2016-2020年高考数学分类汇编三角函数
2015-2020年新课标高考数学试卷分类汇编--三角函数、解三角形(含解析0
2015-2020年新课标高考数学试卷分类汇编三角函数、解三角形一．选择题（共41小题）1．（2020•新课标Ⅱ）若α为第四象限角，则（）A．cos2α＞0B．cos2α＜0C．sin2α＞0D．sin2α＜0 2．（2020•新课标Ⅲ）已知2tanθ﹣tan（θ+）＝7，则tanθ＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2 3．（2020•新课标Ⅲ）已知sinθ+sin（θ+）＝1，则sin（θ+）＝（）A．B．C．D．4．（2020•新课标Ⅰ）已知α∈（0，π），且3cos2α﹣8cosα＝5，则sinα＝（）A．B．C．D．5．（2019•新课标Ⅱ）已知α∈（0，），2sin2α＝cos2α+1，则sinα＝（）A．B．C．D．6．（2019•新课标Ⅰ）tan255°＝（）A．﹣2﹣B．﹣2+C．2﹣D．2+ 7．（2018•新课标Ⅲ）若sinα＝，则cos2α＝（）A．B．C．﹣D．﹣8．（2018•新课标Ⅱ）若f（x）＝cos x﹣sin x在[0，a]是减函数，则a的最大值是（）A．B．C．D．π9．（2018•新课标Ⅰ）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos2α＝，则|a﹣b|＝（）A．B．C．D．110．（2018•新课标Ⅱ）若f（x）＝cos x﹣sin x在[﹣a，a]是减函数，则a的最大值是（）A．B．C．D．π11．（2017•新课标Ⅲ）已知sinα﹣cosα＝，则sin2α＝（）A．﹣B．﹣C．D．12．（2016•新课标Ⅲ）若tanθ＝，则cos2θ＝（）A．B．C．D．13．（2016•新课标Ⅲ）若tanα＝，则cos2α+2sin2α＝（）A．B．C．1D．14．（2016•新课标Ⅱ）若cos（﹣α）＝，则sin2α＝（）A．B．C．﹣D．﹣15．（2015•新课标Ⅰ）sin20°cos10°﹣cos160°sin10°＝（）A．﹣B．C．﹣D．16．（2020•新课标Ⅲ）在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则cos B＝（）A．B．C．D．17．（2020•新课标Ⅲ）在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则tan B＝（）A．B．2C．4D．8 18．（2020•新课标Ⅰ）设函数f（x）＝cos（ωx+）在[﹣π，π]的图象大致如图，则f（x）的最小正周期为（）A．B．C．D．19．（2019•新课标Ⅱ）若x1＝，x2＝是函数f（x）＝sinωx（ω＞0）两个相邻的极值点，则ω＝（）A．2B．C．1D．20．（2019•新课标Ⅱ）下列函数中，以为最小正周期且在区间（，）单调递增的是（）A．f（x）＝|cos2x|B．f（x）＝|sin2x|C．f（x）＝cos|x|D．f（x）＝sin|x| 21．（2019•新课标Ⅲ）设函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0），已知f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点．下述四个结论：①f（x）在（0，2π）有且仅有3个极大值点②f（x）在（0，2π）有且仅有2个极小值点③f（x）在（0，）单调递增④ω的取值范围是[，）其中所有正确结论的编号是（）A．①④B．②③C．①②③D．①③④22．（2019•新课标Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a sin A﹣b sin B ＝4c sin C，cos A＝﹣，则＝（）A．6B．5C．4D．3 23．（2018•新课标Ⅲ）函数f（x）＝的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π24．（2018•新课标Ⅲ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C＝（）A．B．C．D．25．（2018•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝2cos2x﹣sin2x+2，则（）A．f（x）的最小正周期为π，最大值为3B．f（x）的最小正周期为π，最大值为4 C．f（x）的最小正周期为2π，最大值为3D．f（x）的最小正周期为2π，最大值为426．（2018•新课标Ⅱ）在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝（）A．4B．C．D．2 27．（2017•新课标Ⅰ）已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin（2x+），则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C228．（2017•新课标Ⅱ）函数f（x）＝sin（2x+）的最小正周期为（）A．4πB．2πC．πD．29．（2017•新课标Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin B+sin A（sin C ﹣cos C）＝0，a＝2，c＝，则C＝（）A．B．C．D．30．（2017•新课标Ⅲ）函数f（x）＝sin（x+）+cos（x﹣）的最大值为（）A．B．1C．D．31．（2017•新课标Ⅲ）设函数f（x）＝cos（x+），则下列结论错误的是（）A．f（x）的一个周期为﹣2πB．y＝f（x）的图象关于直线x＝对称C．f（x+π）的一个零点为x＝D．f（x）在（，π）单调递减32．（2016•新课标Ⅲ）在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cos A等于（）A．B．C．﹣D．﹣33．（2016•新课标Ⅰ）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝（）A．B．C．2D．3 34．（2016•新课标Ⅰ）将函数y＝2sin（2x+）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A．y＝2sin（2x+）B．y＝2sin（2x+）C．y＝2sin（2x﹣）D．y＝2sin（2x﹣）35．（2016•新课标Ⅱ）函数y＝A sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（）A．y＝2sin（2x﹣）B．y＝2sin（2x﹣）C．y＝2sin（x+）D．y＝2sin（x+）36．（2016•新课标Ⅱ）函数f（x）＝cos2x+6cos（﹣x）的最大值为（）A．4B．5C．6D．7 37．（2016•新课标Ⅲ）在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则sin A＝（）A．B．C．D．38．（2016•新课标Ⅱ）若将函数y＝2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（）A．x＝﹣（k∈Z）B．x＝+（k∈Z）。
