第九章 无穷级数部分考研真题及解答
第九章 无穷级数9.1常数项级数的概念与性质 09.1) 设n a 为曲线1(1,2,...)n n y x y xn += ==与所围成区域的面积，记11,n n S a ∞==∑2211n n S a ∞-==∑，求1S 与2S 的值。
【解析与点评】考点：定积分求面积，级数求和。
级数求和的零部件组合安装法是水木艾迪强调的重要技巧。
曲线n y x =与曲线1n y x +=在点x =0和x =1处相交，11121001111()()1212n n n n n a x x dx x x n n n n +++=-=-=-++++⎰， 1111111111lim lim(...)lim()2312222Nn n N N N n n S a a n n n ∞→∞→∞→∞=====-++-=-=+++∑∑22111111111() (22123221)n n n S a n n n n ∞∞-====-=-++-+++∑∑ 由2(1)1ln(1)...(1)...2n n x x x x n-+=-++-+，令x =1，得 21111ln(2)1(...)12345S =--+-+=-，21ln2S =-9.2常数项级数的审敛法02.1)设0(1,2,3,)n u n ≠=且lim 1,x nnu →∞=则级数1111(1)1n n n n u u ∞+=⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭∑ （ C ） （A ）发散. （B ）绝对收敛. （C ）条件收敛. （D ）收敛性根据所给条件不能确定. 提示：具体化+与调和级数的比较法 03.3) 设2nn n a a p +=，2nn n a a q -=， ,2,1=n ，则下列命题正确的是 [ B ](A) 若∑∞=1n na条件收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛.(B) 若∑∞=1n na绝对收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛.(C) 若∑∞=1n na条件收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq敛散性都不定.(D) 若∑∞=1n na绝对收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq敛散性都不定.04.1) 设∑∞=1n na为正项级数，下列结论中正确的是 [ B ]（A ）若n n na ∞→lim =0，则级数∑∞=1n na收敛.（B ）若存在非零常数λ，使得λ=∞→n n na lim ，则级数∑∞=1n na发散.（C ）若级数∑∞=1n na收敛，则0lim 2=∞→n n a n .（D ）若级数∑∞=1n na发散, 则存在非零常数λ，使得λ=∞→n n na lim .(取n n a n ln 1=，则n n na ∞→lim =0，但∑∑∞=∞==11ln 1n n n nn a 发散，排除(A)，(D)；又取nn a n 1=，则级数∑∞=1n na收敛，但∞=∞→n n a n 2lim ，排除(C))04.3) 设有下列命题： (1) 若∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛，则∑∞=1n n u 收敛.(2) 若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=+11000n n u 收敛.(3) 若1lim 1>+∞→n n n u u ，则∑∞=1n n u 发散.(4) 若∑∞=+1)(n n n v u 收敛，则∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 都收敛.则以上命题中正确的是 (A) (1) (2). (B) (2) (3).(C) (3) (4). (D) (1) (4). [ B ]（(1)令n n u )1(-=，(3)n u 不趋向于零，(4)令nv n u n n 1,1-==）05.3) 设,,2,1,0 =>n a n 若∑∞=1n na发散，∑∞=--11)1(n n n a 收敛，则下列结论正确的是(A )∑∞=-112n n a收敛，∑∞=12n na发散 . （B ）∑∞=12n na收敛，∑∞=-112n n a发散.(C))(1212∑∞=-+n n n a a收敛. (D))(1212∑∞=--n n n a a收敛. [ D ]（取na n 1=反例排除法） 06.13) 若级数1nn a∞=∑收敛，则级数 [ D ]（A ）1nn a∞=∑收敛. （B ）1(1)nn n a ∞=-∑收敛.（C ）11n n n a a ∞+=∑收敛.（D ）112n n n a a ∞+=+∑收敛. 07.12) 设函数f (x )在(0,)+∞上具有二阶导数，且()0.f x ''> 令),,2,1)(( ==n n f u n , 则下列结论正确的是： （ D ）(A ) 若12u u >，则{}n u 必收敛. (B) 若12u u >，则{}n u 必发散. (C) 若12u u <，则{}n u 必收敛. (D) 若12u u <，则{}n u 必发散. （f (x )=2x ，f (x )=1x，()ln f x x =-反例排除） 09.1) 设有两个数列{},{}n n a b ，若lim 0n n a →∞=，则（ C ）（A ）当1nn b∞=∑收敛时，1n nn a b∞=∑收敛 （B ）1nn b∞=∑发散时，1n nn a b∞=∑发散（C ）当1||nn b∞=∑收敛时，221n n n a b ∞=∑收敛 （D ）1||n n b ∞=∑发散时，221n n n a b ∞=∑发散(反例：对A取(1)nn n a b ==-B 取1n n a b n ==，对D 取1n n a b n==。
法二：1||n n b ∞=∑收敛，则lim ||0n n b →∞=，又lim ||0n n a →∞=，必存在N ，使当n>N 时1||2n b <且1||2n a <（极限的有界性!），22||n n n a b b <) 04.1) 设有方程01=-+nx x n，其中n 为正整数. 证明此方程存在惟一正实根n x ，并证明当1>α时，级数∑∞=1n n x α收敛.【证】 记.1)(-+=nx x x f n n 由01)0(<-=n f ，0)1(>=n f n ，及连续函数的介值定理知，方程01=-+nx x n存在正实数根).1,0(∈n x当x >0时，0)(1>+='-n nx x f n n ，可见)(x f n 在),0[+∞上单调增加, 故方程01=-+nx x n 存在惟一正实数根.n x由01=-+nx x n与0>n x 知nn x x nn n 110<-=<，故当1>α时，αα)1(0n x n <<. 而正项级数∑∞=11n n α收敛，所以当1>α时，级数∑∞=1n n x α收敛.9.3幂级数02.3)设幂级数1nn n a x ∞=∑和1nn n b x ∞=∑的收敛半径分别为3与13，幂级数221n n n na xb ∞=∑的收敛半径为 （ A ） （A ）5. （B（C ）13 （D ）1508.1)已知幂级数0(2)nn n a x ∞=+∑在0x =处收敛，在4x =-处发散，则幂级数(3)nn n a x ∞=-∑的收敛域为(1,5]09.3) 幂级数21(1)n n nn e x n ∞=--∑的收敛半径为1e 03.3)求幂级数∑∞=<-+12)1(2)1(1n nnx n x 的和函数f (x )及其极值.【详解】 .1)1()(1212∑∞=-+-=-='n n n xxx x f上式两边从0到x 积分，得).1ln(211)0()(202x dt t t f x f x+-=+-=-⎰ 由f (0)=1, 得).1(),1ln(211)(2<+-=x x x f 令0)(='x f ，求得唯一驻点x =0. 由于,)1(1)(222x x x f +--=''01)0(<-=''f ， 可见f (x )在x =0处取得极大值，且极大值为f (0)=1. 05.1)求幂级数∑∞=--+-121))12(11()1(n n n x n n 的收敛区间与和函数f (x ).