高考数学一轮总复习 第10章 算法初步、统计、统计案例 第4节 变量间的相关关系 统计案例课件 理
， ^a＝
n x2i －n－x 2
i＝1
_－y__－__^b_－_x_.
n
(3)通过求Q＝ yi－bxi－a2的最小值而得到回归直线的 i＝1
方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和 最小，这一方法叫做最小二乘法． (4)相关系数： 当 r＞0 时，表明两个变量_正__相__关__； 当 r＜0 时，表明两个变量_负__相__关__． r 的绝对值越接近于 1，表明两个变量的线性相关性 _越__强__．r 的绝对值越接近于 0 时，表明两个变量之间 _几__乎__不__存__在__线__性__相__关___关__系__．通常|r|大于_0_._7_5_时，认为 两个变量有很强的线性相关性．
[谨记通法]
相关关系的判断的 2 种方法
(1)散点图法：如果所有的样本点都落在某一函数的曲 线附近，变量之间就有相关关系．如果所有的样本点都落 在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系．若点散布 在从左下角到右上角的区域，则正相关．如“题组练透” 第 1 题．
2．两个变量的线性相关 (1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过
散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有
_线__性__相__关__关__系___，这条直线叫做_回__归__直__线__．
n xiyi－n－x －y
i＝1
(2)回归方程为_^y_＝___^b_x_＋__^a_，其中^b＝
C．x 与 y 负相关，x 与 z 负相关
D．x 与 y 负相关，x 与 z 正相关
解析：因为 y＝－0.1x＋1 的斜率小于 0， 故 x 与 y 负相关．因为 y 与 z 正相关，可设 z＝b^y＋a^，b^ ＞0，则 z＝b^y＋a^＝－0.1b^x＋b^＋a^， 故 x 与 z 负相关． 答案：C
1．易混淆相关关系与函数关系，两者的区别是函数关系是一 种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系，函数关 系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可 能是伴随关系．
2．回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回 归直线必过(－x ，－y )点，可能所有的样本数据点都不在直 线上．
3．利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为是准确值， 而实质上是预测值(期望值)．
[小题纠偏]
1．设某大学的女生体重 y(单位：kg)与身高 x(单位：cm)具有
线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，
用最小二乘法建立的回归方程为^y ＝0.85x－85.71，则下列
()
解析：注意到回归直线必经过样本中心点．
答案：C
考点一 相关关系的判断 基础送分型考点——自主练透
[题组练透]
1．(易错题)对四组数据进行统ห้องสมุดไป่ตู้，获得如图所示的散点图，
关于其相关系数的比较，正确的是
()
A．r2＜r4＜0＜r3＜r1 B．r4＜r2＜0＜r1＜r3 C．r4＜r2＜0＜r3＜r1 D．r2＜r4＜0＜r1＜r3
3．(教材习题改编)为研究吸烟是否对患肺癌有影响，某肿瘤 研究所随机地调查了 9 965 人，得出如下结果(单位：人)：
不吸烟 吸烟 总计
不患肺癌 患肺癌 总计
7 775
42 7 817
2 099
49 2 148
9 874
91 9 965
则患肺癌与吸烟________．(填“有关”或“无关”)
答案：有关
3．独立性检验
假设有两个分类变量 X 和 Y，它们的取值分别为{x1，x2}
和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为 2×2 列联表)为：
y1
y2
x1
a
b
x2
c
d
总计 a＋b c＋d
总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d
nad－bc2 K2＝__a_＋__b___a_＋__c__b_＋__d__c_＋__d__(其中 n＝a＋b＋c＋d
学各自独立地做 10 次和 15 次试验，并且利用线性回归方法，
求得回归直线分别为 l1 和 l2，已知两个人在试验中发现对变量
x 的观测数据的平均值都是 s，对变量 y 的观测数据的平均值都
是 t，那么下列说法正确的是 A．l1 和 l2 必定平行 B．l1 与 l2 必定重合 C．l1 和 l2 一定有公共点(s，t) D．l1 与 l2 相交，但交点不一定是(s，t)
结论中不正确的是
()
A．y 与 x 具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心(－x ，－y )
C．若该大学某女生身高增加 1 cm，则其体重约增加 0.85 kg
D．若该大学某女生身高为 170 cm，则可断定其体重必为
58.79 kg
解析
2．为了考察两个变量 x 和 y 之间的线性相关性，甲、乙两位同
第四节
变量间的相关关系 统计案例
1．变量间的相关关系 (1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是
_相__关__关__系___；与函数关系不同，相___关__关__系__是一种非确定性关系．
(2)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变
量的这种相关关系称为_正__相___关__，点散布在左上角到右下角的 区域内，两个变量的相关关系为_负__相__关__．
2．(教材习题改编)从某大学中随机选取 8 名女大学生，其 身高和体重数据如表：
身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170 体重/kg 48 57 50 54 64 61 43 59 则女大学生的身高预测体重的回归方程为__________． 答案：y^＝0.849x－85.712
