高2021届丹东一模 数学试题(含答案)
2
2
x1＋x2 x1－x2
因为 l 的斜率为 2，所以· y1－y2 ＝2，于是 OM 的斜率为 y1＋y2 ＝－1，选 C．
x1－x2
x1＋x2
8．解：
f (x)＝log2( 1 ＋1)定义域为{x|x＜－a－1 或 x＞－a}．因为 f (x)是奇函数，所以 x＋a
3．解： f (2)＝2，f (－2)＝－2，f ′(x)＝3x2－3，由 f (2)－f (－2)＝f ′(c)( 2＋2)可得 f ′(c)＝1，即
3c2－3＝1，c2＝±2 3∈[－2，2]，f (x)在[－2，2]上的“拉格朗日中值点”的个数为 2，选 3
B． 4．解：
在空间，若“三条直线两两相交”，三条直线相可以交于同一个点，此时这三条直线可
2 …………（12 分）
22．解： （1）f (x)定义域为 R，f ′(x)＝(x＋1)(ex－2) ．
数学试题参考答案第 4 页 （共 8 页）
当 x＜－1 或 x＞ln2 时，f ′(x)＞0，当－1＜x＜ln2 时，f ′(x)＜0，所以在(－∞，－1)单调
递增，在(－1，ln2)单调递减，在(ln2，＋∞)单调递增．
由题设可得 a6＋a7＝0，设{an}的的公比为 q，则 q＝－1． 因为(Sn－Sn＋1)－(Sn＋2－Sn)＝－2an＋1－an＋2＝－an＋1≠0， 所以 Sn－Sn＋1≠Sn＋2－Sn．
于是 Sn＋1，Sn，Sn＋2 不能成等差数列． …………（10 分）
18．解： （1）由题设及正弦定理可得 sinCcosA＋cosCsinA＋2sinBcosB＝0．
数学试题参考答案第 1 页 （共 8 页）
所以(15－8t)2＝(8t)2－15t2，解得 t＝1，或 t＝15．
舍去 t＝15，取 t＝1，得 a＝3，c＝5．
因此△ABC 的面积 S＝1acsinB＝15 3．
2
4
…………（12 分）
19．解法 1： （1）因为 AD∥平面 A1B1C1，平面 ADC1 与平面 A1B1C1 的交线为 l，所以 AD∥l．
能不在同一平面内；若“这三条直线在同一平面内”，他们之间有可能存在相互平行的直线，
此时三条直线未必两两相交．于是“三条直线两两相交”是“这三条直线在同一平面内”的
既不充分也不必要条件，选 D．
5．解：
因为|a＋b|＝ a2＋2a b＋b2＝ 2，a·(a＋b)＝a2＋a·b＝2，可得
cos<a，a＋b>＝ a·(a＋b) ＝ 2，而 0≤<a，a＋b>≤π，所以<a，a＋b>＝π，选 A．
…………（12 分）
【或者】若 a＞1，g ′′(x)＝ex－e-x≥0，g ′(x)在[0，＋∞)单调递增．
因为
g
′(0)＝2(1－a)＜0，g
′(ln2a)＝ 1 ＞0，所以存在 2a
x0∈(0，ln2a)，使得当
x∈(0，x0)
时， g ′(x)＜0，g (x)单调递减，g (x)＜g (0)＝0，①式不成立．
纤组成的 5G 传输设备可以正常工作的概率分别设为 P1，P2，P3，则
P1＝p2[C2kk--11pk-1(1－p)k＋P(k)]； P2＝2p(1－p)P(k)； P3＝(1－p)2[P(k)－C2kk-1pk(1－p)k-1]． 所以新增两根光纤这个 5G 传输设备正常工作的概率 P(k＋1)＝P1＋P2＋P3＝P(k)＋(2p－1)C2kk-1pk(1－p)k． 因此
＝(2p－1)C2kk-1pk(1－p)k-1＋P(k) ． 因此
P(k＋1)－P(k)＝(2p－1)C2kk-1pk(1－p)k． 由 0＜p＜1，(2p－1)C2kk-1pk(1－p)k-1＞0，可得12＜p＜1． 因此当 p 的取值范围为(1，1)时，新增两根光纤可以提高 5G 传输设备正常工作的概率．
|D→C|＝1，因为∠B1BC＝60°，所以 D(0，0，0)， C(1，0，0)，A(0， 3，0)，C1(2，0， 3)．
z
A1
C1
B1
所以A→C1＝(2，－ 3， 3)，D→A＝(0， 3，0)，A→C y A
＝(1，－ 3，0)．
设平面 DAC1 的法向量为 n1＝(x1，y1，z1)．
B
Cx D
B1 F
数学试题参考答案第 2 页 （共 8 页）
A B
E C
D
－C 的平面角，F 为 AC1 的中点．
设 BC＝2，因为∠B1BC＝60°，在△DB1C1 中，DC1＝
7．在△DCC1 中，CE＝
21． 7
因为
F
为
AC1 的中点，所以
CF＝
6． 2
在直角三角形 CEF 中，cos∠EFC＝ 35，即二面角 D－AC1－C 的余弦值为 35．
…………（4 分） （2）因为 f (x)＋f (－x)＝x(ex－e-x－2ax)是偶函数，所以 f (x)＋f (－x)≥0 等价于
当 x≥0 时，ex－e-x－2ax≥0．① 设 g (x)＝ex－e-x－2ax，g ′(x)＝ex＋e-x－2a． ex＋e-x≥2，当且仅当 x＝0 时等号成立，于是 g ′(x)≥2(1－a)．
n1·A→C1＝0， 则
n1·D→A＝0．
2x1－ 3y1＋ 3z1＝0，
即
取 n1＝( 3，0，－2)．
3y1＝0．
设平面 AC1C 的法向量为 n2＝(x2，y2，z2)．
n2·A→C1＝0， 则 n2·A→C＝0．
2x2－ 3y2＋ 3z2＝0，
即
取 n2＝( 3，1，－1)．
x2－ 3y2＝0．
|a||a＋b| 2
4
6．解：
1
由题设可得 0.1＝ma10，0.2＝ma20，可得 a＝2 10 ，m＝0.05．
由
0.5＝mat
可得
2
t 10
＝10，t＝
10
≈33，选
C．
lg3
7．解：
设 A(x1，y1)，B (x2，y2)，则 x12＋y12＝1， x22＋y2＝1，相减得 y1＋y2 · y1－y2 ＝－2．
方案二：选条件②．
…………（10 分）
设{an}的的公比为 q，由题设可得 q3＝－27，q＝－3． 因为(Sn－Sn＋1)－(Sn＋2－Sn)＝－2an＋1－an＋2＝an＋1≠0，所以 Sn－Sn＋1≠Sn＋2－Sn． 于是 Sn＋1，Sn，Sn＋2 不能成等差数列．
方案二：选条件③．
…………（10 分）
所以 sin(A＋C)＋2sinBcosB＝0． 因为 sin(A＋C)＝sinB≠0，所以 cosB＝－1．
2 因为 0＜B＜π，于是 B＝2π．
3
（2）因为 5a＝3c，可设 a＝3t，c＝5t．
…………（4 分）
因为△ABC 的周长为 15，所以 b＝15－8t．
因为 cosB＝－1，由余弦定理可得 b2＝(a＋c)2－ac． 2
P(k＋1)－P(k)＝(2p－1)C2kk-1pk(1－p)k．
由 0＜p＜1，(2p－1)C2kk-1pk(1－p)k-1＞0，可得12＜p＜1
．
因此当 p 的取值范围为(1，1)时，新增两根光纤可以提高 5G 传输设备正常工作的概率． 2
解法 2 （1）（2）同解法 1．
…………（12 分）
（3）2k－1 根光纤中至少 k 根能正常传输信号，这个 5G 传输设备才可以正常工作，故
因为 AD⊥平面 BB1C1C，所以平面 ADC1 平面 BB1C1C，交线为 DC1．过 C 在平面 BB1C1C
内作 CE⊥DC1，垂足为 E，则 CE⊥平面 ADC1．
过 E 在平面 ADC1 内作 EF⊥AC1，垂足为 F，连
A1
C1
结 CF，则 CF⊥AC1，所以∠EFC 是二面角 D－AC1
若 a≤1，g ′(x)≥0， g(x) 在[0，＋∞)单调递增，g (x)≥g (0)＝0，①式成立．
…………（8 分）
若 a＞1，当 x 满足 2＜ex＋e-x＜2a，即 0＜x＜ln(a＋ a2－1)时，g ′(x)＜0，g (x)单调递
减，g (x)＜g (0)＝0，①式不成立．
综上，实数 a 的取值范围(－∞，1]．
综上，实数 a 的取值范围(－∞，1]．
…………（12 分）
数学试题参考答案第 5 页 （共 8 页）
小题详解
1．解： 因为 M∩N＝M，N∪P＝P，所以 M⊆ N，N⊆ P，故 M⊆ P，因此 M∩P＝M，选 B．
2．解：
因为 z(1－2i)＝－3＋4i，所以|z||1－2i|＝|－3＋4i|，|z|＝ 5，因此 z·－z ＝|z|2＝5，选 A．
因为
错误!C2ki-1＝12错误!C2ki-1＝12·22k-1＝22k-2．
所以
数学试题参考答案第 3 页 （共 8 页）
P(k)＝(1)2k-122k-2＝1．
2
2
…………（8 分）
（3）2k－1 根光纤中至少 k 根能正常传输信号，这个 5G 传输设备才可以正常工作，故
P(k)＝错误!C2ki-1pi(1－p)2k-1-i． 新增的两根光纤都能正常工作、仅有一个能正常工作、都不能正常工作时，2k＋1 根光
…………（6 分）
设直线 PA1，PA2 斜率分别为 k1，k2，因为 A1(－2，0)，A2(2，0)，则
k1k2＝
y0 · x0＋2
y0 ＝ x0－2
y02 ＝ y02 ＝1． x02－4 4y02 4
直线
PA1
方程为
y＝k1(x＋2)，直线
PA2
方程为
y＝ 1 (x－2)，x＝1 4k1
辽宁省丹东市2021版中考数学一模试卷D卷
辽宁省丹东市2021版中考数学一模试卷D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共15题；共30分)1. （2分） (2016七上·萧山月考) 在（每两个1之间依次多一个3 ）中，无理数的个数是（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个2. （2分） 2012年1月21日，北京市环保监测中心开始在其官方网站上公布PM2.5的研究性监测数据. PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025米即2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物. 把0.0000025用科学记数法表示为（）A . 0.25×10-5B . 2.5×10-5C . 2.5×10-6D . 25×10-73. （2分）下面的计算正确的是（）A . 3x2•4x2=12x2B . x3•x5=x15C . x4÷x=x3D . （x5）2=x74. （2分）对于非零实数a、b，规定a⊗b=．若2⊗（2x﹣1）=1，则x的值为（）A .B .C .D .5. （2分）(2020·苏州模拟) 如图在一笔直的海岸线l上有相距3km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l 的距离是（）kmA .B .C .D .6. （2分）李老师要从包括小明在内的四名班委中，随机抽取2名学生参加学生会选举，抽取小明的概率是（）A .B .C .D .7. （2分）(2018·秀洲模拟) 在学校开展的“美德少年”评选活动中，编号1，2，3，4，5的五位同学的最终成绩如下表所示：参赛者编号12345成绩/分9388909190这五位同学最终成绩的众数和中位数依次是（）A . 88，90B . 90，90C . 91，90D . 90，918. （2分）(2020·山西模拟) 化简的结果是（）A .B .C .D .9. （2分）在同一个平面内有三条直线，若有且只有两条直线平行，则它们（）A . 没有交点B . 只有一个交点C . 有两个交点D . 有三个交点10. （2分） (2015九上·潮州期末) 如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当AB=2，∠B=60°时，AC等于（）A .B . 2C .D . 211. （2分）(2017·港南模拟) 如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC 交圆O于点F，则∠BAF等于（）A . 12.5°B . 15°C . 20°D . 22.5°12. （2分） (2020八下·北京期中) 顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点所构成的四边形一定是（）A . 矩形B . 菱形C . 正方形D . 不确定13. （2分）如图，在四边形纸片ABCD中，∠B＝120°，∠D＝50°，现将其右下角向内折出三角形PC′R，使C′P∥AB，RC′∥AD，则∠C的度数是（）A . 90°B . 95°C . 100°D . 105°14. （2分） (2016九上·云梦期中) 已知二次函数y=x2﹣2x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0的两个实数根是（）A . x1=1，x2=2B . x1=1，x2=3C . x1=﹣1，x2=2D . x1=﹣1，x2=315. （2分） (2020九下·武汉月考) 对于反比例函数，下列说法正确的个数是（）①函数图象位于第一、三象限；②函数值 y 随 x 的增大而减小；③若 A(-1，），B（2，），C(1， )是图象上三个点，则 < < ；④P 为图象上任一点，过 P 作PQ⊥y 轴于点 Q，则△OPQ 的面积是定值（）A . 1 个B . 2 个C . 3 个D . 4 个二、填空题 (共6题；共6分)16. （1分） (2019七上·德阳月考) 已知，，且，则 ________.17. （1分） (2017七下·无棣期末) 定义新运算：对于任意实数a，b都有：a⊕b＝a(a+b)＋1，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．如：2⊕5＝2×(2+5)＋1＝2×7＋1＝15，那么不等式-3⊕x＜13的解集为________18. （1分）(2020·珠海模拟) 因式分解：a2b﹣25b＝________．19. （1分）(2017·东胜模拟) 等腰三角形ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点A（﹣6，0），点B在原点，CA=CB=5，把等腰三角形ABC沿x轴正半轴作无滑动顺时针翻转，第一次翻转到位置①，第二次翻转到位置②…依此规律，第15次翻转后点C的横坐标是________．20. （1分）(2017·开江模拟) 如图，点B、C把分成三等分，ED是⊙O的切线，过点B、C分别作半径的垂线段，已知∠E=45°，半径OD=1，则图中阴影部分的面积是________．21. （1分）(2019·拱墅模拟) 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左侧墙上与地面成60°角时，梯子顶端距离地面2 米，若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右端时，与地面成45°，则小巷的宽度为________米（结果保留根号）.三、解答题 (共7题；共69分)22. （10分）已知抛物线的解析式为（1）求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点；（2）若此抛物线与直线y=x-3m+4的一个交点在y轴上，求m的值.．23. （11分） (2019九上·中原月考) 如图1，△ABC为等腰三角形，AB=AC=a，P点是底边BC上的一个动点，PD∥AC，PE∥AB.（1）用a表示四边形ADPE的周长为________；（2）点P运动到什么位置时，四边形ADPE是菱形，请说明理由；（3）如果△ABC不是等腰三角形(图2)，其他条件不变，点P运动到什么位置时，四边形ADPE是菱形(不必说明理由).24. （10分）(2020·常州) 某水果店销售苹果和梨，购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千克梨共需22元.（1）求每千克苹果和每千克梨的售价；（2）如果购买苹果和梨共15千克，且总价不超过100元，那么最多购买多少千克苹果？25. （8分）(2014·深圳) 关于体育选考项目统计图项目频数频率A80bB c0.3C200.1D400.2合计a1（1）求出表中a，b，c的值，并将条形统计图补充完整．表中a=________，b=________，c=________．（2）如果有3万人参加体育选考，会有多少人选择篮球？26. （15分）(2019·龙湖模拟) 如图，A（4，3）是反比例函数y= 在第一象限图象上一点，连接OA，过A作AB∥x轴，截取AB=OA（B在A右侧），连接OB，交反比例函数y= 的图象于点P．（1）求反比例函数y=的表达式；（2）求点B的坐标；（3）求△OAP的面积．27. （5分） (2019八上·榆树期中) 【教材呈现】下图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容例4如图13．2．13，在△ABC中，D是边BC的中点，过点C画直线CE，使CE∥AB，交AD的延长线于点E。