【详解】 因为(1)(21)1(21)lim1(1)(21)(21)1n n n n n n n n n →∞+++-=++-+，所以当21x <时，原级数绝对收敛，当21x >时，原级数发散，因此原级数的收敛半径为1，收敛区间为（－1,1）记 121(1)(),(1,1)2(21)n n n S x x x n n -∞=-=∈--∑，则 1211(1)(),(1,1)21n n n S x x x n -∞-=-'=∈--∑，122211()(1),(1,1)1n n n S x x x x∞--=''=-=∈-+∑.由于 (0)0,(0)0,S S '== 所以 201()()arctan ,1xxS x S t dt dt x t '''===+⎰⎰2001()()arctan arctan ln(1).2x x S x S t dt tdt x x x '===-+⎰⎰又21221(1),(1,1),1n nn x x x x ∞-=-=∈-+∑从而 22()2()1x f x S x x =++2222arctan ln(1),(1,1).1x x x x x x =-++∈-+ 05.3)求幂级数∑∞=-+12)1121(n n x n 在区间(-1,1)内的和函数S(x ). 【详解】 设∑∞=-+=12)1121()(n n x n x S ，∑∞=+=121121)(n nx n x S ，∑∞==122)(n n x x S ，则 )()()(21x S x S x S -=，).1,1(-∈x 由于 ∑∞==122)(n nxx S =221x x -， )1,1(,1))((22121-∈-=='∑∞=x x x x x xS n n ,因此 ⎰-++-=-=xxxx dt t t x xS 022111ln 211)(，又由于 0)0(1=S ，故.0,1,0,11ln 211)(1=<⎪⎩⎪⎨⎧-++-=x x xx x x S 所以 )()()(21x S x S x S -=.0,1,0,1111ln 212=<⎪⎩⎪⎨⎧---+=x x x x xx06.3) 求幂级数()()1211121n n n x n n -+∞=--∑的收敛域及和函数()s x .08.3) 设银行存款的年利率为0.05r =，并依年复利计算，某基金会希望通过存款A 万元，实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n 年提取（10+9n ）万元，并能按此规律一直提取下去，问A 至少应为多少万元？方法一：设n A 为用于第n 年提取(109)n +万元的贴现值，则(1)(109)n n A r n -=++故 1111110919102009(1)(1)(1)(1)n n n nnn n n n nn n nA A r r r r ∞∞∞∞∞=====+===+=+++++∑∑∑∑∑设 1()(1,1)n n S x n x x ∞==∈-∑因为 21()()()(1,1)1(1)nn x xS x x x xx x x ∞=''=== ∈---∑所以 11()()4201 1.05S S r ==+(万元) 故 2009420398A =+⨯=(万元)，即至少应存入3980万元. 方法二：设第t 年取款后的余款是t y ，由题意知t y 满足方程1(10.05)(109)t t y y t -=+-+， 即 11.05(109)t t y y t --=-+ (1)(1)对应的齐次方程 11.050t t y y --=的通解为 (1.05)tt y C = 设(1)的通解为 *t y at b =+，代入(1)解得 180a =，3980b =所以(1)的通解为 (1.05)1803980tt y C t =++ 由0y A =，0t y ≥得 3980A C =+ 0C ≥故A 至少为3980万元．10.1)求幂级数121(1)21n nn x n -∞=--∑的收敛域及和函数.（提出一个x 求导积分法）9.4函数展开成幂级数03.2) xy 2=的麦克劳林公式中nx 项的系数是 !)2(l n n n.01.1)设21arctan 0() 1 0x x x f x x x ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩，试将()f x 展开成x 的幂级数，并求级数21(1)14n n n ∞=--∑的和。
考研数学一-高等数学无穷级数、常微分方程
考研数学一-高等数学无穷级数、常微分方程(总分：100.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：22，分数：22.00)1.设级数收敛，则必收敛的级数为______A．． B．．C．． D．（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 方法一：令s n=u1+u2+…+u n，因为收敛，所以且存在．设=s，令s'n=(u1+u2)+(u2+u3)+…+(u n+u n+1)=2s n-u1+u n+1．因为=2s-u1，所以级数(u n+u n+1)收敛，应选D．方法二：取，级数收敛，而发散，A不对；取，级数发散，B不对；取，级数发散，C不对，故应选D．2.若级数收敛，则级数______A．收敛． B．收敛．C．收敛． D收敛．（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 令s n=a1+a2+…+a n，因为收敛，所以且存在．设，令．故极限存在，所以收敛，应选D．3.设有两个数列a n，b n，若=0，则______A．当收敛时，收敛． B．当发散时，发散．C．当收敛时，收敛． D．当发散时，发散．（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 方法一：因为=0，所以存在一实数M＞0，对一切的n有|a n|≤M．同理，若收敛，则=0，取M0=1，存在正整数N，当n＞N时，|b n|＜1，于是≤|b n|，由正项级数的比较审敛法得收敛．由及收敛，得收敛，应选C．方法二：取，显然收敛，但发散，A不对；取，显然且发散，但收敛，B不对；取，显然且发散，但收敛，D不对．故选C．4.设a n＞0(n=1，2，3，…)且收敛，常数λ∈(0，)A．绝对收敛． B．条件收敛．C．发散． D．敛散性与A有关．（分数：1.00）A. √B.C.D.解析：[解析] 由于为正项级数且收敛，则级数收敛，而，且．则由比较判别法知收敛，故绝对收敛．故选A．5.设为正项级数，下列结论中正确的是______A．若=0，则级数收敛．B．若存在非零常数λ，使得，则级数发散．C．若级数收敛，则=0．D．若级数发散，则存在非零常数λ．（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 方法一：取，则有，但级数发散，A不对；取，级数收敛，，C不对；取，级数发散，但，D不对．故应选B．方法二：设，取，因为，所以存在正整数N，当n＞N时，，于是有或．而发散，由正项级数的比较审敛法得发散，故选B．6.α＞0，β＞0)的敛散性______A．仅与β取值有关． B．仅与α取值有关．C．与α和β的取值有关． D．与α和β的取值无关（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 由于．(1)当0＜β＜1时，级数发散．(2)当β＞1时，级数收敛．(3)当β=1，此时，当α＞1时收敛，当α≤1时发散，故应选C．7.下列级数中属于条件收敛的是______A． B．C． D（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 方法一：由，其中收敛，发散．故A发散；由，其中均收敛．故B绝对收敛；由，收敛．故C绝对收敛．由排除法，因此应选D．方法二：直接证明选项D中的级数条件收敛．单调下降趋于零(n→∞)交错级数收敛．又，且发散，可知发散，从而D条件收敛，故应选D．8.设a＞0______A．绝对收敛． B．条件发散．C．发散． D．收敛性与a有关．（分数：1.00）A. √B.C.D.解析：[解析] 由于，且．而为p=2的p级数，因此收敛，故收敛，根据绝对收绝对收敛．因此应选A．9.x=-1处收敛，则此级数在x=2处______A．条件收敛． B．绝对收敛．C．发散． D．收敛性不确定．（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 因x=-1为级数的收敛点，知级数在|x-1|＜|-1-1|=2内收敛，即当-1＜x＜3时绝对收敛，x=2在区间(-1，3)内，故应选B．10.下列四个级数中发散的是______A．． B．．C．． D．