海淀区2020年1月初三数学期末试题
初三第一学期期末学业水平调研
数 学
2020.1
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1.
下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A
B
C D
2． 五张完全相同的卡片上，分别写有数字1，2，3，4，5，现从中随机抽取一张，抽到的卡片上所写数字
小于3的概率是 A ．15
B ．
25
C ．35
D ．
45
3． 关于方程2310x x --=的根的情况，下列说法正确的是
A ．有两个不相等的实数根
B ．有两个相等的实数根
C ．没有实数根
D ．无法判断
4. 如图，在四边形ABCD 中，AD //BC ，点E ，F 分别是边AD ，BC 上的点, AF 与BE 交于点O ，AE=2，
BF=1，则AOE △与BOF △的面积之比为 A ．
1
2
B ．
14
C ．2
D ．4
5. 若扇形的半径为2，圆心角为90°，则这个扇形的面积为
A ．π2
B ．π
C ．2π
D ．4π
6. 如图，OA 交⊙O 于点B ，AD 切⊙O 于点D ，点C 在⊙O 上. 若∠A ＝40°，则∠C 为 A ．20°
B ．25°
C ．30°
D ．35°
B
7． 在同一平面直角坐标系xOy 中，函数1y kx =+与(0)k
y k x
=≠的图象可能是
A B
C D
8. 在平面直角坐标系xOy 中，将横纵坐标之积为1的点称为“好点”，则函数||3y x =-的图象上的“好
点”共有 A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9． 反比例函数2
y x
=
的图象经过12(2,),(3,)y y 两点，则1y ______2y .（填“>”，“=”或“<”） 10. 如果关于x 的一元二次方程210ax bx +-=的一个解是1x =，则2020a b --=_______. 11. 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，
//,1,2DE BC AD BD AE ===, 则EC 的长为__________.
12. 如图，在平面直角坐标系中有两点A (6,0)和B (6,3)，以原
点O 为位似中心，相似比为
1
2
，把线段AB 缩短为线段 CD ，其中点C 与点A 对应，点D 与点B 对应，且CD 在 y 轴右侧，则点D 的坐标为 .
13．下表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果.
根据上表中的数据，可估计该植物的种子发芽的概率为_______. 14. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆， D 是»
AC 的中点，连结AD , BD ，其中 BD 与AC 交于点E . 写出图中所有与△ADE 相似的三角形：___________.
C A
15. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知函数()13
0y x x
=
> 和()21
0y x x
=-
<，点M 为y 轴正半轴上一点，N 为x 轴 上一点，过M 作y 轴的垂线分别交1y ，2y 的图象于A , B 两点，连接AN BN ，，则ABN △的面积为 ．
16. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (1,0), B (3,0)，
C 为平面内的动点，且满足∠ACB =90°，
D 为直线y =x 上 的动点，则线段CD 长的最小值为__________.
三、 解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分，第23~26题，每小题6分，第27~28题，
每小题7分）
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17．解一元二次方程：2230x x --=．
18． 如图，在ABC △与ADE △中，
AB AC AD AE
=，且=EAC DAB ∠∠. 求证：ABC ADE △∽△．
19. 某司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80 km/h 的平均速度用6 h 到达目的地.
（1）当他按原路匀速返回时，汽车的速度v 与时间t 有怎样的函数关系？
（2）如果该司机返回到甲地的时间不超过5 h ，那么返程时的平均速度不能小于多少？
B
C
E
D
A
20. 如图，在O e 中，»»AC CB
=，CD ⊥OA 于点D ，CE ⊥OB 于点E . （1）求证：CD =CE ；
（2）若∠AOB =120°，OA =2，求四边形DOEC 的面积.
21．已知关于x 的一元二次方程21=0x mx m -+-.
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根为负数，求m 的取值范围.
22. 一个不透明的布袋中有完全相同的三个小球，把它们分别标号为1，2，3. 小林和小华做一个游戏，
按照以下方式抽取小球：先从布袋中随机抽取一个小球，记下标号后放回布袋中搅匀，再从布袋 中随机抽取一个小球, 记下标号. 若两次抽取的小球标号之和为奇数，小林赢；若标号之和为偶数， 则小华赢.
（1）用画树状图或列表的方法，列出前后两次取出小球上所标数字的所有可能情况； （2）请判断这个游戏是否公平，并说明理由.
23. 如图，90ABC ∠=︒，2,8AB BC ==，射线CD ⊥BC 于点C ，E 是线段BC 上一点，F 是射线CD
上一点，且满足90AEF ∠=︒. （1）若3BE =，求CF 的长；
（2）当BE 的长为何值时，CF 的长最大，并求出这个最大值.
24．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 是直线13
22
y x =
+上一点，过点A 分别作x 轴，y 轴的垂 线，垂足分别为点B 和点C ，反比例函数k
y x
=
的图象经过点A ． （1）若点A 是第一象限内的点，且AB AC =，求k 的值； （2）当AB AC >时，直接写出k 的取值范围．
E
D F
C
B
A
25．如图，AB 是O e 的直径，直线MC 与O e 相切于点C . 过点A 作MC 的垂线，垂足为D ，线段
AD 与O e 相交于点E .
（1）求证：AC 是∠DAB 的平分线；
（2
）若10,AB AC ==，求AE 的长.
26．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线G ：2240)y ax ax a =-+≠（.
（1）当a =1时，
①抛物线G 的对称轴为x =_____________；
②若在抛物线G 上有两点12(2,),(,)y m y ，且21y y >，则m 的取值范围是____________； （2）抛物线G 的对称轴与x 轴交于点M ，点M 与点A 关于y 轴对称，将点M 向右平移3个单位得到点B ，若抛物线G 与线段AB 恰有一个公共点，结合图象，求a 的取值范围.
27．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1, 记∠ABC=α，点D为射线BC上的动点，连接AD，将射线DA绕点D顺时针旋转α角后得到射线DE，过点A作AD的垂线，与射线DE交于点P，点B关于点D的对称点为Q，连接PQ．
（1）当△ABD为等边三角形时，
①依题意补全图1；
②PQ的长为_____________；
（2）如图2，当α=45°，且
4
3
BD 时, 求证：PD=PQ；
（3）设BC = t, 当PD=PQ时，直接写出BD的长.（用含t的代数式表示）
图 1
图 2
备用图
28. 在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （a ，b ）和实数(0)k k >，给出如下定义：当0ka b +>时，
将以点P 为圆心，ka b +为半径的圆，称为点P 的k 倍相关圆．
例如，在如图1中，点P (1,1)的1倍相关圆为以点P 为圆心，2为半径的圆．
（1）在点P 1(2,1)，P 2(1,3-)中，存在1倍相关圆的点是_____，该点的1倍相关圆半径为_______． （2）如图2，若M 是x 轴正半轴上的动点，点N 在第一象限内，且满足∠MON ＝30°，判断直
线ON 与点M 的1
2
倍相关圆的位置关系，并证明．
（3）如图3，已知点A 的(0,3)，B (1,m )，反比例函数6
y x
=
的图象经过点B ，直线l 与直线AB 关 于y 轴对称．
①若点C 在直线l 上，则点C 的3倍相关圆的半径为 ．
②点D 在直线AB 上，点D 的3
1
倍相关圆的半径为R ，若点D 在运动过程中，以点D 为圆
心，hR 为半径的圆与反比例函数6
y x
=
的图象最多有两个公共点，直接写出h 的最大值.
图 1
图 2
图 3。
2020年海淀区九年级上期末数学试卷
海淀九上期末数 学 试 卷2010.1 一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1. 下列图形中是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2. 将抛物线2x y =平移得到抛物线=y 25x -，叙述正确的是( )A.向上平移5个单位B.向下平移5个单位C.向左平移5个单位D.向右平移5个单位3.如图，在△ABC 中，D 、E 两点分别在AB 、AC 边上，DE ∥BC .若3:2:=BC DE ，则ABC ADE S S ∆∆:为（ ） A. 4:9 B. 9:4 C. 3:2 D. 3:24.抛物线2(1)7y x =-+的顶点坐标为( )A ．)1,7(B ．(1,7)C ．(1,7)-D ．(1,7)-5．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦.若∠BAD =23°，则ACD ∠的大小为（ ）A.23°B.57°C.67°D.77°6．二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．240b ac -> B ． 0a <C ．0c >D ．0b >7. 如图，A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处.若将△ACB 绕着点A 逆时针旋转得到△''AC B ，则tan 'B 的值为( )A. 14B. 13C. 12D. 1AOBDCEAB CD8.一种胸花图案的制作过程如图1—图3，图1中每个圆的半径均为1. 将图1绕点O 逆时针旋转60︒得到图2，再将图2绕点O 逆时针旋转30︒得到图3，则图3中实线的长为( )图1 图2 图3A ．πB ．2πC ．3πD ．4π 二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．函数21-=x y 中自变量x 的取值范围是 ． 10.若二次函数223y x =-的图象上有两个点),1(m A 、(2,)B n ，则m n （填“<”或“=”或“>”）.11.如图，△ABO 与△'''A B O 是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ．12. 图1中的“箭头”是以AC 所在直线为对称轴的轴对称图形，90BAD ∠=︒，2AB =.图2到图4是将“箭头”沿虚线剪拼成正方形的过程，则图1中BC 的长为 .图1 图2 图3 图4三、解答题（本题共30分，每小题5分）13. 计算：()112cos30201032-⎛⎫︒--++- ⎪⎝⎭14. 解方程：2250x x .15．化简：4-4)212-3(2x x x ÷++．16．如图，在△ABC 中，D 、E 两点分别在AC 、AB 两边上，ABC ADE ∠=∠，3,7==AD AB ， 2.7AE =,求AC 的长．17. 已知：k 是方程01232=--x x 的一个根，求代数式7)1)(1(2)1(2+-++-k k k 的值.18. 已知：二次函数2y ax bx c =++(0)a ≠中的x y ，满足下表：（1）m 的值为 ； （2）求这个二次函数的解析式.四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．将两个大小不同的含45︒角的直角三角板如图1所示放置在同一平面内.从图1中抽象出一个几何图形（如图2），B 、C 、E 三点在同一条直线上，连结DC ． 求证:△ABE ≌△ACD .20．圣路易斯拱门是座雄伟壮观的抛物线形建筑物.拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100米，求拱门的最大高度.21.已知：在△ABC 中，B ∠为锐角，4sin 5B =，15AB =，13AC =，求BC 的长.22. 如图，已知△ABC ，以AB 为直径的⊙O 经过BC 的中点D ，DE ⊥AC 于E .(1)求证:DE 是⊙O 的切线；(2)若21cos =C , 6DE =, 求⊙O 的直径.五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）23. 如图1，已知四边形ABCD ，点P 为平面内一动点. 如果PAD PBC ∠=∠，那么我们称点P 为四边形ABCD 关于A 、B 的等角点.如图2，以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，点C 的横坐标为6.（1）若A 、D 两点的坐标分别为(0,4)A 、(6,4)D ，当四边形ABCD 关于A 、B 的等角点P 在DC 边上时，则点P 的坐标为 ；（2）若A 、D 两点的坐标分别为(2,4)A 、(6,4)D ，当四边形ABCD 关于A 、B 的等角点P 在DC 边上时，求点P 的坐标；（3）若A 、D 两点的坐标分别为(2,4)A 、(10,4)D ，点(,)P x y 为四边形ABCD 关于A 、B 的等角点，其中2>x ，0y >，求y 与x 之间的关系式.图1 图2备用图1 备用图224．当060α<<时，下列关系式中有且仅有一个正确.A. 2sin(30)sin αα+=+B. 3sin 2)30sin(2+=︒+ααC. 2sin(30)3cos ααα+=+ （1）正确的选项是 ；（2）如图1，△ABC 中， 1=AC ，∠B ＝30，α=∠A ，请利用此图证明（1）中的结论；（3）两块分别含4530和的直角三角板如图2方式放置在同一平面内，BD =ADC S ∆.图1图225．已知：抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(2,0)A -、(8,0)B ，与y 轴交于点)4,0(-C .直线y x m =+与抛物线交于点D 、E （D 在E 的左侧），与抛物线的对称轴交于点F . (1) 求抛物线的解析式；(2) 当2m =时，求DCF ∠的大小；(3) 若在直线y x m =+下方的抛物线上存在点P ，使得45DPF ∠=︒，且满足条件的点P 只有两个，则m 的值为 .（第（3）问不要求写解答过程）备用图1 备用图2海淀区九年级第一学期期末练习数学试卷答案及评分参考一、选择题（本题共32分，每小题4分） 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 答 案ABABCABD二、填空题（本题共16分，每小题4分）题 号 9101112答 案2≠x<(6,0)5三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．计算：()112cos30201032-⎛⎫︒--++- ⎪⎝⎭解：原式321232=⨯-+分 231=.-------------------------------------5分14．解方程：2250xx .解法一：522=+x x .15122+=++x x .--------------------------------------------------2分 6)1(2=+x .------------------------------------------3分 61±=+x . 16-±=x . ∴161-=x ，162--=x .-----------------------------------------5分解法二：521-===c b a ，，.△=ac b 42-)5(1422-⨯⨯-=204+==240>.-------------------------------2分∴2x a=221-±=⨯----------------------------3分22-±=1=-±.∴161-=x ，162--=x .-------------------------------------------5分15.化简：2314()-22-4x x x +÷+．解：原式=23624[](2)(2)(2)(2)4x x x x x x x +-+÷-+-+-------------------------------------2分2236+2-4-44x x x x +-=⋅ ---------------------------------3分 2244-4-44x x x +=⋅ -----------------------------------4分 1x =+.-----------------------------------5分解法二：原式=2234142424x x x x --⋅+⋅-+--------------------------------------2分=36244x x +-+-----------------------------------------------------------4分=444x +=1x +.-----------------------------------------------5分 16．解： 在△ABC 和△ADE 中，∵ ABC ADE ∠=∠，,A A ∠=∠∴ △ABC ∽△ADE .-------------------------------2分 ∴AB AC ADAE=.----------------------------3分∴ AB AE AC AD⋅=7 2.73⨯=----------------------------4分6.3=.---------------------------------5分17. 解： ∵ k 是方程01232=--x x 的一个根，∴ 23210k k --=.---------------------------1分 ∴ 2321k k -=.原式22212(1)7k k k =-++-+ ----------------------------3分2221227k k k =-++-+2326k k =-+ ----------------------------4分16=+7=.----------------------------5分18．解：（1）0 ；----------------------------2分（2）解法一：设这个二次函数的解析式为(1)(3)y a x x =+-.----------------------------3分∵ 点(0,3)-在函数图象上，∴ 3(01)(03)a -=+-.解得 1a =.----------------------------4分∴ 这个二次函数的解析式为(1)(3)y x x =+-.----------------------------5分 解法二：设抛物线的解析式为2(1)4y a x =--.-------------------------3分 ∵ 抛物线经过点(1,0)-，∴ 20(11)4a =---.解得 1a =.----------------------------4分∴ 这个二次函数的解析式为2(1)4y x =--.----------------------------5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）19. 证明： ∵ △ABC 和△ADE 均为等腰直角三角形，∴ ,,AB AC AD AE == ︒=∠=∠90DAE BAC .--------2分 即 BAC CAE DAE CAE ∠+∠=∠+∠.∴ CAD BAE ∠=∠.-------------------3分 在△ABE 和△ACD 中，,,,AB AC BAE CAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △ABE ≌△ACD .----------------------5分20. 解：解法一：如图所示建立平面直角坐标系. --------------------1分此时，抛物线与x 轴的交点为C (100,0)-，D (100,0).设这条抛物线的解析式为(100)(100)y a x x =-+.--------------------2分 ∵ 抛物线经过点B (50,150)， 可得 150(50100)(50100)a =-+ . 解得 501-=a . ∴ 抛物线的解析式为)100)(100(501+--=x x y . 当0x =时，200y =.-----------------------4分∴ 拱门的最大高度为200米. --------------------------5分解法二：如图所示建立平面直角坐标系. -----------------------1分设这条抛物线的解析式为2ax y =.-------------2分设拱门的最大高度为h 米，则抛物线经过点).,100(),150,50(h D h B -+-可得 22100,15050.h a h a ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩ 解得,.200501⎪⎩⎪⎨⎧=-=h a .----------------------4分∴ 拱门的最大高度为200米.--------------------5分21.解：过点A 作AD ⊥BC 于D .-------------------1分在△ADB 中，90ADB ∠=︒,∵ sin B =54，15AB =， ∴ AD =sin AB B ⋅41512.5=⨯=------------2分 由勾股定理,可得 22BD AB AD =-=221215-9=.-------------3分 在△ADC 中，90ADC ∠=︒,13,12,AC AD ==由勾股定理,可得222213125DC AC AD =-=-=.∵ ,AD AC AB <<∴ 当C B 、两点在AD 异侧时,可得 9514BC BD CD =+=+=.------------4分 当C B 、两点在AD 同侧时,可得 954BC BD CD =-=-=.∴ BC 边的长为14或4.--------------------5分22. 证明：(1)如图，连结OD ． -------------------------1分∵ AC DE ⊥,∴ ︒=∠90DEC .∵ O 为AB 中点，D 为BC 中点,∴ OD 为△ABC 的中位线.∴ OD ∥AC .D AB C∴ ︒=∠=∠90DEC ODE .即 OD ⊥DE .∵ 点D 在⊙O 上,∴ DE 是⊙O 的切线． -------------------------------2分(2) ∵ 21cos =C , ∴ ︒=∠60C . -------------------------------3分∵ OD ∥AC ,∴ ︒=∠=∠60C BDO .∵ OD OB =,∴ ︒=∠=∠60ODB B .∴ △ABC 为等边三角形.∵ 在△EDC 中，90DEC ∠=︒, 6DE =，∴ 43DC =.----------------------------- 4分∵ D 为BC 中点,∴ 283BC DC ==.∴ AB =38.∴ ⊙O 的直径为38. ------------------------------5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）23. 解：（1）P (6,2)；----------------------------2分（2）依题意可得90D BCD ∠=∠=︒，PAD PBC ∠=∠,4,4, 6.AD CD BC === ∴ △PAD ∽△PBC .----------------------------3分∴ 4.6PD AD PC BC == ∵ 4,PD PC CD +==∴ 125PC =. ∴ 点P 的坐标为12(6,)5. --------------------4分 （3）根据题意可知，不存在点P 在直线AD 上的情况；当点P 不在直线AD 上时，分两种情况讨论： ① 当点P 在直线AD 的上方时，点P 在线段BA 的延长线上，此时有2y x =； ② 当点P 在直线AD 的下方时，过点P 作MN ⊥x 轴，分别交直线AD 、BC 于M 、N 两点.与（2）同理可得 △PAM ∽△PBN ,4PM PN +=.由点P 的坐标为(,)P x y ，可知M 、N 两点的坐标分别为(,4)M x 、(,0)N x .∴ PM AM PN BN=. 可得42y x y x --=. ∴ 21x y x =-. 综上所述，当2>x ，0y >时，y 与x 之间的关系式为2y x =或21x y x =-.-----7分 （注：第（3）问中，当点P 不在直线AD 上时，只要写对一种情况就给2分）24. 解：（1）C .-----------------------2分（2）如图, 过点A 作AD ⊥BC 交BC 的延长线于点D .∵ ∠B ＝30︒，BAC α∠=，1=AC ，∴ 30ACD α∠=+︒.∴ 在△ADC 中，90ADC ∠=︒，sin sin(30)AD AC ACD α=⋅∠=+︒.∵ 在△ABD 中，90ADB ∠=︒，∠B ＝30︒，∴ 2AB AD =2sin(30)α=+︒.------------3分过点C 作CE ⊥AB 于E .∴ 在△CEA 中，90AEC ∠=︒，sin ,cos CE AE αα==.在△BEC 中，90BEC ∠=︒，EB α==.---------------4分∴ cos AB AE BE αα=+=.∴ 2sin(30)cos AB ααα=+︒=+.-----------------------5分（3)由上面证明的等式易得sin(30)α+︒=. 如图，过点A 作AG ⊥CD 交CD 的延长线于点G . -----------------6分∵ △ABD 和△BCD 是两个含4530︒︒和的直角三角形，BD =∴ 75ADG ∠=︒，8AD =，42CD =. ∵ sin 75sin(4530)︒=︒+︒3sin 45cos 452︒+︒= 624+=. ∴ 在△ADG 中，90AGD ∠=︒，sin 8sin 752622AG AD ADG =⋅∠=⨯︒=+.------------------7分 ∴ ADC S ∆=12CD AG ⋅= 1422⨯⨯(2622)+=838+.------------------8分25. 解：（1）依题意，设抛物线的解析式为(2)(8)y a x x =+-.∵ 抛物线与y 轴交于点)4,0(-C ， ∴ 4(02)(08)a -=+-.解得 14a =. ∴ 抛物线的解析式为1(2)(8)4y x x =+-，即213442y x x =--.-------------2分 （2）由（1）可得抛物线的对称轴为3x =.∵ 2m =，∴ 直线的解析式为2y x =+.∵ 直线2y x =+与抛物线交于点D 、E ，与抛物线的对称轴交于点F ，∴ F 、D 两点的坐标分别为(3,5),(2,0)F D -.设抛物线的对称轴与x 轴的交点为M .可得 5.CM FM MD ===∴ F 、D 、C 三点在以M 为圆心，半径为5的圆上. ---------------------4分 ∴ DCF ∠=︒=∠4521DMF .---------------------5分 （3） 54m =-.--------------------------------------------7分（注：由于题目的解法可能不唯一，因此请老师根据评分标准酌情给分）。