辽宁省丹东市2020-2021学年高一下学期期末考试教学质量监测数学试题
2020-2021学年辽宁省丹东市高一（下）期末数学试卷一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知向量，，若，则＝（）A．﹣3B．﹣C．D．33．用与球心距离为1的平面去截球所得的截面面积为π，则球的表面积为（）A．2πB．4πC．8πD．4．下列命题正确的是（）A．如果直线m平行于直线n，则m平行于经过n的任何一个平面B．如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行C．过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行D．如果一条直线与一个平面平行，则它与该平面内的任何直线都平行5．若z＝1﹣i，则|z•﹣2z|＝（）A．0B．1C．D．26．在△ABC中，cos A+sin A＝，则cos A﹣sin A＝（）A．±B．±C．﹣D．7．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别棱B1C1，D1C1的中点，若AB＝2，则棱台MNC1﹣BDC的体积为（）A．B．C．D．8．在△ABC中，A＝，AB＝4，则|4﹣|的最小值是（）A．4B．4C．6D．6二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．在平面直角坐标系中，集合中的元素所表示角的终边不会出现在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限10．以下的A，B，C，D四个结论对于任意非零实数a，b都成立，那么对于任意非零复数a，b仍然成立的是（）A．a+≠0B．若a2＝ab，则a＝bC．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．|a|2＝a211．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若C＝75°，a＝2b cos B，则A的可能取值为（）A．30°B．35°C．45°D．70°12．将函数y＝sin x的图像向左平行移动个单位，再将所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数y＝f（x）的图像，那么（）A．B．若x1，x2是f（x）的2个零点，则x1﹣x2＝，k∈ZC．函数y＝f（x）﹣0.9在（﹣π，π）内有4个零点D．若f（x+φ）是奇函数，则|φ|的最小值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
辽宁省部分重点高中2021届高三第一学期联考数学试题及答案
高三考试数学试卷考生注意：1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2.请将各大题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语、函数与导数、三角函数与解三角形、向量、数列、复数、不等式、立体几体、解析几何.第I卷一、选择题1.设集合A = {x∖-2<x≤∖}, B = {x∣-x2-3x + 4>θ},则ACB=（）2. "Λ∈Q"是^XeZ f9的(A. (-4J)B. (-2,1] D. (—2,1)A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件3・复数的虚部为（（1 +万A.4.A.丄2λ C rιl Sin^-2cos^若tan6> = 3> 则-----------3 sin + cos4B. —一110B. C. 1・-I2D.D.1・-Z2310 5.已知向量α = (2,4), b= (l√ι) > 若Clllb则3a - Hb =()A. B.A. /(x)图象的对称中心为(——+ —^-,0∈ Z)7. 朱载境是明太祖朱元璋的九世孙，虽然贵为藩王世子，却自幼俭朴敦本，聪颖好学，遂成为明代著名的 律学家，历学家、音乐家.朱载1育对文艺的最大贡献是他创建下十二平均律，亦称“十二等程律”.十二平 均律是将八度的音程按频率比例分成十二等份，也就是说，半单比例应该是2吉，如果12音阶中第一个音 的频率是F ,那么第二个音的频率就是2⅛F ,第三个单的频率就是2⅛y7 ,第四个音的频率是2⅛f .……， 第十二个音的频率是2詈尸，第十三个音的频率是2罟尸，就是2F.在该问题中，从第二个音到第十三个 音，这十二个音的频率之和为( ).8 •如图，在四而体ABCD 中，AB = CD = 3, AC = BD = 皿 AD = BC = 2® ΛABC 的重心为0, 则 DO=( ).二. 选择题9.已知命题p ：Vx>0, InX>0,贝∣J ( A. rP 是真命题 -n/?:3x>0, lav≤O10.已知函数Z(X) = 2COS 2 6yχ + √3 sin 2ωx(ω > 0),若/⑴ 的最小正周期为G 则下列说法正确的有 B. 函数y = ∕(χ)-2在[O,刃上有且只有两个零点A. 2FC.——2π-lC."是真命题C./(X)的单调递增区间为一£ +炽,? +畑(ZceZ).3 6 」D.将函数y = 2sin2x+1的图象向左平移+个单位长度，可得到/(x)的图彖1厶11.已知正方体ABCD-A^CP X的棱长为2, E, F分别是AA , CCI的中点，过f, F的平而α与该正方体的每条棱所成的角均相等，以平而Q截该正方体得到的截而为底而，以为顶点的棱锥记为棱锥 C，则( )A.正方体ABCD-A I B I C I D I的外接球的体积为4血4B.正方体ABCD-A I B I C i D l的内切球的表而积为一穴C.棱锥Q的体积为33D.棱锥G的体积为=22 212.已知双曲线C：二一二= l(α>O">O)与直线y = d交于A, B两点，点P为C上一动点，记直线Cr ∖yPA, PB的斜率分別为紡…kp li, C的左、右焦点分別为F^F2.若k pλ∙k pii=^t且C的焦点到渐近线的距离为1,则下列说法正确的是( )A. a = 2B.C的离心率为2C.若P斤丄PF2,则斤巧的而积为2D.若片佗的面积为2巧，则济竹为钝角三角形第II卷三、填空题[2v,x≤0. X13.已知函数/U) = 「,则/(6)= ________ .J (x-3),x >0214.已知直线/与直线x-y + 2 = 0平行，且与曲线y = ∖nx一一 + 1相切，则直线/的方程是_____ ・X15.若nι>Of n >0^ m+n = Smn-I > 贝∣J"7+"的最小值为__________16.已知直线x + 3y-7 = O 与椭圆—+ C = 1（O<∕9<3）相交于4〃两点•椭圆的两个焦点分别是F p F., 9 Ir线段AB 的中点为C(l,2),则△(?斤佗的面积为 _________ 四、解答题I — 1 1 /1 λ0_ 17. (1)化简：√82+ Iog 9 8XIog 2 27 + 0.064 3-164 + - 一扬T .7 >(2)已知T = 3 , 2" =5,求Iogi 2 20(用加皿表示)・18・在φa + c = y ∕3b 且 2sir√ B = 3sin AsinC ，® (SinA -SinC)2=sin 2B-SinASinC, (^)ΛABC 的 而积S = W -U这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并作答.4问题：在AABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为gb,c,且 _____________ .（1）求 sinB ：（2）若a = 2c,且厶ABC 的而积为2√3>求厶ABC 的周长・ 注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分. 19 •设正项数列｛©｝的前刃项和为a l =l 9且S^=S tt +2y ∣S^ + ∖. （1）证明：数列｛、何］是等差数列并求数列｛©｝的通项公式;⑵已知化=詁「，数列｛$｝的前"项的和为人，若T n <λ LJn 求久的取值范用・20. 如图，在四棱锥P-ABCD 底而ABCD 是正方形，侧而PAD 是边长为2的正三角形，PD 丄CD •点E 为线段PC 的中点，点F 是43上的点.21. 已知函数/（x ） = （x-l ）e r（1）求/（x ）的最值：—+ 一js,）对一切 n ∈ N* 恒成立,（1）当F 为43中点时，证明：平而DEF 丄平而PCD(2)若/(x) +JnInX+ x + "对xw(0,+oo)恒成立，求"的取值范用.22.抛物线C-.x2 =2Py(P >0)的焦点为F ,过F且垂直于，轴的直线交抛物线C于M, N两点，。
辽宁省丹东市2021届新高考数学一模考试卷含解析
辽宁省丹东市2021届新高考数学一模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列命题是真命题的是（ ）A ．若平面α，β，γ，满足αγ⊥，βγ⊥，则//αβ；B ．命题p ：x R ∀∈，211x -≤，则p ⌝：0x R ∃∈，2011x -≤；C ．“命题p q ∨为真”是“命题p q ∧为真”的充分不必要条件；D ．命题“若()110xx e -+=，则0x =”的逆否命题为：“若0x ≠，则()110xx e -+≠”.【答案】D 【解析】 【分析】根据面面关系判断A ；根据否定的定义判断B ；根据充分条件，必要条件的定义判断C ；根据逆否命题的定义判断D. 【详解】若平面α，β，γ，满足αγ⊥，βγ⊥，则,αβ可能相交，故A 错误； 命题“p ：x R ∀∈，211x -≤”的否定为p ⌝：0x R ∃∈，2011x ->，故B 错误；p q ∨为真，说明,p q 至少一个为真命题，则不能推出p q ∧为真；p q ∧为真，说明,p q 都为真命题，则p q∨为真，所以“命题p q ∨为真”是“命题p q ∧为真”的必要不充分条件，故C 错误；命题“若()110xx e -+=，则0x =”的逆否命题为：“若0x ≠，则()110xx e -+≠”，故D 正确；故选D 【点睛】本题主要考查了判断必要不充分条件，写出命题的逆否命题等，属于中档题.2．已知三棱锥,1,P ABC AC BC AC BC -==⊥且2,PA PB PB =⊥平面ABC ，其外接球体积为（ ）A ．43πB ．4πC ．323πD ．【答案】A 【解析】 【分析】由AC BC ⊥,PB ⊥平面ABC ,可将三棱锥P ABC -还原成长方体,则三棱锥P ABC -的外接球即为长方体的外接球,进而求解. 【详解】由题,因为2,1,AC BC AC BC ==⊥,所以223AB AC BC =+=,设PB h =,则由2PA PB =,可得232h h +=,解得1h =, 可将三棱锥P ABC -还原成如图所示的长方体,则三棱锥P ABC -的外接球即为长方体的外接球,设外接球的半径为R ,则22221(2)12R =++=,所以1R =,所以外接球的体积34433V R ππ==. 故选:A 【点睛】本题考查三棱锥的外接球体积,考查空间想象能力.3．正方体1111ABCD A B C D -，()1,2,,12i P i =L 是棱的中点，在任意两个中点的连线中，与平面11A C B 平行的直线有几条（ ）A ．36B ．21C ．12D ．6【答案】B 【解析】 【分析】先找到与平面11A C B 平行的平面，利用面面平行的定义即可得到. 【详解】考虑与平面11A C B 平行的平面148PP P ，平面10116P P P ，平面9523712P P P P P P ， 共有22623321C C C ++=， 故选：B.【点睛】本题考查线面平行的判定定理以及面面平行的定义，涉及到了简单的组合问题，是一中档题.4．二项式52x ⎫-⎪⎭的展开式中，常数项为（ ）A ．80-B ．80C ．160-D ．160【答案】A 【解析】 【分析】求出二项式52x ⎫-⎪⎭的展开式的通式，再令x 的次数为零，可得结果.【详解】解：二项式52x ⎫-⎪⎭展开式的通式为()()55225215512rrr rrr rrr T C x C x---+-+=-=-，令5202rr --+=，解得1r =， 则常数项为()11451280C -=-.故选：A. 【点睛】本题考查二项式定理指定项的求解，关键是熟练应用二项展开式的通式，是基础题. 5．设直线l 过点()0,1A -，且与圆C ：2220x y y +-=相切于点B ，那么AB AC ⋅=uuu r uuu r（ ） A ．3± B ．3CD ．1【答案】B 【解析】 【分析】过点()0,1A -的直线l 与圆C ：2220x y y +-=相切于点B ，可得0BA BC ⋅=uu r uu u r.因此()2AB AC AB AB BC AB AB BC ⋅=⋅+=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 222AB AC r ==-u u u r u u u r，即可得出.【详解】由圆C ：2220x y y +-=配方为()2211x y +-=，()0,1C ，半径1r =.∵过点()0,1A -的直线l 与圆C ：2220x y y +-=相切于点B ，∴0AB BC ⋅=u u u r u u u r；∴()2AB AC AB AB BC AB AB BC ⋅=⋅+=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2223AB AC r ==-=u u u r u u u r ；故选：B. 【点睛】本小题主要考查向量数量积的计算，考查圆的方程，属于基础题.6．已知平面向量()4,2a →=，(),3b x →=，//a b →→，则实数x 的值等于（ ） A ．6 B ．1C ．32D ．32-【答案】A 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示即可求解. 【详解】()4,2a →=Q ，(),3b x →=，//a b →→，432x ∴⨯=，即6x =， 故选：A 【点睛】本题主要考查了向量平行的坐标运算，属于容易题. 7． “1sin 2x =”是“2()6x k k Z ππ=+∈”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】1sin 2x =⇔2()6x k k Z ππ=+∈或52()6x k k Z ππ=+∈，从而明确充分性与必要性. 【详解】 ，由1sin 2x =可得：2()6x k k Z ππ=+∈或52()6x k k Z ππ=+∈， 即2()6x k k Z ππ=+∈能推出1sin 2x =，但1sin 2x =推不出2()6x k k Z ππ=+∈∴“1sin 2x =”是“2()6x k k Z ππ=+∈”的必要不充分条件故选B 【点睛】本题考查充分性与必要性，简单三角方程的解法，属于基础题.8．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一个焦点为F ，点,A B 是C 的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB 为直径的圆过F 且交C 的左支于,M N 两点，若|MN|=2，ABF ∆的面积为8，则C 的渐近线方程为（ ） A．y = B．3y x =± C ．2y x =± D ．12y x =±【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线的对称性可得'ABF AFF S S ∆∆=即8bc =，又222b MN c==，从而可得C 的渐近线方程.【详解】设双曲线的另一个焦点为'F ，由双曲线的对称性，四边形'AFBF 是矩形，所以'ABF AFF S S ∆∆=，即8bc =，由22222221x y c x yab ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，得：2b yc =±，所以222b MN c ==，所以2b c =，所以2b =，4c =，所以a =C的渐近线方程为3y x =±. 