为样本容量)．
[小题体验] 1．(教材习题改编)已知 x，y 的取值如下表，从散点图可
以看出 y 与 x 线性相关，且回归方程为^y＝0.95x＋^a，
则^a＝
x01 3 4
()
y 2.2 4.3 4.8 6.7
A．3.25 B．2.6 C．2.2
D．0
解析：∵回归直线必过样本点的中心(－x ，－y )，又－x ＝2， －y ＝4.5，代入回归方程，得^a＝2.6. 答案：B
解析：由相关系数的定义，以及散点图所表达的含义可知 r2＜r4＜0＜r3＜r1. 答案：A
2．(2015·湖北高考)已知变量 x 和 y 满足关系 y＝－0.1x＋1，
变量 y 与 z 正相关．下列结论中正确的是
()
A．x 与 y 正相关，x 与 z 负相关
B．x 与 y 正相关，x 与 z 正相关
2024年高考指导数学(人教A版理科第一轮复习)目录
课时规范练(A)课时规范练1集合的概念与运算课时规范练3命题及其关系、充要条件课时规范练5函数及其表示课时规范练7函数的奇偶性与周期性课时规范练9指数与指数函数课时规范练11函数的图象课时规范练13函数模型及其应用课时规范练15利用导数研究函数的单调性课时规范练17定积分与微积分基本定理课时规范练19同角三角函数基本关系式及诱导公式课时规范练21简单的三角恒等变换课时规范练23函数y=A sin(ωx+φ)的图象及三角函数的应用课时规范练25平面向量的概念及线性运算课时规范练27平面向量的数量积及其应用课时规范练29数列的概念课时规范练31等比数列课时规范练33二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课时规范练35合情推理与演绎推理课时规范练37数学归纳法课时规范练39空间几何体的表面积与体积课时规范练41空间直线、平面的平行关系课时规范练43空间向量及其运算课时规范练45直线的倾斜角、斜率与直线的方程课时规范练47圆的方程课时规范练49椭圆课时规范练51抛物线课时规范练53算法初步课时规范练55用样本估计总体课时规范练57分类加法计数原理与分步乘法计数原理课时规范练59二项式定理课时规范练61古典概型与几何概型课时规范练63二项分布与正态分布课时规范练65极坐标方程与参数方程课时规范练67绝对值不等式课时规范练(B)课时规范练2简单不等式的解法课时规范练4简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词课时规范练6函数的单调性与最大(小)值课时规范练8幂函数与二次函数课时规范练10对数与对数函数课时规范练12函数与方程课时规范练14导数的概念及运算课时规范练16利用导数研究函数的极值、最大(小)值课时规范练18任意角、弧度制及任意角的三角函数课时规范练20两角和与差的正弦、余弦与正切公式及二倍角公式课时规范练22三角函数的图象与性质课时规范练24余弦定理、正弦定理及应用举例课时规范练26平面向量基本定理及向量坐标运算课时规范练28复数课时规范练30等差数列课时规范练32数列求和课时规范练34基本不等式及其应用课时规范练36直接证明与间接证明课时规范练38空间几何体的结构及其三视图、直观图课时规范练40空间点、直线、平面之间的位置关系课时规范练42空间直线、平面的垂直关系课时规范练44空间几何中的向量方法课时规范练46点与直线、两条直线的位置关系课时规范练48直线与圆、圆与圆的位置关系课时规范练50双曲线课时规范练52直线与圆锥曲线的位置关系课时规范练54随机抽样课时规范练56变量间的相关关系、统计案例课时规范练58排列与组合课时规范练60随机事件的概率课时规范练62离散型随机变量及其分布列课时规范练64离散型随机变量的均值与方差课时规范练66极坐标方程与参数方程的应用课时规范练68不等式的证明解答题专项解答题专项一函数与导数的综合问题第1课时利用导数证明不等式第2课时利用导数研究不等式恒(能)成立问题第3课时利用导数研究函数的零点解答题专项二三角函数与解三角形解答题专项三数列解答题专项四立体几何中的综合问题解答题专项五直线与圆锥曲线第1课时圆锥曲线中的最值(或范围)问题第2课时圆锥曲线中的定点(或定值)问题第3课时圆锥曲线中的存在性(或证明)问题解答题专项六概率与统计单元质检卷单元质检卷一集合与常用逻辑用语单元质检卷二函数单元质检卷三导数及其应用单元质检卷四三角函数、解三角形单元质检卷五平面向量、数系的扩充与复数的引入单元质检卷六数列单元质检卷七不等式、推理与证明单元质检卷八立体几何单元质检卷九解析几何单元质检卷十算法初步、统计与统计案例单元质检卷十一计数原理单元质检卷十二概率。
高考数学一轮复习第10章算法初步与统计第4课时线性回
(4)某同学研究卖出的热饮杯数y与气温 x(℃)之间的关系，得 回归方程 y ＝－2.352x＋147.767，则气温为2 ℃时，一定可卖出 143杯热饮． (5)事件X，Y关系越密切，则由观测数据计算得到的K2的观 测值越大． (6)由独立性检验可知，在犯错误的概率不超过1%的前提下 认为物理成绩优秀与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他 有99%的可能物理优秀．
∧
直线方程： y ＝0.254x＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入 每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．
2 n （ ad － bc ） 构造一个随机变量 K 2 ＝ ， （ a＋ b）（ c＋d ）（a ＋ c）（ b ＋d ）
其中 n＝a＋b＋ c＋d 为样本容量．
(3)独立性检验． 利用随机变量 K2 来确定是否能有一定把握认为“两个分类 变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验．
1．判断下面结论是否正确(打“√”或“×”)． (1)相关关系与函数关系都是一种确定性的关系，也是一种 因果关系． (2)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水 平成正相关关系． (3)只有两个变量有相关关系，所得的回归模型才有预测价 值．
答案
C
解析 由已知，变量 x，y 成负相关，排除 A，B. ∵回归直线 - 必过点(x，y)，经验算可知，选项 C 满足．
4．(2018· 河南开封一模)下列说法错误的是(
)
