2014年北京市中考数学试卷(含答案和解析)
2014年北京市中考数学试卷一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．是符合题意的．．2．（4分）（2014•北京）据报道，某小区居民李先生改进用水设备，在十年内帮助他居住小区的居民累计节水300 0003．（4分）（2014•北京）如图，有6张扑克牌，从中随机抽取一张，点数为偶数的概率是（）．C D．4．（4分）（2014•北京）如图是几何体的三视图，该几何体是（）6．（4分）（2014•北京）园林队在某公园进行绿化，中间休息了一段时间．已知绿化面积S（单位：平方米）与工作时间t（单位：小时）的函数关系的图象如图，则休息后园林队每小时绿化面积为（）7．（4分）（2014•北京）如图，圆O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足是E ，∠A=22.5°，OC=4，CD 的长为（ ）8．（4分）（2014•北京）已知点A 为某封闭图形边界上一定点，动点P 从点A 出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点P 运动的时间为x ，线段AP 的长为y ．表示y 与x 的函数关系的图象大致如图，则该封闭图形可能是（ ）． CD ．二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．（4分）（2014•北京）分解因式：ax 4﹣9ay 2= _________ ．10．（4分）（2014•北京）在某一时刻，测得一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m ，同时测得一根旗杆的影长为25m ，那么这根旗杆的高度为 _________ m ．11．（4分）（2014•北京）如图，在平面直角坐标系xOy 中，正方形OABC 的边长为2．写出一个函数y= （k ≠0），使它的图象与正方形OABC 有公共点，这个函数的表达式为 _________ ．12．（4分）（2014•北京）在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ），我们把点P （﹣y+1，x+1）叫做点P 的伴随点．已知点A 1的伴随点为A 2，点A 2的伴随点为A 3，点A 3的伴随点为A 4，…，这样依次得到点A 1，A 2，A 3，…，A n ，…．若点A 1的坐标为（3，1），则点A 3的坐标为 _________ ，点A 2014的坐标为 _________ ；若点A 1的坐标为（a ，b ），对于任意的正整数n ，点A n 均在x 轴上方，则a ，b 应满足的条件为 _________ ．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．（5分）（2014•北京）如图，点B 在线段AD 上，BC ∥DE ，AB=ED ，BC=DB ．求证：∠A=∠E ．14．（5分）（2014•北京）计算：（6﹣π）0+（﹣）﹣1﹣3tan30°+|﹣|15．（5分）（2014•北京）解不等式x﹣1≤x﹣，并把它的解集在数轴上表示出来．16．（5分）（2014•北京）已知x﹣y=，求代数式（x+1）2﹣2x+y（y﹣2x）的值．17．（5分）（2014•北京）已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．18．（5分）（2014•北京）列方程或方程组解应用题：小马自驾私家车从A地到B地，驾驶原来的燃油汽车所需油费108元，驾驶新购买的纯电动车所需电费27元，已知每行驶1千米，原来的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动汽车所需的电费多0.54元，求新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．（5分）（2014•北京）如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分ABC，交AD于点F，AE 与BF交于点P，连接EF，PD．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AB=4，AD=6，∠ABC=60°，求tan∠ADP的值．20．（5分）（2014•北京）根据某研究院公布的2009～2013年我国成年国民阅读调查报告的部分相关数据，绘制的（1）直接写出扇形统计图中m的值；（2）从2009到2013年，成年国民年人均阅读图书的数量每年增长的幅度近似相等，估算2014年成年国民年人均阅读图书的数量约为_________本；（3）2013年某小区倾向图书阅读的成年国民有990人，若该小区2014年与2013年成年国民的人数基本持平，估算2014年该小区成年国民阅读图书的总数量约为_________本．21．（5分）（2014•北京）如图，AB是eO的直径，C是»AB的中点，eO的切线BD交AC的延长线于点D，E 是OB的中点，CE的延长线交切线BD于点F，AF交eO于点H，连接BH．（1）求证：AC=CD；（2）若OB=2，求BH的长．22．（5分）（2014•北京）阅读下面材料：小腾遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2，BD=2DC，求AC的长．小腾发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，通过构造△ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．请回答：∠ACE的度数为_________，AC的长为_________．参考小腾思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，∠BAC=90°，∠CAD=30°，∠ADC=75°，AC与BD交于点E，AE=2，BE=2ED，求BC的长．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．（7分）（2014•北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0，﹣2），B（3，4）．（1）求抛物线的表达式及对称轴；（2）设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若直线CD 与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围．24．（7分）（2014•北京）在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F．（1）依题意补全图1；（2）若∠PAB=20°，求∠ADF的度数；（3）如图2，若45°＜∠PAB＜90°，用等式表示线段AB，FE，FD之间的数量关系，并证明．25．（8分）（2014•北京）对某一个函数给出如下定义：若存在实数M＞0，对于任意的函数值y，都满足﹣M＜y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．（1）分别判断函数y=（x＞0）和y=x+1（﹣4≤x≤2）是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；（2）若函数y=﹣x+1（a≤x≤b，b＞a）的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b的取值范围；（3）将函数y=x2（﹣1≤x≤m，m≥0）的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值是t，当m在什么范围时，满足≤t≤1？2014年北京市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．是符合题意的．．2．（4分）（2014•北京）据报道，某小区居民李先生改进用水设备，在十年内帮助他居住小区的居民累计节水300 0003．（4分）（2014•北京）如图，有6张扑克牌，从中随机抽取一张，点数为偶数的概率是（）．C D．=．4．（4分）（2014•北京）如图是几何体的三视图，该几何体是（）=196．（4分）（2014•北京）园林队在某公园进行绿化，中间休息了一段时间．已知绿化面积S（单位：平方米）与工作时间t（单位：小时）的函数关系的图象如图，则休息后园林队每小时绿化面积为（）7．（4分）（2014•北京）如图，圆O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（）CE=OC=2CE=OC=2．8．（4分）（2014•北京）已知点A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点P运动的时间为x，线段AP的长为y．表示y与x的函数关系的图象大致如图，则该封闭图形可能是（）．C D．（二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．（4分）（2014•北京）分解因式：ax4﹣9ay2=a（x2﹣3y）（x2+3y）．10．（4分）（2014•北京）在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为15m．由题意得，=11．（4分）（2014•北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2．写出一个函数y=（k≠0），使它的图象与正方形OABC有公共点，这个函数的表达式为y=，y=（0＜k≤4）（答案不唯一）．y=．，（12．（4分）（2014•北京）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把点P（﹣y+1，x+1）叫做点P的伴随点．已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，A n，…．若点A1的坐标为（3，1），则点A3的坐标为（﹣3，1），点A2014的坐标为（0，4）；若点A1的坐标为（a，b），对于任意的正整数n，点A n均在x轴上方，则a，b应满足的条件为﹣1＜a＜1且0＜b＜2．，三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．（5分）（2014•北京）如图，点B在线段AD上，BC∥DE，AB=ED，BC=DB．求证：∠A=∠E．14．（5分）（2014•北京）计算：（6﹣π）0+（﹣）﹣1﹣3tan30°+|﹣|+15．（5分）（2014•北京）解不等式x﹣1≤x﹣，并把它的解集在数轴上表示出来．16．（5分）（2014•北京）已知x﹣y=，求代数式（x+1）2﹣2x+y（y﹣2x）的值．y=y=17．（5分）（2014•北京）已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．，然后利用整数的整除性确定正整数=18．（5分）（2014•北京）列方程或方程组解应用题：小马自驾私家车从A地到B地，驾驶原来的燃油汽车所需油费108元，驾驶新购买的纯电动车所需电费27元，已知每行驶1千米，原来的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动汽车所需的电费多0.54元，求新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费．=四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．（5分）（2014•北京）如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分ABC，交AD于点F，AE 与BF交于点P，连接EF，PD．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AB=4，AD=6，∠ABC=60°，求tan∠ADP的值．PH=AP=PH=ADP=．20．（5分）（2014•北京）根据某研究院公布的2009～2013年我国成年国民阅读调查报告的部分相关数据，绘制的（1）直接写出扇形统计图中m的值；（2）从2009到2013年，成年国民年人均阅读图书的数量每年增长的幅度近似相等，估算2014年成年国民年人均阅读图书的数量约为5本；（3）2013年某小区倾向图书阅读的成年国民有990人，若该小区2014年与2013年成年国民的人数基本持平，估算2014年该小区成年国民阅读图书的总数量约为7500本．21．（5分）（2014•北京）如图，AB是eO的直径，C是»AB的中点，eO的切线BD交AC的延长线于点D，E 是OB的中点，CE的延长线交切线BD于点F，AF交eO于点H，连接BH．（1）求证：AC=CD；（2）若OB=2，求BH的长．是，由=2===22．（5分）（2014•北京）阅读下面材料：小腾遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2，BD=2DC，求AC的长．小腾发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，通过构造△ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．请回答：∠ACE的度数为75°，AC的长为3．参考小腾思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，∠BAC=90°，∠CAD=30°，∠ADC=75°，AC与BD交于点E，AE=2，BE=2ED，求BC的长．根据相似的三角形的判定与性质，可得，∴，AD=2DF=2AC=AD=2AB=2DF=2=2五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．（7分）（2014•北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0，﹣2），B（3，4）．（1）求抛物线的表达式及对称轴；（2）设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若直线CD 与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围．代入得：，坐标代入得：k=y=，．24．（7分）（2014•北京）在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F．（1）依题意补全图1；（2）若∠PAB=20°，求∠ADF的度数；（3）如图2，若45°＜∠PAB＜90°，用等式表示线段AB，FE，FD之间的数量关系，并证明．ADF=25．（8分）（2014•北京）对某一个函数给出如下定义：若存在实数M＞0，对于任意的函数值y，都满足﹣M＜y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．（1）分别判断函数y=（x＞0）和y=x+1（﹣4≤x≤2）是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；（2）若函数y=﹣x+1（a≤x≤b，b＞a）的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b的取值范围；（3）将函数y=x2（﹣1≤x≤m，m≥0）的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值是t，当m在什么范围时，满足≤t≤1？，易求或（，，或≤。
2023年北京市中考数学真题(含答案解析)
2023年北京市中考数学真题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________．．．．．如图，90AOC ∠=∠=︒，126AOD ∠=，则BOC ∠的大小为（A ．36︒B ．44︒54︒4．已知10a ->，则下列结论正确的是（A ．11a a -<-<<11a a -<-<<C ．11a a -<-<<11a a-<-<<5．若关于x 的一元二次方程23x x m -+=有两个相等的实数根，A ．9-B ．94-946．十二边形的外角和．．．为（）A ．30︒B ．150︒360︒7．先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是（）A ．14B ．138．如图，点A 、B 、C 在同一条线上，点上述结论中，所有正确结论的序号是（A ．①②B ．①③二、填空题9．若代数式52x -有意义，则实数10．分解因式：23x y y -=11．方程31512x x=+的解为12．在平面直角坐标系xOy 中，若函数则m 的值为．13．某厂生产了1000只灯泡.为了解这灯泡进行检测，获得了它们的使用寿命（单位：小时）使用寿命1000x <1000x ≤<灯泡只数510根据以上数据，估计这1000只灯泡中使用寿命不小于只．14．如图，直线AD ，BC 交于点O 的值为．15．如图，OA 是O 的半径，BC 是 交OC 的延长线于点E ．若45AOC ∠=︒16．学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动．A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 七道工序，加工要求如下：①工序C ，D 须在工序A 完成后进行，工序在工序C ，D 都完成后进行；②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；③各道工序所需时间如下表所示：工序A B C D E 所需时间/分钟99797在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要三、解答题17．计算：114sin602123-⎛⎫︒++-- ⎪⎝⎭18．解不等式组：23535x x x x+⎧>⎪⎨⎪-<+⎩．19．已知210x y +-=，求代数式x(1)求证：四边形AECF 是矩形；(2)AE BE =，2AB =，1tan 2ACB ∠=21．对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是的宽相等，均为天头长与地头长的和的宽为27cm ．若要求装裱后的长是装裱后的宽的自《启功法书》）22．在平面直角坐标系xOy 中，函数y kx =+与过点()0,4且平行于x 轴的线交于点C ．(1)求该函数的解析式及点C 的坐标；(2)当3x <时，对于x 的每一个值，函数23y =小于4，直接写出n 的值．23．某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：如下：a .16名学生的身高：(1)求证DB 平分ADC ∠，并求BAD ∠(2)过点C 作CF AD ∥交AB 的延长线于点25．某小组研究了清洗某种含污物品的节约用水策略．部分内容如下．每次清洗1个单位质量的该种含污物品，清洗前的清洁度均为度为0.990方案一：采用一次清洗的方式．结果：当用水量为19个单位质量时，清洗后测得的清洁度为结果：结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当第一次用水量约为位质量（精确到个位）时，总用水量最小．根据以上实验数据和结果，解决下列问题：（1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，与采用一次清洗的方式相比、可节水约______个单位质量（结果保留小数点后一位）（2）当采用两次清洗的方式时，若第一次用水量为围．参考答案：【详解】如图，所有结果有4种，满足要求的结果有1种，故概率为【点睛】本题考查概率的计算，运用树状图或列表工具是解题的关键．【分析】如图，过D 作DF AE ⊥于F ，则四边形，可得a b c +<，进而可判断①的正误；由a =，AE BC b ==，ABE CDB ∠=∠，∴DF AC a b ==+，∵DF DE <，∴a b c +<，①正确，故符合要求；∵EAB BCD ≌△△，∴BE BD =，CD AB a ==，AE =∵90CBD CDB ∠+∠=︒，∴90∠+∠=︒CBD ABE ，EBD ∠=∴BDE △是等腰直角三角形，由勾股定理得，22BE AB AE =+∵AB AE BE +>，【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，特征，利用数形结合的思想是解题的关键．23．(1)166m =，165n =；(2)甲组(3)170，172【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可；（2）计算每一组的方差，根据方差越小数据越稳定进行判断即可；（3）根据要求，身高的平均数尽可能大且方差小于【详解】（1）解：将这组数据按照从小到大的顺序排列为：165，166，166，167，168，168，170出现次数最多的数是165，出现了3次，即众数由图象可得，当第一次用水量约为4个单位质量（精确到个位）时，总用水量最小；（1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，用水量为19-7.7=11.3，即可节水约11.3个单位质量；（2）由图可得，当第一次用水量为6个单位质量，总用水量超过的清洁度能达到0.990，第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5故答案为：<．【点睛】本题考查了函数图象，根据数据描绘函数图象、26．(1)32t =(2)12t ≤【分析】（1）根据二次函数的性质求得对称轴即可求解；（2）根据题意可得()11,x y 离对称轴更近，1x 右侧，根据对称性求得1213222x x +<<，进而根据【详解】（1）解：∵对于11x =，22x =有1y =∴抛物线的对称轴为直线12322x x x +==，∵抛物线的对称轴为x t =．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形中位线定理以及全等三角形的判定和性质等知识，题的关键．28．(1)1C ，2C ；2OC =(2)2313t ≤≤或2633t ≤≤．a、若12C B与O相切，AC经过点O，①当S 位于点()0,3M 时，MP 为O 的切线，作PJ OM ⊥∵()0,3M ，O 的半径为1，且MP 为O 的切线，∴OP MP ⊥，。
2024年北京市西城区中考数学一模试卷及答案解析
