关于复变函数积分的教学研究
工科复变函数与积分变换课程的教学研究探索
工科复变函数与积分变换课程的教学研究探索发布时间：2021-05-13T11:46:22.777Z 来源：《教学与研究》2021年第4期作者：段宏博张瑶汪永娟王晓春[导读] 复变函数与积分变换是高等工科院校重要的一门专业基础数学课段宏博张瑶汪永娟王晓春（哈尔滨石油学院数理部，黑龙江哈尔滨 150006）摘要：复变函数与积分变换是高等工科院校重要的一门专业基础数学课，它的理论、方法和应用是很多工科专业课程的数学基础。
本文针对独立院校应用型人才培养的目标及复变函数与积分变换课程体系，本着理论联系实际，将复变函数与积分变换课程的教学内容与学生后续学科专业课程结合。
结合后，重视实际应用可以提高课堂的教学效果，并提出了相应的教学方法的探索。
关键词：复变函数与积分变换专业教学研究一、引言复变函数与积分变换是高等数学的后续课程，是自动控制、机电等专业的必修基础课，其理论思想和方法已经广泛的应用到电路分析、自动控制理论、信号与系统分析、过程控制、通信原理等多门专业课中。
该课程主要包括两部分内容，一是复变函数，二是积分变换。
复变函数知识包括复数、复变函数、解析函数、复变函数积分、泰勒级数和洛朗级数、留数及应用；积分变换包括傅里叶变换、拉普拉斯变换。
由于该课程抽象的数学概念理论较多，具有与实际应用相结合的特点，要求学生有很好的高等数学的基础。
还存在着教学授课学时相对少的情况，因此学生在学习的过程中存在重视度不高，难以掌握的问题。
因此，为提高学生的基本数学素质和将课程知识在后续专业课程里的实际应用能力，如何在有限学时内，将这门课程变得生动有趣，提高学生的学习积极性，又能更好满足应用型本科院校专业人才培养的要求，在教学方面做出了一些有益的研究和探索。
二、内容上与专业结合，重视实例在教学中的应用在课堂教学中，从学生专业工程背景出发，课堂中酌情选取实际例子，将专业课和数学基础课所交叉的知识结合在一起，真正做到强化应用，重视实践能力的培养。
复变函数积分的概念与性质
在复数域内，任意两个封闭曲线的积分值相等，即积分与路径无关。这一性质在解决复 变函数问题时非常重要，因为它允许我们选择任意路径进行积分计算，而不影响最终结
果。
积分与函数运算的结合性
总结词
复变函数积分具有与函数运算的结合性 ，即对函数的积分可以与函数的运算同 时进行。
VS
详细描述
在进行复变函数积分时，我们可以将函数 的运算（如加法、乘法、指数等）与积分 操作结合进行。这一性质使得在解决复杂 的复变函数问题时，我们可以简化计算过 程，提高解题效率。
复变函数
定义在复数域上的函数，即对于每一 个复数$z$，都有一个实数或复数与 之对应。
复变函数的极限与连续性
极限
当复数$z$趋近于某一点时，复变函数$f(z)$的值的变化趋势。
连续性
如果对于复数域内任意一点$z$，当$z$趋近于该点时，$f(z)$的值都趋近于该点的极限值，则称函数在该点连续。
复变函数的积分
总结词
安培环路定律是描述磁场分布的重要定理，通过复变 函数积分可以得到电流产生的磁场分布。
详细描述
根据安培环路定律，磁场线与电流线相交，且穿过电流 线的磁通量等于零。通过复变函数积分，可以将磁场表 示为电流分布的函数，从而计算磁场强度、磁感应强度 等物理量。
波动方程的初值问题
总结词
波动方程是描述波动现象的基本方程， 通过复变函数积分可以求解波动方程 的初值问题。
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分可表示为 (int f(z(t)) |dz(t)| dt)，其中 (dz(t)) 是 (z(t)) 的微分。
极坐标法
要点一
总结词
利用复数在极坐标下的表示形式，通过计算极坐标下的面 积来计算复变函数的积分。
教学探讨——记《复变函数与积分变换》
