高一数学集合经典题型归纳汇总
高一数学题经典题型
高一数学题经典题型1. 集合运算题：- 已知两个集合A和B，求它们的并集A∪B、交集A∩B或差集A-B。
- 判断一个元素是否属于某个集合或集合的运算结果。
2. 函数性质题：- 已知函数f(x)的定义域和解析式，求f(x)的值域、单调性、奇偶性。
- 复合函数的运算和性质判断。
- 函数图像的平移、对称和伸缩变换。
3. 二次函数和一元二次方程题：- 二次函数y = ax² + bx + c的图像和性质分析。
- 一元二次方程ax² + bx + c = 0的根的判断和求解。
- 利用判别式Δ = b² - 4ac判断方程的根的情况。
4. 数列题：- 等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的应用。
- 已知数列的前几项，找出数列的规律并求出后续项。
- 数列的性质证明题，如证明某个数列是等差或等比数列。
5. 三角函数题：- 基本三角函数的性质和图像分析，如正弦函数y = sin(x)、余弦函数y = cos(x)。
- 三角函数的诱导公式、和差化积公式、积化和差公式的应用。
- 解三角形问题，利用正弦定理、余弦定理求解三角形的边长或角度。
6. 不等式题：- 一元一次不等式和一元一次不等式组的求解。
- 利用数轴表示不等式的解集。
- 绝对值不等式的解法。
- 不等式的性质证明和应用题。
7. 解析几何初步题：- 直线的方程（斜截式、点斜式、两点式、截距式）及其性质。
- 圆的标准方程和一般方程，点与圆、直线与圆的位置关系。
- 距离公式和中点公式的应用。
8. 立体几何初步题：- 空间几何体的三视图和直观图的认识。
- 空间几何体的表面积和体积的计算（如棱柱、棱锥、球等）。
- 点、直线、平面之间的位置关系判断。
高一数学必修一题型总结
必修(一)题型总结-、集合的概念与表示：1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集⑺的特殊情况注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
3. 注意下列性质：集合9i, a2, , a n .的所有子集的个数是2n；4. 对于集合的元素是不等式的，画数轴确定两集合的关系例题：1. 满足关系{1,2} A {1,2,3,4,5}的集合的个数是( )A: 4 B: 6 C: 8 D: 92 3 ：32. 以实数X , - x , |x|, x , - <x为元素所组成的集合最多含有( ) A: 2个元素B: 3个元素C: 4个元素D: 5个元素「k 1 ] f k 1 13. M=』x|x=—+ — ,k€Z],N=d x|x=—+—,k E Z 贝U ( )(A M =N (B) M N (C) N M (D) M』N4. 已知A={(x,y)|y=x 2-4x+3},B=[(x,y)|y=-x 2-2x+2}, A n B= ______________5. 某班考试中，语文、数学优秀的学生分别有30人、28人，语文、数学至少有一科优秀的学生有38人，求：(1)语文、数学都优秀的学生人数(2)仅数学成绩优秀的学生人数2 2 26.设A={x|x -ax a -19=0} , B ={x| x-5x 6 =0},且A B,求实数a 的值.二、函数的三要素(定义域、值域、对应法则) 如何比较两个函数是否相同？1. 定义域的求法：分母、开偶次方、对数(保证它们有意义)2 .值域的求法：①判断函数类型(一次、二次、反比例、指数、对数、幕函数)由函数的单调性与图像确定当x为何值时函数有最大值(最高点)和最小值(最低点) ，②对于一个没有学过的函数表达式，需要将它变成一个学过的函数来解决(换元法、图像变换法)3表达式的求法：O1已知函数类型待定系数法②已知f(x)求f(2x+1)整体代换法，已知f(2x+1)求f(x)换元法。
高中集合题型和例题大全
高中集合的题型和例题有很多种，以下是一些常见的类型和示例：
1. 集合的表示方法
例题：用列举法表示下列集合：
（1）｛x|x是小于10的正整数｝
（2）｛y|y是5的正整数倍｝
（3）｛x|x是4除以3的余数｝
（4）｛y|y是9的平方数｝
2. 集合之间的关系
例题：已知集合A=｛x|x=2k+1，k∈Z｝，B=｛x|x=4k+1，k∈Z｝，求证：A∩B=
｛x|x=8k+1，k∈Z｝。
3. 集合的运算
例题：已知集合A=｛1，2，3，4｝，B=｛3，4，5，6｝，求：
（1）A∪B；
（2）A∩B；
（3）A-B；
（4）B-A。
4. 集合的元素与集合的关系
例题：已知集合A=｛a，b，c，d｝，B=｛e，f｝，且集合C满足A∩C≠∅，B∩C≠∅，求C的可能情况。
5. 集合的子集与真子集
例题：已知集合A=｛1，2，3｝，求A的所有子集和真子集。
6. 集合的交集、并集、补集运算
例题：已知集合A=｛1，2，3｝，集合B=｛2，3，4｝，求：
（1）A∩B；
（2）A∪B；
（3）C∪A；
（4）C∪B。
7. 含参数的集合问题
例题：已知集合A=｛x|ax+b=0｝，若A=∅时a、b应满足什么条件？如果A≠∅时a、b 应满足什么条件？。
高中数学集合考试题型大全,共17种题型(数学浪子制作)