2020年北京市海淀初三(上)期末数学备考锐角三角函数试卷及答案含答案
2020北京海淀初三（上）期末数学备考锐角三角函数（教师版）一．选择题（共5小题）1．如图，在平面直角坐标系xOy中，点P（4，3），OP与x轴正半轴的夹角为α，则tanα的值为（）A．B．C．D．【分析】过P作PN⊥x轴于N，PM⊥y轴于M，根据点P的坐标求出PN和ON，解直角三角形求出即可．【解答】解：过P作PN⊥x轴于N，PM⊥y轴于M，则∠PMO＝∠PNO＝90°，∵x轴⊥y轴，∴∠MON＝∠PMO＝∠PNO＝90°，∴四边形MONP是矩形，∴PM＝ON，PN＝OM，∵P（4，3），∴ON＝PM＝4，PN＝3，∴tanα＝＝，故选：C．【点评】本题考查了点的坐标和解直角三角形，能求出PN和ON的长是解此题的关键．2．在△ABC中，∠C＝90°．若AB＝3，BC＝1，则sin A的值为（）A．B．C．D．3【分析】根据正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sin A进行计算即可．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝3，BC＝1，∴sin A＝，故选：A．【点评】此题主要考查了锐角三角函数，关键是掌握正弦定义．3．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，则sin A的值是（）A．B．C．D．【分析】根据锐角的正弦为对边比斜边，计算即可．【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，∴sin A＝＝，故选：A．【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，则sin A的值为（）A．B．C．D．【分析】直接根据三角函数的定义求解即可．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，∴sin A＝＝．故选：A．【点评】此题考查的是锐角三角函数的定义，比较简单，用到的知识点：正弦函数的定义：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sin A．即sin A＝∠A的对边：斜边＝a：c．5．如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tan B′的值为（）A．B．C．D．【分析】过C点作CD⊥AB，垂足为D，根据旋转性质可知，∠B′＝∠B，把求tan B′的问题，转化为在Rt△BCD中求tan B．【解答】解：过C点作CD⊥AB，垂足为D．根据旋转性质可知，∠B′＝∠B．在Rt△BCD中，tan B＝＝，∴tan B′＝tan B＝．故选：B．【点评】本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求法．二．填空题（共3小题）6．已知∠A为锐角，且tan A＝，则∠A的大小为60°．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：∠A为锐角，且tan A＝，则∠A＝60°，故答案为：60°．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．7．已知∠A为锐角，若sin A＝，则∠A＝45 度．【分析】根据特殊角的三角函数值解答．【解答】解：∵∠A为锐角，sin45°＝，∴∠A＝45°．【点评】此题考查的是特殊角的三角函数值，属较简单题目．8．正方形CEDF的顶点D、E、F分别在△ABC的边AB、BC、AC上．（1）如图，若tan B＝2，则的值为；（2）将△ABC绕点D旋转得到△A′B′C′，连接BB′、CC′．若，则tan B的值为．【分析】（1）由正方形的性质得ED＝EC，∠CED＝90°，再在Rt△BDE中，利用正切的定义得到DE＝2BE，则CE＝BE，所以＝；（2）连结DC、DC′，如图，根据旋转的性质得DB＝DB′，DC＝DC′，∠BDB′＝∠CDC′，则可判断△DBB′∽△DCC′，根据相似三角形的性质得＝＝，则可设DC＝3x，BD＝5x，然后利用正方形性质得DE＝3x，接着利用勾股定理计算出BE＝4x，最后根据正切的定义求解．【解答】解：（1）∵四边形CEDF为正方形，∴ED＝EC，∠CED＝90°，在Rt△BDE中，∵tan B＝＝2，∴DE＝2BE，∴＝＝；（2）连结DC、DC′，如图，∵△ABC绕点D旋转得到△A′B′C′，∴DB＝DB′，DC＝DC′，∠BDB′＝∠CDC′，即＝，∴△DBB′∽△DCC′，∴＝＝，设DC＝3x，BD＝5x，∵四边形CEDF为正方形，∴DE＝3x，在Rt△BDE中，BE＝＝＝4x，∴tan B＝＝＝．故答案为，．【点评】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时主要利用相似比计算相应线段的长和得到对应角相等．解决（2）的关键是证明△DBB′∽△DCC′得到＝．三．解答题（共42小题）9．计算：cos45°﹣2sin30°+（﹣2）0．【分析】原式利用特殊角的三角函数值，以及零指数幂法则计算即可求出值．【解答】解：原式＝﹣2×+1＝﹣1+1＝．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10．2018年10月23日，港珠澳大桥正式开通，成为横亘在伶仃洋上的一道靓丽的风景．大桥主体工程隧道的东、西两端各设置了一个海中人工岛，来衔接桥梁和海底隧道，西人工岛上的A点和东人工岛上的B点间的距离约为5.6千米，点C是与西人工岛相连的大桥上的一点，A，B，C在一条直线上．如图，一艘观光船沿与大桥AC段垂直的方向航行，到达P点时观测两个人工岛，分别测得PA，PB与观光船航向PD的夹角∠DPA＝18°，∠DPB＝53°，求此时观光船到大桥AC段的距离PD的长．参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.33，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．【分析】设PD的长为x千米，DA的长为y千米，在Rt△PAD中利用正切的定义得到tan18°＝，即y＝0.33x，同样在Rt△PDB中得到y+5.6＝1.33x，所以0.33x+5.6＝1.33x，然后解方程求出x即可．【解答】解：设PD的长为x千米，DA的长为y千米，在Rt△PAD中，tan∠DPA＝，即tan18°＝，∴y＝0.33x，在Rt△PDB中，tan∠DPB＝，即tan53°＝，∴y+5.6＝1.33x，∴0.33x+5.6＝1.33x，解得x＝5.6，答：此时观光船到大桥AC段的距离PD的长为5.6千米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用：根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．11．计算：2sin30°﹣2cos45°．【分析】首先计算特殊角的三角函数，然后再计算乘法，后计算加减即可．【解答】解：原式＝2×﹣2×＝1﹣+2＝1+．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数，关键是掌握30°、45°、60°角的各种三角函数值．12．如图，在△ABC中，∠B为锐角，AB＝3，AC＝5，sin C＝，求BC的长．【分析】作AD⊥BC，在△ACD中求得AD＝AC sin C＝3、，再在△ABD中根据AB＝3、AD＝3求得BD＝3，继而根据BC＝BD+CD可得答案．【解答】解：作AD⊥BC于点D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．∵AC＝5，，∴AD＝AC•sin C＝3．∴在Rt△ACD中，．∵AB＝，∴在Rt△ABD中，．∴BC＝BD+CD＝7．【点评】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是根据题意构建合适的直角三角形及三角函数的定义．13．计算：（）2﹣2sin30°﹣（π﹣3）0+|﹣|．【分析】原式利用平方根定义，特殊角的三角函数值，零指数幂法则，以及绝对值的代数意义化简即可得到结果．【解答】解：原式＝2﹣2×﹣1+＝2﹣1﹣1+＝．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．如图，热气球探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球与楼的水平距离AD为100米，试求这栋楼的高度BC．【分析】在直角三角形ADB中和直角三角形ACD中，根据锐角三角函数中的正切可以分别求得BD和CD的长，从而可以求得BC的长，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，α＝30°，β＝60°，AD＝100米，∠ADC＝∠ADB＝90°，∴在Rt△ADB中，α＝30°，AD＝100米，∴tanα＝＝＝，∴BD＝米，在Rt△ADC中，β＝60°，AD＝100米，∴tanβ＝，∴CD＝100米，∴BC＝BD+CD＝米，即这栋楼的高度BC是米．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、锐角三角函数，解答此类问题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答．15．计算：sin30°+3tan60°﹣cos245°．【分析】将特殊角的三角函数值带入求解．【解答】解：原式＝+3﹣＝．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AC上一点，DE⊥AB于点E，AC＝12，BC＝5．（1）求cos∠ADE的值；（2）当DE＝DC时，求AD的长．【分析】（1）根据三角形的内角和得到∠A+∠ADE＝90°，∠A+∠B＝90°，根据余角的性质得到∠ADE＝∠B，根据勾股定理得到AB＝13，由三角函数的定义即可得到结论；（2）由（1）得，设AD为x，则，由于AC＝AD+CD＝12，列方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵DE⊥AB，∴∠DEA＝90°，∴∠A+∠ADE＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠ADE＝∠B，在Rt△ABC中，∵AC＝12，BC＝5，∴AB＝13，∴，∴；（2）由（1）得，设AD为x，则，∵AC＝AD+CD＝12，∴，解得，∴．【点评】本题考查了解直角三角形，正确掌握解直角三角形的方法是解题的关键．17．如图，小嘉利用测角仪测量塔高，他分别站在A、B两点测得塔顶的仰角α＝45°，β＝50°．AB为10米．已知小嘉的眼睛距地面的高度AC为1.5米，计算塔的高度．（参考数据：sin50°取0.8，cos50°取0.6，tan50°取1.2）【分析】设EF＝x米，在Rt△FCE中，∠FCE＝∠FEC＝45°，可得出FC＝EF，FD＝x﹣10，在Rt△FBE中利用锐角三角函数的定义即可求出x的值，进而可得出结论．【解答】解：如图，依题意，可得CD＝AB＝10，FG＝AC＝1.5，∠EFC＝90°，在Rt△EFD中，∵β＝50°，，∴EF＝1.2FD，在Rt△EFC中，∵α＝45°，∴CF＝EF＝1.2FD，∵CD＝CF﹣FD＝10，∴FD＝50，∴EF＝1.2FD＝60，∴EG＝EF+FG＝60+1.5＝61.5答：塔的高度为61.5米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．18．计算：（﹣1）2015+sin30°﹣（π﹣3.14）0+（）﹣1．【分析】原式第一项利用乘方的意义计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用负指数幂法则计算即可．【解答】解：原式＝﹣1+﹣1+2＝．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．阅读下面材料：小明观察一个由1×1正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1，他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出它们相交所成锐角的正切值．请回答：（1）如图1，A，B，C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，作出线段CD，使得CD⊥AB；（2）如图2，线段AB与CD交于点O．为了求出∠AOD的正切值，小明在点阵中找到了点E，连接AE，恰好满足AE⊥CD于点F，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决．请你帮小明计算：OC＝；tan∠AOD＝ 5 ；解决问题：如图3，计算：tan∠AOD＝．【分析】（1）用三角板过C作AB的垂线，从而找到D的位置；（2）连接AC、DB、AD、DE．由△ACO∽△DBO求得CO的长，由等腰直角三角形的性质可以求出AF，DF的长，从而求出OF的长，在Rt△AFO中，根据锐角三角函数的定义即可求出tan∠AOD的值；（3）如图，连接AE、BF，则AF＝，AB＝，由△AOE∽△BOF，可以求出AO＝，在Rt△AOF中，可以求出OF＝，故可求得tan∠AOD．【解答】解：（1）如图所示：线段CD即为所求．（2）如图2所示连接AC、DB、AD．∵AD＝DE＝2，∴AE＝2．∵CD⊥AE，∴DF＝AF＝．∵AC∥BD，∴△ACO∽△DBO．∴CO：DO＝2：3．∴CO＝．∴DO＝．∴OF＝．tan∠AOD＝．（3）如图3所示：根据图形可知：BF＝2，AE＝5．由勾股定理可知：AF＝＝，AB＝＝．∵FB∥AE，∴△AOE∽△BOF．∴AO：OB＝AE：FB＝5：2．∴AO＝．在Rt△AOF中，OF＝＝．∴tan∠AOD＝．【点评】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用、锐角三角函数的定义，根据点阵图构造相似三角形是解题的关键．20．计算：．【分析】原式第一项化为最简二次根式，第二项分母有理化，第三项了零指数幂法则计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．【解答】解：原式＝3﹣+1+2＝4+1．【点评】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．计算：．【分析】首先对特殊角的三角函数值、二次根式、零指数幂、绝对值分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式＝（4分）＝．（5分）【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．22．已知：在△ABC中，∠B为锐角，，AB＝15，AC＝13，求BC的长．【分析】过点A作AD⊥BC于D，解直角三角形ABD可求出BD，AD的长，解直角三角形ACD可求出CD的长．进而求BC的长．【解答】解：过点A作AD⊥BC于D．在△ADB中，∠ADB＝90°，∵sin B＝，AB＝15，∴AD＝AB•sin B＝．由勾股定理，可得＝＝9．在△ADC中，∠ADC＝90°，AC＝13，AD＝12，由勾股定理，可得．∵AD＜AC＜AB，∴当B、C两点在AD异侧时，可得BC＝BD+CD＝9+5＝14．当B、C两点在AD同侧时，可得BC＝BD﹣CD＝9﹣5＝4．∴BC边的长为14或4．【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．23．当0°＜α＜60°时，下列关系式中有且仅有一个正确．A.B.C.（1）正确的选项是C；（2）如图1，△ABC中，AC＝1，∠B＝30°，∠A＝α，请利用此图证明（1）中的结论；（3）两块分别含45°和30°的直角三角板如图2方式放置在同一平面内，BD＝，求S△ADC．【分析】（1）利用关系式sin（α+β）＝sinα•cosβ+cosα•sinβ即可解答．（2）构造直角三角形，过A、C点作AD⊥BC交BC的延长线于点D，CE⊥AB于E，根据三角函数知识，可用α表示出AB的长度，再表示出AE和BE的长度，AB＝AE+BE，分别让带有α两式相等即可．（3）要求三角形的面积，必须找到三角形的一边和这条边上的高；过点A作AG⊥CD交CD的延长线于G 点．根据题意可知CD和AD的长度，和∠ADG的度数，根据上述得出的结论，可以求出∠的正弦值，在直角三角形ADG中，AD已知，根据三角函数关系式即可得出AG的长度，代入S△ADC的面积公式即可．【解答】解：（1）C．2sin（α+30°）＝2（sinα•cos30°+cosα•sin30°）＝．故答案选C．（2）如图，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D．∵∠B＝30°，∠BAC＝α，AC＝1，∴∠ACD＝α+30°．∴在△ADC中，∠ADC＝90°，AD＝AC•sin∠ACD＝sin（α+30°）．∵在△ABD中，∠ADB＝90°，∠B＝30°，∴AB＝2AD＝2sin（α+30°）过点C作CE⊥AB于E．∴在△CEA中，∠AEC＝90°，CE＝sinα，AE＝cosα．在△BEC中，∠BEC＝90°，．∴．∴．（3）由上面证明的等式易得．如图，过点A作AG⊥CD交CD的延长线于点G．∵△ABD和△BCD是两个含45°和30°的直角三角形，BD＝，∴∠ADG＝75°，AD＝8，．∵sin75°＝sin（45°+30°）＝＝．∴在△ADG中，∠AGD＝90°，．∴S△ADC＝＝＝．【点评】本题考查了三角函数和化积差的函数式，要求学生掌握正余弦、正余切的和化积差和积差化和，熟练应用．24．如图，池塘边一棵垂直于水面BM的笔直大树AB在点C处折断，AC部分倒下，点A与水面上的点E重合，部分沉入水中后，点A与水中的点F重合，CF交水面于点D，DF＝2m，∠CEB＝30°，∠CDB＝45°，求CB部分的高度．（精确到0.1m．参考数据：≈1.41，≈1.73）【分析】设CB部分的高度为xm，则BC＝xm，CD＝xm，CE＝2xm，结合CE＝CF＝CD+DF即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设CB部分的高度为xm．∵∠BDC＝∠BCD＝45°，∴BC＝BD＝xm．在Rt△BCD中，CD＝＝＝x（m）．在Rt△BCE中，∵∠BEC＝30°，∴CE＝2BC＝2x（m）．∵CE＝CF＝CD+DF，∴2x＝x+2，解得：x＝2+．∴BC＝2+≈3.4（m）．答：CB部分的高度约为3.4m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用以及解一元一次方程，通过解直角三角形及CE＝CF＝CD+DF，找出关于x的一元一次方程是解题的关键．25．如图，A，B两市相距150km，国家级风景区中心C位于A市北偏东60°方向上，位于B市北偏西45°方向上．已知风景区是以点C为圆心、50km为半径的圆形区域．为了促进旅游经济发展，有关部门计划修建连接A，B两市的高速公路，高速公路AB是否穿过风景区？通过计算加以说明．（参考数据：≈1.73）【分析】过点C作CH⊥AB于点H，设CH＝tkm，则BH＝tkm，AH＝tkm，结合AB＝150km，可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出t的值，将其与50进行比较即可得出结论．【解答】解：高速公路AB不穿过风景区．过点C作CH⊥AB于点H，如图所示．根据题意，得：∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，在Rt△CHB中，∵tan∠CBH＝＝1，∴CH＝BH．设BH＝tkm，则CH＝tkm，在Rt△CAH中，∵tan∠CAH＝＝，∴AH＝tkm．∵AB＝150km，∴t+t＝150，∴t＝75﹣75≈75×1.73﹣75＝54.75．∵54.75＞50，∴高速公路AB不穿过风景区．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，通过解直角三角形用CH的长表示出AH，BH的长是解题的关键．26．如图为某海域示意图，其中灯塔D的正东方向有一岛屿C．一艘快艇以每小时20nmile的速度向正东方向航行，到达A处时得灯塔D在东北方向上，继续航行0.3h，到达B处时测得灯塔D在北偏东30°方向上，同时测得岛屿C恰好在B处的东北方向上，此时快艇与岛屿C的距离是多少？（结果精确到1nmile．参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）【分析】过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F，由DE∥CF，DC∥EF，∠CFE＝90°可得出四边形CDEF为矩形，设DE＝xnmile，则AE＝x（nmile），BE＝x（nmile），由AB＝6nmile，可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再在Rt△CBF中，通过解直角三角形可求出BC的长．【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F，如图所示．则DE∥CF，∠DEA＝∠CFA＝90°．∵DC∥EF，∴四边形CDEF为平行四边形．又∵∠CFE＝90°，∴▱CDEF为矩形，∴CF＝DE．根据题意，得：∠DAB＝45°，∠DBE＝60°，∠CBF＝45°．设DE＝x（nmile），在Rt△DEA中，∵tan∠DAB＝，∴AE＝＝x（nmile）．在Rt△DEB中，∵tan∠DBE＝，∴BE＝＝x（nmile）．∵AB＝20×0.3＝6（nmile），AE﹣BE＝AB，∴x﹣x＝6，解得：x＝9+3，∴CF＝DE＝（9+3）nmile．在Rt△CBF中，sin∠CBF＝，∴BC＝＝＝3+3≈20（nmile）．答：此时快艇与岛屿C的距离是20nmile．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，通过解直角三角形求出BC的长是解题的关键．27．小明同学在综合实践活动中对本地的一座古塔进行了测量．如图，他在山坡坡脚P处测得古塔顶端M的仰角为60°，沿山坡向上走25m到达D处，测得古塔顶端M的仰角为30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tanθ＝，请你帮助小明计算古塔的高度ME．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.732）【分析】作DC⊥EP交EP的延长线于C，作DF⊥ME于F，作PH⊥DF于H，根据坡度的定义分别求出DC、CP，设MF＝ym，根据正切的定义用y分别表示出DF、PE，根据题意列方程，解方程得到答案．【解答】解：作DC⊥EP交EP的延长线于C，作DF⊥ME于F，作PH⊥DF于H，则DC＝PH＝FE，DH＝CP，HF＝PE，设DC＝3x，∵tanθ＝，∴CP＝4x，由勾股定理得，PD2＝DC2+CP2，即252＝（3x）2+（4x）2，解得，x＝5，则DC＝3x＝15，CP＝4x＝20，∴DH＝CP＝20，PH＝FE＝DC＝15，设MF＝ym，则ME＝（y+15）m，在Rt△MDF中，tan∠MDF＝，则DF＝＝y，在Rt△MPE中，tan∠MPE＝，则PE＝＝（y+15），∵DH＝DF﹣HF，∴y﹣（y+15）＝20，解得，y＝7.5+10，∴ME＝MF+FE＝7.5+10+15≈39.8，答：古塔的高度ME约为39.8m．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角、坡度坡角问题，掌握仰角俯角、坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．28．如图，学校教学楼上悬挂一块长为3m的标语牌，即CD＝3m．数学活动课上，小明和小红要测量标语牌的底部点D到地面的距离．测角仪支架高AE＝BF＝1.2m，小明在E处测得标语牌底部点D的仰角为31°，小红在F处测得标语牌顶部点C的仰角为45°，AB＝5m，依据他们测量的数据能否求出标语牌底部点D到地面的距离DH 的长？