（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 对于A，因为，由比值审敛法知，级数收敛．对于B，因为，而级数发散，由比较审敛法的极限形式知级数发散．应选B．对于C，这是一个交错级数，而且．令f(x)=，则f'(x)=，因此当x＞e2时，f'x(x)＜0，f(x)单调减少，所以当n＞[e2][e2]表示不大于e2的最大整数)时，，由交错级数的莱布尼茨判别法知，级数收敛．对于D，因为，而收敛，所以绝对收敛．11.若级数收敛，发散，则______A．必发散． B．必收敛．C．必发散． D必发散．（分数：1.00）A.C.D. √解析：[解析] 方法一：由发散，知一定发散，而收敛，则有一定发散，故应选D．方法二：取，则收敛，发散，但绝对收敛，排除A；发散，排除B收敛，排除C．故应选D．12.为常数)______A．绝对收敛． B．条件收敛．C．发散． D．敛散性与a有关．（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 当a=0时，为交错级数，且当n≥3时满足莱布尼茨定理，所以收敛．当a=1时，不趋于零，发散．所以，敛散性与a有关．故选D．13.设y=y(x)是二阶常系数微分方程y"+py'+qy=e3x满足初始条件y(0)=y'(0)=0的特解，则当x→0时，函的极限______A．不存在． B．等于1．C．等于2． D．等于3．（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 因y(0)=y'(0)=0，ln(1+0)=0，故利用洛必达法则，．由y"+py'+qy=e3x知y"(x)连续且)y"(0)=e0=1，故所求极限等于2．14.微分方程y"-4y=x+2的通解为______A．． B．．C．． D．（分数：1.00）A.B.D. √解析：[解析] 对应齐次微分方程y"-4y=0的特征方程为λ2-4=0，特征值为λ1=-2，λ2=2，则齐次方程y"-4y=0的通解为C1e-2x+C2e2x，根据选项进行验证知，方程y"-4y=x+2有特解，故选D为正确答案．15.设a，b，c为待定常数，则微分方程y"-3y'+2y=3x-2e x的特解形式为______A．(ax+b)e x． B．(ax+b)xe x．C．(ax+b)+ce x． D．(ax+b)+cxe x．（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 微分方程对应的齐次微分方程是y"-3y'+2y=0，其特征方程为λ2-3λ+2=0，其特征根为λ1=1，λ2=2．因此微分方程y"-3y'+2y=-2e x有形如=cxe x的特解，又微分方程y"-3y'+2y=3x有形如=ax+b的特解．所以，由叠加原理可知，原方程y"-3y'+2y=3x-2e x有形如y*==cxe x+(ax+b)的特解，应选D．16.微分方程①=(x-y)(x+y)，③y2dx-(y2+2xy-y)dy=0中，属于一阶线性微分方程的是______A．①． B．②．C．③． D．①②③均不是．（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 可直接观察出方程①②不是一阶线性微分方程．对于方程③，将其变形为，将x看成未知函数，y为自变量，则该方程就是一阶线性微分方程．故应选C．17.已知微分方程y"-4y'+4y=0，函数C1C2xe2x(C1，C2为任意常数)为______A．方程的通解． B．方程的特解．C．非方程的解． D．是解，但不是通解也不是特解．（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 令f(x)=C1C2xe2x，C1、C2为任意常数，将f(x)，f'(x)及f"(x)代入已知微分方程，经计算，满足方程y"-4y'+4y=0，故C1C2xe2x是方程的解，因为含有任意常数，所以不是特解，又因为C1C2实质上是一个任意常数，而方程是二阶微分方程，由通解的结构知应含有两个任意常数，故C1C2xe2x不是通解，故选D．18.设φ1(x)，φ2(x)，φ3(x)为二阶非齐次线性方程y"+a1(x)y'+a2(x)y=f(x)的三个线性无关的解，则该方程的通解为______A．C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2φ3(x)．B．C1[φ1(x)-φ2(x)]+C2φ3(x)．C．C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2[φ1(x)-φ3(x)]．D．C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x)，其中C1+C2+C3=1．（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 因为φ1(x)，φ2(x)，φ3(x)为方程y"+a1(x)y'+a2(x)y=f(x)的三个线性无关解，所以φ1(x)-φ3(x)，φ2(x)-φ3(x)为所对应齐次方程y"+a1(x)y'+a2(x)y=0的两个线性无关解．根据非齐次线性方程通解的结构，方程y"+a1(x)y'+a2(x)y=f(x)的通解为C1[φ1(x)-φ3(x)]+C2[φ2(x)-φ3(x)]+φ1(x)，即C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x)，其中C3=1-C1-C2或C1+C2+C3=1，故选D．19.设三阶常系数齐次线性微分方程有特解y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3e x，则该微分方程为______A．y"'-y"-y'+y=0． B．y"'+y"-y'-y=0．C．y"'-6y"+11y'-6y=0． D．y"'-2y"-y'+2y=0．（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 由三个特解的形式知λ1，2，3=-1，-1，1为所求齐次线性微分方程对应特征方程的3个根，即(λ+1)2(λ-1)=λ3+λ2-λ-1．因此微分方程形式为y"'+y"-y'-y=0，应选B．20.如果y=cos2x是微分方程y'+P(x)y=0的一个特解，则该方程满足初始条件y(0)=2的特解为______ A．y=cos2x+2． B．y=cos2x+1．C．y=2cosx． D．y=2cos2x．（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 因为y=cos2x是微分方程y'+P(x)y=0的一个特解．将其代入微分方程，得-2sin2x+P(x)cos2x=0，所以得P(x)=2tan2x．则原微分方程为y'+2tan2x·y=0，这是一个变量可分离的微分方程，分离变量得，等式两边积分，得．即ln|y|=ln|cos2x|+ln|C|．于是得y=Ccos2x．由y(0)=2，得C=2．故所求特解为y=2cos2x．21.设y=y(x)是二阶线性常系数非齐次微分方程y"+Py'+Qy=3e2x满足初始条件y(0)=y'(0)=0的特解，则极限=______A．． B．．C．． D．（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 在微分方程y"+Py'+Qy=3e2x中，取x=0得y"(0)+Py'(0)+Qy(0)=3，由已知条件y(0)=y'(0)=0，得y"(0)=3．则由等价无穷小代换及洛必达法则．故选B．22.方程y"'+2y"=x2+xe-2x的特解形式为______．A．y=ax2+bx+c+x(dx+e)e-2x．B．y=x2(ax2+bx+c)+x2e-2x．C．y=(ax2+bx+c)+(dx+e)e-2x．D．y=x2(ax2+bx+c)+x(dx+e)e-2x．（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 原方程对应的齐次微分方程y"'+2y"=0的特征方程为λ3+2λ2=0．其特征根为λ1=λ2=0，λ3=-2，因此方程y"'+2y"=x2特解的形式为x2(ax2+bx+c)，方程y"'+2y"=xe-2x特解的形式为xe-2x(dx+e)，由叠加原理可知方程y"'+2y"=x2+xe-2x的特解形式为y=x2(ax2+bx+c)+x(dx+e)e-2x，故选D．