集合重点考试题型大全目录集合基本知识点 (2)题型一：元素的互异性 (4)题型二：含参方程的解集 (5)题型三：二次方程解集个数问题 (6)题型四：根据要求确定集合元素 (8)题型五：已知包含关系求参数值 (9)题型六：一次不等式解集间的关系 (11)题型七：二次方程解集相等的条件 (12)题型八：二次方程解集间的包含关系 (13)题型九：二次方程解集间的包含关系 (14)题型十：集合相等 (16)题型十一：二次不等式的交集 (17)题型十二：已知交并补集结果求参数值 (18)题型十三：已知交、并补集结果求参数范围 (20)题型十四：集合的混合运算 (22)题型十五：集合之间的关系 (24)题型十六：点集运算问题 (25)题型十七：用Venn图计算集合 (27)集合基本知识点一、集合的含义与表示1．集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．2．元素与集合的关系a Aa A∈⎧⎨∉⎩属于，记为不属于，记为3．常用数集及其表示符号：4．集合常用的表示方法：列举法、描述法、Venn图法．二、集合间的基本关系1．集合间的基本关系2．空集的定义及性质（1）我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记做∅（2）空集是任何集合的子集，B∅⊆（3）空集是任何非空集合的真子集，B ∅3．子集的个数A 为有限集合，*()()card A n n N =∈，则： （1）A 的子集个数是2n （2）A 的真子集个数是21n - （3）A 的非空子集个数是21n - （4）A 的非空真子集个数是22n -三、集合的运算题型一：元素的互异性例变式解析：44m A-∈，需分三种情况讨论：①440m-=，解得1m=，此时{0,1,1}A=，违反了集合元素的互异性，舍去；②4421m m-=-，解得32m=，此时9{0,2,}4A=，符合条件，即32m=成立；③244m m-=，解得2m=，此时{0,3,4}A=，符合条件，即2m=成立；综上322m m==或．练习1解析：3A∈，∴22323a a a+=+=或；当23a+=时，1a=，此时2{2,2}{3,3}A a a a=++=，违反了的互异性，1a=不合题意；当223a a+=时，312a a==-或，1a=不合题意舍去，32a=-时，1{,3}2A=，符合题意．综上32a=-．答案：32-练习2②当2(1)1a +=时,02a =-或0a =时，{2,1,3}A =，符合条件；2a =-时，{0,1,1}A =，不符合条件，舍去；③当2331a a ++=时，12a =--或，根据之前计算，舍去； 综上0a = 答案：0题型二：含参方程的解集例解析：第一个方程解集为{2,3}；第二个方程有两个相等的实根3，根据互异性，它的解集为{3}；第三个方程，由于m 的值不确定，考虑到互异性的特殊情况，需分情况讨论：3m =时，有重根，解集为{3}； 3m ≠时，没有重根，解集为{,3}m ．变式练习1练习2题型三：二次方程解集个数问题例变式1变式2练习1练习2练习3题型四：根据要求确定集合元素例变式练习1练习2练习3题型五：已知包含关系求参数值例1变式1 例2 变式2 练习1练习2题型六：一次不等式解集间的关系例解析：画出数轴，根据条件可得3m≤-．变式1解析：根据题意画出数轴，可知340mm≤-⎧⎨->⎩，解得3m≤-．变式2 解析：由题意，可知B是A的子集，分两种情况讨论：①B=∅，令4m m≥-，解得2m≥，B A⊆成立；·②B≠∅，即2m<时，由数轴可知3404mmm-≤⎧⇒≥⎨≥-⎩，与2m<无交集，所以无解；综上：2m≥．练习1 B，则解析：画出数轴，根据包含关系，可知1a≥．答案：1a≥练习2 已知集合{|27}A x x=-≤≤，{|121}B x m x m=+≤≤-，若B A⊆，实数m的取值范围是（）解析：分两种情况讨论：①B=∅时，B A⊆成立，此时121m m+>-，解得2m<；②B≠∅时，即2m≥时，要使B A⊆成立，画出数轴可知应满足12217mm+≥-⎧⎨-≤⎩，解得34m-≤≤，又2m≥，∴24m≤≤综合①②，4m≤．答案：4m≤题型七：二次方程解集相等的条件例变式1 变式2题型八：二次方程解集间的包含关系例A，求aA，则；24(12)a-中只有一个元素时，方程∆4，分别代入02xx⇒==⇒=变式1 练习变式2练习题型九：二次方程解集间的包含关系例解析：{|12}A x x=-≤≤,B A⊆，分两种情况讨论：①B=∅，即440k∆=-<，得1k>符合条件；②B≠∅，即1k≤时，B的解集在[1,2]-之间，令2()2f x x x k=-+，对称轴1x=在[1,2]-之内，只需满足(1)30(2)0f kf k-=+≥⎧⎨=≥⎩解得0k≥，又前提1k≤，∴01k≤≤；综上0k≥．练习1 解析：{|(1)(4)0}{|14}A x x x x x=--≤=≤≤；①当B=∅时，B A⊆成立，此时满足8180k∆=-<，解得818k>；②当B≠∅时，B中方程的两根应均在[1,4]内，设2()29f x x x k=-+，则8180(1)0(4)0kff∆=-≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，解得8178k≤≤；综上7k≥．答案：D练习2①当B =∅时，B A ⊆成立，此时满足244(2)0a a ∆=-+<，解得12a -<<； ②当B ≠∅时，B 中方程的两根应均在[1,4]内，设2()22f x x ax a =-++，它的图像是一条开口向上的抛物线，结合二次函数图像，得244(2)02142(1)30(4)7180a a a f a f a ⎧∆=-+≥⎪-⎪≤-≤⎪⎨⎪=-+≥⎪=-+≥⎪⎩，解得1827a ≤≤； 综上1817a -<≤． 答案：A题型十：集合相等例练习1 练习2题型十一：二次不等式的交集练习3 例B ．解析：{|(3)(1)0}{|13}B x x x x x =-+<=-<<，由题意画出数轴，{|03}A B x x =<<．练习1B ．，由题意画出数轴，{|0B x =题型十二：已知交并补集结果求参数值例1{0,1,2,3,9}B=当中的两个，很明显变式1}+，{3,2,0}A B=1,差3，比对并集中的数字，可知例2{3,5}B=，求a的取值．