子共代数与共同余共关系
(第16讲)代数结构
XDC
C S | S W U S T 例：整数，加法，0可以构成一个代数 整数，加法， 载体是整数集合I={...， I={... （ 1 ） 载体是整数集合 I={... ， -2 ， -1 ， 0 ， 1 ...} ，2，...} 定义在整数集合上的加法运算“ +”是 （ 2 ） 定义在整数集合上的加法运算 “ +” 是 封闭的。 封闭的。 对于任意元素与0 相加都是等于自己。 （ 3 ） 对于任意元素与 0 相加都是等于自己 。 为一特异元素。 故0为一特异元素。 这个代数可以记为<I,+,0> 这个代数可以记为
XDC
C S | S W U S T
例如：A={1，2，3}，B={a，b，c }， 例如： ， ， ， ， ， ， f：A→B 为 f（1）=a， ： （ ） ， f（2）=c， （ ） ， f（3）=b， 则f是双射函数。 （ ） ， 是双射函数。 是双射函数
几种特殊的函数
定义 设函数f： → ， 如果f既是满射又是单射函数 既是满射又是单射函数， 设函数 ： X→Y， 如果 既是满射又是单射函数 ， 则称这个函数为双射函数。 即一一对应) 则称这个函数为双射函数。(即一一对应)
XDC
C S | S W U S T
表示正实数集合，那么< 同构于<R,+,0>。 例:R+表示正实数集合，那么 R+,×,1>同构于 × 同构于 。 证明： 证明： 作函数h： 显然为双射函数。 作函数 ： R+ →R, 令h(x)=log(x). 显然为双射函数。 并且有 ∀a,b∈ R+，有h (a×b)=log(a×b)=log(a)+log(b)=h(a)+h(b) ∈ × × h(1)=log(1)=0 所以， 同构于<R,+,0>。 所以， < R+,×,1>同构于 × 同构于 。
2022年绵阳师范学院汉语国际教育专业《现代汉语》期末试卷A(有答案)
2022年绵阳师范学院汉语国际教育专业《现代汉语》期末试卷A(有答案）一、填空题1、古代诗词讲究“平仄”。
“仄”是指古代四声中的______。
2、现代汉语普通话的辅音声母有______个3、熟语有很多种类型，比如“倒打一耙”属于______，“瞎子点灯”属于______，“胸有成竹”属于______。
4、词的形态分为构形形态和______。
5、现代汉民族普通话规范，即以北京语音为______，以北方话为______，以______作为语法规范。
6、在现代汉语方言中，西安话属于______方言，广州话属于______方言。
7、甲骨文是通行于______时期刻写在龟甲兽骨上的文字。
8、“蝴”的偏旁是______，部件是______。
“乃”的部件是______，部首是______。
“闻”的形旁是______，声旁是______。
9、代词与别的词类有所区别，不是根据______划分出来的。
10、短语可以分别从结构和______这两个方面分类。
二、判断题11、词典一般只能收录词，不收大于词的单位。
（）12、“大学”“船只”“地震”都是偏正型的复合词。
（）13、“臧”的笔画是14笔14、独体字是构成汉字的最小单位。
（）15、“他盼望我们不断进步”不是双宾语句。
（）16、“萝卜快了不洗泥”这个熟语中“快了”是谓语，是陈述“萝卜”的。
（）17、壮语是一种方言。
（）18、语言规范化是为了消除语言使用中多种方言并存的混乱现象，更好地发挥语言文字的交际功能（）。
19、某些儿化韵母发音时主要元音带有鼻化色彩。
（）20、同一调类的声调其调值也相同。
（）三、选择题21、普通话能作韵尾的元音是（）。
A．i、u、üB．i、uC．i、u、n、ɡD．i、u、n、nɡ22、“不”在（）读35。
A．句末B．去声前C．去声后D．非去声前23、下列各句中，属于复句的是（）。
A．让山区的孩子都念上书，是我们应尽的责任。
B．只有热爱工作的人，才能热爱生活。
(大学)离散数学：第四章代数系统 第二节 代数系统间的同构与同态
但同态是有方向性的，从A1 到 A2 有同态函数存在，从 A2 到A1就未必有 同态函数存在，即同态的概念不可逆。另外当 h 是满同态函数时，A1的 同态象就是 A2 。
⑵若 满足交换律，则 ° 满足交换律； ⑶ 若 e 是关于 的幺元，则 h(e) 是关于 ° 的幺元； ⑷ 若 0 是关于 的零元，则 h(0) 是关于 ° 的零元； ⑸ 若 x 关于 有逆元x－1，则 h(x) 关于 ° 的逆元是 h(x－1) 。
• 从定理3可见当< Y，° >是< X， >的满同态象时，如果对< Y，° >的 性质不了解，则可 通 过 满 同 态 函 数 将 < X， >上的性质带到< Y，° >中去。因此在研究一个新代数系统时，首先应考虑它是否与已有的代数 系统同构或同态，若某个新的代数系统与原有的熟知的代数系统有这种 同态关系，则对新的代数系统研究起来就容易多了。
⑴ 对Nm中的任意元素[i] ，取 i＋m N，则有 h(i＋m )= [i] ， 故h是满射的。
⑵ i，j N，有
h(i＋j)=[(i＋j) mod m] =[i mod m]＋m [ j mod m]=h(i)＋m h(j) 故 h 对＋和＋m 满足同态公式。
由定义4知，h 是从< N, ＋> 到 < Nm , ＋m >的满同态函数， 即<Nm , ＋m >是< N, ＋ >的满同态象。
例2 设N为自然数集合，＋是自然数加法，< N, ＋>是代数系统。 设X={1，－1}，×是整数乘法，<X，×>是代数系统。 取函数 h：N X，h(偶数) = 1，h(奇数) = －1, ⑴ 由满射函数的定义知 h 是从 N 到 X 的满射函数。 ⑵ 任取i，j N 有： ① 当 i 为偶数，j 为偶数时，i＋j 为偶数，于是有 h( i＋j ) =1 = h(i) ×h(j ) =1×1=1 ② 当 i 为偶数，j 为奇数时，i＋j 为奇数，于是有 h( i＋j ) =－1 = h(i) ×h(j ) =1×(－1) = －1 ③ 当 i 为奇数，j 为偶数时，i＋j 为奇数，于是有 h( i＋j ) =－1 = h(i) ×h(j ) = (－1)×1= －1 ④ 当 i 为奇数，j 为奇数时，i＋j 为偶数，于是有 h(i＋j) =1 = h(i) ×h(j)=(－1)×(－1) =1