若能，请计算；若不能，请说明理由（图中点A，B，C，D，E，F，H在同一平面内）（参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）【分析】延长EF交CH于N，根据等腰直角三角形的性质得到CN＝NF，根据正切的定义求出DN，结合图形计算即可．【解答】解：能，理由如下：延长EF交CH于N，则∠CNF＝90°，∵∠CFN＝45°，∴CN＝NF，设DN＝xm，则NF＝CN＝（x+3）m，∴EN＝5+（x+3）＝x+8，在Rt△DEN中，tan∠DEN＝，则DN＝EN•tan∠DEN，∴x≈0.6（x+8），解得，x＝12，则DH＝DN+NH＝12+1.2＝13.2（m），答：点D到地面的距离DH的长约为13.2m．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．29．如图，聪聪想在自己家的窗口A处测量对面建筑物CD的高度，他首先量出窗口A到地面的距离（AB）为16m，又测得从A处看建筑物底部C的俯角α为30°，看建筑物顶部D的仰角β为53°，且AB，CD都与地面垂直，点A，B，C，D在同一平面内．（1）求AB与CD之间的距离（结果保留根号）．（2）求建筑物CD的高度（结果精确到1m）．（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53≈1.3，≈1.7）【分析】（1）作AM⊥CD于M，根据矩形的性质得到CM＝AB＝16，AM＝BC，根据正切的定义求出AM；（2）根据正切的定义求出DM，结合图形计算，得到答案．【解答】解：（1）作AM⊥CD于M，则四边形ABCM为矩形，∴CM＝AB＝16，AM＝BC，在Rt△ACM中，tan∠CAM＝，则AM＝＝＝16（m），答：AB与CD之间的距离16m；（2）在Rt△AMD中，tan∠DAM＝，则DM＝AM•tan∠DAM≈16×1.7×1.3＝35.36，∴DC＝DM+CM＝35.36+16≈51（m），答：建筑物CD的高度约为51m．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．30．如图，在某街道路边有相距10m、高度相同的两盏路灯（灯杆垂直地面），小明为了测量路灯的高度，在地面A处测得路灯PQ的顶端仰角为14°，向前行走25m到达B处，在地面测得路灯MN的顶端仰角为24.3°，已知点A，B，Q，N在同一条直线上，请你利用所学知识帮助小明求出路灯的高度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25，sin24.3°≈0.41，cos24.3°≈0.91，tan24.3°≈0.45）【分析】设PQ＝MN＝xm，根据正切的定义分别用x表示出AQ、BN，根据题意列式计算即可．【解答】解：设PQ＝MN＝xm，在Rt△APQ中，tan A＝，则AQ＝≈＝4x，在Rt△MBN中，tan∠MBN＝，则BN＝≈＝x，∵AQ+QN＝AB+BN，∴4x+10＝25+x，解得，x≈8.4，答：路灯的高度约为8.4m．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．31．如图，为解决市民停车难的问题，长春市交警部门在一段街路旁开辟了一个停车场（图中的矩形MNPQ），并划出了若干个停车位，每个车位都是长为5m，宽为2.5m的矩形，已知第一个车位的AD边与停车场边缘MQ成35°角，据此，请你求出这个停车场的宽度MN的值．（结果精确到到0.1m）【参考数据：sin35°＝0.574，cos35°＝0.819，tan35°＝0.700】【分析】由矩形的性质得出∠M＝∠N＝∠BAD＝90°，在Rt△AMD中，由三角函数求出AM＝1.435，由角的互余关系证出∠BAN＝∠ADM＝35°，在Rt△ABN中，由三角函数求出AN＝4.095，即可得出答案．【解答】解：∵四边形MNPQ和四边形ABCD是矩形，∴∠M＝∠N＝∠BAD＝90°，在Rt△AMD中，AD＝2.5，∠ADM＝35°，∴sin∠ADM＝，∴AM＝AD×sin∠ADM＝AD×sin35°＝2.5×0.574＝1.435，∵∠ADM+∠DAM＝∠BAN+∠DAM＝90°，∴∠BAN＝∠ADM＝35°，在Rt△ABN中，AB＝5，∠BAN＝35°，∴cos∠BAN＝，∴AN＝AB×cos∠BAN＝AB×cos35°＝5×0.819＝4.095，∴MN＝AM+AN＝1.435+4.095＝5.53≈5.5（m）；答：这个停车场的宽度MN约为5.5m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形，根据锐角三角函数求出AM和AN的长是解题的关键．32．如图，某学校体育场看台的顶端C到地面的垂直距离CD为2m，看台所在斜坡CM的坡比i＝1：3，在点C处测得旗杆顶点A的仰角为30°，在点M处测得旗杆顶点A的仰角为60°，且B，M，D三点在同一水平线上，求旗杆AB的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.41，＝1.73）【分析】过点C作CE⊥AB于点E，设BM＝x，根据矩形的性质以及锐角三角函数的定义即可求出答案．【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，∵CD＝2，tan∠CMD＝，∴MD＝6，设BM＝x，∴BD＝x+6，∵∠AMB＝60°，∴∠BAM＝30°，∴AB＝x，已知四边形CDBE是矩形，∴BE＝CD＝2，CE＝BD＝x+6，∴AE＝x﹣2，在Rt△ACE中，∵tan30°＝，∴＝，解得：x＝3+，∴AB＝x＝3+3≈8.2m【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义以及矩形的性质，本题属于中等题型．33．图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖ADE落在AD′E′的位置（如图2所示）．已知AD＝90厘米，DE＝30厘米，EC＝40厘米．（1）求点D′到BC的距离；（2）求E、E′两点的距离．【分析】（1）过点D′作D′H⊥BC，垂足为点H，交AD于点F，利用旋转的性质可得出AD′＝AD＝90厘米，∠DAD′＝60°，利用矩形的性质可得出∠AFD′＝∠BHD′＝90°，在Rt△AD′F中，通过解直角三角形可求出D′F的长，结合FH＝DC＝DE+CE及D′H＝D′F+FH可求出点D′到BC的距离；（2）连接AE，AE′，EE′，利用旋转的性质可得出AE′＝AE，∠EAE′＝60°，进而可得出△AEE′是等边三角形，利用等边三角形的性质可得出EE′＝AE，在Rt△ADE中，利用勾股定理可求出AE的长度，结合EE′＝AE可得出E、E′两点的距离．【解答】解：（1）过点D′作D′H⊥BC，垂足为点H，交AD于点F，如图3所示．由题意，得：AD′＝AD＝90厘米，∠DAD′＝60°．∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AFD′＝∠BHD′＝90°．在Rt△AD′F中，D′F＝AD′•sin∠DAD′＝90×sin60°＝45厘米．又∵CE＝40厘米，DE＝30厘米，∴FH＝DC＝DE+CE＝70厘米，∴D′H＝D′F+FH＝（45+70）厘米．答：点D′到BC的距离为（45+70）厘米．（2）连接AE，AE′，EE′，如图4所示．由题意，得：AE′＝AE，∠EAE′＝60°，∴△AEE′是等边三角形，∴EE′＝AE．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADE＝90°．在Rt△ADE中，AD＝90厘米，DE＝30厘米，∴AE＝＝30厘米，∴EE′＝30厘米．答：E、E′两点的距离是30厘米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）通过解直角三角形求出D′F的长度；（2）利用勾股定理求出AE的长度．34．某地为打造宜游环境，对旅游道路进行改造．如图是风景秀美的观景山，从山脚B到山腰D沿斜坡已建成步行道，为方便游客登顶观景，欲从D到A修建电动扶梯，经测量，山高AC＝154米，步行道BD＝168米，∠DBC ＝30°，在D处测得山顶A的仰角为45°．求电动扶梯DA的长（结果保留根号）．【分析】作DE⊥BC于E，根据矩形的性质得到FC＝DE，DF＝EC，根据直角三角形的性质求出FC，得到AF的长，根据正弦的定义计算即可．【解答】解：作DE⊥BC于E，则四边形DECF为矩形，∴FC＝DE，DF＝EC，在Rt△DBE中，∠DBC＝30°，∴DE＝BD＝84，∴FC＝DE＝84，∴AF＝AC﹣FC＝154﹣84＝70，在Rt△ADF中，∠ADF＝45°，∴AD＝AF＝70（米），答：电动扶梯DA的长为70米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．35．由我国完全自主设计，自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成首次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达B处时，测得小岛A在北偏东60°方向上，航行20海里到达C点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，小岛A周围10海里内有暗礁，如果航母不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．【分析】过A作AD⊥BC于点D，求出∠CAD、∠DAB的度数，求出∠BAC和∠ABC，根据等边对等角得出AC＝BC ＝12，根据含30度角的直角三角形性质求出CD，根据勾股定理求出AD即可．【解答】解：如果渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险，理由如下：过点A作AD⊥BC，垂足为D，根据题意可知∠ABC＝30°，∠ACD＝60°，∵∠ACD＝∠ABC+∠BAC，∴∠BAC＝30°＝∠ABC，∴CB＝CA＝20，在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，∠ACD＝60°，sin∠ACD＝，∴sin60°＝，∴AD＝20×sin60°＝20×＝10＞10，∴渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．36．为了测量某山（如图所示）的高度，甲在山顶A测得C处的俯角为45°，D处的俯角为30°，乙在山下测得C，D之间的距离为400米．已知B，C，D在同一水平面的同一直线上，求山高AB．（可能用到的数据：≈1.414，≈1.732）【分析】设AB＝x，然后根据等腰直角三角形以及特殊角锐角三角函数的值即可求出答案．【解答】解：设AB＝x，由题意可知：∠ACB＝45°，∠ADB＝30°，∴AB＝BC＝x，∴BD＝BC+CD＝x+400，在Rt△ADB中，∴tan30°＝，∴＝，解得：x＝≈546.4，∴山高AB为546.4米【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数以及一元一次方程的解法，本题属于中等题型．37．某校组织学生到恩格贝A和康镇B进行研学活动，澄澄老师在网上查得，A和B分别位于学校D的正北和正东方向，B位于A南偏东37°方向，校车从D出发，沿正北方向前往A地，行驶到15千米的E处时，导航显示，在E处北偏东45°方向有一服务区C，且C位于A，B两地中点处．（1）求E，A两地之间的距离；（2）校车从A地匀速行驶1小时40分钟到达B地，若这段路程限速100千米/时，计算校车是否超速？（参考数据：sin37°＝，cos37°＝，tan37°＝）【分析】（1）作CH⊥AD于H．由题意∠HEC＝45°，可得CH＝EH，设CH＝HE＝x千米，则AH＝CH＝（x+15）千米，构建方程即可解决问题．（2）求出BA的长，再求出校车的速度即可判断．【解答】解：（1）如图，作CH⊥AD于H．由题意∠HEC＝45°，可得CH＝EH，设CH＝HE＝x千米，∵点C是AB的中点，CH∥BD，∴AH＝HD＝（x+15）千米，在Rt△ACH中，tan37°＝，∴＝，∴x＝45，∴CH＝45（千米），AH＝60（千米），AD＝120（千米），∴EA＝AD﹣DE＝120﹣15＝105（千米）．（2）在Rt△ACH中，AC＝＝75（千米），。
2020年北京市海淀初三(上)期末数学备考反比例函数试卷及答案含答案
2020北京海淀初三（上）期末数学备考反比例函数（教师版）一．选择题（共8小题）1．如图，在平面直角坐标系xOy中，B是反比例函数y＝（x＞0）的图象上的一点，则矩形OABC的面积为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S＝|k|．【解答】解：∵点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴矩形OABC的面积S＝|k|＝2，故选：B．【点评】本题主要考查了反比例函数y＝中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|．2．如图，反比例函数的图象经过点A（4，1），当y＜1时，x的取值范围是（）A．x＜0或x＞4 B．0＜x＜4 C．x＜4 D．x＞4【分析】直接根据反比例函数的图象即可得出结论．【解答】解：∵反比例函数的图象经过点A（4，1），∴当y＜1时，x＜0或x＞4．故选：A．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，能利用函数图象直接得出不等式的解集是解答此题的关键．3．反比例函数y＝的图象经过点（﹣1，y1），（2，y2），则下列关系正确的是（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1＝y2D．不能确定【分析】根据点的横坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征即可求出y1、y2的值，比较后即可得出结论．【解答】解：∵反比例函数y＝的图象经过点（﹣1，y1），（2，y2），∴y1＝﹣3，y2＝，∵﹣3＜，∴y1＜y2．故选：A．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据点的横坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征求出点的纵坐标是解题的关键．4．当温度不变时，气球内气体的气压P（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的函数，下表记录了一组实验数据：P与V的函数关系式可能是（）C．P＝16V2﹣96V+176 D．P＝【分析】观察表格发现vp＝96，从而确定两个变量之间的关系即可．【解答】解：观察发现：vp＝1×96＝1.5×64＝2×48＝2.5×38.4＝3×32＝96，故P与V的函数关系式为p＝，故选：D．【点评】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是能够观察表格并发现两个变量的乘积为常数96，难度不大．5．若点A（a，b）在双曲线上，则代数式ab﹣4的值为（）A．﹣12 B．﹣7 C．﹣1 D．1【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k＝xy，由此求得ab的值，然后将其代入所求的代数式进行求值即可．【解答】解：∵点A（a，b）在双曲线上，∴3＝ab，∴ab﹣4＝3﹣4＝﹣1．故选：C．【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．6．已知点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）在双曲线上，当x1＜0＜x2＜x3时，y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y1＜y2D．y2＜y3＜y1【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再由x1＜0＜x2＜x3判断出各点所在的象限，进而可得出结论．【解答】解：∵函数中，k＝1＞0，∴此函数的图象的两个分支位于一三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小．∵x1＜0＜x2＜x3，∴点A（x1，y1）在第三象限，B（x2，y2）、C（x3，y3）在第一象限，∴y1＜0，0＜y3＜y2，∴y1＜y3＜y2．故选：B．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．7．在平面直角坐标系xOy中，A为双曲线上一点，点B的坐标为（4，0）．若△AOB的面积为6，则点A的坐标为（）A．（﹣4，）B．（4，）C．（﹣2，3）或（2，﹣3）D．（﹣3，2）或（3，﹣2）【分析】设点A的坐标为（﹣，a），根据点B的坐标为（4，0），△AOB的面积为6，列方程即可得到结论．【解答】解：设点A的坐标为（﹣，a），∵点B的坐标为（4，0）．若△AOB的面积为6，∴S△AOB＝4×|a|＝6，解得：a＝±3，∴点A的坐标为（﹣2，3）（2．﹣3）．故选：C．【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积的计算，在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．8．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y＝﹣的图象上的两点，若x1＜0＜x2，则下列结论正确的是（）A．y1＜0＜y2B．y2＜0＜y1C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得到y1＝﹣，y2＝﹣，然后利用x1＜0＜x2即可得到y1与y2的大小．【解答】解：∵A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y＝﹣的图象上的两点，∴y1＝﹣，y2＝﹣，∵x1＜0＜x2，∴y2＜0＜y1．故选：B．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．二．填空题（共5小题）9．已知（﹣1，y1），（2，y2）是反比例函数图象上两个点的坐标，且y1＞y2，请写出一个符合条件的反比例函数的解析式y＝﹣，答案不唯一．【分析】先根据题意判断出k的符号，再写出符合条件的解析式即可．【解答】解：∵（﹣1，y1），（2，y2）是反比例函数图象上两个点的坐标，且y1＞y2，∴函数图象的分支在二四象限，则k＜0．故答案为：y＝﹣，答案不唯一．【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的性质，解决此题的关键是确定k的符号．10．若一个反比例函数图象的每一支上，y随x的增大而减小，则此反比例函数表达式可以是y＝（答案不唯一）．．（写出一个即可）【分析】反比例函数的图象在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小，则反比例函数的反比例系数k ＞0；反之，只要k＜0，则反比例函数在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大．【解答】解：只要使反比例系数大于0即可．如y＝，答案不唯一．故答案为：y＝（答案不唯一）．【点评】本题主要考查了反比例函数y＝（k≠0）的性质：①k＞0时，函数图象在第一，三象限．在每个象限内y随x的增大而减小；②k＜0时，函数图象在第二，四象限．在每个象限内y随x的增大而增大．11．写出一个图象在二、四象限的反比例函数y＝﹣．【分析】设反比例函数的解析式为y＝，由于图象在二、四象限故k＜0，任取一个小于0的数即可得出符合条件的反比例函数解析式．【解答】解：设反比例函数的解析式为y＝，∵图象在二、四象限，∴k＜0，∴k可以为﹣1，∴答案为：y＝﹣．【点评】本题考查的是反比例函数的性质，此题属开放性题目，答案不唯一．12．请写一个图象在第二、四象限的反比例函数解析式：y＝﹣．【分析】根据反比例函数的性质可得k＜0，写一个k＜0的反比例函数即可．【解答】解：∵图象在第二、四象限，∴y＝﹣，故答案为：y＝﹣．【点评】此题主要考查了反比例函数（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．13．如图，正比例函数y＝mx（m≠0）与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，若点A的坐标为（1，2），则点B的坐标是（﹣1，﹣2）．【分析】由题意，点A的坐标适合正反比例函数的解析式，把点A的坐标（1，2）代入y＝mx（m≠0）与y＝，分别求出m、n的值为2、2．即正比例函数y＝2x①与反比例函数y＝②，利用①②组成的方程组可得：2x＝，得x＝±1，故点B的横坐标为﹣1，纵坐标为﹣2．【解答】解：把点A的坐标为（1，2）代入y＝mx与y＝，得m＝2，n＝2．即y＝2x①，y＝②，解之得：x＝±1，将x＝﹣1代入①得y＝﹣2，∴点B的坐标是（﹣1，﹣2）．方法二：∵A、B关于原点对称，A（1，2），∴B（﹣1，﹣2）．故答案为：（﹣1，﹣2）．【点评】本题可将问题转化为方程来求解．图象经过点，则点适合方程．三．解答题（共37小题）14．在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝x与双曲线y＝的一个交点是A（2，a）．（1）求k的值；（2）设点P（m，n）是双曲线y＝上不同于A的一点，直线PA与x轴交于点B（b，0）．①若m＝1，求b的值；②若PB＝2AB，结合图象，直接写出b的值．【分析】（1）由直线解析式求得A（2，1），然后代入双曲线y＝中，即可求得k的值；（2）①根据系数k的几何意义即可求得n的值，得到P的坐标，继而求得直线PA的解析式，代入B（b，0）即可求得b的值；②分两种情况讨论求得即可．【解答】解：（1）∵直线y＝x与双曲线y＝的一个交点是A（2，a），∴a＝×2＝1，∴A（2，1），∴k＝2×1＝2；（2）①若m＝1，则P（1，n），∵点P（1，n）是双曲线y＝上不同于A的一点，∴n＝k＝2，∴P（1，2），∵A（2，1），则直线PA的解析式为y＝﹣x+3，∵直线PA与x轴交于点B（b，0），∴0＝﹣b+3，∴b＝3；②如图1，当P在第一象限时，∵PB＝2AB，A（2，1），∴P点的纵坐标时2，代入y＝求得x＝1，∴P（1，2），由①可知，此时b＝3；如图2，当P在第，三象限时，∵PB＝2AB，A（2，1），∴P点的纵坐标时﹣2，代入y＝求得x＝﹣1，∴P（﹣1，﹣2），∵A（2，1）则直线PA的解析式为y＝x﹣1，∴b＝1，综上，b的值为3或1．【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法是解题的关键．15．如图，函数y＝（x＜0）与y＝ax+b的图象交于点A（﹣1，n）和点B（﹣2，1）．（1）求k，a，b的值；（2）直线y＝mx与y＝（x＜0）的图象交于点P，与y＝﹣x+1的图象交于点Q，当∠PAQ＞90°时，直接写出m的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）利用图象法即可解决问题；【解答】解：（1）∵函数（x＜0）的图象经过点B（﹣2，1），∴，得k＝﹣2．∵函数（x＜0）的图象还经过点A（﹣1，n），∴，点A的坐标为（﹣1，2），∵函数y＝ax+b的图象经过点A和点B，∴解得，∴k＝﹣2，a＝1，b＝3．（2）如图直线y＝﹣x+1经过点A，直线y＝﹣x+1与直线AB垂直，当直线经过点B时，m＝﹣，当直线经过点A时，m＝﹣2，观察图象可知当m＜﹣2或﹣＜m＜0时，∠PAQ＞90°，当m＝﹣1时，直线y＝mx与直线y＝﹣x+1平行，观察图象可知m＜﹣1且m≠﹣2时，∠PAQ″＞90°，综上所述，满足条件的m的值为﹣＜m＜0或m＜﹣1且m≠﹣2．【点评】本题考查反比例函数图象与一次函数的图象的交点问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．16．已知蓄电池的电压U为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．（1）求这个反比例函数的表达式；（2）如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过10A，那么用电器的可变电阻R应控制在什么范围？请根据图象，直接写出结果R≥3.6 ．【分析】（1）先由电流I是电阻R的反比例函数，可设I＝，将点（9，4），利用待定系数法即可求出这个反比例函数的解析式；（2）将I≤10代入（1）中所求的函数解析式即可确定电阻的取值范围．【解答】20．（1）解：设反比例函数的表达式为I＝，由图象可知函数I＝的图象经过点（9，4），∴U＝4×9＝36．∴反比例函数的表达式为I＝（R＞0）．（2）∵I≤10，I＝，∴I＝≤10，∴R≥3.6，即用电器可变电阻应控制在3.6欧以上的范围内．【点评】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题．17．如图，直线y＝ax﹣4（a≠0）与双曲线y＝只有一个公共点A（1，﹣2）．（1）求k与a的值；（2）若直线y＝ax+b（a≠0）与双曲线y＝有两个公共点，请直接写出b的取值范围．【分析】（1）把点A坐标分别代入直线y＝ax﹣4（a≠0）与双曲线y＝求出k和a的值即可；（2）根据根的判别式即可得出结果．【解答】解：（1）∵直线y＝ax﹣4（a≠0）与双曲线y＝只有一个公共点A（1，﹣2）．∴，解得：a＝2，k＝﹣2；（2）若直线y＝ax+b（a≠0）与双曲线y＝有两个公共点，则方程组有两个不同的解，∴2x+b＝﹣有两个不相等的解，整理得：2x2+bx+2＝0，∴△＝b2﹣16＞0，解得：b＜﹣4，或b＞4．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，平移的性质，一元二次方程根的判别式；知道反比例函数的图象与直线y＝kx+4（k≠0）有两个公共点时，△＞0是解决问题（2）的关键．