故选B 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，考查直线与圆的位置关系，考查数形结合思想与计算能力，属于中档题. 9．若复数z 满足1(120)z i -=,则复数z 在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】化简复数，求得24z i =+，得到复数在复平面对应点的坐标，即可求解. 【详解】由题意，复数z 满足1(120)z i -=，可得()()()10121024121212i z i i i i +===+--+， 所以复数z 在复平面内对应点的坐标为(2,4)位于第一象限 故选：A. 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何表示方法，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的表示方法求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.10．已知()f x 是定义在[]2,2-上的奇函数，当(]0,2x ∈时，()21x f x =-，则()()20f f -+=（ ） A ．3- B ．2C ．3D ．2-【答案】A 【解析】 【分析】由奇函数定义求出(0)f 和(2)f -． 【详解】因为()f x 是定义在[]22-,上的奇函数，(0)0f ∴=.又当(]0,2x ∈时，()()()2()21,22213x f x f f =-∴-=-=--=-，()()203f f ∴-+=-.故选：A ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性，掌握奇函数的定义是解题关键．11．已知向量,a b v v 满足||1,||a b ==v v ,且a v 与b v 的夹角为6π,则()(2)a b a b +⋅-=v v v v ( )A ．12B ．32-C ．12-D ．32【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的运算法则展开后利用数量积的性质即可. 【详解】221()(2)22312a b a b a b a b +⋅-=-+⋅=-+=v v v v v v v v .故选：A. 【点睛】本题主要考查数量积的运算，属于基础题.12．半正多面体(semiregular solid) 亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形为面的半正多面体.如图所示，图中网格是边长为1的正方形，粗线部分是某二十四等边体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．83B ．4C ．163D ．203【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图作出该二十四等边体如下图所示，求出该几何体的棱长，可以将该几何体看作是相应的正方体沿各棱的中点截去8个三棱锥所得到的，可求出其体积. 【详解】如下图所示，将该二十四等边体的直观图置于棱长为2的正方体中，由三视图可知，该几何体的棱长为2，它是由棱长为2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，∴该几何体的体积为11202228111323V =⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=，故选：D.【点睛】本题考查三视图，几何体的体积，对于二十四等边体比较好的处理方式是由正方体各棱的中点得到，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年中考一模考试《数学卷》含答案解析
数学中考综合模拟检测试题学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的)1.实数4的相反数是（ ） A. 14-B. -4C.14D. 42.如图是由4个相同的小正方体组成的一个立体图形，其主视图是（ ）A. B. C. D.3.2019年1月3日10时26分，“嫦娥四号”探测器飞行约380000千米，实现人类探测器首次在月球背面软着陆.数据380000用科学记数法表示为（ ） A. 38×104B. 3.8×104C. 3.8×105D. 0.38×1064.（2018乌鲁木齐）在平面直角坐标系xOy 中，将点()12N --，绕点O 旋转180°，得到的对应点的坐标是（ ）A. ()12， B. ()12-， C. ()12--， D. ()12-， 5.不等式组12220360x x -<⎧⎨-≤⎩的解集是（ ）A. 46x -<≤B. 4x ≤-或2x >C. 42x -<≤D. 24x ≤<6.下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A 正三角形B. 正五边形C. 等腰直角三角形D. 矩形7.化简()22x 的结果是（ ） A. x 4B. 2x 2C. 4x 2D. 4x8.在同一副扑克牌中抽取2张“方块”，3张“梅花”，1张“红桃”．将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为（ ） A.16B.13C.12D.239.如图，将矩形纸片ABCD 沿直线EF 折叠，使点C 落在AD 边的中点C′处，点B 落在点B′处，其中AB=9，BC=6，则FC′的长为（ ）A.103B. 4C. 4.5D. 510.二次函数2y ax bx c =++的图象如图，且,OA OC =则（ ）A. 1ac b +=B. 1ab c += C. 1bc a +=D. 以上都不是二、填空题(本题共6小题，每小题3分，共18分)11.如图，EABC ∆边CA 延长线上一点，过点E 作//ED BC ．若070BAC ∠=，050CED ∠=，则B ∠=________°．12.如图，∠AOE ＝∠BOE ＝15°，EF ∥OB ，EC ⊥OB 于C ，若EC ＝1，则OF ＝_____．13.为了建设“书香校园”，某校七年级的同学积极捐书，下表统计了七(1)班40名学生的捐书情况： 捐书(本) 3 4 5 7 10 人数 5710117该班学生平均每人捐书______本．14.中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x 两，牛每头y 两，根据题意可列方程组为_____________．15.如图，无人机于空中A 处测得某建筑顶部B 处的仰角为45，测得该建筑底部C 处的俯角为17．若无人机的飞行高度AD 为62m ，则该建筑的高度BC 为__m ．（参考数据：sin170.29≈，cos170.96≈，tan170.31≈）16.甲、乙两人在直线道路上同起点、同终点、同方向，分别以不同的速度匀速跑步1500米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发30秒后，乙才出发，在跑步的整个过程中，甲、乙两人的距离y(米)与甲出发的时间x(秒)之间的关系如图所示，则乙到终点时，甲距终点的距离是______米.三．解答下列各题(本题共4小题，其中17、18、19题9分、20题12分，共39分)17.计算：1332)182+18.化简： 2212(1)244x x xx x x +--÷--+ 19.如图，EF=BC ，DF=AC ，DA=EB ．求证：∠F=∠C ．20.某校为了解九年级学生每天参加体育锻炼的时间，从该校九年级学生中随机抽取20名学生进行调查，得到如下数据(单位：分钟)：306070103011570607590，，，，，，，，，，157040751058060307045，，，，，，，，，对以上数据进行整理分析，得到下列表一和表二：根据以上提供的信息，解答下列问题：()1填空：①a=，b=；②c=，d=；()2如果该校现有九年级学生200名，请估计该校九年级学生每天参加体育锻炼的时间达到平均水平及以上的学生人数．四、解答题(本题共3小题，其中21、22题各9分，23题10分，共28分)21.改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长（AD）16m，宽（AB）9m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为1122m，则小路的宽应为多少？22.如图，函数12y x=的图象与函数kyx=（x＞0）的图象相交于点P（4，m）．（1）求m，k的值；（2）直线y=3与函数12y x =的图象相交于点A ，与函数k y x=（x ＞0）的图象相交于点B ，求线段AB 长．23.如图，△ABC 中，AB ＝AC ，以AC 为直径的⊙O 交BC 于点D ，点E 为AC 延长线上一点，且DE 是⊙O 的切线．（1）求证：∠CDE ＝12∠BAC ； （2）若AB ＝3BD ，CE ＝4，求⊙O 的半径．五、解答题(本题共3小题，其中24题11分，25、26题各12分，共35分)24.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线112y x =+与y 轴，x 轴分别相交于点A B 、．点D 是x 轴上动点，点D 从点B 出发向原点O 运动，点E 在点D 右侧，2DE BD =．过点D 作DH AB ⊥于点,H 将DBH △沿直线DH 翻折，得到,DCH 连接CE ．设,BD t =DCH 与AOB 重合部分面积为.S 求：（1）求线段BC 的长(用含t 的代数式表示)；（2）求S 关于t 的函数解析式，并直接写出自变量t 的取值范围． 25.阅读下面材料，完成()()13-题． 数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，在ABC 中，,.BA BC AB kAC ==点F 在AC 上，点E 在BF 上，2BE EF =．点D 在BC 延长线上，连接,180AD AE ACD DAE ∠+∠=、．探究线段AD 与AE 的数量关系并证明．同学们经过思考后，交流了自己的想法：小明：“通过观察和度量，发现CAD ∠与EAB ∠相等．” 小亮：“通过观察和度量，发现FAE ∠与D ∠也相等．”小伟：“通过边角关系构造辅助线，经过进一步推理， 可以得到线段AD 与AE数量关系．”老师：“保留原题条件，延长图1中的,AE 与BC 相交于点H (如图2)，若知道DH 与AH 的数量关系，可以求出ABCH的值．”（1）求证：CAD EAB ∠=∠； （2）求ADAE的值(用含k 的式子表示)； （3）如图2，若,DH AH =则ABCH的值为 (用含k 的式子表示)． 26.已知抛物线2y x bx c =++过点A(m-2，n)， B （m+4，n ），C （m ，53n -）． （1）b=__________（用含m 的代数式表示）； （2）求△ABC 的面积； （3）当1222m x m ≤≤+时，均有6y m -≤≤，求m 的值．答案与解析一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的)1.实数4的相反数是（）A.14B. -4C.14D. 4【答案】B【解析】【分析】根据相反数的定义即可解答．【详解】∵符号相反，绝对值相等的两个数互为相反数，∴4的相反数是﹣4；故选B．【点睛】本题考查了相反数的定义，熟知只有符号不同的两个数互为相反数是解决问题的关键．2.如图是由4个相同的小正方体组成的一个立体图形，其主视图是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据三视图的概念即可快速作答.【详解】解：立体图形的主视图，即正前方观察到的平面图，即选项A符合题意；故答案为A.【点睛】本题考查了三视图的概念及正确识别主视图，解题的关键在于良好的空间想象能力.3.2019年1月3日10时26分，“嫦娥四号”探测器飞行约380000千米，实现人类探测器首次在月球背面软着陆.数据380000用科学记数法表示为（）A. 38×104B. 3.8×104C. 3.8×105D. 0.38×106【答案】C 【解析】 【分析】对于一个绝对值较大的数，用科学记数法写成10n a ⨯ 的形式，其中110a ≤<，n 是比原整数位数少1的数.【详解】380000=3.8×105. 故选C.【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．4.（2018乌鲁木齐）在平面直角坐标系xOy 中，将点()12N --，绕点O 旋转180°，得到的对应点的坐标是（ ）A. ()12， B. ()12-， C. ()12--， D. ()12-， 【答案】A 【解析】【详解】点N 绕着点O 旋转180°，恰好关于原点对称，点(1,2)N --的中心对称点为(1，2)，故选A ．5.不等式组12220360x x -<⎧⎨-≤⎩的解集是（ ）A. 46x -<≤B. 4x ≤-或2x >C. 42x -<≤D. 24x ≤<【答案】C 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，再确定出解集的公共部分即可得解. 【详解】解不等式12220x -<，得：4x >-， 解不等式360x -≤，得：2x ≤， 则不等式组的解集为42x -<≤， 故选C ．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 6.下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. 正三角形B. 正五边形C. 等腰直角三角形D. 矩形【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐一进行分析判断即可得.【详解】A．正三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；B．正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形；C．等腰直角三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；D．矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故选D．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．7.化简()22x的结果是（）A. x4B. 2x2C. 4x2D. 4x【答案】C【解析】【分析】利用积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可．【详解】(2x)²=2²·x²=4x²，故选C.【点睛】本题考查了积的乘方，解题的关键是掌握积的乘方的运算法则.8.在同一副扑克牌中抽取2张“方块”，3张“梅花”，1张“红桃”．将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为（）A. 16B.13C.12D.23【答案】A【解析】【分析】直接利用概率公式计算可得．【详解】解：从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为16，故选A．【点睛】本题主要考查概率公式，随机事件A 的概率P （A ）＝事件A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．9.如图，将矩形纸片ABCD 沿直线EF 折叠，使点C 落在AD 边的中点C′处，点B 落在点B′处，其中AB=9，BC=6，则FC′的长为（ ）A. 103B. 4C. 4.5D. 5【答案】D【解析】【分析】设FC ′=x ，则FD=9-x ，根据矩形的性质结合BC=6、点C ′为AD 的中点，即可得出C ′D 的长度，在Rt △FC ′D 中，利用勾股定理即可找出关于x 的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】设FC′=x ，则FD=9﹣x ，∵BC=6，四边形ABCD 为矩形，点C′为AD 的中点，∴AD=BC=6，C′D=3，在Rt △FC′D 中，∠D=90°，FC′=x ，FD=9﹣x ，C′D=3，∴FC′2=FD 2+C′D 2，即x 2=（9﹣x ）2+32，解得：x=5，故选D ．