群的子结构与同态 高等代数知识点梳理
群的子结构与同态高等代数知识点梳理群的子结构与同态在高等代数中，群是一种重要的代数结构，它是一个集合，伴随着一种二元运算，满足一定的性质。
群的子结构和同态是群论中的重要概念，本文将对这两个知识点进行梳理和讨论。
一、群的子结构一个群G的子结构是指一个集合H，该集合是G的一个子集，并且在与G相同的二元运算下也构成一个群。
也就是说，H中的元素在乘法运算下封闭，并且存在单位元和逆元。
给定一个群G，如果H是G的一个子集，那么H被称为G的子群，记作H ≤ G。
子群的构成必须满足以下条件：1. H中的元素在G中也存在，即对于任意h∈H，有h∈G。
2. 子群H在G的乘法运算下封闭，即对于任意h1、h2∈H，有h1h2∈H。
3. 子群H含有单位元，即存在一个元素e∈H，满足对于任意h∈H，有he=eh=h。
4. 子群H中的元素存在逆元，即对于任意h∈H，存在一个元素h'∈H，使得hh'=h'h=e。
通过子群的构成，我们可以将群G分解为不同的子群，这种分解可以帮助我们更好地理解和研究群的性质和结构。
二、群的同态群同态是指两个群之间的映射，满足一定的性质。
给定两个群G和H，一个从G到H的映射f：G→H被称为一个群同态，如果它满足以下条件：1. 对于任意的g1、g2∈G，有f(g1g2) = f(g1)f(g2)。
即群的乘法运算在映射下保持不变。
2. 映射f保持单位元，即f(e_G) = e_H，其中e_G和e_H分别是G 和H的单位元。
3. 对于任意的g∈G，映射f(g)在H中存在逆元，即f(g)^-1存在于H中。
群的同态在群论中具有重要的应用，它能够帮助我们研究群之间的关系和结构。
三、群的子结构与同态的关系群的子结构和同态之间存在着紧密的联系。
对于一个群G和它的子群H，我们可以定义一个自然同态f：G→G/H，其中G/H是从G到H 的商群。
这个自然同态将群G映射到其子群H的陪集空间上。
同时，我们可以定义一个同态g：G→G/N，其中G/N是从G到H 的正规子群。
离散数学-近世代数-代数结构
例：代数系统(N，+，×)。其中+，×分别代表通常数的加法和乘法。
添加标题
是否满足交换律？
添加标题
单位元( 幺元)
一个代数系统(S，*)， 若存在一个元素eU，使得对 xS，有：e * x =x * e = x，则称 e 为对于运算“ * ”的单位元,也称幺元 。 注意： 单位元是跟运算有关系的，不同的运算可能单位元是不一样的。
解： 作双射 f：A1A2，f(1)=b, f(2)=d, f(3)=c, f(4)=a
a
b
c
d
a
b
b
b
d
b
a
a
d
b
c
c
b
c
a
d
a
a
c
d
*
1
2
3
4
1
4
1
2
4
2
4
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3
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1
设代数系统V1=(A1，*)，V2=(A2，º)， 其中A1={1，2，3，4}， A2={a，b，c，d}， * 和 º 的运算分别如下表，V1 和 V2 是否同构？
等幂律
设 * 是定义在集合A上的一个二元运算，如果对于任意的xA，都有x * x = x，则称 * 运算是等幂的。 例: S={1,2,4}，在集合 p(S) 定义两个二元运算，∩，∪，分别表示集合的“并”运算和集合的“交”运算，∩，∪是等幂的？ 解：对于任意的A p(S) ，有A∩A=A；A∪A=A 因此运算∩，∪都满足等幂律。
性质、定理
定理 一个代数系统，其零元若存在，则唯一。 定理 一个代数系统(S，)，若集合 A 中元素的个数大于1，且该代数系统存在幺元 e 和零元θ，则θe。 证明：用反证法，设θ=e，则对于任意的xA，必有 x = ex = θx =θ= e， 即对于A中所有元素都是相同的，这与A中含有多个元素相矛盾。
Ch 15.3 代数系统的同态与同构 15.4 同余关系与商代数 (1)
9
同态像是映到代数系统的子代数
定理15.7 设V1 =< A,o1 ,o2 ,...,or > 与V2 =< B,o1',o2 ',...,or '>是同 定理 是同 类型的代数系统， 类型的代数系统，oi与oi′是ki 元运算 (i=1,2,…,r), 是 元运算, f : A→B是V1到V2的同态，则f(A)关于 2的运算构成代数系统， 的同态， 关于V 是 关于 的运算构成代数系统， 且是V 的子代数， 下的同态像 同态像. 且是 2的子代数，称f(A)为V1在f 下的同态像 为 f(A)是 的非空子集.证明 证明f(A) 中的所有运算封闭. 证 f(A)是B 的非空子集.证明f(A) 对V2中的所有运算封闭. (1) 若V2有0元运算 则V1存在 元运算 f(a)=a′. 即a′∈f(A). 元运算a′, 存在0元运算 元运算a, 元运算 ∈ (2) 任意 2中非 元运算 k元运算 ∀ y1, y2, …, yk∈ f(A)， 任意V 中非0元运算 元运算o′( 元运算 元运算), ， 存在x 存在 1, x2,…, xk ∈ A, 令 f(xi) = yi, i=1,2,…,k, 则 o'(y1, y2,..., yk ) = o‘( f (x1), f (x2),..., f (xk ))= f (o(x1, x2,..., xk )) ∈ f(A) .
