2018学年高中数学选修1-2人教A版 课件：第二章 推理与证明 2.2-2.2.2反证法 精品
2．(1)当要证的结论中含有“不”“不是”“不可 能”“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具 体，适于应用反证法．通过反设，用转化后的命题作为条 件进行推理，导出矛盾，达到证明目的．
(2)反证法证题时，若结论的反面有多种情况，必须 将各种情况一一驳倒，才能推断结论成立．
[变式训练] 已知三个正数 a，b，c，若 a2，b2，c2 成公比不为 1 的等比数列，求证：a，b，c 不成等差数列．
解析：(1)对，反证法是间接证明问题的方法． (2)错，反证法是演绎推理，不是合情推理． (3)对，根据反证法的概念知说法正确． 答案：(1)√ (2)× (3)√
2．命题“△ABC 中，若∠A>∠B，则 a>b”的结论
的否定应该是( )
A．a<b
B．a≤b
C．a＝b
D．a≥b
答案：B
3．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个 不大于 60°”时，反设正确的是( )
归纳升华 1．证明时先由函数零点存在性定理判定函数 f(x)在 (a，b)内有零点，再由反证法证明零点的唯一性． 2．反证法证明唯一性命题的适用类型： (1) 当 证 明 结 论 是 “ 有 且 只 有 ”“ 只 有 一 个 ”“ 唯 一”等形式的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以 用反证法证明唯一性比较简单．
2．反证法常用的方法及注意点： (1)常用的反证方法：否定一个反面的反证法称为归 谬法，否定两个或两个以上反面的反证法称为穷举法． (2)注意点：要注意用反证法证题时，“否定结论”在 推理论证中作为已知使用，导出矛盾是指在假设的前提 下，逻辑推理结果与“已知条件、假设、公理、定理或 显然成立的事实”等相矛盾．
5．命题“a，b∈R，若|a－1|＋|b－1|＝0，则 a＝b ＝1”用反证法证明时应假设为________．
解析：“a＝b＝1”的反面是“a≠1 或 b≠1”，所以 假设为 a≠1 或 b≠1.
答案：a≠1 或 b≠1
类型 1 用反证法证明否(肯)定性命题(自主研析) [典例 1] 设函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b， c 均为整数，且 f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0 无整 数根． [自主解答]假设 f(x)＝0 有整数根 n，则 an2＋bn＋c
类型 3 用反证法证明“至多”、“至少”命题(互 动探究)
[典例 3] 已知 a，b，c∈(0，1)，求证： (1－a)b，(1－b)c，(1－c)a 至少有一个不大于14. 证明：假设(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a 都大于14. 因为 a，b，c∈(0，1)，所以 1－a>0，1－b>0，1－c>0.
反证法否定结论时，对结论的反面要一一否定，不 能遗漏．
(2)归谬——由“反设”作为条件，经过一系列正确 的推理，得出矛盾；
(3)存真——由矛盾结果断定反设错误，从而肯定原 结论成立．
[思考尝试·夯基]
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)反证法属于间接证明问题的方法．( ) (2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一 种演绎推理．( ) (3)反证法的实质是否定结论导出矛盾．( )
则 f(x1)＝f(x2)＝0. 因为函数 y＝f(x)在区间(a，b)上为增函数， x1，x2∈(a，b)且 x1<x2， ∴f(x1)<f(x2)，与 f(x1)＝f(x2)＝0 矛盾，假设不成立， 故函数 y＝f(x)在区间(a，b)上至多有一个零点．
归纳升华 1．用反证法证明“至少”“至多”型命题，可减少讨 论情况，目标明确．否定结论时需弄清楚结论的否定是什 么，避免出现错误． 2．用反证法证明“至多、至少”问题时常见的“结 论词”与“反设词”如下：
A．假设三内角都不大于 60° B．假设三内角都大于 60° C．假设三内角至多有一个大于 60° D．假设三内角至多有两个大于 60°
解析：“至少有一个内角不大于 60°”的否定“三个 内角都大于 60°”
∴反设应是“假设三内角都大于 60°”． 答案：B
4．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有 三个步骤：
（1－a）＋b
所以
2
≥ （1－a）b>
14＝12.