【点睛】本题考查了矩形的性质以及勾股定理，在Rt △FC′D 中，利用勾股定理找出关于FC′的长度的一元二次方程是解题的关键．10.二次函数2y ax bx c =++的图象如图，且,OA OC =则（ ）A. 1ac b +=B. 1ab c +=C. 1bc a +=D. 以上都不是【答案】A【解析】【分析】 根据题意可知，本题考察二次函数图像与系数的关系，根据图像与坐标轴的交点，运用两边相等求出交点坐标，代入坐标进行求解．【详解】∵OA OC =∴点A 、C 的坐标为(-c ，0)，(0，c)∴把点A 的坐标代入2y ax bx c =++得∴2=0ac bc c -+∴()10c ac b -+=∵0c ≠∴10ac b -+=∴1ac b +=故选A【点睛】本题考察二次函数图像与系数关系，解题关键是根据图像得出系数取值范围，再代入点的坐标进行解决． 二、填空题(本题共6小题，每小题3分，共18分)11.如图，E 为ABC ∆边CA 延长线上一点，过点E 作//ED BC ．若070BAC ∠=，050CED ∠=，则B ∠=________°．【答案】60【解析】【分析】利用平行线的性质，即可得到∠CED=∠C=50°，再根据三角形内角和定理，即可得到∠B 的度数．【详解】解：∵ED ∥BC ，∴∠CED=∠C=50°，又∵∠BAC=70°，∴△ABC中，∠B=180°-50°-70°=60°，故答案为60．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意运用两直线平行，内错角相等．12.如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于C，若EC＝1，则OF＝_____．【答案】2【解析】【分析】作EH⊥OA于H，根据角平分线的性质求出EH，根据直角三角形的性质求出EF，根据等腰三角形的性质解答即可．【详解】作EH⊥OA于H．∵∠AOE=∠BOE=15°，EC⊥OB，EH⊥OA，∴EH=EC=1，∠AOB=30°．∵EF∥OB，∴∠EFH=∠AOB=30°，∠FEO=∠BOE，∴EF=2EH=2，∠FEO=∠FOE，∴OF=EF=2．故答案2．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、角平分线的性质、平行线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．13.为了建设“书香校园”，某校七年级的同学积极捐书，下表统计了七(1)班40名学生的捐书情况：捐书(本) 3 4 5 7 10人数 5 7 10 11 7该班学生平均每人捐书______本．【答案】6【解析】【分析】利用加权平均数公式进行求解即可得. 【详解】该班学生平均每人捐书3547510711107640⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(本)， 故答案为6．【点睛】本题考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键.14.中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x 两，牛每头y 两，根据题意可列方程组为_____________．【答案】46483538x y x y +=⎧⎨+=⎩【解析】【分析】直接利用“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两”，分别得出方程得出答案．【详解】解：设马每匹x 两，牛每头y 两，根据题意可列方程组为： 46483538x y x y +=⎧⎨+=⎩ 故答案是：46483538x y x y +=⎧⎨+=⎩【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等式是解题关键．15.如图，无人机于空中A 处测得某建筑顶部B 处的仰角为45，测得该建筑底部C 处的俯角为17．若无人机的飞行高度AD 为62m ，则该建筑的高度BC 为__m ．（参考数据：sin170.29≈，cos170.96≈，tan170.31≈）【答案】262【解析】【分析】作AE BC ⊥于E ，根据正切的定义求出AE ，根据等腰直角三角形的性质求出BE ，结合图形计算即可．【详解】作AE BC ⊥于E ，则四边形ADCE 为矩形，62EC AD ∴==，在Rt AEC ∆中，tan EC EAC AE ∠=， 则62200tan 0.31EC AE EAC =≈=∠， 在Rt AEB ∆中，45BAE ∠=，200BE AE ∴==，20032262()BC m ∴=+=，则该建筑的高度BC 为262m ，故答案为262．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．16.甲、乙两人在直线道路上同起点、同终点、同方向，分别以不同的速度匀速跑步1500米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发30秒后，乙才出发，在跑步的整个过程中，甲、乙两人的距离y(米)与甲出发的时间x(秒)之间的关系如图所示，则乙到终点时，甲距终点的距离是______米.【答案】175【解析】试题解析：根据题意得，甲的速度为：75÷30=2.5米/秒，设乙的速度为m 米/秒，则（m -2.5）×（180-30）=75，解得：m =3米/秒，则乙的速度为3米/秒， 乙到终点时所用的时间为：15003=500（秒）， 此时甲走的路程是：2.5×（500+30）=1325（米），甲距终点的距离是1500-1325=175（米）．【点睛】本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息，理解并得到乙先到达终点，然后求出甲、乙两人所用的时间是解题的关键．三．解答下列各题(本题共4小题，其中17、18、19题9分、20题12分，共39分)17.计算：2)+【答案】-1．【解析】【分析】先利用平方差公式简便运算乘法，同时化简二次根式，再合并同类二次根式即可．【详解】解：2)+=3-4+=-1．【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，二次根式的化简，掌握利用平方差公式进行简便运算是解题的关键．18.化简： 2212(1)244x x x x x x +--÷--+ 【答案】3x ． 【解析】【分析】先通分，计算括号内的减法，把除法转化为乘法，约分后得到结论． 【详解】解：原式＝212(2)122()22(2)2x x x x x x x x x x x x+--+-+--÷=•----323.2x x x x-=•=- 【点睛】本题考查的是分式的化简，考查了分式的加减法，分式的除法，掌握以上运算是解题的关键． 19.如图，EF=BC ，DF=AC ，DA=EB ．求证：∠F=∠C ．【答案】见解析.【解析】【分析】欲证明∠F ＝∠C ，只要证明△ABC ≌△DEF(SSS)即可.【详解】证明：DA BE =，DE AB ∴=，在ABC ∆和DEF ∆中，AB DE AC DF BC EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()ABC DEF SSS ∴∆≅∆，C F ∴∠=∠．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质.20.某校为了解九年级学生每天参加体育锻炼的时间，从该校九年级学生中随机抽取20名学生进行调查，得到如下数据(单位：分钟)：306070103011570607590，，，，，，，，，，157040751058060307045，，，，，，，，，对以上数据进行整理分析，得到下列表一和表二：根据以上提供的信息，解答下列问题：()1填空：①a=，b=；②c=，d=；()2如果该校现有九年级学生200名，请估计该校九年级学生每天参加体育锻炼的时间达到平均水平及以上的学生人数．【答案】（1）①5，3；②65，70；（2）130人．【解析】【分析】（1）①根据数据统计出a、b；②根据中位数和众数的定义求出c，d即可；（2）先求出样本用样本达到平均水平及以上的学生的概率，然后用九年级学生数×样本达到平均水平及以上的学生的概率即可．【详解】解：()1①经统计：该组数据处于30≤t＜60的数据有5个, 处于90≤t＜120的数据有3个,∴a=5；b=3故答案为：5；3②将这组数据从小到大排序，位于第10个的数据是60，第11个的数据是70∴中位数为（60+70）÷2=65这组数据中出现次数最多的是70 ∴众数为70 ∴6570，c d==故答案为：65；70．()132********⨯=(人)，答：估计该校九年级学生每天参加体育锻炼的时间达到平均水平及以上的学生人数为130人．【点睛】本题考查中位数、众数、平均数、样本估计总体的思想等知识，掌握中位数、众数、平均数等基本知识是解答本题的关键．四、解答题(本题共3小题，其中21、22题各9分，23题10分，共28分)21.改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长（AD）16m，宽（AB）9m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为1122m，则小路的宽应为多少？【答案】小路的宽应为1m ．【解析】【分析】设小路的宽应为x 米，那么草坪的总长度和总宽度应该为（16-2x ），（9-x ）；那么根据题意得出方程，解方程即可．【详解】解：设小路的宽应为x 米，根据题意得：(162)(9)112x x --=，解得：11x =，216x =．∵169>，∴16x =不符合题意，舍去，∴1x =．答：小路的宽应为1米．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，弄清“草坪的总长度和总宽度”是解决本题的关键． 22.如图，函数12y x =的图象与函数k y x=（x ＞0）的图象相交于点P （4，m ）． （1）求m ，k 的值；（2）直线y=3与函数12y x =的图象相交于点A ，与函数k y x=（x ＞0）的图象相交于点B ，求线段AB 长．【答案】（1）m=2，k=8；（2）103．【解析】【分析】(1)将点P（4，m）代入y=x，求出m=2，再将点P（4，2）代入kyx=即可求出k的值；(2) 分别求出A、B两点的坐标，即可得到线段AB的长．【详解】（1）∵函数12y x=的图象过点P（4，m），∴m=2，∴P（4，2），∵函数kyx=（x＞0）的图象过点P，∴k=4×2=8；（2）将y=3代入12y x=，得x=6，∴点A（6，3）．将y=3代入8yx=，得x=83，∴点B（83，3）．∴AB=6﹣83=103．【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求函数解析式以及函数图象上点的坐标特征，解题时注意：点在图象上，点的坐标就一定满足函数的解析式．23.如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，点E为AC延长线上一点，且DE是⊙O 的切线．（1）求证：∠CDE＝12∠BAC；（2）若AB＝3BD，CE＝4，求⊙O的半径．【答案】（1）见解析；（2）14．【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得出∠ADC=90°，按照等腰三角形的性质和已知的2倍角关系，证明∠ODE为直角即可得到答案；（2）通过证得△CDE∽△DAE，根据相似三角形的性质即可求得．【详解】（1）如图，连接OD，AD，∵AC是直径，∴∠ADC＝90°，-∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴∠CAD＝∠BAD＝12∠BAC，∵DE是⊙O的切线；∴OD⊥DE∴∠ODE＝90°∴∠ADC＝∠ODE∴∠CDE＝∠ADO ∵OA＝OD，∴∠CAD＝∠ADO，∴∠CDE＝∠CAD，∠CAD＝12∠BAC，∴∠CDE＝12∠BAC．（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∵AB＝3BD，∴AC＝3DC，设DC＝x，则AC＝3x，∴AD2222,AC DC x-=∵∠CDE＝∠CAD，∠DEC＝∠AED，∴△CDE∽△DAE，∴CE DC DE DE AD AE∴==，即43422DE DE xx==+∴DE＝82,，x＝283，∴AC＝3x＝28，∴⊙O的半径为14．【点睛】本题考查了圆的切线的判定定理、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形相似的判定和性质，解题的关键是作出辅助线构造直角三角形或等腰三角形．五、解答题(本题共3小题，其中24题11分，25、26题各12分，共35分)24.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线112y x =+与y 轴，x 轴分别相交于点A B 、．点D 是x 轴上动点，点D 从点B 出发向原点O 运动，点E 在点D 右侧，2DE BD =．过点D 作DH AB ⊥于点,H 将DBH △沿直线DH 翻折，得到,DCH 连接CE ．设,BD t =DCH 与AOB 重合部分面积为.S 求：（1）求线段BC 的长(用含t 的代数式表示)；（2）求S 关于t 的函数解析式，并直接写出自变量t 的取值范围．【答案】（1）55t BC =；（2）222420536224825357734288523334t t S t t t t t t ⎧⎛⎫<≤ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-+-<≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-+<≤⎪ ⎪⎝⎭⎩ 【解析】【分析】（1）先根据直线112y x =+求得点A 、B 的坐标，利用勾股定理求得AB 的长，进而可求得5555sin ABO cos ABO ∠=∠=，由翻折知DB DC t ==，12BH CH BC ==，最后根据255BH cos ABO BD ∠==求得55t BH =，即可求得BC 的长； （2）分类讨论：当203t <≤时，当2534t <≤时，当524t <≤时，分别画出相应图形，然后利用相似三角形的性质分别表示出对应的底和高，进而可得S 关于t 的函数解析式即可． 【详解】解：()1∵直线112y x =+与y 轴，x 轴分别相交于点A B 、， ∴点()()012,0A B -，,，∴由勾股定理得22125AB =+=∴在直角AOB 中，525,55sin ABO cos ABO ∠=∠=， 由翻折知：DB DC t ==，12BH CH BC ==， 255BH cos ABO BD∠==， 255t BH ∴=， 455t BC ∴=， ()2当203t <≤时， 过点C 做CG BO ⊥于点G ，45CG t ∴=， 55CG sin ABO BC∴∠==， 45GC t ∴=， 14225S t t ∴=⨯⨯ 245t = 当2534t <≤时， 设OA 交CE 于点F ，45CD BD t GC t ===,， ∴由勾股定理得35GD t =，37255GE t t t ∴=-=， 382255GO t t t =--=-， 78 23255OE EG OG t t t ∴=-=-+=-， //OF CG ，EOFCGE ∴， OF OE CG OG∴=， ()4327OF t ∴=-， 12OFE S OE OF =⋅ ()()14323227t t =⋅-⋅- 222(73)t -= ， DCE OFE S S S =-∴2622483577t t =-+-， 当524t <≤时， 设CD 交OA 于点P ，//,OP CG,DOP DGC ∴OP OD CG DG∴=， 2OD t =-，()423OP OP t ∴==-，12S OD OP =⋅⋅∴ 2288333t t =-+， ∴综上所述，222420536224825357734288523334t t S t t t t t t ⎧⎛⎫<≤ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-+-<≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-+<≤⎪ ⎪⎝⎭⎩ 【点睛】本题考查了一次函数的图像与性质，解直角三角形、相似三角形的判定及性质，根据点D 的位置画出相应的图形然后运用分类讨论思想以及相似三角形的性质是解决本题的关键．