第三编 代数结构
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同态映射的实例
(1) V = <Z,+>, fc:Z→Z, fc(x) = cx, c为给定整数 为给定整数 c = 0, 零同态 (∀ x∈A, f (x)=0 ) ∈ c = ±1，自同构 其它 单自同态 ，自同构; 其它c, (2) V = <Z6,⊕>, fp:Z6→Z6, fp(x) = (px) mod 6, p = 0,1, …, 5, ⊕ p = 0, f0 零同态 p = 1, f1 恒等映射，自同构 零同态; 恒等映射， p = 2, f2 = {<0,0>,<1,2>,<2,4>,<3,0>,<4,2>,<5,4>}, p = 3, f3 = {<0,0>,<1,3>,<2,0>,<3,3>,<4,0>,<5,3>} p = 4, f4 = {<0,0>,<1,4>,<2,2>,<3,0>,<4,4>,<5,2>} p = 5, f5 = {<0,0>,<1,5>,<2,4>,<3,3>,<4,2>,<5,1>}自同构 自同构 (3) 推广到 V = <Zn,⊕>, fp(x) = (px) mod n, p = 0,1, …,n-1, ⊕ fp(x⊕y) = (p(x⊕y)) mod n ⊕ ⊕ = (px) mod n ⊕ (py) mod n = fp(x)⊕fp(y) ⊕
近世代数学习课件
定义4 结合律：设“”是X上的一个
二元代数运算。如果a,b, c X
有：(a b) c a (b c)
则称此二元代数运算适合结合律。
交换律：若对a,b X 有： ab ba
则称此二元代数运算适合交换律。
定义5 设“”是非空集合S上的一个
近世代数 课件
教材：离散数学引论 王义和，哈工大出版社
参考教材： 1）近世代数， 熊全淹，武大
2）近世代数基础习题指导，北师大
3）离散数学及其在计算机中的应用
4）代数结构与组合数学
引言
一、近世代数的研究对象
代数最初主要研究的是数，以及由数所衍 生出来的对象，如代数方程的求根。数的 基本特征是可以进行加法、乘法等运算， 其共同点是对任两个数，通过相应法则可 唯一求得第三个数。而对于很多抽象的对 象也都具有类似数的这一特征，因此对于 它们的结构和性质的研究就导致了近世代 数的产生和发展。
同理：A为 M , , e 的非空子集，则
包含A的所有子幺半群的交成为由A生 成的子幺半群。
注：根据集合交的性质知道 由A生成的子（幺）半群 (A) 是包含A的所有子（幺）半群 中最小的，即对任意包含A的
子（幺）半群 A 有：A A
定义4 左（右）理想：半群 S ,
的一个非空子集A为S的一个左（右）
定义乘法“”：N N N
a b a b 1, a,b N,
其中*为普通乘法
定义6 设(S,,) 是具有两个二元
代数运算“”和“+”的代数系。
如果a,b, c S 有：
a (b＋c) (a b) (a c)
则称“”对“＋”满足左分配律。
如果a,b, c S 有：
代数结构
6.1 代数结构6.1.1 代数的构成和分类方法代数通常由3部分组成: 1. 一个集合, 叫做代数的载体载体是我们将处理的数学目标的集合, 诸如整数、实数或符号串集合等。
一般是非空集合。
2. 定义在载体上的运算定义在载体S上的运算是从S m到S的一个映射, 自然数m的值叫做运算的元数。
从S到S的映射, 诸如给定一个实数x求［x］, 给定一个整数y求|y|, 叫做一元运算; 从S2到S的映射, 诸如数的加法和乘法, 都是二元运算。
常见的是一元和二元运算, 但理论上可定义任意的m元运算, 例如语句if x≠0 then y else z, 可定义为运算对象是x、y、z的三元运算。
3. 载体的特异元素, 叫做代数常数 有些代数不含常数。
这里所谓“不含”只是说我们研究该代数时并不关注这些特异元素, 不一定是真的没有。
代数通常用载体、运算和常数组成的n重组表示。
例1(a) 整数、加法和常数0可构成一个代数。
(1) 载体是整数集合I=｛…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3…｝。
(2) 定义在I上的运算是加法(记为+)。
(3) 常数是0。
这个代数可记为〈I, +, 0〉。
在不产生误解的情况下, 标示代数的记号可以简化, 不一定将所有成分都写出, 有时常数可以不写, 有时仅用载体标记该代数。
通常我们不去研究单个具体的代数, 而是一个种类一个种类地去研究。
为此, 我们首先要知道什么样的两个代数是同一种类的。
第一, 要有相同的构成成分。
如果两个代数包含同样个数的运算和常数, 且对应运算的元数相同, 则称两个代数有相同的构成成分。
例3(a) 考虑具有〈N, +, 0〉形式的构成成分和下述公理的代数类。
(1) a+b=b+a (2) (a+b)+c=a+(b+c) (3) a+0=a 那么〈I, ·, 1〉, 〈ρ(S), ∪, 〉和〈R, min, +∞〉(这里R是包φ含+∞的非负实数)等, 都是这一种类的成员。