2020高考数学分类汇编--三角函数解三角形
2020年普通高等学校招生全国统一考试一卷理科数学7．设函数()cos π()6f x x ω=+在[]π,π-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为A ．10π9 B ．7π6C ．4π3D ．3π29．已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=A ．53B ．23 C ．13D ．597．C9．A2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学2．若α为第四象限角，则A ．02cos >αB ．02cos <αC ．02sin >αD ．02sin <α17．（12分）ABC △中，222sin sin sin sin sin A B C B C --=．（1）求A ；（2）若3BC =，求ABC △周长的最大值．2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学7．在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B = A ．19B ．13C ．12D ．239．已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ= A ．–2B ．–1C ．1D ．216．关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题： ①f （x ）的图像关于y 轴对称．②f （x ）的图像关于原点对称． ③f （x ）的图像关于直线x =2π对称． ④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________． 7．A9．D16．②③2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学7．设函数π()cos()6f x x ω=+在[−π，π]的图像大致如下图，则f （x ）的最小正周期为A ．10π9 B ．7π6 C ．4π3D ．3π218．（12分）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B =150°.（1）若a 3，b 7ABC △的面积； （2）若sin A 3C 2，求C . 7．C18．解：（1）由题设及余弦定理得22228323cos150c c c =+-⨯︒，解得2c =-（舍去），2c =，从而23a =ABC △的面积为1232sin15032⨯⨯︒=（2）在ABC △中，18030A B C C =︒--=︒-，所以sin 3sin(30)3sin(30)A C C C C =︒-=︒+，故2sin(30)2C ︒+=而030C <<︒，所以3045C ︒+=︒，故15C =︒.2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学13．若2sin 3x =-，则cos2x =__________． 17．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知25cos ()cos 24A A π++=． （1）求A ；（2）若b c -=，证明：△ABC 是直角三角形． 13．1917．解：（1）由已知得25sin cos 4A A +=，即21cos cos 04A A -+=． 所以21(cos )02A -=，1cos 2A =．由于0A <<π，故3A π=．（2）由正弦定理及已知条件可得sin sin B C A -=．由（1）知23B C π+=，所以2sin sin()33B B ππ--=．即11sin 22B B =，1sin()32B π-=．由于03B 2π<<，故2B π=．从而ABC △是直角三角形． 2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学5．已知πsin sin=3θθ++（）1，则πsin =6θ+（）A ．12BC ．23D11．在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则tan B = AB ．C ．D ．12．已知函数f (x )=sin x +1sin x，则 A ．f (x )的最小值为2 B ．f (x )的图像关于y 轴对称 C ．f (x )的图像关于直线x =π对称D ．f (x )的图像关于直线2x π=对称 5．B11．C12．D2020年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）（9）已知αβ∈R ,，则“存在k ∈Z ，使得π(1)kk αβ=+-”是“βαsin sin =”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（10）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(πay)D 。
2016年高考理科数学三角函数分类汇编