2024年北京市西城区中考数学一模试卷一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）如图是某几何体的展开图，该几何体是（）A．圆锥B．三棱柱C．三棱锥D．四棱锥2．（2分）2024年5.5G技术正式开始商用，它的数据下载的最高速率从5G初期的1Gbps 提升到10Gbps，给我们的智慧生活“提速”．其中10Gbps表示每秒传输10000000000位（bit）的数据．将10000000000用科学记数法表示应为（）A．0.1×1011B．1×1010C．1×1011D．10×109 3．（2分）下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（）A．B．C．D．4．（2分）直尺和三角板如图摆放，若∠1＝55°，则∠2的大小为（）A．35°B．55°C．135°D．145°5．（2分）不透明袋子中装有红、蓝小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次都摸到蓝球的概率为（）A．B．C．D．6．（2分）已知﹣2＜a＜﹣1，则下列结论正确的是（）A．a＜1＜﹣a＜2B．1＜a＜﹣a＜2C．1＜﹣a＜2＜a D．﹣a＜1＜a＜2 7．（2分）若关于x的一元二次方程kx2+x﹣2＝0有两个实数根，则实数k的取值范围是（）A．k≤﹣B．k＞﹣且k≠0C．k≥﹣且k≠0D．k≥﹣且k≠08．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b（其中a＜b）．CD⊥AB 于点D，点E在边AB上，BE＝BC．设CD＝h，AD＝m，BD＝n，给出下面三个结论：①n2+h2＜（m+n）2；②2h2＞m2+n2；③AE的长是关于x的方程x2+2ax﹣b2＝0的一个实数根．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①B．①③C．②③D．①②③二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为．10．（2分）分解因式：x2y﹣12xy+36y＝．11．（2分）方程＝的解为．12．（2分）在平面直角坐标系xOy中，若函数y＝（k≠0）的图象经过点（﹣1，8）和（2，n），则n的值为．13．（2分）如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，BA，CE的延长线交于点F．若AF＝1，AB＝2，则＝．14．（2分）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，点A是的中点，连接AC，若∠DAB ＝130°，则∠ACB＝°．15．（2分）如图，两个边长相等的正六边形的公共边为BD，点A，B，C在同一直线上，点O1，O2分别为两个正六边形的中心．则tan∠O2AC的值为．16．（2分）将1，2，3，4，5，…，37这37个连续整数不重不漏地填入37个空格中．要求：从左至右，第1个数是第2个数的倍数，第1个数与第2个数之和是第3个数的倍数，第1，2，3个数之和是第4个数的倍数，…，前36个数的和是第37个数的倍数．若第1个空格填入37，则第2个空格所填入的数为，第37个空格所填入的数为．37…三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）计算：|﹣|﹣（）﹣1+2sin60°﹣．18．（5分）解不等式组：．19．（5分）已知x2﹣x﹣4＝0，求代数式（x﹣2）2+（x﹣1）（x+3）的值．20．（5分）如图，点E在▱ABCD的对角线DB的延长线上，AE＝AD，AF⊥BD于点F，EG∥BC交AF的延长线于点G，连接DG．（1）求证：四边形AEGD是菱形；（2）若AF＝BF，tan∠AEF＝，AB＝4，求菱形AEGD的面积．21．（5分）某学校组织学生社团活动，打算恰好用1000元经费购买围棋和象棋，其中围棋每套40元，象棋每套30元．所购买围棋的套数能否是所购买象棋套数的2倍？若能，请求出所购买的围棋和象棋的套数，若不能，请说明理由．22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（3，5），B （﹣2，0），且与y轴交于点C．（1）求该函数的解析式及点C的坐标；（2）当x＜2时，对于x的每一个值，函数y＝﹣3x+n的值大于函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出n的取值范围．23．（6分）某学校组织学生采摘山楂制作冰糖葫芦（每串冰糖葫芦由5颗山楂制成）．同学们经过采摘、筛选、洗净等环节，共得到7.6kg的山楂．甲、乙两位同学各随机分到了15颗山楂，他们测量了每颗山楂的重量（单位：g），并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．甲同学的山楂重量的折线图：b．乙同学的山楂重量：8，8.8，8.9，9.4，9.4，9.4，9.6，9.6，9.6，9.8，10，10，10，10，10c．甲、乙两位同学的山楂重量的平均数、中位数、众数：平均数中位数众数甲9.5m9.2乙9.59.6n 根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m，n的值；（2）对于制作冰糖葫芦，如果一串冰糖葫芦中5颗山楂重量的方差越小，则认为这串山楂的品相越好．①甲、乙两位同学分别选择了以下5颗山楂制作冰糖葫芦．据此推断：品相更好的是（填写“甲”或“乙”）；甲9.29.29.29.29.1乙9.49.49.48.98.8②甲同学从剩余的10颗山植中选出5颗山楂制作一串冰糖葫芦参加比赛，首先要求组成的冰糖葫芦品相尽可能好，其次要求冰糖葫芦的山楂重量尽可能大．他已经选定的三颗山楂的重量分别为9.4，9.5，9.6，则选出的另外两颗山楂的重量分别为_______和；（3）估计这些山楂共能制作多少串冰糖葫芦．24．（6分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，⊙O的切线CE与BA的延长线交于点E，AF∥CE，AF与⊙O的交点为F．（1）求证：AF＝CD；（2）若⊙O的半径为6，AH＝2OH，求AE的长．25．（6分）如图，点O为边长为1的等边三角形ABC的外心．线段PQ经过点O，交边AB 于点P，交边AC于点Q．若AP＝x，AQ＝y1，S△APQ：S△ABC＝y2，下表给出了x，y1，y2的一些数据（近似值精确到0.0001）．x0.50.550.60.650.70.750.80.850.90.951 y110.84620.750.68420.63640.60.57140.54840.92940.51350.5 y20.46540.450.44470.44550.450.45710.46610.47650.48780.5（1）补全表格；（2）在同一平面直角坐标系xOy中描出了部分点（x，y1），（x，y2）．请补全表格中数据的对应点，并分别画出y1与y2关于x的函数图象；（3）结合函数图象，解决下列问题：①当△APQ是等腰三角形时，y1关于x的函数图象上的对应点记为（a，b），请在x轴上标出横坐标为a的点；②当y2取最大值时，x的值为．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，y1），B（2，y2），C（m，y3）在抛物线y＝ax2+bx+3（a＞0）上．设抛物线的对称轴为直线x＝t．（1）若y1＝3，求t的值；（2）若当t+1＜m＜t+2时，都有y1＞y3＞y2，求t的取值范围．27．（7分）在△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝45°，AM⊥BC于点M．D是射线AB上的动点（不与点A，B重合），点E在射线AC上且满足AE＝AD，过点D作直线BE的垂线交直线BC于点F，垂足为点G，直线BE交射线AM于点P．（1）如图1，若点D在线段AB上，当AP＝AE时，求∠BDF的大小；（2）如图2，若点D在线段AB的延长线上，依题意补全图形，用等式表示线段CF，MP，AB的数量关系，并证明．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，已知⊙O的半径为1，对于⊙O上的点P和平面内的直线l：y＝ax给出如下定义：点P关于直线l的对称点记为P′，若射线OP上的点Q 满足OQ＝PP′，则称点Q为点P关于直线l的“衍生点”．（1）当a＝0时，已知⊙O上两点P1（，），P2（﹣，﹣），在点Q1（1，2），Q2（，），Q3（﹣1，﹣1），Q4（﹣，﹣）中，点P1关于直线l的“衍生点”是，点P2关于直线l的“衍生点”是；（2）P为⊙O上任意一点，直线y＝x+m（m≠0）与x轴，y轴的交点分别为点A，B．若线段AB上存在点S，T，使得点S是点P关于直线l的“衍生点”，点T不是点P关于直线l的“衍生点”，直接写出m的取值范围；（3）当﹣1≤a≤1时，若过原点的直线s上存在线段MN，对于线段MN上任意一点R，都存在⊙O上的点P和直线l，使得点R是点P关于直线l的“衍生点”．将线段MN长度的最大值记为D（s），对于所有的直线s，直接写出D（s）的最小值．2024年北京市西城区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．【分析】通过展开图的面数，展开图的各个面的形状进行判断即可．【解答】解：由题意可知，该几何体的底面是一个三角形，侧面由三个三角形组成，故该几何体是三棱锥．故选：C．【点评】本题考查棱柱的展开与折叠，掌握三棱锥展开图的特征是正确判断的关键．2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：10000000000＝1×1010．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【解答】解：A．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B．该图是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意；C．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D．该图既是中心对称图形也是轴对称图形，故本选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的概念是解题的关键．4．【分析】求出∠3＝90°﹣55°＝35°，由平行线的性质推出∠3＝∠4＝35°，由邻补角的性质得到∠2＝180°﹣35°＝145°．【解答】解：∵∠1＝55°，∴∠3＝90°﹣55°＝35°，∵直尺的对边平行，∴∠3＝∠4＝35°，∴∠2＝180°﹣35°＝145°．故选：D．【点评】本题考查平行线的性质关键是由平行线的性质推出∠3＝∠4＝35°．5．【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及两次都摸到蓝球的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：列表如下：红蓝红（红，红）（红，蓝）蓝（蓝，红）（蓝，蓝）共有4种等可能的结果，其中两次都摸到蓝球的结果有1种，∴两次都摸到蓝球的概率为．故选：A．【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．6．【分析】根据﹣2＜a＜﹣1，判断出﹣a的取值范围，进而推出a、﹣a的大小关系即可．【解答】解：∵﹣2＜a＜﹣1，∴1＜﹣a＜2，∴a＜1＜﹣a＜2．故选：A．【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，解答此题的关键是判断出﹣a的取值范围．7．【分析】根据一元二次方程kx2+x﹣2＝0有两个实数根，构建不等式求解．【解答】解：由题意，Δ≥0且k≠0，∴1+8k≥0，∴k≥﹣，∴k≥﹣且k≠0．故选：C．【点评】考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．8．【分析】因为CD⊥AB，所以∠CDB＝∠CDA＝90°，由勾股定理得，n2+h2＝a2，因为∠ACB＝90°，由勾股定理得，（m+n）2＝a2+b2，因为a2＜a2+b2，所以n2+h2＜（m+n）2，由射影定理得，h2＝mn，所以2h2＝2mn，因为a＜b，a＝，b＝，则m＞n，所以（m﹣n）2＞0，可得m2+n2＞2mn，所以m2+n2＞2h2，方程x2+2ax﹣b2＝0配方得（x+a）2﹣（a2+b2）＝0，因为a2+b2＝（m+n）2，可得（x+a）2＝（m+n）2，解得x的值，因为BE＝BC，BC＝a，可得BE＝a，因为AB＝AD+BD＝m+n，所以AE＝m+n ﹣a，可得AE的长是否是关于x的方程x2+2ax﹣b2＝0的一个实数根．【解答】解：∵CD⊥AB，∴∠CDB＝∠CDA＝90°，∴n2+h2＝a2，∵∠ACB＝90°，∴（m+n）2＝a2+b2，∵a2＜a2+b2，∴n2+h2＜（m+n）2，故①符合题意，∵h2＝mn，∴2h2＝2mn，∵a＜b，a＝，b＝，∴m＞n，∴（m﹣n）2＞0，即m2+n2＞2mn，∴m2+n2＞2h2，故②不符合题意，x2+2ax﹣b2＝0，配方得，（x+a）2﹣（a2+b2）＝0，∵a2+b2＝（m+n）2，∴（x+a）2﹣（m+n）2＝0，即（x+a）2＝（m+n）2，∴x＝m+n﹣a或x＝﹣m﹣n﹣a，∵BE＝BC，BC＝a，∴BE＝a，∵AB＝AD+BD＝m+n，∴AE＝m+n﹣a，∴AE的长是关于x的方程x2+2ax﹣b2＝0的一个实数根x＝m+n﹣a，故③符合题意，故选：B．【点评】本题考查了射影定理、勾股定理，关键是掌握射影定理的运用．二、填空题（共16分，每题2分）9．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．【解答】解：∵x﹣3≥0，∴x≥3．故答案为：x≥3．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．10．【分析】提取公因式后用完全平方公式分解即可．【解答】解：x2y﹣12xy+36y＝y（x2﹣12x+36）＝y（x﹣6）2，故答案为：y（x﹣6）2．【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握提取公因式和公式法分解因式是关键．11．【分析】方程两边都乘（3x﹣1）（x﹣2）得出4（x﹣2）＝3（3x﹣1），求出方程的解，再进行检验即可．【解答】解：＝，方程两边都乘（3x﹣1）（x﹣2），得4（x﹣2）＝3（3x﹣1），4x﹣8＝9x﹣3，4x﹣9x＝﹣3+8，﹣5x＝5，x＝﹣1，检验：当x＝﹣1时，（3x﹣1）（x﹣2）≠0，所以分式方程的解是x＝﹣1．故答案为：x＝﹣1．【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．12．【分析】由点A的坐标，利用待定系数法可求出反比例函数解析式，再利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出n的值．【解答】解：将点（﹣1，8）代入y＝（k≠0）得：8＝，解得：k＝﹣8，∴反比例函数解析式为y＝﹣当x＝2时，y＝﹣＝﹣4，∴n的值为﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求反比例函数解析式，根据给定坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式是解题的关键．13．【分析】由平行四边形的性质得到AB∥CD，CD＝AB＝2，推出△FAE∽△CDE，得到＝，而AF＝1，于是得到＝．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，CD＝AB＝2，∴△FAE∽△CDE，∴＝，∵AF＝1，∴＝．故答案为：．【点评】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是由△FAE∽△CDE，推出＝．14．【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠DCB，再根据圆周角定理求出∠ACB．【解答】解：∵四边形ABCD为圆内接四边形，∴∠DAB+∠DCB＝180°，∵∠DAB＝130°，∴∠DCB＝180°﹣130°＝50°，∵点A是的中点，∴∠ACB＝∠ACD＝×50°＝25°，故答案为：25．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的性质是解题的关键．15．【分析】根据正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及锐角三角函数的定义进行计算即可．【解答】解：如图，连接O2C，过O2点作O2E⊥BC，垂足为E，设正六边形的边长为a，则O1A＝O1B＝O2C＝a，在Rt△O2CE中，O2C＝a，∠CO2E＝30°，∴EC＝O2C＝a＝BE，O2E＝O2C＝a，∴AE＝2a+a＝a，∴tan∠O2AC＝＝．故答案为：．【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及锐角三角函数的定义是正确解答的关键．16．【分析】根据第1个数是第2个数的倍数，第1个空格填入37，而37是质数，可知第2个空格所填入的数为1，根据前37个数的和为：1+2+3+⋯+37＝703＝37×19，且37与19都是质数，且前37个数的和是第37个数的倍数，即可得出结果．【解答】解：根据要求：第1个数是第2个数的倍数，第1个空格填入37，而37是质数，∴第2个空格所填入的数为1，∵前36个数的和是第37个数的倍数，∴前37个数的和是第37个数的倍数，∴前37个数的和为：1+2+3+⋯+37＝703＝37×19，且37与19都是质数，假设第37个数为x，则（37×19﹣x）一定能被x整除，∵x≠37，第2个空格所填入的数为1，∴x的值只能是19，故答案为：1，19．【点评】本题考查的是数字的变化规律，从题目中找出数字间的倍数关系是解题的关键．三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．【分析】利用特殊角的三角函数值及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．【解答】解：原式＝＝＝﹣．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．【分析】首先解出两个不等式的解集，再根据同小取小确定不等式组的解集．【解答】解：，解解不等式①，得：x＜3，解不等式②，得：x≤7，∴原不等式组的解集为x＜3．【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．19．【分析】利用完全平方公式，多项式乘多项式的法则进行计算，然后把x2﹣x＝4代入化简后的式子进行计算，即可解答．【解答】解：（x﹣2）2+（x﹣1）（x+3）＝x2﹣4x+4+x2+3x﹣x﹣3＝2x2﹣2x+1，∵x2﹣x﹣4＝0，∴x2﹣x＝4，∴当x2﹣x＝4时，原式＝2（x2﹣x）+1＝2×4+1＝8+1＝9．【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．20．【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得出EF＝DF，再证△GEF和△ADF全等，得出GF＝AF，于是根据对角线相等的四边形是平行四边形推出四边形AEGD是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得出四边形AEGD是菱形；（2）分别求出AF、EF的长，即可得出对角线AG、ED的长，根据菱形的面积公式计算即可．【解答】（1）证明：∵AE＝AD，AF⊥BD，∴EF＝DF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵EG∥BC，∴AD∥EG，∴∠GEF＝∠ADF，在△GEF和△ADF中，，∴△GEF≌△ADF（ASA），∴GF＝AF，∵EF＝DF，∴四边形AEGD是平行四边形，∵AE＝AD，∴四边形AEGD是菱形；（2）解：∵AF⊥BD，AF＝BF，∴△AFB是等腰直角三角形，∵AB＝4，∴由勾股定理得，，∵tan∠AEF＝，∴，即，∴EF＝，∵四边形AEGD是菱形，∴AG＝2AF＝，ED＝2EF＝，∴菱形AEGD的面积．【点评】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理，锐角三角函数，菱形的面积等，熟练掌握这些知识点是解题的关键．21．【分析】设购买象棋x套，若购买围棋2x套，可得40×2x+30x＝1000，解得x＝9，即可判断不能恰好用1000元经费购买围棋和象棋，使所购买围棋的套数是所购买象棋套数的2倍．【解答】解：不能恰好用1000元经费购买围棋和象棋，使所购买围棋的套数是所购买象棋套数的2倍，理由如下：设购买象棋x套，若购买围棋2x套，根据题意得：40×2x+30x＝1000，解得x＝9，∵x是整数，∴x＝9不符合题意，∴不能恰好用1000元经费购买围棋和象棋，使所购买围棋的套数是所购买象棋套数的2倍．【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意列出方程．22．【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式，然后计算自变量为0时对应的函数值得到C点坐标；（2）先利用（1）中解析式计算x＝2时，y＝4，再把点（2，4）代入y＝﹣3x+n中得到n＝10，则利用一次函数的性质可判断当n≥10时满足条件．【解答】解：（1）根据题意得，解得，∴一次函数解析式为y＝x+2，当x＝0时，y＝x+2＝2，∴C（0，2）；（2）当x＝2时，y＝x+2＝4，把点（2，4）代入y＝﹣3x+n得﹣6+n＝4，解得n＝10，∴当n≥10时，对于x＜2的每一个值，函数y＝﹣3x+n的值大于函数y＝kx+b（k≠0）的值．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数的性质．23．【分析】（1）根据中位数和众数的概念，即可求解；（2）①根据方差的定义，即可求解；②根据题意可知，剩余两个山楂的重量应该尽可能大，且接近已有的三个山楂的重量，以保证方差最小，据此解答即可．（3）已知总重量和调查的平均数，用总数量除以调查的平均数先求出大概有多少个山楂，再用山楂数除以每串冰糖葫芦的山楂数即可求出能制作多少串冰糖葫芦．【解答】解：（1）根据甲的折线图可以看出，这组数据从小到大排列，中间第8个数为9.4，也就是说这组数据的中位数为9.4，所以m＝9.4；根据乙同学的山楂重量数据可以发现，重量为10克出现的次数最多，也就是说这组数据的众数为10，所以n＝10．故答案为：9.4，10．（2）①根据题意可知甲同学的5个冰糖葫芦重量分布于9.1﹣9.2之间，乙同学的5个冰糖葫芦重量分布于8.8﹣9.4，从中可以看出，甲同学的5个数据比乙同学的5个数据波动较小，所以，甲同学的5个冰糖葫芦重量的方差较小，故甲同学冰糖葫芦品相更好．②∵要求数据的差别较小，山楂重量尽可能大，∴可供选择的有9.3、9.6、9.9，当剩余两个为9.3、9.6，这组数据的平均数为9.48，方差为：[（9.3﹣9.48）2+（9.4﹣9.48）2+（9.5﹣9.48）2+（9.6﹣9.48）2+（9.6﹣9.48）2]×＝0.0136，当剩余两个为9.6、9.9，这组数据的平均数为9.6，方差为：[（9.4﹣9.6）2+（9.5﹣9.6）2+（9.6﹣9.6）2+（9.6﹣9.6）2+（9.9﹣9.6）2]×＝0.028，当剩余两个为9.3、9.9，这组数据平均数为9.54，方差为：[（9.3﹣9.54）2+（9.4﹣9.54）2+（9.5﹣9.54）2+（9.6﹣9.54）2+（9.9﹣9.54）2]×＝0.0424，据此，可发现当剩余两个为9.3、9.6，方差最小，山楂重量也尽可能大．故答案为：甲；9.3、9.6．（3）7.6千克＝7600克，7600÷9.5＝800（个），800÷5＝160（串），答：能制作160串冰糖葫芦．【点评】本题考查了平均数、众数、中位数和方差，熟记方差的计算公式以及方差的意义是解题的关键．24．