A．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两 个变量之间的关系叫做相关关系 B．在线性回归分析中，相关系数 r 的值越大，变量间的相 关性越强 C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其 模型拟合的精度越高 D．在回归分析中，R2 为 0.98 的模型比 R2 为 0.80 的模型拟 合的效果好
2015届高考数学(人教,理科)大一轮配套练透：第10章 算法初步、统计、统计案例 第4节
[课堂练通考点]1．(2013·石家庄模拟)设(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )是变量x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归方程(如图)，以下结论中正确的是( )A ．x 和y 正相关B ．x 和y 的相关系数为直线l 的斜率C ．x 和y 的相关系数在－1到0之间D ．当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同解析：选C 由题图知，回归直线的斜率为负值，所以x 与y 是负相关，且相关系数在－1到0之间，所以C 正确，选择C.2．(2014·云南模拟)变量U 与V 相对应的一组样本数据为(1,1.4)，(2,2.2)，(3,3)，(4,3.8)，由上述样本数据得到U 与V 的线性回归分析，R 2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，则R 2＝( )A.35 B.45C ．1D ．3解析：选C 依题意，注意到点(1,1.4)，(2,2.2)，(3,3)，(4,3.8)均位于直线y －1.4＝2.2－1.42－1(x －1)，即y ＝0.8x ＋0.6上，因此解释变量对于预报变量变化的贡献率R 2＝1，选C.3．浙江卫视为了调查评价“中国好声音”栏目播出前后浙江卫视的收视率有无明显提高，在播出前后分别从居民点抽取了100位居民，调查对浙江卫视的关注情况，制成列联表，经过计算K 2≈0.99，根据这一数据分析，下列说法正确的是( )A ．有99%的人认为该栏目优秀B ．有99%的人认为“中国好声音”栏目播出前后浙江卫视的收视率有明显提高C ．有99%的把握认为“中国好声音”栏目播出前后浙江卫视的收视率有明显提高D ．没有理由认为“中国好声音”栏目播出前后浙江卫视的收视率有无明显提高 附表：解析：选D 只有栏目播出前后浙江卫视的收视率有明显提高，而即使K 2>6.635也只是对“浙江卫视收视率有明显提高”这个论断成立的可能性大小的结论，与是否有99%的人认为该栏目优秀或收视率提高等无关．故选D.4．在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1 671人，经过计算K 2的观测值k ＝27.63，根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是________的(有关，无关)．解析：由观测值k ＝27.63与临界值比较，我们有99.9%的把握说打鼾与患心脏病有关． 答案：有关5．为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：已知P (K 2≥3.841)≈根据表中数据，得到K 2＝50×(13×20－10×7)223×27×20×30≈4.844.则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为________．解析：因为K 2≈4.844>3.841，故认为选修文科与性别之间有关系出错的可能性约为5%. 答案：5%[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．(2014·枣庄模拟)下面是2×2列联表：则表中a ，b 的值分别为(A ．94,72 B ．52,50 C ．52,74D ．74,52 解析：选C ∵a ＋21＝73，∴a ＝52，又a ＋22＝b ，∴b ＝74. 2．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变； ②设有一个回归方程y ^＝3－5x ，变量x 增加1个单位时，y ^平均增加5个单位； ③线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^必过样本点的中心(x ，y )；④在一个2×2列联表中，由计算得K 2＝13.079，则有99%的把握确认这两个变量间有关系．其中错误的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3本题可以参考独立性检验临界值表解析：选B 数据的方差与加了什么样的常数无关，①正确；对于回归方程y ＝3－5x ，变量x 增加1个单位时，y ^平均减少5个单位，②错误；由线性回归方程的相关概念易知③正确；因为K 2＝13.079>k ＝10.828，故有99%的把握确认这两个变量间有关系，④正确．3．(2013·广州模拟)工人月工资(元)依劳动产值(千元)变化的回归直线方程为y ^＝60＋90x ，下列判断正确的是( )A ．劳动产值为1 000元时，工资为50元B ．劳动产值提高1 000元时，工资提高150元C ．劳动产值提高1 000元时，工资提高90元D ．劳动产值为1 000元时，工资为90元解析：选C 回归系数的意义为：解释变量每增加1个单位，预报变量平均增加b 个单位．4．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由K 2＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，算得K 2＝110×(40×30－20×20)260×50×60×50≈7.8.附表：A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”解析：选C 根据独立性检验的定义，由K 2≈7.8>6.635，可知我们在犯错误的概率不超过0.01的前提下，即有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，故选C.5．