(高中数学选修2-1)空间向量的数量积运算课件(1)
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(高中数学选修2-1)空间向量的数量积运算课件课件
复习回顾：
1.共线向量定理： 空间中任意两个向量a , b(b 0)共线（ a b ）
的充要条件是存在实数 ，使得a = b 2.共线向量定理的推论： (1)若直线l过点A且与向量 a 平行，则 点P在直线l上 OP OA ta
(2)三点P、A、B共线的充要条件有：
①.存在实数t , 使得 AP t AB, 即AP / / AB ②.存在实数t , 使得OP OA t AB
a
a
பைடு நூலகம்
b
o
b
B
0 a , b
关键是 起点相 同！
当 a, b 0时, a与b同向. 2 当 a, b 时, a与b反向. OA, OB> OB, OA OA, OB OA, OB
1
定义：如果 a ，b ，则称向量 a 与 b 互相 2 垂直，记作 a b .
2 2 2 2
法一:发现
法二:由 ∴
a b a 2a b b a b a 2a b b
2 2
代入求得 得
a b =-2.
ab 1
法三:数形结合法,发现形的特殊性.
3.(课本第92页第3题)已知线段AB、BD在平面 内,BD⊥AB,线段AC ⊥ ,如果AB＝a,BD＝b, AC＝c,求C、D间的距离. 解：∵
4. 空间向量数量积运算律
⑴
a b b a
（交换律）
（数乘结合律） ⑵ (a) b (a b ) a (b ) ⑶
a (b c ) a b a c （分配律）
(a b) c a (b c)
1.共线向量定理： 空间中任意两个向量a , b(b 0)共线（ a b ）
的充要条件是存在实数 ，使得a = b 2.共线向量定理的推论： (1)若直线l过点A且与向量 a 平行，则 点P在直线l上 OP OA ta
(2)三点P、A、B共线的充要条件有：
①.存在实数t , 使得 AP t AB, 即AP / / AB ②.存在实数t , 使得OP OA t AB
a
a
பைடு நூலகம்
b
o
b
B
0 a , b
关键是 起点相 同！
当 a, b 0时, a与b同向. 2 当 a, b 时, a与b反向. OA, OB> OB, OA OA, OB OA, OB
1
定义：如果 a ，b ，则称向量 a 与 b 互相 2 垂直，记作 a b .
2 2 2 2
法一:发现
法二:由 ∴
a b a 2a b b a b a 2a b b
2 2
代入求得 得
a b =-2.
ab 1
法三:数形结合法,发现形的特殊性.
3.(课本第92页第3题)已知线段AB、BD在平面 内,BD⊥AB,线段AC ⊥ ,如果AB＝a,BD＝b, AC＝c,求C、D间的距离. 解：∵
4. 空间向量数量积运算律
⑴
a b b a
（交换律）
（数乘结合律） ⑵ (a) b (a b ) a (b ) ⑶
a (b c ) a b a c （分配律）
(a b) c a (b c)
高二数学 人教A版选修2-1课件：3.1.3 空间向量的数量积运算
探究点 4 空间向量的数量积满足的运算律
r r rr
⑴ (a) b (a b).
rr rr ⑵ a b b a (交换律).
r r r rr rr ⑶ a (b c) a b a c (分配律).
注： 向量的数量积运算类似于多项式运算,平方
差公式、完全平方公式、十字相乘等均成立.
是
r b
在
r a
方向上
的射影向量.
探究点 3 空间两个向量的数量积的性质
rr 显然,对于非零向量 a, b ,有下列性质:
r r rr ①a b ab 0;
r2 r r
r
r2
② a a a ，也就是说 a a .
注：性质①是证明两向量垂直的依据； 性质②是求向量的长度（模）的依据.
面的充要条件知,存在惟一的有序实数对
r rr
(x,y),使g = xm + yn,
l
将上式两边与向量l作数量积，得
rr rr rr l×g = xl×m + yl×n.
rr rr 因为l×m = 0,l×n = 0,
rr
rr
所以l×g = 0,即l⊥g.所以l⊥g,
r
gl
m
ur
n
r n
ur m g
即l垂直于平面α内任一直线.所以l⊥α.
rr
⑴范围: 0 ≤ a, b ≤ .
rr rr ⑵ a, b＝b, a.
