高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)
高等数学中几种求极限的方法
高等数学中几种求极限的方法极限是微积分中的一条主线，是学好微积分的重要前提条件。
而此问题一般来说比较困难，要根据具体情况进行具体分析和处理，方法很多比较凌乱。
以下是小编搜索整理的高等数学中几种求极限的方法，供参考借鉴！一、由定义求极限极限的本质??既是无限的过程，又有确定的结果。
一方面可从函数的变化过程的趋势抽象得出结论，另一方面又可从数学本身的逻辑体系下验*其结果。
然而并不是每一道求极限的题我们都能通过直观观察总结出极限值，因此由定义法求极限就有一定的局限*，不适合比较复杂的题。
二、利用函数的连续*求极限此方法简单易行但不适合于f(x)在其定义区间内是不连续的函数，及f(x)在x0处无定义的情况。
三、利用极限的四则运算法则和简单技巧求极限极限四则运算法则的条件是充分而非必要的，因此，利用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验*它是否满足极限四则运算法则条件。
满足条件者，方能利用极限四则运算法则进行求之，不满足条件者，不能直接利用极限四则运算法则求之。
但是，并非不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限，而是需将函数进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算法则求之。
而对函数进行恒等变形时，通常运用一些简单技巧如拆项，分子分母同乘某一因子，变量替换，分子分母有理化等等。
四、利用两边夹定理求极限定理如果X≤Z≤Y，而limX=limY=A，则limZ=A两边夹定理应用的关键：适当选取两边的函数(或数列)，并且使其极限为同一值。
注意：在运用两边夹定理求极限时要保*所求函数(或数列)通过放缩后所得的两边的函数(或数列)的极限是同一值，否则不能用此方法求极限。
五、利用两个重要极限求极限六、利用单调有界原理求极限单调有界准则即单调有界数列必定存在极限。
使用单调有界准则时需*两个问题：一是数列的单调*，二是数列的有界*;求极限时，在等式的两边同时取极限，通过解方程求出合理的极限值。
利用单调有界原理求极限有两个难点：一是*数列的单调*，二是*数列的有界*，在*数列的单调*和数列的有界*时，我们通常都采用数学归纳法。
高数求极限的例题及详解
高数求极限的例题及详解
求极限的例题及详解
高数的极限是指在函数中求取某一极限值的方法，也是高数中分离变量的基本概念，在学习求取极限过程中，例题的了解也非常重要。
下面就来讨论一道求极限的例题。
例题题目：求极限
lim\left(x\right) = \frac{\sqrt{x+8}-\sqrt{x+7}+6\sqrt{x+1}-2}{2-3x}
解析：该题要求求出极限，首先将分数中的分母变为0，则有：2-3x=0，解得x=2/3。
由于在求取函数极值时，该函数至少需要二阶可导，所以要先求出其二阶导。
导函数结果：y''= \frac{12}{\left(\sqrt{x+8}+\sqrt{x+7}\right)^3}
故其二阶导数为正，由于函数y= \frac{\sqrt{x+8}-
\sqrt{x+7}+6\sqrt{x+1}-2}{2-3x}在x=2/3时，分子和分母同时趋向于无穷大，所以此时函数极限值为正无穷，因此，解得该题极限为：lim\left(x\right) = +\infty。
结论：最终我们解出该题极限值为+∞，由此可见，求极限的基本方法是：求出函数的导数并判断其开口方向；在求取极限的例题中，要先求出表示极限的分子和分母的表达式，然后求出函数的二阶导数，最后由分母或分子在极限点趋向于无穷大或无穷小，两者成比例来确定函数的极限值。
16种求极限方法及一般题型解题思路分享
16种求极限方法及一般题型解题思路分享求极限是微积分中的重要内容之一，常见于各种数学和工程科学中。
为了求出一个函数在某一点的极限，需要使用合适的方法。
下面介绍16种常用的求极限方法，以及一般题型解题思路。
一、直接代入法对于多项式函数和分式函数，可以直接将自变量代入函数表达式中计算极限。
例如，求函数 f(x) = 2x + 3 在 x = 1 处的极限，直接代入即可得到结果。
二、分解因式法对于分式函数，可以通过分解因式来简化计算，特别适用于分子和分母都是多项式的情况。
例如，求函数 f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1) 在 x = 1 处的极限，可以将分子进行因式分解，得到 f(x) = (x - 1)(x + 1)/(x - 1)，然后约去公因式，即可得到结果。
