空间向量数量积及坐标运算
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3．1.3 两个向量的数量积
空间向量数量积及坐标运算
1、空间向量的夹角
(1)定义及记法
OA
已O知B两个 非零∠向A量OBa，b，在空间中任取一点O，作
〈a，b〉＝a， ＝b，则
叫做向量a与b的夹角，记
作
．
(2)范围和性质
a⊥b
①范围： 0 ≤〈a，b〉 π≤ ． ②性质：〈a，b〉 ＝ 〈b，a〉． 如果〈a，b〉＝ 90°，则称a与b互相垂直，记作
求(1)p＋2q；(2) (p－q)·(p＋q)； (3)cos〈p，q〉． （4）求 AB在CD上的正射影的数量
空间向量数量积及坐标运算
练习： 设a＝(1，5，－1)，b＝(－2，3，5)． (1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k； (2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k.
空间向量数量积及坐标运算
空间向量数量积及坐标运算
3．1.4 空间向量的直角坐标运算
空间向量数量积及坐标运算
1．单位正交基底与坐标向量 建立空间直角坐标系Oxyz，分别沿x轴，y轴，z轴的 正方向引单位向量i，j，k，这三个互相垂直的单位向量构 成空间向量的一个基底 {i，j，k} ，这个基底叫做 单位正 交基底 ．单位向量i，j，k都叫做坐标向量 ．
[例 2] 如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，AA1＝ 2，求 异面直线 BA1 与 AC 所成角的余弦值．
[思路点拨] 先求 BA1 · AC ，再由夹角公式求cos 〈 BA1 ， AC 〉，并由此确定异面直线BA1与AC所成角的 余弦值．
空间向量数量积及坐标运算
(1)a·e＝
．
(2)a⊥b⇔ a·b＝0 ．
(3)|a|2＝ a·a．
(4)|a·b|≤ |a||b| ． 3．两个正向射量影的数数量量？积是实数，它可正、可负、可为零．
空间向量数量积及坐标运算
4．两个空间向量的数量积的运算律 (1)(λa)·b＝ λ(a·b)． (2)a·b＝ b·a ． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c ．
(2)设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则 AB ＝ OB －OA＝ (x2－x1，y2－y1，z2－z1，) 也就是说，一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表 示这个向量的有向线段的 终点的坐标减去起点的坐标．
空间向量数量积及坐标运算
3．空间向量平行和垂直的条件
(1)a∥b(b≠0)
[例3] 如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底 面的棱柱)ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1， ∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N为A1A的中点．
(1)求BN的长； (2)求 BA1 与 B1C 夹角的余弦值．
[思路点拨] 先建立空间直角坐标系，写出各向量 的坐标，再利用向量方法进行求解．
空间向量数量积及坐标运算
AB·CD AB || CD
|
＝12，
又θ∈[0，π]，∴θ＝60°.
答案：C
空间向量数量积及坐标运算
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3．已知a，b是异面直线，A∈a，B∈a，C∈b，D∈b，
AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的
角是
()
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
空间向量数量积及坐标运算
解析：设〈 AB，CD〉＝θ，
∵ AB·CD＝( AC ＋CD＋ DB)·CD＝|CD|2＝1，
∴cos
θ＝
|
a＝λb
a1＝λb1 a2＝λb2 a3＝λb3
，
或当b与三条坐标轴都不平行时
a1＝a2＝a3 a∥bb1 b2 b3． (2)a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 ．
空间向量数量积及坐标运算
[例 1] 已知空间四点 A、B、C、D 的坐标分别是(－ 1，2，1)、(1，3，4)、(0，－1，4)、(2，－1，－2)；若 p ＝ AB，q＝CD.
4．成异的面角直是线直夹角角，的则范称围两是条(0异，面直]．线2
.
空间向量数量积及坐标运算
1．空间两个向量的数量Fra Baidu bibliotek 已知空间两个向量a，b，把平面向量的数量积 a·b＝ |a||b|cos〈a，b〉 叫做两个空间向量a，b的数量积(或内积)． 2．两|a个|co空s〈间a向，量e〉的数量积的性质
（3）．两个非．零向量才有夹角，当两个非零向量同向共线时， 夹角为0，反向共线时，夹空角间为向量π数.量积及坐标运算
不同在任何一平面内
2．异面直线的定义
平移到一个平的面两内条直线叫做异面直线．
锐3角．或两直条角异面直线所成的角
把异面直线
互，相这垂时直两条直线的夹
角(
)叫做两条异面直线所成的角．如果所
空间向量数量积及坐标运算
2．空间向量的直角坐标运算
(1)设a＝(a1，a2，a3)．b＝(b1，b2，b3)． 向量坐标运算法则 a＋b＝ (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) a－b＝ (a1－b1，a2－b2，a3－b3) λa＝ (λa1，λa2，λa3) a·b＝ a1b1＋a2b2＋a3b3 ．
空间向量数量积及坐标运算
1、空间向量的夹角
(1)定义及记法
OA
已O知B两个 非零∠向A量OBa，b，在空间中任取一点O，作
〈a，b〉＝a， ＝b，则
叫做向量a与b的夹角，记
作
．
(2)范围和性质
a⊥b
①范围： 0 ≤〈a，b〉 π≤ ． ②性质：〈a，b〉 ＝ 〈b，a〉． 如果〈a，b〉＝ 90°，则称a与b互相垂直，记作
求(1)p＋2q；(2) (p－q)·(p＋q)； (3)cos〈p，q〉． （4）求 AB在CD上的正射影的数量
空间向量数量积及坐标运算
练习： 设a＝(1，5，－1)，b＝(－2，3，5)． (1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k； (2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k.