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y＝与直线y＝kx﹣2交于点A（3，1）．（1）求直线和双曲线的解析式；（2）直线y＝kx﹣2与x轴交于点B，点P是双曲线y＝上一点，过点P作直线PC∥x轴，交y轴于点C，交直线y＝kx﹣2于点D．若DC＝2OB，直接写出点P的坐标为P（，2）或（﹣，﹣6）．【分析】（1）把A的坐标分别代入双曲线y＝与直线y＝kx﹣2，根据待定系数法即可求得；（2）根据平行线分线段成比例定理得出＝＝，得出CF＝2OF，即可求得直线CD与y轴的交点坐标，从而求得P的纵坐标，代入（1）求得的解析式即可求得P点的坐标．【解答】解：（1）∵直线y＝kx﹣2过点A（3，1），∴1＝3k﹣2．∴k＝1．∴直线的解析式为y＝x﹣2．∵双曲线y＝过点A（3，1），∴m＝3．∴双曲线的解析式为．（2）∵PC∥x轴，DC＝2OB，∴＝＝，∴CF＝2OF，由直线y＝x﹣2可知F（0，﹣2），∴OF＝2，∴CF＝4，∴C的坐标为（0，2）或（0，﹣6），∴P的纵坐标为2或﹣6，代入y＝得，2＝，解得x＝，﹣6＝，解得x＝﹣，∴P（，2）或（﹣，﹣6）．故答案为P（，2）或（﹣，﹣6）．【点评】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式和反比例函数的解析式，一次和图象上点的坐标特征，平行线分线段成比例定理的应用，求得直线CD与y轴的交点坐标是解题的关键．19．如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝2x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，A点的横坐标为2，AC⊥x轴于点C，连接BC．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P是反比例函数y＝图象上的一点，且满足△OPC与△ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标．【分析】（1）把A点横坐标代入正比例函数可求得A点坐标，代入反比例函数解析式可求得k，可求得反比例函数解析式；（2）由条件可求得B、C的坐标，可先求得△ABC的面积，再结合△OPC与△ABC的面积相等求得P点坐标．【解答】解：（1）把x＝2代入y＝2x中，得y＝2×2＝4，∴点A坐标为（2，4），∵点A在反比例函数y＝的图象上，∴k＝2×4＝8，∴反比例函数的解析式为y＝；（2）∵AC⊥OC，∴OC＝2，∵A、B关于原点对称，∴B点坐标为（﹣2，﹣4），∴B到OC的距离为4，∴S△ABC＝2S△ACO＝2××2×4＝8，∴S△OPC＝8，设P点坐标为（x，），则P到OC的距离为||，∴×||×2＝8，解得x＝1或﹣1，∴P点坐标为（1，8）或（﹣1，﹣8）．【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式及函数的交点问题，在（1）中求得A点坐标、在（2）中求得P点到OC的距离是解题的关键．20．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝的图象经过点A（1，4）、B（m，n）．（1）求代数式mn的值；（2）若二次函数y＝（x﹣1）2的图象经过点B，求代数式m3n﹣2m2n+3mn﹣4n的值；（3）若反比例函数y＝的图象与二次函数y＝a（x﹣1）2的图象只有一个交点，且该交点在直线y＝x的下方，结合函数图象，求a的取值范围．【分析】（1）只需将点A、B的坐标代入反比例函数的解析式就可解决问题；（2）将点B的坐标代入y＝（x﹣1）2得到n＝m2﹣2m+1，先将代数式变形为mn（m2﹣2m+1）+2mm﹣4n，然后只需将m2﹣2m+1用n代替，即可解决问题；（3）可先求出直线y＝x与反比例函数y＝交点C和D的坐标，然后分a＞0和a＜0两种情况讨论，先求出二次函数的图象经过点D或C时对应的a的值，再结合图象，利用二次函数的性质（|a|越大，抛物线的开口越小）就可解决问题．【解答】解：（1）∵反比例函数y＝的图象经过点A（1，4）、B（m，n），∴k＝mn＝1×4＝4，即代数式mn的值为4；（2）∵二次函数y＝（x﹣1）2的图象经过点B，∴n＝（m﹣1）2＝m2﹣2m+1，∴m3n﹣2m2n+3mn﹣4n＝m3n﹣2m2n+mn+2mn﹣4n＝mn（m2﹣2m+1）+2mm﹣4n＝4n+2×4﹣4n＝8，即代数式m3n﹣2m2n+3mn﹣4n的值为8；（3）设直线y＝x与反比例函数y＝交点分别为C、D，解，得：或，∴点C（﹣2，﹣2），点D（2，2）．①若a＞0，如图1，当抛物线y＝a（x﹣1）2经过点D时，有a（2﹣1）2＝2，解得：a＝2．∵|a|越大，抛物线y＝a（x﹣1）2的开口越小，∴结合图象可得：满足条件的a的范围是0＜a＜2；②若a＜0，如图2，当抛物线y＝a（x﹣1）2经过点C时，有a（﹣2﹣1）2＝﹣2，解得：a＝﹣．∵|a|越大，抛物线y＝a（x﹣1）2的开口越小，∴结合图象可得：满足条件的a的范围是a＜﹣．综上所述：满足条件的a的范围是0＜a＜2或a＜﹣．【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、求代数式的值、求直线与反比例函数图象的交点坐标、二次函数的性质等知识，另外还重点对整体思想、数形结合的思想、分类讨论的思想进行了考查，运用整体思想是解决第（2）小题的关键，考虑临界位置并运用数形结合及分类讨论的思想是解决第（3）小题的关键．21．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与反比例函数的图象交于A（a，﹣3），与y轴交于点B．（1）试确定反比例函数的解析式；（2）若∠ABO＝135°，试确定二次函数的解析式；（3）在（2）的条件下，将二次函数y＝ax2+bx+c的图象先沿x轴翻折，再向右平移到与反比例函数的图象交于点P（x0，6）．当x0≤x≤3时，求平移后的二次函数y的取值范围．【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数解析式，然后解方程求出a的值，代入反比例函数解析式整理即可；（2）过点A作AC⊥y轴于C，根据∠ABO＝135°求出∠ABC＝45°，再根据等角对等边的性质得到BC＝AC＝1，然后求出OB的长度，从而可得点B的坐标，再把点A的坐标代入二次函数解析式求出b的值，从而得到二次函数的解析式；（3）先求出翻折平移后的二次函数解析式，再把点P的坐标代入反比例函数解析式求出点P的坐标，然后把点P的坐标代入并求出二次函数解析式，然后根据二次函数图象的增减性分段求出y的取值范围，从而得解．【解答】解：（1）∵A（a，﹣3）在y＝的图象上，∴＝﹣3，解得a＝﹣1，∴y＝＝，∴反比例函数的解析式为y＝；（2）过A作AC⊥y轴于C．∵A（﹣1，﹣3），∴AC＝1，OC＝3，∵∠ABO＝135°∴∠ABC＝45°，可得BC＝AC＝1，∴OB＝2，∴B（0，﹣2），由抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于B，得c＝﹣2．∵a＝﹣1，∴y＝﹣x2+bx﹣2，∵抛物线过A（﹣1，﹣3），∴﹣1﹣b﹣2＝﹣3，∴b＝0，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2；（3）将y＝﹣x2﹣2的图象沿x轴翻折，得到二次函数解析式为y＝x2+2，设将y＝x2+2的图象向右平移后的二次函数解析式为y＝（x﹣m）2+2（m＞0），∵点P（x0，6）在函数y＝上，∴6＝，解得x0＝，∴y＝（x﹣m）2+2的图象过点P（，6），∴（﹣m）2+2＝6，解得m1＝，m2＝﹣，（不合题意，舍去），∴平移后的二次函数解析式为y＝（x﹣）2+2，∵a＝1＞0，∴①当≤x≤时，2≤y≤6，②当＜x≤3时，2＜y≤，∴当≤x≤3时，2≤y≤6，∴平移后的二次函数y的取值范围为 2≤y≤6．【点评】本题是对反比例函数的综合考查，主要有待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的性质，函数图象的平移，以及二次函数图象的增减性，综合性较强，难度较大，特别是第（3）小题，求出点P的坐标是解题的关键．22．在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象G经过点A（4，1），直线l：y＝+b与图象G交于点B，与y轴交于点C．（1）求k的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A，B之间的部分与线段OA，OC，BC围成的区域（不含边界）为W．①当b＝﹣1时，直接写出区域W内的整点个数；②若区域W内恰有4个整点，结合函数图象，求b的取值范围．【分析】（1）把A（4，1）代入y＝中可得k的值；（2）直线OA的解析式为：y＝x，可知直线l与OA平行，①将b＝﹣1时代入可得：直线解析式为y＝x﹣1，画图可得整点的个数；②分两种情况：直线l在OA的下方和上方，画图计算边界时点b的值，可得b的取值．【解答】解：（1）把A（4，1）代入y＝得k＝4×1＝4；（2）①当b＝﹣1时，直线解析式为y＝x﹣1，解方程＝x﹣1得x1＝2﹣2（舍去），x2＝2+2，则B（2+2，），而C（0，﹣1），如图1所示，区域W内的整点有（1，0），（2，0），（3，0），有3个；②如图2，直线l在OA的下方时，当直线l：y＝+b过（1，﹣1）时，b＝﹣，且经过（5，0），∴区域W内恰有4个整点，b的取值范围是﹣≤b＜﹣1．如图3，直线l在OA的上方时，∵点（2，2）在函数y＝（x＞0）的图象G，当直线l：y＝+b过（1，2）时，b＝，当直线l：y＝+b过（1，3）时，b＝，∴区域W内恰有4个整点，b的取值范围是＜b≤．综上所述，区域W内恰有4个整点，b的取值范围是﹣≤b＜﹣1或＜b≤．【点评】本题考查了新定义和反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，本题理解整点的定义是关键，并利用数形结合的思想．23．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象与直线y＝x﹣2交于点A（3，m）．（1）求k、m的值；（2）已知点P（n，n）（n＞0），过点P作平行于x轴的直线，交直线y＝x﹣2于点M，过点P作平行于y轴的直线，交函数y＝（x＞0）的图象于点N．①当n＝1时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由；②若PN≥PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．【分析】（1）将A点代入y＝x﹣2中即可求出m的值，然后将A的坐标代入反比例函数中即可求出k的值．（2）①当n＝1时，分别求出M、N两点的坐标即可求出PM与PN的关系；②由题意可知：P的坐标为（n，n），由于PN≥PM，从而可知PN≥2，根据图象可求出n的范围．【解答】解：（1）将A（3，m）代入y＝x﹣2，∴m＝3﹣2＝1，∴A（3，1），将A（3，1）代入y＝，∴k＝3×1＝3，（2）①当n＝1时，P（1，1），令y＝1，代入y＝x﹣2，x﹣2＝1，∴x＝3，∴M（3，1），∴PM＝2，令x＝1代入y＝，∴y＝3，∴N（1，3），∴PN＝2∴PM＝PN，②P（n，n），n＞0点P在直线y＝x上，过点P作平行于x轴的直线，交直线y＝x﹣2于点M，M（n+2，n），∴PM＝2，∵PN≥PM，即PN≥2，∵PN＝|﹣n|，||≥2∴0＜n≤1或n≥3【点评】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是求出反比例函数与一次函数的解析式，本题属于基础题型．24．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线y＝的一个交点为P（2，m），与x轴、y轴分别交于点A，B．（1）求m的值；（2）若PA＝2AB，求k的值．【分析】（1）将点P的坐标代入反比例函数的解析式即可求得m的值；（2）作PC⊥x轴于点C，设点A的坐标为（a，0），则AO＝﹣a，AC＝2﹣a，根据PA＝2AB得到AB：AP＝AO：AC＝1：2，求得a值后代入求得k值即可．【解答】解：∵y＝经过P（2，m），∴2m＝8，解得：m＝4；（2）点P（2，4）在y＝kx+b上，∴4＝2k+b，∴b＝4﹣2k，∵直线y＝kx+b（k≠0）与x轴、y轴分别交于点A，B，∴A（2﹣，0），B（0，4﹣2k），如图，点A在x轴负半轴，点B在y轴正半轴时，∵PA＝2AB，∴AB＝PB，则OA＝OC，∴﹣2＝2，解得k＝1；当点A在x轴正半轴，点B在y轴负半轴时，＝，解得，k＝3．∴k＝1或k＝3【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是表示出A的坐标，然后利用线段之间的倍数关系确定k的值，难度不大．25．如图在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象与一次函数y＝kx﹣k的图象的交点为A（m，2）．（1）求一次函数的解析式；（2）设一次函数y＝kx﹣k的图象与y轴交于点B，若点P是x轴上一点，且满足△PAB的面积是4，直接写出P点的坐标．【分析】（1）将A点坐标代入y＝（x＞0），求出m的值为2，再将（2，2）代入y＝kx﹣k，求出k的值，即可得到一次函数的解析式；（2）将三角形以x轴为分界线，分为两个三角形计算，再把它们相加．【解答】解：（1）将A（m，2）代入y＝（x＞0）得，m＝2，则A点坐标为A（2，2），将A（2，2）代入y＝kx﹣k得，2k﹣k＝2，解得k＝2，则一次函数解析式为y＝2x﹣2；（2）∵一次函数y＝2x﹣2与x轴的交点为C（1，0），与y轴的交点为B（0，﹣2），S△ABP＝S△ACP+S△BPC，∴×2CP+×2CP＝4，解得CP＝2，则P点坐标为（3，0），（﹣1，0）．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求出函数解析式并熟悉点的坐标与图形的关系是解题的关键．26．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣2x的图象与反比例函数y＝的图象的一个交点为A（﹣1，n）．（1）求反比例函数y＝的解析式；（2）若P是坐标轴上一点，且满足PA＝OA，直接写出点P的坐标．【分析】（1）把A的坐标代入函数解析式即可求得k的值，即可得到函数解析式；（2）PA＝OA，则P在以A为圆心，以OA为半径的圆上或P在以O点为圆心，以OA为半径的圆上，圆与坐标轴的交点就是P．【解答】解：（1）∵点A（﹣1，n）在一次函数y＝﹣2x的图象上．∴n＝﹣2×（﹣1）＝2∴点A的坐标为（﹣1，2）∵点A在反比例函数的图象上．∴k＝﹣2∴反比例函数的解析式是y＝﹣．（2）方法一：∵A（﹣1，2），∴OA＝＝，∵点P在坐标轴上，∴当点P在x轴上时设P（x，0），∵PA＝OA，∴＝，解得x＝﹣2；当点P在y轴上时，设P（0，y），∴＝，解得y＝4；当点P在坐标原点，则P（0，0）．∴点P的坐标为（﹣2，0）或（0，4）或（0，0）．方法二：过点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴，如图，①当P在原点时，满足PA＝OA，则P点（0，0）；②当P在x轴上时，∵PA＝OA，AB⊥OP，A点坐标为（﹣1，2）∴OB＝1，OP＝2OB＝2，∴P（﹣2，0），③当P在y轴上时，∵PA＝OA，AC⊥OC，A点坐标为（﹣1，2）∴OC＝2，OP＝2OC＝4，∴P（0，4），∴点P的坐标为（﹣2，0）或（0，4）或（0，0）．【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法．同学们要熟练掌握这种方法．27．已知反比例函数y＝的图象经过点A（﹣，1）．（1）试确定此反比例函数的解析式；（2）点O是坐标原点，将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB．判断点B是否在此反比例函数的图象上，并说明理由；（3）已知点P（m，m+6）也在此反比例函数的图象上（其中m＜0），过P点作x轴的垂线，交x轴于点M．若线段PM上存在一点Q，使得△OQM的面积是，设Q点的纵坐标为n，求n2﹣2n+9的值．【分析】（1）由于反比例函数y＝的图象经过点A（﹣，1），运用待定系数法即可求出此反比例函数的解析式；（2）首先由点A的坐标，可求出OA的长度，∠AOC的大小，然后根据旋转的性质得出∠AOB＝30°，OB＝OA，再求出点B的坐标，进而判断点B是否在此反比例函数的图象上；（3）把点P（m，m+6）代入反比例函数的解析式，得到关于m的一元二次方程；根据题意，可得Q点的坐标为（m，n），再由△OQM的面积是，根据三角形的面积公式及m＜0，得出mn的值，最后将所求的代数式变形，把mn的值代入，即可求出n2﹣2n+9的值．【解答】解：（1）由题意得1＝，解得k＝﹣，∴反比例函数的解析式为y＝﹣；（2）过点A作x轴的垂线交x轴于点C．在Rt△AOC中，OC＝，AC＝1，∴OA＝＝2，∠AOC＝30°，∵将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB，∴∠AOB＝30°，OB＝OA＝2，∴∠BOC＝60°．过点B作x轴的垂线交x轴于点D．在Rt△BOD中，BD＝OB•sin∠BOD＝，OD＝OB＝1，∴B点坐标为（﹣1，），将x＝﹣1代入y＝﹣中，得y＝，∴点B（﹣1，）在反比例函数y＝﹣的图象上．（3）由y＝﹣得xy＝﹣，∵点P（m，m+6）在反比例函数y＝﹣的图象上，其中m＜0，∴m（m+6）＝﹣，∴m2+2m+1＝0，∵PQ⊥x轴，∴Q点的坐标为（m，n）．∵△OQM的面积是，∴OM•QM＝，∵m＜0，∴mn＝﹣1，∴m2n2+2mn2+n2＝0，∴n2﹣2n＝﹣1，∴n2﹣2n+9＝8．【点评】本题综合考查了运用待定系数法求反比例函数的解析式，旋转的性质，三角函数的定义，求代数式的值等知识，尤其是在最后一问中，没有必要求出n的具体值，而是将mn＝﹣1作为一个整体代入，有一定的技巧性，使计算简便．28．如图，A、B两点在函数y＝（x＞0）的图象上．（1）求m的值及直线AB的解析式；（2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数．【分析】（1）将A点或B点的坐标代入y＝求出m，再将这两点的坐标代入y＝kx+b求出k、b的值即可得到这个函数的解析式；（2）画出网格图帮助解答．【解答】解：（1）由图象可知，函数（x＞0）的图象经过点A（1，6），可得m＝6．设直线AB的解析式为y＝kx+b．∵A（1，6），B（6，1）两点在函数y＝kx+b的图象上，∴，解得．∴直线AB的解析式为y＝﹣x+7；（2）图中阴影部分（不包括边界）所含格点是（2，4），（3，3），（4，2）共3个．【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的图象性质，综合性较强，体现了数形结合的思想．29．如图，已知反比例函数y＝的图象与一次函数y＝x+b的图象交于点A（1，4），点B（﹣4，n）．（1）求n和b的值；（2）求△OAB的面积；（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围．【分析】（1）把点A坐标分别代入反比例函数y＝，一次函数y＝x+b，求出k、b的值，再把点B的坐标代入反比例函数解析式求出n的值，即可得出答案；（2）求出直线AB与y轴的交点C的坐标，分别求出△ACO和△BOC的面积，然后相加即可；（3）根据A、B的坐标结合图象即可得出答案．【解答】解：（1）把A点（1，4）分别代入反比例函数y＝，一次函数y＝x+b，得k＝1×4，1+b＝4，解得k＝4，b＝3，∵点B（﹣4，n）也在反比例函数y＝的图象上，∴n＝＝﹣1；（2）如图，设直线y＝x+3与y轴的交点为C，∵当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×3×1+×3×4＝7.5；（3）∵B（﹣4，﹣1），A（1，4），∴根据图象可知：当x＞1或﹣4＜x＜0时，一次函数值大于反比例函数值．【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，一次函数的图象等知识点，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目，用了数形结合思想．30．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（，2），B（3，n），在反比例函数y＝（m为常数）的图象上，连接AO并延长与图象的另一支有另一个交点为点C，过点A的直线l与x轴的交点为点D（1，0），过点C作CE∥x轴交直线l于点E．（1）求m的值，并求直线l对应的函数解析式；（2）求点E的坐标；（3）过点B作射线BN∥x轴，与AE的交于点M（补全图形），求证：tan∠ABN＝tan∠CBN．。
北京市海淀区育英中学2020—2021学年第一学期期末考试九年级数学试卷 (1)
育英学校四年制初三第一学期数学期末练习 2021年1月班级 姓名 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 关于x 的方程0122=---m mx x 的根的情况 （ ）A . 没有实数根B . 有两个不相等的实数根C . 有两个相等的实数根D . 不能确定2.直角三角形的斜边为20cm ，两条直角边之比为3∶4，那么这个直角三角形的周长为（ ）A . 27cm B. 30cm C. 40cm D. 48cm 3. 方程04322=-+x x的两根倒数之和为 （ ）A .43 B .43- C .23D . 以上答案都不对4.如图，下列四组条件中，不能．．判定四边形ABCD 是平行四边形的是（ ） A. CD AB =，BC AD = B.AB ∥CD ，CD AB =C. CD AB =，AD ∥BCD.AB ∥CD ，AD ∥BC5．有一人患了流感,经过两轮传染后共有100人患了流感,那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ） A ．9人B ．8人C ．10人D ．11人6．如图1, EF 过矩形ABCD 对角线的交点O ,且分别交AB ．CD 于E 、F ,那么阴影部分的面积是矩形ABCD 的面积的（ ） A ．51B ．41 C ．31 D ．1037．若0ab >,0bd <,一次函数a d y x b b=--的图象大致形状是 （ ）8．已知1P （3-，1y ），2P （2，2y ）是一次函数21y x =-+图象上的两个点，则1y ，2y 的大小关系是（ ）A ．12y y >B ．12y y <C ．12y y =D ．不能确定 9.如图，已知长方形ABCD 中，AB =3cm ，AD =9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ） A ．3cm 2 B ．4cm 2 C ．6cm 2 D ．12cm 2 10. 如图,某电信公司提供了A B ，两种方案的移动通讯费用y (元)与通话时间x (元)之间的关系,则以下说法错误．．的是（ ） A ．若通话时间少于120分,则A 方案比B 方案便宜20元 B ．若通话时间超过200分,则B 方案比A 方案便宜12元 C ．若通讯费用为60元,则B 方案比A 方案的通话时间多D ．若两种方案通讯费用相差10元,则通话时间是145分或185分yOA yBCDy （元）A 方案B 方案二、填空题（每题3分，共24分） 第12题图 11.方程)3(5)3(2-=-x x x 的根是____________.12. 在继承和发扬红色学校光荣传统，与时俱进，把育英学校建成一所文明的、受社会尊敬的学校升旗仪式上，如图所示,一根旗杆的升旗的绳垂直落地后还剩余1米,若将绳子拉直, 则绳端离旗杆底端的距离(BC )有5米.则旗杆的高度____. 13. 如果方程0622=--+k kx x的一个根是-3，那么另一个根是____，k =______.14. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，D ，E ，F 分别为AB ，BC ，AC 的中点，已知DF =5，则AE = .15．将直线23y x =--向左平移2个单位得到直线解析式 ．16. 如图是某汽车行驶的路程s (km)与时间t (min)的函数关系图.当16≤ t ≤30时，s 与t 的函数关系式为 .17. 如图，直线1l ：1y x =+与直线2l ：y mx n =+相交于点P （a ，2），则关于x 的不等式1x +≥mx n +的解集为 .18．正方形ABCD 的边长为4，点M ，N 在对角线AC 上(可与点A ，C 重合)，MN =2，点P ，Q 在正方形的边上.下面四个结论中， ①存在无数个四边形PMQN 是平行四边形； ②存在无数个四边形PMQN 是菱形； ③存在无数个四边形PMQN 是矩形； ④至少存在一个四边形PMQN 是正方形. 所有正确结论的序号是 .三、解答题（19题5分，20题4分，21、22、23、24 、25题都是每题6分，26题7分，共46分） 19.解方程：25140x x +-=20.工人师傅做铝合金窗框分为下面三个步骤:(1)先截出两对符合规格的铝合金窗料(如图1所示),使AB CD EF GH ==，;(2)摆放成图2的四边形,则这时窗框的形状是______形；其依据是______.(3)将直角尺靠窗框的一个角(如图3所示),调整窗框的边框,当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图4所示),说明窗框合格,这时窗框是______形,其依据是______. 030/minS /km4012图1 图2 图3 图421.在平面直角坐标系xOy 中，一次函数的图象经过点A （1，-3）和B （2，0）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）若以O 、A 、B 、C 为顶点的四边形为平行四边形，则点C 的坐标为 （直接写出答案）．22.已知关于x 的方程2(2)20(0)mx m x m -++=≠.(1)求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根是整数，求正整数m 的值.23.某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x .（1）用含x 的代数式表示第3年的可变成本为__________万元；（2）如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x .24．已知：如图，在菱形ABCD 中， BE ⊥AD 于点E ，延长AD 至F ，使DF=AE ，连接CF . （1）判断四边形EBCF 的形状，并证明；（2）若AF =9, CF =3,求CD 的长.25.已知直线2+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，点C 是x 轴上一定点，其坐标为C(1，0)，一个动点P 从原点出发沿O-B-A-C-O 方向移动，连结PC 。
