2013年常熟市高中数学青年教师解题比赛试题

2013年常熟市高中数学青年教师解题比赛试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页，共150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
参考公式：
三角函数的积化和差公式 正棱台、圆台的侧面积公式
)]sin()[sin(21
cos sin β-α+β+α=βα l c c S )'(21+=台侧其中'c 、c 分别表示
)]sin()[sin(2
1
sin cos β-α-β+α=βα 上、下底面周长，l 表示斜高或母线长
)]cos()[cos(21
cos cos β-α+β+α=βα 球体的体积公式 334R V π=球
)]cos()[cos(
1
sin sin β-α-β+α-=βα 其中R 表示球的半径
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，
1．若3)sin(=+πα，则)2
cos(
α-的值等于 （A ）31 （B ）31- （C ）322 （D ）-322
2．若函数y=f （x ）的反函数的图象经过点)1,2(-，则此函数可能是
x y D y C y B x y A x x 2log )(2)()21
()(21)(-===-=
3．双曲线
116
92
2=-y x 的一个焦点到一条渐近线的距离等于 (A)3 (B)3 (C) 4 (D) 2
4．圆台母线与底面成450
角，侧面积为π23，则它的轴截面面积是
（A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）23
5．若{a n }是无穷等比数列，且a 1＋a 2＋a 3=
43, a 2＋a 3＋a 4=－8
3
，则此数列所有项的和为 （A ）31
（B ）32 （C ）1 （D ）3
4
6．设函数|log |)(x x f a =（10<<a ），则下列各式中成立的是
)
2()3
1
(41()()
41()2()31()()
31
()2()41()(41()31()2()(f f f D f f f C f f f B f f f A >>>>>>>>
7．如图，点P 是正方形ABCD 所在的平面外一点，AD PD ABCD PD =⊥,平面，则PA 与BD 所成角的度数为 （A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）90°
8．过圆）（4
cos
2π
θρ-=的圆心，且与极轴所在直线垂直的直线
方程为
2
2sin 22cos -=-
=θρθρ）（）（B A 2
2sin 2
2
cos =
=
θρθρ）（）（D C 9. 有5个身高均不相同的学生排成一排合影留念，高个子站在中间，从中间到左边一个比一个矮，从中间到右边也是一个比一个矮，则这样的派法有 (A) 6种 （B ）8种 （C ）12种 （D ）16种
10. 设点P 在直线1=x 上变化，O 为坐标原点．以OP 为直角边、点O 为直角顶点作等腰OPQ Rt ∆，则动点Q 的轨迹是
(A)两条平行直线 （B ）一条直线 （C ）抛物线 （D ）圆
11．由(3x+32)100
展开所得的x 的多项式中,系数为有理数的共有 (A)50项 (B)17项 (C)16项 (D)15项
12. 某大学的信息中心A 与大学各部门、各院系B ，C ，D ，E ，F ，G
，H ，I 之间拟建立信息联网工程，实际测算的费用如图所示（单位：万元）.请观察图形，可以不建立部分网线，而使得中心与各部门、各院系都能连通（直接或中转），则最小的建网费用是 (A)16万元 （B ）14万元 （C ）13万元 （D ）12
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
注意事项：
1.第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中．
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚．
二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．)
13.如果直线b y x =+与圆222=+y x 相切，则实数b 的值为___________；
14.已知,52,4321i z i z --=+=则2
11arg
z z i
z +-= ；
15.已知αγβα(1sin sin sin 222=++、β、γ均为锐角），那么γβαcos cos cos 的最大值等于____________________；
16.定义在R 上的偶函数f （x ）满足：)()1(x f x f -=+，且在[-1，0]上是增函数，下面是关于f （x ）的判断：（1）f （x ）是周期函数；（2）f （x ）的图象关于直线x=1对称；（3）f （x ）在[0，1]上是增函数；（4）f （x ）在[1，2]上是减函数；（5）f （2）=f （0），其中正确的判断是 （把你认为正确的判断都填上）
三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17.（本小题满分12分）
已知函数3)2
(cos 32)2sin()(2
-+++=θ
θx x x f
⑴ 求函数)(x f 的周期;
⑵ 若πθ≤≤0,求θ,使函数)(x f 为偶函数.
已知函数)(3
)(2a x a x x x f ≠-+=, a 为非零常数，
⑴ 解不等式x x f <)(;
⑵ 设a x >时，)(x f 的最小值为6,求a 的值.
如图，三棱锥P-ABC中，∠APB=∠APC=600，PA=3，PB=2，ΔPBC为正三角形（1）求证：平面PBC⊥平面ABC；
（2）求棱PA与侧面PBC所成的角；
P
（3）求点B到侧面PAC的距离.
C
A
B
，0）和B（3，0），动点P到A、B两点的距离差的绝对值为2, 已知点A（3
(1)求动点P的轨迹方程;
(2)过点C（1，1）能否作直线l，使它与动点P的轨迹交于两点M，N，且点C是线段MN的中点，问这样的直线l是否存在，若存在，求出它的方程，若不存在，说明理由.
21.（本小题满分12分）
国内某大报纸有如下报道：学数学，其实是要使人聪明，使人的思维更加缜密. 在美国广为流传的一道数学题目是：老板给你两个加工资的方案. 一是每年年末加一千；二是每半年结束时加300元. 例如，在第二年的年末，依第一种方案可以加得1000+2000=3000（元）；而第二种方案在第一年加得300+600=900（元），第二年加得900+1200=2100（元），总数也是3000元.
⑴ 如果在该公司干十年，问选择第一种还是第二种的方案所加的工资高？高多少？
⑵ 如果第二种方案中的每半年加300元改为每半年加a元，问a为何值时，总是选择第二方案比选择第一方案多加薪？
22.（本小题满分14分）
已知ax x x f +-=3)(在(0,1)是增函数, (1) 求实数a 的取值范围
(2) 当3=a 时,定义数列}{n a 满足)1,0(1∈a ,且)(21n n a f a =+,求证:对一切正整数n 均有)1,0(∈n a .。