必修4第三章三角恒等变形(1)生

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必修四3.1两角和与差的正弦、余弦、正切公式小结

《必修4》第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式单元小结【学习目标】1.熟练掌握两角和与差、二倍角的正弦、余弦和正切公式。

2.能熟练运用以上公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用。

【复习回忆】1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)C (α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； (2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β； (4)S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β；(5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；(6)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；(3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)；(2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4. 4．函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．两个技巧(1)拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β＝α＋β2－α－β2；α－β2＝⎝⎛⎭⎫α＋β2－⎝⎛⎭⎫α2＋β. (2)化简技巧：切化弦、“1”的代换等．三个变化(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”． (2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．【典例分析】类型一三角函数式的化简例1 化简2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .考点：切化弦，合理使用倍角公式．方法小结：三角函数式的化简要遵循“三看”原则：(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式； (3)三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．变式训练化简：(sin α＋cos α－1)(sin α－cos α＋1)sin 2α.类型二三角函数式的求值例2已知0＜β＜π2＜α＜π，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，求cos(α＋β)的值．考点：拆分角：α＋β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β，利用平方关系分别求各角的正弦、余弦．方法小结：三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示： (1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余互补”关系．变式训练已知α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝45，tan(α－β)＝－13，求cos β的值．类型三三角函数的求角问题例3已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，求β.考点：由cos β＝cos[α－(α－β)]解决．方法小结：通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则： ①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，选正弦较好．变式训练已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，且tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两个根，求α＋β的值．类型三三角函数的综合应用例4 已知函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x .(1)求f ⎝⎛⎭⎫π3的值；(2)求f (x )的最大值和最小值．考点：先化简函数y ＝f (x )，再利用三角函数的性质求解．方法小结：高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查还往往渗透在研究三角函数性质中．需要利用这些公式，先把函数解析式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质．变式训练已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上的最大值和最小值．【课后巩固】1．设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan (α＋β)的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．32．已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3的值是( ) A ．－233 B ．±233C ．－1D ．±13．已知α满足sin α＝12，那么sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－α的值为( ) A.14 B ．－14 C.12 D ．－12 4．设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin ()α＋β＝35，则cos β＝( ) A.2525 B.255 C.2525或255 D.55或5255．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝( ) A ．－53 B ．－59 C.59 D.536．满足sin π5sin x ＋cos 4π5cos x ＝12的锐角x ＝________.7．化简2tan (45°－α)1－tan 2(45°－α)·sin αcos αcos 2α－sin 2α＝________. 8．已知角α，β的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，α，β∈(0，π)，角β的终边与单位圆交点的横坐标是－13，角α＋β的终边与单位圆交点的纵坐标是45，则cos α＝______.9．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝12，求tan 2α和sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3的值． 10．已知：0<α<π2<β<π，cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝45. (1)求sin 2β的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值． 11．函数f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫－x 2＋sin ⎝⎛⎭⎫π－x2，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)若f (α)＝2105，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值．【能力提升】1．若tan α＝lg(10a )，tan β＝lg ⎝⎛⎫1a ，且α＋β＝π4，则实数a 的值为( ) A ．1 B.110 C ．1或110D ．1或102．化简sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－sin 2α的结果是__ ______． 3．已知sin α＋cos α＝355，α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝35，β∈⎝⎛⎭⎫π4，π2. (1)求sin 2α和tan 2α的值； (2)求cos(α＋2β)的值．。

必修4两角差的余弦公式

两角差的余弦公式（选自人教版高中数学必修4第三章3.1.1节）一、教材分析《两角差的余弦公式》是人教A版高中数学必修4第三章《三角恒等变换》第一节《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》第一节课的内容。

本节主要给出了两角差的余弦公式的推导，要引导学生主动参与，独立思索，自己得出相应的结论。

二、学情分析1．本节课的授课对象是高二学生，他们已经了解高中数学的教学模式，并形成自己独特的掌握新知识的方法，具有强烈的好奇心和求知欲；2．在知识水平上，高二学生之前学习了三角函数的性质，以及平面向量的运算和应用，教师在教学新内容前可以先对这些知识进行适当回顾，为学生本节课的学习奠定良好的基础；3．教师在学生已经掌握三角函数的性质，以及平面向量的运算和应用的基础上，引导学生如何利用差角的正弦余弦值来表示任意角，牢固的掌握这个公式，并会灵活运用公式进行下一节内容的学习。

