2021届新中考数学必考精点考点专题 专题15 线段垂直平分线问题 原卷版
2021届新中考数学必考精点考点专题
专题15 线段垂直平分线问题
1. 线段的垂直平分线定义
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中
垂线．
2.线段垂直平分线的做法
求作线段AB的垂直平分线.
作法：（1）分别以点A，B为圆心，以大于AB/2的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；
说明：作弧时的半径必须大于AB/2的长，否则就不能得到两弧的交点了．
（2）作直线CD，CD即为所求直线．
说明：线段的垂直平分线的实质是一条直线.
3.线段垂直平分线的性质：
（1）线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
（2）线段的垂直平分线逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分
线上.
说明：线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两条线段相等的常用方
法之一．同时也给出了引辅助线的方法，“线段垂直平分线，常向两端把线连”.就是遇见线
段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造
全等三角形创造条件．
到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线.线段的垂直平分线可以看
作是与这条线段两个端点的距离相等的所有点的集合．
4.三角形的外心
三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接
圆的圆心——外心.
说明：
（1）三角形三条边的垂直平分线必交于一点（三线共点），该点即为三角形外接圆的圆心.
（2）锐角三角形的外心在三角形内部；钝角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外
心在斜边上，与
斜边中点重合.
（3）外心到三顶点的距离相等.
5.尺规作图
线段的垂直平分线作图题是初中数学中不可缺少的一类试题，它要求写出“已知，求作，
作法和画图”，画图必须保留痕迹，在现行的教材里，一般不要求写出作法，但是必须保留
痕迹.证明过程一般不用写出来.最后要点题即“xxx即为所求”.
6.中考出现考查线段的垂直平分线问题的基本类型
类型一：线段的垂直平分线定理。
类型二：线段的垂直平分线的逆定理。
类型三：线段的垂直平分线定理与逆定理的综合应用。
类型四：尺规作图。
【例题1】（2020•枣庄）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接
AE．若BC＝6，AC＝5，则△ACE
的周长为（ ）
A．8 B．11 C．16 D．17
【对点练习】（2019湖南湘西州）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线
EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC
的长是（ ）
A．10 B．8 C．4 D．2
【例题2】（2020•南京）如图，线段AB、BC的垂直平分线11、l2相交于点O，若∠1＝39°，
则∠AOC＝ ．
【对点练习】（2020毕节市模拟）等腰△ABC的底角为72°，腰AB的垂直平分线交另一腰AC
于点E，垂足为D，连接BE，则∠EBC的度数为 ．
【例题3】（2020连云港模拟）如图，已知AB=AC,∠ABD=∠ACD，求证：AD是线段BC的垂直
平分线．
【对点练习】（2019广西百色）如图，菱形ABCD中，作BE⊥AD、CF⊥AB，分别交AD、AB的延
长线于点
E、F
．
（1）求证：AE＝BF；
（2）若点E恰好是AD的中点，AB＝2，求BD的值．
【例题4】（2019广西北海）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，观察图
中尺规作图的痕迹，则AD的长是（ ）
A． B．4 C． D．2
【对点练习】电信部门要修建一座电视信号发射塔P，按照设计要求，发射塔P到两城镇A、B
的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．请在图中作出发射塔P的位置．（尺
规作图，不写作法，保留作图痕迹）
一、选择题
1．（2020•湘西州）如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长
线交圆O于点D．下列结论不一定成立的是（ ）
A．△BPA为等腰三角形
B．AB与PD相互垂直平分
C．点A、B都在以PO为直径的圆上
D．PC为△BPA的边AB上的中线
2.如图，△ABC中AC＞BC，边AB的垂直平分线与AC交于点D，已知AC=5，BC=4，则△BCD
的周长是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
3．（2019广西梧州）如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且
AC
＝8，BC＝5，则△BEC的周长是（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
二、填空题
4．（2020长春模拟）如图，在△ABC中，∠B=30°，ED垂直平分BC，ED=3．则CE长为 ．
5．（2020莱芜模拟）如图，在△ABC中，AB=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线交AC于点D．若
AC=6cm，
则AD= cm．
6．在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于M，N，作直
线MN，交BC于点D，连接AD．如果BC＝5，CD＝2，那么AD＝ ．
三、解答题7.如图，△ABC中，BC=7，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平
分线分别交AC、BC于点F、G．求△AEG的周长．
8.如图，P是∠MON的平分线上的一点，PA⊥OM,PB⊥ON,垂足分别为A、B．求证：PO垂直平分
AB．
9.已知：如图，AB=AC，DB=DC，E是AD上一点． 求证：BE=CE．
10.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N.
求证：CM=2BM.
11.（2019内蒙古赤峰）已知：AC是▱ABCD的对角线．（1）用直尺和圆规作出线段AC的垂直
平分线，与AD相交于点E，连接CE．（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，若AB＝3，BC＝5，求△DCE的周长．
2021年上海市16区中考数学一模考点分类汇编专题15 几何综合(解答题25题压轴题)(逐题详解版)
2021年上海市16区中考数学一模汇编专题15 几何综合（解答题25题压轴题）1．（2021·上海徐汇区·九年级一模）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，12AC =，5BC =，点D 是边AC 上的动点，以CD 为边在ABC 外作正方形CDEF ，分别联结AE 、BE ，BE 与AC 交于点G ． （1）当AE BE ⊥时，求正方形CDEF 的面积；（2）延长ED 交AB 于点H ，如果BEH △和ABG 相似，求sin ABE ∠的值；（3）当AG AE =时，求CD 的长．2．（2021·上海长宁区·九年级一模）己知，在矩形ABCD中，点M是边AB上的一个点（与点A、B不重合），联结CM，作∠CMF＝90°，且MF分别交边AD于点E、交边CD的延长线于点F．点G为线段MF的中点，联结DG．（1）如图1，如果AD＝AM＝4，当点E与点G重合时，求∠MFC的面积；（2）如图2，如果AM＝2，BM＝4．当点G在矩形ABCD内部时，设AD＝x，DG2＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）如果AM＝6，CD＝8，∠F＝∠EDG，求线段AD的长．（直接写出计算结果）3．（2021·上海宝山区·九年级一模）如图，已知ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 、E 在边AB 上，45DCE ∠=︒，过点A 作AB 的垂线交CE 的延长线于点M ，联结MD ．（1）求证：2CE BE DE =⋅；（2）当3AC =，2AD BD =时，求DE 的长；（3）过点M 作射线CD 的垂线，垂足为点F ，设BD x BC=，tan FMD y ∠=，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域．4．（2021·上海浦东新区·九年级一模）四边形ABCD 是菱形，∠B≤90°，点E 为边BC 上一点，联结AE ，过点E 作EF∠AE ，EF 与边CD 交于点F ，且EC=3CF ．（1）如图1，当∠B=90°时，求ABE S 与ECF S 的比值；（2）如图2，当点E 是边BC 的中点时，求cos B 的值；（3）如图3，联结AF ，当∠AFE=∠B 且CF=2时，求菱形的边长．5．（2021·上海杨浦区·九年级一模）如图，已知在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，点D 为边BC 上一动点（与点B 、C 不重合），点E 为边AB 上一点，EDB ADC ∠=∠，过点E 作EF AD ⊥，垂足为点G ，交射线AC 于点F ．（1）如果点D 为边BC 的中点，求DAB ∠的正切值；（2）当点F 在边AC 上时，设CD x =，CF y =，求y 关于x 的函数解析式及定义域；（3）联结DF 如果CDF 与AGE 相似，求线段CD 的长．6．（2021·上海青浦区·九年级一模）在ABC 中，90C ∠=︒，2AC =，BC =D 为边AC 的中点（如图），点P 、Q 分别是射线BC 、BA 上的动点，且BQ =，联结PQ 、QD 、DP ．（1）求证：PQ AB ⊥；（2）如果点P 在线段BC 上，当PQD △是直角三角形时，求BP 的长；（3）将PQD △沿直线QP 翻折，点D 的对应点为点'D ，如果点'D 位于ABC 内，请直接写出BP 的取值范围．7. （2021黄浦一模）如图，四边形ABCD 中，4AB AD ==，3CB CD ==，90ABC ADC ∠=∠=︒，点M 、N 是边AB 、AD 上的动点，且12MCN BCD ∠=∠，CM 、CN 与对角线BD 分别交于点P 、Q ．（1）求sin MCN ∠的值：（2）当DN DC =时，求CNM ∠的度数；（3）试问：在点M 、N 的运动过程中，线段比PQ MN的值是否发生变化？如不变，请求出这个值；如变化，请至少给出两个可能的值，并说明点N 相度的位置．8．（2021·上海静安区·九年级一模）已知∠MAN是锐角，点B、C在边AM上，点D在边AN上，∠EBD=∠MAN，且CE∠BD，sin∠MAN=35，AB=5，AC=9．（1）如图1，当CE与边AN相交于点F时，求证：DF·CE=BC·BE；（2）当点E在边AN上时，求AD的长；（3）当点E在∠MAN外部时，设AD=x，∠BCE的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域．9．（2021·上海崇明区·九年级一模）如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，点D 为斜边AB 的中点，ED AB ⊥，交边BC 于点E ，点P 为射线AC 上的动点，点Q 为边BC 上的动点，且运动过程中始终保持PD QD ⊥．（1）求证：ADP EDQ △△；（2）设AP x =，BQ y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出该函数的定义域；（3）连接PQ ，交线段ED 于点F ，当PDF 为等腰三角形时，求线段AP 的长．10．（2021·上海闵行区·九年级一模）如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，点E 在边AB 上（点E 与端点A 、B 不重合），联结DE ，过点D 作DF DE ⊥，交BC 的延长线于点F ，连接EF ，与对角线AC 、边CD 分别交于点G 、H ．设AE x =，DH y =．（1）求证：ADE CDF ∽△△，并求EFD 的正切值；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出该函数的定义域；（3）连接BG ，当BGE △与DEH △相似时，求x 的值．11．（2021·上海奉贤区·九年级一模）已知圆O 的直径4AB =，点P 为弧AB 上一点，联结PA PO 、，点C 为劣弧AP 上一点(点C 不与点A 、P 重合），联结BC 交PA PO 、于点D E 、()1如图，当78cos CBO ∠=时，求BC 的长；()2当点C 为劣弧AP 的中点，且EDP ∆与AOP ∆相似时，求ABC ∠的度数；()3当2AD DP =，且BEO ∆为直角三角形时．求四边形AOED 的面积．12．（2021·上海普陀区·九年级一模）如图，矩形ABCD 中，1AB =，3BC =，点E 是边BC 上一个动点（不与点B 、C 重合），AE 的垂线AF 交CD 的延长线于点F ．点G 在线段EF 上，满足:1:2FG GE =．设BE x =．（1）求证：AD DF AB BE=； （2）当点G 在ADF 的内部时，用x 的代数式表示ADG ∠的余切；（3）当FGD AFE ∠=∠时，求线段BE 的长．13. （2021虹口一模）如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，3AB =，4BC =，过点A 作射线//AM BC ，点D 、E 是射线AM 上的两点（点D 不与点A 重合，点E 在点D 右侧），连接BD 、BE 分别交边AC 于点F 、G ，DBE C ∠=∠．（1）当1AD =时，求FB 的长（2）设AD x =，FG y =，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）联结DG 并延长交边BC 于点H ，如果DBH △是等腰三角形，请直接写出AD 的长．14.（2021宝山一模） 如图，已知ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 、E 在边AB 上，45DCE ∠=︒，过点A 作AB 的垂线交CE 的延长线于点M ，联结MD ．（1）求证：2CE BE DE =⋅；（2）当3AC =，2AD BD =时，求DE 的长；（3）过点M 作射线CD 的垂线，垂足为点F ，设BD x BC=，tan FMD y ∠=，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域．15. （2021松江一模）如图，已知在等腰ABC 中，AB AC ==，tan 2ABC ∠=，BF AC ⊥，垂足为F ，点D 是边AB 上一点（不与A ，B 重合）（1）求边BC 的长；（2）如图2，延长DF 交BC 的延长线于点G ，如果CG 4=，求线段AD 的长；（3）过点D 作DE BC ⊥，垂足为E ，DE 交BF 于点Q ，连接DF ，如果DQF △和ABC 相似，求线段BD 的长．16.（2021嘉定一模）在矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，点E 在CD 边上，1tan 2DAE ∠=.点F 是线段AE 上一点，联结BF ，CF .（1）如图11，如果3tan 4CBF ∠=，求线段AF 的长； （2）如图12，如果12CF BC =， ①求证：∠CFE =∠DAE ；②求线段EF 的长.2021年上海市16区中考数学一模汇编专题15 几何综合（解答题25题压轴题）1．（2021·上海徐汇区·九年级一模）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，12AC =，5BC =，点D 是边AC 上的动点，以CD 为边在ABC 外作正方形CDEF ，分别联结AE 、BE ，BE 与AC 交于点G ．（1）当AE BE ⊥时，求正方形CDEF 的面积；（2）延长ED 交AB 于点H ，如果BEH △和ABG 相似，求sin ABE ∠的值； （3）当AG AE =时，求CD 的长．【答案】（1）494；（2）119169；（3． 【分析】（1）利用勾股定理求出AB 的长，设CD=x ，则AD=12-x ，利用勾股定理得出13²=x²+(12-x)²+(5+x)²+x²，求出x 的值，再利用正方形的面积公式求解即可；（2）先证∠BAC=∠EBF ，设边长为x ，利用三角函数求出x 的值，再求∠ABE 的正弦值即可；（3）设边长为x ，利用∠BCG∠∠EDG ，得出5DE DG x BC GC ==，然后联立512125x AG GC x AE ⎧=-=-⎪+⎨⎪=⎩，根据AG=AE ，求解即可．【详解】解：（1）Rt∠ABC 中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，13= ，设CD=x ，则AD=12-x ，在∠ADE 中，AE²=DE²+AD²=x²+(12-x)²，在∠BFE 中，BE²=BF²+EF²=(5+x)²+x²，在∠ABE 中，AE∠BE ，∠AB²=AE²+BE²，即13²=x²+(12-x)²+(5+x)²+x²，解得x=72，∠正方形CDEF 的面积=CD²=72×72=494； （2）如图：延长ED 交AB 于H ，∠∠BEH∠∠ABG ，且∠ABG=∠EBH ，∠∠BEH=∠BAG ， ∠DE∠EF ，∠∠BEH=∠EBF ，∠∠BAC=∠EBF ，设边长为x ， 则tan∠EBF=5x x +，tan∠BAC=512，令5x x +=512，则x=257, ∠25125971284HDAH ADBCAB AC-====，∠59767138484AH =⋅=， ∠BH=13-AH=32584，HD=5929558484⋅=， ∠HE=HD+x=59584， 过H 作HM ，与BE 相交于M ，5sin sin 13B M AG HE ∠=∠=,595sin 84s 951419165in 81332HM HE HEM ABE BH BH ⨯⋅∠∠====；（3）∠DE//BC,∠∠BCG∠∠EDG ，设边长为x ，∠5DE DG xBC GC ==， ∠DG+GC=x ，∠DG=25x x +，GC=55x x +，则512125x AG GC x AE ⎧=-=-⎪+⎨⎪=⎩，令AG=AE ， 则或（舍去）．【点睛】本题考查了勾股定理、相似三角形的性质与判定及利用三角函数求解，解题的关键是熟练掌握相关性质，正确构造辅助线，表示相关线段的长度．2．（2021·上海长宁区·九年级一模）己知，在矩形ABCD 中，点M 是边AB 上的一个点（与点A 、B 不重合），联结CM ，作∠CMF ＝90°，且MF 分别交边AD 于点E 、交边CD 的延长线于点F ．点G 为线段MF 的中点，联结DG ．（1）如图1，如果AD ＝AM ＝4，当点E 与点G 重合时，求∠MFC 的面积；（2）如图2，如果AM ＝2，BM ＝4．当点G 在矩形ABCD 内部时，设AD ＝x ，DG 2＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）如果AM ＝6，CD ＝8，∠F ＝∠EDG ，求线段AD 的长．（直接写出计算结果）【答案】（1）20；（2）()4244644x x y x =-+<；（3）AD =或【分析】（1）运用ASA 证明∠AME DFE ≅∆求出FD 的长再运用三角形面积公式即可得到答案；（2）证明FHM MHC △∽△，根据相似三角形的性质列出比例式，代入相关数值即可求出函数关系式；（3）分点G 在矩形内部和外部两种情况求解即可． 