马尔可夫性与马尔可夫链
马尔可夫链
例7 设马氏链{Xn}的状态空间为 I={1, 2, 3, 4, 5}， 转移概率矩阵为
1 2
1
2
0 0
0
1 2
1 2
0
0
0
P 0 0 1 0 0
3 / 16 . 1/ 4
于是: (1) P{X0 0, X2 1}
P{ X0 0}P{ X2 1 | X0 0} 1 5 5 ;
3 16 48
2020年5月21日星期四
(2)P{X2 1}
P{X0 0}P{X2 1 | X0 0} P{X0 1}P{X2 1 | X0 1}
显然有
p(n) 11
p(n) 21
P(n)
p(n j1
)
L
p(n) 12
p(n) 22
p(n) 1j
L
p(n) 2j
L
p(n) j2
p(n) jj
L
LL
L
(1)
0
p(n) ij
1
(2)
p(n) ij
1,
i
1,
2,L
j
2020年5月21日星期四
切普曼-柯尔莫哥洛夫方程(C-K方程): 对任意的m,n≥0,有
的矩阵
p11 p21
P
L
pj1 L
p12 L p22 L LL pj2 L LL
p1 j L
p2 j L
L
L
p jj L
L L
称为一步转移概率矩阵. 显然有
(1) 0 pij 1
(2)
pij 1, i 1, 2,L
j
2020年5月21日星期四
3、马尔可夫链举例
马尔可夫链课件
PPXX00 ii00，X1PXi1，1L，i1 |XXk01 ii0k1L PXk 马ik |氏Xk性1 ik1 P X k ik |X 0 i0，X1 i1，L ，X k 1 ik 1
P即X马0尔 i可0，夫X链1 {i1，XLn，，Xn k10}i的k1有 限维分布完全由初始
分布PPX{kX0 ik|Xi}k1 和 ik条1件概率 P{Xn j | Xn1 i} 确定.
PX 0 i0，X1 i1，L ，X k 2 ik 2
马氏性
P X k 1 ik 1 | X 0 i0，L ，X k 2 ik 2
P X k ik |X k 1 ik 1
• 第一节 基本概念 • 第二节 状态的分类及性质 • 第三节 极限性态及平稳分布 • 第四节 Markov链的应用
第一节 基本概念
一、Markov链的定义 二、转移概率 三、Markov链的例子 四、n步转移概率，C-K方 程
第一节 基本概念
一、Markov链的定义
马尔可夫性(无后效性)
过程(或系统)在时刻t0所处的状态为已知的条件下，过程在时 刻t>t0所处状态的条件分布与过程在时刻t0之前所处的状态无关。
则称 {Xn，n 0}为齐次马尔可夫链，称 pij 为从状态 i 转移到状态 j 的一步转移概率.
若马尔科夫链 {Xn，n 0}的状态空间是有限集，则 称 {Xn，n 0}为有限状态的马尔科夫链；
若马尔科夫链 {Xn，n 0}的状态空间是可列集，则 称 {Xn，n 0}为可列状态的马尔科夫链.
是状态有限的马尔科夫链. 1.求其一步转移概率矩阵； 2.若 0.7， 0.4 ，且今天有雨，求第四天有雨的
概率.
