn+c 对一切n ∈N +都成立=12,b =12,c =0使得18(9分)已知数列{a n }满足a 1=1,na n+1=(n+1)a n +n (n+1),n ∈N +.证明:数列{a nn}是等差数列;设b n =3n ·a n ,求数列{bn }的前n 项和Sn .证明由已知可得a n +1n +1=a nn +1,即a n +1n +1‒a n n =1.所,1为公差的等差数列.以{a nn }是以a 11=1为首项解由(1)·1=n ,所以a n =n 2.得a nn =1+(n ‒1)。
2019-2020学年人教A版高中选修2-2数学浙江专版第二章 习题课二 推理与证明 Word版含
姓名，年级：时间：习题课二错误!1．用反证法证明命题：“三角形三个内角中至少有一个不大于60°”时，应假设( ）A．三个内角都不大于60°B．三个内角都大于60°C．三个内角至多有一个大于60°D．三个内角至多有两个大于60°解析：选B 假设结论不成立，即“三角形三个内角中至少有一个不大于60°”的否定为“三个内角都大于60°"，故选B.2．若三角形能分为两个与自己相似的三角形,那么这个三角形一定是( ）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定解析：选C 直角三角形斜边上的高将直角三角形剖分为两个直角三角形，这两个直角三角形与原三角形都相似,故选C。
3．要证：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明( )A．2ab－1－a2b2≤0B．a2＋b2－1－错误!≤0C.错误!－1－a2b2≤0D．(a2－1)（b2－1）≥0解析：选D 因为a2＋b2－1－a2b2≤0⇔(a2－1）（b2－1）≥0.故选D.4．用反证法证明命题“设a，b为实数,则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析：选A 至少有一个实根的否定是没有实根,故要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”．5．来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，刚好碰在一起．他们除懂本国语言外,每人还会说其他三国语言中的一种．有一种语言是三个人会说的，但没有一种语言四人都懂，现知道：①甲是日本人，丁不会说日语，但他俩能自由交谈；②四人中没有一个人既能用日语交谈，又能用法语交谈；③乙、丙、丁交谈时，不能只用一种语言；④乙不会说英语,当甲与丙交谈时,他能做翻译．针对他们懂的语言,正确的推理是（)A．甲日德、乙法德、丙英法、丁英德B．甲日英、乙日德、丙德法、丁日英C．甲日德、乙法德、丙英德、丁英德D．甲日法、乙英德、丙法德、丁法英解析：选A 分析题目和选项,由①知,丁不会说日语，排除B选项；由②知，没有人既会日语又会法语，排除D选项；由③知乙、丙、丁不会同一种语言，排除C选项，故选A.6．设a，b是两个实数,给出下列条件:①a＋b〉1；②a＋b＝2;③a＋b>2；④a2＋b2〉2;⑤ab〉1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1"的条件是（)A．②③B．①②③C．③D．③④⑤解析：选C 若a＝错误!，b＝错误!，则a＋b〉1,但a〈1，b<1,故①推不出；若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2〉2，故④推不出；若a＝－2，b＝－3，则ab>1，故⑤推不出；对于③，即a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1，反证法:假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b〉2矛盾，因此假设不成立，a，b中至少有一个大于1.7．图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是。
2019-2020学年人教版高中数学选修2-2第二章推理与证明同步训练卷(二)
2019-2020学年选修2-2第二章训练卷推理与证明（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．有如下一段演绎推理：“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，这个推理的结论显然是错误的，是因为（ ） A ．大前提错误 B ．小前提错误 C ．推理形式错误D ．非以上错误【答案】C【解析】该推理的推理形式不符合三段论推理的要求，故推出的结论错误． 2．设π02θ<<，已知12cos a θ=，12n n a a +=+，则猜想n a =（ ） A ．2cos2nθB ．12cos2n θ-C ．12cos2n θ+D ．2sin2nθ【答案】B【解析】∵12cos a θ=，2222cos 2(1cos )=22cos 2cos22a θθθθ=+=+⨯=，2322cos2(1cos )=22cos 2cos 2244a θθθθ=+=+⨯=， ∴猜想12cos2n n a θ-=．3．已知0a b c ++=，则ab bc ca ++的值（ ） A ．大于0 B ．小于0 C ．不小于0 D ．不大于0【答案】D【解析】由2222()2()0a b c a b c ab bc ca ++=+++++=， 知2221()02ab bc ca a b c ++=-++≤． 4．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为（ ） A ．62n - B ．82n -C ．62n +D ．82n +【答案】C【解析】归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，通项公式为62n a n =+．5．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1111112341n n-+-++--L 1112()242n n n=+++++L 时，若已假设(2n k k =≥且为偶数)真，则还需利用归纳假设再证（ ）A ．1n k =+时等式成立B ．2n k =+时等式成立此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号C ．22n k =+时等式成立D ．2(2)n k =+时等式成立【答案】B【解析】由于k 是偶数，故2k +是k 后面的第1个偶数． 6．有以下结论：（1）已知332p q +=，求证2p q +≤，用反证法证明时，可假设2p q +≥； （2）已知a ，b R ∈，||||1a b +<，求证方程20x ax b ++=的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程至少有一根1x 的绝对值大于或等于1．下列说法中正确的是（ ） A ．（1）与（2）的假设都错误 B ．（1）与（2）的假设都正确 C ．（1）的假设正确；（2）的假设错误 D ．（1）的假设错误；（2）的假设正确 【答案】D【解析】用反证法证题时一定要将对立面找全，在（1）中应假设2p q +>． 故（1）的假设是错误的，而（2）的假设是正确的．7．已知1()cos f x x =，21()()f x f x '=，32()()f x f x '=，43()()f x f x '=，L ，1()()n n f x f x -'=，则2019()f x 等于（ ）A ．