空间向量数量积及坐标运算
空间向量数量积及坐标运算
3．1.4 空间向量的直角坐标运算
空间向量数量积及坐标运算
1．单位正交基底与坐标向量 建立空间直角坐标系Oxyz，分别沿x轴，y轴，z轴的 正方向引单位向量i，j，k，这三个互相垂直的单位向量构 成空间向量的一个基底 {i，j，k} ，这个基底叫做 单位正 交基底 ．单位向量i，j，k都叫做坐标向量 ．
[例 2] 如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，AA1＝ 2，求 异面直线 BA1 与 AC 所成角的余弦值．
[思路点拨] 先求 BA1 · AC ，再由夹角公式求cos 〈 BA1 ， AC 〉，并由此确定异面直线BA1与AC所成角的 余弦值．
空间向量数量积及坐标运算
(1)a·e＝
．
(2)a⊥b⇔ a·b＝0 ．
(3)|a|2＝ a·a．
(4)|a·b|≤ |a||b| ． 3．两个正向射量影的数数量量？积是实数，它可正、可负、可为零．
空间向量数量积及坐标运算
4．两个空间向量的数量积的运算律 (1)(λa)·b＝ λ(a·b)． (2)a·b＝ b·a ． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c ．
(2)设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则 AB ＝ OB －OA＝ (x2－x1，y2－y1，z2－z1，) 也就是说，一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表 示这个向量的有向线段的 终点的坐标减去起点的坐标．
空间向量数量积及坐标运算
3．空间向量平行和垂直的条件
(1)a∥b(b≠0)
[例3] 如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底 面的棱柱)ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1， ∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N为A1A的中点．
(1)求BN的长； (2)求 BA1 与 B1C 夹角的余弦值．
[思路点拨] 先建立空间直角坐标系，写出各向量 的坐标，再利用向量方法进行求解．
空间向量数量积及坐标运算
AB·CD AB || CD
|
＝12，
又θ∈[0，π]，∴θ＝60°.
答案：C
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3．已知a，b是异面直线，A∈a，B∈a，C∈b，D∈b，
AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的
角是
()
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
空间向量数量积及坐标运算
解析：设〈 AB，CD〉＝θ，
∵ AB·CD＝( AC ＋CD＋ DB)·CD＝|CD|2＝1，
∴cos
θ＝
|
a＝λb
a1＝λb1 a2＝λb2 a3＝λb3
，
或当b与三条坐标轴都不平行时
a1＝a2＝a3 a∥bb1 b2 b3． (2)a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 ．
空间向量数量积及坐标运算
[例 1] 已知空间四点 A、B、C、D 的坐标分别是(－ 1，2，1)、(1，3，4)、(0，－1，4)、(2，－1，－2)；若 p ＝ AB，q＝CD.
4．成异的面角直是线直夹角角，的则范称围两是条(0异，面直]．线2
.
空间向量数量积及坐标运算
1．空间两个向量的数量Fra Baidu bibliotek 已知空间两个向量a，b，把平面向量的数量积 a·b＝ |a||b|cos〈a，b〉 叫做两个空间向量a，b的数量积(或内积)． 2．两|a个|co空s〈间a向，量e〉的数量积的性质
（3）．两个非．零向量才有夹角，当两个非零向量同向共线时， 夹角为0，反向共线时，夹空角间为向量π数.量积及坐标运算
不同在任何一平面内
2．异面直线的定义
平移到一个平的面两内条直线叫做异面直线．
锐3角．或两直条角异面直线所成的角
把异面直线
互，相这垂时直两条直线的夹
角(
)叫做两条异面直线所成的角．如果所
空间向量数量积及坐标运算
2．空间向量的直角坐标运算
(1)设a＝(a1，a2，a3)．b＝(b1，b2，b3)． 向量坐标运算法则 a＋b＝ (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) a－b＝ (a1－b1，a2－b2，a3－b3) λa＝ (λa1，λa2，λa3) a·b＝ a1b1＋a2b2＋a3b3 ．