四、n步转移概率、C-K方程
马尔可夫性质
泊松过程与排队论应用
01
泊松过程在排队论中的角色
泊松过程是一种重要的随机过程，在排队论中广泛应用于描述顾客到达
的规律。
02
排队系统的性能指标
排队系统的性能指标包括平均队长、平均等待时间、系统利用率等，这
些指标可以通过泊松过程和其他随机过程进行建模和分析。
03
排队论在实际应用中的价值
排队论在实际应用中具有广泛的价值，如电信网络中的呼叫中心、交通
03
序列生成与预测
利用马尔可夫模型对序列数据的建模 能力，结合深度学习等技术，可以实 现更加准确的序列生成和预测。
THANKS
感谢观看
稳态概率分布求解
对于非齐次、非遍历性马尔可夫模型，如何求解稳态概率分布是一 个重要的问题。
深度学习等新技术融合创新
01
深度学习与马尔可夫 模型融合
利用深度学习强大的特征提取和表示 学习能力，可以改进传统马尔可夫模 型的性能。
02
强化学习与马尔可夫 决策过程
将强化学习算法与马尔可夫决策过程 相结合，可以实现更加智能的决策和 控制。
马尔可夫性质
汇报人： 2024-02-06
目录 CONTENTS
• 马尔可夫性质概述 • 马尔可夫链基本概念 • 马尔可夫性质在随机过程中应用 • 马尔可夫性质在信息科学中应用 • 马尔可夫性质在金融领域应用 • 马尔可夫性质挑战与未来发展
01
马尔可夫性质概述
CHAPTER
定义与基本思想
马尔可夫性质是指在给定现在状 态下，过去的信息与未来状态无 关，即未来只依赖于现在，而与
非线性、非高斯问题
复杂系统往往呈现出非线性和非 高斯特性，这使得基于线性高斯 假设的马尔可夫模型不再适用。
人教版A版高中数学选修4-9：马尔可夫性与马尔可夫链_课件1
pN ,1 p,
p1,N q,
我们可以用通俗的语言来描述马尔可夫性：
我们把“n”看成“现在”，则“n+1”则是“未 来”，小于n的整数看成是“过去”。那么，在 已知现在状态的情况下，将来的随机变化规律和 过去的状态无关。
在现实生活中，有很多随机变量序列都具有马尔 可夫性。一般地，我们将这种具有马尔可夫性的 随机变量序列为马尔可夫链，并把序列中的随机 变量的所有可能取值的集合称该马尔可夫链的状 态空间。
N
j 0, j 1的唯一解.
j1
在现实生活中，我们所探讨的问题的状态可能会 随时改变。一台旧摆钟，它时而准时，时而不准 时。随着时间的变化，它会从“不准时”变成 “准时”状态，经过人为调整后，摆钟又可以从 “不准时”变成“准时”状态。像这种状态随时 间的推移而改变的决策问题就会变得复杂。
马尔可夫性与 马尔可夫链
重点与难点
1.重点
马氏链n步转移概率的确定
2.难点
有限维分布律的计算方法 遍历性问题
马尔可夫过程
具有马尔可夫性的随机过程称为马尔可夫过程。
马尔可夫性(无后效性) 过程或(系统)在时刻t0所处的状态为已知的
条件下,过程在时刻t t0所处状态的条件分布与 与过程在时刻t0之前所处的状态无关的特性称为 马尔可夫性或无后效性。
当状态随着时间的推移而转化时，我们采用马尔 可夫链处理这一类问题。
典型例题
例1 艾伦非斯特(Ehrenfest )模型
设一个坛子装有c个球,它们或是红色的,或 是黑色的.从坛中随机地摸出一个球,并装入一个 另一种颜色的的球, 经过n次摸换, 研究坛中的黑 球数. 解 以Xn,n 1表示第n次摸球后坛中的黑球数.
3 16 2 16 24
马尔可夫链
三.有限维概率分布 马尔可夫链{ X ( t ), t t
0
, t 1 , t 2 , }在初始时刻t 0 的概率
分布:
p j ( t 0 ) P { X ( t 0 ) j },
j 0 ,1, 2 ,
称为初始分布. 初始分布与转移概率完全地确定了马尔可夫链的 任何有限维分布.下面的定理二正是论述这一点. 不妨设齐次马尔可夫链的参数集和状态空间都是 非负整数集,那么有如下定理。
P { X ( k 1 ) j1 , X ( k 2 ) j 2 , , X ( k n ) j n }
p i ( 0 ) p ij1 1 p j1 j22
(k )
( k k1 )
p j n n1 j n n 1
(k k
)
i0
(13.9)
例6 在本节例5中,设初始时输入0和1的概率分别为 1/3和2/3,求第2、3、6步都传输出1的概率.