同理（1－2b）＋c>12，（1－2c）＋a>12.
三式相加得
（1－2a）＋b＋（1－2b）＋c＋（1－2c）＋a>32. 则32>32，矛盾，故假设不成立．
所以(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a 不能都大于14.
[迁移探究 1] (变换条件)已知 a，b，c∈(0，2)，求 证：(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a 不能都大于 1.
结论 至少 词 有一
个
反设 一个 词 也没
有
至多 有一 个
至少 有两 个
对所 有x成 立
对任 意x 不成 立
至少 有n 个
至多有 n个
p或 q
存在 某个 x0不 成立
存在 至多
某个 有n x0成 －1 立个
至少有 n＋1个
¬p 且 ¬q
1．反证法的三点说明： (1)反证法属逻辑方法范畴，其原理是“否定之否定 等于肯定”． (2)用反证法解题的实质就是否定结论，导出矛盾， 从而说明原结论正确． (3)并非所有问题都可采用反证法证明，只有当问题 从正面求解不好处理时或较繁琐时，才考虑反证法．
所以 f(x)在(a，b)内至少存在一个零点，设零点为 m， 则 f(m)＝0，
假设 f(x)在(a，b)内还存在另一个零点 n，即 f(n)＝0， 则 n≠m.
若 n>m，则 f(n)>f(m)，即 0>0，矛盾； 若 n<m，则 f(n)<f(m)，即 0<0，矛盾．
因此假设不正确，即 f(x)在(a，b)内有且只有一个零 点．
证明：假设(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a 都大于 1.
因为 a，b，c∈(0，2)
所以 2－a>0，2－b>0，2－c>0.
（2－a）＋b
所以
2
≥ （2－a）b>1.
（2－b）＋c
同理
2
≥ （2－b） c>1.
（2－c）＋aຫໍສະໝຸດ 2≥ （2－c）a>1.
三式相加得
（2－a）＋b （2－b）＋c （2－c）＋a
证明：假设 a，b，c 构成等差数列， 则有 2b＝a＋c，即 4b2＝a2＋c2＋2ac， 又 a2，b2，c2 成公比不为 1 的等比数列，
且 a，b，c 为正数， 所以 b4＝a2c2 且 a，b，c 互不相等，即 b2＝ac， 因此 4ac＝a2＋c2＋2ac， 所以(a－c)2＝0，从而 a＝c＝b， 这与 a，b，c 互不相等矛盾． 故 a，b，c 不成等差数列．
温馨提示 反证法不是通过证明逆否命题来证明原 命题．反证法是先否定命题，然后再证明命题的否定是错 误的，从而肯定原命题正确．
2．反证法的一般步骤
用反证法证明命题时，要从否定结论开始，经过正 确的推理，导出逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原 命题)的过程．这个过程包括下面三个步骤：
(1)反设——假设命题的结论不成立，即假设原结论 的反面为真；
2
＋
2
＋
2
>3，
因此 3>3 矛盾，假设不成立．
所以(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a 不能都大于 1.