25.阅读下面材料，完成()()13-题．数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，在ABC 中，,.BA BC AB kAC ==点F 在AC 上，点E 在BF 上，2BE EF =．点D 在BC 延长线上，连接,180AD AE ACD DAE ∠+∠=、．探究线段AD 与AE 的数量关系并证明．同学们经过思考后，交流了自己的想法：小明：“通过观察和度量，发现CAD ∠与EAB ∠相等．”小亮：“通过观察和度量，发现FAE ∠与D ∠也相等．”小伟：“通过边角关系构造辅助线，经过进一步推理， 可以得到线段AD 与AE 的数量关系．” 老师：“保留原题条件，延长图1中的,AE 与BC 相交于点H (如图2)，若知道DH 与AH 的数量关系，可以求出AB CH的值．”（1）求证：CAD EAB ∠=∠；（2）求AD AE的值(用含k 的式子表示)； （3）如图2，若,DH AH =则AB CH 的值为 (用含k 的式子表示)． 【答案】（1）证明见解析；（2）3AD AE k =；（3）2115AB k CH ++= 【解析】【分析】（1）由BA BC =可知BAC BCA ∠=∠，再通过180ACD DAE ∠+∠=以及平角为180°，可以得到CAD EAB ∠=∠；（2）方法一：过点C 做ACM ABE ∠=∠，交AD 于点M ，通过AEB AMC 可知AC AM CM AB AE BE ==，通过DCM AFE 可知DM CM AE EF =，通过比例关系可推导出AD AE的值；方法二：过点B 做//BN AC 交AE 延长线于点N ，通过AHC DHA 和ACD ABN 相似得到的比例关系即可可推导出AD AE的值； （3）同方法二辅助线，通过证明AHC DHA ，AFE NBE ，然后由对应边成比例即可推导出结论．【详解】()1BA BC =,BAC BCA ∴∠=∠180,ACD DAE ∠+∠=180,ACD ACB ∠+∠=∴∠=∠ADE ACB,∴∠=∠DAE BAC,∴∠=∠DAC BAE,()2方法一：∠=∠，交AD于点M 过点C做ACM ABE∠=∠,DAC BAE∴AEB AMCAC AM CM∴==AB AE BE=AB kAC1∴=AM AEk1=CM BEk=2BE EF2∴=CM FEk∠=∠+∠AEF EAB ABE∠=∠+∠DMC MAC ACM∴∠=∠DMC AEFACB D DAC∠=∠+∠∠=∠+∠DAE DAC FAEDAE ACB∠=∠∴∠=∠D FAE∴DCM AFEDM CM∴=AE EF2∴=DM AEk3∴=+=AD AM DM AEkAD3∴=AE k方法二：BN AC交AE延长线于点,N 过点B做//,∴∠=∠N FAE∠=∠,AFE EBN∴,AFE NBEAE EF∴=NE BE=BE EF2,∴=NE EA2,NA EA∴=3,∠=∠+∠ACB D DAC,DAE DAC FAE∠=∠+∠,DAE ACB∠=∠,∴∠=∠,D FAE,DAC BAE ∴∠=∠ ACD ABN ∴ AC AD AB AN ∴= ,AB kAC = ,AN kAD ∴= 3,AE kAC ∴= 3AD AE k ∴= ()3同方法二辅助线,D CAH ∠=∠ ,AHC DHA ∠=∠ AHC DHA ∴ 2AH HC DH ∴=⋅ 23AH AC DH AD == 23AD AC ∴= AB kAC = 32AD AB k ∴= 3AD AE k =12AE AB ∴= 设2AH a AB BC b ===,13,2DH a AE b ∴== 2NE AE =NE b ∴=EH AH AE EN NH =-=-322NH b a ∴=- 2AH HC DH =⋅43CH a ∴= 53CD a ∴= ∴由方法二相似得53BN ak = ADHNBH ' AD DH NB NH∴= 33253232b a k ak b a ∴=- 222912200b ab a k ∴--=(123a b -∴=（舍），(223ab +=12AB CH +∴= 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．26.已知抛物线2y x bx c =++过点A(m-2，n)， B （m+4，n ），C （m ，53n -）．（1）b=__________（用含m 的代数式表示）；（2）求△ABC 的面积；（3）当1222m x m ≤≤+时，均有6y m -≤≤，求m 的值．【答案】（1）b=-2m-2；（2）24；（3）m =． 【解析】【分析】（1）根据A(m-2，n)， B （m+4，n ）纵坐标一致，结合对称轴即可求解；（2）先用含m 的代数式表示c ，再带入A 点坐标即可求出n=3，最后利用铅锤法即可求出△ABC 的面积； （3）先用只含m 的代数式表示二次函数解析式，再结合带取值范围的二次函数最值求法分类讨论即可．【详解】（1）∵2y x bx c =++过点A(m-2，n)， B （m+4，n ）， ∴对称轴2422b m m x -++=-= ∴22b m =--(2)∵22b m =--∴2(22)y x m x c =-++把C （m ，53n -）代入2(22)y x m x c =-++ ∴2523c m m n =+-∴225(22)23y x m x m m n =-+++-把A(m-2，n)代入225(22)23y x m x m m n =-+++-得583n n =-∴n=3∴A(m-2，3)， B （m+4，3），C （m ，5-）∴AB=6C 点到x 轴的距离为：3﹣(-5)=8，∴S △ABC=12×6×8=24 (3)∵n=3∴22(22)25y x m x m m =-+++-∴2(1)6y x m =---∴当1x m =+时-6y =最小∵6y m -≤≤ ∴由函数增减性知11222m m m ≤+≤+ 即1m ≥-∴当10m -≤<时 由函数增减性知12x m =时，y m =最大 ∴21(1)62m m m =---∴m =±当0m ≥时由函数增减性知22x m =+时，y m =最大∴2(221)6m m m =+---∴1m =（舍）2m =∴12m -+=【点睛】本题考查二次函数综合运用，当参数比较多时可以带入解析式，利用解方程消元法消去多余的参数，在最后一问中对于带取值范围的二次函数最值需要根据对称轴与取值范围的关系确定范围内的最值．。
辽宁省丹东市2023-2024学年高三上学期11月阶段测试数学答案
丹东市2024届高三总复习阶段测试数学试题参考答案一、选择题1．C 2．A 3．D 4．B 5．D 6．B7．B8．A二、选择题三、填空题四、解答题17．【改编自B 版教材选择性必修三P98页例2】（1）解：因为)(x f 的定义域为R ，所以m x x f -='2)(，当0≤m 时，0)(≥'x f ，则)(x f 在R 上递增，当0>m ，解不等式02>-m x ，得m x -<或m x >，此时)(x f 递增，解不等式02<-m x ，得m x m <<-，此时)(x f 递减，综上所述，当0≤m 时)(x f 在R 上单调递增，当0>m 时，)(x f 在),(m --∞和)(∞+，m 上递增，)(x f 在),(m m -上递减．…………………（5分）（2）由（1）知，当0≤m 时)(x f 在R 上单调递增，故)(x f 不存在极值，当0>m 时，)(x f 在),(m m -上递减，)(x f 在)(∞+，m 上递增，所以)(x f 在m x =处取得极小值，所以344)(313-=+-m m m ，解得4=m ，故m 的值为4．…………………（10分）18．【改编自2022年乙卷理科15题】（1）解：因为0>ω，21)2sin()2(,2=+⋅==ϕωπωωπωπf T ，所以21sin =ω，2πϕ<，则6πϕ=，9．BD10．BCD11．ACD12．ABC13．414．3615．21-16．2321)63sin()3(=+⋅=ππωπf ，因为60<<ω，所以613636πππωπ<+⋅<，所以6563πππω=+⋅，所以2=ω，则62sin()(π+=x x f .…………………（6分）（2）解：当2,0(πα∈时，67620ππα<+<，且71)62sin(-=+πα，所以6762ππαπ<+<，所以73462cos(-=+πα，所以14136sin )62sin(6cos )62cos(]6)62cos[(2cos -=+++=-+=ππαππαππαα，由1413sin 212cos 2-=-=αα，得14213sin =α.…………………（12分）19．【改编自2023年新课表2卷17题】（1）解：因为△ABD 的面积是△ABC 的面积的21，所以2330sin 21=︒⋅⋅⋅AD c ，解得32=c ，在△ABD 中，由余弦定理得︒-+=30cos 21422c c a ，得72=a .…………………（6分）（2）方法一：解：令)0(παα<<=∠ADC ，αcos 2222⋅⋅-+=DC AD DC AD b ，)cos (2222α-⋅⋅-+=BD AD BD AD c ，所以222222a AD cb +=+，所以32=a ，又因为△ADC 的面积为23，所以23sin 21=⨯⨯⨯αDC AD ，1sin =α，所以2πα=，所以2==c b ．…………………（12分）方法二：延长AD 至E ，使AD=DE ，连接BE ，CE ，所以四边形ABEC 是平行四边形,由BAC AC AB AC AB BC ∠⋅⋅-+=cos 2222，ABE BE AB BE AB AE ∠⋅⋅-+=cos 2222，得22222+=+a c b ，解得32=a ，以下同方法一.…………………（12分）方法三：AC AB AD 2121+=，所以AC AB AC AB AD ⋅++=24222，所以2cos -=∠BAC bc ，3sin 21=∠BAC bc ，得3tan -=∠BAC ，π<∠<BAC 0，所以32π=∠BAC ，则4=bc ，所以2==c b ．…………………（12分）20．【改编自B 版教材选择性必修二P107例1】（1）解：由题意可得53003++==n m y x ，，且1005.13435.11=+⨯-=y ，所以200=+n m ，8903251++=∑=n m yx i ii ，15005=y x ，55512=∑=i ix，4552=x ，所以5.11455561032ˆ-=--+=n m b，所以49532=+n m ，解得95105==n m ，，…………………（6分）（2）解：任取1个人满意的概率5250035.0803.0904.0954.01055.0130=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=P ，所以满意的人数X 服从二项分布，即52,2(~B X ，随机变量X 的取值分别为0，1，2259)53()52()0(2002===C X P ，2512)53()52()1(1112===C X P ，25453()52()2(0222===C X P ，所以期望54522)(=⨯=X E .…………………（12分）21．【改编自2023年新课表2卷18题】（1）∵数列{}n a 是公差为1的等差数列，且123a a a +=，∴111(1)2a a a ++=+，解得11a =，∴1(1)n a a n d n =+-=，∴数列{}n a 的通项公式为：()*,N n a n n =∈.数列{}n b 是等比数列，且123412,4b b b a b b ⋅==-，设数列{}n b 的公比为q ，∴211111()44b b q b q b b q⎧⋅=⎨=-⎩，解得12b q ==，∴112n nn b b q -==，∴数列{}n b 的通项公式为：()*2,N n n b n =∈.…………………（6分）（2）由（1）可知2123,21,23,2nn n n n a n a n a n b -+==-=+=，X 012P259251225422．【改编自B 版教材选择性必修三P114页5题】解：（1）当1=a 时，1ln 2)(+=x x x f ，且)(x f 的定义域为)0(∞+，，所以）（1ln 2)(+='x x f ，曲线)(x f y =在点)1,1(处切线的斜率为2)1(='f ，所以切线方程为012=--y x …………………（3分）（2）当1>x 时，使0)(>x f 等价于1)1ln 2(-+<x x x a ，令)1(1)1ln 2()(>-+=x x x x x g ，所以2)1(3ln 22)(---='x x x x g ，令)1(3ln 22)(>--=x x x x h ，所以022)(>-='xx h ，所以)(x h 在)1(∞+，上单调递增，又因为052)(,02ln 21)2(>-=<-=e e h h ，所以)(x h 在)2(e ，上)2(0e x ，∈∃，使0)(0=x h ，即00ln 232x x =-，所以)(x g 在)1(0x ，上单调递减，)(x g 在)(0∞+，x 上单调递增，所以)(x g 的最小值为00000000min 21)132(1)1ln 2()(x x x x x x x x g y =-+-=-+==，因为)2(0e x ，∈，所以002)()(x x g x g =≥，所以02x a <，且)24(20e x ，∈，所以使0)(>x f 恒成立的最大偶数为4=a ．…………………（8分）（3）当1>x ，4=a 时，044)1ln 2(>+-+x x x 恒成立，得43ln 2->x x x ，即xx 43ln 2->，令11>-++=k n k n x ，*N k ∈，所以14)1(431ln 2-+=+-+->-++kn k n k n k n k n ，即14)1ln(2)ln(2-+>-+-+k n k n k n 当1=k 时，114ln 2)1ln(2-+>-+n n n ，当2=k 时，124)1ln(2)2ln(2-+>+-+n n n ，.....当n k =时，14)1ln(2)ln(2-+>-+-+nn n n n n ，相加整理得，n nn n n n n -++++++>-4...2414ln 22ln 2所以)212111(42ln 2nn n n +++++>+ ．…………………（12分）部分小题解析5．【改编自2022年新课标1卷13题】答案：25-【解析】含24y x 的项为24333624262521y x y x C yx y x C T -=⨯-⨯=，所以展开式中24y x 的系数为25-．6．【改编自2021年新课标1卷8题】答案：B【解析】由题意知，616661)(=⨯⨯=甲P ，616616)(=⨯⨯=乙P ，365665)(=⨯=丙P ，61666)(=⨯=丁P ，0)(=甲丙P ，361661)(=⨯=甲丁P ，361661)(=⨯=乙丙P ，0)(=丙丁P 由于361)()()(==丁甲甲丁P P P ，所以甲与丁相互独立．7．【改编自B 版教材选择性必修三P37页7题】答案：B【解析】由题意知，边长为1=n a ，边数31=b ，周长31=l ，面积431=S ，所以143-⨯=n n b ，134(3-⨯=n n l ，所以n n n l b 13-=，所以B 选项正确，又因为3323=S 故B 正确．8．【改编自2021年甲卷理科12题】答案：A【解析】)2(-x f 为偶函数，所以)2()2(--=-x f x f ①，)1(-x f 为奇函数，)1()1(--=--x f x f ②，得)4()(+=x f x f ，所以)(x f 的周期4=T ，令0=x 代入②得0)3()1(==-f f ，即21)2(=f ，令3=x 代入①得0)3()5()1(==-=f f f ，所以⎪⎩⎪⎨⎧=+=+2120b a b a ，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==2121b a ，所以2121)(-=x x f ，根据对称性f (x )在区间]1,0[上是增函数，且有最小值为=-=--=)2()2()0(f f f 21-，故A 正确，f (x )在区间]1,2[--上是减函数，且有最大值为21)2()2(==-f f ，最小值为0)1()1(==-f f ，故C,D 都不正确.11．