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元解析：选B 样本中心点是(3.5,42)，a ^＝y －b ^ x ，则a ^＝y －b ^x ＝42－9.4×3.5＝9.1， 所以回归直线方程是y ^＝9.4x ＋9.1，把x ＝6代入得y ^＝65.5.6．高三某学生高考成绩y (分)与高三期间有效复习时间x (天)正相关，且回归方程是y ^＝3x ＋50，若期望他高考达到500分，那么他的有效复习时间应不低于________天．解析：本题主要考查运用线性回归方程来预测变量取值． 当y ^＝500时，易得x ＝500－503＝150.答案：1507．高三某班学生每周用于物理学习的时间x (单位：小时)与物理成绩y (单位：分)之间有如下关系：(答案保留到0.1)解析：由已知可得x ＝24＋15＋23＋19＋16＋11＋20＋16＋17＋1310＝17.4，y ＝92＋79＋97＋89＋64＋47＋83＋68＋71＋5910＝74.9.设回归直线方程为y ^＝3.53x ＋a ^，则74.9＝3.53×17.4＋a ^，解得a ^≈13.5. 答案：13.58．某中学生物研究性学习小组对春季昼夜温差大小与水稻发芽率之间的关系进行研究，记录了实验室4月10日至4月14日的每天昼夜温差与每天每50颗稻籽浸泡后的发芽数，得到如下资料：的线性回归方程为________．(参考公式：回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝∑i =1nx i y i －n x y∑i =1nx 2i －n (x )2，a ^＝y －b ^x )解析：因为x ＝12，y ＝13.2，所以b ^＝10×11＋12×13＋13×14＋14×16＋11×12－5×12×13.2102＋122＋132＋142＋112－5×122＝1.2，于是，a ^＝13.2－1.2×12＝－1.2，故所求线性回归方程为y ^＝1.2x －1.2.答案：y ^＝1.2x－1.29．(2013·深圳调研)一次考试中，5名同学的数学、物理成绩如下表所示：(1) (2)要从4名数学成绩在90分以上的同学中选2名参加一项活动，以X 表示选中的同学的物理成绩高于90分的人数，求随机变量X 的分布列及数学期望E (X )．(回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝∑i =1n(x i －x )(y i －y )∑i =1n(x i －x )2，a ^＝y －b ^x )解：(1)散点图如图所示．x ＝89＋91＋93＋95＋975＝93，y ＝87＋89＋89＋92＋935＝90，∑i =15(x i －x )2＝(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42＝40，∑i =15(x i －x )(y i －y )＝(－4)×(－3)＋(－2)×(－1)＋0×(－1)＋2×2＋4×3＝30，b ^＝3040＝0.75，b ^x ＝69.75，a ^＝y －b ^x ＝20.25. 故这些数据的回归方程是：y ^＝0.75x ＋20.25. (2)随机变量X 的可能取值为0,1,2.P (X ＝0)＝C 22C 24＝16；P (X ＝1)＝C 12C 12C 24＝23；P (X ＝2)＝C 22C 24＝16.故X 的分布列为：∴E (X )＝0×16＋1×23＋2×16＝1.10．(2013·石家庄模拟)为了调查某大学学生在某天上网的时间，随机对100名男生和100名女生进行了不记名的问卷调查．得到了如下的统计结果：表1：男生上网时间与频数分布表(2)完成下面的2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“大学生上网时间与性别有关”？附：K 2＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a＋c )(b ＋d )解：(1)分钟的有60人，不少于60分钟的有40人，故从其中任选3人，恰有1人上网的时间少于60分钟的概率为C 160C 240C 3100＝156539.(2)K 2＝200×(1 800－2 800)100×100×130×70＝20091≈2.20，∵K 2≈2.20<2.706.∴没有90%的把握认为“大学生上网时间与性别有关”． 第Ⅱ组：重点选做题1．在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( )A ．－1B ．0C.12D ．1解析：选D 利用相关系数的意义直接作出判断．样本点都在直线上时，其数据的估计值与真实值是相等的，即y i ＝y ^i ，代入相关系数公式R ＝1－∑i =1n(y i －y ^i )2∑i =1n(y i －y －)2＝1.2．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( )A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(x －，y －)C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg 解析：选D 根据线性回归方程中各系数的意义求解．由于线性回归方程中x 的系数为0.85，因此y 与x 具有正的线性相关关系，故A 正确．又线性回归方程必过样本中心点(x ，y )，因此B 正确．由线性回归方程中系数的意义知，x 每增加1 cm ，其体重约增加0.85 kg ，故C 正确．当某女生的身高为170 cm 时，其体重估计值是58.79 kg ，而不是具体值，因此D 不正确．。
2020年高考数学一轮总复习第十章算法初步、统计、统计案例10_4变量间的相关关系与统计案例课件文新人教A版
n
＝ i＝1 n
y
，
^ a
＝
y
－
^ b
x
.其中，
^ b
是回归方程
∑ xi－ x 2
i＝1
∑xi2－n x 2
i＝1
的 斜率 ，a^是在y轴上的 截距 ．
(4)样本相关系数
n
∑ xi－ x yi－ y
r＝
i＝1 n
n
，用它来衡量两个变量间的线性相关关系．
∑ xi－ x 2∑ yi－ y 2
10
xi－－x 2
＝58626..5805≈6.87，
i＝1
a^＝－y －b^－x ＝112.45－6.87×5.5≈74.67， 所以y关于x的线性回归方程为^y＝6.87x＋74.67.