二、填空题(总题数：20，分数：20.00)23.若级数(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2n-1+a2n．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：发散）解析：[解析](a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2n-1+a2n)+…收敛，与题设矛盾．24.．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：e2-1）解析：[解析] 由于，则，n=0时，，故25.2π为周期的傅里叶级数在点x=π处收敛于 1．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：[解析] 由狄利克雷收敛定理知，f(x)在x=π26.______．（分数：1.00）填空项1:__________________解析：[解析] 幂级数的绝对级数为．由根值判别法，知该幂级数的收敛半径．27.设函数f(x)=x2，0≤x，-∞＜x＜+∞，其中b n=，n=1，2，3，…，则．（分数：1.00）填空项1:__________________解析：[解析] 正弦级数s(x)是对f(x)在(-1，0)上作奇延拓后函数的傅里叶级数，故．28.设f(x)=πx+x2，-π≤x≤π，且f(x)在[-π，π]b3=______．（分数：1.00）填空项1:__________________解析：[解析] 根据傅里叶系数的计算公式可得．29.设，则．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：e-1）解析：[解析] 由于函数在x=1处的泰勒级数展开式唯一，所以f(x)=，对照比较已知表达式得，则，于是有．30.______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：ln2-ln(3-x)，x∈[-1，3)）解析：[解析] 令s(x)=，则s(1)=0，对等式两边求导得其中，即-1＜x＜3．再在等式两边从1到x积分，得，所以s(x)=ln2-ln(3-x)，x∈(-1，3)．当x=-1时，s(x)连续，收敛；当x=3时，s(x)无意义，发散，故幂级数的和函数为s(x)=ln2-ln(3-x)，x∈[-1，3)．31.设有以下命题①若收敛，则收敛．②若收敛，则收敛．③若，则发散．④若收敛，则都收敛．则以上命题正确的序号是______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：②③）解析：[解析] 级数加括号收敛，原级数不一定收敛，如，则①不正确；是级数去掉了前100项，则由收敛可知收敛，则②正确；由于＞1，则有，则当n充分大时|u n+1|＞|u n|＞0，从而，故级数发散，③正确．设，有收敛，而和均发散，④不正确．32.x＞0时发散，且在x=0时收敛，则a的取值是______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：-1）解析：[解析] 由，则该幂级数的收敛半径为1，从而得其收敛区间为|x-a|＜1，即a-1＜x＜a+1。
[考研类试卷]考研数学一(无穷级数)历年真题试卷汇编2.doc
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[考研类试卷]考研数学一（无穷级数）历年真题试卷汇编2一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 (2000年)设级数收敛，则必收敛的级数为2 (2002年)设u n≠0，(n=1，2，3，…)，且则级数（A）发散。
（B）绝对收敛．（C）条件收敛．（D）收敛性根据所给条件不能判定．3 (2004年)设为正项级数，下列结论中正确的是4 (2006年)若级数收敛，则级数5 (2009年)设有两个数列{a n}，{b n}，若则6 (2011年)设数列{a n}单调减少，无界，则幂级数的收敛域为（A）(一1，1]．（B）[一1，1)．（C）[0，2)．（D）(0，2]．7 (2013年)设令则8 (2015年)若级数条件收敛，则与x=3依次为幂级数的（A）收敛点，收敛点．（B）收敛点，发散点．（C）发散点，收敛点．（D）发散点，发散点．9 (2018年)（A）sin1+cos1．（B）2sin1+cos1．（C）2sin1+2cos1．（D）2sin1+3cos1．二、填空题10 (1997年)设幂级数的收敛半径为3，则幂级数的收敛区间为_____________________．11 (2003年)设则a2=____________．12 (2008年)已知幂级数在x=0处收敛，在x=一4处发散，则幂级数的收敛域为____________．13 (2017年)幂级数在区间(一1，1)内的和函数S(x)=____________．三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
14 (200l年)设试将f(x)展开成x的幂级数．并求级数的和．15 (2003年)将函数展开成x的幂级数，并求级数的和．16 (2004年)设有方程x n+nx一1=0，其中n为正整数，证明此方程存在唯一正实根x n，并证明当α＞1时，级数收敛．17 (2005年)求幂级数的收敛区间与和函数f(x)．18 (2006年)将函数展开成x的幂级数．18 (2007年)设幂级数内收敛，其和函数y(x)满足 y"一2xy'一4y=0，y(0)=0，y'(0)=119 证明a n+2n=1，2，…；20 求y(x)的表达式．21 (2008年)将函数f(x)=1—x2(0≤x≤π)展开成余弦级数，并求级数的和．22 (2009年)设a n为曲线y=x n与y=x n+1(n=1，2，…)所围成区域的面积，记求S1与S2的值．23 (2010年)求幂级数的收敛域及和函数．24 (2012年)求幂级数的收敛域及和函数．24 (2013年)设数列{a n)满足条件：a0=3，a1=1，a n-2一n(n一1)a n=0(n≥2)，S(x)是幂级数的和函数．25 证明：S"(x)一S(x)=0；26 求S(x)的表达式．26 (2014年)设数列{a n}，{b n}满足cosa n一a n=cosb n，且级数收敛．27 证明：28 证明：级数收敛．28 (2016年)已知函数f(x)可导，且f(0)=1，设数列{x n}满足x n+1=f(x n)(n=1，2，…)．证明：29 级数绝对收敛；30 存在，且。
无穷级数考试题及答案
无穷级数考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 以下哪个级数是收敛的？A. 1 + 1/2 + 1/3 + ...B. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...C. 1 + 1/4 + 1/9 + ...D. 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...答案：C2. 无穷等比级数的和公式是什么？A. S = a / (1 - r)B. S = a * (1 - r) / rC. S = a / (1 + r)D. S = a * (1 + r) / (1 - r)答案：A3. 无穷级数1/2 + 1/4 + 1/8 + ...的和是多少？A. 1/2B. 1C. 2D. 4答案：B4. 无穷级数1 + 2 + 3 + 4 + ...的和是？A. 正无穷B. 负无穷C. 0D. 不存在答案：D5. 无穷级数1/2^n的和是多少？A. 1/2B. 1C. 2D. 正无穷答案：B6. 以下哪个级数是发散的？A. 1/n^2B. 1/n^3C. 1/nD. 1/n^(1/2)答案：C7. 无穷级数1/n^p的收敛条件是什么？A. p > 1B. p < 1C. p = 1D. p ≤ 1答案：A8. 无穷级数1/(1 + n^2)的和是？A. π/4B. π/2C. πD. 2π答案：A9. 无穷级数e^(-x)的和是多少？A. 1B. 1/eC. eD. 0答案：A10. 无穷级数sin(nx)/n的和是？A. π/2B. πC. 0D. 1答案：C二、填空题（每题4分，共20分）1. 无穷等比级数的和公式是 S = ______ / (1 - r)，其中a是首项，r是公比。