2020-2021学年北京市海淀区九年级(上)期末数学试卷(附解析)
2020-2021学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.已知反比例函数y=kx的图象经过点(2,3)，则k=()A. 2B. 3C. −6D. 62.围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史.2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战.截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是()A. B.C. D.3.不透明袋子中有1个红球和2个绿球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球，恰好是红球的概率为()A. 13B. 12C. 23D. 14.如图，△ABC中，点D，E分别在边AB，AC的反向延长线上，且DE//BC.若AE=2，AC=4，AD=3，则AB为()A. 9B. 6C. 3D. 325.在下列方程中，有一个方程有两个实数根，且它们互为相反数，这个方程是()A. x−1=0B. x2+x=0C. x2−1=0D. x2+1=06.如图，⊙O的内接正六边形ABCDEF的边长为1，则BC⏜的长为()A. 14πB. 13ππC. 23D. π7.已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则使得函数值y大于2的自变量x的取值可以是()A. −4B. −2C. 0D. 28.下列选项中，能够被半径为1的圆及其内部所覆盖的图形是()A. 长度为√5线段B. 斜边为3的直角三角形C. 面积为4的菱形D. 半径为√2，圆心角为90°的扇形二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）9.写出一个二次函数，使得它有最小值，这个二次函数的解析式可以是______ ．10.若点(1,a)，(2,b)都在反比例函数y=4的图象上，则a，b的大小关系是：a______xb(填“>”、“=”或“<”)．11.如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，若腰AB与⊙O相切，则AC与⊙O的位置关系为______ (填“相交”、“相切”或“相离”)．12.若关于x的一元二次方程x2−3x+m=0的一个根为1，则m的值为______．13.某城市启动“城市森林”绿化工程，林业部门要考察某种树苗在一定条件下的移植成活率.在同样条件下，对这种树苗进行大量移植，并统计成活情况，数据如下表所示：移植总数10270400750150035007000900014000成活数量8235369662133532036335807312628成活频率0.8000.8700.9230.8830.8900.9150.9050.8970.902估计树苗移植成活的概率是______ (结果保留小数点后一位)．14.如图，在测量旗杆高度的数学活动中，某同学在脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶部.若眼睛距离地面AB=1.5m，同时量得BC= 2m，CD=12m，则旗杆高度DE=______ m.15.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=3，点D在AC上，且AD=2，将点D绕着点A顺时针方向旋转，使得点D的对应点E恰好落在AB边上，则旋转角的度数为______ ，CE的长为______ ．与直线y=kx+b交于点A(x1,y1)，B(x2,y2).16.已知双曲线y=−3x(1)若x1+x2=0，则y1+y2=______ ；(2)若x1+x2>0时，y1+y2>0，则k______ 0，b______ 0(填“>”，“=”或“<”)．三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）17.解方程：x2−4x+3=0．四、解答题（本大题共8小题，共47.0分）18.如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，∠B=∠ACD=90°，AC平分∠BAD．(1)证明：△ABC∽△ACD；(2)若AB=4，AC=5，求BC和CD的长．19.如图1是博物馆展出的古代车轮实物，《周礼⋅考工记》记载：“…故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸…”据此，我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型，请将以下推理过程补充完整．如图2所示，在车轮上取A、B两点，设AB⏜所在圆的圆心为O，半径为r cm．作弦AB的垂线OC，D为垂足，则D是AB的中点.其推理依据是：______ ．经测量：AB=90cm，CD=15cm，则AD=______ cm；用含r的代数式表示OD，OD=______ cm．在Rt△OAD中，由勾股定理可列出关于r的方程：r2=______ ，解得r=75．通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮．20.文具店购进了20盒“2B”铅笔，但在销售过程中，发现其中混入了若干“HB”铅笔.店员进行统计后，发现每盒铅笔中最多混入了2支“HB”铅笔，具体数据见下表：(1)用等式写出m，n所满足的数量关系______ ；(2)从20盒铅笔中任意选取1盒：①“盒中没有混入‘HB’铅笔”是______ 事件(填“必然”、“不可能”或“随机”)；②若“盒中混入1支‘HB’铅笔”的概率为1，求m和n的值．421.如图，在平面直角坐标系xOy中，线段AB两个端点的坐标分别为A(1,2)，B(4,2)，以点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将线段AB放大得到线段CD.已知点(x>0)的图象上．B在反比例函数y=kx(1)求反比例函数的解析式，并画出图象；(2)判断点C是否在此函数图象上；(3)点M为直线CD上一动点，过M作x轴的垂线，与反比例函数的图象交于点N.若MN≥AB，直接写出点M横坐标m的取值范围．22.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在BC边上，以CD为直径的⊙O与直线AB相切于点E，且E是AB中点，连接OA．(1)求证：OA=OB；(2)连接AD，若AD=√7，求⊙O的半径．23.在平面直角坐标系xOy中，点P(m,y1)在二次函数y=x2+bx+c的图象上，点Q(m,y2)在一次函数y=−x+4的图象上．(1)若二次函数图象经过点(0,4)，(4,4)．①求二次函数的解析式与图象的顶点坐标；②判断m<0时，y1与y2的大小关系；(2)若只有当m≥1时，满足y1⋅y2≤0，求此时二次函数的解析式．24.已知∠MAN=45°，点B为射线AN上一定点，点C为射线AM上一动点(不与点A重合)，点D在线段BC的延长线上，且CD=CB，过点D作DE⊥AM于点E．(1)当点C运动到如图1的位置时，点E恰好与点C重合，此时AC与DE的数量关系是______ ；(2)当点C运动到如图2的位置时，依题意补全图形，并证明：2AC=AE+DE；(3)在点C运动的过程中，点E能否在射线AM的反向延长线上？若能，直接用等式表示线段AC，AE，DE之间的数量关系；若不能，请说明理由．25.如图1，对于△PMN的顶点P及其对边MN上的一点Q，给出如下定义：以P为圆心，PQ为半径的圆与直线MN的公共点都在线段MN上，则称点Q为△PMN关于点P的内联点．在平面直角坐标系xOy中：(1)如图2，已知点A(7,0)，点B在直线y=x+1上．①若点B(3,4)，点C(3,0)，则在点O，C，A中，点______ 是△AOB关于点B的内联点；②若△AOB关于点B的内联点存在，求点B纵坐标n的取值范围；(2)已知点D(2,0)，点E(4,2)，将点D绕原点O旋转得到点F.若△EOF关于点E的内联点存在，直接写出点F横坐标m的取值范围．答案和解析1.【答案】D的图象经过点(2,3)，【解析】解：∵反比例函数y=kx∴k=2×3=6．故选：D．直接根据反比例函数图象上点的坐标特征求解．(k为常数，k≠0)的图本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=kx象是双曲线，图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．2.【答案】A【解析】解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意；B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：A．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3.【答案】A【解析】解：∵袋子中共有3个小球，其中红球有1个，∴摸出一个球是红球的概率是1，3故选：A．根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=m．n4.【答案】B【解析】解：∵点D，E分别在边AB，AC的反向延长线上，且DE//BC，∴AEAC =ADAB，即24=3AB，解得AB=6，故选：B．平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例，据此可得结论．本题主要考查了平行线分线段成比例的推论，平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．5.【答案】C【解析】解：A、x−1=0是一次方程，方程有一个实数根，故选项不合题意；B、∵一次项的系数为1，故选项不合题意；C、∵△=0−4×1×(−1)=4>0，且一次项系数为0，故此选项符合题意；D、∵△=0−4×1×1=−4<0，故此选项不合题意．故选：C．根据题意一次项系数为0且△>0．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=−ba ，x1⋅x2=ca.也考查了一元二次方程的根的判别式．6.【答案】B【解析】解：∵ABCDEF为正六边形，∴∠COB=360°×16=60°，∴△OBC是等边三角形，∴OB=OC=BC=1，弧BC的长为60π×1180=13π.故选：B．连接OC、OB，求出圆心角∠AOB的度数，再利用弧长公式解答即可；本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是能够求得扇形的圆心角，难度不大．7.【答案】B【解析】解：∵抛物线的对称轴为x=−1.5，∴点(0,2)关于直线x=−1.5的对称点为(−3,2)，当−3<x<0时，y>2，即当函数值y>2时，自变量x的取值范围是−3<x<0．故选：B．利用抛物线的对称性确定抛物线与(0,2)的对称点，然后根据函数图象写出抛物线在直线y=2上方所对应的自变量的范围即可．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象与性质，数形结合是解题的关键．8.【答案】D【解析】解：半径为1的圆的直径为2，A、∵√5>2，∴长度为√5线段不能够被半径为1的圆及其内部所覆盖；B、∵3>2，∴斜边为3的直角三角形不能够被半径为1的圆及其内部所覆盖；C、∵面积为4的菱形的长的对角线>2，∴面积为4的菱形能够被半径为1的圆及其内部所覆盖；D、∵半径为√2，圆心角为90°的扇形的弦为2，∴半径为√2，圆心角为90°的扇形能够被半径为1的圆及其内部所覆盖；故选：D．根据图形中最长的的线段与圆的直径相比较即可判断．本题考查了三角形的外接圆，菱形的性质，求得图形中最长的线段是解题的关键．9.【答案】y=x2【解析】解：∵二次函数有最小值，∴a>0，∴这个二次函数的解析式可以是y=x2，故答案为y=x2．根据二次函数有最小值，即可得出a>0，据此写出一个二次函数即可．本题主要考查了二次函数的性质，熟练运用性质是解此题的关键．此题是一道开放型的10.【答案】>【解析】解：∵反比例函数y=4中，k=4>0，x∴在每个象限内，y随x的增大而减小，∵点(1,a)，(2,b)都在反比例函数y=4的图象上，且2>1，x∴a>b，故答案为：>．直接利用反比例函数的增减性分析得出答案．此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确把握反比例函数的性质是解题关键．11.【答案】相切【解析】解：连接OA，过O点作OE⊥AB，OF⊥AC，如图，∵O是等腰△ABC的底边BC的中点，∴AO平分∠BAC，∵OE⊥AB，OF⊥AC，∴OE=OF，∵腰AB与⊙O相切，∴OE为⊙O的半径，∴OF为⊙O的半径，而OF⊥AC，∴AC与⊙O相切．故答案为相切．连接OA，过O点作OE⊥AB，OF⊥AC，如图，根据等腰三角形的性质得到AO平分∠BAC，则利用角平分线的性质得OE=OF，接着根据切线的性质可判断OE为⊙O的半径，然后根据切线的判定定理可判断AC与⊙O相切．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质和切线的判定．12.【答案】2【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2−3x+m=0的一个根为1，∴x=1满足一元二次方程x2−3x+m=0，∴1−3+m=0，解得，m=2．故答案是：2．根据一元二次方程的解的定义，将x=1代入原方程，列出关于m的方程，然后解方程即可．此题主要考查了方程解的定义，此类题型的特点是，利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值．13.【答案】0.9【解析】解：由表格中的数据可以估计树苗移植成活的概率是0.9，故答案为：0.9．根据表格中的数据和概率的含义，可以估计树苗移植成活的概率．本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，写出相应概率．14.【答案】9【解析】解：∵AB⊥BD，DE⊥BD，∴∠ABC=∠EDC=90°，∵∠ACB=∠DCE，∴△ABC∽△EDC，∴ABDE =BCCD，∴1.5DE =212，∴DE=9(m)，故答案为：9．根据镜面反射的性质，△ABC∽△EDC，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．本题考查了相似三角形的应用．应用镜面反射的基本性质，得出三角形相似，再运用相似三角形对应边成比例即可解答．15.【答案】45°√10【解析】解：如图，连接CE，∵∠ABC=90°，AB=BC，∴∠BAC=45°，∵将点D绕着点A顺时针方向旋转，使得点D的对应点E恰好落在AB边上，∴旋转角为∠BAC=45°，AD=AE=2，∴BE=1，∴CE=√BE2+CB2=√1+9=√10，故答案为：45°，√10．由旋转的性质可得旋转角为∠BAC=45°，AD=AE=2，由勾股定理可求解．本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．16.【答案】0 <>【解析】解：(1)∵双曲线y=−3x与直线y=kx+b交于点A(x1,y1)，B(x2,y2).∴y1=−3x1，y2=−3x2，∵x1+x2=0，∴x2=−x1，∴y2=−3x2=−3−x1=−y1，∴y1+y2=0，故答案为0；(2)∵双曲线y=−3x在二、四象限，∴设A(x1,y1)在第二象限，B(x2,y2)在第四象限．则x1<0，y1>0，x2>0，y2<0，∵x1+x2>0，y1+y2>0，∴|x2|>|x1|，|y1|>|y2|，如图，∴直线y=kx+b经过一、二、四象限，故答案为<，>．(1)根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出结论；(2)根据题意画出图象，根据图象即可得出结论．本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，数形结合是解题的关键．17.【答案】解：x2−4x+3=0(x−1)(x−3)=0x−1=0，x−3=0x1=1，x2=3．【解析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．属于基础题．利用因式分解法解出方程．18.【答案】(1)证明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠CAD，又∵∠B=∠ACD=90°，∴△ABC∽△ACD；(2)解：∵∠B=90°，AB=4，AC=5，∴BC=√AC2−AB2=√52−42=3，由(1)得：△ABC∽△ACD，∴BCCD =ABAC，即3CD =45，解得：CD=154．【解析】(1)由角平分线定义得∠BAC=∠CAD，再由∠B=∠ACD=90°，即可得出结论；(2)先由勾股定理求出BC=3，再由相似三角形的性质求出CD即可．本题考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识；熟练掌握勾股定理，证明三角形相似是解题的关键．19.【答案】垂直弦的直径平分弦45 (r−15)452+(r−15)2【解析】解：如图2所示，在车轮上取A、B两点，设AB⏜所在圆的圆心为O，半径为r cm．作弦AB的垂线OC，D为垂足，则D是AB的中点．其推理依据是：垂直弦的直径平分弦．经测量：AB=90cm，CD=15cm，则AD=45cm；用含r的代数式表示OD，OD=(r−15)cm．在Rt△OAD中，由勾股定理可列出关于r的方程：r2=452+(r−15)2，解得r=75．通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮．故答案为：垂直弦的直径平分弦，45，(r−15)，452+(r−15)2．根据垂径定理，利用勾股定理构建方程求解即可．本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．20.【答案】m+n=14随机【解析】解：(1)观察表格发现：6+m+n=20，∴用等式写出m，n所满足的数量关系为m+n=14，故答案为：m+n=14；(2)①“盒中没有混入‘HB’铅笔”是随机事件，故答案为：随机；②∵“盒中混入1支‘HB’铅笔”的概率为14，∴m20=14，∴m=5，n=9．(1)根据表格确定m，n满足的数量关系即可；(2)①根据事件的性质进行解答即可；②利用概率公式列式计算即可．此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．21.【答案】解：(1)将点B(4,2)代入反比例函数y=k中，得k=2，∴反比例函数的解析式为y=8，x图象如图1所示，(2)∵以点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将线段AB放大得到线段CD，且A(1,2)，∴C(1×2,2×2)，即C(2,4)，，由(1)知，反比例函数解析式为y=8x=4，当x=2时，y=82∴点C在反比例函数图象上；(3)∵以点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将线段AB放大得到线段CD，且B(4,2)，∴D(4×2,2×2)，即D(8,4)，由(2)知，C(2,4)，∴直线CD的解析式为y=4，)，∵点M的横坐标为m，则M(m,4)，N(m,8m|，∴MN=|4−8m∴AB=3，∵MN≥AB，|≥3，∴|4−8m∴m≥8或m≤8，7或m≥8．即0<m≤87【解析】(1)将点B代入反比例函数解析式中，解方程求解，即可得出结论；(2)先求出点C的坐标，再判断，即可得出结论；(3)先表示出点M，N的坐标，进而利用MN≥AB，建立不等式，解不等式，即可得出结论．此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，解绝对值不等式，掌握解绝对值不等式的方法是解本题的关键．22.【答案】(1)证明：连接OE，如图，∵以CD为直径的⊙O与直线AB相切于点E，∴OE⊥AB，∵E是AB中点，∴OE垂直平分AB，∴OA=OB；(2)解：设⊙O的半径为r，∵OE⊥AB，OC⊥AC，OE=OC，∴AO平分∠BAC，∴∠OAC=∠OAB，∵OA=OB，∴∠B=∠OAB，∴∠OAC=∠B=∠OAB=30°，在Rt△OAC中，AC=√3OC=√3r，在Rt△ACD中，(√3r)2+(2r)2=(√7)2，解得r=1，即⊙O的半径为1．【解析】(1)连接OE，如图，根据切线的性质得OE⊥AB，则可判断OE垂直平分AB，(2)设⊙O 的半径为r ，先证明AO 平分∠BAC ，再证明∠OAC =∠B =∠OAB =30°，所以AC =√3OC =√3r ，利用勾股定理得到(√3r)2+(2r)2=(√7)2，然后解方程即可． 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了角平分线的性质． 23.【答案】解：(1)①∵二次函数y =x 2+bx +c 的图象经过点(0,4)，(4,4)， ∴{c =416+4b +c =4，解得{b =−4c =4， ∴二次函数的解析式为y =x 2−4x +4，∵y =x 2−4x +4=(x −2)2，∴图象的顶点坐标为(2,0)；②画出函数的图像如图：由图像可知，m <0时，y 1>y 2；(2)由题意可知二次函数y =x 2+bx +c 的图象经过点(1,0)和点(4,0)，把(1,0)和点(4,0)代入得{1+b +c =016+4b +c =0， 解得{b =−5c =4， ∴此时二次函数的解析式为y =x 2−5x +4．【解析】(1)①待定系数法即可求得解析式，把解析式化成顶点式即可求得顶点坐标；②画出二次函数和一次函数y =−x +4的图像，根据图像即可得到结论；(2)由题意可知，只有二次函数y =x 2+bx +c 的图象经过点(1,0)和点(4,0)，才能满足m ≥1时，y 1⋅y 2≤0，然后根据待定系数法求得即可．本题考查了二次函数的图像预下载，待定系数法求二次函数的解析式，明确题意是解题24.【答案】AC=DE【解析】(1)解：∵CD=CB，DE⊥AM，∴△ABD是等腰三角形，∴AB=AD，在△ABC和△ADC中，{AB=AD CB=CD AC=AC，∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠CAD=∠BAC=45°，∴∠BAD=45°+45°=90°，∴AC=CD=CB，∵点E恰好与点C重合，∴AC=DE，故答案为：AC=DE；(2)证明：过点B作BF⊥AM于F，如图2所示：则∠BFC=∠DEC=90°，在△BFC和△DEC中，{∠BFC=∠DEC ∠BCF=∠DCE CB=CD，∴△BFC≌△DEC(AAS)，∴BF=DE，CF=CE，∵∠MAN=45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴BF=AF，∴AF=DE，∴AE+DE=AF+CF+CE+DE=AC+ CF+AF=AC+AC=2AC，∴2AC=AE+DE；(3)解：能，2AC+AE=DE；理由如下：过点B作BF⊥AM于F，如图3所示：则∠BFC=∠DEC=90°，在△BFC和△DEC中，{∠BFC=∠DEC ∠BCF=∠DCE CB=CD，∴△BFC≌△DEC(AAS)，∴BF=DE，CF=CE，∵∠MAN=45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴BF=AF，∴AF=DE，∴2AC+AE=AC+CE=AC+CF=AF=DE．(1)易证△ABD是等腰三角形，得AB=AD，由SSS证得△ABC≌△ADC，得出∠CAD=∠BAC=45°，则∠BAD=90°，由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案；(2)依题意即可补全图形，过点B作BF⊥AM于F，则∠BFC=∠DEC=90°，由AAS证得△BFC≌△DEC，得出BF=DE，CF=CE，易证△ABF是等腰直角三角形，再BF=AF，推出AF=DE，即可得出结论；(3)过点B作BF⊥AM于F，同(2)△BFC≌△DEC(AAS)，得出BF=DE，CF=CE，证得AF=DE，即可得出结果．本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．25.【答案】O，C【解析】解：(1)①如图1中，根据点Q为△PMN关于点P的内联点的定义，观察图像可知，点O，点C是是△AOB关于点B的内联点．故答案为：O，C．②如图2中，当点B(0,1)时，此时以OB为半径的圆与线段OA有唯一的公共点，此时点O是△AOB关于点B的内联点，当点B(7,8)时，以AB为半径的圆，与线段OA有公共点，此时点A是△AOB关于点B 的内联点，观察图像可知，满足条件的N的值为1≤n≤8．(2)如图3中，过点E作EH⊥x轴于H，根点F作FN⊥y轴于N．∵E(4,2)，∴OH =4，EH =2，∴OE =√OH 2+EH 2=2√5， 当OF ⊥OE 时，点O 是△OEF 关于点E 的内联点， ∵∠EOF =∠NOH =90°，∴∠FON =∠EOH ，∵∠FNO =∠OHE =90°，∴△FNO∽△EHO ，∴OF OE =FN EH =ON OE ， ∴22√5=FN 2=ON 4，∴FN =2√55，ON =4√55， ∴F(−2√55,4√55)， 观察图像可知当−2√55≤m ≤0时，满足条件．作点F 关于点O 的对称点F′(2√55,−4√55)， 当OF″⊥EF″时，设OH 交F″E 于P ，∵∠EF″O =∠EHO =90°，OE =EO ，EH =OF″，∴Rt △OHE≌△EF″O(HL)，∴∠EOH =∠OEF″，∴PE =OP ，s3PE =OP =t ，在Rt △PEH 中，则有t 2=22+(4−t)2，解得t =52，∴OP =52，PH =PF″=32，可得F″(85,−65)，观察图像可知，当2√55≤m≤85．综上所述，满足条件的m的值为−2√55≤m≤0或2√55≤m≤85．(1)①分别以B为圆心，BO，BC BA为半径作圆，观察图像根据线段OA与圆的交点的位置，可得结论．②如图2中，当点B(0,1)时，此时以OB为半径的圆与线段OA有唯一的公共点，此时点O是△AOB关于点B的内联点，当点B(7,8)时，以AB为半径的圆，与线段OA有公共点，此时点A是△AOB关于点B的内联点，利用图像法即可解决问题．(2)如图3中，过点E作EH⊥x轴于H，根点F作FN⊥y轴于N.利用相似三角形的性质求出点F的坐标，再根据对称性求出F′的坐标，当OF″⊥EF″时，设OH交F″E于P，想办法求出F″的坐标，结合图像法可得结论．本题属于圆综合题，考查了点Q为△PMN关于点P的内联点的定义，一次函数的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊点，特殊位置解决问题，属于中考压轴题．。