三、教学目标（一）知识与技能引导学生建立两角差的余弦公式，通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构及其功能，并为建立其他和差公式打好基础。

（二）过程与方法通过课题背景的设计，增强学生的应用意识，激发学生的学习积极性。

（三）情感态度与价值观在探究公式的过程中，逐步培养学生学会分析问题、解决问题的能力，培养学生学会合作交流的能力。

四、教学重难点1．教学重点通过探索得到两角差的余弦公式以及两角差余弦公式的应用。

2．教学难点探索过程中的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程所必备的基础知识是否已掌握的问题以及运用已学知识和方法的能力问题等等。

五、教学方法与手段启发式讲授法，并用多媒体展示、计算机辅助教学。

六．教学关键注意恰时恰点的提出问题，引导学生用对比，联系，化归的观点去分析，处理问题，使他们能依据三角函数式的特点，逐渐明确三角恒等变换不仅包括式子的结构形式变换，还包括式子中角的变换，以及不同三角函数之间的变换，引导学生逐渐拓广有关公式在变换过程中的作用，强化运用数学思想方法指导设计变换思路的意识，并且也注意了这种引导的渐进性和层次性。

必修4第三章三角恒等变形复习课

(2)条件恒等式的证明．这类问题的解题思路是恰当、适时地使用条件，或仔细探求所给条件与要证明的等式之间的内在联系，常用方法是代入法和消元法．
2．证明三角恒等式常用的方法． (1)从复杂的一边入手，逐步化简，证得与另一边相等；在证明过程中，时刻“盯”住目标，分析其特征，时刻向着目标“奔”． (2)从两边入手，证得等式两边都等于同一个式子． (3)把要证的等式进行等价变形． (4)作差法，证明其差为0.
基本公式： 1、两角和与差的三角函数公式：
sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin
sin( )
tan tan . tan( ) 1 tan tan tan tan tan( ) . 1 tan tan
2、辅助角公式
a sin x b cos x a b sin x cos x ) 2 2 ( a b a 2 b2 a 2 b2 2 2 (cos sinx sin cos x ) a b
三角恒等变换复习
基本思想：
理解三角函数中的4个“三”：（1）从知识层面看：三角函数公式系统的三条主线 ——同角关系式、诱导公式、变换公式（和、差、倍角）. （2）从问题层面看：三角变换三大问题——求值、化简、证明. （3）从方法层面看：“三个统一”——解决三角函数问题时要从“统一角度、统一函数名、统一运算结构”方面思考. （4）从算法层面看：使用公式的三重境——顺用、变换是三角函数的重要内容，搞清公式间的关系是学习的关键．对于和、差角的三角函数公式，关键是弄清楚角的变化，从整体上把握公式，既要学会正向运用，也要学会 α 逆向运用；对于倍、半角公式，可从α与之间的关系出发思考， 2 通过这种关系的思考而建立函数式之间的联系．对于和积互化公式，应抓住公式特点进行变形，辅助角公式则是应用较为广泛的公式，讨论三角函数的最值、周期、单调性等性质时，常使用此公式变换．

三角恒等变形总结

a 2
＋
1 3
(
－
1≤t≤1)的最大值为 1 时 a 的值．
(1)当a2＜－1，即 a＜－2 时，t＝－1，y 有最大值为－32a－23，由
题设可知－32a－23＝1，解得 a＝－190＞－2(舍去)； (2)当－1≤a2≤1 时即－2≤a≤2 时 t＝a2，y 有最大值为a42－a2＋13，
由题设可知a42－a2＋13＝1，解得
＝－tan1t5an0°－－1c2o0s°30－°s－in3c0o°s60°
＝tanta1n8－0°－18300°＋°c6o0s°30s°inc3o0s6°0°
＝－tant3an06°c0o°ss3in03°0c°os60°
＝－
33×3×2321×12＝－
3 6.
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高中新课标•北师大版数学•必修4
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高中新课标•北师大版数ta5n1600°0co°s－21s0i°nc3o3s01°20°＋csoins2691°°－tan36°tan54°
＝－tan36t0a°n＋21×503°60c°o－s118200°°＋si3n03°6c0o°s－13800°°－60°＋1－1
∴6tan2α＋5tanα－4＝0，得 tanα＝－43或 tanα＝12，
又 α∈(32π，2π)，∴tanα＝－43.
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高中新课标•北师大版数学•必修4
(2)∵α∈(32π，2π)，∴2α∈(34π，π)，
由 tanα＝－43，得 tanα2＝－12或 tanα2＝2(舍)，
∴sin2α＝ 55，cosα2＝－25 5，
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例 1：化简下列各式： (1) sint3anπ＋ 3πα＋cαosco－s3α－coαs－ππ－ α＋ cotsanα＋α＋3π5πsitna2nαπ＋＋3απccooss32π32＋π＋αα； (2) tan－tan51－0°60co0s°－sin21－0°33c0o°s120°＋csoins2691°°－ tan36°tan54°.