中含有元素3，则a变式1,5,}a，{5}A B=，求是两个集合的公共元素，所以a，违反了集合元素的互异性，舍去；例3{1,4}UM=两根为12,x x，变式R{|0 P x=<练习2B=（1,0,1,2}{1,0,1,2}B=-．解析：R{|0}P x x =>，0a =时31ax <恒成立，此时R Q =，不符合条件舍去，0a ≠时，1{|}3Q x x a =<，根据题意画出数轴，可得1136a =，解得2a =．练习1{2,1,4}B ={2,1,4}B =，则两个方程的根只能从这三个数中取，设A 中方程，设B 中方程，根据韦达定理12342x x x x =⎧⎨+⎩2421262x ==⨯+==练习2{3}B =，则实数{3}B =知，时，1a =，此时，不满足元素的互异性，舍去；3时，1(a ={1,3}B =，{3}B =符合条件；． 练习3 {1,2}UA =，则实数20mx +=的两个根，题型十三：已知交、并补集结果求参数范围例1RB=，求解析：根据条件画出数轴，可知m需在2的右侧，即2m>．变式16}，{|A B x=-解析：由题目条件，画出数轴，可知a应在2和6中间，研究端点处的取值，如果2a=，则A与B集合均取不到2，不符合题意，∴2a>，如果6a=，则符合题意，综上26a<≤．变式2RB=，求解析：{|31}B x x x=><-或，根据题意画出数轴，欲使RA B=，则A集合需把B集合取不到的中间区域覆盖，则3a-在1-左侧，3a+在3右侧；再讨论端点处，31a-=-时，两集合都取不到1-，∴31a-<-严格，即2a<，33a+=时，A集合可取到3，符合条件，∴33a+≥，即0a≥；综上02a≤<．例2B=∅，求解析：由条件，画出数轴，可知a在7的右侧，则7a>．变式11}a+，若{|4A B x={|47}B x=<，4a=变式2B=∅，求解析由题意知，两个集合没有交集，可分两种情况讨论：①B=∅，令21a a≥+，解得1a≤-，满足条件；②B≠∅，此时1a>-，要使A B=∅，画出数轴，可知B整体在A的左侧或者右侧；在左侧时，212a+≤，解得12a≤，又1a>-，得112a-<≤；在右侧时，7a≥，又1a>-，得7a≥；综上12a≤或7a≥．练习1RB=，则解析：A中不等式的解集不确定，需要对a进行讨论；①1a=时，2(1)()(1)0x x a x--=-≥恒成立，此时RA=，RA B=，∴1a=成立，；②1a>时，{|1}A x x x a=≤≥或，要满足RA B=，则11a-≤，即2a≤，结合前提可得12a<≤；③1a<时，{|1}A x x a x=≤≥或,要满足RA B=，则应满足1a a-≤，1a a-≤是恒成立的，所以可得1a<符合条件．综上2a≤．答案：B练习2B=∅，则22解析：分两种情况讨论：①A=∅，即23a a>+时，3a>，此时A B=∅符合题意；②A≠∅，此时3a≤，要A B=∅，通过数轴可知需满足2135a a≥-+≤且，解得122a-≤≤，综上3a>或122a-≤≤．答案：D题型十四：集合的混合运算例1)UA B．{1,3UA=，){1,5}UA B=变式,2,3,4,5,6,7}{2,4,6}，{1,4,5}B=)()U UA B．解法一：={1,3,5,7}UA={2,3,6,7}UB，则()(){3,7}U UA B=．解法二：{1,2,4,5,6}A B=，()()(){3,7}U U UA B A B==．例22{|40}A x x=-=，集合2{|40}B x x ax=++=，其中A B A B=，求a的值．B A B A B=⇒=，A集合有解，所以令两集合中方程系数相等，得5a=-．变式12{|54A x x x=-+=，集合2{|40}B x x ax=++=，其中B=∅且A B A=，{|(1)(4)x x x=--=B=∅⇒A B A=，∴令B中方程变式2{|x a x=≤≤()UA=∅，求4}<，()UB A A=∅⇒⊆，根据题意画出数轴，可得124a a ≥⎧⎨+≤⎩，解得12a ≤≤．总结：关于集合的混合运算，只需要按部就班的求交并补集即可，对于能用快速公式简化计算的，可以用一下()()()U U UA B A B =和()()()U U UA UB A B =这两个公式．由混合运算的结果分析，可以得到原始两个集合的关系，例如：A B A B A B =⇒=① A B A B A A B =∅=⇒=②且()U BA B A =∅⇒⊆③练习1 已知集合A 、B ，全集(){4}UA B =UB =（ A ．{3} B ．{4} ∅解析：由(){4}U A B =1,2,3,4}可知{1,2,3}A B =，则{3}A =或{1,2,3}，{3,4}UB ={3}UB =．练习2 2{|320}x x x ++≥，2|410}mx x m -+->，若B =∅，且B A =，则 ） 115-3} D ．172m -≥B A B A =⇒⊆，又A B =∅，0≤，解得． 练习3 B =∅，B A =，B A=⇒B=∅，时，应满足，即1m≥-题型十五：集合之间的关系例1B A=，求B A=⇒，分两种情况讨论：时，0x=违反集合中元素的互异性，舍去；时，0(x=1时，{0,2,1A=1=．例2N N=N N= M⊆，C选项符合条件．例33}x<<，12}x x<>或N=∅RN=解析：{|(1)(2)0}{|21}M x x x x x x=-->=><或，画出数轴看一下关系，可知D正确．答案：D例4B．练习1B B=，则实数B B=可知中方程至多有1解，∴时，0a=；时，a=-时，23a=；2练习2B A=，则实数B A=可知中方程至多有13时，解得时，解得m23m-=或23或练习3B=∅RB=解析：{|0}{|A x x x x==>RB=，故答案：B题型十六：点集运算问题例1 B．解析：两个集合中的元素均为对应函数上的点，所以两个集合的交集变为两个函数的交点问题，解方程组可得{(2,1)}A B=例21yx+，求AB．