数列综合测试题
数列测试题及答案
数列测试题一.选择题1.假如等差数列{}n a 中,34512a a a ++=,那么127...a a a +++=（A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）352.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,已知3432S a =-,2332S a =-,则公比q =（A ）3 （B ）4（C）5（D ）63.设数列{}n a 的前n 项和2n S n =,则8a 的值为（A ） 15 (B) 16 (C) 49 （D ）644.设n s 为等比数列{}n a 的前n 项和,2580a a +=则52S S = (A)-11 (B)-8 (C)5(D)115.已知等比数列}{n a 的公比为正数,且3a ·9a =225a ,2a =1,则1a = A.21 B.22 C. 2 D.26.已知等比数列{}n a 知足0,1,2,n a n >=,且25252(3)n n a a n -⋅=≥,则当1n ≥时,2123221log log log n a a a -+++=A. (21)n n -B. 2(1)n +C. 2nD. 2(1)n -7.公役不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若4a 是37a a 与的等比中项, 832S =,则10S 等于A. 18B. 24C. 60D. 90 8.设等比数列{ n a }的前n 项和为n S ,若63S S =3 ,则69S S = （A ） 2 （B ） 73 （C ） 83（D ）39.已知{}n a 为等差数列,1a +3a +5a =105,246a a a ++=99,以n S 暗示{}n a 的前n 项和,则使得n S 达到最大值的n 是（A ）21 （B ）20 （C ）19 （D ） 1810.无限等比数列,42,21,22,1…各项的和等于（） A ．22-B ．22+C ．12+D ．12-11.数列{}n a 的通项222(cos sin )33n n n a n ππ=-,其前n 项和为n S ,则30S 为 A ．470B ．490C ．495D ．510 12.设,R x ∈记不超出x 的最大整数为[x ],令{x }=x -[x ],则{215+},[215+],215+ 二.填空题13.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若36324S S ==，,则9a =.14.在等比数列{}n a 中,若公比q=4,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式n a =．15.设等比数列{}n a 的公比12q =,前n 项和为n S ,则44S a =． 16.已知数列{}n a 知足：434121,0,,N ,n n n n a a a a n *--===∈则2009a =________;2014a =_________.三.解答题17.已知等差数列{n a }中,,0,166473=+-=a a a a 求{n a }前n 项和n s .18.已知{}n a 是首项为19,公役为-2的等差数列,n S 为{}n a 的前n 项和.（Ⅰ）求通项n a 及n S ;（Ⅱ）设{}n n b a -是首项为1,公比为3的等比数列,求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n T .19.已知等差数列{}n a 知足：37a =,5726a a +=,{}n a 的前n 项和为n S ．（Ⅰ）求n a 及n S ; （Ⅱ）令b n =211n a -(n ∈N *),求数列{}n b 的前n 项和n T ．20.设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知11,a =142n n S a +=+ （I ）设12n n n b a a +=-,证实数列{}n b 是等比数列 （II ）求数列{}n a 的通项公式. 21.数列{}n a 的通项222(cos sin )33n n n a n ππ=-,其前n 项和为n S .(1) 求n S ; (2) 3,4nn nS b n =⋅求数列｛n b ｝的前n 项和n T .答案 1.【答案】C【解析】173454412747()312,4,7282a a a a a a a a a a a +++===∴+++=== 2.解析：选B. 两式相减得,3433a a a =-,44334,4a a a q a =∴==.3.答案：A【解析】887644915a S S =-=-=.5.【答案】B【解析】设公比为q ,由已知得()22841112a q a q a q⋅=,即22q=,又因为等比数列}{n a 的公比为正数,所以2q =,故211222a a q===,选B 6.【解析】由25252(3)n n a a n -⋅=≥得n n a 222=,0>n a ,则n n a 2=,+⋅⋅⋅++3212log log a a 2122)12(31log n n a n =-+⋅⋅⋅++=-,选C.答案：C7.【解析】由2437a a a =得2111(3)(2)(6)a d a d a d +=++得1230a d +=,再由81568322S a d =+=得 1278a d +=则12,3d a ==-,所以1019010602S a d =+=,.故选C8.【解析】设公比为q ,则36333(1)S q S S S +=＝1＋q 3＝3q 3＝2于是63693112471123S q q S q ++++===++【答案】B9.[解析]：由1a +3a +5a =105得33105,a =即335a =,由246a a a ++=99得4399a =即433a = ,∴2d =-,4(4)(2)412n a a n n =+-⨯-=-,由10n n a a +≥⎧⎨<⎩得20n =,选B10.答案B 11.答案：A 【解析】因为22{cos sin }33n n ππ-以3 为周期,故 221010211(32)(31)591011[(3)][9]25470222k k k k k k ==-+-⨯⨯=-+=-=-=∑∑故选A12.【答案】B【解析】可分离求得515122⎧⎫+-⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭,51[]12+=.则等比数列性质易得三者组成等比数列. 13.解析：填15. 316132332656242S a d S a d ⨯⎧=+=⎪⎪⎨⨯⎪=+=⎪⎩,解得112a d =-⎧⎨=⎩,91815.a a d ∴=+=14.【答案】n-14【解析】由题意知11141621a a a ++=,解得11a =,所以通项n a =n-14. 15.答案：15【解析】对于4431444134(1)1,,151(1)a q s q s a a q q a q q --==∴==--16.【答案】1,0【解析】本题重要考核周期数列等基本常识.属于创新题型. 依题意,得2009450331a a ⨯-==, 17.解：设{}n a 的公役为d ,则即22111812164a da d a d⎧++=-⎨=-⎩解得118,82,2a a d d =-=⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩或是以()()()()819819n n S n n n n n S n n n n n =-+-=-=--=--，或18.19.【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公役为d,因为37a =,5726a a +=,所以有112721026a d a d +=⎧⎨+=⎩,解得13,2a d ==, 所以321)=2n+1n a n =+-（;n S =n(n-1)3n+22⨯=2n +2n . （Ⅱ）由（Ⅰ）知2n+1n a =,所以b n =211n a -=21=2n+1)1-（114n(n+1)⋅=111(-)4n n+1⋅, 所以n T =111111(1-+++-)4223n n+1⋅-=11(1-)=4n+1⋅n 4(n+1), 即数列{}n b 的前n 项和n T =n4(n+1).20.解：（I）由11,a =及142n n S a +=+,有12142,a a a +=+21121325,23a a b a a =+=∴=-=由142n n S a +=+,．．．①则当2n ≥时,有142n n S a -=+．．．．．②②－①得111144,22(2)n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-∴-=-又12n n n b a a +=-,12n n b b -∴={}n b ∴是首项13b =,公比为２的等比数列．（II ）由（I ）可得11232n n n n b a a -+=-=⋅,113224n n n n a a ++∴-= ∴数列{}2n n a 是首项为12,公役为34的等比数列． ∴1331(1)22444n na n n =+-=-,2(31)2n n a n -=-⋅ : (1) 因为222cos sin cos 333n n n πππ-=,故1331185(94)2222k k k -+=+++=,故 1,3236(1)(13),316(34),36n n n k n n S n k n n n k ⎧--=-⎪⎪+-⎪==-⎨⎪+⎪=⎪⎩(*k N ∈) (2) 394,424n n n nS n b n +==⋅⋅ 两式相减得 故 2321813.3322n n n nT -+=--⋅。
等差数列数列综合测试题