[迁移探究 2] (变换条件、改变结论)已知函数 y＝f(x) 在区间(a，b)上是增函数．求证：函数 y＝f(x)在区间(a， b)上至多有一个零点．
证明：假设函数 y＝f(x)在区间(a，b)上至少有两个零 点，设 x1，x2(x1≠x2)为函数 y＝f(x)在区间(a，b)上的两个 零点，且 x1<x2，
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与 三角形内角和为 180°矛盾，故假设错误；
②所以一个三角形不能有两个直角； ③假设△ABC 中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠ B＝90°. 上述步骤的正确顺序为________(填序号)．
解析：反证法的步骤为：反设―→归谬―→存真 ∴正确顺序为③①②. 答案：③①②
第二章 推理与证明
2.2 直接证明与间接证明 2．2.2 反证法
[学习目标] 1.了解反证法是间接证明的一种基本方 法(重点).2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学 问题(重点、难点)．
[知识提炼·梳理]
1．反证法 (1)反证法是间接证明的一种基本方法． (2)一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下， 结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说 明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫 作反证法．
类型 2 用反证法证明“唯一性”命题 [典例 2] 若函数 f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断 开，f(a)<0，f(b)>0，且 f(x)在[a，b]上单调递增，求证： f(x)在(a，b)内有且只有一个零点． 证明：由于 f(x)在[a，b]上的图象连续不断开，且
f(a)<0，f(b)>0，即 f(a)·f(b)<0，
＝0
又 f(0)，f(1)均为奇数， 所以 c 为奇数，a＋b 为偶数，则 an2＋bn＝－c 为奇 数，即 n(an＋b)为奇数． ∴n，an＋b 均为奇数． 又 a＋b 为偶数， ∴an－a 为奇数，即 a(n－1)为奇数
∴n－1 为奇数，这与 n 为奇数矛盾． ∴f(x)＝0 无整数根．
归纳升华 1．证题的关键是根据 f(0)，f(1)均为奇数，分析出 a， b，c 的奇偶情况，并应用．
(2)证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个方 面，即存在性问题和唯一性问题两个方面．
[变式训练] 已知：平面 α 和一点 P(P∉α)． 求证：过点 P 与 α 垂直的直线只有一条． 证明：如图所示，设 PA⊥α，垂足为 A.
2018高中数学人教A版选修1-2课件：第二章 推理与证明 2-2-1-2
已知:如图,∠BAC与∠B'A'C'中,AB∥A'B',AC∥A'C',且AB,A'B'的方 向相同,AC,A'C'的方向相同. 求证:∠BAC=∠B'A'C'.
典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四
分析:∠BAC与∠B'A'C'不在同一个平面内,它们不可能为对顶角, 而且不是同一个三角形的两个角,也不可能用等腰三角形的性质去 证明,所以只有构造两个三角形,使它们分别包含∠BAC和∠B'A'C', 然后设法证明这两个三角形全等. 证明:分别在AB,A'B',AC,A'C'上截取AD=A'D',AE=A'E'. 连接DE,D'E',得到△ADE和△A'D'E'. 要证∠BAC=∠B'A'C',只要证△ADE≌△A'D'E'. 为了证明这两个三角形全等, 只需证DE=D'E'. 为了证明DE=D'E', 只需证明四边形DD'E'E是平行四边形. 为此,连接DD',E'E,需证DD'������ EE'.
典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四
为了证明DD'������ EE',需找到第三条线段作媒介,为此连接AA',如 图. 为了证明DD'������ EE',只要能证明DD'������ AA',EE'������ AA'即可. 不难由AE������ A'E'证得四边形AA'E'E是平行四边形, 从而EE'������ AA'. 同理可证DD'������ AA',则EE'������ DD'. 故四边形EE'D'D是平行四边形.则DE=D'E'. 又AD=A'D',AE=A'E',故△ADE≌△A'D'E'. 则∠DAE=∠D'A'E',即∠BAC=∠B'A'C'. 故命题得证.