第三章 3.2简单的三角恒等变换(一)

2019-2020学年高一数学必修四校本作业课题：3.2 简单的三角恒等变换（一）班级_______姓名________座号________一、选择题1．已知tan θ－1tan θ＝m ，则tan2θ＝( )A ．－1mB ．－2mC ．2m D.2m2．已知cos α＝15，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，则sin α2等于( ) A.105 B ．－105 C.265 D.2553．化简2sin 2α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α的结果为( )A ．tan αB ．tan 2αC ．1D ．24．sin x cos x ＋sin 2x 可化为( )A.22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋12 B.2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－12C ．sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋12 D ．2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π4＋1 5．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2sin 13°cos 13°，c ＝1－cos 50°2，则有() A ．c <b <a B ．a <b <c C ．a <c <b D ．b <c <a6．使函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)为奇函数的θ的一个值是( )A.π6 B.π3 C.π2 D.2π37．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2cos 2x －1，则函数f (x )的单调递增区间为() A.⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋π6(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )C.⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋π3(k ∈Z )二、填空题8．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin 2α＝12，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________.9．若cos α＝－45，α是第三象限角，则1＋tan α21－tan α2＝________. 10．求值：sin50°(1＋3tan10°) ＝________．11．设0≤α≤π，不等式8x 2－8x sin α＋cos 2α≥0对任意x ∈R 恒成立，则α的取值范围是________．三、解答题12．已知α，β为锐角，tanα＝43，cos(α＋β)＝－55. (1)求cos2α的值；(2)求tan(α－β)的值．13．已知函数f (x )＝cos x ·sin(x ＋π3)－3cos 2x ＋34，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π4，π4]上的值域．14．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5⎝⎛⎭⎫π2<θ<π，则tan θ2等于( ) A ．－13 B ．5 C ．－5或13 D ．－13或5 15．已知α，β均为锐角，且sin2α＝2sin2β，则( )A ．tan(α＋β)＝3tan(α－β)B ．tan(α＋β)＝2tan(α－β)C ．3tan(α＋β)＝tan(α－β)D ．3tan(α＋β)＝2tan(α－β)。