【分析】（1）连接AC、OC、BC，由切线的性质证明CE⊥OC，而AB为⊙O的直径，所以∠OCE＝∠ACB＝90°，可证明∠ACE＝∠B，由AF∥CE，得∠CAF＝∠ACE＝∠B，则＝，由垂径定理得＝，则＝，即可证明＝，所以AF＝CD；（2）由⊙O的半径为6，AH＝2OH，得OC＝OA＝2OH+OH＝6，求得OH＝2，因为＝＝cos∠COE，所以OE＝＝18，则AE＝12．【解答】（1）证明：连接AC、OC、BC，则OC＝OA，∵CE与⊙O相切于点C，∴CE⊥OC，∵AB为⊙O的直径，∴∠OCE＝∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠OCA＝90°，∠B+∠OAC＝90°，∵∠OCA＝∠OAC，∴∠ACE＝∠B，∵AF∥CE，∴∠CAF＝∠ACE＝∠B，∴＝，∵CD⊥AB，∴＝，∴＝，∴＝+＝+＝，∴AF＝CD．（2）解：∵⊙O的半径为6，AH＝2OH，∴OC＝OA＝2OH+OH＝6，∴OH＝2，∵∠OHC＝∠OCE＝90°，∴＝＝cos∠COE，∴OE＝＝＝18，∴AE＝OE﹣OA＝18﹣6＝12，∴AE的长为12．【点评】此题重点考查圆周角定理、切线的性质定理、平行线的性质、垂径定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．25．【分析】（1）利用已知条件得到：当x＝0.5时，点P为AB的中点，当y1＝1时，此时点Q在点C处，由题意计算当x＝0.5时的y1即可；（2）补全表格中数据的对应点，并分别画出y1与y2关于x的函数图象即可；（3）①当△APQ是等腰三角形时，利用等边三角形的判定与性质解答即可求得a值，在x轴上描出横坐标为的点即可；②观察图象即可得出结论．【解答】（1）解：当x＝0.5时，点P为AB的中点，∵点O为边长为1的等边三角形ABC的外心，∵y1＝1，∴此时点Q在点C处，如图所示：∵△ABC为等边三角形，点P为AB的中点，点Q在点C处，∴∴y2＝S△APQ：S△ABC＝0.5，填报如下：x0.50.550.60.650.70.750.80.850.90.951 y110.84620.750.68420.63640.60.57140.54840.52940.51350.5 y20.50.46540.450.44470.44550.450.45710.46610.47650.48780.5（2）解：补全表格中数据的对应点，并分别画出y1与y2关于x的函数图象如图所示：（3）解：①连接AO并延长交BC于点D，连接OB，如图，∵△ABC为等边三角形，点O为△ABC外心，∴∠OBD＝∠BAD＝30°，AD⊥BC，，OA＝OB，∴，∴，∴．当△APQ是等腰三角形时，AP＝AQ，∵∠PAQ＝60°，∴△PAQ为等边三角形，∴∠APQ＝60°，∴∠APQ＝∠ABC，∴PQ∥BC，∴∠AOP＝∠ADB＝90°．∴，∴．∴，∴b＝，在x轴上标出横坐标为a的点，如图所示：②根据函数图象可知，函数y2的最大值为0.5，此时x＝0.5或x＝1．故答案为：0.5或1．【点评】本题主要考查了还是的图象与性质，描点法画出函数的图象，等边三角形的性质，等边三角形的外心的性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，特殊角的三角函数值，熟练掌握等边三角形的性质和函数图象的画法是解题的关键．26．【分析】（1）把A点的坐标代入解析式求得b＝2a，然后利用对称轴公式即可求得；（2）由题意可知点A（﹣2，y1）在对称轴的左侧，C（m，y3）在对称轴的右侧，点A（﹣2，y1）关于直线x＝t的对称点为（2t+2），B（2，y2）关于直线x＝t的对称点为（2t ﹣2），分两种情况讨论，得到关于t的不等式组，解不等式组从而求得t的取值范围．【解答】解：（1）∵点A（﹣2，3）在抛物线y＝ax2+bx+3（a＞0）上，∴3＝4a﹣2b+3，∴b＝2a，∴t＝﹣＝﹣1；（2）∵a＞0，∴抛物线y＝ax2+bx+3（a＞0）开口向上，当x＞t时，y随x的增大而增大，∵当t+1＜m＜t+2时，都有y1＞y3＞y2，∴点A（﹣2，y1）在对称轴的左侧，C（m，y3）在对称轴的右侧，∵点A（﹣2，y1），B（2，y2），C（m，y3）在抛物线y＝ax2+bx+3（a＞0）上，∴点A（﹣2，y1）关于直线x＝t的对称点为（2t+2），B（2，y2）关于直线x＝t的对称点为（2t﹣2），当t≥2时，则，解得2≤t≤3；当t＜2时，则，解得1≤t＜2，故1≤t≤3．【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．27．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质证明∠AEP＝∠APE＝67.5°，进而可以解决问题；（2）结合（1）即可补全图形，作CQ∥AP交BE于点Q，证明△BDF≌△CEQ（ASA），得BF＝CQ，再根据等腰直角三角形的性质即可解决问题．【解答】解：（1）在△ABC中，∵∠ABC＝∠ACB＝45°，∴AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABE+∠AEB＝90°，∵AM⊥BC，∴∠MAC＝BAC＝45°，BM＝CM，∵AP＝AE，∴∠AEP＝∠APE＝（180°﹣∠MAC）＝（180°﹣45°）＝67.5°，∵DF⊥BE，∴∠ABE+∠BDF＝90°，∴∠BDF＝∠AEP＝67.5°；（2）如图，即为补全的图形，线段CF，MP，AB的数量关系为：CF＝2MP+AB，证明：如图2，作CQ∥AP交BE于点Q，∵CO∥AP，BM＝CM，∴＝＝，∴CQ＝2MP，∵AM⊥BC，∴∠AMC＝90°，∵CQ∥AP，∴∠BCQ＝∠AMC＝90°，∴∠QCE＝180°﹣∠ACB﹣∠BCQ＝45°，∵∠DBF＝∠ABC＝45°，∴∠DBF＝∠QCE，∵DG⊥BE，∴∠DGB＝∠BAC＝90°，∵∠DBG＝∠ABE，∴∠D＝∠E，∵AD＝AE，AB＝AC，∴AD﹣AB＝AE﹣AC，∴BD＝CE，∴△BDF≌△CEQ（ASA），∴BF＝CQ，∵CF＝BF+BC，BC＝AB，∴CF＝CQ+√AB＝2MP+AB．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是得到△BDF≌△CEQ．28．【分析】（1）a＝0，则直线l为x轴，据此求出P1，P2的对称点P1′，P2′，然后可以求出P1P1′和P2P2′的长度，用勾股定理求出Q1，Q2，Q3，Q4到原点的距离，判断是否符合新定义即可；（2）因为直线y＝ax过圆心O，所以P′也在圆上，所以PP′不大于圆的直径，因为存在点S是点P关于直线l的“衍生点”，点T不是点P关于直线l的“衍生点”，所以线段AB上存在到O的距离不小于2的点，也存在不大于2的点，据此解答；（3）根据P所在位置分类讨论，得出PP′的取值范围，从而根据新定理求出MN的长度的最大值，从而得解．【解答】解：（1）当a＝0时，直线l为y＝0，即x轴，∵P1（，），P2（﹣，﹣），∴P1′（，﹣），P2′（﹣，），∴P1P1′＝，P2P2′＝，∵Q1（1，2），Q2（，），Q3（﹣1，﹣1），Q4（﹣，﹣），∴OQ1＝，OQ2＝，OQ3＝，OQ4＝2，∴点P1关于直线l的“衍生点”是Q2，点P2关于直线l的“衍生点”是Q3；故答案为：Q2，Q3；（2）∵直线l：y＝ax过圆心O，∴P′也在⊙O上，∴PP′≤2，∵存在点S是点P关于直线l的“衍生点”，点T不是点P关于直线l的“衍生点”，∴线段AB上存在到O的距离不小于2的点，也存在不大于2的点，令x＝0，则y＝m，令y＝0，则x＝﹣m，∴A（﹣m，0），B（0，m），当OA＝OB＝2时，线段AB上所有点到O的距离都不大于2，此时，m＝±2，又∵y＝ax不能是y轴，∴（1，0）和（﹣1，0）不能同时是P和P′，∴m＝±2符合题意；当O到线段AB的距离是2时，∵OA＝OB，OA⊥OB，∴△AOB是等腰直角三角形，∴OA＝2，∴m＝±2，∴要满足线段AB上存在到O的距离不小于2的点，也存在不大于2的点，需要满足：﹣2≤m≤﹣2或2≤m≤2，∴﹣2≤m≤﹣2或2≤m≤2；（3）∵﹣1≤a≤1，∴在图中作直线y＝x和直线y＝﹣x，将⊙O分成四份，如图：①当P在或上时，当P，P′重合时，PP′＝0，当PP′为直径时，PP′＝2，∴0≤PP′≤2，∴D（s）＝2，②当P在或上时，当PP′为直径时，PP′＝2，当P在y轴上时，直线l为y＝x或y＝﹣x时，PP′取最小值，此时，PP′＝，∴≤PP′≤2，∴D（s）＝2﹣，综上所述，D（s）的最小值为2﹣．【点评】本题主要考查了圆的综合题，结合一次函数的图象、轴对称的性质、勾股定理等知识点，充分理解新定义，是本题解题的关键。
2023年北京市中考数学试卷及答案解析
2023年北京市中考数学试卷一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1．（2分）截至2023年6月11日17时，全国冬小麦收获2.39亿亩，进度过七成半，将239000000用科学记数法表示应为（）A．23.9×107B．2.39×108C．2.39×109D．0.239×109 2．（2分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（2分）如图，∠AOC＝∠BOD＝90°，∠AOD＝126°，则∠BOC的大小为（）A．36°B．44°C．54°D．63°4．（2分）已知a﹣1＞0，则下列结论正确的是（）A．﹣1＜﹣a＜a＜1B．﹣a＜﹣1＜1＜a C．﹣a＜﹣1＜a＜1D．﹣1＜﹣a＜1＜a 5．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（）A．﹣9B．C．D．96．（2分）正十二边形的外角和为（）A．30°B．150°C．360°D．1800°7．（2分）先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是（）A．B．C．D．8．（2分）如图，点A，B，C在同一条直线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC 同侧，AB＜BC，∠A＝∠C＝90°，△EAB≌△BCD，连接DE．设AB＝a，BC＝b，DE ＝c，给出下面三个结论：①a+b＜c；②a+b＞；③（a+b）＞c．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是．10．（2分）分解因式：x2y﹣y3＝．11．（2分）方程的解为．12．（2分）在平面直角坐标系xOy中，若函数y＝（k≠0）的图象经过点A（﹣3，2）和B（m，﹣2），则m的值为．13．（2分）某厂生产了1000只灯泡．为了解这1000只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了50只灯泡进行检测，获得了它们的使用寿命（单位：小时），数据整理如下：使用寿命x＜10001000≤x＜16001600≤x＜22002200≤x＜2800x≥2800灯泡只数51012176根据以上数据，估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为_____只．14．（2分）如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，FD＝2，则的值为．15．（2分）如图，OA是⊙O的半径，BC是⊙O的弦，OA⊥BC于点D，AE是⊙O的切线，AE交OC的延长线于点E．若∠AOC＝45°，BC＝2，则线段AE的长为．16．（2分）学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动．已知某木艺艺术品加工完成共需A，B、C，D、E，F、G七道工序，加工要求如下：①工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，工序F须在工序C，D都完成后进行；②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；③各道工序所需时间如下表所示：工序A B C D E F G所需时间/分钟99797102在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要______分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要分钟．三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）17．（5分）计算：4sin60°+（）﹣1+|﹣2|﹣．18．（5分）解不等式组：．19．（5分）已知x+2y﹣1＝0，求代数式的值．20．（6分）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE＝DF，AC＝EF．（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）若AE＝BE，AB＝2，tan∠ACB＝，求BC的长．21．（6分）对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是6：4，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．某人要装裱一副对联，对联的长为100cm，宽为27cm．若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长．（书法作品选自《启功法书》）22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（0，1）和B （1，2），与过点（0，4）且平行于x轴的直线交于点C．（1）求该函数的解析式及点C的坐标；（2）当x＜3时，对于x的每一个值，函数y＝x+n的值大于函数y＝kx+b（k≠0）的值且小于4，直接写出n的值．23．（5分）某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：cm），数据整理如下：a.16名学生的身高：161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175；b.16名学生的身高的平均数、中位数、众数：平均数中位数众数166.75m n（1）写出表中m，n的值；（2）对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好，据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是（填“甲组”或“乙组”）；甲组学生的身高162165165166166乙组学生的身高161162164165175（3）该舞蹈队要选五名学生参加比赛，已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168，168，172，他们的身高的方差为．在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为和．24．（6分）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC ＝∠ADB．（1）求证DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小；（2）过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若AC＝AD，BF＝2，求此圆半径的长．25．（5分）某小组研究了清洗某种含污物品的节约用水策略，部分内容如下．每次清洗1个单位质量的该种含污物品，清洗前的清洁度均为0.800，要求清洗后的清洁度为0.990．方案一：采用一次清洗的方式：结果：当用水量为19个单位质量时，清洗后测得的清洁度为0.990．方案二：采用两次清洗的方式：记第一次用水量为x1个单位质量，第二次用水量为x2个单位质量，总用水量为（x1+x2）个单位质量，两次清洗后测得的清洁度为C．记录的部分实验数据如下：x111.09.09.07.0 5.5 4.5 3.5 3.0 3.0 2.0 1.0 x20.8 1.0 1.3 1.9 2.6 3.2 4.3 4.0 5.07.111.5 x1+x211.810.010.38.98.17.77.87.08.09.112.5 C0.9900.9890.9900.9900.9900.9900.9900.9880.9900.9900.990对以上实验数据进行分析，补充完成以下内容．（Ⅰ）选出C是0.990的所有数据组，并划“√”；（Ⅱ）通过分析（Ⅰ）中选出的数据，发现可以用函数刻画第一次用水量x1和总用水量x1+x2之间的关系，在平面直角坐标系xOy中画出此函数的图象；结果：结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当第一次用水量约为个单位质量（精确到个位）时，总用水量最小．根据以上实验数据和结果，解决下列问题：（1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，与采用一次清洗的方式相比、可节水约个单位质量（结果保留小数点后一位）；（2）当采用两次清洗的方式时，若第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个单位质量，则清洗后的清洁度C0.990（填“＞”“＝”或”＜”）．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线y＝ax2+bx+c（a ＞0）上任意两点，设抛物线的对称轴为x＝t．（1）若对于x1＝1，x2＝2，有y1＝y2，求t的值；（2）若对于0＜x1＜1，1＜x2＜2，都有y1＜y2，求t的取值范围．27．（7分）在△ABC中，∠B＝∠C＝α（0°＜α＜45°），AM⊥BC于点M，D是线段MC 上的动点（不与点M，C重合），将线段DM绕点D顺时针旋转2α得到线段DE．（1）如图1，当点E在线段AC上时，求证：D是MC的中点；（2）如图2，若在线段BM上存在点F（不与点B，M重合）满足DF＝DC，连接AE，EF，直接写出∠AEF的大小，并证明．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于⊙O的弦AB和⊙O外一点C 给出如下定义：若直线CA，CB中一条经过点O，另一条是⊙O的切线，则称点C是弦AB的“关联点”．（1）如图，点A（﹣1，0），B1（，），B2（，）．①在点C1（﹣1，1），C2（，0），C3（0，）中，弦AB1的“关联点”是；②若点C是弦AB2的“关联点”，直接写出OC的长；（2）已知点M（0，3），N（，0），对于线段MN上一点S，存在⊙O的弦PQ，使得点S是弦PQ的“关联点”．记PQ的长为t，当点S在线段MN上运动时，直接写出t 的取值范围．2023年北京市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1．【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n 为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．【解答】解：239000000＝2.39×108，故选：B．【点评】本题考查了科学记数法的表示方法，用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，解题的关键是要正确确定a和n的值．2．【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．【解答】解：A、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；B、原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；C、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：A．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．3．【分析】先求出∠COD的度数，然后根据∠BOC＝∠BOD﹣∠COD，即可得出答案．【解答】解：∵∠AOC＝90°，∠AOD＝126°，∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝36°，∵∠BOD＝90°，∴∠BOC＝∠BOD﹣∠COD＝90°﹣36°＝54°．故选：C．【点评】本题考查了余角和补角的知识，解答本题的关键是仔细观察图形，根据角的和差首先求出∠COD的度数．4．【分析】根据不等式的性质，进行计算即可解答．【解答】解：∵a﹣1＞0，∴a＞1，∴﹣a＜﹣1，∴﹣a＜﹣1＜1＜a，故选：B．【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．5．【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac，建立关于m 的等式，即可求解．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4m＝0，解得m＝．故选：C．【点评】此题考查了根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac 有如下关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．6．【分析】本题考查多边形的外角和问题，多边形外角和定理：任意多边形的外角和都等于360°．【解答】解：因为多边形的外角和为360°，所以正十二边形的外角和为：360°．故选：C．【点评】本题考查多边形的外角和定理，解题的关键是指出定理即可求出正十二边行的外角和度数．7．【分析】根据概率的意义，即可解答．【解答】解：先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，总共有四种等可能结果，分别是：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反），则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是，故选：A．【点评】本题考查了概率的意义，本题考查了概率的意义是解题的关键．8．【分析】①根据直角三角形的斜边大于任一直角边即可；②在三角形中，两边之和大于第三边，据此可解答；③将c用a和b表示出来，再进行比较．【解答】解：①过点D作DF∥AC，交AE于点F；过点B作BG⊥FD，交FD于点G．∵DF∥AC，AC⊥AE，∴DF⊥AE．又∵BG⊥FD，∴BG∥AE，∴四边形ABGF为矩形．同理可得，四边形BCDG也为矩形．∴FD＝FG+GD＝a+b．∴在Rt△EFD中，斜边c＞直角边a+b．故①正确．②∵△EAB≌△BCD，∴AE＝BC＝b，∴在Rt△EAB中，BE＝＝．∵AB+AE＞BE，∴a+b＞．故②正确．③∵△EAB≌△BCD，∴∠AEB＝∠CBD，又∵∠AEB+∠ABE＝90°，∴∠CBD+∠ABE＝90°，∴∠EBD＝90°．∵BE＝BD，∴∠BED＝∠BDE＝45°，∴BE＝＝c•sin45°＝c．∴c＝．∵＝2（a2+2ab+b2）＝2（a2+b2）+4ab＞2（a2+b2），∴＞，∴＞c．故③正确．故选：D．【点评】本题考查全等三角形的性质．虽然是选择题，但计算量不小，比较繁琐，需要细心、耐心．二、填空题（共16分，每题2分）9．