Sobolev空间的实内插
第九章 欧氏空间 二次型(续)8
§1
欧氏空间定义与基本性质
到目前为止，我们一直都没有谈论向量的长度和夹角等度量概念。换句话说，我们在 线性空间里， 不讨论度量问题。 本章将在实数域上线性空间的基础上， 探讨向量的度量性质， 增加了度量性质的实数域上线性空间就改称为欧氏空间，严格定义如下： 定义 1.1 设 V 是实数域 上一个线性空间，在 V 中任意两个向量之间定义了一种运
1
, 则有
1
1
1
1
1.
从而
都是单位向量，为此，我们给出下面的定义：
设 V 是一个欧氏空间，如果 V , 满足 0, 那么称单位向量
定义 1.4
1
为非
零向量 的单位化向量，而把由非零向量 出发，经过计算向量 的长度 , 再用计算出 的长度的倒数
正交或者互相垂直，记作 . 注 按定义，结合推论 1.1 可见，空间 V 中的零向量与任意向量（包括自身）正交； 进
一步，根据定义 1.1 中的条件 4）可见，只有零向量才与自身正交。一般而言，零向量与其 它向量之间的正交是平凡的，对于两个非零向量，有：
4
定理 1.3
两个非零向量正交 ,
, 应有 t ((,,)) 0,
利用柯-布不等式，可以定义两个非零向量之间的夹角如下： 定义 1.5 设 V 是一个欧氏空间， 如果 , V , 满足 0, 0, 用符号 , 表
示两个非零向量之间的夹角，并且规定：
n T T T n
于任意 ( a1 , a2 , , an ) , (b1 , b2 , , bn ) , 定义通常内积如下
二维不可压缩Navier-Stokes方程的并行谱有限元法求解
二维不可压缩Navier-Stokes方程的并行谱有限元法求解胡园园;谢江;张武【摘要】针对不可压缩Navier-Stokes (N-S)方程求解过程中的有限元法存在计算网格量大、收敛速度慢的缺点,提出了基于面积坐标的三角网格剖分谱有限元法(TSFEM)并进一步给出了利用OpenMP对其并行化的方法.该算法结合谱方法和有限元法思想,选取具有无限光滑特性的指数函数取代传统有限元法中的多项式函数作为基函数,能够有效减少计算网格数量,提高算法的精度和收敛速度;利用面积坐标便于三角形单元计算的特点,选取三角单元作为计算单元,增强了适用性;在顶盖方腔驱动流问题上对该算法进行验证.实验结果表明,TSFEM较传统有限元法(FEM)无论是收敛速度还是计算效率都有了显著提高.【期刊名称】《计算机应用》【年(卷),期】2017(037)001【总页数】6页(P42-47)【关键词】不可压缩N-S方程;OpenMP;方腔驱动流;高精度;无穷收敛性【作者】胡园园;谢江;张武【作者单位】上海大学计算机工程与科学学院,上海200444;上海大学计算机工程与科学学院,上海200444;上海大学高性能计算中心,上海200444【正文语种】中文【中图分类】TP301.6Navier-Stokes (N-S)方程是流体力学中最重要的方程之一。
数学家和物理学家深信，无论是微风还是湍流，都可以通过求解N-S方程来进行解释和预言，因此研究N-S方程具有广泛的应用价值。
对N-S方程的研究距今已有200多年的历史，其弱解又称为Leray-Hopf弱解。
关于N-S方程强解的局部适定性、存在性与光滑性被列为21世纪7个价值100万美元的数学难题之一。
数学家断言，如果没有新的分析工具和数学思想，这个难题将很难得到解决。
但是,到目前为止,证明弱解的唯一性和正则性,即强解的整体存在性,仍是一个极具挑战性的问题。
只有极少数非常简单的流动问题才能求得其精确解，大多数还是要用离散的方法求得数值解。
现代偏微分方程 简介
现代偏微分方程简介课程号：06191090课程名称：现代偏微分方程英文名称：Modern Partial Differential Equations周学时：3-0 学分：3预修要求：常微分方程、泛函分析、偏微分方程基础内容简介：现代偏微分方程是现代数学的一个重要分支，在微分几何，物理学中有许多重要的应用。
本课程以流体力学中的Navier-Stokes方程等的最新研究成果为主线，介绍非线性偏微分方程在当代科学中的重要应用和基本研究方法。
并以此为目的，学习分析中的关键方法和常用理论。
结合泛函分析等前期课程的内容，介绍现代偏微分方程研究的基本思想以及进一步的研究方向。
选用教材或参考书：1．非线性偏微分方程，董光昌，清华大学出版社，1992。
2．几何与物理中的非线性偏微分方程，翟健等，讲义，2004。
《现代偏微分方程》教学大纲一、课程的教学目的和基本要求现代偏微分方程是现代数学的一个重要分支，在微分几何，物理学中有许多重要的应用。
本课程以流体力学中的Navier-Stokes方程等的最新研究成果为主线，介绍非线性偏微分方程在当代科学中的重要应用和基本研究方法。
并以此为目的，学习分析中的关键方法和常用理论。