(2)若回归方程为^y＝6.87x＋74.67，则当x＝11时，^y＝150.24. 若回归方程为^y＝－0.30x2＋10.17x＋68.07，则当x＝11时，^y＝143.64. |143.64－145.3|＝1.66<|150.24－145.3|＝4.94， 所以回归方程^y＝－0.30x2＋10.17x＋68.07的拟合效果更好．
－
－ x
－ y
－ w
8
(xi－－x )2
i＝1
8
(wi－－w )2
i＝1
(xi－ x )· (wi－ w )·
i＝1
i＝1
(yi－－y )
(yi－－y )
46.6 563 6.8 289.8
1.6
1 469
108.8
表中wi＝
xi，－w ＝18
8
wi.
i＝1
高考数学第10章统计统计案例及算法初步第4讲算法与程序框图知能8-
第4讲 算法与程序框图1．(2015·高考全国卷Ⅱ)如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a ＝( )A ．0B ．2C ．4D ．14解析：选B.第一步：a ＝14，b ＝18，则b ＝18－14＝4；第二步：a ＝14－4＝10；第三步：a ＝10－4＝6；第四步：a ＝6－4＝2；第五步：b ＝4－2＝2，此时a ＝b ，输出a ＝2. 2．(2016·唐山统考)执行如图所示的程序框图，则输出的结果是( )A ．1 B.43 C.54D ．2解析：选A.S ＝0，n ＝2；n ＝3，M ＝3＋13＝43，S ＝0＋log 243；n ＝4，M ＝54，S ＝log 243 ＋log 254＝log 253；n ＝5，M ＝65，S ＝log 253＋log 265＝log 22＝1∈Q ，故输出的S ＝1.3．(2015·高考福建卷)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为( )A ．2B ．1C ．0D ．－1解析：选C.由框图知，第1次循环，S ＝0＋cos π2＝0，i ＝2；第2次循环，S ＝0＋cos π＝－1，i ＝3；第3次循环，S ＝－1＋cos 3π2＝－1，i ＝4；第4次循环，S ＝－1＋cos 2π＝0，i ＝5；第5次循环，S ＝0＋cos 52π＝0，i ＝6>5.此时结束循环，输出S ＝0. 4．已知实数x ∈[2，30]，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于103的概率为( )A.514B.914C.59D.49解析：选B.由程序框图可知，经过3次循环跳出，设输入的初始值为x ＝x 0，则输出的x ＝2[2(2x 0＋1)＋1]＋1≥103，所以8x 0≥96，即x 0≥12，故输出的x 不小于103的概率为P ＝30－1230－2＝1828＝914. 5．(2015·高考安徽卷)执行如图所示的程序框图(算法流程图)，输出的n 为 ( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选B.a ＝1，n ＝1，第1步：|1－1.414|≥0.005，a ＝1＋11＋1＝32，n ＝2；第2步：⎪⎪⎪⎪⎪⎪32－1.414＝0.086≥0.005，a ＝1＋11＋32＝75，n ＝3； 第3步：⎪⎪⎪⎪⎪⎪75－1.414＝0.014≥0.005，a ＝1＋11＋75＝1712，n ＝4； 第4步：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1712－1.414≈0.002 6＜0.005， 输出n ＝4.故选B.6．(2016·河北省五校联盟质量监测)如图，x 1，x 2，x 3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，p 为该题的最终得分，当x 1＝6，x 2＝9，p ＝8.5时，x 3等于()A ．11B ．8. 5C ．8D ．7解析：选C.由程序框图可知，若x 3＝11，则|x 3－x 1|＜|x 3－x 2|不成立，于是p ＝11＋92＝10，所以选项A 不正确；若x 3＝8.5，则|x 3－x 1|＜|x 3－x 2|不成立，于是p ＝8.5＋92＝8.75，所以选项B 不正确；若x 3＝8，则|x 3－x 1|＜|x 3－x 2|不成立，于是p ＝8＋92＝8.5，所以选项C 正确；若x 3＝7，则|x 3－x 1|＜|x 3－x 2|成立，于是p ＝6＋72＝6.5，所以选项D 不正确．7．(2016·海淀区第二学期调研)李强用流程图把早上上班前需要做的事情做了如下几种方案，则所用时间最少的是方案________．方案一：方案二：方案三：解析：方案一所用时间为8＋5＋13＋7＋15＋6＝54.方案二所用时间为8＋15＋7＝30.方案三所用时间为8＋13＋7＝28.所以所用时间最少的是方案三． 答案：三8．(2016·陕西省质量监测)如图是一个算法程序，则输出的n 的值为________．解析：第一次循环后m ＝1，n ＝1；第二次循环后m ＝3，n ＝2；第三次循环后m ＝14，n ＝3；第四次循环后m ＝115，n ＝4，循环结束，输出的n 为4. 答案：49．输入x ＝5，运行如图所示的程序之后得到的y 等于________． Input xIf x <0 Theny ＝(x ＋1)*(x ＋1) Elsey ＝(x －1)*(x －1) End If Print y End解析：由题意，得y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2，x <0，（x －1）2，x ≥0， 所以f (5)＝(5－1)2＝16. 答案：1610．一个算法的程序框图如图所示，若输入的值为2 017，则输出的i 值为________．解析：运行程序框图．x ＝2 017，a ＝2 017，i ＝1，b ＝11－2 017＝－12 016，b ≠x ；i ＝2，a ＝－12 016，b ＝11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 016＝2 0162 017，b ≠x ；i ＝3，a ＝2 0162 017，b ＝11－2 0162 017＝2 017，b ＝x .