三、夹逼定理夹逼定理用于解决复杂函数在某一点处的极限问题。
如果一个函数在某一点附近被两个其他函数夹住，并且这两个函数的极限都存在且相等，那么原函数的极限也存在且等于这个相等的极限。
例如，对于函数 f(x) = x*sin(1/x)，当 x 趋近于 0 时，f(x) 被两个函数 g(x) = x 和 h(x) = -x 夹住，且 g(x) 和 h(x) 的极限都是 0，所以 f(x) 的极限也是 0。
四、变量代换法第1页/共5页对于一些特殊的函数，可以通过变量代换来简化计算。
例如，对于函数f(x) = sin(1/√x)，当 x 趋近于 0 时，可以将√x = t，那么 x = t^2，且当 x 趋近于 0 时，t 也趋近于 0，所以求 f(x) 在 x = 0 处的极限可以转化为求 g(t) = sin(1/t) 在 t = 0 处的极限。
五、洛必达法则洛必达法则是一种常用的求函数极限的方法，特别适用于形如 0/0 或∞/∞的不定式。
根据洛必达法则，如果一个不定式的分子和分母的极限都存在且为 0 或∞，那么可以分别对分子和分母求导后再次求极限，直到找到一个不是 0/0 或∞/∞的形式。
函数极限的十种求法
函数极限的十种求法函数极限是高等数学中的一个重要概念，在数学分析、微积分、实变函数、复变函数等领域均有应用。
函数极限的求法有很多种，以下将介绍其中的十种方法。
一、代数方法利用现有函数的代数性质，根据极限的定义求解。
例如，对于函数 f(x)=2x+1-x，当 x 趋近于 1 时，有：lim f(x) = lim (2x+1-x) = lim x+1 = 2x→1 x→1 x→1 x→1二、夹逼定理夹逼定理也称为夹逼准则或夹逼定律。
当f(x)≤g(x)≤h(x)，且lim f(x)=lim h(x)=l 时，有 lim g(x)=l。
例如，对于函数 f(x)=sin(x)/x 和 g(x)=1，当 x 趋近于 0 时，有：-1 ≤sin(x)/x ≤ 1lim -1 ≤ lim sin(x)/x ≤ lim 1x→0 x→0 x→0 x→0lim sin(x)/x = 1三、单调有界准则单调有界准则也称收敛定理。
当一个数列同时满足单调有界性质，即数列单调递增或单调递减且有上（下）界时，该数列必定收敛。
对于函数而言，只需要证明其单调有界的性质，即可用该准则求出其极限值。
例如，对于函数 f(x)=sin(x)/x，当 x 趋近于 0 时，此时 f(x) 没有极限值，但是根据单调有界准则，可以求得其极限是 1。
四、洛必达法则洛必达法则是一种有效的求函数极限值的方法，通常用在0/0形式的极限中。
对于连续可导的函数 f(x) 和 g(x)，若 lim f(x)/g(x)存在，则有：lim f(x) lim f'(x)lim ——— = lim ———x→a g(x) x→a g'(x)其中“lim” 表示极限符号，f'(x) 表示 f(x) 的导数，g'(x) 表示 g(x) 的导数。
如果上式右边的极限存在，那么左边的极限也存在，并且二者相等。
例如，对于函数 f(x)=x^2+2x 和 g(x)=x+1，当 x 趋近于 1 时，有：lim (x^2+2x) lim (2x+2)lim ———— = lim ———— = 4x→1 x+1 x+1五、泰勒公式泰勒公式是求解函数在某点处的极限值的有效方法之一。
高等数学中几种求极限的方法
高等数学中几种求极限的方法代入法是最常见的求极限方法之一、它的原理是当极限存在时，我们可以通过将自变量等于极限值，将极限变成一个已知的函数值，从而求解极限。
例如，求解lim(x→2)(x^2 - 4) / (x - 2)时，我们可以将x的值代入函数中，得到(2^2 - 4) / (2 - 2) = 0/0。
这是一个不定型，无法直接计算。
但通过分子分母同时除以(x-2)，得到lim(x→2)(x+2) = 4夹逼法是另一种常用的求极限方法。
它的原理是通过利用一个与待求的极限相夹的两个函数，确定待求极限的值。
如果两个函数当自变量趋于同一个值时，极限存在且相等，那么待求极限的值也等于这个极限值。
例如，求解lim(x→0)xsin(1/x)时，我们可以利用-，x，≤xsin(1/x)≤，x，得到-，x，≤ xsin(1/x) ≤ ，x。
当x趋于0时，我们可以发现两边函数的极限均为0，因此待求极限的值也为0。
单调有界准则是利用函数的单调性和有界性来判断极限是否存在的一种方法。
如果待求极限的函数在一些区间内单调递增且有上界（或单调递减且有下界），那么极限必然存在。
例如，如果函数f(x)递增且有上界，我们可以通过f(x)递增性质来证明lim(x→∞)f(x)存在。
柯西收敛准则是另一种常用的判断极限是否存在的准则。
如果一个数列满足柯西准则，即对于任意正数ε，存在正整数N，使得当n,m>N时，a_n-a_m，<ε，那么该数列的极限存在。