2020-2021学年北京市海淀区九年级(上)期末数学测试卷
2020-2021学年北京市海淀区九年级（上）期末数学测试卷题号一二三总分得分第I卷（选择题）一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2.分别写有数字0，−1，−2，1，3的五张卡片，除数字不同外其他均相同，将卡片背面朝上洗匀后从中任意抽取一张，那么抽到正数的概率是()A. 15B. 25C. 35D. 453.方程2x2−5x−3=0根的情况是()A. 方程有两个不相等的实根B. 方程有两个相等的实根C. 方程没有实根D. 无法判断4.如图，已知D、E分别是△ABC的AB、AC边上的一点，DE//BC，且AD︰AB=1︰2，则△ADE与四边形DBCE的面积之比为()A. 1:4B. 1:3C. 1:2D. 2:35.圆心角为240°的扇形的半径为3cm，则这个扇形的面积是()A. πcm2B. 3πcm2C. 9πcm2D. 6πcm26.如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，∠P=70°，∠C=()A. 70°B. 55°C. 110°D. 140°7.当a≠0时，函数y=ax+1与函数y=a在同一坐标系中的图象可能是()xA. B.C. D.x+2的图象上．则m的值为()8.若点(3,m)在函数y=−13A. 0B. 1C. 2D. 3第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.若反比例函数y=−3的图象上有两点A(−1,y1)、B(−2,y2)，则y1______y2(填“>”、x“<”或“=”)．10.若一元二次方程ax2−bx−2016=0有一根为x=−1，则a+b=______．11.如图，在△ABC中，DE//BC，AD：DB=1：2，DE=2，则BC的长是______．12.在平面直角坐标系中，已知点A(−4,2)，B(−6,−4)，以原点O为位似中心，相似，把△ABO缩小，则点A的对应点Aˈ的坐标是____．比为1213.在同样的条件下对某种小麦进行发芽试验，统计发芽种子数，获得频数及频率如下表：试验种子数n(粒) 1 5 50 200 500 1000 3000发芽频数m 0 4 45 188 476 951 2850发芽频率m n0 0.8 0.9 0.94 0.952 0.951 0.95由表估计该麦种的发芽概率是______ ．14. 如图，AD 是⊙O 的直径，AB⏜=CD ⏜，若∠AOB =40°，则圆周角∠BPC 的度数是______．15. 如图，点A 、C 在反比例函数y =ax 的图像上，点B 、D 在反比例函数y =bx 的图像上，a >b >0，AB//CD//x 轴，AB 、CD 在x 轴的两侧，AB =34，CD =32，AB 与CD 间的距离为6，则a −b 的值是 ．16. 如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为(0,4)，直线y =34x −3与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，点M 是直线AB 上的一个动点，则PM 长的最小值为______．三、解答题（本大题共12小题，共68.0分）17.17.解下列一元二次方程．(1)x2−8x+1=0；(2)2x2+1=3x．18.如图，△ABC中，D是AC上一点，E是BD上一点，∠A=∠CBD=∠DCE．(1)求证：△ABC∽△CDE；(2)若BD=3DE，试求的值．19.一名司机驾驶汽车从甲地去乙地，以80km/ℎ的平均速度用了6ℎ到达乙地．(1)当他按原路返回时，求汽车平均速度υ(km/ℎ)与时间t(ℎ)之间的函数表达式；(2)如果该司机返回时用了4.8ℎ，求汽车返回时的平均速度．20.如图，已知AD是⊙O的直径，AB，AC是弦，且AB=AC．(1)求证：直径AD平分∠BAC．(2)若BC经过半径OA的中点E，点F是CD⏜的中点，点G是BF⏜的中点，⊙O的半径为1.求GF的长．21.关于x的一元二次方程x2−(k+3)x+2k+2=0，求证：方程总有两个实数根．22.小明和小亮玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字2，3，4(背面完全相同)，现将标有数字的一面朝下．小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和小亮抽得的两个数字之和．若和为奇数，则小明胜；若和为偶数，则小亮胜．(1)请你用画树状图或列表的方法，求出这两数和为6的概率．(2)你认为这个游戏规则对双方公平吗？说说你的理由．23.如图，△ABC是一块锐角三角形材料，BC=200mm，高AD=150mm，要把它加工成一矩形零件，使矩形一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上．(1)设PN=x，矩形PQMN的面积为S，求S关于x的函数表达式，指出x的取值范围．(2)当x为何值时，矩形PQMN的面积最大？最大值是多少？(x>0)图象与直线y=x−2交于点24.如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=kxA(3,m)。
2020北京海淀初三(上)期末数学试卷含答案
2020北京海淀初三（上）期末数 学 2020.1一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1.下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是A B C D2．五张完全相同的卡片上，分别写有数字1，2，3，4，5，现从中随机抽取一张，抽到的卡片上所写数字 小于3的概率是 A ．B ．C ．D ．152535453． 关于方程的根的情况，下列说法正确的是 2310x x --=A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判断4. 如图，在四边形ABCD 中，AD BC ，点E ，F 分别是边AD ，BC 上的点, AF 与BE 交于点O ，AE=2，//BF=1，则与的面积之比为AOE △BOF △A ．B ．1214C ．2D ．45.若扇形的半径为2，圆心角为90°，则这个扇形的面积为 A ．B ．C ．D ．π2π2π4π6. 如图，OA 交⊙O 于点B ，AD 切⊙O 于点D ，点C 在⊙O 上. 若∠A ＝40°，则∠C 为 A ．20° B ．25° C ．30°D ．35°B7． 在同一平面直角坐标系xOy 中，函数与的图象可能是 1y kx =+(0)ky k x=≠A B C D8.在平面直角坐标系xOy 中，将横纵坐标之积为1的点称为“好点”，则函数的图象上的“好点”共有||3y x =-A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．反比例函数的图象经过两点，则______.（填“”，“=”或2y x=12(2,),(3,)y y 1y 2y >“”）<10.如果关于x 的一元二次方程的一个解是，则210ax bx +-=1x =2020a b --=11.如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，, 则的长为__________.//,1,2DE BC AD BD AE ===EC 12.如图，在平面直角坐标系中有两点A (6,0)和B (6,3)，以原点O，把线段AB 缩短为线段CD ，其中点C 与点A 对应，点D 与点B 对应，且CD 在y 轴12标为 .13．下表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果.种子个数 100 400 900 1500 2500 4000 发芽种子个数 92 352 818 1336 2251 3601 发芽种子频率0.920.880.910.890.900.90根据上表中的数据，可估计该植物的种子发芽的概率为_______.14.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆， D 是的中点，连结AD , BD ，其中BD 与AC 交于点E . 写AC 出图中所有与△ADE 相似的三角形：___________.C A15.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知函数和()130y x x=>，点为轴正半轴上一点，为轴上一点，过作轴()210y x x=-<M y N x M y 的垂线分别交，的图象于A , B 两点，连接，则的面积1y 2y AN BN ，ABN △为 ．16.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (1,0), B (3,0)，C 为平面内的动点，且满足∠ACB =90°，D 为直线y =x 上的动点，则线段CD 长的最小值为__________.三、 解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分，第23~26题，每小题6分，第27~28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17．解一元二次方程：． 2230x x --=18． 如图，在与中，，且. ABC △ADE △AB ACAD AE==EAC DAB ∠∠求证：．ABC ADE △∽△19.某司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80 km/h 的平均速度用6 h 到达目的地.（1）当他按原路匀速返回时，汽车的速度与时间有怎样的函数关系？v t （2）如果该司机返回到甲地的时间不超过5 h ，那么返程时的平均速度不能小于多少？BEDA20.如图，在中，，CD ⊥OA 于点D ，CE ⊥OB 于点E .O AC =CB （1）求证：CD =CE ；（2）若∠AOB =120°，OA =2，求四边形DOEC 的面积.21．已知关于x 的一元二次方程.21=0x mx m -+-（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根为负数，求的取值范围. m22.一个不透明的布袋中有完全相同的三个小球，把它们分别标号为1，2，3. 小林和小华做一个游戏，按照以下方式抽取小球：先从布袋中随机抽取一个小球，记下标号后放回布袋中搅匀，再从布袋中随机抽取一个小球, 记下标号. 若两次抽取的小球标号之和为奇数，小林赢；若标号之和为偶数，则小华赢.（1）用画树状图或列表的方法，列出前后两次取出小球上所标数字的所有可能情况； （2）请判断这个游戏是否公平，并说明理由.23.如图，，，射线CD ⊥BC 于点C ，E 是线段BC 上一点，F 是射线CD 上一点，且满90ABC ∠=︒2,8AB BC ==足.90AEF ∠=︒（1）若，求CF 的长；3BE =（2）当的长为何值时，CF 的长最大，并求出这个最大值. BEE D FCBA24．在平面直角坐标系xOy 中，已知点是直线上一点，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别A 1322y x =+A x y 为点和点，反比例函数的图象经过点． B C ky x=A （1）若点是第一象限内的点，且，求的值； A AB AC =k （2）当时，直接写出的取值范围． AB AC >k25．如图，AB 是的直径，直线MC 与相切于点C . 过点A 作MC 的垂线，垂足为D ，线段AD 与相交O O O 于点E .（1）求证：AC 是DAB 的平分线； ∠（2）若，求AE 的长. 10,AB AC ==26．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线G ：.2240)y ax ax a =-+≠（（1）当a =1时，①抛物线G 的对称轴为x =_____________；②若在抛物线G 上有两点，且，则m 的取值范围是____________；12(2,),(,)y m y 21y y >（2）抛物线G 的对称轴与x 轴交于点M ，点M 与点A 关于y 轴对称，将点M 向右平移3个单位得到点B ，若抛物线G 与线段AB 恰有一个公共点，结合图象，求a 的取值范围.27．在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =1, 记∠ABC =α，点D 为射线BC 上的动点，连接AD ，将射线DA 绕点D 顺时针旋转α角后得到射线DE ，过点A 作AD 的垂线，与射线DE 交于点P ，点B 关于点D 的对称点为Q ，连接PQ ．（1）当△ABD 为等边三角形时，① 依题意补全图1；② PQ 的长为_____________； （2）如图2，当α=45°，且时, 求证：PD =PQ ； 43BD =（3）设BC = t , 当PD =PQ 时，直接写出BD 的长.（用含t 的代数式表示）28.在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （a ，b ）和实数，给出如下定义：当时，将以点P(0)k k >0ka b +>为圆心，为半径的圆，称为点P 的k 倍相关圆．ka b +例如，在如图1中，点P (1,1)的1倍相关圆为以点P 为圆心，2为半径的圆．图 1图 2（1）在点P 1(2,1)，P 2(1,)中，存在1倍相关圆的点是_____，该点的1倍相关圆半径为_______． 3-（2）如图2，若M 是x 轴正半轴上的动点，点N 在第一象限内，且满足∠MON ＝30°，判断直线ON 与点M的倍相关圆的位置关系，并证明． 12（3）如图3，已知点A 的(0,3)，B (1,m )，反比例函数的图象经过点B ，直线l 与直线AB 关于y 轴对6y x=称．图 1图 2图图图①若点C 在直线l 上，则点C 的3倍相关圆的半径为 ．②点D 在直线AB 上，点D 的倍相关圆的半径为R ，若点D 在运动过程中，以点D 为圆31心，hR 为半径的圆与反比例函数的图象最多有两个公共点，直接写出h 的最大值. 6y x图 32020北京海淀初三（上）期末数学参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CBADBBDC二、填空题9．10．2019 11．4 >12．13．0.9014.△CBE ，△BDA3(3,215．216.1-三、解答题17．解：原方程可化为 .223x x -=∴. 22131x x -+=+∴.2(1)4x -=∴. 1212x x -=-=-或∴. 123,1x x ==-18．证明：∵,EAC DAB ∠=∠∴.EAC BAE DAB BAE ∠+∠=∠+∠∴. BAC DAE ∠=∠∵, AB ACAD AE=∴∽.ABC △ADE △19．解：(1)由题意得，两地路程为80×6=480(km)，∴汽车的速度v 与时间t 的函数关系为．480v t=(2) 由,得. 480v t =480t v=又由题知:， 5t ≤∴. 4805v≤∵ 0v >，∴. 4805v ≤∴.96v ≥ 答:返程时的平均速度不能低于96 km/h.20．（1）证明：连接OC .∵, AC =BC ∴. AOC BOC ∠=∠∵,,CD OA CE OB ⊥⊥∴.CD CE =（2）解：∵ 120,AOB ∠=︒,AOC BOC ∠=∠∴ 60.AOC ∠=︒∵ 90,CDO ∠=︒∴. 30OCD ∠=︒∵, 2OC OA ==∴.112OD OC ==∴CD ==∴.12CDO S OD CD =⋅=△同理可得. CEO S =△∴CDO CEO CDOE S S S =+=△△四边形21. （1）证明：．()()2=41m m ∆---()22m =-∵，()220m -≥ ∴方程总有两个实数根． （2）解：依题意，．()22m m x ±-==∴，．11x m =-21x=∵方程有一个根为负数， ∴． 10m -<∴．1m <22. 解：方法一：（1）由题意画出树状图开始小林小华123123123123所有可能情况如下：（1,1），（1,2），（1,3），（2,1）,（2,2）, （2,3），（3,1），（3,2），（3,3）.（2）由（1）可得：标号之和分别为2,3,4,3,4,5,4,5,6.， 4=9P (和为奇数).5=9P (和为偶数)因为，所以不公平. 4599≠方法二：（1）由题意列表 小林小华1231 （1,1） （2,1） （3,1）2 （1,2） （2,2） （3,2） 3（1,3）（2,3）（3,3）所有可能情况如下：（1,1），（1,2），（1,3），（2,1）,（2,2）, （2,3），（3,1），（3,2），（3,3）.（2）由（1）可得：标号之和分别为2,3,4,3,4,5,4,5,6.， 4=9P (和为奇数).5=9P (和为偶数)因为，所以不公平. 4599≠23. 解：（1）如图，∵, 90ABC AEF ∠=∠=︒∴, 2+2190BAE ∠∠=∠+∠=︒∴.1BAE ∠=∠∵, CD BC ⊥∴. 90ECF ∠=︒∴, ABE ECF ∠=∠可知.ABE ECF △∽△∴. AB BEEC CF=∵，，, 2AB =8BC =3BE =∴. 5EC =∴. 235CF=∴.152CF =（2）设为x ，则. BE 8EC x =-∵（1）可得, AB BEEC CF=∴. 28x x CF=-∴.()28CF x x =-∴.22114(4)822CF x x x =-+=--+∴当时，的最大值为8. 4BE =CF 24.解：（1）依题意，设点,,. (,)A x y (,0)B x (0,)C y (0,0)x y >>∴，. AB y =AC x =∵， AB AC =∴. x y =∵点A 在直线上, 1322y x =+∴点A 的坐标为.(3,3)A∵点A 在函数（k ≠0）的图象上， ky x=∴．9k =（2）.190k k -<<≠且25．（1）证明：如图，连接OC .∵直线MC 与O 相切于点C ， ∴∠OCM =90°.∵， AD DM ⊥∴∠ADM =90°.∴∠OCM =∠ADM. ∴OC ∥AD .∴∠DAC =∠ACO . ∵OA =OC ， ∴∠ACO =∠CAO . ∴∠DAC =∠CAB .∴AC 是∠DAB 的平分线.（2）解：如图，连接BC ，连接BE 交OC 于点F .∵AB 是O 的直径，∴∠ACB =∠AEB =90°. ∵AB =10，AC =，∴BC==∵OC ∥AD ， ∴∠BFO =∠AEB =90°.∴∠CFB =90°，F 为线段BE 中点.∵∠CBE =∠EAC =∠CAB ，∠CFB =∠ACB ， ∴△CFB ∽△BCA . ∴. CF BCBC AB=∴CF =2.A∵OC =AB ， 12∴OC =5. ∴OF =OC -CF =3.∵O 为直径AB 中点，F 为线段BE 中点，∴AE =2OF =6.26．解：（1）①1；②m >2或m <0;（2）∵抛物线G ：的对称轴为x =1，且对称轴与x 轴交于点M ， 224y ax ax =-+∴点M 的坐标为（1，0）. ∵点M 与点A 关于y 轴对称， ∴点A 的坐标为（-1，0）. ∵点M 右移3个单位得到点B , ∴点B 的坐标为（4，0）.依题意，抛物线G 与线段AB 恰有一个公共点， 把点A （-1，0）代入可得；224y ax ax =-+43a =-把点B （4，0）代入可得；224y ax ax =-+12a =-把点M （1，0）代入可得. 224y ax ax =-+4a =根据所画图象可知抛物线G 与线段AB 恰有一个 公共点时可得 .41432a a -<≤-=或27．（1）解：①补全图形如下图所示.② PQ =2.（2）作于F ，于H .PF BQ ⊥AH PF ⊥∵, PA AD ⊥∴∠PAD =90°.由题意可知∠1=45°. ∴. 2901451∠=︒-∠=︒=∠ ∴.PA AD = ∵, 90ACB ∠=︒ ∴90ACD ∠=︒ ∵，， AH PF ⊥PF BQ ⊥ ∴. 90AHP AHF PFC ∠=∠=∠=︒ ∴四边形ACFH 是矩形. ∴. 90,CAH AH CF ∠=︒= ∵90,CAH DAP ∠=∠=︒ ∴. 3490DAH DAH ∠+∠=∠+∠=︒ ∴.34∠=∠ 又∵ 90,ACD AHP ∠=∠=︒ ∴. ACD AHP ≌△△ ∴. 1AH AC == ∴.1CF AH ==∵ B ，Q 关于点D 对称，4,1,3BD BC ==∴14,.33CD BD BC DQ BD =-=== ∴ 21.32DF CF CD DQ =-== ∴F 为DQ 中点. ∴PF 垂直平分DQ . ∴PQ =PD .（3）.2223t BD t+=28．（1）解：P 1，3；（2）解：直线ON 与点M 的倍相关圆的位置关系是相切.21证明：设点M 的坐标为（x ，0），过M 点作MP ⊥ON 于点P ，∴ 点M 的倍相关圆半径为.2121x ∴ OM =x .∵∠MON ＝30°，MP ⊥ON ,∴ MP ＝=.2OM21x ∴ 点M 的倍相关圆半径为MP .21∴直线ON 与点M 的倍相关圆相切.21（3）① 点C 的3倍相关圆的半径是3;② h。
2020年北京市海淀初三(上)期末数学备考训练圆试卷及答案含答案