等差数列测试题班级：_____________姓名：_____________得分：___________ 一选择题：（60分=5分×12）1.已知{}n a 为等差数列，135********,99,a a a a a a a ++=++=则等于（ ） A. -1 B. 1 C. 3 D. 72.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等于( ) A ．13 B ．35 C ．49 D ． 633.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3S =6，1a =4， 则公差d 等于 A ．1 B. 53C.- 2D. 3 4.已知{}n a 为等差数列，且7a －24a ＝－1, 3a ＝0,则公差d ＝( )A.－2B. 12- C. 12D.25.若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a =( )A.12B.13C.14D.15 6.已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是 （ ） A ．15 B ．30 C ．31 D ．64 7.已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则该数列前10项和10S 等于（ ） A ．64 B ．100 C ．110 D ．120 8.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112a =，420S =，则6S =（ ） A ．16 B ．24 C ．36 D ．489.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（ ） A ．63 B ．45 C ．36 D ．27 10.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若36612S1,3S S S ==则（ ） A.310 B.13 C.18 D.1911、等差数列{}n a 中，39||||,a a =公差d<0，则使前项n 和n S 取得最大值的自然数n 的值是（ ）A.4和5B.5和6C.6和7D.不存在12、含2n+1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为（ ） A.21n n+ B.1n n + C.1n n - D.12n n +二、填空题（20分=5分×4）13.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1221S =，则25811a a a a +++= 14. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若972S =,则249a a a ++= 15.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若535a a =,则95S S = 16.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且53655,S S -=则4a = 三、解答题（70分=10分+5×12分，22,23大题任选一题作答） 17.在等差数列{}n a 中，40.8a =，11 2.2a =，求515280a a a +++.18.已知等差数列{n a }中，374616,0a a a a ⋅=-+=，求{n a }前n 项和n S .19、求数列{}n a 的前n 项和n S ，其中1(1)n a n n =+20、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知312a =，12S >0，13S <0， ①求公差d 的取值范围；②1212,,,S S S 中哪一个值最大？并说明理由.21、设等差数列}{n a 的前ｎ项的和为S n ,且S 4 =－62, S 6 =－75,求： （1）}{n a 的通项公式a n 及前ｎ项的和n S ； （2）12314...a a a a ++++*22、某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元， （Ⅰ）问第几年开始获利？（Ⅱ）若干年后，有两种处理方案：（1）年平均获利最大时，以26万元出售该渔船；（2）总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船.问哪种方案合算.*23.若两个数列的前n 项和之比是(71):(427)n n ++,试求它们的第11项之比，第n 项之比。
高中数学选择性必修二 第4章数列 综合测试章节复习
人教A 版选择性必修第二册第四章数列综合测试1一、单选题1．在等差数列{a n }中，已知a 5=3，a 9=6，则a 13=（ ） A ．9B ．12C ．15D ．182．在等差数列{}n a 中，若n S 为其前n 项和，65a =，则11S 的值是（ ） A ．60B ．11C ．50D ．553．已知q 为等比数列{}n a 的公比，且1212a a =-，314a =，则q =（ ） A ．1- B ．4 C ．12-D ．12±4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知58a =，36S =，则107S S -的值是（ ） A ．48B ．60C ．72D ．245．已知数列{x n }满足x 1＝1，x 2＝23，且11112n n n x x x -++=(n ≥2)，则x n 等于（ ） A ．(23)n －1B ．(23)n C ．21n + D ．12n + 6．已知数列1，2a a +,234a a a ++,3456a a a a +++,…，则数列的第k 项是（ ）A ．12k k k a a a ++++B ．121k k k a a a --++C ．12k k k a a a -+++D ．122k k k a a a --+++7．数列{a n }满足211232222n n na a a a -+++⋯+=(n ∈N *)，数列{a n }前n 和为S n ，则S 10等于（ ）A ．5512⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10112⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．9112⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．6612⎛⎫ ⎪⎝⎭8．历史上数列的发展，折射出很多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233……即F （1）=F （2）=1，F （n ）=F （n －1）＋F （n －2），()*3n n N≥∈，，此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新数列{}n b ，则b 2020=（ ） A ．3B ．2C ．1D ．09．已知数列{}n a 的首项11a =，前n 项的和为n S ，且满足()*122n n a S n N ++=∈，则满足2100111100010n nS S 的n 的最大值为（ ）. A ．7B ．8C ．9D ．1010．已知数列{}n a 满足2122111,16,2n n n a a a a a ++===则数列{}n a 的最大项为（ ） A ．92 B ．102C ．8182D ．11211．已知单调递增数列{}n a 的前n 项和n S 满足()()*21n n n S a a n =+∈N，且0nS>，记数列{}2nn a ⋅的前n 项和为n T ，则使得2020n T >成立的n 的最小值为（ ）A ．7B ．8C ．10D ．1112．函数222,3()11,316x ax a x f x ax x ⎧-+<⎪=⎨-≥⎪⎩，数列{}n a 满足()n a f n =，*n ∈N ，且为递增数列．则实数a 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．33,42⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．53,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题13．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且463a a +=，则9S =______.14．数列{}n a 的前n 项和为223n S n n =-+，则n a =_________________.15．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，若()112nn n n S a =-+，则129S S S +++=________.16．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，现将该金杖截成长度相等的15段，记第n 段的重量为n a 斤(n =1，2，…，15)，且1215a a a <<<，若[]n n n b a a =⋅(其中[]n a 表示不超过n a 的最大整数)，则数列{}n b 的所有项和为________.三、解答题17．在等比数列{}n a 中，已知1a 1=-，2a 2=．()1求{}n a 的通项公式；()2若3a ，4a 分别为等差数列{}n b 的前两项，求{}n b 的前n 项和n S ．18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且35a =，15150=S . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记124na nb =⋅，{}n b 的前n 项和为n T ，求n T . 19．已知数列{}n a 的前n 项和为233n S n n =-.（1）求证：数列{}n a 是等差数列； （2）求n S 的最大值及取得最大值时n 的值.20．已知等差数列{}n a ，n S 为其前n 项和，5710,56.a S == （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n a n n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n n =+，数列{}n b 的通项公式为1n n b x -=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n n c a b =，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求n T ；（3）设()44n n d n a =+，12n n H d d d =+++()*n N ∈，求使得对任意*n N ∈，均有9n mH >成立的最大整数m 22．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，131n n S S +=+，11a =． （1）证明：数列{}n a 是等比数列，并求n a 的通项公式； （2）若()11n n n b na -=-⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．参考答案1．A 【分析】在等差数列{a n }中，利用等差中项由95132a a a =+求解. 【详解】在等差数列{a n }中，a 5=3，a 9=6， 所以95132a a a =+，所以139522639a a a =-=⨯-=， 故选：A 2．D 【分析】根据题中条件，由等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，即可求出结果. 【详解】因为在等差数列{}n a 中，若n S 为其前n 项和，65a =，所以()1111161111552a a S a +===.