sin xB ．sin x -C ．cos xD ．cos x -【答案】D【解析】由已知，有1()cos f x x =，2()sin f x x =-，3()cos f x x =-，4()sin f x x =，5()cos f x x =，可以归纳出：4()sin n f x x =，41()cos n f x x +=，42()sin n f x x +=-，43()cos ()n f x x n +=-∈*N ．故20193()()cos f x f x x ==-．8．已知a ，b ，c 是ABC △的内角A ，B ，C 对应的三边，若满足222a b c +=，即22()()1a b cc+=，则ABC △为直角三角形，类比此结论可知，若满足(,3)n n n a b c n n +=∈≥N ，则ABC △的形状为（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．以上都有可能【答案】A【解析】由题意知角C 最大，由(,3)nnna b c n n +=∈≥N ， 得()()1(,3)nna b n n cc+=∈≥N ，又c a >，c b >，所以22()()()()1nna b a b cccc+>+=，即222a b c +>，所以222cos 02a b c C ab +-=>，所以π02C <<，故ABC △为锐角三角形． 9．观察下列事实：||||1x y +=的不同整数解(,)x y 的个数为4，||||2x y +=的不同整数解(,)x y 的个数为8，||||3x y +=的不同整数解(,)x y 的个数为12，...，则||||20x y +=的不同整数解(,)x y 的个数为（ ） A ．76 B ．80C ．86D ．92【答案】B【解析】通过观察可以发现||||x y +的值为1，2，3时， 对应的(,)x y 的不同整数解的个数为4，8，12，可推出||||x y n +=时，对应的不同整数解(,)x y 个数为4n ，∴||||20x y +=的不同整数解(,)x y 的个数为80．10．已知各项均不为零的数列{}n a ，定义向量1(,)n n n a a +=c ，(,1)n n n =+b ，n ∈*N ．下列命题中真命题是（ ）A ．若n ∀∈*N ，总有n n ∥c b 成立，则数列{}n a 是等差数列 B ．若n ∀∈*N ，总有n n ∥c b 成立，则数列{}n a 是等比数列C ．若n ∀∈*N ，总有n n ⊥c b 成立，则数列{}n a 是等差数列D ．若n ∀∈*N ，总有n n ⊥c b 成立，则数列{}n a 是等比数列 【答案】A【解析】∵对n ∀∈*N 总有n n ∥c b ，则存在实数0λ≠，使n n λ=c b ，∴n a n λ=，∴{}n a 是等差数列．11．如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横、纵坐标分别对应数列{}()n a n ∈*N 的前12项，如下表所示：按如此规律下去，则2019a =（ ） A ．504 B ．504-C ．505-D ．505【答案】C【解析】由1a ，3a ，5a ，7a ，L 组成的数列恰好对应数列1x ，2x ，3x ，4x ，L 故21n n x a -=，所以20191010505a x ==-．12．设a ，b ∈R ，定义运算“∧”和“∨”如下：,,a ab a b b a b≤⎧∧=⎨>⎩，,,b a ba b a a b≤⎧∨=⎨>⎩； 若正数a ，b ，c ，d 满足4ab ≥，4c d +≤，则（ ） A ．2a b ∧≥，2c d ∧≤ B ．2a b ∧≥，2c d ∨≥ C ．2a b ∨≥，2c d ∧≤ D ．2a b ∨≥，2c d ∨≥【答案】C【解析】从定义知，min(,)a b a b ∧=，即求a ，b 中的最小值；max(,)a b a b ∨=，即求a ，b 中的最大值；假设02a <<，02b <<，则4ab <，与已知4ab ≥相矛盾， 则假设不成立，故max(,)2a b ≥，即2a b ∨≥；假设2c >，2d >，则4c d +>，与已知4c d +≤相矛盾，则假设不成立， 故min(,)2c d ≤，即2c d ∧≤．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为 ． 【答案】A【解析】由甲、丙的回答易知甲去过A 城市和C 城市，乙去过A 城市或C 城市，结合乙的回答可得乙去过A 城市．14．设函数()(0)2xf x x x =>+，观察： 1()()2xf x f x x ==+， 21()(())34xf x f f x x ==+，32()(())78xf x f f x x ==+，43()(())1516xf x f f x x ==+，L根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈*N 且2n ≥时，1()(())n n f x f f x -== ．【答案】(21)2n nxx -+ 【解析】由已知可归纳如下：111()(21)2xf x x =-+，222()(21)2x f x x =-+，333()(21)2xf x x =-+， 444()(21)2x f x x =-+，L ，()(21)2nn nxf x x =-+． 15．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn nm =”类比得到“⋅=⋅a b b a ”；②“()m n t mt nt +=+”类比得到“()+⋅=⋅+⋅a b c a c b c ”；③“0t ≠，mt nt m n =⇒=”类比得到“≠0c ，⋅=⋅⇒=a c b c a b ”； ④“||||||m n m n ⋅=⋅”类比得到“||||||⋅=⋅a b a b ”；⑤“()()m n t m n t ⋅=⋅”类比得到“()()⋅⋅=⋅⋅a b c a b c ”；⑥“ac a bc b =”类比得到“⋅=⋅a c a b c b”． 以上类比得到的结论正确的是 ． 【答案】①②【解析】①②都正确，由向量不能相除，故③⑥错误，④可由数量积定义判断，故错误；⑤向量中结合律不成立，故错误．16．将正整数12分成两个正整数的乘积有112⨯，26⨯，34⨯三种，其中34⨯是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称34⨯为12的最佳分解．当(p q p q ⨯≤且p ，)q ∈*N 是正整数n 的最佳分解时，我们规定函数()pf n q=，例如：3(12)4f =． 关于函数()f n 有下列叙述：①1(7)7f =；②3(24)8f =；③4(28)7f =； ④9(144)16f =，其中所有的正确的序号为 ． 【答案】①③【解析】利用题干中提供的新定义信息可得， 对于①：∵717=⨯，∴1(7)7f =，①正确； 对于②，∵241242123846=⨯=⨯=⨯=⨯，∴42(24)63f ==，②不正确； 对于③，∵2812821447=⨯=⨯=⨯，∴4(28)7f =，③正确； 对于④，∵14411442723484366248189161212=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯，∴12(144)112f ==，④不正确．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．