答案：a2. 无穷级数1/n^2的和是 ______。
答案：π^2/63. 无穷级数e^(-x)的和是 ______。
答案：1/(1 - e^(-1))4. 无穷级数sin(nx)/n的和是 ______。
第九章 无穷级数部分考研真题及解答
第九章 无穷级数9.1常数项级数的概念与性质 09.1) 设n a 为曲线1(1,2,...)nn y x y xn += ==与所围成区域的面积，记11,n n S a ∞==∑2211n n S a ∞-==∑，求1S 与2S 的值。
【解析与点评】考点：定积分求面积，级数求和。
级数求和的零部件组合安装法是水木艾迪 强调的重要技巧。
曲线ny x =与曲线1n y x +=在点x =0和x =1处相交，11121001111()()1212n n n n n a x x dx x x n n n n +++=-=-=-++++⎰， 1111111111lim lim (...)lim ()2312222Nn n N N N n n S a a n n n ∞→∞→∞→∞=====-++-=-=+++∑∑22111111111() (22123221)n n n S a n n n n ∞∞-====-=-++-+++∑∑ 由2(1)1ln(1)...(1)...2n n x x x x n-+=-++-+，令x =1，得 21111ln(2)1(...)12345S =--+-+=-，21ln 2S =-9.2常数项级数的审敛法02.1)设0(1,2,3,)n u n ≠=且lim 1,x n n u →∞=则级数1111(1)1n n n n u u ∞+=⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭∑ （ C ） （A ）发散. （B ）绝对收敛. （C ）条件收敛. （D ）收敛性根据所给条件不能确定.提示：具体化+与调和级数的比较法 03.3) 设2nn n a a p +=，2nn n a a q -=， ,2,1=n ，则下列命题正确的是 [ B ](A) 若∑∞=1n na条件收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛.(B) 若∑∞=1n na绝对收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛.(C) 若∑∞=1n na条件收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq敛散性都不定.(D) 若∑∞=1n na绝对收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq敛散性都不定.04.1) 设∑∞=1n na为正项级数，下列结论中正确的是 [ B ]（A ）若n n na ∞→lim =0，则级数∑∞=1n na收敛.（B ）若存在非零常数λ，使得λ=∞→n n na lim ，则级数∑∞=1n na发散.（C ）若级数∑∞=1n na收敛，则0lim 2=∞→n n a n .（D ）若级数∑∞=1n na发散, 则存在非零常数λ，使得λ=∞→n n na lim .(取n n a n ln 1=，则n n na ∞→lim =0，但∑∑∞=∞==11ln 1n n n nn a 发散，排除(A)，(D)；又取nn a n 1=，则级数∑∞=1n na收敛，但∞=∞→n n a n 2lim ，排除(C))04.3) 设有下列命题： (1) 若∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛，则∑∞=1n n u 收敛.(2) 若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=+11000n n u 收敛.(3) 若1lim1>+∞→nn n u u ，则∑∞=1n n u 发散. (4) 若∑∞=+1)(n n n v u 收敛，则∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 都收敛.则以上命题中正确的是 (A) (1) (2). (B) (2) (3).(C) (3) (4). (D) (1) (4). [ B ]（(1)令n n u )1(-=，(3)n u 不趋向于零，(4)令nv n u n n 1,1-==）05.3) 设,,2,1,0 =>n a n 若∑∞=1n na发散，∑∞=--11)1(n n n a 收敛，则下列结论正确的是(A )∑∞=-112n n a收敛，∑∞=12n na发散 . （B ）∑∞=12n na收敛，∑∞=-112n n a发散.(C))(1212∑∞=-+n n n a a收敛. (D))(1212∑∞=--n n n a a收敛. [ D ]（取na n 1=反例排除法） 06.13) 若级数1nn a∞=∑收敛，则级数 [ D ]（A ）1nn a∞=∑收敛. （B ）1(1)nn n a ∞=-∑收敛.（C ）11n n n a a ∞+=∑收敛.（D ）112n n n a a ∞+=+∑收敛. 07.12) 设函数f (x )在(0,)+∞上具有二阶导数，且()0.f x ''> 令),,2,1)(( ==n n f u n , 则下列结论正确的是： （ D ）(A ) 若12u u >，则{}n u 必收敛. (B) 若12u u >，则{}n u 必发散. (C) 若12u u <，则{}n u 必收敛. (D) 若12u u <，则{}n u 必发散. （f (x )=2x ，f (x )=1x，()ln f x x =-反例排除） 09.1) 设有两个数列{},{}n n a b ，若lim 0n n a →∞=，则（ C ） （A ）当1nn b∞=∑收敛时，1n nn a b∞=∑收敛 （B ）1nn b∞=∑发散时，1n nn a b∞=∑发散（C ）当1||nn b∞=∑收敛时，221n n n a b ∞=∑收敛 （D ）1||n n b ∞=∑发散时，221n n n a b ∞=∑发散(反例：对A取(1)nn n a b ==-，对B 取1n n a b n ==，对D 取1n n a b n ==。
高等数学课后习题答案--第九章
9. 设 x n ＞0，
10. 讨论下列级数的收敛性(包括条件收敛与绝对收敛)
182
⑴ ⑶ ⑸ ⑺ ⑼
x sin ; n n =1 ∞ n (−1) n −1 n −1 ; ∑ 3 n =1 n +1 ∞ (−1) ( x > 0 ); ∑ n =1 n + x
∑ (−1)
∞
n +1
⑵ ⑷ ⑹ ⑻ ⑽
180
(4) (6)
∑
∞
∞
n =1 ∞
∑
n =1
ln n ln n 1 ln n 1 n 1 , = = 3 . 收敛; < 2 2 n n n n n n n2 1 1 1 , < , 收敛; n ln (n + 2) ln(n + 2) 2
n
(5)
收敛;
(7) (8) (13) (14)
∑ (
n =1
n −1
)
n
发散
由于 lim (10
a −1
1 n
n →∞
= ln a , 而 n n − 1 > n a − 1 ;
(11)
发散;
∑
n =1
∞
∞
∑
n =1
( n + 1 − n − 1 ), ( n + 1 − (2n − n + 1 − n − 1) = (n −
2 2 2 2 2
(9) 收敛;
收敛;
5.利用级数收敛的必要条件，证明： nn (1) lim = 0， (2) n →∞ ( n !) 2
∞
n →∞
lim
( 2 n) ! = 0. 2 n ( n +1)
考研级数典型例题（完美版讲析）