故选：D. 3．C 【分析】利用等比通项公式直接代入计算，即可得答案；()211142211111122211121644a a q a qqqqa q a q⎧⎧=-=--⎪⎪⎪⎪⇒⇒=⇒=-⎨⎨⎪⎪=⋅=⎪⎪⎩⎩，故选：C.4．A【分析】根据条件列方程组，求首项和公差，再根据107891093S S a a a a-=++=，代入求值. 【详解】由条件可知114832362a da d+=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得：12ad=⎧⎨=⎩，()10789109133848S S a a a a a d-=++==+=.故选：A5．C【分析】由已知可得数列1nx⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，求出数列1nx⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，进而得出答案．【详解】由已知可得数列1nx⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，且121131,2x x==，故公差12d=则()1111122nnnx+=+-⨯=，故21nxn=+6．D 【分析】根据已知中数列的前4项，分析数列的项数及起始项的变化规律，进而可得答案 【详解】解：由已知数列的前4项：1，2a a +,234a a a ++,3456a a a a +++,归纳可知该数列的第k 项是一个以1为首项，以a 为公比的等比数列第k 项开始的连续k 项和，所以数列的第k 项为：122k k k a a a --+++故选：D 7．B 【分析】根据题意得到22123112222n n n a a a a ---++++=，（2n ≥），与条件两式作差，得到12n n a =，（2n ≥），再验证112a =满足12n n a =，得到12n n a =()*n N ∈，进而可求出结果. 【详解】因为数列{}n a 满足211232222n n na a a a -++++=， 22123112222n n n a a a a ---++++=，（2n ≥） 则1112222--=-=n n n n a ，则12n n a =，（2n ≥）， 又112a =满足12n n a =，所以12n n a =()*n N ∈，因此1010210123101011111112211222212S a a a a ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭++=+++==- ⎪+⎝-=⎭.故选：B 8．A 【分析】根据条件得出数列{}n b 的周期即可. 【详解】由题意可知“兔子数列”被4整除后的余数构成一个新数列为：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，……则可得到周期为6，所以b 2020=b 4=3， 故选：A 9．C 【分析】根据()*122n n a S n N ++=∈可求出na的通项公式，然后利用求和公式求出2,n n S S ，结合不等式可求n 的最大值. 【详解】1122,22()2n n n n a S a S n +-+=+=≥相减得1(22)n n a a n +=≥，11a =，212a =；则{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，100111111000210n⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，1111000210n⎛⎫<< ⎪⎝⎭，则n 的最大值为9. 故选：C10．B 【分析】本题先根据递推公式进行转化得到21112n n n n a a a a +++=．然后令1n n na b a +=，可得出数列{}n b 是等比数列．即11322nn n a a +⎛⎫= ⎪⎝⎭．然后用累乘法可求出数列{}n a 的通项公式，根据通项公式及二次函数的知识可得数列{}n a 的最大项． 【详解】解：由题意，可知： 21112n n n na a a a +++=． 令1n n n ab a +=，则112n n b b +=． 21116a b a ==， ∴数列{}n b 是以16为首项，12为公比的等比数列． 111163222n nn b -⎛⎫⎛⎫∴== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．∴11322nn n a a +⎛⎫= ⎪⎝⎭．∴1211322a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 2321322a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，111322n n n a a --⎛⎫= ⎪⎝⎭．各项相乘，可得：12111111(32)222n n na a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．(1)2511()22n n n --⎛⎫= ⎪⎝⎭2115(1)221122n n n---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211552212n n n --+⎛⎫= ⎪⎝⎭21(1110)212n n -+⎛⎫= ⎪⎝⎭．令2()1110f n n n =-+，则，根据二次函数的知识，可知：当5n =或6n =时，()f n 取得最小值．()2551151020f =-⨯+=-，()2661161020f =-⨯+=-，()f n ∴的最小值为20-．∴211(1110)(20)1022101112222n n -+⨯--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．∴数列{}n a 的最大项为102．故选：B ． 【点睛】本题主要考查根据递推公式得出通项公式，构造新数列的方法，累乘法通项公式的应用，以及利用二次函数思想求最值； 11．B 【分析】由数列n a 与n S 的关系转化条件可得11n n a a -=+，结合等差数列的性质可得n a n =，再由错位相减法可得()1122n n T n +=-⋅+，即可得解.【详解】由题意，()()*21n n n S a a n N=+∈，当2n ≥时，()11121n n n S a a ---=+，所以()()11122211n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+-+， 整理得()()1110n n n n a a a a --+--=，因为数列{}n a 单调递增且0n S >，所以110,10n n n n a a a a --+≠--=，即11n n a a -=+， 当1n =时，()11121S a a =+，所以11a =， 所以数列{}n a 是以1为首项，公差为1的等差数列， 所以n a n =，所以1231222322n n T n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，()23412122232122n n n T n n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅，所以()()234111212222222212212n n n n n n T n n n +++--=++++⋅⋅⋅+-⋅=-⋅=-⋅--，所以()1122n n T n +=-⋅+，所以876221538T =⨯+=，987223586T =⨯+=，所以2020n T >成立的n 的最小值为8. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是数列n a 与n S 关系的应用及错位相减法的应用. 12．B 【分析】根据分段函数的特征，以及数列在*n N ∈是单调递增数列，列式求解. 【详解】{}n a 是单调递增数列，所以0a >，数列{}n a 是单调递增数列22303321142222316a a a a a ⎧<<⎪⎪⇔⇔<<⎨⎪-⋅+<-⎪⎩. 故选：B ． 【点睛】易错点点睛：本题考查分段函数的单调性和数列单调性的简单综合应用，本地的易错点是1n =和2n =时，数列的单调性，容易和函数222,3y x ax a x =-+<时函数单调性搞混，此时函数单调性和数列单调性的式子是不一样的，需注意这点. 13．272【分析】根据题中条件，由等差数列的性质，求出532a =，再由等差数列的求和公式，根据等差数列的性质，即可求出结果. 【详解】因为等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且463a a +=， 由等差数列的性质可得，46523a a a +==，所以532a =， 因此()1995927922a a S a +===. 故答案为：272. 14．2,123,2n n n =⎧⎨-≥⎩【分析】利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩计算可得出数列{}n a 的通项公式.【详解】当2n ≥时，()()()221=23121323n n n a S S n n n n n -⎡⎤=--+----+=-⎣⎦; 而112a S ==不适合上式，2,123,2n n a n n =⎧∴=⎨-≥⎩.故答案为：2,123,2n n n =⎧⎨-≥⎩. 15．3411024【分析】令1n =计算得出114a =，然后推导出当n 为偶数时，0n S =，当n 为奇数时，112n n S +=，利用等比数列的求和公式可求得129S S S +++的值.【详解】当1n =时，11112a S a ==-+，解得114a =；当2n ≥时，()()()1111122nnn n n n n nS a S S -=-+=-⋅-+. 当n 为偶数时，可得112n n n n S S S -=-+，则112n nS -=； 当()3n n ≥为奇数时，可得112n n n n S S S -=-++，则1112120222n n n n nS S -+=-=-=. 因此，2512924681011111111341240000122222102414S S S ⎛⎫- ⎪⎝⎭+++=++++++++==-.故答案为：3411024. 【点睛】方法点睛：本题考查已知n S 与n a 的关系求和，常用的数列求和方法如下：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和； （3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.16．869【分析】先根据等差数列的通项公式列方程求出公差与首项，可得1018n n a +=，结合新定义与等差数列的求和公式可得答案. 