（10分）观察下面所示的“三角数阵”记第n 行的第2个数为*(2,)n a n n N ≥∈，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成下列各题：（1）依次写出2a 、3a 、4a 、5a ；（2）归纳出1n a +与n a 的关系式并求出数列{}(2,)n a n n ≥∈*N 的通项公式．【答案】（1）22a =，34a =，47a =，511a =；（2）1(2,)n n a a n n n +=+≥∈*N ，2111(2,)22n a n n n n =-+≥∈*N ．【解析】（1）22a =，34a =，47a =，511a =． （2）∵322a a =+，433a a =+，544a a =+，由此归纳1(2,)n n a a n n n +=+≥∈*N ．由1123212(3,)2n n n n a a n a a n n n a a ----=-⎧⎪-=-⎪≥∈⎨⎪⎪-=⎩*N L ，累加得2(2)(1)2n n n a a -+-=，且当2n =时，22n a a ==， 故2(2)(1)1121(2,)222n n n a n n n n -+=+=-+≥∈*N ．18．（12分）若a 、b 、c 均为实数，且2π22a x y =-+，2π23b y z =-+，2π26c z x =-+，求证：a 、b 、c 中至少有一个大于0． 【答案】证明见解析．【解析】假设a 、b 、c 都不大于0，且0a ≤，0b ≤，0c ≤，∴0a b c ++≤． 而222π2(2)(2)236ππa b c x y y z z x ⎛⎫++=-++-++-+ ⎪⎝⎭ 222(2)(2()2)πx x y y z z =-+-+-+ 222(1)(1)(1)π3x y z =-+-+-+-．∴0a b c ++>，这与0a b c ++≤矛盾． 故a 、b 、c 中至少有一个大于0．19．（12分）（1）求证：2233()a b ab a b ++≥++；（2）已知a ，b ，c 均为正实数，且1a b c ++=，求证：111(1)(1)(1)8a b c---≥． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）∵222a b ab +≥，2323a a +≥，2323b b +≥（当且仅当3a b ==将此三式相加得()222322323a b ab a b ++≥++，∴2233()a b ab a b ++≥+．（2）∵a ，b ，c 均为正实数，且1a b c ++=， ∴11(1)(1)1(1)a b c a a b c b a b c a c cb a b c++-++-++=⋅⋅----2228b c a c a b bc ac aba b c a b c +++=⋅⋅≥⋅⋅⋅=（当且仅当13a b c ===时取等号）故111(1)(1)(1)8a b c---≥．20．（12分）已知ABC △的三个内角A ，B ，C 为等差数列，且a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，求证：111()()3()a b b c a b c ---+++=++．【答案】证明见解析．【解析】要证明111()()3()a b b c a b c ---+++=++，即证113a b b c a b c+=++++， 只需证3a b c a b c a b b c +++++=++，化简得1c aa b b c+=++，即()() ()()c b c a b a a b b c +++=++，∴只需证222c a b ac +=+．∵ABC △的三个内角A ，B ，C 成等差数列，∴60B =︒，∴2221cos 22a cb B ac +-==，即222a c b ac +-=成立．∴111()()3()a b b c a b c ---+++=++成立．21．（12分）试求常数m 的范围，使曲线2y x =的所有弦都不能被直线(3)y m x =-垂直平分．【答案】12m m ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭．【解析】假设抛物线上存在两点211(,)x x ，222(,)x x 关于直线(3)y m x =-对称，由题意易知0m ≠，故满足221212221212(3)221x x x x m x x x x m ⎧++=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪-⎩， 消去2x ，得2112212610x x m m m++++=． 由2221()8(61)0Δm m m=-++>，得2(21)(621)0m m m +-+<．故12m <-，即当12m <-时，抛物线上存在两点关于直线(3)y m x =-对称． 而原题要求所有弦都不能被直线垂直平分，那么所求m 的范围为12m m ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭．22．（12分）已知函数()()f n n ∈*N 满足条件：①(2)2f =，②()()()f xy f x f y =⋅，③()f n ∈*N ，④当x y >时，有()()f x f y >． （1）求(1)f ，(3)f 的值；（2）由(1)f ，(2)f ，(3)f 的值，猜想()f n 的解析式； （3）证明你猜想的()f n 的解析式的正确性．【答案】（1）(1)1f =，(3)3f =；（2）()()f n n n =∈*N ；（3）证明见解析． 【解析】（1）∵(2)(21)(2)(1)f f f f =⨯=⋅， 又(2)2f =，∴(1)1f =．又∵(4)(22)(2)(2)4f f f f =⨯=⋅=，2(2)(3)(4)4f f f =<<=，且(3)f ∈*N ，∴(3)3f =．（2）由(1)1f =，(2)2f =，(3)3f =，猜想()()f n n n =∈*N ． （3）用数学归纳法证明：（ⅰ）当1n =时，(1)1f =，函数解析式成立．（ⅱ）假设()n k k =∈*N 时，()f k k =，函数解析式成立．①若12()k m m +=∈*N ，(1)(2)(2)()21f k f m f f m m k +==⋅==+．②若121()k m m +=+∈*N ，(22)[2(1)](2)(1)2(1)22f m f m f f m m m +=+=⋅+=+=+， 2(2)(21)(22)22m f m f m f m m =<+<+=+，∴(1)(21)211f k f m m k +=+=+=+． 即当1n k =+时，函数解析式成立．综合（ⅰ）（ⅱ）可知，()()f n n n =∈*N 成立．。
高中数学人教A版选修22第二章推理与证明练习题含答案详解