2016年高考理科数学三角函数分类解析1.（山东）7函数f （x ）=（3sin x +cos x ）（3cos x –sin x ）的最小正周期是（A ）2π（B ）π （C ）23π（D ）2π 【答案】B()2sin 2cos 2sin 2663f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故最小正周期22T ππ==,故选B.2.（山东）（16）（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan tan 2(tan tan ).cos cos A BA B B A+=+ （Ⅰ）证明：a +b =2c ; （Ⅱ）求cos C 的最小值. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）12()∏由()I 知2a bc +=,所以 2222222cos 22a b a b a b c C ab ab +⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭==311842b a a b ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭， 当且仅当a b =时，等号成立. 故 cos C 的最小值为12. 3.(北京)15在∆ABC 中，2222a c b ac +=+ （I ）求B ∠ 的大小（II ）求2cos cos A C + 的最大值4.（全国卷1）()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调，则ω的最大值为 （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5 答案B5（17）（全国卷1）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =（I ）求C ；（II ）若7,c ABC =的面积为332，求ABC 的周长． 解：（I ）由已知及正弦定理得，()2cosC sin cos sin cos sinC A B+B A =， 即()2cosCsin sinC A+B =．故2sinCcosC sinC =．可得1cosC 2=，所以C 3π=．（II ）由已知，133sin C 22ab =．又C 3π=，所以6ab =． 由已知及余弦定理得，222cosC 7a b ab +-=．故2213a b +=，从而()225a b +=． 所以C ∆AB 的周长为57+．6.（全国卷2）（7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为 （A ）x =62k ππ- (k ∈Z ) （B ）x=62ππ+k (k ∈Z ) （C ）x=122k ππ- (k ∈Z ) （D ）x =122k ππ+ (k ∈Z )答案B7.（全国卷2）（9）若cos(4π–α)= 53，则sin 2α= （A ）257（B ）51（C ）51- （D ）257-答案D8.（全国卷2）（13）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A =，cos C =，a =1，则b = .答案9.（全国卷3）（5）若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+= (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625答案A10.（全国卷3）（8）在ABC △中，π4B，BC 边上的高等于13BC ,则cos A（A ）31010 （B ）1010 （C ）1010（D ）31010答案C11.（全国卷3）（14）函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到。
2016年全国高考数学试题分类汇编考点12三角函数的图象与性质
考点12 三角函数的图象与性质一、选择题1.(2016年全国卷Ⅰ高考文科·T6)将函数y ＝2sin(2x ＋π6)的图象向右平移14个周期后,所得图象对应的函数为 ( ) A.y ＝2sin π2x 4⎛⎫+⎪⎝⎭ B.y ＝2sin π2x 3⎛⎫+ ⎪⎝⎭ C.y ＝2sin π2x-4⎛⎫⎪⎝⎭D.y ＝2sin π2x-3⎛⎫ ⎪⎝⎭【试题解析】选D.由函数y ＝2sin π2x 6⎛⎫+⎪⎝⎭得周期T ＝2π2＝π,将函数y ＝2sin π2x 6⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象向右平移14个周期,即为函数y ＝2sin π2x 6⎛⎫+⎪⎝⎭的图象向右平移π4个单位,得y ＝ 2sin ππ2x 46⎡⎤⎛⎫-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦,解得y ＝2sin π2x-3⎛⎫⎪⎝⎭. 2.(2016年四川高考理科·T3)为了得到函数y ＝sin π2x 3⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象,只需把函数y ＝sin2x 的图象上所有的点 ( ) A.向左平行移动π3个单位长度 B.向右平行移动π3个单位长度 C.向左平行移动π6个单位长度 D.向右平行移动π6个单位长度【解题指南】根据函数图象的平移法则判断,注意自变量系数对平移的影响.【试题解析】选D.由题意,为得到函数y ＝sin π2x 3⎛⎫-⎪⎝⎭＝sin π2x 6⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦,只需把函数y ＝sin2x 的图象上所有的点向右平行移动π6个单位长度.3.(2016年四川高考文科·T4)为了得到函数y ＝sin π x 3⎛⎫+⎪⎝⎭的图象,只需把函数y ＝sinx 的图象上所有的点 ( )A.向左平行移动π3个单位长度 B.向右平行移动π3个单位长度 C.向上平行移动π3个单位长度 D.向下平行移动π3个单位长度【解题指南】根据三角函数图象的平移法则判断. 【试题解析】选A.由题意,为得到函数y ＝sin π x 3⎛⎫+⎪⎝⎭,只需把函数y ＝sinx 的图象上所有点向左平行移动π3个单位长度. 二、填空题4.(2016年全国卷Ⅲ·文科·T14)函数y ＝sinx-cosx 的图象可由函数y ＝2sinx 的图象至少向右平移 个单位长度得到.【试题解析】函数y ＝＝2sin πx 3⎛⎫-⎪⎝⎭,根据左加右减原则可得只需将y ＝2sinx 向右平移π3个单位即可. 答案:π3【误区警示】注意是y ＝2sinx 如何平移得到y ＝sinx-。
专题15 三角函数的性质与应用(解析版)2016-2020年高考数学(理)真题命题轨迹