淫基金项目院本文为桂林电子科技大学校级教改项目渊ZL2618冤部分研究成果遥 作者简介院杨晓辉渊1972要冤袁女袁湖南南县人袁副教授袁主要从事最优化理论与方法及基础数学教学与科研工作遥
渊上接第 61 页冤讲尧话剧袁朗诵等课外双语训练活动遥
缘 结束语
通过本次的课题研究我们认识到双语训练对语言能力的提高有 重要作用袁同时也认识到双语训练在我校的实施有一定弊端袁对此我 们提出了相应的改善措施遥 但是我们的研究还存在一定的局限遥
总而言之袁我们要尽量让课堂教学的形式多样袁可以制作精美的 课件袁只要我们有这份认真对待工作的热情袁我们就一定会认真上好 以后的每一堂课的遥 叶复变函数与积分变换曳的教学是一门综合教学技 能, 更是一门艺术, 如何提高其教学成效, 培养学生的学习能力, 还需 要我们认真研究和不断探索遥
揖参考文献铱 咱员暂西安交通大学高等数学教研室.复变函数[M].4 版.高等教育出版社. 咱2暂张元林.积分变换[M].4 版.高等教育出版社.2003. 咱3暂王幼军.拉普拉斯概率理论的历史研究 [M].上海交通大学出版社, 2007.
Al函l数的R区i别g和h联t系s袁抓R住e这s些e就rv更e容d易.学好这门课遥 复变函数与积分变
换是一门内容丰富尧应用广泛的数学学科袁它的建立和发展与解决实际 问题的需要联系密切袁 其理论与方法被广泛应用在自然科学的许多领 域袁是机械尧电子工程尧控制工程袁理论物理与流体力学袁弹性力学等专业 理论研究和实际应用中不可缺少的数学工具遥 让学生对学习这门课程有 个总体的规划遥 熟悉学时分配及基本要求 袁准备适当的参考书遥
Science & Technology Vision
科技视界
教学探讨
要要 要记叶复变函数与积分变换曳
复变函数与积分变换第八章教案
复变函数与积分变换第八章教案第八章教案：复变函数与积分变换本章的内容主要包括复变函数的积分、Cauchy积分定理和公式、解析函数、留数计算及其应用等。
一、知识目标1.理解复变函数的积分概念，能求解一类简单的复变函数的积分；2. 掌握Cauchy积分定理和公式的概念和计算方法；3.熟练掌握解析函数的判别法和求法，能用留数计算解析函数的积分和求解相关的实际问题。
二、能力目标1.能灵活应用积分变换法求解复变函数的积分；2. 能熟练运用Cauchy积分定理和公式求解实际问题；3.能用解析函数的求法和留数计算求解与实际问题相关的积分。
三、情感目标1.培养学生的实际应用意识和解决实际问题的能力；2.培养学生严谨的数学思维和创新精神；3.培养学生的团队合作意识和表达能力。
四、教学重点1.复变函数的积分与积分变换法；2. Cauchy积分定理和公式的理解和求解；3.解析函数的概念、判别法和求法。
五、教学难点1.解析函数的判别法和求法；2.应用解析函数的留数计算求解积分问题。
六、教学内容及安排1.复变函数的积分及其应用（2课时）a.复变函数的积分概念和性质；b.积分变换法求解复变函数的积分；c.通过实例引导学生应用积分变换法求解复变函数的积分。
2. Cauchy积分定理和公式（2课时）a. Cauchy积分定理和公式的概念和计算方法；b. 通过实例引导学生运用Cauchy积分定理和公式求解实际问题。
3.解析函数与留数计算（3课时）a.解析函数的概念和性质；b.解析函数的判别法和求法；c.通过实例引导学生熟练运用解析函数的留数计算求解相关的实际问题。
四、教学方法1.讲授法：通过讲解理论知识，激发学生的兴趣和求知欲；2.案例分析法：通过实例引导学生理解和运用知识；3.讨论研究法：通过课堂讨论和小组合作，培养学生的团队合作意识和表达能力。
五、教学手段1.多媒体教学手段：利用多媒体技术展示课件，图像等，提高教学效果；2.实物展示手段：利用实物、模型等教具展示相关概念和实例，增加学生的理解和兴趣；3.小组讨论手段：组织学生进行小组讨论和合作，培养学生的团队合作能力。