文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.第二章 推理与证明本章练测建议用时 实际用时满分 实际得分120分钟150分一、 选择题（本题共8小题，每小题7分，共56分） 1.已知p 是q 的充分不必要条件，则q ⌝是p ⌝的（ ）Ａ. 充分不必要条件 Ｂ. 必要不充分条件Ｃ. 充要条件 Ｄ. 既不充分也不必要条件 2．设a 、b 、c 都是正数，则1a b +,1b c +,1c a+三个数（ ）A.都大于2B.至少有一个大于2C.至少有一个不大于2D.至少有一个不小于23．在△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且cos cos a bA B=，则△ABC 一定是（ ） Ａ. 等腰三角形 Ｂ. 直角三角形 Ｃ.等边三角形 Ｄ. 等腰直角三角形4．给定正整数n(n ≥2)按下图方式构成三角形数表；第一行依次写上数1，2，3，…，n ，在下面一行的每相邻两个数的正中间上方写上这两个数之和，得到上面一行的数（比下一行少一个数），依次类推，最后一行（第n 行）只有一个数.例如n=6时数表如图所示，则当n=2 007时最后一行的数是（ ）A ．251×22 007 B.2 007×22 006 C.251×22 008 D.2 007×22 005 5.如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横、纵坐标分别对应数列{a n }(n ∈N *)的前12项（即横坐标为奇数项，纵坐标为偶数项），按如此规律下去,则 a 2 009+a 2 010+a 2 011等于( )A.1 003B.1 005C.1 006D.2 0116.平面内有4个圆和1条抛物线，它们可将平面分成的区域的个数最多是（ ）A.29B.30C.31D.32 7.下面使用类比推理正确的是A ．“若33,a b ⋅=⋅则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅，则a b =B ．“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ⋅=⋅”C ．“若()a b c ac bc +=+”类推出“(0)a b a bc c c c+=+≠”D ．“()nn nab a b =”类推出“()nnna b a b +=+ 8.已知函数()y f x =的定义域为D ，若对于任意的1212,()x x D x x ∈≠，都有1212()()()22x x f x f x f ++<，则称()y f x =为D 上的凹函数.由此可得下列函数中的凹函数为（ ）Ａ.2log y x = B.y x =C.2y x =D.3y x =二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 9.对于等差数列{}n a 有如下命题：“若{}n a 是等差数列，01=a ，t s 、是互不相等的正整数，则有011=---s t a t a s ）（）（”。
2019-2020新人教B版数学选修2-2 章末综合测评2 推理与证明
章末综合测评(二)推理与证明(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下面四个推理不是合情推理的是()A．由圆的性质类比推出球的有关性质B．由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°C．某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分D．蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的[解析]逐项分析可知，A项属于类比推理，B项和D项属于归纳推理，而C项中各个学生的成绩不能类比，不是合情推理．[答案] C2．根据偶函数定义可推得“函数f(x)＝x2在R上是偶函数”的推理过程是()A．归纳推理B．类比推理C．演绎推理D．非以上答案[解析]根据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理，故选C.[答案] C3．下列推理是归纳推理的是()A．A，B为定点，动点P满足|P A|＋|PB|＝2a>|AB|，得P的轨迹为椭圆B．由a1＝1，a n＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜出椭圆x2a2＋y2b2＝1的面积S＝πabD．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇[解析]由归纳推理的特点知，选B. [答案] B4．“凡是自然数都是整数，4是自然数，所以4是整数．”以上三段论推理( )A ．完全正确B ．推理形式不正确C ．不正确，两个“自然数”概念不一致D ．不正确，两个“整数”概念不一致[解析] 大前提“凡是自然数都是整数”正确．小前提“4是自然数”也正确，推理形式符合演绎推理规则，所以结论正确．[答案] A5．用数学归纳法证明“5n －2n 能被3整除”的第二步中，当n ＝k ＋1时，为了使用假设，应将5k ＋1－2k ＋1变形为( )A ．(5k －2k )＋4×5k －2kB ．5(5k －2k )＋3×2kC ．(5－2)(5k －2k )D ．2(5k －2k )－3×5k[解析] 5k ＋1－2k ＋1＝5k ·5－2k ·2＝5k ·5－2k ·5＋2k ·5－2k ·2＝5(5k －2k )＋3·2k . [答案] B6．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…－1n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n 时，若已假设n ＝k (k ≥2且k 为偶数)时等式成立，则还需要用归纳假设再证n ＝________时等式成立．( )A ．k ＋1B ．k ＋2C ．2k ＋2D ．2(k ＋2)[解析] 根据数学归纳法的步骤可知，n ＝k (k ≥2且k 为偶数)的下一个偶数为n ＝k ＋2，故选B.[答案] B7．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )A ．28B ．76C ．123D ．199[解析]利用归纳法，a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4＝3＋1，a4＋b4＝4＋3＝7，a5＋b5＝7＋4＝11，a6＋b6＝11＋7＝18，a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝76，a10＋b10＝76＋47＝123，规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和．[答案] C8．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c ＝0，求证：b2－ac<3a”最终的索因应是()A．a－b>0 B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0[解析]因为a>b>c，且a＋b＋c＝0，所以3c<a＋b＋c<3a，即a>0，c<0.要证明b2－ac<3a，只需证明b2－ac<3a2，只需证明(－a－c)2－ac<3a2，只需证明2a2－ac－c2>0，只需证明2a＋c>0(a>0，c<0，则a－c>0)，只需证明a ＋c＋(－b－c)>0，即证明a－b>0，这显然成立，故选A.[答案] A9．在等差数列{a n}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19且n∈N＋)成立，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b11＝1，则有()A．b1·b2·…·b n＝b1·b2·…·b19－nB．b1·b2·…·b n＝b1·b2·…·b21－nC．b1＋b2＋…＋b n＝b1＋b2＋…＋b19－nD．b1＋b2＋…＋b n＝b1＋b2＋…＋b21－n[解析]令n＝10时，验证即知选B.[答案] B10．将石子摆成如图的梯形形状．