必修4第三章三角恒等变换全面版

第三章三角恒等变换一、课标要求：本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦、和正切公式，以及运用这些公式进行简单的恒等变换.三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.通过本章学习，要使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中，发展推理能力和运算能力，使学生体会三角恒等变换的工具性作用，学会它们在数学中的一些应用.1. 了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；2. 理解以两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；3. 运用上述公式进行简单的恒等变换，以引导学生推导半角公式，积化和差、和差化积公式（不要求记忆）作为基本训练，使学生进一步提高运用转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想，换元的思想，方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的应用.二、编写意图与特色1.本章的内容分为两节：“两角和与差的正弦、余弦和正切公式”，“简单的三角恒等变换”，在学习本章之前我们学习了向量的相关知识，因此作者的意图是选择两角差的余弦公式作为基础，运用向量的知识来予以证明，降低了难度，使学生容易接受；2.本章是以两角差的余弦公式作为基础来推导其它的公式；3.本章在内容的安排上有明暗两条线，明线是建立公式，学会变换，暗线是发展推理和运算的能力，因此在本章全部内容的安排上，特别注意恰时恰点的提出问题，引导学生用对比、联系、化归的观点去分析、处理问题，强化运用数学思想方法指导设计变换思路的意识；4.本章在内容的安排上贯彻“删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末叶的内容”的理念，严格控制了三角恒等变换及其应用的繁、难程度，尤其注意不以半角公式、积化和差、和差化积公式作为变换的依据，而只把这些公式的推导作为变换的基本练习. 三、教学内容及课时安排建议本章教学时间约8课时，具体分配如下：3.1两角和与差的正弦、余弦、和正切公式约3课时3.2简单的恒等变换约3课时复习约2课时§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、课标要求：本节的中心内容是建立相关的十一个公式，通过探索证明和初步应用，体会和认识公式的特征及作用. 二、编写意图与特色本节内容可分为四个部分，即引入，两角差的余弦公式的探索、证明及初步应用，和差公式的探索、证明和初步应用，倍角公式的探索、证明及初步应用. 三、教学重点与难点1. 重点：引导学生通过独立探索和讨论交流，导出两角和差的三角函数的十一个公式，并了解它们的内在联系，为运用这些公式进行简单的恒等变换打好基础；2. 难点：两角差的余弦公式的探索与证明.3.1.1 两角差的余弦公式一、教学目标掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础. 二、教学重、难点1. 教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；2. 教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等. 三、学法与教学用具 1. 学法：启发式教学 2. 教学用具：多媒体四、教学设想：（一）导入：我们在初中时就知道 2cos 452=，3cos30=，由此我们能否得到()cos15cos 4530?=-=大家可以猜想，是不是等于cos 45cos30-呢？根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式()cos ?αβ-=（二）探讨过程：在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角α的终边与单位圆的交点为1P ，cos α等于角α与单位圆交点的横坐标，也可以用角α的余弦线来表示，大家思考：怎样构造角β和角αβ-？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.）展示多媒体动画课件，通过正、余弦线及它们之间的几何关系探索()cos αβ-与cos α、cos β、sin α、sin β之间的关系，由此得到cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，认识两角差余弦公式的结构.思考：我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我们能否用向量的知识来证明？提示：1、结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？2、怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？展示多媒体课件比较用几何知识和向量知识解决问题的不同之处，体会向量方法的作用与便利之处. 思考：()cos ?αβ+=，()()cos cos αβαβ+=--⎡⎤⎣⎦，再利用两角差的余弦公式得出()()()()cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ+=--=-+-=-⎡⎤⎣⎦（三）例题讲解例1、利用和、差角余弦公式求cos 75、cos15的值. 解：分析：把75、15构造成两个特殊角的和、差.()231cos75cos 4530cos 45cos30sin 45sin 3022224=+=-=⨯-=()212c o s 15c o s 4530c o s 45c o s 30s i n 45s i 30222=-=+=⨯+⨯点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：()cos15cos 6045=-，要学会灵活运用.例2、已知4sin 5α=，5,,cos ,213παπββ⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭是第三象限角，求()cos αβ-的值.解：因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4sin 5α=由此得3cos 5α===-又因为5cos ,13ββ=-是第三象限角，所以12sin 13β===-所以3541233cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭点评：注意角α、β的象限，也就是符号问题.（四）小结：本节我们学习了两角差的余弦公式，首先要认识公式结构的特征，了解公式的推导过程，熟知由此衍变的两角和的余弦公式.在解题过程中注意角α、β的象限，也就是符号问题，学会灵活运用. （五）作业：15012.P T T -（胡仕伟）§3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式一、教学目标理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用. 二、教学重、难点1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用. 三、学法与教学用具学法：研讨式教学四、教学设想：（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+．这是两角和与差的余弦公式，下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢？提示：在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，这对我们解决今天的问题有帮助吗？让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式.()()sin cos cos cos cos sin sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=+．()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=-⎡⎤⎣⎦让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手）()()()sin sin cos cos sin tan cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ+++==+-．通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan α、tan β的形式呢？（分式分子、分母同时除以cos cos αβ，得到()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-．注意：,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推倒出两角差的正切公式呢？()()()()tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβ+---=+-==⎡⎤⎣⎦--+ 注意：,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈．（二）例题讲解例1、已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值.解：因为3sin ,5αα=-是第四象限角，得4cos 5α===，3sin 35tan 4cos 45ααα-===- ，于是有43sin sin cos cos sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫-=-=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭43cos cos cos sin sin 44455πππααα⎛⎫⎛⎫+=-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 两结果一样，我们能否用第一章知识证明？3tan tan144tan 7341tan tan 144παπαπα---⎛⎫-===- ⎪⎛⎫⎝⎭++- ⎪⎝⎭例2、利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）、s i n 72c o s 42c o s 72s i n 42-；（2）、cos 20cos70sin 20sin 70-；（3）、1t a n 151t a n 15+-．解：分析：解此类题首先要学会观察，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象.（1）、()1s i n72c o s 42c o s 72s i n 42s i n7242s i n 302-=-==；（2）、()c o s 20c o s 70s i n 20s i n 70c o s 2070c o s 900-=+==；（3）、()1t a n 15t a n 45t a n 15t a n 4515t a n 6031t a n 151t a n 45t a n 15++==+==--．例3x x解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？)(1cos sin 30cos cos30sin 22sin 302x x x x x x x⎫=-=-=-⎪⎪⎭思考：=我们是构造一个叫使它的正、余弦分别等于12.小结：本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用. 作业：1、已知()21tan ,tan ,544παββ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．（322） 2、已知()33350,cos ,sin 4445413ππππβααβ⎛⎫⎛⎫<<<<-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求()s i n αβ+的值．（胡仕伟）§3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式一、教学目标以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用. 二、教学重、难点教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式；教学难点：二倍角的理解及其灵活运用. 三、学法与教学用具学法：研讨式教学四、教学设想：（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式，()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-．我们由此能否得到sin 2,cos 2,tan 2ααα的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中β看成α即可），（二）公式推导：()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=；()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-；思考：把上述关于cos2α的式子能否变成只含有sin α或cos α形式的式子呢？22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-； 22222cos 2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-．()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+==--．注意：2,22k k ππαπαπ≠+≠+ ()k z ∈（三）例题讲解例1、已知5sin 2,,1342ππαα=<<求sin 4,cos 4,tan 4ααα的值．解：由,42ππα<<得22παπ<<．又因为5sin 2,13α=12cos 213α===-．于是512120sin 42sin 2cos 221313169ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭； 225119cos 412sin 21213169αα⎛⎫=-=-⨯=⎪⎝⎭；120sin 4120169tan 4119cos 4119169ααα-===-．例２、已知1tan 2,3α=求tan α的值．解：22tan 1tan 21tan 3ααα==-，由此得2tan 6tan 10αα+-=解得tan 2α=-+tan 2α=-（四）小结：本节我们学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用. （五）作业：15034.P T T -（胡仕伟）3.2 简单的三角恒等变换（3个课时）一、课标要求：本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用．二、编写意图与特色本节内容都是用例题来展现的．通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．三、教学目标通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．四、教学重点与难点教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．五、学法与教学用具学法：讲授式教学六、教学设想：学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台．下面我们以习题课的形式讲解本节内容．例1、试以cos α表示222sin,cos ,tan 222ααα．解：我们可以通过二倍角2cos 2cos 12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题．因为2cos 12sin 2αα=-，可以得到21cos sin22αα-=；因为2cos 2cos12αα=-，可以得到21cos cos 22αα+=．又因为222sin 1cos 2tan 21cos cos 2ααααα-==+．思考：代数式变换与三角变换有什么不同？代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点．例２、求证：（１）、()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦；（２）、sin sin 2sincos22θϕθϕθϕ+-+=．证明：（１）因为()sin αβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-．两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-；即()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦；（２）由（１）得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=①；设,αβθαβϕ+=-=，那么,22θϕθϕαβ+-==．把,αβ的值代入①式中得sin sin 2sincos 22θϕθϕθϕ+-+=．思考：在例２证明中用到哪些数学思想？例２证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．例３、求函数sin y x x =+的周期，最大值和最小值．解：sin y x x =+这种形式我们在前面见过，1sin 2sin 2sin 223y x x x x x π⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，所求的周期22T ππω==，最大值为２，最小值为2-．点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数()sin y A x ωϕ=+的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．小结：此节虽只安排一到两个课时的时间，但也是非常重要的内容，我们要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用．作业：157158P P - 14T T -《三角恒等变换》复习课（2个课时）一、教学目标进一步掌握三角恒等变换的方法，如何利用正、余弦、正切的和差公式与二倍角公式，对三角函数式进行化简、求值和证明：二、知识与方法：1. 11个三角恒等变换公式中，余弦的差角公式是其它公式的基础，由它出发，用-β代替β、2π±β代替β、α=β等换元法可以推导出其它公式。