解析：A集合是函数1y x=+上所有点的集合，B集合是11yx=+上所有点的集合，B集合可变形为1(1)y x x=+≠-，即B中取不到点(1,0)-，其余与A一样，则{(1,0)}AB=-．{(2,1)}B=一定要小心函数解析式相同但定义域不同的情况，尤其是分式存在的情况，分母不为练习10}，则A B=______ {(,B x=2,2)}--练习2,)|1x y x+两个集合的关系是（B B．A练习3x x-AC．解析：A集合是函数1y x=+上所有点的集合，C集合是32x xyx x-=-上所有点的集合，C中分母不为0，即20x x-≠，解得01x x≠≠且，C集合可变形为1(01)y x x x=+≠≠且，即C中取不到点(0,1)(1,2)和，其余与A一样，则{(0,1),(1,2)}AC=．练习4M=∅，求解析：B集合是11yx=+上所有点的集合，B集合可变形为1(1)y x x=+≠-，即B是取不到点(1,0)-的函数，要使B M=∅说明两直线没有交点，可分两种情况：①两直线平行时，满足斜率相等，即1k=时，成立；②直线1y kx=-过(1,0)-，带入可得1k=-，成立；综上：1k=±．题型十七：用Venn图计算集合例1例2(){2,3}U B =(){0,6}U A =)(){1,7}U U A B =解析：{0,1,2,3,4,5,6,7}U =，画出Venn 图，可知{2,3,4,5}A ={4,5,0,6}B =．总结：对于比较复杂的数字问题，可以画出Venn 图来辅助解题，通常需要设一个未知数x ，根据条件精确的标出交并补集中各个部分的数据，最后解出x 的值． 注意Venn 图和公式()()()U U UA B A B =以及()()()U U UA UB A B =的综合运用，对于有大量交并补集条件的题目，首先画Venn 图，然后考虑有没有可以用公式的地方，最后把条件标在相应的位置，问题迎刃而解． ()()()U U UA B A B ⇔先补后交等于先并后补，反之亦然．练习1 某次考试，数学及格28人，物理及格数学化学都及格15人，物理化学都及格化都及格多少人？练习2 解析：设两项都参加的人数为x，则只参加甲的人数为30x-，只参加乙的人数为25x-，总人数为(30+(25)50x x x-+-=），解得5x=，所以仅参加了一项活动的人数为50545-=人．答案：B练习3(){2,3}UB=(){0,6}UA=)(){1,7}U UA B=解析：{0,1,2,3,4,5,6,7}U=，画出Venn图，可知{2,3,4,5}A={4,5,0,6}B=．练习4B中有m()()U UA B中有n B非空，B的元素m+n C．m-n)()()U U UA B A B=，由Venn图可知()UA B为图中阴影部分，有个元素，总数个元素，则中间白色部分A B的个数即为m-n个．答案：D数学浪子整理制作，侵权必究。
高一数学集合经典题型归纳总结
高一数学必修1各章知点第一章会合与函数观点一、会合相关观点1.会合的含2.会合的中元素的三个特征：(1)元素确实定性如：世界上最高的山(2)元素的互异性如：由 HAPPY 的字母成的会合 {H,A,P ,Y}(3)元素的无序性 : 如： {a,b,c} 和 {a,c,b} 是表示同一个会合：元素的互异性是参照点，经常在求出的候必代回会合观察能否足会合中元素能否有重复象，进而决定的弃取。
元素与会合之的关系：属于--不属于--常有会合N Z R Q加星号或许+号表示会合的正的会合3.会合的表示：{ ⋯ } 如： {我校的球}， {太平洋 ,大西洋 ,印度洋 ,北冰洋 }(1)用拉丁字母表示会合： A={ 我校的球 },B={1,2,3,4,5}(2)会合的表示方法：列法与描绘法。
注意：常用数集及其法：非整数集（即自然数集）作： N正整数集N* 或 N+整数集Z有理数集Q数集R1 ）列法： {a,b,c ⋯⋯ }2 ）描绘法：将会合中的元素的公共属性描绘出来，写在大括号内表示会合的方法。
{x R| x-3>2} ,{x| x-3>2}3 ）言描绘法：例：{不是直角三角形的三角形}4 ） Venn:往常元素是很详细的的候，或许在观察抽象会合之的关系的候，我经常考用venn 来表示。
4、会合的分：(1)有限集含有有限个元素的会合(2)无穷集含有无穷个元素的会合(3)空集不含任何元素的会合，空集在会合个章中特别重要，特是在会合之的关系的中常出，很简单考掉空集。
例：{x|x 2=－ 5｝二、会合的基本关系1.“包括”关系—子集注意： A B 有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一会合。
反之 : 会合 A 不包括于会合B,或会合 B 不包括会合A, 记作 A B 或 B A2 ．“相等”关系： A=B(5 ≥5 ，且 5 ≤5，则 5=5)实例：设A={x|x 2-1=0}B={-1,1}“元素同样则两会合相等”即：①任何一个会合是它自己的子集。
高一数学集合经典题型
高一数学集合经典题型一、集合的基本概念题型1. 题型描述•这类题型主要考查对集合定义、元素特征的理解。
例如，判断给定的对象是否能构成集合，或者根据集合元素的确定性、互异性、无序性来解决问题。
•例：下列对象能构成集合的是（）A. 接近于0的数B. 著名的科学家C. 平面直角坐标系内所有的点D. 所有的正三角形•答案与解析：•答案：C、D。
•解析：选项A中“接近于0的数”不具有确定性，因为多接近算接近于0不明确；选项B中“著名的科学家”，著名的标准不明确，不满足集合元素的确定性。
而选项C中平面直角坐标系内所有的点是确定的，选项D中所有的正三角形也是确定的，可以构成集合。
2. 元素与集合的关系题型•题型描述•重点考查元素与集合之间的属于（∈）和不属于（∉）关系。
通常会给出一个集合和一些元素，让考生判断元素是否属于该集合。