称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2 020项与5的差，即a2 020－5＝()A．2 019×2 014 B．2 018×2 013C．1 013×2 020 D．2 019×1 013[解析] a n －5表示第n 个梯形有n －1层点，最上面一层为4个，最下面一层为n ＋2个．∴a n －5＝(n －1)(n ＋6)2，∴a 2 020－5＝2 019×2 0262＝2 019×1 013.[答案] D11．在直角坐标系xOy 中，一个质点从A (a 1，a 2)出发沿图中路线依次经过B (a 3，a 4)，C (a 5，a 6)，D (a 7，a 8)，…，按此规律一直运动下去，则a 2 017＋a 2 018＋a 2 019＝( )A ．1 006B ．1 007C ．1 008D ．1 009[解析] 依题意a 1＝1，a 2＝1；a 3＝－1，a 4＝2；a 5＝2，a 6＝3；…，归纳可得a 1＋a 3＝1－1＝0，a 5＋a 7＝2－2＝0，…，进而可归纳得a 2 017＋a 2 019＝0，a 2＝1，a 4＝2，a 6＝3，…，进而可归纳得a 2 018＝12×2 018＝1 009，a 2 017＋a 2 018＋a 2 019＝1 009.故选D.[答案] D12．有编号依次为1,2,3,4,5,6的6名学生参加数学竞赛选拔赛，今有甲、乙、丙、丁四位老师在猜谁将得第一名，甲猜不是3号就是5号；乙猜6号不可能；丙猜2号，3号，4号都不可能；丁猜是1号，2号，4号中的某一个．若以上四位老师中只有一位老师猜对，则猜对者是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁[解析] 若1号是第1名，则甲错，乙对，丙对，丁对，不符合题意；若2号是第1名，则甲错，乙对，丙错，丁对，不符合题意； 若3号是第1名，则甲对，乙对，丙错，丁错，不符合题意； 若4号是第1名，则甲错，乙对，丙错，丁对，不符合题意； 若5号是第1名，则甲对，乙对，丙对，丁错，不符合题意； 若6号是第1名，则甲错，乙错，丙对，丁错，符合题意． 故猜对者是丙． [答案] C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知圆的方程是x 2＋y 2＝r 2，则经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.类比上述性质，可以得到椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1类似的性质为__________．[解析] 圆的性质中，经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与y 分别用M (x 0，y 0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1类似的性质为：过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb2＝1．[答案] 经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb 2＝1 14．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个“整数对”是________ .[解析] 依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第n 组中每个“整数对”的和均为n ＋1，且第n 组共有n 个“整数对”，这样的前n 组一共有n (n ＋1)2个“整数对”，注意到10×(10＋1)2＜60＜11×(11＋1)2，因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个“整数对”是(5,7)．[答案] (5,7)15．当n ＝1时，有(a －b )(a ＋b )＝a 2－b 2，当n ＝2时，有(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝a 3－b 3，当n ＝3时，有(a －b )(a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3)＝a 4－b 4，当n ∈N ＋时，你能得到的结论是__________．[解析] 根据题意，由于当n ＝1时，有(a －b )(a ＋b )＝a 2－b 2，当n ＝2时，有(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝a 3－b 3，当n ＝3时，有(a －b )(a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3)＝a 4－b 4，当n ∈N ＋时，左边第二个因式可知为a n ＋a n －1b ＋…＋ab n －1＋b n ，那么对应的表达式为(a －b )·(a n ＋a n －1b＋…＋ab n －1＋b n )＝a n ＋1－b n ＋1．[答案] (a －b )(a n ＋a n －1b ＋…＋ab n －1＋b n )＝a n ＋1－b n ＋116．如图，如果一个凸多面体是n (n ∈N ＋)棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有________条，这些直线共有f (n )对异面直线，则f (4)＝________，f (n )＝__________.(答案用数字或n 的解析式表示)[解析] 所有顶点所确定的直线共有棱数＋底边数＋对角线数＝n ＋n ＋n (n －3)2＝n (n ＋1)2.从题图中能看出四棱锥中异面直线的对数为f (4)＝4×2＋4×12×2＝12，所以f (n )＝n (n －2)＋n (n －3)2·(n －2)＝n (n －1)(n －2)2.[答案]n (n ＋1)2 12 n (n －1)(n －2)2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)用综合法或分析法证明： (1)如果a ，b >0，则lg a ＋b 2≥lg a ＋lg b2；(2)6＋10>23＋2.[证明] (1)当a ，b >0时，有a ＋b2≥ab ， ∴lg a ＋b2≥lg ab ，∴lga ＋b 2≥12lg ab ＝lg a ＋lg b2. (2)要证6＋10>23＋2， 只要证(6＋10)2>(23＋2)2， 即260>248，这是显然成立的， 所以，原不等式成立．18．(本小题满分12分)观察以下各等式： sin 230°＋cos 260°＋sin 30°cos 60°＝34，sin 220°＋cos 250°＋sin 20°cos 50°＝34， sin 215°＋cos 245°＋sin 15°cos 45°＝34.分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．[解] 猜想：sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°) ＝sin 2α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α2＋sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α＝sin 2α＋34cos 2α－32sin αcos α＋14sin 2α＋32sin α·cos α－12sin 2α ＝34sin 2α＋34cos 2α ＝34.19．