必修4第三章三角恒等变换基础知识

必修4 第三章三角恒等变换一、基础知识：1 两角和与差的三角函数公式：⑴ sin()_____________________αβ±=； ⑵ cos()____________________αβ±= ； ⑶ tan()_____________αβ±= 2 二倍角公式；⑴ cos 2__________α= __________= __________= ⑵sin 2__________θ= ⑶tan 2____________θ= 3公式的变形应用： ⑴ 降次公式：2cos _______α=， 2sin _________α=；22cos _______α=， 22sin _________α=；sin cos _______θθ=⑵ 升幂公式：1cos 2______;α-= 1cos 2_______α+= ⑶ 常用变形公式：1sin _______2x x = ； sin cos _______x x +=；1cos _______2x x -=； sin cos _______x x -=； tan tan __________________αβ+=⑷ 常见的角的变换： 2α＝(α＋β)＋( )；α＝2βα+＋______； α＝(α＋β)－＝(α－β)＋2βα+＝(α－2β)－( )； ()(_____)4x π-+＝2π4 特殊公式：sin cos ______________a x b x += 5主要方法与思路：⑴．分析思路上，主要有三看：、、； ⑵．主要方法上：函数名称的变换（、）、角的变换（）、1的变换等方面；二典型例题：例1、若sinA=55，sinB=1010，且A ，B 均为钝角，求A+B 的值。

变式练习： 1、已知α∈(2π,π)，sin α=53,则tan(4πα+)等于（） A.71 B.7 C.－ 71D.－7 2、sin163°sin223°+sin253°sin313°等于（）A.－21 B.21C.－23D.233、sin15______o=； cos15sin15_____oo-=；1tan15______1tan15oo+=- 4、（05年，文6理5）对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是（）(A)sin(α+β)>sin α+sin β (B)sin(α+β)>cos α+cos β (C)cos (α+β)<sin α+sin β (D)cos (α+β)<cos α+cos β 例2、求值0tan 35tan 2535tan 25+⋅变式练习：1、求(1tan 22)(1tan 23)_______oo++=。

(全国通用版)2018-2019高中数学第三章三角恒等变换 3.2 简单的三角恒等变换第1课时

＝cosx2＋sincxos2x．
证法二：cosx2＋sincxos2x＝coEs3v2xa2－sliu2xna＋32txic－oons2x32ox＋nl2xy.
Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.
3
课时作业学案
Evaluation only.
Created withCAosppyorsigeh.St 自2li0d0e主4s-预f2o0r1习.1NEA学Tsp案3o.s5eCPliteynLt tPdr.ofile 5.2.0.0.
2．常见的三角恒等变换
(1)asinx＋bcosx＝___a_2_＋__b_2 __sin(x＋φ)(ab≠0)，其中
Evaluation only.
tanφ＝ba，φ
所在象限由
Care和abte的d符w号it确h定A．sp仅o仅s讨e.论Sbali＝de±1s，fo±r3.，N±E3T3的3情.5况C．lient Profile 5.2.0.0.
C．－
1C＋ocopsαyright
2
2004-201D1．Asp1o＋s2ceosαPty
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2．已知 sinθ＝35，52π<θ<3π，那么 tan2θ＋cos2θ的值为
( B)
A． 1100－3
EvaluatioBn．o3－nly11.00
CreaCte．d－w3－ith1C10A0osppyorsigห้องสมุดไป่ตู้h.St 2li0d0e4s-f2o0r1.D1N．EA3Ts＋p31o1.0s05eCPliteynLt tPdr.ofile 5.2.0.0.
θ
∴tan2θ＝sinC2θo＝p3y．right 2004-2011 Aspose Pty Ltd.

高中数学第3章三角恒等变换3几个三角恒等式课件必修4高二必修4数学课件

1－tan2
α. 2
第十页，共四十页。
知识点三半角公式(gōngshì)
思考 1 (sīkǎo)
我们知道倍角公式中，“倍角是相对的”，那么对余弦的二倍角公式，若用替换α，结α 果怎样？
2 答案结果是 cos α＝2cos2α2－1＝1－2sin2α2＝cos2α2－sin2α2.
12/7/2021
20°－12cos
20°＋14＝34.
第二十六页，共四十页。
解答
类型二 (lèixíng) 利用万能公式化简求值
例 3 (1)已知 cos θ＝－35，并且 180°＜θ＜270°，求 tan 2θ的值；
解 ∵180°＜θ＜270°，
∴90°＜2θ＜135°，∴tan 2θ＜0.
1－tan2
∵cos θ＝ 1＋tan2
∴tan θ＝2.
又 cos 2θ＝11－＋ttaann22θθ＝－35，sin 2θ＝1＋2tatnanθ2θ＝45，
∴3cos 12/7/2021 2θ＋4sin 2θ＝－95＋156＝75.
第二十八页，共四十页。
解答
反思与感悟
(1)万能公式是三角函数中的重要变形公式，“倍角”的正弦、余弦、正切都可以表示为“单角(dān jiǎo)”的正切的有理式的形式. (2)万能公式左右两边的角的取值范围不同，在解三角函数方程时，要避免漏解.
12/7/2021
第十五页，共四十页。
[思考辨析 ] 判断(pànduàn)正误
1.若 α≠kπ，k∈Z，则 tan
α2＝1＋sincoαs
1－cos α＝ sin α
α 恒成立．(
√
)
2.cos αsin β＝12sinα＋β＋sinα－β.( × )