•例题•设集合 A = {x|x是小于10的素数}，则3____A，4____A。
•答案与解析•答案：3∈A，4∉A。
•解析：素数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。
小于10的素数有2、3、5、7，所以3属于集合A，4不属于集合A。
二、集合的表示方法题型1. 列举法与描述法的转换题型•题型描述•要求考生能够熟练地在列举法和描述法之间进行转换。
例如，将用描述法表示的集合转换为列举法，或者反之。
•例题•把集合A={x|x²• 5x + 6 = 0}用列举法表示。
•答案与解析•答案：A = {2,3}。
•解析：先解方程x²•5x+6 = 0，即(x•2)(x•3)=0，解得x = 2或x = 3，所以用列举法表示集合A为{2,3}。
2. 用描述法表示集合题型•题型描述•根据给定的元素特征，用描述法准确表示集合。
•例题•用描述法表示所有偶数组成的集合。
•答案与解析•答案：{x|x = 2n,n∈Z}。
•解析：偶数可以表示为2乘以一个整数，所以用描述法表示为{x|x = 2n,n∈Z}，其中Z表示整数集。
【高中数学】《集合》高考常考题型(后附解析)
《集合》常考题型题型一．通过集合的关系求参数范围1．已知集合2{|320}A x x x =−+=，22{|2(1)(5)0}B x x a x a =−++−=，A B A =，实数a 的取值范围是 ． 2．已知全集U R =，集合{|25}A x x =−，{|121}B x a x a =+−，且U A B ⊆，实数a 的取值范围是 ． 3．已知集合2{|10}A x R x ax =∈++=和{1B =，2}，且A B ⊆，则实数a 的取值范围是 ． 题型二．子集个数问题4．用d （A ）表示集合A 中的元素个数，若集合22{|()(1)0}A x x ax x ax =−−+=，{0B =，1}，且|d （A ）d−（B ）|1=．设实数a 的所有可能取值构成集合M ，则()(d M = )A ．3B ．2C ．1D ．4 题型三．集合与元素的关系5．设A 是非空数集，0A ∉，1A ∉，且满足条件：若a A ∈，则11A a∈−． 证明：（1）若2A ∈，则A 中必还有另外两个元素；（2）集合A 不可能是单元素集；（3）集合A 中至少有三个不同的元素．参考答案1．已知集合2{|320}A x x x =−+=，22{|2(1)(5)0}B x x a x a =−++−=，AB A =，求实数a 的取值范围．【解答】解：由2320x x −+=解得1x =，2．{1A ∴=，2}．A B A =，B A ∴⊆． 1B ︒=∅，△8240a =+<，解得3a <−．2︒若{1}B =或{2}，则△0=，解得3a =−，此时{2}B =−，不符合题意．3︒若{1B =，2}，∴2122(1)125a a +=+⎧⎨⨯=−⎩，此方程组无解． 综上：3a <−．∴实数a 的取值范围是(,3)−∞−．2．已知全集U R =，集合{|25}A x x =−，{|121}B x a x a =+−，且U A B ⊆，求实数a 的取值范围． 【解答】解：{|121}B x a x a =+−，且U A B ⊆，B ∴=∅，或211a a −>+，解得2a >， ①{|1U B x x a =<+，或21}x a >−，∴251a a ⎧⎨<+⎩或2212a a ⎧⎨−<−⎩， 解得4a >或a ∈∅．此时实数a 的取值范围为4a >．②当B =∅，U B R =，满足U A B ⊆，121a a ∴+>−，解得2a <．综上可得：实数a 的取值范围为4a >或2a <．3．已知集合2{|10}A x R x ax =∈++=和{1B =，2}，且A B ⊆，则实数a 的取值范围是[2−，2)． 【解答】解：因为A B ⊆，所以A =∅或{1}A =，{2}A =或{1A =，2}． 若A =∅，则△240a =−<，解得22a −<<．若{1}A =应有△240a =−=且110a ++=，解得2a =−．若{2}A =时，应有△240a =−=且4210a ++=，此时无解． 若{1A =，2}，则1，2是方程210x ax ++=的两个根，所以由根与系数的关系得121⨯=，显然不成立．综上满足条件的实数a 的取值范围是22a −<．故答案为：[2−，2)．4．用d （A ）表示集合A 中的元素个数，若集合22{|()(1)0}A x x ax x ax =−−+=，{0B =，1}，且|d （A ）d−（B ）|1=．设实数a 的所有可能取值构成集合M ，则()(d M = )A ．3B ．2C ．1D ．4【解答】解：由题意，d （B ）2=，|d （A ）d −（B ）|1=，d ∴（A ）1=或3， 方程22()(1)0x ax x ax −−+=可化为20x ax −=或210x ax −+=， 即0x =或x a =或210x ax −+=，①若d （A ）1=，则方程22()(1)0x ax x ax −−+=有且只有一个解，故0a =，此时方程22(1)0x x +=有且只有一个解；②若d （A ）3=，则方程22()(1)0x ax x ax −−+=有三个不同的解，则2040a a ≠⎧⎨−=⎩，解得，2a =±， 经检验，2a =±时，方程22()(1)0x ax x ax −−+=有三个不同的解，综上所述，{0M =，2−，2}，故()3d M =， 故选：A ．5．设A 是非空数集，0A ∉，1A ∉，且满足条件：若a A ∈，则11A a ∈−． 证明：（1）若2A ∈，则A 中必还有另外两个元素；（2）集合A 不可能是单元素集；（3）集合A 中至少有三个不同的元素．【解答】解：（1）若2A ∈，则1112A =−∈−，于是()11112A =∈−−， 故集合A 中还含有1−，12两个元素． （2）若A 为单元素集，则11a a =−，即210a a −+=，此方程无实数解，∴11a a≠−， ∴a 与11a−都为集合A 的元素，则A 不可能是单元素集． （3）由A 是非空集合知存在1111111a a A A A a a a−∈⇒∈⇒=∈−−−−． 现只需证明a 、11a −、1a a−−三个数互不相等． ①若21101a a a a =⇒−+=−，方程无解，∴11a a≠−； ②若2110a a a a a −=⇒−+=−，方程无解；∴1a a a−≠−； ③若211101a a a a a −=⇒−+=−−，方程无解，∴111a a a −≠−−， 故集合A 中至少有三个不同的元素．。