【改编自2021年新课标2卷15题】答案：ACD方法一：【解析】将a ＋b ＋c ＝0平方得a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝25-，故A 正确；由a ＋b=－c 平方得a ·b=21，所以<a ，b 060>=，故B 不正确；因为a ＋c ＝—b ，所以|a +c |=|b |=1，1=|a +c |2=4+2c ·a ，所以c ·a=23-，所以|a －c |2＝4－2c ·a=7，即|a －c |＝7，故C 正确；由选项C 可得|b －c |＝7，（a —c ）·（b —c ）=213，所以<cos a －c ，b －c 1413>=，故D 正确.方法二：【解析】由a ＋b=－c 平方得a ·b=21，所以<a ，b 060>=，故B 不正确；建立直角坐标系得a =（1，0），b =（21，23），所以c =（23-，23-），所以a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝25-，故A 正确；a —c =（25，23），则|a －c |＝7，故C 正确；b —c =（2，3），所以（a —c ）·（b —c ）=213，所以<cos a －c ，b －c 1413>=，故D 正确.12．【改编自2022年新课标2卷12题】答案：ABC【解析】由2=++c b a ，平方得4222222=+++++ca bc ab c b a ，所以0=++ca bc ab ，A 正确；0=++ca bc ab 得c a b ab )(+-=，且c b a -=+2，联立得c c ab )2(-=，所以4)2(4)()2(22c b a c c ab -=+≤-=，整理得04432≤--c c ，即232≤≤-c ，故B 正确；因为1)1(2)2(22--=-=-=c c c c c ab ，232≤≤-c ，当1=c 时，ab 有最小值为1-，故C正确；2322)2(c c c c abc -=-=，令232c c y -=，232≤≤-c ，所以c c y 432-='，0='y 时，0=c 或34=c ，所以函数在)0,32(-上递增，340(，上递减，)234(上递增，在34=c 处取得极小值，273234-===c y y ，且273232-==-=c y y ，所以abc 有最小值为2732-，故D 不正确.15．答案：21-方法一：【解析】当6π=x 时，21)23(221(=+f f ，当3π=x 时，21)21(2)23(-=+f f ，联立解得2121(-=f ．方法二：【解析】x x f x f 2cos )(cos 2)(sin =+，所以x x f x f 2cos ))2(sin(2)(sin =-+π，x x x f x f 2cos )2(2cos )(sin 2))2(sin(-=-=+-ππ，联立得1sin 22cos )(sin 2-=-=x x x f ，即12)(2-=x x f ，所以21)21(-=f ．16．答案：23【解析】⎩⎨⎧∈+--∈+=]2,0(,1sin 2]0,2[,cos )(πωπx t x x t x x f 有4个零点，等价转化为⎩⎨⎧∈+-∈-=]2,0(,1sin 2]0,2[,cos πωπx x x x t 且)3,1(-∈t ，由图像得，若使函数恒有4个零点，函数1sin 2+=x t ω，在]2,0(π恰好是T23时满足题意，即π223=T ，所以23=ω．。
2021届辽宁省丹东市高三第一次模拟考试文科数学试题含答案
·x y O ·P ·····2021届辽宁省丹东市高三第一次模拟考试文科数学试题本试卷共23题，共150分，共4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ＝{x |－1＜x ＜1}，B ＝{x |0＜x ＜2}，则A ∪B ＝A ．(－1，2)B ．(0，1)C ．(－1，0)D ．(1， 2) 2．已知向量a ＝(1，2)， b ＝(－2，3)，c ＝(1，1)，若(a ＋λb )⊥c ，则实数λ＝A ．－15B ．15C ．－3 D ．3 3．设a ∈R ，若(1＋i)(1－a i)＞0，则a ＝A ． 1B ．－1C ．0D ．24．从字母a ，b ，c ，d ，e 中任取两个不同字母，则取到字母a 的概率为A ．14B ．25C ．35D ．345．中国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为一十五尺”，则该女子第六日所织A ．5尺B ．6尺C ．7尺D ．8尺6．右图是相关变量x ，y 的散点图，现对这两个变量进行线性相关分析，分析一：由图中所有数据，得到线性回归方程y ＝b 1x ＋a 1，相关系数为r 1．分析二：剔除点P ，由剩下数据得到线性回归直线方程y ＝b 2x ＋a 2，相关系数为r 2．那么A ．0＜r 1＜r 2＜1B ．0＜r 2＜r 1＜1C ．－1＜r 1＜r 2＜0D ．－1＜r 2＜r 1＜07．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与圆(x －a )2＋y 2＝b 24相切，则C 的离心率为A ． 2 B ． 3C ．2D ． 5 8．已知实数a ，b ，c 分别满足2a ＝－a ，log 2b ＝－b ，log 2c ＝c ，那么A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜c ＜aD ．c ＜b ＜a 9．在空间中，l ，m ，n 是三条两两不同的直线，α、β是两个不同的平面，则m ∥n 的一个充分条件是A ．m ⊥l ，n ⊥l B ．m ∥α，n ∥αC ．α∥β，m ?α，n ?βD ．m ∥α，m ?β，α∩β＝n10．已知函数y ＝|1－2cos 2ωx |(ω＞0)的最小正周期为4，则函数y ＝sin ω(x ＋1)cos ω(x ＋1)在区间[0，2]上A ．是单调递增函数B ．是单调递减函数C ．先单调递增，后单调递减函数D ．先单调递减，后单调递增函数11．已知函数f (x )是定义域为(－1，1)的单调递减函数，若f (x )图象关于点(0，1)对称，则满足f (x －1)＋f (x )＜2的x 的取值范围是A ．(－1，0)B ．(0，1)C ．(－1，12) D ．(12，1) 12．已知S n 为数列{a n }的前n 项和，若S 2＝3，a n ＋1＝S n ＋1，则S 8＝A ．255 B ．256 C ．127D ．128 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省13市2021届高三第一次模拟考试数学试题分类汇编(新高考)：导函数及其应用(解析版)
江苏省13市2021届高三第一次模拟考试数学试题分类汇编导数及其应用备注：（地区名后面，题号1-8为单选，9-12为多选）1. （2021·盐城、南京·一模）3．函数532()ln xf x x=在其定义域上的图象大致为【答案】：D【解析】：首先判断出该函数是奇函数，排除AB 选项，当x ＞1时，()0f x >，选D2. （2021·无锡·一模）3．函数f (x )＝ln x x x的大致图象为（ ）【答案】A3. （2021·南通、徐州、宿迁、淮安、泰州、镇江·一模）11．若函数32, 1()1ln , 1x x m x f x x x x ⎧--++<=⎨+-≥⎩的值域为[2，+∞)，则A ．(3)(2)f f >B ．m ≥2C ．ln 21()()2ef f > D ．(1)log (1)log (2)m m m m ++>+ 【答案】ABD【解析】当1<x 时，03)(2<--='x x x f ，所以)(x f 在)1(，-∞上单调递减，），∞+∈m x f ()(；当1x ≥时，1()10f x x'=-≥，所以)(x f 在[)∞+，1上单调递增，[)∞+∈，2)(x f ．因为123>>，所以)2()3(f f >，所以A 正确；因为)(x f 的值域为[)∞+，2，所以2m ≥，所以B 正确；设ln ()(0e)x g x x x=<<，则0ln 1)(2>-='xx x g ，所以xx x g ln )(=在(0e)，上单调递增． 因为2e <，所以ln 2112e<<，所以ln 21()()2ef f >，所以C 错误；当2m ≥时，222lg lg(2)lg (2)lg lg(2)lg (1)22m m m m m m m +++⎡⎤⎡⎤⋅+<=<+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以)1lg()2lg(lg )1lg(++>+m m m m ，即)2(log )1(log )1(+>++m m m m ，故D 正确． 另解：构造函数)1(ln )1ln()(>+=x xx x h ，通过考察函数)(x h 的单调性，判断出D 正确． 故选ABD ．4. （2021·南通、徐州、宿迁、淮安、泰州、镇江·一模）8．已知曲线ln y x =在A(1x ，1y )，B(2x ，2y )两点处的切线分别与曲线e x y =相切于C(3x ，3y )，D(4x ，4y )，则1234x x y y +的值为A ．1B ．2C ．52 D ．174【答案】B【解析】由题意，曲线x y ln =在)(11y x A ，点处的切线方程为1111ln ()y x x x x -=-，即得到111ln 1y x x x =+-，曲线e x y =在)(33y x C ，点处的切线方程为333e e ()x xy x x -=-，即得到333e e (1)x x y x x =+-，所以331131e ln 1e (1)x x x x x ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩，，解得1111ln 1x x x +=-．同理可得，11ln 222-+=x x x ，则21x x ，是方程11ln -+=x x x (*)的两个解．用x 1代入方程(*)也成立，所以121=x x ，又34341211e e 1x x y y x x ==⋅=，所以24321=+y y x x ，故答案选B ．5. （2021·南通、徐州、宿迁、淮安、泰州、镇江·一模）6．函数sin 21xy x π=-的图象大致为A B C D6．函数sin 21xy x π=-的图象大致为A BC D【答案】D【解析】由题意可知()f x 的定义域为1122⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，令()0f x =，则x k k Z =∈，，即函数()f x 有无数个零点，则排除A 、B 选项；当112x <<时，2x πππ<<，则sin 0x π>，()0f x >，故答案选D.6. （2021·常州·一模）4．设函数2()ln f x a x bx =+，若函数()f x 的图象在点(1，(1)f )处的切线方程为y ＝x ，则函数()y f x =的增区间为A ．(0，1)B ．(0)C ．，+∞)D ．，1) 【答案】C【解析】2()ln f x a x bx =+的定义域为()0+∞，，()2af x bx x'=+ ∵函数()f x 的图象在点(1，(1)f )处的切线方程为y =x ，∴()()11121f b f a b ⎧='=⎪⎨=+=⎪⎩解得：11b a =⎧⎨=-⎩∴1()2f x x x'=-+ 欲求()y f x =的增区间只需()120f x x x +'=->，解得：2x >即函数()y f x =的增区间为(2，+∞) 故选：C【名师点睛】函数的单调性与导数的关系：已知函数()f x 在某个区间内可导，（1）如果()'f x >0，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果()'f x <0，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减；（2）函数()y f x =在这个区间内单调递增，则有()0f x '≥；函数()y f x =在这个区间内单调递减，则有()0f x '≤；7. （2021·常州·一模）16．已知函数21()ln 245f x x x x =---+，则使不等式(21)(2)f t f t +>+成立的实数t 的取值范围是 ．【答案】111,,1322⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【解析】21()ln 2(2)1f x x x =---+， 21(2)ln 1f t t t -=-+， 21(2)ln (2)f t t f t t+=-=-，所以()f x 的图象关于直线2x =对称， 2x >时，21()ln(2)(2)1f x x x =---+设122x x <<，则22120(2)1(2)1x x <-+<-+，221211(2)1(2)1x x >-+-+，12022x x <-<-，12ln(2)ln(2)x x -<-，所以12221211ln(1)ln(1)(2)1(2)1x x x x -->---+-+，即12()()f x f x > 即()f x 是减函数，所以2x <时函数为增函数，因此由(21)(2)f t f t +>+得2122221222t t t t ⎧+-<+-⎪+≠⎨⎪+≠⎩，解得113t <<且12t ≠．．故答案为：111,,1322⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【名师点睛】思路点睛：本题考查函数的对称性与单调性，利用对称性、单调性不等式，求解方法类似于二次函数：对开口向上的抛物线，离对称轴越近，函数值越小，开口向下的抛物线，离对称轴越近，函数值越大．8. （2021·无锡·一模）16．若ln 1x ax b x+≤+对于()0x ∈+∞，恒成立，当a =0时，b 的最小值为 ；当a >0时，ba的最小值是 ．(第一空2分，第二空3分) 【答案】1，1e-9. （2021·连云港·一模）6．函数3ln 2()(2)x f x x -=-的部分图象大致为【答案】A【解析】分析函数 f (x )的性质可知，f (x )的图象关于点(2,0)对称，排除 C 项；当 x 的值趋近于正无穷时，f (x )的值趋近于 0，排除 D 项； 当 x ∈(1,2)时，f (x )＞0，排除 B 项，故选A.10. （2021·连云港·一模）8．定义方程()()f x f x '=的实数根0x 叫做函数()f x 的“保值点”．如果函数()g x x =与函数()ln(1)h x x =+的“保值点”分别为α，β，那么α和β的大小关系是A ．α＜βB ．α＞βC ．α＝βD ．无法确定 【答案】B【解析】因为 g'(x)＝1，令 g(x)＝g'(x)，解得 α＝1；又 h'(x)＝1x 1+ ，令 h'(x)＝k(x)，结合k(x)和 h(x)两函数图象可知，β＜1，所以 α＞β，故选 B. 11. （2021·连云港·一模）12．已知函数sin ()e x xf x x=-，则 A ．()f x 是奇函数 B ．()f x ＜1C ．()f x 在(﹣1，0)单调递增D ．()f x 在(0，2π)上存在一个极值点 【答案】BCD【解析】f(x)为非奇非偶函数，A 错误；注意到 e x ≥x ＋1，当且仅当 x ＝0 时，取“＝”，故|f(x)| ≤ |sinx| ≤ 1 ，又两处等号无法同时成立，故|f(x)|＜1 ，B 正确； f’(x) ＝当 x∈(－1，0)时，f’(x)＞0，C 正确；注意到 f’(0)＝1＞0，f’(2π)＝－故 f’(x)在[0，2π]上存在零点，即 f (x )在[0，2π]上上上上上上上D 上上上12. （2021·南通、徐州、宿迁、淮安、泰州、镇江·一模）21．（本小题满分12分）已知函数22ln ()xf x x a x=--． （1）若()0f x ≥，求实数a 的取值范围；（2）若函数()f x 有两个零点1x ，2x ，证明：121x x <．【解析】13. （2021·连云港·一模）22．（本小题满分12分）已知函数()e 1x f x =-，()sin g x a x =，a∈R．（1）若a＝﹣1，证明：当x≥0时，()()≥；f xg xϕ=-在x∈[0，π]上零点的个数．