结合泛函分析等前期课程的内容，介绍现代偏微分方程研究的基本思想以及进一步的研究方向。
二、相关教学环节安排课堂教学42学时，习题课6学时，考试2小时，作业，答疑三、课程主要内容及学时分配四、教材及主要参考书教材：几何与物理中的非线性偏微分方程，翟健等，讲义，2004。
主要参考书：1．非线性偏微分方程，董光昌，清华大学出版社，1992。
Bourgain空间的性质【文献综述】
文献综述数学与应用数学Bourgain 空间的性质函数空间理论向来受到分析学家和微分方程. 计算数学等理论研究人员的重视, 函数空间的完备性、嵌入性质、插值性质等在Fourier 分析、变分法、微分方程适定性、微分方程数值解等方面发挥着重要的作用, 是分析学的重要研究内容.非线性发展方程初值问题和初边值问题的适定性是一个具有重要理论意义的研究课题, 已有长久的研究历史, 一直很受人们的重视. 迄今人们已发展了许多方法来研究这个课题, 比如Galerkin 方法, 积分方程方法, 半群方法等. 但无论采用哪个途径, 早期的研究都对初值的要求比较强, 一般都要求初值具有较高的正则性, 即要求k 为较大的正整数, 有些还要求初值的范数非常小或者初值具有紧支集等等.1993年Bourgain 在[1]中, 借助于Fourier 变换在超曲面和低维流形上的限制, 引进了一种适合于研究初值具有低正则性的局部适定性-即初值在负指标Sobolev 空间中的初值问题局部适定性-的方法, 现在一般称为Bourgain 方法, 其主要思想是把工作空间由([0, ], ())s qp t x C T H R L L 型的函数空间替换为另一类含时-空变元的函数空间, 即所谓的Bourgain 空间2,()s b X R . 至此, 微分方程适定性研究进入了一个空前繁荣的时期, 见[2-4]. 此后已被推广到一般的色散方程, 例如KP 方程、Kawahara 方程、Ostrovsky 方程, 以及各种色散方程组, 例如Navier-Stokes 方程组、Maxwell 方程组、色散长波方程组等. 2001年-2002年间, Molinet, Ribaud 在[5-6]中将Bourgain 方法用于色散-耗散型方程的低正则适定性的研究, 获得了Dissipative KdV 方程和KdV-Burgers 方程的低正则适定性结果. 此时的Bourgain 空间的定义中包含耗散项的信息. 根据摄动理论, 高阶的耗散项可以改善方程的适定性, 事实证明修正Bourgain 空间的定义有助于改善双线性估计.此外, 我们知道类似Sobolev 空间, Bourgain 空间通常都是基于2L 模的方式定义的, 但Grünrock 在[7]中按照r L 模的方式修正了这个定义, 获得了一些新的结果.Bourgain 空间自引进以来得到十分广泛的应用, 例如[1]、[5-10]. 但是, 作为函数空间,Bourgain空间的性质没有得到系统的研究, 除[7]研究过一类特殊的Bourgain空间的插值性质, 嵌入关系之外, 所见结果不多.鉴于这种研究现状, 本论文拟在[1]和[5-7]的基础上, 利用[11]的方法系统研究Bourgain 空间的基本性质, 为它在偏微分方程中的应用奠定坚实的基础.参考文献[1]J. Bourgain. Fourrier transform restriction phenomena for certain lattice subsets andapplications to nonlinear evlution equations [J], Part I: The Schrödinger equation, Part II: The KdV equation, Geom. Funct. Anal., 1993, 3: 107~156, 209~262.[2] D. Ionescu, C. E. Kenig. Global well-posedness of the Benjamin-Ono equation in lowregularity spaces [J], Journal of the American Mathematical Society 20, 2007, 753~798. [3] D. Ionescu, C. E. Kenig. Complex-valued solutions of the Benjamin-Ono equation [J],Contemporary Mathematics 428, 2007, 61~74.[4]Kenig, C. E., Ponce, G., Vega, L.: Oscillatory Integrals and Regularity of DispersiveEquations [J], Indiana Univ. Math. J., 1991, 40: 33~69.