高一数学集合典型例题、经典例题
《集合》常考题型题型一、集合元素的意义+互异性例1.1.设集合｛0｝例1.2.已知A ＝{2，4，a 3－2a 2－a ＋7}，B ＝{1，a ＋3，a 2－2a ＋2，a 3＋a 2＋3a ＋7}，且A ∩B ＝{2，5}，则A ∪B =____________________________解：∵A∩B ＝{2，5}，∴5∈A.∴a 3－2a 2－a ＋7＝5解得a ＝±1或a ＝2.①若a ＝－1，则B ＝{1，2，5，4}，则A∩B ＝{2，4，5}，与已知矛盾，舍去．②若a ＝1，则B ＝{1，4，1，12}不成立，舍去．③若a ＝2，则B ＝{1，5，2，25}符合题意．则A ∪B ＝{1，2，4，5，25}．题型二、空集的特殊性例2.1.已知集合{}{}25,121A x x B x m x m =-<≤=-+≤≤-，且B A ，则实数m 的取值X 围为_____________例2.2.已知集合{}R x x ax x A ∈=++=，012，{}0≥=x x B ，且φ=B A ，XX 数a 的取值X 围。
解：①当0a =时，{|10,}{1}A x x x R =+=∈=-，此时{|0}A x x ≥=Φ；②当0a ≠时，{|0}A x x ≥=Φ，A ∴=Φ或关于x 的方程210ax x ++=的根均为负数.〔1〕当A =Φ时，关于x 的方程210ax x ++=无实数根，140a ∆=-<，所以14a >. 〔2〕当关于x 的方程210ax x ++=的根均为负数时，12121401010a x x a x x a ⎧⎪∆=-≥⎪⎪+=-<⎨⎪⎪⋅=>⎪⎩140a a ⎧≤⎪⇒⇒⎨⎪>⎩104a <≤. 综上所述，实数a 的取值X 围为{0}a a ≥.题型三、集和的运算{}{}2|22,|,12,A x x B y y x x A B =-≤==--≤≤=则例3.1.设集合S ＝{x |x >5或x <－1}，T ＝{x |a <x <a ＋8}，S ∪T ＝R ，则a 的取值X 围是________________－3<a <－1例3.2.集合M={x |x =k 2+13，k ∈Z}，N={x |x =k +13，k ∈Z}，则〔C 〕A.M=NB.M ⊆NC.N ⊆MD.M∩N=∅解：∵M 中：x =k 2+13={n +13，k =2n ，n ∈Z n +56，k =2n +1，n ∈Z； N 中：x =k +13=n +13，k =n ∈Z ，∴N ⊆M ．故选：C ．例3.3.全集(){}R y x y x U ∈=,|,，集合()⎭⎬⎫⎩⎨⎧=-+=122|,x y y x M ，(){}4|,-≠=x y y x N ， 则()()N C M C U U 等于__{})22(，______________题型四、创新题例4.1.定义集合A 与B 的运算A*B={x |x ∈A 或x ∈B ，且x ∉A ∩B}，则(A*B)*A 等于〔D 〕A.A ∩BB.A ∪BC.AD.B 解：如图，A*B 表示的是阴影部分，设A*B=C ，根据A*B 的定义可知：C*A=B ，所以(A*B)*A=B ，故答案为D 例4.2.定义一个集合的所有子集组成的集合叫做集合A 的幂集，记为，用表示有限集的元素个数，给出下列命题：①对于任意集合，都有()A P A ∈；②存在集合A ，使得()[]3=A P n ；③用∅表示空集，若，则()()∅=B P A P ；④若B A ⊆，则()()B P A P ⊆；⑤若，则.其中正确的命题为_①④⑤_________〔填序号〕 对于命题①，，因此，命题①正确；对于命题②，若集合的元素个数为m ，则集合的子集共m2个，若，则 A ()A P ()A n A A ∅=B A ()()1=-B n A n ()[]()[]B P A P n ⨯=2A A ⊆()A P A ∈A A ()[]3=A P n，解得N m ∉=3log 2，命题②错误；对于命题③，若∅=B A ，由于A ⊆∅，B ⊆∅，因此，()B P ∈∅，所以 ，则，命题③错误；对于命题④，若，对集合的任意子集A E ⊆，即对任意()A P E ∈，则B E ⊆， 则()B P E ∈，因此，命题④正确；对于命题⑤，设()n B n =，则()1+=n A n ，则集合的子集个数为，即，集合的子集个数为，即()[]n B P n 2=，因此，命题⑤正确，故正确的命题为①④⑤_变式训练：1.已知集合，集合，若，则实数 12.设集合M ＝{x |x ＜3}，N ＝{x |x ＞－2}，Q ＝{x |x －a ≥0}，令P ＝M ∩N ，若P ∪Q ＝Q ， 则实数a 的取值X 围为__________________解：P ＝M ∩N ＝{x |－2＜x ＜3}，Q ＝{x |x ≥a }，∵P ∪Q ＝Q ，∴P ⊆Q .∴a ≤－2，即实数a 的取值X 围是{a |a ≤－2}3.若集合{2，3}≠⊂M ≠⊂{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，则集合M 共有__________个。