r
a
rA
a
r
O
r
B
b
b
rr ⑶如果 a, b
,那么向量 ar
r ,b
r 互相垂直,记作 a
高中数学人教课标版选修2-1《空间向量的数量积运算》课件
．零向量与任何向量数量积为0．特别地， ．空间向量的数量积满足的运算律有：
①数乘结合律： ③分配率：
，②交换律：
，
知识回顾 知识梳理
问题探究
课堂小结
随堂检测
（3）空间向量的数量积的性质有：
①若 为单位向量，则 ②若 ， 为非零向量，则 ； ；
③
；
；
④若 ， 为非零向量，则 ⑤
（当且仅当 ， 共线时等号成立）．
数量积的定义知，②正确； ， 不一定共线，向量不一定相等，所
以③不正确；利用数量积的运算律，④正确．
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
活动③ 巩固基础、检查反馈 例2 已知空间四边形OABC中，OB=OC，且 的值为（ A ） A． B． C． D． ，则
【思路点拨】求向量夹角的重点就是求数量积和模长． 【解题过程】设 由已知得 ， ， ，且 ， ．
（inner product），记作
特别地，
．零向量与任何向量数量积为0．
．
●活动③ 深入探究，发现规律 和平面向量类似，空间向量的数量积满足哪些运算律？
①数乘结合律：
②交换律： ③分配率： ，
，
．
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
探究二：探究空间向量数量积的性质★▲
●活动① 类比探究，研究性质
和平面向量类似，空间向量的数量积有哪些性质？
∵
∵ 又∵
，∴
且
．
，∴ ，∴ ， ．
∴
．
知识回顾 知识梳理
问题探究
课堂小结
随堂检测
（1）已知两个非零向量 ， ，在空间任取一点O，作 则 叫做向量 ， 的夹角，记作 ．如果
空间向量数量积运算 ppt课件
PPT课件
5
PPT课件
6
知识要点
1.两个向量的夹角的定义
如图，已知两个非零向量a，b.在空 间任取一点O，可以作OA=a，OB=b，
则角∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作:
〈a，b〉
a
A
a
b
Ob
B
PPT课件
7
3.1.3空间向量的数量积运算
1） 空间两个向量的夹角的定义
思考：1、〈a，b〉与〈b，a〉相等吗？
用于计算向量的模;
（3）cosθ = a b 用于计算向量的夹角.
a b
PPT课件
4
3.平面向量数量积满足的运算律
（1）交换律: a·b = b·a
（2）对数乘的结合律: (λa)·b = λ( a·b ) = a·(λb ) （3）分配律:( a + b )·c = a·c + b·c
数量积不满足结合律,即: ( a·b )·c a·( b·c )
形P1P2P3P4P5P6 ，下列向量的数量积中最
大的是___A___.
A. P1P2 ·P1P3
B. P1P2·P1P4
C. P1P2·P1P5
D. P1P2·P1P6
PPT课件
19
解析：如图，已知正六边形P1P2P3P4P5P6， 设边长 | P1 P2 |= a 则 ∠P2P1P3=π/6,
a b = a b cosθ
向量的夹角： 0 θ π
b
B
b
a
bO a
PPT课B件
A
2
复习：
4．平面向量的夹角：
b
B
a
OA
PPT课件
3
最新-2018高中数学 第3章313空间向量的数量积运算课件 新人教A版选修2-1 精品
例4 在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC与BD 的 交 点 ， G 为 CC1 的 中 点 ， 求 证 ： A1O ⊥ 平 面 GBD.
【思路点拨】 设法证明A1O与平面GBD内的 两相交直线垂直．
【证明】 设A→1B1＝a，A→1D1＝b，A→1A＝c， 则 a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0. 而A→1O＝A→1A＋A→O ＝A→1A＋12(A→B＋A→D)＝c＋12(a＋b)， B→D＝A→D－A→B＝b－a， O→G＝O→C＋C→G＝12(A→B＋A→D)＋12C→C1
向量 a，b 的_夹__角___，记作〈__a_，__b_〉__．
2．已知两个非零向量 a 与 b，我们把数量
_|a_|_|b_|_c_o_s_〈__a__，__b_〉_叫做 a 与 b 的_数___量__积___(或内积)，
记作 a·b，即 a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉，它满足的运算律
有：(1)交换律：_a_·b__＝__b_·a__；(2)分配律：_a_·_(b__＋__c_) _ _＝__a_·_b_＋__a_·c__；(3)(λa)·b＝λ_(_a_·b_)__＝a_·_(_λ_b_)_．
解：因为B→C＝O→C－O→B， 所以O→A·B→C＝O→A·(O→C－O→B) ＝O→A·O→C－O→A·O→B ＝|A→O||O→C|cosπ3－|O→A||O→B|cosπ3 ＝1×1×12－1×1×12＝0， 所以O→A⊥B→C，即 OA 与 BC 所成的角为直角．
用数量积解决两点间的距离问题
例2 已知空间四边形OABC各边及对角线长都 相等，E，F分别为AB，OC的中点，求异面直 线OE与BF所成角的余弦值． 【思路点拨】
寻求O→E、B→F与O→A、O→B、O→C的关系
高中数学《空间向量的数量积运算》公开课优秀课件
二.教学片断展示
谢谢聆听！
数学 运算
选择 运算 方法
掌握 运算 法则 探究 运算 方向
一.教学设计简述
教学内容解析
教学目标设置
教学策略分析
师生课堂互动模型“学习金字塔”模型两个“模型”引领，以学定教
教学主线 教学过程
• 问题引入，提出概念 • 合作探究，辨析概念
• 应用概念，感悟“运算”
• 归纳总结，作业巩固
做 抓 悟 会 “类比” “本质” “方法” “应用”
人教社A版 数学《选修2-1》
3.1.3 空间向量的数量积运算
数学 抽象 数据 分析 逻辑 推理
高中 数学
数学 运算 直观 想象 数学 建模
逻辑推理素养
• 类比 合情 • 特殊到一般 • 归纳 推理
逻辑 推理
演绎 • 一般到特殊 推理
数学运算素养
理解 运算 对象
求得 运算 结果 设计 运算 程序
空间向量的数量积运算ppt课件
g
l
m
m
存在唯一的有序数对(, )，
= + .