[5]L. Molinet, F. Ribaud. The Cauchy problem for dissipative Korteweg-de Vries equations inSobolev Spaces of negative order [J], Indiana Univ. Math. J., 2001, 50 (4): 1745~1776. [6]L. Molinet, F. Ribaud. The global Cauchy problem in Bourgain's type spaces for a dispersivedissipative semilinear equations [J], SIAM J. Math. Anal., 2002, 33 (6): 1269~1296.[7]Grünrock. An improved local wellposedness result for the modified KdV-equation [J], Inter.Math. Res. Notices, 2004, 61: 3287~3308.[8]赵向青. Kawahara-BO方程Cauchy问题的局部可解性[J], 高校应用数学学报(A辑),2009, 24: 306~310.[9]X. Q. Zhao, A. Guo. Improved local wellposedness of Cauchy problem for generalizedKdV-BO equation [J], Journal of Mathematical Research & Exposition, 2009, 29: 371~375.[10]M. Otani. Well-posedness of the generalized Benjamin-Ono-Burgers equations in Sobolevspaces of negative order [J], Osaka J. Math., 2006, 43: 935~965.[11]J. Bergh, J., Löfström. Interpolation Spces [M], Springer~Verlag, 1976.1。
拟线性Sobolev方程Wilson元解的超收敛分析及外推
第５ 期
王芬玲 ，等：拟线性 Ｓ ｂ ｌｖ方程 Ｗ ｉ ｏ ｏ ｏｅ ｌ ｎ元解 的超收敛分析及外推 ｓ
７１ ２
其 中 Ｑ ｃ Ｒ 为一矩形区域，ａ ０ Ｑ为 的边界 ，Ｘ ＝（，）ｆｕ 有界且对变量 满足 Ｌ ｓ ｉ 条 ， （） ｉｃｔ ｐ ｈｚ
件 ，ｇｘ） （ 是一个 已知光滑 函数 ．
拟线性 Ｓ ｂ ｌ 方 程 Ｗｉｏ 元解 的超 收敛 分析及外推 半 ｏｏ ｖ ｅ ｌｎ ｓ
王 芬 玲 石 东 伟 石 东洋 ０ ， ，
（． 昌学 院数 学 与 统 计 学 院 ，许 昌 ４ １ ０ ； ２ 南科 技 学 院数 学 系 ，新 乡 ４ ３ ０ ； １许 ６００ 一河 ５ ０３ ３ 州 大 学数 学 系 ，郑 州 ４ ０ ０ ） 一郑 ５ ０ １
关 键 词 ： 线 性 Ｓ ｂ ｌｖ方程 ； 高精 度 ；Ｗ ｉｏ 元 ；外 推 拟 ｏ ｏｅ ｌｎ ｓ
分类号： ＡＭ Ｓ２ ０） ５ １； ５ ３ （００ ６ Ｎ ５ ６ Ｎ ０
中图分 类号 ： ２２ １ Ｏ ４． ２
文献标识码： Ａ
１ 引言
超 收敛 和外推 是提 高有 限元解 的精度 的有 效方法 ，它们 已被 广泛 地应 用于计 算 的理论 与 实践 中［ ５ １］ － ．其 中文献 『， 分别讨 论 了线性 Ｓ ｂ ｌｖ １］ ２ ｏ ｏｅ 方程 、粘 弹性方 程和 Ｐ ｉ ｏ ｏｓ ｎ问题 双线 性 ｓ 元和Ｈ ｒ ｔ ｅｍｉ型矩形元 的超 收敛 和外推 ；文献 【 ４对二 阶椭 圆方程研究 了 ＥＱ［ ３１ ， 非协调元 的逼 近 ，并用 不 同的方法得到 了超收敛结果 ；文献 ｆ 讨论了线性 Ｓ ｂ ｌ ５ １ ｏ ｏｅ ｖ方程 Ｃ ｒｙ元的超收敛及 ａｅ 外 推．众所 周知 ，Ｗｉ ｏ 元是工程计算 中常用的一种 数值效 果很好 的非协调元 ，关于它 的高精 ｌｎ ｓ 分析 已有研 究 结果【７．其 中文献 ｆ 分析 了二 阶椭 圆方 程边值 问题 的 Ｗｉ ｏ 元超 逼近及超 收 ６】 ， ６ ］ ｌｎ ｓ
一类椭圆型方程弱解的正则性
