湖北省荆州中学2016届高三上学期第一次质检文数试题解析(解析版)

湖北省荆州中学高三年级第一次质检数学文科卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{}2430A x x x =-+<，{}1B x y x ==-，则（ ） A ．φ=⋂B A B ．B A ⊆ C ．A B ⊆ D ． B A =2.下列函数是奇函数的是（ ）A. x x x f =)(B.x x f lg )(=C.x x x f -+=22)(D.1)(3-=x x f【答案】A【解析】试题分析：x y lg =的定义域是0>x ，所以不是奇函数，所以B 错，()()x f x f x x =+=--22是偶函数，所以C 错，13-=x y 不过原点，所以是非奇非偶函数，只有A,满足定义域对称，并且()()x f x f -=-是奇函数.考点:奇函数【名师点睛】此题考查函数的奇偶性，属于容易习题，做试题做到对基本函数的性质和一些规律熟悉，比如1.判定奇偶性首先看定义域是否关于原点对称，2.奇函数，当0=x 时，函数值()00=f ，3.奇+奇=奇，偶+偶=偶，奇⨯奇=偶，奇⨯偶=偶.知道这些规律，利用我们判定奇偶性.3.已知R b a ∈,，i 是虚数单位，若bi i i a =++)1)((，则=+bi a ( )A. i 21+-B. i 21+C. i 21-D. i +1【答案】B【解析】试题分析：()()()()bi i a a i i a =++-=++111，所以1=a ，2=b ，所以i bi a 21+=+考点：复数的代数运算4.下列说法正确的是( )A. 若,a R ∈则“11a<”是“1a >”的必要不充分条件 B . “p q ∧为真命题”是“p q ∨为真命题”的必要不充分条件C. 若命题:p “,sin cos x R x x ∀∈+≤，则p ⌝是真命题D. 命题“0,x R ∃∈使得200230x x ++<”的否定是“2,230x R x x ∀∈++>5.在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在该正方形内切圆的四分之一圆(如图阴影部分)中的概率是( )A ．π4B ．π8C ．π16D ．π32【答案】C【解析】试题分析：设正方形的边长是2，所以面积是4，圆内阴影的面积是4π，所以概率是16π=P . 考点：几何概型6.执行如右图所示的程序框图，输出S 的值为( )A ．0B ．1-C ．12-D ．32- 【答案】A【解析】试题分析：此程序框图的应用是累加求和，()02112135cos cos 3cos=+-+=++πππ. 考点：循环结构【名师点睛】此类循环结构比较简单，属于容易题型，是一个累加求和的循环结构，注意计数变量是依次增加2个单位，最后注意条件的判断，?5>n ，当5=n 时，回答的是否，所以还要进入循环体，如果条件判定错误，那么在走循环结构时会多走或少走，容易出错.7.函数31-=+x a y )1,0(≠>a a 过定点A ，若点A 在直线2-=+ny mx ()0,0>>n m 上，则n m 11+的最小值为 ( )A ．3B ．22C ．2223+ D ．2223- 【答案】C【解析】 n =n +23试题分析：()21--，A ,代入直线方程，22=+n m ，所以()22232232123212112111+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+n m m n n m m n n m n m n m ，当且仅当n m m n =2时等号成立,所以最小值是2223+. 考点：1.基本不等式求最值；2.指数函数的性质.8..对于函数()f x ，若存在非零常数a ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()2f x f a x =-，则称()f x 为准偶函数. 下列函数中是准偶函数的是( )A.()f x = B.()2f x x = C.()tan f x x = D.()()cos 1f x x =+9.我们处在一个有声世界里,不同场合,人们对声音的音量会有不同要求。

音量大小的单位是分贝)(dB ,对于一个强度为I 的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：0lg 10I I =η(其中0I 是人耳能听到的声音的最低声波强度)，则dB 70的声音强度1I 是dB 60的声音强度2I 的 ( )A ．67倍 B ．6710 倍 C ．10倍 D ．67ln 倍 【答案】C【解析】 试题分析：0lg 10I I =η,所以根据对数运算法则，10010η⨯=I I ,所以10700110⨯=I I ,10600210⨯=I I ,所以1021=I I . 【名师点睛】此题本身不难，但对于实际应用问题，是我们的一个难点，所以是中档题，要掌握通过读题，抽象出一个什么样的数学问题，比如此题，就是通过所给的对数，化为指数，然后代入数值，化为指数相除的运算.考点：指对互化10.已知点A 为抛物线:C 24x y =上的动点(不含原点)，过点A 的切线交x 轴于点B ，设抛 物线C 的焦点为F ，则ABF Ð( )A ．