第四章 三角函数专题15 三角函数的性质与应用考点1 三角函数的奇偶性、对称性、周期性1. 【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f (x )=在[,]-ππ的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x-+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ．又22π1π42π2()1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+，排除B ，C ，故选D ． 2. 【2019年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：2cos +x x①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2π，π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②④ B ．②④ C ．①④D ．①③【答案】C 【解析】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴为偶函数，故①正确．当ππ2x <<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误． 当0πx ≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当π0x -≤<时，()()sin sin f x x x =--2sin x =-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④正确，故选C ．3. 【2019年高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是（ ）A ．f (x )=|cos2x |B ．f (x )=|sin2x |C ．f (x )=cos|x |D ．f (x )=sin|x |【答案】A【解析】作出因为sin ||y x =的图象如下图1，知其不是周期函数，排除D ； 因为cos cos y x x ==，周期为2π，排除C ；作出cos2y x =图象如图2，由图象知，其周期为π2，在区间(4π，2π)单调递增，A 正确； 作出sin 2y x =的图象如图3，由图象知，其周期为π2，在区间(4π，2π)单调递减，排除B ，故选A ．图1图2图34. 【2017年高考全国Ⅲ理数】设函数()π(3cos )f x x =+，则下列结论错误的是（ ）A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图象关于直线8π3x =对称 C ．(π)f x +的一个零点为π6x =D ．()f x 在(π2，π)单调递减【答案】D【解析】函数()f x 的最小正周期为2π2π1T ==，则函数()f x 的周期为()2πT k k =∈Z ，取1k =-，可得函数()f x 的一个周期为2π-，选项A 正确； 函数()f x 图象的对称轴为()ππ3x k k +=∈Z ，即()ππ3x k k =-∈Z ，取3k =，可得y =f (x )的图象关于直线8π3x =对称，选项B 正确；()πππcos πcos 33f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，函数()f x 的零点满足()πππ32x k k +=+∈Z ，即()ππ6x k k =+∈Z ，取0k =，可得(π)f x +的一个零点为π6x =，选项C 正确； 当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，π5π4π,363x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，函数()f x 在该区间内不单调，选项D 错误.故选D.5. 【2016高考新课标2理数】若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）（A ）()26k x k Z ππ=-∈ （B ）()26k x k Z ππ=+∈ （C ）()212k x k Z ππ=-∈ （D ）()212k x k Z ππ=+∈ 【答案】B【解析】由题意，将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位得2sin 2()2sin(2)126y x x ππ=+=+，则平移后函数的对称轴为2,62x k k Z πππ+=+∈，即,62k x k Z ππ=+∈，故选B. 6. 【2016高考新课标1卷】已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调,则ω的最大值为( )（A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5 【答案】B【解析】因为4x π=-为()f x 的零点,4x π=为()f x 图像的对称轴,所以()444TkT ππ--=+,即41412244k k T ππω++==⋅,所以41(*)k k N ω=+∈,又因为()f x 在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调,所以5236181222T ππππω-=≤=,即12ω≤,由此ω的最大值为9.故选B. 7. 【2016高考浙江理数】设函数2()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期（ ） A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关 C ．与b 无关，且与c 无关 D ．与b 无关，但与c 有关 【答案】B【解析】21cos 2cos 21()sin sin sin sin 222-=++=++=-+++x x f x x b x c b x c b x c ，其中当0=b 时，cos 21()22=-++x f x c ，此时周期是π；当0≠b 时，周期为2π，而c 不影响周期．故选B ．8. 【2016高考山东理数】函数f （x ）=x +cos x ）x –sin x ）的最小正周期是（ ） （A ）2π（B ）π （C ）23π（D ）2π【答案】B 【解析】()2sin 2cos 2sin 2663f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故最小正周期22T ππ==,故选B.9. 