一类椭圆型方程弱解的正则性狄华斐;周道军;郑治波【摘要】In this paper,the regularity of the weak solution to the initial value problem for second-order elliptic equations Lu=f in U under some conditions assumptions was discussed.Through some techniques and methods,the interior regularity of the weak solution was described.These techniques and methods include cut off function,flatten out the boundary,finitely covered theorem,sobolev inequalities,interpolation inequalities,etc.%在一定条件假设下,讨论了一类椭圆型方程Lu=finU初值问题的弱解的正则性.通过一些技巧和方法,描述了弱解的内部正则性.这些技巧和方法包括截断函数、边界的展平、有限覆盖定理、sobolev不等式、内插不等式等.【期刊名称】《重庆文理学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(030)005【总页数】4页(P5-8)【关键词】椭圆型方程;弱解;截断函数;内部正则性【作者】狄华斐;周道军;郑治波【作者单位】云南民族大学数学与计算机科学学院,云南昆明650500;云南民族大学数学与计算机科学学院,云南昆明650500;云南师范大学数学学院,云南昆明650092【正文语种】中文【中图分类】O175.25现代椭圆型方程问题的可解性的研究总是在合适的泛函空间中考虑其弱解的性质，所以sobolev空间的引进为这一研究提供了有效途径［1－2］.通过 sobolev 空间，我们可以在更广泛的函数类中寻求问题的解，这样可解性的问题变得就容易多了.这种解往往就称为“弱解”或“广义解”.本文讨论椭圆型方程:在一定的条件假设下弱解的正则性问题.近年来，这类椭圆型方程很多学者已经对它进行了广泛的研究［2－4］.这些文献假设算子 L的系数 aij，bi，c是光滑的.在本文中，我们对L的系数的范围进一步放宽，在这里只要求aij∈Cm+1(U)，bi，c∈Wm，∞(U)，则得到与文献［2］同样的结论.我们假设U⊂Rn是一个有界开集.u∈H10(U)是椭圆型方程Lu=f in U的一个弱解，在这里L拥有散度形式:并且偏微分算子L是一致椭圆型算子，即存在常数θ＞0，使得:其中ζ∈R n，并且对方程中的系数aij，bi，c进一步做出额外的假设.双线性泛函B［，］是通过椭圆型算子L定义的，即:1 主要结果本文的主要结论:定理1 设m是一个非负整数，并且L的系数满足:且进一步假设u∈H1(U)是椭圆型方程Lu=f in U的一个弱解，则:对于任意的V⊂⊂U(即V是U的紧子集)，有:这里，常数C依赖于U，V及算子L的系数.2 几个要用到的结论定义1 如果对任意的函数v)，都有 B［u，v］ =(f，v)，我们就说函数 u是边值问题的一个弱解.注意:在这里(，)代表的是 L2(U)上的内积.定理2 设m是一个非负整数，并且L的系数满足 aij，bi，c∈Cm+1(U)，f∈Hm(U)，如果u∈H1(U)是椭圆型方程Lu=f in U的一个弱解，则u∈(U)且对于任意的V⊂⊂U(即V是U的紧子集)有:这里常数C依赖于U，V及L的系数.注意:定理 2中要求 L的系数:aij，bi，c∈Cm+1(U)(证明的过程参考文献［2］).在定理1中，我们对L的系数的范围进一步放宽，只要求aij∈ Cm+1(U)，bi，c∈ Wm，∞(U)，则可得到同样的结论.3 定理1的证明1)(7)、(8)结论的证明，我们采用归纳法.首先讨论m=0的情况，即L的系数满足aij∈C1(U)，bi，c∈ L∞(U)，f∈ L2(U). 如果u ∈H1(U)是椭圆型方程Lu=f in U 的一个弱解，则，且对于任意的V⊂⊂U(即V是U的紧子集)，有常数C依赖U，V及L的系数.2)固定任意一个开集 V⊂⊂ U，使得dist(∂V，∂U)= δ＞ 0(其中δ是一个常数)，选择一个开集W，使得V⊂⊂W⊂⊂U，接着选择一个光滑函数ζ(x)满足:在这里，ζ(x)为一个截断函数(ζ(x)的取法见文献［6］).3)因为u是椭圆型方程Lu=f in U的一个弱解，∀v∈(U)，B［u，v］ =(f，v).因此:4)取0(δ为一正数)，选择k∈{1，2，…n}，用代入(10)中.注意:表示差商∀x∈V，h∈R，0dist(V，∂U).我们将表达式写成:5)对A进行估计在这里用到的公式有:返回到(16)，我们发现:这里要求aij∈C1(U).应用柯西不等式，整理得:上式用到了(9)式中ζ(x)的定义.在这取，又由公式(见参考文献［2］§5.8.2 中的定理3)因此，可得不等式:又因为:，所以有:6)对B 的估计，综合(11)、(12)、(15)得到:又因为:所以由ε的柯西不等式和(24)式得:接着选取，可以得到:综合(13)、(23)、(25)得:其中，k=1，2，…，n.