2020北京海淀初三（上）期末数学备考训练圆（教师版）一．选择题（共18小题）1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的大小为（）A．40°B．50°C．80°D．100°【分析】根据圆周角定理即可求出答案【解答】解：∵OB＝OC∴∠BOC＝180°﹣2∠OCB＝100°，∴由圆周角定理可知：∠A＝∠BOC＝50°故选：B．【点评】本题考查圆周角定理，注意圆的半径都相等，本题属于基础题型．2．一个扇形的圆心角是120°，面积为3πcm2，那么这个扇形的半径是（）A．1cm B．3cm C．6cm D．9cm【分析】根据扇形的面积公式：S＝代入计算即可解决问题．【解答】解：设扇形的半径为R，由题意：3π＝，解得R＝±3，∵R＞0，∴R＝3cm，∴这个扇形的半径为3cm．故选：B．【点评】本题考查扇形的面积公式，关键是记住扇形的面积公式：S＝＝LR（L是弧长，R是半径），属于中考常考题型．3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠AOB＝100°，则∠ACB的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．80°【分析】已知⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝100°，根据圆周角定理可求得∠ACB的度数．【解答】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝100°，∴∠ACB＝∠AOB＝×100°＝50°．故选：B．【点评】本题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半．4．如图，AB是⊙O的直径，C、D是圆上的两点．若BC＝8，，则AB的长为（）A．B．C．D．12【分析】连接AC，根据圆周角定理得到∠B＝∠D，∠ACB＝90°，根据余弦的定义计算即可．【解答】解：连接AC，由圆周角定理得，∠B＝∠D，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴cos B＝＝，又BC＝8，∴AB＝12，故选：D．【点评】本题考查的是圆周角定理和锐角三角函数的定义，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．5．若如图是某个几何体的三视图，则这个几何体是（）A．长方体B．正方体C．圆柱D．圆锥【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．【解答】解：主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，可得此几何体为圆锥．故选：D．【点评】本题考查的知识点是三视图，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥，如果有两个矩形，该几何体一定柱，其底面由第三个视图的形状决定．6．如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F．若AC＝2，则OF的长为（）A．B．C．1 D．2【分析】根据垂径定理求出AD，证△ADO≌△OFE，推出OF＝AD，即可求出答案．【解答】解：∵OD⊥AC，AC＝2，∴AD＝CD＝1，∵OD⊥AC，EF⊥AB，∴∠ADO＝∠OFE＝90°，∵OE∥AC，∴∠DOE＝∠ADO＝90°，∴∠DAO+∠DOA＝90°，∠DOA+∠EF＝90°，∴∠DAO＝∠EOF，在△ADO和△OFE中，，∴△ADO≌△OFE（AAS），∴OF＝AD＝1，故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂径定理的应用，解此题的关键是求出△ADO≌△OFE和求出AD的长，注意：垂直于弦的直径平分这条弦．7．在平面直角坐标系xOy中，以点（3，4）为圆心，4为半径的圆与y轴所在直线的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．无法确定【分析】可先求出圆心到y轴的距离，再根据半径比较，若圆心到y轴的距离大于圆心距，y轴与圆相离；小于圆心距，y轴与圆相交；等于圆心距，y轴与圆相切．【解答】解：依题意得：圆心到y轴的距离为：3＜半径4，所以圆与y轴相交，故选：C．【点评】此题考查的是圆与直线的关系，即圆心到直线的距离大于圆心距，直线与圆相离；小于圆心距，直线与圆相交；等于圆心距，则直线与圆相切．8．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO的延长线交⊙O于C点，连接BC，若∠A＝30°，AB＝2，则AC等于（）A．4 B．6 C．D．【分析】连接OB，则△AOB是直角三角形，利用三角函数即可求得OA的长，则AC即可求解．【解答】解：连接OB．∵AB是⊙O的切线，B为切点，∴OB⊥AB，在直角△OAB中，OB＝AB•tan A＝2×＝2，则OA＝2OB＝4，∴AC＝4+2＝6．故选：B．【点评】本题考查了三角函数以及切线的性质，正确判断△OAB是直角三角形是关键．9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的度数等于（）A．60°B．50°C．40°D．30°【分析】在等腰三角形OCB中，求得两个底角∠OBC、∠0CB的度数，然后根据三角形的内角和求得∠COB＝100°；最后由圆周角定理求得∠A的度数并作出选择．【解答】解：在△OCB中，OB＝OC（⊙O的半径），∴∠OBC＝∠0CB（等边对等角）；∵∠OCB＝40°，∠C0B＝180°﹣∠OBC﹣∠0CB，∴∠COB＝100°；又∵∠A＝∠C0B（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∴∠A＝50°，故选：B．【点评】本题考查了圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半．解题时，借用了等腰三角形的两个底角相等和三角形的内角和定理．10．如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（）A．B．C．D．【分析】连接AC，AG，由OG垂直于AB，利用垂径定理得到O为AB的中点，由G的坐标确定出OG的长，在直角三角形AOG中，由AG与OG的长，利用勾股定理求出AO的长，进而确定出AB的长，由CG+GO求出OC的长，在直角三角形AOC中，利用勾股定理求出AC的长，由CF垂直于AE，得到三角形ACF始终为直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半径，如图中红线所示，当E位于点B时，CO⊥AE，此时F与O重合；当E 位于D时，CA⊥AE，此时F与A重合，可得出当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长，在直角三角形ACO中，利用锐角三角函数定义求出∠ACO的度数，进而确定出所对圆心角的度数，再由AC的长求出半径，利用弧长公式即可求出的长．【解答】解：连接AC，AG，∵GO⊥AB，∴O为AB的中点，即AO＝BO＝AB，∵G（0，1），即OG＝1，∴在Rt△AOG中，根据勾股定理得：AO＝＝，∴AB＝2AO＝2，又CO＝CG+GO＝2+1＝3，∴在Rt△AOC中，根据勾股定理得：AC＝＝2，∵CF⊥AE，∴△ACF始终是直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半圆，当E位于点B时，CO⊥AE，此时F与O重合；当E位于D时，CA⊥AE，此时F与A重合，∴当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长，在Rt△ACO中，tan∠ACO＝＝，∴∠ACO＝30°，∴度数为60°，∵直径AC＝2，∴的长为＝π，则当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长π．故选：B．【点评】此题属于圆综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，勾股定理，锐角三角函数定义，弧长公式，以及圆周角定理，其中根据题意得到点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长是解本题的关键．11．已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是（）A．20cm2B．20πcm2C．10πcm2D．5πcm2【分析】圆锥的侧面积＝π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．【解答】解：圆锥的侧面积＝π×2×5＝10πcm2，【点评】本题考查圆锥侧面积的求法．12．已知O为圆锥顶点，OA、OB为圆锥的母线，C为OB中点，一只小蚂蚁从点C开始沿圆锥侧面爬行到点A，另一只小蚂蚁也从C点出发，绕着圆锥侧面爬行到点B，它们所爬行的最短路线的痕迹如右图所示．若沿OA剪开，则得到的圆锥侧面展开图为（）A．B．C．D．【分析】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，再利用做对称点作出另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B，它们所爬行的最短路线．【解答】解：∵C为OB中点，一只小蚂蚁从点C开始沿圆锥侧面爬行到点A，∴侧面展开图BO为扇形对称轴，连接AC即可是最短路线，∵另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B，作出C关于OA的对称点，再利用扇形对称性得出关于BO的另一对称点，连接即可；故选：C．【点评】此题主要考查了圆锥侧面展开图以及做对称点得出最短路径，根据做对称点得出最短路径问题是中考中考查重点也是难点，同学们应重点掌握．13．两圆的半径分别为2和5，圆心距为7，则这两圆的位置关系为（）A．外离B．外切C．相交D．内切【分析】根据数量关系来判断两圆的位置关系．设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为d：外离，则d＞R+r；外切，则d＝R+r；相交，则R﹣r＜d＜R+r；内切，则d＝R﹣r；内含，则d＜R﹣r．【解答】解：∵两圆的半径分别为2和5，圆心距为7，则2+5＝7，∴根据圆心距与半径之间的数量关系可知⊙O1与⊙O2的位置关系是外切．【点评】本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．14．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO＝30°，则∠ACB的大小为（）A．60°B．30°C．45°D．50°【分析】首先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠AOB的度数，再利用圆周角与圆心角的关系求出∠ACB的度数．【解答】解：△AOB中，OA＝OB，∠ABO＝30°；∴∠AOB＝180°﹣2∠ABO＝120°；∴∠ACB＝∠AOB＝60°；故选A．【点评】此题主要考查了圆周角定理的应用，涉及到的知识点还有：等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．15．圆锥的底面直径是8，母线长为12，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角是（）A．60°B．120°C．150°D．180°【分析】圆锥的侧面展开图是扇形，要求这个扇形的圆心角，已知母线长为12，即已知扇形的半径是12，只要求出扇形的弧长就可以根据S＝lR求出扇形的面积，进而根据扇形面积公式求出圆心角．【解答】解：扇形的弧长l＝8π，则扇形的面积是S＝lR＝×8π×12＝48π，根据扇形的面积公式S＝得到：48π＝∴n＝120°．【点评】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．16．如图，AB为⊙O直径，CD为⊙O的弦，∠ACD＝28°，则∠BAD的度数为（）A．28°B．56°C．62°D．72°【分析】连接BD，根据直径所对的圆周角是直角，构造直角三角形ABD，再根据同弧所对的圆周角相等，求得∠B的度数，即可求得∠BAD的度数．【解答】解：连接BD∵AB为⊙O直径∴∠ADB＝90°∵∠B＝∠ACD＝28°∴∠BAD＝90°﹣∠B＝62°．故选：C．【点评】考查了圆周角定理的推论．构造直径所对的圆周角是圆中常见的辅助线之一．17．已知两圆的半径分别为3、5，且它们的圆心距为2，则这两个圆的位置关系为（）A．外离B．内切C．相交D．内含【分析】本题直接告诉了两圆的半径及圆心距，根据数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案．【解答】解：由题意知，两圆圆心距P＝2∵R﹣r＝5﹣3＝2，∴P＝R﹣r故两圆内切．故选：B．【点评】本题主要考查两圆之间的位置关系，两圆外离，则P＞R+r；外切，则P＝R+r；相交，则R﹣r＜P＜R+r；内切，则P＝R﹣r；内含，则P＜R﹣r．（P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）．18．如图，已知⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为D，若OD＝3，OA＝5，则AB的长为（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】利用垂径定理和勾股定理计算．【解答】解：根据勾股定理得AD＝4根据垂径定理得AB＝2AD＝8故选：D．【点评】考查了垂径定理和勾股定理的运用．二．填空题（共11小题）19．半径为2且圆心角为90°的扇形面积为π．【分析】根据扇形面积公式求出即可．【解答】解：扇形的面积是＝π，故答案为π．【点评】本题考查了扇形的面积计算，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，P是直线y＝2上的一个动点，⊙P的半径为1，直线OQ切⊙P于点Q，则线段OQ的最小值为．【分析】连接PQ、OP，如图，根据切线的性质得PQ⊥OQ，再利用勾股定理得到OQ＝，利用垂线段最短，当OP最小时，OQ最小，然后求出OP的最小值，从而得到OQ的最小值．【解答】解：连接PQ、OP，如图，∵直线OQ切⊙P于点Q，∴PQ⊥OQ，在Rt△OPQ中，OQ＝＝，当OP最小时，OQ最小，当OP⊥直线y＝2时，OP有最小值2，∴OQ的最小值为＝．故答案为．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理．21．若一个扇形的圆心角为60°，面积为6π，则这个扇形的半径为 6 ．【分析】已知了扇形的圆心角和面积，可直接根据扇形的面积公式求半径长．【解答】解：扇形的面积＝＝6π．解得：r＝6，故答案为：6【点评】此题主要考查了扇形的面积公式．熟练将公式变形是解题关键．22．如图，AB是⊙O的直径，PA，PC分别与⊙O相切于点A，点C，若∠P＝60°，PA＝，则AB的长为 2 ．【分析】首先证明△PAC是等边三角形，推出AC＝PA＝，再证明∠BAC＝30°即可解决问题；【解答】解：∵PA、PB是⊙D的切线，∴PA＝PC，∵∠P＝60°，∴△PAC是等边三角形，∴AC＝PA＝，∠PAC＝60°，∵PA是切线，AB是直径，∴PA⊥AB，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝30°，∴AB＝＝2，故答案为2【点评】本题考查切线的性质、圆周角定理、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．23．下面是“作一个30°角”的尺规作图过程．已知：平面内一点A．求作：∠A，使得∠A＝30°．作法：如图，（1）作射线AB；（2）在射线AB上取一点O，以O为圆心，OA为半径作圆，与射线AB相交于点C；（3）以C为圆心，OC为半径作弧，与⊙O交于点D，作射线AD．∠DAB即为所求的角．请回答：该尺规作图的依据是三边相等的三角形是等边三角形；圆周角的度数等于圆心角度数的一半．．【分析】先根据作图得出OB＝OC＝CD，即△OCD为等边三角形，据此可得∠COD＝60°，再根据圆周角定理知∠DAC＝∠COD＝30°，从而得出答案．【解答】解：如图，连接OD、OC，由作图知，OB＝OC＝CD，∴△OCD为等边三角形，则∠COD＝60°，∴∠DAC＝∠COD＝30°，综上可知，该尺规作图的依据是：三边相等的三角形是等边三角形；圆周角的度数等于圆心角度数的一半；故答案为：三边相等的三角形是等边三角形；圆周角的度数等于圆心角度数的一半．【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握等边三角形的判定和圆周角定理．24．下面是“用三角板画圆的切线”的画图过程．如图1，已知圆上一点A，画过A点的圆的切线．画法：（1）如图2，将三角板的直角顶点放在圆上任一点C（与点A不重合）处，使其一直角边经过点A，另一条直角边与圆交于B点，连接AB；（2）如图3，将三角板的直角顶点与点A重合，使一条直角边经过点B，画出另一条直角边所在的直线AD．所以直线AD就是过点A的圆的切线．请回答：该画图的依据是90°的圆周角所对的弦是直径，经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【分析】画法（1）的依据为圆周角定理，画法（2）的依据为切线的判定定理．【解答】解：利用90°的圆周角所对的弦是直径可得到AB为直径，根据经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线可判断直线AD就是过点A的圆的切线．故答案为90°的圆周角所对的弦是直径，经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【点评】本题考查了作图﹣复杂：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．25．如图，已知扇形的半径为3cm，圆心角为120°，则扇形的面积为3πcm2．（结果保留π）【分析】知道扇形半径，圆心角，运用扇形面积公式就能求出．【解答】解：由S＝知S＝×π×32＝3πcm2．【点评】本题主要考查扇形面积的计算，知道扇形面积计算公式S＝．26．如图，A、B、C在⊙O上，若∠AOB＝100°，则∠ACB＝130 °．【分析】首先在优弧AB上取点D，连接AD，BD，由圆周角定理可求得∠D的度数，然后由圆的内接四边新的性质，求得∠ACB的度数．【解答】解：在优弧AB上取点D，连接AD，BD，∵∠AOB＝100°，∴∠D＝∠AOB＝50°，∴∠ACB＝180°﹣∠D＝130°．故答案为：130．【点评】此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．27．如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为2cm．【分析】通过作辅助线，过点O作OD⊥AB交AB于点D，根据折叠的性质可知OA＝2OD，根据勾股定理可将AD 的长求出，通过垂径定理可求出AB的长．【解答】解：过点O作OD⊥AB交AB于点D，连接OA，∵OA＝2OD＝2cm，∴AD＝＝＝cm，∵OD⊥AB，∴AB＝2AD＝cm．故答案为：2．【点评】本题综合考查垂径定理和勾股定理的运用．28．已知P是⊙O外一点，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B．若PA＝6，则PB＝ 6 ．【分析】根据切线长定理知：PA＝PB，由此可求出PB的长．【解答】解：∵PA、PB都是⊙O的切线，且A、B是切点；∴PA＝PB，即PB＝6．【点评】此题考查的是切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等．29．如图，已知大半圆⊙O1与小半圆⊙O2相内切于点B，大半圆的弦MN切小半圆于点D，若MN∥AB，当MN＝4时，则此图中的阴影部分的面积是2π．【分析】把小半圆平移到O1，O2重合，阴影部分的面积不变，根据切线的性质定理以及勾股定理，得阴影部分的面积是＝2π．【解答】解：根据题意可知平移后如图：阴影部分的面积＝大半圆的面积﹣小半圆的面积，∴S阴＝πDN2＝π•MN2＝2π．【点评】注意：圆环的面积＝．（a即是相切于小圆的大圆的弦长）三．解答题（共21小题）30．下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：如图1，⊙O及⊙O上一点P．求作：过点P的⊙O的切线．作法：如图2，①作射线OP；②在直线OP外任取一点A，以点A为圆心，AP为半径作⊙A，与射线OP交于另一点B；③连接并延长BA与⊙A交于点C；④作直线PC；则直线PC即为所求．根据小元设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明：证明：∵BC是⊙A的直径，∴∠BPC＝90°（圆周角定理）（填推理的依据）．∴OP⊥PC．又∵OP是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线（切线的判定）（填推理的依据）．【分析】（1）根据题意作出图形即可；（2）根据圆周角定理得到∠BPC＝90°，根据切线的判定定理即可得到结论．【解答】解：（1）补全图形如图所示，则直线PC即为所求；（2）证明：∵BC是⊙A的直径，∴∠BPC＝90°（圆周角定理），∴OP⊥PC．又∵OP是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线（切线的判定）．故答案为：圆周角定理，切线的判定．【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，正确的作出图形是解题的关键．31．如图，AB是⊙O的弦，半径OE⊥AB，P为AB的延长线上一点，PC与⊙O相切于点C，CE与AB交于点F．（1）求证：PC＝PF；（2）连接OB，BC，若OB∥PC，BC＝3，tan P＝，求FB的长．【分析】（1）连接OC，根据切线的性质以及OE⊥AB，可知∠E+∠EFA＝∠OCE+∠FCP＝90°，从而可知∠EFA ＝∠FCP，由对顶角的性质可知∠CFP＝∠FCP，所以PC＝PF；（2）过点B作BG⊥PC于点G，由于OB∥PC，且OB＝OC，BC＝3，从而可知OB＝3，易证四边形OBGC是正方形，所以OB＝CG＝BG＝3，所以，所以PG＝4，由勾股定理可知：PB＝5，所以FB＝PF﹣PB＝7﹣5＝2．【解答】解：（1）连接OC，∵PC是⊙O的切线，∴∠OCP＝90°，∵OE＝OC，∴∠E＝∠OCE，∵OE⊥AB，∴∠E+∠EFA＝∠OCE+∠FCP＝90°，∴∠EFA＝∠FCP，∵∠EFA＝∠CFP，∴∠CFP＝∠FCP，∴PC＝PF；（2）过点B作BG⊥PC于点G，∵OB∥PC，∴∠COB＝90°，∵OB＝OC，BC＝3，∴OB＝3，∵BG⊥PC，∴四边形OBGC是正方形，∴OB＝CG＝BG＝3，∵tan P＝，∴，∴PG＝4，∴由勾股定理可知：PB＝5，∵PF＝PC＝7，∴FB＝PF﹣PB＝7﹣5＝2．【点评】本题考查圆的综合问题，涉及勾股定理，等腰三角形的判定，正方形的判定，锐角三角函数的定义等知识，需要学生灵活运用所学知识．32．如图，A，B，C三点在⊙O上，直径BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交弦BC于点E，在BC的延长线上取一点F，使得EF＝DE．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）连接AF交DE于点M，若AD＝4，DE＝5，求DM的长．【分析】（1）先得出∠ABD＝∠CBD，进而得出OD⊥DF，即可得出结论；（2）连接DC，利用全等三角形的判定得出△ABD≌△CBD，进而解答即可．【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD．∵DE∥AB，∴∠ABD＝∠BDE．∴∠CBD＝∠BDE．∵ED＝EF，∴∠EDF＝∠EFD．∵∠EDF+∠EFD+∠EDB+∠EBD＝180°，∴∠BDF＝∠BDE+∠EDF＝90°．∴OD⊥DF．∵OD是半径，∴DF是⊙O的切线．（2）解：连接DC，∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝∠BCD＝90°．∵∠ABD＝∠CBD，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD．∴CD＝AD＝4，AB＝BC．∵DE＝5，∴，EF＝DE＝5．∵∠CBD＝∠BDE，∴BE＝DE＝5．∴BF＝BE+EF＝10，BC＝BE+EC＝8．∴AB＝8．∵DE∥AB，∴△ABF∽△MEF．∴．∴ME＝4．∴DM＝DE﹣EM＝1．【点评】主要考查了切线的判定，关键是根据全等三角形的判定和性质解答．33．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AM是△ACD的外角∠DAF的平分线．（1）求证：AM是⊙O的切线；（2）若∠D＝60°，AD＝2，射线CO与AM交于N点，请写出求ON长的思路．【分析】（1）根据垂径定理得到AB垂直平分CD，根据线段垂直平分线的性质得到AC＝AD，得到∠BAD＝∠CAD，由AM是△ACD的外角∠DAF的平分线，得到∠DAM＝∠FAD，于是得到结论；（2）设AB与CD交于G，推出△ACD是等边三角形，得到CD＝AD＝2，根据直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∴AB垂直平分CD，∴AC＝AD，∴∠BAD＝∠CAD，∵AM是△ACD的外角∠DAF的平分线，∴∠DAM＝∠FAD，∴∠BAM＝（∠CAD+∠FAD）＝90°，∴AB⊥AM，∴AM是⊙O的切线；（2）思路：①由AB⊥CD，AB是⊙O的直径，可得BC＝BD，AC＝AD，∠1＝∠3＝∠CAD，AC＝AD；②由∠D＝60°°，AD＝2，可得△ACD为边长为2的等边三角形，∠1＝∠3＝30°；③由OA＝OC，可得∠3＝∠4＝30°；④由∠CAN＝∠3+∠OAN＝120°，可得∠5＝∠4＝30°，AN＝AC＝2；⑤由△OAN为含有30°的直角三角形，可求ON的长．附解答：∵AC＝AD，∠D＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴CD＝AD＝2，∴CG＝DG＝1，∴OC＝OA＝，∵∠3＝∠4＝30°，∴ON＝2OA＝．【点评】本题考查了切线的判定，垂径定理，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，熟练掌握各定理是解题的关键．34．如图，△ABC内接于⊙O，过点B作⊙O的切线DE，F为射线BD上一点，连接CF．（1）求证：∠CBE＝∠A；（2）若⊙O的直径为5，BF＝2，tan A＝2，求CF的长．【分析】（1）连接BO并延长交⊙O于点M，连接MC，根据圆周角定理求出∠A＝∠M，∠MCB＝90°，求出∠M+∠MBC＝90°，根据切线性质求出∠CBE+∠MBC＝90°，推出∠CBE＝∠M即可；（2）过点C作CN⊥DE于点N，求出∠CNF＝90°，求出tan M＝tan∠CBE＝tan A＝2，解直角三角形求出BC、CN、BN，求出FN，根据勾股定理求出即可．【解答】（1）证明：如图，连接BO并延长交⊙O于点M，连接MC，∴∠A＝∠M，∠MCB＝90°，∴∠M+∠MBC＝90°，∵DE是⊙O的切线，∴∠CBE+∠MBC＝90°，∴∠CBE＝∠M，∴∠CBE＝∠A；（2）解：过点C作CN⊥DE于点N，∴∠CNF＝90°，由（1）得，∠M＝∠CBE＝∠A，∴tan M＝tan∠CBE＝tan A＝2，在Rt△BCM中，∵BM＝5，tan M＝2，∴，在Rt△CNB中，∵，∴CN＝4，BN＝2，∵BF＝2，∴FN＝BF+BN＝4，在Rt△FNC中，∵FN＝4，CN＝4，∴．【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理，切线的性质，圆周角定理的应用，能求出∠M＝∠CBE＝∠A是解此题的关键，题目比较好，难度偏大．35．如图，四边形ABCD是平行四边形，点A，B，C在⊙O上，AD与⊙O相切，射线AO交BC于点E，交⊙O于点F．点P在射线AO上，且∠PCB＝2∠BAF．（1）求证：直线PC是⊙O的切线；（2）若AB＝，AD＝2，求线段PC的长．【分析】（1）首先连接OC，由AD与⊙O相切，可得FA⊥AD，四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，然后由垂径定理可证得F是的中点，BE＝CE，∠OEC＝90°，又由∠PCB＝2∠BAF，即可求得∠OCE+∠PCB＝90°，继而证得直线PC是⊙O的切线；（2）首先由勾股定理可求得AE的长，然后设⊙O的半径为r，则OC＝OA＝r，OE＝3﹣r，则可求得半径长，易得△OCE∽△CPE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得线段PC的长．【解答】（1）证明：连接OC．∵AD与⊙O相切于点A，∴FA⊥AD．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴FA⊥BC．∵FA经过圆心O，∴F是的中点，BE＝CE，∠OEC＝90°，∴∠COF＝2∠BAF．