例如，对于数列a_n=1/n，我们可以证明该数列满足柯西准则，因此极限lim(n→∞)1/n=0存在。
函数性质和展开式是求解复杂极限时的重要方法。
通过利用函数的特殊性质或将函数展开成幂级数，可以简化极限的计算。
例如，通过使用欧拉公式e^ix=cos(x)+isin(x)，我们可以求解lim(x→0)(1+ix)^n这样复杂的极限。
洛必达法则是高等数学中非常常用的一种求解极限的方法。
本科高数高等数学极限的巧妙解题30例析
高数极限巧解例析求解函数的极限，历来是高数考试的必考内容，这其中，00型与∞∞型的未定式求极限，更是考察测试的重点方向。
在此例析一些解题诀窍，与众网友共同探讨交流。
一、巧用等价无穷小替换求极限1. 1lim(arcsin arctan )x x x→∞⋅ 解：本题求极限，如果用好等价无穷小替换，将会非常轻松，易如反掌。
解法如下：11arctan~()x x x→∞ ∴原式＝arcsin lim0x xx→∞=（arcsin 22x ππ≤≤注意：-，有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小。
） 2.2cot (tan sin )lim x x x x x →- 解：本题属于0型未定式，可能很多人第一个想到的就是用洛必达法则，这道题如若用该法则求导，计算量将会非常大，算式也会变得十分复杂，极易出错。
有兴趣的同学不妨试一试，看看求导后的函数表达式会是怎样的。
对于本题，如果采用等价无穷小替换求极限，将会容易得多，具体解题过程如下： 由于cos cot sin x x x =，1tan sin sin (1)cos x x x x-=-所以可得原式＝2cos 1sin (1)sin cos lim x x x x x x →⋅- ＝21cos lim x xx →- [注：21cos ~(0)2x x x -→] ＝222limx x x → ＝123. 3332lim ln()1n n n n →∞+- 解：本题求极限，首先用倒代换将函数变形，然后再运用等价无穷小替换。
详细步骤如下： 令31n t= ，则原式＝33321lim ln()11n n n n→∞+-＝0112lim ln()1t t t t→+- ＝0113lim ln()1t t t t t→-+- ＝013lim ln(1)1t t t t →+- [注：33ln(1)~(0)11t t t t t+→--] ＝013lim[()()]1t t t t→- ＝3（注意：本题不可用洛必达法则求极限，因为n 属于离散变量，不能求导。
高等数学数列极限题型及解题方法
高等数学数列极限题型及解题方法摘要：1.数列极限的定义和性质2.常见数列极限题型分类3.解题方法及技巧4.典型例题解析5.总结与建议正文：高等数学中的数列极限是极限理论的重要部分，它在数学分析、工程数学、应用数学等课程中有着广泛的应用。
本文将对数列极限的题型进行分类，并介绍相应的解题方法和技巧。
一、数列极限的定义和性质1.定义：设{an}为无穷数列，若存在常数L，使得当n趋向于无穷时，|an - L|趋向于0，则称L为数列{an}的极限。
2.性质：具有有限项的数列必有极限；单调有界数列必有极限；无穷递增（或递减）数列必有极限；无穷乘积数列必有极限。
二、常见数列极限题型分类1.求和型：如求级数∑an的收敛值。
2.比较型：如比较级数∑an与级数∑bn的收敛性。
3.求极限型：如求极限lim(n→∞) an。
4.无穷乘积型：如求极限(a1 × a2 × a3 × ...× an)∞。
5.无穷递推型：如求递推数列{an}的极限。
三、解题方法及技巧1.判断收敛性：根据数列极限的定义，通过计算或性质判断数列是否收敛。
2.利用极限性质：如无穷乘积收敛的判定条件、无穷递推收敛的判定条件等。
3.化简变形：将复杂数列极限问题转化为简单的问题，如利用泰勒公式、洛必达法则等。
4.典型例题解析例1：判断级数∑(1/n)^2是否收敛。
解析：利用数列极限的定义，计算极限lim(n→∞) (1/n)^2 = 0，判断级数收敛。
例2：求极限lim(n→∞) (2^n - n^2)。
解析：利用化简变形，将原式变为lim(n→∞) (2^n / n^2)，再利用极限性质判断收敛。
四、总结与建议数列极限是高等数学中的重要内容，掌握常见的题型和解题方法对学习极限理论有很大帮助。
在学习过程中，要注意理论知识与实际应用的结合，多做练习，提高解题能力。
高等数学求极限例题
高等数学求极限例题高等数学求极限是高等数学中一种常见的定义以及计算方法，主要是根据一定的定义给出的极限的概念，使函数在某点的值趋近于确定的数值。
一般来说，求极限主要有三种方法：函数变形法、不定积分法、微分法。