【详解】由题意，由细到粗每段的重量成等差数列{}n a ，设公差为d ，则1123131415132,4,323394a a a a a a d a d a +++=⎧⎧⇒⎨⎨++=+=⎩=⎩解得11118a =，118d =， 所以1018n n a +=． 所以[]0,17,1,815.n n a n ≤≤⎧=⎨≤≤⎩因此数列{}n b 的所有项和为891518192586189a a a ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+==．故答案为：869【点睛】与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答..17．（1）1(2)n n a -=--；（2）2610n S n n =-.【分析】(1)求出等比数列的公比q ，进而得到其通项公式；（2）求出等差数列公差d ，再利用等差数列的前n 项和公式求解. 【详解】（1）∵公比212a q a ==-，∴()1112n n n a a q --==--. （2）∵34a =-，48a =，4a -3a =8+4=12,∴14b =-，公差12d =.故()214126102n n n S n n n -=-+⨯=-.【点睛】本题考查了等比数列的基本量计算和等比数列的通项公式，考查了等差数列的基本量计算和前n 项和公式.是基础题.18．（1）2n a n =+ （2）122n n T +=-【分析】（1）由15150=S ，可得11510a a +=，即85a =，从而可得公差d ，从而得出答案. （2）由条件可得21122244n a n n n b +=⋅=⋅=，由等比数列的前n 项和公式可得答案. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，11515151502a a S +=⨯= 则11520a a +=，又1158220a a a +==，810a =，又35a =83510a a d =+=，得1d =，则13a =所以()11312n a a n d n n =+-⨯=+-=+（2）21122244n a n n n b +=⋅=⋅= 所以()12122212n n nT +⨯-==--19．（1）证明见解析；（2）前16项或前17项和最大，最大值为272. 【分析】（1）先由n S 求{}n a 通项公式，再利用定义法证明即可；（2）先判断0n a ≥的n 的范围，得到数列的正负分布，即得何时n S 最大. 【详解】解：（1）证明：当2n ≥时，1342n n n a S S n -=-=-，又当1n =时，11323421a S ===-⨯，满足342n a n =-，故{}n a 的通项公式为342n a n =-， ∴()()134213422n n a a n n +-=-+--=-. 故数列{}n a 是以32为首项，2-为公差的等差数列； （2）令0n a ≥，即3420n -≥，解得17n ≤， 故数列{}n a 的前16项或前17项和最大，此时21617331717272S S ==⨯-=.20．（1）2n a n =；（2）12332n n T n n +-=++. 【分析】（1）设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，然后根据题目条件列出关于1a 和d 的方程组求解；（2）将（1）中所得的数列{}n a 的通项公式代入，得到n b 的通项公式，再根据通项公式确定该用哪个方法求前n 项和. 【详解】解：（1）设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则根据题意得：由715172156410S a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得122a d =⎧⎨=⎩，所以2n a n =.（2）23na n n nb a n =+=+，则123(23)(43)(63)(23)n n T n =++++++++2(242)(333)n n =+++++++(22)3(13)213n n n +⨯-=+- 12332n n n +-=++. 【点睛】本题考查等差数列的基本公式的运用，考查利用分组求和法求数列的前n 项和. 解答时，如果已知数列为等差数列或等比数列求通项公式，只需将题目条件翻译成数学表达式，然后通过方程解出首项和公差或公比，然后得出数列的通项公式. 对于数列n n n c a b =+，当{}n a 和{}n b 分别为等差数列与等比数列时，可采用分组求和法求和.21．（1）2n a n =；（2）()()1222212,112,1n n n n x nx x T x n n x +⎧-++≠⎪=-⎨⎪+=⎩；（3）存在最大的整数5m =满足题意． 【分析】（1）当1n =时，11a S =；当2n ≥时，1n n n a S S -=-，将已知代入化简计算可得数列{}n a 的通项公式；（2）利用错位相减法计算n T ，分1x ≠和1x =两种情况，分别得出答案；（3）利用裂项相消法计算出n H ，并得出单调性和最值，代入不等式解出m 的范围，得到答案． 【详解】（1）当1n =时，112a S ==当2n ≥时，()()221112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=⎣⎦即数列{}n a 的通项公式为2n a n =（2）12n n n n c a b nx -==，23124682n n T x x x nx -=+++++，①则23424682n n xT x x x x nx =+++++，②①﹣②，得()21122222n n n x T x x nx nx --=++++-．当1x ≠时，()11221nn n x x T nx x--=⨯--，则()()1222121n n n n x nx T x +-++=-． 当1x =时，224682n T n n n =+++++=+综上可得，()()1222212,112,1n n n n x nx x T x n n x +⎧-++≠⎪=-⎨⎪+=⎩（3）由（1）可得()411242n d n n n n ==-++，则12111111111111324352212n n H d d d n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-+-++-=+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭显然n H 为关于n 的增函数，故()1min 23n H H ==． 于是欲使9n mH >恒成立， 则293m <，解得6m <．∴存在最大的整数5m =满足题意．【点睛】方法点睛：本题考查数列的通项公式，考查数列的求和，数列求和的方法总结如下： 1.公式法，利用等差数列和等比数列的求和公式进行计算即可；2.裂项相消法，通过把数列的通项公式拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求出数列的和；3.错位相减法，当数列的通项公式由一个等差数列与一个等比数列的乘积构成时使用此方法；4.倒序相加法，如果一个数列满足首末两项等距离的两项之和相等，可以使用此方法求和． 22．（1）证明见解析，13-=n n a ；（2）()11316164n n n T ⎛⎫=-+⋅- ⎪⎝⎭. 【分析】（1）首先根据131n n S S +=+，131n n S S -=+两式相减得()132n n a a n +=≥，即可得到n a 的通项公式.（2）首先求出()13n n b n -=⋅-，再利用错位相减法求前n 项和n T 即可.【详解】（1）证明：由131n n S S +=+，当2n ≥时，131n n S S -=+，两式相减得()132n n a a n +=≥，当1n =时，2131S S =+即12131a a a +=+，∴23a =，∴213a a =， ∴1n ≥时都有13n n a a +=，∴数列{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列，∴13-=n n a ．（2）解：()()1113n n n n b na n --=-⋅=⋅-， ∴()()()()()122112333133n n n T n n --=+⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+-⋅-+⋅-， ()()()()()12131323133n n n T n n --=⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+-⋅-+⋅-， ∴()()()()111413333n n n T n -=+-+-+⋅⋅⋅+--⋅-， ∴()()()131********n n n n T n n --⎛⎫=-⋅-=-+⋅- ⎪+⎝⎭∴()11316164n n n T ⎛⎫=-+⋅- ⎪⎝⎭． 【点睛】方法点睛：本题主要考查数列的求和，常见的数列求和方法如下：1.公式法：直接利用等差、等比数列的求和公式计算即可；2.分组求和法：把需要求和的数列分成熟悉的数列，再求和即可；3.裂项求和法：通过把数列的通项公式拆成两项之差，再求和即可；4.错位相减法：当数列的通项公式由一个等差数列和一个等比数列的乘积构成时，可使用此方法求和.。
等差数列综合测试题
等差数列综合测试题（满分 100分）班级 姓名 分数一、选择题（本大题共10小题，每题4分，共40分）1．已知数列{}n a 的通项公式为22,(1),(2)n n a n n =⎧=⎨≥⎩，则这个数列的前三项为（ ）A ．1、4、9B ．2、4、9C ．2、1、4D ．2、6、112．已知等差数列{}n a 的首项为3，公差为2，则7a 的值等于（ ）A ．1B ．14C ．15D ．163．已知等差数列{}n a 的通项公式为32n a n =-, 则它的公差为 （ ）A .2B .3C ． 2-D ．3-4．等差数列的相邻四项是1,3,,a a b a b +++，那么a ，b 的值分别是（ ）A ．92B ．47C ．46D ．455．已知等差数列{}中，14739a a a ++=,25633a a a ++=,则369a a a ++等于（ ）A ．30B ．27C ．24D ．216．等差数列{}n a 中，12010=S ，那么101a a +的值是（ ）A ．12B ．24C ．36D ．487.如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++=A ．14B ．21C ．28D ．358．已知等差数列{}n a 中,288a a +=,则该数列前9项和9S 等于( )A.18B.27C.36D.459．一个等差数列的前10项和是48，前20项和是60，那么它的前30项和是（ ）A.72B.84C.36D. 2410．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若3613S S =，则612S S ＝（ ）二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）11.若n a =1n a -－3,则{}n a 是单调递数列12．在－1与7之间顺次插入三个数a 、b 、c,使这五个数成等差数列,则b 的值是 .13．三角形中三个角A 、B 、C ，成等差数列，则cos B ＝14．数列7,77,777,7777的一个通项公式是 .三、解答题（本大题共4小题，每小题12分，共48分）15．在等差数列{}n a 中(1) 已知69121520a a a a +++=，求120a a +(2）已知31110a a +=，求678a a a ++16.根据下列各题中的条件，求相应的等差数列{}n a 的前n 项和n S（1）15,95,10n a a n ===（2）11,120,1;n a a d ===17．已知等差数列｛｝中，a 10=3020=50．（1）求通项公式；（2）若242，求项数n 。