【分析】根据分式的分母不为零列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：x﹣2≠0，解得：x≠2，故答案为：x≠2．【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟记分式的分母不为零是解题的关键．10．【分析】先提取公因式y，再利用平方差公式进行二次分解．【解答】解：x2y﹣y3＝y（x2﹣y2）＝y（x+y）（x﹣y）．故答案为：y（x+y）（x﹣y）．【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解是解题的关键，分解要彻底．11．【分析】依据题意，由分式方程的解法即可得解．【解答】解：方程两边同时乘以2x（5x+1）得，3×2x＝5x+1，∴x＝1．检验：把x＝1代入2x（5x+1）＝12≠0，且方程左边＝右边．∴原分式方程的解为x＝1．【点评】本题主要考查了分式方程的解法，解题时要熟练掌握并灵活运用．12．【分析】将点A（﹣3，2）代入反比例函数y＝可求出k的值，进而确定反比例函数关系式，再把点B（m，﹣2）代入计算即可．【解答】解：∵函数y＝（k≠0）的图象经过点A（﹣3，2），∴k＝﹣3×2＝﹣6，∴反比例函数的关系式为y＝﹣，又∵B（m，﹣2）在反比例函数的关系式为y＝﹣的图象上，∴m＝＝3，故答案为：3．【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数关系式是常用的方法．13．【分析】用1000乘以使用寿命不小于2200小时的百分比即可．【解答】解：估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为1000×＝460（只）．故答案为：460．【点评】本题考查了频数（率）分布表和用样本估计总体，解题的关键是利用样本估计总体思想的运用．14．【分析】根据题意求出AF，再根据平行线分线段成比例定理计算即可．【解答】解：∵AO＝2，OF＝1，∴AF＝AO+OF＝2+1＝3，∵AB∥EF∥CD，∴＝＝，故答案为：．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．15．【分析】根据切线的性质得到∠A＝90°，根据等腰直角三角形的性质得到OD＝CD，OA＝AE，根据垂径定理得到CD＝，于是得到结论．【解答】解：∵OA是⊙O的半径，AE是⊙O的切线，∴∠A＝90°，∵∠AOC＝45°，OA⊥BC，∴△CDO和△EAO是等腰直角三角形，∴OD＝CD，OA＝AE，∴CD＝，∴OD＝CD＝1，∴OC＝OD＝，∴AE＝OA＝OC＝，故答案为：．【点评】本题考查了切线的性质，垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质定理是解题的关键．16．【分析】将所有工序需要的时间相加即可得出由一名学生单独完成需要的时间；假设这两名学生为甲、乙，根据加工要求可知甲学生做工序A，乙学生同时做工序B；然后甲学生做工序D，乙学生同时做工序C，乙学生工序C完成后接着做工序G；最后甲学生做工序E，乙学生同时做工序F，然后可得答案．【解答】解：由题意得：9+9+7+9+7+10+2＝53（分钟），即由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，需要53分钟；假设这两名学生为甲、乙，∵工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，且工序A，B都需要9分钟完成，∴甲学生做工序A，乙学生同时做工序B，需要9分钟，然后甲学生做工序D，乙学生同时做工序C，乙学生工序C完成后接着做工序G，需要9分钟，最后甲学生做工序E，乙学生同时做工序F，需要10分钟，∴若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，最少需要9+9+10＝28（分钟），故答案为：53，28．【点评】本题考查了逻辑推理与时间统筹，根据加工要求得出加工顺序是解题的关键．三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）17．【分析】根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质、二次根式的性质计算．【解答】解：原式＝4×+3+2﹣2＝5．【点评】本题考查的是实数的运算，熟记特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质、二次根式的性质是解题的关键．18．【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．【解答】解：，解不等式①得：x＞1，解不等式②得：x＜2，∴原不等式组的解集为：1＜x＜2．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．19．【分析】根据已知可得x+2y＝1，然后利用分式的基本性质化简分式，再把x+2y＝1代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：∵x+2y﹣1＝0，∴x+2y＝1，∴＝＝＝＝2，∴的值为2．【点评】本题考查了分式的值，熟练掌握因式分解是解题的关键．20．【分析】（1）先证四边形AECF是平行四边形，再由矩形的判定即可得出结论；（2）由矩形的性质得∠AEC＝∠AEB＝90°，再证△ABE是等腰直角三角形，得AE＝BE＝，然后由锐角三角函数定义得EC＝2AE＝2，即可解决问题．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵BE＝DF，∴AD﹣DF＝BC﹣BE，即AF＝EC，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC＝EF，∴平行四边形AECF是矩形；（2）解：∵四边形AECF是矩形，∴∠AEC＝∠AEB＝90°，∵AE＝BE，AB＝2，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AE＝BE＝AB＝，∵tan∠ACB＝＝，∴EC＝2AE＝2，∴BC＝BE+EC＝+2＝3，即BC的长为3．【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质以及锐角三角函数定义等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．21．【分析】若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长．【解答】解：设天头长为6x，地头长为4x，则左、右边的宽为x，根据题意得，100+10x＝4×（27+2x），解得x＝4，答：边的宽为4cm，天头长为24cm．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，正确地理解题意列出方程是解题的关键．22．【分析】（1）利用待定系数法可求出函数解析式，由题意知点C的纵坐标为4，代入函数解析式求出点C的横坐标即可；（2）根据函数图象得出当y＝x+n过点（3，4）时满足题意，代入（3，4）求出n的值即可．【解答】解：（1）把点A（0，1），B（1，2）代入y＝kx+b（k≠0）得：b＝1，k+b＝2，解得：k＝1，b＝1，∴该函数的解析式为y＝x+1，由题意知点C的纵坐标为4，当y＝x+1＝4时，解得：x＝3，∴C（3，4）；（2）由（1）知：当x＝3时，y＝x+1＝4，因为当x＜3时，函数y＝x+n的值大于函数y＝x+1的值且小于4，所以当y＝x+n过点（3，4）时满足题意，代入（3，4）得：4＝×3+n，解得：n＝2．【点评】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法的应用，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键．23．【分析】（1）根据众数和中位数的定义进行计算；（2）根据方差的计算式计算方差，然后根据方差的意义进行比较；（3）根据方差进行比较．【解答】解：（1）数据按由小到大的顺序排序：161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175，则舞蹈队16名学生的中位数为m＝＝166，众数为n＝165；（2）甲组学生身高的平均值是：＝164.8，甲组学生身高的方差是：×[（164.8﹣162）2+（164.8﹣165）2+（164.8﹣165）2+（164.8﹣166）2+（164.8﹣166）2]＝2.16，乙组学生身高的平均值是：＝165.4，乙组学生身高的方差是：×[（165.4﹣161）2+（165.4﹣162）2+（165.4﹣164）2+（165.4﹣165）2+（165.4﹣175）2]＝25.04，∵25.04＞2.6，∴甲组舞台呈现效果更好．故答案为：甲组；（3）∵168，168，172的平均数为（168+168+172）＝169，且所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于，∴数据的差别较小，可供选择的有170，172，平均数为：（168+168+170+172+172）＝170，方差为：[（168﹣170）2+（168﹣170）2+（170﹣170）2+（172﹣170）2+（172﹣170）2]＝3.2＜，∴选出的另外两名学生的身高分别为170和172．故答案为：170，172．【点评】本题考查了平均数、众数、中位数和方差，熟记方差的计算公式以及方差的意义是解题的关键．24．【分析】（1）由圆周角定理得到∠BAC＝∠CDB，而∠BAC＝∠ADB，因此∠ADB＝∠CDB，得到BD平分∠ADC，由圆内接四边形的性质得到∠ABD+∠ADB＝90°，即可求出∠BAD＝90°；（2）由垂径定理推出△ACD是等边三角形，得到∠ADC＝60°由BD⊥AC，得到∠BDC ＝∠ADC＝30°，由平行线的性质求出∠F＝90°，由圆内接四边形的性质求出∠FBC ＝∠ADC＝60°，得到BC＝2BF＝4，由直角三角形的性质得到BC＝BD，因为BD是圆的直径，即可得到圆半径的长是4．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠ADB，∠BAC＝∠CDB，∴∠ADB＝∠CDB，∴BD平分∠ADC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABD+∠CBD+∠ADB+∠CDB＝180°，∴2（∠ABD+∠ADB）＝180°，∴∠ABD+∠ADB＝90°，∴∠BAD＝180°﹣90°＝90°；（2）解：∵∠BAE+∠DAE＝90°，∠BAE＝∠ADE，∴∠ADE+∠DAE＝90°，∴∠AED＝90°，∵∠BAD＝90°，∴BD是圆的直径，∴BD垂直平分AC，∴AD＝CD，∵AC＝AD，∴△ACD是等边三角形，∴∠ADC＝60°∵BD⊥AC，∴∠BDC＝∠ADC＝30°，∵CF∥AD，∴∠F+∠BAD＝90°，∴∠F＝90°，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∵∠FBC+∠ABC＝180°，∴∠FBC＝∠ADC＝60°，∴BC＝2BF＝4，∵∠BCD＝90°，∠BDC＝30°，∴BC＝BD，∵BD是圆的直径，∴圆的半径长是4．【点评】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，关键是由圆内接四边形的性质得到∠ABD+∠ADB＝90°，由垂径定理推出△ACD是等边三角形．25．【分析】（Ⅰ）直接在表格中标记即可；（Ⅱ）根据表格中数据描点连线即可做出函数图象，再结合函数图象找到最低点，可得第一次用水量约为4个单位质量时，总用水量最小；（1）根据表格可得，用两次清洗的方式并使总用水量最小时，用水量为7.7个单位质量，计算即可；（2）根据表格可得当第一次用水量为6个单位质量，总用水量超过8个单位质量，则清洗后的清洁度能达到0.990，若总用水量为7.5个单位质量，则清洁度达不到0.990．【解答】解：（Ⅰ）表格如下：x111.09.09.07.0 5.5 4.5 3.5 3.0 3.0 2.0 1.0x20.8 1.0 1.3 1.9 2.6 3.2 4.3 4.0 5.07.111.5 x1+x211.810.010.38.98.17.77.87.08.09.112.5C0.990√0.9890.990√0.990√0.990√0.990√0.990√0.9880.990√0.990√0.990√（Ⅱ）函数图象如下：由图象可得，当第一次用水量约为4个单位质量（精确到个位）时，总用水量最小．故答案为：4；（1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，用水量为7.7个单位质量，19﹣7.7＝11.3，即可节水约11.3个单位质量．故答案为：11.3；（2）由图可得，当第一次用水量为6个单位质量，总用水量超过8个单位质量，则清洗后的清洁度能达到C＜0.990，第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个单位质量，则清洗后的清洁度，故答案为：＜．【点评】本题考查了函数图象，根据数据描绘函数图象、从函数图象获取信息是解题的关键．26．【分析】（1）根据二次函数的性质求得对称轴即可，（2）根据题意判断出离对称轴更近的点，从而得出（x1，y1）与（x2，y2）的中点在对称轴的右侧，再根据对称性即可解答．【解答】解：（1）∵对于x1＝1，x2＝2，有y1＝y2，∴a+b+c＝4a+2b+c，∴3a+b＝0，∴＝﹣3．∵对称轴为x＝﹣＝，∴t＝．（2）∵0＜x1＜1，1＜x2＜2，∴，x1＜x2，∵y1＜y2，a＞0，∴（x1，y1）离对称轴更近，x1＜x2，则（x1，y1）与（x2，y2）的中点在对称轴的右侧，∴＞t，即t≤．【点评】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题关键．27．【分析】（1）由旋转的性质得DM＝DE，∠MDE＝2a，利用三角形外角的性质求出∠DEC ＝a＝∠C，可得DE＝DC，等量代换得到DM＝DC即可；（2）延长FE到H使FE＝EH，连接CH，AH，可得DE是△FCH的中位线，然后求出∠B＝∠ACH，设DM＝DE＝m，CD＝n，求出BF＝2m＝CH，证明△ABF≌ACH（SAS），得到AF＝AH，再根据等腰三角形三线合一证明AE⊥FH即可．【解答】（1）证明：由旋转的性质得：DM＝DE，∠MDE＝2a，∵∠C＝a，∴∠DEC＝∠MDE﹣∠C＝a，∴∠C＝∠DEC，∴DE＝DC，∴DM＝DC，即D是MC的中点；（2）∠AEF＝90°，证明：如图，延长FE到H使FE＝EH，连接CH，AH，∵DF＝DC，∴DE是FCH的中位线，∴DE∥CH，CH＝2DE，由旋转的性质得：DM＝DE，∠MDE＝2a，∴∠FCH＝2a，∵∠B＝∠C＝a，∴∠ACH＝a，△ABC是等腰三角形，∴∠B＝∠ACH，AB＝AC设DM＝DE＝m，CD＝n，则CH＝2m，CM＝m+n，.DF＝CD＝n，∴FM＝DF﹣DM＝n﹣m，∵AM⊥BC，∴BM＝CM＝m+n，∴BF＝BM﹣FM＝m+n﹣（n﹣m）＝2m，∴CH＝BF，在△ABF和△ACH中，，∴△ABF≌△ACH（SAS），∴AF＝AH，∵FE＝EH，∴AE⊥FH，即∠AEF＝90°，【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形中位线定理以及全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．28．【分析】（1）根据题目中关联点的定义分情况讨论即可；（2）根据M（0，3），N（，0）两点来求最值情况，共有两种情况，分别位于点M 和经过点O的MN的垂直平分线上，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】解：（1）①由关联定义可知，若直线CA、CB中一条经过点O，另一条是⊙O 的切线，则称点C是弦AB的“关联点”，∵点A（﹣1，0），B1（，），点C1（﹣1，1），C2（，0），C3（0，），∴直线AC2经过点O，且B1C2与⊙O相切，∴C2是弦AB1的“关联点”，∵C1（﹣1，1），A（﹣1，0）的横坐标相同，与B1（，）都位于直线y＝﹣x 上，∴AC1与⊙O相切，B1C1经过点O，∴C1是弦AB1的“关联点”；故答案为：C1，C2；②∵A（﹣1，0），B2（，），设C（a，b），如图所示，共有两种情况，a、若C1B2与⊙O相切，AC经过点O，则C1B2，AC1所在直线为，解得，∴C1（，0），∴OC1＝，b、若AC2与⊙O相切，C2B2经过点O，则直线C2B2，AC2所在直线为，解得，∴C2（﹣1，1），∴OC2＝，综上所述，OC＝；（2）∵线段MN上一点S，存在⊙O的弦PQ，使得点S是弦PQ的“关联点”，∵弦PQ随着S的变动在一定范围内变动，且M（0，3），N（，0），OM＞ON，∴S共有2种情况，分别位于点M和经过点O的MN的垂直平分线上，如图所示，①当S位于点M（0，3）时，MP为⊙O的切线，作PJ⊥OM，∵M（0，3），⊙O的半径为1，且MP是⊙O的切线，∴OP⊥MP，∵PJ⊥OM，∴△MPO∽△POJ，∴，即，解得OJ＝，∴PJ＝＝，Q1J＝，∴PQ1＝＝，同理PQ2＝＝，∴当S位于M（0，3）时，PQ1的临界值为和；②当S位于经过点O的MN的垂直平分线上的点K时，∵M（0，3），N（，0），∴MN＝，∴＝2，∵⊙O的半径为1，∴∠OKZ＝30°，∴△OPQ为等边三角形，∴PQ＝1或，∴当S位于经过点O且垂直于MN的直线上即点K时，PQ1的临界点为1和，∴在两种情况下，PQ的最小值在1≤t≤内，最大值在，综上所述，t的取值范围为1≤t≤，．【点评】本题是圆的综合题，考查了最值问题，切线的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握心概念“关联点”是解题的关键。
2014年北京市西城区中考数学二模试卷-含详细解析
2014年北京市西城区中考数学二模试卷副标题一、选择题（本大题共8小题，共32.0分）1.在，0，-2，-1这四个数中，最小的数是（）A. B. 0 C. 1 D.2.据报道，按常住人口计算，2013年北京市人均GDP（地区生产总值）达到约93210元，将93210用科学记数法表示为（）A. B. C. D.3.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠BCD=110°，则∠BAD为（）A.B.C.D.4.在一个不透明的口袋中装有5张完全相同的卡片，卡片上面分别写有数字-2，-1，0，1，3，从中随机抽出一张卡片，卡片上面的数字是负数的概率为（）A. B. C. D.5.如图，为估算学校的旗杆的高度，身高1.6米的小红同学沿着旗杆在地面的影子AB由A向B走去，当她走到点C处时，她的影子的顶端正好与旗杆的影子的顶端重合，此时测得AC=2m，BC=8m，则旗杆的高度是（）A. B. 7m C. 8m D. 9m6.如图，菱形ABCD的周长是20，对角线AC，BD相交于点O，若BD=6，则菱形ABCD的面积是（）A. 6B. 12C. 24D. 487.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B顺时针旋转60°得到△BCD，若点B的坐标为（2，0），则点C的坐标为（）A.B.C.D.8.如图表示一个正方体的展开图，下面四个正方体中只有一个符合要求，那么这个正方体是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）9.函数y=-1中，自变量x的取值范围是______．10.若一次函数的图象过点（0，2），且函数y随自变量x的增大而增大，请写出一个符合要求的一次函数表达式：______．11.一组数据：3，2，1，2，2的中位数是______，方差是______．12.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x（x-3）（0≤x≤3）在x轴上方的部分，记作C1，它与x轴交于点O，A1，将C1绕点A1旋转180°得C2，C2与x轴交于另一点A2．请继续操作并探究：将C2绕点A2旋转180°得C3，与x轴交于另一点A3；将C3绕点A2旋转180°得C4，与x轴交于另一点A4，这样依次得到x轴上的点A1，A2，A3，…，A n，…，及抛物线C1，C2，…，C n，…．则点A4的坐标为______；Cn的顶点坐标为______（n为正整数，用含n的代数式表示）．三、计算题（本大题共3小题，共17.0分）13.解分式方程：+=1．14.已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k-4=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．15.在△ABC，∠BAC为锐角，AB＞AC，AD平分∠BAC交BC于点D．（1）如图1，若△ABC是等腰直角三角形，直接写出线段AC，CD，AB之间的数量关系；（2）BC的垂直平分线交AD延长线于点E，交BC于点F．①如图2，若∠ABE=60°，判断AC，CE，AB之间有怎样的数量关系并加以证明；②如图3，若AC+AB=AE，求∠BAC的度数．四、解答题（本大题共10小题，共55.0分）16.计算：（）-1+|-|-（π-3）0+3tan30°．17.已知：如图，C是AE上一点，∠B=∠DAE，BC∥DE，AC=DE．求证：AB=DA．18.在海南东环高铁上运行的一列“和谐号”动车组有一等车厢和二等车厢共6节，一共设有座位496个．其中每节一等车厢设座位64个，每节二等车厢设座位92个．试求该列车一等车厢和二等车厢各有多少节？19.抛物线y=x2+bx+c（b，c均为常数）与x轴交于A（1，0），B两点，与y轴交于点C（0，3）．（1）求该抛物线对应的函数表达式；（2）若P是抛物线上一点，且点P到抛物线的对称轴的距离为3，请直接写出点P 的坐标．20.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，DB平分∠ADC，E是CD的延长线上一点，且∠AEC=∠ADC．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形．（2）若DB⊥CB，∠BCD=60°，CD=12，作AH⊥BD于H，求四边形AEDH的周长．21.据报道：2013年底我国微信用户规模已到达6亿．以下是根据相关数据制作的统计图表的一部分：请根据以上信息，回答以下问题：（1）从2012年到2013年微信的人均使用时长增加了______分钟；（2）补全2013年微信用户对“微信公众平台”参与关注度扇形统计图，在我国6亿微信用户中，经常使用户约为______亿（结果精确到0.1）；（3）从调查数据看，预计我国微信用户今后每年将以20%的增长率递增，请你估计两年后，我国微信用户的规模将到达______亿．22.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，过点B作⊙O的切线与AD的延长线交于F．（1）求证：∠ABC=∠F；（2）若，DF=6，求⊙O的半径．23.阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，五个正方形的边长都为1，将这五个正方形分割为四部分，再拼接为一个大正方形．小明研究发现：如图2，拼接的大正方形的边长为，“日”字形的对角线长都为，五个正方形被两条互相垂直的线段AB，CD分割为四部分，将这四部分图形分别标号，以CD为一边画大正方形，把这四部分图形分别移入正方形内，就解决问题．