【详解】解（1）过M 作MH∠DC ，垂足为H ，如图1易得四边形ADHM 是正方形，∠AE ED =又∠FED=∠MEA∠∠()AME DFE ASA ≅∆ ∠.4AM FD DH ===∠MH FC ⊥∠∠FHM=∠CHM=90°，∠HCM+∠HMC=90° ∠90FMC ∠=︒，∠∠FMH+∠HMC=90°∠∠FMH=∠HCM∠∠FMH∠∠MCH ∠12MH HC FH MH ==∠2CH =，CF 10=∠1202MFC S CF MH =⋅=△ （2）过M 作MH∠DC ，过G 点作GP∠DC ，垂足分别为H ，P ，如图2，∠FG GM =，//GP MH ∠111222GP MH AD x ===，12FP PH FH == ∠MH∠DC ，∠∠MHF=∠MHC=90°，∠HMC+∠ HCM=90° ∠∠FMC=90°，∠∠FMH+∠HMC=90° ∠∠FMH=∠HCM ，∠FHM MHC △∽△∠FH MH MH HC =，即4FH x x =，∠24x FH =∠28x PH =，228x DP =-，12GP x =∠222DG DP GP =+∠424644x x y =-+由00FH DP >⎧⎨>⎩ 可得4x <<∠定义域为4x <<（3）点G 在矩形内部时,延长DG 交AB 于J ，连接AG ，AF ，如图∠EDG EFD MCB ∠=∠=∠∠AD BC =∠ADJ BCM ≌△△， 2AJ BM == ∠1GJ GMDG GF==，∠AG DG =∠∠12=∠∠∠1390+∠=︒∠∠3490+∠=︒ ∠∠90AGE =︒∠AG 垂直平分FM ∠6AF AM ==∠4DF MJ ==∠AD ===点G 在矩形外部时，延长DG 交BA 延长线于L ，连接DM ，如图∠EDG EFD MCB ∠=∠=∠，AD BC =∠ADL BCM ≌△△， ∠2AL BM ==∠∠L CMD =∠，∠FMC 为直角，∠90DGE ∠=︒，DG 垂直平分FM ∠8DM DF ==，6AM =，∠AD =AD =或【点睛】收费题主要考查了三角形全等的判定与性质、垂直平分线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理和性质是解答此题的关键．3．（2021·上海宝山区·九年级一模）如图，已知ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 、E 在边AB 上，45DCE ∠=︒，过点A 作AB 的垂线交CE 的延长线于点M ，联结MD ．（1）求证：2CE BE DE =⋅；（2）当3AC =，2AD BD =时，求DE 的长； （3）过点M 作射线CD 的垂线，垂足为点F ，设BDx BC=，tan FMD y ∠=，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域．【答案】（1）见解析；（2）DE=6-；（3）)．【分析】（1）先证∠B=∠DCE ，再由∠DEC=∠CEB ，得出∠DEC∠∠CEB ，进而得出结论；（2）由∠DEC∠∠CEB 得BC=BE ，再由∠DEC∠∠DCA ，得AD=AC ，最后利用勾股定理求解即可；（3）连接EF ，先证∠BDC∠∠EDF ，得出FD DE CD BD =，进而得出FDMF=y ，然后结合已知条件得出结果． 【详解】解：（1）∠∠ACB=90°，∠∠B=45°，∠∠DCE=45°，∠∠B=∠DCE ，∠∠DEC=∠CEB ，∠∠DEC∠∠CEB ，∠EC DE BE CE=，故CE²=BE·DE ； （2）由题意得∠DCE 是等腰三角形，DC=CE ，由∠DEC∠∠CEB 得BC=BE ， 同理可得∠DEC∠∠DCA ，AD=AC ，∠BC=AC ，∠BE=AD=BC=AC ，∠AC=3，∠在Rt∠ABC中，AB²=BC²+AC²=9+9=18，，∠AD=2BD，∠BD=AB-AD=AB-3，-6，-3，∠DE=AB-BD--3)=6-．（3）连接EF，由三角形相似可得∠FED=∠DBC，∠EF∠BC，∠∠EFD=∠BCD，∠∠EDF=∠BDC，∠∠BDC∠∠EDF，∠FD DECD BD=，∠tan∠FMD=y，∠FDMF=y，在Rt∠MFC中，∠MCF=45°，∠MF=CF，∠FD FDCF MF==y，∠BDxBC=，BE=BC，∠BD BDxBE BC==，∠,FD BDy xCF BE==，∠DE=1xBDx-，CD=1yFDx-，∠FD DECD BD=，11y xy x=--，则y(1-y)=x(1-y)，y-xy=x-xy，．．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定及勾股定理的应用，解题的关键是灵活运用相似三角形的性质与判定．4．（2021·上海浦东新区·九年级一模）四边形ABCD 是菱形，∠B≤90°，点E 为边BC 上一点，联结AE ，过点E 作EF∠AE ，EF 与边CD 交于点F ，且EC=3CF ． （1）如图1，当∠B=90°时，求ABE S与ECFS的比值；（2）如图2，当点E 是边BC 的中点时，求cos B 的值； （3）如图3，联结AF ，当∠AFE=∠B 且CF=2时，求菱形的边长．【答案】（1）94；（2）15；（3）17. 【分析】（1）先证明：,BEA CFE ∽可得：BE ABCF CE=，结合：3,EC CF =可得：3,AB BE =再设,,CF a BE b == 可得3,AB BC b a ==+而3AB b =，建立方程：33,b a b +=可得：3,2b a = 再利用相似三角形的性质可得答案．（2）延长,AE DC 相交于G ，过F 作FHAD ⊥于,H 连接AF ，先证明：,ABE GCE ≌可得：,,AB CG AE GE == 证明：AF FG =， 设,CF a = 再设DH x =， 利用22222,AF AH FH DF DH -==-求解x ，可得cos ,D 从而可得答案；（3）如图，过E 作EG DC ⊥交DC 的延长线于G ，延长CG 至H ,使,CG HG = 证明：6EH EC ==， 设,DF x = ,HG GC y == 证明：,AFE B D ECH H ∠=∠=∠=∠=∠可得：cos ,6EF ycoc AFE H AF ∠==∠=再证明：,FEH AFD ∽利用相似三角形的性质列方程组，解方程组可得答案．【详解】解：（1）四边形ABCD 是菱形，90B ∠=︒， ∴ 四边形ABCD 是正方形，90B C ∴∠=∠=︒，90BAE BEA ∴∠+∠=︒， ,EF AE ⊥ 90BEA CEF ∴∠+∠=︒， ,BAE CEF ∴∠=∠ ,BEA CFE ∴∽ BE AB CF CE ∴=，,BE CFAB CE∴= 3,EC CF =3,AB BE ∴= 设,,CF a BE b == 3,CE a ∴= 3,AB BC b a ∴==+ 而33,AB BE b ==33,b a b ∴+= 3,2b a ∴= 9,2AB a ∴= 22992.34ABE CEFaSAB SCE a ⎛⎫ ⎪⎛⎫∴===⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭（2）延长,AE DC 相交于G ，过F 作FH AD ⊥于,H 连接AF ，菱形ABCD ，//,AB CD ∴ ,BAE G ∴∠=∠ E 为BC 的中点，,BE CE ∴=,AEB CEG ∠=∠ ()ABE GCE AAS ∴≌,,,AB CG AE GE ∴==,AE EF ⊥ ,AF FG ∴=设,CF a = 则3,CE BE a == 6AB BC DC CG AD a =====，75,FG AF a DF a ∴===， 设,DH x = 22222,AF AH FH DF DH ∴-==-()()()2222765,a a x a x ∴--=- ,x a ∴= ,DH a ∴= 1cos ,55DH a DDF a ∴=== 由菱形ABCD 可得：,B D ∠=∠ 1cos .5B ∴=（3）如图，过E 作EG DC ⊥交DC 的延长线于G ，延长CG 至H ,使,CG HG =,,EC EH H ECH ∴=∠=∠ 23,CF CE CF ==， 6CE EH ∴==，设,DF x = ,HG GC y == 则2,DC AD x ==+ ,6HG y coc H EH ∴∠== 菱形ABCD ， ,//,B D AB CD ∴∠=∠ ,B ECH ∴∠=∠ ,AFE B ∠=∠,AFE B D ECH H ∴∠=∠=∠=∠=∠ cos ,6EF y coc AFE H AF ∴∠==∠= ,AFH AFE EFH D DAF ∠=∠+∠=∠+∠ ,EFH DAF ∴∠=∠,FEH AFD ∴∽ ,EH HF EF DF AD AF ∴== 622,26y y x x +∴==+ 361012xy xy y =⎧∴⎨=+⎩，解得：15,2.4x y =⎧⎨=⎩经检验：152.4x y =⎧⎨=⎩是原方程组的解，217,CD x ∴=+= 即菱形ABCD 的边长为：17. 【点睛】本题考查的是三角形全等的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理的应用，菱形，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，解分式方程组，掌握以上知识是解题的关键． 5．（2021·上海杨浦区·九年级一模）如图，已知在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，点D 为边BC 上一动点（与点B 、C 不重合），点E 为边AB 上一点，EDB ADC ∠=∠，过点E 作EF AD ⊥，垂足为点G ，交射线AC 于点F ．（1）如果点D 为边BC 的中点，求DAB ∠的正切值；（2）当点F 在边AC 上时，设CD x =，CF y =，求y 关于x 的函数解析式及定义域；（3）联结DF 如果CDF 与AGE 相似，求线段CD 的长．【答案】（1）1tan 3DAB ∠=；（2）()2402y x x =-+<≤；（3）-4、8-． 【分析】（1））过点D 作DH AB ⊥于H ，在Rt ACB 中，利用勾股定理解得AD 、AB 的长，再结合等积法，解得DH 、AH 的长即可解题；（2）根据相似三角形对应边成比例的性质，表示()444x EH x -=+， 再证明AFE BDE 由AF AE DB BE =即)4444x y x x --=-+得到与x 的关系； （3）根据相似三角形对应边成比例的性质，结合（2）中y 关于x 的函数解析式联立方程组，继而解得x 、y 的值即可解题．【详解】（1）过点D 作DH AB ⊥于H ，在Rt ACB 中，AD =AB ==142ADB S DB AC ∴=⋅=12ADB S AB DH =⋅DH ∴=AH == 1tan 3DH DAB AH ∴∠==； （2）过E 作EH∠CB 于H∠EDB ADC ∠=∠，90C EHD ∠=∠=︒∠ACD EHD ．∠AC EH CD DH = 即44EH x x EH=--．∠()444x EH x -=+ ．∠EH∠CB ，90ACB ∠=︒，4AC BC ==∠)44x EB x -==+ ，AB =∠)44x AE x -=+∠EF AD ⊥，90C ∠=︒∠AFG ADC ∠=∠ ．∠EDB ADC ∠=∠ ∠AFG EDB ∠=∠．∠45FAE B ∠=∠=︒∠AFE BDE ．∠AF AE DB BE =即)4444x y x x --=-+()2402y x x =-+<≤； （3）在Rt∠MDB 中，DB=4-x,所以MD=MB=(4).2x - 在Rt∠ADM 中，AM=AB 一MB=)(4).22x x -=+所以tan∠DAB=44DM x AM x -=⋅+ 按照点F 的位置，分两种情况讨论∠CDF 与∠AGE 相似:①点F 在线段AC 上，此时y=4-2x.如图，如果∠FDC=∠DAB ，由tan∠FDC=tan∠DAB,得44y x x x-=⋅+结合y=4-2x ，整理，得x2+8x+16=0. 解得-4 或--4 （舍去）,如果∠CFD=∠DAB ，由tan∠CFD=tan∠DAB ，得4.4x x y x-=+ 结合y=4- -2x,整理，得x 2-16x+16=0.解得8x =-8+②点F 在线段AC 的延长线上，此时y=2x-4如图如果∠FDC=∠DAB,由44y x x x -=+结合y=2x -4，整理，得23160.x -=解得或3-（舍去） 如果∠CFD=∠DAB, 44x x y x-=+与y=2x -4整理，得238160.x x -+=此方程无解.综上，CD 的值为-4、8- 【点睛】本题考查勾股定理、相似三角形的性质，涉及解二元一次方程组等知识，解题关键是根据题意利用相似三角形性质构造方程．6．（2021·上海青浦区·九年级一模）在ABC 中，90C ∠=︒，2AC =，BC =D 为边AC 的中点（如图），点P 、Q 分别是射线BC 、BA 上的动点，且2BQ BP =，联结PQ 、QD 、DP ．（1）求证：PQ AB ⊥；（2）如果点P 在线段BC 上，当PQD △是直角三角形时，求BP 的长；（3）将PQD △沿直线QP 翻折，点D 的对应点为点'D ，如果点'D 位于ABC 内，请直接写出BP 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2或6；（3）33BP << 【分析】（1）证明∠BPQ∠∠BAC 即可；（2）由∠PQD<90︒，只需要讨论两类情况，当90DPQ ∠=︒时，利用tan3AC B BC ===，求出∠B=30，30DPC ∠=︒，计算tan 30CD CP ︒===，根据BP=BC -CP 求值；当90PDQ ∠=︒时，过Q 作QE∠AC 交AC 于E ，则∠QED=∠PDQ=90C ∠=︒，证明∠EQD∠∠CDP ，得到QE ED CD CP=，设BP t =，过点Q 作QF∠BC 于F ，则四边形CEQF 是矩形，求出1344t QE F t t C +===，1CD =，CP t =，14DE CE CD =-=-，代入比例式求出t 的值； （3）只需考虑BP 的极限情况：①当'D 正好在BC 上时，如图3，设BP=m ，由'30DD C B ∠=∠=︒求出'CD =，'DP D P =，列得()'2CP D P CP DP m m +=+=+=计算求值即可；②另外一个极限情况时，如图4，当PQ 经过点D 时，求出PC=tan 602CD =︒，即可得到3BP =【详解】解：（1）在ABC 中，90C ∠=︒，2AC =，BC =∠4AB ==，∠BC AB ==，∠BQ BP =，∠BQ BP =∠BQ BC BP AB =，∠QBP CBA ∠=∠， BPQBAC ∴，∠90BQP BCA ∠=∠=︒，PQ AB ∴⊥；（2）90PQD ∠<︒，所以只需要讨论两类情况，当90DPQ ∠=︒时，如图1，在Rt∠ABC中，tan 3AC B BC ===，∠∠B=30， ∠9060QPB B ∠=︒-∠=︒，30DPC ∴∠=︒， ∠2AC =，点D 为边AC 的中点，∠CD=1，∠tan 30CD CP ︒===，BP BC CP ∴=-= 当90PDQ ∠=︒时，如图2，过Q 作QE∠AC 交AC 于E ，则∠QED=∠PDQ=90C ∠=︒，∠∠EQD+∠EDQ=∠EDQ+∠CDP=90︒，EQD CDP ∴，QE ED CD CP∴=， 设BP t =，过点Q 作QF∠BC 于F ，则四边形CEQF 是矩形，∠∠B=30，∠BQP=90︒， ∠PQ=12t ，∠60QPB ∠=︒，∠cos 6014PF PQ t =⋅︒=，sin 60QF PQ =⋅︒=，∠1344t QE F t t C +===，1CD =，CP t =，14DE CE CD t =-=-，134t -∴=t ∴=或t =（舍去）， 综上，BP或6；（3）只需考虑BP 的极限情况：①当'D 正好在BC 上时，如图3，设BP=m ，'DD PQ ⊥，'30DD C B ∴∠=∠=︒，'CD ∴=30CDP ∠=︒，又'DP D P =，()'2CP D P CP DP m m ∴+=+=+=3m ∴=； ②另外一个极限情况时，如图4，当PQ 经过点D 时，∠60P ∠=︒，90DCP ∠=︒，CD=1， ∠PC=tan 603CD =︒，∠3BP =BP <<． ．【点睛】此题考查相似三角形的判定及性质，锐角三角函数，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的性质，矩形的判定及性质，熟记各定理是解题的关键．7. （2021黄浦一模）如图，四边形ABCD 中，4AB AD ==，3CB CD ==，90ABC ADC ∠=∠=︒，点M 、N 是边AB 、AD 上的动点，且12MCN BCD ∠=∠，CM 、CN 与对角线BD 分别交于点P 、Q ．（1）求sin MCN ∠的值：（2）当DN DC =时，求CNM ∠的度数；（3）试问：在点M 、N 的运动过程中，线段比PQ MN的值是否发生变化？如不变，请求出这个值；如变化，请至少给出两个可能的值，并说明点N 相度的位置．【答案】（1）45；（2）45°；（3）不会发生变化，35． 【分析】（1）连接AC,利用垂直平分线性质，构造Rt △ABC ，由正弦三角函数即可求得；（2）证明 △BCG ≌△DCN ，得到角相等，再由角相等，得△GMC ≌△NMC ，由DN DC =解答即可； （3）由D 、C 、N 、P 四点共圆，得到∠CPD=∠CND=∠MNC ，再得△CPQ ∽△CNM ，由此解答即可．【详解】解：（1）连接AC ∵4AB AD ==，3CB CD ==∴AC 垂直平分BD∴∠ACB=∠ACD=12∠BCD=∠MCN 在Rt △ABC 中，AB=4，AC=3∴5== ∴sin MCN ∠=sin ∠ACB=45AB AC = （2）延长AB 至G 点，使BG=DN ，连接CG ，∵CB=CD ∠CBG=∠CBN=90°∴△BCG ≌△DCN ∴∠G=∠CND ，CN=CG ，∠BCG=∠DCN∴∠MCN=12∠BCD ∴∠MCB+∠NCD=12∠BCD ∴∠GCM=∠GCB+∠GCM=12∠BCD=∠MCN ∵CM=CM ， ∠G=∠CND,∴△GMC ≌△NMC ∴∠G=∠MNC=∠DNC当DN=NC时∠DNC=∠DCN=45°∴∠DNC=∠CNM=45°（3）连接NP, ∵∠ADC=∠ADO+∠CDO=90°∠ADO+∠CDO=90°∴∠ADO=∠COD=12∠BCD=∠MCN∴∠NDP=∠NCP∴D、C、N、P四点共圆，∴∠NPC+∠NDC=180°∵∠NDC=90°∴∠NPC=90°∴∠CPD=∠CND=∠MNC∴△CPQ∽△CNM∴PQ CP MN CN=在Rt△CPN中，CPCN=cos∠MCN=cos∠ACB=35∴不会发生变化35PQMN=【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形全等性质与判断，三角形相似等知识点，解题的关键是掌握性质与判定．8．（2021·上海静安区·九年级一模）已知∠MAN是锐角，点B、C在边AM上，点D在边AN上，∠EBD=∠MAN，且CE∠BD，sin∠MAN=35，AB=5，AC=9．（1）如图1，当CE与边AN相交于点F时，求证：DF·CE=BC·BE；（2）当点E在边AN上时，求AD的长；（3）当点E在∠MAN外部时，设AD=x，∠BCE的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域．【答案】（1）证明见解析；（2）AD=4±（3）224825x y x x =-+．定义域为：44x <<+． 【分析】（1）根据CE∠BD ，得出∠CEB=∠DBE ，∠DBA=∠BCE 结合题干证明出∠ABD∠∠ECB ，进而得到AD EBAB EC＝，再等量代换即可得到DF·CE=BC·BE ．（2）过点B 作BH∠AN ，垂足为H ．根据条件先证明出∠CEB∠∠CAE ，得到2CE =CB CA ⋅，代入求出CE ，再根据BD ABCE AC=求出BD ，利用三角函数求出BH ，根据勾股定理即可求出AD ． （3）过点B 作BH∠AN ，垂足为H ．BH=4，AH=3，DH=4x -根据∠ECB∠∠ABD 得到22EBC ADB S BC S BD △△＝，代入化简为224825xy x x =-+即可求解．【详解】解：（1）∠CE∠BD ，∠∠CEB=∠DBE ，∠DBA=∠BCE ．∠∠A=∠DBE ，∠∠A=∠BEC ．∠∠ABD∠∠ECB ，∠AD EB AB EC ＝．∠AD DF AB BC=，∠EB DFEC BC =，∠DF·CE=BC·BE ．（2）过点B 作BH∠AN ，垂足为H ．∠CE∠BD，∠∠CEB=∠EBD=∠A，又∠∠BCE=∠ECA，∠∠CEB∠∠CAE，∠CE CACB CE=，∠2CE=CB CA⋅．∠AB=5，AC=9，∠BC=4，∠24936CE==⨯，∠CE=6．∠BD ABCE AC=，∠561093AB CEBD==AC⋅⨯=．在Rt∠ABH中，3sin535BH AB A=⋅=⨯=，∠AH=224AB BH-=．==．AD=4±（3）过点B作BH∠AN，垂足为H．BH=4，AH=3，DH=4x-．2222224)3825BD=DH+BH x x x=-+=-+（．∠∠ECB∠∠ABD，∠22EBCADBS BCS BD△△＝．∠1322ABDS AD BH x=⋅△＝，∠21638252yx xx=-+，∠224825xyx x=-+．定义域为44x<．