终止循环， 故输出i ＝3. 答案：31．(2016·石家庄一模)执行如图所示的程序框图，如果输入的依次是1，2，4，8，则输出的S 为( )A ．2B ．2 2C ．6D ．4解析：选B.当a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，a 4＝8时，S ＝1，i ＝1，i ＝1≤4，S ＝10×11＝1，i ＝2；i ＝2≤4，S ＝112×212＝2，i ＝3；i ＝3≤4，S ＝(2)23×413＝2，i ＝4；i ＝4≤4，S ＝234×814＝22，i ＝5；i ＝5>4，此时循环结束，输出S ＝22，故选B.2．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是95，则( )A ．a ＝4B ．a ＝5C ．a ＝6D ．a ＝7解析：选A.该程序框图的功能为计算1＋11×2＋12×3＋…＋1a （a ＋1）＝2－1a ＋1的值，由已知输出的值为95，可知当a ＝4时，2－1a ＋1＝95.故选A.3．关于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，1<x ≤4，cos x ，－1≤x ≤1的程序框图如图所示，现输入区间[a ，b ]，则输出的区间是________．解析：由程序框图的第一个判断条件为f (x )>0，当f (x )＝cos x ，x ∈[－1，1]时满足，然后进入第二个判断框，需要解不等式f ′(x )＝－sin x ≤0，即0≤x ≤1.故输出区间为[0，1]．答案：[0，1]4．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S 的值为________．解析：依题意得，运行程序后输出的是数列{a n }的第2 017项，其中数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n ，a n <1，18a n ，a n ≥1.注意到a 2＝18，a 3＝14，a 4＝12，a 5＝1，a 6＝18，…，该数列中的项以4为周期重复性地出现，且2 017＝4×504＋1，因此a 2 017＝a 1＝1，运行程序后输出的S 的值为1. 答案：15．(2016·成都模拟)已知某算法的程序框图如图所示，若将输出的(x ，y )值依次记为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，…(1)若程序运行中输出的一个数组是(9，t )，求t 的值； (2)程序结束时，共输出(x ，y )的组数为多少？解：(1)由程序框图知，当x ＝1时，y ＝0，当x ＝3时，y ＝－2；当x ＝9时，y ＝－4，所以t ＝－4.(2)当n ＝1时，输出一对，当n ＝3时，又输出一对，…，当n ＝2 015时，输出最后一对，共输出(x ，y )的组数为1 008.。
高考数学一轮复习第十章算法初步、统计与统计案例10.1算法初步课件文北师大
14,18,则输出的a=( )
A.0 B.2 C.4 D.14 思考应用顺序结构与选择结构时应注意什么?
考点1
考点2
考点3
-21-
答案: (1)A (2)B 解析: (1)当-1≤t<1时,s=3t,则s∈[-3,3). 当1≤t≤3时,s=4t-t2.
∵该函数的对称轴为t=2, ∴该函数在[1,2]上单调递增,在[2,3]上单调递减. ∴smax=4,smin=3.∴s∈[3,4].
值是
.
关闭
第一次循环:a=5,b=7,第二次循环:a=9,b=5,此时a>b,循环结束,输出a的值
为9.
关闭
9
解析 答案
知识梳理 双基自测 自测点评
-18-
1.算法必须是明确和有效的,而且能够在有限步内完成.算法框图 中的输入框不一定紧接开始框,输出框不一定紧接结束框.
2.输入、输出框表示一个算法输入或输出的信息,处理框具有赋 值、计算的功能,不可混用.
-11-
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6.条件语句 (1)If—Then—Else语句的一般格式为:
If 条件 Then 语句1
Else 语句2
End If
(2)If—Then语句的一般格式是:
If 条件 Then 语句
End If
知识梳理 双基自测 自测点评
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-12-
7.循环语句 (1)For语句的一般格式: For循环变量=初始值To终值 循环体 Next
3.(2016全国甲卷,文9)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,下
图是实现该算法的算法框图,执行该算法框图,若输入的x=2,n=2,依
人教A版高考文科数学一轮总复习课后习题 第10章算法初步、 统计与统计案例 课时规范练49 算法初步
课时规范练49 算法初步基础巩固组1.(黑龙江齐齐哈尔二模)执行如图所示的程序框图,若输出的y值是2,则输入的x值是( )A.14B.-1 C.4 D.-122.已知[x]表示不超过x的最大整数.执行如图所示的程序框图,若输入x 的值为2.4,则输出z的值为( )(第2题图)A.1.2B.0.6C.0.4D.-0.43.如图是计算1+13+15+…+131的值的程序框图,则图中①②处可以填写的语句分别是( )(第3题图)A.n=n+2,i>16?B.n=n+2,i≥16?C.n=n+1,i>16?D.n=n+1,i≥16?4.秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法,即使在现代,它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法,其算法的程序框图如图所示,若输入的a0,a1,a2,…,a n分别为0,1,2,…,n.若n=5,根据该算法计算当x=2时多项式的值,则输出的结果为( )A.248B.258C.268D.2785.(安徽合肥二模)考拉兹猜想是由德国数学家洛塔尔·考拉兹在20世纪30年代提出,其内容是:任意正整数s,如果s是奇数就乘3加1,如果s是偶数就除以2,如此循环,最终都能够得到1.