所以可以推断Du ∈，即u∈且7)如果V⊂⊂W⊂⊂U，如同步骤2)～6)的方法可得:常数C与V，W及算子L的系数有关.选取一个新的截断函数:取v=ζ2 u，则通过计算得:所以有:又综合(27)式可得8)假设m=k+1(为一个非负整数)时结论成立.9)那么当m=k+2时，即在aij∈Ck+2(U)，bi，c∈ Wk+1，∞(U)的假设前提下，同时u ∈H1(U)是椭圆型方程Lu=f in U的一个弱解.我们取任意一个多重指标，及任意一个检测函数v:，在这里我们需要讨论)其中=Dαu∈H1(W).接着通过整理(29)式有:其中由弱导数的定义［6］，在中只要求:aij∈Ck+2(U)，bi，c ∈ Wk+1，∞(U)，就可得到 (L，)=).又结合步骤8)中的假设，我们可得到∈L2(W)且所以对， W上的一个弱解，证明过程如同步骤2)～7).10)综合前面，我们得到∈H2(V)且所以当时4 结论在这篇文章中，我们对椭圆型算子L的系数范围进一步放宽，只要求aij∈Cm+1(U)，bi，c∈Wm，∞(U)，并且函数u在边界∂U上不做出任何假设，然后通过一定的技巧和方法，讨论了一类椭圆型方程弱解的内部正则性，给出了定理1的结论.［参考文献］［1］李开泰，马逸尘，王立周.广义函数和 Sobolev空间［M］.西安:西安交通大学出版社，2008:67－83.［2］Lawrence C Evans.Partial differential equations［M］.Rhode Island，1988:308－317.［3］陈亚浙，吴兰成.二阶椭圆型方程与椭圆型方程组［M］.北京:科学出版社，1991:1－14.［4］Zhang Yunzhang ，Yang Ganshan.Existence and regularity ofweak solutions for the biharmonic equation with complete second order derivative［J］.Dynamics of Continuous，Discrete and Impulsive Systems Series A:Mathematical Analysis，2010(17):215 －232.［5］Lawrence CEvans.A survey of entropy methods for partial differential equations［J］.Bulletin AMS，2004，41(4):409－438.［6］Walter rudin.Functional analysis:second edition［M］.刘培德，译.北京:机械工业出版社，2004:23－57.［7］Lin FH.On the Dirichlet problem forminimal graphs in hyperbolic space［J］.Inventiones Mathematica，1989，96(3):592－612.［8］Daskalopoulos P，Hamilton R.Regularity of the free boundary for the2 dimensional porousmedium equation［J］.JAmer Math Soc，1998，11(4):899 －965.［9］Daskalopoulos P，Hamilton R，Lee K.All time c∞regularity of the interface in degenerated diffusion:a geometric approach［J］.Duke Math J，2001，108(2):295－327.。
小波投影算子在Sobolev空间中的逼近性
小波投影算子在Sobolev空间中的逼近性赵军健;薛燕琴;杨建伟【摘要】为了使多分辨率分析下的小波构成Sobolev空间的基,对于投影算子的逼近性估计是重要的.利用等价范数定理,给出了相应的逼近性估计,这与已知的结果是不同的[1].最后给出两个投影算子的例子,说明此逼近方法具有普遍适用性.【期刊名称】《河南科学》【年(卷),期】2010(028)003【总页数】5页(P266-270)【关键词】小波;投影算子;Sobolev空间;逼近性【作者】赵军健;薛燕琴;杨建伟【作者单位】北京工业大学,应用数理学院,北京,100124;北京工业大学,应用数理学院,北京,100124;北京工业大学,应用数理学院,北京,100124【正文语种】中文【中图分类】O174.2近年来，小波已被成功应用于一些偏微分方程的数值解，为此，需要建立适合特定空间的小波基. 