数列测试题及答案
数列测试题及答案一、选择题1. 已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1，那么a_5的值为：A. 15B. 31C. 63D. 127答案：B2. 数列{a_n}是等差数列，公差为3，且a_3=12，则a_1的值为：A. 3B. 6C. 9D. 12答案：B3. 已知数列{a_n}满足a_1=2，a_{n+1}=3a_n，那么数列的通项公式为：A. a_n = 2 * 3^{n-1}B. a_n = 2 * 3^nC. a_n = 3 * 2^{n-1}D. a_n = 3^n答案：B二、填空题4. 已知数列{a_n}的前n项和S_n=n^2，求a_3的值。
答案：65. 数列{a_n}是等比数列，首项为2，公比为4，求a_5的值。
答案：128三、解答题6. 已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=a_n+n，求数列的前5项。
答案：a_1 = 1a_2 = a_1 + 1 = 2a_3 = a_2 + 2 = 4a_4 = a_3 + 3 = 7a_5 = a_4 + 4 = 117. 已知数列{a_n}是等差数列，且a_1=5，a_4=14，求数列的通项公式。
答案：a_n = 5 + (n-1) * 3 = 3n + 28. 已知数列{a_n}满足a_1=2，a_{n+1}=2a_n+1，求数列的前5项。
答案：a_1 = 2a_2 = 2a_1 + 1 = 5a_3 = 2a_2 + 1 = 11a_4 = 2a_3 + 1 = 23a_5 = 2a_4 + 1 = 479. 已知数列{a_n}是等比数列，首项为3，公比为2，求数列的前5项。
答案：a_1 = 3a_2 = 3 * 2 = 6a_3 = 6 * 2 = 12a_4 = 12 * 2 = 24a_5 = 24 * 2 = 4810. 已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=3a_n-2，求数列的前5项。
数列综合测试题与答案
高一数学数列综合测试题1． { an }是首项 a1＝ 1，公差为 d ＝3 的等差数列，如果 an ＝2 005 ，则序号 n 等于 ()．A ．667B ． 668C ． 669D ．6702．在各项都为正数的等比数列 { an }中，首项 a1 ＝3 ，前三项和为 21，则 a3＋ a4＋a5＝ ( ) ．A ．33B ． 72C ． 84D ．1893．如果 a1， a 2， ， a8 为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，则 () ． A ．a 1a8＞ a4a5 B ． a1a 8＜ a4a 5 C ． a1＋ a8 ＜ a4＋ a5D ．a1a8 ＝a4a 54．已知方程 (x 2－ 2x ＋ m)( x 2－ 2x ＋ n)＝ 0 的四个根组成一个首项为 1的等差数列，则｜m － n ｜等于 ( )．4A ．1 3 1D ． 3 B ． C ．8 4 25．等比数列 {an} 中， a2 5 n }的前 4 项和为 (). ＝ 9， a＝ 243，则{ aA ．81B ． 120 C ． 168D ． 1926. 若数列 { an }是等差数列，首项 a 1＞ 0， a2 003 ＋ a2 004 ＞ 0 ，a 2 003 ·a2 004 ＜ 0，则使前 n 项和Sn ＞ 0 成立的最大 自然数 n 是 ()．A ．4005B ． 4006C ． 4007D ．40087．已知等差数列 { a }的公差为 2，若 a ， a ，a成等比数列 , 则 a ＝ () ．n 1 3 4 2A ．－ 4B ．－6C ．－ 8D ． －108．设 Sn 是等差数列 {an}的前 n 项和，若 a 9 ＝ ( )．5 ＝ 5 ，则 S a 3 9 S 5A ．1B ．－1 C ． 2D ． 1 29．已知数列－ 1， a1 ， a2，－ 4 成等差数列，－ 1 ，b 1，b 2，b3，－ 4 成等比数列，则 a 2a1的值是 ( )．b 2 A ． 1 B ．－ 1 C ．－ 1或1 D ． 12 2 2 2 4 10．在等差数列 {a n} 中， an ≠0， an －1－ a n 2 ＋ an ＋1＝ 0(n ≥ 2)，若 S2n －1 ＝38，则 n ＝ ( )． A ．38B ． 2C ． 1D ．9二、填空题..11．设 f (x)＝1 n 项和公式的方法，可求得f (－ 5) ＋ f( － 4) ＋＋ f (0) ＋＋，利用课本中推导等差数列前2x 2f (5) ＋ f(6) 的值为.12．已知等比数列 {an} 中，(1) 若 a3 ·a4·a5＝8 ，则a2·a3·a4 ·a5·a6＝．(2) 若a1＋a 2＝3 4 5 6＝．324 ，a＋ a＝36，则 a ＋ a(3) 若 S4＝ 2， S8＝ 6，则 a17＋ a18＋ a19＋ a20＝.13．在8和27之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为．3 21 4．在等差数列 {a } 中，3(a3＋ a)＋2(a7＋ a ＋a13)＝ 24，则此数列前13 项之和为.n 5 101 5．在等差数列 {a n} 中， a5＝ 3， a6 ＝－2 ，则 a4＋ a5＋＋a10＝.1 6．设平面内有 n 条直线 ( n≥ 3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f ( n) 表示这n条直线交点的个数，则 f (4) ＝；当 n＞ 4 时， f (n)＝．三、解答题1 7． (1) 已知数列{a2－ 2n，求证数列{a} 成等差数列 .} 的前 n 项和 S ＝3nn n n(2) 已知1，1，1成等差数列，求证 b c ， c a ， a b也成等差数列 .a bc ab c18．设 { an}是公比为q 的等比数列，且a1， a3， a2 成等差数列．(1)求 q 的值；..(2)设 { bn }是以 2 为首项， q 为公差的等差数列，其前 n 项和为 Sn ，当 n ≥2时，比较 Sn 与 bn 的大小，并说明理由．19．数列 { an }的前 n 项和记为Sn，已知 a1＝ 1， an＋1＝n2 Sn( n＝ 1， 2， 3 )．n求证：数列 { Sn }是等比数列．n20．已知数列 {a n}是首项为 a 且公比不等于 1 的等比数列， Sn 为其前 n 项和， a1，2a 7，3a 4 成等差数列，求证： 12S3，S6， S12－ S6 成等比数列 ...高一数学数列综合测试题参考答案一、选择题 1． C解析：由题设，代入通项公式 an ＝ a1＋( n － 1)d ，即 2 005＝ 1 ＋3( n － 1) ，∴n ＝ 699 ． 2． C解析：本题考查等比数列的相关概念，及其有关计算能力． 设等比数列 { an }的公比为q(q ＞ 0) ，由题意得a1＋ a2＋a 3＝ 21，2 2 ＝ 7．即 a1(1 ＋ q ＋ q )＝ 21，又 a1＝ 3，∴1＋ q ＋ q 解得 q ＝2 或 q ＝－ 3( 不合题意，舍去 ) ， 2 2 2 ∴a 3＋ a4 ＋a5＝ a1 q (1 ＋ q ＋q )＝ 3×2 ×7＝ 84． 3． B ．解析：由 a 1＋ a8 ＝a4＋ a5，∴排除 C ． 又 a1·a8＝ a1(a1＋ 7d) ＝ a12＋ 7a1d ，∴a ·a ＝(a ＋ 3d)(a ＋ 4d)＝a 2＋7a d ＋12d 2 ．1 ＞ a ·a 4 5 1 1 1 1 84． C解析：..解法 1：设 a1＝ 1 ， a2＝ 1 ＋ d ， a3＝ 1 ＋ 2d ， a4＝1＋ 3d ，而方程 x 2－ 2x ＋ m ＝ 0 中两根之和为 2， x 2－ 2x ＋ n ＝4 4 4 4中两根之和也为 2，∴a ＋ a ＋a ＋ a ＝1 ＋ 6d ＝4 ，1 2 3 4∴d ＝ 1 ， a1＝ 1 ， a4＝ 7 是一个方程的两个根，a1＝ 3 ， a3＝ 5 是另一个方程的两个根．24444∴ 7 ， 15 分别为 m 或 n ， 16 16 ∴｜m － n ｜＝1，故选 C ．2解法 2：设方程的四个根为 x1， x2， x3， x4 ，且 x1＋ x2＝ x3 ＋ x4＝ 2， x1·x2＝ m ，x3·x4＝ n ．由等差数列的性质：若 ＋ s ＝ p ＋q ，则 a ＋a ＝ a ＋a ，若设x 为第一项， x 必为第四项，则 x ＝ ，于是可得s pq 1 2 2 74 等差数列为 1 ， 3 ，5 ， 7 ，4 4 4 4∴m ＝ 7 ， n ＝ 15 ， 16 16 ∴｜m － n ｜＝1．2 5． B2 5 ＝243 a 5 3 243 ，解析：∵ a ＝ 9， a ， ＝ q ＝ ＝ 27 a 2 9 ∴q ＝ 3， a 1q ＝9 ， a1＝ 3，∴S4 ＝ 3－35 ＝ 240 ＝ 120．1－3 26． B解析：解法 1：由 a 2 003＋ a 2 004 ＞ 0，a2 003 ·a ＜ 0，知 a 2 003和a 2 004 两项中有一正数一负数，又 a ＞ 0，则公差为负数，2 004 1否则各项总为正数，故 a 2 003＞ a2 004 ，即 a2 003 ＞0 ， a2 004＜ 0.4 006( a 1＋ ) 4 ＋)a 006( a a4 006＝4 006＝2 0032004 ＞0，∴S2 24 007 ＝4 007 14007)＝4 0072004＜0 ，∴S2 ·(a ＋a ·2a2故 4006 为 Sn＞ 0 的最大自然数 . 选B．..解法 2：由 a 1＞ 0， a2 003＋ a2 004＞ 0， a2 003·a2 004＜ 0，同解法 1 的分析得a2 003 ＞0，a2 004 ＜0，∴S 为 S 中的最大值．2003 n∵Sn 是关于 n 的二次函数，如草图所示，∴2 003 到对称轴的距离比(第6题)2 004 到对称轴的距离小，∴4 007 在对称轴的右侧．