本文就针对其中的函数变形法，以及一个具体的例题来进行详细的讲解，探讨高等数学中求极限的方法及具体的步骤：首先，要求极限必须对函数进行变形，本例中要求求极限：$$lim_{x→2}x^2 + 3 $$根据定义，将函数变形为：$$lim_{x→2}(x - 2)^2 + 3 $$变形后，特别看出(x - 2)的乘方将可以被简化，将简化后的函数展开，得出：$$lim_{x→2}(x - 2)^2 + 3 = lim_{x→2}x^2 - 4x + 7$$因此，在x趋于2时，上面的函数趋于7，即，$$lim_{x→2}x^2 + 3 = 7$$回顾本例中，一共所应用了三种方法，首先是对函数变形，这是求得极限的绝对前提，通过变形可以得到函数组可以简化的部分，必要时还可以将函数展开；其次，就是将指数部分简化，将指数简化为一个次数，不管是什么次数，都可以用微积分的方法去计算求得；最后一步，就是对简化的函数计算极限，通过计算得出极限的结果，作为函数在某点的值。
总而言之，在求极限问题时，有三种方法可以用来求解：函数变形法、不定积分法、微分法，在使用这三种方法求极限之前，必须先将函数变形，简化指数部分，然后根据函数变形之后的表达式，运用诸如微分、积分等方法求得极限，最终再得出函数在某点的极限值。
总之，求极限是高等数学中一个重要的概念，也是广大学子所需要掌握的基础知识之一，在学习中虽然有些比较困难，但耐心细心的思考和理解，熟练运用函数变形法、不定积分法和微分法，一定能够轻松熟练地掌握高等数学中求极限的方法，帮助我们在学习中更好地得出答案。
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高等数学求极限的14种方法
一、极限的定义
1.极限的保号性很重要：设Axfxx)(lim0，
（i）若A0，则有0，使得当||00xx时，0)(xf；
（ii）若有,0使得当||00xx时，0A,0)(则xf。
2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为x时函数的极限和0xx的极限。要特别注意判定极
限是否存在在：
（i）数列的充要条件收敛于anx是它的所有子数列均收敛于a。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a的
充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a”
（ii）AxxfxAxfxlimlimlim)()(
(iii)AxxxxAxfxxlimlimlim000)(
(iv)单调有界准则
（v）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）
（vi）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限)(lim0xfxx存在的充分必要条件是：
|)()(|)(,0,021021xfxfxUxxo时，恒有、使得当
二．解决极限的方法如下：
1.等价无穷小代换。只能在乘除．．时候使用。例题略。
2.洛必达（L’hospital）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）
它的使用有严格的使用前提。首先必须是X趋近，而不是N趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x趋
近情况下的极限，数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假
如告诉f（x）、g（x）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,
并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：
（i）“00”“”时候直接用
(ii)“•0”“”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通
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项之后，就能变成(i)中的形式了。即)(1)()()()(1)()()(xfxgxgxfxgxfxgxf或；)()(1)(1)(1)()(xgxfxfxgxgxf
(iii)“00”“1”“0”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即exfxgxgxf)(ln)()()(，
这样就能把幂上的函数移下来了，变成“•0”型未定式。
3.泰勒公式(含有xe的时候，含有正余弦的加减的时候）
12)!1(!!21nxnx