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高一数学集合经典题型归纳汇总————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：高一数学必修1各章知识点总结第一章集合与函数概念一、集合有关概念1.集合的含义2.集合的中元素的三个特性：(1)元素的确定性如：世界上最高的山(2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}(3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合总结：元素的互异性是参考点，常常在求出值的时候必须代回集合察看是否满足该集合中元素是否有重复现象，从而决定值的取舍。
元素与集合之间的关系：属于-- 不属于--常有集合N Z R Q 加星号或者+号表示对应集合的正的集合3.集合的表示：{ …} 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}(2)集合的表示方法：列举法与描述法。
注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R1）列举法：{a,b,c……}2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
{x R| x-3>2} ,{x|x-3>2}3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}4）Venn图:通常元素是很具体的值的时候，或者在考察抽象集合之间的关系的时候，我们常常考虑用venn图来表示。
4、集合的分类：(1)有限集含有有限个元素的集合(2)无限集含有无限个元素的集合(3)空集不含任何元素的集合，空集在集合这个章节中非常重要，特别是在集合之间的关系的题中经常出现，很容易考虑掉空集。
例：{x|x2=－5｝二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意：BA⊆有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A⊆/B或B⊇/A2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”即：①任何一个集合是它本身的子集。
A⊆A②真子集:如果A⊆B,且A≠ B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)③如果A⊆B, B⊆C ,那么A⊆C④如果A⊆B 同时B⊆A 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集，非空真子集个数2n-1三、集合的运算运算类型交集并集补集定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作A I B（读作‘A交B’），即A I B=｛x|x∈A，且x∈B｝．由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：A Y B（读作‘A并B’），即A Y B ={x|x∈A，或x∈B})．设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）记作ACS，即C S A=},|{A x S x x ∉∈且韦 恩 图 示A B图1AB图2性 质A I A=A A I Φ=Φ A I B=B I A A I B ⊆A A I B ⊆BA Y A=A A Y Φ=A A Y B=B Y A A Y B ⊇Ａ A Y B ⊇B(C u A) I (C u B)= C u (A Y B) (C u A) Y (C u B)= C u (A I B) A Y (C u A)=U A I (C u A)= Φ．例题：1.下列四组对象，能构成集合的是 （ ） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数2.集合{a ，b ，c }的真子集共有 个3.若集合M={y|y=x 2-2x+1,x ∈R},N={x|x ≥0}，则M 与N 的关系是 .4.设集合A=}{12x x <<，B=}{x x a <，若A ⊆B ，则a 的取值范围是5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人。
6. 用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合M= .7.已知集合A={x| x 2+2x-8=0}, B={x| x 2-5x+6=0}, C={x| x 2-mx+m 2-19=0}, 若B ∩C ≠Φ，A ∩C=Φ，求m 的值SA第一节集合一 元素互异性的考察1由实数x ，－x ，｜x ｜所组成的集合，其元素最多有______个．2集合{3，x ，x 2－2x }中，x 应满足的条件是______．3、已知集合S={}c b a ,,中的三个元素分别是ABC ∆的三边长，那么ABC ∆一定不是（ ） A. 锐角三角形 B.直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形4由实数x,-x,|x|,2x ,-33x 所组成的集合，最多含有元素的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 55、设a 、b 、c 为非零实数，则x=abc abc c c b b a a +++的所有值组成的集合为（ ）A.{}4B. {}4-C. {}0D. {}4,4,0-二元素与集合之间的关系的考察1对于集合A ＝{2，4，6}，若a ∈A ，则6－a ∈A ，那么a 的值是______2．设A 表示集合{2，3，a 2＋2a －3}，B 表示集合{a ＋3，2}，若已知5∈A ，且5∉B ，求实数a 的值．3设a 、b ∈Z ，E ＝{(x ,y )|(x －a )2＋3b ≤6y }，点(2，1)∈E ，但(1，0)∉E ，(3，2)∉E 。