(本小题满分12分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn (n ∈N ＋)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．[解] (1)由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2.故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)由(1)得b n ＝S nn ＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， ∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0， ∵p ，q ，r ∈N ＋，∴⎩⎨⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∴⎝⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0. ∴p ＝r ，与p ≠r 矛盾．∴数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列．20．(本小题满分12分)点P 为斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱BB 1上一点，PM ⊥BB 1交AA 1于点M ，PN ⊥BB 1交CC 1于点N .(1)求证：CC 1⊥MN ；(2)在任意△DEF 中有余弦定理：DE 2＝DF 2＋EF 2－2DF ·EF ·cos ∠DF E.扩展到空间类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．[解] (1)因为PM ⊥BB 1，PN ⊥BB 1，又PM ∩PN ＝P ， 所以BB 1⊥平面PMN ，所以BB 1⊥MN . 又CC 1∥BB 1，所以CC 1⊥MN .(2)在斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，有S 2ABB 1A 1＝S 2BCC 1B 1＋S 2ACC 1A 1－2SBCC 1B 1SACC 1A 1cos α.其中α为平面BCC 1B 1与平面ACC 1A 1所成的二面角． 证明如下：因为CC1⊥平面PMN，所以上述的二面角的平面角为∠MNP.在△PMN中，因为PM2＝PN2＋MN2－2PN·MN cos∠MNP，所以PM2·CC21＝PN2·CC21＋MN2·CC21－2(PN·CC1)·(MN·CC1)cos∠MNP，由于SBCC1B1＝PN·CC1，SACC1A1＝MN·CC1，SABB1A1＝PM·BB1＝PM·CC1，所以S2ABB1A1＝S2BCC1B1＋S2ACC1A1－2SBCC1B1·SACC1A1·cos α.21．(本小题满分12分)如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知P A⊥AC，P A＝6，BC＝8，DF＝5.求证：(1)直线P A∥平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC.[证明](1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DE∥P A.又因为P A⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，所以直线P A∥平面DEF.(2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，P A＝6，BC＝8，所以DE∥P A，DE＝12P A＝3，EF＝12BC＝4.又因为DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2，所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF.又P A⊥AC，DE∥P A，所以DE⊥AC.因为AC∩EF＝E，AC⊂平面ABC，EF⊂平面ABC，所以DE⊥平面ABC.又DE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC.22．(本小题满分12分)在数列{a n}中，a1＝1，a2＝14，且a n＋1＝(n－1)a nn－a n(n≥2)．(1)求a 3，a 4，猜想a n 的表达式，并加以证明；(2)设b n ＝a n ·a n ＋1a n ＋a n ＋1， 求证：对任意的n ∈N ＋，都有b 1＋b 2＋…＋b n <n 3.[解] (1)容易求得：a 3＝17，a 4＝110. 故可以猜想a n ＝13n －2，n ∈N ＋.下面利用数学归纳法加以证明： ①显然当n ＝1,2,3,4时，结论成立，②假设当n ＝k (k ≥4，k ∈N ＋)时，结论也成立，即 a k ＝13k －2. 那么当n ＝k ＋1时，由题设与归纳假设可知： a k ＋1＝(k －1)a kk －a k＝(k －1)×13k －2k －13k －2＝k －13k 2－2k －1＝k －1(3k ＋1)(k －1)＝13k ＋1＝13(k ＋1)－2. 即当n ＝k ＋1时，结论也成立，综上，对任意n ∈N ＋，a n ＝13n －2成立． (2)b n ＝a n ·a n ＋1a n ＋a n ＋1＝13n －2·13n ＋113n －2＋13n ＋1＝13n ＋1＋3n －2＝13(3n ＋1－3n －2)， 所以b 1＋b 2＋…＋b n＝13[(4－1)＋(7－4)＋(10－7)＋…＋(3n＋1－3n－2)]＝13(3n＋1－1)，所以只需要证明13(3n＋1－1)<n3⇔3n＋1<3n＋1⇔3n＋1<3n＋23n＋1⇔0<23n(显然成立)，所以对任意的n∈N＋，都有b1＋b2＋…＋b n<n3.。
2019_2020学年高中数学第2章推理与证明单元质量测评一新人教a版选修2_2
第二章 推理与证明 单元质量测评(一)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．类比平面正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，则在正四面体的下列性质中，你认为比较恰当的是( )①各棱长相等，共顶点的任意两条棱的夹角都相等； ②各个面的面积相等，任意相邻两个面所成的二面角都相等； ③各个面的面积相等，共顶点的任意两条棱的夹角都相等． A ．① B ．①② C ．①②③ D ．③ 答案 C解析 由平面几何与立体几何的类比特点可知三条性质都是恰当的．2．由“12<23，23<45，24<57”得出“若a >b >0且m >0，则b a <b ＋m a ＋m ”这个推导过程使用的方法是( )A ．数学归纳法B ．演绎推理C ．类比推理D ．归纳推理答案 D解析 本题是从个别到一般的推理，是归纳推理．3．设f (x )(x ∈R )为奇函数，f (1)＝12，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (5)等于( )A ．0B ．1 C.52 D ．5答案 C解析 ∵f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)， ∴令x ＝－1，则有f (1)＝f (－1)＋f (2)， ∴f (2)＝2f (1)．