（2）讨论()()()x f x g x【解析】14. （2021·常州·一模）21．（本小题满分12分）已知函数()ln b f x x a x x=-+，a ，b ∈R ． （1）若a ＞0，b ＞0，且1是函数()f x 的极值点，求12a b+的最小值； （2）若b ＝a ＋1，且存在0x ∈[1e，1]，使0()0f x <成立，求实数a 的取值范围． 【解析】15.（2021·苏州·一模）22．（本小题满分12分）已知函数f(x)=xe ax−ln x，其中e是自然对数的底数，a＞0．（1）若曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为2e﹣1，求a的值；（2）对于给定的常数a，若f(x)≥bx+1对x∈(0，+∞)恒成立，求证：b≤a．【解析】（1）因为，所以切线斜率为，即，构造，由于，所以在上单调递增，又，所以；（2）设，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即，所以，若对恒成立，则对恒成立，即对恒成立，设，由（*）可知，当且仅当时等号成立由，因为，所以单调递增，又，所以存在，使得，即方程有唯一解，所以b≤a得证．16. （2021·无锡·一模）22.(本小题满分12分)已知函数()ln a e f x x x -=+，其中e 是自然对数的底数．（1）设直线22y x e=-是曲线()()1y f x x =>的一条切线，求a 的值； （2）若a R ∃∈，使得()0f x ma +≥对()0x ∀∈+∞，恒成立，求实数m 的取值范围．【解析】17. （2021·盐城、南京·一模）22．（本小题满分12分）设函数()e x x f x a -=+(a ＞1)．（1）求证：()f x 有极值点；（2）设()f x 的极值点为0x ，若对任意正整数a 都有0x ∈(m ，n )，其中m ，n ∈Z ，求n ﹣m 的最小值．【解析】解：（1）由题意得f '(x )＝a x ln a －e －x ，所以f ''(x )＝a x (ln a )2＋e －x ＞0，所以函数f '(x )单调递增，由f '(x )＝0，得(a e)x ln a ＝1，(a e)x ＝1ln a． 因为a ＞1，所以1ln a ＞0，所以x ＝log a e 1ln a． 当x ＞log a e 1ln a 时，f '(x )＞0，f (x )单调递增；当x ＜log a e 1ln a时，f '(x )＜0，f (x )单调递减． 因此，当x =log a e1ln a 时函数f (x )有极值． （2）方法一由（1）知，函数f (x )的极值点x 0(即函数f '(x )的零点）唯一，因为f '(－1)＝ln a a－e ． 令g (a )＝ln a a ，则g '(a )＝1－ln a a 2＝0，得a ＝e ． 当a ＞e 时，g '(a )＜0，g (a )单调递减；当0＜a ＜e 时，g '(a )＞0，g (a )单调递增，所以g (a )≤g (e )＝1e ，所以f '(－1) ＝ln a a－e ＜0． 而f '(0)＝ln a －1，当a ＝2时，f '(0)＜0，当a ≥3时，f '(0)＞0．又f '(1)＝a ln a －1e ．因为a 为正整数且a ≥2时，所以a ln a ≥2ln2＞1＞1e． 当a ≥2时，f '(1)＞0．即对任意正整数a ＞1，都有f '(－1)＜0，f '(1)＞0，所以x 0∈(－1，1)恒成立， 且存在a ＝2，使x 0∈(0，1)，也存在a ＝3，使x 0∈(－1，0)．所以n －m 的最小值为2．方法二由（1）知x 0＝log a e 1ln a ＝－ln(ln a )ln a ＋1． 令ln a ＝k ，k ＝ln2，ln3，…，则x 0＝－ln k k ＋1＝0，得k ＝1． 先证：ln k ≤k －1．令g (k )＝ln k －k ＋1，则g '(k )＝1－k k， 当k ＞1时，g '(k )＜0；当k ＜1时，g '(k )＞0．所以g (k )≤g (1)＝0，即ln k ≤k －1成立．所以x 0＝－ln k k ＋1＞－1． 又当k ≥ln3时，x 0＝－ln k k ＋1＜0， 而2ln2>1，所以ln2＞12＞1e ，所以1ln2＜e ． 当k ＝ln2时，x 0＝ln(ln2)ln2＋1＞0，且x 0＝ln(ln2)－1ln2＋1＜lne ln2＋1＜1， 所以x 0∈(－1，1)恒成立，且存在a ＝2，使x 0∈(0，1)，也存在a ＝3，使x 0∈(－1，0)． 所以n －m 的最小值为2.18. （2021·扬州·一模）21.(本小题满分12分)已知函数()()()222ln x f x e x mx m g x ax x ax x =++=++，．（1）若函数()f x 在1x =-处取极小值，求实数m 的值；（2）设0m =，若对任意()0x ∈+∞，，不等式()f x ≥()g x 恒成立，求实数a 的值．【解析】。
2021年辽宁省丹东市凤城第一中学高一数学理联考试卷含解析
2020-2021学年辽宁省丹东市凤城第一中学高一数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：A2. 设是边上一定点，满足，且对于边上任一点，恒有。
则（）A. B. C. D.参考答案：A略3. （3分）已知角α的终边与单位圆的交点为（，），则sinα=（）A．B．C．D．参考答案：B考点：任意角的三角函数的定义．专题：计算题；三角函数的求值．分析：根据任意角的三角函数的定义求得sinα的值．解答：解：若角α的终边与单位圆的交点坐标为（，），则r=1，∴sinα=，故选：B．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．4. 下列各数中，最小的数是A.111 111（2）B.105（8）C.200（6）D.75参考答案：A5. 若变量满足约束条件则的最大值为（）．4 ． 3 ．2．1参考答案：B6. 已知集合，集合，则下列结论正确的是A．B．C．D．参考答案：B由题意得，结合各选项知B正确．选B．7. 在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，如果a，b，c成等差数列，，△ABC的面积为，那么b=（）A. B. C. D.参考答案：B试题分析：由余弦定理得，又面积，因为成等差数列，所以，代入上式可得，整理得，解得，故选B．考点：余弦定理；三角形的面积公式．8. 如图为互相垂直的单位向量，向量可表示为A. B．C． D．参考答案：D略9. 若非零实数a，b满足，则下列不等式成立的是（）A. B.C. D.参考答案：C【分析】对每一个不等式逐一分析判断得解.【详解】A, 不一定小于0，所以该选项不一定成立；B,如果a＜0，b＜0时，不成立，所以该选项不一定成立；C, ，所以，所以该不等式成立；D, 不一定小于0，所以该选项不一定成立. 故选：C【点睛】本题主要考查不等式性质和比较法比较实数的大小，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10. 已知直线l过点P（，1），圆C：x2+y2=4，则直线l与圆C的位置关系是（）A．相交B．相切C．相交和相切D．相离参考答案：C【考点】J5：点与圆的位置关系．【分析】根据直线l过点P（，1），而点P在圆C：x2+y2=4上，可得直线和圆的位置关系．【解答】解：∵直线l过点P（，1），而点P在圆C：x2+y2=4上，故直线l和圆相交或相切，故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数在[0,1]上的最大值与最小值的和为a，则a=________参考答案：略12. 若方程在区间(a，b)(a，b是整数，且b－a＝1)上有一根，则a＋b＝________.参考答案：-3略13. 在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则的概率为_________参考答案：分析：直接利用几何概型求解.详解：因为|x|≤1，所以-1≤x≤1，所以的概率为.故答案为：点睛：（1）本题主要考查几何概型的计算，意在考查学生对几何概型的掌握水平.(2) 几何概型的解题步骤:首先是判断事件是一维问题还是二维、三维问题（事件的结果与一个变量有关就是一维的问题，与两个变量有关就是二维的问题，与三个变量有关就是三维的问题）；接着，如果是一维的问题，先确定试验的全部结果和事件构成的区域长度（角度、弧长等），最后代公式；如果是二维、三维的问题，先设出二维或三维变量，再列出试验的全部结果和事件分别满足的约束条件，作出两个区域，最后计算两个区域的面积或体积代公式.14. 已知函数的定义域是一切实数，则m 的取值范围是______参考答案：15. 在中，角所对的边分别为，若成等差数列，，，则．参考答案：16. 若不等式的解集为，则不等式的解集为 ． 参考答案：略17. 若扇形的面积是1 cm 2,它的周长是4 cm,则扇形圆心角的弧度数为_________.参考答案：2设扇形的半径为R ，弧长为l ，由已知得 解得∴扇形圆心角的弧度数是＝2.三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
2021年辽宁省丹东市中考数学试卷(含答案)
2021年辽宁省丹东市中考数学试卷一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，每小题3分，共24分）1．（3分）﹣5的相反数是（）A．5B．C．﹣5D．0.52．（3分）下列运算正确的是（）A．a﹣2•a3＝a﹣6B．（m﹣n）2＝m2﹣mn+n2C．（2a3）3＝8a6D．（2m+1）（2m﹣1）＝4m2﹣1 3．（3分）如图是由几个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（）A．B．C．D．4．（3分）若一组数据1，3，4，6，m的平均数为4，则这组数据的中位数和众数分别是（）A．4，6B．4，4C．3，6D．3，4 5．（3分）若实数k、b是一元二次方程（x+3）（x﹣1）＝0的两个根，且k＜b（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．（3分）如图，在矩形ABCD中，连接BD，BE交AD于点O，BE恰好平分∠ABD，则点O到BD的距离为（）A．B．2C．D．37．（3分）如图，点A在曲线到y1＝（x＞0）上，点B在双曲线y2＝（x＜0）上，AB//x轴，点C是x轴上一点，若△ABC的面积是6，则k的值（）A．﹣6B．﹣8C．﹣10D．﹣12 8．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0），且a+b+c＝﹣，a﹣b+c＝﹣；②2a+2b+c＞0；③抛物线与x轴正半轴必有一个交点，y最小＝3a；⑤该抛物线与直线y＝x﹣c有两个交点，其中正确结论的个数（）A．2B．3C．4D．5二、填空题（每小题3分，共24分）9．（3分）按照现行贫困标准计算，中国770000000村贫困人口摆脱贫困，将数据770000000用科学记数法表示为．10．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围．11．（3分）分解因式：ma2+2mab+mb2＝．12．（3分）关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．13．（3分）不等式组无解，则m的取值范围．14．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝45°，交BC于点E（BE＞CE），点F是AC的中点，若BC＝7，AC＝5．15．（3分）如图，在矩形ABCD中，连接BD，垂足为点E，且交BD于点F，垂足为点H，且交BD于点G，若BC＝2，CD＝．16．（3分）已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果△ABC是锐角（或直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．若AB＝AC＝，BC＝2，则PA+PB+PC＝；若AB＝2，BC＝2，AC＝4，则PA+PB+PC＝．三、（每小题8分，共16分）17．（8分）先化简，再求代数式的值：++，其中a＝2sin30°+2（π﹣1）0．18．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，点O是AD的中点，连接AC、DE．（1）求证：四边形ACDE是平行四边形；（2）若AB＝AC，判断四边形ACDE的形状，并说明理由．四、（每小题10分，共20分）19．（10分）某中学为了增强学生体质，计划开设A：跳绳，B：毽球，D：足球四种体育活动，为了解学生对这四种体育活动的喜欢情况（每人只能选择一种体育活动），并绘制成如图所示的两幅不完全的统计图，根据图中所给信息解答下列问题：（1）求这次抽样调查的学生有多少人？（2）求出B所在扇形圆心角的度数，并将条形统计图补充完整；（3）若该校有800名学生，请根据抽样调查结果估计喜欢B的人数．20．（10分）一个不透明的袋子中装有4个只有颜色不同的小球，其中2个红球，2个白球（1）请用列表格或画树状图的方法列出所有可能性；（2）若摸到两个小球的颜色相同，甲获胜；摸到两个小球颜色不同五、（每小题10分，共20分）21．（10分）为落实“乡村振兴计划”的工作要求，某区政府计划对乡镇道路进行改造，安排甲、乙两个工程队完成，甲队改造400米的道路与乙队改造300米的道路所用时间相同，求甲、乙两个工程队每天改造的道路长度分别是多少米？22．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D是，过点D作EF//BC分别交AB、AC的延长线于点E和点F，连接AD、BD （1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AB：BE＝5：2，AD＝，求线段DM的长．六、（每小题10分，共20分）23．（10分）如图，一架无人机在空中A处观测到山顶B的仰角为36.87°，山顶B在水中的倒影C的俯角为63.44°，求点B到水面距离BM的高度．（参考数据：sin36.87°≈0.60，cos36.87°≈0.80，tan36.87°≈0.75，sin63.44°≈0.89，cos63.44°≈0.45，tan63.44°≈2.00）24．（10分）某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，且要求销售单价不得低于成本．（1）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围）（2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？（3）超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况，为了每月所获利润最大七、（本题12分）25．（12分）已知，在正方形ABCD中，点M、N为对角线AC上的两个动点，过点M、N分别作AB、BC的垂线相交于点E，垂足分别为F、G1，△NGC的面积为S2，△MEN的面积为S3．（1）如图（1），当四边形EFBG为正方形时，①求证：△AFM≌△CGN；②求证：S3＝S1+S2．（2）如图（2），当四边形EFBG为矩形时，写出S1，S2，S3三者之间的数量关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若BG：GC＝m：n（m＞n）八、（本题14分）26．（14分）如图，已知点A（﹣8，0），点B（﹣5，﹣4），交x轴于点D，抛物线y＝ax2+x+c经过点A、C、D，连接AB、AC．（1）求抛物线的表达式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）E为直线AC上方的抛物线上一点，且tan∠ECA＝，求点E的坐标；（4）N为线段AC上的动点，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BN运动到点N个单位长度的速度沿线段NC运动到点C，又以每秒1个单位长度的速度沿线段CO向点O 运动，请直接写出上述运动时间的最小值及此时点N的坐标．