高中数学人教版选修1-2 第二章 推理与证明 反证法
2.2.2反证法[教材研读]，思考以下问题预习课本P42～431．著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友摘了李子一尝，原来是苦的．他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”王戎的论述运用了什么推理思想？2．“反证法”的关键是得出矛盾，那么矛盾可以是哪些矛盾？[要点梳理]1．反证法假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．2．反证法常见矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设定义矛盾，或与公理、定理、事实矛盾等．[自我诊断]判断(正确的打“√”，错误的打“×”)1．反证法属于间接证明问题的方法．()2．反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理．()3．反证法的实质是否定结论导出矛盾．()[答案] 1.√ 2.× 3.√题型一用反证法证明“否定性”命题思考：根据反证法的定义如何证明一个命题？提示：反证法证明可考虑以下步骤：①反设；②归谬；③存真．已知f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)，证明方程f (x )＝0没有负实根．[思路导引] 此题从正面证明无所适从，可考虑用反证法，即设方程f (x )＝0存在负实根．[证明] 假设方程f (x )＝0有负实根x 0，则x 0<0且x 0≠－1且a x 0＝－x 0－2x 0＋1， 由0<a x 0<1⇒0<－x 0－2x 0＋1<1， 解得12<x 0<2，这与x 0<0矛盾．故方程f (x )＝0没有负实根．用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．[跟踪训练]设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．[证明]假设f(x)＝0有整数根n，则an2＋bn＋c＝0(n∈Z)，而f(0)，f(1)均为奇数，即c为奇数，a＋b为偶数，则an2＋bn＝－c为奇数，即n(an＋b)为奇数．∴n，an＋b均为奇数，又∵a＋b为偶数，∴an－a为奇数，即a(n－1)为奇数，∴n－1为奇数，这与n为奇数矛盾．∴f(x)＝0无整数根．题型二用反证法证明“至多”、“至少”型问题思考：什么样的命题证明可用反证法？提示：直接证明情况比较多，不易证明从词语上看含有“至多”“至少”等词语．已知a，b，c∈(0,1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c )a 不能都大于14.[思路导引] 从量词角度分析，该命题的否定只含一种情况．[证明] 假设(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 都大于14.因为a ，b ，c ∈(0,1)，所以1－a >0,1－b >0,1－c >0.所以(1－a )＋b 2>(1－a )b >14＝12.同理(1－b )＋c 2>12，(1－c )＋a 2>12. 三式相加得(1－a )＋b 2＋(1－b )＋c 2＋(1－c )＋a 2>32， 即32>32，矛盾．所以(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于14.证明时常见的“结论词”与“反设词”[跟踪训练]已知函数y＝f(x)在区间(a，b)上是增函数．求证：函数y＝f(x)在区间(a，b)上至多有一个零点．[证明]假设函数y＝f(x)在区间(a，b)上至少有两个零点，设x1，x2(x1≠x2)为函数y＝f(x)在区间(a，b)上的两个零点，且x1<x2，则(x1)＝f(x2)＝0.因为函数y＝f(x)在区间(a，b)上为增函数，x1，x2∈(a，b)且x1<x2，∴f(x1)<f(x2)，与f(x1)＝f(x2)＝0矛盾，假设不成立，故原命题正确．题型三用反证法证明“唯一性”命题已知：一点A和平面α.求证：经过点A只能有一条直线和平面α垂直．[思路导引]用反证法，假设存在另一条直线．[证明]根据点A和平面α的位置关系，分两种情况证明．①如图，点A在平面α内，假设经过点A至少有平面α的两条垂线AB，AC，那么AB，AC是两条相交直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于经过点A的一条直线a.因为AB⊥平面α，AC ⊥平面α，a⊂α，所以AB⊥a，AC⊥a，在平面β内经过点A有两条直线都和直线a垂直，这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．②如图，点A在平面α外，假设经过点A至少有平面α的两条垂线AB，AC(B，C为垂足)，那么AB，AC是两条相交直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于直线BC，因为AB⊥平面α，AC⊥平面α，BC⊂α，所以AB⊥BC，AC⊥BC.在平面β内经过点A 有两条直线都和BC垂直，这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．综上，经过一点A只能有平面α的一条垂线．证明“唯一性”问题的方法“唯一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两层意思．