请你参考小明的画法，完成下列问题：（1）如图3，边长分别为a，b的两个正方形被两条互相垂直的线段AB，CD分割为四部分图形，现将这四部分图形拼接成一个大正方形，请画出拼接示意图（2）如图4，一个八角形纸板有个个角都是直角，所有的边都相等，将这个纸板沿虚线分割为八部分，再拼接成一个正方形，如图5所示，画出拼接示意图；若拼接后的正方形的面积为，则八角形纸板的边长为______．24.经过点（1，1）的直线l：y=kx+2（k≠0）与反比例函数G1的图象交于点A（-1，a），B（b，-1），与y轴交于点D．（1）求直线l对应的函数表达式及反比例函数G1的表达式；（2）反比例函数G2：，①若点E在第一象限内，且在反比例函数G2的图象上，若EA=EB，且△AEB的面积为8，求点E的坐标及t值；②反比例函数G2的图象与直线l有两个公共点M，N（点M在点N的左侧），若＜，直接写出t的取值范围．25.在平面直角坐标系xOy中，对于⊙A上一点B及⊙A外一点P，给出如下定义：若直线PB与x轴有公共点（记作M），则称直线PB为⊙A的“x关联直线”，记作l PBM．（1）已知⊙O是以原点为圆心，1为半径的圆，点P（0，2），①直线l1：y=2，直线l2：y=x+2，直线l3：，直线l4：y=-2x+2都经过点P，在直线l1，l2，l3，l4中，是⊙O的“x关联直线”的是______；②若直线l PBM是⊙O的“x关联直线”，则点M的横坐标x M的最大值是______；（2）点A（2，0），⊙A的半径为1，①若P（-1，2），⊙A的“x关联直线”l PBM：y=kx+k+2，点M的横坐标为x M，当x M最大时，求k的值；②若P是y轴上一个动点，且点P的纵坐标y p＞2，⊙A的两条“x关联直线”l PCM，l PDN是⊙A的两条切线，切点分别为C，D，作直线CD与x轴交于点E，当点P的位置发生变化时，AE的长度是否发生改变？并说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：因为-2＜-1＜0＜，所以最小的数是-2．故选：D．利用有理数大小比较的方法：正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小；直接按顺序排列，选择答案即可．此题考查有理数大小比较的方法，注意先分类再比较．2.【答案】B【解析】解：将93210用科学记数法表示为：9.321×104．故选：B．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.【答案】D【解析】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠BCD+∠BAD=180°（圆内接四边形的对角互补）；又∵∠BCD=110°，∴∠BAD=70°．故选D．根据圆内接四边形的对角互补求∠BAD的度数即可．本题主要考查了圆内接四边形的性质．解答此题时，利用了圆内接四边形的对角互补的性质来求∠BCD的补角即可．4.【答案】C【解析】解：∵在一个不透明的口袋中装有5张完全相同的卡片，卡片上面分别写有数字-2，-1，0，1，3，∴从中随机抽出一张卡片，卡片上面的数字是负数的概率为：．故选C．由在一个不透明的口袋中装有5张完全相同的卡片，卡片上面分别写有数字-2，-1，0，1，3，直接利用概率公式求解即可求得答案．此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．5.【答案】C【解析】解：设旗杆高度为h，由题意得=，h=8米．故选：C．因为人和旗杆均垂直于地面，所以构成相似三角形，利用相似比解题即可．本题考查了考查相似三角形的性质和投影知识，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．6.【答案】C【解析】解：∵菱形ABCD的周长是20，∴AB=20÷4=5，AC⊥BD，OB=BD=3，∴OA==4，∴AC=2OA=8，∴菱形ABCD的面积是：AC•BD=×8×6=24．故选：C．由菱形ABCD的周长是20，即可求得AB=5，然后由股定理即可求得OA的长，继而求得AC的长，则可求得菱形ABCD的面积．此题考查了菱形的性质以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．7.【答案】A【解析】解：∵AB⊥x轴于点B，点B的坐标为（2，0），∴y=2，∴点A的坐标为（2，2），∴AB=2，OB=2，由勾股定理得，OA===4，∴∠A=30°，∠AOB=60°，∵△ABO绕点B顺时针旋转60°得到△BCD，∴∠C=30°，CD∥x轴，设AB与CD相交于点E，则BE=BC=AB=×2=，CE===3，∴点C的横坐标为3+2=5，∴点C的坐标为（5，）．故选：A．根据直线解析式求出点A的坐标，然后求出AB、OB，再利用勾股定理列式求出OA，然后判断出∠C=30°，CD∥x轴，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BE，利用勾股定理列式求出CE，然后求出点C的横坐标，再写出点C的坐标即可．本题考查了坐标与图形性质，一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，求出△AOB的各角的度数以及CD∥x轴是解题的关键．8.【答案】B【解析】解：空白面的每个邻面是斜线面，故选：B．本题考查了展开图折成几何体，邻面间的相对关系是解题关键，根据相邻面、对面的关系，可得答案．9.【答案】x≥0【解析】解：根据题意，得x≥0．故答案为：x≥0．根据二次根式的意义，被开方数不能为负数，据此求解．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．10.【答案】y=x+2【解析】解：设一次函数的解析式为y=kx+b，把（0，2）代入得b=2，∴y=kx+2，∵函数y随自变量x的增大而增大，∴k＞0，∴k可取1，此时一次函数解析式为y=x+2．故答案为y=x+2．设一次函数的解析式为y=kx+b，根据一次函数的图象过点（0，2）得到b=2，根据函数y随自变量x的增大而增大得到k＞0，然后取k=1写出一个满足条件的解析式．本题考查了一次函数y=kx+b的性质：当k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．11.【答案】2；0.4【解析】解：把这组数据从小到大排列为：1，2，2，2，3，最中间的数是2，则中位数是2；∵这组数据的平均数是（1+2+2+2+3）÷5=2，∴方差是：[（3-2）2+（2-2）2+（1-2）2+（2-2）2+（2-2）2]=0.4．故答案为：2，0.4．先将这组数据从小到大排列，再找出最中间的数，即可得出中位数；先求出这组数据的平均数，再根据方差公式S2=[（x 1-）2+（x2-）2+…+（x n-）2]进行计算即可．本题考查方差和中位数：一般地设n个数据，x 1，x2，…x n的平均数为，则方差S2=[（x 1-）2+（x2-）2+…+（x n-）2]；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）．12.【答案】（12，0）；（3n-，（-1）n+1•）【解析】解：这样依次得到x轴上的点A1，A2，A3，…，A n，…，及抛物线C1，C2，…，C n，…．则点A4的坐标为（12，0）；Cn的顶点坐标为（3n-，（-1）n+1•），故答案为：（12，0），（3n-，（-1））．根据图形连续旋转，旋转奇数次时，图象在x轴下方，每两个图象全等且相隔三个单位；旋转偶数次时，图象在x轴上方，每两个图象全等且相隔三个单位．本题考查了二次函数图象与几何变换，交点间的距离是3，顶点间的横向距离距离是3，纵向距离是．13.【答案】解：去分母得：2+x（x+2）=x2-4，解得：x=-3，经检验x=-3是分式方程的解．【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．14.【答案】解：（1）根据题意得：△=4-4（2k-4）=20-8k＞0，解得：k＜；（2）由k为正整数，得到k=1或2，利用求根公式表示出方程的解为x=-1±，∵方程的解为整数，∴5-2k为完全平方数，则k的值为2．【解析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k 的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围；（2）找出k范围中的整数解确定出k的值，经检验即可得到满足题意k的值．此题考查了根的判别式，一元二次方程的解，以及公式法解一元二次方程，弄清题意是解本题的关键．15.【答案】解：（1）AB=AC+CD，理由为：过D作DE⊥AB，如图1所示，∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，∴CD=DE，在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC=AE，∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠B=45°，即△BDE为等腰直角三角形，∴CD=DE=EB，则AB=AE+EB=AC+CD；（2）①AB=AC+CE；证明：在线段AB上截取AH=AC，连接EH，如图2所示，∵AD平分∠BAC，∴∠CAE=∠BAE，在△ACE和△AHE中，，∴△ACE≌△AHE（SAS），∴CE=HE，∵EF垂直平分BC，∴CE=BE，又∠ABE=60°，∴△EHB是等边三角形，∴BH=HE，∴AB=AH+HB=AC+CE；②在线段AB上截取AH=AC，连接EH，作EM⊥AB于点M．如图3所示，同理可得△ACE≌△AHE，∴CE=HE，∴△EHB是等腰三角形，∴HM=BM，∴AC+AB=AH+AB=AM-HM+AM+MB=2AM，∵AC+AB=AE，∴AM=AE，在Rt△AEM中，cos∠EAM==，∴∠EAB=30°．∴∠CAB=2∠EAB=60°．【解析】（1）AB=AC+CD，理由为：过D作DE垂直于AB，利用角平分线定理得到DC=DE，进而利用HL得到三角形ACD与三角形AED全等，利用全等三角形对应边相等得到AC=AE，再由三角形ABC为等腰直角三角形得到三角形BDE为等腰直角三角形，即DE=EB，由AB=AE+EB，等量代换即可得证；（2）①AB=AC+CE，理由为：在线段AB上截取AH=AC，连接EH，由AD为角平分线得到一对角相等，再由AC=AH，AE=AE，利用SAS得到三角形ACE与三角形AHE全等，得到CE=HE，由EF垂直平分BC，得到CE=BE，根据∠ABE=60°，得到△EHB是等边三角形，进而得到BH=HE，由AB=AH+HB，等量代换即可得证；②在线段AB上截取AH=AC，连接EH，作EM⊥AB于点M．同理可得△ACE≌△AHE，得到CE=HE，进而确定出△EHB是等腰三角形，得到HM=BM，根据AC+AB=AH+AB=AM-HM+AM+MB=2AM，将已知等式AC+AB=AE，代入得：AM=AE，在Rt△AEM中，利用锐角三角函数定义求出cos∠EAM的值，进而确定出∠EAB=30°，即可得到∠CAB的度数．此题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线定理，等腰直角三角形，以及解直角三角形，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．16.【答案】解：+|-|-1+3×=4+-1+3×=3+2．【解析】本题涉及负指数幂、绝对值、0指数幂、特殊角的三角函数值等考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记负指数幂、绝对值、0指数幂、特殊角的三角函数值等考点的运算．17.【答案】证明：∵BC∥DE，∴∠ACB=∠DEA，在△ABC和△DAE中，，∴△ABC≌△DAE（AAS）∴AB=DA．【解析】由BC与DE平行，利用两直线平行同位角相等得到一对角相等，再由已知一对角相等，一对边相等，利用AAS得到三角形ABC与三角形DAE全等，利用全等三角形对应边相等即可得证．此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．18.【答案】解：设该列车一等车厢和二等车厢各有x、y节，根据题意得：，解得：．答：该列车一等车厢和二等车厢各有2，4节．【解析】设该列车一等车厢和二等车厢各有x、y节，则第一个相等关系为：x+Y=6，再根据一共设有座位496个．其中每节一等车厢设座位64个，每节二等车厢设座位92个得第二个相等关系为：64x+92y=496，由此列方程组求解．此题考查的知识点是二元一次方程组的应用，解题的关键是由已知找出两个相等关系，列方程组求解．19.【答案】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C（0，3），∴c=3．∴y=x2+bx+3．又∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（1，0），∴b=-4．∴y=x2-4x+3．（2）点P的坐标为（5，8）或（-1，8）．【解析】（1）抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C（0，3），代入可得出c=3，又由抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（1，0），代入又可得出b=-4，从而得出抛物线的解析式y=x2-4x+3；（2）求得对称轴为直线x=2，由点P到抛物线的对称轴的距离为3，可得出点P 的横坐标为-1或5，代入抛物线解析式即可得出点P的坐标为（5，8）或（-1，8）．本题考查了抛物线和x轴的交点问题，以及抛物线的表达式的求法--待定系数法．20.【答案】解：（1）∵DB平分∠ADC，∴，又∵，∴∠AEC=∠1，∴AE∥BD，又∵AB∥EC，∴四边形AEDB是平行四边形；（2）∵DB平分∠ADC，∠ADC=60°，AB∥EC，∴∠1=∠2=∠3=30°，∴AD=AB，又∵DB⊥BC，∴∠DBC=90°，在Rt△BDC中，CD=12，∴BC=6，，在等腰△ADB中，AH⊥BD，∴DH=BH=，在Rt△ABH中，∠AHB=90°，∴AH=3，AB=6，∵四边形AEDB是平行四边形，∴，ED=AB=6，∴，∴四边形AEDH的周长为．【解析】（1）求出∠AEC=∠1，得出AE∥BD，再由AB∥EC证出四边形ABDE是平行四边形．（2）在Rt△BDC中，求出BD，再在在等腰△ADB中求出DH，AH，在Rt△ABH 中求出AB，进而求出四边形的四条边求周长．本题主要考查平行四边形的判定及性质，解题的过程中要灵活运用直角三角形来求边．21.【答案】6.7；1.5；8.64【解析】解：（1）2012年到2013年微信的人均使用时长增加了9.7-3.0=6.7分钟；（2）偶尔使用所占的百分比为1-13%-7.4%-13%-24.2%=42.4%；我国6亿微信用户中，经常使用户约为6×24.2%≈1.5亿（3）两年后，我国微信用户的规模将到达6×（1+20%）2=8.64亿，故答案为：6.7，1.5，8.64．（1）用2013年的微信使用时长减去2012年的微信使用时长即可确定答案；（2）用单位1减去其他所占的百分比即可确定偶尔使用的所占的百分比，用总量乘以经常使用的所占的百分比即可确定经常使用的用户的数量；（3）用总量乘以增长的百分比即可确定两年后的微信用户量．本题考查了扇形统计图及统计表的知识，解题的关键是仔细的读表或统计图并从中整理出进一步解题的有关信息．22.【答案】（1）证明：∵BF为⊙O的切线，∴AB⊥BF于点B．∵CD⊥AB，∴∠ABF=∠AHD=90°．∴CD∥BF．∴∠ADC=∠F．又∵∠ABC=∠ADC，∴∠ABC=∠F．（2）解：连接BD．∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，由（1）∠ABF=90°，∴∠A=∠DBF．又∵∠A=∠C．∴∠C=∠DBF．在Rt△DBF中，，DF=6，∴BD=8．在Rt△ABD中，，∴．∴⊙O的半径为．【解析】【分析】（1）由切线的性质得AB⊥BF，因为CD⊥AB，所以CD∥BF，由平行线的性质得∠ADC=∠F，由圆周角定理得∠ABC=∠ADC，于是得证∠ABC=∠F；（2）连接BD．由直径所对的圆周角是直角得∠ADB=90°，因为∠ABF=90°，所以∠A=∠DBF，于是得∠C=∠DBF．在Rt△DBF中得BD=8．在Rt△ABD中，，，于是⊙O的半径为．本题主要考查了切线的性质以及解直角三角形，还用到圆周角定理及其推论，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．【解答】（1）证明：∵BF为⊙O的切线，∴AB⊥BF于点B．∵CD⊥AB，∴∠ABF=∠AHD=90°．∴CD∥BF．∴∠ADC=∠F．又∵∠ABC=∠ADC，∴∠ABC=∠F．（2）解：连接BD．∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，由（1）∠ABF=90°，∴∠A=∠DBF．又∵∠A=∠C．∴∠C=∠DBF．在Rt△DBF中，，DF=6，∴BD=8．在Rt△ABD中，，∴．∴⊙O的半径为．23.【答案】1【解析】解：（1）拼接示意图如下；（2）拼接示意图如下，设八角形的边长为a，则原正方形的边长为a+a+a=（2+）a，八角形的面积=（2+）2a2+4×a2=8+4，整理得，（8+4）a2=8+4，解得a=1，答：八角形纸板的边长为1．（1）根据图形形状，把①放在最上边，②③放在左边即可；（2）以四个较大的部分为拼成的正方形的四个角，剪开的四个小直角三角形组成一个小正方形在中间拼接即可，设八角形的边长为a，表示出原正方形的边长，再根据八角形的面积等于正方形的面积加上四个小直角三角形的面积，列出方程求解即可．本题考查了图形的拼接，读懂题目信息，仔细观察图形的形状是解题的关键．24.【答案】解：（1）∵直线l：y=kx+2（k≠0）经过（1，1），∴k=-1，∴直线l对应的函数表达式y=-x+2．∵直线l与反比例函数G1：的图象交于点A（-1，a），B（b，-1），∴a=b=3．∴A（-1，3），B（3，-1）．∴m=-3．∴反比例函数G1函数表达式为．（2）①∵EA=EB，A（-1，3），B（3，-1），∴点E在直线y=x上．∵△AEB的面积为8，，∴．∴△AEB是等腰直角三角形．∴E（3，3），此时t=3×3=9②分两种情况：（ⅰ）当t＞0时，∵y=-x+2，与x轴交于点F（2，0），与y轴交于点D（0，2），∴DF=2，∴DM+DN＜3，∴只要y=-x+2与y2=有交点坐标即可，∴-x+2=，整理得：x2-2x+t=0，∴b2-4ac＞0，∴4-4t＞0，解得：t＜1，则0＜t＜1；（ⅱ）当t＜0时，当DM+DN=3，则DM=FN=，∵y=-x+2，与x轴交于点F（2，0），与y轴交于点D（0，2），∴可求出M（-，），则xy=t=-，则＜＜．综上，当＜＜或0＜t＜1时，反比例函数G2的图象与直线l有两个公共点M，N，且＜．【解析】（1）利用待定系数法把（1，1）代入y=kx+2可得k的值，进而得到直线l对应的函数表达式；利用一次函数解析式求出a、b的值，然后再利用待定系数法求出反比例函数G1函数表达式即可；（2）由条件EA=EB，A（-1，3），B（3，-1）可得点E在直线y=x上，再根据△AEB的面积为8，，可得，进而得到E点坐标；（3）根据题意得出当t＞0时，以及当t＜0时，分别利用数形结合得出t的最值．此题主要考查了反比例函数综合以及等腰直角三角形的性质和根的判别式等知识，利用分类讨论以及数形结合得出是解题关键．25.【答案】l3，l4；【解析】解：（1）①l3，l4；分析如下：根据题意，如图1，l1，l2与⊙O没有交点，对l3，过点O作OB⊥AC于B，∵A（0，2），C（，0），∴AO=2，C0=，∴根据勾股定理，AC=．∴根据面积相等，OB==1，∵⊙O半径为1，∴AC切⊙O于B，∴l3是⊙O的“x关联直线”．对l4，显然与⊙O有两个交点，故l4是⊙O的“x关联直线”．综上所述，l3，l4是⊙O的“x关联直线”．②；分析如下：如图2，PM与⊙O相切于B点时，M的横坐标x M最大，连接OB，则OB⊥PM，在Rt△OPB中，∵PO=2，OB=1，∴∠OPB=30°，∴OM=tan∠OPB•OP==，所以点M的横坐标x M最大值为．（2）如图3，直线PM⊙A相切于点B时，此时点M的横坐标x M最大，作PH⊥x轴于点H，连接AB，HM=x M+1，AM=x M-2，在Rt△ABM和Rt△PHM中，∵，AB=1，PH=2∴BM=HM=．在Rt△ABM中，∵AM2=AB2+BM2，∴．解得．∴点M的横坐标x M最大时，，此时M（，0），∴代入直线y=kx+k+2，解得．②当P点的位置发生变化时，AE的长度不发生改变．理由如下：如图4，⊙A的两条“x关联直线”与⊙A相切于点C，D，连接AC，AD，AP交CD于F，此时PC=PD．在△ADP和△ACP中，，∴△ADP≌△ACP∴∠CPF=∠DPF∴AP⊥BC，在Rt△ADF和Rt△ADP中，∵∠ADF=∠APD，∴sin∠ADF=sin∠APD，∴AF•AP=AD2在Rt△AEF和Rt△AOP中，∵，∴AF•AP=AE•AO∴AD2=AE•AO∵AD=1，AO=2，∴，即当P点的位置发生变化时，AE的长度不发生改变．（1）①讨论是否为关联直线最直接的方式就是画图确定圆与直线是否有交点，画图易得l1，l2无交点，非关联直线，而l4有两个交点，为关联直线，对l3近似相切，则需要求证判断，利用求证相切的常规作法，作垂线讨论圆心到直线距离是否与半径相等易得结论．②画图已知，相切时M点横坐标最大，作图利用解直角三角形，易得所求边长，即M横坐标最大值易知．（2）①类似上小问，最大值时相切，利用解三角形得到最大时M点坐标，代入直线y=kx+k+2，即可求得k．②根据题意画出图示，AE不在三角形中，不易表示，所以可以适当作辅助线，因为相切，通常都有圆心与切点的连线，如此可得垂直关系；而同时出现过P 点的两条与圆的切线，通常连接圆心与P点，如此可得全等三角形等相等关系，此时看到PA⊥CD，则AE所属的三角形与PAO相似，则可试着将其转化．本题思考的确有一定难度，利用三角函数关系可以技巧的得出AF•AP=AD2，AF•AP=AE•AO，则有AD2=AE•AO，且AD，AO都为固定值，则易知AE值亦固定．本题重点考查直线与圆相切的相关性质，并结合直角坐标系利用三角函数、解直角三角形等相关技巧计算线段长度．最后一问难度较高，不过思路方面我们要牢记要想计算边长，我们通常需要通过辅助线将此线放在与其他简单三角形全等相似的三角形中，以便可以将此线段长度转化出来，这种思路需要学生在平时的题目中多加实践，总体来说本题前面常规，后面难度偏高，学生重点加强理解．。
往年北京市中考数学真题及答案