∴ ∙ = ∙ + ∙ .
∵ ∙ = 0， ∙ = 0
∴ ∙ = 0.∴ ⊥ .
因此直线垂直于平面内的任意一条直线，所以 ⊥ .
n
n
g
∠AOB
OB ＝b，则_______＝θ
范围：________
0≤θ≤π
B
b
b
特殊情况：
B
a
a
O
b B
O
b
a
A
B b
O
0
180
a 与 b 同向
a 与 b 反向
A
O
a
a
A
90
a 与 b 垂直，记作 a b
A
空间向量的夹角
定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作 OA ＝a，
空间向量的数量积运算
新课导入
平面向量及其线性运算
推
广
空间向量及线性运算
平面向量数量积运算
推
广
空间向量数量积运算
探 究
问题：回忆一下，我们当时是如何研究平面向量的数量积运算？
定义夹角
数量积定义
运算律
运用
知识回顾
定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作 OA ＝a，
<a,b>
叫做向量a与b的夹角．记作: ________
a
a
c
b
称为向
投影向量
向量a向直线l投影
a
a
c
l
投影向量
人教版高中数学选修2-1课件-空间向量的数量积运算
3．在实数运算中，若 ab＝0，则 a＝0 或 b＝0，如果 a，b 换为向量 a，b，这一性质不成立，解题时要格外注 意，以防出现错误.
[变式训练] 如图所示，已知正四面体 OABC 的棱长为 1. (1)求O→A·O→B； (2)求(O→A＋O→B)·(C→A＋C→B)．
解：(1)O→A·O→B＝|O→A|·|O→B|·cos∠AOB＝1×1×cos 60°＝12.
(2)(O→A＋O→B)·(C→A＋C→B)＝(O→A＋O→B)·(O→A－O→C＋O→B－O→C) ＝(O→A＋O→B)·(O→A＋O→B－2O→C)＝1＋1×1×cos 60°－2×1×1× cos 60°＋1×1×cos 60°＋1－2×1×1×cos 60°＝1.
所
以
|
→ CD
|2
＝
→ CD
2
＝
(
→ CA
＋
→ AB
＋
→ BD
)2
＝
C→A2
＋
A→B2
＋
B→D2＋2C→A·A→B＋2C→A·B→D＋2B→D·A12.
答案：12
归纳升华 利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求 向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的 向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出 这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用 公式|a|＝ a·a求解即可．
＝|a|2＋6|a||b|cos〈a，b〉＋9|b|2，
因为|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝90°，
所以|a＋3b|2＝10，所以|a＋3b|＝ 10.
答案：B
2．设 ABCD-A1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体，则有
()
A.A→B·C→1A＝a2
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第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
(1)若 a，b 是非零向量，则 a⊥b⇔a· b＝0. 两个 向量 数量 积的 性质 (2)若 a 与 b 同向，则 a· b＝|a|· |b|； 若反向，则 a· b＝－|a|· |b|. 特别地：a· a＝|a|2 或|a|＝ a· a. a· b (3)若 θ 为 a，b 的夹角，则 cos θ＝|a|· |b|. (4)|a· b|≤|a|· |b|. (1)可以求向量的模或夹角，进而求两点距离 应用 或两直线所成角． (2)可证明两非零向量垂直，进而证明两直线 垂直.
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第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
2．空间向量的数量积
定 已知两个非零向量a，b，则|a|· |b|· cos〈a，b〉叫做
义 运
算 律
a，b的数量积，记作a· b.
数乘向量与向量 (λa)· b＝ λ(a·b) . .