证明后一层意思时，采用直接证明往往会相当困难，因此一般情况下都采用间接证明，即用反证法(假设“有另外一个”，推出矛盾)或同一法(假设“有另外一个”，推出它就是“已知那一个”)证明，而用反证法有时比用同一法更方便．提醒：证明“有且只有”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．[跟踪训练]用反证法证明：过已知直线a外一点A有且只有一条直线b与已知直线a平行．[证明]由两条直线平行的定义可知，过点A至少有一条直线与直线a平行．假设过点A还有一条直线b′与已知直线a平行，即b∩b′＝A，b′∥a.因为b∥a，由平行公理知b′∥b.这与假设b∩b′＝A矛盾，所以假设错误，原命题成立．1.反证法的证题步骤：(1)反设；(2)推理归谬；(3)存真，即假设不成立，原命题成立．2．用反证法证明问题时要注意以下三点：(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能性结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的．(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的.1．用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”，则假设的内容是()A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除C．a不能被5整除D．a，b有1个不能被5整除[解析]用反证法只否定结论即可，而“至少有一个”的反面是“一个也没有”，故B正确．[答案] B2．“a<b”的反面应是()A．a≠b B．a>bC．a＝b D．a＝b或a>b[解析]“a<b”的反面即否定，为“a≥b”．[答案] D3．用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设()A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于cC．a⊥b D．a与b相交[解析]在同一平面a与b平行的否定为a与b相交．[答案] D4．否定“等差数列{b n}中任意不同的三项不可能为等比数列”时，正确的反设是：________________________________________.[答案]假设等差数列{b n}中存在不同的三项成等比数列5．已知a是整数，a2是偶数，求证a也是偶数．[证明](反证法)假设a不是偶数，即a是奇数．设a＝2n＋1(n∈Z)，则a2＝4n2＋4n＋1.∵4(n2＋n)是偶数，∴4n2＋4n＋1是奇数，这与已知a2是偶数矛盾．由上述矛盾可知，a一定是偶数．。
2018学年高中数学人教A版课件选修1-2 第二章 推理与证
果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因．
在某两个正数 x，y 之间，若插入一个数 a，则能使 x，a，y 成等 差数列；若插入两个数 b，c，则能使 x，b，c，y 成等比数列，求证：(a＋1)2≥(b ＋1)(c＋1)．
【精彩点拨】 件与结论联系起来．
【精彩点拨】
本题用综合法不易解决，由于变形后均为平方式，因此要
先将式子两边同时开 a＋b a－b2 要证 8a < 2 － ab< 8b ，
a－b2 a－ b2 a－b2 只需证 8a < < 8b . 2 ∵a>b>0， a－ b2 a＋ b 2 a＋ b2 ∴同时除以 ，得 <1< ， 2 4a 4b a＋ b a＋ b 同时开方，得 <1< ， 2 a 2 b
[再练一题] 1．(2016· 合肥高二检测)已知 a>0，求证： 1 1 a ＋a2－ 2≥a＋a－2.
2
【导学号：19220021】
【证明】 只需证
即证
2
要证
2
1 1 a ＋a2－ 2≥a＋a－2，
2
1 1 a ＋a2＋2≥a＋a＋ 2，
1 1 2 a ＋a2＋2 ≥a＋a＋ 22，
根据梯形的中位线定理可知上式是成立的， 所以以过抛物线 y2＝2px 焦点的 p 弦为直径的圆必与直线 x＝－2相切．
1．分析法是逆向思维，当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接或证 明过程中所需要用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法． 2． 分析法的思路与综合法正好相反， 它是从要求证的结论出发， 倒着分析， 由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知，即已知条件、已经学过的定义、定理、 公理、公式、法则等．
《反证法》人教版高中数学选修1-2PPT课件(第2.2.2课时)
知识要点
反证法主要适用于以下两种情形： (1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰. (2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很 少的几种情形.
知识要点
用反证法证题时,应注意的事项 : （1）周密考察原命题结论的否定事项， 防止否定不当或有所遗漏； （2）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性； （3）在推理过程中，要充分使用已知条 件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的.