求a 、b 的值。
4给出下列关系：（１）;R =12（２）2;Q ∉ （３）3;N +-∉ （４）3.Q -∈其中正确的个数为 （ ）Ａ．１个 Ｂ．２个Ｃ．３个Ｄ．４个5若 ，求实数的值。
三一元二次方程与集合1已知集合A ＝{x ｜ax 2－3x ＋2＝0}，其中a 为常数，且a ∈R①若A 是空集，求a 的范围；②若A 中只有一个元素，求a 的值；③若A 中至多只有一个元素，求a 的范围．2已知集合A ＝{p ｜x 2＋2(p －1)x ＋1＝0，x ∈R }，求集合B ＝{y ｜y ＝2x －1，x ∈A }．3若方程x 2＋mx ＋n ＝0(m ，n ∈R )的解集为{－2，－1}，则m ＝______，n ＝______．4、集合{}02|2=+-m x x x 含有两个元素，则实数m 满足的条件为＿＿5若集合A ＝{x ｜x 2＋(a －1)x ＋b ＝0}中，仅有一个元素a ，则a ＝______，b ＝______．6设一元二次方程ax 2+bx+c=0(a<0)的根的判别式042=-=∆ac b ，则不等式ax 2+bx+c ≥0的解集为（ ）A 、RB 、φC 、{a b x x 2-≠} D 、{ab2-}7、若方程8x 2+(k+1)x+k-7=0有两个负根，则k 的取值范围是8、已知方程x 2-(k 2-9)+k 2-5k+6=0的一根小于1，另一根大于2，求实数k 的取值范围。
9已知集合A={}.,0232R a x ax R x ∈=+-∈1）若A 是空集，求a 的取值范围；2）若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来； 3）若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围10若集合只有一个元素，则实数的值为11M ={x |x 2＋2x －a =0，x ∈R}≠φ，则实数a 的取值范围是 ……………………………………（ ）(A)a ≤－1 (B ) a ≤1 (C ) a ≥－1 (D ) a ≥1.12已知集合A ={x |x 2－p x ＋15=0}，B ={x |x 2－5x ＋q =0}，如果A ∩B ={3}，那么p ＋q = .四提示元素的考察，我们看集合的时候注意提示元素，提示元素决定了集合的元素 1用列举法把下列集合表示出来：①A =};99|{N N ∈-∈xx ②B =};|99{N N ∈∈-x x③C ＝{y ｜y ＝－x 2＋6，x ∈N ，y ∈N }；④D ＝{(x ，y )｜y ＝－x 2＋6，x ∈N ，y ∈N }； ⑤E ＝⋅∈∈=+=*},,5,|{N N q p q p x qpx2 A=(){}**,,4|,N y N x y x y x ∈∈=+;B=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈+Z x Z x |163设集合B=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+∈N x N x 26|（1）试判断实数1、实数2与集合B 的关系； （2）用列举法表示集合B 。
2、方程组﹛13=+=-y x y x 的解集是（ ）A. {}1,2-==y xB. {}1,2-C.(){}1,2-D.()2,1-3方程组﹛01022=--=-+y x y x 的解集是①{}0,1; ②{}0y 1==或x ; ③(){}0,1 ④(){}0y 1|y x ==且，x .其中正确表示的是（ ）A. ①②B. ①③C. ②③D. ③④4方程x 2-5x+6=0的解集可表示为方程组的解集可表示为⎩⎨⎧=-=+0231332y x y x5已知全集⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈-=Z a N a a M 且56|,则M=( )A 、{2，3}B 、{1，2，3，4}C 、{1，2，3，6}D 、{-1，2，3，4}五对应下列的类型题最好取对应的一系列的值1．已知M ＝{m ｜m ＝2k ，k ∈Z }，X ＝{x ｜x ＝2k ＋1，k ∈Z }，Y ＝{y ｜y ＝4k ＋1，k ∈Z }，则( )A ．x ＋y ∈MB ．x ＋y ∈XC ．x ＋y ∈YD ．x ＋y ∉M2集合A={x Z k k x ∈=,2} B={Z k k x x ∈+=,12} C={Z k k x x ∈+=,14}又,,B b A a ∈∈则有（ ）A 、（a+b ）∈ AB 、 (a+b) ∈BC 、(a+b) ∈ CD 、 (a+b) ∈ A 、B 、C 任一个一、子集、真子集、非空真子集个数的考察1集合{1，2，3}的真子集共有（ ） A 、5个 B 、6个 C 、7个 D 、8个2集合{a,b,c}的所有子集是 真子集是 ；非空真子集是3满足条件{1,2,3}⊂≠M ⊂≠{1,2,3,4,5,6}的集合M 的个数是（ ）A 、8B 、7C 、6D 、54若｛1，2，3｝A ⊆｛1，2，3，4｝，则A ＝______二、集合与集合的关系，特殊的条件：1设集合A={23≤≤-x x },B={x 1212+≤≤-k x k },且A ⊇B ，则实数k 的取值范围是 。