2根据已知条件及图象的对称性可得 4 006 在图象中右侧零点B 的左侧， 4 007 ， 4 008 都在其右侧，Sn＞ 0 的最大自然数是 4 006 ．7． B解析：∵ {a n}是等差数列，∴ a3＝ a1＋ 4， a4＝ a1＋ 6，又由 a1，a 3， a4 成等比数列，∴( a1 ＋ 4) 2＝ a1 (a 1＋ 6) ，解得 a 1＝－ 8，∴a 2＝－ 8＋ 2＝－ 6 ．8． A9(a1a9 )S9＝2 9 a59 5解析：∵5(a1＝＝·＝ 1，∴选 A．S5a5 )5 a35 929． A解析：设 d 和 q 分别为公差和公比，则－4＝－ 1＋ 3d 且－ 4＝ (－1)q4，∴d ＝－ 1， q2＝ 2，∴a2 a1 ＝ d2＝1．b2q 210．C解析：∵ {a n}为等差数列，∴ a n2＝ an－1＋ a n＋ 1，∴ a n2＝ 2an，又 an≠0，∴an＝ 2， {an}为常数数列，..而an＝S2 n 1，即2n 1∴n ＝ 10．二、填空题11．3 2．解析：∵ f( x)＝x2∴f (1 － x)＝1 1 x 2∴f (x)＋ f (1 － x)＝2n－ 1＝38＝ 19，21，21 x＝2x＝2 2，2 2x2x2 2 211 2 x 1 12x 1 ( 2 2x )2 ＋2＝2＝2＝．2 2x 2 2 x 2 2 x 2 2x 2设S＝f (－ 5) ＋ f( － 4) ＋＋ f (0) ＋＋ f (5) ＋ f (6) ，则S＝f (6) ＋f (5) ＋＋ f(0) ＋＋ f (－ 4) ＋ f (－ 5) ，∴2S＝ [f (6) ＋ f (－5)] ＋ [f (5) ＋ f (－ 4)] ＋＋ [f (－ 5) ＋ f (6)] ＝ 62 ，∴S＝ f (－ 5) ＋f (－ 4) ＋＋ f (0) ＋＋ f(5) ＋ f(6) ＝ 3 2 ．12．（ 1）32；（ 2） 4；（ 3）32．解析：（ 1）由 a3·a5＝ a42，得 a4＝ 2 ，∴a 2·a3 ·a4·a5·a6＝ a45＝ 32．（ 2）a1a2324q2 1，1 2 29 ( a a )q 36∴a 5＋ a6 ＝(a1＋ a2) q4＝ 4．（ 3）S4＝ a1＋ a2＋ a3＋a 4＝2q4＝2 ，S8＝ a1＋a 2＋＋ a8＝ S4＋ S4 q416．∴a ＋ a ＋ a ＋ a ＝ S q ＝3217 18 19 20 4 13． 216．解析：本题考查等比数列的性质及计算，由插入三个数后成等比数列，因而中间数必与中间数为8 27＝6，插入的三个3 2```8，27同号，由等比中项的3 2..14． 26．解析：∵ a3＋ a 5＝ 2a4 ， a7＋ a13＝ 2a 10，∴6(a 4＋ a10)＝ 24， a4 ＋ a10＝ 4，13( a1＋a13 )＝13( a4＋a10 )13 4 ＝26．∴S13＝＝22 215．－ 49．解析：∵ d＝ a6 － a5＝－ 5，∴a 4＋ a5 ＋＋ a10＝7( a4＋a10)2＝7( a5－d＋a5＋5d)2＝7(a5 ＋ 2d)＝－ 49．116． 5，(n ＋ 1)( n－ 2) ．解析：同一平面内两条直线若不平行则一定相交，故每增加一条直线一定与前面已有的每条直线都相交，∴f(k)＝f (k－1) ＋(k－ 1) ．由f(3) ＝ 2，f (4) ＝ f(3) ＋ 3＝ 2＋ 3＝ 5，f(5) ＝ f(4) ＋ 4＝ 2＋ 3＋ 4＝ 9，f (n) ＝ f( n－ 1) ＋ (n－ 1) ，相加得 f (n)＝ 2＋ 3＋ 4＋＋ (n － 1)＝1 ( n＋ 1)( n － 2) ．2三、解答题17．分析：判定给定数列是否为等差数列关键看是否满足从第 2 项开始每项与其前一项差为常数．证明：（ 1）n ＝ 1 时， a1＝ S1＝ 3－ 2＝ 1，..当n ≥2 时， an ＝ Sn － Sn－ 1＝ 3n 2－ 2n－ [3( n－ 1) 2－ 2(n － 1)] ＝ 6n－ 5，n＝ 1 时，亦满足，∴ an＝ 6n－ 5(n∈N*) ．首项 a1＝1， a n－ an－ 1＝ 6n － 5－ [6( n － 1) － 5] ＝6( 常数 )(n ∈ N*) ，∴数列{an}成等差数列且 a1 ＝1 ，公差为 6．111（ 2）∵，，成等差数列，∴2＝1＋1化简得 2ac＝ b( a＋c)． b a cb＋ c a＋ b bc＋ c2＋a2＋ab b( a＋ c)＋ a2＋ c2( a＋c) 2( a＋c)2a＋ ca ＋c＝ac＝ac＝ac＝( ＋ ) ＝ 2 ·，b ac b2∴b＋c，c＋a，a＋b也成等差数列．a b c18．解：（ 1）由题设3 1 22a1 2 1 1 2a ＝ a ＋a ，即q ＝ a＋ aq，∵a 1≠0，∴2q 2－ q－ 1＝ 0，1∴q ＝ 1 或－．2（ 2）若 q ＝1，则 Sn＝ 2n＋n( n－1)＝n＋3n．2 2当n ≥2 时， Sn－bn＝ Sn－1＝( n－1)( n＋2)＞ 0，故 Sn＞bn ． 21 n＝2n＋n( n－1)1 － n2＋ 9n若 q ＝－，则 S (－)＝．2 2 2 4当n ≥2 时， Sn－bn＝ Sn－1＝( n－1)( 10－n)， 4故对于 n∈ N+，当 2≤n ≤9 时， Sn＞b n；当 n＝ 10 时， Sn＝ b n；当 n≥11 时， Sn＜ b n．n＋219．证明：∵ an＋1＝ Sn＋1 － Sn ，an＋1＝Sn，∴( n＋ 2)Sn ＝ n( Sn＋ 1－ Sn)，整理得nSn ＋ 1＝ 2(n＋ 1) Sn，所以Sn＋1 ＝ 2 Sn ．n＋1 n故 { Sn }是以 2为公比的等比数列．n20．证明：由 a ，2a，3a成等差数列，得4a＝ a ＋3a，即 4 a6 3，747q ＝a ＋ 3a q1 1 4 1 1 13 ＋3－1)＝ 0，变形得 (4q 1)(q∴q 3＝－1或 q 3＝ 1( 舍 )．4..由S612S3S12S6S6a1 (1 q6 )＝1 q 3＝ 1 q312a1(1q ) 121qa1 (1q12 )＝S12－ 1＝1 qS6a1 (1q6 )1 q＝ 1 ；16－ 1＝ 1＋ q 6－ 1＝1；得 S6 ＝S12 S6．1612S3S6，S，S －S 成等比数列．∴12S3 6 12 6 单纯的课本内容，并不能满足学生的需要，通过补充，达到内容的完善教育之通病是教用脑的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。
数列测试题及答案
数列测试题及答案数列测试题及答案 数列测试题及答案： ⼀、选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分． 1．在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a12＋a13＝24，则a7为( ) A．6 B．7 C．8 D．9 解析：∵a1＋a2＋a12＋a13＝4a7＝24，∴a7＝6. 答案：A 2．若等差数列{an}的前n项和为Sn，且满⾜S33－S22＝1，则数列{an}的公差是( ) A.12 B．1 C．2 D．3 解析：由Sn＝na1＋n(n－1)2d，得S3＝3a1＋3d，S2＝2a1＋d，代⼊S33－S22＝1，得d＝2，故选C. 答案：C 3．已知数列a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，则a2 011等于( ) A．1 B．－4 C．4 D．5 解析：由已知，得a1＝1，a2＝5，a3＝4，a4＝－1，a5＝－5，a6＝－4，a7＝1，a8＝5，… 故{an}是以6为周期的数列， ∴a2 011＝a6×335＋1＝a1＝1. 答案：A 4．设{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错误的是( ) A．d＜0 B．a7＝0 C．S9＞S5 D．S6与S7均为Sn的最⼤值 解析：∵S5＜S6，∴a6＞0.S6＝S7，∴a7＝0. ⼜S7＞S8，∴a8＜0. 假设S9＞S5，则a6＋a7＋a8＋a9＞0，即2(a7＋a8)＞0. ∵a7＝0，a8＜0，∴a7＋a8＜0.假设不成⽴，故S9＜S5.∴C错误. 答案：C 5．设数列{an}是等⽐数列，其前n项和为Sn，若S3＝3a3，则公⽐q的值为( ) A．－12 B.12 C．1或－12 D．－2或12[ 解析：设⾸项为a1，公⽐为q， 则当q＝1时，S3＝3a1＝3a3，适合题意． 当q≠1时，a1(1－q3)1－q＝3a1q2， ∴1－q3＝3q2－3q3，即1＋q＋q2＝3q2,2q2－q－1＝0， 解得q＝1(舍去)，或q＝－12. 综上，q＝1，或q＝－12. 答案：C 6．若数列{an}的通项公式an＝5 252n－2－425n－1，数列{an}的最⼤项为第x项，最⼩项为第y 项，则x＋y等于( ) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：an＝5252n－2－425n－1＝525n－1－252－45， ∴n＝2时，an最⼩；n＝1时，an最⼤． 此时x＝1，y＝2，∴x＋y＝3. 答案：A 7．数列{an}中，a1 ＝15,3an＋1＝ 3an－2(n∈N *)，则该数列中相邻两项的乘积是负数的是( ) A．a21a22 B．a22a23 C．a23a24 D．a24a25 解析：∵3an＋1＝3an－2， ∴an＋1－an＝－23，即公差d＝－23. ∴an＝a1＋(n－1)d＝15－23(n－1)． 令an＞0，即15－23(n－1)＞0，解得n＜23.5. ⼜n∈N*，∴n≤23，∴a23＞0，⽽a24＜0，∴a23a24＜0. 答案：C 8．某⼯⼚去年产值为a，计划今后5年内每年⽐上年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个⼚的总产值为( ) A．1.14a B．1.15a C．11×(1.15－1)a D．10×(1.16－1)a 解析：由已知，得每年产值构成等⽐数列a1＝a，w an＝a(1＋10%)n－1(1≤n≤6)． ∴总产值为S6－a1＝11×(1.15－1)a. 答案：C 9．已知正数组成的等差数列{an}的前20项的和为100，那么a7a14的最⼤值为( ) A．25 B．50 C．1 00 D．不存在 解析：由S20＝100，得a1＋a20＝10. ∴a7＋a14＝10. ⼜a7＞0，a14＞0，∴a7a14≤a7＋a1422＝25. 答案：A 10．设数列{an}是⾸项为m，公⽐为q(q≠0)的等⽐数列，Sn是它的前n项和，对任意的n∈N*，点an，S2nSn( ) A．在直线mx＋qy－q＝0上 B．在直线qx－my＋m＝0上 C．在直线qx＋my－q＝0上 D．不⼀定在⼀条直线上 解析：an＝mqn－1＝x，①S2nSn＝m(1－q2n)1－qm(1－qn)1－q＝1＋qn＝y，② 由②得qn＝y－1，代⼊①得x＝mq(y－1)，即qx－my＋m＝0. 答案：B 11．将以2为⾸项的偶数数列，按下列⽅法分组：(2)，(4,6)，(8,10,12)，…，第n组有n个数，则第n组的⾸项为( ) A．n2－n B．