矛盾
所以 _假__设__不__成__立 ,即求证的命题正确. 命题成立
l3
P
l1
l2
知识要点
反证法的步骤 一、提出假设 假设待证命题不成立，或是命题的反面成立. 二、推理论证 以假设为条件，结合已知条件推理，得出与已知条件或是正确命题相矛盾的结论. 三、得出矛盾 这与“......”相矛盾. 四、结论成立 所以假设不成立，所求证的命题成立.
∴ ∠ 1 =∠ 2 =∠3(两直线平行，同位角相等) ∴ l 3∥ l2（同位角相等，两直线平行 ） 归纳
l1
l１
l2
P 2
l1
3
请同学们自己比较两种证明方法的各自特点，从中体验反证法的思考过程和特点.
新知探究
结合我们讲过的例子，我们可以得到什么？
思考
由上面的例子可以看出，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件 矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等.
知识要点
宜用反证法证明的题型
（1）以否定性判断作为结论的命题； （2）某些定理的逆命题； （3）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式陈述的命题； （4）关于“唯一性”结论的命题； （5）解决整除性问题； （6）一些不等量命题的证明； （7）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段； （8）涉及各种“无限”结论的命题等等.
2018学年高中数学人教A版课件选修1-2 第二章 推理与证明 2.1-2.1.1 精品
联想 ，再进行 归纳
合情推理．
、 类比 ，然后提出 猜想 的推理，我们把它们统称为
2．合情推理的过程 从具体问 观察、分析、 题出发 → 比较、联想 → 归纳、类比 → 提出猜想
类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面 体的下列性质，你认为比较恰当的是________(填序号)． ①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等； ②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等； ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．
图 213
【解析】
(1)法一：有菱形纹的正六边形个数如下表： 图案 个数 1 6 2 11 3 16 … …
由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以 6 为首项，以 5 为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是 6＋5×(6 －1)＝31.
法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需 6 个有纹正六边 形围绕(图案 1)外， 每增加一块无纹正六边形， 只需增加 5 块菱形纹正六边形(每 两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)，故第六个图 案中有菱形纹的正六边形的个数为：6＋5×(6－1)＝31.故选 B. (2)第七个三角形数为 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.
[小组合作型]
归纳推理
1 (1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝－ ，则 a2 017 等于( an＋1 A．2 C．－2 1 B．－2 D．1 )
(2)根据图 211 中线段的排列规则，试猜想第 8 个图形中线段的条数为 ________. 【导学号：19220010】
图 211
【解析】
[再练一题] 1．(1)有两种花色的正六边形地面砖，按图 212 的规律拼成若干个图案， 则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )
新版高中数学人教A版选修1-2课件：第二章 推理与证明 2.2.1
∵PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD, ∴PA⊥CD. ∵AC⊥CD,PA∩AC=A,∴CD⊥平面PAC. 而AE⊂平面PAC,∴CD⊥AE.
题型一
题型二
题型三
题型四
(2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA.
∵E是PC的中点,∴AE⊥PC.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练3】 如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所 在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.
典例透析
(1)证明:BC∥平面PDA; (2)证明:BC⊥PD; (3)求点C到平面PDA的距离. (1)证明因为四边形ABCD是长方形,所以BC∥AD. 因为BC⊄平面PDA,AD⊂平面PDA,所以BC∥平面PDA.
−
1)(������∈N*,n≥2),求证: 1 为等差数列.
������������
分析:(1)类比题目所给等式得到 Sn+1 与 an+1 之间的关系式→两式相减→说明{an}是等比数列
(2)利用(1)中的公比
q
得到
f(m)→化简式子
bn=
3 2
������
(bn-1)→证明
1 ������������
两式相减,得Sn=n·2n-1×20-1×21-…-1×2n-1=n·2n-2n+1=2n(n-1)+1.
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
利用综合法证明不等式
【例 2】 已知 a,b,c 是正实数,且 a+b+c=1. 求证:(1)a2+b2+c2≥13 ; (2) ������ + ������ + ������ ≤ 3.