【点睛】此题属于平面几何的综合应用，主要利用三角形相似，找到相似比，根据相似比求值，计算量较大，有一定难度．9．（2021·上海崇明区·九年级一模）如图，Rt ABC中，90ACB∠=︒，6AC=，8BC=，点D为斜边AB 的中点，ED AB⊥，交边BC于点E，点P为射线AC上的动点，点Q为边BC上的动点，且运动过程中始终保持PD QD⊥．（1）求证：ADP EDQ △△；（2）设AP x =，BQ y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出该函数的定义域； （3）连接PQ ，交线段ED 于点F ，当PDF 为等腰三角形时，求线段AP 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）253250443y x x ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭；（3）256或53 【分析】（1）根据ED AB ⊥，PD QD ⊥得A DEQ ∠=∠，ADP EDQ ∠=∠，即可得ADP EDQ △△．（2）先根据相似三角形的性质、中点性质以及锐角三角函数的概念得出tan EQ ED EDB AP AD BD===，求出34EQ x =，再根据BQ BE EQ =-，列出函数关系式，化简即可． （3）先证PDFBDQ △△，再分3种情况讨论，分别求出AP 的长．【详解】解：（1）PD QD ⊥，ED AB ⊥∠A DEQ ∠=∠，ADP EDQ ∠=∠，∠ADP EDQ △△．（2）ADP EDQ △△，∠EQ EDAP AD= 又点D 为斜边AB 的中点，∠AD BD = ， EQ ED EDAP AD BD==又ED AB ⊥在Rt BDE 中tan =ED ED EQB BD AD AP==，又6tan =8AC BC DE B BD ==，由勾股定理得：BC =10D 为AB 中点， ∠BD =5， DE =154，由勾股定理得：BE =254AP x =，可得34EQ x =，BQ BE EQ =-， 253250443y x x ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭． （3）tan tan DQ ED EDFPD B DP AD BD∠====，∠FPD B ∠=∠，又∠PDF BDQ ∠=∠， ∠PDFBDQ △△，∠PDF 为等腰三角形时，BDQ △亦为等腰三角形．若DQ BQ =，12cos BD B BQ=，542253544x =-，解得256x ．若BD BQ =， 253544x -=，解得53x =． ③若DQ BD =，2180B DQB BDQ B BDQ ︒∠+∠+∠=∠+∠<，此种情况舍去．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，三角函数，正确和熟练应用相似三角形的性质得到各线段之间的数量关系是解决本题的关键．10．（2021·上海闵行区·九年级一模）如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，点E在边AB 上（点E与端点A 、B 不重合），联结DE ，过点D 作DF DE ⊥，交BC 的延长线于点F ，连接EF ，与对角线AC 、边CD 分别交于点G 、H ．设AE x =，DH y =．（1）求证：ADE CDF ∽△△，并求EFD ∠的正切值； （2）求y 关于x 的函数解析式，并写出该函数的定义域； （3）连接BG ，当BGE △与DEH △相似时，求x 的值．【答案】（1）证明见解析；12；（2）222(02)21x y x x +=<<+；（3）45x =或45x =【分析】（1）根据垂直关系得到ADE CDF ∠=∠，根据AA 即可证明ADE CDF ∽△△，得到12DE AD DF CD ==，再根据正切的定义即可求解tan EFD ∠； （2）先证明FCH FBE △∽△，得到FC CH FB BE =，代入得到22212x yx x-=+-，故可求解； （3）根据题意分BEG DHE △∽△和EGB HDE △∽△，分别列出比例式求出x 的值即可求解． 【详解】解：（1）∠90ADE CDE ︒∠+∠=，90CDF CDE ︒∠+∠=∠ADE CDF ∠=∠在Rt EAD 和Rt FCD 中90ADE CDFEAD FCD ∠=∠⎧⎨∠=∠=︒⎩90EAD FCD ︒∠=∠=∠FAD FCD △∽△∠2AB DC ==，1AD =，∠12DE AD DF CD == ∠1tan 2DE EFD DF ∠== （2）由（1）可知ADE CDF ∽△△∠12EA DE AD FC DF CD ===∠22FC EA x ==∠AB //CD∠FCH FBE △∽△，∠FC CH FB BE =∠22212x y x x -=+-∠222(02)21x y x x +=<<+， （3）∠AE x =，DH y =，过点E 作EM∠CD 于M 点，∠四边形AEMD 为矩形∠MH=DH -DM=DH -AE=y -x ，∠2BE x =-，DE =EH =∠AB //CD∠AEG CHG △∽△∠EG AE HG CH =∠EG AE EH AE CH =+∠AEEG EH AE CH=⋅+∠BEG DHE ∠=∠， 若BEG DHE △∽△， ∠BE EG DH HE =∠BE AEDH AE CH =+即22x x y x y -=+- 化简得2240x y +-=∠22221x y x +=+∠222212240x x x +⨯-++=化简得22508x x +=-解得x =45x =若EGB HDE △∽△∠BE EG EH HD = ∠2AE BE HD HE AE CH⋅=⋅+即2(2)1()2x x y y x x y ⎡⎤-=⋅+-⎣⎦+- ∠22221x y x +=+代入化简得22637200x x ++=∠=372-4×26×20=-711＜0，∠方程无解综上，45x =和x =BGE △与DEH △相似．【点睛】本题考查了矩形的性质、函数关系式、正切的定义、相似三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．11．（2021·上海奉贤区·九年级一模）已知圆O 的直径4AB =，点P 为弧AB 上一点，联结PA PO 、，点C 为劣弧AP 上一点(点C 不与点A 、P 重合），联结BC 交PA PO 、于点D E 、()1如图，当78cos CBO ∠=时，求BC 的长；()2当点C 为劣弧AP 的中点，且EDP ∆与AOP ∆相似时，求ABC ∠的度数； ()3当2AD DP =，且BEO ∆为直角三角形时．求四边形AOED 的面积．【答案】（1）72；（2）18°；（3）53【分析】（1）方法一：作OG BC ⊥，利用垂径定理和余弦即可求得；方法二：连接AC ，根据直径所对的圆周角等于90°可得∠ACB=90°，利用余弦解直角三角形即可；（2）先根据已知条件确定两个相似三角形的对应角，得出P PED PAO OEB ∠=∠=∠=∠，设ABC α∠=，利用等腰三角形等边对等角和弧与圆心角的关系，圆周角定理分别表示∠AOP 和∠OEB ，利用三角形外角的性质即可求得α即ABC ∠；（3）分当90EOB ∠=和当90OEB ∠=时两种情况讨论，画出对应图形，利用相似三角形和解直角三角形的知识求解即可．【详解】解析：方法一： 作OG BC ⊥，∠BC=2BG,7cos 4BG BO CBO =⋅∠=，722BC BG ∴==；方法二： 连接AC ，∠AB 为直径，90ACB ∴∠=7cos 2BC AB CBO ∴=⋅∠=； （2）∠AO=OP ，∠∠PAO=∠P ，∠P P ∠=∠，EDP ∆与AOP ∆相似，,DPEOPA ∴∆∆P PED PAO OEB ∴∠=∠=∠=∠，C 是AP 中点，CO ∴平分AOP ∠， CO BO =，设,ABC α∠=2,4AOC AOP αα∴∠=∠=，18049022PAO OEB αα-∴∠==-=∠，AOP OEB ABC ∴∠=∠+∠， 即4902a a a =-+，18a ABC ∴=∠=；()3 I ．当90EOB ∠=时，作DH AB ⊥∠DH//OP ，∠∠ADH∠∠APO ，∠23AH DH AD AD AO OP AP AD DP ====+， 23AH AO ∴=，∠AB=4，∠OA=OB=2，428,,333AH HO BH ∴===， 2,AO OP ==43AH DH ∴==，∠DH//OP ，∠∠BOE∠∠BHD ， 28433EO OB EODH HB ∴===，1EO ∴=， AHD AOED HOEDS S S ∆∴=+四边形梯形21414251232333⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； II ．当90OEB ∠=时连接,AC由()1得//AC DP ，∠∠ACD∠∠PED ，∠ACB∠∠OEB ，2AD DP =，∠2CD AC ADDE PE DP===，2AC EP ∴=，又,AO BO =∠=2CB AC ABBE OE BO==，2,AC EO ∴=2,30AC OP ABC ∴==∠=，60,EOB CAO ∴∠=∠=∠AO=OP ，∠∠PAO=∠APO ，∠PAO+∠APO=∠EOB=60°，∠30CAD AP O O PA ∠=∠==∠，ABC OEB ACD AOED S S S S ∆∆∆∴=--四边形111222AC BC OE BE CD AC =⋅-⋅-⋅4,AB =2,AC BC BE ∴===1OE =，CD =111212222AOED S ∴=⨯⨯⨯=四边形综上所述，四边形AOED 的面积为53 【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、相似三角形的性质和判定，解直角三角形，等腰三角形的性质等．（1）中能借助定理构造直角三角形是解题关键；（2）能借助相似三角形以及圆周角定理表示相关角是解题关键；（3）中注意分类讨论和正确构造图形．12．（2021·上海普陀区·九年级一模）如图，矩形ABCD 中，1AB =，3BC =，点E 是边BC 上一个动点（不与点B 、C 重合），AE 的垂线AF 交CD 的延长线于点F ．点G 在线段EF 上，满足:1:2FG GE =．设BE x =．（1）求证：AD DFAB BE=； （2）当点G 在ADF 的内部时，用x 的代数式表示ADG ∠的余切； （3）当FGD AFE ∠=∠时，求线段BE 的长．。
专题15 三角形及其性质(解析版)2021年中考数学
2021年中考数学一轮复习过关训练汇编专题15 三角形及其性质一、选择题1．下列各组线段，能构成三角形的是（）A．3,2,1B．2,1,1C．2,2,1D．4,2,1【答案】C【分析】根据构成三角形的条件进行判断即可．【详解】A：3-2=1，两边之差不小于第三边，不满足构成三角形的条件，故不符合题意；B：2-1=1，两边之差不小于第三边，不满足构成三角形的条件，故不符合题意；C：2+2>1，2-2＜1，满足构成三角形的条件，故符合题意；D：4-2=2>1，两边之差不小于第三边，不满足构成三角形的条件，故不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查组成三角形的条件，掌握两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．2．等腰三角形的两边长分别是5cm和11cm，则它的周长是（）A．27cm B．21cm C．27cm或21cm D．无法确定【答案】A【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为5cm和11cm，而没有明确腰是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【详解】解：当三边是5，5，11时，5+5＜11，不符合三角形的三边关系，应舍去；当三边是5，11，11时，符合三角形的三边关系，此时周长是27．故选：A．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系．已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．3．如图，在△ABC中，△A＝90°，若沿图中虚线截去△A，则△1+△2的度数为（）A．90°B．180°C．270°D．300°【答案】C【分析】在△ABC中，利用三角形内角和定理可求出△B+△C的度数，再利用四边形内角和为360°，即可求出△1+△2的度数．【详解】解：在△ABC中，△A＝90°，△A+△B+△C＝180°，△△B+△C＝180°﹣90°＝90°，又△△1+△2+△B+△C＝360°，△△1+△2＝360°﹣90°＝270°．故选：C．【点睛】本题考查三角形和四边形内角和的性质，熟知：“三角形内角和为180°，四边形内角和为360°”是解答本题的关键．4．如图，若△A＝60°，△B＝48°，△C＝32°，则△BDC＝（）A．102°B．160°C．150°D．140°【答案】D【分析】如图，延长AD，利用三角形的外角性质分别求得△1、△2的值即可．【详解】解：如图，延长AD，△△1＝△B+△BAD，△2＝△C+△CAD，△A＝60°，△B＝48°，△C＝32°，△△1+△2＝△B+△C+△BAC＝48°+32°+60°＝140°．故选：D．【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决. 5．如图，AB△CD，BD△CF，垂足为B，△BDC=50°，则△ABF的度数为（）A．50°B．40°C．45°D．25°【答案】B【分析】首先利用三角形内角和定理计算出△C的度数，再利用平行线的性质可得△ABF的度数．【详解】解：△BD△CF，△△DBC=90°，△△BDC=50°，△△C=180°-90°-50°=40°，△AB△CD，△△ABF=△C=40°，故选：B ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等．6．如图，在四边形ABCD 中，E ，F 分别是两组对边延长线的交点，EG ，FG 分别是BEC ∠，DFC ∠的角平分线．若60ADC ∠=︒，80ABC ∠=︒，则G ∠=（ ）A ．140︒B ．130︒C ．120︒D ．110︒【答案】D【分析】 连接EF ，根据三角形内角和等于180°及三角形角平分线的性质，即可得出△EGF1(360)2ABC ADC ︒=-∠-∠，代入△ADC =60°、△ABC =80°，即可求出△EGF 的度数． 【详解】解：连接EF ，如图所示．△EGF =180°-（△GFE +△GEF ）=180°-（△CFE -△CFG +△CEF -△CEG ）=180°-（△CFE +△CEF ）+（△CFG +△CEG ）11180(180)()22C CFD CEB ︒︒=--∠+∠+∠ 1()2C CFD CEB =∠+∠+∠ 1(180180)2C C CDA C CBA ︒︒=∠+-∠-∠+-∠-∠1(360)2ABC ADC ︒=-∠-∠， △△ADC =60°、△ABC =80°，△△EGF =12(360°-60°-80°) =110°．故选：D ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的性质，根据角与角之间的关系找出△EGF 12=(360°-△ABC -△ADC )是解题的关键．二、填空题7．ABC ∆的三边长分别为1,3,x ，且x 为整数，则x 的值是_____________．【答案】3【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．【详解】解：根据三角形三边关系，△三角形的第三边x 满足：3-1＜x ＜3+1，即2＜x ＜4，△x 为整数，△x =3，故答案为：3．【点睛】此题主要考查了三角形三边关系，根据第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和是解决问题的关键．8．如图，把三角形铁皮ABC 加工成四边形ABCD 形状的零件，△A ＝40°，且D 恰好是△ABC 两条角平分线的交点，工人师傅量得△BDC ＝110°，则这个四边形零件加工_____．（填“合格”或“不合格”）【答案】合格【分析】根据三角形内角和定理可求出ABC ACB ∠+∠的大小，再根据角平分线的性质可知△DBC ＝12△ABC ，△DCB ＝12△ACB ，即可求出△DBC +△DCB 的大小，最后再利用三角形内角和定理即可求出△BDC ＝110°，与题干相符，即合格．【详解】解：△△A ＝40°，△18040140ABC ACB ∠+∠=︒-︒=︒，△BD 、CD 分别平分△ABC 和△ACB ，△△DBC ＝12△ABC ，△DCB ＝12△ACB ， △△DBC +△DCB ＝12△ABC +12△ACB ＝140︒×12＝70°， △△BDC ＝110°，△这个四边形零件加工合格，故答案为：合格．【点睛】本题考查三角形内角和定理以及角平分线的性质．利用两知识点找出角的等量关系是解答本题的关键． 9．如图，在ABC 中，68ACB ∠=︒，12∠=∠．若P 为ABC 的角平分线BP ，CP 的交点，则BPC ∠=________；若P 为ABC 内一点，则BPC ∠=________．【答案】112︒ 112︒【分析】若P 为ABC 的角平分线BP ，CP 的交点，可求出BCP ∠及2∠的度数，然后根据三角形内角和定理得出答案；若P 为ABC 内一点，可整体求出2BCP ∠+∠的度数，然后根据三角形内角和定理得出答案．【详解】解：若P 为ABC 的角平分线BP ，CP 的交点，△68ACB ∠=︒，△134BCP ∠=∠=︒，△12=34∠=∠︒，△18021803434112BPC BCP ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒；若P 为ABC 内一点，△12∠=∠，△1268ACB BCP BCP ∠=∠+∠=∠+∠=︒，△()180180681122BC BP P C ∠=︒-=︒-︒=∠+∠︒；故答案为：112°，112°．【点睛】本题考查了三角形角平分线的定义及三角形内角和定理，熟练掌握整体思想的应用是解题的关键． 10．如图，在△ABC 中，BD 平分△ABC ，连接CD ，若△A ＝△D ＝40°，△ACD ＝30°，则△DCE 的度数为_____．【答案】70°．【分析】由三角形的外角的性质定理得到△ACE ＝△A +△ABC ，△DCE ＝△CBD +△D ，再由已知△ABD ＝△CBD ，△A ＝△D ＝40°，△ACD ＝30°解方程组可求得结果．【详解】△BD 平分△ABC ，△△ABD ＝△CBD ，△△ACE ＝△A +△ABC ＝40°+2△CBD ，△△DCE +△ACD ＝△A +2△CBD ，△△DCE ＝△CBD +△D ，△A ＝△D ＝40°，△ACD ＝30°，△△DCE +30°＝40°+2△CBD ，即△DCE ＝2△CBD +10°①，△DCE ＝40°+△CBD ②，由①②得△DCE ＝70°，故答案为：70°．【点睛】本题主要考查了三角形的外角的性质定理，角平分线的定义，熟练应用三角形的外角的性质定理是解决问题的关键．11．如图，在△ABC 中，AD △BC ，AE 平分△BAC ，若△1＝30°，△2＝20°，则△B ＝_____．【答案】50°．【分析】利用角平分线的定义结合1∠的度数可得出CAE ∠的值，进而可得出DAE ∠、BAD ∠的值，在ABD ∆中利用三角形内角和定理可求出B 的值，此题得解．【详解】解：AE ∵平分BAC ∠，130∠=，130CAE ∴∠=∠=︒，210DAE CAE ∴∠=∠-∠=︒，140BAD DAE ∴∠=∠+∠=︒．AD BC ⊥，90ADB ∴∠=︒，18050B BAD ADB ∴∠=︒-∠-∠=︒．故答案为50°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的行政，熟悉相关性质是解题的关键．12．如图，△BAC＝30°，AP平分△BAC，GF垂直平分AP，交AC于F，Q为射线AB上一动点，若PQ的最小值为3，则AF的长为_____．【答案】6【分析】作PH△AC于H，连接PF，根据角平分线的性质求出PH，根据线段垂直平分线的性质得到F A＝FP，根据三角形的外角的性质求出△PFH，根据直角三角形的性质解答即可．【详解】解：作PH△AC于H，连接PF，当PQ△AB时，PQ的最小，△AP平分△BAC，PQ△AB，PH△AC，△PH＝PQ＝3，△P AB＝△P AC＝15°，△GF垂直平分AP，△F A＝FP，△△FP A＝△P AC＝15°，△△PFH＝30°，△PF＝2PH＝6，△AF＝6，故答案为：6．