复变函数课程教学模式探讨
复变函数课程教学模式探讨复变函数是数学专业中重要的一门课程，它是研究复数域上的多元函数的一个分支。
复变函数的课程内容涵盖了复数的基本性质、复变函数的连续性、可导性、积分等，是一门理论性和实际性结合比较紧密的课程。
在教学中，如何更好地引导学生理解和掌握复变函数的知识，成为了教师们需要思考和探讨的问题。
本文将就复变函数课程的教学模式进行探讨，旨在寻求更好的教学方法，提高学生对复变函数知识的掌握和应用能力。
一、传统教学模式的问题及意义传统的复变函数教学模式主要以教师为主导，通过讲授理论知识、推导定理和公式为主要形式，学生在课堂上属于被动接受者。
这种教学模式存在以下问题：1. 学生 passivity. 在传统教学模式中，学生主要是被动接受知识，缺乏积极性和主动性，容易出现学习兴趣不高和课堂效率低下的情况。
2. 理论与实践脱节。
传统教学模式注重理论知识的传授，较少涉及实际问题和实际应用，导致学生对复变函数的理论和实际应用之间的联系认识不清。
3. 缺乏互动与讨论。
传统教学模式中，学生缺乏与老师和同学的互动和讨论，课堂氛围较为单一，缺乏活跃性和趣味性。
对于复变函数的教学模式的探讨，有必要对传统教学模式进行反思和批判，以期能够寻求更加有效的教学模式，提高学生的学习效果和学术素养。
二、探索互动式教学模式1. 利用案例教学法。
在复变函数的教学中，教师可以结合实际问题，通过举例分析和讨论，让学生在具体问题中理解和掌握复变函数的知识，提高学生的学习兴趣和参与度。
2. 引导学生自主学习。
教师在课堂上可以通过提问、讨论等方式引导学生自主学习，帮助学生形成对复变函数的学习兴趣和学习能动性，培养学生的批判性思维和问题解决能力。
3. 注重实际问题的应用。
复变函数的知识在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用，教师可以通过引入相关的实际问题，让学生在解决实际问题的过程中理解和应用复变函数的知识，提高学生的学习动机和实际应用能力。
三、激发学生学习兴趣的教学方法1. 利用多媒体教学手段。
《复变函数与积分变换》教学改革探讨
《复变函数与积分变换》教学改革探讨【摘要】《复变函数与积分变换》课程是电自等工科专业必修的专业基础课。
本文结合教学实践，针对工科专业的特点，对该课程教学内容的合理安排和教学方法、教学手段的改革进行了研究和探讨。
【关键词】复变函数；积分变换；教学内容；教学方法；教学手段复变函数与积分变换是高等数学课程的发展和延续，是复数域上的高等数学，是一元微积分的发展。
复变函数论研究的内容和方法与高等数学中的一元微积分相比，有其特殊的方面，二者存在着诸多差异。
教学中如何向学生展示二者的联系与差异，揭示复变函数的本质属性，是上好这门课的关键所在。
另外，复变函数与积分变换中的许多理论与方法不仅给数学的许多分支提供一种重要的解析工具，而且在其他自然科学和各种工程领域，特别是信号处理以及物理学等研究方面有着广泛的应用。
因此，学习这门课程对于学生来说是非常重要的，但是复变函数与积分变换的实际授课时数相对比较少，有限的课时内如何使学生既掌握理论与方法，又了解知识的应用，这是一个难题。
对此，笔者认为，任课教师可以通过教学内容的合理安排、教学方法和教学手段的改进加以解决。
一、教学内容的合理安排复变函数与积分变换既是一门理论性较强的课程，又是解决实际问题的强有力的工具，所以在教学内容的组织上，一方面要介绍复变函数的数学体系，提高学生的数学素质和能力，另一方面又要避免传统数学教学中重理论、轻实践的教学观点，强调对复变函数的本质理解和工程实际应用，注重基本概念和定理的几何背景和实际应用背景的介绍。
在课堂教学中要注重根据工科专业的特点以及后续专业课程的需要，对教材内容进行大胆、灵活的处理。