2018学年高中数学选修1-2课件：第2章 推理与证明2.1.1 精品
由此猜想 g(n)＝g(n－1)＋n 将上述各式两边分别相加得 g(1)＋g(2)＋g(3)＋…＋g(n) ＝g(1)＋g(2)＋…＋g(n－1)＋2＋2＋3＋4＋…＋n. ∴g(n)＝2＋2＋3＋4＋…＋n ＝2＋n－12n＋2＝n2＋2n＋2(n≥2)． 由此猜想 g(n)＝n2＋2n＋2(n≥2)．
特征
归纳推理是由_部__分__到__整__体__、 由___个__别__到__一__般____的推理
类比推理是由 _特__殊__到__特__殊___的推理
合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经 含 过__观__察___、__分__析___、__比__较___、__联__想___，再 义 进行__归__纳___、__类__比___，然后提出__猜__想___的推
[问题1] 我们熟知的三国演义第34回草船借箭中诸葛亮 “先生”的推理过程是怎样的呢？
[提示 1] 诸葛亮“先生”的推理过程是
1.今夜恰有大雾 2.曹操生性多疑 3.北军不善水战 ⇨草船借箭必将成功
弓弩利于远战 4.今夜恰有东风
[问题2] 蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是 用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的，蛇，鳄鱼，海龟，蜥蜴都是 爬行动物，所有的爬行动物都是用肺呼吸的吗？
(2)归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相 同性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命 题(猜想)．
一般地，如果归纳的个别情况越多，越具有代表性，那么 推广的一般性命题就可能为真．
2．类比推理的特点 (1)类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在 被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不 一定可靠． (2)类比推理以旧的知识作基础，推测新的结果，具有发现 的功能，类比在数学发现中具有重要作用，但必须明确，类比 并不等于论证． (3)由于类比推理的前提是两类对象之间具有某些可以清楚 定义的类似特征，所以进行类比推理的关键是明确地指出两类 对象在某些方面的类似特征．
2018学年高中数学选修1-2课件 第二章 推理与证明 2.1-
B．小前提错误 D．非以上错误
解析：不符合“三段论”的形式，正确的“三段论” 推理形式应为：“鹅吃白菜，参议员先生是鹅，所以参议 员先生也吃白菜”． 答案：C
4 ．推理过程“大前提 ________ ，小前提：四边形 ABCD 是矩形，结论：四边形 ABCD 的对角线相等．” 应补充的大前提是_______________________________． 解析：由“三段论”的一般模式，可知应补充的大前 提是：矩形的对角线相等． 答案：矩形的对角线相等
第二章
推理与证明
2.1 合情推理与演绎推理 2．1.2 演绎推理
[学习目标] 1.理解演绎推理的意义(重点).2.掌握演 绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理(重 点、难点).3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系 (难点)．
[知识提炼· 梳理] 1．演绎推理 (1)含义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况 下的结论，我们把这种推理称为演绎推理． (2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．
△ABC 三条边的长依次为 3，4，5，且 32＋42＝52， (小前提) 所以△ABC 是直角三角形．(结论) (2)因为三角函数是周期函数，(大前提) y＝sin x(x∈R)是三角函数，(小前提) 所以 y＝sin x(x∈R)是周期函数．(结论)
类型 2 用三段论证明几何问题(误区警示) [典例 2] 如图所示，在△ABC 中，AC>BC，CD 是 AB 边上的高，求证∠ACD>∠BCD.
证明：因为同位角相等，两直线平行， ∠BFD 与∠A 是同位角，且∠BFD＝∠A， 所以 FD∥AE.
因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形， DE∥BA，且 FD∥AE， 所以四边形 AFDE 是平行四边形． 因为平行四边形的对边相等， ED 和 AF 是平行四边形 AFDE 的对边， 所以 ED＝AF.
2018学年高中数学人教A版课件选修1-2 第二章 推理与证明 章末分层突破 精品
即－2ba－1－2ba＝0， 整理得－ba＝1， 即 a＝－b 成立， 故原命题得证．
[再练一题] 4．当 a≥2 时，求证： a＋1－ a< a－1－ a－2.