又∵f (1)＝12，∴f (2)＝1，∴f (5)＝f (3＋2)＝f (3)＋f (2) ＝2f (2)＋f (1) ＝2＋12＝52.4．“所有是9的倍数的数都是3的倍数，5不是9的倍数，故5不是3的倍数．”上述推理( )A ．不是三段论推理，且结论不正确B ．不是三段论推理，但结论正确C ．是三段论推理，但小前提错误D ．是三段论推理，但大前提错误 答案 B解析 题目中的推理不是三段论推理，但结论正确．5．已知x 1＞0，x 1≠1且x n ＋1＝x n (x 2n ＋3)3x 2n ＋1(n ＝1,2，…)，试证“数列{x n }对任意正整数n 都满足x n ＜x n ＋1，或者对任意正整数n 都满足x n ＞x n ＋1”，当此题用反证法否定结论时，应为( )A ．对任意的正整数n ，都有x n ＝x n ＋1B ．存在正整数n ，使x n ＝x n ＋1C ．存在正整数n ，使x n ≥x n ＋1且x n ≤x n －1D ．存在正整数n ，使(x n －x n －1)(x n －x n ＋1)≥0 答案 D解析 命题的结论是“数列{x n }是递增数列或是递减数列”，其反设是“数列{x n }既不是递增数列，也不是递减数列”，即“存在正整数n ，使(x n －x n －1)(x n －x n ＋1)≥0”．故应选D.6．如果p (n )对n ＝k (k ∈N *)成立，则它对n ＝k ＋2也成立．已知p (n )对n ＝2成立，则下列结论正确的是( )A ．p (n )对所有正整数n 都成立B ．p (n )对所有正偶数n 都成立C ．p (n )对大于或等于2的正整数n 都成立D ．p (n )对所有自然数n 都成立 答案 B解析 ∵p (n )对n ＝2成立，2为偶数，∴根据题意知p (n )对所有正偶数n 都成立．故选B.7．将自然数0,1,2，…按照如下形式进行摆列：根据以上规律判定，从2016到2018的箭头方向是( )答案 A解析 从所给的图形中观察得到规律：每隔四个单位，箭头的走向是一样的，比如说，0→1，箭头垂直指下，4→5，箭头也是垂直指下，8→9也是如此，而2016＝4×504，所以2016→2017也是箭头垂直指下，之后2017→2018的箭头是水平向右，故选A.8．已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，abc >0，则1a ＋1b ＋1c的值( )A ．一定是正数B ．一定是负数C ．可能是零D ．正、负不能确定答案 B解析 ∵(a ＋b ＋c )2＝0，∴ab ＋bc ＋ac ＝－12(a 2＋b 2＋c 2)<0.又abc >0，∴1a ＋1b ＋1c ＝ab ＋bc ＋acabc<0.9．若sin A a ＝cos B b＝cos C c，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．有一个内角为30°的直角三角形C ．等腰直角三角形D ．有一个角为30°的等腰三角形 答案 C解析 ∵sin A a ＝cos B b ＝cos C c ，由正弦定理，得sin A a ＝sin B b ＝sin C c，∴sin B b ＝cos B b＝cos C c＝sin Cc.∴sin B ＝cos B ，sin C ＝cos C .∴∠B ＝∠C ＝45°，∴△ABC 是等腰直角三角形．10．如图，在所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性，应为( )答案 A解析 每一行三个图形的变化规律：第一个图形逆时针旋转90°得到第二个图形，第二个图形上下翻折得到第三个图形，所以选A.11．我们知道：在平面内，点(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2，通过类比的方法，可求得：在空间中，点(2,4,1)到平面x ＋2y ＋3z ＋3＝0的距离为( )A ．3B ．5 C.8147 D ．3 5答案 C解析 类比点(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2，可知在空间中，点(2,4,1)到平面x ＋2y ＋3z ＋3＝0的距离为|2＋8＋3＋3|1＋4＋9＝8147.12．某人在上楼梯时，一步上一个台阶或两个台阶，设他从平地上到第一级台阶时有f (1)种走法，从平地上到第二级台阶时有f (2)种走法，…则他从平地上到第n (n ≥3)级台阶时的走法f (n )等于( )A ．f (n －1)＋1B ．f (n －2)＋2C ．f (n －2)＋1D ．f (n －1)＋f (n －2)答案 D解析 到第n 级台阶可分两类：从第n －2级一步到第n 级有f (n －2)种走法，从第n －1级到第n 级有f (n －1)种走法，共有f (n －1)＋f (n －2)种走法．第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若a ，b ，c 为Rt △ABC 的三边，其中c 为斜边，那么a n＋b n与c n(其中n ∈N *，且n ＞2)的大小关系是________．答案 a n＋b n＜c n解析 ∵0＜a c ＜1,0＜b c＜1， 当n ＞2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫a c2，⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2，∴a n ＋b n c n ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＝1，∴a n＋b n＜c n.14．在等差数列{a n }中，若公差为d ，且a 1＝d ，那么有a m ＋a n ＝a m ＋n ，类比上述性质，写出在等比数列{a n }中类似的性质：__________________________________________________________________.答案 在等比数列{a n }中，若公比为q ，且a 1＝q ，则a m ·a n ＝a m ＋n解析 等差数列中两项之和类比等比数列中两项之积，故在等比数列中，类似的性质是“在等比数列{a n }中，若公比为q ，且a 1＝q ，则a m ·a n ＝a m ＋n ”．15．观察分析下表中的数据：答案 F ＋V －E ＝2解析 观察F ，V ，E 的变化得F ＋V －E ＝2.16．一个二元码是由0和1组成的数字串x 1x 2…x n (n ∈N *)，其中x k (k ＝1,2，…，n )称为第k 位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0)．已知某种二元码x 1x 2…x 7的码元满足如下校验方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝0，x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝0，x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝0，其中运算⊕定义为：0⊕0＝0，0⊕1＝1,1⊕0＝1,1⊕1＝0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于________．