∵∠PCB＝2∠BAF，∴∠PCB＝∠COF．∵∠OCE+∠COF＝180°﹣∠OEC＝90°，∴∠OCE+∠PCB＝90°．∴OC⊥PC．∵点C在⊙O上，∴直线PC是⊙O的切线．（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝2．∴BE＝CE＝1．在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，AB＝，∴．设⊙O的半径为r，则OC＝OA＝r，OE＝3﹣r．在Rt△OCE中，∠OEC＝90°，∴OC2＝OE2+CE2．∴r2＝（3﹣r）2+1．解得，∵∠COE＝∠PCE，∠OEC＝∠CEP＝90°．∴△OCE∽△CPE，∴．∴．∴．【点评】此题考查了切线的判定、平行四边形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．36．如图，AB为⊙O的直径，射线AP交⊙O于C点，∠PCO的平分线交⊙O于D点，过点D作DE⊥AP交AP于E 点．（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）若DE＝3，AC＝8，求直径AB的长．【分析】（1）连接OD，若要证明DE为⊙O的切线，只要证明∠ODE＝90°即可；（2）过点O作OF⊥AP于F，利用垂径定理以及勾股定理计算即可．【解答】（1）证明：连接OD．∵OC＝OD，∴∠1＝∠3．∵CD平分∠PCO，∴∠1＝∠2．∴∠2＝∠3．∵DE⊥AP，∴∠2+∠EDC＝90°．∴∠3+∠EDC＝90°．即∠ODE＝90°．∴OD⊥DE．∴DE为⊙O的切线．（2）过点O作OF⊥AP于F．由垂径定理得，AF＝CF．∵AC＝8，∴AF＝4．∵OD⊥DE，DE⊥AP，∴四边形ODEF为矩形．∴OF＝DE．∵DE＝3，∴OF＝3．在Rt△AOF中，OA2＝OF2+AF2＝42+32＝25．∴OA＝5．∴AB＝2OA＝10．【点评】本题考查了圆的切线的判定和性质、垂径定理的运用、矩形的判定和性质以及勾股定理的运用，题目的综合性很强，难度中等，是一道不错的中考题．37．如图，AB为⊙O的直径，BC切⊙O于点B，AC交⊙O于点D，E为BC中点．（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）延长ED交BA的延长线于F，若DF＝4，AF＝2，求BC的长．【分析】（1）连接OD和DB，根据直角三角形斜边上中线性质得出DE＝BE，推出∠2＝∠4，根据等腰三角形性质得出∠1＝∠3，根据∠3+∠4＝∠1+∠2＝∠ABC＝90°，根据切线的判定推出即可；（2）在Rt△FDO中，根据勾股定理求出半径，证△FDO∽△FBE，得出比例式求出BE，即可求出BC．【解答】解（1）如图，连接DB，OD，∵OD＝OB∴∠1＝∠3．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°＝∠CDB，∵E为BC中点，∴DE＝BE，∴∠2＝∠4．∵BC切⊙O于点B，∴∠ABC＝90°＝∠3+∠4，∴∠1+∠2＝90°，∴OD⊥DE，∵OD为⊙O半径，∴DE为⊙O的切线；（2）∵OD⊥DE，∴∠FDO＝90°，设OA＝OD＝r．∵OF2＝FD2+OD2，DF＝4，AF＝2，∴（r+2）2＝42+r2，解得r＝3，∴OA＝OD＝3，FB＝8，∵∠F＝∠F，∠FDO＝∠FBE＝90°，∴△FDO∽△FBE，∴，∴BE＝6，∵E为BC中点，∴BC＝2BE＝12．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质，勾股定理，切线的判定，等腰三角形的性质等知识点的综合运用．38．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CE⊥AB于E，CD平分∠ECB，交过点B的射线于D，交AB于F，且BC ＝BD．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若AE＝9，CE＝12，求BF的长．【分析】（1）要证明BD是⊙O的切线，由已知条件转化为证明∠DBA＝90°即可；（2）连接AC，利用三角形相似求出BE的值，由勾股定理求出BC的值，由已知条件再证明△EFC∽△BFD，相似三角形的性质利用：对应边的比值相等即可求出BF的长．【解答】（1）证明：∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°．∵CD平分∠ECB，BC＝BD，∴∠1＝∠2，∠2＝∠D．∴∠1＝∠D，∴CE∥BD，∴∠DBA＝∠CEB＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴BD是⊙O的切线；（2）解：连接AC，∵AB是⊙O直径，∴∠ACB＝90°．∵CE⊥AB，∴∠AEC＝∠BEC＝90°，∵∠A+∠ABC＝90°，∠A+∠ACE＝90°，∴∠ACE＝∠ABC，∴△ACE∽△CBE，∴＝，即CE2＝AE•EB，∵AE＝9，CE＝12，∴EB＝16，在Rt△CEB中，∠CEB＝90，由勾股定理得BC＝20，∴BD＝BC＝20，∵∠1＝∠D，∠EFC＝∠BFD，∴△EFC∽△BFD，∴＝，即∴BF＝10．【点评】本题考查了切线的判定定理、圆周角定理、相似三角形判定和相似三角形的性质以及勾股定理的运用，题目综合性很强，难度不大．39．如图，在△ABC中，AB是⊙O的直径，⊙O与AC交于点D，AB＝，∠B＝60°，∠C＝75°，求∠BOD的度数．【分析】先根据三角形内角和定理求出∠A的度数，再由圆周角定理即可求解．【解答】解：在△ABC中，∵∠B＝60°，∠C＝75°，∴∠A＝45°．∵AB是⊙O的直径，⊙O与AC交于点D，∴∠DOB＝2∠A＝90°．故答案为：90°．【点评】本题考查的是三角形内角和定理及圆周角定理，比较简单．40．如图，在△ABC中，∠C＝120°，AC＝BC，AB＝4，半圆的圆心O在AB上，且与AC，BC分别相切于点D，E．（1）求半圆O的半径；（2）求图中阴影部分的面积．【分析】（1）连接OC，OD，OE，根据切线的性质得到OD⊥AC，在直角△AOD中，用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可以求出半圆的半径．（2）先在直角△AOC中求出OC的长，计算出△ABC的面积，然后用三角形的面积减去半圆的面积得到阴影部分的面积．【解答】（1）解：连接OD，OC，OE，∵半圆与AC，BC分别相切于点D，E．∴OD⊥AC，OE⊥BC，∴OD＝OE，∴OC是∠ACB的角平分线，∵AC＝BC，∴CO⊥AB且O是AB的中点．∴．∵∠C＝120°，∴∠DCO＝60°．∴∠A＝30°．∴在Rt△AOD中，．即半圆的半径为1．（2）设CO＝x，则在Rt△AOC中，因为∠A＝30°，所以AC＝2x，由勾股定理得：AC2﹣OC2＝AO2即（2x）2﹣x2＝22解得（舍去）∴．∵半圆的半径为1，∴半圆的面积为，∴．。
2020年北京市海淀区第二学期初三期末练习初中数学
2020年北京市海淀区第二学期初三期末练习初中数学九年级数学试题一、选择题(此题共32分，每题4分。
)在以下各题的四个备选答案中，只有一个是正确的。
1．-6的绝对值是A ．6B ．-6C ．16D ．-162．大脑的表面由一层薄膜所覆盖，假如把这一层薄膜铺开，约有一张报纸版面那么大，它由约l50亿个神经细胞构成，是信息接收和发送的庞大机构。
150亿用科学记数法表示为A ．150×108B ．15×109C ．1.5×1010D ．0.15×10113．在函数3y x =-中，自变量x 的取值范畴是A ．3x ≥B ．3x ≤C ．3x ≤-D ．3x ≥-4，如图1，BC 平分∠ABD ，AB//CD ，点E 在CD 的延长线上。
假设∠C=28°，那么∠BDE 的度数为A ．28°B ．56°C ．62°D ．84°5．某学校课外爱好小组为了了解所在学校的学生对体育运动的爱好情形，设计了四种不同的抽样调查方案，你认为比较合理的是A ．在图书馆随机选择50名女生B ．在运动场随机选择50名男生C ．在校园内随机选择50名学生D ．在八年级学牛中随机选择50名学生5．某资料中曾记载了一种运算地球与月球之间的距离的方法：如图2，假设赤道上一点D 在AB 上，∠ACB 为直角，能够测量A 的度数，那么AB 等于A ．ACcosAB ．cosAACC ．ACsinAD ．sinAAC7．小贝与两位同学进行乒乓球竞赛，用〝手心、手背〞游戏确定出场顺序。
假设每人每次出手心、手背的可能性相同，假设有一人与另外两人不同，那么此人最后出场。
三人同时出手一次。
小贝最后出场竞赛的概率为A ．12B ．13C ．14D ．158．北京奥运会金牌制造性地将白玉圆环嵌在其中，这一设计不仅是对获胜者的礼赞，也形象地诠释了中华民族自古以来以〝玉〞比〝德〞的价值观。
初三数学专题-2020.1海淀区初三数学期末试卷及答案
2初三第一学期期末学业水平调研数 学 2018．1学校 姓名 准考证号一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．．． 1．抛物线()212y x =-+的对称轴是A ．1x =-B ．1x = C．2x =-D ．2x=2．在△ABC 中，∠C =90°．若AB =3，BC =1，则sin A 的值为A ．13B ．C ．3D ．33．如图，线段BD ，CE 相交于点A ，DE ∥BC ．若AB =4，AD =2，DE =1.5， 则BC 的长为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转100°，得到△ADE ．若点D 在线段BC 的延长线上，则B ∠的大小为 A ．30° B ．40° C ．50° D ．60°5．如图，△OAB ∽△OCD ，OA :OC =3:2，∠A =α，∠C =β，△OAB 与△OCD 的面积分别是1S 和2S ，△OAB 与△OCD 的周长分别是1C 和2C ，则下列等式一定成立的是 A ．32OB CD=B ．32αβ= C ．1232S S =D ．1232C C =EB C DADECBAD OA BC26．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 从（3，4）出发，绕点O 顺时针旋转一周，则点A 不．经过 A ．点M B ．点N C ．点P D ．点Q7．如图，反比例函数k y x=的图象经过点A （4，1），当1y <时，x 的取值范围是A ．0x <或4x >B ．04x <<C ．4x <D ．4x >8．两个少年在绿茵场上游戏．小红从点A 出发沿线段AB 运动到点B ，小兰从点C 出发，以相同的速度沿⊙O 逆时针运动一周回到点C ，两人的运动路线如图1所示，其中AC =DB ．两人同时开始运动，直到都停止运动时游戏结束，其间他们与点C 的距离y 与时间x （单位：秒）的对应关系如图2所示．则下列说法正确的是yx9.687.491.09O COD A B17.12图1 图2A ．小红的运动路程比小兰的长B ．两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻相遇C ．当小红运动到点D 的时候，小兰已经经过了点D D ．在4.84秒时，两人的距离正好等于⊙O 的半径xy41AOxy–1–2–3–4–5–6123456–1–2–3–4–512345PQN MAOCDA OB二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．方程220x x -=的根为 ． 10．已知∠A为锐角，且tan A =A 的大小是 °．11．若一个反比例函数图象的每一支上，y 随x 的增大而减小，则此反比例函数表达式可以是 ．（写出一个即可） 12．如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴为1x =，点P ，点Q 是抛物线与x 轴的两个交点，若点P 的坐标为（4，0），则点Q 的坐标为 ．13．若一个扇形的圆心角为60°，面积为6π，则这个扇形的半径为 ．14．如图，AB 是⊙O 的直径，P A ，PC 分别与⊙O 相切于点A ，点C ，若∠P =60°，P A=，则AB 的长为 ．15．在同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离．如图，在一个路口，一辆长为10m 的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯20m 的停止线处，小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶．设小张距大巴车尾x m ，若大巴车车顶高于小张的水平视线0.8m ，红灯下沿高于小张的水平视线3.2m ，若小张能看到整个红灯，则x 的最小值为 ．停止线信号灯16．下面是“作一个30°角”的尺规作图过程．请回答：该尺规作图的依据是 ． 三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分；第23~26小题，每小题6分；第27~28小题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．计算：2sin 30°2cos 45-°18．已知1x =是关于x 的方程2220x mx m --=的一个根，求(2)1m m +的值． 19．如图，在△ABC 中，∠B 为锐角， AB=AC =5，sin 35C =，求BC 的长． CB A20．码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间．轮船到达目的地后开始卸货，记平均卸货速度为v （单位：吨/天），卸货天数为t ．（1）直接写出v 关于t 的函数表达式：v = ；（不需写自变量的取值范围） （2）如果船上的货物5天卸载完毕，那么平均每天要卸载多少吨？21．如图，在△ABC 中，∠B =90°，AB =4，BC =2，以AC 为边作△ACE ，∠ACE =90°，AC =CE ，延长BC 至点D ，使CD =5，连接DE ．求证：△ABC ∽△CED ．EB C DA22．古代阿拉伯数学家泰比特·伊本·奎拉对勾股定理进行了推广研究：如图（图1中BAC ∠为锐角，图2中BAC∠为直角，图3中BAC ∠为钝角）．AB B' C' CAB B'(C')C B C' B' C A在△ABC 的边BC 上取B '，C '两点，使AB B AC C BAC ''∠∠∠==，则ABC △∽B BA '△∽C AC '△，()ABB BAB'=，()AC C CAC'=，进而可得22AB AC += ；（用BB CC BC ''，，表示）若AB =4，AC =3，BC =6，则B C ''= ． 23．如图，函数ky x=（0x <）与y ax b =+的图象交于点A （-1，n ）和点B （-2，1）． （1）求k ，a ，b 的值；图1 图2 图3（2）直线x m =与ky x=（0x <）的图象交于点P ，与1y x =-+的图象交于点Q ，当90PAQ ∠>︒时，直接写出m 的取值范围．24．如图，A ，B ，C 三点在⊙O 上，直径BD 平分∠ABC ，过点D 作DE ∥AB 交弦BC 于点E ，在BC 的延长线上取一点F ，使得EF =DE ． （1）求证：DF 是⊙O 的切线；（2）连接AF 交DE 于点M ，若 AD =4，DE =5，求DM 的长．25．如图，在△ABC 中，90ABC ∠=︒，40C ∠=°，点D 是线段BC 上的动点，将线段AD 绕点A 顺时针旋转50°至AD '，连接BD '．已知AB =2cm ，设BD 为x cm ，B D '为y cm ．D'B D CA小明根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整．（说明：解答中所填数值均保留一位小数）（1）通过取点、画图、测量，得到了x 与y 的几组值，如下表：（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．（3）结合画出的函数图象，解决问题：线段BD '的长度的最小值约为__________cm ；若BD '≥BD ，则BD 的长度x 的取值范围是_____________．26．已知二次函数243y ax ax a =-+．（1）该二次函数图象的对称轴是x = ；（2）若该二次函数的图象开口向下，当14x ≤≤时，y 的最大值是2，求当14x ≤≤时，y 的最小值； （3）若对于该抛物线上的两点11() P x y ， ，22() Q x y ，，当1+1t x t ≤≤，25x ≥时，均满足12y y ≥，请结合图象，直接写出t 的最大值．27．对于⊙C 与⊙C 上的一点A ，若平面内的点P 满足：射线．．AP 与⊙C 交于点Q （点Q 可以与点P 重合），且12PAQA≤≤，则点P 称为点A 关于⊙C 的“生长点”． 已知点O 为坐标原点，⊙O 的半径为1，点A （-1，0）．（1）若点P 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且点P 在x 轴上，请写出一个符合条件的点P 的坐标________； （2）若点B 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且满足1tan 2BAO ∠=，求点B 的纵坐标t 的取值范围；（3）直线y b =+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ，若线段MN 上存在点A 关于⊙O 的“生长点”，直接写出b 的取值范围是_____________________________．28．在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC ．（1）如图1，△ABC 的角平分线BD ，CE 交于点Q，请判断“QB =”是否正确：________（填“是”或“否”）；（2）点P 是△ABC 所在平面内的一点，连接P A ，PB ，且PB=A ．①如图2，点P 在△ABC 内，∠ABP =30°，求∠P AB 的大小；②如图3，点P 在△ABC 外，连接PC ，设∠APC =α，∠BPC =β，用等式表示α，β之间的数量关系，并证明你的结论．PPEDQB CAB CAB CA图1 图2 图3初三第一学期期末学业水平调研数学参考答案及评分标准 2018．1一、选择题（本题共16分，每小题2分）二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．0或2 10．60 11．1y x=（答案不唯一） 12．（2-，0） 13．614．2 15．1016．三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是60°，一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半；或：直径所对的圆周角为直角，三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是60°，直角三角形两个锐角互余；或：直径所对的圆周角为直角，1sin 2A =，A ∠为锐角，30A ∠=︒.三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分；第23~26小题，每小题6分；第27~28小题，每小题7分）17．解：原式 = 1222⨯-+ (3)分 = 1= 1+ ………………5分 18．解：∵ 1x =是关于x 的方程2220x mx m --=的一个根， ∴ 2120m m --=.∴ 221m m +=. ………………3分 ∴ 2(2)211m m m m =++=.………………5分 19．解：作AD ⊥BC 于点D ， ∴ ∠ADB =∠ADC =90°. ∵ AC =5，3sin 5C =， B∴ sin 3AD AC C =⋅=. ………………2分 ∴ 在Rt △ACD中，4CD ==. ………………3分∵ AB=∴ 在Rt △ABD中，3BD ==. ………………4分∴ 7BC BD CD =+=. ………………5分 20．解：（1）240t. ………………3分 （2）由题意，当5t =时，24048v t==. ………………5分答：平均每天要卸载48吨. 21．证明：∵ ∠B =90°，AB =4，BC =2，∴ AC == ∵ CE =AC ， ∴CE = ∵ CD =5， ∴AB ACCE CD=. ………………3分 ∵ ∠B =90°，∠ACE =90°，∴ ∠BAC +∠BCA =90°，∠BCA +∠DCE =90°.∴ ∠BAC =∠DCE .∴ △ABC ∽△CED . ………………5分 22．BC ，BC ，()BC BB CC ''+ ………………3分116………………5分 23．解：（1）∵ 函数ky x=（0x <）的图象经过点B （-2， 1）， ∴12k=-，得2k =-. ………………1分 ∵ 函数ky x=（0x <）的图象还经过点A （-1，n ），∴ 221n -==-，点A 的坐标为（-1，2）. ………………2分 EB C DA∵ 函数y ax b =+的图象经过点A 和点B ， ∴ 2,2 1.a b a b -+=⎧⎨-+=⎩解得1,3.a b =⎧⎨=⎩ ………………4分（2）20m -<<且1m ≠-. ………………6分 24．（1）证明：∵ BD 平分∠ABC ， ∴ ∠ABD =∠CBD . ∵ DE ∥AB ， ∴ ∠ABD =∠BDE .∴ ∠CBD =∠BDE . ………………1分 ∵ ED =EF ，∴ ∠EDF =∠EFD . ∵∠EDF +∠EFD +∠EDB +∠EBD =180°， ∴ ∠BDF =∠BDE +∠EDF =90°.∴ OD ⊥DF . ………………2分 ∵OD 是半径，∴ DF 是⊙O 的切线. ………………3分（2）解： 连接DC ，∵ BD 是⊙O 的直径， ∴ ∠BAD =∠BCD =90°. ∵ ∠ABD =∠CBD ，BD =BD ， ∴ △ABD ≌△CBD . ∴ CD =AD =4，AB =BC. ∵ DE =5，∴3CE ==，EF =DE =5. ∵ ∠CBD =∠BDE ， ∴ BE =DE =5.∴ 10BF BE EF =+=，8BC BE EC =+=.∴ AB =8. ………………5分 ∵ DE ∥AB ， ∴ △ABF ∽△MEF . ∴AB BF ME EF=.∴ ME =4.∴ 1DM DE EM =-=. ………………6分25．（1）0.9. ………………1分 （2）如右图所示. ………………3分 （3）0.7， ………………4分 00.9x ≤≤. ………………6分 26．解：（1）2． ………………1分 （2）∵ 该二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线2x =， ∴ 当2x =时，y 取到在14x ≤≤上的最大值为2. ∴ 4832a a a -+=.∴ 2a =-，2286y x x =-+-. ………………3分 ∵ 当12x ≤≤时，y 随x 的增大而增大， ∴ 当1x =时，y 取到在12x ≤≤上的最小值0. ∵ 当24x ≤≤时，y 随x 的增大而减小， ∴ 当4x =时，y 取到在24x ≤≤上的最小值6-.∴ 当14x ≤≤时，y 的最小值为6-. ………………4分 （3）4. ………………6分 27．解：（1）（2，0）(答案不唯一). ………………1分 （2）如图，在x 轴上方作射线AM ，与⊙O 交于M ，且使得1tan 2OAM ∠=，并在AM 上取点N ，使AM =MN ，并由对称性，将MN 关于x 轴对称，得M N ''，则由题意，线段MN 和M N ''上的点是满足条件的点B .作MH ⊥x 轴于H ，连接MC ，∴ ∠MHA =90°，即∠OAM +∠AMH =90°. ∵ AC 是⊙O 的直径，∴ ∠AMC =90°，即∠AMH +∠HMC =90°. ∴ ∠OAM =∠HMC .112O∴ 1tan tan 2HMC OAM ∠=∠=. ∴12MH HC HA MH ==. 设MH y =，则2AH y =，12CH y =， ∴ 522AC AH CH y =+==，解得45y =，即点M 的纵坐标为45.又由2AN AM =，A 为（-1，0），可得点N 的纵坐标为85，故在线段MN 上，点B 的纵坐标t 满足：4855t ≤≤. ………………3分由对称性，在线段M N ''上，点B 的纵坐标t 满足：8455t -≤≤-.………………4分∴ 点B 的纵坐标t 的取值范围是8455t -≤≤-或4855t ≤≤.（3）41b -≤-或14b ≤≤ ………………7分 28．解：（1）否. ………………1分 （2）① 作PD ⊥AB 于D ，则∠PDB =∠PDA =90°， ∵ ∠ABP =30°， ∴ 12PD BP =. ………………2分 ∵PB =， ∴PD =. ∴sin 2PD PAB PA ∠==. 由∠P AB 是锐角，得∠P AB =45°. ………………3分另证：作点P 关于直线AB 的对称点'P ，连接',','BP P A PP ，则',',','P BA PBA P AB PAB BP BP AP AP ∠=∠∠=∠==.∵∠ABP =30°，∴'60P BP ∠=︒. ∴△'P BP 是等边三角形.∴'P P BP =.BBC∵PB =，∴'P P =. ………………2分 ∴222''P P PA P A =+. ∴'90PAP ∠=︒.∴45PAB ∠=︒. ………………3分② 45αβ+=︒，证明如下： ………………4分 作AD ⊥AP ，并取AD =AP ，连接DC ，DP . ∴ ∠DAP =90°. ∵ ∠BAC =90°，∴ ∠BAC +∠CAP =∠DAP +∠CAP , 即 ∠BAP =∠CAD . ∵ AB =AC ，AD =AP ， ∴ △BAP ≌△CAD .∴ ∠1=∠2，PB =CD . ………………5分 ∵ ∠DAP =90°，AD =AP ，∴PD =，∠ADP =∠APD =45°. ∵PB =， ∴ PD =PB =CD . ∴ ∠DCP =∠DPC . ∵ ∠APC =α，∠BPC =β，∴ 45DPC α∠=+︒，12αβ∠=∠=-. ∴ 31802902DPC α∠=︒-∠=︒-. ∴ 139045ADP αβ∠=∠+∠=︒--=︒.∴ 45αβ+=︒. ………………7分B。