【2016高考新课标1卷】已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调,则ω的最大值为( )（A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5 【答案】B【解析】因为4x π=-为()f x 的零点,4x π=为()f x 图像的对称轴,所以()444TkT ππ--=+,即41412244k k T ππω++==⋅,所以41(*)k k N ω=+∈,又因为()f x 在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调,所以5236181222T ππππω-=≤=,即12ω≤,由此ω的最大值为9.故选B. 10. 【2018年高考江苏卷】已知函数()ππsin 2()22y x =+-<<ϕϕ的图象关于直线π3x =对称，则ϕ的值是________． 【答案】π6-【解析】由题意可得2sin π13⎛⎫+=± ⎪⎝⎭ϕ，所以2πππππ()326k k k +=+=-+∈Z ，ϕϕ，因为ππ22-<<ϕ，所以π0,.6k ==-ϕ 11. 【2017年高考北京卷理数】在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y轴对称.若1sin 3α=，则cos()αβ-=___________. 【答案】79-【解析】因为α和β关于y 轴对称，所以π2π,k k αβ+=+∈Z ，那么1sin sin 3βα==，cos cos αβ=-=（或cos cos βα=-=）， 所以()2227cos cos cos sin sin cos sin 2sin 19αβαβαβααα-=+=-+=-=-.12. 【2017年高考浙江卷】已知函数22sin cos cos ()()x x x f x x x =--∈R ．（1）求2()3f π的值． （2）求()f x 的最小正周期及单调递增区间．【答案】（1）2；（2）()f x 的最小正周期是π；单调递增区间是2[,],63k k k ππ+π+π∈Z ．【解析】（1）由2sin 32π=，21cos 32π=-，22211()(()()32222f π=----． 得2()23f π=．（2）由22cos 2cos sin x x x =-与sin 22sin cos x x x =得()cos 22f x x x =--2sin(2)6x π=-+． 所以()f x 的最小正周期是π．由正弦函数的性质得3222,262k x k k πππ+π≤+≤+π∈Z ， 解得2,63k x k k ππ+π≤≤+π∈Z ，所以，()f x 的单调递增区间是2[,],63k k k ππ+π+π∈Z ．考点2 三角函数的单调性与最值等综合问题1. 【2018年高考全国卷II 理数】若()cos sin f x x x =-在[],a a -是减函数，则a 的最大值是A ．π4 B ．π2C ．3π4D ．π【答案】A【解析】因为()πcos sin 4f x x x x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，所以由π02ππ2π()4k x k k +≤+≤+∈Z 得π3π2π2π()44k x k k -+≤≤+∈Z ， 因此[]π3ππ3ππ,,,,,,044444a a a a a a a ⎡⎤-⊂-∴-<-≥-≤∴<≤⎢⎥⎣⎦，从而a 的最大值为π4，故选A.2. 【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点③()f x 在（0,10π）单调递增 ④ω的取值范围是[1229510，)其中所有正确结论的编号是 A ．①④ B ．②③ C ．①②③ D ．①③④【答案】D【解析】①若()f x 在[0,2π]上有5个零点，可画出大致图象， 由图1可知，()f x 在(0,2π)有且仅有3个极大值点.故①正确；②由图1、2可知，()f x 在(0,2π)有且仅有2个或3个极小值点.故②错误；④当()f x =sin （5x ωπ+）=0时，5x ωπ+=k π（k ∈Z ），所以ππ5k x ω-=， 因为()f x 在[0,2π]上有5个零点， 所以当k =5时，π5π52πx ω-=≤，当k =6时，π6π52πx ω-=>，解得1229510ω≤<， 故④正确.③函数()f x =sin （5x ωπ+）的增区间为：πππ2π2π252k x k ω-+<+<+，732π2π1010k k x ωω⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<<. 取k =0，当125ω=时，单调递增区间为71ππ248x -<<， 当2910ω=时，单调递增区间为73ππ2929x -<<， 综上可得，()f x 在π0,10⎛⎫⎪⎝⎭单调递增.故③正确. 所以结论正确的有①③④.故本题正确答案为D. 3. 【2016年高考北京理数】将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移s （0s >） 个单位长度得到点'P ，若'P 位于函数sin 2y x =的图象上，则（ ）A.12t =，s 的最小值为6πB.2t = ，s 的最小值为6πC.12t =，s 的最小值为3πD.t =，s 的最小值为3π【答案】A 【解析】由题意得，1sin(2)432t ππ=⋅-=，故此时'P 所对应的点为1(,)122π，此时向左平移-4126πππ=个单位，故选A.4. 【2020年高考北京卷14】若函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为 ． 【答案】2π【解析】∵()sin()cos f x x x ϕ=++sin cos cos sin cos x x x ϕϕ=++sin cos cos (sin 1)x x ϕϕ=++)x θ=+，则22cos (sin 1)4ϕϕ++=，22cos sin 2sin 1ϕϕϕ+++12sin 14ϕ=++=，∴sin 1ϕ=，∴2πϕ=．5. 【2018年高考全国Ⅰ理数】已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________．【答案】 【解析】()()212cos 2cos 24cos 2cos 24cos 1cos 2f x x x x x x x ⎛⎫'=+=+-=+- ⎪⎝⎭， 所以当1cos 2x <时函数单调递减，当1cos 2x >时函数单调递增，从而得到函数的递减区间为()5ππ2π,2π33k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z ，函数的递增区间为()ππ2π,2π33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，所以当π2π,3x k k =-∈Z 时，函数()f x 取得最小值，此时sin x x ==，所以()min2f x ⎛=⨯= ⎝⎭，故答案是. 6. 