二、教学方法和教学手段的改进1.激发学生学习的积极性复变函数与积分变换作为一门重要的专业基础课，在本科生的培养方案和专业课程体系中占有十分重要的地位和作用。
数学不仅是一种“工具”和“方法”，同时也是一种思维模式，即“数学思维”：不仅是一种知识，更是人的一种素质，即“数学素质”。
《复变函数与积分变换》教学的研究
《复变函数与积分变换》教学的研究作者：冯丽萍来源：《科技视界》2016年第03期【摘要】《复变函数与积分变换》是工程数学的一门基础课程，本文针对该课程课时少而内容多的特点，对这门课程的教学提出几点个人看法。
【关键词】复变函数；积分变换；教学《复变函数与积分变换》课程是大学本科理工科类专业的一门基础课。
复变函数论主要是在研究流体力学、电力学、空气动力学、热力学以及理论物理学中发展起来的，为解决这些学科的一些实际问题起了相当大的作用。
复变函数与积分变换理论和数学的其他分支也有密切联系。
复变函数是高等数学的拓展和延伸，其中的保形映射在偏微分方程中有着重要的应用；积分变换中的傅立叶变换在微分方程、积分方程、概率与数理统计论、泛函分析学以及数论等学科中都是重要的工具。
即使是最简单的函数，比如多项式函数、对数函数、指数函数、三角函数等，也只有在复变函数中才能体现其本质。
另外，作为一种特别有用的工具，复变函数当中的留数理论可以用来解决很多高等数学中难以解决的问题。
因此，复变函数与积分变换以它的完美的理论与精湛的技巧成为大学数学的一个重要组成部分。
虽然《复变函数与积分变换》这门课程有着重要的作用，不过大部分高校对此课程设置的课时都比较少，基本上都是三十二学时或者四十八学时，相对于《高等数学》来说，这些课时是非常有限的。
在有限的时间内，如何能让学生充分利用每周的少量课时，理解和掌握这门课程的精髓，并为以后的各门专业课打下坚实的基础，这一点对于每一位授课老师以及学生来说都是极其重要的。
以下根据我任教十几年来对该门课程的理解，简单谈谈我对复变函数与积分变换教学的几点看法。
1 总结同一概念和性质在复变函数和高等数学中的相似与不同，加强理解和记忆《复变函数与积分变换》这门课程的内容主要有两部分，前半部分是复变函数，后半部分是积分变换。
其中复变函数以理论为主，积分变换以应用为主。
复变函数是以高等数学为基础，同时也是高等数学中实数域向复数域的扩展，因此复变函数中的大部分概念都是和高等数学的概念类似，性质也基本上都是相同的。
关于复变函数与积分变换课程教学改革的探索
关于复变函数与积分变换课程教学改革的探索随着时代的发展和社会的进步，教育教学也在不断地变革和创新。
在高等数学领域，复变函数与积分变换课程一直是数学专业的核心课程之一。
然而，在传统的教学模式下，学生对于这些抽象概念和理论常常感到困惑，甚至是无法理解。
为了解决这些问题，我们对复变函数与积分变换课程的教学进行了探索和改革。
首先，我们通过引入实际案例和应用场景，让学生更加深入地了解和理解课程中的知识点。
其次，我们采用互动式教学模式，鼓励学生参与讨论和提问，促进他们的思考和创新。
同时，我们还采用了多媒体技术和网络教学平台，为学生提供更加丰富和多样化的学习资源。
在实践中，我们发现这种改革模式取得了显著的效果。
学生的学习兴趣和积极性得到了明显提高，他们对于复变函数与积分变换的认识和理解也更加深刻和全面。
此外，我们还通过课堂评价和学生反馈等方式，不断完善和改进教学内容和方法，提高了课程的教学质量和效果。
综上所述，复变函数与积分变换课程教学改革是一项重大的教育创新，能够有效提高学生的学习成效和素质。
我们将继续探索和实践这种改革模式，为更多的学生提供优质的数学教育服务。
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电子信息类专业《复变函数与积分变换》课程的教学研究