【点睛】本题为三角形综合题，掌握角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的外角的性质以及含30角的直角三角形的性质是解答本题的关键．三、解答题13．已知a b c ，，满足()2240a c --=．（1）求a b c ，，的值．（2）以a b c ，，为边能否构成三角形，如果能，求出三角形的周长；如果不能，请说明理由．【答案】（1）a =2，b =3，c =4；（2）能，9【分析】（1）根据非负数的性质列式求解即可得到a 、b 、c 的值；（2）利用三角形的三边关系判断能够组成三角形，然后根据三角形的周长公式列式进行计算即可得解．【详解】解：（1）根据题意得：a -2=0，b -3=0，c -4=0，解得：a =2，b =3，c =4；（2）△2+3>4，即a +b ＞c ，△能构成三角形，△C △ABC =2+3+4=9．【点睛】本题考查了绝对值，算术平方根和平方数非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．14．在证明“三角形内角和等于180”这一命题时，小彬的思路如下．请写出“求证”部分，补充第一步推理的依据并按他的思路完成后续证明．已知：如图，ABC ．求证：_____________________．证明：如图，在BC 边上取点D ，过点D 作//DE AB 交AC 于点E ，过点D 作//DF AC 交AB 于点F ． △//DE AB ，△1A ∠=∠，2B ∠=∠（依据：_____________________）．△//DF AC ，△13∠=∠．【答案】180A B C ∠+∠+∠=︒；两直线平行，同位角相等；见解析．【分析】结合平行线的性质进行推理证明．【详解】解：已知：如图，ABC ．求证：180A B C ∠+∠+∠=︒．证明：在BC 边上取点D ，过点D 作//DE AB 交AC 于点E ，过点D 作//DF AC 交AB 于点F ． △//DE AB ，△1A ∠=∠，2B ∠=∠（依据：两直线平行，同位角相等）．△//DF AC ，△13∠=∠，4C ∠=∠．△3A ∠=∠△2+3+4=180∠∠∠︒△180A B C ∠+∠+∠=︒即三角形内角和等于180°【点睛】本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质正确添加辅助线进行推理论证是解题关键．15．如图，在△ABC 中，AD △BC ，AE 平分△BAC ，△B ＝72°，△C ＝30°，①求△BAE 的度数；②求△DAE 的度数．【答案】①△BAE=39°；②△DAE=21°．【分析】①先根据三角形内角和定理计算出△BAC＝78°，然后根据角平分线定义得到△BAE＝12△BAC＝39°；②根据垂直定义得到△ADB＝90°，则利用互余可计算出△BAD＝90°﹣△B＝18°，然后利用△DAE＝△BAE﹣△BAD进行计算即可；【详解】解：①△△B+△C+△BAC＝180°，△△BAC＝180°﹣72°﹣30°＝78°，△AE平分△BAC，△△BAE＝12△BAC＝39°；②△AD△BC，△△ADB＝90°，△△BAD＝90°﹣△B＝18°，△△DAE＝△BAE﹣△BAD＝39°﹣18°＝21°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，垂直的定义，角的计算等知识．三角形内角和定理:三角形内角和是180°．16．在△ABC中，AB＝AC＝5，点D是边BC上的中点，AD＝3，求△ABC的面积．【答案】12【分析】由AB=AC，点D为BC的中点，可知AD△BC，且BD=CD，在Rt△ABD中，AB=5，AD=3，由勾股定理可求BD4=，可得BC=2BD==8，利用面积公式S△ABC=1122BC AD⋅=即可．【详解】解：△AB =AC ，点D 为BC 的中点，△AD △BC ，且BD =CD ，在Rt △ABD 中，AB =5，AD =3，△BD 2222534AD ，△BC =2BD =2×4=8，△S △ABC =11831222BC AD ⋅=⨯⨯=． 【点睛】本题考查等腰三角形性质，勾股定理。
线段的垂直平分线(知识讲解)-2020-2021年八年级数学下册基础知识专项讲练(北师大版)
专题1.5 线段的垂直平分线（知识讲解）【学习目标】1、会准确说出线段垂直平分线性质定理及其逆定理，并用几何语言表达其性质；2、能运用线段垂直平分线的性质解决有关问题；3、能灵活应用性质定理及判定定理进行相关的解题训练.【要点梳理】知识要点一线段垂直平分线定理：线段的垂直平分线的性质定理:线段的垂直平分线上的到这条线段两个端点的距离相等。
①如图，直线l垂直平分线段AB，P1、P2、P3是l上的点.试说明P1A= P1B.证明：∵l⊥AB，∴∠P1CA=∠P1CB.又CA=CB，P1C= P1C，∴△P1CA≌△P1CB (SAS).∴P1A= P1B.几何语言叙述：∵直线l垂直平分AB，P是直线l上任意一点;∴PA=PB.知识要点二线段垂直平分线判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.如图，在△PAB中，如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上？请证明这个结论？点P在线段AB的垂直平分线上证明：作PC⊥AB，垂足为C，则∠ACP=∠BCP=90°，在Rt△PAC和Rt△PBC 中，PA=PB，PC=PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL).∴AC=BC.∴PC是AB的垂直平分线，即点P 在线段AB 的垂直平分线上.线段垂直平分线性质的逆定理：几何语言叙述： ∵PA=PB;∴P 点在AB 的垂直平分线上.二、【典型例题】知识点（1）：垂直平分线的性质1．如图，在△ABC 中，DE 垂直平分AC ，若BC =20cm ，AB =12cm ，则△ABD 的周长为（ ）A ．20 cmB ．22 cmC ．26 cmD ．32cm解：∵DE 垂直平分AC ，∵AD CD =，201232ABD C AB BD AD AB BD DC AB BC cm ∴=++=++=+=+=，故选：D ．【总结升华】本题考查了垂直平分线的性质，理解基本性质灵活对边长进行转化是解题关键．【变式1】如图，△ABC 中，AB 的垂直平分线DE 交AC 于D ，如果△DBC 的周长等于9cm ，BC ＝4cm ，那么AC 的长是（ ）A ．5cmB ．6cmC ．7cmD ．9cm解：∵DE 是AB 的垂直平分线，∵DA ＝DB ，∵∵DBC 的周长为9，∵CB +CD +DB。
2021中考数学知识点总结 线段、角、相交线、平行线 （13大知识点+例题）
线段、角、相交线、平行线知识点：一、直线：直线是几何中不加概念的大体概念，直线的两大特点是“直”和“向两方无穷延伸”。
二、直线的性质：通过两点有一条直线，而且只有一条直线，直线的这条性质是以公理的形式给出的，可简述为：过两点有且只有一条直线，两直线相交，只有一个交点。
三、射线： 一、射线的概念：直线上一点和它们的一旁的部份叫做射线。
2．射线的特点：“向一方无穷延伸，它有一个端点。
”四、线段：一、线段的概念：直线上两点和它之间的部份叫做线段，这两点叫做线段的端点。
二、线段的性质（公理）：所有连接两点的线中，线段最短。
五、线段的中点：一、概念如图1一1中，点B 把线段AC 分成两条相等的线段，点B 叫做线段图1－1AC 的中点。
二、表示法：∵AB ＝BC∴点 B 为 AC 的中点或∵ AB ＝ 21MAC ∴点 B 为AC 的中点，或∵AC ＝2AB ，∴点B 为AC 的中点反之也成立∵点 B 为AC 的中点，∴AB ＝BC或∵点B 为AC 的中点， ∴AB= 21AC 或∵点B 为AC 的中点， ∴AC=2BC六、角一、角的两种概念：一种是有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角。
要弄清概念中的两个重点①角是由两条射线组成的图形；②这两条射线必需有一个公共端点。
另一种是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。
能够看出在起始位置的射线与终止位置的射线就形成了一个角。
2．角的平分线概念：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做那个角的平分线。
表示法有三种：如图1—2（1）∠AOC ＝∠BOC（2）∠AOB ＝2∠AOC ＝ 2∠COB（3）∠AOC ＝∠COB=21∠AOB 七、角的气宇：气宇角的大小，可用“度”作为气宇单位。
把一个圆周分成360等份，每一份叫做一度的角。
1度=60分；1分=60秒。
八、角的分类：（1）锐角：小于直角的角叫做锐角（2）直角：平角的一半叫做直角（3）钝角：大于直角而小于平角的角（4）平角：把一条射线，绕着它的端点顺着一个方向旋转，当终止位置和起始位置成一直线时，所成的角叫做平角。
知识点22 线段垂直平分线、角平分线、中位线2021
一、选择题6．（2020·枣庄）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若BC=6，AC=5，则△ACE的周长为（）A．8B．11C．16D．17{答案}B{解析}利用线段垂直平分线的性质进行等线段间的转换，然后整体求值．∵DE垂直平分AB，∴AE=BE，∴△ACE的周长=AC+CE+AE=AC+CE+BE=AC+BC=5+6=11．7．（2020·怀化）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD ＝3，则DE的长为（）A．3B．32C．2D．6{答案}A{解析}根据角平分线的性质即可求得．解：∵∠B＝90°，∴DB⊥AB，又∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，∴由角平分线的性质得DE＝BE＝3，故选：A．1．（2020·河北）如图1，在平面内作已知直线m的垂线，可作垂线的条数有A.0条B.1条C.2条D.无数条{答案}D{解析}在平面内，过任意一点都能作出直线m的一条垂线，故这样的垂线有无数条，选项D正确.7．(2020·成都)如图，在△ABC中，按以下步骤作图：△分别以点B和C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；△作直线MN交AC于点D，连接BD．若AC＝6，AD＝2，则BD的长为（）AB CDEA ．2B ．3C ．4D ．6 {答案}C{解析}根据线段垂直平分线的性质即可得到结论． 解：由作图知，MN 是线段BC 的垂直平分线，△BD ＝CD ，△AC ＝6，AD ＝2，△BD ＝CD ＝4，故选：C ．9．(2020·成都)如图，直线l 1△l 2△l 3，直线AC 和DF 被l 1，l 2，l 3所截，AB ＝5，BC ＝6，EF ＝4，则DE 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D．103{答案}D{解析}根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可． 解：△直线l1△l2△l3，△ABBC =DEEF，△AB ＝5，BC ＝6，EF ＝4，△56=DE4，△DE =103，故选：D ．4．（2020·宜昌）如图，点E ,F ,G ,Q,H 在一条直线上，且EF =GH ,我们知道按如图所作的直线l 为线段FG 的垂直平分线，下列说法正确的是（ ）.A ．l 是线段EH 的垂直平分线B ．l 是线段E Q 的垂直平分线C ．l 是线段FH 的垂直平分线D ．EH 是线段l 的垂直平分线{答案}A{解析}根据垂直平分线的定义，可得l 经过FG 的中点O ，△EF=GH ，△EO=HO,△l 是线段EH 的垂直平分线.8．（2020·凉山州）点C 是线段AB 的中点，点D 是线段AC 的三等分点．若线段AB ＝12cm ，则线段BD 的长为（ ）A ．10 cmB ．8 cmC ．10 cm 或8 cmD ．2 cm 或4 cm {答案}C{解析}如答图，由中点及三点分点可知，BD ＝6＋2＝8或BD ＝6＋4＝10，从而线段BD 的长为10 cm 或8 cm ，故选C ．4．（2020·广州）△ABC 中，点D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 的中点，连接DE ，若∠C=68゜，则∠AED=（ ）A ．22゜ B ．68゜ C ．96゜ D ．112゜ {答案}B{解析}本题考查了三角形中位线定理，由题目条件可知，DE 是△ABC 的中位线，三角形的中位线平行于第三边，所以DE//BC ，所以∠AED=∠C=68゜，因此本题选B ．（第4第8题答图222621A10．（2020·烟台）如图，点G为△ABC的重心，连接CG，AG并延长分别交AB，BC于点E，F，连接EF，若AB＝4.4，AC＝3.4，BC＝3.6，则EF的长度为（）A．1.7B．1.8C．2.2D．2.4【解析】∵点G为△ABC的重心，∴AE＝BE，BF＝CF，∴EF=12AC=1.7，故选：A．12．（2020·淄博）如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC ＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是（）A．a2+b2＝5c2B．a2+b2＝4c2C．a2+b2＝3c2D．a2+b2＝2c2【解析】设EF＝x，DF＝y，∵AD，BE分别是BC，AC边上的中线，∴点F为△ABC的重心，AF=12AC=12b，BD=12a，∴AF＝2DF＝2y，BF＝2EF＝2x，∵AD⊥BE，∴∠AFB＝∠AFE＝∠BFD＝90°，在Rt△AFB中，4x2+4y2＝c2，①在Rt△AEF中，4x2+y2=14b2，②在Rt△BFD中，x2+4y2=14a2，③②+③得5x2+5y2=14（a2+b2），∴4x2+4y2=15（a2+b2），④①﹣④得c2−15（a2+b2）＝0，即a2+b2＝5c2．故选：A ．二、填空题16.（2020·苏州）如图，在ABC ∆中，已知2AB =，AD BC ⊥，垂足为D ，2BD CD =.若E 是AD 的中点，则EC =_________.{答案}1{解析}本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形中位线定理，定理，取BD 中点F ，连接EF ，因为BD=2CD ，所以FD=CD,因为AD BC ⊥，所以EF=CE,因为E 是AD 的中点，所以EF 为△ABD 的中位线，所以EF=EC=12AB=1.12．（2020·镇江）如图，在△ABC 中，BC =3 ，将△ABC 平移5个单位得到△A 1B 1C 1 ，点P 、Q 分别是AB 、A 1C 1 的中点，PQ 的最小值等于 ．{答案}3．5{解析}本题考查了中位线和平移的知识，取AC 的中点D ，连接PD ，则PD ＝12BC ＝1．5，DQ ＝5，PQ 的最小值为5－1．5＝3．5．18．（2020·常州）如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，AB ＝62，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，连接DE ，在直线DE 和直线BC 上分别取点F 、G ，连接BF 、DG ．若BF ＝3DG ，且直线BF 与直线DG 互相垂直，则BG 的FAPQA 1B 1C 1长为________．{答案}2或4{解析}本题考查了三角形中位线定理，相似三角形，等腰直角三角形三边关系等知识点，考查了分类讨论思想．①如图①，F 在射线ED 上，过点B 作BM ⊥DF ，过点D 作DN ⊥BC∵D 为中点，∴BD ＝B ＝45°，∴BN ＝DN ＝3，∴BM ＝DN ＝3 ∵BF ⊥DG ，∴∠F ＋∠FDH ＝90°．又∠F ＋∠FDH ＝90°∴△FMB ∽△DNG ，∴3BF BM GD GN ==，33GN= ∴GN ＝1，∴BG ＝3－1＝2 ②过点D 作DM ⊥BC ，过F 作FN ⊥BC .DM ＝BM ＝3，∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90° ∴∠1＝∠3，又∠DMG ＝∠BNF ＝90°∴△DMG ∽△BNF ∴DG BFMG NF=∴BF ＝3DG ∴NF ＝3MG ＝DM ＝3 ∴MG ＝1 ∴BG ＝BM ＋MG ＝3＋1＝4 综上所述：BG ＝2或4图1图215. (2020·湘潭)如图，点P 是AOC ∠的角平分线上一点，PD OA ⊥，垂足为点D ，且3PD =，点M 是射线OC 上一动点，则PM 的最小值为________．{答案}3{解析}本题考查了垂线段最短、角平分线的性质，根据垂线段最短可知当PM ⊥OC 时，PM 最小，再根据角的平分线的性质，即可得出答案．根据垂线段最短可知：当PM ⊥OC 时，PM 最小， 当PM ⊥OC 时，又∵OP 平分∠AOC ，PD OA ⊥，3PD =， ∴PM =PD =3 故答案为：3（2020·本溪）15．（3分）如图，在△ABC 中，M ，N 分别是AB 和AC 的中点，连接MN ，点E 是CN 的中点，连接ME 并延长，交BC 的延长线于点D ．若BC ＝4，则CD 的长为 2 ．{答案}2{解析}∵M ，N 分别是AB 和AC 的中点， ∴MN 是△ABC 的中位线， ∴MN =12BC ＝2，MN ∥BC ， ∴∠NME ＝∠D ，∠MNE ＝∠DCE ， ∵点E 是CN 的中点， ∴NE ＝CE ，∴△MNE ≌△DCE （AAS ）， ∴CD ＝MN ＝2．5．(2020·青海)如图2，△ABC 中，AB ＝AC ＝14cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，且△DBC 的周长是24cm ，则BC ＝______cm ．{答案}10{解析}∵MN垂直平分AB，∴AD＝BD．∵△DBC的周长为24，∴BD＋DC＋BC＝24，即AC＋BC＝24．∴BC ＝24－AC＝24－14＝10．三、解答题25. (2020·湘潭)阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．（1）特例感知：如图（一），已知边长为2的等边△ABC的重心为点O，求△OBC与△ABC的面积．（2）性质探究：如图（二），已知△ABC的重心为点O，请判断ODOA、OBCABCSS是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值：如果不是，请说明理由．（3）性质应用：如图（三），在正方形ABCD中，点E是CD的中点，连接BE交对角线AC于点M．①若正方形ABCD的边长为4，求EM的长度；②若1CMES=，求正方形ABCD的面积．{解析}（1）连接DE，利用相似三角形证明12ODAO=，运用勾股定理求出AD的长，运用三角形面积公式求解即可；（2）根据（1）的证明可求解；（3）①证明△CME∽△ABM得12EMBM=，再运用勾股定理求出BE的长即可解决问题；MNDCAB图2②分别求出S △BMC 和S △ABM 即可. {答案}（1）连接DE ，如图，∵点O 是△ABC 的重心，AD ∴，BE 是BC ，A C 边上的中线，D E ∴，为BC ，AC 边上的中点，DE ∴为△ABC 的中位线，//DE AB ∴，12DE AB =， ∴~ODE OAB ，12OD DE OA AB ∴==， 2AB ∴=，1BD =AD ∴=，3OD =，11222OBCSBC OD ∴=⨯⨯=⨯=11222ABCSBC AD =⋅⋅=⨯=； （2）由（1）可知，12OD OA =是定值； 112132OBC ABCBC OD S OD S AD BC AD ⋅===⋅是定值； （3）①∵四边形ABCD 是正方形，//CD AB ∴，4AB BC CD ÷==，∴CMEAMBEM CEBM AB∴=∵E 为CD 的中点，122CE CD ∴==BE ∴==12EM BM ∴= 13EM BE ∴=，即EM = ②∴1CMES =，且12ME BM = ∴2BMCS =，∵12ME BM =， ∴214CME AMBS ME SBM ⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴4S 4AMBCMES==，246ABC BMCABMSSS ∴=+=+=，又ADC ABC S S =△△ ∴6ADCS=．∴正方形ABCD 的面积为：6+6=12．。
2021届新中考数学必考精点考点专题 专题33 中考几何折叠翻折类问题 原卷版
2021届新中考数学必考精点考点专题专题33 中考几何折叠翻折类问题1.轴对称（折痕）的性质：（1）成轴对称的两个图形全等。
（2）对称轴与连结“对应点的线段”垂直。