往年北京市中考数学真题及答案一. 选择题（本题共32分,每小题4分）下面各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的．1．9-的相反数是A．19-B．19C．9-D．92．首届中国（北京）国际服务贸易交易会（京交会）于往年年6月1日闭幕,本届京交会期间签订的项目成交总金额达60 110 000 000美元,将60 110 000 000用科学记数法表示应为A．96.01110⨯B．960.1110⨯C．106.01110⨯D．110.601110⨯3．正十边形的每个外角等于A．18︒B．36︒C．45︒D．60︒4．右图是某个几何体的三视图,该几何体是A．长方体B．正方体C．圆柱D．三棱柱5．班主任王老师将6份奖品分别放在6个完全相同的不透明礼盒中,准备将它们奖给小英等6位获“爱集体标兵”称号的同学．这些奖品中3份是学习文具,2份是科普读物,1份是科技馆通票．小英同学从中随机取一份奖品,恰好取到科普读物的概率是A．16B．13C．12D．236．如图,直线AB,CD交于点O,射线OM平分AOC∠,若76BOD∠=︒,则BOM∠等于A．38︒B．104︒C．142︒D．144︒7．某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量,如下表所示：用电量（度）120 140 160 180 200 户数 2 3 6 7 2A．180,160 B．160,180 C．160,160 D．180,1808． 小翔在如图1所示的场地上匀速跑步,他从点A 出发,沿箭头所示方向经过点B 跑到点C ,共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间为t （ 单位：秒）,他与教练的距离为y （ 单位：米）,表示y 与t 的函数关系的图象大致如图2所示,则这个固定位置可能是图1中的 A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q二. 填空题（ 本题共16分,每小题4分） 9． 分解因式：269mn mn m ++= ．10．若关于x 的方程220x x m --=有两个相等的实数根,则m 的值是 ． 11．如图,小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ,他调整自己的位置,设法使斜边DF 保持水平,并且边DE 与点B 在同一直线上．已知纸板的两条直角边40cm DE =,20cm EF =,测得边DF 离地面的高度1.5m AC =,8m CD =,则树高AB = m ．12．在平面直角坐标系xOy 中,我们把横 . 纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点()04A ，,点B 是x 轴正半轴上的整点,记AOB △内部（ 不包括边界）的整点个数为m ．当3m =时,点B 的横坐标的所有可能值是 ；当点B 的横坐标为4n （ n 为正整数）时,m = （ 用含n 的代数式表示．）三. 解答题（ 本题共30分,每小题5分） 13．计算：()11π3182sin 458-⎛⎫-+-︒- ⎪⎝⎭.14．解不等式组：4342 1.x x x x ->⎧⎨+<-⎩，15．已知023a b =≠,求代数式()225224a ba b a b -⋅--的值．16．已知：如图,点E A C ，，在同一条直线上,AB CD ∥,AB CE AC CD ==，．求证：BC ED =.17．如图,在平面直角坐标系xOy 中,函数()40y x x=>的图象与一次函数y kx k =-的图象的交点为()2A m ，.（ 1）求一次函数的解析式；（ 2）设一次函数y kx k =-的图象与y 轴交于点B ,若P 是x 轴上一点,且满足PAB △的面积是4,直接写出点P 的坐标．18．列方程或方程组解应用题：据林业专家分析,树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物,具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克,若一年滞尘1000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550毫克所需的国槐树叶的片数相同,求一片国槐树叶一年的平均滞尘量．四. 解答题（ 本题共20分,每小题5分）19．如图,在四边形ABCD 中,对角线AC BD ，交于点E ,9045302BAC CED DCE DE ∠=︒∠=︒∠=︒=，，，，22BE =．求CD 的长和四边形ABCD 的面积．20．已知：如图,AB 是O ⊙的直径,C 是O ⊙上一点,OD BC ⊥于点D ,过点C 作O ⊙的切线,交OD 的延长线于点E ,连结BE ． （ 1）求证：BE 与O ⊙相切；（ 2）连结AD 并延长交BE 于点F ,若9OB =，2sin 3ABC ∠=,求BF 的长．21．近年来,北京市大力发展轨道交通,轨道运营里程大幅增加,2011年北京市又调整修订了2010至2020年轨道交通线网的发展规划．以下是根据北京市轨道交通指挥中心发布的有关数据制作的统计图表的一部分．请根据以上信息解答下列问题：（ 1）补全条形统计图并在图中标明相应数据；（ 2）按照2011年规划方案,预计2020年北京市轨道交通运营里程将达到多少千米？ （ 3）要按时完成截至2015年的轨道交通规划任务,从2011到2015这4年中,平均每年需新增运营里程多少千米？22．操作与探究：（ 1）对数轴上的点P 进行如下操作：先把点P 表示的数乘以13,再把所得数对应的点向右平移1个单位,得到点P 的对应点P '.点A B ，在数轴上,对线段AB 上的每个点进行上述操作后得到线段A B '',其中点A B ，的对应点分别为A B ''，．如图1,若点A 表示的数是3-,则点A '表示的数北京市轨道交通已开通线路相关数据统计表（截至2010年底） 开通时间 开通线路 运营里程(千米) 1971 1号线 31 1984 2号线 23 2003 13号线 41 八通线 19 2007 5号线 28 20088号线 5 10号线 25 机场线 28 20094号线 28 2010房山线 22 大兴线22 亦庄线 23 昌平线 21 15号线20是 ；若点B '表示的数是2,则点B 表示的数是 ；已知线段AB 上的点E 经过上述操作后得到的对应点E '与点E 重合,则点E 表示的数是 ；（ 2）如图2,在平面直角坐标系xOy 中,对正方形ABCD 及其内部的每个点进行如下操作：把每 个点的横. 纵坐标都乘以同一种实数a ,将得到的点先向右平移m 个单位,再向上平移n 个单位（ 00m n >>，）,得到正方形A B C D ''''及其内部的点,其中点A B ，的对应点分别为A B ''，。
北京市2023届中考数学试卷(含解析)
北京市2023届中考数学试卷考生须知1.本试卷共6页，共两部分，三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟．2.在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号．3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5.考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.截至2023年6月11日17时，全国冬小麦收款2.39亿亩，进度过七成半，将239000000用科学记数法表示应为（）A.723.910⨯ B.82.3910⨯ C.92.3910⨯ D.90.23910⨯2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.3.如图，90AOC BOD ∠=∠=︒，126AOD ∠=︒，则BOC ∠的大小为（）A.36︒B.44︒C.54︒D.63︒4.已知10a ->，则下列结论正确的是（）A.11a a -<-<<B.11a a -<-<<C.11a a -<-<< D.11a a-<-<<5.若关于x 的一元二次方程230x x m -+=有两个相等的实数根，则实数m 的值为（）A.9- B.94-C.94D.96.十二边形的外角和．．．为（）A.30︒B.150︒C.360︒D.1800︒7.先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是（）A.14B.13C.12D.348.如图，点A 、B 、C 在同一条线上，点B 在点A ，C 之间，点D ，E 在直线AC 同侧，AB BC <，90A C ∠=∠=︒，EAB BCD ≌△△，连接DE ，设AB a =，BC b =，DE c =，给出下面三个结论：①a b c +<；②a b +>)a b c +>；上述结论中，所有正确结论的序号是（）A.①②B.①③C.②③D.①②③第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9.若代数式52x -有意义，则实数x 的取值范围是______．10.分解因式：23x y y -=__________________.11.方程31512x x=+的解为______．12.在平面直角坐标系xOy 中，若函数()0ky k x=≠的图象经过点()3,2A -和(),2B m -，则m 的值为______．13.某厂生产了1000只灯泡.为了解这1000只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了50只灯泡进行检测，获得了它们的使用寿命（单位：小时），数据整理如下：使用寿命1000x <10001600x ≤<16002200x ≤<22002800x ≤<2800x ≥灯泡只数51012176根据以上数据，估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为______只．14.如图，直线AD ，BC 交于点O ，AB EF CD ∥∥.若2AO =，1OF =，2FD =.则BEEC的值为______．15.如图，OA 是O 的半径，BC 是O 的弦，OA BC ⊥于点D ，AE 是O 的切线，AE 交OC 的延长线于点E ．若45AOC ∠=︒，2BC =，则线段AE 的长为______．16.学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动．已知某木艺艺术品加工完成共需A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 七道工序，加工要求如下：①工序C ，D 须在工序A 完成后进行，工序E 须在工序B ，D 都完成后进行，工序F 须在工序C ，D 都完成后进行；②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；③各道工序所需时间如下表所示：工序A B C D E F G 所需时间/分钟99797102在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要______分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要______分钟．三、解答题（共68分，第17—19题，每题5分，第20—21题，每题6分，第22—23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分；第27—28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.计算：114sin6023-⎛⎫︒++-- ⎪⎝⎭．18.解不等式组：23535x x x x+⎧>⎪⎨⎪-<+⎩．19.已知210x y +-=，求代数式222444x yx xy y +++的值．20.如图，在ABCD Y 中，点E ，F 分别在BC ，AD 上，BE DF =，AC EF =．（1）求证：四边形AECF 是矩形；（2）AE BE =，2AB =，1tan 2ACB ∠=，求BC 的长．21.对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是6:4，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的110．某人要装裱一幅对联，对联的长为100cm ，宽为27cm ．若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长．（书法作品选自《启功法书》）22.在平面直角坐标系xOy 中，函数()0y kx b k =+≠的图象经过点()0,1A 和()1,2B ，与过点()0,4且平行于x 轴的线交于点C ．（1）求该函数的解析式及点C 的坐标；（2）当3x <时，对于x 的每一个值，函数23y x n =+的值大于函数()0y kx b k =+≠的值且小于4，直接写出n 的值．23.某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：cm ），数据整理如下：a .16名学生的身高：161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175b .16名学生的身高的平均数、中位数、众数：平均数中位数众数16675mn（1）写出表中m ，n 的值；（2）对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好．据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是______（填“甲组”或“乙组”）；甲组学生的身高162165165166166乙组学生的身高161162164165175（3）该舞蹈队要选五名学生参加比赛．已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168，168，172，他们的身高的方差为329．在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于329，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为______和______．24.如图，圆内接四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点E ，BD 平分ABC ∠，BAC ADB ∠=∠．（1）求证DB 平分ADC ∠，并求BAD ∠的大小；（2）过点C 作CF AD ∥交AB 的延长线于点F ．若AC AD =，2BF =，求此圆半径的长．25.某小组研究了清洗某种含污物品的节约用水策略．部分内容如下．每次清洗1个单位质量的该种含污物品，清洗前的清洁度均为0.800要求清洗后的清洁度为0.990方案一：采用一次清洗的方式．结果：当用水量为19个单位质量时，清洗后测得的清洁度为0.990．方案二：采用两次清洗的方式．记第一次用水量为1x 个单位质量，第二次用水量为2x 个单位质量，总用水量为()12x x +个单位质量，两次清洗后测得的清洁度为C ．记录的部分实验数据如下：1x 11.09.09.070 5.5 4.5 3.5 3.0 3.0 2.0 1.02x 0.8 1.0 1.3 1.9 2.6 3.2 4.3 4.0 5.07.111.512x x +11.810.010.38.98.17.77.87.08.09.112.5C09900.9890.9900.9900.9900.9900.9900.9880.9900.9900.990对以上实验数据进行分析，补充完成以下内容．（Ⅰ）选出C 是0.990的所有数据组，并划“√”；（Ⅱ）通过分析（Ⅰ）中选出的数据，发现可以用函数刻画第一次用水量1x 和总用水量12x x +之间的关系，在平面直角坐标系xOy 中画出此函数的图象；结果：结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当第一次用水量约为______个单位质量（精确到个位）时，总用水量最小．根据以上实验数据和结果，解决下列问题：（1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，与采用一次清洗的方式相比、可节水约______个单位质量（结果保留小数点后一位）；（2）当采用两次清洗的方式时，若第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个单位质量，则清洗后的清洁度C ______0.990（填“>”“=”或“<”）．26.在平面直角坐标系xOy 中，()11,M x y ，()22,N x y 是抛物线()20y ax bx c a =++>上任意两点，设抛物线的对称轴为x t =．（1）若对于11x =，22x =有12y y =，求t 的值；（2）若对于101x <<，212x <<，都有12y y <，求t 的取值范围．27.在ABC 中、()045B C αα∠=∠=︒<<︒，AM BC ⊥于点M ，D 是线段MC 上的动点（不与点M ，C 重合），将线段DM 绕点D 顺时针旋转2α得到线段DE ．（1）如图1，当点E 在线段AC 上时，求证：D 是MC 的中点；（2）如图2，若在线段BM 上存在点F （不与点B ，M 重合）满足DF DC =，连接AE ，EF ，直接写出AEF ∠的大小，并证明．28.在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1．对于O 的弦AB 和O 外一点C 给出如下定义：若直线CA ，CB 中一条经过点O ，另一条是O 的切线，则称点C 是弦AB 的“关联点”．（1）如图，点()1,0A -，1,22B ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，2,22B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭①在点()11,1C -，20()C ，(3C 中，弦1AB 的“关联点”是______．②若点C 是弦2AB 的“关联点”，直接写出OC 的长；（2）已知点()0,3M ，65,05N ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．对于线段MN 上一点S ，存在O 的弦PQ ，使得点S 是弦PQ 的“关联点”，记PQ 的长为t ，当点S 在线段MN 上运动时，直接写出t 的取值范围．答案1-8BACBC CAD9.2x ≠10.()()y x y x y +-11.1x =12.313.46014.3215.16.①.53②.2817.解：原式4322=⨯++-32=+-5=．18.解：23535x x x x +⎧>⎪⎨⎪-<+⎩①②解不等式①得：1x >解不等式②得：2x <∴不等式的解集为：12x <<19.解：原式()()222222x y x yx y =+++=，由210x y +-=可得21x y +=，将21x y +=代入原式可得，原式221==．20.（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC =，AD BC ∥，∵BE DF =，∴AF EC =，∴四边形AECF 是平行四边形，∵AC EF =，∴平行四边形AECF 是矩形；（2）解：由（1）知四边形AECF 是矩形，∴90AEC AEB ∠=∠=︒，∵AE BE =，2AB =，∴ABE 是等腰直角三角形，∴22AE BE AB ===又∵1tan 2AE ACB EC ∠==，∴212EC =，∴EC =∴BC BE EC =+=+=．21.解：设天头长为cm x ，由题意天头长与地头长的比是6:4，可知地头长为2cm 3x ，边的宽为121cm cm 1036x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，装裱后的长为cm cm 2510010033x x x ⎛⎫⎛⎫+++⎪⎝⎭⎝⎭=⎪，装裱后的宽为cm cm 1112727663x x x =⎛⎫⎛⎫+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由题意可得：5110027433x x ⎛⎫+=+⨯ ⎪⎝⎭解得24x =，∴146x =，答：边的宽为4cm ，天头长为24cm ．22.（1）解：把点()0,1A ，()1,2B 代入()0y kx b k =+≠得：12b k b =⎧⎨+=⎩，解得：11k b =⎧⎨=⎩，∴该函数的解析式为1y x =+，由题意知点C 的纵坐标为4，当14y x =+=时，解得：3x =，∴()3,4C ；（2）解：由（1）知：当3x =时，14y x =+=，因为当3x <时，函数23y x n =+的值大于函数1y x =+的值且小于4，所以如图所示，当23y x n =+过点()3,4时满足题意，代入()3,4得：2433n =⨯+，解得：2n =．23.（1）解：将这组数据按照从小到大的顺序排列为：161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175，出现次数最多的数是165，出现了3次，即众数165n =，16个数据中的第8和第9个数据分别是166，166，∴中位数1661661662m +==，∴166m =，165n =；（2）解：甲组身高的平均数为()1162165165166166164.85++++=，甲组身高的方差为()()()()()222221162164.8165164.8165164.8166164.8166164.8 2.165⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦乙组身高的平均数为()1161162164165175165.45++++=，乙组身高的方差为()()()()()222221161165.4162165.4164165.4165165.4175165.425.045⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦，∵25.04 2.16>∴舞台呈现效果更好的是甲组，故答案为：甲组；（3）解：168，168，172的平均数为()1116933168168172=++∵所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于329，∴数据的差别较小，数据才稳定，可供选择的有：170，172，且选择170，172时，平均数会增大，故答案为：170，172．24.（1）解：∵BAC ADB∠=∠∴ AB BC=，∴ADB CDB ∠=∠，即DB 平分ADC ∠．∵BD 平分ABC ∠，∴ABD CBD ∠=∠，∴ AD CD=，∴ AB ADBC CD +=+，即 BAD BCD =，∴BD 是直径，∴90BAD ∠=︒；（2）解：∵90BAD ∠=︒，CF AD ∥，∴180F BAD ∠+∠=︒，则90F ∠=︒．∵ AD CD=，∴AD DC =．∵AC AD =，∴AC AD CD ==，∴ADC △是等边三角形，则60ADC ∠=︒．∵BD 平分ADC ∠，∴1302CDB ADC ∠=∠=︒．∵BD 是直径，∴90BCD ∠=︒，则12BC BD =．∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴180ADC ABC ∠+∠=︒，则120ABC ∠=︒，∴60FBC ∠=︒，∴906030FCB ∠=︒-︒=︒，∴12FB BC =．∵2BF =，∴4BC =，∴28BD BC ==．∵BD 是直径，∴此圆半径的长为142BD =．25.（Ⅰ）表格如下：1x 11.09.09.07.0 5.5 4.5 3.5 3.0 3.0 2.0 1.02x 0.8 1.0 1.3 1.9 2.6 3.2 4.3 4.0 5.07.111.512x x +11.810.010.38.98.17.77.87.08.09.112.5C0.990√0.9890.990√0.990√0.990√0.990√0.990√0.9880.990√0.990√0.990√（Ⅱ）函数图象如下：由图象可得，当第一次用水量约为4个单位质量（精确到个位）时，总用水量最小；（1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，用水量为7.7个单位质量，19-7.7=11.3，即可节水约11.3个单位质量；（2）由图可得，当第一次用水量为6个单位质量，总用水量超过8个单位质量，则清洗后的清洁度能达到0.990，第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个单位质量，则清洗后的清洁度0.990C <，故答案为：<．