2021届新中考数学必考精点考点专题 专题15 线段垂直平分线问题 原卷版

2021届新中考数学必考精点考点专题

专题15 线段垂直平分线问题

1. 线段的垂直平分线定义

经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．

2.线段垂直平分线的做法

求作线段AB的垂直平分线.

作法：（1）分别以点A，B为圆心，以大于AB/2的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；

说明：作弧时的半径必须大于AB/2的长，否则就不能得到两弧的交点了．

（2）作直线CD，CD即为所求直线．

说明：线段的垂直平分线的实质是一条直线.

3.线段垂直平分线的性质：

（1）线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.

（2）线段的垂直平分线逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分

线上.

说明：线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两条线段相等的常用方法之一．同时也给出了引辅助线的方法，“线段垂直平分线，常向两端把线连”.就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件．

到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线.线段的垂直平分线可以看作是与这条线段两个端点的距离相等的所有点的集合．

4.三角形的外心

三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.

说明：

（1）三角形三条边的垂直平分线必交于一点（三线共点），该点即为三角形外接圆的圆心.

（2）锐角三角形的外心在三角形内部；钝角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心在斜边上，与

斜边中点重合.

（3）外心到三顶点的距离相等.

5.尺规作图

线段的垂直平分线作图题是初中数学中不可缺少的一类试题，它要求写出“已知，求作，作法和画图”，画图必须保留痕迹，在现行的教材里，一般不要求写出作法，但是必须保留痕迹.证明过程一般不用写出来.最后要点题即“xxx即为所求”.

6.中考出现考查线段的垂直平分线问题的基本类型

类型一：线段的垂直平分线定理。

类型二：线段的垂直平分线的逆定理。

类型三：线段的垂直平分线定理与逆定理的综合应用。

类型四：尺规作图。

【例题1】（2020•枣庄）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为（）

A．8 B．11 C．16 D．17

【对点练习】（2019湖南湘西州）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是（）

A．10 B．8 C．4 D．2

【例题2】（2020•南京）如图，线段AB、BC的垂直平分线11、l2相交于点O，若∠1＝39°，则∠AOC＝．

【对点练习】（2020毕节市模拟）等腰△ABC的底角为72°，腰AB的垂直平分线交另一腰AC 于点E，垂足为D，连接BE，则∠EBC的度数为．

【例题3】（2020连云港模拟）如图，已知AB=AC,∠ABD=∠ACD，求证：AD是线段BC的垂直平分线．

【对点练习】（2019广西百色）如图，菱形ABCD中，作BE⊥AD、CF⊥AB，分别交AD、AB的延长线于点

E、F．

（1）求证：AE＝BF；

（2）若点E恰好是AD的中点，AB＝2，求BD的值．

【例题4】（2019广西北海）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，观察图中尺规作图的痕迹，则AD的长是（）

A．B．4 C．D．2

【对点练习】电信部门要修建一座电视信号发射塔P，按照设计要求，发射塔P到两城镇A、B 的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．请在图中作出发射塔P的位置．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

一、选择题

1．（2020•湘西州）如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D．下列结论不一定成立的是（）

A．△BPA为等腰三角形

B．AB与PD相互垂直平分

C．点A、B都在以PO为直径的圆上

D．PC为△BPA的边AB上的中线

2.如图，△ABC中AC＞BC，边AB的垂直平分线与AC交于点D，已知AC=5，BC=4，则△BCD

的周长是（）

A．9 B．8 C．7 D．6

3．（2019广西梧州）如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC ＝8，BC＝5，则△BEC的周长是（）

A．12 B．13 C．14 D．15

二、填空题

4．（2020长春模拟）如图，在△ABC中，∠B=30°，ED垂直平分BC，ED=3．则CE长为．

5．（2020莱芜模拟）如图，在△ABC中，AB=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线交AC于点D．若AC=6cm，

则AD= cm．

6．在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．如果BC＝5，CD＝2，那么AD＝．

三、解答题7.如图，△ABC中，BC=7，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．求△AEG的周长．

8.如图，P是∠MON的平分线上的一点，PA⊥OM,PB⊥ON,垂足分别为A、B．求证：PO垂直平分AB．

9.已知：如图，AB=AC，DB=DC，E是AD上一点．求证：BE=CE．