下边的程序框图演示了考拉兹猜想的变换过程.若输入s的值为5,则输出i的值为( )(第5题图)A.3B.4C.5D.66.(陕西宝鸡二模)庄子说:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”这句话描述的是一个数列问题,现用程序框图描述,如图所示,若输入某个正整数n后,输出的S∈3132,127128,则输入的n的值为( )(第6题图)A.7B.6C.5D.4综合提升组7.我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰,日取其半,万世不竭”,其意思:一尺的木棍,每天截取一半,永远都截不完.现将该木棍依此规律截取,如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度(单位:尺),则①②③处可分别填入的语句是( ),i=2iA.i<7,s=s-1i,i=2iB.i≤7,s=s-1i,i=i+1C.i<7,s=s2,i=i+1D.i≤7,s=s28.(陕西西安交大附中模拟)运行如图所示程序后,输出的结果为( )A.15B.17C.19D.219.根据某校10位高一同学的身高(单位:cm)画出的茎叶图(图1),其中左边的数字从左到右分别表示学生身高的百位数字和十位数字,右边的数字表示学生身高的个位数字,设计一个程序框图(图2),用A i(i=1,2, (10)表示第i个同学的身高,计算这些同学身高的方差,则程序框图①中要补充的语句是( )图1图2A.B=B+A iB.B=B+A i2C.B=(B+A i-A)2D.B=B2+A i210.执行如图所示的程序框图,若输入的m,n分别为385,105(图中“m MOD n”表示m除以n的余数),则输出的m= .(第10题图)创新应用组11.(河南开封二模)若[x]表示不超过x的最大整数,例如[0.3]=0,[1.5]=1,则如图中的程序框图运行之后输出的结果为( )(第11题图)A.102B.684C.696D.708参考答案课时规范练49 算法初步1.A 由题意得y={log 12x ,x ≤2,(12) x ,x >2,当x≤2时,lo g 12x=2,解得x=14;当x>2时,12x=2,解得x=-1(舍去).∴x=14.故选A.2.D 执行该程序框图,输入x=2.4,y=2.4,x=[2.4]-1=1,满足x≥0,x=1.2,y=1.2,x=[1.2]-1=0,满足x≥0,x=0.6,y=0.6,x=[0.6]-1=-1,不满足x≥0,终止循环,z=-1+0.6=-0.4,输出z 的值为-0.4. 3.A 式子1+13+15+…+131中所有项的分母构成公差为2的等差数列1,3,5,…,31,则①处填n=n+2.令31=1+(k-1)×2,k=16,共16项,而1到129共15项,需执行最后一次循环,此时i=16,所以②中应填“i>16?”.故选A.4.B 该程序框图是计算多项式f(x)=5x 5+4x 4+3x 3+2x 2+x 当x=2时的值,f(2)=258,故选B.5.C 第一次循环,12s=52∈Z 不成立,则s=3×5+1=16,i=0+1=1,s=1不成立;第二次循环,12s=8∈Z 成立,则s=12×16=8,i=1+1=2,s=1不成立;第三次循环,12s=4∈Z 成立,则s=12×8=4,i=2+1=3,s=1不成立;第四次循环,12s=2∈Z成立,则s=12×4=2,i=3+1=4,s=1不成立;第五次循环,12s=1∈Z 成立,则s=12×2=1,i=4+1=5,s=1成立.跳出循环体,输出i=5.故选C.6.C 第一次循环,S=12,k=0+1=1,1>n 不成立,第二次循环,S=12+12×12=34,k=1+1=2,2>n 不成立;第三次循环,S=12+12×34=78,k=2+1=3,3>n 不成立;第四次循环,S=12+12×78=1516,k=3+1=4,4>n 不成立;第五次循环,S=12+12×1516=3132,k=4+1=5,5>n 不成立;第六次循环,S=12+12×3132=6364∈3132,127128,k=6,6>n 成立,跳出循环体,所以5≤n<6,因此,输入n 的值为5.故选C. 7.D 由题意可知第一天后剩下12,第二天后剩下122……由此得出第7天后剩下127,结合选项分析得,①应为i≤7,②应为s=s2,③应为i=i+1,故选D.8.B 运行如图所示程序,如下:i=1,执行循环体,i=3,S=2×3+3=9,i=5,S=2×5+3=13,i=7,S=2×7+3=17, i=9>8,此时退出循环,输出S 的值为17.故选B. 9.B 由s 2=(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x n -x )2n=x 12+x 22+…+x n 2-2(x 1+x 2+…+x n )x+nx 2n=x 12+x 22+…+x n 2-2nx 2+nx 2n=x 12+x 22+…+x n 2n−x 2,循环退出时i=11,知x 2=(A i -1)2.所以B=A 12+A 22+…+A 102,故程序框图①中要补充的语句是B=B+A i 2.故选B.10.35 执行程序框图,可得m=385,n=105,r=70,m=105,n=70,不满足条件r=0;r=35,m=70,n=35,不满足条件r=0;r=0,m=35,n=0,满足条件r=0,退出循环,输出的m值为35.11.C [x]表示不超过x的最大整数,所以该程序框图运行后输出的结果是S=010+110+210+…+12210,共123项相加.从010到910共10项,均为0,1010到1910共10项,均为1,2010到2910共10项,均为2,…,11010到11910共10项,均为11,12010到12210共3项,均为12,所以S=10×(1+2+3+…+11)+12×3=10×11×(1+11)2+36=696.故选C.第11页共11页。
高考数学一轮复习 第十章 算法初步、统计与统计案例 10.4 变量间的相关关系、统计案例学案(文,
学习资料10.4 变量间的相关关系、统计案例必备知识预案自诊知识梳理1。
变量间的相关关系（1）定义:常见的两变量之间的关系有两类:一类是函数关系，另一类是 .当自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系。