而现实中，方程往往限制在区间或区域上，所以构造区间或区域上的小波来处理这些方程是比较理想的.1992年，Cohen等人给出了直线上的紧支撑双正交小波基[2]，对于小波的对称性是一个解放；1999年，Dahmen等人利用双正交思想构造了区间［0，1］上双正交小波[3]，并对稳定性和矩条件（stability and moment conditions）进行了研究；近些年，Primbs对区间上的小波构造作了大量研究，其中对Gramian矩阵做出了一些重要结果[4]；2009年，Jia构造了区间上的弱对偶意义下的有零边值的样条小波[5]，并对Sobolev 空间进行了逼近.事实上，为了在Sobolev空间中解一类偏微分方程，给定的小波首先应能描述这个空间，比如在Sobolev空间中稠密，且这是构成空间一组基的必要条件.本文主要研究尺度投影算子在Sobolev空间中稠密，进而使得小波也是稠密的.记R，N分别为实数集和正整数集.首先引入多分辨率分析（MRA）概念：令Ω为一闭区间（如［0，1］）或者R，｛Vj｝j为L2（Ω）中一列闭子空间且满足：1）单调性：对于所有的 j，Vj⊆Vj+1；2）稠密性3）｛φj，k｝k是 Vj的 Riesz基（φj，k不一定是一个函数φ 的伸缩平移生成，这里允许多个的情形）.要构成多分辨率分析，多数情况下 1）、3）较易成立：φj，k的细分性保证了1），φj，k的局部线性无关性或者双正交性使得3）成立，而稠密性的验证是核心.其实往往我们需要验证诸如在Sobolev空间中的稠密性.2009年，Jia用“广义的Steklov函数”（generalized Steklov functions）算子Aψ，h作为过渡来研究在Besov空间的逼近[1].这里，我们要利用等价范数的思想来重新考虑此逼近问题，这显然与Jia的思路不同，优势之一是它一定程度上可以简化证明，所以是有意义的.（fx）∈L（2Ω）到Vj上的投影算子定义为满足：d为多项式重构阶数，即是限制在Ω上的不超过d－1次多项式全体）为d阶的L2连续模，由d阶差分算子定义：Ωh，m：＝｛x∈Ω：x＋dm∈Ω｝，差分算子由递推关系给出，一阶：Δhf（·）=f（·＋h）－f（·），d阶：Δh（Δd－1hf（·））.注记 1 Pjf中的 aj，k 唯一确定. 例如：在双正交情形下，aj，k=〈f，φ~j，k〉，其中是φj，k 的对偶；在弱对偶下[6]，aj，k 也可用〈f，〉唯一表示，φ~j，k 是φj，k 的弱对偶 .小波空间用补空间形式定义：Wj：＝Vj＋1－Vj，要求Wj⊕Vj=Vj＋1，“⊕”表示直和 . 通常，Wj：＝closL2span｛ψj，k｝，ψj，k=2j/2ψ（2j·－k），但考虑区间或区域的情形时，ψj，k一般由多个函数生成.小波空间中的投影算子为易见对于所有的j，│Qj│≤C一致成立.与Pj的性质3类似，考虑的Sobolev空间是范数为［a，b］是一闭区间，C∞c（［a，b］）是在定义于R上的支撑含于［a，b］的无限次连续可微函数的全体，定义本文主要验证：无论Ω是闭区间或者R，均有统一的表达式从而在本节，我们要给出Hs（Ω）空间的等价范数.为此先定义新的Sobolev空间：范数为新的Sobolev空间受到Donoho[7]的启发，j0是决定于Vj0的一固定正整数.根据Besov空间的知识[4]457[5]，Sobolev空间是一特殊的Besov空间，即：BΩ）的范数是，其中 0＜s＜d∈N. 上述空间在范数意义下相等，即有关.为证明Sobolev空间H（sΩ）和DH（sΩ）的范数等价性，引入以下引理：引理1（离散的Hardy不等式）[8]设s＞0，μ＞0，0＜q≤∞.给定两数列｛a｝jj∈Z，｛b｝jj∈Z满足，则有引理2 设φ是Ω上d次连续可微的尺度函数（Ω是闭区间时φ可以表示多个尺度函数，因为区间上的边界尺度比较复杂[4]，Ω=R时φ是有紧支撑的），且│φ（x）│≤C对于x∈Ω一致成立，取g∈Vl，则证明：设f是d次连续可微的L2（Ω）函数，则由积分的Minkowski不等式，所以g∈Vl，则且因为φ的一致有界性和紧支撑性及l≤j，则Δd2lhφ（·－k）亦然，这样由（3）式的右半部分类似的得到由（8）式和（3）式的左半部分，有此不等式带入（9）式，得到（7）式. 证毕.此时，可以给出本节重要结论：范数等价定理.借助等价范数，可以给出逼近定理.首先在DHs（Ω）中的给出.定理2设0＜s＜d，f∈DHs（Ω），则PJf∈DHs（Ω）以及证明：将PJf代入DH（sΩ）范数定义式，由（1）式易得│PJf│DH（sΩ）≤│f│DH（sΩ），所以f∈DH（sΩ）.其次注意到 J≫j0以及（1）式，所以，这样此时最后一个不等号右边的式子表示的尾项，所以证毕.综合定理1和2，本文主要结论如下：命题1设0＜s＜d，f∈H（sΩ），则PJf∈H（sΩ），以及例1 Ω=R，双正交（D）－阶（样条）尺度函数满足命题1[1].注意到（1），（2），（3）式，Pj（πd－1）=πd－1以及引理2自动满足（φ的光滑性适当提高），故只需证（4）式.