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必修（4）第三章三角恒等变换（综合复习）
第1课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式
考情分析考点新知

掌握两角和与差的三角函数公式，能运用两角和与差
的正弦、余弦和正切公式进行简单的三角函数式的化
简、求值及恒等式证明．

① 了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式
的过程.
② 能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦、两
角和与差的正弦、两角和与差的正切公式，体会化归
思想的应用.

1. sin75°cos30°－sin15°sin150°＝__________．
2. 已知tanα－π6＝37，tanπ6＋β＝25，则tan(α＋β)＝________．

3. 若sinα＝35，α∈－π2，π2，则cosα＋5π4＝__________．
4. 计算： 2cos10°－sin20°cos20°＝________．
5. 计算： sin7°＋cos15°·sin8°cos7°－sin15°·sin8°＝________．

1. 两角差的余弦公式推导过程
2. 公式之间的关系及导出过程

3. 公式
cos(α－β)＝ cos(α＋β)＝
sin(α－β)＝ sin(α＋β)＝
tan(α－β)＝ tan(α＋β)＝

4. （不必死记硬背，只需掌握思想方法） asinα＋bcosα＝a2＋b2sin(α＋φ)，其中cosφ＝aa2＋b2，

sinφ＝ba2＋b2，tanφ＝ba.φ的终边所在象限由a、b的符号来确定.
经典例题及变式训练讲解------师生互动完成
题型1 化简求值
例1 化简：tan(18°－x)tan(12°＋x)＋3[tan(18°－x)＋tan(12°＋x)]＝________．
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变式训练
求值：tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°.

题型2 给值求角
例2 若sinα＝55，sinβ＝1010，且α、β为锐角，则α＋β的值为__________．

变式训练
已知cosα＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，求β.

题型3 给值求值
例3 已知0＜β＜π4＜α＜34π，cosπ4－α＝35，sin(3π4＋β)＝513，求sin(α＋β)的值．

变式训练
已知α、β∈0，π2，sinα＝45，tan(α－β)＝－13，求cosβ的值．

例4 已知α、β均为锐角，且sinα＝35，tan(α－β)＝－13.
(1) 求sin(α－β)的值； (2) 求cosβ的值．

变式训练
已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α、β∈0，π2，求cos(α－β)的值．
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1. (1) 三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征．
(2) 对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有：
① 化为特殊角的三角函数值； ② 化为正、负相消的项，消去求值；
③ 化分子、分母出现公约数进行约分求值．
2. 三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示
(1) 已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和与差；
(2) 已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍”的关系或“互余互补”关系．
3. 通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：① 已知正切函数值，选正切函数；

② 已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是

(0，π)，选余弦较好；若角的范围为－π2，π2，选正弦较好．
定时训练（要求：展示每个题的解题过程!）
1. 已知角φ的终边经过点P(1，－2)，函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π3，

则fπ12＝__________．

2. 函数f(x)＝sin2x·sinπ6－cos2x·cos5π6在－π2，π2上的单调递增区间为_________

3. 已知sinα＋π3＋sinα＝－435，－π2＜α＜0，则cosα＝__________．

4. 设θ为第二象限角，若tanθ＋π4＝12，则sinθ＋cosθ＝________

5. 已知α、β均为锐角，且tanβ＝cosα－sinαcosα＋sinα，则tan(α＋β)＝________．
6. 已知cos()α－π6＋sinα＝453，则sin()α＋7π6的值为________．
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7 如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A、
B两点．已知A、B的横坐标分别为210、255.求：
(1) tan(α＋β)的值； (2) α＋2β的值．

8. 已知函数f(x)＝sin()x＋74π＋cos()x－34π，x∈R.
(1) 求f(x)的最小正周期和最小值；
(2) 已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0＜α＜β≤π2，求证：[f(β)]2－2＝0.