与函数关系不同,相关关系是一种 .（2)散点图：表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图,它可直观地判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示。
若这些散点分布在从左下角到右上角的区域,则称两个变量 ;若这些散点分布在从左上角到右下角的区域,则称两个变量 .（3)线性相关关系、回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在 ，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线.(4)非线性相关:若散点图上所有点看上去都在 附近波动,则称此相关为非线性相关。
此时,可以用 来拟合.(5)不相关:如果所有的点在散点图中 ,那么称变量间是不相关的.2。
两个变量的线性相关（1）从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有 ,这条直线叫做 。
（2)回归方程y ^=b ^x+a ^是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1，y 1），（x 2，y 2）,…，（x n ,y n )的回归方程,其中a ^,b ^是待定系数.{ b ^=∑n i=1(x i -x )(y i -y )∑ni=1(x i -x )2=∑ni=1x i y i -nxy∑ni=1x i 2-nx2,a ^=y -b ^x .(3）通过求Q=∑ni=1（y i —bx i —a )2的最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法。
（4)相关系数r=∑i=1n(x i -x )(y i -y )√∑i=1(x i -x )2∑i=1(y i -y )2。
当r 〉0时,表明两个变量正相关； 当r 〈0时，表明两个变量负相关。
高考数学一轮总复习 第10章 算法初步、统计、统计案例 第四节 变量间的相关关系 统计案例课件 文
3．(教材习题改编)为研究吸烟是否对患肺癌有影响，某肿瘤 研究所随机地调查了 9 965 人，得出如下结果(单位：人)：
不吸烟 吸烟 总计
不患肺癌 患肺癌 总计
7 775
42 7 817
2 099
49 2 148
9 874
91 9 965
则患肺癌与吸烟________．(填“有关”或“无关”)
答案：有关
D．l1 与 l2 相交，但交点不一定是(s，t)
解析：注意到回归直线必经过样本中心点．
答案：C
考点一 相关关系的判断 基础送分型考点——自主练透
[题组练透]
1．(易错题)对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，
关于其相关系数的比较，正确的是
()
A．r2＜r4＜0＜r3＜r1 B．r4＜r2＜0＜r1＜r3 C．r4＜r2＜0＜r3＜r1 D．r2＜r4＜0＜r1＜r3
3．独立性检验
假设有两个分类变量 X 和 Y，它们的取值分别为{x1，x2} 和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为 2×2 列联表)为：
x1 x2 总计
y1
y2
a
b
c
d
a＋c b＋d
总计 a＋b c＋d a＋b＋c＋d
K2＝a＋ban＋adc－bb＋cd2c＋d(其中 n＝a＋b＋c＋d 为 样本容量)．
[小题体验] 1．(教材习题改编)已知 x，y 的取值如下表，从散点图可
以看出 y 与 x 线性相关，且回归方程为^y＝0.95x＋^a，
则^a＝ x01 3 4
()
y 2.2 4.3 4.8 6.7
A．3.25
B．2.6 C．2.2
D．0
解析：∵回归直线必过样本点的中心(－x ，－y )，又－x ＝2， －y ＝4.5，代入回归方程，得^a＝2.6. 答案：B
2015高考人教版理科数学复习配套 重点内容精选：第十章 统计、统计案例及算法初步
高频考点全通关——频率分布直方图的应用 闯关一：了解考情，熟悉命题角度
【考情分析】
频率分布直方图是用样本估计总体的一种重要的方法，是高考 命题的一个热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大， 多为容易题或中档题．
【命题角度】
高考对频率分布直方图的考查主要有以下两个命题角度：
(1)已知频率分布直方图中的部分数据，求其他数据；
【答案】D
高频考点全通关——分 层 抽 样
闯关三：总结问题类型，掌握解题策略
与分层抽样有关问题的常见类型及解题策略
(1)确定抽样比． 可依据各层总数与样本数之比，确定抽样比． (2)求某一层的样本数或总体个数． 可依据题意求出抽样比，再由某层总体个数(或样本数) 确定该层的样本(或总体)数． (3)求各层的样本数． 可依据题意，求出各层的抽样比，再求出各层样本数．
产品，数量分别为 120 件， 80 件，60 件．为了解它们的产品质量是否 存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为 n 的样本进行调查， 其中从丙车间的产品中抽取了 3 件，则 n＝( A．9 B．10 C． 12 ) D． 13
【解析】根据抽样比例可得 ＝
解得 n＝13.
3 60
n ， 120＋80＋60
高频考点全通关——分 层 抽 样 闯关四：及时演练，强化提升解题技能
(2014·滨州模拟)某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表 (每名同学只参加一个小组)(单位：人). 篮球组 书画组 乐器组 高一 45 30 a 高二 15 10 20 学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分 层抽样的方法，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取 30 人，结 果篮球组被抽出 12 人，则 a 的值为________．