考研级数典型例题（完美版讲析）常数项级数内容要点一，概念与性质(一)概念由数列 ,,,,21n u u u 构成的式子=∑∞=1n nu++++n u u u 21称为无穷级数，简称为级数.n u 称为级数的一般项，∑== ni in us 1称为级数的部分和.如果s s n n =∞→lim ,则称级数∑∞=1n nu收敛，s 称为该级数的和.此时记=∑∞=1n nus .否则称级数发散.（二）性质 1, 若∑∞=1n nu收敛，则.11∑∑∞=∞==n n n nu k ku2, 若∑∞=1n n u ,∑∞=1n nv收敛，则().111∑∑∑∞=∞=∞=±=±n n n n n n nv u v u3, 级数增减或改变有限项，不改变其敛散性.4, 若级数收敛，则任意加括号后所成的级数仍收敛. 5(收敛的必要条件), 若∑∞n nu收敛，则.0lim =∞→n n u注意：若.0lim ≠∞→n n u 则∑∞=1n nu必发散.而若∑∞=1n nu发散,则不一定.0lim ≠∞→n n u(三) 两个常用级数 1, 等比级数≥<-=∑∞=1,1,10q q qaaq n n2, -p 级数≤>=∑∞,1,11p p n n p二，正项级数敛散性判别法(一) 比较判别法设∑∑?=∞=11,n nn n vu 均为正项级数，且),2,1( =≤n v u n n ,则∑∞=1n nv收敛?∑∞=1n nu收敛；∑∞=1n nu发散?∑∞=1n nv(二) 极限判别法如果)0(lim +∞≤<=∞→l l nu n n ,则∑∞=1n nu发散；如果对,1>p )0(lim +∞<≤=∞→l l u n n pn ,则∑∞=1n nu则收敛.(三) 比值判别法设∑∞=1n nu为正项级数，若>?=?<==+∞→fb cu u n n n 111lim1ρ 二，交错级数收敛性判别法莱布尼兹判别法：设())0(111=-n n n n u u 为交错级数，如果满足：1, ),2,1(1 =≥+n u u n n 2, 0lim =∞→n n u则此交错级数收敛.三，任意项级数与绝对收敛（一）绝对收敛如果∑∞=1n nu收敛，则称∑∞=1n nu绝对收敛.（二）条件收敛如果∑∞=1n nu收敛，但∑∞=1n nu发散,则称∑∞=1n nu条件收敛.（三）定理若级数绝对收敛，则该级数必收敛.函数项级数一、主要内容 1、基本概念函数列（函数项级数）的点收敛、一致收敛、内闭一致收敛、绝对收敛、和函数幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域 2、一致收敛性 A 、函数列{()}n f x一致收敛性的判断：（1）定义：用于处理已知极限函数的简单函数列的一致收敛性（2）Cauchy 收敛准则：用于抽象、半抽象的函数列的一致收敛性的判断（3）确界（最大值方法）：||()()||0n f x f x -→（4）估计方法：|()()|0n n f x f x a -≤→（5）Dini -定理：条件1）闭区间[,]a b ；2）连续性；3）关于n 的单调性注、除Cauchy 收敛准则外，都需要知道极限函数，因此，在判断一致收敛性时，一般应先利用点收敛性计算出极限函数。
无穷级数必考经典习题(附答案).pdf
无穷级数同步测试一、单项选择题1．下列结论中，错误的是（ ）()A 若lim 0→∞≠n n u ，则级数21∞=∑n n u 发散.()B 若级数1∞=∑n n u 绝对收敛，则21∞=∑n n u 收敛.()C 若级数1∞=∑n n u 收敛，则21∞=∑n n u 收敛.()D 若级数21∞=∑n n u 收敛，则lim 0→∞=n n u 收敛.2．已知幂级数1(1)∞=−∑nn n a x 在0=x 处收敛，在2=x 处发散，则该级数的收敛域（ ）()[0,2)()(0,2]()(0,2)()[0,2]A B C D3．已知幂级数1∞=∑nn n a x 的收敛半径1=R ，则幂级数0!∞=∑n n n a x n 的收敛域为（ ）()(1,1)()[1,1)()(1,1]()(,)−−−−∞+∞A B C D4. 设常数0>x ，则级数11(1)sin ∞−=−∑n n x n （ ）. ()A 发散 ()B 条件收敛 ()C 绝对收敛 ()D 收敛性与x 有关二、填空题5. 级数11()2∞=∑nn n 的和为 .6．2!lim(!)→∞=n n n .7．已知级数22116π∞==∑n n ，则级数211(1)∞=−=∑n n n .8．幂级数2101!∞+=∑n n x n 的和函数()=S x . 三、解答题9.判断下列运算过程是否正确，若不正确，指出错误所在，并给出正确解法.级数∞=n n .又由于0=n，但=n u 不是单调递减的，由此得出该级数不满足莱布尼茨定理的第二个条件，故级数发散.10.讨论级数21(0)(1)(1)(1)∞=≥+++∑nn n x x x x x 的敛散性.11.求级数11(21)2∞=+∑nn n n 的和. 12.将2()ln(3)=−f x x x 展开为1−x 的幂级数. 13.求极限2313521lim()2222→∞−++++nn n . 14.验证函数3693()1()3!6!9!(3)!=++++++−∞<<+∞n x x x x y x x n 满足微分方程()()()'''++=xy x y x y x e ，并求幂级数30(3)!∞=∑nn x n 的和函数.第九章 多元函数微分法及其应用同步测试B 答案及解析一、单项选择题答案详细解析1. 解 利用级数的性质.若lim 0→∞≠n n u ，则2lim 0→∞≠nn u ，因此级数21∞=∑n n u 发散， ()A 正确；若1∞=∑n n u 绝对收敛，即1∞=∑n n u 收敛，则lim 0→∞=n n u ，2lim lim 01→∞→∞==<nn n n nu u u根据正项级数的比较审敛法知21∞=∑n n u 收敛，()B 正确；若级数21∞=∑n n u 收敛，则2lim 0lim 0→∞→∞=⇒=nn n n u u ，()D 正确； 故选()C .事实上，令(1)=−nn u ，则1∞=∑n n u 收敛，但2111∞∞===∑∑n n n u n发散. 『方法技巧』 本题考查级数收敛的必要条件及正项级数的比较审敛法. 『特别提醒』 比较审敛法只限于正项级数使用.2.解 由于幂级数1(1)∞=−∑n n n a x 在0=x 处收敛，则该级数在以1为中心，以0和1之间的距离1为半径的开区间11−<x ，即02<<x 内，级数绝对收敛.又级数在2=x 处发散，则在以1为中心，以1和2之间的距离1为半径的区间外11−>x ，即0<x 或2>x 内，级数发散.因此级数的收敛区间（不含端点）为(0,2)，则收敛域为[0,2)，故选()A .『方法技巧』 本题考查幂级数的阿贝尔定理.『特别提醒』 阿贝尔定理经常出现在各类考试的选择题或填空题中，要求大家熟练掌握它.3. 解 由于1∞=∑n n n a x 的收敛半径1=R ，则有1lim1→∞+=nn n a a . 幂级数0!∞=∑nn n a x n 的收敛半径为 11!lim lim (1)(1)!→∞→∞++'==+=+∞+nn n n n n a an R n a a n ，因此收敛域为(,)−∞+∞，故选()D .『方法技巧』 本题考查幂级数的收敛半径和收敛域. 由于级数是标准的幂级数，直接代入公式即可求出收敛半径=+∞R .4. 解 由于存在充分大的n ，有,sin 02π<>x xn n，所以从某时刻开始，级数1(1)sin ∞−=−∑k k nxk 是交错级数，且满足 sin sin ,limsin 01→∞≤=+k x x x k k k ，即满足莱布尼茨定理的条件，所以此交错级数收敛，而前有限项（1−n 项）不影响级数的敛散性，因此原级数11(1)sin ∞−=−∑n n xn 收敛.又由于sinlim 01→∞=>n xn x n，因此级数111(1)sin sin ∞∞−==−=∑∑n n n x x n n 发散，所以原级数11(1)sin ∞−=−∑n n xn 条件收敛，故选()B .『方法技巧』 本题考查正项项级数的比较审敛法及绝对收敛、条件收敛的概念和级数的性质.『特别提醒』 解题中需要说明，此级数可能不是从第一项就是交错级数，从某项以后为交错级数，而前有限项不影响级数的敛散性. 二、填空题 5. 2 6. 0 7. 212π− 8. 2x xe答案详细解析5. 解 考查幂级数1∞=∑n n nx ，其收敛域为(1,1)−.由111∞∞−===∑∑nn n n nx x nx，令11()∞−==∑n n f x nx ，则111()1∞∞−=====−∑∑⎰⎰xxn n n n x f x dx nx dx x x因此21()()1(1)'==−−x f x x x ，故21()(1)∞===−∑nn x nx xf x x ，所以 2111112()()21222(1)2∞====−∑n n n f 『方法技巧』 本题考查幂级数的收敛域及和函数.求常数项级数的和经常转化为讨论幂级数的和函数在确定点的值.『特别提醒』 在幂级数求和时，经常使用逐项积分和逐项求导的方法，将其转化为熟悉的幂级数（如等比级数），注意级数的第一项（0=n 或1=n ）.6. 解 考虑级数21!(!)∞=∑n n n ，由比值审敛法 212(1)!(!)1lim lim lim 01![(1)!]1+→∞→∞→∞+===<++n n n n nu n n u n n n 因此级数21!