n2＋n＋2 C．n2＋n D．n2－n＋2 解析：因为前n－1组占⽤了数列2,4,6，…的前1＋2＋3＋…＋(n－1)＝(n－1)n2项，所以第n组的⾸项为数列2,4,6，…的第(n－1)n2＋1项，等于2＋(n－1)n2＋1－12＝n2－n＋2. 答案：D 12．设m∈N*，log2m的整数部分⽤F(m)表⽰，则F(1)＋F(2)＋…＋F(1 024)的值是( ) A．8 204 B．8 192 C．9 218 D．以上都不对 解析：依题意，F(1)＝0， F(2)＝F(3)＝1，有2 个 F(4)＝F(5)＝F(6)＝F(7)＝2，有22个． F(8)＝…＝F(15)＝3，有23个． F(16)＝…＝F(31)＝4，有24个． … F(512)＝…＝F(1 023)＝9，有29个． F(1 024)＝10，有1个． 故F(1)＋F(2)＋…＋F(1 024)＝0＋1×2＋2×22＋3×23＋…＋9×29＋10. 令T＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋9×29，① 则2T＝1×22＋2×23＋…＋8×29＋9×210.② ①－②，得－T＝2＋22＋23＋…＋29－9×210 ＝ 2(1－29)1－2－9×210＝210－2－9×210＝－8×210－2， ∴T＝8×210＋2＝8 194， m] ∴F(1)＋F(2)＋…＋F(1 024)＝8 194＋10＝8 204. 答案：A 第Ⅱ卷 (⾮选择共90分) ⼆、填空题：本⼤题共4个⼩题，每⼩题5分，共20分． 13．若数列{an} 满⾜关系a1＝2，an＋1＝3an＋2，该数列的通项公式为__________． 解析：∵an＋1＝3an＋2两边加上1得，an＋1＋1＝3(an＋1)， ∴{an＋1}是以a1＋1＝3为⾸项，以3为公⽐的等⽐数列， ∴an＋1＝33n－1＝3n，∴an＝3n－1. 答案：an＝3n－1 14．已知公差不为零的等差数列{an}中，M＝anan＋3，N＝an＋1an＋2，则M与N的⼤⼩关系是__________． 解析：设{an}的公差为d，则d≠0. M－N＝an(an＋3d)－[(an＋d)(an＋2d)] ＝an2＋3dan－an2－3dan－2d2＝－2d2＜0，∴M＜N. 答案：M＜N 15．在数列{an}中，a1＝6，且对任意⼤于1的正整数n，点(an，an－1)在直线x－y＝6上，则数列{ann3(n＋1)}的前n项和Sn＝__________. 解析：∵点(an，an－1)在直线x－y＝6上， ∴an－an－1＝6，即数列{an}为等差数列． ∴an＝a1＋6(n－1)＝6＋6(n－1)＝6n， ∴an＝6n2. ∴ann3(n＋1)＝6n2n3(n＋1)＝6n(n＋1)＝61n－1n＋1 ∴Sn＝61－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1.＝61－1n＋1＝6nn＋1. 答案：6nn＋1 16．观察下表： 1 2 3 4 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 10 … 则第__________⾏的各数之和等于2 0092. 解析：设第n⾏的各数之和等于2 0092， 则此⾏是⼀个⾸项a1＝n，项数为2n－1，公差为1的等差数列． 故S＝n×(2n－1)＋(2n－1)(2n－2)2＝2 0092，解得n＝1 005. 答案：1 005 三、解答题：本⼤题共6⼩题，共70分． 17．(10分)已知数列{an}中，a1＝12，an＋1＝12an＋1(n∈N*)，令bn＝an－2. (1)求证：{bn}是等⽐数列，并求bn； (2)求通项an并求{an}的前n项和Sn. 解析：(1)∵bn＋1bn＝an＋1－2an－2＝12an＋1－2an－2＝12an－1an－2＝12， ∴{bn}是等⽐数列． ∵b1＝a1－2＝－32， ∴bn＝b1qn－1＝－32×12n－1＝－32n. (2)an＝bn＋2＝－32n＋2， Sn＝a1＋a2＋…＋an ＝－32＋2＋－322＋2＋－323＋2＋…＋－32n＋2 ＝－3×12＋122＋…＋12n＋2n＝－3×12×1－12n1－12＋2n＝32n＋2n－3. 18．(12分)若数列{an}的`前n项和Sn＝2n. (1)求{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满⾜b1＝－1，bn＋1＝bn＋(2n－1)，且cn＝anbnn，求数列{cn}的通项公式及其前n 项和Tn. 解析：(1)由题意Sn＝2n， 得Sn－1＝2n－1(n≥2)， 两式相减，得an＝2n－2n－1＝2n－1(n≥2)． 当n＝1时，21－1＝1≠S1＝a1＝2. ∴an＝2 (n＝1)，2n－1 (n≥2). (2)∵bn＋1＝bn＋(2n－1)， ∴b2－b1＝1， b3－b2＝3， b4－b3＝5， … bn－bn－1＝2n－3. 以上各式相加，得 bn－b1＝1＋3＋5＋…＋(2n－3) ＝(n－1)(1＋2n－3)2＝(n－1)2. ∵b1＝－1，∴bn＝n2－2n， ∴cn＝－2 (n＝1)，(n－2)×2n－1 (n≥2)， ∴Tn＝－2＋0×21＋1×22＋2×23＋…＋(n－2)×2n－1， ∴2Tn＝－4＋0×22＋1×23＋2×24＋…＋(n－2)×2n. ∴－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－1－(n－2)×2n ＝2(1－2n－1)1－2－(n－2)×2n ＝2n－2－(n－2)×2n ＝－2－(n－3)×2n. ∴Tn＝2＋(n－3)×2n. 19．(12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，且S3＋S5＝50，a1，a4，a13成等⽐数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若从数列{an}中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2n项，…，按原来顺序组成⼀个新数列{bn}，记该数列的前n项和为Tn，求Tn的表达式． 解析：(1)依题意，得 3a1＋3×22d＋5a1＋5×42d＝50，(a1＋3d)2＝a1(a1＋12d)，解得a1＝3，d＝2. ∴an＝a1＋(n－1)d＝3＋2(n－1)＝2n＋1， 即an＝2n＋1. (2)由已知，得bn＝a2n＝2×2n＋1＝2n＋1＋1， ∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝(22＋1)＋(23＋1)＋…＋(2n＋1＋1) ＝4(1－2n)1－2＋n＝2n＋2－4＋n. 20．(12分)设数列{an}的前n项和为Sn，且ban－2n＝(b－1)Sn. (1)证明：当b＝2时，{an－n2n－1}是等⽐数列； (2)求通项an. 新课标第⼀⽹ 解析：由题意知，a1＝2，且ban－2n＝(b－1)Sn， ban＋1－2n＋1＝(b－1)Sn＋1， 两式相减，得b(an＋1－an)－2n＝(b－1)an＋1， 即an＋1＝ban＋2n.① (1)当b＝2时，由①知，an＋1＝2an＋2n. 于是an＋1－(n＋1)2n＝2an＋2n－(n＋1)2n ＝2an－n2n－1. ⼜a1－ 120＝1≠0， ∴{an－n2n－1}是⾸项为1，公⽐为2的等⽐数列． (2)当b＝2时， 由(1)知，an－n2n－1＝2n－1，即an＝(n＋1)2n－1 当b≠2时，由①得 an ＋1－12－b2n＋1＝ban＋2n－12－b2n＋1＝ban－b2－b2n ＝ban－12－b2n， 因此an＋1－12－b2n＋1＝ban－12－b2n＝2(1－b)2－bbn. 得an＝2， n＝1，12－b[2n＋(2－2b)bn－1]， n≥2. 21．(12分)某地在抗洪抢险中接到预报，24⼩时后⼜⼀个超历史最⾼⽔位的洪峰到达，为保证万⽆⼀失，抗洪指挥部决定在24⼩时内另筑起⼀道堤作为第⼆道防线．经计算，如果有 20辆⼤型翻⽃车同时作业25⼩时，可以筑起第⼆道防线，但是除了现有的⼀辆车可以⽴即投⼊作业外，其余车辆需从各处紧急抽调，每隔20分钟就有⼀辆车到达并投⼊⼯作．问指挥部⾄少还需组织多少辆车这样陆续⼯作，才能保证24⼩时内完成第⼆道防线，请说明理由． 解析：设从现有这辆车投⼊⼯作算起，各车的⼯作时间依次组成数列{an}，则an－an－1＝－13. 所以各车的⼯作时间构成⾸项为24，公差为－13的等差数列，由题知，24⼩时内最多可抽调72辆车． 设还需组织(n－1)辆车，则 a1＋a2＋…＋an＝24n＋n(n－1)2×－13≥20×25. 所以n2－145n＋3 000≤0， 解得25≤n≤120，且n≤73. 所以nmin＝25，n－1＝24. 故⾄少还需组织24辆车陆续⼯作，才能保证在24⼩时内完成第⼆道防线． 22．(12分)已知点集L＝{(x，y)|y＝mn}，其中m＝(2x－2b,1)，n＝(1,1＋2b)，点列Pn(an，bn)在点集L中，P1为L的轨迹与y轴的交点，已知数列{an}为等差数列，且公差为1，n∈N*. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (3)设cn＝5nan|PnPn＋1|(n≥2)，求c2＋c3＋c4＋…＋cn的值． 解析：(1)由y＝mn，m＝(2x－2b,1)，n＝(1,1＋2b)， 得y＝2x＋1，即L：y＝2x＋1. ∵P1为L的轨迹与y轴的交点， ∴P1(0,1)，则a1＝0，b1＝1. ∵数列{an}为等差数列，且公差为1， ∴an＝n－1(n∈N*) ． 代⼊y＝2x＋1，得bn＝2n－1(n∈N*)． (2)∵Pn(n－1,2n－1)，∴Pn＋1(n,2n＋1)． ＝5n2－n－1＝5n－1102－2120. ∵n∈N*， (3)当n≥2时，Pn(n－1,2n－1)， ∴c2＋c3＋…＋cn ＝1－12＋12－13＋…＋1n－1－1n＝1－1n.。
高二数学数列综合测试题(解析版)
7.已知 分别是等差数列 与 的前 项和，且 ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】因为数列 是等差数列，所以 ，
所以 ，
又因为 分别是等差数列 与 的前 项和，且 ，
所以 ,
故选： .
8.已知数列 满足 ，则满足 的 的最大取值为（）
11.一个弹性小球从 高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的 再落下.设它第 次着地时，经过的总路程记为 ，则当 时，下面说法正确的是（）
A. B. C. 的最小值为 D. 的最小值为250
【答案】BC
【详解】由题可知，第一次着地时， ；第二次着地时， ；
第三次着地时， ；……
第 次着地后，
则 ，显然 ，又 是关于 的增函数， ，故当 时， 的最小值为 ；
A.39B.45C.48D.51
【答案】D
【详解】设该塔群共有n阶，自上而下每一阶的塔数所构成的数列为 ，依题意可知 ， ，…， 成等差数列，且公差为2， ，
则 ，解得 .