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ISSN 1000-9825, CODEN RUXUEW E-mail: jos@Journal of Software, Vol.17, No.4, April 2006, pp.713−719 DOI: 10.1360/jos170713 Tel/Fax: +86-10-62562563© 2006 by Journal of Softwar e. All rights reserved.∗子共代数与共同余共关系周晓聪+, 舒忠梅(中山大学计算机科学系,广东广州 510275)Subcoalgebras and Cocongruence CorelationsZHOU Xiao-Cong+, SHU Zhong-Mei(Department of Computer Science, Sun Yat-Sen University, Guangzhou 510275, China)+ Corresponding author: Phn: +86-20-84034709, E-mail: isszxc@, /xczhou/zxc.htmZhou XC, Shu ZM. Subcoalgebras and cocongruence corelations. Journal of Software, 2006,17(4):713−719./1000-9825/17/713.htmAbstract: The study of coalgebraic methods, as one of the active areas for theoretical computer science in recentyears, is widely used in concurrence computing model, automat theory, and the foundations of object-orientedtechnology. Through using category theory, this paper investigates the properties of subcoalgebras, especially, theproperties of subcoalgebras on Set, the category of sets and functions. This paper shows that all the subcoalgebrason Set are regular. Furthermore, using the correspondence between the cocongruence corelations and thesubcoalgebras on Set, a way to construct the co-generated subcoalgebra is given in this paper.Key words: coalgebra; subcoalgebra; corelation; category theory摘要: 共代数方法是近几年来理论计算机科学的研究热点之一,在并行计算模型、自动机及面向对象技术的理论基础方面有着广泛的应用.以范畴理论为工具讨论子共代数的性质,特别是集合范畴上的子共代数的性质,证明了集合范畴上的子共代数都是正则子共代数.进一步利用共同余共关系与子共代数之间的对应,给出了集合范畴上共生成子共代数的一种构造方式.关键词: 共代数;子共代数;共关系;范畴理论中图法分类号: TP301文献标识码: A代数方法已经在抽象数据类型、程序设计语言的形式语义等计算机科学领域有了深入研究与广泛应用,而共代数方法则是近10年来才逐渐引起计算机科学工作者的注意与研究.然而,自Aczel[1],Rutton[2],Jacob[3]等人的开创性工作以来,共代数方法在自动机理论、并发程序的语义、面向对象程序的规范等计算机科学领域有了广泛的应用,而人们对共代数方法的范畴论基础、共代数逻辑等方面的研究也日益深入.我们在文献[4]中对共代数方法的范畴论基础、共代数逻辑及共代数方法的应用研究等方面进行了综述.由于计算机科学中的共代数方法研究只有近10年的历史,因此,有关共代数方法本身的一些理论基础问题仍需深入研究.例如,互模拟(bisimulation)这一概念最初在进程代数中提出,在共代数方法中得到了进一步的抽∗ Supported by the National Natural Science Foundation of China under Grant No.60403013 (国家自然科学基金); the NaturalScience Foundation of Guangdong Province of China under Grant No.031542 (广东省自然科学基金)Received 2005-03-01; Accepted 2005-10-10714 Journal of Software 软件学报 V ol.17, No.4, April 2006象与推广,已成为共代数方法的核心概念之一,但目前许多结果都是针对集合范畴而言的[2,5,6],如何将其很好地推广到一般范畴仍是一个值得探讨的理论问题[7−10].子共代数与互模拟、积共代数之间存在着十分密切的关系[6,11,12],有关子共代数的并、交、生成子共代数及共生成子共代数等性质是许多学者所关注的问题[13,14].对这些问题的深入研究有助于共代数方法在计算机学科的各个领域更好地应用.在对共代数方法的研究中我们发现:基于关系(relation)理论的互模拟在共代数理论中应用广泛,但共关系(corelation)理论仍未引起人们的太多注意.