数量积的结合律
交换律 分配律
a· b＝ b·a
a· (b＋c)＝ a·b＋a·c .
答案： D
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第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
3． 已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a， 点 E，F 分别是 BC，AD 的中点，则 A→ E· A→ F 等于________．
1 → 1→ → → → 解析： A E · A F ＝2(A B ＋A C )· 2AD 1 → → ＝4(A B · A D ＋A→ C· A→ D) 1 ＝4(a×acos 60° ＋a×acos 60° ) 1 2 ＝2a
(2)(λa)· b＝λ(a· b)＝a· (λb)； (3)分配律： (a＋b)·c ＝a· c＋b· c.
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第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
4．已知非零向量 b 在非零向量 a 方向上的投影为零，则向 量 a，b 的关系是 a⊥b .
5．已知向量 a，b 满足|a|＝1，|b|＝4，且 a· b＝2，则 a 与 b π 的夹角为 3 .
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第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
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第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
1．已知向量 a，b，c 两两夹角为 60° ，其模都为 1，则|a－ b＋2c|＝( A. 5 C．6 ) B．5 D. 6
பைடு நூலகம்工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
解析：
因为|a|＝|b|＝|c|＝1，
〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60° ， 1 所以 a· b＝b· c＝a· c＝2， a2＝b2＝c2＝1， 所以|a－b＋2c|＝ a－b＋2c2 ＝ a2＋b2＋4c2－2a· b＋4a· c－4b· c ＝ 1 1 1 1＋1＋4－2× ＋4× －4× 2 2 2
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第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
1.空间向量的数量积运算．(重点)
2.利用空间向量的数量积求夹角及距离．(难点)
3.空间向量数量积的运算律．(易错点)
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第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
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第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
1. 为了帮助四川地震灾区重建家 园， 某施工队需要移动一个大型的正 四面体筋混凝土构件， 已知它的质量 为 5 000 kg，在它的顶点处分别受到 大小相同的力 F1、F2、F3，并且每两个力之间的夹角都 是 60° . 问这每个力最小为多少时，才能提起这块混凝土构 件？
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第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
1．空间向量的夹角
定义 已知两非零向量 a、b，在空 → ＝a， 间中任取一点 O， 作OA → ＝b，则 ∠AOB 叫做向 OB 量 a，b 的夹角 π 如果〈a，b〉＝ ，那么向量 a，b 互相垂直 ，记作 a⊥b . 2 图示 记法 范围
〈a，b〉 [0，π]
3．1.3
空间向量的数量积运算
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第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
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第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数 量积概念、性质和计算方法及运算规律． 2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何
中一些简单的问题.
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第三章 空间向量与立体几何
1 2 答案： 2a
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第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
4.如图所示，在▱ABCD 中，AD＝4，CD ＝3，∠D＝60° ，PA⊥平面 ABCD，PA＝6， 求线段 PC 的长．
解析：
∵P→ C ＝P→ A ＋A→ D ＋D→ C.
∴|P→ C |2＝(P→ A ＋A→ D ＋D→ C )2 → |2＋|DC → |2＋2P→ ＝|P→ A |2＋|AD A· A→ D ＋2A→ D· D→ C ＋2D→ C· P→ A ＝62＋42＋32＋2|A→ D ||D→ C |cos 120° ＝61－12＝49. → |＝7，即 PC＝7. ∴|PC
＝ 6－1＋2－2＝ 5.
答案： A
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第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
π 2．空间四边形 OABC 中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝3， → ，B→ 则 cos〈OA C 〉的值为( 1 A. 2 1 C．－ 2 ) 2 B. 2 D．0
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第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
→ ＝O→ 解析： 因为 O→ A· BC A· (O→ C －O→ B) ＝O→ A· O→ C －O→ A· O→ B → ，O→ →〉 ＝|O→ A ||O→ C |cos〈OA C 〉－|O→ A ||O→ B |cos〈O→ A ，OB π → → → → 又因为〈O A ，O C 〉＝〈O A ，O B 〉＝ ， 3 |O→ B ＝|O→ C |，所以 O→ A· B→ C ＝0， → ⊥BC → ，所以 cos〈O→ 所以OA A ，B→ C 〉＝0.
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第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
2．在△ABC 中， 〈A → B ，B→ C 〉＝∠B 吗？如何作出空间两向 量 a 与 b 的夹角？夹角的取值范围是什么？ 3． 已知两个非零向量 a 与 b， 我们把数量|a||b|cos〈a，b〉 叫 做a与b的
数量积 (或内积)，记作 a· b，
即 a· b＝|a||b|cos〈a，b〉 ． 它所满足的运算律有： (1)交换律： a·b＝b·a ；