据文献［1］中Theorem3：取p=2即得（4）式.例2 Ω=［0，1］，Dahmen[4]构造的双正交｛φj，k｝k和｛φ~j，k｝k满足命题一.与例1类似，此时（1），（2），（3）式及引理2自动满足.难点在于（4）式的证明.首先给出局部多项式最佳逼近和连续模不等式[9]165，169其中：σ表示闭区间；（lσ）表示区间长度为不依赖于j的常数）.以下借助（10）式证（4）式.于是得到（4）式.注记2 对插值尺度[7]来说，出于连续性的考虑，要求结果是类似的.【相关文献】［1］ Jia R Q．Approximation by quasi－projection operators in Besov spaces［J］．J Approx Theory，2010，162（1）：186－200．［2］ Cohen A，Daubechies I，Feauvean J C．Biorthogonal bases of compactly supported wavelets［J］．Comm Pure Appl Math，1992，45：485－560．［3］ Dahmen W，Kunoth A，and Urban K．Biorthogonal spline－wavelets on the interval－stability and moment conditions［J］．Appl Comput Harmonic Anal，1999（6）：132－196．［4］ Primbs M．On the computation of Gramian matrices for refinable bases on the interval［J］．International Journal of Wavelets，Multiresolution and Information Processing，2008，6（3）：459－479．［5］ Jia R Q．Spline wavelets on the interval with homogeneous boundary conditions ［J］．Adv Comput Math，2009（30）：177－200．［6］ Jia R Q，Wang J Z，Zhou D X．Compactly supported wavelet bases for sobolev spaces［J］．Appl Comput Harmon Anal，2003，15：224－241．［7］ Donoho D L．Interpolatory wavelet transforms［M］．Preprint，1992．［8］ Devore R A，Lorentz G G．Constructive approximation［M］．New York：Springer，1993．［9］ Cohen A．Wavelet methods in numerical analysis［M］．Amsterdam：Elsevier，2003．。
抛物型方程的计算方法
分类号：O241.82本科生毕业论文（设计）题目：一类抛物型方程的计算方法作者单位数学与信息科学学院作者姓名专业班级2011级数学与应用数学创新2班指导教师论文完成时间二〇一五年四月一类抛物型方程的数值计算方法(数学与信息科学学院数学与应用数学专业2011级创新2班）指导教师摘要: 抛物型方程数值求解常用方法有差分方法、有限元方法等。
差分方法是一种对方程直接进行离散化后得到的差分计算格式，有限元方法是基于抛物型方程的变分形式给出的数值计算格式。
本文首先给出抛物型方程的差分计算方法，并分析了相应差分格式的收敛性、稳定性等基本理论问题.然后，给出抛物型方程的有限元计算方法及理论分析。
关键词：差分方法，有限元方法，收敛性，稳定性Numerical computation methods for a parabolic equationYan qian（Class 2, Grade 2011，College of Mathematics and Information Science）Advisor: Nie huaAbstract：The common methods to solve parabolic equations include differential method，finite element method etc。
The main idea of differential method is to construct differential schemes by discretizing differential equations directly. Finite element scheme is based on the variational method of parabolic equations。