（3）对应点到对称轴的距离相等。
（4）对应点的连线互相平行。
也就是不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.对称的图形都全等.2.折叠或者翻折试题解决哪些问题（1）求角度大小；（2）求线段长度；（3）求面积；（4）其他综合问题。
3.解决折叠问题的思维方法（1）折叠后能够重合的线段相等，能够重合的角相等，能够重合的三角形全等，折叠前后的图形关于折痕对称，对应点到折痕的距离相等。
（2）折叠类问题中，如果翻折的直角，那么可以构造三垂直模型，利用三角形相似解决问题。
（3）折叠类问题中，如果有平行线，那么翻折后就可能有等腰三角形，或者角平分线。
这对解决问题有很大帮助。
（4）折叠类问题中，如果有新的直角三角形出现，可以设未知数，利用勾股定理构造方程解决。
（5）折叠类问题中，如果折痕经过某一个定点，往往用辅助圆解决问题。
一般试题考查点圆最值问题。
（6）折叠后的图形不明确，要分析可能出现的情况，一次分析验证可以利用纸片模型分析。
【例题1】（2020•哈尔滨）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为（）A．10° B．20° C．30° D．40°【对点练习】（2019重庆）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AB=3，AD⊥BC于点D，BE⊥AC 于点E，AE=1，连接DE，将△AED沿直线沿直线AE翻折至△ABC所在的平面内，得到△AEF，连接DF，过点D作DG⊥DE交BE于点G.则四边形DFEG的周长为（）A.8B.C.D..【例题2】（2020贵州黔西南）如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平，再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，已知BC＝2，则线段EG的长度为________．【对点练习】（2019四川内江）如图，在菱形ABCD中，simB＝，点E，F分别在边AD、BC 上，将四边形AEFB沿EF翻折，使AB的对应线段MN经过顶点C，当MN⊥BC时，的值是．【例题3】（2020衢州模拟）如图1，将矩形ABCD沿DE折叠，使顶点A落在DC上的点A′处，然后将矩形展平，沿EF折叠，使顶点A落在折痕DE上的点G处．再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处．如图2．（1）求证：EG=CH；（2）已知AF=，求AD和AB的长．【对点练习】（2019徐州）如图，将平行四边形纸片ABCD沿一条直线折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，折痕为EF．求证：（1）∠ECB＝∠FCG；（2）△EBC≌△FGC．一、选择题1.（2020•青岛）如图，将矩形ABCD折叠，使点C和点A重合，折痕为EF，EF与AC交于点O．若AE＝5，BF＝3，则AO的长为（）A．B．C．2D．42．（2020•枣庄）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，若∠EAC＝∠ECA，则AC的长是（）A．3B．4 C．5 D．63．（2020•广东）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD＝60°．若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则BE的长度为（）A．1 B．C．D．24．如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点．沿过点E的直线折叠，使点B 与点A重合，折痕现交于点F．已知EF=，则BC的长是（）A． B． C．3 D．5．如图，已知D为△ABC边AB的中点，E在AC上，将△ABC沿着DE折叠，使A点落在BC上的F处．若∠B=65°，则∠BDF等于（）A． 65° B． 50° C． 60° D． 57.5°6．如图，在矩形OABC中，OA=8，OC=4，沿对角线OB折叠后，点A与点D重合，OD与BC交于点E，则点D的坐标是（）A．（4，8） B．（5，8） C．（，） D．（，）7．（2019海南）如图，在▱ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E 处．若∠B＝60°，AB＝3，则△ADE的周长为（）A．12 B．15 C．18 D．218．（2019桂林）将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，BE，EG，FG为折痕，若顶点A，C，D都落在点O处，且点B，O，G在同一条直线上，同时点E，O，F在另一条直线上，则的值为（）A．B．C．D．二、填空题9．（2020•襄阳）如图，矩形ABCD中，E为边AB上一点，将△ADE沿DE折叠，使点A的对应点F恰好落在边BC上，连接AF交DE于点N，连接BN．若BF•AD＝15，tan∠BNF，则矩形ABCD 的面积为．10．（2020•牡丹江）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点E在AC边上．将∠A沿直线BE翻折，点A落在点A'处，连接A'B，交AC于点F．若A'E⊥AE，cos A，则．11．（2020•安徽）在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点Q处．折痕为AP；再将△PCQ，△ADQ分别沿PQ，AQ折叠，此时点C，D落在AP上的同一点R处．请完成下列探究：（1）∠PAQ的大小为°；（2）当四边形APCD是平行四边形时，的值为．12．（2019山东滨州）如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A落在EF上的N点处，同时得到折痕BM，BM与EF交与点H，连接线段BN，则EH与HN的比值是．13．〔2020上海模拟〕如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，点D在AC上，将△ADB沿直线BD翻折后，将点A落在点E处，如果AD⊥ED，那么线段DE的长为________.14．（2019内蒙古通辽）如图，在边长为3的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边上的一点，且AM＝AD，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C．则A′C长度的最小值是．15．（2019辽宁抚顺）在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝3，E是AB边上一点，AE＝2，F是直线CD 上一动点，将△AEF沿直线EF折叠，点A的对应点为点A'，当点E、A'、C三点在一条直线上时，DF的长度为．16．如图，在菱形ABCD中，tanA=，M，N分别在边AD，BC上，将四边形AMNB沿MN翻折，使AB的对应线段EF经过顶点D，当EF⊥AD时，的值为．17.（2019•河南）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，点E在边BC上，且BE＝a．连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B的对应点B′落在矩形ABCD的边上，则a的值为_______．18．（2019江苏淮安）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，H是AB的中点，将△CBH沿CH折叠，点B落在矩形内点P处，连接AP，则tan∠HAP＝．三、解答题19．（2020•金华）如图，在△ABC中，AB＝4，∠B＝45°，∠C＝60°．（1）求BC边上的高线长．（2）点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连结EF，沿EF将△AEF折叠得到△PEF．①如图2，当点P落在BC上时，求∠AEP的度数．②如图3，连结AP，当PF⊥AC时，求AP的长．20．（2020湘潭模拟）如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．（1）求证：△BDE∽△BAC；（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．21.（2020牡丹江）如图，四边形ABCD是正方形，点E在直线BC上，连接AE．将△ABE沿AE所在直线折叠，点B的对应点是点B′，连接AB′并延长交直线DC于点F．（1）当点F与点C重合时如图（1），易证：DF+BE=AF（不需证明）；（2）当点F在DC的延长线上时如图（2），当点F在CD的延长线上时如图（3），线段DF、BE、AF有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．。
2021年中考数学真题 几何综合压轴问题(解答题)-(原卷版)
33几何综合压轴问题（解答题）一、解答题1．（湖南省郴州市2021年中考数学试卷）如图1，在等腰直角三角形ABC中，BAC∠=︒．点E，F分别为AB，AC的中点，H为线段EF上一动点（不与点E，90F重合），将线段AH绕点A逆时针方向旋转90︒得到AG，连接GC，HB．（1）证明：AHB AGC≌；（2）如图2，连接GF，HC，AF交AF于点Q．①证明：在点H的运动过程中，总有90∠=︒；HFG①若4==，当EH的长度为多少时，AQG为等腰三角形？AB AC2．（2021·湖北中考真题）问题提出如图（1），在ABC和DEC中，=，EC DC=，点E在ABC内部，直线AD与BE交于点∠=∠=︒，BC ACACB DCE90F，线段AF，BF，CF之间存在怎样的数量关系？问题探究（1）先将问题特殊化．如图（2），当点D，F重合时，直接写出一个等式，表示AF，BF，CF之间的数量关系；（2）再探究一般情形．如图（1），当点D，F不重合时，证明（1）中的结论仍然成立．问题拓展 如图（3），在ABC 和DEC 中，90ACB DCE ∠=∠=︒，BC kAC =，EC kDC =（k 是常数），点E 在ABC 内部，直线AD 与BE 交于点F ，直接写出一个等式，表示线段AF ，BF ，CF 之间的数量关系．3．（2021·浙江中考真题）（证明体验）（1）如图1，AD 为ABC 的角平分线，60ADC ∠=︒，点E 在AB 上，AE AC =．求证：DE 平分ADB ∠．（思考探究）（2）如图2，在（1）的条件下，F 为AB 上一点，连结FC 交AD 于点G ．若FB FC =，2DG =，3CD =，求BD 的长．（拓展延伸）（3）如图3，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分,2BAD BCA DCA ∠∠=∠，点E 在AC 上，EDC ABC ∠=∠．若5,2BC CD AD AE ===，求AC 的长．4．（2021·浙江中考真题）如图1，四边形ABCD 内接于O ，BD 为直径，AD 上存在点E ，满足AE CD =，连结BE 并延长交CD 的延长线于点F ，BE 与AD 交于点G ．（1）若DBC α∠=，请用含α的代数式表列AGB ∠．（2）如图2，连结,CE CE BG =．求证；EF DG =．（3）如图3，在（2）的条件下，连结CG ，2AD =．①若tan ADB ∠=，求FGD 的周长． ①求CG 的最小值．5．（2021·浙江中考真题）在扇形AOB 中，半径6OA =，点P 在OA 上，连结PB ，将OBP 沿PB 折叠得到O BP '．（1）如图1，若75O ∠=︒，且BO '与AB 所在的圆相切于点B ．①求APO ∠'的度数．①求AP 的长．（2）如图2，BO '与AB 相交于点D ，若点D 为AB 的中点，且//PD OB ，求AB 的长．6．（2021·浙江中考真题）已知在ACD △中，Р是CD 的中点，B 是AD 延长线上的一点，连结,BC AP ．（1）如图1，若90,60,,ACB CAD BD AC AP ︒∠=︒∠==，求BC 的长．（2）过点D 作//DE AC ，交AP 延长线于点E ，如图2所示．若60,CAD BD AC ∠︒==，求证：2BC AP =．（3）如图3，若45CAD ∠=︒，是否存在实数m ，当BD mAC =时，2BC AP =？若存在，请直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．7．（2021·安徽中考真题）如图1，在四边形ABCD 中，ABC BCD ∠=∠，点E 在边BC 上，且//AE CD ，//DE AB ，作CF //AD 交线段AE 于点F ，连接BF ． （1）求证：ABF EAD △≌△；（2）如图2，若9AB =，5CD =，ECF AED ∠=∠，求BE 的长；（3）如图3，若BF 的延长线经过AD 的中点M ，求BE EC的值．8．（2021·四川中考真题）在等腰ABC中，AB AC=，点D是BC边上一点（不与点B、C重合），连结AD．（1）如图1，若60C∠=°，点D关于直线AB的对称点为点E，结AE，DE，则BDE∠= ________；（2）若60C∠=°，将线段AD绕点A顺时针旋转60︒得到线段AE，连结BE．①在图2中补全图形；①探究CD与BE的数量关系，并证明；（3）如图3，若AB ADkBC DE==，且ADE C∠=∠，试探究BE、BD、AC之间满足的数量关系，并证明．9．（2021·山东中考真题）如图1，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，且BD CD=．连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E．（1）求证：CD ED=；（2）AD与OC，BC分别交于点F，H．①若CF CH⋅=⋅；=，如图2，求证：CF AF FO AH①若圆的半径为2，1BD=，如图3，求AC的值．10．（2021·江苏中考真题）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．（1）ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一点，且1AE=，小亮以BE 为边作等边三角形BEF，如图1，求CF的长；（2）ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一个动点，小亮以BE为边作等边三角形BEF，如图2，在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长；（3）ABC是边长为3的等边三角形，M是高CD上的一个动点，小亮以BM为边作等边三角形BMN，如图3，在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长；（4）正方形ABCD的边长为3，E是边CB上的一个动点，在点E从点C到点B 的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形BFGH，其中点F、G都在直线AE上，如图4，当点E到达点B时，点F、G、H与点B重合．则点H所经过的路径长为______，点G所经过的路径长为______．11．（2021·吉林中考真题）实践与探究操作一：如图①，已知正方形纸片ABCD，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，点B的对应点为点M，折痕为AE，再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF，则EAF∠=度．操作二：如图①，将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点为点N．我们发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同．当点E在BC边的某一位置时，点N恰好落在折痕AE上，则∠=AEF度．在图①中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：（1）设AM与NF的交点为点P．求证ANP FNE△≌△：．（2）若AB=AP的长为．12．（2021·湖南中考真题）如图，在ABC 中，AB AC =，N 是BC 边上的一点，D 为AN 的中点，过点A 作BC 的平行线交CD 的延长线于T ，且AT BN =，连接BT ．（1）求证：BN CN =；（2）在如图中AN 上取一点O ，使AO OC =，作N 关于边AC 的对称点M ，连接MT 、MO 、OC 、OT 、CM 得如图．①求证：TOM AOC ∽；①设TM 与AC 相交于点P ，求证：1//,2PD CM PD CM =． 13．（2021·浙江台州市·中考真题）如图，BD 是半径为3的①O 的一条弦，BD ＝A 是①O 上的一个动点（不与点B ，D 重合），以A ，B ，D 为顶点作平行四边形ABCD ．（1）如图2，若点A是劣弧BD的中点．①求证：平行四边形ABCD是菱形；①求平行四边形ABCD的面积．（2）若点A运动到优弧BD上，且平行四边形ABCD有一边与①O相切．①求AB的长；①直接写出平行四边形ABCD对角线所夹锐角的正切值．14．（2021·青海中考真题）在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，若︒︒︒等大小的角，可以采用如下方法：身旁没有量角器或三角尺，又需要作60,30,15操作感知：第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开（如图13-1）．第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN（如图13-2）．猜想论证：（1）若延长MN 交BC 于点P ，如图13-3所示，试判定BMP 的形状，并证明你的结论．拓展探究：（2）在图13-3中，若AB a BC b ==，，当a b ，满足什么关系时，才能在矩形纸片ABCD 中剪出符（1）中的等边三角形BMP ？ 15．（2021·海南中考真题）如图1，在正方形ABCD 中，点E 是边BC 上一点，且点E 不与点B C 、重合，点F 是BA 的延长线上一点，且AF CE =．（1）求证：DCE DAF ≌；（2）如图2，连接EF ，交AD 于点K ，过点D 作DH EF ⊥，垂足为H ，延长DH 交BF 于点G ，连接,HB HC ．①求证：HD HB =；①若DK HC ⋅=，求HE 的长．16．（2021·甘肃中考真题）问题解决：如图1，在矩形ABCD 中，点,E F 分别在,AB BC 边上，,DE AF DE AF =⊥于点G ．（1）求证：四边形ABCD 是正方形；（2）延长CB 到点H ，使得BH AE =，判断AHF △的形状，并说明理由． 类比迁移：如图2，在菱形ABCD 中，点,E F 分别在,AB BC 边上，DE 与AF 相交于点G ，,60,6,2DE AF AED AE BF =∠=︒==，求DE 的长．17．（2021·四川中考真题）如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 是AB 边上一点（含端点A 、B ），过点B 作BE 垂直于射线CD ，垂足为E ，点F 在射线CD 上，且EF BE =，连接AF 、BF ．（1）求证：ABF CBE ∽；（2）如图2，连接AE ，点P 、M 、N 分别为线段AC 、AE 、EF 的中点，连接PM 、MN 、PN ．求PMN ∠的度数及MN PM的值； （3）在（2）的条件下，若BC =PMN 面积的最大值．18．（2021·山西中考真题）综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在ABCD 中，BE AD ⊥，垂足为E ，F 为CD 的中点，连接EF ，BF ，试猜想EF 与BF 的数量关系，并加以证明；独立思考：（1）请解答老师提出的问题；实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将ABCD 沿着BF （F 为CD 的中点）所在直线折叠，如图①，点C 的对应点为'C ，连接'DC 并延长交AB 于点G ，请判断AG 与BG 的数量关系，并加以证明；问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将ABCD 沿过点B 的直线折叠，如图①，点A 的对应点为'A ，使'A B CD ⊥于点H ，折痕交AD 于点M ，连接'A M ，交CD 于点N ．