苏教版高中数学选修2-2《1.1.1 平均变化率》教案

教学目标：

1．理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念；

2．理解并掌握曲线在一点处的切线的斜率的定义以及切线方程的求法；

3．理解切线概念实际背景，培养学生解决实际问题的能力和培养学生转化

问题的能力及数形结合思想．

教学重点：

理解并掌握曲线在一点处的切线的斜率的定义以及切线方程的求法．

教学难点：

用“无限逼近”、“局部以直代曲”的思想理解某一点处切线的斜率．

教学过程：

一、问题情境

1．问题情境．

如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？

如果将点P附近的曲线放大，那么就会发现，曲线在点P附近看上去有点像是直线．

如果将点P附近的曲线再放大，那么就会发现，曲线在点P附近看上去几乎成了直线．事实上，如果继续放大，那么曲线在点P附近将逼近一条确定的直线l，该直线l是经过点P的所有直线中最逼近曲线的一条直线．

因此，在点P附近我们可以用这条直线l来代替曲线，也就是说，点P附近，曲线可以看出直线（即在很小的范围内以直代曲）．

2．探究活动．

如图所示，直线l 1，l 2为经过曲线上一点P 的两条直线，

（1） 试判断哪一条直线在点P 附近更加逼近曲线；

（2） 在点P 附近能作出一条比l 1，l 2更加逼近曲线的直线l 3吗？

（3） 在点P 附近能作出一条比l 1，l 2，l 3更加逼近曲线的直线吗？

二、建构数学

切线定义: 如图，设Q 为曲线C 上不同于P 的一点，直线PQ 称为曲线的割线． 随着点Q 沿曲线C 向点P 运动，割线PQ 在点P 附近逼近曲线C ，当点Q 无限逼近点P 时，直线PQ 最终就成为经过点P 处最逼近曲线的直线l ，这条直线l 也称为曲线在点P 处的切线．这种方法叫割线逼近切线．

思考：如上图，P 为已知曲线C 上的一点，如何求出点P 处的切线方程？

三、数学运用

例1 试求2()f x x ＝在点(2，4)处的切线斜率．

解法一 分析：设P (2，4)，Q (x Q ，f (x Q ))，

则割线PQ 的斜率为：

2()4

4

222Q Q PQ Q Q Q f x x k x x x －－＝＝＝＋－－

当Q 沿曲线逼近点P 时，割线PQ 逼近点P 处的切线，从而割线斜率逼近切线斜率；

当Q 点横坐标无限趋近于P 点横坐标时，即x Q 无限趋近于2时，k PQ 无限趋近于常数4．

从而曲线f (x )＝x 2在点(2，4)处的切线斜率为4．

解法二 设P (2，4)，Q (x Q ，x Q 2)，则割线PQ 的斜率为：

22(2)444∆∆∆∆∆∆PQ x k x x x x x

＋－＝＋＝＝＋ 当∆x 无限趋近于0时，k PQ 无限趋近于常数4，从而曲线f (x )＝x 2，在点(2，4)处的切线斜率为4．

练习 试求2()1f x x ＝＋在x ＝1处的切线斜率．

解：设P (1，2)，Q (1＋Δx ，(1＋Δx )2＋1)，则割线PQ 的斜率为：

22

[(1)1]222∆∆∆∆∆∆PQ x k x

x x x

x

＋＋－＝＋＝＝＋ 当∆x 无限趋近于0时，k PQ 无限趋近于常数2，从而曲线f (x )＝x 2＋1在x ＝1处的切线斜率为2．

小结 求曲线()y f x ＝上一点处的切线斜率的一般步骤：

（1）找到定点P 的坐标，设出动点Q 的坐标；

（2）求出割线PQ 的斜率；

（3）当∞→∆x 时，割线逼近切线，那么割线斜率逼近切线斜率．

思考 如上图，P 为已知曲线C 上的一点，如何求出点P 处的切线方程？ 解 设0000(())(())∆∆P x f x Q x x f x x ，，＋，＋

000000()()()()()∆∆∆∆PQ f x x f x f x x f x k x x x x

＋－＋－∴＝＝＋－ 所以，当x ∆无限趋近于0时，

00()()∆∆f x x f x x

－－无限趋近于点00(())P x f x ，处的切线的斜率．

变式训练 1．已知2()f x x ＝，求曲线()y f x ＝在1x ＝－处的切线斜率和切线方程；

2．已知1()f x x －＝，求曲线()y f x ＝在1x ＝－处的切线斜率和切线方程；

3

．已知()f x 求曲线()y f x ＝在12

x ＝处的切线斜率和切线方程． 课堂练习

已知()f x 求曲线()y f x ＝在12

x ＝处的切线斜率和切线方程． 四、回顾小结

1．曲线上一点P 处的切线是过点P 的所有直线中最接近P 点附近曲线的直线，则P 点处的变化趋势可以由该点处的切线反映（局部以直代曲）．

2．根据定义，利用割线逼近切线的方法, 可以求出曲线在一点处的切线斜率和方程．

五、课外作业