【证明】 要证 a＋1－ a< a－1－ a－2， 只需证 a＋1＋ a－2< a＋ a－1， 只需证( a＋1＋ a－2)2<( a＋ a－1)2， 只需证 a＋1＋a－2＋2 a＋1a－2<a＋a－1＋2 aa－1， 只需证 a＋1a－2< aa－1， 只需证(a＋1)(a－2)<a(a－1)， 即证－2<0，而－2<0 显然成立， 所以 a＋1－ a< a－1－ a－2成立．
【解析】 等式的左边的通项为2n1－1－21n，前 n 项和为 1－12＋13－14＋…＋
2n1－1－21n；右边的每个式子的第一项为n＋1 1，共有 n 项，故为n＋1 1＋n＋1 2＋…
＋n＋1 n. 【答案】
1－12＋13－14＋…＋2n1－1－21n＝n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n
3．(2014·陕西高考)观察分析下表中的数据：
【解析】 方程 x3＋ax＋b＝0 至少有一个实根的反面是方程 x3＋ax＋b＝0 没有实根，故应选 A.
【答案】 A
2．(2015·陕西高考)观察下列等式： 1－12＝12， 1－12＋13－14＝13＋14， 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16， …， 据此规律，第 n 个等式可为_______________________________________．
“正难则反”思想
当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时， 宜用反证法来证，反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知 条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等等．
2018高中数学人教A版选修1-2课件：第二章 推理与证明 2-1-2
重难聚焦
1.怎样认识演绎推理? 剖析:(1)演绎推理的前提是一般性原理,演绎推理所得的结论是 蕴涵于前提之中的个别、特殊事实,即结论完全蕴涵于前提之中. (2)在演绎推理中,前提与结论之间存在必然的联系,只要前提是 真实的,推理的形式是正确的,那么其结论也必定是正确的.因而演 绎推理是数学中严格证明的工具. (3)演绎推理是一种收敛性的思维方式,具有条理清晰、令人信服 的论证作用,有助于数学的理论化和系统化.
典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四
反思三段论由大前提、小前提和结论组成,大前提提供一般原理, 小前提提供特殊情况,两者结合起来,体现了一般原理与特殊情况 的内在联系.在用三段论写推理过程时,关键是明确命题的大前提、 小前提,而大前提、小前提在书写过程中是可以省略的.
典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四
知识梳理
2.三段论
一般模式 大前提 小前提 结论 已知的一般原理 所研究的特殊情况 根据一般原理,对特殊情况做 出的判断 常用格 式 M是P S是M S是P
名师点拨三段论推理的依据. 用集合的观点来讲,若集合M中的所有元素都具有性质P,S是M的 子集,那么S中的所有元素也都具有性质P. 三段论推理的论断基础是这样一个公理:“凡肯定(或否定)了某一 类对象的全部,也就肯定(或否定)了这一类对象的各部分或个体”. 简言之,“全体概括个体”.M,P,S这三个概念之间的包含关系表现为: 若概念P包含了概念M,则必包含了M中的任一概念S(如图①);若概 念P排斥概念M,则必排斥M中的任一概念S(如图②).
【变式训练1】 将下列演绎推理写成三段论的形式: (1)若∠A,∠B是等腰三角形的两底角,则∠A=∠B; (2)通项公式an=2n+3表示的数列{an}为等差数列; (3)因为2100+1是奇数,所以2100+1不能被2整除. 解(1)因为等腰三角形两底角相等,大前提 又因为∠A,∠B是等腰三角形的两底角,小前提 所以∠A=∠B.结论 (2)因为在数列{an}中,如果当n≥2时,an-an-1为同一个常数,则{an} 为等差数列,大前提 又因为对通项公式an=2n+3,若n≥2,则an-an-1=2n+3-[2(n1)+3]=2(常数),小前提 所以通项公式an=2n+3表示的数列{an}为等差数列.结论