目前,也有一些学者开始重视对共关系理论的研究,如Kurz 等人试图使用基于共关系的共同余描述共代数之间的行为等价[7];Wolter 研究了共关系的一些基本性质[15],并指出它在共等式(coequation)规范研究中有十分重要的作用.但从总体上说,共关系理论及其在共代数方法中的应用研究仍处于起步阶段.在Kurz,Wolter 等人工作的基础上,我们对共关系的基本性质作了进一步的研究,并探讨了共代数上共关系的一些基本性质.本文目标是在Gumm [5,13],Hughes [8]等人工作的基础上,利用共同余(cocongruence)共关系与子共代数之间的对应,给出集合范畴的共生成子共代数的一种构造方法.本文需要一些范畴理论的基础知识,特别是有关单射(monomorphism)与满射(epimorphism)、极限(limit)与共极限(colimit),以及伴随函子(adjoint functor)的知识,有关内容可参考标准的范畴论文献(如文献[16,17]等). 1 基础知识1.1 共代数与同态目前已有不少介绍共代数理论的文献,其中以文献[2]最为有名,文献[5,18,19]也是了解共代数方法极好的参考文献.给定自函子Ω:C →C ,Ω-共代数是二元组(X ,ξ),其中,X 是范畴C 的对象,称为该共代数的载体(carrier),ξ:X →ΩX 是范畴C 的射,称为该共代数的结构(structure)射或变迁(transition)射.共代数(X ,ξ)和(Y ,ζ)之间的同态f :(X ,ξ)→(Y ,ζ)是范畴C 的射f :X →Y 且满足Ωf °ξ=ζ°f .所有Ω-共代数构成一个范畴,记为C Ω.共代数范畴C Ω的忘却函子(forgetful functor)U :C Ω→C 将共代数(X ,ξ)映射为X ,将同态f :(X ,ξ)→(Y ,ζ)映射为f :X →Y .U 是忠实函子(faithful functor),从而反射单射和满射,即若同态f 是C 的单射(满射),则f 也是C Ω的单射 (满射).忘却函子U 最重要的性质是创建范畴C 的共极限,即若C 有某种共极限,则C Ω也有该种共极限,且与C 有相同的构造方式.例如,共积是共极限的一种,因此若范畴C 有共积,即任意两个对象X 和Y 有共积(X +Y ,κX : X →X +Y ,κY :Y →X +Y ),则对任意共代数(X ,ξ)和(Y ,ζ),存在唯一的结构射χ:(X +Y )→Ω(X +Y )使得κX ,κY 都是同态,从而C Ω也有共积.1.2 共代数范畴的分解系统设E 和M 都是范畴C 的一组射构成的类(class,区别于集合).若(E ,M )满足:(i) 范畴C 的所有同构射同时属于E 和M ;(ii) E 和M 都对射的复合封闭;(iii) 范畴C 的任意射都有(E ,M )-分解,即对任意射f :X →Y ,存在e ∈E ,m ∈M ,使得f=m °e ;(iv) ∀e ∈E ,∀m ∈M ,e 正交于(orthogonal to)m ,记为e ⊥m ,即对范畴C 的任意射f ,g ,若m °f =g °e ,则存在唯一的射w ,使得w °e =f 且m °w =g (见左图),则称范畴C 是(E ,M )范畴.这时,射f 的分解f =m °e 在同构的意义下唯一,即若还存在m ′∈M ,e ′∈E ,使得f =m ′°e ′,则存在同构射w ,使得e ′=w °e 且m ′°w =m .e Am对于集合范畴Set ,所有满函数构成的类Epi 和所有单函数构成的类Mono 满足上述性质.因此,Set 是(Epi, Mono)范畴.对于一般范畴C ,既是满射又是单射的射不一定是同构射,因此一般不是(Epi,Mono)范畴.对于共代数范畴同态的分解,Hughes 引入了所谓殆共正则范畴(almost co-regular category)的概念[8].说范畴C 是殆共正则范畴,若它有共核及(Epi,RegMono)分解,这里,RegMono 是C 的所有正则单射构成的类.Hughes 证周晓聪等:子共代数与共同余共关系715明了如下定理(实际上,Hughes是针对代数范畴证明相应的对偶性质,即文献[8]的定理1.2.13).定理1.1. 给定范畴C是殆共正则范畴且自函子Ω:C→C保持正则单射,则CΩ也有(Epi,RegMono)分解,且为忘却函子U:CΩ→C反射和保持,即对任意同态f:(X,ξ)→(Y,ζ),设f:X→Y在C分解是f=m°e:X→X′→Y,则存在唯一的结构射χ:X′→ΩX′,使得m是正则单同态m:(X,ξ)→(X′,χ),而e是满同态e:(X′,χ)→(Y,ζ).进一步地,U保持和反射满射与正则单射,即同态f是CΩ的满射(正则单射),当且仅当它是C的满射(正则单射).集合范畴Set有共核,且它的任意单射都是正则单射,所以Set是殆共正则范畴.另一方面,集合范畴的任意自函子Ω:Set→Set都保持定义域非空的单射(因为存在左逆),而对任意共代数(X,ξ),空函数∅:∅→X总是正则单同态,因为总有空共代数(∅,∅:∅→Ω∅),而且空同态∅:(∅,∅)→(X,ξ)是同态κX,κ′X:(X,ξ)→(X+X,χ)的均等射,这里,κX,κ′X是共积的注入函数.于是有如下推论:推论1.2.对集合范畴的任意自函子Ω:Set→Set,共代数范畴SetΩ有(Epi,RegMono)分解,且为忘却函子U: CΩ→C反射和保持,即对任意同态f:(X,ξ)→(Y,ζ),像集f(X)上存在唯一的结构射χ:f(X)→Ω(f(X)),使得m为正则单同态,e为满同态.这里,m,e是函数f:X→Y在Set的分解f=m°e:X→f(X)→Y.