答案 5解析 因为x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝1⊕1⊕0⊕1＝0⊕0⊕1＝0⊕1＝1≠0，所以二元码1101101的前3位码元都是对的；因为x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝1⊕0⊕0⊕1＝1⊕0⊕1＝1⊕1＝0，所以二元码1101101的第6、7位码元也是对的；因为x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝1⊕0⊕1⊕1＝1⊕1⊕1＝0⊕1＝1≠0，所以二元码1101101的第5位码元是错的，所以k ＝5.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知n ≥0，试用分析法证明：n ＋2－n ＋1＜n ＋1－n .证明 要证n ＋2－n ＋1＜n ＋1－n 成立， 需证明n ＋2＋n ＜2n ＋1.只需证明(n ＋2＋n )2＜(2n ＋1)2， 只需证明n ＋1＞ n 2＋2n ， 只需证明(n ＋1)2＞n 2＋2n ， 只需证明n 2＋2n ＋1＞n 2＋2n ， 只需证明1＞0.因为1＞0显然成立，所以原命题成立．18．(本小题满分12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＝2－S n (n ∈N *)． (1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值并写出数列{a n }的通项公式； (2)用三段论证明数列{a n }是等比数列． 解 (1)由a n ＝2－S n ，得a 1＝1，a 2＝12，a 3＝14，a 4＝18.猜想a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1(n ∈N *)．(2)证明：对于数列{a n }，若a n ＋1a n＝p ，p 是非零常数，则{a n }是等比数列．大前提 因为a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，n ∈N *，且a n ＋1a n ＝12，小前提所以通项公式为a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1的数列{a n }是等比数列．结论19．(本小题满分12分)先解答(1)，再通过结构类比解答(2)：(1)求证：tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1＋tan x 1－tan x ；(2)设x ∈R ，a 为非零常数，且f (x ＋a )＝1＋f (x )1－f (x )，试问：f (x )是周期函数吗？证明你的结论．解 (1)证明：根据两角和的正切公式得tan ( x ＋π4 )＝tan x ＋tanπ41－tan x tanπ4＝tan x ＋11－tan x ＝1＋tan x 1－tan x，即tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1＋tan x 1－tan x ，命题得证． (2)猜想f (x )是以4a 为周期的周期函数．因为f (x ＋2a )＝f [(x ＋a )＋a ]＝1＋f (x ＋a )1－f (x ＋a )＝1＋1＋f (x )1－f (x )1－1＋f (x )1－f (x )＝－1f (x )，所以f (x ＋4a )＝f [(x ＋2a )＋2a ]＝－1f (x ＋2a )＝f (x )．所以f (x )是以4a 为周期的周期函数．20．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1⊥A 1B 1.求证：(1)直线DE ∥平面A 1C 1F ； (2)平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .证明 (1)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1C 1∥AC . 在△ABC 中，因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点， 所以DE ∥AC ，于是DE ∥A 1C 1. 又DE ⊄平面A 1C 1F ，A 1C 1⊂平面A 1C 1F ， 所以直线DE ∥平面A 1C 1F .(2)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面A 1B 1C 1. 因为A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1，所以A 1A ⊥A 1C 1.又A 1C 1⊥A 1B 1，A 1A ⊂平面ABB 1A 1，A 1B 1⊂平面ABB 1A 1，A 1A ∩A 1B 1＝A 1，所以A 1C 1⊥平面ABB 1A 1. 因为B 1D ⊂平面ABB 1A 1，所以A 1C 1⊥B 1D .又B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1⊂平面A 1C 1F ，A 1F ⊂平面A 1C 1F ，A 1C 1∩A 1F ＝A 1， 所以B 1D ⊥平面A 1C 1F .因为直线B 1D ⊂平面B 1DE ，所以平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .21．(本小题满分12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意n ∈N *都有：(S n －1)2＝a n S n . (1)求S 1，S 2，S 3；(2)猜想S n 的表达式并证明．解 (1)(S n －1)2＝(S n －S n －1)S n ，所以S n ＝12－S n －1.又(S 1－1)2＝S 21，所以S 1＝12，S 2＝23，S 3＝34.(2)猜想S n ＝nn ＋1.下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，S 1＝12，n n ＋1＝12，猜想正确；②假设当n ＝k 时，猜想正确，即S k ＝kk ＋1， 那么，当n ＝k ＋1时，由S k ＋1＝12－S k＝12－kk ＋1＝k ＋1(k ＋1)＋1，猜想也成立．综上可知，S n ＝nn ＋1对任意n ∈N *均成立． 22．(本小题满分12分)已知△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且其中任意两边均不相等，若1a ，1b ，1c成等差数列．(1)比较b a 与 cb的大小，并证明你的结论； (2)求证：角B 不可能是钝角． 解 (1) b a < cb，证明如下： 要证b a< c b ，只需证b a <c b， ∵a ，b ，c >0，∴只需证b 2<ac . ∵1a ，1b ，1c成等差数列，∴2b ＝1a ＋1c ≥21ac，∴b 2≤ac .又a ，b ，c 互不相等，∴b 2<ac 成立． 故b a <c b. (2)证法一：假设角B 是钝角，则cos B <0.由余弦定理得，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ≥2ac －b 22ac >ac －b 22ac>0，这与cos B <0矛盾，故假设不成立．故角B 不可能是钝角．证法二：假设角B 是钝角，则角B 的对边为最大边，即b >a ，b >c ， ∴1a >1b >0，1c >1b >0，则1a ＋1c >1b ＋1b ＝2b ，这与1a ＋1c ＝2b矛盾，故假设不成立．故角B 不可能是钝角．。