t 2 t n t n 1
和 S 内任意 n 1 个状态
j1 , j 2 , , j n , j n 1 , 如果条件概率
P { X ( t n 1 ) j n 1 | X ( t 1 ) j1 , X ( t 2 ) j 2 , , X ( t n ) j n }
二：马尔可夫链的分类 状态空间 S 是离散的(有限集或可列集),参数集 T 可为离散或连续的两类. 三：离散参数马尔可夫链 （1）转移概率 定义2 在离散参数马尔可夫链{ X ( t ), t 中,条件概率 P { X ( t
m 1
t 0 , t 1 , t 2 , , t n , }
1
关键词无后效性马尔可夫性齐次马尔可夫链n步转移
pi 0 Pii1 t1 Pi1i2 t2 t1
P t t in1in n
n1
i 1
有限维分布完全由初始分布和转移概率所确定 21
§2 多步转移概率的确定
C K方程
Pij u v Pik u Pkj v k 1
ak
aj
ai
0 s su suv t
22
C K方程的证明：
齐次性
＝＝＝ Pik u Pkj v k 1
证毕！
23
Pi1 u Pi2 u Pi3 u 是u步转移概率矩阵的第i行，
P1 j v P2 j v P3 j v T 是v步转移概率矩阵的第j列，
C K方程可以写成矩阵形式：P u v P u P v
•Pn Pn
有限维分布由初始分布与一步转移概率完全确定
9
例1：(0-1传输系统)
X0
1
X1
2
… X2
Xn-1
n
Xn …
设是程各第，级n状级的态的传空输真间出率I(=为n{≥0p,，11)}.误，那码么率{为Xqn,=n1=-0p,。1X,02是…初}是始一输随入机，过Xn
关当，X而n=与i为时已刻知n以时前，所Xn处+1所的处状的态状无态关的，概所率以分它布是只一与个X马n=氏i有 链，而且还是齐次的.
13
等候室 服务台
随机到达者
离去者
系统
现用马氏链来描述这个服务系统： 设Xn=X(n⊿t)表示时刻n⊿t时系统内的顾客数
，即系统的状态。{Xn,n=0,1,2…}是一随机过程，状 态空间I={0,1,2,3},且如前例1、例2的分析可知，它 是一个齐次马氏链，它的一步转移概率矩阵为：
0
马尔可夫与马尔可夫链
第19讲 马尔可夫过程 与马尔可夫链
一、马尔可夫过程
1. 马尔可夫性
过程（或系统）在时刻t0 所处的状态为已知的条件下，
过程在时刻t>t0所处状态的条件分布与过程在时刻t0之前 所处的状态无关,这种性质称为马尔可夫性或无后效 性．
马尔可夫链。同时开创了对一种无后效性的随机过程——马尔可夫
过程的研究。马尔可夫过程在自然科学、工程技术和公用事
第十一章 马尔可夫链
马尔可夫（Markoff）过程是无后效性的随机过程，现 已成为内容十分丰富，理论相当完整，应用十分广泛的 一门数学分支．由于马尔可夫过程的理论在近代物理、 生物学、分子遗传学、自动控制、管理科学、信息处理 以及数字计算方法等方面都有重要应用．使得现代科学 家及工程技术人员越来越重视马尔可夫过程的理论 及应用研究。本章讨论以下五个问题：
P { X m n a j|X t1 a i1 ,X t2 a i2 ,L ,X tr a ir,X m a i}
P { X m n a j|X m a i} ,
(11.1)
则称{Xn, nT1}为一个马尔可夫链．马尔可夫链也简称为
马氏链．
定义11.3 设{Xn, nT1}为马尔可夫链，其状态为a1, a2,… ．则称条件概率
证 根据条件X(a)=0及随机变量相互独立性可知
X(tn) 与X(tn1) X (t，i),i 1 ,2 ,L,n 1
相互独立.