(!)∞=∑n n n 收敛，由收敛级数的必要条件得2!lim 0(!)→∞=n n n . 『方法技巧』 本题考查利用收敛级数的必要条件求极限.这是求数列极限的一种方法，有些数列变形十分复杂，可考虑将其作为级数的一般项讨论.7. 解 由题设 222211111236π∞==+++=∑n n，则2222222111111111(2)42464624ππ∞∞====++=⨯=∑∑n n n n 22222222111111111(21)35(2)6248πππ∞∞∞====+++=−=−=−∑∑∑n n n n n n 故 222222222111111111(1)122234(21)6812πππ∞∞∞===−=−+−+−=−=−⨯=−−∑∑∑nn n n n n n 『方法技巧』 本题考查收敛级数的性质——收敛级数的代数和仍收敛（此性质只适用于收敛级数）.『特别提醒』 一些同学不熟悉符号∑，可以将其写成普通和的形式，看起来会方便一些.8. 解 由于函数xe 的幂级数展开式为 01()!∞==−∞<<+∞∑xnn e x x n ，而 2122000111()!!!∞∞∞+=====∑∑∑n n n n n n x x x x x n n n 因此 22120011()()!!∞∞+=====∑∑n n x n n S x x x x xe n n .『方法技巧』 本题考查指数函数()=x f x e 的幂级数展开式01()!∞==−∞<<+∞∑xnn e x x n 一般而言，若幂级数的系数为1!n 时，求和时可能与指数函数x e 有关；若幂级数的系数为1(21)!−n 或1(2)!n 时，求和时可能与三角函数sin x 或cos x 有关.三、解答题9. 解 判断条件收敛的运算过程是错误的.由于lim11→∞→∞===n n n n u ，因此由比较审敛法知，级数∞=n2∞=n n 不是绝对收敛的.错误在于：莱布尼茨定理是判断交错级数收敛的一个充分条件，不是必要的，因此并不能说明不满足莱布尼茨定理的第二个条件，级数就一定不收敛.本题的正确解法要用级数收敛的充分必要条件，即研究lim →∞n n S 是否存在.正确解法：212⎛=+++ ⎝n S n由于每个括号均为负数，因此2n S 单调递减，且有212⎛=+++⎝n S n12⎛>+++⎝n=> 因此2lim →∞n n S 存在，不妨设2lim →∞=n n S S ，而21221221lim lim()lim lim 0+++→∞→∞→∞→∞=+=+=+=+=n n n n n n n n n n S S u S u S S S从而得到lim →∞=n n S S ，即级数∞=n n .『方法技巧』 本题考查绝对收敛和条件收敛的概念、莱布尼茨定理的应用及级数收敛的充分必要条件.1∞=∑nn u收敛⇔部分和n S 的极限存在，即lim →∞=n n S S『特别提醒』 莱布尼茨定理是判断交错级数收敛的充分非必要条件，即使不满足莱布尼茨定理，级数也可能收敛.10. 解 由于级数的一般项中含有连乘的形式，所以用比值审敛法1111lim 0 111limlim0111 12→∞+++→∞→∞⎧⎪=>⎪⎪+⎪⎪==≤<⎨+⎪⎪=⎪⎪⎪⎩n n n n n n n nx x x u xx x u x x 故对任意的0≥x ，原级数均收敛.『方法技巧』 本题考查正项级数的比值审敛法.若正项级数的一般项中含有连乘（包括阶乘!n ）时，一般考虑用比值审敛法判断级数的敛散性.『特别提醒』 由于x 的范围不同，1lim+→∞n n nu u 不同，故需要分别进行讨论，但不论什么情况，极限值均小于1，因此级数收敛.11. 解 考虑幂级数21(21)∞=+∑nn x n n由于2211(1)(23)limlim 1(21)+→∞→∞++==+n n n nu n n x x u n n ，故其收敛半径为1=R ，而当1=±x 时，级数11(21)∞=+∑n n n 均收敛，因此幂级数的收敛域为[1,1]−.令 22111()(1)(21)(21)+∞∞====<++∑∑n n n n x x S x x x n n n n则 2212112(),()21∞∞−=='''===−∑∑n n n n x xS x S x x n x 因此 22002()(0)()ln(1)1''''−===−−−⎰⎰xxxS x S S x dx dx x x又 (0)0'=S ，则 2()ln(1)'=−−S x x ，同理2201()(0)()ln(1)ln(1)2ln1+'−==−−=−−+−−⎰⎰xxxS x S S x dx x dx x x x x而 (0)0=S ，则 21()ln(1)2ln1+=−−+−−xS x x x x x，故1111)](21)22∞====+−+∑nn n n2ln 21)=++『方法技巧』 本题考查利用幂级数求常数项级数的和，这是一种常用方法，关键要做出合适的幂级数.本题由于级数一般项的分母中含有因式21+n ，故所做级数为21(21)∞=+∑n n x n n，此时只要令=x ，即为所求的常数项级数.『特别提醒』 在求幂级数的和时，不要忽略了收敛域的讨论，要保证常数项级数是幂级数取收敛域内的点.12. 解 2()ln(3)ln ln(3)=−=+−f x x x x x1ln[1(1)]ln[2(1)]ln[1(1)]ln 2ln[1()]2−=+−++−=+−+++xx x x 由于 234111ln(1)(1)(1)(11)234∞−−=+=−+−++−+=−−<≤∑nnn n n x x x x x x x x nn则 11111()(1)2()ln 2(1)(1)∞∞−−==−−=+−+−∑∑n nn n n n x x f x n n12111(1)(1)ln 2(1)(1)2∞∞−−==−−=+−+−∑∑n nn n nn n x x n n 111(1)ln 2[(1)]2∞−=−=+−−∑nn n n x n且满足1111112−<−≤⎧⎪⎨−−<≤⎪⎩x x，即 02<≤x . 『方法技巧』 本题考查形如()ln(1)=+f x x 的函数展开式及收敛域11−<≤x .首先将2()ln(3)=−f x x x 化为1()ln[1(1)]ln 2ln[1()]2−=+−+++xf x x ，将第一项中的1−x 看成标准形中的x ，第二项中的12−x看成标准形中的x ，再展开. 『特别提醒』 ()ln(1)=+f x x 的展开式可以用如下方法记忆：由于 231111111(1)(1)1∞−−−−==−+−++−+=−+∑n n n n n x x x xx x两边积分得11234011111(1)(1)ln(1)1234−−∞=−−+==−+−+++=+∑⎰n n xnnn x dx x x x x x x x n n13. 解 所求极限实际上是级数1212∞=−∑nn n 的和，因此可考虑幂级数 221(21)∞−=−∑n n n x令 22221222111()(21)()()1(1)∞∞−−==+''=−===−−∑∑n n n n x x S x n xxx x故2321113521112lim()31222222(1)2→∞+−++++===−n n n S 『方法技巧』 本题考查利用级数的和求其部分和的极限.关键是找到一个适当的幂级数，利用它求出常数项级数的和，再利用级数收敛的充要条件求极限.『特别提醒』 1212∞=−∑nn n 不刚好等于S ，而是相差12倍. 14. 解 当(,)∈−∞+∞x 时，3693()13!6!9!(3)!=++++++n x x x x y x n ，(0)1=y则 25831()2!5!8!(31)!−'=+++++−n x x x x y x n ，(0)0'=y4732()4!7!(32)!−''=+++++−n x x x y x x n ，故4732258314!7!(32)!2!5!8!(31)!−−'''++=+++++++++++−−n n x x x x x x x y y y x n n369313!6!9!(3)!+++++++n x x x x n2345612!3!4!5!6!!=++++++++++=n x x x x x x x x e n所以()y x 满足方程'''++=x y y y e .由于幂级数30(3)!∞=∑nn x n 的和函数为()y x ，因此所要求的是二阶常系数非齐次线性微分方程 '''++=x y y y e 的满足条件(0)1,(0)0'==y y 的特解()y x .其特征方程为210++=r r ，特征根为1,2122=−±r i ，对应的齐次方程的通解为212(cossin )22−=+x Y e C x C x ，又因1λ=不是特征根，则其特解形式为*=x y Ae ，代入原方程，解得13=A ，故微分方程的通解为11 2121(cos sin )223−=++x x y e C x C x e ，将(0)1,(0)0'==y y 代入得122,03==C C ，所求微分方程的特解为221cos 323−=+x x y e x e 因此32021cos (3)!323∞−==+∑x n x n x e x e n 『方法技巧』 本题考查幂级数逐项求导及二阶常系数非齐次线性微分方程的求通解和特解.。