26.（1）解：∵对于11x =，22x =有12y y =，∴抛物线的对称轴为直线12322x x x +==，∵抛物线的对称轴为x t =．∴32t =；（2）解：∵当101x <<，212x <<，∴1213222x x +<<，12x x <，∵12y y <，0a >，∴()11,x y 离对称轴更近，12x x <，则()11,x y 与()22,x y 的中点在对称轴的右侧，∴122x x t +>，即12t ≤．27.（1）证明：由旋转的性质得：DM DE =，2MDE α∠=，∵C α∠=，∴D DEC M E C α∠-∠∠==，∴C DEC ∠=∠，∴DE DC =，∴DM DC =，即D 是MC 的中点；（2）90AEF ∠=︒；证明：如图2，延长FE 到H 使FE EH =，连接CH ，AH ，∵DF DC =，∴DE 是FCH V 的中位线，∴DE CH ∥，2CH DE =，由旋转的性质得：DM DE =，2MDE α∠=，∴2FCH α∠=，∵B C α∠=∠=，∴ACH α∠=，ABC 是等腰三角形，∴B ACH ∠∠=，AB AC =，设DM DE m ==，CD n =，则2CH m =，CM m n =+，∴DF CD n ==，∴FM DF DM n m =-=-，∵AM BC ⊥，∴BM CM m n ==+，∴()2BF BM FM m n n m m =-=+--=，∴CH BF =，在ABF △和ACH 中，AB AC B ACH BF CH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABF ACH ≅ ，∴AF AH =，∵FE EH =，∴AE FH ⊥，即90AEF ∠=︒．28.（1）解：①由关联点的定义可知，若直线CA CB ，中一经过点O ，另一条是O 的切线，则称点C 是弦AB 的“关联点”，∵点()1,0A -，1,22B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()11,1C -，20()C，(3C ，∴直线2AC 经过点O ，且2BC 与O 相切，∴2C 是弦1AB 的“关联点”，又∵()11,1C -和()1,0A -横坐标相等，与1,22B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭都位于直线y x =-上，∴1AC 与O 相切，11B C 经过点O ，∴1C 是弦1AB 的“关联点”．②∵()1,0A -，222,22B ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，设()C a b ，，如下图所示，共有两种情况，a 、若12C B 与O 相切，AC 经过点O ，则12C B 、1AC 所在直线为：0y x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得：)1C ，∴1OC =，b 、若2AC 与O 相切，22C B 经过点O ，则22C B 、2AC 所在直线为：1x y x =-⎧⎨=-⎩，解得：()211C -，，∴2OC =，综上，OC =．（2）解：∵线段MN 上一点S ，存在O 的弦PQ ，使得点S 是弦PQ 的“关联点”，又∵弦PQ 随着S 的变动在一定范围内变动，且()0,3M ，65,05N ⎛⎫⎪⎪⎝⎭，OM ON >，∴S 共有2种情况，分别位于点M 和经过点O 的MN 的垂直平分线上，如图所示，①当S 位于点()0,3M 时，MP 为O 的切线，作PJ OM ⊥，∵()0,3M ，O 的半径为1，且MP 为O 的切线，∴OP MP ⊥，∵PJ OM ⊥，∴MPO POJ ∽ ，∴OP OM OJ OP =，即13OJ=，解得13OJ =，∴根据勾股定理得，3PJ ==，123Q J =根据勾股定理，13PQ ==，同理，23PQ ==，∴当S 位于点()0,3M 时，1PQ 的临界值为233和263．②当S 位于经过点O 的MN 的垂直平分线上即点K 时，∵点()0,3M ，5N ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，∴5MN ==，∴2OK OM ON MN =⨯÷=，又∵O 的半径为1，∴30OKZ ∠=︒，∴三角形OPQ 为等边三角形，∴在此情况下，1PQ =，PQ =，∴当S 位于经过点O 的MN 的垂直平分线上即点K 时，1PQ 的临界值为1，∴在两种情况下，PQ 的最小值在2313t ≤≤内，最大值在263t ≤≤综上所述，t 的取值范围为13t ≤≤或3t ≤≤，。
2014年北京市中考数学试卷(附答案与解析)
数学试卷 第1页（共28页） 数学试卷 第2页（共28页）绝密★启用前北京市2014年高级中等学校招生考试数 学本试卷满分120分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共32分)一、选择题(本大题共8小题,每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.2的相反数是( )A .2B .2-C .12-D .122.据报道,某小区居民李先生改进用水设备,在十年内帮助他居住小区的居民累计节水300000吨.将300000用科学记数法表示应为( )A .60.310⨯B .5310⨯C .6310⨯D .43010⨯ 3.如图,有6张扑克牌,从中随机抽取一张,点数为偶数的概率是( )A .16B .14C .13D .124.如图是某几何体的三视图,该几何体是( )A .圆锥B .圆柱C .正三棱柱D .正三棱锥5.某篮球队12名队员的年龄如下表所示：年龄18 19 20 21 人数5 41 2 则这12名队员年龄的众数和平均数分别是( ) A .18,19B .19,19C .18,19.5D .19,19.56.园林队在某公园进行绿化,中间休息了一段时间.已知绿化面积S (单位：平方米)与工作时间t (单位：小时)的函数关系的图象如图所示,则休息后园林队每小时绿化面积为 ( ) A .40平方米 B .50平方米 C .80平方米 D .100平方米7.如图,O 的直径AB 垂直于弦CD ,垂足是E ,22.5A ∠=,4OC =,CD 的长为( ) A .22 B .4 C .42 D .88.已知点A 为某封闭图形边界上一定点,动点P 从点A 出发,沿其边界顺时针匀速运动一周.设点P 运动的时间为x ,线段AP 的长为y ,表示y 与x 的函数关系的图象大致如图所示,则该封闭图形可能是( )ABCD第Ⅱ卷(非选择题 共88分)二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.请把答案填在题中的横线上) 9.分解因式：429ax ay -= .10.在某一时刻,测得一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m ,同时测得一根旗杆的影长为25m ,那么这根旗杆的高度为 m .11.如图,在平面直角坐标系xOy 中,正方形OABC 的边长为2.写出一个函数(0)ky k x=≠,使它的图象与正方形OABC 有公共点,这个函数的表达方式为 .毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共28页） 数学试卷 第4页（共28页）12.在平面直角坐标系xOy 中,对于点(,)P x y ,我们把点(1,1)P y x '-++叫做点P 的伴随点.已知点1A 的伴随点为2A ,点2A 的伴随点为3A ,点3A 的伴随点为4A ,…,这样依次得到点1A ,2A ,3A ,…,n A ,….若点1A 的坐标为(3,1),则点3A 的坐标为 ,点2014A 的坐标为 ；若点1A 的坐标为(),a b ,对于任意的正整数n ,点n A 均在x 轴上方,则a ,b 应满足的条件为 .三、解答题(本大题共13小题,共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)13.(本小题满分5分)如图,点B 在线段AD 上,BC DE ∥,AB ED =,BC DB =. 求证：A E ∠=∠.14.(本小题满分5分)计算：011(6π)()3tan30|5--+--+-.15.(本小题满分5分)解不等式1211232x x --≤,并把它的解集在数轴上表示出来.16.(本小题满分5分)已知x y -=,求代数式2(1)2(2)x x y y x +-+-的值.17.(本小题满分5分)已知关于x 的方程2(2)20(0)mx m x m -++=≠. (1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的两个实数根都是整数,求正整数m 的值.18.(本小题满分5分) 列方程或方程组解应用题：小马自驾私家车从A 地到B 地,驾驶原来的燃油汽车所需油费108元,驾驶新购买的纯电动车所需电费27元.已知每行驶1千米,原来的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动汽车所需的电费多0.54元,求新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费.19.(本小题满分5分)如图,在□ABCD 中,AE 平分BAD ∠,交BC 于点E ,BF 平分ABC ∠,交AD 于点F ,AE 与BF 交于点P ,连接EF ,PD .(1)求证：四边形ABEF 是菱形；(2)若4AB =,6AD =,60ABC ∠=,求tan ADP ∠的值.20.(本小题满分5分)根据某研究院公布的2009—2013年我国成年国民阅读调查报告的部分相关数据,绘制的统计图表如下：2013年成年国民倾向的阅读方式人数分布统计图FPECBADECBAD数学试卷 第5页（共28页） 数学试卷 第6页（共28页）根据以上信息解答下列问题： (1)直接写出扇形统计图中m 的值；(2)从2009到2013年,成年国民年人均阅读图书的数量每年增长的幅度近似相等,估算2014年成年国民年人均阅读图书的数量约为 本；(3)2013年某小区倾向图书阅读的成年国民有990人,若该小区2014年与2013年成年国民的人数基本持平,估算2014年该小区成年国民阅读图书的总数量约为 本.21.(本小题满分5分)如图,AB 是O 的直径,C 是AB 的中点,O 的切线BD 交AC 的延长线于点D ,E 是OB 的中点,CE 的延长线交切线DB 于点F ,AF 交O 于点H ,连接BH .(1)求证：AC CD =； (2)若2OB =,求BH 的长.22.(本小题满分5分) 阅读下面材料：小腾遇到这样一个问题：如图1,在ABC △中,点D 在线段BC 上,75BAD ∠=,30CAD ∠=,2AD =,2BD DC =,求AC 的长.小腾发现,过点C 作CE AB ∥,交AD 的延长线于点E ,通过构造ACE △,经过推理和计算能够使问题得到解决(如图2).请回答：ACE ∠的度数为 ,AC 的长为 . 参考小腾思考问题的方法,解决问题：如图3,在四边形ABCD 中,90BAC ∠=,30CAD ∠=,75ADC ∠=,AC 与BD 交于点E ,2AE =,2BE ED =,求BC 的长.23.(本小题满分7分)在平面直角坐标系xOy 中,抛物线22y x mx n =++经过点2(0,)A -,(3,4)B . (1)求抛物线的表达式及对称轴；(2)设点B 关于原点的对称点为C ,点D 是抛物线对称轴上一动点,记抛物线在A ,B 之间的部分为图象G (包含A ,B 两点).若直线CD 与图象G 有公共点,结合函数图象,求点D 纵坐标t 的取值范围.毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第7页（共28页） 数学试卷 第8页（共28页）24.(本小题满分7分)在正方形ABCD 外侧作直线AP ,点B 关于直线AP 的对称点为E ,连接,BE DE ,其中DE 交直线AP 于点F .(1)依题意补全图1；(2)若20PAB ∠=,求ADF ∠的度数；(3)如图2,若4590PAB ∠＜＜,用等式表示线段,,AB FE FD 之间的数量关系,并证明.25.(本小题满分8分)对某一个函数给出如下定义：若存在实数0M ＞,对于任意的函数值y ,都满足M y M -≤≤,则称这个函数是有界函数.在所有满足条件的M 中,其最小值称为这个函数的边界值.例如,下图中的函数是有界函数,其边界值是1.(1)分别判断函数1y x=(0)x ＞和1(42)y x x =+-＜≤是不是有界函数？若是有界函数,求其边界值；(2)若函数1y x =-+(,)a x b b a ≤≤＞的边界值是2,且这个函数的最大值也是2,求b 的取值范围；(3)将函数2(1,0)y x x m m =-≤≤≥的图象向下平移m 个单位,得到的函数的边界值是t ,当m 在什么范围时,满足314t ≤≤？北京市2014年高级中等学校招生考试数学答案解析5/ 14数学试卷 第11页（共28页）数学试卷 第12页（共28页）【解析】22.5A =∠sin OC COE =∠，又AB CD ⊥【考点】圆周角定理，垂径定理，解直角三角形. 【答案】A【解析】因为由图象看，点AP 是先增大再减小，直到半周的位置而当点动半周时，AP 是先增大再减小再增大；当点P 沿正方形边界运动半周时，第Ⅱ卷【答案】证明：BC DE∥EDB中，ABABCBC⎧⎪⎨⎪⎩∠，A∴=∠【考点】平行线的性质，全等三角形的判定和性质不等式的解集在数轴上表示如下：7/ 14数学试卷 第15页（共28页）数学试卷 第16页（共28页）x y -=【考点】代数式的化简求值17.【答案】）证明：0m ≠，2(mx m ∴-是关于x 的一元二次方程(2)m m =-2(2)m -≥∴方程总有两个实数根（2）由求根公式，得11x ∴=，方程的两个根都是整数，且19.【答案】（1）证明：BF 是ABC ∠的平分线，AD BC ∥AFB ∴=∠同理AB =∴四边形ABEF AB AF =9 / 14(2)过点P 作PG AD ⊥于点G ，如图.四边形4AB =，12AP ∴=在Rt AGP △cos601AG AP ∴==，sin 603GP AP ==. 6AD =，5DG ∴=3tan 5ADP ∴=∠. 【考点】角平分线的定义，平行四边形及菱形的判定和性质，解直角三角形等20.【答案】（2）5.00AB 是O 的直径，C 是AB 的中点，AC BC ∴=.CAB CBA ∴∠=∠=BD 是O 的切线，可证CBD D ∠=∠=BC CD ∴=.AC ∴=数学试卷 第19页（共28页）数学试卷 第20页（共28页）OA OC =COE ∴∠=E 是OB CEO ∠=BF OC ∴=.2OB =，由勾股定理，得AF =90ABF AHB ∠=∠=4=55AB BF BH AF ∴=【考点】切线的性质，等腰直角三角形的性质，全等角形的判定与性质，勾股定理等22.【答案】解：ACE ∠解决问题：过点D 作DF AB ∥交AC 于点F .如图.2 BE ED=CAD∠=2ABFD=，ADC∠=AC AD∴=在Rt ABC△【考点】相似三角形的判定与性质，勾股定理等23.【答案】）点∴抛物线的对称轴为1x=.24.【答案】（1）补全图形，如图1所示.（2）连接AE，如图2.点AB AD=AED∴∠=2ADF∴∠ADF∴∠=（3）AB，数学试卷第23页（共28页）点=AB AD∴∠=ADE∠=又DGF22∴+FB FD22=BD AB【解析】轴对称的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，勾股定理等25.【答案】（1(=+-y xy函数的最大值是又函数的边界值是数学试卷第27页（共28页）。
浙江省金华市2014年中考数学试卷及答案【Word解析版】
浙江省金华市2014年中考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）（2014•金华）在数1，0，﹣1，﹣2中，最小的数是（）A．1B．0C．﹣1 D．﹣2考点：有理数大小比较．分析：根据正数大于0，0大于负数，可得答案．解答：解：﹣2＜﹣1＜0＜1，故选：D．点评：本题考查了有理数比较大小，正数大于0，0大于负数是解题关键．2．（3分）（2014•金华）如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（）A．两点确定一条直线B．两点之间线段最短C．垂线段最短D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直考点：直线的性质：两点确定一条直线．专题：应用题．分析：根据公理“两点确定一条直线”来解答即可．解答：解：经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线此操作的依据是两点确定一条直线．故选A．点评：此题考查的是直线的性质在实际生活中的运用，此类题目有利于培养学生生活联系实际的能力．3．（3分）（2014•金华）一个几何体的三视图如图，那么这个几何体是（）A．B．C．D．考点：由三视图判断几何体．分析：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．解答：解：由于俯视图为圆形可得几何体为球、圆柱或圆锥，再根据主视图和左视图可知几何体为圆柱与圆锥的组合体．故选：D．点评：考查学生对圆锥三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．4．（3分）（2014•金华）一个布袋里装有5个球，其中3个红球，2个白球，每个球除颜色外其他完全相同，从中任意摸出一个球，是红球的概率是（）A．B．C．D．考点：概率公式．分析：用红球的个数除以球的总个数即可．解答：解：∵布袋里装有5个球，其中3个红球，2个白球，∴从中任意摸出一个球，则摸出的球是红球的概率是：．故选D．点评：本题考查了概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比．5．（3分）（2014•金华）在式子，，，中，x可以取2和3的是（）A．B．C．D．考点：二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求得x的范围，进行判断．解答：解：A、x﹣2≠0，解得：x≠2，故选项错误；B、x﹣3≠0，解得：x≠3，选项错误；C、x﹣2≥0，解得：x≥2，则x可以取2和3，选项正确；D、x﹣3≥0，解得：x≥3，x不能取2，选项错误．故选C．点评：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．6．（3分）（2014•金华）如图，点A（t，3）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=，则t的值是（）A．1B．1.5 C．2D．3考点：锐角三角函数的定义；坐标与图形性质．分析：根据正切的定义即可求解．解答：解：∵点A（t，3）在第一象限，∴AB=3，OB=t，又∵tanα==，∴t=2．故选C．点评：本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．7．（3分）（2014•金华）把代数式2x2﹣18分解因式，结果正确的是（）A．2（x2﹣9）B．2（x﹣3）2C．2（x+3）（x﹣3）D．2（x+9）（x﹣9）考点：提公因式法与公式法的综合运用．分析：首先提取公因式2，进而利用平方差公式分解因式得出即可．解答：解：2x2﹣18=2（x2﹣9）=2（x+3）（x﹣3）．故选：C．点评：此题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解题关键．8．（3分）（2014•金华）如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1=20°，则∠B的度数是（）A．70°B．65°C．60°D．55°考点：旋转的性质．分析：根据旋转的性质可得AC=A′C，然后判断出△ACA′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠CAA′=45°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠A′B′C，然后根据旋转的性质可得∠B=∠A′B′C．解答：解：∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，∴AC=A′C，∴△ACA′是等腰直角三角形，∴∠CAA′=45°，∴∠A′B′C=∠1+∠CAA′=20°+45°=65°，由旋转的性质得，∠B=∠A′B′C=65°．故选B．点评：本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．9．（3分）（2014•金华）如图是二次函数y=﹣x2+2x+4的图象，使y≤1成立的x的取值范围是（）A．﹣1≤x≤3 B．x≤﹣1 C．x≥1 D．x≤﹣1或x≥3考点：二次函数与不等式（组）．分析：根据函数图象写出直线y=1下方部分的x的取值范围即可．解答：解：由图可知，x≤﹣1或x≥3时，y≤1．故选D．点评：本题考查了二次函数与不等式，此类题目，利用数形结合的思想求解是解题的关键．10．（3分）（2014•金华）一张圆心角为45°的扇形纸板盒圆形纸板按如图方式分别剪成一个正方形，边长都为1，则扇形和圆形纸板的面积比是（）A．5：4 B．5：2 C．：2 D．：考点：正多边形和圆；勾股定理．分析：先画出图形，分别求出扇形和圆的半径，再根据面积公式求出面积，最后求出比值即可．解答：解：如图1，连接OD，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCB=∠ABO=90°，AB=BC=CD=1，∵∠AOB=45°，∴OB=AB=1，由勾股定理得：OD==，∴扇形的面积是=π；如图2，连接MB、MC，∵四边形ABCD是⊙M的内接四边形，四边形ABCD是正方形，∴∠BMC=90°，MB=MC，∴∠MCB=∠MBC=45°，∵BC=1，∴MC=MB=，∴⊙M的面积是π×（）2=π，∴π÷（π）=，故选A．点评：本题考查了正方形性质，圆内接四边形性质，扇形的面积公式的应用，解此题的关键是求出扇形和圆的面积，题目比较好，难度适中．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11．（4分）（2014•金华）写出一个解为x≥1的一元一次不等式x+1≥2．考点：不等式的解集．专开放型．题：分析：根据不等式的解集，可得不等式．解答：解：写出一个解为x≥1的一元一次不等式 x+1≥2，故答案为：x+1≥2．点评：本题考查了不等式的解集，注意符合条件的不等式有无数个，写一个即可．12．（4分）（2014•金华）分式方程=1的解是x=2．考点：解分式方程．专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：2x﹣1=3，解得：x=2，经检验x=2是分式方程的解．故答案为：x=2．