该小组提出一个问题：若此ABCD 的面积为20，边长5AB =，BC =图中阴影部分（四边形BHNM ）的面积．请你思考此问题，直接写出结果．19．（2021·浙江中考真题）问题：如图，在ABCD 中，8AB =，5AD =，DAB ∠，ABC ∠的平分线AE ，BF 分别与直线CD 交于点E ，F ，求EF 的长．答案：2EF =．探究：（1）把“问题”中的条件“8AB =”去掉，其余条件不变．①当点E 与点F 重合时，求AB 的长；①当点E 与点C 重合时，求EF 的长．（2）把“问题”中的条件“8AB =，5AD =”去掉，其余条件不变，当点C ，D ，E ，F 相邻两点间的距离相等时，求AD AB 的值．20．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转()090αα︒<≤︒，得到矩形'''AB C D[探究1]如图1，当90α=︒时，点'C 恰好在DB 延长线上．若1AB =，求BC 的长．[探究2]如图2，连结'AC ，过点'D 作'//'D M AC 交BD 于点M ．线段'D M 与DM 相等吗？请说明理由．[探究3]在探究2的条件下，射线DB 分别交'AD ，'AC 于点P ，N （如图3），MN ，PN 存在一定的数量关系，并加以证明．21．（2021·浙江中考真题）如图，在菱形ABCD 中，ABC ∠是锐角，E 是BC 边上的动点，将射线AE 绕点A 按逆时针方向旋转，交直线CD 于点F ．（1）当AE BC EAF ABC ，时，①求证：AE AF =；①连结BD EF ，，若25EF BD =，求ABCDＡＥＦ菱形ＳＳ的值； （2）当12EAF BAD ∠=∠时，延长BC 交射线AF 于点M ，延长DC 交射线AE 于点N ，连结AC MN ，，若42AB AC ==，，则当CE 为何值时，AMN 是等腰三角形． 22．（2017·山东德州市·中考真题）如图1，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝3cm ，AD ＝5cm ，折叠纸片使B 点落在边AD 上的E 处，折痕为PQ ，过点E 作EF //AB 交PQ 于F ，连接BF ．（1）求证：四边形BFEP 为菱形；（2）当点E 在AD 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动；①当点Q 与点C 重合时（如图2），求菱形BFEP 的边长；①若限定P 、Q 分别在边BA 、BC 上移动，求出点E 在边AD 上移动的最大距离．23．（2020·广西中考真题）已知：在矩形ABCD 中，6AB =，AD =P 是BC 边上的一个动点，将矩形ABCD 折叠，使点A 与点P 重合，点D 落在点G 处，折痕为EF ．（1）如图1，当点P 与点C 重合时，则线段EB =_______________，EF =_____________； （2）如图2，当点P 与点B ，C 均不重合时，取EF 的中点O ，连接并延长PO 与GF 的延长线交于点M ，连接PF ，ME ，MA ．①求证：四边形MEPF 是平行四边形：①当1tan 3MAD ∠=时，求四边形MEPF 的面积．24．（2020·山东中考真题）在等腰①ABC 中，AC ＝BC ，ADE 是直角三角形，①DAE ＝90°，①ADE ＝12①ACB ，连接BD ，BE ，点F 是BD 的中点，连接CF ．（1）当①CAB＝45°时．①如图1，当顶点D在边AC上时，请直接写出①EAB与①CBA的数量关系是．线段BE与线段CF的数量关系是；①如图2，当顶点D在边AB上时，（1）中线段BE与线段CF的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由；学生经过讨论，探究出以下解决问题的思路，仅供大家参考：思路一：作等腰①ABC底边上的高CM，并取BE的中点N，再利用三角形全等或相似有关知识来解决问题；思路二：取DE的中点G，连接AG，CG，并把CAG绕点C逆时针旋转90°，再利用旋转性质、三角形全等或相似有关知识来解快问题．（2）当①CAB＝30°时，如图3，当顶点D在边AC上时，写出线段BE与线段CF的数量关系，并说明理由．25．（2021·天津中考真题）已知ABC内接于,,42=∠=︒，点D是OO AB AC BAC上一点．（①）如图①，若BD为O的直径，连接CD，求DBC∠的大小；∠和ACD（①）如图①，若CD//BA，连接AD，过点D作O的切线，与OC的延长线交于点E，求E∠的大小．26．（2021·浙江中考真题）如图，锐角三角形ABC内接于O，BAC∠的平分线AG 交O于点G，交BC边于点F，连接BG．(1)求证：ABG AFC∽△．(2)已知AB a，AC AF b==，求线段FG的长（用含a，b的代数式表示）．(3)已知点E在线段AF上（不与点A，点F重合），点D在线段AE上（不与点A，点E重合），ABD CBE∠=∠，求证：2=⋅．BG GE GD27．（2021·山东中考真题）如图，已知正方形ABCD，点E是BC边上一点，将①ABE沿直线AE折叠，点B落在F处，连接BF并延长，与①DAF的平分线相交于点H，与AE，CD分别相交于点G，M，连接HC（1）求证：AG＝GH；（2）若AB＝3，BE＝1，求点D到直线BH的距离；（3）当点E在BC边上（端点除外）运动时，①BHC的大小是否变化？为什么？28．（2021·甘肃中考真题）在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知,AB C是弦AB上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程．（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：①作线段AC的垂直平分线DE，分别交AB于点,D AC于点E，连接,AD CD；①以点D为圆心，DA长为半径作弧，交AB于点F（,F A两点不重合），连接DF BD BF．,,BC BF的数量关系．（2）直接写出引理的结论：线段,29．（2021·北京中考真题）在平面直角坐标系xOy中，O的半径为1，对于点A和''分线段BC，给出如下定义：若将线段BC绕点A旋转可以得到O的弦B C''（,B C别是,B C的对应点），则称线段BC是O的以点A为中心的“关联线段”．（1）如图，点112233,,,,,,A B C B C B C 的横､纵坐标都是整数．在线段112233,,B C B C B C 中，O 的以点A 为中心的“关联线段”是______________；（2）ABC 是边长为1的等边三角形，点()0,A t ，其中0t ≠．若BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”，求t 的值；（3）在ABC 中，1,2AB AC ==．若BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”，直接写出OA 的最小值和最大值，以及相应的BC 长．30．（2021·湖北中考真题）如图，在菱形ABCD 中，O 是对角线BD 上一点（BO DO >），OE AB ⊥，垂足为E ，以OE 为半径的O 分别交DC于点H ，交EO 的延长线于点F ，EF 与DC 交于点G ．（1）求证：BC 是O 的切线；（2）若G 是OF 的中点，2OG =，1DG =．①求HE 的长；①求AD的长．31．（2021·山东中考真题）如图，在O中，AB是直径，弦CD AB⊥，垂足为H，E为BC上一点，F为弦DC延长线上一点，连接FE并延长交直径AB的延长线于点G，连接AE交CD于点P，若FE FP=．（1）求证：FE是O的切线；（2）若O的半径为8，3F=，求BG的长．sin532．（2021·四川中考真题）如图，①O的半径为1，点A是①O的直径BD延长线上的一点，C为①O上的一点，AD＝CD，①A＝30°．（1）求证：直线AC是①O的切线；（2）求①ABC的面积；（3）点E在BND上运动（不与B、D重合），过点C作CE的垂线，与EB的延长线交于点F．①当点E运动到与点C关于直径BD对称时，求CF的长；①当点E运动到什么位置时，CF取到最大值，并求出此时CF的长．33．（2021·重庆中考真题）在ABC 中，AB AC =，D 是边BC 上一动点，连接AD ，将AD 绕点A 逆时针旋转至AE 的位置，使得180DAE BAC ∠+∠=︒．（1）如图1，当90BAC ∠=︒时，连接BE ，交AC 于点F ．若BE 平分ABC ∠，2BD =，求AF 的长；（2）如图2，连接BE ，取BE 的中点G ，连接AG ．猜想AG 与CD 存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG ，CE ．若120BAC ∠=︒，当BD CD >，150AEC ∠=︒时，请直接写出BD DG CE-的值． 34．（2021·四川中考真题）如图，点D 在以AB 为直径的①O 上，过D 作①O 的切线交AB 延长线于点C ，AE CD ⊥于点E ，交①O 于点F ，连接AD ，FD ． （1）求证：DAE DAC ∠=∠；（2）求证：DF AC AD DC ⋅=⋅；（3）若1sin 4C ∠=，AD =EF 的长．35．（湖南省益阳市2021年中考数学真题）如图，在等腰锐角三角形ABC 中，AB AC =，过点B 作BD AC ⊥于D ，延长BD 交ABC 的外接圆于点E ，过点A 作AF CE ⊥于F ，,AE BC 的延长线交于点G ．（1）判断EA 是否平分DEF ∠，并说明理由；（2）求证：①BD CF =；①22BD DE AE EG =+⋅．36．（2021·湖南中考真题）如图①，E F 、是等腰Rt ABC 的斜边BC 上的两动点，45,EAF CD BC ∠=︒⊥且CD BE =．（1）求证：ABE ACD △≌△；（2）求证：222EF BE CF =+；（3）如图①，作AH BC ⊥，垂足为H ，设,EAH FAH αβ∠=∠=，不妨设AB =，请利用（2）的结论证明：当45αβ+=︒时，tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-⋅成立． 37．（2021·黑龙江中考真题）如图所示，四边形ABCD 为正方形，在ECH 中，90,,ECH CE CH HE ∠=︒=的延长线与CD 的延长线交于点F ，点D B H 、、在同一条直线上．（1）求证：CDE CBH ≌；（2）当15HB HD =时，求FD FC 的值； （3）当3,4HB HG ==时，求sin CFE ∠的值．38．（2021·四川中考真题）如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，连接,AC BC ，D 为AB 延长线上一点，连接CD ，且BCD A ∠=∠．（1）求证：CD 是O 的切线；（2）若O ABC 的面积为CD 的长；（3）在（2）的条件下，E 为O 上一点，连接CE 交线段OA 于点F ，若12EF CF =，求BF 的长．39．（2021·湖南中考真题）如图，在Rt ABC △中，点P 为斜边BC 上一动点，将ABP △沿直线AP 折叠，使得点B 的对应点为B '，连接AB '，CB '，BB '，PB '． （1）如图①，若PB AC '⊥，证明：PB AB ''=．（2）如图①，若AB AC =，3BP PC =，求cos B AC '∠的值．（3）如图①，若30ACB ∠=︒，是否存在点P ，使得AB CB '=．若存在，求此时PC BC 的值；若不存在，请说明理由．40．（2021·浙江中考真题）（推理）如图1，在正方形ABCD 中，点E 是CD 上一动点，将正方形沿着BE 折叠，点C 落在点F 处，连结BE ，CF ，延长CF 交AD 于点G ．（1）求证：BCE CDG △△≌． （运用）（2）如图2，在（推理）条件下，延长BF 交AD 于点H ．若45HD HF =，9CE =，求线段DE 的长．（拓展）（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，两点，若ABkBC=，45HDHF=，求DEEC的值（用含k的代数式表示）．41．（2021·江苏中考真题）已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周．(1)如图①，连接BG、CF，求CFBG的值；(2)当正方形AEFG旋转至图①位置时，连接CF、BE，分别去CF、BE的中点M、N，连接MN、试探究：MN与BE的关系，并说明理由；(3)连接BE、BF，分别取BE、BF的中点N、Q，连接QN，AE=6，请直接写出线段QN扫过的面积．42．（2021·湖北中考真题）在矩形ABCD中，2AB=，4=AD，F是对角线AC上不与点A，C重合的一点，过F作FE AD⊥于E，将AEF沿EF翻折得到GEF△，点G 在射线AD上，连接CG．（1）如图1，若点A的对称点G落在AD上，90∠=︒，延长GF交AB于H，连FGC接CH．①求证：CDG GAH△∽△；①求tan GHC∠．（2）如图2，若点A的对称点G落在AD延长线上，90GCF∠=︒，判断GCF与AEF 是否全等，并说明理由．。
线段的垂直平分线与角平分线综合压轴题五种模型全攻略(解析版)--初中数学
线段的垂直平分线与角平分线综合压轴题五种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】【考点一利用线段垂直平分线的性质求解】【考点二线段垂直平分线的判定】【考点三利用角平分线的性质求解】【考点四角平分线的判定】【考点五线段的垂直平分线与角平分线的综合问题】【过关检测】【典型例题】【考点一利用线段垂直平分线的性质求解】1(2023春·江苏淮安·七年级校考阶段练习)如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB、AC于E，D，连接EC，则∠BEC=．【答案】72°/72度【分析】先根据垂线平分线的定义得到AD=CD，ED⊥AC，进而证明△ADE≌△CDE得到∠DCE =∠A=36°，则由三角形外角的性质可得∠BEC=∠A+∠ACE=72°．【详解】解：∵AC的垂直平分线交AB、AC于E，D，∴AD=CD，ED⊥AC，∴∠ADE=∠CDE=90°，又∵ED=ED，∴△ADE≌△CDE SAS，∴∠DCE=∠A=36°，∴∠BEC=∠A+∠ACE=72°，故答案为：72°．【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，全等三角形的性质与判断，线段垂直平分线的定义，正确推出∠DCE=∠A=36°是解题的关键．【变式训练】1(2023·江苏·八年级假期作业)三名同学分别站在一个三角形三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子的游戏，要求在他们中间放一个凳子，抢到凳子者获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的()A.三条角平分线的交点B.三边中线的交点C.三边上高所在直线的交点D.三边的垂直平分线的交点【答案】D【分析】根据题意可知，凳子的位置应该到三个顶点的距离相等，从而可确定答案．【详解】因为三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，这样就能保证凳子到三名同学的距离相等，以保证游戏的公平，故选：D．【点睛】本题主要考查垂直平分线的应用，掌握垂直平分线的性质是关键．2(2023春·山东济南·七年级济南市章丘区第二实验中学校考阶段练习)如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于E，AC的中垂线交BC于G，则△AGE的周长等于．【答案】8【分析】根据垂直平分线的性质定理，得EA=EB，GA=GC，进而即可求解．【详解】解：∵AB的中垂线交BC于E，AC的中垂线交BC于G，∴EA=EB，GA=GC，∴△AGE的周长=EA+GA+GE=EB+GC+GE=BC=8．故答案是：8．【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质定理，掌握垂直平分线的性质定理是解题的关键．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．3(2023春·广东深圳·七年级校考期末)如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分边AC和边BC，交边AB于M，N两点，DM与EN相交于点F．(1)若AB=10cm，求△CMN的周长；(2)若∠MFN=65o，则∠MCN的度数为°．【答案】(1)10cm(2)50【分析】(1)由线段垂直平分线的性质可得MA=MC，NB=NC，则△CMN的周长=CM+CN+MN= AM+MN+BN=AB；(2)根据等边对等角可得∠A=∠MAC，∠B=∠NCB，根据三角形内角和定理，列式求出∠FMN+∠FNM，再求出∠A+∠B，即可求解．【详解】(1)解：∵DM，EN分别是AC，BC的中垂线∴MA=MC，NB=NC∴C△CMN=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB=10cm；(2)由(1)得MA=MC，NB=NC，由DM，EN分别垂直平分AC和BC，可得∠MDA=∠NEB=90°，∴∠A=∠MCA，∠B=∠NCB，∵在△MNF中，∠MFN=65°，∴∠FMN+∠FNM=115°，根据对顶角的性质可得：∠FMN=∠AMD，∠FNM=∠BNE，在Rt△ADM中，∠A=90°-∠AMD=90°-∠FMN，在Rt△BNE中，∠B=90°-∠BNE=90°-∠FNM，∴∠A+∠B=90°-∠FMN+90°-∠FNM=65°，∴∠MCA+∠NCB=65°，在△ABC中，∠A+∠B=65°∴∠ACB=115°，∴∠MCN=∠ACB-(∠MCA+∠NCB)=50°．故答案为：50．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关基本性质和整体思想的利用．【考点二线段垂直平分线的判定】1(2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习)如图，AD为三角形ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF ⊥AC于点F，连接EF交AD于点O．(1)若BE=DE，∠BAC=60°，求∠CDF的度数；(2)写出AD与EF的关系，并说明理由；【答案】(1)15°(2)AD⊥EF，AD平分EF【分析】(1)根据三角形内角和可得∠C，再利用内角和即可得出∠CDF；(2)由角平分线的意义及两个垂直可证明△ADE≌△ADF，从而有AE=AF,DE=DF，由线段垂直平分线的判定知，AD⊥EF，AD平分EF．【详解】(1)解：∵DE⊥AB∴∠BED=90°∵BE=DE∴∠B=45°∵∠BAC=60°∴∠C=180°-45°-60°=75°∵DF⊥AC∴∠DFC=90°∴∠CDF=15°(2)解：AD⊥EF，AD平分EF；理由如下：∵AD平分∠BAC，∴∠DAB=∠DAC，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEA=∠DFA=90°，∵AD=AD，∴△ADE≌△ADF，∴AE=AF，DE=DF，∴AD是线段EF的垂直平分线，即AD⊥EF，AD平分EF．【点睛】本题考查了全等三角形的证明，等腰三角形的性质，三角形内角和，角平分线的性质．找到Rt△AED和Rt△ADF，通过两个三角形全等，找到各量之间的关系，完成证明是关键．【变式训练】1(2023秋·广西河池·八年级统考期末)如图，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线交于点P．(1)求证：PA=PB=PC；(2)求证：点P在线段AC的垂直平分线上．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】(1)根据垂直平分线的性质直接可得到答案；(2)根据到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上即可得到答案；【详解】(1)证明：∵边AB、BC的垂直平分线交于点P，∴PA=PB，PB=PC，∴PA=PB=PC；(2)证明：∵边AB，BC的垂直平分线交于点P，∴PA =PB ，PB =PC ，∴PA =PC ，∴点P 在AC 的垂直平分线上．【点睛】本题考查垂直平分线的性质及判定，解题的关键是熟练掌握垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等及到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．