In this article, we give some differential schemes for a parabolic equation and analyze their convergence and stability. Moreover，the finite element method and the corresponding theoretical analysis for parabolic equation are established.Key words：differential method，finite element method, convergence，stability1 绪 论1。
光滑有限元原理
光滑有限元原理有限元方法作为数值计算中的一种重要方法，在各个领域中得到了广泛的应用。
其中，光滑有限元方法作为有限元方法中的一种，其在求解PDE时有着较优秀的性能表现。
下面将围绕“光滑有限元原理”这个主题进行阐述。
步骤一：光滑有限元方法的基本思想光滑有限元方法是一种将光滑函数空间内的函数作为试函数来处理非光滑问题的方法。
其基本思想是，将求解非光滑问题的过程转化为在光滑函数空间中求解问题。
通过构造光滑函数的试函数空间，利用其来逼近非光滑函数，从而得到非光滑问题的解。
步骤二：光滑有限元方法的求解过程以求解弦振动方程为例，对光滑有限元方法的求解过程进行具体阐述。
首先，我们将弦振动方程变为其弱形式，即：$$\begin{aligned}\int_0^L\left( w_t\phi + aw_x\phi_x \right) dx =\int_0^Lf\phi dx\end{aligned}$$其中，$w$为弦的振动状态，$a$为弦的材料密度，$f$为外力，$\phi$为试函数。
采用光滑有限元方法对其进行求解的具体步骤如下：1）选取合适的光滑函数空间，如Sobolev空间。
2）构造试函数的离散空间，一般选取基函数为Hermite插值函数，相应的插值点称为节点。
3）构造刚度矩阵和质量矩阵，通过在试函数的离散空间上进行积分得到。
4）离散化外力项，同样利用试函数的离散空间来对其进行逼近。
5）利用得到的刚度矩阵、质量矩阵和离散化的外力项，通过求解线性方程组得到弦的振动状态$w$。
步骤三：光滑有限元方法的优点光滑有限元方法相对于传统有限元方法具有以下优点：1）对非光滑问题有较好的适应性。
光滑有限元方法能够利用光滑函数逼近非光滑函数，因此能够更好的处理非光滑问题。
2）具有更高的精度。
光滑有限元方法在光滑函数空间内进行计算，相比于传统有限元方法有更高的精度。
3）具有更好的稳定性。
光滑有限元方法在进行求解时往往会采用较优的数值方法，因此具有更好的稳定性。
偏微分方程求解方法及其比较
偏微分方程求解方法及其比较中图分类号：o24 文献标识码：a 文章编号：1007-0745（2008）10-00摘要:近些年来，无限维动力系统得到了很大的发展.随着对它研究的深入和计算能力的迅速提高，使得与之相关的数值研究越来越被人们关注.谱方法作为一种数值求解偏微分方程的方法，它具有无穷阶收敛性.因此，谱方法也就引起人们更多的关注.关键词：谱方法；偏微分；收敛；逼近；1偏微分方程及其谱方法的介绍偏微分方程主要借助于未知函数及其导数来刻画客观世界的物理量的一般变化规律。
理论上，对偏微分方程解法的研究已经有很长的历史了。
最初的研究工作主要集中在物理，力学，几何学等方面的具体问题，其经典代表是波动方程，热传导方程和位势方程（调和方程）。
通过对这些问题的研究，形成了至今仍然使用的有效方法，例如，分离变量法，fourier变换法等。
早期的偏微分方程研究主要集中在理论上，而在实际操作中其研究方法和研究结果都难以得到广泛的应用。
求解的主要方法为：有限差分法，有限元法，谱方法。
谱方法起源于ritz-galerkin方法，它是以正交多项式（三角多项式，切比雪夫多项式，勒让得多项式等）作为基函数的galerkin 方法、tau方法或配置法，它们分别称为谱方法、tau方法或拟谱方法（配点法），通称为谱方法。
谱方法是以正交函数或固有函数为近似函数的计算方法。
从函数近似角度看．谱方法可分为fourier 方法．chebyshev或legendre方法。
前者适用于周期性问题，后两者适用于非周期性问题。
而这些方法的基础就是建立空间基函数。
下面介绍几种正交多项式各种节点的取值方法及权重。
而chebyshev多项式是令时jacobi多项式的特殊形式，另外legendre多项式是令时jacobi多项式的特殊形式。
2 几种典型的谱方法谱方法是以正交函数或固有函数为近似函数的计算方法。
谱近似可以分为函数近似和方程近似两种近似方式。
从函数近似角度看．谱方法可分为fourier方法．chebyshev或legendre方法。