进一步地,U反射和保持满射与正则单射,即同态f是满同态,当且仅当f是满函数;而同态f是正则单同态,当且仅当f是单函数.注意:当f是范畴SetΩ的单同态时,f不一定是单函数,因为忘却函子并不保持单射.根据著名的函子(−)23,容易构造反例说明单同态不一定是单函数.可以参考文献[6]中第2.4节对函子(−)23的讨论构造这种反例.值得一提的是,由此可推知,文献[5]的定理3.48说范畴SetΩ存在(同构意义下)唯一的(Epi,Mono)分解是错误的.实际上,一个同态既是满同态又是单同态时,不一定是同构.1.3 共关系对于范畴C,对象X和Y之间的共关系是三元组R=(R,r X:X→R,r Y:Y→R),其中R是C的对象,且r X ,r Y是范畴C的联合满射(jointly epi),即对任意射f,g:R→Z,若f°r X=g°r X且f°r Y=g°r Y,则f=g.对于任意对象X,显然∆X=(X,id X,id X)是X上(即X与X之间)的共关系,称为恒等共关系.对于任意两个对象X,Y,(X+Y,κX,κY)是X与Y之间的共关系.更一般地,当范畴C有共积时,(R,r X,r Y)是X与Y之间的共关系,当且仅当[r X,r Y]:X+Y→R是满射.由于集合范畴有共积,所以集合X和Y之间的共关系(R,r X,r Y)等价于以共积X+Y={〈0,x〉|x∈X}∪{〈1,y〉| y∈Y}为共域的满射e=[r X,r Y]:X+Y→R,从而也等价于X+Y上的一个划分.例如,集合X上的恒等共关系∆X相当于划分{{〈0,x〉,〈1,x〉}|x∈X},因此,恒等共关系实际上与恒等关系∆X={〈x,x〉|x∈X}等价.我们将X与Y之间的所有共关系记为Corel(X,Y).共关系之间可定义序:给定范畴C及对象X和Y,设R=(R,r X,r Y)和T=(T,t X,t Y)都是X和Y之间的共关系,定义R≤T,当且仅当存在射w:R→T,使得t X=w°r X且t Y=w°r Y.显然,这里的e唯一且是满射.任意一族共关系(即一组共关系构成的集合)的上确界可由广义外推给出.因此,当Corel(X,Y)本身是集合时,它就是完备偏序集,其中最小元正是共关系(X+Y,κX,κY).对偶于自反、对称、传递关系,也可定义共自反、共对称、共传递共关系[15],并进一步得到共等价共关系的概念.特别地,对于集合范畴,我们证明了:引理1.3. 集合X上的共关系R=(R,r,r′)是共等价共关系⇔R≤∆X⇔(R,r,r′)是r,r′的均等射的共核.进一步地,对于集合范畴,由于任意单函数都是正则单射,且是该单函数的共核的均等射,因此可建立共等价共关系与正则子对象之间的一一对应:X上的所有共等价共关系CoeqCorel(X)与X的所有子对象Sub(X)是同构的完全偏序集.2 子共代数与共同余共关系给定自函子Ω:C→C,共代数(X,ξ)的子共代数定义为(X,ξ)的子对象m:(Y,ζ)→(X,ξ),且m:Y→X也是范畴C的单射,即子共代数是由忘却函子所保持的单同态.当然,读者不妨将(Y,ζ)看作(X,ξ)的子共代数.类似地,(X,ξ)的正则子共代数是为忘却函子所保持的正则单同态.我们将(X,ξ)的所有子共代数记为SubCoalg(X,ξ),所有正则子共代数记为RegSubCoalg(X,ξ).716Journal of Software 软件学报 V ol.17, No.4, April 2006对于集合范畴上的自函子Ω:Set →Set ,共代数(X ,ξ)的子共代数是m :(Y ,ζ)→(X ,ξ),m :Y →X 是单函数.前面推论2.2表明,忘却函子将单函数反射为正则单射,从而m 作为同态是正则单同态.因此,m :(Y ,ζ)→(X ,ξ)就是(X ,ξ)的正则子共代数,即有如下定理:定理2.1. 给定自函子Ω:Set →Set ,共代数(X ,ξ)的任意子共代数m :(Y ,ζ)→(X ,ξ)都是正则子共代数.定理虽简单,但它使得通过共同余共关系考虑共生成子共代数成为可能.而且,这也使得Gumm [5,6],Rutten [2]关于集合范畴子共代数的一些结果可以推广到一般范畴,正如Hughes 的博士论文[8]所做的工作.Hughes 的博士论文[8]研究了一般范畴上正则子共代数的性质,但没有将它与集合范畴的子共代数性质联系起来.给定自函子Ω:C →C ,共代数(X ,ξ)和(Y ,ζ)之间的共关系((R ,ρ),r X ,r Y )称为准共同余共关系(precocongruence corelation).若(R ,r X ,r Y )在范畴C 也是对象X 与Y 之间的共关系,即准共同余共关系是忘却函子保持的共关系.引理2.2. 给定自函子Ω:C →C 且范畴C 有共积.X 与Y 之间的共关系(R ,r X ,r Y )可成为(X ,ξ)和(Y ,ζ)之间的准共同余共关系当且仅当存在(唯一的)结构射ρ:R →ΩR ,使得r X ,r Y 都成为同态.证明:因为范畴有共积时,(R ,r X ,r Y )是共关系,当且仅当[r X ,r Y ]是满射,而忘却函子又保持和反射满射.□ 进一步地,(X ,ξ)上的共关系((R ,ρ),r ,r ′)被称为共同余共关系(cocongruence corelation),如果(R ,r ,r ′)在范畴C 是对象X 上的共等价共关系.显然,恒等共关系((X ,ξ),id ,id )是(X ,ξ)上的共同余共关系.