因此对任意的 x1,x2,，,x有n1
P { X ( t n ) x n | X ( t 1 ) x 1 , X ( t 2 ) x 2 , L , X ( t n 1 ) x n 1 ) P { X ( t n ) X ( t n 1 ) x n x n 1 | X ( t 1 ) x 1 , L , X ( t n 1 ) x n 1 } P { X ( tn ) X ( tn 1 ) x n x n 1 } ,
人教版A版高中数学选修4-9马尔可夫性与马尔可夫链
间
，对任一
（ N一般包含有限或者可列无穷个非
负整数 ) ，有
则称为马尔可夫链。 直观意义
举例
家族消失问题
–高尔顿、瓦特森曾研究，斯蒂芬森给 出了完整解。
基因突变
–知道群体的现在，群体的将来与过去 无关。
邮件员模型
–处理状态机一类问题
马尔可夫链——转移概率
引入转移概率：
表示已知在时刻 m 系统处于状态 ，或 说 取值 的条件下，经 ( n-m ) 步转
不会再做任何的游走。其余各点与上题 同。
（有限赌资的输光问题）
转移概率矩阵
艾伦费斯特模型
该模型可以用一个模型来说明。设一个 坛中装有c个球，它们或是红色的，或者 黑色的。随机地从坛子中取出一个球， 并换以另一个颜色的球放回坛中。经过n 次摸换，研究坛中的黑球数。
马尔可夫序列
1、马尔可夫序列 基本定义 2、齐次性与平稳性 3、马尔可夫序列的性质
点的位置，则
是一个随机过程。
并且当
时，
等在时刻n后质
点所处的状态仅与
有关，而与时刻n以前
的状态无关，故它是一个齐次马尔可夫链。
随机游走－转移概率矩阵
一步转移概率
n步转移概率
带有两个反射壁的随机游走
考虑一个质点在直线段上作随机游 走，直线段的两个终端为反射壁，此随
机游走所取得的状态空间为 I={ 0 , 1 , 2 , … , c } 。其中0状态和 c
k
p(r) kj
(n
m)
j
l
tn
tnm
tnmr
齐次马尔可夫链－CK方程
p(mr ) ij
p(m ik
马尔可夫链的基本概念与应用实例
马尔可夫链的基本概念与应用实例马尔可夫链是一种数学模型，用于描述一个过程，该过程在任何给定状态下进行的概率取决于前一状态，而与过去状态无关。
它在许多领域中有着广泛的应用，如统计学、经济学、化学、物理学等等。
本文将对马尔可夫链的基本概念和一些应用实例进行阐述。
一、马尔可夫链的基本概念马尔可夫链是一种随机过程，在任何给定状态下，转移到另一个状态的概率只取决于前一个状态，而与之前的状态无关。
这被称为马尔可夫性质。
因此一个马尔可夫链可以完全由初始状态和转移概率矩阵来描述。
1. 状态空间状态空间是指一个马尔可夫链中所有可能的状态的集合。
它可以是有限的，也可以是无限的。
例如，一个投掷硬币的例子，状态空间为{正面, 反面}。
2. 转移概率矩阵转移概率矩阵描述的是从一个状态到另一个状态的概率。
在一个马尔可夫链中，概率矩阵的每一行表示从一个状态转移到所有其他状态的概率。
在一个有限状态空间中，概率矩阵是一个n x n 的矩阵（n表示状态的数量）。
例如一个2 x 2的矩阵表示如下：s1 s2s1 p11 p12s2 p21 p22其中，p11 表示从状态 s1 转移到状态 s1 的概率；p12 表示从状态 s1 转移到状态 s2 的概率；p21 表示从状态 s2 转移到状态 s1 的概率；p22 表示从状态 s2 转移到状态 s2 的概率。
3. 初始状态概率分布每个马尔可夫链起始状态可以是任何一个状态。
初始状态概率分布表示从哪个可能的起始状态开始进行模型。
它通常会假定为一个向量，其中每个元素表示该状态成为起始状态的概率。
二、马尔可夫链的应用实例随机漫步是马尔可夫链的一个重要应用。
在随机漫步中，一个行动的结果只取决于之前的状态，而与其之前的状态无关。
这种情况下，马尔可夫链为该过程提供了一个可靠的模型。
在金融领域，股市价格变动也被认为是一个形式的马尔可夫链。
一个股票的价格在任何时间不仅取决于过去的价格，还受到多种经济因素的影响。
马尔可夫链收敛性的判定准则
马尔可夫链收敛性的判定准则马尔可夫链是一种随机过程，它具有无记忆性，即在给定当前状态的条件下，其未来状态只与当前状态有关，与过去状态无关。