参考答案一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，每小题3分，共24分）1．参考答案：﹣5的相反数是5，故选：A．点拨：本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．2．参考答案：∵a﹣2•a3＝a﹣5+3＝a≠a﹣6，故选项A错误；（m﹣n）3＝m2﹣2mn+n2≠m2﹣mn+n2，故选项B错误；（7a3）3＝6a9≠8a7，故选项C错误；（2m+1）（7m﹣1）＝4m3﹣1，故选项D正确．故选：D．点拨：本题考查了整式的运算，掌握整式的乘法公式、幂的运算法则是解决本题的关键．3．参考答案：从上面看该组合体看到是两列，每列有1个正方形故选：B．点拨：本题考查简单组合体的俯视图，理解视图的意义，画出从上面看所得到的图形是正确判断的前提．4．参考答案：∵数据1，3，7，6，m的平均数为4，∴8+3+4+6+m＝4×5，解得m＝4则这组数据从小到大排列为1，3，7，6，6∴这组数据的中位数为5，众数为6，故选：A．点拨：本题主要考查众数和中位数及平均数，解题的关键是掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．5．参考答案：∵实数k、b是一元二次方程（x+3）（x﹣1）＝7的两个根，∴k＝﹣3，b＝1，∴函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限．故选：C．点拨：本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k＜0，b ＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限”是解题的关键．6．参考答案：如图，作OF⊥BD于点F，则OF的长为点O到BD 的距离．∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠ABC＝90°，∵将△BCD沿对角线BD折叠得到△BDE，∴∠EBD＝∠CBD，∵BE平分∠ABD，∴∠ABO＝∠EBD，OA＝OF，∴∠EBD＝∠CBD＝∠ABO，∴∠ABO＝30°，∵AB＝2，∴OF＝OA＝AB•tan30°＝3×＝2，故选：B．点拨：本题考查了矩形的性质，图形折叠的性质，角平分线的性质及解直角三角形，熟练掌握相关性质，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．7．参考答案：如图，连接OA，AB与y轴交于点M，∵AB∥x轴，点A在曲线到y1＝（x＞8）上2＝（x＜0）上，∴S△AOM＝×|2|＝6，S△BOM＝×|k|＝﹣k，∵S△ABC＝S△AOB＝6，∴8﹣k＝3，∴k＝﹣10．故选：C．点拨：此题考查了利用待定系数法确定反比例函数解析式，坐标与图形性质，熟记反比例函数面积与k的关系是解本题的关键．8．参考答案：∵a+b+c＝﹣，a﹣b+c＝﹣，∴两式相减得b＝，两式相加得c＝﹣1﹣a，∴c＜0，∵a＞5，b＞0，∴abc＜0，故①正确；∴4a+2b+c＝2a+4×﹣4﹣a＝a＞0；∵当x＝1时，则y＝a+b+c＝﹣，则有y＝a﹣b+c＝﹣，∴当y＝0时，则方程ax2+bx+c＝8的两个根一个小于﹣1，一个根大于1，∴抛物线与x轴必有一个交点，故③正确；由题意知抛物线的对称轴为直线x＝＝，∴当2≤x≤3时，y随x的增大而增大，∴当x＝3时，有最小值，故④正确；联立抛物线y＝ax2+bx+c及直线y＝x﹣c可得：x﹣c＝ax2+bx+c，整理得：，∴Δ＝，∴该抛物线与直线y＝x﹣c有两个交点，故⑤正确；∴正确的个数有3个；故选：D．点拨：本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数的最值，二次函数与x轴的交点情况，二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数的性质等知识点，综合性较强，需灵活运用二次函数的以上相关知识点．二、填空题（每小题3分，共24分）9．参考答案：数字770000000用科学记数法表示为7.7×108．故答案为：7.7×102．点拨：本题主要考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定a的值以及n 的值是解题的关键．10．参考答案：根据题意得：x﹣3≥0且x﹣5≠0，解得x≥3∴自变量x的取值范围是x≥5．故答案为：x≥3．点拨：本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．11．参考答案：原式＝m（a2+2ab+b6）＝m（a+b）2，故答案为：m（a+b）2点拨：此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．12．参考答案：由已知得：，即，解得：k＞﹣7且k≠0．故答案为：k＞﹣1且k≠6．点拨：本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式组，解题的关键是得出关于k的一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出不等式（或不等式组）是关键．13．参考答案：，解不等式①得：x＜2，解不等式②x＞m，∵不等式组无解∴m≥2，故答案为：m≥2．点拨：本题主要考查了解一元一次不等式组，能够根据不等式的解集和已知得出关于m的不等式是解题的关键．14．参考答案：∵DE是AB的垂直平分线，∴∠BAE＝∠ABE＝45°，BE＝AE，∴∠BEA＝90°，∵BC＝7，∴BE+CE＝7，∴AE+CE＝8，AE＝7﹣CE，又∵AC＝5，在△AEC中，AE6+CE2＝AC2，（5﹣CE）2+CE2＝22，解得：CE＝3，又∵点F是AC的中点，∴，∴△CEF的周长＝CF+CE+FE＝．故答案为：8．点拨：此题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质．15．参考答案：∵BE平分∠DBC，∴∠CBE＝∠FBE，∵CF⊥BE，∴∠BEC＝∠BEF＝90°，又∵BE＝BE，∴△BEC≌△BEF（ASA），∴CE＝FE，BF＝BC＝2，同理：CH＝GH，DG＝CD＝，∴HE是△CGF的中位线，∴HE＝，在矩形ABCD中，，，由勾股定理得：BD＝，∴GF＝BF+DG﹣BD＝，∴HE＝，故答案为：．点拨：本题主要考查矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，中位线的性质，推出HE是△CGF的中位线是解题的关键．16．参考答案：如图，过A作AD⊥BC，过B，C分别作∠DBP＝∠DCP＝30°，P为△ABC的费马点，∵AB＝AC＝，BC＝2，∴，∴，∴PD＝2，∴，∴，∴PA+PB+PC＝5；②如图：∵AB＝2，BC＝2，∴AB2+BC4＝16，BC2＝16，∴AB2+BC7＝AC2∠ABC＝90°，∵，∴∠BAC＝30°，将△APC绕点A逆时针旋转60°，由旋转可得：△APC≌△AP'C'，∴AP'＝AP，PC＝P'C'，∠CAC'＝∠PAP'＝60°，∴△APP′是等边三角形，∴∠BAC'＝90°，∵P为△ABC的费马点，即B，P，P'，PA+PB+PC＝BC'，∴PA+PB+PC＝BP+PP'+P'C'＝BC'＝＝，故答案为：5，．点拨：本题考查了勾股定理，旋转的性质，锐角三角函数，等腰三角形性质，作出旋转的图形是解题的关键．本题旋转△PAB，△PBC也可，但必须绕顶点旋转．三、（每小题8分，共16分）17．参考答案：++＝＝+﹣＝＝，当a＝5sin30°+2（π﹣1）7＝2×+2×1＝5+2＝3时＝﹣．点拨：本题主要考查了分式的化简求值，熟练运用分式运算法则化简是解题的关键，注意代入计算要仔细，属于常考题型．18．【解答】（1）证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠BEC＝∠DCE，∵点O是边AD的中点，∴AO＝DO，在△AEO和△DCO中，，∴△AEO≌△DCO（AAS），∴AE＝CD，∵AE∥DC，∴四边形ACDE是平行四边形；（2）解：四边形ACDE是菱形，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∵AB＝AC，∴CD＝AC，∴四边形ACDE是菱形．点拨：本题考查了平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定与性质、菱形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质和菱形的判定，证明△AEO≌△DCO是解题的关键．四、（每小题10分，共20分）19．参考答案：（1）由统计图可知，36÷30%＝120（人），答：这次抽样调查的学生有120人；（2）360°×＝126°，答：B所在扇形圆心角的度数为126°，补全条形统计图如图所示：（3）800×＝280（人），答：估计喜欢B的人数为280人．点拨：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．用样本估计总体等知识，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．20．参考答案：（1）所有可能性如下表：甲乙红1红2白5白2红1（红，红）（白，红）（白，红）红4（红，红）（白，红）（白，红）白1（红，白）（红，白）（白，白）白2（红，白）（红，白）（白，白）总共12种情况．（2）摸到两个小球的颜色相同有7种，摸到两个小球颜色不同有8种∴甲获胜概率＝，乙获胜概率＝∴这个游戏对甲、乙双方不公平．点拨：本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个人取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．五、（每小题10分，共20分）21．参考答案：设甲工程队每天改造的道路长度是x米，列方程得：，解得：x＝80．经检验x＝80是所列方程的根，所以80﹣20＝60．答：甲工程队每天改造的道路长度是80米，乙工程队每天改造的道路长度是60米．点拨：此题考查了分式方程应用题的解法，解题的关键是根据题意找到等量关系并列出方程．22．参考答案：（1）证明：连接OD，如图，∵点D是的中点，∴，∴OD⊥BC，∵BC∥EF，∴OD⊥EF，∴EF为⊙O的切线；（2）设BC、AD交于点N，∵AB：BE＝5：2，，EF∥BC，∴，∴DN＝，∵点D是的中点，∴∠BAD＝∠CAD＝∠CBD，又∵∠BDN＝∠ADB，∴△BDN∽△ADB，∴，即：，∴BD＝6，∵∠ABC的平分线BM交AD于点M，∴∠ABM＝∠CBM，∴∠ABM+∠BAD＝∠CBM+∠CBD，即：∠BMD＝∠DBM，∴DM＝BD＝2．点拨：本题主要考查圆的基本性质，切线的判定定理、相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定和性质；找出相似三角形是解题的关键．六、（每小题10分，共20分）23．参考答案：过点A作AH⊥BM交于点H，由题意可得：AD＝HM＝50米，设BM＝x米，则MC＝BM＝x米∵BH＝BM﹣HM∴BH＝（x﹣50）米，∴在Rt△ABH中，∵HC＝HM+MC∴HC＝（50+x）米，在Rt△AHC中，，∴，解得x＝110，即BM＝110米，答：点B到水面距离BM的高度约为110米．点拨：本题主要考查了锐角三角形的实际运用，熟练掌握锐角三角形的相关知识点并列出等量关系式是解题的关键，属于常考题型．24．参考答案：（1）∵依题意，得：y＝50+（100﹣x）×，∴y与x的函数关系式为y＝﹣2x+550；（2）∵依题意得：y（x﹣50）＝4000，即（﹣5x+550）（x﹣50）＝4000，解得：x1＝70，x3＝90，∵70＜90，∴当该商品每月销售利润为4000，为使顾客获得更多实惠；（3）设每月总利润为w，依题意得w＝y（x﹣50）＝（﹣5x+550）（x﹣50）＝﹣5x3+800x﹣27500＝﹣5（x﹣80）2+4500，∵﹣6＜0，此图象开口向下，∴当x＝80时，w有最大值为4500元，∴为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为80元．点拨：本题考查了二次函数在实际生活中的应用，根据题意找到等量关系并掌握二次函数求最值的方法是解题的关键．七、（本题12分）25．参考答案：（1）①在正方形ABCD和正方形EFBG中，AB＝CB，BF＝BG，∠AFM＝∠CGN＝90°，∴AB﹣BF＝CB﹣BG，即AF＝CG，∴△AFM≌△CGN（ASA）②如图1，连接BD，且BD⊥AC，由①知△AFM≌△CGN，∴AM＝CN，∵∠BAM＝∠BCN，AB＝BC，∴△ABM≅△CBN（SAS），∴BM＝BN，∠ABM＝∠CBN，∵∠MBN＝45°＝∠ABD，∴∠FBM+∠MBO＝∠MBO+∠OBN，∴∠FBM＝∠OBN，∵∠BFM＝∠BON＝90°，∴△FBM≅△OBN（AAS），∴FM＝ON，∵∠AFM＝∠EON＝90°，∠FAM＝∠OEN＝45°，∴△AFM≅△EON（AAS），同理△CGN≌△EOM（AAS），∴S△EOM＝S△CGN，S△EON＝S△AFM，∵S3＝S△MEN＝S△EOM+S△EON＝S△CGN+S△AFM，∴S8＝S1+S2．（2）S5＝S1+S2，理由如下：如图2，连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD是正方形，四边形EFBG为矩形，∴BD⊥AC，∠BFM＝∠BON＝90°，AC＝BD＝2OB，∵∠MBN＝45°，∠FBM＝∠OBN＝45°﹣∠MBO，∴△FBM∽△OBN，∴，同理△BOM∽△BGN，∴，∴，∴OB2＝BF⋅BG，∵，S矩形EFBG＝BF⋅BG，∴S矩形EFBG＝S△ABC，∴S4+S2＝S△ABC﹣S五边形MFBGN，S3＝S矩形EFBG﹣S五边形MFBGN，∴S4＝S1+S2．（3）根据题意可设BG＝mx，GC＝nx，∴，即，∴BF＝＝＝，∴，∴AF：BF＝：＝（m﹣n）：（m+n）．点拨：本题主要考查了正方形的性质，全等三角形和相似三角形的判定三角形及矩形面积的求解，解题的关键是巧妙的正方形的性质构造全等三角形或相似三角形来解决问题，本题还运用到了类比探究的思想．八、（本题14分）26．参考答案：（1）∵直线y＝2x+m过点B（﹣5，3），∴﹣4＝2×（﹣5）+m，解得：m＝6，∴C（0，7），将A（﹣8，0），8）代入，得：，解得：，∴抛物线的表达式为；（2）△ABC为直角三角形，且∠BAC＝90°，理由如下：∵点A（﹣8，0），﹣8），6），∴AB2＝（﹣6+5）2+（8+4）2＝25，AC4＝（﹣8+0）8+（0﹣6）8＝100，BC2＝（﹣5+8）2+（﹣4﹣8）2＝125，∴AC2+AB6＝BC2，∴△ABC为直角三角形，且∠BAC＝90°；（3）由（2）知AB＝5，AC＝10，∴tan∠BCA＝＝tan∠ECA，∴∠BCA＝∠ECA，如图1，延长BA至F，连接CF、F关于点A对称，∴F（﹣11，8），∵∠BAC＝∠FAC＝90°，AF＝AB，∴△FAC≌△BAC（SAS），∴∠BCA＝∠FCA，∴点E为直线CF与抛物线的交点，设直线CF的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线CF的解析式为，联立方程组，解得：或（舍去），故点E坐标为（，）；（4）过N作MN⊥BC于M，过F作FM'⊥BC交AC于N'，则FN＝BN，∵AB＝4，BC＝，∴sin∠BCA＝，∴MN＝，又CO＝8，∴点P运动时间t＝＝BN+MN+6＝FN+MN+6≥FM'+5，当F、N、M三点共线时，∵AC＝10，BC＝，∴sin∠ABC＝，∴FM'＝，∴点P运动时间t的最小值为，由直线BC的表达式y＝2x+2得点D坐标为（﹣3，0），∵FD＝，∴点D与点M'重合，则点N（即N'）为直线FD与直线AC的交点，由点A（﹣4，0）和C（0，由点F（﹣11，3）和D（﹣3，联立方程组，解得：，∴此时N坐标为（﹣6，）．点拨：本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解函数解析式，两点间的距离公式，勾股定理的逆定理，锐角的三角函数，全等三角形的判定与性质等知识，综合性强，难度较难，解答的关键是弄懂题意，找寻相关知识间的关联点，利用待定系数法和数形结合思想进行探究、推理和计算．。