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．13．（4分）（2014•金华）小明从家跑步到学校，接着马上原路步行回家．如图是小明离家的路程y（米）与时间t（分）的函数图象，则小明回家的速度是每分钟步行80米．考点：函数的图象．分析：先分析出小明家距学校800米，小明从学校步行回家的时间是15﹣5=10（分），再根据路程、时间、速度的关系即可求得．解答：解：通过读图可知：小明家距学校800米，小明从学校步行回家的时间是15﹣5=10（分），所以小明回家的速度是每分钟步行800÷10=80（米）．故答案为：80．点评：本题主要考查了函数图象，先得出小明家与学校的距离和回家所需要的时间，再求解．14．（4分）（2014•金华）小亮对60名同学进行节水方法选择的问卷调查（每人选择一项），人数统计如图，如果绘制成扇形统计图，那么表示“一水多用”的扇形圆心角的度数是240°．考点：扇形统计图．分析：用周角乘以一水多用的所占的百分比即可求得其所占的圆心角的度数．解答：解：表示“一水多用”的扇形圆心角的度数是360°×=240°，故答案为：240°．点评：本题考查了扇形统计图的知识，能够从统计图中整理出进一步解题的信息是解答本题的关键．15．（4分）（2014•金华）如图，矩形ABCD中，AB=8，点E是AD上的一点，有AE=4，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连结EF交CD于点G．若G是CD的中点，则BC的长是7．考点：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质．分析：根据线段中点的定义可得CG=DG，然后利用“角边角”证明△DEG和△CFG全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=CF，EG=FG，设DE=x，表示出BF，再利用勾股定理列式求EG，然后表示出EF，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BF=EF，然后列出方程求出x的值，从而求出AD，再根据矩形的对边相等可得BC=AD．解答：解：∵G是CD的中点，AB=8，∴CG=DG=×8=4，在△DEG和△CFG中，，∴△DEG≌△CFG（ASA），∴DE=CF，EG=FG，设DE=x，则BF=BC+CF=AD+CF=4+x+x=4+2x，在Rt△DEG中，EG==，∴EF=2，∵FH垂直平分BE，∴BF=EF，∴4+2x=2，解得x=3，∴AD=AE+DE=4+3=7，∴BC=AD=7．故答案为：7．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，勾股定理，熟记各性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．16．（4分）（2014•金华）如图2是装有三个小轮的手拉车在“爬”楼梯时的侧面示意图，定长的轮架杆OA，OB，OC抽象为线段，有OA=OB=OC，且∠AOB=120°，折线NG﹣GH﹣HE﹣EF表示楼梯，GH，EF是水平线，NG，HE是铅垂线，半径相等的小轮子⊙A，⊙B与楼梯两边都相切，且AO∥GH．（1）如图2①，若点H在线段OB时，则的值是；（2）如果一级楼梯的高度HE=（8+2）cm，点H到线段OB的距离d满足条件d≤3cm，那么小轮子半径r的取值范围是（11﹣3）cm≤r≤8cm．考点：圆的综合题．分析：（1）作P为⊙B的切点，连接BP并延长，作OL⊥BP于点L，交GH于点M，求出ML，OM，根据=求解，（2）作HD⊥OB，P为切点，连接BP，PH的延长线交BD延长线为点L，由△LDH∽△LPB，得出=，再根据30°的直角三角形得出线段的关系，得到DH和r的关系式，根据0≤d≤3的限制条件，列不等式组求范围．解答：解：（1）如图2①，P为⊙B的切点，连接BP并延长，作OL⊥BP于点L，交GH 于点M，∴∠BPH=∠BPL=90°，∵AO∥GH，∴BL∥AO∥GH，∵∠AOB=120°，∴∠OBL=60°，在RT△BPH中，HP=BP=r，∴ML=HP=r，OM=r，∵BL∥GH，∴===，故答案为：．（2）作HD⊥OB，P为切点，连接BP，PH的延长线交BD延长线为点L，∴∠LDH=∠LPB=90°，∴△LDH∽△LPB，∴=，∵AO∥PB，∠AOD=120°∴∠B=60°，∴∠BLP=30°，∴DL=DH，LH=2DH，∵HE=（8+2）cm∴HP=8+2﹣r，PL=HP+LH=8+2﹣r+2DH，∴=，解得DH=r﹣4﹣1，∵0cm≤DH≤3cm，∴0≤r﹣4﹣1≤3，解得：（11﹣3）cm≤r≤8cm．故答案为：（11﹣3）cm≤r≤8cm．点评：本题主要考查了圆的综合题，解决本题的关键是作出辅助线，运用30°的直角三角形得出线段的关系．三、解答题（共8小题，满分66分）17．（6分）（2014•金华）计算：﹣4cos45°+（）﹣1+|﹣2|．考点：实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：原式第一项化为最简二次根式，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用负指数幂法则计算，最后一项利用负指数幂法则计算即可得到结果．解答：解：原式=2﹣4×+2+2=4．点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．（6分）（2014•金华）先化简，再求值：（x+5）（x﹣1）+（x﹣2）2，其中x=﹣2．考点：整式的混合运算—化简求值．专题：计算题．分析：原式第一项利用多项式乘以多项式法则计算，第二项利用完全平方公式展开，去括号合并得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．解答：解：原式=x2﹣x+5x﹣5+x2﹣4x+4=2x2﹣1，当x=﹣2时，原式=8﹣1=7．点评：此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．（6分）（2014•金华）在棋盘中建立如图的直角坐标系，三颗棋子A，O，B的位置如图，它们分别是（﹣1，1），（0，0）和（1，0）．（1）如图2，添加棋子C，使A，O，B，C四颗棋子成为一个轴对称图形，请在图中画出该图形的对称轴；（2）在其他格点位置添加一颗棋子P，使A，O，B，P四颗棋子成为一个轴对称图形，请直接写出棋子P的位置的坐标．（写出2个即可）考利用轴对称设计图案；坐标与图形性质．点：分析：（1）根据A，B，O，C的位置，结合轴对称图形的性质进而画出对称轴即可；（2）利用轴对称图形的性质得出P点位置．解答：解：（1）如图2所示：直线l即为所求；（2）如图1所示：P（0，﹣1），P′（﹣1，﹣1）都符合题意．点评：此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确把握轴对称图形的性质是解题关键．20．（8分）（2014•金华）一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图方式进行拼接．（1）若把4张、8张这样的餐桌拼接起来，四周分别可坐多少人？（2）若用餐的人数有90人，则这样的餐桌需要多少张？考点：规律型：图形的变化类．分析：（1）根据图形可知，每张桌子有4个座位，然后再加两端的各一个，于是n张桌子就有（4n+2）个座位；由此进一步求出问题即可；（2）由（1）中的规律列方程解答即可．解答：解：（1）1张长方形餐桌的四周可坐4+2=6人，2张长方形餐桌的四周可坐4×2+2=10人，3张长方形餐桌的四周可坐4×3+2=14人，…n张长方形餐桌的四周可坐4n+2人；所以4张长方形餐桌的四周可坐4×4+2=18人，8张长方形餐桌的四周可坐4×8+2=34人．（2）设这样的餐桌需要x张，由题意得4x+2=90解得x=22答：这样的餐桌需要22张．点评：此题考查图形的变化规律，首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，找出规律解决问题．21．（8分）（2014•金华）九（3）班为了组队参加学校举行的“五水共治”知识竞赛，在班里选取了若干名学生，分成人数相同的甲乙两组，进行了四次“五水共治”模拟竞赛，成绩优秀的人数和优秀率分别绘制成如图统计图．根据统计图，解答下列问题：（1）第三次成绩的优秀率是多少？并将条形统计图补充完整；（2）已求得甲组成绩优秀人数的平均数=7，方差=1.5，请通过计算说明，哪一组成绩优秀的人数较稳定？考点：折线统计图；条形统计图；加权平均数；方差．分析：（1）利用优秀率求得总人数，根据优秀率=优秀人数除以总人数计算；（2）先根据方差的定义求得乙班的方差，再根据方差越小成绩越稳定，进行判断．解答：解：（1）总人数：（5+6）÷55%=20，第三次的优秀率：（8+5）÷20×100%=65%，20×85%﹣8=17﹣8=9．补全条形统计图，如图所示：（2）=（6+8+5+9）÷4=7，S2乙组=×【（6﹣7）2+（8﹣7）2+（5﹣7）2+（9﹣7）2】=2.5，S2甲组＜S2乙组，所以甲组成绩优秀的人数较稳定．点评：本本题考查了优秀率、平均数和方差等概念以及运用．它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．22．（10分）（2014•金华）【合作学习】如图，矩形ABCD的两边OB，OD都在坐标轴的正半轴上，OD=3，另两边与反比例函数y=（k≠0）的图象分别相交于点E，F，且DE=2．过点E作EH⊥x轴于点H，过点F作FG⊥EH于点G．回答下面的问题：①该反比例函数的解析式是什么？②当四边形AEGF为正方形时，点F的坐标时多少？（1）阅读合作学习内容，请解答其中的问题；（2）小亮进一步研究四边形AEGF的特征后提出问题：“当AE＞EG时，矩形AEGF与矩形DOHE能否全等？能否相似？”针对小亮提出的问题，请你判断这两个矩形能否全等？直接写出结论即可；这两个矩形能否相似？若能相似，求出相似比；若不能相似，试说明理由．考点：反比例函数综合题．专题：综合题．分析：（1）①先根据矩形的性质得到D（2，3），然后利用反比例函数图象上点的坐标特征计算出k=6，则得到反比例函数解析式为y=；②设正方形AEGF的边长为a，则AE=AF=6，根据坐标与图形的关系得到B（2+a，0）），A（2+a，3），所以F点坐标为（2+a，3﹣a），于是利用反比例函数图象上点的坐标特征得（2+a）（3﹣a）=6，然后解一元二次方程可确定a的值，从而得到F点坐标；（2）当AE＞EG时，假设矩形AEGF与矩形DOHE全等，则AE=OD=3，AF=DE=2，则得到F点坐标为（3，3），根据反比例函数图象上点的坐标特征可判断点F（3，3）不在反比例函数y=的图象上，由此得到矩形AEGF与矩形DOHE不能全等；当AE＞EG时，若矩形AEGF与矩形DOHE相似，根据相似的性质得AE：OD=AF：DE，即==，设AE=3t，则AF=2t，得到F点坐标为（2+3t，3﹣2t），利用反比例函数图象上点的坐标特征得（2+3t）（3﹣2t）=6，解得t1=0（舍去），t2=，则AE=3t=，于是得到相似比==．解答：解：（1）①∵四边形ABOD为矩形，EH⊥x轴，而OD=3，DE=2，∴E点坐标为（2，3），∴k=2×3=6，∴反比例函数解析式为y=（x＞0）；②设正方形AEGF的边长为a，则AE=AF=6，∴B点坐标为（2+a，0）），A点坐标为（2+a，3），∴F点坐标为（2+a，3﹣a），把F（2+a，3﹣a）代入y=得（2+a）（3﹣a）=6，解得a1=1，a2=0（舍去），∴F点坐标为（3，2）；（2）当AE＞EG时，矩形AEGF与矩形DOHE不能全等．理由如下：假设矩形AEGF与矩形DOHE全等，则AE=OD=3，AF=DE=2，∴A点坐标为（5，3），∴F点坐标为（3，3），而3×3=9≠6，∴F点不在反比例函数y=的图象上，∴矩形AEGF与矩形DOHE不能全等；当AE＞EG时，矩形AEGF与矩形DOHE能相似．∵矩形AEGF与矩形DOHE能相似，∴AE：OD=AF：DE，∴==，设AE=3t，则AF=2t，∴A点坐标为（2+3t，3），∴F点坐标为（2+3t，3﹣2t），把F（2+3t，3﹣2t）代入y=得（2+3t）（3﹣2t）=6，解得t1=0（舍去），t2=，∴AE=3t=，∴相似比===．点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质和图形全等的性质、相似的性质；理解图形与坐标的关系；会解一元二次方程．23．（10分）（2014•金华）等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P．（1）若AE=CF；①求证：AF=BE，并求∠APB的度数；②若AE=2，试求AP•AF的值；（2）若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．分析：（1）①证明△ABE≌△CAF，借用外角即可以得到答案；②利用勾股定理求得AF 的长度，再用平行线分线段成比例定理或者三角形相似及求得的比值，即可以得到答案．（2）当点F靠近点C的时候点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时△ABP为等腰三角形，继而求得半径和对应的圆心角的度数，求得答案．点F靠近点B时，点P的路径就是过点B向AC做的垂线段的长度；解答：（1）①证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠C=∠CAB=60°，又∵AE=CF，在△ABE和△CAF中，，∴△ABE≌△CAF（SAS），∴AF=BE，∠ABE=∠CAF．又∵∠APE=∠ABP+∠BAP，∴∠APE=∠BAP+∠CAF=60°．∴∠APB=120°．②如图，过点E作EH∥BC，交AF于H，AM⊥BC，垂足为M，∵AE=CF=2，△ABC为等边三角形，AB=BC=AC=6，∴MF=1，AM=，根据勾股定理，AF=；∵EH∥BC，∴，∴，∴，∴AP•AF===12．（2）①当点F靠近点C的时候点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC 的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时△ABP为等腰三角形，且∠ABP=∠ABP=30°，∴∠AOB=120°，又∵AB=6，∴OA=，点P的路径是．（2）点F靠近点B时，点P的路径就是过点B向AC做的垂线段的长度；因为等边三角形ABC的边长为6，所以点P的路径的长度为：．点评：本题考查了等边三角形性质的综合应用以及相似三角形的判定及性质的应用，解答本题的关键是注意转化思想的运用．24．（12分）（2014•金华）如图，直角梯形ABCO的两边OA，OC在坐标轴的正半轴上，BC∥x轴，OA=OC=4，以直线x=1为对称轴的抛物线过A，B，C三点．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）已知直线l的解析式为y=x+m，它与x轴交于点G，在梯形ABCO的一边上取点P．①当m=0时，如图1，点P是抛物线对称轴与BC的交点，过点P作PH⊥直线l于点H，连结OP，试求△OPH的面积；②当m=﹣3时，过点P分别作x轴、直线l的垂线，垂足为点E，F．是否存在这样的点P，使以P，E，F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）①如答图1，作辅助线，利用关系式S△OPH=S△OMH﹣S△OMP求解；②本问涉及复杂的分类讨论，如答图2所示．由于点P可能在OC、BC、BK、AK、OA上，而等腰三角形本身又有三种情形，故讨论与计算的过程比较复杂，需要耐心细致、考虑全面．解答：解：（1）由题意得：A（4，0），C（0，4）．设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，则有，解得，∴抛物线的函数解析式为：y=﹣x2+x+4．（2）①当m=0时，直线l：y=x．∵抛物线对称轴为x=1，∴CP=1．如答图1，延长HP交y轴于点M，则△OMH、△CMP均为等腰直角三角形．∴CM=CP=1，∴OM=OC+CM=5．S△OPH=S△OMH﹣S△OMP=（OM）2﹣OM•OP=×（×5）2﹣×5×1=﹣=，∴S△OPH=．②当m=﹣3时，直线l：y=x﹣3．设直线l与x轴、y轴交于点G、点D，则G（3，0），D（﹣3，0）．假设存在满足条件的点P．a）当点P在OC边上时，如答图2﹣1所示，此时点E与点O重合．设PE=a（0＜a≤4），则PD=3+a，PF=PD=（3+a）．过点F作FN⊥y轴于点N，则FN=PN=PF，∴EN=|PN﹣PE|=|PF﹣PE|．在Rt△EFN中，由勾股定理得：EF==．若PE=PF，则：a=（3+a），解得a=3（+1）＞4，故此种情形不存在；若PF=EF，则：PF=，整理得PE=PF，即a=3+a，不成立，故此种情形不存在；若PE=EF，则：PE=，整理得PF=PE，即（3+a）=a，解得a=3．∴P（0，3）．b）当点P在BC边上时，如答图2所示，此时PE=4．设CP=a（0≤a≤2），则P（a，4）；设直线PE与直线l交点为Q，则Q（a，a﹣3），∴PQ=7﹣a．∴PF=（7﹣a）．与a）同理，可求得：EF=．若PE=PF，则（7﹣a）=4，解得a=7﹣4＞2，故此种情形不存在；若PF=EF，则PF=，整理得PE=PF，即4=•（7﹣a），解得a=3＞2，故此种情形不存在；若PE=EF，则PE=，整理得PF=PE，即（7﹣a）=4，解得a=﹣1，故此种情形不存在．∵A（4，0），B（2，4），∴可求得直线AB解析式为：y=﹣2x+8；联立y=﹣2x+8与y=x﹣3，解得x=，y=．设直线BC与直线l交于点K，则K（，）．c）当点P在线段BK上时，如答图2﹣3所示．设P（a，8﹣2a）（2≤a≤），则Q（a，a﹣3），∴PE=8﹣2a，PQ=11﹣3a，∴PF=（11﹣3a）．与a）同理，可求得：EF=．若PE=PF，则8﹣2a=（11﹣3a），解得a=1﹣2＜0，故此种情形不存在；若PF=EF，则PF=，整理得PE=PF，即8﹣2a=•（11﹣3a），解得a=3，符合条件，此时P（3，2）；若PE=EF，则PE=，整理得PF=PE，即（11﹣3a）=（8﹣2a），解得a=5＞，故此种情形不存在．d）当点P在线段KA上时，如答图2﹣4所示．∵PE、PF夹角为135°，∴只可能是PE=PF成立．∴点P在∠KGA的平分线上．设此角平分线与y轴交于点M，过点M作MN⊥直线l于点N，则OM=MN，MD=MN，由OD=OM+MD=3，可求得M（0，3﹣3）．又G（3，0），可求得直线MG的解析式为：y=（﹣1）x+3﹣3．联立直线MG：y=（﹣1）x+3﹣3与直线AB：y=﹣2x+8，可求得：P（1+2，6﹣4）．e）当点P在OA边上时，此时PE=0，等腰三角形不存在．综上所述，存在满足条件的点P，点P坐标为：（0，3）、（3，2）、（1+2，6﹣4）．点评：本题是二次函数压轴题，涉及二次函数的图象与性质、待定系数法、图形面积、勾股定理、角平分线性质等知识点，重点考查了分类讨论的数学思想．第（2）②问中涉及复杂的分类讨论，使得试题的难度较大．。
2014年北京市中考数学试卷-答案
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（2）连接 OC. OA OC ，OCA CAB 45 .
∠AFB ∠ABF ， AB AF 同理 AB BE . AF BE . 四边形 ABEF 是平行四边形.
AB AF ，四边形 ABEF 是菱形.
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(2)过点 P 作 PG AD 于点 G，如图.
四边形 ABEF 是菱形， ABC 60 ， △ABE 是等边三角形.
AB 4 ， AE AB 4 . AP 1 AE 2 .
3 【解析】待定系数法求函数解析式，在平面直角坐标系中比较的数值的大小. 24.【答案】（1）补全图形，如图 1 所示.
（2）连接 AE，如图 2.
点 E 与点 B 关于直线 AP 对称， AE AB ， EAP BAP 20 .
AB AD ， BAD 90 ， AE AD . AED ADF . 2ADF 40 90 180 . ADF 25 . （3）AB，FE，FD 满足的数量关系： FE2 FD2 2AB2 . 证明：连接 AE，BF，BD，设 BF 交 AD 于点 G，如图 3.
时，n 为正整数，n 等于原数的整数位数减 1；当原数的绝对值小于 1 时，n 为负整数，n 的绝对值等于原数 中左起第一个非零数前零的个数（含整数位上的零），即 300 000 3105 ，故选 B.
【考点】科学记数法. 3.【答案】D 【解析】六张扑克牌中有 2 张的点数是偶数，故 P（抽到的点数是偶数） 3 1 ，故选 D.
2024年北京市中考数学真题试卷及答案
2024年北京市中考数学真题试卷第一部分 选择题一、选择题（共16分,每题2分）第1-8题均有四个选项,符合题意的选项只有一个1. 下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 2. 如图,直线AB 和CD 相交于点O ,OE OC ⊥,若58AOC ∠=︒,则EOB ∠的大小为（ ）A. 29︒B. 32︒C. 45︒D. 58︒ 3. 实数a ,b 在数轴上的对应点的位置如图所示,下列结论中正确的是（ ）A. 1b >-B. 2b >C. 0a b +>D. 0ab > 4. 若关于x 的一元二次方程240x x c -+=有两个相等的实数根,则实数c 的值为（ ）A. 16-B. 4-C. 4D. 165. 不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球,除颜色外两个小球无其他差别．从中随机取出一个小球后,放回并摇匀,再从中随机取出一个小球,则两次都取到白色小球的概率为（ ） A. 34 B. 12 C. 13 D. 146. 为助力数字经济发展,北京积极推进多个公共算力中心的建设.北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为17410⨯Flops （Flops 是计算机系统算力的一种度量单位）,整体投产后,累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍,达到m Flops ,则m 的值为（ ）A. 16810⨯B. 17210⨯C. 17510⨯D. 18210⨯ 7. 下面是“作一个角使其等于AOB ∠”的尺规作图方法.（2）作射线O A '',以点O '为圆心,OC 长为半径画弧,交O A ''于点C ';以点C '为圆心,CD 长为半径画弧,两弧交于点D（3）过点D 作射线O B '',则A O B AOB '''∠=∠.上述方法通过判定C O D COD '''△≌△得到A O B AOB '''∠=∠,其中判定C O D COD '''△≌△的依据是（ ）A. 三边分别相等的两个三角形全等B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等8. 如图,在菱形ABCD 中,60BAD ∠=︒,O 为对角线的交点.将菱形ABCD 绕点O 逆时针旋转90︒得到菱形A B C D '''',两个菱形的公共点为E ,F ,G ,H .对八边形BFB GDHD E ''给出下面四个结论: ①该八边形各边长都相等②该八边形各内角都相等③点O 到该八边形各顶点的距离都相等④点O 到该八边形各边所在直线的距离都相等。