高数考研试题解析无穷级数的收敛域与收敛半径
高数考研试题解析无穷级数的收敛域与收敛半径无穷级数是数学分析中的一个重要概念，研究它的收敛域和收敛半径是高数考研试题中常见的一种题型。
在本文中，我们将从收敛域和收敛半径的定义入手，通过例题解析的方式来帮助读者更好地理解和应用这一概念。
无穷级数的收敛域是指使得无穷级数收敛的所有实数x的集合，也称为收敛区间。
而收敛半径则是收敛域的长度，记作R。
在解析无穷级数的收敛域和收敛半径时，常用的方法有根值判别法、比值判别法和积分判别法等。
根值判别法是通过计算无穷级数的通项的n次根的极限值来判断收敛域和收敛半径。
对于一个无穷级数∑(aₙxⁿ)，通过计算lim┬(n→∞)(|aₙ|⁄|aₙ₊₁|)的值，当该极限存在且大于0时，收敛半径R=1/lim┬(n→∞)(|aₙ|⁄|aₙ₊₁|)；当该极限不存在或为无穷大时，R=0；当该极限等于无穷时，R=+∞。
比值判别法是通过计算无穷级数的通项的绝对值的n+1项与n项的比值的极限值来判断收敛域和收敛半径。
对于一个无穷级数∑(aₙxⁿ)，通过计算lim┬(n→∞)(|aₙ₊₁|⁄|aₙ|)的值，当该极限存在且大于0时，收敛半径R=1/lim┬(n→∞)(|aₙ₊₁|⁄|aₙ|)；当该极限不存在或为无穷大时，R=0；当该极限等于无穷时，R=+∞。
积分判别法是通过求解无穷级数的通项对应的函数在收敛域上的不定积分的性质来判断收敛域和收敛半径。
对于一个无穷级数∑(aₙxⁿ)，令f(x) = ∑(aₙxⁿ)，如果f(x)在收敛域上连续，则收敛域包含收敛半径R。
为了更好地理解和应用这些方法，我们接下来通过解析一个具体的考研试题来探讨。
【解析示例】考虑无穷级数∑(n!)⁄(nⁿxⁿ)，我们将通过根值判别法、比值判别法和积分判别法来求解它的收敛域和收敛半径。
首先，我们使用根值判别法。
计算通项的n次根的极限值，lim┬(n→∞)(|(n!)⁄(nⁿxⁿ)|⁄|(n+1)!⁄((n+1)ⁿxⁿ₊₁)|)= lim┬(n→∞)((n+1)ⁿ⁺¹⁄nⁿ₊₁) = (1+1/n)ⁿ → 1因此，根值判别法得到的收敛半径为R = 1。
高等数学习题详解-第9章-无穷级数
习题9-11. 判定下列级数的收敛性：(1) 1n ∞=∑; (2) 113n n ∞=+∑; (3)1ln 1n n n ∞=+∑; (4) 1(1)2nn ∞=-∑;(5) 11n n n ∞=+∑; (6) 0(1)21n n nn ∞=-⋅+∑． 解：（1）11n n k S ===∑，则lim lim(11)n nnS n =+-=+?，级数发散。
（2）由于14113n n n nゥ===+邋，因此原级数是调和级数去掉前面三项所得的级数，而在一个级数中增加或删去有限项不改变级数的敛散性，所以原级数发散。
（3）11ln[ln ln(1)]ln1ln(1)ln(1)1n nn k k n S n n n n n ====-+=-+=-++邋，则lim lim[ln(1)]n nnS n =-+=-?，级数发散。
（4） 2 , 21, 1,2,3,; 0 , 2n n k S k n k ì-=-ïï==íï=ïîL 因而lim n n S 不存在，级数发散。
（5）级数通项为1n n u n =+，由于1lim 10n n n+=?，不满足级数收敛的必要条件，原级数发散。
（6）级数通项为(1)21n n nu n -=+，而lim n n S 不存在，级数发散。
2. 判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和： (1) 11123n n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑； (2)11(1)(2)n n n n ∞=++∑; (3) 1πsin 2n n n ∞=⋅∑; (4) 0πcos 2n n ∞=∑．解：（1）因为111111111131111(1).23232232223nn nn k k k k n nn n k k k S ===骣÷ç=+=+=-+-=--?÷ç÷ç桫邋? 所以该级数的和为31113lim lim(),22232n n n n n S S ==--? 即1113.232n n k ¥=骣÷ç+=÷ç÷ç桫å（2）由于1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++，则111111111[][](1)(2)2(1)(1)(2)22(1)(2)nnn k k S k k k k k k k n n ====-=-+++++++邋所以该级数的和为 1111lim lim [],22(1)(2)4n n n S S n n ==-=++即111.(1)(2)4n n n n ¥==++å（3）级数的通项为sin 2n u n n p =，由于sin2lim sin lim()02222n n n n n npp ppp =??，不满足级数收敛的必要条件，所以原级数发散。
无穷级数试题B
无穷级数试题B（考试时间：120分钟）一、单项选择题（下面每道题目中有且仅有一个答案正确，将所选答案填入题后括号内。
共24分）1．（3分）若()()R xx ax f n nn<=∑∞=1，则n a 等于（ ）Ａ．()()0n fＢ．()()n fn 0 Ｃ．()()!0n fn Ｄ．()()0!n fn2．（3分）设∑∞=1n na 收敛，则∑∞=1n na（ ）Ａ．必收敛，且收敛于∑∞=1n na 的和 Ｂ．不一定收敛Ｃ．必收敛，但不一定收敛于∑∞=1n na 的和 Ｄ．一定发散3．（3分）级数()∑∞=1210sin 10n n（ ）Ａ．一般项不趋于0，发散 Ｂ．一般项虽趋于0，但级数发散 Ｃ．收敛 Ｄ．不绝对收敛4．（3分）幂级数()∑∞=-021n nnxn收敛半径是（ ）Ａ．1 Ｂ．21Ｃ．2Ｄ．∞+ 5．（3分）下列所给级数，发散的是（ ）Ａ．()∑∞=11.0n nnＢ．∑∞=12321n n Ｃ．()∑∞=+-18100101n nn Ｄ．∑∞=11sinn nn6．（3分）级数()∑∞=--123111n n n 是（ ）Ａ．绝对收敛的 Ｂ．条件收敛的 Ｃ．发散的 Ｄ．敛散性不能确定的级数7．（3分）级数()∑∞=---11121n n n 是（ ）Ａ．绝对收敛 Ｂ．条件收敛 Ｃ．发散 Ｄ．敛散性不能判定8．（3分）若级数 ++++n u u u 21满足n n u∞→lim 0=，则此级数（ ）Ａ．绝对收敛 Ｂ．收敛 Ｃ．发散 Ｄ．不能确定其敛散性二、填空题（共24分）9．（3分）设级数()()∑∞=-+-111ln 11n n n ，则级数收敛10．（3分）幂级数()∑∞=-12n nx 的收敛区间是（含端点敛散性） 11．（3分）级数∑∞=-113n n n的敛散性是12．（3分）幂级数()∑∞=-121n nnn x的收敛半径=R13．（3分）级数()∑∞=-15n nnx 的收敛区间为（含端点敛散性）14．（3分）∑∞=+112n nn α收敛的充要条件是α满足不等式15．（3分）幂级数()∑∞=+114n nx 的收敛区间是16．（3分）设()x f 是周期为π2的周期函数，它在[)ππ,-上的表达式为()⎩⎨⎧<<≤≤-=ππx x x x f 0,0,0，则()x f 的傅立叶系数的积分表达式为=n a 、=n b三、计算题（共30分）17．（5分）求幂级数∑∞=++01212n n n x的收敛区间 18．（5分）将函数xy -=31展开成()1-x 的幂级数形式19．（5分）将函数()3212--=x x x f 展开为x 的幂级数形式20．（5分）求幂级数()∑∞=-1!21n nnnnxn n的收敛半径21．（5分）将函数()xx f -=31在点10=x 处展开成幂级数22．（5分）设级数∑∞=1n na和∑∞=1n nb收敛，且n n n b c a ≤≤() ,2,1=n ，证明级数∑∞=1n nc也收敛四、解答题（共16分）23．（8分）判别级数()∑∞=-+16145n nn的敛散性。