2371 引言复变函数的物理背景非常鲜明，这是因为在流体力学和电动力学中，它有着最重要的向量场特征，它将力学、数学物理等许多方面的理论和实际问题紧密联系起来。
在复变函数理论基础之上，人们以特定形式积分的方法建立起函数之间的某种对应关系，这就是积分变换方法。
电子信息类专业《复变函数与积分变换》课程的教学研究郜东宁（兰州城市学院电子与信息工程学院 甘肃 兰州 730070）【摘要】《复变函数与积分变换》作为电子信息类专业的一门必修课程，主要任务是培养学生的创新思维、理论与实践相结合的能力。
本文根据该课程的现状，从教学手段、教学方法和考核方法等方面进行教学改革、完善教学体系，并将其融入实际教学中，收到很好的教学效果。
【关键词】《复变函数与积分变换》；教学改革；理论与实践【中图分类号】O174.5 【文献标识码】A 【文章编号】1009-5624（2020）07-0237-02总结学生在练习中出现的问题，教会学生掌握灵活的操作方法。
通过这种教学模式，能够有效锻炼学生的操作能力与思维能力，从而促进教学质量与效率提高[1]。
3 以课堂任务驱动学生开展课堂学习在任务驱动教学方法下，学生需要通过完成教师布置的学习任务掌握知识内容，整个完成任务的过程，就是学生学习的过程。
在整个任务驱动学习模式下，关键在于教师为学生布置的学习任务，任务的质量直接关系到学生的学习状态与最终的学习效果。
教师在为学生设计教学任务时，要考虑到中职计算机信息技术的教学标准与目的，将实际生活内容融入到信息技术教学中，与其他课程知识有机的联系在一起，以学生的生活与学习为基础，为学生制定学习任务。
通过这样的方式能够让学生感受到计算机信息技术的生活性与实用性，从而拉近学生与计算机信息技术之间的距离，激发学生对信息技术知识的好奇心与探索欲，此时学生自己动手参与到计算机信息技术课堂中。
教师在为学生布置学习任务后，不要急于为学生进行讲解，而是给学生预留出足够的空间与时间，让学生以通过自主思考与合作学习的方式，共同探究学习任务，从而调动学生的学习热情与参与课堂的积极性。
浅谈机电一体化技术专业中《复变函数与积分变换》的教学方法
浅谈机电一体化技术专业中《复变函数与积分变换》的教学方法一、理论与实践相结合在机电一体化技术专业中，《复变函数与积分变换》这门课程通常会涉及到复数、复变函数、积分变换等抽象的数学概念，这对学生来说可能会是一个较大的挑战。
在教学过程中，我们可以采用理论与实践相结合的方式，通过具体的实例和案例，让学生更加直观地理解这些抽象的数学概念。
可以结合机电一体化技术中的实际问题，引导学生运用复变函数与积分变换的知识解决一些实际的工程问题，这样不仅可以增强学生的学习兴趣，还可以提高他们的实际应用能力。
二、启发式教学启发式教学是一种通过引导和启发学生自主探索，从而促进他们的自主学习和批判性思维的教学方法。
在《复变函数与积分变换》这门课程中，我们可以采用启发式教学，通过提出问题、讨论和引导学生自主思考的方式，引导学生主动探索相关知识。
可以设计一些启发式的问题，让学生自己去寻找答案，并通过讨论和交流，逐步帮助他们建立起对这门课程的整体认识和理解。
三、案例分析四、实验教学在机电一体化技术专业中，《复变函数与积分变换》这门课程通常也会包括一些实验教学内容。
通过实验教学，学生可以通过自己动手操作和实际观察，进一步深入地理解课程中的相关知识和技能。
可以设计一些与复变函数和积分变换相关的实验内容，让学生通过实际操作和观察，掌握相关的实验技能和方法，从而提高他们的实际操作能力和动手能力。
五、多媒体教学在现代教学中，多媒体教学已经成为了一种常用的教学方法。
通过多媒体教学，可以利用图片、视频等多种形式直观地展示课程内容，使学生更加直观地理解和掌握相关知识和技能。