【2018年高考全国Ⅲ理数】函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________．【答案】3【解析】0πx ≤≤，ππ19π3666x ∴≤+≤，由题可知πππ3π336262x x +=+=，，或π5π362x +=，解得π4π,99x =，或7π9，故有3个零点. 7. 【2017年高考全国Ⅲ理数】函数()23sin 4f x x x =+-(π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦)的最大值是 . 【答案】1【解析】化简三角函数的解析式：()222311cos cos cos 144f x x x x x x ⎛=-+-=-++=-+ ⎝⎭， 由自变量的范围：π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得：[]cos 0,1x ∈，当cos 2x =时，函数()f x 取得最大值1. 8. 【2019年高考浙江卷】设函数()sin ,f x x x =∈R . （1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值； （2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域． 【答案】（1）π2θ=或3π2；（2）[122-+． 【解析】（1）因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数，所以，对任意实数x 都有sin()sin()x x θθ+=-+， 即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+， 故2sin cos 0x θ=， 所以cos 0θ=． 又[0,2π)θ∈， 因此π2θ=或3π2． （2）2222ππππsin sin 124124y fx f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππ1cos 21cos 2136212sin 222222x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭π123x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．因此，函数的值域是[1]22-+．9. 【2017年高考江苏卷】已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b（1）若a ∥b ，求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．【答案】（1）5π6x =；（2）0x =时，()f x 取到最大值3；5π6x =时，()f x 取到最小值-．【解析】（1）因为co ()s ,sin x x =a ，(3,=b ，a ∥b ，所以3sin x x =．若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠．于是tan 3x =-． 又[]0πx ∈，，所以5π6x =．（2）π(cos ,sin )(3,3cos ())6f x x x x x x =⋅=⋅=-=+a b ． 因为[]0πx ∈，，所以ππ7π[,]666x +∈，从而π1cos()6x -≤+≤ 于是，当ππ66x +=，即0x =时，()f x 取到最大值3；当π6x +=π，即5π6x =时，()f x 取到最小值-．。
【2016-2020年高考数学分类汇编】数学 专题4三角函数 学生版
2016-2020年高考数学分类汇编：专题4三角函数全国1【2020全国1卷文理7】函数f(x)=cos(ωx +π6)在[−π,π] 的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为A ．10π9B.7π6C.4π3D.3π2【2020全国1卷理9】已知α∈(0,π) ,且3cos2α−8cosα=5，则sinα=A.√53B.23C.13D.√59【2019全国1卷文理5】函数2sin ()cos x xf x x x+=+在[,]ππ-的图像大至为( ) A ． B ．C ．D ．【2019全国1卷文7】tan255︒=( )A ．2--B ．2-+C ．2D ．2【2019全国1卷文14】函数3()sin(2)3cos 2f x x x π=+-的最小值为_________ 【2019全国1卷理11】关于函数()sin sin f x x x =+有下述四个结论：①()f x 是偶函数 ②()f x 在区间2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调递增 ③()f x 在[],ππ-有4个零点 ④()f x 的最大值为2 其中所有正确结论的编号是.A ①②④ .B ②④ .C ①④ .D ①③【2018全国1卷理16】已知函数x x x f 2sin sin 2)(+=，则)(x f 的最小值是 .【2018全国1卷文8】已知函数2sin cos 2)(22+-=x x x f ,则A. )(x f 的最小正周期为π,最大值为3B. )(x f 的最小正周期为π,最大值为4C. )(x f 的最小正周期为π2,最大值为3D. )(x f 的最小正周期为π2,最大值为4【2018全国1卷文11】已知角α的顶点为坐标原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边上有两点A ),1(a ，B ),2(b ,且322cos =α， 则=-b a A .51B .55 C.552 D .1【2017全国1卷理9】已知曲线1:cos C y x =，22:sin 23C y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则下面结论正确的是 A .把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6π个单位长度，得到曲线2CB .把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移12π个单位长度，得到曲线2CC .把1C 上各点的横坐标伸长到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6π个单位长度，得到曲线2CD .把1C 上各点的横坐标伸长到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移12π个单位长度，得到曲线2C 【2017全国1卷文8】函数=y xxcos 12sin -的部分图像大致为【2017全国1卷文15】已知⎪⎭⎫ ⎝⎛∈20πα，，2tan =α，则⎪⎭⎫⎝⎛-4cos πα= 。