2(2023春·全国·八年级专题练习)如图，点D 是等边△ABC 外一点，∠BDC =120°，DB =DC ，点E ，F 分别在AB ，AC 上，连接AD 、DE 、DF 、EF ．(1)求证：AD 是BC 的垂直平分线；(2)若ED 平分∠BEF ，BC =5，求△AEF 的周长．【答案】(1)见解析；(2)10．【分析】(1)根据到线段两端距离相等的点在垂直平分线上即可证明；(2)如图，过D 作DM ⊥EF 于M ，结合已知易证∠DBE =90°即DB ⊥AB ，同理可得DC ⊥AC ，易证Rt △DBE ≌Rt △DME HL 得BE =ME ，同理可得CF =MF ，然后转换求周长即可．【详解】(1)证明：∵△ABC 是等边三角形，∴AB =AC ，∴A 在BC 的垂直平分线上，又DB =DC ，∴D 在BC 的垂直平分线上，∴AD 是BC 的垂直平分线；(2)如图，过D 作DM ⊥EF 于M ，∵∠BDC =120°，DB =DC∴∠DBC =30°又∵△ABC 是等边三角形，∴∠DBE =∠DBC +∠ABC =90°∴DB ⊥AB同理可得∴DC ⊥AC∵ED 平分∠BEF ，DM ⊥EF∴DB =DM =DC∴DF 平分∠CFE ，在Rt △DBE 与Rt △DME 中，DE =DE DB =DM∴Rt △DBE ≌Rt △DME HL∴BE =ME同理可得CF =MFC△AEF=AE+AF+EF=AE+AF+EM+MF=AE+AF+EB+CF=AE+EB+AF+CF=AB+AC=2BC=10.【点睛】本题考查了垂直平分线的判定，角平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质；解题的关键是通过相关性质构造线段相等、进行转换．【考点三利用角平分线的性质求解】1(2023春·山东威海·七年级统考期末)如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，AB= 8，DE=4，AC=6，则S△ABC=()A.14B.26C.56D.28【答案】D【分析】如图：作DF⊥AC交AC于点F，根据角平分线的性质可得DF=DE=4，再由S△ABC=S△ADC+S△ADB求解即可．【详解】解：如图，作DF⊥AC交AC于点F，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF=DE=4，∴S△ABC=S△ADC+S△ADB=12AC·DF+12AB·DE=12DE AC+AB=12×46+8=28，故选：D．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理、三角形的面积公式等知识点，根据角平分线的性质定理得到DF=DE=4是解题的关键．【变式训练】1(2023春·甘肃张掖·八年级校考期末)一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在()A.三角形三条边的垂直平分线的交点B.三角形三条角平分线的交点C.三角形三条高所在直线的交点D.三角形三条中线的交点【答案】B【分析】根据题意，凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置在三角形三条角平分线的交点，据此即可求解．【详解】解：∵凉亭到草坪三边的距离相等，∴凉亭的位置在三角形三条角平分线的交点，故选：B．【点睛】本题考查了三角形角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．2(2023春·山西运城·七年级统考期末)如图，BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PQ⊥BC 于点Q，PQ=5，O是BA上任意一点，连接OP，则OP的最小值为．【答案】5【分析】根据垂线段最短确定点O的位置，再根据角平分线的性质即可得到最短距离．【详解】解：∵O是BA上任意一点，∴当PO⊥BA时，OP的值最小，又∵BD平分∠ABC，P是BD上一点，PQ⊥BC，PQ=5∴OP的最小值为5，故答案为：5．【点睛】本题考查角平分线的性质定理，垂线段最短，解题关键是找到最短距离的位置．3(2023春·陕西榆林·七年级校考期末)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，∠DAB的平分线与∠CBA的平分线相交于点P，且点P在线段CD上，∠CPB=30°．(1)求∠PAD的度数；(2)试说明PD=PC．【答案】(1)30°(2)详见解析【分析】(1)根据两直线平行，同旁内角互补，以及角平分线的定义，即可作答；(2)过点P作PE⊥AB于点E，再根据角平分线的性质定理即可证明．【详解】(1)∵AD∥BC，∴∠C=180°-∠D=180°-90°=90°．∵∠CPB=30°，∴∠PBC=90°-∠CPB=60°．∵PB平分∠ABC，∴∠ABC=2∠PBC=120°．∵AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC=180°，∴∠DAB=180°-120°=60°．∵AP平分∠DAB，∴∠PAD=1∠DAB=30°．2(2)如图．过点P作PE⊥AB于点E．∵AP平分∠DAB，PD⊥AD，PE⊥AB，∴PE=PD．∵BP平分∠ABC，PC⊥BC，PE⊥AB，∴PE=PC，∴PD=PC．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质定理的等知识，掌握角平分线的性质定理，是解答本题的关键．【考点四角平分线的判定】1(2023·全国·八年级假期作业)如图，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，连接AD．求证：AD是∠BAC的外角平分线．【答案】证明见解析【分析】作DE⊥BA交BA的延长线于E，DF⊥AC于F，DG⊥BH于G，根据角平分线的性质得到DE=DF，根据角平分线的判定定理证明结论．【详解】证明：作DE⊥BA交BA的延长线于E，DF⊥AC于F，DG⊥BH于G，∵DB平分∠ABC、DC平分∠ACH，∴DE=DG，DF=DG，∴DE=DF，又DE⊥BA，DF⊥AC，∴AD是∠BAC的外角平分线．【点睛】本题考查的是角平分线的性质和判定，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等、到角的两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．【变式训练】1(2023·广东惠州·校联考二模)如图，CB=CD，∠D+∠ABC=180°，CE⊥AD于E．(1)求证：AC 平分∠DAB ；(2)若AE =10，DE =4，求AB 的长．【答案】(1)见解析(2)6【分析】(1)过C 点作CF ⊥AB ，交AB 的延长线于点F ．由AAS 证明△CDE ≌△CBF ，可得CE =CF ，结论得证；(2)证明Rt △ACE ≌Rt △ACF ，可得AE =AF ，可求出AB ．【详解】(1)证明：过C 点作CF ⊥AB ，交AB 的延长线于点F ．∵CE ⊥AD ，∴∠DEC =∠CFB =90°，∵∠D +∠ABC =180°，∠CBF +∠ABC =180°，∴∠D =∠CBF ，又∵CB =CD ，∴△CDE ≌△CBF ，∴CE =CF ，∴AC 平分∠DAB ；(2)解：由(1)可得BF =DE =4，在Rt △ACE 和Rt △ACF 中，CE =CF AC =AC ，∴Rt △ACE ≌Rt △ACF ，∴AE =AF =10，∴AB =AF -BF =6．【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，关键是作出辅助线构造全等三角形．2(2023·江苏·八年级假期作业)如图，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，若BD =CD ,BE =CF ．(1)求证：AD 平分∠BAC ；(2)请猜想AB +AC 与AE 之间的数量关系，并给予证明．【答案】(1)见解析(2)AB +AC =2AE ，证明见解析【分析】(1)根据HL证明Rt△DBE≌Rt△DCF，得到DE=DF，再根据角平分线的判定定理，求证即可；(2)通过HL证明Rt△ADE≌Rt△ADF，得到AE=AF，利用线段之间的关系，求解即可．【详解】(1)证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠E=∠DFC=90°，在Rt△DBE和Rt△DCF中，BD=CD BE=CF，∴Rt△DBE≌Rt△DCF HL，∴DE=DF，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC．(2)解：AB+AC=2AE，证明如下：在Rt△ADE和Rt△ADF中，AD=AD DE=DF，∴Rt△ADE≌Rt△ADF HL，∴AE=AF，∴AB+AC=AB+AF+CF=AB+AE+BE=2AE．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线的判定定理，解题的关键是灵活利用相关性质进行求解．【考点五线段的垂直平分线与角平分线的综合问题】1(2023秋·河北保定·八年级统考期末)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD=DF．(1)求证：CF=EB．(2)连接CE，求证AD垂直平分CE．(3)若AB=10，AF=6，求CF的长．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)CF=2【分析】(1)利用角平分线的性质可得DC=DE，再利用“HL”证明Rt△DCF≌Rt△DEB，即可证明CF=EB；(2)利用“HL”证明Rt△ACD≌Rt△AED，可得AC=AE，所以点A在CE的垂直平分线上，根据DC=DE，可得点D在CE的垂直平分线上，进而可以解决问题；(3)设CF=BE=x，则AE=AB-BE=10-x=AC=AF+FC=6+x，即可建立方程求解．【详解】(1)证明：∵DE⊥AB于点E，∴∠DEB=90°，又AD平分∠BAC，∠C=90°，∴DC=DE，在Rt△DCF和Rt△DEB中，DF=DB DC=DE，∴Rt△DCF≌Rt△DEB HL，∴CF=EB．(2)证明：连接CE，如图在Rt△ACD和Rt△AED中，AD=AD DC=DE，∴Rt△ACD≌Rt△AED HL，∴AC=AE∴点A在CE的垂直平分线上，∵DC=DE，∴点D在CE的垂直平分线上，∴AD垂直平分CE(3)解：设CF=BE=x，∵AB=10，AF=6，∴AE=AB-BE=10-x，AC=AF+FC=6+x，∵AE=AC，∴10-x=6+x，解得：x=2∴CF=2【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，解题关键是在图形中找到正确的全等三角形以及熟悉以上性质与判定．【变式训练】1(2023秋·河南洛阳·八年级统考期末)如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F，连接EF．(1)求证：点D在EF的垂直平分线上；(2)若AB+AC=16，S△ABC=24，则DE的长为【答案】(1)见解析(2)3【分析】(1)根据角平分线的性质定理直接得出DE=DF，则问题得解；(2)先得出S△ABD=12×AB×DE，S△ACD=12×AC×DF，结合DE=DF，可得S△ABC=12×AB+AC×DE，问题随之得解．【详解】(1)证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF．∴点D在EF的垂直平分线上．(2)∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴S△ABD=12×AB×DE，S△ACD=12×AC×DF，∵在(1)中有：DE=DF，∴S△ACD=12×AC×DF=12×AC×DE，∵S△ABC=S△ABD+S△ACD，∴S△ABC=12×AB×DE+12×AC×DE=12×AB+AC×DE，∵AB+AC=16，S△ABC=24，∴24=12×16×DE，∴DE=3，即DE的长为3，故答案为：3．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，根据角平分线的性质定理直接得出DE=DF是解答本题的关键．2(2023春·全国·八年级专题练习)如图，D为△ABC外一点，DG为BC的垂直平分线，分别过点D 作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且BE=CF．(1)求证：AD为∠CAB的角平分线；(2)若AB=8，AC=6，求AE的长．【答案】(1)见解析(2)AE=7【分析】(1)连接CD，BD，根据线段垂直平分线的性质可得CD=BD，再证明Rt△DEB≌Rt△DFC，可得DF=DE，再证明Rt△AFD≌Rt△AED，即可得证；(2)根据全等三角形的性质可得AE=AF，进一步可得AB-AE=AF-AC，从而可得AE=1 2AB+AC．【详解】(1)连接CD，BD，如图所示：∵DG为BC的垂直平分线，∴CD=BD，∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠DEB =∠DFC =90°，在Rt △DEB 和Rt △DFC 中，BE =CF BD =CD ，∴Rt △DEB ≌Rt △DFC∴DE =DF ，在Rt △AFD 和Rt △AED 中，DF =DE AD =AD ，∴Rt △AFD ≌Rt △AED∴∠FAD =∠EAD ，∴AD 为∠CAB 的角平分线；(2)∵Rt △AFD ≌Rt △AED ，∴AE =AF ，又∵BE =CF ，∴AB -AE =AF -AC ，即AE =12AB +AC ，∵AB =8，AC =6，∴AE =7．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的判定及线段垂直平分线的性质，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键．3(2023春·全国·八年级开学考试)如图1，射线BD 交△ABC 的外角平分线CE 于点P ，已知∠A =78°，∠BPC =39°，BC =7，AB =4．(1)求证：BD 平分∠ABC ；(2)如图2，AC 的垂直平分线交BD 于点Q ，交AC 于点G ，QM ⊥BC 于点M ，求MC 的长度．【答案】(1)见解析(2)MC =1.5【分析】(1)由∠ACF =∠A +∠ABF ，∠ECF =∠BPC +∠DBF ，得∠ABF =∠ACF -78°，∠DBF =∠ECF -39°，再根据CE 平分∠ACF ，得∠ACF =2∠ECF ，则∠ABF =2∠ECF -78°=2(∠ECF -39°)=2∠DBF ，从而证明结论；(2)连接AQ ，CQ ，过点Q 作BA 的垂线交BA 的延长线于N ，利用HL 证明Rt △QNA ≌Rt △QMC ，得NA =MC ，再证明Rt △QNB ≌Rt △QMB (HL )，得NB =MB ，则BC =BM +MC =BN +MC =AB +AN +MC ，从而得出答案．【详解】(1)证明：∵∠ACF =∠A +∠ABF ，∠ECF =∠BPC +∠DBF ，∴∠ABF =∠ACF -78°，∠DBF =∠ECF -39°，∵CE 平分∠ACF ，∴∠ACF =2∠ECF ，∴∠ABF=2∠ECF-78°=2(∠ECF-39°)=2∠DBF，∴BD平分∠ABC；(2)解：连接AQ，CQ，过点Q作BA的垂线交BA的延长线于N，∵QG垂直平分AC，∴AQ=CQ，∵BD平分∠ABC，QM⊥BC，QN⊥BA，∴QM=QN，∴Rt△QNA≌Rt△QMC(HL)，∴NA=MC，∵QM=QN，BQ=BQ，∴Rt△QNB≌Rt△QMB(HL)，∴NB=MB，∴BC=BM+MC=BN+MC=AB+AN+MC，∴7=4+2MC，∴MC=1.5．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义和性质，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．【过关检测】一、选择题1(2023春·四川成都·八年级统考期末)如图，在△ABC中，DE是AC边的垂直平分线，分别交BC、AC于D、E两点，连接AD，∠BAD=25°，∠C=35°，则∠B的度数为()A.70°B.75°C.80°D.85°【答案】D【分析】利用垂直平分线的性质，可得∠DAC=∠C=35°，根据三角形内角和定理，可得∠B的度数．【详解】解：∵DE是AC边的垂直平分线，∴∠DAC=∠C=35°，根据三角形内角和定理，可得∠B=180°-∠BAD-∠DAC-∠C=85°，故选：D．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，三角形内角和定理，熟练利用垂直平分线的性质是解题的关键．2(2023春·四川达州·八年级统考期末)如图，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB 互补．若∠MPN 在绕点P 旋转的过程中，其两边分别与OA 、OB 相交于M 、N 两点，则以下结论中，不正确的是()A.OM +ON 的值不变B.∠PNM =∠POBC.MN 的长不变D.四边形PMON 的面积不变【答案】C【分析】如图作PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F ，于∠EPF +∠AOB =180°，可证∠MPN =∠EPF ，所以∠EPM =∠FPN ，由OP 平分∠AOB ，得证PE =PF ，于是Rt △POE ≌Rt △POF ，所以OE =OF ，同时△PEM ≌△PFN ，所以EM =NF ，PM =PN ，推出∠PMN =∠PNM ，进一步得到∠PNM =12∠AOB ，∠POB =12∠AOB ，所以∠PNM =∠POB ，故B 正确；因为OM +ON =OE +ME +OF -NF =2OE =定值，故A 正确；由三角形全等可知，所以定值，故D 正确；M ，N 的位置变化，所以MN 的长度是变化的，故C 错误．【详解】解：如图作PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F ．∵∠PEO =∠PFO =90°，∴∠EPF +∠AOB =180°，∵∠MPN +∠AOB =180°，∴∠MPN =∠EPF ，∴∠EPM =∠FPN ，∵OP 平分∠AOB ，PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F ，∴PE =PF ，在Rt △POE 和Rt △POF 中，OP =OP PE =PF ，∴Rt △POE ≌Rt △POF ，∴OE =OF ，在△PEM 和△PFN 中，∠MPE =∠NPFPE =PF∠PEM =∠PFN∴△PEM ≌△PFN ，∴EM =NF ，PM =PN ，∵PE =PF ，EM =NF ，∴S △PEM =S △PNF ，∴S 四边形PMON =S 四边形PEOF =定值，故D 正确，∵OM +ON =OE +ME +OF -NF =2OE =定值，故A 正确，∵M ，N 的位置变化，∴MN 的长度是变化的，故C 错误．∵PM =PN ，∴∠PMN =∠PNM ，∵∠MPN 与∠AOB 互补，∴∠MPN +∠AOB =180°，∵∠PMN +∠PNM +∠MPN =180°，∴∠PMN +∠PNM =∠AOB ，∵∠PMN =∠PNM ，∴∠PNM =12∠AOB ，∵OP 平分∠AOB ，∴∠POB =12∠AOB ∴∠PNM =∠POB ，故B 正确，故选：C【点睛】本题主要考查角平线的性质定理、全等三角形的判定和性质；能够结合角平分线的性质定理作出角平分线上点到两边的垂线段，构建全等三角形是解题的关键．二、填空题3(2023春·山东青岛·七年级山东省青岛实验初级中学校考期末)如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AC ，垂足为E ，AF 是△ABC 的中线，AB =16，AC =6，DE =5．则△ADF 的面积为．【答案】12.5【分析】过D 点作DM ⊥AB ，垂足为M ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DM =DE =5，然后根据三角形的面积公式可得S △ABD =40，S △ACD =15，可得S △ABC =S △ABD +S △ACD =55，然后由三角形的中线得S △ACF =27.5，根据S △ADF =S △ACF -S △ACD 求解即可．