对于《复变函数与积分变换》这门课程来说，我们可以通过多媒体教学，结合丰富的案例和图表，向学生展示一些抽象的数学概念和实际应用情景，从而提高他们的学习兴趣和学习效果。
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关于复变函数积分的教学研究作者：苏新卫
来源：《科教导刊·电子版》2020年第11期
摘要针对部分教材中复变函数积分内容的安排特點，从拓展式方法及一题多解两方面分析复变函数积分教学，有利于拓宽学生的解题思路。
关键词复积分拓展一题多解
中图分类号：G642 文献标识码：A
复变函数积分的路径主要有两种-闭和非闭曲线。
化为定积分法和牛顿-莱布尼兹公式可以计算非闭路的积分，复合闭路原理、柯西积分公式、高阶导数公式及留数方法等主要计算闭路
上的积分。
本文针对部分教材中复变函数积分内容的安排特点，即相对而言非闭路的积分内容较少而闭路的积分内容较多，分别从拓展式教学以及一题多解方面分析复变函数积分的计算，旨在使学生整体连贯地掌握复变函数积分知识，寻找最简便有效的积分计算方法。
1拓展式教学
在和复变函数积分有关的教材中，对于非闭路的复变函数积分计算，相对来说内容较少。
以教材内容为依托，使学生真正熟练地掌握沿着非闭路的复变函数积分计算，拓展式教学的合理运用变得尤为重要。
拓展教学，首先要强调复积分和实积分的联系。
例如在讲解复积分的定义时可以指出两种积分定义的相同点-分割、取定点、求和、求极限，因此复积分是实积分的推广，当复积分中的路径是实轴上的线段时，复积分就是实积分。
这种和实积分相比较的方法无疑可以加深学生对于复积分的理解。
其次，除可以增加一些具有代表性的例题外，还可以从教材中已有的典型例题入手拓展讲解。
下面以[1]中例3.9为例具体展现拓展教学在复变函数积分教学中的应用。
例1：计算，C是从到的直线段。
当时在C上有不连续点。
由复变函数积分的化定积分法，此例对应定积分在内有间断点且有界而连续。
由于有有限个间断点的有界实函数可积，所以此时积分存在。
不妨先计算：从到的直线段和：从到的直线段的积分，是实常数。
解：类似于[1]中例3.9，由牛顿-莱布尼兹公式及分部积分易得
，
由于且，，对积分，两端当时求极限并求和可得积分值为，得到与[1]中例3.9不同的结果。
通过对上例的拓展求解可以看到，由于主辐角的范围不同导致积分结果的不同，同时也加深了对实积分和复积分之间密不可分关系的理解。
2一题多解
相比于非闭路径的积分，沿着闭路的积分方法是多样的，对于同一题往往可用多种方法计算。
为使学生整体连贯地掌握这些方法并寻找最简便的方法计算积分，一题多解教学法的应用是行之有效的。
例2：求。
在内有被积函数的两个奇点3和1。
方法之一是应用复合闭路原理，在之内做两个包含3和1的互不相交互不包含的闭路和，然后用柯西积分公式;方法之二是将被积函数分成两个分式的和，然后用柯西积分公式;方法之三是直接用留数方法计算。
解一：
解二：
解三：
仅此简单一题，将复合闭路原理、柯西积分公式和留数方法统一起来，学生可根据自身对每种方法的掌握程度选择一种计算，在此不再举例赘述。
3结语
本文通过两个简单的例子说明如何应用拓展教学和一题多解法讲授复变函数积分。
在计算复变函数积分时，首先应判断被积函数在非闭路径上的连续性、解析性以及闭路内的解析性，从而选用不同的方法进行计算。
同时我们看到，在积分路径上有被积函数的不连续点时积分可能收敛，这是值得引起初学者注意的一点。
基金项目：校级课程建设与教改项目（J190806，J190812，J190802）。
参考文献
[1] 李红，谢松法.复变函数与积分变换（第4版）[M].北京：高等教育出版社，2013.
[2] 钟玉泉.复变函数论（第3版）[M].北京：高等教育出版社，2004.
[3] 华东师范大学数学系.数学分析：上册（第4版）[M].北京：高等教育出版社，2010.。