历年(2020-2023)全国高考数学真题分类(三角函数)汇编(附答案)
历年(2020‐2023)全国高考数学真题分类(三角函数)汇编【2023年真题】1. （2023ꞏ新课标I 卷 第8题）已知1sin()3αβ-=，1cos sin 6αβ=，则cos(22)αβ+=( ) A.79B.19C. 19-D. 79-2. （2023ꞏ新课标II 卷 第7题） 已知α为锐角，1cos 4α+=，则sin 2α=( )A. 38B. 18-C. 34D. 14-+3. （2023ꞏ新课标I 卷 第15题）已知函数()cos 1(0)f x x ωω=->在区间[0,2]π有且仅有3个零点，则ω的取值范围是__________.4. （2023ꞏ新课标II 卷 第16题）已知函数()sin()f x x ωϕ=+，如图，A ，B 是直线12y =与曲线()y f x =的两个交点，若||6AB π=，则()f π= .【2022年真题】5.（2022·新高考I 卷 第6题）记函数()sin()(0)4f x x b πωω=++>的最小正周期为.T 若23T ππ<<，且()y f x =的图像关于点3(,2)2π中心对称，则(2f π=( ) A. 1B.32C.52D. 36.（2022·新高考II 卷 第6题）若sin()cos()4παβαβαβ+++=+，则( )A. tan()1αβ+=-B. tan()1αβ+=C. tan()1αβ-=-D. tan()1αβ-=7.（2022·新高考II 卷 第9题）（多选）已知函数()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<的图象关于点2(,0)3π对称，则( ) A. ()f x 在5(0,)12π单调递减 B. ()f x 在11(,)1212ππ-有两个极值点 C. 直线76x π=是曲线()y f x =的一条对称轴D. 直线2y x =-是曲线()y f x =的一条切线【2021年真题】8.（2021·新高考I 卷 第4题）下列区间中，函数()7sin ()6f x x π=-单调递增的区间是( )A.0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B. ,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C. 3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭9.（2021·新高考I 卷 第6题）若tan 2θ=-，则sin (1sin 2)sin cos θθθθ+=+( )A. 65-B. 25-C.25 D.65【2020年真题】10.（2020·新高考I 卷 第10题 、II 卷 第11题）（多选）如图是函数()sin y x ωϕ=+的部分图象，则()sin x ωϕ+( )A. sin ()3x π+B. sin (2)3x π- C. cos (2)6x π+D. 5cos (2)6x π- 11.（2020·新高考I 卷 第15题、II 卷 第16题）)某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示，O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC的切点，四边形DEFG 为矩形，BC DG ⊥，垂足为C ，3tan 5ODC ∠=，//BH DG ，12EF cm =，2DE cm =，A 到直线DE 和EF 的距离均为7cm ，圆孔半径为1cm ，则图中阴影部分的面积为__________2.cm参考答案1. （2023ꞏ新课标I 卷 第8题）解：因为1sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ-=-=，1cos sin 6αβ=，则1sin cos .2αβ=故112sin()sin cos cos sin .263αβαβαβ+=+=+= 即2221cos(22)12sin ()12().39αβαβ+=-+=-⨯=故选B.2. （2023ꞏ新课标II 卷 第7题）解：22111cos 36114sin ()sin 222816424ααα+-----=====⇒=故选：.D3. （2023ꞏ新课标I 卷 第15题）解：令()cos 10f x x ω=-=，得cos 1x ω=，又[0,2]x π∈，则[0,2]x ωωπ∈，所以426πωππ<…，得2 3.ω<… 故答案为：[2,3).4. （2023ꞏ新课标II 卷 第16题）解： 设相邻的两个交点A ，B 的横坐标为1 t ，2 t ，则21 - 6t t π=又1sin()2x ωϕ+=，522,.0,66x k k k Z k ππωϕππ+=++∈=或当时 16t πωϕ+=，256t πωϕ+=，212( - )3t t πω=，故 4.ω=函数图象过点2(,0)3π，8sin ()03πϕ+=，故8 ,.3k k Z πϕπ=-∈ 2k =时满足图片条件，故2.3πϕ=-2()sin(4.32f πππ=-=- 5.（2022·新高考I 卷 第6题）解：由题可知：22(,)3T πππω=∈，所以(2,3).ω∈ 又因为()y f x =的图像关于点3(,2)2π中心对称，所以2b =，且33()sin() 2.224f b πππω=⨯++= 所以21(34k ω=-，k Z ∈，所以5.2ω=所以5()sin() 2.24f x x π=++所以() 1.2f π=6.（2022·新高考II 卷 第6题）解：解法一：设0β=则sin cos 0αα+=，取34απ=，排除B ，D 再取0α=则sin cos 2sin βββ+=，取4πβ=，排除;A 选.C解法二：由sin()cos())]44ππαβαβαβαβ+++=++=++)cos 44ππαβαβ=++，cos )sin 44ππαβαβ+=+ 故sin()cos cos(044ππαβαβ+-+=，即sin()04παβ+-=，故sin(sin()cos()0422παβαβαβ-+=-+-=， 故sin()cos()αβαβ-=--，故tan() 1.