最重要的是我们可以证明,对于集合范畴的任意自函子Ω:Set →Set ,若((R ,ρ),r ,r ′)是(X ,ξ)上的共同余共关系,则在范畴Set Ω,同态r ,r ′存在均等射.首先可以证明如下引理:引理2.3. 给定自函子Ω:Set →Set ,若函数p ,q :X →Y 是它的均等射(Q ,m )的共核,且Q ≠∅,则(ΩQ ,Ωm )是Ωp ,Ωq 的均等射.证明:因为m 是单函数且Q 非空,因此存在左逆e °m =id Q ,从而m °e °m =m ,根据共核的性质,存在射u :P →X ,使得u °p =°°°f ,Ωm °w =Ωm °Ωe °f =Ωu °Ωp °f =Ωu °Ωq °f =f .若还存在w ′使得Ωm °w ′=f ,则w ′=Ωe °Ωm °w ′=Ωe °f =w .因此,(ΩQ ,Ωm )确实是Ωp ,Ωq 的均等射.□ 定理2.4. 给定自函子Ω:Set →Set ,若((R ,ρ),r ,r ′)是(X ,ξ)上的共同余共关系,则在范畴Set Ω,同态r ,r ′存在均等射((P ,ς),m ),且r ,r ′是m 的共核.证明:设r ,r ′在集合范畴Set 的均等射是(P ,m ),我们证明存在结构射ς:P →ΩP 使得m 是同态,且是r ,r ′均等射.若P =∅,则显然存在空函数使得(P,∅)是共代数,而m (这时也是空函数)是同态,且是r ,r ′的均等射,因为当r ,r ′的均等射是空函数时,意味着不存在任何函数f ,使得r °f =r ′°f ,当然也就不存在任何同态使得该等式成立.因此,空同态也是同态r ,r ′的均等射.m ΩX若P ≠∅,则根据上面的引理,(ΩQ ,Ωm )是Ω r ,Ω r ′的均等射,见右图.由r ,r ′都是同态有 Ωr °ξ°m =ρ°r °m =ρ°r ′°m =Ωr ′°ξ°m . R 从而根据均等射的性质,存在ς:P →ΩP ,使得ξ°m =Ωm °ς,即m 是同态. 对任意同态f :(Y ,ζ)→(X ,ξ),若r °f =r ′°f ,则因为作为函数m 是r ,r ′的均等射,因此存在唯一的函数k :Y →P ,使得f =m °k ,由f 是同态且m 是单射,不难证明k 是同态,从而在范畴Set Ω,同态m 也是r ,r ′的均等射.进一步地,由于在周晓聪 等:子共代数与共同余共关系717范畴Set 中(R ,r ,r ′)是m 的共核且忘却函子创建共极限,从而在范畴Set Ω,r ,r ′也是m 的共核. □根据上面定理2.1,对于集合范畴上的自函子,(X ,ξ)的子共代数m :(Y ,ζ)→(X ,ξ)都是正则子共代数,从而m 都是它的共核((R ,ρ),r ,r ′)的均等射.这样,(X ,ξ)的所有子共代数SubCoalg (X ,ξ)与(X ,ξ)上的所有共同余共关系Cocong (X ,ξ)建立了一一对应,且此对应使得这两个完全偏序集同构.定理2.5. 给定集合范畴上的自函子Ω,(X ,ξ)的所有子共代数SubCoalg (X ,ξ)与(X ,ξ)上的所有共同余共关系Cocong (X ,ξ)是两个同构的完全偏序集.证明:求子共代数的共核和求共同余共关系的均等射建立了SubCoalg (X ,ξ)和Cocong (X ,ξ)之间的双射,且这两个操作分别保持子共代数和共同余共关系的序,而保序的双射是格之间的同构. □ 3 共生成子共代数的构造利用上面所给出的子共代数与共同余共关系之间的同构,可以给出共生成子共代数的构造.首先,我们给出共生成子共代数的定义:定义3.1. 给定自函子Ω:C →C 和共代数(X ,ξ),X 的子对象m :Y →X 的共生成(cogenerate)子共代数[m ]是(X ,ξ)被该子对象包含的最大子共代数,即它满足:(1) [m ]是(X ,ξ)的子共代数,且m 和[m ]作为X 的子对象有[m ]≤m ;(2) 对(X ,ξ)的任意子共代数n :(Z ,χ)→(X ,ξ),若在范畴C 有n ≤m ,则在范畴C Ω也有n ≤[m ].对集合范畴的自函子Ω:Set →Set 上的共代数(X ,ξ),由于集合X 的子对象m :Y →X 可认为是X 的子集m (Y ),所以共生成子共代数是被X 的子集Y ⊆X 包含的最大子共代数.Rutten 等人证明:对于共代数(X ,ξ)和(Y ,ζ),X ∪Y 存在结构射χ:(X ∪Y )→Ω(X ∪Y )使得包含函数m :X →X ∪Y 和n :Y →X ∪Y 是同态,从而在SubCoalg (X ,ξ)中,(X ∪Y ,χ)是(X ,ξ)和(Y ,ζ)的上确界.进一步地,此结论可以推广到任意一族共代数的并,即SubCoalg (X ,ξ)的上确界∨可由集合并给出,这意味着,对任意共代数(X ,ξ),X 的子集Y 总是存在共生成子共代数∨{(Y i ,ζi )|Y i ⊆Y }.但这并没有给出共生成子共代数的构造方式.为利用子共代数与共同余共关系之间的同构给出共生成子共代数的具体构造方式,这里再给出共生成准共同余共关系的定义.定义3.2. 给定自函子Ω:C →C 及共代数(X ,ξ)和(Y ,ζ).对象X 和Y 之间的共关系R =(R ,r X ,r Y )的共生成准共同余共关系,记为[R ]=([R ],[r X ],[r Y ]),是(X ,ξ)和(Y ,ζ)之间被该关系包含的最大准共同余共关系,即:(1) ([R ],[r X ],[r Y ])是(X ,ξ)和(Y ,ζ)之间准共同余共关系,且作为范畴C 的共关系有[R ]≤R ;(2) 对(X ,ξ)和(Y ,ζ)之间任意准共同余共关系T =((T ,χ),t X ,t Y ),若在范畴C 有T ≤R ,则在范畴C Ω也有T ≤[R ].