一定是直角B ．一定是锐角C ．一定是钝角D ．上述三种情况都可能【答案】A【解析】 试题分析：设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4,200x x A ,过点A 的切线的斜率就是此点处的导数，所以()200x x f ='，切线方程是()002024x x x x y -=-，当0=y 时，解得20x x =，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛0,20x B ，02x k BF -=，所以AB BF ⊥,那么ABF ∆一定是直角三角形.考点：1.导数的几何意义；2.抛物线的性质.【名师点睛】此题属于解析几何中的中低档习题，与函数的交界点主要考察切线问题，主要思路是，转化为求函数在此点处的导数，导数就是此点处切线的斜率，然后求点B,和BF 直线的斜率，有斜率判断是否垂直.11.已知点)1,0(A ，曲线x a y C ln :=恒过定点B ，P 为曲线C 上的动点且⋅的最小值为2，则=a ( )A. 2-B. -1C. 2D. 1【答案】D【解析】试题分析：()01，B ,()x a x P ln ,，()10，A ,所以()1ln ,-=→x a x AP ，()11-=→，AB ,所以x a x AB AP ln 1-+=⋅→→，设x a x y ln 1-+=对此函数求导数，xa x x a y -=-='1，0>x ，所以当12.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当01x ≤≤时，()2f x x =，当0x >时，()()()11f x f x f +=+，若直线y kx =与函数()y f x =的图象恰有11个不同的公共点，则实数k 的取值范围为（ ）A ．（－2，－4）B ．＋2）C ．（＋2，＋4）D ．4,6)--【答案】D【解析】 试题分析：如图，所示，根据函数关于原点对称，所以只画出当0>x 的图像进行分析，当有11个交点时，过原点，且当[]1,0∈x ，[]2,1∈x 时各有两个交点，当[]3,2∈x 时，()()kx x x f =+-=222有两个不同交点，即0>∆，解得44a a <---+＞[]4,3∈x 时，()()kx x x f =+-=332无交点，0<∆，解得34634-6-+-<<a ，两个不等式求交集的结果是6a <<-+考点：函数图像的应用【名师点睛】此题考察了函数的性质，属于中高档习题根据实根的个数，通过图像的交点解决参数的范围问题，属于中高档习题，基本思路是，首先通过函数的性质，画出函数的图像，因为直线与函数都是奇函数，所以只需考虑当0≥x 时的交点问题，所以只画出0≥x 的图像，注意直线过原点，和每段图像都是抛物线的单调增区间的一部分的特征，所以当转动直线的时候，能够观察出和抛物线的交点是否存在，从而转化为二次方程是否有实根的问题.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若b a bx ax x f +++=3)(2是偶函数，其定义域是[]a a 2,1-，则)(x f 的最大值为 ． （Ⅱ）若不等式f （x ）≥g （x ）恒成立，求a 的取值范围．【答案】(Ⅰ)[]32，-;(2)(]1,∞-. 【解析】试题分析：(Ⅰ)根据绝对值的几何意义，函数()21-++=x x x f 表示数轴上的点到1-和2的距离和，解不等式就是求和小于等于5的x 的取值范围；（Ⅱ）将所给不等式整理为a a x x ≥-+-2恒成立的不等式，根据绝对值的性质求a x x -+-2的最小值，令≤a 最小值，解不等式求范围.试题解析：解：（Ⅰ）f （x ）=|x+l|+|x ﹣2|表示数轴上的x 对应点到﹣1和2对应点的距离之和，而﹣2 对应点到﹣1和2对应点的距离之和正好等于5，3对应点到﹣1和2对应点的距离之和正好等于5， 故不等式f （x ）≤5的解集为[﹣2，3]．（Ⅱ）若不等式f （x ）≥g （x ）恒成立，即|x ﹣2|+|x ﹣a|≥a 恒成立．而|x ﹣2|+|x ﹣a|的最小值为|2﹣a|=|a ﹣2|，∴|a ﹣2|≥a ，∴（2﹣a ）2≥a 2，解得a ≤1，故a 的范围（﹣∞，1]．考点：1.解含绝对值不等式；2.不等式的性质.19.(本小题满分12分）学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数y 与听课时间x （单位：分钟）之间的关系满足如图所示的图像，当(]0,12x ∈时，图像是二次函数图像的一部分，其中顶点(10,80)A ，过点(12,78)B ；当[]12,40x ∈时，图像是线段BC ，其中(40,50)C ，根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳.(Ⅰ）试求()y f x =的函数关系式；（Ⅱ）教师在什么时段内安排内核心内容，能使得学生学习效果最佳？请说明理由.【答案】（1）](]⎪⎩⎪⎨⎧∈+-∈+--=40,129012,0(80)10(21)(2x x x x x f ；（2）老师在)28,4(∈x 时间段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳.【解析】试题分析：（1）此问考察分段函数求解析式，所给两段函数的图像，一段是二次函数的一部分，另一部分是直线的一部分，所以根据顶点设抛物线的顶点式，然后代入点B ,两点确定一条直线，所以设直线方程的斜街式，然后代入两点坐标，待定系数法求函数的解析式；（2）根据上一问所列分段函数，解不等式62>y 的解集.试题解析：解：（Ⅰ）当(]0,12x ∈时设80)10()(2+-=x a x f ，因为这时图象过点（12，78），代入得21-=a ，所以80)10(21)(2+--=x x f …………3分 当[]12,40x ∈时，设b kx y +=，过点B(12,78),C （40，50）得90,901+-=⎩⎨⎧=-=x y b k 即 故所求函数的关系式为](]⎪⎩⎪⎨⎧∈+-∈+--=40,129012,0(80)10(21)(2x x x x x f …………7分 （Ⅱ）由题意得⎩⎨⎧>+-≤<⎪⎩⎪⎨⎧>+--≤<629040126280)10(211202x x x x 或得 …………9分 2842812124<<<<≤<x x x 即或，则老师在)28,4(∈x 时间段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳. …………12分考点：1.分段函数求解析式；2.分段函数解不等式.20.(本小题满分12分）如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，三角形ACD 是正三角形，且AD=DE=2AB ，F 是CD 的中点．（1）求证：平面CBE ⊥平面CDE ；（2）求直线EF 与平面CBE 所成角的正弦值．【答案】(1)详见解析；（2）1010. 【解析】试题分析：(1)要证明面面垂直，即证明线面垂直，则面面垂直，所以取CE 的中点M ,连接BM FM ,,根据条件可证明 AF 平面CDE ,然后证明BE AF //;(2)根据上一问所证明两面垂直，所以由点F 向交线21.(本小题满分 12分)已知椭圆C ：22221x y a b+=()a ＞b ＞0的右焦点(1,)F 0，右顶点A ，且1AF =. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若动直线:l y kx m =+与椭圆C 有且只有一个交点P ，且与直线4x =交于点Q ，问：是否存在一个定点(,0)M t ，使得0MP MQ = .若存在，求出点M 坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）13422=+y x ；（2）存在()01，M .所以存在点()01，M 适合题意. …………12分 考点：1.待定系数法求椭圆方程；2.直线与椭圆相交的综合问题.【名师点睛】对应此题的第二问，从向量的数量积入手，因为向量的数量积的表示需要坐标，所以引导我们求点P 和点Q 的坐标，当直线与椭圆有一个交点时，说明直线与椭圆相切，判别式等于0，并求出切点的坐标，用坐标表示向量的数量积，如果成了那么可以表示为与参数m k ,无关的形式，再判断.22.(本小题满分12分）已知函数2221()1ax a f x x +-=+，其中a ∈R ．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在原点处的切线方程； （2）求)(x f 的单调区间；（3）若)(x f 在[)20，上存在最大值和最小值，求a 的取值范围．（II ）对函数求导可得()()()()()222212,011x a ax xf x a f x x x -+-''==⇒=++ 所以f （x ）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减…………3分当0a ≠,()()()22121a x a x a f x x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭'=+①当a ＞0时，令()0f x '=，得121,x a x a =-=f （x ）与()f x '的情况如下：故f （x ）的单调减区间是（-∞，-a ），1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭；单调增区间是1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭…………5分③当a ＜0时，f （x ）与()f x '的情况如下：所以f （x ）的单调增区间是1,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭；单调减区间是()1,,,a a a ⎛⎫---+∞ ⎪⎝⎭.…………7分考点：1.导数的综合应用；2.利用导数求函数的单调区间；（3）导数的几何意义.【名师点睛】此题的难点在后两问，对应第二问属于中档题型，对应含参求函数的单调区间的问题，肯定涉及讨论，一般讨论最高次项的系数，以及极值点和定义域的关系，对于第三问是中高档题型，结合第二问的结果，然后考虑函数的图像，比较函数的零点与0的大小关系.：。