马尔可夫链的收敛性是指在一定条件下，马尔可夫链的状态分布会趋于一个稳定的状态。
本文将介绍马尔可夫链的收敛性判定准则。
一、马尔可夫链的基本概念在开始介绍马尔可夫链的收敛性判定准则之前，先来了解一些马尔可夫链的基本概念。
1.1 状态空间马尔可夫链的状态空间是指可能的状态的集合，通常用S表示。
状态空间可以是有限的，也可以是无限的。
1.2 转移概率马尔可夫链的转移概率是指在给定当前状态的条件下，下一个状态的概率分布。
转移概率可以用矩阵表示，通常称为转移矩阵。
1.3 马尔可夫性马尔可夫链的马尔可夫性是指在给定当前状态的条件下，未来状态的概率分布只与当前状态有关，与过去状态无关。
这是马尔可夫链的核心特性。
二、马尔可夫链的收敛性判定准则马尔可夫链的收敛性判定准则可以通过研究其转移概率矩阵的特征值和特征向量来得到。
2.1 特征值特征值是转移概率矩阵的本征性质，它描述了马尔可夫链的稳定性。
如果特征值存在，并且所有的特征值的模都小于1，则说明马尔可夫链是收敛的。
2.2 平稳分布平稳分布是指在马尔可夫链中，状态分布在长期情况下不再发生变化，即状态分布趋于稳定。
平稳分布可以通过转移概率矩阵的特征向量得到，特征向量对应的特征值为1。
如果马尔可夫链存在平稳分布，则说明马尔可夫链是收敛的。
2.3 静态分布静态分布是指马尔可夫链在某一时刻的状态分布。
如果马尔可夫链的状态分布随着时间的推移趋于平稳，则说明马尔可夫链是收敛的。
三、马尔可夫链收敛性的应用马尔可夫链的收敛性在许多领域都有广泛的应用。
以下是几个常见的应用场景：3.1 随机游走随机游走是指在一个有限的状态空间中，根据一定的概率进行转移。
如果随机游走的转移满足马尔可夫链的条件，那么可以利用马尔可夫链的收敛性来研究随机游走的稳定性。
3.2 PageRank算法PageRank算法是一种评估网页重要性的算法，它利用了马尔可夫链的收敛性。
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马尔可夫性与马尔可夫链
【教学目标】
1．掌握马尔可夫性与马尔可夫链。
2．熟练运用马尔可夫性与马尔可夫链解决具体问题。
3．亲历马尔可夫性与马尔可夫链的探索过程，体验分析归纳得出马尔可夫性与马尔可夫链，进一步发展学生的探究、交流能力。
【教学重难点】
重点：掌握马尔可夫性与马尔可夫链。
难点：马尔可夫性与马尔可夫链的实际应用。
【教学过程】
一、直接引入
师：今天这节课我们主要学习马尔可夫性与马尔可夫链，这节课的主要内容有马尔可夫性与马尔可夫链，并且我们要掌握这些知识的具体应用，能熟练解决相关问题。
二、讲授新课
（1）教师引导学生在预习的基础上了解马尔可夫性与马尔可夫链内容，形成初步感知。
（2）首先，我们先来学习马尔可夫性，它的具体内容是：
1n X +的随机变化规律与0X ，1X ，…1n X -的取值都没有关系，随机变量序列{}n X 的所具有的这类性质称为马尔可夫性
它是如何在题目中应用的呢？我们通过一道例题来具体说明。
例：
马尔可夫性描述了一种_____。
解析：状态序列
可以给学生一定的提示。
根据例题的解题方法，让学生自己动手练习。
练习：
序列所有可能取值的集合，被称为_____。
（3）接着，我们再来看下马尔可夫链内容，它的具体内容是：
一般地，我们称具有马尔可夫性的随机变量序列{}n X为马尔可夫链。
它是如何在题目中应用的呢？我们也通过一道例题来具体说明。
例：请同学们查询资料，判断马尔可夫链与布朗运动是否有联系
解析：马尔可夫链与布朗运动以及遍历假说这两个二十世纪初期物理学重要课题是相联系的，但马尔可夫寻求的似乎不仅于数学动机，名义上是对于纵属事件大数法则的扩张。
根据例题的解题方法，让学生自己动手练习。
练习：
请写出马尔科夫链满足的两个假设。
三、课堂总结
（1）这节课我们主要讲了马尔可夫性与马尔可夫链
（2）它们在解题中具体怎么应用？
四、习题检测
1．请同学们写出马尔可夫性的定义。
2．请同学们写出马尔科夫链的定义。
3．请同学们写出马尔科夫性和马尔科夫链之间的联系。