在一定条件下,我们可以给出共生成准共同余共关系的构造:定理3.1. 给定范畴C 是有共积的殆共正则范畴且函子Ω:C →C 保持正则单射.若忘却函子U :C Ω→C 有右伴函子H :C →C Ω,则对任意共代数(X ,ξ)和(Y ,ζ),X 和Y 之间的共关系R =(R ,r X ,r Y )有共生成准共同余共关系.证明:设伴随函子(U ┤H )的单位变换(unit)是η:Id ⇒HU .对于(X ,ξ)和(Y ,ζ)的共积(X +Y ,χ)有同态ηχ:(X +Y ,χ)→H (X +Y ).对于共关系(R ,r X ,r Y ),我们有满射r =[r X ,r Y ]:X +Y →R ,且Hr :H (X +Y )→HR 也是同态. ηχ(X +Y )Y根据定理 1.1,这时,范畴C Ω有(Epi,RegMono)分解,所以可考虑同态Hr °ηχ:(X +Y ,χ)→H (X +Y )→HR 的分解m °e :(X +Y )→[R ]→HR ,见左图. m 我们证明[R ]=([R ],e °κX ,e °κY )就是(R ,r X ,r Y )的共生成准共同余共关系.首先证明[R ]≤R .设伴随函子(U ┤H )的共单位变换(counit)是ε:UH ⇒Id C ,特别地,对于X +Y 有εXY :H (X +Y )→ (X +Y ),=id .718Journal of Software 软件学报 V ol.17, No.4, April 2006于是,εR °m °e =εR °Hr °ηχ=r °εXY °ηχ=r ,这就表明[R ]≤R .对(X ,ξ)和(Y ,ζ)之间的任意准共同余共关系T =((T ,τ),t X ,t Y ),有满射t =[t X ,t Y ],若T ≤R ,即存在射w :T →R 使得r = w °t ,见下图:HT X +Y tHt H (X +ηHR Hwηχ于是,Hw °ητ°t =Hw °Ht °ηχ=Hr °ηχ=m °e ,从而由t 是满射,m 是正则单射有t ⊥m ,即存在射u :T →[R ],使得e =u °t ,即T ≤[R ].综上表明:([R ],e °κX e °κY )就是(R ,r X ,r Y )的共生成准共同余共关系. □具体到集合范畴,上述定理意味着:当自函子Ω:Set →Set 使得忘却函子U :Set Ω→Set 存在右伴函子时,给定共代数(X ,ξ),可给出X 上的共关系(R ,r ,r ′)的共生成准共同余共关系的构造.进一步地,对于X 上的共等价共关系R ,由于[R ]≤R ≤∆X ,因此[R ]也是共等价共关系,从而是(X ,ξ)上的共同余共关系.也就是说,我们有:引理3.2. 给定自函子Ω:Set →Set 及其共代数(X ,ξ),X 上的共等价共关系的共生成准共同余共关系是(X ,ξ)上的共同余共关系.利用这一点,对于X 的子对象m :Y →X ,我们可以考虑m 的共核R =(R ,r ,r ′),它是X 上的共等价共关系.R 的共生成准共同余共关系[R ]=(([R ],ρ),[r ],[r ′])是(X ,ξ)上的共同余共关系.而在范畴Set Ω,同态[r ],[r ′]存在均等射[m ]: ([P ],ς)→(X ,ξ),我们证明这就是m 的共生成子共代数.定理3.3. 给定自函子Ω:Set →Set 及共代数(X ,ξ).设X 的子对象m :Y →X 的共核是R =(R ,r ,r ′),而R 的共生成共同余共关系是[R ]=(([R ],ρ),[r ],[r ′]),则同态[r ],[r ′]的均等射[m ]:([P ],ς)→(X ,ξ)是m 的共生成子共代数.证明:根据定理2.4,这时,同态[r ],[r ′]也是[m ]共核,而X 上的共等价共关系与X 的子对象一一对应,因此,[R ]≤ R 意味着也有[m ]≤m .对(X ,ξ)的任意子共代数n :(Z ,ζ)→(X ,ξ),设n ≤m .考虑同态n 的共核T =((T ,χ),t ,t ′),则n 也是同态t ,t ′的均等射.同样,由于共等价共关系与子对象(均等射)一一对应,因此,n ≤m 意味着作为共等价共关系有T ≤R ,从而根据共生成共同余共关系的性质,有T ≤[R ].再利用子共代数与共同余共关系之间的一一对应,就有n ≤[m ],这就表明[m ]是m 的共生成子共代数.□ 结合上面两个定理,当自函子Ω:Set →Set 使得共代数范畴的忘却函子存在右伴函子时,我们就得到了共生成子共代数的一种具体构造方式. 4 结束语共代数方法是理论计算机科学近10年新兴起的研究领域之一,它本身的一些基础问题还需要进一步探索和研究.本文以范畴论为工具,从共关系理论的角度,利用共同余共关系与子共代数之间的对应,给出了集合范畴的共生成子共代数的一种构造方式.由于共生成子共代数与共代数范畴的结构、积共代数以及互模拟之间有紧密的联系[8,11],这里所给出的构造方式可用于对积共代数、互模拟的性质作进一步的研究.对共关系理论的研究也有助于研究共代数以及基于状态的系统的性质描述.由于对象是一种基于状态的系统,因此,这种研究对于将共代数用于研究面向对象技术的理论基础有十分重要的作用.实际上,研究共代数的共等式规范描述[15],从而描述与验证软件系统的性质,是共代数方法在计算机科学中的重要应用之一. 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