【详解】解：过D 点作DM ⊥AB ，垂足为M ，∵AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AC ，AB =16，AC =6，DE =5，∴DM =DE =5，∴S △ABD =12AB ⋅DM =12×16×5=40，S △ACD =12AC ⋅DE =12×6×5=15，∴S △ABC =S △ABD +S △ACD =40+15=55，∵AF 是△ABC 的中线，∴S △ACF =12S △ABC =12×55=27.5，∴S △ADF =S △ACF -S △ACD =27.5-15=12.5，∴△ADF 的面积为12.5．故答案为：12.5．【点睛】本题考查角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形中线的性质，三角形的面积，作辅助线并利用角平分线的性质是解题的关键．4(2023春·湖南衡阳·七年级校联考期末)如图，在锐角三角形ABC中，AB=6，△ABC的面积为18，BD平分∠ABC，若E、F分别是BD、BC上的动点，则CE+EF的最小值为．【答案】6【分析】过点C作CP⊥AB于点P，交BD于点E，过点E作EF⊥BC于F，则CP即为CE+EF的最小值，再根据三角形的面积公式求出CP的长，即为CE+EF的最小值．【详解】解：过点C作CP⊥AB于点P，交BD于点E，过点E作EF⊥BC于F，∵BD平分∠ABC，PE⊥AB，EF⊥BC，∴PE=EF，∴CP=CE+PE=CE+EF的最小值．∵△ABC的面积为18，AB=6，×6×CP=18，∴12∴CP=6．即CE+EF的最小值为6，故答案为：6．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，关键是将CE+EF的最小值为转化为CP，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．三、解答题5(2023春·河南商丘·七年级统考阶段练习)如图，∠AOB=40°，OC平分∠AOB，点D，E在射线OA，OC上，点P是射线OB上的一个动点，连接DP交射线OC于点F，设∠ODP=x°．(1)如图1，若DE∥OB．①∠DEO的度数是°，当DP⊥OE时，x=；②若∠EDF=∠EFD，求x的值；(2)如图2，若DE⊥OA，是否存在这样的x的值，使得∠EFD=4∠EDF？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)①20，70；②60；(2)存在这样的x的值，使得∠EFD=4∠EDF．当x=68或104时，∠EFD=4∠EDF．【分析】(1)①运用平行线的性质以及角平分线的定义，可得∠DEO 的度数，根据DP ⊥OE 求出x 的值；②根据三角形内角和求出∠FDE ，根据平行的性质∠ODC 的度数，相减即可得x 的值；(2)分两种情况进行讨论:DP 在DE 左侧，DP 在DE 右侧，分别根据三角形内角和定理，可得x 的值．【详解】(1)解：①∵∠AOB =40°，OC 平分∠AOB ，∴∠BOE =20°，∵DE ∥OB ，∴∠DEO =∠BOE =20°；∵∠DOE =∠DEO =20°，∴DO =DE ，∠ODE =140°，当DP ⊥OE 时，∠ODP =12∠ODE =70°，即x =70，故答案为：20，70；②∵∠DEO =20°，∠EDF =∠EFD ，∴∠EDF =80°，又∵∠ODE =140°，∴∠ODP =140°-80°=60°，∴x =60；(2)存在这样的x 的值，使得∠EFD =4∠EDF ．分两种情况：①如图2，若DP 在DE 左侧，∵DE ⊥OA ，∴∠EDF =90°-x °，∵∠AOC =20°，∴∠EFD =20°+x °，当∠EFD =4∠EDF 时，20°+x °=490°-x ° ，解得x =68；②如图3，若DP 在DE 右侧，∵∠EDF =x °-90°，∠EFD =180°-20°-x °=160°-x °，∴当∠EFD =4∠EDF 时，160°-x °=4x °-90° ，解得x =104；综上所述，当x =68或104时，∠EFD =4∠EDF ．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和三角形的外角性质的应用，三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和．解题时注意分类讨论思想的运用．6(2023春·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末)在△ABC 中，∠BAC =60°，线段BF 、CE 分别平分∠ABC 、∠ACB 交于点G ．(1)如图1，求∠BGC 的度数；(2)如图2，求证：EG =FG ；(3)如图3，过点C 作CD ⊥EC 交BF 延长线于点D ，连接AD ，点N 在BA 延长线上，连接NG 交AC 于点M ，使∠DAC =∠NGD ，若EB :FC =1:2，CG =10，求线段MN 的长．【答案】(1)120°(2)见解析(3)5【分析】(1)根据三角形内角和定理求出∠ABC +∠ACB =120°，根据BF 平分∠ABC 、CE 平分∠ACB ，得出∠GBC =∠GBE =12∠ABC ，∠GCB =∠GCF =12∠ACB ，求出∠GBC +∠GCB =60°，根据三角形内角和得出∠BGC +∠GBC +∠GCB =180°，即可求出结果；(2)作GH 平分∠BGC 交BC 于点H ，证明△BGE ≌△BGH ，得出EG =GH ，证明△CGF ≌△CGH ，得出FG =GH ，即可证明结论；(3)作DP ⊥BC 交BC 延长线于点P ，作DQ ⊥AB 交BA 延长线于点Q ，作DR ⊥AC 于点R ，证明CD 平分∠ACP ，根据DR ⊥AC ，DP ⊥BC ，得出DR =DP ，根据BF 平分∠ABC ，DR ⊥AC ，DQ ⊥AB ，得出DP =DQ ，证明DR =DQ ，证明△NEG ≌△CFG ，得出NG =CG =10，证明△BEG ≌△MFG ，得出BE =MF ，作FL ⊥NG 于点L ，FK ⊥CG 于点K ，GW ⊥MC 于点W ，根据S △MGF =12MG ⋅FL =12MF ⋅GW ，S △CGF =12GC ⋅FK =12FC ⋅GW ，得出MG GC =MF FC=12，求出MG =5即可得出答案．【详解】(1)解：在△ABC 中，∠BAC +∠ABC +∠ACB =180°，∵∠BAC =60°∴∠ABC +∠ACB =120°，∵BF 平分∠ABC 、CE 平分∠ACB ，∴∠GBC=∠GBE=12∠ABC，∠GCB=∠GCF=12∠ACB，∴∠GBC+∠GCB=60°，在△BGC中，∠BGC+∠GBC+∠GCB=180°，∴∠BGC=120°．(2)解：作GH平分∠BGC交BC于点H，如图所示：∴∠BGH=∠CGH=60°，∵∠BGE=∠CGF=∠GBC+∠GCB=60°，∴∠BGH=∠CGH=∠BGE=∠CGF，∵∠GBC=∠GBE，BG=BG∴△BGE≌△BGH，∴EG=GH，∵∠GCH=∠GCF，CG=CG，∴△CGF≌△CGH，∴FG=GH，∴EG=FG；(3)解：作DP⊥BC交BC延长线于点P，作DQ⊥AB交BA延长线于点Q，作DR⊥AC于点R，如图所示：∵CE平分∠ACB，∴∠ACB=2∠ACE，∵CD⊥EC，∴∠ECD=90°，∴∠ACE+∠ACD=90°，∵∠ACB+∠ACP=180°，∴∠ACP=2∠ACD，∴CD平分∠ACP，∵DR⊥AC，DP⊥BC，∴DR=DP，∵BF平分∠ABC，DR⊥AC，DQ⊥AB，∴DP=DQ，∴DR=DQ，∴AD平分∠QAC，∵∠BAC=60°，∴∠DAQ=∠DAC=60°，∴∠NGD=∠DAC=60°，由(1)得∠BGC=120°，∴∠BEG=∠FGC=180°-∠BGC=60°，∵∠MGF=∠ABF+∠BNG=60°，∠FGC=∠FBC+∠ECB=60°，∠ABF=∠FBC，∴∠BNG=∠ECB，∵∠ECB=∠ACE，∴∠ACE=∠BNG，由(2)得EG=FG，∴△NEG≌△CFG，∴NG=CG=10，∠NEG=∠CFG，∵∠NEG+∠BEG=180°，∠CFG+∠MFG=180°，∴∠BEG=∠MFG，∴△BEG≌△MFG，∴BE=MF，∵BE:FC=1:2，∴MF:FC=1:2，作FL⊥NG于点L，FK⊥CG于点K，GW⊥MC于点W，∵∠MGF=∠CGF=60°，∴FK=FL，S△MGF=12MG⋅FL=12MF⋅GW，S△CGF=12GC⋅FK=12FC⋅GW，∴MG GC =MFFC=12，∴MG=5，∴MN=NG-MG=5．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，角平分线的判定和性质，三角形面积的计算，三角形内角和定理的应用，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法．7(2023春·八年级课时练习)如图，OF是∠MON的平分线，点A在射线OM上，P，Q是直线ON上的两动点，点Q在点P的右侧，且PQ=OA，作线段OQ的垂直平分线，分别交直线OF，ON于点B，点C，连接AB，PB．(1)如图1，请指出AB与PB的数量关系，并说明理由．(2)如图2，当P，Q两点都在射线ON的反向延长线上时，线段AB，PB是否还存在(1)中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由．【答案】(1)AB=PB，理由见解析(2)存在，理由见解析【分析】(1)连接BQ ，根据BC 垂直平分OQ ，可知BO =BQ ，则∠BOQ =∠BQO ，根据OF 平分∠MON ，则∠AOB =∠BOQ ，即∠AOB =∠BQO ，根据OA =QP ，可知△AOB ≌△PQB ，则可知AB =PB ；(2)如图，连接BQ ，根据BC 垂直平分OQ ，可知BQ =BO ，CQ =CO 结合条件可证△BQC ≌△BOC ，则∠BQO =∠BOQ ，根据OF 平分∠MON ，∠BOQ =∠FON ，可知∠AOF =∠FON =∠BOQ ，则∠AOF =∠BQO ，进而可知∠AOB =∠PQB ，由此可证△AOB ≌△PQB (SAS )，则AB =PB ．【详解】(1)解：AB =PB理由如下：连接BQ∵BC 垂直平分OQ∴BO =BQ∴∠BOQ =∠BQO∵OF 平分∠MON∴∠AOB =∠BOQ∴∠AOB =∠BQO∵OA =QP∴△AOB ≌△PQB∴AB =PB ；(2)存在，理由：如图，连接BQ ，∵BC 垂直平分OQ ，∴BQ =BO ，CQ =CO在△BQC 和△BOC 中，BC =BCCQ =COBQ =BO∴△BQC ≌△BOC (SSS )∴∠BQO =∠BOQ ，∵OF 平分∠MON ，∠BOQ =∠FON ，∴∠AOF =∠FON =∠BOQ ，∴∠AOF =∠BQO ，∴∠AOB =∠PQB ，在△AOB 和△PQB 中，OA =PQ∠AOB =∠PQBBO =BQ∴△AOB ≌△PQB (SAS )，∴AB =PB ．【点睛】本题考查了线段垂直平分线，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，本题属于中考常考问题．8(2023春·浙江宁波·七年级校考期末)角平分线性质定理描述了角平分线上的点到角两边距离的关系，小储发现将角平分线放在三角形中，有一些新的发现，请完成下列探索过程：【知识回顾】(1)如图1，P是∠BOA的平分线上的一点，PE⊥OB于点E，作PD⊥OA于点D，试证：PE=PD【深入探究】(2)如图2，在△ABC中，BD为∠ABC的角平分线交于AC于D点，其中AB+BC=10,AD=2,CD=3，求AB．【应用迁移】(3)如图3，Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC的角平分线AE与AC的中线BD交于点F,P为CE中点，连接PF，若CP=4,S△BFP=20，则AB的长度为．【答案】(1)见解析；(2)AB=4；(3)10【分析】(1)根据AAS证明△POD≌△POE即可；(2)作DM⊥AB于点M，作DN⊥BC于点N，由角平分线的性质得DM=DN，由三角形的面积公式可得AD CD =ABBC，结合AB+BC=10即可求解；(3)过E作EG⊥AB于G，连接CF，由P为CE中点，设S△EFP=S△CFP=y，根据BD是AC边上的中线，设S△CDF=S△AFD=z，根据三角形的面积的计算得到S△ABE=S△ABC-S△ACE=40+2y+2z-2y+2z=40，根据角平分线的性质得到EG=CE=2CP=8，于是得到结论．【详解】(1)证明：∵PD⊥OA,PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°，在△POD和△POE中，∠PDO=∠PEO ∠DOP=∠EOP OP=OP，∴△POD≌△POE AAS，∴PE=PD;(2)解：如图，过点D作DM⊥AB于点M，作DN⊥BC于点N，∵BD平分∠BAC，∴DM=DN，∵S△ABD=12AB⋅DM,S△CBD=12BC⋅DN，∴S△ABDS△CBD=ABBC，同理可证S△ABDS△CBD=ADCD，∴AD CD =AB BC．∵AD=2,CD=3，∴AD CD =ABBC=23，设AB=2x，则BC=3x ∵AB+BC=10，∴2x+3x=10,x=2，∴AB=4；(3)解：过E作EG⊥AB于G，连接CF，∵P为CE中点，∴S△EFP=S△CFP，设S△EFP=S△CFP=y，∵BD是AC边上的中线，∴设S△CDF=S△AFD=z，∵S△BFP=20，∴S△BCD=20+y+z，∴S△ABC=2S△BCD=40+2y+2z，∵S△ACE=S△ACF+S△CEF=2y+2z，∴S△ABE=S△ABC-S△ACE=40+2y+2z-2y+2z=40，∵AE是∠CAB的角平分线，CP=4，∴EG=CE=2CP=8，AB⋅EG=40，∴S△ABE=12∴AB=10，故答案为：10．【点睛】本题考查了三角形的面积的计算，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形中线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．9(2023·贵州遵义·校考三模)已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB=90°，∠ABC=30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF=90°，∠DFE=30°，连接CE并延长CE到P，使EP=CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N．(1)如图1，当D，B，F共线时，求证：①EB=EP；②∠EFP=30°；(2)如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP=30°．【答案】(1)①见解析 ②30°(2)见解析【分析】(1)①本题主要考查通过角度计算求证平行，继而证明△CBP是直角三角形，根据直角三角形斜边中线可得结论．②本题以上一问结论为解题依据，考查平行线以及垂直平分线的应用，根据同位角相等可得BC∥EF，由平行线的性质得BP⊥EF，可得EF是线段BP的垂直平分线，根据等腰三角形三线合一的性质可得∠PFE=∠BFE=30°．(2)本题主要考查辅助线的做法以及垂直平分线性质的应用，需要延长DE到Q，使EQ=DE，连接CD，。
知识点24 线段垂直平分线、角平分线、中位线2021
一、选择题1. （2019浙江湖州，8，3）如图，已知在四边形ABCD 中，∠BCD ＝90°，BD 平分∠ABC ，AB ＝6，BC ＝9，CD ＝4，则四边形ABCD 的面积是（ ）A ．24B ．30C ．36D ．42【答案】B ．【解析】如答图，过D 点作DE ⊥BA 于点D ，又∵BD 平分∠ABC ，∠BCD ＝90°，∴DC ＝DE ＝4．∵AB ＝6，BC ＝9，∴S 四边形ABCD ＝S △BCD ＋S 四边形ABD ＝12AB •DE ＋12BC •DC ＝12×6×4＋12×9×4＝12＋18＝30． 故选B ．【知识点】角平分线性质定理；割补法求图形的面积2. （2019湖北宜昌，10，3分）通过如下尺规作图，能确定点D 是BC 边中点的是（ ）【答案】A【解析】解：作线段BC 的垂直平分线可得线段BC 的中点．由此可知：选项A 符合条件，故选：A ．【知识点】作图题3. （2019江苏盐城，4，3分）如图，点D 、E 分别是ABC ∆边BA 、BC 的中点，3AC =，则DE 的长为( )A ．2B ．43C ．3D ．32【答案】D【解析】解：点D 、E 分别是ABC ∆的边BA 、BC 的中点， DE ∴是ABC ∆的中位线，1 1.52DE AC ∴==， 故选D ．【知识点】三角形中位线定理4. （2019四川南充，5，3分）如图，在ABC ∆中，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交BC 于点E ，若6BC =，5AC =，则ACE ∆的周长为( )A ．8B ．11C ．16D ．17【答案】B 【解析】解：DE 垂直平分AB ，AE BE ∴=，ACE ∴∆的周长AC CE AE =++AC CE BE =++AC BC =+56=+【知识点】线段垂直平分线的性质5. （2019台湾省，25，3分）如图的ABC ∆中，AB AC BC >>，且D 为BC 上一点．今打算在AB 上找一点P ，在AC 上找一点Q ，使得APQ ∆与PDQ ∆全等，以下是甲、乙两人的作法：（甲)连接AD ，作AD 的中垂线分别交AB 、AC 于P 点、Q 点，则P 、Q 两点即为所求 （乙)过D 作与AC 平行的直线交AB 于P 点，过D 作与AB 平行的直线交AC 于Q 点，则P 、Q 两点即为所求 对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？( )A ．两人皆正确B ．两人皆错误C ．甲正确，乙错误D ．甲错误，乙正确【答案】A【解析】解：如图1，PQ 垂直平分AD ，PA PD ∴=，QA QD =，而PQ PQ =，()APQ DPQ SSS ∴∆≅∆，所以甲正确；如图2，//PD AQ ，//DQ AP ，∴四边形APDQ 为平行四边形，PA DQ ∴=，PD AQ =，而PQ QP =，()APQ DQP SSS ∴∆≅∆，所以乙正确．故选：A ．【知识点】全等三角形的判定；线段垂直平分线的性质；作图6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.二、填空题1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.33.34.35.36.37.38.39.三、解答题1. （2019甘肃省，20，4分）如图，在ABC ∆中，点P 是AC 上一点，连接BP ，求作一点M ，使得点M 到AB 和AC 两边的距离相等，并且到点B 和点P 的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）【思路分析】根据角平分线的作法、线段垂直平分线的作法作图即可．【解题过程】解：如图，点M 即为所求，【知识点】线段垂直平分线的性质；角平分线的性质2. （2019江苏泰州，20，8分）如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝8．（1）用直尺和圆规作AB 的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）若（1）中所作的垂直平分线交BC 于点D ，求BD 的长．【思路分析】（1）分别以A ，B 为圆心，大于12AB 为半径画弧，两弧交于点M ，N ，作直线MN 即可． （2）设AD ＝BD ＝x ，在Rt △ACD 中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解题过程】解：（1）如图直线MN 即为所求．（2）∵MN 垂直平分线段AB ，∴DA ＝DB ，设DA ＝DB ＝x ，在Rt △ACD 中，∵AD 2＝AC 2+CD 2，∴x 2＝42+（8﹣x ）2，解得x ＝5，∴BD ＝5．【知识点】线段垂直平分线的性质；作图3. （2019山东青岛，15，4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：α∠，直线l 及l 上两点A ，B ．求作：Rt ABC ∆，使点C 在直线l 的上方，且90ABC ∠=︒，BAC α∠=∠．【思路分析】先作DAB α∠=，再过B 点作BE AB ⊥，则AD 与BE 的交点为C 点．【解题过程】解：如图，ABC ∆为所作．【知识点】作图题4.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.。