αβ-=- 7.（2022·新高考II 卷 第9题）（多选） 解：由题意得：24(sin()033f ππϕ=+=， 所以43k πϕπ+=，即43k πϕπ=-+，k Z ∈， 又0ϕπ<<，所以2k =时，23πϕ=，故2()sin(2).3f x x π=+ 选项5:(0,)12A x π∈时，2232(,)332x πππ+∈，由sin y u =图象知()f x 在5(0,)12π单调递减; 选项11:(,1212B x ππ∈-时，252(,)322x πππ+∈，由sin y u =图象知()f x 在11(,1212ππ-有1个极值点; 选项:C 由于，故直线76x π=不是()f x 的对称轴;选项:D 令，得21cos(232x π+=-， 解得222233x k πππ+=+或242233x k πππ+=+，k Z ∈，从而得x k π=或3x k ππ=+，k Z ∈，令0k =，则是斜率为1-的直线与曲线的切点，从而切线方程为(0)2y x -=--，即.2y x =- 8.（2021·新高考I 卷 第4题） 解：由22262k x k πππππ-+-+剟，得222,33k x k k Z ππππ-++∈剟， 所以()7sin ()6f x x π=-的单调递增区间为22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦， 当0k =时，一个单调递增区间为2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，可知20,,233πππ⎛⎫⎡⎤⊆- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 故选：.A9.（2021·新高考I 卷 第6题）解：原式22sin (sin cos 2sin cos )sin cos θθθθθθθ++=+ 22sin (sin cos )sin sin cos sin cos θθθθθθθθ+==++22222sin sin cos tan tan 422sin cos tan 1415θθθθθθθθ++-====+++， 故选：.C10.（2020·新高考I 卷 第10题 、II 卷 第11题）（多选） 解：由图象可知222()||36T ππππω==-=，故A 错误; 解得2ω=±， 点5(,1)12π-在函数图象上， 当2ω=时，522,k Z 122k ππϕπ⨯+=-+∈， 解得42,k Z 3k πϕπ=-+∈，故44sin 2sin 2sin 2333y x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-=-+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当2ω=-时，522,k Z 122k ππϕπ-⨯+=-+∈ 解得2,k Z 3k πϕπ=+∈，故函数解析式为sin 23y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，又cos 2sin 2sin 26263x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选.BC11.（2020·新高考I 卷 第15题、II 卷 第16题） 解：设上面的大圆弧的半径为x ，连接OA ，过A 作AI BH ⊥交BH 于J ，交DG 于K ，交EF 于I ，过O 作OL DG ⊥于L ，记扇形OAB 的面积为S 扇形，由题中的长度关系易知45AGD ︒∠=，所以45AHO ︒∠=， 又90OAH ︒∠=，可得AOH 为等腰直角三角形，可得2OJ AJ x ==，52OL JK x ==-， 72DL DK LK DK OJ x=-=-=-，3tan 5OL ODC DL ∠==， 5352x-=，解得x =，12AOH O S S S S =+- 阴影圆扇形222131154()24222cm πππ=⨯⨯+⨯-=+，故答案为54.2π+。
2016年高考数学文真题分类汇编：三角函数(艺术)
高考数学试题分类汇编--三角函数(基础）一、选择题1.（2016年山东）ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知22,2(1sin )b c a b A ==-,则:A=（ ）. （A ）3π4 （B ）π3 （C ）π4 （D ）π62.（四川） 为了得到函数y=sin )3(π+x 的图象，只需把函数y=sinx 的图象上所有的点（ ）. (A)向左平行移动3π个单位长度 (B) 向右平行移动3π个单位长度 (C) 向上平行移动3π个单位长度 (D) 向下平行移动3π个单位长度3.（全国I 卷）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a =2c =，2cos 3A =，则b=（ ）（A （B（C ）2 （D ）3.4.（全国I 卷）将函数y=2sin (2x+π6)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为（ ） （A ）y=2sin(2x+π4) （B ）y=2sin(2x+π3) （C ）y=2sin(2x –π4) （D ）y=2sin(2x –π3). 5.（全国II 卷）函数=sin()y A x ωϕ+的部分图像如图所示，则（ ）.（A ）2sin(2)6y x π=- （B ）2sin(2)3y x π=- （C ）2sin(2+)6y x π= （D ）2sin(2+)3y x π=6.（全国II 卷）函数π()cos 26cos()2f x x x =+-的最大值为:（ ） （A ）4 （B ）5（C ）6 （D ）77.（全国III 卷）若tan 13θ=，则cos 2θ=（ ) （A ）54- （B ）51- （C ）51 （D ）54 8.（全国III 卷）在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则sin A =（ ）（A ）310 （B（C （D .二、填空题1.（北京）在△ABC 中，23A π∠=，，则b c =______.2.（上海）若函数()4sin cos f x x a x =+的最大值为5，则常数a =_____.3.（四川）0750sin = 。