xnenxxxe
；
3211253)!32(cos)1()!12()1(!5!3sinmmmm
xmxmxxxxx
cos=
221242)!22(cos)1()!2()1(!4!21mmmm
x
mxm
xxx
ln（1+x）=x-
11132)1)(1()1()1(32n
nnn
n
xn
xnxxx
(1+x)u=1112)1(!2)1(1nnununnuxxCxCxuuux
以上公式对题目简化有很好帮助
4.两多项式相除:设均不为零mnba,，
P（x）=
0111axaxaxannnn
,0111)(bxbxbxbxQmmmm
(i))(,)(,0)(,)()(limmnmnnmbaxQxPxnn（ii）若0)(0xQ，则)()()()(00lim0xQxPxQxPxx
5.无穷小与有界函数的处理办法。例题略。
面对复杂函数时候，尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的
函数可能只需要知道它的范围结果就出来了。
6.夹逼定理：主要是应用于数列极限，常应用放缩和扩大不等式的技巧。以下面几个题目为例：（1）设0cba，
n
nnn
n
cbax
，求nnxlim
解：由于aaaaaxannnnn)3(,,3limlim以及，由夹逼定理可知axnnlim
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（2）求222)2(1)1(11limnnnn
解：由nnnnnnn1111)2(1)1(110222222，以及010limlimnnn可知，原式=0
(3)求
nnnnn2221211
1
lim
解：由nnnnnnnnnnnnnnnn222222111121111111,以及
11111limlimlim2
nnnnnnn
得，原式=1
7.数列极限中等比等差数列公式应用（等比数列的公比q绝对值要小于1）。例如：
求12321limnnnxxx )1|(|x。提示：先利用错位相减得方法对括号内的式子求和。
8.数列极限中各项的拆分相加（可以使用待定系数法来拆分化简数列）。例如：
)1(1321211limnnn=1)1(11)1(113121211limlimnnnnn
9.利用1nxxx与极限相同求极限。例如：
（1）已知nnaaa12,211，且已知nnalim存在，求该极限值。
解:设nnalim=A，（显然A0）则AA12，即0122AA，解得结果并舍去负值得A=1+2
（2）利用．．单调有界的性质．．．．．．．。．利．用这种方法时一定要先证明单调性和有界性。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．例如
设nnnnxxxxxlim,2,,22,2121求
解：（i）显然221xx（ii）假设,21kkxx则22221kkxx，即21kkxx。所以，
n
x
是单调递增数列，且有上界，收敛。设Anlim，（显然)0A则AA2，即022AA。
解方程并舍去负值得A=2.即2limnnx
10.两个重要极限的应用。
（i）1sinlim0xxx 常用语含三角函数的“00” 型未定式
(ii)exxx101lim，在“1”型未定式中常用
11.还有个非常方便的方法就是当趋近于无穷大时候不同函数趋近于无穷的速度是不一样的，nn快于n！,n！快
于指数型函数nb(b为常数)，指数函数快于幂函数,幂函数快于对数函数。当x趋近无穷的时候，它们比值的
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极限就可一眼看出。
12.换元法。这是一种技巧，对一道题目而言，不一定就只需要换元，但是换元会夹杂其中。例如：求极限
xxx2sin
2
arccoslim0
。解：设ttxtxxtsin)2cos(,00,2arccos且时，则。
原式=21sin222arccos22arccos2sin2limlimlim000ttxxxxxxtxx
13．利用定积分求数列极限。例如：求极限nnnnn12111lim。由于ninin111，所以
2ln11111111211121limlim
xnnnnnnnn
nn
14.利用导数的定义求“00”型未定式极限。一般都是x0时候，分子上是“)()(afxaf”的形式，看见了这
种形式要注意记得利用导数的定义。（当题目中告诉你m'）（af告诉函数在具体某一点的导数值时，基本上
就是暗示一定要用导数定义）
例:设)(,0)('afaf存在，求nnafnaf1lim
解：原式=nafafnafafnafafnnnafafnafafafnaf)()()1()()1()()()()1(1)(11limlim
=)()(')(11)()1(limafafafnafnafnee