故最下面三价的塔数之和为 .故选：D
4.等比数列 的前 项和为 ， ， ，则 为（）
A. B. C. D.28或-21
ห้องสมุดไป่ตู้【答案】A
数列复习训练题
一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一个
1.等差数列 中，已知 ，则 （）
A.36B.27C.18D.9
【答案】B
【详解】解：由题得 .故选：B
2.若数列 满足 ， ， ，则 的值为（）
A.-3B.-2C.-1D.2
【答案】C
【详解】由 得 ，故有
苏教版(理科数学) 数列的综合问题 单元测试(含答案)
2020届苏教版（理数）数列的综合问题单元测试一、选择题(每小题5分，共25分)1.若等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=-1，a4=b4=8，则= ( )A.-1B.1C.D.-2【解析】选B.设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，则a4=-1+3d=8，解得d=3；b4=-1·q3=8，解得q=-2.所以a2=-1+3=2，b2=-1×(-2)=2，所以=1.2.我国古代数名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列1，，，，…，.①第二步：将数列①的各项乘以，得到一个新数列a1，a2，a3，…，a n.则a1a2+a2a3+a3a4+…+a n-1a n= ( )A. B.C. D.【解析】选 C.由题意知所得新数列为1×，×，×，…，×，所以a1a2+a2a3+a3a4+…+a n-1a n==+==.3.已知数列{a n}满足a1=1，P(a n，a n+1)(n∈N*)在直线x-y+1=0上，如果函数f(n)=++…+(n∈N*，n≥2)，那么函数f(n)的最小值为( ) A. B. C. D.【解析】选C.将点P的坐标代入直线方程，得a n+1-a n=1，所以{a n}是首项为1，公差为1的等差数列，所以a n=n，所以f(n)=++…+，f(n+1)=++…+，所以f(n+1)-f(n)=+->+-=0，所以f(n)单调递增，故f(n)的最小值为f(2)=.4.已知a，b，c成等比数列，a，m，b和b，n，c分别成两个等差数列，则+等于 ( )A.4B.3C.2D.1【解析】选C.由题意得b2=ac，2m=a+b，2n=b+c，则+====2.【一题多解】解答本题，还有以下解法：特殊值法：选C.因为a，b，c成等比数列，所以令a=2，b=4，c=8，又a，m，b和b，n，c分别成两个等差数列，则m==3，n==6，因此+=+=2.5.数列{a n}满足a1=，a n+1=，若不等式++…+<n+λ对任何正整数n 恒成立，则实数λ的最小值为( )A. B. C. D.【解析】选A.因为数列{a n}满足a1=，a n+1=，所以反复代入计算可得a2=，a3=，a4=，a5=，…，由此可归纳出通项公式a n=，经验证，成立.所以=1+=1+，所以++…+=n+1+=n+-.因为要求++…+<n+λ对任何正整数n恒成立，所以λ≥.6．已知数列的前项和为，若，则________．【答案】7．对任一实数序列，定义新序列，它的第项为，假设序列的所有项都是，且，则__________．【答案】100.【解析】设序列的首项为，则序列，则它的第n项为，因此序列A的第项，则是关于的二次多项式，其中的系数为，因为，所以必有，故.8．将正整数分解成两个正整数的乘积有三种，其中是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称为的最佳分解.当（且）是正整数的最佳分解时，我们定义函数，例如.则______，数列（）的前项和为______．【答案】09．数列{}n a 的递推公式为2{ n nn na a n =，为奇数时，为偶数时（*n N ∈），可以求得这个数列中的每一项都是奇数，则1215a a +=__________；研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个3是该数列的第________项.【答案】 18 384【解析】由题得：这个数列各项的值分别为1，1，3，1，5，3，7，1，9，5，11，3… ∴121531518a a +=+=．又因为3612243333a a a a ====⋯，，， 即项的值为3时，下角码是首项为3，公比为2的等比数列． 所以第8个3是该数列的第3×28﹣1=384项．故答案为：18，384．10．在数1和2之间插入n 个正数，使得这n+2个数构成递增等比数列，将这n+2个数的乘积记为n A ，令*2log ,n n a A n N =∈．(1)数列{}n a 的通项公式为n a =____________；(2) 2446222tan tan tan tan tan tan n n n T a a a a a a +=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=___________．【答案】22n +;()tan 22.tan1n tan n +--()()tan 2tan 1tan 3tan 2tan 4tan 3tan 5tan 41111tan1tan1tan1tan1n n ⎛⎫+-+---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()tan 2tan 2tan1n n +-=-, *n N ∈故答案为()tan 2tan 2tan1n n +--11．已知数列{}n a 满足： 111n na a +=-， 12a =，记数列{}n a 的前n 项之积为n P ，则2011P =______. 【答案】2【解析】因为1111,2n na a a +=-=，所以211122a =-=， ()34121,112a a =-=-=--=，所以数列{}n a 是以4为周期的周期数列， ()12312112a a a =⨯⨯-=-， 则()67020111232011122P a a a a ==-⋅=.12．已知数列{}n a 满足()()2222n n na n a n n λ+-+=+，其中121,2a a ==，若1n n a a +<对*n N ∀∈恒成立，则实数λ的取值范围为__________． 【答案】[)0,+∞13．已知数列{}n a 满足111,1nn n a a a a +==+，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则222122017a a a ⎡⎤+++=⎣⎦__________.【答案】114．已知数列{}n a 中， ()102a a a =<≤， ()()()*122{ 32n n n nna a a n N a a +->=∈-+≤，记12n n S a a a =+++.若2015n S =，则n =__________. 【答案】1343【解析】∵a 1=a (0<a ⩽2), ()()()*122{ 32n n n n n a a a n N a a +->=∈-+≤，∴a 2=−a 1+3=3−a ∈[1,3).①当a ∈[1,2]时,3−a ∈[1,2],∴a 3=−a 2+3=a ， ∴当n =2k −1,k ∈N ∗时,a 1+a 2=a +3−a =3,∴S 2k −1=3(k −1)+a =2015，a =1时舍去，a =2时，k =672，此时n =1343；15．已知无穷数列{}()n n a a Z ∈的前n 项和为n S ，记1S ， 2S ，…， n S 中奇数的个数为n b ． (Ⅰ)若n a = n ，请写出数列{}n b 的前5项；(Ⅱ)求证："1a 为奇数， i a (i = 2,3,4,...）为偶数”是“数列{}n b 是单调递增数列”的充分不必要条件； (Ⅲ)若i i a b =，i=1, 2, 3,…，求数列{}n a 的通项公式. 【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3) 0n a =.【解析】（Ⅰ）解： 1=1b ， 2=2b ， 3=2b ， 4=2b ， 5=3b ． （Ⅱ）证明：（充分性） 因为1a 为奇数， ()2,3,4,i a i =为偶数，所以，对于任意*i N ∈， i S 都为奇数． 所以n b n =．所以数列{}n b 是单调递增数列． （不必要性）当数列{}n a 中只有2a 是奇数，其余项都是偶数时， 1S 为偶数， ()2,3,4,i S i =均为奇数，16．已知…，．记．（1）求的值；（2）化简的表达式，并证明：对任意的，都能被整除．【答案】(1)30；(2)证明见解析.17．若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得数列{}n a 的前n 项和n m S a =，则称{}n a 是“回归数列”． （1）①前n 项和为2n n S =的数列{}n a 是否是“回归数列”？并请说明理由．②通项公式为2n b n =的数列{}n b 是否是“回归数列”？并请说明理由；（2）设{}n a 是等差数列，首项11a =，公差0d <，若{}n a 是“回归数列”，求d 的值．（3）是否对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“回归数列”{}n b 和{}n c ，使得()*n n n a b c n N =+∈成立，请给出你的结论，并说明理由．【答案】（1）见解析;（2）1d =-;（3）见解析.∴1m =， ∴1d =-．（3）设等差数列{}n a 的公差为d ，令()()11112n b a n a n a =--=-， 对*n N ∀∈， 11n n b b a +-=-，令()()11n c n a d =-+，则对*n N ∀∈， 11n n c c a d +-=+，18．无穷数列{}n a满足：1a为正整数，且对任意正整数n，1n a+为前n项1a，2a，⋯，n a中等于n a 的项的个数.（Ⅰ）若12a=，请写出数列{}n a的前7项；（Ⅱ）求证：对于任意正整数M ，必存在*k N ∈，使得k a M >；（Ⅲ）求证:“11a =”是“存在*m N ∈，当n m ≥时，恒有2n a +≥ n a 成立”的充要条件。
数列测试题及答案解析
数列测试题及答案解析一、选择题1. 已知数列{an}满足a1=2，an+1 = 2an，判断数列{an}是否为等比数列。
A. 是B. 不是C. 无法判断答案：A2. 若数列{bn}是等差数列，且b3=5，b5=9，求b7。
A. 11B. 13C. 无法确定答案：B二、填空题1. 给定数列{cn}，其中c1=1，cn+1 = cn + n，求c5的值。
答案：152. 已知等差数列{dn}的首项d1=3，公差d=2，求d20的值。
答案：43三、解答题1. 求等比数列{en}的前n项和Sn，若e1=1，公比q=3。
解：根据等比数列前n项和公式Sn = e1 * (1 - q^n) / (1 - q)，代入e1=1和q=3，得到Sn = (1 - 3^n) / (1 - 3)。
2. 已知等差数列{fn}的前n项和为Tn，若f1=2，d=3，求T10。
解：根据等差数列前n项和公式Tn = n/2 * (2a1 + (n - 1)d)，代入f1=2和d=3，得到T10 = 10/2 * (2*2 + (10 - 1)*3) = 5 * (4 + 27) = 5 * 31 = 155。
四、证明题1. 证明数列{gn}，其中gn = n^2，是一个单调递增数列。
证明：设n≥2，我们需要证明对于任意的n，有gn ≥ gn-1。
即证明n^2 ≥ (n-1)^2。
展开得n^2 - (n-1)^2 = 2n - 1 > 0，所以数列{gn}是单调递增的。
2. 证明等差数列{hn}的任意两项hn和hm（m > n）之和等于它们中间项的两倍。
证明：设等差数列{hn}的首项为h1，公差为d。
根据等差数列的定义，hn = h1 + (n - 1)d，hm = h1 + (m - 1)d。
将两项相加得hn + hm = 2h1 + (m + n - 2)d。
由于m > n，所以m + n - 2 = m - 1 + n - 1，即hn + hm = h1 + (m - 1)d + h1 + (n - 1)d = 2h1 + (m + n - 2)d = 2h((m + n - 1)/2)，这正是它们中间项的两倍。